автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов и алгоритмов оптимизации риска в задачах перестрахования

На правах рукописи

Ле Динь Шон

/ __

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ РИСКА В ЗАДАЧАХ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ии^070522

Санкт-Петербург - 2007

003070522

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им В И Ульянова (Ленина)

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Григорьев Ю Д

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Постников Е В доктор технических наук, профессор Истомин Е П

Ведущая организация - Сибирский федеральный университет (г Красноярск)

Защита диссертации состоится " ¿3 " /isC&Q, 2007 г в часов на заседании

диссертационного совета Д 212 238 01 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им В И Ульянова (Ленина) по адресу 197376, Санкт-Петербург, ул проф Попова, 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан " ¿Cf " 2007 г

Ученый секретарь диссертационного

сов

Пантелеев М Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Принимать решения приходится во всех областях человеческой деятельности В различных областях экономики и инженерной практики все чаще возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень весомы В связи с этим появляется потребность в разработке методов и алгоритмов принятия решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность Такая тенденция неизбежно требует формализации процесса принятия решений, что может оказать существенную помощь при решении практических задач

В теории и практике страхования одной из наиболее сложных процедур принятия Business Intelligence решений (BI-решений) является перестрахование, т е операция между двумя страховыми компаниями, при которой одна их них передает, а другая принимает часть риска в обмен на выплату страховой премии Поскольку в задачах перестрахования принимаемые решения неизбежно связаны с риском, то и постановка соответствующих задач должна заключаться в том, чтобы сводить этот риск к минимуму Следовательно, общий подход к постановке задач перестрахования на основе теории риска и теории принятия решений должен включать некоторые новшества в процессе обработки информации, в частности, давать в руки бизнес-аналитику дополнительные критерии, руководящие им при выборе решения

Начиная с 90-ых годов прошлого столетия, к исследованиям в области математического и информационного обеспечения задач страхования, проявляется все больший интерес со стороны производителей различных информационных технологий (IT-технологий) Разрабатываемые в настоящее время IT-компаниями соответствующие IT-технологии, включая Data Mining, активно используются страховщиками для решения разнообразных стратегических и текущих В1-задач

Таким образом, актуальность исследования задач перестрахования, как одной из сфер автоматизации страхования, определяется, с одной стороны, необходимостью построения полного цикла использования аналитической информации для поддержки принятия BI-решений, а с другой стороны, необходимостью привнесения мирового опыта использования IT-технологий в страховании на российскую почву

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов оптимизации риска в задачах перестрахования и создание инструментальной среды анализа моделей рисков в виде соответствующей системы алгоритмов и программ

Предметом исследования являются математические модели и методы оптимизации риска в задачах перестрахования

Исследовательские задачи, решаемые в диссертационной работе для достижения поставленной цели

1 Постановка задачи перестрахования как задачи принятия решений классификация рисков и разработка на ее основе обобщенной функции дележа риска, позволяющей параметризовать процедуру принятия решений

2 Анализ модели индивидуального риска в задачах перестрахования, в том числе разработка методов, алгоритмов и программ оптимизации риска по различным критериям моментного и квантильного типов с учетом областей предпочтения, соответствующим отношению порядка стоп лосс, вероятности неразорения и прибыли

3 Анализ модели коллективного риска в задачах перестрахования, в том числе разработка методов, алгоритмов и программ оптимизации риска в динамической модели Крамера-Лундберга по различным критериям, включая характеристический коэффициент Лундберга, вероятность неразорения страховщика, Va.Il и СУаН

4 Аналитическое исследование классического процесса риска (марковская модель коллективного риска Крамера-Лундберга)

Методы исследований В диссертационной работе использовались теория принятия решений, теория риска, актуарная математика, теория вероятностей, методы оптимизации, численные методы решения интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода

Научную новизну представляют следующие результаты

1 Обобщенная модель дележа риска, позволяющая параметризовать процедуру принятия решений на множестве всех известных способов комонотонного и некомоно-тонного дележа риска

2 Алгоритмы построения областей предпочтения в модели индивидуального риска, в том числе впервые с испотьзованием отношения порядка стоп лосс, при квотном и эксцедентном способах дележа риска

