автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели случайных процессов, основанные на масштабных смесях нормальных законов

Бородулина Елена Леонидовна

г 7 АВГ 2009

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ОСНОВАННЫЕ НА МАСШТАБНЫХ СМЕСЯХ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2009

□□3475788

003475788

Бородулина Елена Леонидовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ОСНОВАННЫЕ НА МАСШТАБНЫХ СМЕСЯХ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2009

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Абдуллаев Абдула Рамазанович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Русяк Иван Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Пшеничников Александр Федорович

Ведущая организация

Пермский государственный университет

Защита состоится 22 сентября 2009 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при Пермском государственном техническом университете, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 423-6, телефон (342)-219-82-62, e-mail: rector@pstu.ac.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан « 3 » _ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование функционирования современных систем (технических, экономических, социальных, транспортных и т.д.) часто приводит к описанию моделей, характеристики которых представляют собой суммарный эффект действия большого числа различного рода факторов. При этом, как правило, и поведение факторов носит случайный характер, и количество самих факторов определяется некоторой случайной величиной. Поэтому суммы случайного числа случайных величин («случайные суммы») играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Модели, основанные на случайных суммах, рассматривают в своих работах Петраков Н.Я., Ротарь В.И.(1985), Круглов В.М., Королев В.Ю. (1990), Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. (2007).

В вероятностно-статистических методах исследования математических моделей важнейшую роль играют вопросы определения выборочного закона распределения. Для широкого класса моделей предпосылки применения нормального закона распределения обусловлены условиями центральной предельной теоремы. Однако, такая ситуация справедлива, если факторы действуют аддитивно и независимо друг от друга, внося малую долю в суммарный эффект.

Наряду с этим во многих прикладных задачах естественно предполагать, что условия функционирования систем характеризуются непостоянством интенсивности действия факторов, что становится следствием перемежаемости спокойного режима, характеризуемого низким уровнем событий, с возникновением редких, но очень крупных по величине событий. Эмпирические плотности распределения характеристик таких систем являются более островершинными и при этом «хвосты» распределений убывают гораздо медленнее, нежели это характерно для нормального закона. Анализ эмпирических распределений временных рядов, являющихся наблюдениями за функционированием реальных процессов, часто показывает несостоятельность моделей, основанных на нормальном законе, который традиционно используется в прикладных задачах. Вероятностные распределения, лежащие в основе аналитических моделей таких систем (называемые из-за принципиальной значимости редких событий, лежащих в хвостах распределения, распределениями с «тяжелыми» хвостами»), требуют подходов, отличных от применяемых в случае «обычных» распределений.

Точное нахождение вероятностных распределений случайных сумм чрезвычайно затруднено. Во-первых, необходимо знать точные распределения как числа слагаемых в сумме, так и самих слагаемых. Во-вторых, даже если указанные распределения полностью известны, сами вычисления, как правило, трудно реализуемы и конечные представления для распределений (или их эквивалентные преобразования) случайных сумм могут не существовать. Таким образом, весьма актуальной является задача изучения возможности использования тех

3

или иных аппроксимаций для определения асимптотического поведения распределений случайных сумм, поскольку в прикладных задачах необходимо вычислять некоторые характеристики распределений, например, квантили.

Все перечисленное обуславливает актуальность разработки статистических методов выбора приемлемой аналитической модели для распределений случайных процессов, использующих аппарат случайных сумм, и нахождения оптимальных оценок неизвестных параметров распределения.

Разработанность темы. В работах Королева В.Ю. и Круглова В.М. показано, что предельными распределениями случайных сумм при определенных условиях являются вероятностные распределения специального вида -сдвиг/масштабные смеси нормальных законов, которые определяются как усреднение нормального закона по математическому ожиданию и стандартному отклонению, являющихся случайными величинами с неизвестным заранее законом распределения.

Задача статистического анализа смеси сводится к анализу смешивающего распределения (разделению смеси на компоненты). Естественно искать адекватную аналитическую модель в семействе распределений, которые могут выступать в качестве предельных для сумм случайных величин при определенных ограничениях. При этом выбор закона распределения представляет собой весьма актуальную и трудоемкую статистическую задачу.

В работе исследуется использование двух альтернативных семейств распределений для построения аналитических моделей случайных процессов на основе эмпирических данных: класс строго устойчивых законов и семейство распределений Стьюдента.

Интерес к классу устойчивых распределений вызван работами Мандельб-рота Б. (1963), Фама Е. (1965). К классу устойчивых законов относятся все возможные предельные распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако проблема идентификации параметров устойчивых законов по эмпирическим данным осложняется тем фактом, что выражение плотностей с помощью элементарных функций возможно лишь в отдельных частных случаях. Различные методы построения оценок для неизвестных параметров рассматривались в работах Фама Е., Ролла Р. (1971), Золотарева В.М. (1983), Нагаева A.B., Школьника С.М. (1985), Сапожникова П.Н. (2003).

Семейство распределений Стьюдента в описательной статистике практически не используется в качестве аналитической модели, «подгоняемой» к эмпирическим данным. Исключение составляют, например, работы Претца П.Д. (1972), Блаттеберга Р.К., Гоундса Н.Дж.(1974), Кон С.Дж.(1984), Королева В.Ю. (2007). Распределение Стьюдента, являясь безгранично делимым распределением, имеет схожее с опытными данными форму распределения, что позволяет его использовать в качестве альтернативы нормальному закону.

4

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка методов идентификации типа предельного распределения для математических моделей реальных процессов, базирующихся на масштабных смесях нормальных законов, и оценка возможности использования альтернативных нормальному закону семейств распределений. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

- разработка метода оценки параметров аналитической модели, основанной на строго устойчивых масштабных смесях распределений;

- построение критериев проверки гипотезы о соответствии модели распределениям Коши и Леви;

- исследование структуры распределения смеси, имеющей распределение Стыодента;

- исследование вероятностных характеристик случайной компоненты регистрируемого сигнала в задачах оценки наличия поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии.

