автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез

КРОТОВА ЕЛЕНА ЛЬВОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ В МОДЕЛЯХ АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ И ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2004

КРОТОВА ЕЛЕНА ЛЬВОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ В МОДЕЛЯХ АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ И ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Пермского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Сапожников Павел Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Свистков Александр Львович

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович

Ведущая организация

Уральский государственный технический университет - УПИ

Защита состоится " 2004 года в "17 " часов на заседании дис-

сертационного совета ДР 212.188.04 при Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский пр. 29, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета ДР 212.188.04 доктор

Аношкин А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проблема эквивалентного описания эволюции финансовых индексов (цен акций, величин обменных курсов валют и т.д.) имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях теории финансов весьма заметное место.

Финансовые модели с момента появления работы Башелье Л. в 1900 году, которая была первым опытом описания с помощью математического аппарата эволюции цен акций, привлекали внимание многих математиков.

В 1965 году Самуэльсон П. А. предложил использовать в моделях актуарных расчетов геометрическое броуновское движение, таким образом, сделав предположение о нормальности распределения логарифмических приращений стоимостей активов. Модель Блэка-Мертона-Шоулса, использующая геометрическое броуновское движение, вошла в распространенные пакеты прикладного программного обеспечения для финансовых вычислений (MAPLE, MATLAB).

Однако при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А.Н., 1994). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, и при этом имеют заметно более тяжелые хвосты (рис.1).

Рис. 1. Сравнение плотности распределения Коши и нормального с масштабным параметром 1,8 и гистограмма, описывающая приращения цен акций "Газпрома" за май 2002 года.

Такое поведение приращений хорошо описывается с помощью моделей случайных сумм, т.е. сумм случайного числа независимых случайных величин. Класс предельных распределений для случайных сумм весьма богат и содержит как распределения приращений для процессов, базирующихся на геометрическом броуновском движении со случайным сносом и диффузией в макромоделях биржевых цен (исследованием которых занимались Кендалл М., Ширяев А. Н., Нейман К., Кларк П., Келлер У.), так и распределения, возникающие в мо-

делях микроуровня, позволяющих учитывать неоднородность "биржевого времени". Дело в том, что представителями этого класса служат, так называемые, смеси нормального распределения, т.е. усреднения нормальной функции распределения по математическому ожиданию и стандартному отклонению, которые являются случайными и их закон распределения заранее неизвестен. В связи с выше сказанным, проблема определения типа распределения приращения активов по имеющейся реализации представляется весьма актуальной. Часть этой проблемы, касающаяся предельных распределений для обобщенных процессов Кокса, рассматривается в моей диссертации. В работах Королева В. Ю., Бенинга В. Е. и др. показано, что при определенных ограничениях предельные распределения нормированных обобщенных процессов Кокса принадлежат классу симметричных строго устойчивых распределений.

Аналитическое представление плотностей этих распределений возможно лишь в исключительных случаях, поэтому практический интерес представляет математический аппарат получения статистических выводов, не связанный с компьютерно-интенсивным методом, предложенным в работе Фама и Ролла (1971). Статистические выводы, реализуемые в работе, базируются на новой выборке, полученной посредством модификации исходной выборки с помощью имитаций стандартной нормальной величины, поэтому для сопоставления эффективности этих выводов с выводами, которые опирались бы только на исходную выборку, необходимы новые теоретические построения и методы их численной реализации. Один из возможных подходов указан в диссертации. Попутно решена задача нахождения НОРМД (несмещенных оценок с равно -мерно минимальной дисперсией) неизвестного параметра масштаба гамма распределения, предложенная в свое время Колмогоровым А. Н. и имеющая самостоятельный интерес в различных приложениях.

Цель работы.

Построить алгоритм определения типа предельного распределения для математических моделей финансовой математики, базирующихся на классе устойчивых распределений.

Разработать метод, позволяющий проверить гипотезу о нормальности модели, где альтернативой является строго устойчивая смесь нормальных распределений.

Разработать метод, позволяющий проверить гипотезу о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений активов.

Решить задачу оптимального оценивания неизвестного масштабного параметра для модели, построенной на основе гамма распределения.

Положения, выносимые на защиту.

1. Реализация нового метода проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений с помощью современных численных методов и комплексов программ (MAPLE, MATLAB).

2. Создание нового алгоритма различения нормального и смеси нормальных распределений для математических моделей, построенных на основе короткого периода наблюдений.

3. Создание нового метода проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений стоимостей активов, с помощью перехода к гамма распределению с параметром формы 0,5.

4. Построение метода нахождения оптимальной оценки неизвестного масштабного параметра гамма распределения, необходимой для реализации проверки гипотезы в случае распределения Коши.

5. Применение полученных результатов для нахождения предельного распределения в задаче изменения курса валют.

Научная новизна работы.

Впервые реализован метод нахождения предельного распределения для класса строго устойчивых распределений.