3 Алгоритмы оптимизации риска в модели Крамера-Лундберга при квотном, эксцедентном и других способах дележа риска, основанные на предложенной автором экс-цедентной форме уравнения Крамера

4 Аналитические результаты а) нижняя граница <5 = <? — г > 0 величины разности между шириной удержания д и уровнем удержания г для экспоненциального, Эрлан-га и Парето распределений при частично-эксцедентном дележе риска, гарантирующая страховщику преимущество перед перестраховщиком в смысле отношения стоп лосс, (б) модификации уравнения Крамера для вероятности неразорения в задачах перестрахования, (в) решение эксцедентного уравнения Крамера для марковской модели риска Крамера-Лундберга

Научные положения, выносимые на защиту

1 Алгоритмы оптимизации риска в краткосрочных моделях индивидуального риска

2 Алгоритмы оптимизации риска в динамических моделях коллективного риска Крамера-Лундберга

3 Аналитический результат эксцедентное уравнение Крамера для обобщенной модели перестрахования в модели риска Крамера-Лундберга, решение уравнения Крамера в случае классической модели риска для эксцедентного и частично-эксцедентного перестрахования

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в разработке комплексного подхода к задаче перестрахования с точки зрения его алгоритмического и программного обеспечения Конкретную практическую значимость имеет разработанная автором инструментальная среда анализа моделей риска в виде системы алгоритмов и программ анализа рисков САПАР, основанная на полученных автором теоретических и экспериментальных результатах

Внедрение результатов работы Разработанные методы, алгоритмы и программы актуарных расчетов использованы в Северо-Западном региональном филиале стра-

ховой акционерной компании "ЭНЕРГОГАРАНТ"(Санкт-Петербург), ООО Консультационный Центр "Универс Компакт" (Новосибирск) и в учебном процессе кафедры МО ЭВМ СПбГЭТУ

Апробация работы Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

- XI Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиотехника, электротехника и энергетика", посвященной 75-летию Московского энергетического института (Москва, 2005 г),

- III-VI Всероссийских ФАМ-конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2004-2007 гт),

- XV Международной научно-технической конференции "Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании"(Пенза, Пензенская государственная техническая академия, 2005 г),

- Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-2005 (Санкт-Петербург, СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2005 г),

- V, VI Международных Научных Школах "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" MA BP (Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 2005, 2006 гг),

- ежегодных научно-технических конференциях профессорско - преподавательского состава Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ", 2005-2007 гг

Публикации По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, из них - 4 статьи (2 статьи - из перечня изданий, рекомендованных ВАК) и 7 работ -в научных трудах международных и Всероссийских конференций

Структура и обьем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы, включающего 128 наименований, и четырех приложений Основная часть работы изложена на 131 страницах машинописного текста Работа содержит 38 рисунков и 21 таблицу

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность и научная новизна, изложены цели, задачи и методы исследования, практическая значимость диссертационного исследования

Первая глава (разделы 1 1, 1 2) носит обзорный характер и посвящена развернутому освещению современного состояния исследований в области теории риска и автоматизации страхования в России

В разделе 1 1 даются определения понятия риска и основных моделей анализа рисков приводится краткий обзор развития актуарной науки в России Отмечается вклад в развитие теории риска и математической теории страхования как ряда российских ученых (А В Бойков, Б В Булинская, О Ю Воробьев, А Ю Голубин, О А Змеев, В В Калашников, Ю С Кан, А И Кибзун, Г М Кошкин, Ан А Кудрявцев, В К Малиновский, ГА Медведев (Беларусь), А А Новоселов, Г И Фалин, С Я Шоргин и др ), так и зарубежных (К Borch, С D Daykin, Н Gerber, С Hipp, W Hurlimann, Т Mack, Н Н

Pandjer, T Penticamen, H Schmidli, E Straub, M Taksar, M Vogt, S S Wang, G E Willmot etc ) Перечисляются основные научные школы и центры актуарных исследований и образования в России

В разделе 1 2 приводится краткая информация о проблемах развития IT - технологий автоматизации страхования в России Приводятся данные опросов о качестве и потенциальном спросе на BI-решения, о факторах, препятствующих и способствующих автоматизации страхования Дается краткая характеристика разработанной в диссертации системы алгоритмов и программ анализа рисков (САПАР) (рис 11) как подсистемы более общих систем поддержки принятия решений (СППР)

