автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза

На правах рукописи

Райманова Гульназ Курбангалеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ ПРОФИЛАКТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ ТУБЕРКУЛЕЗА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

п О Г)

и а

< ¿113

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2009

003480313

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВП< «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Спивак Семен Израилевич

доктор физико-математических наук, профессор

Кризский Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Мурюмин Сергей Михайлович

Учреждение Российской Академии наук Институт социально - экономических Исследований Уфимского Научного Центра РАН

Защита диссертации состоится 12 ноября 2009 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430005, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68, корп. 1, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан £ октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук ^^^ Л.А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

В настоящее время активно развиваются актуарные исследования по анализу рисков в страховании. Предложено много моделей, одной из таких моделей является Модель Уилки. В частности, для описания соответствующих моделей используются временные ряды, стохастические дифференциальные уравнения, статистическое моделирование и другие.

Актуарные расчеты - это система расчетных методов, построенных на математических и статистических закономерностях. Они являются основой для регламентации страховых отношений между страховщиком и страхователями, для расчета тарифов по любому виду страхования, для определения доли участия каждого страхователя в формировании страхового фонда, для определения и анализа расходов на страхование конкретного объекта, себестоимости страховой услуги.

Ряд широко известных приложений использует подход, позволяющий применять теорию марковских процессов для моделирования ситуации как поведение системы со многими состояниями. Примерами могут служить задачи, связанные со всевозможными системами массового обслуживания, задачи о рекламе, задачи надежности, а также различные приложения к биологии, химии, физике и т.п. Широкое применение этот подход получил и в актуарной практике, когда модель многих состояний используется для описания состояния застрахованного лица.

При математическом моделировании на основе марковских процессов возникают две взаимно противоположные задачи. Прямая задача состоит в расчете вероятностей соответствующих состояний и другие характеристики процесса. Параметры модели при этом предполагаются известными. Обратная задача состоит в определении параметров модели на основе известных из эксперимента результирующих характеристик процессов.

В марковской модели исходные параметры - это интенсивности, или силы, перехода из состояния в состояние. Когда речь идет о страховых моделях, то эти интенсивности заранее, как правило, неизвестны.

Если методы решения прямых задач хорошо известны, то тематика, связанная с обратными задачами для марковских моделей, начала развиваться только в последние годы.

В задачах медицинского страхования интенсивности переходов - это количество заболевающих, требующих медицинского обслуживания того или иного уровня, количество выздоравливающих, количество умерших в ту или иную единицу времени. В результате решения обратных задач медицинского страхования, как правило, находят интервалы возможных значений для искомых параметров. Величина интервала характеризует уровень изменения интенсивности переходов, оставляющих неизменным некоторые характеристики качества процесса, например, неизменность величины страховых премий и выплат.

Цель работы

Построение методологии решении обратных задач медицинского страхования на основе математических моделей марковских процессов.

Задачи исследования:

- построение математической модели медицинского страхования на основе теории марковских процессов;

- разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса на основе статистических данных;

- численное решение и проведение реальных актуарных расчетов для математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза.

Методы исследования

Поставленные в работе задачи решены с использованием теории марковских процессов, теории графов, интервального анализа, математической теории двойственности для задач линейного программирования. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам актуарной и финансовой математики, математической теории измерений, математического моделирования в задачах страхования.

Научная новизна работы:

1. Разработана математическая модель медицинского страхования на основе теории марковских процессов.

2. Выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность - неотрицательность, ограниченность и существование решения.

3. Сформулирована задача определения интервалов по интенсивностям переходов, сохраняющих неизменными страховые тарифы. Сформулирована двойственная задача, решение которой позволяет оценивать чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

4. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса.

5. Проведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

Практическая значимость работы

Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при

анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан. Результаты исследования использованы в курсах лекций по актуарной и финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. VI Всероссийской научно—методической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск 2007г.).

2. Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи - Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007г.).

3. Девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1 мая - 8 мая 2008г.).

4. Всероссийской научно - практической конференции «Обратные задачи в приложениях» (г. Бирск, 19-20 июня 2008г.).

5. III Международной научной конференции, современные проблемы прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 27 февраля 2009г.).

6. Всероссийской научно - практической конференции по финансовой и актуарной математике (г. Нефтекамск, 30 марта - 1 апреля 2009г.).

7. IV Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 6-18 августа 2009г.).

8. Научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, факультета информатики и робототехники Уфимского государственного авиационного университета, Института социально-экономических исследований Уфимского научного центра РАН, Противотуберкулезного диспансера Республики Башкортостан.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах, Рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций и 5 работ в сборниках тезисов Международных и Всероссийских научных конференций.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (110 наименований). Работа изложена на 100 страницах, содержит 19 рисунков и 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое описание работы.

В первой главе проведен литературный обзор по темам: экономико-математическая модель системы страхования, принципы расчета страховых тарифов, риск смертности, риск заболеваемости, доходность инвестиций и уровень инфляции. В результате приведена расширенная постановка задач диссертационной работы.

Вторая глава посвящена построению и анализу математических моделей медицинского страхования. Основной метод исследования - теория марковских процессов.

В п. 1.1 описываются марковские процессы, системы дифференциальных уравнений Колмогорова и графы состояний. Случайный процесс, протекающий в системе Б, называется марковским процессом (или «процессом без последействия»), если он обладает следующим свойством:

Для каждого момента времени ^ вероятность любого состояния в будущем (при Р^о) зависит только от ее состояния в настоящем (при и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие его зависит только от настоящего состояния и не зависит от «предыстории» процесса.

Марковские процессы делятся на классы по некоторым признакам, в зависимости от того, как и в какие моменты времени система Б может менять свои состояния.

Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы: Б], Бг, Бз,... можно перечислить (перенумеровать) одно за другим, а сам процесс состоит в том, чтобы время от времени система Б скачком (мгновенно) перескакивает из одного состояния в другое.

Кроме процессов с дискретными состояниями существуют случайные процессы с непрерывными состояниями: для этих процессов характерен постепенный, плавный переход из состояния в состояние.

В работе для описания таких процессов используются системы дифференциальных уравнения для вероятностей состояний - уравнения Колмогорова.

Структура уравнений Колмогорова строится по вполне определенному правилу, которое можно сформулировать следующим образом. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «минус»; если в состояние - знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующий данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.

