автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Непараметрическое оценивание вероятностных характеристик надежности невосстанавливаемых элементов

Введение

1 Непараметрическое оценивание одномерных функций надежности, интенсивности и их производных

1.1 Постановка задачи

1.2 Непараметрическое оценивание функций распределения и надежности.

1.2.1 Эмпирические функции распределения и надежности

1.2.2 Гладкая эмпирическая функция надежности, ее асимптотическая несмещенность и порядок сходимости смещения.

1.2.3 Предельная дисперсия, скорость сходимости сред-неквадратического отклонения и асимптотическая нормальность гладкой эмпирической функции надежности

1.2.4 Гладкая эмпирическая функция распределения

1.3 Ядерная непараметрическая оценка одномерной плотности распределения неотрицательной случайной величины

1.4 Нахождение оптимальных параметров размытости в ядерных оценках плотности распределения.

1.5 Непараметрическое оценивание производных плотности распределения неотрицательной случайной величины.

1.5.1 Ядерная оценка первой производной плотности распределения, ее свойства.

1.5.2 Оценивание второй производной плотности распределения

1.6 Ковариации оценок £„(£), /„.(¿), /"(£).

1.7 Асимптотическая нормальность оценки А„(£)

1.8 Интервальное оценивание функции интенсивности.

1.9 Асимптотическая нормальность оценок \'n(t), A'^(t)

1.10 Сходимость в среднеквадратическом оценок функции интенсивности и ее производных

1.11 Выводы.

2 Непараметрическое оценивание многомерных вероятностных характеристик надежности

2.1 Постановка задачи.

2.2 Гладкая /-мерная эмпирическая функция надежности, ее асимптотические свойства

2.3 Гладкая /-мерная эмпирическая функция распределения

2.4 Ядерная непараметрическая оценка плотности распределения случайного вектора с неотрицательными компонентами

2.5 Непараметрическое оценивание градиента функции распределения случайного вектора с неотрицательными компонентами

2.6 Непараметрические оценивание градиента многомерной функции плотности распределения.

2.7 Ковариации оценок Sn(i), fn(t), F-n(t)} fjn(t) -

2.8 Асимптотическая нормальность непараметрических оценок подстановок многомерной функции интенсивности и ее градиента

2.9 Сходимость в среднеквадратическом оценок функции интенсивности и ее градиента.

2.10 Выводы.

3 Статистическое моделирование

3.1 Описание моделей.

3.1.1 Параметрические модели.

3.1.2 Непараметрические модели.

3.2 Методы моделирования.

3.3 Результаты моделирования и их анализ.

3.4 Выводы.

Для успешного развития общества на современном этапе возникает необходимость в разработках и внедрениях сложных технических и программных систем и комплексов в различные сферы деятельности человека. Проектирование, изготовление и эксплуатация таких систем требует обеспечения их надежности, как одного из свойств систем выполнять требуемые функции. С данными проблемами сталкиваются все исследователи, которым необходимо оценивать надежность созданных опытных образцов экспериментальных систем (микросхем, приборов и т.п.) и составляющих их элементов. При расчете надежности элементов системы и прогнозировании отказов используют наиболее полную характеристику надежности невосстанавливаемых элементов, которая называется функцией интенсивности отказов и имеет в одномерном случае вид т = А, (о.1) где Р({) — функция распределения времени отказа невосстанавливае-мого элемента, /(/) — ее плотность распределения, t > 0. Величина = [1 — Р(£)], стоящая в знаменателе в (0.1), выражает вероятность безотказной работы невосстанавливаемого элемента до момента времени I и называется функцией надежности, а величина \{1)(И представляет собой условную вероятность отказа элемента во временном интервале (£, Ь + ¿£) при условии, что до момента времени I он работал исправно. Таким образом, функция интенсивности характеризует локальную надежность элемента в каждый данный момент времени и позволяет оценить вероятность отказа за некоторый промежуток времени при условии, что до этого момента отказа не было.

Валено отметить, что при расчете надежности системы удобно пользоваться значениями интенсивностей отказов отдельных элементов, так как получаемые при этом формулы просты и удобны для инженерной практики [2].

Функция (0.1) также применяется и в актуарной1 математике, разрабатывающей и изучающей математические методы и модели в страховом деле. В актуарной математике функция (0.1) называется функцией интенсивности смертности, а величина А(£)сЙ приближенно выражает вероятность смерти на временном интервале (£, £ + М) человека, дожившего до I лет. Плотность распределения и функция надежности 5(£) в актуарной математике называются кривой смертей и функцией выживания. Отметим, что в дальнейшем будем использовать термины теории надежности.