Впервые предложен алгоритм различения нормального и смеси нормальных распределений, который отличается от существовавших ранее в первую очередь тем, что он подходит для математических моделей, основанных на небольшом объеме наблюдений за изменением курса ценной бумаги.

Предложен новый метод проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений наблюдаемых величин.

Опираясь на современную теорию инвариантного оценивания, впервые найдена несмещенная оценка с равномерно минимальной дисперсией для неизвестного масштабного параметра гамма распределения.

Теоретическая и практическая значимость.

Предложенный алгоритм проверки гипотез о типе предельного распределения позволяет строить удовлетворительные статистические выводы для задач прогнозирования курсов ценных бумаг, на основе небольшого набора данных, что соответствует математическим моделям, построенным на основе реальных экономических данных.

Различение нормального случая и смеси нормальных распределений позволяет на основе выборок небольшого объема строить удовлетворительные статистические выводы для математических моделей, основанных на коротком

периоде наблюдений, и позволяет найти точные решения, поскольку удалось получить вид плотности распределения в аналитическом виде.

Построен метод для исследования пограничного случая - распределения Коши, для которого предложен новый метод, основанный на гамма распределении. Оценен необходимый объем наблюдений для построения статистических выводов гарантированной мощности.

Построенный в работе метод нахождения НОРМД неизвестного параметра масштаба гамма распределения, основанный на распределении достаточных статистик, позволяет предложить качественно новый способ нахождения НОРМД в тех случаях, где раньше не удавалось пробиться классическими методами ввиду громоздкости вычислений.

Методика исследования.

В работе используются методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, в частности методы, основанные на использовании плотностей инвариантов распределений.

Достоверность результатов.

Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Построенные теоретические модели сравниваются с эмпирическими данными на основе применения статистических критериев, разработанных в математической статистике.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998), где доклад был удостоен диплома, на трех Всероссийских школах-коллоквиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 1999, 2001, Ростов-на-Дону, 2002), и на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004). Полученные в работе результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры теории вероятностей и математической статистики Пермского государственного университета.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах.

Структура диссертации.

Работа изложена на 125 листах, состоит из введения, трех глав и заключения, 6 таблиц и 26 рисунков, списка литературы, содержащего 53 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования, приводится краткое описание основных результатов, представленных в диссертации.

В первой главе рассматриваются различные математические модели рынков ценных бумаг, существующие на данный момент. Построен алгоритм и впервые численно реализован метод проверки гипотезы на принадлежность модифицированной выборки классу устойчивых распределений с определенным коэффициентом устойчивости.

В разделах 1.1-1.5. проводится анализ известных математических моделей описывающих рынки ценных бумаг, используемых в финансовой математике, а также известные результаты из теории вероятностей и математической статистики, которые будут использоваться в дальнейшем для построения статистических выводов.

Отметим три основные особенности логарифмических приращений, на которые обращали свое внимание многие авторы, посвятившие свои исследования изучению поведения финансовых рынков. Во-первых, независимость логарифмических приращений; во-вторых, отмечается однородность приращений, построенных по наблюдаемым изменениям цен; в-третьих, отсутствие нормальности распределения у исследуемых случайных величин. Таким образом, авторы предлагали использовать различные распределения (по форме схожие с нормальным распределением) для подгонки эмпирических данных.

Широкий класс математических моделей финансовой математики описывается при помощи сумм одинаково распределенных, независимых случайных

величин случайной длины ' Несмотря на то, что в большинстве случаев

каждое слагаемое имеет конечные моменты, сама сумма может не иметь даже конечного математического ожидания за счет того, что не существует,

иначе можно было бы использовать стандартную формулу для его

подсчета. Классическая ЦПТ в таких условиях не применима. Предельные распределения случайных сумм во многих случаях связаны с, так называемыми, смесями нормальных распределений, то есть с распределениями случайных величин вида стандартная нормальная величина, а распределение величин и, V зависит от выбранной модели. В частности, в работе (Королев В.Ю., Бенинг В.Е., 1997) показано, что когда асимптотически строго устойчиво предельное распределение управляющего процесса предельные распределения подходящим образом нормированных обобщенных неординарных про-

цессов Кокса » (где $(0 " обобщенный неординарный процесс Кокса,

МХ\=а, DXi=<r*, 0<<7<оо) описываются распределениями смесей вида Z<JU, где U - неотрицательная случайная величина, независящая от Z. Несмотря на то, что закон распределения U и, следовательно, вид предельного распределения полностью определяется асимптотическим поведением усредненного по времени управляющего процесса Кокса, в приложениях процесс Кокса обычно невозможно наблюдать, кроме того, нормирующий коэффициент также неизвестен.

В первой главе диссертации описан и реализован новый подход к проверке гипотезы о том, что при подходящей нормировке, известной с точностью до скалярного множителя, нормированные приращения Xt =£(Ai)-£((Jt-l)f) обобщенного процесса Кокса £(t) можно считать строго устойчивыми с симметричной функцией распределения Ga(x), на основе наблюдений ХЯ=(Х1,Х1.....Х„), к = 1,2,...,п. Эти результаты, следовательно, относятся к области проверки гипотез о принадлежности наблюдаемой совокупности данному типу.