В п.2.2 рассматриваются прямые и обратные задачи для марковских моделей. Прямая задача состоит в расчете вероятностей соответствующих состояний при известных параметрах модели других характеристик процесса. Обратная задача состоит в определении параметров модели на основе известных из эксперимента результирующих характеристик процессов. Приведена модель двух состояний, модель трех состояний.

П.2.3 посвящен математической корректности решений исследуемых систем. Для анализа существования решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений математической модели был осуществлен переход к геометрической трактовке модели марковских процессов с последующим применением теории двудольных графов.

Соответствующая теоретико-графовая интерпретация систем дифференциальных уравнений введена А.И.Вольпертом1 при описании механизмов сложных химических реакций.

Введем следующие обозначения: Х = {Х1,...,Хт} - множество всех состояний марковского процесса, и Б^,,...^} - множество переходов между состояниями. Элементы множеств X и Б являются вершинами двудольного графа. Коэффициент асоответствующий выходу из X, через переход обозначается стрелкой,

идущей от вершины Х,к вершине Аналогично коэффициент рч - изображается стрелками, идущими от вершины к вершине. Эти стрелки являются ребрами двудольного графа.

В результате мы получили конечно ориентированный двудольный граф О: два конечно непересекающихся множества Х = {Х„...,ХП,} и 3 = {з,,...^} и множество ориентированных ребер а.ц и Р1( вида (Х,^) и (б^Х,) соответственно;

= -а;), ¡ = 1,ш, ] = 1,п. Каждой вершине X, соответствует вероятность

состояния р^), каждой вершине б^ - соответствующая интенсивность перехода.

Тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова представляется системой дифференциальных уравнений на графе Г2:

С,=£уЛ(г,С), ¡ = Цп. (1)

При этом функция С) непрерывна по 1 и С(1 > 0) и непрерывно дифференцируемые по С, причем

г^,С)>0 при 1 >0, Ск >0, к = Гт (2)

Х - вершину XI графа П будем называть непосредственно предшествующий Б- вершине если ои > 0. Функция гДг,С) подчинена вершине X,, если гД1,С) = 0 при С =0. Таким образом, все функции гД^С) подчинены всем X-вершинам, непосредственно предшествующим вершине .

1 Вольперт, А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Мат. сб. - 1972. - Т.88(130), №4(8). -С.578—588.

Доказательство корректности построенной математической модели проводилось с помощью следующих утверждений.

Лемма. Пусть C(t) - решение задачи (1) - (2). Вектор X = является

решением системы неравенств

ЦМ<0, j = ü, (3)

тогда функция

a = ZW) (4)

¡•i

является невозрастающей функцией t.

Теорема 1. Пусть существует неотрицательное решение системы неравенств (3): Xj > 0, j = l,m, причем при некотором 1: >1. Путь, C(t) - решение системы (1) - (2). Тогда имеет место оценка

0<С,а)<1^С°, (5)

н

Теорема 2. Если существует положительное решение

¡Ц>0, j = ÍTñb

системы неравенств (3) (или уравнений (4)), то решение задачи (1)-(2) с произвольными неотрицательными начальными данными существует на полуоси t>0.

В п.2.4 исследовано решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова, получены условия прохождения вероятности состояний через максимум.

Третья глава посвящена обратным задачам определения параметров математических моделей страхования. Задачи математической интерпретации измерений, трудности их решения породили фактически новую область математической физики — теорию обратных задач. Эта область имеет дело с задачами, которые в математической физике известны как некорректно поставленные. В связи с этим в п.3.1 приводится критерий определения параметров по экспериментальным данным. К числу таких задач относится и задача определения объема средств необходимых для лечения и профилактики различных заболеваний.

Задача определения параметров рассматривалась в стационарной постановке, то есть в виде систем алгебраических уравнений. Учитывая, что система дифференциальных уравнений Колмогорова линейна по параметрам, все разработанные переходы легко переносятся на эту систему.

Рассматривается задача решения m линейных алгебраических уравнений с п неизвестными

¿ViR^W., 1 < i < m (6)

j-i

Система (б), как правило, является несовместной (число уравнений чаще превышает число неизвестных). Поэтому для проверки соответствия экспериментальных и расчетных данных были введены величины отклонений:

= 1<1<т, (7)

которые рассматриваются как компоненты вектора т^ = (т|,...т12) в ш -мерном

векторном пространстве.

Обычный путь решения задачи (6) состоит в минимизации величины отклонений г|г Вид функции и представляет собой критерий, в смысле которого сравниваются расчетные и экспериментально измеренные величины. Значения параметров, минимизирующие критерий, и считаются наилучшими параметрами, описывающими исходный массив измерений

Методы математической статистики, в частности метод максимального правдоподобия, дают обоснованный вид критерия в случае известного закона распределения погрешности измерений. Если этот закон нормальный, то критерий имеет вид

V 1

но,

где СГ; (] = 1...М) - дисперсии измерений. Критерий имеет вид

для распределения Лапласа и вид

» 1

I—к

но,

тах|Л)|

для равномерного распределения.

Задача определения параметров сводится либо к методу наименьших квадратов, либо минимальных модулей, либо минимизации максимального уклонения — методу выравнивания по Чебышеву, который активно применяется в последние годы при обработке измерений. При этом в качестве критерия используется функция max | r|j |.

Метод Чебышева выбирает из всей экспериментальной информации только (п+1) точку (п - число определяемых параметров), и этот массив образует систему, решение которой наилучшее в чебышевском смысле оценки параметров. Этот критерий по способу своего введения основан на физически очень ясной идее: описать экспериментальные данные таким образом, чтобы была обеспечена равномерная точность описания во всей исследуемой области.

Пусть ||т|| - норма вектора г|. Естественно, что ||т||| зависит от выбора величин

Rr Поставим задачу А: найти вектор R, обращающий в минимум ¡|r](R)jj. В ш

мерном пространстве можно по разному вводить норму, и в зависимости от этого мы получим различные решения.

Если норма евклидова, ||г)|= JZ'']2, то задача А сводится к разысканию

минимума суммы квадратов отклонений - эта задача решается хорошо известным методом наименьших квадратов. Введем норму равенством:

Н = ™?Ы (8)

и будем минимизировать ||г|| как функцию .

Введя дополнительную переменную X, образуем систему неравенств

|H1(R1,...,R.)|SX (9)

и будем искать минимальное X, удовлетворяющее системе (9). Систему (9)

запишем в виде системы линейных неравенств:

—

Задача А может быть сформулирована теперь как задача линейного программирования.

