автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы статистического анализа случайных показателей, имеющих распределение, отличное от нормального



Радионова Марина Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ, ИМЕЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ОТЛИЧНОЕ ОТ НОРМАЛЬНОГО

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

- 2 СЕ И 2010

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2010

004607655

Работа выполнена на кафедре высшей математики Пермского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Защита состоится " 21 " сентября 2010 г. в 14-00 на заседании Диссертационного Совета Д 212.188.08 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 4236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского' государственного технического университета.

Автореферат разослан июля 2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета-

Сапожников Павел Николаевич

Абдуллаев Абдула Рамазанович Пермский государственный технический университет;

доктор физико-математических наук, профессор Шатров Анатолий Викторович Вятский государственный университет

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Непременным атрибутом современных технологий математического моделирования физико-механических процессов являются понятия и методы теории вероятностей и математической статистики. Разработка новых моделей указанных процессов, их обоснование, компьютерная реализация, исследование, оценка адекватности, не возможны без учета вероятностного характера исходных экспериментальных данных, параметров моделей. Кроме того, при применении современных моделей физико-механических процессов, прежде всего, синтеза материалов, в качестве результатов компьютерного моделирования могут быть получены структуры со случайным распределением параметров, которые требуют статистической обработки.

Наиболее важную роль в математическом моделировании многих явлений и процессов играет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Этот закон применяется для анализа точности и стабильности технологических процессов, при решении задач надежности, в построении моделей расчетов предельных уровней тех или иных характеристик, используемых при проектировании систем обеспечения безопасности функционирования экономических объектов, технических устройств. На предположении нормальности построены классические модели регрессионного, дисперсионного и факторного анализов, а также метрологические модели.

Проблема проверки нормальности распределения данных модели является одной из фундаментальных в теоретических и эмпирических исследованиях. Критериям согласия (соответствия предполагаемому-распределению) литературе уделено значительное внимание. Широко известны критерии согласия, основанные на близости эмпирической и теоретической функций распределения. Среди них отметим критерии Колмогорова-Смирнова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга и другие. Другая группа критериев проверки нормальности опирается на характеризацию распределения свойствами определенных статистик выборки. Теоретические основы таких критериев изложены в работах Б.В.Гнеденко, Д.Пойа, С.Н.Бернштейна, В.П.Скитовича и Ж.Дармуа, А.М.Кагана, Ю.В.Линника, С.Р.Рао, Я.И.Галамбоша, И.В.Островского, Ю.В.Прохорова и других. Следующая группа критериев - это тесты, основанные на моментах третьего и четвертого порядков нормального распределения. Наиболее известный представитель этой группы - критерий Жака-Бера. Еще одна-группа критериев проверки нормальности - это корреляционно-регрессионные критерии. К ним относятся критерии Шапиро-Вилка, Эппса-Палли, Шапиро и Француа.

Между тем, несмотря на разнообразие критериев, нет методологии, которая для любого случая может дать ответ на вопрос, каким критерием^

целесообразней пользоваться при проверке нормальности совокупности.

Отечественный стандарт ГОСТ Р ИСО 5479-2002 "Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения", введенный в действие в 2002 г., представляет собой аутентичный текст международного стандарта ISO 5479-97. В нем рассматриваются графический метод проверки на нормальность с использованием вероятностной бумаги, критерии проверки на симметричность совокупности и на значение эксцесса, критерии Шапиро-Уилка и Эппса-Палли. Однако введенный стандарт не позволяет его пользователям сориентироваться в том, какой из критериев является предпочтительным, оказывается более мощным, против каких альтернатив и при каких объемах выборок конкретный критерий имеет преимущество.

Кроме того, в прикладных исследованиях нормальный закон распределения далеко не всегда является наилучшей моделью для описания реально наблюдаемых случайных величин. Особый интерес представляют модели, в которых распределение отличается от нормального. Нарушение предположения о нормальности таких величин по-разному отражается на распределениях статистик, используемых при проверке гипотез и построении доверительных интервалов параметров распределения модели. Поэтому нахождение интервальных оценок различных параметров моделей при нарушении предположения о нормальности исходных данных является фундаментальной задачей.

Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что в настоящее время при разработке и применении прикладных вероятностно-статистических моделей вопросы определения выборочного закона распределения и построения доверительных интервалов параметров модели остаются важнейшими и актуальными. Так, при анализе свойств моделей материалов важнейшей задачей является определение вида статистического распределения размеров структурных элементов композиционных материалов и интервальных оценок параметров микроструктур для установления соответствия между реальными и синтезированными структурами.

Целью диссертационного исследования является разработка новых математических методов проверки статистических гипотез о нормальности исходной выборки при некоторых альтернативах, построение точных и приближенных доверительных интервалов для параметров и числовых характеристик моделей, когда истинное распределение отличается от нормального, а также использование этих методов при анализе математических моделей физико-механических процессов и явлений.

Для достижения поставленной в работе цели были сформулированы следующие задачи:

1) построение критерия сдвиго-масштабного инварианта для проверки

нормальности исходной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение, и сравнение по мощности этого критерия с критериями Жака-Бера и Колмогорова-Смирнова при указанных выше альтернативах, а также нахождение распределения инвариантов по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение;

2) разработка метода построения доверительных интервалов для-математического ожидания и стандартного отклонения распределений, основанного на асимптотическом разложении плотностей и функций распределения нормализованных сумм, в случае распределения, отличного от нормального;

3) построение оптимальных доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений, максимизирующих доверительную вероятность, с помощью алгебраического метода нахождения центральных функций, предложенного П.Н.Сапожниковым1;

4) применение разработанных методов идентификации распределений для анализа моделей структурно-неоднородных сред.

Научная новизна работы. Изложенные в диссертации результаты являются новыми, имеют важное теоретическое и практическое значение. В-работе разработаны новые методы идентификации распределений параметров вероятностно-статистических моделей: метод проверки соответствия распределения исходных данных модели нормальному распределению, основывающийся на критерии сдвиго-масштабного инварианта, методы построения интервальных оценок параметров и числовых характеристик распределения показателей модели, отличного от нормального.

Наиболее существенные положения, выносимые на защиту. Цель работы и решаемые в рамках поставленной цели задачи позволяют выделить следующие основные результаты:

1) критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки нормальности исходной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение;

2) выражения функций и плотностей распределений сдвиго-масштабного инварианта по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение;

3) результаты сравнения мощности критерия сдвиго-масштабного инварианта с критериями Жака-Бера и Колмогорова-Смирнова при указанных выше альтернативах;

4) доверительные интервалы для математического ожидания и стандартного отклонения, построенные на основе асимптотического

1 Сапожников П.Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч.тр. / Перм.гос.ун-т.- Пермь, 1993, С. 200-216.

разложения функций и плотностей нормализованных сумм, в том случае, когда данные не имеют нормального распределения;

5) выражение для функции и плотности аналога распределения хи-квадрат, построенного на основе нормализованных величин;

6) доверительные интервалы заданного размера для параметров положения и масштаба различных распределений, максимизирующие доверительную вероятность;

7) результаты численных расчетов проверки принадлежности выборки размеров зерен нормальному закону для синтезированных микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой;

8) результаты численных расчетов интервальных оценок средних размеров' зерен и стандартных отклонений размеров зерен для указанных микроструктур.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных статистических моделей физико-механических процессов, возникающих в некоторых отраслях практической деятельности, в частности к исследованию моделей структурно-неоднородных сред. Разработанные в диссертации методы имеют фундаментальный характер и не ограничиваются применением только к моделям структурно-неоднородных сред.

Материалы диссертации вошли в курсы лекций и лабораторных практикумов для бакалавров и магистров механико-математического факультета Пермского государственного университета направления "Механика.' Прикладная математика".

Методика исследования. Достоверность результатов. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, а также методы математического анализа и численные методы. В основе всех сформулированных теоретических положений - строгие математические доказательства. Кроме того, достоверность результатов подтверждена путем сравнения известных теоретических результатов с результатами, полученными в работе посредством метода статистического моделирования.