Известно (Золотарев В.М., 1983), что функция распределения G(x) = МФ(г / -JF) смеси Z-jv строго устойчива с индексом устойчивости а и параметром формы 0, если V строго устойчива с соответствующими параметрами (аг/2,1).

Коэффициент устойчивости а характеризует тяжелые хвосты и островершинность распределения. Все исследуемые плотности распределения U лежат между двумя пограничными случаями: (соответствует распределению Коши), (соответствует нормальному распределению).

В начале раздела 1.6 приведены результаты, которые являются основой для реализации метода проверки гипотез о типе предельного распределения в случае строго устойчивых смесей. Так как для наблюдений доступны только значения обобщенных процессов Кокса на непересекающихся временных отрезках, то построение статистических выводов о параметре а осуществляется на основе выборки, извлеченной из совокупности при этом масштаб-

ный параметр выступает в роли мешающего. Взяв промежутки равной длины, перейдем от исходной выборки к выборке U, =({/,,и,,...,ит) инвариантов относительно параметра 6 по следующим формулам

к = 1,2,...,[п/2]. В работе доказано, что если - независимые одинаково

распределенные случайные величины, принадлежащие семейству строго устойчивого типа с характеристическим показателем а<1, параметром формы 0 = 1 и неизвестным параметром масштаба, то распределение V восстанавливается единственным образом с точностью до выбора масштабного параметра по распределению инварианта и = +У2). К сожалению, и плотности строго устойчивых распределений, и плотности распределения указанных инвариантов выражаются через элементарные функции только для отдельных частных случаев.

Но основное препятствие, не позволяющее непосредственно использовать этот характеристический результат, заключается в том, что случайная величина V ненаблюдаема, и извлечь ее значения из наблюдаемой величины невозможно.

В связи с этим руководителем было предложено использовать вместо V новую случайную переменную V*— "сопряженный псевдосмеситель". Эта величина определяется формулой К' = (А'/2')2, где Z' независящая от X стандартная нормальная величина. Функция распределения этой величины связана с функцией распределения наблюдаемой величины формулой

имитации стандартных нормальных величин. Кроме того, распределение инварианта, определяемого для пары независимых псевдосмесителей той же формулой, какой был ранее определен инвариант и, характеризует тип симметричного строго устойчивого распределения. Если смешивающее распределение является строго устойчивым то закон распределения исходной смеси

строго устойчив (а,0). С вычислительной точки зрения инварианты от псевдосмесителей привлекательны тем, что их плотности распределения с точностью до множителя представимы в виде произведений плотности распределения арксинуса и степенных рядов от переменной коэффициенты которых пропорциональны функциям

а ее значения вычисляются с помощью

о

И \ <со»>1/.(Л)+11п>{/„(^))3

'2 '

(1)

гд«! иа{ф)- функции Золотарева следующего вида:

У»(Ф)= ~~

( я V»'(•-<*)

5Ш—а>ф)

см^((а-1)<р)

(2)

С08-ф

На основе выборки инвариантов проверяем простую гипотезу : а = ад, против альтернативы Ну\аФа§.

Приведем представление для плотности распределения сопряженного смесителя в случае а = 1,2'.

Представление для плотности распределения мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией и при десяти слагаемых погрешность не превышает 5,5-Ю"5, для аргумента «е[0,1;0,9], для аргумента и е [0;0,1)и(0,9;1]

следует увеличивать число слагаемых.

Приведенные графики плотностей показывают, что все построенные функции плотности имеют Ц-образную форму (рис.2). Поскольку следующая глава посвящена случаю нормального распределения (а = 2.0), то по приведенной схеме была построена аппроксимация и для этого пограничного случая.

Во второй главе построен новый алгоритм различения нормального и смеси нормальных распределений.

В разделе 2.1 приведен обзор классических результатов по теме главы. Основной вклад в разработку данной области внесли Мандельброт Б. (1960), Ролл Р., Фама Е. Ф. (1971).

В разделе 2.2 определяется асимптотическое поведение сопряженного смесителя для случая нормального распределения. Основываясь на результатах

А(и) = 7.63966(0.04833+0.00712(2« -I)2 + 0.00211(2« -1)4 + + 0.00093(2«-I)6 + 0.00514(2«-I)8 + 0.00034(2« -1)10 + +0.00025(2и -1)12 + 0.00020(2« -1)14 + 0.00017(2« -1)16 +

,8

до

+ 0.00015(2« -1)18 + 0.00013(2« -1)20)/~ ")

первой главы, самостоятельно выведен аналитический вид плотности распределения сопряженного смесителя, и она цселставлена следующей формулой: 11 1 , V

Построен ее график (рис.3) и доказано, что в точке 0.5 эта функция имеет устранимый разрыв.