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что автором разработан метод расщепления масштабных смесей нормальных законов и идентификации типа предельных распределений для вероятностно-статистических моделей случайных процессов, основанных на случайных суммах, предельными распределениями для которых выступает класс устойчивых законов и семейство распределений Стыодента.

Наиболее существенные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан новый метод оценки параметров аналитической модели для класса строго устойчивых распределений.

2. Получены аналитические представления распределений вспомогательных случайных величин, на основе которых строятся статистические решения о соответствии модели распределениям Коши и Леви.

3. Для семейства распределений Стьюдента установлено соответствие между смешивающим распределением и распределением смеси. Предложен новый метод проверки критериев согласия, основанный на преобразовании исходной выборки наблюдений, который увеличивает меру расстояния между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет уменьшать ошибку второго рода при построении статистических решений.

4. Построена аналитическая модель случайной компоненты, возникающей при регистрации магнитного поля в задаче оценки наличия поверхностных дефектов изделия, найдены доверительные интервалы для регистрируемой величины, свидетельствующие о допустимости дефекта изделия.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанный метод расщепления масштабной смеси, в том числе полученные в работе аналитические представления плотностей распределений исследуемых случайных вели-

5

чин, носит прикладной характер и позволяет строить аналитические модели реальных процессов, характеризующихся непостоянством интенсивности потока событий, предельными распределениями для которых выступают распределения с «тяжелыми» хвостами. Полученные значения оценки необходимого объема выборки позволяют строить статистические выводы о виде аналитической модели с выбранным уровнем значимости.

Методика исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использовались методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования. При проведении диссертационного исследования применялись методы математического анализа и численные методы.

Достоверность результатов. Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Достоверность результатов подтверждена сопоставлением полученных аналитических выражений вероятностных моделей исследуемых случайных величин с результатами проведенных имитационных испытаний. Для оценки необходимого объема выборки использовались два альтернативных подхода, которые продемонстрировали сравнимые результаты.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на «V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике» (Кисловодск, 2004), «XI Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам» (Сочи, 2004), «XII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам» (Сочи, 2005), «VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике» (Кисловодск, 2006), «XIV Всероссийской школах-коллоквиумах .по стохастическим методам» (Сочи, 2007), V Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2009), научном семинаре кафедры высшей математики ПГТУ (Пермь, 2008), научном семинаре международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических систем при кафедре информационных систем и математических методов в экономике ПГУ (Пермь, 2008), научных семинарах кафедры математического моделирования систем и процессов ПГТУ (Пермь, 2008, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах, перечень которых приведен в конце автореферата. Публикация в журнале, рекомендованном ВАК, содержит часть основных результатов диссертационной работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, списка литературы (83 наименования). Объем диссертации составляет 139 страниц, в работу включено 29 рисунков и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, приведено краткое описание основных результатов, представленных в диссертации.

В первой главе приведен обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики, рассматриваются вероятностные модели, использующиеся в задачах обработки измерений, и свойства альтернативных нормальному закону вероятностных семейств.

Широкое применение нормального закона для описания вероятностно-статистических закономерностей обусловлено тем, что он является удобной асимптотической аппроксимацией случайных величин, определяемых суммарным воздействием большого числа случайных факторов. Однако во многих прикладных задачах наблюдаемые реализации случайных величин зачастую не согласуются с гипотезой о нормальности (рис.1).

•

И........: ;.....

/Т " Г | \

Рис. 1. Гистограмма эмпирического распределения с подгонкой нормального распределения и график на нормальной вероятностной бумаге

Подобные эмпирические распределения имеют более «тяжелые» хвосты и острую вершину, чем это предполагается для нормального закона. Несостоятельность нормальных моделей приводит к необходимости использования альтернативных семейств распределений. Во многих прикладных задачах математическая модель наблюдаемого процесса описывается при помощи случайных

т

сумм вида: = , где верхний индекс суммирования Аг(/) есть случай-1=1

ная величина. Особую роль играют аналитические модели, в которых число слагаемых Л7 (г) случайной суммы формируется в соответствии дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Подобные модели являются более адекватными в части описания реальных процессов, где интенсивность воздействия факторов является изменчивой.

Вторая глава содержит постановку задачи нахождения типа предельного распределения случайных сумм.

В §1 главы 2 рассматривается аппроксимация нормированных обобщенных процессов Кокса S (t) с помощью смесей нормальных законов вида

(?(*) = м[Ъ(;с/л/Г)^ где ф(х) - функция распределения стандартного нормального закона и усреднение производится по распределению случайной величины V. В этом случае наблюдаемые величины имеют следующую структуру:

X = Z^V , где Z~tV(0,1), распределение V зависит от выбранной математической модели и величины Z и V независимы.

Вопрос о существовании и единственности решения задачи расщепления смеси (анализа распределения случайной величины V) тесно связан с понятием идентифицируемости, т.е. однозначности представления компонент смеси. Класс распределений, представимых в виде смесей, включает достаточно богатый запас семейств и содержит, в частности, устойчивые законы и распределение Стьюдента.

В §2 главы 2 изложен метод расщепления строго устойчивой смеси с показателем устойчивости а, основанный на переходе к вспомогательной случайной величине, инвариантной относительно преобразования масштаба.

Использование моделей, основанных на семействе устойчивых распределений, затруднено отсутствием явного выражения плотности распределений за исключением некоторых устойчивых классов, поэтому оценка параметров распределения представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Параметр а (характеристическая экспонент^) определяет вид распределения, а именно наличие острой вершины и «тяжелых» хвостов.

Для случая, когда смесь имеет строго устойчивое распределение с функцией G(x|a) в монографии Золотарева В.М. (1983) установлено соответствие между распределениями смесителя и смеси. А именно показано, что для строго устойчивой смеси с параметром а, в качестве смесителя выступает строго устойчивое распределение с параметром all.