Знание функции интенсивности (0.1) позволяет описать процесс эксплуатации элемента. Приведем типичный график А(£), который имеет [/-образный вид.

Рис. 1.

Видно, что A(t) убывает на периоде "детской смертности" [0, t\] (элементы набирают прочность, "прирабатываются"), затем сохраняется постоянной на так называемом периоде "полезной работы" [ii,^] и, наконец, возрастает в течение периода износа или старения.

Таким образом, очевидно, что при исследовании процесса эксплуатации элемента важно знать скорость изменения и степень гладкости

1Actuarial происходит от actuary — актуарий,статистик страхового общества.

A(t). Скорость изменения функции определяет ее первая производная, а вторая производная функции может использоваться при исследовании ее степени гладкости. Таким образом, более полной по сравнению с A(t) характеристикой надежности невосстанавливаемого элемента может служить тройка {А(*), А'(г), А"(*)} •

При оценивании надежности элементов часто в качестве функции распределения времени отказа F(t) берут функцию распределения, зависящую от конечного набора неизвестных параметров. В этом случае задача нахождения неизвестной функции интенсивности сводится к оцениванию неизвестных параметров. Действительно, некоторые распределения достаточно точно описывают процесс появления отказов тех или иных элементов. Приведем некоторые примеры таких распределений.

Экспоненциальное распределения F(t, А) = 1 — e~Xt для t > 0 описывает моменты отказов элементов, у которых остаточное время службы не зависит от длительности предшествующей работы. Согласно [3] распределение Вейбулла F(t, А, а) = 1 — е-^" для t > 0, где А, а- > О "используется для описания усталостных явлений [52], отказов электровакуумных приборов [30], поломок подшипников [33]." Заметим, что, если функция распределения отказа — экспоненциальное распределение, то функция интенсивности равна константе.

Если функция распределения известна с точностью до конечного набора неизвестных параметров, тогда имеем случай параметрической априорной неопределенности. Классические методы (например: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов) позволяют достаточно эффективно оценивать по наблюдениям входа и выхода объекта неизвестные параметры [25, 26, 36].

В задачах оценивания надежности экспериментальных систем статистическими данными являются моменты отказов исследуемых элементов. Следует подчеркнуть, что эти данные получаются в результате проведения большого числа дорогостоящих экспериментов. Наряду с этим, исследователи часто не обладают достаточной информацией о самих элементах и о природе возникновения их отказов. Возможен также и случай, когда эта информация может оказаться несоответствующей реальному объекту, что усложняет, а иногда делает невозможным, построение адекватной параметрической модели.

Если априорная информация о природе отказов носит общий характер (например, известно, что производные функции распределения отказа до некоторого порядка существуют, непрерывны и т.д.), задачу оценивания неизвестной функции интенсивности естественно рассматривать с точки зрения непараметрической статистики — одного из разделов математической статистики.

Определим термин "непараметрический" согласно Ф.П.Тарасенко [34].

Непараметрическая задача — это статистическая задача, определенная на таких классах распределений, среди которых хотя бы один не сводится к параметрическому семейству функций."

Главное отличие непараметрических процедур от параметрических состоит в том, они работоспособны тогда, когда априорная информация о распределениях не позволяет воспользоваться каким-либо параметрическим семейством распределений при определении математической модели объекта.

Непараметрические оценки функции интенсивности впервые были предложены для одномерного случая в 1963 г. [44], позднее исследовались в работах [16, 20, 21].

При оценивании неизвестной плотности в (0.1) будем использовать известные непараметрические оценки плотности ядерного типа, т.е. оценки вида где Т\,. ,Тп — случайная независимая выборка объема п, К (и) — ядро

0.2) оценки (обычно это некоторая плотность вероятностей), Нп — параметр размытости.

Впервые класс ядерных оценок был введен М. Розенблаттом в 1956 году [47]. В работах [13, 37, 9] приводится достаточно полный обзор работ как иностранных, так и российских авторов, посвященных изучению свойств оценок вида (0.2).

Конкретное применение ядерных оценок на практике описано в монографиях [1, 35].

Повышенный интерес к изучению свойств оценок ядерного типа объясняется следующими их преимуществами перед другими оценками: положительным опытом применения ядерных оценок на практике [15, 24]; простотой структуры; отсутствием необходимости в параметризации неизвестной плотности.