(3)

7-3 Б 5 4 3 21 0

0 2 0.4 у ОБ 0В

Рис 3. График плотности к(V).

В диссертации доказано, что асимптотическое представление плотности сопряженного смесителя в случае а — 1 при п—► <» стремится к выражению (3).

Кроме того, в этом параграфе рассматривается задача о построении критерия согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных. Строится нулевая гипотеза. Н„: а = 2, отвечающая нормальному распределению - величины: Плотность распределения величины найдена в явном виде - это функция

Реализации инварианта определяются по формулам

(4)

где являются имитациями стандартной нормальной величины. Для нахождения теоретической функции распределения реализован следующий алгоритм: были численно найдены интегралы:

1 1 . V

¿1

-1п-

1Г 'о 2У-1 1-У

где значения верхнего периода пробегали весь интервал от нуля до единицы с шагом 0.01, и по полученным точкам была восстановлена функция распределения (рис.4).

Рис 4 График функции распределения £*.

Теперь для проверки нулевой гипотезы Н„.а = 2 против альтернативы Н,'а<2 можно использовать критерий Колмогорова, согласно которому следует подсчитать статистику, равную супремуму модуля разности между теоретической функцией распределения и эмпирической, которую следует строить методом, аналогичным использованному в первой главе. Вероятность принять неверную гипотезу выберем равной 8 = 0.05, получим следующее выражение:

где значения СТ берутся из таблиц критических значений для наибольшего отклонения эмпирического распределения от теоретического, подсчитанных самостоятельно, и приведенных в приложении. После всего можно сделать статистический вывод о принятии гипотезы Н0-а = 2.

Важно учитывать мощность построенного критерия. Зачастую, даже при использовании классических методов, (для примера можно взять стандартный метод X2) нет возможности оценить мощность критерия, и, следовательно, вероятность ошибки второго рода. Важным является тот факт, что для данной задачи оказалось возможным оценить необходимое количество наблюдений для обеспечения удовлетворительной мощности критерия. Оценка необходимого объема наблюдений осуществляется на основе идей Никитина. Для построения оценки числа ^периодов наблюдений, необходимых для обеспечения заданной мощности при различных альтернативах следует найти п по формуле:

есть заранее определенный уровень

2 Ст х

значимости. Если мы будем строить статистические выводы на основе выборки, объем которой превосходит значение то мы сможем обеспечить любую, наперед заданную мощность критерия. В приложении приведены самостоятельно построенные таблицы, в которых подсчитано необходимое число наблюдений для различения каждой из возможных ситуаций.

В разделе 2.3 определяется коэффициент устойчивости по опубликованным экспериментальным данным. В приводимом ниже примере, для увеличения точности все расчеты проводились с использованием десяти членов в разложении для функции плотности. В качестве наблюдаемых величин Хк были выбраны значения курса евро по отношению к рублю за декабрь-январь месяцы 2001-2002 годов. Данные были получены из сети Интернет на официальном сайте Центробанка России. Уточним, почему выбрана была именно эта валюта и в данный конкретный период. Для проверки метода требовалось найти ценную бумагу, у которой курс то возрастал, то падал. Поскольку в тот момент только лишь совершался переход к евро, то курс "скакал". Кроме проверки метода, хотелось уточнить, будет ли достаточно исходных наблюдений для построения удовлетворительных статистических выводов. По исходным наблюдениям были построены инварианты, причем, нормальная составляющая добавлялась как смоделированная на компьютере стандартная нормальная величина. По полученным инвариантам строилась функция распределения, сглаженная с помощью метода наименьших квадратов (рис. 5).

Теоретическая и эмпирическая функции респредепеиия 1

О 8 О.в О. < 0.2

О-.,..................... , , .

0.2 0.4 х О.е 0.8 1

Рис.5. Сравнение теоретической и эмпирической функций распределения.

За счет того, что было проведено несколько серий испытаний, в каждой из которых моделировались новые нормально распределенные компоненты, и различие в полученных функциях распределения не превышало 0.01, можно говорить об устойчивости метода (в смысле моделируемых нормальных составляющих). Чтобы проверить, принадлежит ли построенная нами выборка распределению с указанной выше плотностью, воспользуемся критерием Колмогорова. Таблицы критических точек, необходимые для реализации данного метода были получены в разделе 2.2.

Для решаемой задачи при уровне значимости выбранным равным значение п получилось равным двадцати пяти, то есть можно сделать вывод о том, что для построения достоверного прогноза достаточно 25 коротких периодов наблюдения за динамикой изменения курса евро. При решении данной задачи были проведены вычисления для всех изменялись с ша-

гом 0.1, при рассмотренном значении удалось принять построенную гипотезу. Итак, мы нашли функцию распределения рассматриваемого процесса, приняли гипотезу оценили необходимое количество наблюдений, теперь, используя стандартные методы математической статистики, можно построить прогноз курса валюты на ближайший период. Поставленная задача решена.