В работе оценка параметра а сводится к проверке гипотезы Я0 о том, что наблюдения XhX2,...,X„ (Хк = S(ki)-S((k-\)t), £ = 1,2,..,л; 5(0) = 0) извлечены из строго устойчивой совокупности с функцией распределения G(x | а = а). Вид конкурирующей гипотезы, вообще говоря, не важен На:аФи, (а>а, а<а). Так как величины Хк независимы, то вектор (хих2,...,х„) можно считать повторной выборкой объема п из совокупности X, где каждый элемент выборки представим в виде функции Хк =7.к^ независимых ненаблюдаемых

случайных величин 1к, Ук. Особенную сложность при обработке эмпирических данных при использовании предельного распределения данного вида представляет то обстоятельство, что из наблюдений нужно выделить распределение величины Ук. В работе осуществляется переход к вспомогательной случайной величине: V* = (X / 2)1 - псевдосмесителю. Величины V и V* имеют взаимно однозначное соответствие.

Плотность распределения псевдосмесителя связана с распределением исходной смеси следующим равенством

+«з

(1)

о

[1, 0 <££ < 1 / \

где Ва=\ , 1р[х) - плотность стандартного нормального распределе-

[2, 1 < а < 2

ния, g(z\a) - плотность смешивающего строго устойчивого распределения с параметром а . В работах Сапожникова П.Н.(2003) было установлено соотношение (1) для значений показателя устойчивости 1<а<2 (коэффициент Ва для данного случая равен 2). В диссертационной работе было получено обобщение соотношения (1) на случай 0 < а < 1.

Однако при переходе к псевдосмесителю необходимо учесть еще и влияние масштабного параметра, который выступает в качестве мешающего, а на-людаемая смесь имеет вид: Х = М^1¥. Учитывая данный факт, в работе рас-матривается характеризация распределения исходной смеси распределением спомогательной величины и, инвариантной относительно преобразования асштаба. Выборка инвариантов ({/¡,[/2,...), элементы которой определяется

ледующим образом: 1/1 = = +

к = 1,2...,[л/2], строится на основе выборки псевдосмесителей , где

V* = (X, !21 )2, г = 1,2...,я, реализации которых находятся по выборке наблюдений

(Х>,Х2,...Хп) и имитации стандартных нормальных величин ...'/„).

Подобные инварианты характеризуют распределение исходной смеси с очностью до масштабного параметра, что позволяет построение статистических ыводов относительно значения показателя устойчивости а свести к проверке ростой гипотезы о том, что выборка инвариантов (и1,и2,-) извлечена их сово-упности с плотностью распределения, определяемой соотношением

\a\Bi

1 1 2 ш?

и а (<Р\)1!а (.92 )(с°5у/ Бтуу)" ¿^¿(рЛу

(2)

где

- Г^Г^^У^Г^Т^—- +- функ-

; V 2

V 2

цииЗолотарева, а =-, 0<а <2, «^ 1.

а-1

В диссертационной работе было получено обобщение выражения /¡а («) на случай 0<а<1.

Случай а = 2 соответствует нормальному закону и был исследован Кротовой Е.Л. Плотность распределения инварианта /га=2(") имеет вид

1пн-1п(1-м)

я2 (2и-1)^(1-1/)

, и*0.5

(3)

и существует предел в точке и = 0.5.

Областью определения плотности распределения Иа(и) является интервал (0;1). Функция Иа (и) для всех 0 < а < 2 имеет и-образную форму, причем наличие наблюдений в хвостах исходного распределения смеси приведет к более выпуклой форме плотности распределения инварианта (рис.2):

Рис. 2. Плотности распределения инварианта для а = 2 и а <2

Чем больше у распределения смеси отклонений от нормального закона (наличие острой вершины и «тяжелых» хвостов), тем более резкий рост имеет функция распределения инварианта Па(и) на границах области определения (рис.3):

Н(ч|0)

1

и

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 3 ■ Функции распределения инварианта для а = 2 и а < 2

Таким образом, переход от исходных наблюдений к анализу распределения инвариантов позволяет упорядочить по степени «тяжести» хвостов устойчивые законы для 0<а<2 вне зависимости от значения параметра масштаба.

В §3 главы 2 рассматривается строго устойчивая смесь для случая а = 1. Следует отметить, что данное значение соответствует распределению Коши и носит самостоятельный интерес, так как формула (2) не включает этот случай. В диссертационной работе получено аналитическое представление /га=1(и) в явном виде, которое задается следующей теоремой:

Теорема 2.5. Для случая а = 1 плотность распределения псевдосмесителя

V с точностью до масштабного параметра определяется соотношением

а плотность распределения ка(и) инварианта псевдосмесителя и имеет вид

Полученное в работе выражение плотности инварианта для случая Коши (4) позволяет строить статистические выводы о соответствии аналитической модели распределению Коши.

§4 главы 2 содержит исследование строго устойчивой смеси для случая а = 0.5 . В классе строго устойчивых законов распределению Леви соответствует плотность распределения | а = 0.5), которая имеет явный вид в терминах элементарных функций. В работе получено выражение Иа^05(и) в явном виде, которое определяется следующей теоремой:

*

(4)

Теорема 2.6. Для случая а =0.5 строго устойчивой смеси плотность распределения ка (и) инварианта псевдосмесителя и определяется соотношением

Соотношение (5) помимо задачи проверки гипотез о принадлежности аналитической модели распределению Леви, использовалось в численных расчетах для оценки качества построенной аппроксимации функции плотности распределения инварианта общего вида (2).

В §5 главы 2 рассматривается задача определения наиболее чувствительного к различиям альтернативных моделей критерия согласия сводилась к оценке объема выборки и{аа,р,а), необходимого для достижения гарантированной мощности р при уровне значимости аа и альтернативном значении показателя устойчивости а. Оптимальный критерий определялся из соотношения: Ыор1 = тт{Л', (а0, Р, а\ А<2 {а0, /?, а),...}.