IT - продукты

С УВД

(Oracle, SQL DB Fo\pro )

Аналитические системы техни ческий анализ рынка страховых ус-пуг, индексы коэффициенты пока ззтели. прогнозы_

Иоделиро ванне финансовые сце-(зарин развития событий при различных предположениях и управ-

Упрпвленне выработка управленческих решений на основе анали гического анализа данных

Автоматизация архивы данных, прецеденты, все виды отчетности ' зарплата и т д.

j Специалкифов'шнпя платформа для| создания стртазвьгу ГГ-решешсй

' Системы Бонус-Малус (СБМ)

: Расчет тарифных ставок

Расчет резервов

•Задачи обмена рисками (ретроцес • сия. Пар сто-оптимизация)

Систем! алгоритмов и программ1 мпшт рисков (С -ШАР*

СППР

Рис. 1 1 Программные продукты ГГ-компаний в страховании

Вторая глава (разделы 2 1-2 3) посвящена классификациям моделей перестрахования по способам дележа риска и мер риска по их свойствам

В разделе 2 1 задача перестрахования формулируется как задача принятия решений определяются понятия цели, решения и критерия качества решения В качестве решения рассматривается векторный параметр й, который определяет расщепление риска X на две составляющие У = д{Х,й) и X = X — д(Х,<1), первая из которых удерживается страховщиком, вторая - перестраховщиком Выбор наилучшего решения означает выбор наичучшего распределения Ру в классе возможных распределений й е V} Если на Т задан монотонный функционал ц, то задача выбора наилучшего распределения сводится к задаче оптимизации

и(Ру) —» тах(пип) (1)

¿е® йен 4 ;

Схема перестрахования, как задача принятия решений, представлена на рис 1 2

В разделе 2 2 приводится классификация моделей перестрахования по двум признакам по способу дележа риска, или виду перестрахования, и по свойствам функции

дележа страхового риска X (табл 2 1) Пропорциональный и непропорциональный виды перестрахования определяются функциями дележа риска д и к такими, что

У = д{Х), г = к{Х), (2)

где X = У + 2 В зависимости от вида функций д и /г риски У и X обладают разными свойствами Важнейшим из них является свойство комонотонности

Перестрахование * Л11_Л_г

Л • прннныаемное решенне

тш Р, с, Ш, Рг

I «н Рг

—^

Рг

Рис. 1 2 Перестрахование как задача принятия решений

Риски У и ¿Г называются комонотоннъши, если д и Н - неубывающие функции При квотном перестраховании риски Уи2 задаются функциями д(х) = ах и /г(х) = (1—а)х, а £ (0,1), при эксцедентном перестраховании - лейерами, т е преобразованиями случайных величин вида

Ха,а+ь = тт{тах(0,Х - а),Ь}, а > О, Ь > О

Практика реального страхования показывает, что наряду с комонотонным разделением рисков, иногда бывает необходимым прибегнуть к некомонотонному их разбиению Примером такого разбиения является условная франшиза, при которой функции дележа д(х) и Ь,{х) разрывны, не являются монотонными и имеют вид д(х) = х1{г — х), к(х) = х1(х — г), где /(г — х) - индикатор события {х < г}

Таблица 2 1 Классификация моделей перестрахования

Комонотонные риски Некомонотонные риски

Пропорциональное квотное -

Непропорциональное эксцедентное, частично-эксцедентное условная франшиза, смешанная франшиза, эксцедентно-квотное

С алгоритмической точки зрения удобно объединить комонотонный и некомонотон-ный способы дележа рисков в единое целое В работе предложена обобщенная модель, или функция дележа риска

Страховая компания

Х = У+2

Цедент

Перестраховщик

д{х,й) = а + (1 - а)а:

- {(г - х)Цг -х) + {а-г + {1- о)х)1(г + д- х)}, (3)

где d = (г, <7, a, s) - принимаемое решение о дележе риска При s — г получаем комсь нотонные схемы дележа риска, при s^r(0<s<r + <?)- некомонотонные Задавая конкретные значения векторного параметра d получаем шесть различных дележей риска, исследованных в диссертационной работе Для всех дележей риска X с функцией распределения F найдены функции распределения Fy, F% рисков Y и Z и их моменты тку = МУ*, mkz = MZk, используемые в САП АР