Апробация работы. Теоретические положения и прикладные результаты были изложены и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:' научный семинар кафедры теории вероятностей и математической статистики ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. Я.П.Лумельский (Пермь, 1995), XX International Seminar on Stability Problem of Stochastic Models (Poland, 1999), VI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Самара, 1999), Международная научно-методическая конференция "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке

качества продукции" (Москва, 2001), Международная научно-практическая конференция "Здоровье и образование. Медико-социальные и экономические, проблемы" (Париж, 2004), научный семинар Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре информационных систем и математических методов в экономике ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. В.П.Максимов (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., доцент И.Е.Полосков (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПФ ГУ-ВШЭ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.П.Иванов (Пермь, 2007, 2009), научный семинар кафедры механики композиционных материалов и конструкций ПермГТУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ю.В.Соколкин (Пермь,

2009), научный семинар кафедры математического моделирования систем и процессов ПермГТУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. П.В.Трусов (Пермь,

2010), научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН,, руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.А.Роговой (Пермь, 2010).

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации представлены в 11 публикациях; основные публикации приведены в списке [1-7], три статьи ([5],[6],[7]) опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация объемом в 145 страниц, включает 33 таблицы, 14 рисунков, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (112 источников) и 5 приложений.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое описание, основных результатов, представленных в диссертации.

Первая глава посвящена задаче идентификации распределения параметров математических моделей. Рассмотрены критерии проверки соответствия исходных данных модели нормальному закону распределения.

Результаты исследований, описанных в этой главе, получены в рамках следующей модели наблюдений. Имеется независимая повторная выборка Хп = (Х\, Хг,..., Хп) объема п (п кратно 3), каждый элемент которой имеет то же самое распределение, что и случайная величина X. Рассмотрены распределения Р(х) случайной величины X, которые принадлежат одному из сдвиго-масштабных семейств: нормальному, равномерному, показательному или гамма-распределению с известным параметром формы а.

По выборке Х„ проверяется гипотеза Щ : Р(х) = против,

конкурирующей гипотезы Н\ : Г(х) = ^х(х), где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения, а - параметр сдвига, а - параметр масштаба, Р\(х) - функция равномерного, показательного или гамма - распределения.

В разделе 1.1 дается обзор имеющихся статистических критериев проверки гипотезы Но о нормальности исходных данных модели. Отмечается, что, несмотря на разнообразие критериев согласия, нет ясной и четкой методологии выбора критерия для проверки нормальности совокупности в той или иной ситуации.

В разделе 1.2 предлагается новый метод проверки нормальности исходных, данных моделей, названный критерием сдвиго-масштабного инварианта.

Основная идея разработанного метода состоит в следующем:

1) из элементов независимой повторной выборки Х„ образуются величины, называемые инвариантами выборки:

гг _ 1*2 ~Xi\ \Х5 - Xj\ тт \Xk-.i - Хк-2\ ,_п

Распределение каждого из инвариантов Ui не зависит от параметров сдвига-масштаба распределения случайной величины X, а зависит только от ее функции распределения F(x);

2) вместо сложной гипотезы Hq проверяется простая гипотеза Я® : F(u) = Gq(u), где Gq(u) - функция распределения инварианта Ui, построенного по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение;

3) вместо сложной конкурирующей гипотезы Hi проверяется простая гипотеза Яр : F(u) — Gi(u), где в качестве Gi(u) берется одна из функций распределения G^(u),Gf(u),Gf(u) инварианта t/i, построенного по выборке из генеральной совокупности, имеющей равномерное, показательное или гамма-распределение соответственно.

Для решения задачи проверки гипотезы Hq против Яр используется критерий отношения правдоподобия, являющийся по теореме Неймана-Пирсона2 более мощным. Для практического применения предложенного критерия получены функции распределения Go (u), Gf {и), Gf (и), Gi(u) инварианта U\, построенного по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение, соответственно. Доказаны соответствующие теоремы. Так, в теореме 1.2 найдено распределение инваринта U\ по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение:

ТЕОРЕМА 1.2. Если Х\, Хъ, х$ - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами положения и масштаба, то инвариант U\ имеет функцию распределения

G0(u) = -

7Г

/2и-1\ (2и + 1

arctsl^rj+arctgl^r

и > 0. (2)

Проведено сравнение по мощности предложенного критерия сдвиго-масштабного инварианта с критериями Жака-Вера и Колмогорова-Смирнова

2Лиман Э. Проверка статистических гипотез / М.¡Наука, 1964, 408 с.

при конкретных альтернативах с помощью метода статистического моделирования. На основании результатов моделирования распределений статистик показано, что предложенный критерий сдвиго-масштабного инварианта при небольших объемах исходной выборки является более мощным при проверке нулевой гипотезы о нормальном законе распределения данных, против альтернатив, соответствующих равномерному закону или закону гамма-распределения.

Таким образом, предложенный метод идентификации параметров моделей, основанный на сдвиго-масштабных инвариантах, может быть использован для проверки нормальности исходной совокупности в различных областях, прикладных исследований при небольших объемах выборки, в том числе и для определения вида распределения характеристик структурных элементов в моделях структурно-неоднородных сред.

Во второй главе обсуждается проблема построения интервальных оценок числовых характеристик параметров моделей в том случае, когда исходные данные не имеют нормального распределения.

Результаты исследований, представленные в этой главе, получены в рамках следующей модели наблюдений. Рассматривается независимая повторная выборка Х„ объема п с параметрами МХ{ = «о, = а2, г = 1,п из генеральной совокупности X.

Исходная выборка Хп разбивается на к групп по т элементов, которые заменяются центрированными и нормированными величинами. %т2, • • •, ¿тк, Причем

= ~ "от 7 = 1;2[,,.д = п/теЛг, (3)

сгуш

Величины Zm\, Zm2, ■ ■ ■, Zmk назовем нормализованными случайными величинами, а процедуру перехода от выборки Х„ к выборке = Zm2, ..., Zmk) - нормализацией данных.

В силу центральной предельной теоремы (ЦПТ) распределение случайных величин Zmj при достаточно больших ш близко к нормальному распределению. В связи с этим часто полагают, что величины Zmj имеют распределение, близкое к нормальному, и при небольших значениях тп. В диссертационной работе показано, что использование ЦПТ при таких предположениях приводит. к весьма грубым и даже неправильным выводам.

В данной главе предложены новые методы построения доверительных интервалов для математического ожидания «о и стандартного отклонения а параметров моделей при использовании которых удается избежать указанных выше ошибок. Рассматриваются процедуры построения интервальных оценок таких параметров, основанные на асимптотическом разложении плотностей и функций распределения нормализованных величин (3).

Если случайная величина X имеет первые три начальных момента, то при выполнении условия Крамера lim sup I Мехр(шХ) |< 1 плотность-

|ы|-»+оо

распределения нормализованных случайных величин Zm¡ с точностью до членов порядка О ('тп~i j

fm(x I Uj, u2) = ф(х) а их функция распределения:

Fm{x I ui,u2) = Ф{х)-ф(х) где u\ — vi/бт/т, u2 = иг/24m, г>1,г>2

имеет следующее асимптотическое разложение" и2

1 + и\Щ(х) + -~-Н6{х) + щНц(х)

(4)

ихЯ2(г) + и2Н3(х) + -^Н5{х)

2) находят квантили kvi, kv2 распределения величины Vj? = ^

(5)

коэффициенты асимметрии"1 и эксцесса соответственно, ф(х) - плотность стандартного нормального распределения, Н{(х) - полиномы Чебышева-Эрмита степени г, т.е. Щ(х)ф(х) = (-1 Уф®(х).

Суть предложенного метода построения интервальных оценок числовых характеристик моделей заключается в следующем:

1) исходную выборку Хп разбивают на к групп по т элементов и заменяют нормализованными величинами Z^; по формуле (3);

г 72 ; = 1 "У'

которые определяются из уравнения Р{кь\ < Ук2 < ку2] = 7, где имеют асимптотические разложения (4) и (5), а 7 - доверительная вероятность. Статистику при известном ао (в частности при «о = 0) можно считать аналогом классической статистики хи-квадрат;

3) несмотря на то что элементы редуцированной выборки Ъ^ ненаблюдаемы из-за наличия неизвестного параметра а, границы доверительных интервалов для него выражаются через значения исходных величин Хп, так как

к 1 к /т \2

V,2 = Е = —5 Е Е*о-1)тд+4 - тао) .