Найти min к при условиях:

-¿v R (10)

j-i

tvjjRj + XSW,, \>0 (11)

j-i

В работе используется важное свойство задач линейного программирования. Оказывается возможным дополнение системы ограничений (10)-(11) системой любых линейных априорных ограничений на исходные параметры, например ограничениями типа а, < k, < ß,...an < kn < ß„.

Такие ограничения часто известны из физических соображений, и их использование существенно уменьшает неопределенность решаемых задач.

Задача А имеет допустимый вектор. Чтобы убедиться в этом возьмем произвольные R,...R„, а параметр Я выберем из условия : Л>шах|г||(К)|.

Совокупность чисел (R,...RnÄ.) удовлетворяет всем ограничениям задачи А, целевая функция задачи А ограничена снизу, так как X > 0, поэтому задача А имеет решение.

В п. 3.2 приведено детальное исследование решения задачи А посредством теории двойственности. Использование двойственных оценок обусловлено их устойчивостью к малым колебаниям измеряемых величин. Двойственные задачи были введены Л. В. Канторовичем при создании линейного программирования, их анализ составляет основное содержание математической экономики. Л. В. Канторовичу2 принадлежит идея применения линейного программирования при математической обработке измерений.

Важно уметь оценивать информационную ценность каждого отдельного измерения при определении параметров модели. Необходимо введение системы оценок значимости измерений при определении параметров моделей. Такая система оценок должна, естественно, возникать при поиске оптимального решения, а сами оценки должны быть: а) объективно обусловлены измерениями; б) устойчивы при малых колебаниях измеряемых величин (в пределах погрешности измерений). Для анализа решения задачи А напишем двойственную задачу Б.

2 Л.В.Канторович, Сибирский математический журнал, т.З, №5, с.701-709,1962.

Найти max£Wi(ui -v,) при условиях:

m

Zv|l(u1-vl) = 0, (12)

i=I

i(u,+v,)Sl, (13)

i«l

us > 0; v, > 0

l<j<n

(H)

Здесь u, - оценка ограничений (11), а v,-оценка ограничений (10).

Заметим, что при решении двойственной задачи не используется никакой дополнительной информации по сравнению с прямой задачей, т. е. двойственные опенки объективно обусловлены измерениями, и только ими. Алгоритмы для решения задачи линейного программирования обычно предусматривают одновременное решение прямой и двойственной задач. И если (k';A.';u*;v') — решения прямой и двойственной задач соответственно, то из первой теоремы двойственности следует, что

N.. N

= =Z(u, -vJcö^maxXiUi-v,^. (15)

Ы ¡.1

Замечательный факт, следующий из теории линейного программирования, состоит в том, что малые колебания в правых частях прямой задачи линейного программирования (в нашем случае экспериментально измеряемая величина w) не меняют решений двойственной задачи. Это значит, что согласно второй теореме двойственности сохраняется подсистема из (п+1)-ого измерения, определяющая чебышевские оценки параметров. Изменения в параметрах при колебаниях измерений в пределах погрешности становятся сопоставимы с величиной погрешности.

Заметим, что совместность системы (6) равносильна тому, что в задаче А ттЯ. = 0. Пусть гшпл. = X > 0. Тогда оценки ll и V; для одного и того же i не могут быть одновременно положительными. Если для какого - то i и, > 0 и v] > 0, то соответствующие неравенства из (10), (11) выполняются как равенства (условия дополняющей нежесткости). Сложив левые и правые части этих неравенств, мы получим, X = 0, что находится в противоречии с предположением X > 0.

Если min X = X > 0, то вместо двойственной задачи можно записать взаимную

к ней:

m

найти min + v.) при условиях:

¡•I

m

Sv,J(ui-vi) = 0,

i=]

m —

IW,(u,-v,) = X,

u; > 0; Vi > 0.

Из этой записи, очевидно, следует, что в оптимальном плане либо U; = 0, либо v, = 0 в зависимости от знака u, - v,.

Величины XV, найдены из эксперимента и заданы с некоторой степенью точности. Изменение величины влечет за собой изменение минимального значения X, так как по первой теореме двойственности эти величины связаны соотношением

^ = = (16)

Отсюда можно заключить, что

— = 2, (17)

8Щ '

Следовательно, величина % характеризует изменение в малом величины X в зависимости от изменения V/,:

(18)

Формула (18) позволяет учесть изменения правых частей.

Задачу выравнивания по П.Л.Чебышеву можно обобщить следующим образом. Определяется вектор (К,,...ДП), удовлетворяющий системе ограничений:

1<1<ш (19)

и минимизирующий следующую линейную формулу:

2,=Ё8Л, (20)

¡-I

где коэффициенты, характеризующие достоверность различных

экспериментальных данных.

В п.3.3 исследуется интервальный подход в задачах определения параметров Предполагаем, что параметры, соответствующие минимуму критерия, найдены и что они достаточно хорошо описывают измерения. Еще относительно недавно такой результат считался успешным окончанием математической обработки эксперимента. Но появились работы, из которых стало ясно, что для одной модели могут существовать несколько наборов параметров, одинаково хорошо описывающих измерения и эти наборы существенно различаются.

В математической статистике задача определения областей в пространстве параметров решается путем введения доверительных интервалов. Но для определения доверительного интервала существенно необходима информация о виде закона распределения погрешности измерений.

Методы линейного программирования дают возможность без гипотезы о законе распределения ошибки найти двухсторонние ограничения по параметрам, такие, что каждая точка внутри этих ограничений достаточно хорошо описывает измерения. На принципиальную возможность этого указывал Л. В. Канторович.

Величина Х = (^.и...Лм) характеризует погрешность измерений, она может быть либо фиксированной в каждой точке, либо также считаться переменной.

Если можно оценить ошибку измерений в каждой точке, то X считается фиксированным. Например, если ошибка эксперимента 10% во всех измерениях и

требуется, что бы модель описывала измерения в пределах погрешности, можно задать X = ОДьу .

Определим теперь интервал по параметру Ц: если взять любую точку внутри этого интервала, то найдутся значения (к,,...^-!,^,,...^) такие, что выполняется система (19), т. е. модель описывает измерения. Для определения такого интервала следует решить две задачи линейного программирования: 1) ттЦпри

ограничениях (19); 2) шахк] при ограничениях (19).

Введем обозначение: ^ =[ттк^тахЦ]. Вектор (!=((![,...Д,) характеризует

степень неопределенности каждого из искомых параметров, вызванную погрешностью измерений.

Выписав двойственные к (19) задачи, получим:

+ (21)

1.1

кГ=|[иГ(-(а1+Х1) + уГ(ш, + ^)] (22)

Здесь к] = тшк;; к" = тахк^ (и';у'); (и";у")—решения соответствующих двойственных задач.