Основными методами подсчета необходимого объема выборки в работе были выбраны: классический подход - критерий Неймана-Пирсона (значение объема выборки N оценивалось при помощи метода имитационных испытаний) и асимптотический метод для критериев Колмогорова-Смирнова и критерия Купера, предложенный Никитиным Я.Ю. (1995), в соответствии с которым, объем выборки определяется соотношением: ы(а0,р,а)~-2\аа01Ст(а), где Сг(а) -некоторая неслучайная положительная функция, характеризующая расстояние между гипотезами и зависящая от используемой статистики.

Полученные в работе оценки необходимого объема выборки для различных альтернатив значений показателя устойчивости а и уровня значимости а0

демонстрируют сравнимые с работой Фама Е. и Ролла Р. результаты. Однако, учитывая, что оценки Фама Е. и Ролла Р. не обладают стабилизацией с ростом объема выборки, предложенный в работе метод является более предпочтительным.

В §6 главы 2 исследуется случай, когда смесь 0(х)-Т{х,у,к) имеет распределение Стьюдента с параметрами формы и масштаба у и к соответственно.

Использование распределения Стьюдента в прикладных задачах представляет особый интерес для области значений параметра формы у <2 (что соответствует наличию «тяжелых» хвостов). Стоит отметить, что для значений параметра формы 0 < у < 2 и характеристической экспоненты 0 < а < 2 асимптотическое поведение хвостов устойчивых законов и распределения Стьюдента при |л|-»оо совпадает.

и

-1/4

(1-»)-3/4 -У2»-'/4(1-»)-'/4 +и-^(\-и)-т

л/2я-

(5)

В работе для смеси, имеющей распределение Стьюдента, получено соответствие между распределениями смесителя и смеси, которое задается следующей теоремой:

Теорема 2.7. Пусть в(х) = Т(х,у,к), тогда наблюдаемые величины пред-ставимы в виде: Х = г/\!У, где 2-N(0,1), У ~ Т(х,у12,ку12) и случайные величины 2 и У - независимы.

Псевдосмеситель для смеси, имеющей распределение Стьюдента, определяется соотношением: У' = {21Х^, где величины 2 и X - независимы. В работе получено выражение плотности распределения случайной величины У*.

Теорема 2.8. Пусть смесь С(д:) = Т{х,у,к) - имеет распределение Стьюдента с параметрами формы и масштаба у и к соответственно. Тогда плотность распределения случайной величины У* имеет вид

гуХ\"Г(1~Г

2к) у, 2 '2 к

(6)

Выражение (6) с оцененными по выборке псевдосмесителей параметрами позволяет строить статистические выводы о типе распределения исходной смеси.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов выбо-а аналитической модели.

В §1 главы 3 исследуется сравнение двух альтернативных подходов по-троения критериев согласия о виде аналитической модели по выборке из смеси 1 псевдосмесителей, где основной гипотезой выступает нормальный закон, а в ачестве альтернативных семейств - класс строго устойчивых распределений и емейство Стьюдента с оцененными по выборке параметрами. В работе показа-о, что переход к псевдосмесителям увеличивает меру расстояния между аль-ернативными гипотезами, что в свою очередь приводит при построении стати-тических выводов к уменьшению ошибок второго рода (рис.4).

0.4

0.2

1-2 2 4 10 20 3 0 40 ¿0 £ О

Рис. 4. Теоретические функции распределения смеси и псевдосмесителя для устойчивых законов и семейства распределений Стьюдента

В §2 главы 3 построена вероятностная модель случайной компоненты ре гистрацни магнитного поля рассеяния применительно к задаче оценки наличи поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии на основ аппарата случайных сумм.

Намагничивание изделия (материал ферромагнетик) производится одно родным внешним магнитным полем Д>, ориентированным параллельно поверх ности изделия. Наличие дефекта границы является причиной возникновен магнитного поля рассеяния Ва{х). Обычно вводят в рассмотрение скомпенси

рованное поле рассеяния В (х), определяемое соотношением

= = + (7)

где Вс (*) - случайная компонента регистрации, являющаяся погрешностью ре гистрируемой величины Вр (х) и вызванная наличием пространственных флук туаций, обусловленных магнитной структурой ферромагнетика.

Восстановление информативной составляющей Ва (х) из (7) требует зна

ние закона распределения Д. (х). В отсутствии дефекта регистрируется непо

средственно случайная составляющая магнитного поля рассеяни

Вр (х) = Вс (д:). Процесс выявления дефекта изделия является вероятностным

сводится к анализу регистрируемого сигнала.

В работе в качестве аналитической модели регистрируемой величины вы браны класс устойчивых законов и семейство распределений Сгьюдента. Полу чены оценки доверительных границ показаний датчиков, свидетельствующих допустимости дефекта (рис. 5).

Рис. 5 - Определение доверительного интервала геометрического параметра дефекта

Использование нормального закона для построения модели случайной компоненты регистрации магнитного поля рассеяния приводит к недооценке доверительного интервала, что в свою очередь приведет к недооценке размеров дефекта и недобраковке изделий по сравнению с использованием альтернативных семейств распределений (рис. 5). Следовательно, если изделия не являются дорогими, но включены в систему повышенной надежности, результаты, полученные при помощи модели, основанной на нормальном законе, приведут к недобраковке изделий, что является экономически крайне невыгодным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для оценки параметров строго устойчивой модели получено представление плотности распределения инвариантов псевдосмесителей для 0 < а < 1.

2. Найдены аналитические выражения для вероятностных моделей инвариантов псевдосмесителей для случаев распределений Леви и Коши.

3. Установлено соответствие между распределениями смесителя и смеси для случая, когда смесь имеет распределение Стьюдента. Получено аналитическое представление плотности распределения псевдосмесителя для смеси, имеющей распределения Стьюдента.

4. В задаче проверки гипотез о виде аналитической модели случайного процесса исследовано применение некоторых стандартных критериев согласия, для каждого их которых оценены значения необходимого объема выборки, определен оптимальный критерий.