Целью настоящей работы является синтез оценок одномерных функций надежности, интенсивности и ее первых двух производных, многомерных функций надежности, интенсивности и ее градиента в условиях непараметрической неопределенности; нахождение предельных распределений предложенных оценок; построение интервальных оценок для неизвестной А(£); нахождение главных частей среднеквадратических отклонений (СКО) предложенных оценок; проверка работоспособности алгоритмов оценивания с помощью статистического моделирования.

Методика исследования. В данной работе для решения поставленных задач используются методы математического анализа, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики, оптимизационные процедуры и процедуры статистического моделирования.

Научная новизна.

1. Введены классы одно- и многомерных финитных ядер, обладающих свойствами функции надежности. Для гладких одно- и многомерных эмпирических функций надежности с финитными ядрами определены порядки сходимости к нулю смещений. Найдены главные части асимптотических СКО и показана асимптотическая нормальность этих оценок.

2. Построены ядерные непараметрические оценки градиента функции распределения случайного вектора с неотрицательными компонентами и градиента ее плотности. Доказана асимптотическая несмещенность, найдены предельные дисперсии и порядки сходимости смещений предложенных оценок. Также показывается, как выбором ядер и подбором параметров размытости можно улучшить их скорости сходимости смещений и СКО.

3. Синтезированы непараметрические оценки одномерной и многомер-, ной функции интенсивности отказов, ее первых двух производных в одномерном случае и ее градиента в многомерном случае. Доказана асимптотическая нормальность предложенных оценок и найдены параметры этих предельных распределений.

4. В условиях непараметрической неопределенности для функции интенсивности построены интервальные оценки заданной надежности.

5. Построены кусочно-гладкие аппроксимации непараметрических оценок одно- и многомерных функций интенсивности, первых двух производных интенсивности в одномерном случае и ее градиента в многомерном случае, для которых найдены главные части асимптотических СКО.

Практическая ценность.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы: при определении и прогнозировании надежности технических, программных систем и комплексов в условиях непараметрической априорной неопределенности; при решении и моделировании задач, связанных с надежностью экспериментальных образцов, когда применение параметрических процедур не представляется возможным или малоэффективно. Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях, симпозиумах и семинарах:

Научных семинарах факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ (Томск, 1998-2002 гг.)

Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997)

Юбилейной научной конференции Сибирского физико-технического института им. академика В.Д.Кузнецова при Томском государственном университета (Томск, 1998)

Юбилейной межрегиональной научной конференции "Исследования по анализу и алгебре", посвященной 50-летию механико-математического факультета ТГУ (Томск, 1998)

Третьем Корейско-Российском международном научно-техническом симпозиуме "КОРУС-99" (Новосибирск, 1999)

III Межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука: проблемы и перспективы" (Томск, 1999)

Научно-практической конференции молодежи, секция "Прикладная математика и кибернетика", подсекция "Теоретическая кибернетика" (Томск, 1999)

Межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса" (Анжеро-Судженск, 2000)

Международной конференции по проблемам управления (Москва,

3.4 Выводы

На основании результатов проведенного статистического моделирования можно сделать следующие выводы.

1. Усредненные по пяти реализациям значения эмпирической средне-квадратической погрешности оценок модели Эрланга и графики поведения этих оценок показывают, что данная модель малопригодна для исследования актуарных характеристик, связанных с продолжительностью жизни людей в обычных условиях.

2. Модель Гомпертца при оценивании кривой смертей и ее производной также малопригодна (когда жизнь людей проходит в обычных условиях и не зависит от аномальных факторов), а при оценивании функций выживания, интенсивности и ее производной проигрывает до 54% качеству непараметрических оценок в смысле эмпирического критерия и2{-) (см. (3.32)).

3. Модель Мэйкхама при малых объемах выборки (п = 10,20) при оценивании актуарных характеристик выигрывает в качестве у непараметрических оценок (это объясняется тем, что выборки генерировались именно из распределения Мэйкхама), но непараметрические оценки кривой смертей и интенсивности смертности при объемах выборки п > 50, функции выживания и производной кривой смертей при п > 100, производной интенсивности при гг = 200 обладают преимуществом перед соответствующими параметрическими оценками Мэйкхама, что можно объяснить конечностью выборки и возможными погрешностями датчика случайных чисел, генерирующего выборку из распределения Мэйкхама.