Вследствие неотрицательности и",у', и" V" и их устойчивости при малых колебаниях правых частей в (19) формулы (21) - (22) дают непосредственную связь погрешности в определяемых параметрах с погрешностью измерений.

Пусть нам неизвестна погрешность измерений в каждой точке. Ведь знание Х1 для всех 1 - это фактически знание дисперсии каждого измерения, а его мы лишены. В то же время обычно может быть оценена некоторая суммарная погрешность измерений для всех опытов, либо по группам опытов. В этих случаях естественно считать переменными не только к но и X . Задачи на тш и

тахк] решаются при некоторых дополнительных ограничениях на Х:. Например,

если может быть оценена средняя погрешность измерений по всем опытам, тогда таким ограничением может быть

(23)

¡=1 т

т. е. суммарная погрешность описания сопоставима с суммарной погрешностью измерений £.

Задача (19) - (20) также представляет собой задачу линейного программирования, и ее решение не представляет никаких трудностей по сравнению с исходной задачей

Глава четыре посвящена математическому моделированию медицинского страхования при заболевании туберкулезом, расчету областей неопределенности по интенсивностям переходов модели, определение областей варьирования страховых премий.

В п.4.1 в качестве примера использования методологии и анализа построения актуарных моделей медицинского страхования рассмотрели процесс заболевания туберкулезом.

Медицинская практика и законодательство СССР и впоследствии РФ имеет громадный опыт борьбы с туберкулезом. В настоящей работе анализ медицинских аспектов не проводился. Рассматривалась практика медицинского страхования при лечении и профилактики туберкулеза. Здесь следует отметить, что туберкулез является болезнью, лечение и профилактика которой обеспечены собственным законодательством регламентирующим практику борьбы с этой тяжелой и распространенной болезнью.

Рассмотрим процесс заболевания туберкулезом, как модель многих состояний, которая используется для описания состояния застрахованного лица.

Для процесса заболевания туберкулезом рассмотрим три состояния системы: А1 - «здоров», А2 - «болен туберкулезом», А3 - «смерть», где X ч - интенсивности

переходов из одного состояния в другое. Соответствующая схема представлена на рис.1.

А,

'12

23

>

А,

Рис.1. Граф состояний процесса заболевания туберкулезом

Очевидно, что в реальной практике состояние А2 может быть детализировано на достаточно много состояний, характеризующих ту или иную степень заболевания. В настоящей работе рассматривалась простейшая из возможных схем (рис.1). Было показано, что даже в этом случае могут быть получены результаты, адекватно описывающие реальную практику.

Для нахождения вероятностей присутствия индивида в том или ином состоянии составляются уравнения Колмогорова. Для схемы представленной на рис.1 система дифференциальных уравнений имеет вид:

[ар,«

Л

(24)

Здесь р4(1) (1 = 1,3) - вероятность состояния А.. Начальные условия:

р,(0) = 0,9987645, р2(0) = 0,0012355, р3(0) = 0. (25) Кроме того, для любого момента времени / выполняется нормировочное условие

р,(1) + р2(1) + р,(1) = 1. (26) Когда интенсивности переходов известны, случай сводится к прямой задаче -решению уравнений Колмогорова.

Решаем систему Колмогорова (24) для получаем решение вида:

Х12иЯ,23 с краевыми условиями (25), и

р, -0,9987645

= 0,9987645 - Хп ^ [ 0,0012355-Я.и-А.,2 ^

2 ^23 ~ ^12 ^23 ~ ^12 ^

Рз = 1 - Р1 - Ра

В табл.1 и табл.2 приведены основные показатели по туберкулезу по Республике Башкортостан за 2001-2006 гг.

Таблица 1

Количество человек находящихся в соответствующих состояниях_

2001 2002 2003 2004 2005 2006 '

время 0 1 2 3 4 5

здоровые 3995058 3989765 3986276 3982784 3979308 3975789

больные 4942 9770 12788 15791 18784 21822.

умерло 0 465 936 1425 1908 2389

Таблица 2

Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях_

2001 2002 2003 2004 2005 2006

1 0 1 2 3 4 5

Р. 0,9987645 0,99744125 0,996569 0,995696 0,994827 0,99394725

Р2 0,0012355 0,0024425 0,003197 0,00394775 0,004696 0,0054555

Рз 0 0,00011625 0,000234 0,00035625 0,000477 0,00059725

Интенсивности переходов для математической модели (24) определялись из уравнения (27) как среднее значение интенсивности. Значение интенсивности /,,. также находилось как среднее значение (табл.3).

Таблица 3

Значение интенсивностей переходов_

1 1 2 3 4 5 среднее значение

К 0,001325766 0,001100318 0,001025675 0,000987541 0,000967 0,001081

к 0,00011625 0,00011775 0,00012225 0,00012075 0,000104 0,000116

На основании средних значений показателей А,12 и Х2} по формуле (27) получены расчетные значение вероятностей нахождения системы в состояниях А]-«здоров», А2 - «болен туберкулезом», А3 - «смерть».

Таблица 4

Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях (расчет)

2001 2002 2003 2004 2005 2006

1 0 1 2 3 4 5

Р1 0,9987645 0,997685419 0,996607504 0,995530753 0,994455166 0,99338074

р2 0,0012355 0,002314375 0,003391959 0,004468254 0,005543261 0,00661698

Рз 0 2,05905Е-07 5,36885Е-07 9,9279Е-07 1.57347Е-06 2,27878Е-0(

Графическое сравнение экспериментальных и расчетных данных приведено на рис. 1-3. Видно, что расчет хорошо совпадает с экспериментом. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными дает основание утверждать, что модель, описываемая системой (24), адекватна реальным данным и может быть использована при практических расчетах определения интервалов необходимых средств для лечения и профилактики больных туберкулезом, с последующим расчетом тарифных ставок.

время I

—»— расчет ■ эксперимент]

Рис.2. Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для

состояния «здоров»

0.03 -,

гч

I 0 02 " |

£ 0.01 -о

__ т_-__•

I ---------

о т--;, -,-,-,

0 1 2 3 4 5

время!

| —расчет ■ эксперимент

Рис.3. Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для состояния «болен туберкулезом»

0.005 ч

0.004 (Ч &

£ о.ооз о X

§ 0.002 а

0.001 * -—■- ----й

0 - *

0 1 2 3 4 5

время 1

¡—♦—расчет ■ эксперимент!