5. Проведено сравнение методов оценки аналитической модели, основанных на двух альтернативных подходах: по выборкам исходных наблюдений и преобразованных величин. Показано, что предложенный переход к вспомогательной выборке увеличивает расстояние между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет строить более точные оценки на меньшем объеме выборки.

6. Численно реализован метод идентификации распределения масштабной смеси нормальных законов при помощи специализированных пакетов Mathematica (v5.0), Maple (v8.0), Statistica (v6.0) для определения доверительных границ математической модели случайной компоненты регистрируемого сигнала в задачах оценки наличия поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бородулина Е.Л., Кротова Е. Л. Два подхода к проверке гипотезы о типе распределения смеси в случае семейства Коши // Обозрение прикладной и

15

промышленной математики. Тез. докл. Всероссийский симпозиум по прикл. и пром. матем., Москва, 2004, т. 11, в. 1, С. 101.

2. Бородулина Е.Л., Кротова Е. Л. Об аппроксимации плотности распределения инварианта сопряженного смесителя для строго устойчивых смесей // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тез. докл. Всероссийская школа-коллоквиум по стохаст. методам, Москва, 2004, т. 11, в. 3, С. 501-502.

3. Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. Уточнение разложения в ряд плотности сопряженного смесителя // Известия научно-образовательного центра «Мете-^ матика» / Перм. Гос. Техн. Ун-т. - Пермь, 2005. - С.8-20.

4. Бородулина Е.Л. Случай распределения Леви строго устойчивой масштабной смеси // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тез. докл. Всероссийская школа-коллоквиум по стохаст. методам, Москва, 2005, т. 12, в. 3, С. 654-655.

5. Бородулина Е.Л. О сравнении мощностных свойств критериев согласия для строго устойчивых смесей стандартного нормального закона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тез. докл. Всероссийская школа-коллоквиум по стохаст. методам, Москва, 2006, т. 13, в.2, с. 276-277.

6. Бородулина Е.Л. Об асимптотическом поведении сопряженного псевдосмесителя строго устойчивых масштабных смесей в случае распределения Ко-ши // Известия научно-образовательного центра «Математика» / Перм. Гос. Техн. Ун-т. - Пермь, 2006. - С.3-12.

7. Бородулина Е.Л. Об одном методе различения семейств распределений для моделей с тяжелыми хвостами // Обозрение прикладной и промышленной математики. Тез. докл. Всероссийский симпозиум по прикл. и пром. матем., Москва, 2007, т. 14, в.5, С. 860-860.

8. Бородулина Е.Л. О методе .расщепления масштабных смесей нормального закона для случая семейства Стьюдента // Вестник Пермского Университета, серия «Математика. Механика. Информатика» / Перм. Гос. Ун-т. - Пермь, 2008, в. 4(20)-С. 9-13.

9. Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. Метод расщепления строго устойчивых смесей нормального закона для случая показателя устойчивости а-1 и а- 2 // Математическое моделирование / М.: Институт математического моделирования РАН, 2008, т.20.№07 - С. 3-12.

10. Бородулина Е.Л., Кротов Л.Н., Кротова Е.Л. Оценка влияния случайных структурных неоднородностей материала на определение поверхностных дефектов изделия // Материалы V Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий». - Сочи, 2009. - С. 90-91.

Введение.

1. Вероятностно-статистические модели.

1.1. Предварительные сведения.

1.1.1. Пространство элементарных событий. Случайная величина.

1.1.2. Смеси вероятностных распределений.

1.1.3. Специальные функции и интегралы специального вида.

1.2. Некоторые математические модели в задачах обработки измерений.

1.3. Некоторые классы распределений, применяемых в описательной статистике.

1.3.1. Семейство устойчивых законов.

1.3.2. Семейство распределений Стьюдента.

1.4. Критерии согласия о типе предельного распределения случайных процессов.

1.4.1. Общая схема построения статистических решений.

1.4.2. Асимптотический подход к оцениванию необходимого объема выборки.

2. Смешанные гауссовские вероятностные модели.

2.1. Постановка задачи нахождения асимптотического распределения случайных сумм.

2.2. Метод расщепления строго устойчивых смесей стандартных нормальных законов.

2.3. Распределение инварианта сопряженного псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а = 1.

2.4. Распределение инварианта сопряженого псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а = 0.5.

2.5. Определение необходимого объема выборки для обеспечения достаточной мощности критерия согласия.

2.5.1. Использование критерия Неймана-Пирсона для обеспечения необходимой мощности.

2.5.2. Асимптотический подход к определению необходимого объема выборки.

2.6. Масштабная смесь для случая распределения Стьюдента.

3. Выбор адекватной математической модели реальных процессов.

3.1. Численная реализация задачи выбора аналитической модели.

3.2. Оценка влияния случайных структурных неоднородностей материала изделия на определение геометрических параметров поверхностных дефектов методами магнитной дефектоскопии.

Исследование функционирования современных систем (технических, экономических, социальных, транспортных и т.д.) часто приводит к описанию моделей, характеристики которых представляют собой суммарный эффект действия большого числа различного рода факторов. При этом, как правило, и поведение факторов носит случайный характер, и количество самих факторов определяется некоторой случайной величиной. Поэтому суммы случайного числа случайных величин («случайные суммы») играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Модели, основанные на случайных суммах, рассматривают в своих работах Петраков Н.Я., Ротарь В.И. (1985), Круглов В.М., Королев В.Ю. (1990), Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С .Я. (2007).

В вероятностно-статистических методах исследования математических моделей важнейшую роль играют вопросы идентификации выборочного закона распределения. Для широкого класса моделей предпосылки применения нормального закона обусловлены условиями центральной предельной теоремы. Однако, такая ситуация справедлива, если факторы действуют аддитивно и независимо друг от друга, внося малую долю в суммарный эффект.