В третьей главе исследуется случай а = 1. С помощью метода, предложенного в первых двух главах не представляется возможным рассмотреть пограничный случай, когда коэффициент устойчивости (что соответствует распределению Коши). Трудности возникают в связи с тем, что выбранная аппроксимация не работает при значениях а близких к единице. Для того, чтобы

рассмотреть случай а = 1 используем тот факт, что случайная велич и наг д е

X

Xимеет гамма распределение с параметром формы 0,5, является смесителем для распределения Коши. То есть, что случайная величина

стандартная нормально распределенная случайная величина, имеет распределение Коши (Королев В.Ю., Бенинг В.Е. 2002).

Исходя из вышесказанного, следует, что вместо того, чтобы проверять

гипотезу о принадлежности модифицированной выборки вида со-

уХ/

вокупности Коши, можно проверять гипотезу о принадлежности выборки совокупности гамма с неизвестным параметром масштаба и параметром формы 0,5. Последний вариант предпочтительней, во-первых, поскольку не надо имитировать нормально распределенные величины, которые вносят погрешность в окончательный результат; во-вторых, необходимый для достижения гарантированных мощностей объем выборки, оцененный с помощью идей Никитина при уровне значимости получился в 2,5 раза меньше,

нежели в первом варианте. Таким образом, для исследования случая необходимо перейти к исследованию гамма совокупности.

Найдена НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма. Предложен новый алгоритм оценивания неизвестного параметра для математи-

ческих моделей, основанных гамма распределении, стандартные статистические методы в данном случае неудобно использовать ввиду громоздкости вычислений.

В разделе 3.1 приведены известные результаты о гамма распределении, которые потребуются для отыскания оптимальной оценки.

В разделе 3.2 приведены приближенные решения задач нахождения плотности распределения достаточных статистик и построение НОРМД плотности распределения при больших объемах выборки. Сапожников П. Н. (1997. Монография, стр. 109-111) предложил в роли минимальных достаточных статистик для семейства гамма с неизвестными параметрами масштаба и формы (а)

взять независимые статистики

и показал, что статистика

дигамма

функция, асимптотически логарифмически нормальна с плотностью

Я(у)

1 [ 1П2У

=Ж'ехр|" "Г"

На основе этого результата в совместной работе [3]

найдено приближение НОРМД плотности распределения гамма.

//„ (У.а) = //(V)] I + ЦН- +1-^2(1„5 у+2 !п V+2) I + о£г') I 2ега 6о

Перейдя к двухпараметрической гамма совокупности, и проделав некоторые вычисления, получаем точное выражение для НОРМД плотности распределения гамма

Вид полученного асимптотического приближения оценки плотности распределения дает основание для выбора приближений НОРМД в классе плотностей

1 ( х У" " V * \

Согласно одному из результатов работы Колмогорова А. Н. НОРМД математического ожидания функции параметров, представимой в виде может быть получена формальной заменой неизвестной плотности распределения совокупности НОРМД этой плотности в формуле Так

о

как достаточными статистиками в нашем примере могут служить также и эти статистики являются полными, то НОРМД функции параметра

является статистика

71 1п и.

+ ЫУ..

п п

Кроме того, последовательность оценок состоятельна. Предполо-

жим, что плотность распределения является не приближением НОРМД плотности распределения гамма, а ее точной оценкой, тогда в силу единственности, указанную оценку функции 1п Ь + у/(а) можно представить в виде

Так что при этом предположении должно быть точным решением

уравнения

1п и.

= </г(а)-у(па).

Будем искать оценку для параметра а в виде приближенного решения полученного уравнения Для доказательства верности предположения

заменим статистику ип в левой части уравнения на о1пК

ш-

тогда оно приведет-

ся к виду:

Л

- = \ппа- у/(а)+{/(а) -у/(па).

В результате преобразований получим оЬУ.

-г =-{1па-1па]+[(/(а) - «/(а)]о((пау:). V» 2 па

Поскольку величина \п¥п асимптотически нормальна с параметрами

(0,1) и при х>0, то для любого £>0 вероятность собы-

тия |<с стремится к единице с экспоненциальной скоростью при возрастании п равномерно по а, ае[а01«), Запишем теперь уравнение

= в иной форме, используя указанное ранее асимптотическое

разложение величины у(па,): = у/(а) -\па + + О^п'1).

Теперь искомое представление а„(1/„) в виде функции наблюдений является решением этого уравнения. В конце главы приведена небольшая таблица значений правой части уравнения, которая дает представление о поведении этой функции. Заметим, что значения статистики и"!/., стоящей в левой части уравнения принадлежат полуинтервалу (0,1], поэтому левая часть уравнения принимает только отрицательные значения с вероятностью единица. Также в этом разделе осуществлена проверка гипотезы о параметре гамма распределения, согласно методам, используемым в первых двух главах, и также найдена формула, отображающая необходимое число наблюдений для получения удовлетворительного результата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Численно реализован метод проверки гипотез о типе предельного распределения для математических моделей финансовой математики, построенных на классе строго устойчивых распределений.