4. Анализ усредненных значений эмпирических среднеквадратических погрешностей как непараметрических оценок, так и параметрических оценок модели Мейкхама подтверждает теоретические результаты о состоятельности этих оценок (с ростом объема выборки качество оценивания в смысле эмпирического критерия и2(-) стабильно улучшается).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение приведем общую характеристику основных результатов диссертации с обсуждением их научной новизны.

В диссертационной работе синтезированы непараметрические оценки вероятностных характеристик надежности невосстанавливаемых элементов и систем элементов и исследованы их асимптотические свойства.

1. Одномерная и многомерная функции надежности оцениваются гладкими эмпирическими одно- и многомерными функциями надежности, обладающими рядом преимуществ перед эмпирическими функциями надежности: эти оценки непрерывны и дифференцируемы в точках выборки и позволяют оценивать функцию надежности в области, где вероятности попадания выборочных значений близки к нулю. Введены классы одно- и многомерных финитных ядер, обладающих свойствами функций надежности, и для гладких одномерных и многомерных эмпирических функций надежности с финитными ядрами найдены порядки сходимости к нулю смещений, показана (на основании центральной предельной теоремы в схеме серий) асимптотическая нормальность оценок, определены стандартными методами их среднеквадратические отклонения.

2. Оценки функций одно- и многомерной интенсивности, ее первых двух производных в одномерном случае и ее градиента в многомерном случае построены по методу подстановки, а в качестве оценок функций-аргументов (функций надежности, плотности распределения, первых двух производных плотности в одномерном случае, градиентов плотности и функции распределения в многомерном случае) используются оценки ядерного типа, что обусловлено следующими обстоятельствами: использование оценок подстановок позволяет дать описание статистик в виде функционалов от набора простых статистик-аргументов, которые оцениваются по имеющейся выборке, с последующей их подстановкой в данные функционалы; при оценивании функций-аргументов использование оценок ядерного типа обеспечивает (путем выбора ядра и параметра размытости) качество оценивания, близкое к параметрическому; ядерные оценки удобны и просты в практическом применении и избавляют исследователя решать достаточно трудную, особенно в многомерном случае, проблему параметризации неизвестных распределений.

3. Неотрицательность моментов отказов невосстанавливаемых элементов усложняет исследование асимптотических свойств ядерных оценок плотности, градиентов плотности и функции распределения и требует наложения дополнительных условий на "хвосты" ядер. Доказана асимптотическая несмещенность, найдены предельные дисперсии и порядки сходимости смещений ядерных оценок этих функций. Также показано, как выбором ядер и подбором параметров размытости можно улучшить скорости сходимости смещений и среднеквадратических отклонений этих оценок.

4. Оценки подстановок функций одно- и многомерной интенсивности, ее первых двух производных в одномерном случае и ее градиента в многомерном случае представляют собой случайные дроби, что усложняет нахождение асимптотических распределений этих оценок. На основании теоремы П.З (см. приложение 1 диссертации) и центральной предельной теоремы в схеме серий, доказана асимптотическая нормальность предложенных непараметрических оценок подстановок и найдены параметры предельных распределений.

5. Дисперсия предельного распределения оценки функции интенсивности зависит от самой неизвестной функции интенсивности. В работе показано, что квадратный корень из оценки, имеет асимптотическое стандартное нормальное распределение. Это позволило построить для функции интенсивности интервальные оценки заданной надежности в

132 условиях неопределенности.

6. В связи с возможной неограниченностью оценок одно- и многомерной функции интенсивности, ее первых двух производных в одномерном случае и ее градиента в многомерном случае возникают трудности, связанные с нахождением мажорантных последовательностей, необходимых для использования классических подходов определения среднеквадрати-ческих отклонений оценок. Эта проблема решена с помощью построения кусочно-гладких аппроксимаций этих оценок, для которых найдены главные части асимптотических среднеквадратических отклонений.

7. Результаты статистического моделирования показали рабоспособ-ность предложенных непараметрических оценок вероятностных характеристик надежности невосстанавливаемых элементов. Использование непараметрических четырехмерных оценок характеристик надежности позволило установить гарантийный срок службы гибкого урологического инструментария серии "Захват" сверхэластичного с памятью формы и выявить при малом объеме экспериментов слабые места технологического цикла их промышленного производства (см. приложение 3, акт внедрения результатов диссертаций в КТЦ ТНЦ СО РАН).

1. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О-В. Классификация многомерных наблюдений. — М.: Статистика. 1974. — 240 с.

2. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности. — М.: Радио и связь. 1983. — 376 с.

3. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. — 328 с.