]=1 ¿=1 \х=1 /

Тогда доверительный интервал для неизвестного а будет иметь вид:

\

£ (% Xy_i)m+j

j=l \г=1

шао

< а <

п/т

I A(j_i)m+i j=l \i=l

та о

т • kv

(6)

т ■ ку2

В главе для теоретического обоснования предложенного подхода получены допустимые множества значений коэффициентов (их, и2), при которых функции (4) и (5) являются функциями плотности и распределения соответственно, для суммы (3). В разделе 2.2 предложен метод нахождения состоятельных оценок неизвестных параметров 9 = (ао> ь2)Т исходных

величин Хг, основанный на квантильном методе. Доказана теорема 2.1 о состоятельной оценке 9 вектора 9 и показано, что вектор \/п(вп — 9) имеет асимптотически нормальное распределение. В разделе 2.3 доказана теорема

3Петров В.В. Суммы независимых случайных величин / М.: Наука, 1972, 324 с.

2.2, в которой найден закон распределения суммы квадратов к независимых

случайных величин, имеющих асимптотическое разложение (4).

ТЕОРЕМА 2.2. Если 2т\, - независимые одинаково

распределенные случайные величины с плотностью (4), то функция-

к

распределения случайной величины = Е аппроксимируется функцией

п к / г \k-j3k-j . .

«ь«2) = Е СЙ Е С'к (3«2У Е ("Ч'^Сат Ц | £ + ЗА - ] - /) ,

где Сат(ж|а)-функция гамма-распределения с параметром формы а.

В этом же разделе получено выражение для плотности распределения

величины Т^2 в том случае, когда исходная выборка имеет симметричную

плотность распределения.

В разделе 2.4 представлены примеры построения доверительных

интервалов для неизвестного параметра а на основе метода нормализации

данных. На модельных примерах найдены доверительные интервалы для

стандартного отклонения, построенные на основе указанных приближений.

Рассмотрено несколько конкретных распределений исходной совокупности:

равномерное, гамма-распределение, Лапласа и Вейбулла-Гнеденко.

Указаны квантили распределения различных уровней и коэффициенты

доверительных границ. Проведен сравнительный анализ построенных

интервалов с интервалами, найденными на основе предельного распределения

нормализованных сумм. Показано, что при использовании нормализованного

распределения хи-квадрат границы доверительных интервалов для

неизвестного а расширяются, т.е. если закон распределения исходной

совокупности неизвестен, то предположение о его нормальности необоснованно

увеличивает точность статистических выводов.

Предложенный в главе метод построения доверительных интервалов для стандартного отклонения обобщен на случай1 неизвестного «о. Рассмотрено распределение случайной величины

2

си = Д - гк)2 = ^ Д (д - Хп) , где = а0т).

Статистику С1__1 можно считать еще одним аналогом распределения хи-квадрат. Доверительный интервал для неизвестного параметра а в этом случае будет иметь следующий вид:

к / т _ \ 2 к / т _ \

Е Е -Хи-1)>п+> — хп ) Е ( Е - -^П )

?—1 \1=1 / 3=1 М=1 /

---< а < \ -

771 • КС2 \

т ■ кс\

где кс2 и кс\ - соответственно верхний и нижний квантили распределения величины С%_1-

В разделе 2.5 рассмотрено построение доверительного интервала для. математического ожидания »о. Для этого нормализованную выборку разбивают Ъь на две части объема к\ и /сг- По первой выборке находят

среднее значение Zkv а по второй выборке определяют статистику В разделе рассмотрен _также закон распределения случайной величины

Тк-1 = \]кх{к,2 — 1) , который является аналогом распределения

Стьюдента. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания ао будет иметь вид:

где - квантиль распределения величины Тк-1, который определяется из уравнения P-fl7fc-.il .< = 7.

В разделе 2.6 проведен сравнительный анализ различных методов построения доверительных интервалов для математического ожидания и стандартного отклонения распределения по надежности оценивания. Показано, что относительная частота попадания истинного значения параметра в построенный интервал ближе к заданной доверительной вероятности для интервалов, основанных на асимптотическом разложении функций и плотностей распределения нормализованных сумм.

Методы построения доверительных интервалов, предложенные в этой главе, могут быть применены к анализу различных моделей, параметры, которых имеют распределение, отличное от нормального, в частности, к анализу моделей структурно-неоднородных сред или в доказательной медицине. В разделе 2.6 в качестве примера приводятся результаты численных расчетов построения референтных границ норм лабораторных показателей.

Глава 3 посвящена построению доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений. Предложена характеризация распределений, допускающих оптимальные доверительные интервалы для рассматриваемых параметров.

Рассматривается следующая модель наблюдений: Хп - независимая повторная выборка из генеральной совокупности X, плотность распределения которой принадлежит сдвиго-масштабному семейству Р = {^/(тг)! а € Р1, Ь > О}. Для обозначения пары (а, Ъ) в работе, использован символ д. Ставится задача получения доверительных интервалов параметров положения и масштаба фиксированного размера, максимизирующих доверительную вероятность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Интервал (1р\(Хп, I), ^2(ХП, I)) называется оптимальным доверительным интервалом размера I ■ I, если существуют жвивариантная статистика ф(Хп) и непрерывная вещественная функция д(1) такие, что 51 = д(1) ■ Г1, д2 = д(1)-1, ^(Хп, 1) = ф{Хп)-дъ ф2(Хп, I) = ф(Х.п) ■ <72 и вероятность Рд{ф~1 • (Хп)<7 Е (51, #2)} максимальна при любом I > 0. Для параметра положения это будут интервалы фиксированной длины 2/, а для параметра масштаба - интервалы с фиксированным отношением

концов, равным 12.

Для построения оптимальных доверительных интервалов предложен следующий алгоритм: 1) найти достаточную статистику ТП(Х„) семейства F\ 2) найти плотность распределения достаточной статистики pn(t \ д), определить центральную функцию iß(Xn) оптимального доверительного интервала и плотность распределения p(w | g) минимальной эквивариантной компоненты W(x„) достаточной статистики; 3) решить уравнение р(wq | 51) = р{щ \ gi) и определить величину д(1); 4) рассчитать доверительный интервал для параметра положения или масштаба в смысле определения 1.

Для теоретического обоснования данного подхода доказаны теоремы и леммы о виде достаточных статистик и центральных функциях сдвиго-. масштабных семейств и плотностях распределения достаточных статистик.

В разделе 3.4 приводятся примеры построения оптимальных доверительных интервалов для таких законов распределения, как нормальное, гипернормальное, логнормальное, гамма-распределение и др. Отдельно рассмотрен случай, когда оба параметра положения и масштаба a, b неизвестны. Кроме того, показано, что существуют лишь четыре семейства сдвигов, допускающих полные достаточные статистики: это нормальное, правое и левое показательные и равномерное.

Также создано программное обеспечение, позволяющее моделировать данные и на основе модельных данных строить оптимальные доверительные интервалы параметров положения и масштаба различных распределений. Комплекс программ составляют отдельные модули, написанные на языке TURBO - PASCAL с применением средств пакета TURBO VISION.

Четвертая глава посвящена применению предложенных в работе методов идентификации данных к анализу моделей структурно-неоднородных сред.

Разработанные в диссертационной работе процедуры проверки гипотез и построения доверительных интервалов параметров применены к анализу синтезированных микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой. Структуры были получены посредством модификации исходных матричных структур4. Рассмотрены результаты компьютерного синтеза микроструктур зернистых композитов с числом структурных элементов (зерен) 30,60,90,120,150,240 и 600. Проведен статистический анализ распределения размера зерен структурных элементов композитов. Под размером зерна понимается диаметр круга, площадь которого равна площади зерна синтезированных микроструктур.

Если основные параметры микроструктуры, определяющие форму, размер, количество и взаимное расположение составляющих элементов, для реального и модельного композитов совпадают, то статистические

*Вилъдеман В.Э., Ильиных A.B. Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на эакритической стадии деформирования неоднородных сред / Физическая мезомех&ника. 2007. Вып.4. С. 23-29

характеристики, полученные в результате вычислительного эксперимента, могут быть использованы затем для описания свойств реального объекта из композитного материала как континуального объекта (тела).