2. Найдены предельные плотности распределения сопряженного смесителя для значений коэффициента устойчивости в интервале (1,2;2). Построены таблицы критических точек.

3. Построен критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных, используемый для математических моделей финансовой математики, построенных на коротком периоде наблюдений.

4. Построен метод проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений наблюдаемых величин.

5. Построены таблицы объемов выборки, необходимых для получения удовлетворительного результата при различении нормального распределения и смеси нормальных распределений.

6. Разобран численный пример, основанный на реальном курсе евро к рублю. Построена математическая модель процесса, найдено предельное распределение для конкретной задачи.

7. Предложен новый алгоритм нахождения оценок неизвестных параметров. Найдена НОРМД параметра гамма распределения с помощью плотности распределения достаточных статистик семейства гамма.

8. Осуществлена проверка гипотезы о параметре гамма распределения. Найдена формула, выражающая необходимый объем выборки для построения критерия удовлетворительной мощности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кротова Е. Л. Распределение достаточных статистик для семейства гамма// Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". - Новосибирск, 1999. - С. 83.

2. Кротова Е. Л. НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма/ П.Н. Сапожников // Промышленное обозрение. - М.:ТВП, 1999. - Т.6, Вып.1. -С. 164.

3. Кротова Е. Л. Получение приближения для НОРМД гамма распределения/ П.Н. Сапожников // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. - Пермь: ПТУ, 1999. - С.26-37.

4. Кротова Е. Л. Проверка гипотезы о виде гамма распределения// Обозрение прикладной и промышленной математики. - М/.ТВП, 2001. Т.8, Вып.1. - С. 247.

5. Кротова Е. Л. Критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных/ П.Н. Сапожников // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.:ТВП, 2002. Т.9, Вып.1. - С. 133.

6. Кротова Е. Л. Применение приближенного распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения// Информационные управляющие системы. - Пермь: ГОТУ, 2002. - С.22-25.

7. Кротова Е. Л. Об одной реализации проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений// Вестник ППУ. Математика и прикладная математика. - Пермь: ГОТУ, 2002. - С.96-100.

Лицензия № 020370

Сдано в печать 27.04,04.Формат 60x80/16. Объем 1,0 уч. изд. Тираж 100. Заказ 1128.

Печатная мастерская ротапринта 111 ТУ.

№11108

Введение

1. Проверка гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений

1.1. Модели, основанные на броуновском движении

1.2. Модели, основанные на гиперболических распределениях

1.3. Модели, использующие обобщенные процессы Кокса

1.4. Модели, не зависящие от времени

1.5. Дополнительные сведения

1.6. Асимптотическое поведение сопряженного смесителя

1.7. Численная реализация

2. Различение нормального и смеси нормальных распределений

2.1. Классические методы различения нормального и смеси нормальных распределений

2.2. Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения

2.3. Определение коэффициента устойчивости по опубликованным экспериментальным данным

3. НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма

3.1. Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши.

3.2. Нахождение НОРМД плотности гамма распределения 94 Заключение 120 Библиографический список

Можно без преувеличения сказать, что в последние два десятилетия центр основных интересов финансовой математики, ее более впечатляющие математические результаты и "выходы" в практику связаны со стохастическими аспектами, что и объясняет большой поток работ, опирающихся на результаты стохастического исчисления, теории мартингалов, оптимального стохастического исчисления и новых методов в статистике случайных процессов." [1]

Проблема эквивалентного описания эволюции финансовых индексов (цен акций, величин обменных курсов валют и т.д.) имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях теории финансов весьма заметное место.

Финансовые модели с момента появления работы Башелье Л. в 1900 году [2], которая была первым опытом описания с помощью математического аппарата эволюции цен акций, привлекали внимание многих математиков.

В 1965 году Самуэльсон П. А. [3] предложил использовать в моделях актуарных расчетов геометрическое броуновсокое движение, таким образом, сделав предположение о нормальности распределения логарифмических приращений стоимостей активов. Модель Блэка-Мертона-ИГоулса, использующая геометрическое броуновское движение, вошла в распространенные пакеты прикладного программного обеспечения для финансовых вычислений (МАРЬЕ, МАТЬАВ).