В разделе 2 3 дается краткий обзор отношений порядка на множестве распределений риска J-, которые задаются с помощью мер риска Основное внимание уделено отношению порядка стоп лосс <s¡, согласно которому Y <s¡ Z (риск Y не превосходит риск Z в смысле <s¡), если

Vi е [0, оо) тгу(х) < тгг(х), (4)

где тг(х) = — F(t)]dt Области

Ау = {х > 0 тту(х) < irz{x)}, Az = {x> 0 жг(х) < тгу(х)} (5)

назовем областями <s¡-, или А-предпочтений

Для ответа на вопрос, связаны ли риски Y и Z отношением порядка Y <s¡ Z, в САПАР используется известное KNST-условие В качестве следствия из него для случая эксцедентного перестрахования (Y = Xq r, Z = ХГ:00) в работе получена следующая характеризация областей А-предпочтения (5)

Предложение 1 Пусть выполнены следующие условия

(1) X ~ F, supp F = [О, Ь], У = Х0,г, Z = Xrjoo,

(2) Г[ - корень уравнения miy = miz

Тогда

(1) Ау = [0,г1],Аг = [\,Ъ],

(2) Ar = (гi, |) - область неопределенности отношения <s¡

Из предложения 1 следует, что отношение <s¡ не является полным Для частично-эксцедентного перестрахования (У = X¡¡ Т +Xr+?i00, Z — XT¡r+q) в работе также получена характеризация отношения <s¡, являющаяся следствием KNST-условия

Предложение 2 Пусть выполнены следующие условия

(1) X ~ F, supp F = ¡0, оо), Y = Х0 r + XT+q Z = Xr,r+g,

(2) <5 = q - г > 0, и(<5) = тг(2г + 5) - §тг(2г)

Тогда

(1) если и(5) >0, то Z <s¡ Y,

(2) функция и{5) вогнута по 5 € [0, оо) и имеет на [0, оо) единственный нуль 5*

Для двух распределений риска, экспоненциального Ехр{ 1) и Парето Pa(ot, 1), величины <5* найдены в явном виде

(1) X ~ Ехр{\) F(x) — 1 — e~z 5* = log 2

(2) X ~ Ра(а, 1) ^ <5* = ( - 1)(1 + 2г)

Для распределения Эрланга, X ~ Er( 1) F(x) = 1 - (1 + х)е~х, показано, что <5* -корень уравнения 6 = log ^2 + ^ или

= -W(-1, -(1 + r)e-2(1+r>) - 2(1 + Г),

где — 1,х) - ветвь ^-функции Ламберта у = УУ(х), являющейся, по определению, обратной к функции х — гег для комплексных г; Для х € (—е_1,0) функция Ламберта принимает вещественные значения

В разделе 2 4 рассмотрены классы и свойства мер риска, представленных в САПАР Выделены классы мер моментного и квантильного типа К третьему классу отнесены меры риска, используемые в модели коллективного риска коэффициент Лундберга, вероятность неразорения и др Кратко отмечены когерентные меры риска К первому классу относятся среднее гп\ = МХ, дисперсия а2 = ВХ, коэффициент вариации V = а/т.1 и различные комбинации моментов тку и т^г, ко второму - меры риска УаЛ.а(Х) = Г"1 (а) и

1 А00

СУаЯа{Х) = УаЯа(Х) +- / (1 - Р(х))с1х (6)

Класс когерентных мер предложен в литературе недавно Он определяется аксиоматически и представляет большой теоретический интерес К нему, в частности, относятся т1 и СУаЯа(Х) Отмечаются свойства монотонности квантильных мер риска относительно отношения порядка стоп лосс <8( Эти свойства в дальнейшем используются при построении алгоритмов САПАР

Третья глава (разделы 3 1-3 3) посвящена анализу алгоритмов перестрахования (/-алгоритмов) в модели индивидуального риска

В разделе 3 1 определяются модель индивидуального риска, ее исходные предположения, приводится практический алгоритм актуарных расчетов, в том числе вероятностей неразорения = (Ц'у, в задаче эксцедентного перестрахования

Пусть N - количество однотипных договоров страхования с одинаковым сроком действия ¿о и возможными выплатами Х% по г-му договору, с = (1 + в)ЫЫ.Х\ Тогда в рамках модели индивидуального риска страхуемый риск X и вероятность неразорения IV компании определяются выражениями