Для идентификации распределения размера зерен структурных параметров проведен статистический анализ распределения результатов компьютерного синтеза микроструктуры композиционных материалов с зернистой структурой с помощью критерия сдвиго-масштабного инварианта. Поскольку этот критерий в ряде случаев является более мощным при небольших объемах выборки, то его применение приводит к снижению вычислительных затрат на численное решение краевых задач механики-структурно-неоднородных сред, связанному с уменьшением расчетной области. Выборочные данные, содержащие информацию о размерах структурных элементов и полученные из серии вычислительных экспериментов, проверены на соответствие нормальному закону распределения на уровне значимости 0,05. Результаты проверки показали, что далеко не всегда синтезированные микроструктуры имеют нормальное распределение.

Для нахождения интервальных оценок средних размеров зерен и стандартного отклонения размеров зерен структурных параметров в случае распределения, отличного от нормального, был применен метод, основанный на предельном распределении нормализованных сумм (таблица 1)

Таблица 1: 95%-ые доверительные интервалы для среднего размера и стандартного. отклонения размера зерен, построенные на основе предельного распределения

Кол-во Для среднего размера Для стандартного отклонения

зерен Нижняя граница | Верхняя граница Нижняя граница Верхняя граница

30 15,83 1 22,31 6,80 11,48

60 15,84 | 20,44 7,48 10,77

А также был применен метод, основанный на асимптотическом разложении плотностей и функций распределения нормализованных сумм (таблица 2).

Таблица 2: 95%-ые доверительные интервалы для среднего размера и стандартного отклонения размера зерен, построенные на основе асимптотического разложения

Кол-во Для среднего размера Для стандартного отклонения

зерен Нижняя граница Верхняя граница Нижняя граница Верхняя граница

30 15,03 23,12 5,76 12,54

60 14,87 22,98 7,16 10,97

Применение предложенного в диссертационной работе метода построения интервальных оценок числовых характеристик распределения к анализу моделей структурно-неоднородных сред позволило получить более надежные статистические выводы в сравнении с классическими методами получения доверительных интервалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для решения задач идентификации распределения случайных параметров математических моделей разработан и теоретически обоснован новый метод проверки нормальности исходных данных - критерий сдвиго-масштабных инвариантов. Для практического использования данного' метода в задачах математического моделирования найдены аналитические выражения функций и плотностей распределений сдвиго-масштабного инварианта по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение.

2. На основании результатов моделирования распределений статистик показано, что предложенный критерий сдвиго-масштабного инварианта при небольших объемах исходной выборки является более мощным при проверке нулевой гипотезы, соответствующей нормальному закону, против альтернатив, соответствующих равномерному закону или гамма-распределению, чем известные критерии Колмогорова-Смирнова и Жака-Бера.

3. Разработаны и теоретически обоснованы новые методы построения доверительных интервалов для математического ожидания, стандартного отклонения и параметров положения и масштаба математических моделей, основанные на асимптотическом разложении и центральных функциях.

4. Проведен сравнительный анализ различных методов построения доверительных интервалов для параметров распределения моделей по надежности оценивания. Показано, что доверительные интервалы, построенные на основе асимптотического разложения, являются наиболее точными по сравнению с классическими методами построения интервальных оценок.

5. Предложенные методы идентификации распределений параметров моделей, численно реализованы при помощи специализированных математических пакетов Mathematica, MathCad, Statistica и MS Office Excel. Также создано программное обеспечение, позволяющее моделировать данные и на основе смоделированных данных строить оптимальные доверительные интервалы параметров положения и масштаба различных распределений.

6. Впервые критерий сдвиго-масштабного инварианта применен для идентификации распределений структурных параметров моделей структурно-неоднородных сред, а также найдены доверительные интервалы средних размеров и стандартного отклонения размеров зерен микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой.

Основные публикации по теме диссертации

1. Радионова М.В., Сапожников П.Н. Доверительные множества для параметра положения и масштаба // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч. тр. / Перм.гос.ун-т. Пермь, 1997. -С.29-44.

2. Radionova М. V., Sapozhnikov Р. N. Confidence sets for location and scale parameters // Journal of Math. Sciences. - 2001. - Vol.103. - P.480-486.

3. Девяткова Г.И., Радионова M.B., Попов A.B. Система оценки оптимальных границ ряда биологических параметров при обследовании больного калькулезным холециститом // Пермский медицинский журнал. - 2004-Вып.4 - С. 86-89.

4. Радионова М.В., Сапожников П.Н. Аналог распределения хи-квадрат для нормализованных сумм с малым числом слагаемых // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч. тр. / Перм.гос.ун-т. Пермь, 2006. - С.135-148.

5. Радионова М.В. Критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки нормальности данных // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2009. - Вып.1(41).

- С. 144-146.

6. Радионова М.В. Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм / / Вестник Ижевского государственного технического университета.

- 2010. - Вып.1(45). - С. 139-141.

7. Ильиных А.В., Радионова М.В., Вильдеман В.Э. Компьютерный синтез и статистический анализ распределения структурных характеристик зернистых композиционных материалов / / Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. -Том 16. - N 2. - С.251-264.

Подписано в печать 28.06.2010. Формат 60 х 84/16. Бум. ВХИ. Печать ризограф. Усл.-печ.л. 1. Тираж 120 экз. Заказ 46/2010. Государственный университет - Высшая школа экономики. Пермский филиал 614070. г. Пермь, ул. Студенческая, 38

ВВЕДЕНИЕ

1 КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ ПРОВЕРКИ НОРМАЛЬНОСТИ ДАННЫХ

1.1 Основные критерии проверки нормальности наблюдаемых величин

1.1.1 Общая схема построения критериев согласия.

1.1.2 Критерии согласия, основанные на близости распределений.

1.1.3 Асимптотический подход к оцениванию необходимого объема выборки для проверки критериев согласия.

1.1.4 Критерии, основанные на порядковых статистиках.

1.1.5 Критерии согласия, основанные на характеризации распределений свойствами статистик.

1.2 Критерий согласия сдвиго-масштабного инварианта.

1.2.1 Нахождение распределения инвариантов по выборке из генеральной совокупности

1.2.2 Построение сдвиго-масштабного критерия для проверки нормальности исходной выборки при различных альтернативах.

1.2.3 Сравнение по мощности критерия сдвиго-масштабного инварианта с критериями Жака-Бера и Колмогорова-Смирнова при конкретных альтернативах

1.3 Выводы по первой главе

2 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК, ОСНОВАННЫЕ НА АСИМПТОТИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ

2.1 Асимптотическое разложение функций и плотностей распределения нормализованных выборок.

2.2 Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения

2.3 Распределение хи-квадрат, построенное на основе асимптотического разложения

2.4 Примеры построения доверительных интервалов на основе асимптотического разложения.

2.5 Распределение Стыодента, построенное на основе асимптотического разложения

2.6 Построение референтных границ лабораторных показателей

2.7 Сравнение различных методов простроения доверительных интервалов по надежности оценивания.

2.8 Выводы по второй главе

3 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НАИЛУЧШИХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ПОЛОЖЕНИЯ И МАСШТАБА, ОСНОВАННЫЕ НА ЦЕНТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ

3.1 Основы построения наилучших доверительных интервалов.

3.2 Центральные функции, минимизирующие длину доверительного интервала, и их плотность распределения.

3.3 Построение наилучших доверительных интервалов в случае, когда один параметр положения или масштаба неизвестен.

3.4 Примеры построения наилучших доверительных интервалов параметров положения и масштаба.

3.5 Построение наилучших доверительных интервалов в случае, когда оба параметра положения и масштаба неизвестны.

3.6 Численная реализация метода построения наилучших доверительных интервалов положения и масштаба.

3.6.1 Методы статистического моделирования.

3.6.2 Программная реализация построения доверительных интервалов

3.6.3 Краткое описание использованного набора программ.

3.7 Выводы по третьей главе.

4 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ СТРУКТУРНО -НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

4.1 Краевые задачи механики композиционных материалов.

4.2 Статистический анализ распределения структурных параметров зернистых композитов с использованием инвариантов.

4.3 Построение интервальных оценок структурных параметров зернистых композитов

4.4 Выводы по четвертой главе.