4. Боровков A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. — М.: Наука. 1984. — 472 с.

5. Боровков A.A. Математическая статистика. — Новосибирск: Наука. Изд-во Института математики. 1997. 772 с.

6. Буймов А.Г. Случайные события и случайные величины // Методические указания для студентов специальности 2101. — Томск: ТИА-СУР. 1990. - 26 с.

7. Вопросы математической теории надежности. — М.: Радио и связь. 1983. 376 с.

8. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука. 1987. — 336 с.

9. Деврой Л., Дьёрфи 3. Непараметрическое оценивание плотности. Li-подход. М.: Мир. 1988. - 408 с.

10. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П., Шу-ленин В.П. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. — Томск: Изд-во Том. ун-та. 1974. — 94 с.

11. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об одном классе непараметрических оценок нелинейных функционалов плотности// Теория вероятностей и ее применения. — 1974. — Т. 19, вып. 2. — С. 204-209.

12. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко Ф.П. Об оценивании функционалов от плотности вероятностей и ее производных// Теория вероятностей и ее применения. — 1973. — Т. 18, вып. 3. — С. 662-668.

13. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание сигналов. — М.: Наука. Физматлит. 1997. — 336 с.

14. Епанечников В. А. Непараметрическая оценка многомерной плотности// Теория вероятностей и ее применения. — 1969. — Т. 14, JY® 1. С. 156-162.

15. Живоглядов В.П., Медведев A.B. Непараметрические алгоритмы адаптации. — Фрунзе: И л им. 1974. — 134 с.

16. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности// Автоматика и телемеханика. — 1997. — Кп- 5. — С. 202-214.

17. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука. 1972. — 496 с.

18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука. 1968. — 720 с.

19. Кошкин Г.М. Об одном подходе к исследованию функционалов от условных распределений при статистической неопределенности// Автоматика и телемеханика. — 1978. — ЗГ8 8. — С. 53-65.

20. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности// Респ. научно-техническая школа-семинар "Анализи синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ". Тезисы докл. 4.2. Одесса. 1990. - С. 77-83.

21. Кошкин P.M., Китаева A.B. Устойчивое непараметрическое оценивание функции интенсивности/,/ Информатика и процессы управления. Межвузовский сб. научных статей.— Красноярск: Изд-во КГТУ. 1996. С. 85-93.

22. Кошкин Г.М. Моменты отклонений оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций// Сибирский математический журнал. 1999. - Т. 40, ДО 3. - С. 605-618.

23. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир. 1975. — 648 с.

24. Лапко A.B., Медведев A.B., Николаев Г.А. и др. Адаптивные модели технологических объектов// Адаптивные модели и их приложения. — Новосибирск: Наука. 1978. — С. 143-158.

25. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: Статистика. 1975. — 423 с.

26. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: Статистика. 1976. — 324 с.

27. Надарая Э.А. Некоторые новые оценки функции распределения// Теория вероятностей и ее применения. — 1964. — Т. IX, вып. 3. — С. 550-554.

28. Надарая Э.А. Об интегральной среднеквадратичной ошибке некоторых непараметрических оценок плотности вероятностей// Теория вероятностей и ее применения. — 1974. — Т. 19, № 1. — С. 131-140.

29. Пенская М.Я. Статистические методы оценивания и проверки гипотез// Межвузовский сб. науч. трудов. — Пермь: Пермский ун-т. 1990. С. 44-55.

30. Полляк Ю.Г. О погрешностях прогноза надежности, обусловленных статистической зависимостью между отказами элементов. — Электросвязь. — 1963. — JV4.

31. Рао С. Линейные статистические методы и их применения. — М.: Наука. 1968. 548 с.

32. Сергеев В.Л. Об использовании оценок локальной аппроксимации плотности вероятности// Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 7. -С. 56-61.

33. Смолицкий Х.Л., Чукреев П.А. К вопросу об оптимальном резервировании аппаратуры// Изв. АН СССР, Сер. "Тех. кибернетика". — 1965. №4.

34. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. — Томск: Изд-во Том. ун-та. 1976. 292 с.

35. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука. 1979. - 368 с.

36. Хартман К., Лецкий Э.К., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. — М.: Мир. 1977. — 552 с.

37. Шапиро Е.И. Непараметрические оценки плотности вероятности в задачах обработки результатов наблюдений// Зарубежная радиоэлектроника. 1976. - № 2. - С. 3-36.

38. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Itasca, Illinois: The Society of Actuaries. 1986. 624 p.

39. Deheuvels P. Estimation non paramétrique de la densite par histogrammes generalises/./ Revue de Statistique Appliguee. — 19T7. — V. 25. P. 5-42.

40. Deheuvels P., Hominal P. Estimation automatique de la densite// Revue de Statistique Appliguee. 1980. - V. 28. - P. 25-55.

41. Duin R.P.W. On the choice of smoothing parameters for Parzen estimators of propability density functions// IEEE Transactions on Computers. 1976. - P. 1175-1179.

42. Gasser T., Müller H.G. Kernel estimation of regression functions/./ Lect. Notes Math. 1979. - V. 757. - P. 23-68.

43. Habbema J.D.F., Hermans J., Vandenbroek K. A stepwise disriminant analysis program using density estimation in COMPSTAT 1974. — Wien. Physica Verlag. 1974. P. 101-110.

44. Murthy V.K. Estimation of jumps, reliability and hazard rate// Ann. Statist. 1963. - V.36, № 3. - P. 1032-1040.

45. Müller H.G., Gasser T. Optimal convergence properties of kernel estimates of derivatives of a density function// Lect. Notes Math. — 1979. V. 757. - P. 144-154.

46. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode// Ann. Math. Statist. 1962. - V. 33, № 3. - P. 1065-1076.

47. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function// Ann. Math. Statist. 1956. - V. 27, № 3. - P.832-835.

48. Rosenblatt M. Curve estimates// Ann. Math. Statist. 1971. — V. 42. - P.1815-1842.

49. Rudemo M. Empirical choice of histogram and kernel density estimators// Scandinavian Journal of Statistics. — 1982. —- V. 9. — P. 65-78.

50. Scott D.W., Factor L.E. Monte-Carlo study of three data-based nonparametric probability density estimators// Journal of the American Statistical Association. 1981. - V. 76. - P. 9-15.

51. Scott D.W., Tapia R.A., Thompson J.R. Kernel density estimation revisited// Journal of Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1977. - V. 1. - P. 339-372.

52. Solovyev A.D. Theory of aging elements// Proc. of the 6 Berkeley Symp. on Math. Stat, and Probability. — 1965. V.3.

53. Tapia R.A., Thompson J.R. Nonparametric probability density estimation. — Baltimore, Mariland: The Johns Hopkins University Press. 1978.

54. Woodroofe M. On choosing a delta-sequence// Ann. of Math. Stat. — 1970. -V. 41. P. 1665-1671.

55. Вааль В.А., Китаева A.B., Кошкин Г.М. Доверительное непараметрическое оценивание функции интенсивности// Межд. конф. "Все-сибирские чтения по математике и механике". Тезисы докл. — Томск: Изд-во ТГУ. 1997. - Т.1. - С.120.

56. Вааль В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функции интенсивности отказов и ее производной// Изв. вузов. Физика. — 1999. N 3. - С.141-146.

57. Вааль В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание производных функции интенсивности// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т.8, вып.1. — С. 121-122.

58. Вааль В. А., Кошкин Г.М. О среднеквадратическом отклонении непараметрических оценок функции интенсивности// Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т.8, вып.2. — С. 550-551.

59. Koshkin G.M., Vaal V.A. On Estimation of Hazard Rate Function and its Derivatives//' The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (June 22-25, 1999, Novosibirsk). Abstracts.

60. Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University. — 1999. — Vol.2.- P.544.

61. РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

62. Были использованы следующие результаты.

63. Аналитические формулы непараметрических оценок вероятностных характеристик надежности систем элементов функций надежности, интенсивности отказов. ;

64. Программы на языке пакета прикладных программ МаЛсаё, позволяющие нахождение численных значений характеристик ; ! надежности экспериментальных образцов. |

65. Указанные выше результаты позволили установить гарантийный срок службы четырех- и шестибраншевых корзинок урологических захватов, и выявить при малом объеме экспериментов слабые места технологического цикла промышленного производства.

66. Зам. директора КТЦ ТНЦ СО РАН1. Воронин В.П./1. УТВЕРЖДАЛО"

67. Прорект^ц^щ^чебной работе ТГУ1. Рерущкин А. С. < 2002 г.1. АКТо внедрении результатов диссертационной работы в учебный процесс

68. Указанные результаты включены в курс "Страховые и актуарные расчеты", 4 курс ФПМК.1. Декан ФПМК ТГУ, д.т.н.,-,профессор1. А. М.Горцев