Рис.4. Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для

состояния «смерть»

В п.4.2 приведен расчет областей неопределенности параметров модели процесса заболевания туберкулезом. Интервалы изменения интенсивностей Х12 и Хп определялись как решение системы неравенств

¡РГ-РГ^Е,, (г = 1^2), (28)

где Р;"" - табличные данные по вероятностям заболеваний туберкулезом (табл.2);

расчет

- вероятности, рассчитанные по системе (24).

В качестве погрешности измерения е были выбраны значения £,=0,01,

е2 =0,002. -

Рассчитанные вероятностей р 1рамет и р^™" являются решениями системы дифференциальных уравнений. В вычислительном плане процедура решения этих является трудоемкой задачей, требующих значительных вычислительных ресурсов. ! Была написана программа, использующая распараллеливание вычислений. Программа была реализована на суперкомпьютере математического факультета БашГУ.

При решении системы (28) относительно Л,2 и изменения интенсивностей переходов:

Х12 = [0,001;0,0029], Х13 =[0,00001 ;0,2462].

На основании рассчитанных интервалов неопределенности интенсивностей переходов, как системы неравенств (28) (рис.5).

Искомая область может представлять собой достаточно нетривиальные геометрические фигуры. Выделение их без решения системы неравенств невозможно.

Дзз были получены интервалы

(29)

(30)

были построены области решение соответствующей

0.25 ,

I

0.2 0.15

К

Же!! МНИ

0.1

0.05

К

1.5

2.5 ПО3

Рис.5 Область неопределенности интенсивностей переходов при 8, = 0,0 1,Е2 =0,002

В п. 4.3 проведены расчеты областей варьирования страховых премий. Основным методом лечения туберкулеза на данный момент является одновременное применение нескольких (обычно - пяти-шести) антибиотиков, имеющих противобактериальное действие. Современная практика медикаментозного лечения туберкулеза все чаще и чаще сталкивается с проблемой лекарственной устойчивости. Под действием антибиотиков происходит отбор и

накопление изменений в геноме микобактерий, делающих возбудителей туберкулеза устойчивыми к распространенным противотуберкулезным препаратам.

Традиционное деление по уровню лекарственной устойчивости включает три уровня:

• лекарственно-чувствительный (ЛЧ) штамм - чувствителен ко всем антибиотикам;

• лекарственно-устойчивый (ЛУ) штамм - устойчив к одному или нескольким препаратам первого ряда, но не к двум самым эффективным одновременно;

• множественно лекарственно-устойчивый (МЛУ) штамм - устойчив как минимум к двум самым эффективным антибиотикам первого ряда.

По данным РПТД курс стационарного лечения больного туберкулезом составляет в среднем 259000 руб. в год. Интервал изменения этой величины равен [140 ООО руб.; 383 ООО руб.] в зависимости от характера лекарственной устойчивости.

На основании математических ожиданий численности количества больных (табл.1) определены величины расходов на медицинскую помощь больным туберкулезом [6,9М08; 83,57-108].

Из интервала изменения интенсивности перехода Лп был построен интервал изменения средств необходимое для лечения больных туберкулезом, взяв курс стационарного лечения больного туберкулезом в среднем и получили интервал [10,36-10 ,30,04'108].

Рассчитанный по модели интервал изменения требуемых средств на медицинское страхование по лечению и профилактике больных туберкулезом сопоставим с реальным. Более того, найденный нами интервал входит в интервал изменения средств, выделяемых для борьбы с туберкулезом.

Таким образом, предлагаемый метод определения интервала, изменения требуемых средств на медицинское страхование позволяют эффективно решать задачи, возникающие в медицинском страховании.

3 Республиканский противотуберкулезный диспансер Республики Башкортостан

19

Выводы

1. На основе теории марковских процессов разработана математическая модель медицинского страхования, выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность -неотрицательность, ограниченность и существование решения.

2. Сформулирована прямая и обратная задача для математических моделей медицинского страхования. В результате решения обратной задачи находятся интенсивности переходов между различными состояниями процесса, сохраняющие неизменными страховые тарифы. Решение двойственных задач позволяет оценить чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

3. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса. Программный комплекс реализован на суперкомпьютере математического факультета БГУ.

4. Проведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

5. Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Райманова Г.К., Спивак С.И. Область неопределенности по кинетическим константам для одной кинетической модели // Обозрение прикладной и промышленной математики,- 2007. Т. 14(5) - С.923-924.

2. Спивак С.И., Райманова Г.К., Абдюшева С.Р. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2008. Т.15(5)-С.929-930.

3. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическая модель процесса заболевания туберкулезом// Системы управления и информационные технологии, 2009, 2.2(36). - С. 293-297.

Публикации в других изданиях

4. С.И. Спивак, Г.К. Райманова, С.Р.Абдюшева Обратные задачи для марковских моделей медицинского страхования // Страховое дело - 2008. №9(188)-С.36-42.

5. Райманова Г.К., Спивак С.И. Область неопределенности по кинетическим константам для одной кинетической модели // ЭВТ в обучении и моделировании. Сборник научных трудов. VI Всероссийская научно -методическая конференция г. Бирск-2007 С.120-122.

6. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Всероссийская научно - практическая конференция «Обратные задачи в приложениях» г.Бирск - 2008. - С.263-269.

7. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Материалы III Международной конференции Часть 2, г.Воронеж - 2009 г., С44-46.

8. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Финансовая и актуарная математика. Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции г.Нефтекамск - 2009г. С.171-173.

Райманова Гульназ Курбангалеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ ПРОФИЛАКТИКИ И ЛЕЧЕНИЯ ТУБЕРКУЛЕЗА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 07.10.2009 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,38. Уч.-изд. л. 1,51. Тираж 100 экз. Заказ 674.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РЕ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Экономико-математическая модель системы страхования.

1.2. Принципы расчета страховых тарифов.1 о

1.3. Риск смертности.

1.4. Риск заболеваемости.

1.5. Доходность инвестиций и уровень инфляции.

1.6. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕДИЦИНСКОГО СТРАХОВАНИЯ.

2.1. Марковские процессы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова. Графы состояний.

2.2. Прямые и обратные задачи для марковских моделей.

2.3. Математическая корректность решений исследуемых систем.

2.4 Исследование системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

ГЛАВА 3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СТРАХОВАНИЯ.

3.1. Критерий определения параметров.

3.2. Двойственные оценки.

3.3. Интервальный подход в задачах определения параметров.