Наряду с этим во многих прикладных задачах естественно предполагать, что условия функционирования систем характеризуются непостоянством интенсивности действия факторов, что становится следствием перемежаемости спокойного режима, характеризуемого низким уровнем событий, с возникновением редких, но очень крупных по величине событий. Эмпирические плотности распределения характеристик таких систем являются более островершинными и при этом «хвосты» распределений убывают гораздо медленнее, нежели это характерно для нормального закона. Анализ эмпирических распределений временных рядов, являющихся наблюдениями за функционированием реальных процессов, часто показывает несостоятельность моделей, основанных на нормальном законе распределения, которое традиционно используется в прикладных задачах. Вероятностные распределения, лежащие в основе аналитических моделей таких систем (называемые из-за принципиальной значимости редких событий, лежащих в хвосте распределения, распределениями с «тяжелыми» хвостами»), требуют подходов, отличных от применяемых в случае «обычных» распределений.

Точное нахождение вероятностных распределений случайных сумм чрезвычайно затруднено. Во-первых, необходимо знать точные распределения как числа слагаемых в сумме, так и самих слагаемых. Во-вторых, даже если указанные распределения полностью известны, сами вычисления, как правило, трудно реализуемы и конечные представления для распределений (или их эквивалентные преобразования) случайных сумм могут не существовать. Таким образом, весьма актуальной является задача изучения возможности использования тех или иных аппроксимаций для определения асимптотического поведения распределений случайных сумм, поскольку в прикладных задачах необходимо вычислять некоторые характеристики распределений, например, квантили. К тому же, как показано в работе Королева В.Ю. и Бенинга В.Е (1998), несмотря на «хорошее» поведение самих слагаемых, распределение случайной суммы может иметь предельные распределения с «тяжелыми» хвостами, например, устойчивые.

Схема суммирования независимых случайных величин и связанные с нею предельные теоремы на протяжении многих десятилетий были центром проблематики теории вероятностей, в частности стоит отметить работы Золотарева В.М. (1986), Петрова В.В. (1987), Круглова В.М. и Королева В.Ю. (1990). Содержание современной теории вероятностей в ее большей, и возможно, самой важной для приложений части составляют предельные теоремы. Дело в том, что точные и к тому же пригодные для расчетов формулы образуют в теории вероятностей скорее исключение, нежели правило. Это обстоятельство порождает необходимость использования аппроксимаций возникающих в конкретной прикладной задаче вероятностных распределений или связанных с ними характеристик. Такие аппроксимации должны, с одной стороны, быть пригодны для численных расчетов, а с другой — обеспечивать необходимую точность приближения аналитической модели к эмпирическим данным. В первую очередь возник вопрос о том, какие законы, помимо нормального распределения, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, так как нормальный закон в большинстве случаев не подходит, как показывают многочисленные исследования [4, 7, 8, 14, 64, 65, 66, 72].

Все выше перечисленное обуславливает актуальность разработки статистических методов выбора приемлемой аналитической модели для распределений случайных процессов, использующих аппарат случайных сумм, и нахождения оптимальных оценок неизвестных параметров распределения. Основными работами, рассматривающими асимптотическое поведение сумм независимых случайных величин, являются работы [40, 49, 50, 69].

В работах Королева В.Ю. и Круглова В.М. [54, 55, 61] показано, что предельными распределениями случайных сумм являются вероятностные распределения специального вида - сдвиг/масштабные смеси стандартных нормальных законов, которые определяются как усреднение нормального закона по математическому ожиданию и стандартному отклонению, являющихся случайными величинами с неизвестным заранее законом распределения. Диссертационная работа посвящена математическим моделям случайных процессов, основанным на масштабных смесях (смешивание производится лишь по параметру масштаба, в то время как параметр сдвига равен нулю).

Задача статистического анализа смеси сводится к анализу смешивающего распределения (разделению смеси на компоненты). Естественно искать адекватную асимптотическую модель в семействе распределений, которые могут выступать в качестве предельных для случайных сумм при определенных ограничениях. При этом выбор закона распределения представляет собой весьма актуальную и трудоемкую статистическую задачу.

В работе исследуется использование двух альтернативных семейств распределений для построения адекватных аналитических моделей случайных процессов на основе эмпирических данных: класс строго устойчивых законов и семейство распределений Стьюдента.

Интерес к классу устойчивых законов вызван работами Мандельброта Б. (1963), Фама Е. и Ролла Р.(1965). Привлекательность класса устойчивых распределений определяется тем, что именно ему принадлежат все возможные предельные распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако проблема идентификации параметров устойчивых законов по эмпирическим данным осложняется тем фактом, что выражение плотностей с помощью элементарных функций возможно лишь в отдельных частных случаях. Различные методы построения оценок для неизвестных параметров рассматривались в работах Фама Е. и Ролла Р. (1971), Золотарева В.М. (1983), Нагаева А.В. и Школьника С.М. (1985), Сапожникова П.Н. (2003).

В отличие от устойчивых распределений, в описательной статистике семейство распределений Стьюдента практически не используется в качестве аналитической модели, «подгоняемой» к экспериментальным данным. Исключение составляют, например, работы Претца П. (1972), Благгеберга Р. и Гоундса Н.(1974), Кона С.Дж. (1984), Королева В.Ю.(2007). Однако следует особо подчеркнуть, что распределение Стьюдента, являясь безгранично делимым распределением, имеет схожую с опытными данными форму распределения, что позволяет использовать его в качестве альтернативы нормальному закону.

Выбор адекватной аналитической модели в работе осуществляется на основе проверки гипотезы о виде эмпирического распределения и заключается в преобразовании исходной выборки наблюдений при помощи имитаций нормального закона. При этом вспомогательная выборка однозначно характеризует смешивающее распределение.

Для оценки параметров строго устойчивой модели, статистические выводы строятся на основе выборки инвариантных относительно преобразования масштаба величин, что позволяет исключить из рассмотрения мешающий масштабный параметр. Полученные ранее результаты нахождения выражений для плотностей инвариантов включают случай, соответствующий нормальному распределению [59], случаи распределения инварианта для значения показателя устойчивости, лежащего между распределением Коши и нормальным законом [19, 71]. В диссертационной работе получено обобщение выражения плотности инварианта для всей области определения показателя устойчивости. Для частных случаев распределения Леви и Коши получены выражения плотностей распределений в аналитическом виде, что позволяет использовать их в задаче различения модели, основанной на нормальном законе, и использующей строго устойчивую альтернативу.