х (о, К1 о, Г1, ¿<¿0,

Обозначим г] = (в, £), р^ = (ру,рг) Основная идея всех /-алгоритмов - построение отображения б (ч.е?) ^ (Ии принятие оптимального решепия сГ на основе анализа областей ^„¡-предпочтения Ау, А2 и областей IV- и Р-предпочтений

Ву =|(т?,а) IВг

Ру = {(»?,<0 Рг<Рг}, Рг = {(»7,с0 рг < РУ}

Пусть X ~ Р, те Р(:г) = Р{Х < х}, гпх = МАГ, ту = т^у и т2 = т1г По определению, су = (1 + 6)7711 — (1 + сг = (1 + - ожидаемые доходы страховщика и перестраховщика Поэтому координатные функции отображения б имеют вид

= (Ру (су), Рг(с2)), рл — (су -ту,с2 - тг) (7)

Функции распределения Ру, Рг и средние ту и тг однозначно определяются решением й Области и Р-предпочтений визуализируются с помощью графического

интерфейса /-алгоритмов в (а,в/£)- или (г, ^-плоскостях (для квотного и эксцедентно-го перестрахования соответственно)

При анализе рисков У и 2 в последующих /-алгоритмах используются оптимальные решения А* = а^тт^ц <р,(<1), 1 = 1, ,4, где

<Р1

Ч>2

= (ту - тг)2 _2

- квадрат разности средних, = Сту + сг^ ~ сумма дисперсий,

Vз = ^(к-г)2 = М(У — 2)2 - средний квадрат отклонения, <РА = <Р\ + ^2

Алгоритм 31 В данном алгоритме задача выбора оптимального решения б. не ставится Это обычный алгоритм практических расчетов при заданном д. В данном случае полагаем

Дальнейший порядок расчетов и анализ влияния выбираемого решения <1 при нормальной аппроксимации иллюстрируются в работе на числовом примере в случае эксцеден-того перестрахования

В разделе 3 8 рассматриваются /-алгоритмы перестрахования для квотного, эксце-дентного и частично-эксцедентного перестрахования Всего представлено 6 алгоритмов Алгоритм 3 8 Квотное перестрахование Пусть X = У + 2, где У = аХ, 2 — (1 - а)Х, 0 < а < 1 (рис 3 1) Тогда Су = {(1 + €)а ~ (( - 0)}ти сг = (1 + 0(1 - а)ти Рг = « ~ (£ - 8)}ти Рг = (1 - а)£т 1

Свойства

У = аХ, г = (1 - а)Х,

Р2(х) = р( Ьу = ьг = V

(а) страховщик

(б) перестраховщик

Рис 3 1 Квотное перестрахование

Исходя из выражений для /"у, ,Рг, условия неотрицательность прибыли ру > 0 и отношения порядка <,1 определяем области предпочтения обеих сторон (рис 3 2)

е/6

(3)

(5)

(2)

(4)

Ж-

2(1-а)

(6)

о-О)

05

Рис 3 2 Области предпочтений

(1)У<,1 г,\Уу>\Уг,ру>Рг,

(2) 2 <3, У, 1¥у >Ш2,ру> р2,

(3) У Л, ]Уу > рг > ру,

(4) 2 <а, У, IУу > ]¥2, рг > ру,

(5) У И^ > И/у, рг > ру,

(6) ^ <5, У, > Шу, р2 > ру

Эксцедентное перестрахование В отличие от квотного перестрахования, при данном способе дележа риска (рис 3 3) вероятности неразорения и прибыли обеих сторон меняются в зависимости от г и нагрузок т] = (#,£) более сложным образом У

Свойства

У — % — -Хгоо>

Fy(x) =

F(x), х < г,

1, х > г

„ . . ,0, 1 = 0, Fz(x) ={

(а) страховщик (б) перестраховщик | F(x + r), х>0 '

Рис 3 3 Эксцедентное перестрахование

Основная идея представленных в работе алгоритмов 3 3-3 5 состоит в построении областей A-, W- и Р-предпочтений и некоторых простых рекомендаций по их использованию при выборе решения г и нагрузок безопасности г] = (в, £) Существующие в теории принятия решений более сложные алгоритмы выбора на основе областей предпочтения (оптимальность по Парето, оптимальность относительно обобщенных критериев и т д ) в работе не рассматриваются