ГЛАВА 4. МЕДИЦИНСКОЕ СТРАХОВАНИЕ ПРИ ЗАБОЛЕВАНИИ ТУБЕРКУЛЕЗОМ.

4.1. Математическая модель заболевания туберкулезом.

4.2. Расчет областей неопределенности параметров модели.

4.3. Области варьирования страховых премий.

Актуальность темы исследования.

В- настоящее время активно развиваются актуарные исследования по анализу рисков в страховании [1], [19], [20]. Предложено много моделей, одной из таких моделей является Модель Уилки [15], [16]. В частности, для описания соответствующих моделей используются временные ряды, стохастические дифференциальные уравнения, статистическое моделирование и другие [2—14].'

Актуарные расчеты - это система расчетных методов, построенных на математических и статистических закономерностях [91]. Они являются основой для регламентации страховых отношений между страховщиком и страхователями, для расчета тарифов по любому виду страхования [78], [86], [87], [88], [103], для определения доли участия каждого страхователя в формировании страхового фонда, для, определения и анализа расходов на страхование конкретного объекта [101], себестоимости страховой услуги.

Ряд широко известных приложений используют подход, позволяющий применять теорию марковских процессов для моделирования ситуации как поведение системы со многими состояниями. Примерами могут служить задачи, связанные со всевозможными системами массового обслуживания [21], [22], задачи о рекламе, задачи надежности, а также различные приложения к биологии, химии, физике и т.п. Широкое применение этот подход получил и в актуарной практике, когда модель многих состояний используется для описания состояния застрахованного лица.

При математическом моделировании на основе марковских процессов возникают две взаимно противоположные задачи. Прямая, задача состоит в расчете вероятностей соответствующих состояний и другие характеристики процесса. Параметры модели при этом предполагаются известными. Обратная задача состоит в определении параметров модели на основе известных из эксперимента результирующих характеристик процессов.

В марковской модели исходные параметры - это интенсивности, или силы, перехода из состояния в состояние. Когда речь идет о страховых моделях, то эти интенсивности заранее, как правило, неизвестны.

В задачах медицинского страхования интенсивности переходов — это количество заболевающих, требующих медицинского обслуживания того или иного уровня, количество выздоравливающих, количество умерших в ту или иную единицу времени. Решение обратной задачи, как правило, является интервалом в пространстве искомых параметров. Величина интервала характеризует уровень изменения интенсивности переходов, оставляющих неизменным некоторые характеристики качества процесса, например, неизменность величины страховых премий и выплат [97].

Цель работы.

Построение методологии решении обратных задач медицинского страхования на основе математических моделей марковских процессов.

Задачи исследования:

- построение математической модели медицинского страхования на основе теории марковских процессов;

- разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса на основе статистических данных;

- численное решение и проведение реальных актуарных расчетов для математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза.

Методы исследования.

Поставленные в работе задачи решены с использованием теории марковских процессов, теории графов, интервального анализа, математической теории двойственности для задач линейного программирования. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам актуарной и финансовой математики [68], [75], [93] математической теории измерений, математического моделирования в задачах страхования [76], [77].

Научная новизна работы:

1. Разработана математическая модель медицинского страхования на основе теории марковских процессов.

2. Выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность — неотрицательность, ограниченность и существование решения.

3. Сформулирована задача определения интервалов по интенсивностям, сохраняющих неизменными страховые тарифы. Сформулирована двойственная задача, решение которой позволяет оценивать чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

4. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса.

5. Поведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

Практическая значимость работы.

Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан.

Результаты исследования использованы в курсах лекций по актуарной и финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. VI Всероссийской научно—методической конференции «ЭВТ в обучении и моделировании» (г. Бирск, 20-21 апрель 2007г.).

2. Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи - Адлер, 29 сентября - 7 октября 2007г.).

3. Девятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 1 мая — 8 мая 2008г.).

4. Всероссийской научно - практической конференции, обратные задачи в приложениях (г. Бирск, 19-20 июня 2008г.).

5. III Международной научной конференции, современные проблемы прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 2-7 февраля 2009г.).

6. Всероссийской научно - практической конференции, финансовая и актуарная математика (г. Нефтекамск, 30 марта - 1 апреля 2009г.).

7. IV Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 6-18 августа 2009г.).

8. Научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, факультета информатики и робототехники Уфимского государственного авиационного университета, Института социально-экономических исследований Уфимского научного центра РАН, Противотуберкулезного диспансера Республики Башкортостан.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 3 статьи в журналах, Рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертаций и 5 работ в сборниках тезисов Международных и Всероссийских научных конференций.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (110 наименований). Работа изложена на 100 страницах, содержит 19 рисунков и 6 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе теории марковских процессов разработана математическая модель медицинского страхования, выписана соответствующая модели система дифференциальных уравнений Колмогорова и соответствующая ей графическая интерпретация. Доказана математическая корректность - неотрицательность, ограниченность и существование решения.

2. Сформулированы прямая и обратная задача для математических моделей медицинского страхования. В результате решения обратной задачи находятся интенсивности переходов между различными состояниями процесса, сохраняющие неизменными страховые тарифы. Решение двойственных задач позволяет оценить чувствительность границ интервалов к вариации исходных статистических данных.

3. Разработан комплекс программ решения обратных задач оценивания интенсивностей переходов между состояниями процесса. Программный комплекс реализован на суперкомпьютере математического факультета БГУ.

4. Проведен актуарный анализ математической модели медицинского страхования профилактики и лечения туберкулеза. Выявлены реальные границы величин страховых взносов в задачах профилактики и лечения туберкулеза.

5. Проведенные исследования дают специалистам по медицинскому страхованию реальные механизмы расчета страховых тарифов. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ использован при анализе реальных данных по заболеванию туберкулезом, полученным в Противотуберкулезном диспансере Республики Башкортостан.

1. Asmussen S., Y. Rubinstein, Sensitivity analysis of insurance risk modwls via simulation// Management Science, 1999, 45(8), p. 1125-1141.

2. Boyle P.P. Rates of return as random variables // The Journal of Risk and Insurance. 1976. V. 53. P. 693 713.

3. Boyle P.P. Risk-based capital for financial institutions // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (Editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag,1995. P. 47 62.

4. Buhlman H. Life Insurance with Stochastic Interest Rates // Financial Risk in Insurance / G. Ottaviani (editor). Berlin Heidelberg: Springer Verlag,1995. P. 1-24.

5. Hull J. Options, Futures, and Other Derivative Securities. Prentice Hall International, Inc., 1993.

6. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. Charman & Hall, 1996.