Актуальность темы исследования. В задачах исследования параметров производственных процессов, при оценке надежности функционирования технических устройств, в эконометрических и экономико-математических моделях, применяемых при решении задач управления и прогнозирования, используются понятия и результаты теории вероятностей и математической статистики. Наиболее важную роль в математическом моделировании многих явлений и процессов, включая технологические, играет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Этот закон применяется для анализа точности и стабильности технологических процессов, при решении задач надежности, в построении моделей расчетов предельных уровней тех или иных характеристик, используемых при проектировании систем обеспечения безопасности функционирования экономических структур, технических устройств и объектов. На предположении нормальности построены классические модели регрессионного, дисперсионного и факторного анализов, а также метрологические модели.

Проблема проверки нормальности распределения данных модели является одной из фундаментальных в теоретических и эмпирических исследованиях. Критериям согласия в литературе уделено значительное внимание. Широко известны критерии согласия, основанные на близости эмпирической и теоретической функции распределения. Среди них отметим критерии Колмогорова-Смирнова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга и другие. Другая группа критериев проверки нормальности опирается на характеризацию распределения свойствами определенных статистик выборки. Теоретические основы таких критериев изложены в работах Б.В.Гнеденко, Д.Пойа, С.Н.Бернштейна, В.П.Скитовича и Ж.Дармуа, А.М.Кагана, Ю.В.Линника, С.Р.Рао, Я.И.Галамбоша, И.В.Островского, Ю.В.Прохорова и других. Следующая группа критериев - это тесты, основанные на моментах третьего и четвертого порядков нормального распределения. Наиболее известный представитель этой группы - критерий Жака-Бера. Еще одна группа критериев проверки нормальности - это корреляционно-регрессионные критерии. К ним относятся критерии Шапиро-Вилка, Эппса-Палли, Шапиро и Француа.

Между тем, несмотря на разнообразие критериев, нет методологии, которая для любого случая может дать ответ на вопрос, каким критерием целесообразней пользоваться при проверке нормальности совокупности.

Отечественный стандарт ГОСТ Р PICO 5479-2002 "Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения введенный в действие в 2002 г., представляет собой аутентичный текст международного стандарта ISO 5479-97. В нем рассматриваются графический метод проверки на нормальность с использованием вероятностной бумаги, критерии проверки на симметричность совокупности и на значение эксцесса, критерии Шапиро-Уилка и Эппса-Палли. Однако введенный стандарт не позволяет его пользователям сориентироваться в том, какой из критериев является предпочтительным, оказывается более мощным, против каких альтернатив и при каких объемах выборок конкретный критерий имеет преимущество.

Кроме того, в прикладных исследованиях нормальный закон распределения далеко не всегда является наилучшей моделью для описания реально наблюдаемых случайных величин. Особый интерес представляют модели, в которых истинное распределение отличается от нормального. Нарушение предположения о нормальности таких величин по-разному отражается на распределениях статистик, используемых при проверке гипотез и построении доверительных интервалов параметров распределения модели. Поэтому нахождение интервальных оценок различных параметров моделей при нарушении предположения о нормальности исходных данных является фундаментальной задачей.

Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что в настоящее время при разработке и применении прикладных вероятностно-статистических моделей вопросы определения выборочного закона распределения и построения доверительных интервалов параметров модели остаются важнейшими и актуальными. Так, при анализе свойств моделей материалов важнейшей задачей является определение вида статистического распределения размеров структурных элементов композиционных материалов и интервальных оценок параметров микроструктур для установления соответствия между реальными и синтезированными структурами.

Решению вопросов, связанных с разработкой и исследованием методов проверки статистических гипотез нормальности повторной выборки и построения доверительных интервалов для параметров и числовых характеристик моделей, когда истинное распределение отличается от нормального, и посвящена настоящая работа.

Целью диссертационного исследования является разработка новых математических методов проверки статистических гипотез о нормальности исходной выборки при некоторых альтернативах, построение точных и приближенных доверительных интервалов параметров и некоторых числовых характеристик распределения, когда истинная модель отличается от нормальной, а также использование этих методов при анализе математических моделей реальных процессов.

Для достижения поставленной в работе цели былрг сформулированы следующие задачи:

1) построение критерия сдвиго-масштабного инварианта для проверки нормальности исходной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение, и сравнение по мощности этого критерия с критериями Жака-Бера и Колмогорова при указанных выше альтернативах, а также нахождение распределения инвариантов по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределепие;

2) разработка метода построения доверительных интервалов для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения распределений, основанного на асимптотическом разложении нормализованных сумм, в случае распределения исследуемого случайного показателя, отличного от нормального;

3) построение оптимальных доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений, максимизирующих доверительную вероятность, с помощью алгебраического метода нахождения центральных функций, предложенного П.Н.Сапожниковым1;

4) применение разработанных методов идентификации распределений для анализа моделей структурно-неоднородных сред.

Научная новизна работы. Изложенные в диссертации результаты являются новыми, имеют важное теоретическое и практическое значение. В работе разработаны новые методы идентификации распределений параметров вероятностно-статистических моделей: метод проверки соответствия распределения исходных данных модели нормальному распределению, основывающийся на критерии сдвиго-масштабного инварианта, методы построения интервальных оценок параметров и числовых характеристик распределения модели, отличного от нормального.

Наиболее существенные положения, выносимые на защиту. Цель работы и решаемые в рамках поставленной цели задачи позволяют выделить следующие основные результаты:

1) критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки иормальности исход

1 Сапожников П.Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч.тр. / Перм.гос.ун-т,- Пермь, 1993, С. 200-216. ной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение;

2) выражения функций и плотностей распределений сдвиго-масштабного инварианта по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение;

3) результаты сравнения мощности критерия сдвиго-масштабного инварианта с критериями Жака-Бера и Колмогорова при указанных выше альтернативах;

4) доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения исследуемого показателя, построенные на основе асимптотического разложения функций и плотностей нормализованных сумм элементов выборки, в том случае, когда данные не имеют нормального распределения;

5) выражение для функции и плотности аналога распределения хи-квадрат, построенного на основе нормализованных величин;

6) доверительные интервалы заданного размера для параметров положения и масштаба различных распределений, максимизирующие доверительную вероятность;

7) результаты численных расчетов проверки принадлежности выборки размеров зерен нормальному закону для синтезированных микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой;

8) результаты численных расчетов построения интервальных оценок средних размеров зерен и среднеквадратичных отклонений размеров зерен для синтезированных микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных статистических моделей реальных процессов, возникающих в некоторых отраслях практической деятельности, в частности к исследованию моделей структурно-неоднородных сред. Разработанные в диссертации методы имеют фундаментальный характер и не ограничиваются применением только к моделям структурно-неоднородных сред.

Материалы диссертации вошли в курсы лекций и лабораторных практикумов для бакалавров и магистров механико-математического факультета Пермского государственного университета направления "Механика. Прикладная математика".

Методика исследования. Достоверность результатов. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использьзованы методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, а также методы математического анализа и численные методы. В основе всех сформулированных теоретических положений - строгие математические доказательства. Кроме того, достоверность результатов подтверждена путем сравнениея известных теоретических результатов с результатами, полученными в работе посредством метода статистического моделирования.

Апробация работы. Теоретические положения и прикладные результаты были изложены и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: научный семинар кафедры теории вероятностей и математической статистики ПермГУ, руководитель: проф. Я.П.Лумельский (Пермь, 1995), XX International Seminar on Stability Problem of Stochastic Models (Poland, 1999), VI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Самара, 1999), Международная научно-методическая конференция "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции" (Москва, 2001), Международная научно-практическая конференция "Здоровье и образование. Медико-социальные и экономические проблемы" (Париж, 2004), научный семинар Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре информационных систем и математических методов в экономике ПермГУ, руководитель: проф. В.П.Максимов (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПермГУ, руководитель: проф. И.Е.Полосков (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПФ ГУ-ВШЭ, руководитель: проф. А.П.Иванов (Пермь, 2007, 2009), научный семинар кафедры механики композиционных материалов и конструкций ПермГТУ, руководитель: проф. Ю.В.Соколкин (Пермь, 2009), научный семинар кафедры математического моделирования систем и процессов ПермГТУ, руководитель: проф. П.В.Трусов (Пермь, 2010), научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель: проф. А.А.Роговой (Пермь, 2010).

Коротко о содержании диссертации.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое описание основных результатов, представленных в диссертации.