Алгоритм 3 3 Обозначим аТ = ту, br = mz и пусть supp F — [0, b] Если b < оо, то борьба интересов за выбор г в смысле <а1-предпочтений обычно разворачивается в промежутке Наилучшим ^¡-предпочтением для страховщика в этой ситуации

является стратегия Гу = тi, а для перестраховщика - стратегия гг = | Однако, в общем случае, алгоритм выбора d должен учитывать также W- и Р-предпочтения

В данном случае имеем cr = (1 -f 9)mi - (1 + £)ЪГ, cz = (1 4- f)br, pY = 6mi - £br, pz = ibr Геометрию областей W- и Р-предпочтений описывает теорема

Теорема 1 Пусть т\ = MX < оо, supp F = [0,6], г - заданный уровень удержания Имеют место утверждения

BZ = W)eH2 0 > 0, maxje, (l + - i < (l + ffV},

(2) PY ={(e,Oefi2 £>6>rrn/2br}, Pz = {(»,()€ü! £<0mi/2&r}

Фиксируя б, с помощью полученных характеризаций областей W- и Р- предпочтений строим области Ау, Az, BY,Bzn PY, Pz в (г, ^-плоскости Окончательное решение о выборе нагрузок г/ = (в, £), а, значит, и стратегии перестрахования принимается после анализа этих областей на основе перебора значений rk или каким-либо другим, в том числе неформальным, способом Идея алгоритма показана на следующем примере

Пример 1 Пусть X ~ Rav(0,1) Тогда or = br = п = argmmc/^r) =

= 0 2929, |=05 Следовательно, Ау = (0,0 2929), Аг = (0 5,1), Д. = (0 2929,0 5) - область ¿¡¡(-безразличия Зафиксируем 0 = 05 Области <sl-, W- и Р-предпочтений показаны на рис 3 4 □

Ру < Рг, РУ < Рг, Ру < рг, Ру < Рг, Рг < Ру, Рг<Рг, Рг < Ру, Рг < Ру-

Алгоритм 3-4 заключается в построении областей Ж и Р-предпочтений на основе уравнения баланса СУаЯа(Х) = (1 + $)т.1. Данный вариант принятия решения опирается на следующую теорему.

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

(1) Го1 = МХ < оо; 3%рр Р « [0, 6];

(2) с = (1 + <?о)т1, (V = с — (1 + (,о)ЬТ - уравнение границы между Ву и В у-,

(3) йо - коре«* уравнения СУаЯ^, — с;

(4) 5* = ао/(1 - ао).

Тогда уравнение с? = т имеет :

(1) два решения т' > 0 и г"* > 0, если <

(2) единственное решение Го = если =

(3) нуль решений, если £о > 4* -

Пример 2. Пусть X ~ Ехр( 1). Тогда т, =1 и УаНа(Х) = — 1ой(1 — й). Согласно (6) уравнение СУсЯд = с принимает вид - 1о§(1 — а) + 1 = 1 + в, откуда находим а = 1 — е~$, £* = <? — Д. Зафиксируем в0. В (г. £)-шюскости строим IV- и Р-области предпочтения (рис. 3.5). Согласно теореме 2 точка (г*,4") = - 1) - вершина

кршюй ( = £(г), Если Со < то Vr0 е (г',г") => (го,£о) е Ву. Поскольку тч — 1о§2 =

Числовые данные к примеру 2: в0 = 0.68, = е0'68 - 1 = 0.9739.

(а) 0.78 = Со < С, г• = 0.1539, г" = 1.0686, Го 6 (г',г") (г0,Со) 6 Ву, если г о < г* или Го > г", то

(го.&КДз;

(б) если Со > Г = 0-9739, то (го.Со) е Вг.

Алгоритм 3.5 является вариантом алгоритма 3.3 и иллюстрирует процедуру выбора т на основе областей IV- и Р-предпочтений на основе теоремы 1, но в пространстве нагрузок безопасности щ — (6,0-

02 о.з ад и се

Рис. 3.4. Области предпочтений.