7. McCutcheon J .J., Scott W.F. An Introduction to the Mathematics of Finance, Heinemann: London, 1986.

8. Oksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 1995.

9. Panjer H.H., Bellhouse D.R. Theory of stochastic mortality and interest rates // Actuarial Research Clearing House, Society of Actuaries. 1978.V. 2. P. 123- 153.

10. Parker G. Two stochastic approaches for discounting actuarial functions // Proceedings 24th ASTIN Colloquium. Vol. 2. 25 29 July 1993.Cambridge. P. 368-387.

11. Pollard A.H., Pollard J.H. A stochastic approach to actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1969. V. 95(1). P. 79 113.

12. Pollard J.H. On fluctuating interest rates // Bulletin de Г Association Roale des Actuairies Beiges. 1971. V. 66. P. 68 97.

13. Waters H.R. The moments and distributions of actuarial functions // Journal of the Institute of Actuaries. 1978. V. 105(1). P. 61 75.

14. Wilkie A.D. The rate of interest as a stochastic process Theory and applications // Proceedings 20th Int. Congress of Actuarias. Tokyo, 1976. V. l.P. 325-338.

15. Wilkie A.D. A stochastic investment model for actuarial use // Transactions of the Faculty of Actuaries. V. 39. P. 341-381.

16. Wilkie A.D. More on a stochastic asset model for actuarial use // Brithish Actuarial Journal. 1985. V. 1. P. 777-964.

17. Industrial Accident Insurance: Actuarial Foundations. Ed. by V.N. Baskakov, Moscow, Academia, 2001.

18. J.R.Kittrell, W.G.Hunter, C.C.Watson, A.I.Chem. T/Journal, II, №6, 1051, 1965.

19. Бойков A.B. Риск-менеджмент и актуарно-финансовый? анализ в компании по страхованию жизни Журнал: Управление финансовыми рисками, №2, 2009 г.

20. Гончаров А.В. Оценка рисков при страховании грузов, Журнал: Управление финансовыми рисками, №2, 2008г.

21. JI. Клейнрок Теория массового обслуживания М.: Машиностроение, 1979 г. 432 с.

22. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984г. 240с.

23. Баскаков В.Н., Баскакова М.Е. О пенсиях для мужчин и женщин: социальные аспекты пенсионной реформы. М.: Московский философский фонд, 1998.

24. О пенсиях: Сборник законодательных и нормативных документов по состоянию на июнь 1997 года. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М.: БУКВИЦА, 1997. - (Серия "Федеральное законодательство")

25. Пенсионная реформа в России: оценка специалистов / Под ред. В.Н. Баскакова, А.С. Орлова М.: Редакция журнала "Пенсия", 1999.

26. Пенсионное законодательство стран СНГ и Балтии / Сост. А.А. Романов, Е.М. Деева, И.Ш. Ефанова, И.К. Малофеева, О.Ю. Новикова, Д.А. Сангинова. М.: Ассоциация пен-сионных и социальных фондов, Бюро МОТ в Москве, 2000.

27. Пенсия в вопросах и ответах: На льготных основаниях и в связи с работой на крайнем севере, надбавки, повышения и компенсации / Сост. Т.М. Савицкая. М.: Редакция жур-нала "Пенсия", 2000.

28. Петров Д.А. Страховое право: Учебное пособие. СПб.: Знание, Санкт-Петербургский институт внешнеэкономических связей, экономики и права, 2000.

29. Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов: Учебное пособие. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 28 с

30. Давние В.В., Щепина И.Н., Мокшина С.И., Воищева О.С., Щекунских С.С. Элементы экономико-математического моделирования: Лабораторный практикум. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001. - 49 с.

31. Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 140 с.

32. Росс С.И. Математическое моделирование и исследование национальной экономики: Учебное пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. - 61 с.

33. Бурков В.Н., Джавахадзе Г.С. Экономико-математические модели управления производством строительных материалов. М.: ИПУ РАН. 1996.- 69 с.

34. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Кулик О.С., Новиков Д.А. Механизмы страхования в социально-экономических системах. М.: ИПУ РАН, 2001.- 109 с.

35. Свешников А.А. Прикладные методы теории марковских процессов уч.пос. Лань, 2007.

36. А.Т. Баруча-Рид Элементы теории марковских процессов и их приложения, Наука 1969, 512 с.

37. Е.Б. Дынкин Основания теории марковских процессов, Физматлит 1959, 228 с.

38. Портенко Н. И., Скороход А. В., Шуренков В. М. Марковские процессы, Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. Направления.-ВИНИТИ, 1989.

39. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио. 1977, 485с.

40. В. И. Рябикин, С. Н. Тихомиров, В. Н. Баскаков. Страхование и актуарные расчеты, Экономистъ, 2006, 464 с.

41. Вольперт, А.И. Дифференциальные уравнения на графах // Мат. сб. — 1972. Т.88(130), №4(8). - С.578—588.

42. И.С.Березин, Н.П.Жидков, Методы вычислений

43. А.Г.Аганбегян, К.А.Багриновский, Математические методы в экономике, Новосибирск

44. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

45. Розанов Ю.В., теория вероятностей и ее приложения// О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. М.: Просвещение, 1965, с.78-12.

46. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001. - 479 с.

47. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

48. Айвазян1 С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ, 1998.

49. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

50. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1975.

51. Спивак С.И., Абдюшева С.Р. Обратные задачи для марковских моделей. Системы управления и информационные технологии, 2008, N3(33), с. 20-25.

52. Н. Бауэре, X. Гербер, Д. Джонс, С. Несбитт, Дж. Хикман. Актуарная математика

53. И. Г. Петровский, С. JI. Соболев, "О работах академика Жака Адамара по уравнениям с частными производными", УМН, 1936, № 2, 82-91

54. А.Г. Курош, Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука, 1975.

55. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 294 с.

56. А.А. Белов, Б.А. Баллод, Н.Н.Елизарова Теория вероятностей и математическая статистика, Изд-во Феникс, 2008, 318с.

57. А.И.Кобзарь Прикладная математическая статистика, Изд-во Физматлит, 2006.

58. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика, Издательство ФОРУМ; ИНФРА-М, 2006, 240с., ил.

59. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов, Наука, 1986,232с.

60. Хотимский В. И., Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева), М. — Л., 1925, 2 изд., М., 1959

61. Д.Б.Юдин, Е.Г.Голыптейн, Задачи и методы линейного программирования, М.,"Советское радио", 1964

62. Волков В. А. Элементы линейного программирования. М: Просвещение. 1975, 141с.