В первой главе приведен обзор имеющихся статистических критериев проверки нормальности исходных данных модели (раздел 1.1), предложен критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки гипотезы нормальности исходных данных (раздел 1.2), найдены распределения инвариантов по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма распределение. Методом статистического моделирования проведен анализ мощности критерия сдвиго-масштабного инварианта при различных альтернативах. Дан сравнительный анализ мощности этого критерия с критериями Колмогорова-Смирнова и Жака-Бера. Показано, что при небольших объемах исходной выборки предложенный критерий является в некоторых случаях более мощным критерием для проверки гипотезы нормальности.

Во второй главе обсуждается проблема статистических выводов в том случае, когда исходные данные не имеют нормального распределения. Предлагаются новые универсальные методы точечного и интервального оценивания математического ожидания и среднеквадратичного отклонения, основанные на асимптотическом разложении функций и плотностей нормализованных сумм.

Раздел 2.1 посвящен основным понятиям теории асимптотического разложения функций и плотностей распределения нормализованных сумм. Хотя сами эти суммы не наблюдаемы, но их приближенное распределение при определенных ограничениях определяется посредством асимптотических разложений в центральной предельной теореме, а квантильные оценки параметров, найденные по выборке нормализованных сумм, выражаются через исходные наблюдения и моменты высших порядков нормализованных наблюдений. В разделе 2.2 предложен метод нахождения состоятельных оценок неизвестных числовых характеристик (математического ожидания, среднеквадратичного отклонения, коэффициентов асимметрии и эксцесса) исходных величин , основанный на квантилыюм методе, с помощью асимптотических разложений достаточно высокой точности.

В разделах 2.3-2.4 получены приближения для распределения суммы квадратов нормализованных величии с небольшим числом слагаемых. На модельных примерах сравниваются доверительные интервалы для стандартного отклонения, построенные па основе указанных приближений, с интервалами, построенными с помощью классического распределения хн-квадрат в предположении нормальности сумм. Получен также модифицированный аналог распределения Стьюдента на основе выборки нормализованных сумм и для частного случая рассчитаны квантили такого аналога (раздел 2.5). Кроме того, рассмотрены доверительные интервалы для математического ожидания, построенные на основе асимптотического разложения функций и плотностей нормализованных сумм. Предложенные в работе методы построения интервальных оценок применены для получения референтных границ лабораторных показателей при диагностике определенных функций печени. Подвергнута обоснованной критике существующая методика, и на основе реальных данных рассчитаны более реалистичные референтные границы (раздел 2.6).

В разделе 2.7 методом статистического моделирования проведен сравнительный анализ различных методов построения доверительных интервалов для числовых характеристик распределения по надежности оценивания. Сравниваются интервалы для математичсского ожидания и среднеквадратичного отклонения смоделированных величин, построенные на основе классических методов, на основе асимптотического разложения и на основе истинного распределения исходных величин. Показано, что доверительные интервалы, построенные на основе асимптотического разложения, являются наиболее точными по сравнению с классическими методами построения интервальных оценок.

Глава 3 посвящена построению доверительных интервалов фиксированного размера для параметров положения и масштаба, максимизирующих доверительную вероятность, предложен универсальный метод построения таких интервалов для параметров положения и масштаба семейств сдвигов, основанный па центральных функциях (раздел 3.1-3.3). Приведены примеры построения доверительных интервалов для таких законов распределения, как нормальное, гипернормальное, логнормальное, гамма-распределение и др. Отдельно рассмотрен случай, когда оба параметра положения и масштаба а, а неизвестны. Кроме того показано, что существует лишь четыре семейства сдвигов, допускающих полные достаточные статистики: это нормальное, правое и левое показательное и равномерное (раздел 3.5). Также создано программное обеспечение [раздел 3.6), позволяющее моделировать данные и на основе модельных данных строить наилучшие доверительные интервалы параметров положения и масштаба различных распределений. Комплекс программ составляют отдельные модули, написанные на языке TURBO - PASCAL с применением средств пакета TURBO VISION.

Четвертая глава посвящена применению предложенных в работе методов к статистическому анализу моделей структурно-неоднородных сред. Критерий сдвиго-масштабного инварианта применен для идентификации распределений структурных параметров моделей структурно-неоднородных сред, а также найдены доверительные интервалы средних размеров и среднеквадратичного отклонения размеров зерен микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой.

В заключении приведены основные выводы, полученные в процессе исследования.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [25, 26, 27, 37, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74].

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Для решения задач идентификации распределений случайных параметров математических моделей разработан новый метод проверки нормальности исходных данных -критерий сдвиго-масштабных инвариантов.

2. Для практического использования данного метода в задачах математического моделирования найдены аналитические выражения функций и плотностей распределений сдвиго-масштабного инварианта по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение.

3. На основании результатов моделирования распределений статистик показано, что предложенный критерий сдвиго-масштабного инварианта при небольших объемах исходной выборки является более мощным при проверке нулевой гипотезы, соответствующей нормальному закону, против альтернатив, соответствующих равномерному закону или гамма-распределению, чем известные критерии Колмогорова-Смирнова и Жака-Бера.

4. Разработан метод построения доверительных интервалов для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения, основанный на асимптотическом разложении функций и плотностей распределения нормализованных сумм.

5. Для теоретического обоснования такого метода: применена процедура нормализации данных; найдены оценки параметров (математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса), построенные на основе нормализованных случайных величин, и исследовано их асимптотическое поведение; получен аналог распределения хи-квадрат при известном и неизвестном математическом ожидании исходной совокупности; определены квантили аналога распределения хи-квадрат, построенного на основе асимптотического разложения функций и плотностей распределения нормализованных величин и определены квантили аналога распределения Стыодента, построенного на основе асимптотического разложения.

6. Проведен сравнительный анализ различных методов построения доверительных интервалов для параметров распределения по надежности оценивания. Показано, что доверительные интервалы, построенные на основе асимптотического разложения, являются наилучшими, т.к. относительная частота попадания истинного значения параметра за пределы таких интервалов более низкая, что увеличивает точность статистических выводов.

7. Разработан метод характеризации распределений, допускающих оптимальные доверительные интервалы фиксированного размера для параметров положения и масштаба совокупности, максимизирующие доверительную вероятность.

8. Для теоретического обоснования построения таких доверительных интервалов:

- указан алгебраический метод нахождения центральных функций, являющихся основой построения таких доверительных интервалов,

- получено другое доказательство теоремы Клебанова-Рухина, описывающей классы распределений, для которых можно построить такие доверительные интервалы, основанное на центральных функциях.

9. Приведены примеры построения доверительных интервалов заданного размера максимизирующих доверительную вероятность для нормального, гипернормального, ло-гнормального, гамма-распределения и распределения Клебанова-Рухина.

10. Предложенные методы идентификации распределений параметров моделей численно реализованы при помощи специализированных математических пакетов Mathematica, MathCad, Statistica и MS Office Excel. А также создано программное обеспечение, позволяющее моделировать данные и на основе модельных данных строить наилучшие доверительные интервалы параметров положения и масштаба различных распределений.

11. Критерий сдвиго-масштабного инварианта применен для идентификации распределений структурных параметров моделей структурно-неоднородных сред, а также найдены доверительные интервалы средних размеров и среднеквадратичного отклонения размеров зерен микроструктур композиционных материалов с зернистой структурой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Азларов ТА., Володин H.A. Характеризационные задачи, связанные с показательным распределением / Т.А.Азларов, Н.А.Володин.- Ташкент: Фан, 1982. 98 с.

2. Барндорф-Нильсен О. Асимптотические методы в математической статистике / О. Барндорф-Нильсеп, Д. Кокс. М.: Мир, 1999. - 156 с.

3. Белапков A.B. Применение клеточных автоматов для моделирования микроструктуры материала при кристаллизации / Беланков А.Б., Столбов В.Ю. // Сибирский журнал индустриальной математики. Апрель-май, 2005. - Т. 8. - N 2(22). - С. 12-19.

4. Балахонов P.P. Иерархическое моделирование деформации и разрушения композита А1А1203 / Балахонов P.P., Романова В.А. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. - Т. 11. - N 4. - С. 549-563.

5. Бернштейн С.Н. Об одном свойстве, характеризующем закон Гаусса / С.Н. Берн-штейн // Тр. Ленингр. политех, института. 1941. - вып. 3. - С. 21-22.

6. Большев Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Болыпев, Н.В. Смирнов.- М.:Наука, 1983. 416 с.