Основные результаты построения статистических оценок параметров устойчивых законов были получены в работе Фама Е. и Ролла Р. [10], которая до сих пор считается классической. Однако, учитывая, что альтернативный способ построения оценок, предложенный в диссертации, требует сравнимый с [10] объем выборки, а оценки Фама Е. и Ролла Р. не обладают стабилизацией с ростом объема выборки [38], предложенный в работе метод является более предпочтительным.

Для проверки соответствия выборочного распределения аналитической модели, основанной на распределении Стьюдента, в работе получено аналитическое представление плотности распределения вспомогательной случайной величины. Показано, что переход к вспомогательной случайной величине увеличивает меру расстояния между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет уменьшать ошибку второго рода при построении статистических решений.

Коротко о содержании диссертации.

Во введении обоснована актуальность исследования; сформулирована научная новизна, приведены цель и задачи исследования, перечислены наиболее существенные результаты, дана общая характеристика работы.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для оценки параметров строго устойчивой модели получено представление плотности распределения инвариантов псевдосмесителей для значений показателя устойчивости 0 < а < 1.

2. Найдены аналитические выражения для вероятностных моделей инвариантов псевдосмесителей для случаев распределений Леви и Коши.

3. В задаче проверки гипотез о виде аналитической модели случайного процесса исследовано применение некоторых стандартных критериев согласия, для каждого из которых оценены значения необходимых объемов выборки, определен оптимальный критерий.

4. Установлено соответствие между распределениями смесителя и смеси для случая, когда смесь имеет распределение Стьюдента. Получено аналитическое представление плотности распределения псевдосмесителя для смеси, имеющей распределения Стьюдента.

5. Проведено сравнение методов оценки аналитической модели, основанных на двух альтернативных подходах: по выборкам исходных наблюдений и преобразованных величин. Показано, что предложенный переход к вспомогательной выборке увеличивает расстояние между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет строить более точные оценки на меньшем объеме выборки.

6. Численно реализован метод идентификации распределения масштабной смеси нормальных законов при помощи специализированных пакетов Mathematica (v5.0), Maple (v8.0), Statistica (v6.0) для определения доверительных границ аналитической модели случайной компоненты регистрируемого сигнала в задачах оценки наличия поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии.

1. Arad R. W. Parameter Estimation for Symmetric Stable Distribution / Arad R.W. // International Economic Review. 1980, Vol.21, No.l, P. 209-220.

2. Blattberg R.C. A Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices / Blattberg R.C., Gonedes N.J. // The Journal of Business. 1974. Vol. 47, No. 2, P. 244-280.

3. Chambers J.M. A Method for Simulating Stable Random Variables / Chambers J.M., Mallows C.L., Stuck B.W. // Journal of the American Statistical Association. 1976. Vol. 71, No. 354, P 340-344.

4. Clark P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices / Clark P. K. // Econometrica. 1973. Vol. 41. No. 1. P.135-155.

5. DuMouchel W.H. Stable Distributions in Statistical Inference: 2. Information from Stability Distributed Samples / DuMouchel W.H. // Journal of the American Statistical Association. 1973. Vol. 70, No. 350. P.386-393.

6. Eberlein E. Hyperbolic Distributions in Finance / Eberlein E., Keller U. I I Bernoulli. 1995. Vol. 1, No. 3, P. 281-299.

7. Fama E.F. The Behavior of Stock-Market Prices / Fama E.F.// The Journal of Business. 1965. Vol. 38, No. 1, P. 34-105.

8. Fama E.F. Some Properties of Symmetric Stable Distribution / Fama E.F., Roll R // Journal of the American Statistical Association. 1968, Vol. 63, No. 323, P. 817-836.

9. Fama E.F. Parameter Estimates for Symmetric Stable Distribution / Fama E.F., Roll R. // Journal of the American Statistical Association. 1971. Vol. 66, Issue 334, P. 331-338.

10. Kay S.M. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory 1993.

11. Kon S.J. Models of Stock Returns A Comparison / Kon S.J. // The Journal of Finance. 1984. Vol.39, No.l, P.147-165.

12. Mandelbrot B.B. New Methods of Certain Speculative Prices / Mandelbrot B.B. // The Journal of Political Economy. 1963. Vol. 71,No. 5, P. 421-440.

13. Mandelbrot B.B. The Variations of Certain Speculative Prices / Mandelbrot B.B. // The Journal of Business. 1963. Vol. 36,No. 4, P. 394-419.

14. Mandelbrot B.B. New Methods in Statistical Economics / Mandelbrot B.B.// The Journal of Political Economy. 1963. Vol.71, No.5, P. 421-440.

15. Nagaev A.V. Invariant estimation of the characteristic exponent of a stable distribution / Nagaev A.V., Shkolnik S.M. // Theory Prob. Appl., 29, 841872

16. Praetz P.D. The Distribution of Share Price Changes / Praetz P.D. / The Journal of Business. 1972. Vol. 45, No. 1, P. 49-55.

17. Press S.J. A Compound Events Model for Security Prices / Press S J. // The Journal of Business. 1967. Vol. 40, No. 3, P. 317-335.

18. Sapozhnikov P.N. Pseudomixers for strong stable mixers of standard normal law / Sapozhnikov P.N. // XXIII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Pamplona (Spain), 2003, P. 49.

19. Tucker A.L. The Probability Distribution of Foreign Exchange Price Changes: Test of Candidate Processes / Tucker A.L., Pond L. // The Review of Economics and Statistics. 1988. Vol. 70, No. 4, P.638-647.

20. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distribution and Their Applications. Utrecht: VSP, 1999.