63. Рейнфельд Н., Фогель У. Математическое программирование. М: Изд. Иностр. Лит. 1960, 335с.

64. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир. 1984, 224с.

65. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М: Высшая школа, 1976, 3522с. .

66. Райманова Г.К., Спивак С.И. Область неопределенности по кинетическим константам для одной" кинетической модели // Обозрение прикладной и промышленной математики — 2007. Т.14(5) — с.923-924 ■ ' . ■

67. Спивак С.Щ Райманова Г.К., Абдюшева С.Р. Математическое моделирование . процесса заболевания; туберкулезом- // Обозрение прикладной и промышленной математики:-2008: Т. 15(5) — с.929-930: '

68. Спивак С.И., Что такое финансовая математика// Соросовский обозревательный журнал, №8,1996; с.123-127

69. Спивак С.И:, Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Всероссийская научно — практическая; конференция; «Обратные задачи в приложениях», г.Бирск — 2008, с.263-269

70. С.И Спивак,. F.K. Райманова, С.Р^Абдюшева Обратные; задачи^ для? марковских моделей; медицинского страхования // журнал Страховое дело №9(188), 2008, с.36-42

71. Спивак С.И;, Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания туберкулезом // Современные проблемы прикладной математики и. математического моделирования. Материалы; III Международной конференции Часть 2, г. Воронеж 2009 г., с.44-46

72. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическое моделирование процесса заболевания- туберкулезом- // Финансовая! и актуарная; математика. Сборник , материалов Всероссийской; научно-практической/, конференции г. Нефтекамск 2009г. с. 171-173

73. Спивак С.И, Райманова U.K. Математическая; модель процесса-заболевания туберкулезом//. Системы управления и: информационные технологии, 2009, 2.2(36). с. 293-297.

74. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

75. Алексеев Б.В., Егорова Д.В., Иваницкий А.Ю. Введение в финансовую и актуарную математику: Учебное пособие для вузов.—Чебоксары: Издательство Чуваш. Ун-та, 2001.

76. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных систем. — М: АНЕШЛ, 2002.

77. Фалин Г.И., Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский Юридический Издательский Дом, 19994.—130с.

78. Александров А.А. Страхование. М.: "Издательство "ПРИОР", 1998. -192 с.

79. Бабич A.M., Егоров Е.Н., Жильцов Е.Н. Экономика социального страхования: Курс лек-ций. -М.: ТЕИС, 1998.

80. Баскаков В.Н. Аддитивная оценка функции дожития и ее применение в актуарной мате-матике // Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. -1999. -№1.

81. Баскаков В.Н., Андреева О.Н., БаскаковауМ.Е., Карташов Г.Д., Крылова Е.К. Страхование от несчастных случаев на производстве: актуарные основы. Под ред. В.Н.Баскакова. М.: Academia, 2001. 192 с. Табл., рис.

82. Крамер, Гаральд. Математические методы статистики / Г. Крамер; Пер. с англ. А. С. Монина, А.А. Петрова; Под ред. А. Н. Колмогорова . -М.;Ижевск: Регуляр.и хаотич.динамика, 2003. 648 с. : ил. - (R&C Dynamics)

83. Бойков А.В. Страхование и актуарные расчеты. М.: РОХОС, 2004. -96 с.

84. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999. - 120 с.

85. Баскакова М.Е., Баскаков В.Н. Обязательства НПФ и проблемы страховой статистики / Финансовый бизнес. 1997, №4 (42)

86. Дрошнев В.В. Обязательное медицинское страхование в России. М.: "Анкил", 2004. - 160 с.

87. Федеральный закон "Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний" с комментариями / Под ред. Коршунова Ю.Н. М.: Научный центр профсоюзов, 1999.

88. Финансирование здравоохранения в условиях обязательного медицинского страхования. Учеб. пособие / В.З.Кучеренко М.: 1998. -142 с.

89. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарную математику. Учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998. - 63 с.

90. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхование жизни и пенсионных схем). М.: Анкил, 2001. - 176 с.

91. Основы актуарной математики I: Перевод с англ., Кемерово, 1996, — 118 с., ил.

92. Соловьев А.К. Актуарные расчеты в системе пенсионного страхования. М.: "Финансы и статистика", 2005. - 239 с.

93. Фалин Г.И., Фалин А.И., Введение в актуарную математику. М.: Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В.Ломоносова, 1994. - 86 с.

94. Ермаков С.И., Михайлов Г.А., Статистическое моделирование, 2-е изд., дополн. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 296с. :ил.

95. Курс социально-экономической статистики: Учебник для Вузов / Под ред. проф. М.Г. Назарова. М. Финстатинформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

96. Мэйндоналд Дж., Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике/ Пер. с англ. Б.И.Клименко, А.В.Гмыри. / Под ред. Е.З.Димиденко. М.: Финансы и статистика, 1998. - 350 е.: ил. -(Математико-статистические методы за рубежом).

97. Архипов А.П., Гомелля В.Б. Основы страхового дела. Уч. пособие. -М.: "Маркет ДС", 2002. 413 с.

98. Бендат Дж., Пирсол А., Прикладной анализ случайных данных; Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. 540с.: ил.

99. Венцель Е.С. Исследование операций. М., «Советское радио», 1972, 552 с.

100. ЮО.Гвозденко А. А. Финансово-экономические методы страхования: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1998. - 184 с.

101. Гербер X. Математика страхования жизни. Пер. с англ. — М.: Мир, 1995.

102. Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учеб. пособие. М: Финансы и статистика, 2004. - 352 с.

103. Грищенко Н.Б., Клевно В.А., Мищенко В.В. Добровольное медицинское страхование. Основы соврем, практики Барнаул: Изд-во Алт. гос. ун-та, 2001. - 79 с.

104. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики// Под общей редакцией Б.П.Демидовича, М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 660с. :ил.

105. Выплаты по страхованию от несчастных случаев на производстве и профзаболеваний. Сборник // Г.Симоненко. М.: Социздат, 2001. -303с.

106. Кокс Д.Р., Оукс Д., Анализ данных типа времени жизни// Пер. с англ. О.В. Селезнева, М.: Финансы и статистика, 1988. - 191 е.: ил. -(Математико-статистические методы за рубежом).

107. Корнилов И.Л. Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 400 с.

108. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной промышленной математики. 1995. Т.2. № 4. С. 514-526.

109. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики М.: Наука, 1984.- 264 с.

110. Ширяев А.Н., Вероятность. М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1980. - 576с.а