7. Большев Л.Н. К вопросу о различении по малым выборкам нормального и равномерного типов распределения / Л.Н. Большев // Теория вероятностей и ее применение.- 1965. Вып. 4. - С. 764-765.

8. Бочаров П.П. Теория вероятностей. Математическая статистика / П.П. Бочаров, A.B. Печипкин. М.:Наука, 1998. - 325 с. ■

9. Вальд А. Последовательный анализ / А. Вальд. М.: Физматгиз, 1960. - 346 с.

10. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов / Г.А.Ванин. Киев: Нау-кова Думка, 1985. - 304 с.

11. Вахрушев A.B. Вероятностный анализ моделирования распределения структурных характеристик композиционных наночастиц, сформированных в газовой фазе / Вахрушев A.B., Федотов А.Ю. // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. -Т. 1. - N 3. - С. 34-45.

12. Ветшев П.С. Диагностический подход при обтурационной желтухе / П.С. Ветшев // Росс, журнал гастроэнтерологии, гепатологии, колопроктологии. 1999. - N 6. -С.18-24.

13. Вильдемап В.Э. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 288 с.

14. Вильдеман В.Э. Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на закритической стадии деформирования неоднородных сред / Вильдеман В.Э., Ильиных A.B. // Физическая мезомеханика. 2007. - Т. 10. - N 4. - С. 23-31.

15. Виноградов О.Н. Представительный объем в микромеханике композитых материалов с порошкообразным наполнителем / О.Н. Виноградов // Механика композитных материалов. 2001. - том 37, вып. 3. - С. 389-397.

16. Волков С.Д. Статистическая механика композитных материалов/ Волков С.Д., Став-ров В.П. Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 206 с.

17. Володин И.Н. О числе наблюдений, необходимых для раз- личения двух близких гипотез / И.Н. Володин // Теория вероятностей и ее применение. 1967. - Вып. 3. -С. 575-582.

18. Гаранина E.H. Качество лабораторного анализа / E.H. Гаранина. -М.:Лабинформ,1997. 192 с.

19. Гланц С. Медико-биологическая статистика / С. Гланц. М.:Практика, 1999. - 459 с.

20. Гнеденко Б.В. Об одной теореме Бернштейна / Б.В. Гнеденко // Изв. АН СССР. -1948. вып. 1. - С. 97-100.

21. ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения. М.: Изд-во стандартов, 2002. -30 с.

22. Григорян С.С. Об осреднении физических величин / С.С. Григорян // ДАН СССР.- 1980. Т. 254, вып. 4. - С. 1081-1085.

23. Гузь А.Н. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3-х т. Т. 1. Механика материалов / А.Н. Гузь, Л.П.Хорошун и др.] Киев: Наук, думка, 1982.- 368 с.

24. Девяткова Г.И. Система оценки оптимальных границ ряда биологических параметров при обследовании больного калькулезным холециститом / Г.И.Девяткова, М.В.Радионова, А.В.Попов // Пермский медицинский журнал. 2004. - С. 90-94.

25. Девяткова Г.И. Математическое моделирование синдромов желчно-каменной болезни / Г.И. Девяткова, В.М. Суслонов, М.В. Радионова. Пермь: Перм.ун-т, 2005. -206 с.

26. Дынкин Е.Б. Необходимые и достаточные статистики для семейств вероятностных распределений / Е.Б. Дынкин. // Успехи мат. наук. М. - 1951. - Вып.6. - С.68-90.

27. Дэйвид Г. Порядковые статистики / Г.М. Дэйвид. М.-.Наука,1979. - 234 с.

28. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. М.: Статистика, 1973. - 317 с.

29. Закс Ш. Теория статистических выводов / Ш. Закс. М.: Мир,1975. - 776 с.

30. Зингер A.A. О характеризации нормального распределения. / A.A. Зингер, Ю.В. Лииник // Теория вероятностей и ее применение, 1964. - Вып.4. - С.692-695.

31. Зингер A.A. К задаче восстановления типа распределения / A.A. Зингер, A.M. Каган // Теория вероятностей и ее применение. 1976. - Вып.2. - С.398-401.

32. Зингер A.A. О характеризации многомерного нормального закона независимостью линейных статистик / A.A. Зингер //Теория вероятностей и ее применение. 1979.- Вып.2. С.381-385.

33. Ермаков С.М. Курс статистического моделирования / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов.- М.:Наука, 1976. 320 с.

34. Ивченко Г.И. Математическая статистика / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. -М.:Высшая школа, 1984. 248 с.

35. Каган A.M. Характеризационные задачи математической статистики / A.M. Каган, Ю.В. Линник, С.Р. Pao. М:Наука, 1972. - 248 с.

36. Клебанов Л.Б. О характеризации одного семейства распределений свойством независимости статистик / Л.Б.Клебанов // Теория вероятностей и ее применение. 1973.- вып.З. С.639-642.

37. Клебанов Л.Б. Несмещенные оценки и достаточные статистики / Л.Б.Клебанов // Теория вероятностей и ее применение. 1974. - вып. 2. - С.392-397.

38. Клебанов Л.Б. О семействах распределений, зависящих от параметра сдвига и обладающих достаточной статистикой ранга, не больше двух / Л.Б.Клебанов, А.Л. Рухин // Теория вероятностей и ее применение. 1974. - вып. 3. - С.604-611.

39. Клебанов Л.Б. Параметрические оценки плотностей и характеризация смейств распределений с достаточной статистикой для параметра сдвига / Л.Б.Клебанов // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. Л: Наука, 1978. - С. 11-16.

40. Кокс Д. Статистический анализ последовательности событий / Д. Кокс, П. Льюис -М.: Мир, 1969. 422 с.

41. Контроль качества клинических лабораторных исследований. Принципы и методы / под ред. И.Г. Зубова. М.:Лабинформ,1994. - 152 с.

42. Королюк B.C. О критериях согласия А.Н. Колмогорова и Н.В. Смирнова / B.C. Королюк. Киев, инстит. математ. РА СССР, 1954. - 58 с.

43. Котюк А.Ф. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов / А.Ф. Котюк, В.В. Ольшевский, Э.И. Цветков. М.: Энергия, 1967. - 424 с.

44. Лабораторные методы исследования в клинике. Справочник / под. ред. В.В.Меньшикова. М.¡Медицина, 1987. - 366 с.

45. Линник Ю.В. Разложение случайных величин и векторов / Ю.В. Линник, И.В. Островский. М.:Наука, 1972. - 479 с.

46. Лейцин В.Н. Оценка механических свойств многокомпонентных материалов стохастической структуры / В.Н. Лейцин, Ю.Н. Сидоренко // Письма в ЖТФ. 1999. -том 25, вып. 12. - С. 89-94.

47. Леман Э. Проверка статистических гипотез // Э. Леман. М.:Наука, 1964. - 408 с,

48. Лемешко Б.Ю. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного рас-пределния с теоритическим / Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов // Методические рекомендации. Часть И. Непараметрические критерии. Новосибирск: изд-во НГТУ, 1999. - 62 с.

49. Лемешко Б.Ю. О правилах проверки согласия опытного распредления с теоретическим / Б.Ю. Лемешко, С.Н. Постовалов // Методы менеджмента качества. Надежность и контроль качества. 1999. - N 11. - С.34-43.

50. Лемешко Б.Ю. Сравнительный анализ критериев проверки отклонения распределения от нормального закона / Б.Ю.Лемешко, С.Б. Лемешко // Метрология. 2005. -N 2. - С.3-23.

51. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов / И.М. Лифшиц, Л.Н. Розенцвейг // ЖЭТФ. 1946. - Т. 16, вып. 11. - С. 967-980.

52. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел / В.А. Ломакин. М.: Наука, 1980. - 512 с.

53. Мартынов Г.В. Вычисление предельного распределения статистик критерия нормальности типа и>2 / Г.В. Мартынов // Теория вероятностей и ее применение. -1973. Вып.З. - С. 671-673.

54. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев / Никитин Я.Ю. М.: Наука. Физматлит. - 1995. - 238 с.

55. Орлов A.PI. О китериях согласия с параметрическим семейством / Орлов А.И. // Журнал "Заводская лаборатория 1997. - т.63. - N 5. - С.49-50.