(1) к <„ г, < Жг,

(2) к 2, щ < щ

(3) у Ф г, Щ, < Юг,

(4) У ф 2, Шг < Щг,

(5) у + Шг <

(6) 2 <„ У, Щг <

(7) г <„ к, Щг < У?г,

(5) г к, % < Щ-,

Пример 3. X ~ Яяг'(0,1), г; = 1 — | = 0.5. Решение о выборе г принимается яа основе анализа областей IV- к Р-предпочтенай, представленных на рис. 3.6. D

am fus 010 dii ал ox ci

а.» ол о< яш

(a) г = 0.2 < п

do <н о.э w as об ат q.b о9

(б) г = 0.4 € [гь U

Рис. 3.6. Пример 3. \¥- и Р-области. Частично-зксцедентное перестрахование. Алгоритм анализа рисков для данной схемы дележа риска (рис. 3.7) более сложен, чем в предыдущем случае. Поэтому в САП АР представлены более простые алгоритмы 3.6 и 3.7.

т

Частично-эксце.дентное перестрахование'.

"У Хй<г •+■ Хг+ц1(хп % = ХГ Т г,; Параметры: г - уровень удержания; q - ширина зоны удержания перестраховщика.

r+q

(а) страховщик (б) перестраховщик

Рис. 3.7. Частично-эксцедентное перестрахование,

Алгоритм 3.6 заключается в оптимизации по г функционалов fffi, g) при q = r+S', где функция <5* = S(r) определяется, аналитически или численно, заранее.

Пример 4. X ~ Ехр(1), ipy(r, q) = (cy-my)/try • maxr>0. Пусть £/0 = 0.5,1.0,1.5. Графическая интерпретация определения оптимального значения г* показана на рис. 3.8а, график (г, г Н- log 2) - на рис, 3.86. □

ос ;> 1.0 t.5 70 ао э.5 до

о d : s id 1.5 2.0 3.s j j 3.5 * :. л 5 50

(а) Граница ^.¡-предпочтений (61 <py(r,q) = tpy(r,r + log2).

Рис. 3.8. Максимизация функционала tРу[т, q) — (су — my) jay.

Алгоритм 3 7 заключается в минимизации функционала <P2{r,q) = Oy + В данном случае значения г и q находятся с помощью решения нелинейной системы двух уравнений, которая приводится в диссертации

В разделе 3 3 приведены примеры эксцедентных стратегий управления рисками в теории технического обслуживания сложных систем и управления запасами

В четвертой главе (разделы 4 1-4 4) рассматриваются С-алгоритмы оптимизации риска в эксцедентной модели коллективного риска Крамера-Луядберга по критериям

Р\{М) = R{M) —> max - коэффициент Лундберга,

рг(г) = Wx(г) —> max - вероятность неразорения при заданном х,

Рз{г) = VaRi-c(r) —» mm - начальный капитал при Wr{x) > 1 — е,

Piir) = CVaR\-€ —» min - условный VaR при WT(x) > 1 — £

В разделе 4 1 определяется модель коллективного риска Крамера-Лундберга, описывающая финансовое состояние страховщика в момент t

NW

V(t) = x + (8)

i=i

где x = V(0) - начальный капитал, с = (1 + d)\m.i - скорость поступления премий в единицу времени, mi = MXb N(t) - пуассоновский процесс числа требований оплаты на [0,i), А - пуассоновский параметр, {X, > 0} - последовательность н о р с в (размеры требований оплаты), независимая от N(t) Основными инструментами исследования случайного процесса (8) являются

- неравенство Лундберга Ф(х) < е_Й1, где Ф(г) - вероятность разорения,

- коэффициент Лундберга R > 0 (единственный положительный корень характеристического уравнения ф{г) = 0, где ф(г) = А{МегХ — 1} — сг),

- интегральное уравнение Крамера для вероятности неразорения

W(x) = - Г К{х - s)W(s)ds + W(0), (9)

с J о

где W{x) = 1 - Ф(ж), K{t) = 1 - F(t) и W(0) = 1 - Аггц/с > 0

В разделе 4 2 исследуется коэффициент Лундберга R при квотном и эксцедент-ном дележе рисков X, Для этого в ф(г) заменяем X на Y и с на су Коэффициент R оказывается при этом унимодальной функцией квоты а и уровня удержания М соответственно В алгоритме 4 1 реализован метод Хальда-Шмидли (2004) вычисления ао = arg max Л (а) В алгоритме 4 2 этот метод конкретизируется для экспоненциального распределения потерь X ~ Exp(fi) Алгоритм 4 3 реализует метод Центено (1997) вычисления iW0 = arg max R(M)