Однако, при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А.Н., 1994 [1], Кендалл М. [49], Самуэльсон П. А. [3] (1965), Бардорфф-Нильсен (1977) [49], Кларк П. [49]). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, и при этом имеют заметно более тяжелые хвосты. Такое поведение приращений хорошо описывается с помощью моделей случайных сумм, т.е. сумм случайного числа независимых случайных величин. Класс предельных распределений для случайных сумм весьма богат и содержит как распределения приращений для процессов, базирующихся на геометрическом броуновском движении со случайным сносом и диффузией в макромоделях биржевых цен (исследованием которых занимались Ширяев А. Н. [1,49] (1994), Королев В. Ю. [4,6,7,8,9,10,11,17] (1997), Бенинг В. Е. [6,7,8,9,10,11] (1998), Эберлейн Е., Келлер У., Нейман К. [49] (1992-1994), Первадчук В.П. [20] (2002), так и распределения, возникающие в моделях микроуровня, позволяющих учитывать неоднородность "биржевого времени". Дело в том, что представителями этого класса служат, так называемые, смеси нормального распределения, т.е. усреднения нормальной функции распределения по математическому ожиданию и стандартному отклонению, которые являются случайными и их закон распределения заранее неизвестен. В связи с выше сказанным, проблема определения типа распределения приращения активов по имеющейся реализации представляется весьма актуальной. Часть этой проблемы, касающаяся предельных распределений для обобщенных процессов Кокса рассматривается в моей диссертации. В работах Королева В. Ю., Бенинга В. Е. [7, 8, 9,10, 11] и др. показано, что при определенных ограничениях предельные распределения нормированных обобщенных процессов Кокса принадлежат классу симметричных строго устойчивых распределений.

Аналитическое представление плотностей этих распределений возможно лишь в исключительных случаях, поэтому практический интерес представляет математический аппарат получения статистических выводов, не связанный с компьютерно-интенсивным методом, предложенным в работе Фама и Ролла [27], 1970. Поскольку статистические выводы, реализуемые в работе, базируются на новой выборке, полученной из исходной посредством ее модификации с помощью имитаций стандартной нормальной величины, то для сопоставления эффективности выводов необходимы новые теоретические построения и методы их численной реализации. Один из возможных подходов указан в диссертации. Попутно решена задача нахождения НОРМД (несмещенных оценок с равномерно минимальной дисперсией) неизвестного параметра масштаба гамма распределения, предложенная в свое время Колмогоровым А. Н. и имеющая самостоятельный интерес в различных приложениях.

Целью работы является реализация новых методов, основанных на плотности распределения инвариантов, для решения двух типов задач. К первому типу можно отнести проблему проверки гипотез о принадлежности данному распределению модифицированной выборки. Ко второму - задачу оценивания неизвестного параметра при известном семействе распределений.

В работе построены: аппроксимации функций распределений, графики плотностей и функций распределения для различных значений коэффициента устойчивости. Приведены таблицы критических точек, которые используются для проведения процедуры проверки гипотез с помощью критерия Колмогорова. Численно реализован пример, иллюстрирующий применение метода. Найдена НОРМД для гамма распределения. Кроме того, в работе построены таблицы, позволяющие определить необходимый объем выборки, требуемый для построения удовлетворительных статистических выводов.

Результаты работы докладывались на XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998), где доклад был удостоен диплома, на трех Всероссийских школах-коллоквиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 1999, 2001, Ростов-на-Дону, 2002), и на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004). Полученные в работе результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры теории вероятностей и математической статистики Пермского государственного университета.

Диссертация общим объемом 125 стр. состоит из введения, трех глав, поделенных на 12 параграфов, 6 таблиц и 26 рисунков, заключения, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Основные результаты работы изложены в статьях [35, 42, 45]. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Численно реализован метод проверки гипотез о типе предельного распределения для математических моделей финансовой математики, построенных на классе строго устойчивых распределений.

2. Найдены предельные плотности распределения сопряженного смесителя для значений коэффициента устойчивости в интервале (1,2;2). Построены таблицы критических точек.

3. Построен критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных, используемый для математических моделей финансовой математики, построенных на коротком периоде наблюдений.

4. Построен метод проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений наблюдаемых величин.

5. Построены таблицы объемов выборки, необходимых для получения удовлетворительного результата при различении нормального распределения и смеси нормальных распределений.

6. Разобран численный пример, основанный на реальном курсе евро к рублю. Построена математическая модель процесса, найдено предельное распределение для конкретной задачи.

7. Предложен новый алгоритм нахождения оценок неизвестных параметров. Найдена НОРМД параметра гамма распределения с помощью плотности распределения достаточных статистик семейства гамма.

8. Осуществлена проверка гипотезы о параметре гамма распределения. Найдена формула, выражающая необходимый объем выборки для построения критерия удовлетворительной мощности.

1. Ширяев А. Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1994, Т.1, В.5, С. 780-820.

2. BachelierL. Th'eorie de la speculation. // Ann. Ecole Norm. Sup., 1900, V.17, P. 21-86. (Перепечатка: The random character of stock market prices. Ed. by P.H. Coothner. Cambridge, MA: MIT Press, 1967, P. 17-78).

3. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Manag. Rev., 1965, P. 13-31.

4. Королев В. Ю. Вероятностные модели: введение в асимптотическую теорию случайного оценивания. //М.: Диалог-МГУ, 1997.

5. Grandell J. Doubly Stohastic Poisson Processes. // Lect. Notes Math., 1976, V.529.

6. Bening V. E., Korolev V. Yu., Shorgin S. Ya. On approximations to generalized Poisson processes. // J. Math. Sci., 1997, V.83, N 3, P. 360-373.