56. Орлов А.И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / Орлов А.И. // Журнал "Заводская лаборатория". 1991. - Т.57. - No.7. - С.64-66.

57. Петров A.A. Проверка статистических гипотез о типе распределения по малым выборкам / А.А.Петров // Теория вероятностей и ее применение. 1956. - Вып. 2. - С. 248-271.

58. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин / Петров В.В. М.: Наука, -1972. - с.324.

59. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов / Победря Б.Е. М.: Изд-во МГУ, 1984 - 336 с.

60. Прохоров Ю.В. Характеризация класса распределений распределением некоторой статистики / Прохоров Ю.В./ / Теория вероятностей и ее применение. 1965. -вып.З. - С. 479-487.

61. Прохоров Ю.В. Локальная теорема для плотностей / Прохоров Ю.В. // ДАН СССР.- 195. т. 83. - вып.6. - С. 797-800.

62. Радионова М.В. Доверительные множества для параметра положения и масштаба / М.В. Радионова, П.Н. Сапожников // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм.ун-т. - 1997. - С.29-44.

63. Radionova M.V. Confidence sets for location and scale parameters / M.V. Radionova, P.N.Sapozhnikov // Journal of Math. Sciences. 2001. - V.103. - P.480-486.

64. Радионова М.В. Аналог распределения хи-квадрат для нормализованных сумм с малым числом слагаемых / М.В. Радионова, П.Н. Сапожников // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. Пермь: Перм.ун-т. -2006. - С.135-148.

65. Радионова M.B. Критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки нормальности данных / М.В. Радионова // Вестник Ижевского государственного технического университета. Ижевск: Изд-во ИжГТУ. - 2009. - вып.1(41). - С. 144-146.

66. Радионова М.В. Оценивание параметров распределения на основе асимптотического разложения нормализованных сумм / М.В. Радионова // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2010. - Вып. 1(45). - С. 139-141.

67. Радионова М.В. Построение оптимальных доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений / М.В. Радионова // Актуальные вопросы современной науки. Новосибирск: СИБПРИНТ. - 2010. - Вып.11. - С.7-31.

68. Романова В.А. Численное исследование деформационных процессов на поверхности и в объцме трч?смерных кристаллов / Романова В.А., Балахонов P.P. // Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12. - N 2. - С. 5-16.

69. Рухин A.JI. Инвариантные статистики и характеризация вероятностных распределений / Рухин A.JI. // Теория вероятностей и ее применение. 1975. - вып. 3. - С. 596-609.

70. Рухин A.JI. Оценивание параметра врещения на сфере / A.JI.Рухин // Ученые записки ЛОМИ АН СССР. Л.: Наука. - 1972. - Т.29. - С.74-92.

71. Сазонов В.В. К теореме Гливенко-Кантелли / Сазонов В.В. // Теория вероятностей и ее применение. 1963. - вып. 3. - С. 299-303.

72. Сапожников П.Н. Алгебраические методы нахождения распределений некоторых статистик / Сапожников П.Н. // Теория вероятностей и ее применение. 1992. -вып. 2. - С.800-801.

73. Сапожников П.Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / Сапожников П.Н. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. Пермь: Перм.ун-т. - 1993. -с. 200-216.

74. Сапожников П.Н. Семейства сдвигов, допускающие нетривиальные достаточные статистики / Сапожников П.Н.// Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. Пермь: Перм.ун-т. - 1995. - С. 137-150.

75. Сапожников П.Н. Оценивание параметров сложно-пуассоновского процесса / Сапожников П.Н. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч.тр. Пермь: Перм.ун-т. - 2000. - С. 46-52.

76. Скитович В.П. Об одном свойстве нормального распределении / Скитович В.П. // ДАН СССР. 1953. - вып.2. - С. 217-219.

77. Скитович В.П. Линейные формы от независимых случайных величин и нормальный закон распределения / Скитович В.П. // Известия АН СССР, сер. матем. 1954. -вып.2. - С. 185-200.

78. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2 т. / Л.И. Седов. М: Наука, 1973. 3 т.

79. Соколкин Ю.В. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел / Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. М.: Наука, 1984. - 115 с.

80. Хахубия Ц.Г. Об эффективности различения по малым выборкам нормального и равномерного распределения / Ц.Г.Хахубия // Теория вероятностей и ее применение.- 1966. Вып. 1. - С. 186-192.

81. Хахубия Ц.Г. Одна лемма о случайных определителях и ее применение к характе-ризации многомерных распределений / Ц.Г.Хахубия // Теория вероятностей и ее применение. 1965. - Вып. 4. - С. 755-758.

82. Хорошун Л.П. К теории эффективных свойств идеальнопластических композитных материалов / Л.П. Хорошун, Ю.А. Вецало // Журнал Прикладная механика. 1987.- Т. 23, вып. 1. С. 86-90.

83. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллср, Т.1,2. -М: Мир,1982. 4226 с.

84. Шермергор Т.Д. Теория упругости микроиеоднородных сред / Т.Д. Шермергор. -М.: Наука, 1977. 400 с.

85. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяевю М.:Наука, 1980. - 576 с.

86. Щукин А.Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах / А.Н. Щукин. М.: Советское радио, 1974. - 366 с.

87. Baringhaus L. Recent and classcal tests for normality A comparative stady / Baringhaus L., Danschke R., Henze N // Comm. Statistic. - 1989. - v. 18. - P.363-379.

88. Beran M. Statistical continuum theories / M. Beran. N.Y.: Interci. Publ., 1968. - 493 P

89. Csorgö M., Sechadri V. Characterizations of the Berens-Fisher and related problems (a goodness of fit point of view) / Csörgö M., Sechadri V. // Теория вероятностей и ее применение. 1971. - Вып.1. - С.21-33.

90. Galambos J., Kotz S. Charakterisations of probability distribution / Galambos J., Kotz S. 11 Lecture notes in Math. 1980. - vol. 675. - P. 1-169.

91. Hashin Z. Analisis of composite matherials a survey / Z. Hashin // J. of Appl. Mech.- 1983. Vol. 50. - P. 481-505.

92. Henze N. An approximation to the limit distridution of the Epps-Pulley test statistic for normality / Henze N. // Metrika. 1990. - v. 37. - P. 7-18.

93. Kagan A.M. "Self-government"families of distributions / Kagan A.M., Yu.V. Linnik, A.V. Rukhin Sankhya. - 1971. - v. 33. - P. 255-264.

94. Lilliefors H.W. On the Kolmogorow-Smirnow test for normality with mean and variance unknown / Lilliefors H.W. // J.Amer. Statist. 1962. - vol. 4. - p.399-402.

95. Madansky A. More on length of confidens intervals / Madansky A. // Jornal of the American Statistical Association. 1962. - vol.57. - P.586-589.

96. Polya G. Herleitung des Gaussen fehlergesetzes aus einer functionalgleihtung / Polya G. // Math. Zeitschrift. 1923. - v.18. - P. 96-108.

97. Pearson E.S. Biometrika tables for Statisticians / Pearson E.S., Hartley H.O. // Cambridge University Press. 1976. - v. 2. - P. 221.

98. Pitman E. The estimation of location and scale parameters of a continuous population of any given form / Pitman E. // Biometrika. 1939. - v.30. - v.76. - P. 391-421.

99. Pratt J.W. On a general concept of "In probability"/ Pratt J.W. // Ann. Math. Statist.- 1959. P.549-558.

100. Pratt J.W. Length of confidence intervals / Pratt J.W. // Jornal of the American Statistical Association. 1964. - v.56. - P.260-272.

101. Reuss A. Berechnung der Fliebgrense von Mischkristallen auf Grund der Plastizit tsbedingung for Einkristalle / Reuss A. // Z. Angew. Math. u. Mech. 1929. - Bd. 9, N. 4. - S. 49-64.

102. Stasy E.W. A generalization of gamma-distribution / Stasy E.W. // Ann. math. stat. -1962. v.28. - P.1187-1192.

103. Shapiro S.S An analysis of variance test for normality (complete samples) / Shapiro S.S., Wilk M.B. // Biometrika. 1965. - v.52. - P.591-611.

104. Shapiro S.S., Francia R.S. An appriximate analysis of variance test fo normality // J. Amer. Statist. Assoc. 1972. - v. 337. - P.215-216.

105. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysic / Voigt W. B.: Teubner. - 1928. - 962 c.