21. Барду Ф., Бушо Ж.-Ф., Аспе А., Коэн-Таннуджи К. Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы — М.: Физматлит, 2006.

22. Бендат Жд., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов — М.: Мир, 1974.

23. Бенинг В.Е. Асимптотическое поведение обобщенных процессов Кокса / Бенинг В.Е., Королев В.Ю. // Вестник Московского ун-та. Сер. «Вычисл. матем. и киберн.». 1996. - Вып.З, - С.55-68.

24. Бенинг В.Е. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса / Бенинг В.Е., Королев В.Ю. / Фундаментальная и прикладная математика. 1996, №4, С.957-975.

25. Бородулина E.JI. Два подхода к проверке гипотезы о типераспределения смеси в случае семейства Коши / Бородулина Е.Л., Кротова Е. Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004, Т. 11, Вып. 1,С. 101.

26. Бородулина E.JI. Об аппроксимации плотности распределения инварианта сопряженного смесителя для строго устойчивых смесей / Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2004, т. 11, в. 3, С. 501-502.

27. Бородулина Е.Л. Уточнение разложения в ряд плотности сопряженного смесителя / Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. // Известия научно-образовательного центра «Математика». Пермь, ПГТУ, 2005, С.8-20.

28. Бородулина E.JI. Случай распределения Леви строго устойчивой масштабной смеси / Бородулина Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2005, т. 12, в. 3, С. 654-655.

29. Бородулина Е.Л. Об асимптотическом поведении сопряженного псевдосмесителя строго устойчивых масштабных смесей в случае распределения Коши / Бородулина Е.Л. // Известия научно-образовательного центра «Математика». Пермь, ПГТУ, 2006. С.3-12.

30. Бородулина Е.Л. О сравнении мощностных свойств критериев согласия для строго устойчивых смесей стандартного нормального закона, М.: ОПиПМ, 2006, т. 13, в.2, с. 276-277.

31. Бородулина Е.Л. Об одном методе различения семейств распределений для моделей с тяжелыми хвостами / Бородулина Е.Л. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 2007, т. 14, в.5, С. 860-860.

32. Бородулина Е.Л. О методе расщепления масштабных смесей нормального закона для случая семейства Стьюдента / Бородулина Е.Л. // Вестник Пермского Университета, Сер. «Математика. Механика. Информатика». Пермь, ПГУ, 2008, в. 4(20), с. 9-13.

33. Боровков А.А. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1986.

34. Гамровски Б. Финансовые модели, использующие устойчивые законы / Гамровски Б., Рачев С. // // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 1995, т. 2, в.4, С. 556-604.

35. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1979.

36. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

37. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К, Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. -М.: Наука, 1965.

38. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

39. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1988.

40. Денелъ А.К Дефектоскопия металлов. М.: Металлургия, 1972. — 304 с.

41. Дякин В.В. Прямая и обратная задачи магнитостатики // Дефектоскопия. 1996, - №3. — С.3-6.

42. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей — М.: Наука, 1983.

43. Зацепин Н. Н., Щербинин В. Е. К расчету магнитостатического поля дефектов II // Дефектоскопия. -1966, № 5, - С. 59-65.

44. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения М.: Наука, 1983.

45. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин М.: Наука, 1986.

46. Золотарев В.М. Закон больших чисел М.: Знание, 1987.

47. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательности событий. -М.: Мир, 1969.

48. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика-М.: Мир, 1978.

49. Королев В.Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщенных неординарных процессов Кокса / Королев В.Ю. // Теория вероятностей и ее применение. 1997, Т.42, В.З, С. 359-361.

50. Королев В.Ю. О распределениях, симметризация которых является масштабной смесью нормальных законов. / Королев В.Ю. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. // Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. ун-т. 2000. С. 136-143.

51. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска М.: Физматлит, 2007.

52. Котюк А.Ф., Ольшевский В.В., Цветков Э.И. Методы и аппаратура для анализа характеристик случайных процессов — М.: Энергия, 1967.

53. Кротов JJ.H. Моделирование обратной геометрической задачи магнитостатики в магнитном контроле // Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук, ПГТУ, Пермь, 2004.

54. Кротов JI.H. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению магнитного поля рассеяния. II. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитостатики // Дефектоскопия, 2004, -№6, — С.36-44.

55. Кротова E.JI. Критерии согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных / Кротова Е.Л., Сапожников П.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2002. Т.9, Вып. 1, С. 133.

56. Круглое В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1984.

57. Круглое В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1990.

58. Манделъброт Б. Фракталы, случай и финансы — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.

59. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М: Физматлит, 1995.

60. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985.

61. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. -JL: Энергия, 1968.

62. Орлов A.M. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? / Орлов А.И. // Заводская лаборатория. 1991 Т.57. No.7 С.64-66.

63. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.

64. Петраков Н.Я., Ротаръ В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. -М.: Наука, 1985

65. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

66. Прудников А.И, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды М: Физматлит, 2003. -Т.1: Элементарные функции.

67. Сапожников П.Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщенных процессов Кокса / Сапожников П.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2001. Т. 8, Вып. 1, С. 314-315.

68. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб.: Политика, 2001.

69. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика Томск: изд. Томского университета, 1976.

70. Уилкс С. Математическая статистика. — М.: Наука, 1967.

71. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.2 М.: Мир, 1984.

72. Хинчин А.Я. Работы по теории массового обслуживания. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

73. Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. — М.: Энергия, 1973.

74. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. — М.Ж Наука, 1978.

75. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов / Ширяев А.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики. Сер.: «Финансовая и страхования математика». М.: ОПиПМ, 1995. Т.2, Вып.4. - С. 527-555.

76. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. В 2-х томах. Т.1. Факты. Модели -М.: ФАЗИС, 1998.

77. Щербин В.Е., Горкунов Э.С. Магнитный контроль качества металлов — Екатеринбург: НИСО УрО РАН, 1996.

78. Щукин А.Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах М.: Советское радио, 1974.