7. Бенине В. E., Королев В. Ю. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1998, Т.5, В.1, С. 23-43.

8. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Асимптотические поведение обобщенных процессов Кокса. // Вестник Московского универсситета, серия выч. Мат-ки и кибернетики: 1996, В.З, С. 55-68.

9. Р. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. // Фундаментальная и прикладная математика: 1996, N 4, С. 957-975.

10. Bening V. Е., Korolev V. Yu. On approximations to generalized Cox processes. // Probab. Theory and Math. Stat., Wroclaw, 1998.

11. Bening V. E., Korolev V. Yu. Asymptotic behavior of generalized non-ordinary Cox processes. // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, 1997, VSP, P. 111-129.

12. Золотарев В. M. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

13. Кащеев Д. Е. Моделирование динамики финансовых рядов и оценивание производных финансовых инструментов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тверь. 2001.

14. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука, 1967.

15. Ибрагимов И. А., Линиик Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

16. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. Э. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

17. Королев В. Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщенных неординарных процессов Кокса. // Теория вероятностей и ее применение: 1997, Т.42,В.З, С. 359-361.

18. Сапожников П. Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщенных процессов Кокса. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 314-315.

19. Большее JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука. 1983.

20. Первадчук В.П., Тренин Ю.Б. Анализ и прогнозирование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.7-11.

21. Володин И. Н. Планирование эксперимента при сравнении параметров двух нормальных совокупностей. // Теория вероятностей и ее применение: 1973, Т.18, В.1, С. 206-211.

22. Коваленко И.Н. О восстановлении аддитивного типа распределения по последовательности независимых испытаний.// Тр. Всесоюз. сов. по ТВ и МС. Ереван, 1960, С. 148-159.

23. Прохоров Ю.В. Характеризация класса распределений распределением некоторой статистики. // Теория вероятностей и ее применение: 1965, Т. 10, В.З, С. 479-487.

24. Sapozhnikov Р. N. Pseudomixers for strong stable mixers of standard normal law. // Seminar on Stab. Problem of stohastic models. Pamplona, Spain, 2003, P. 49.

25. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Физматлит, 1995.

26. Black F., Scholes М. The pricing of option and corporate liabilities. // J. Polit. Econom., 1973, N3, P. 637-659.

27. Eugene F. Fama, Richard Roll. Parameter Estimates for Symmetric Stable Distributions // Journal of the American Statistical Association: 1971, V. 66, P. 331-338.

28. Shapiro S. S., WilkM. В., Chen H. J. A Comparative Study of Various Tests for Normality. // Journal of the American Statistical Association, 1968, P. 1343-1372.

29. Лумелъский Я. П., Сапожников П. Н. Несмещенные оценки для плотностей распределений. // Теория вероятностей и ее применение: 1969, Т. 14, В.2, С. 372-380.

30. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Ленинград: Энергоатомиздат, 1985.

31. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973, Т.1.

32. Володин И. Н. О различении распределений гамма и Вейбулла. // Теория вероятностей и ее применение: 1994, Т.39, В.2, С.398-348.

33. Сапожников П. Н. Алгебраические методы оптимального статистического оценивания. Пермь: ПТУ, 1997.

34. Кротова Е. Л., Сапожников П. Н. НОРМД плотности двухпараметриче-ского семейства гамма. // Промышленное обозрение. ТВП: 1999, Т.6, В.1, С. 164.

35. Кротова Е. Л., Сапожников П. Н. Получение приближения для НОРМД гамма распределения // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1999, С.26-37.

36. Сапожников П. Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1993, С. 100-116.

37. Сапожников П. Н. Максимальные инварианты в теории оптимального оценивания. Пермь: Вестник ПГУ, 1997, В.1.

38. Прохоров А. В. Бета распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.163-164.

39. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки // Известия АН СССР, Сер. мат., 1950,14, С. 303-326.

40. Субботин Ю. Н. Бернулли числа. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.425-426.

41. Кротова Е. Л. Проверка гипотезы о виде гамма распределения. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 247.

42. Кротова Е. Л. Применение приближенного распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения. // Информационные управляющие системы. Пермь ПГТУ, 2002,С.22-25.

43. Сапожников П. И., Кротова Е. Л. Критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2002, Т.9, В.1, С. 133.

44. Кротова Е. Л. Распределение достаточных статистик для семейства гамма. // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999, С.83.

45. Кротова Е. JI. Об одной реализации проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.96-100.

46. Прохоров A.B. Гамма распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С. 163-164.

47. Орлов А.И. О влиянии погрешности наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма распределения). // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПТУ, 1988, С.45-49.

48. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применения. М.: Наука, 1989.

49. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.

50. Гармовски Б., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.

51. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. // М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

52. Kozek A. Construction of umv estimators and some problems of partial differential equations. // Trans 7-th Prague Conf. Prague, 1978, P. 279-290.

53. Градштейн И.С., Рыжик И.М Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.