(1) До = корень уравнения

//l0E(1+i) е-(1 - F{x))dx = (1 + 0 /0; los(1+i)(l - F(z))dx - (£- 9)ти

(2) М0 = -щ log(l + £)

В разделе 4 3 получен основной аналитический результат для задачи эксцедентного перестрахования - теорема 4 2, в которой вводится эксцедентное уравнение Крамера и

отмечается его связь с уравнением Гамильтона-Якоби-Веллмана

sup {tvW'W + ^y W(s-i,Ar)dF(i,)-W(s))}=0. (10)

Теорема 3. Пусть f-N-^-v.HfH:, следующие условия:

(1) и^1 = (1 + $]rrti - (1 + Wr{0) = 1 - vrar ;

(2) i - корень уртенения ^ = (/$ - 1. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) вероятность неразорсния Wr(x) при г > 6 удовлетворяет уравнению

WT(v) =Vr ( (1 - F(x -$))Wr(i)ds + wr(0); (11)

(2) ^рабнение (11) эквивалентно уравнению

CtW'Ax) = Wr(x^yA r)dF(y) - Ж.fx)}; (12)

(3) функция W(x) := supre|i lMj И-'г(г) является решением уравнения (10).

Найдено аналитическое решение уравнения (11) в случае Х{ ~ Етр(1) (теорема -1.3) и разработан алгоритм 4-4 его численного решения для произвольных распределений риска.

Пример 5. (а) алгоритм 4.1: X щ Wei(a,c), а — 1.5, с = 1.2, jj = (0.4,0.5); (б) алгоритм 4.3: X ~ Ра(а, 1), а = 2.5, т) = (0.4,0,5). □

(а) Алгоритм 4.1. (б) Алгоритм 4.3.

Рис. 4.1. Экранные формы алгоритмов максимизации Я.

Алгоритм 4-5 предназначен для реализации численного метода решения уравнения (10). С помощью алгоритма 4.6 вычисляется минимальное значение начального капитала х - ¥аЯа(Х) при заданном уровне вероятности неразорения №г(х) > а.

В разделе 4-4 описывается программная реализация трех численных методов решения уравнения (11), представленных в САПАР - методов квадратур, кубической сплайн-аппроксимации и Монте-Карло. При реализации метода квадратур использовалась квадратурная формула трапеций. При аппроксимации решения кубическим сплайном учитывалась специфика граничных условий, состоящая в том, что №;(0) = УУДО),

т.е. значение первой производной вероятности неразорений в левой граничной точке всегда известно. Применение метода Монте-Карло для решения уравнений Вольтерра 2-го рода (к этому типу относится уравнение Крамера) основано на том, что входящий в уравнение (11) интеграл всегда можно представить как математическое ожидание некоторой случайной величины. В САПАР представлены два алгоритма метода Монте-Карло, использующие для несмещенного оценивания интегрального оператора в заданной точке х две сопряженные статистики £дг и Сы-

Пример 6. (а) модель Борча, X г* Ра(2.5,1), -ц - (0.4,0.5), х = 2, а = 0,2, метод - с тлайн-аппроксимация, графический интерфейс - рис. 4,2а; (б) обобщенная модель, X ~ №ег(1.5,1.2), г) = (0.4,0,5), 1=1, г = 0.1, д = 0.2, а = 0,15, метод - квадратур, графический интерфейс - рис. 4.26. □

(а) График ^(г) (б) График И<;(а)

Рис. 4.2. Экранные формы представления решения И^(г) ■_= \¥г(х).

В пятой главе (разделы 5.1-5,6) приводятся общие сведения о разработанной в диссертации инструментальной среде анализа моделей риска - программном комплексе САПАР.

В разделе 5.1 приводятся общие сведения о САПАР как BI-средстве анализа рис-кон. отмечается возможность включения САПАР в одну из существующих технологий тила Data Mining. Раздел 5.2 посвящен описанию роли бизнес-аналитика при анализе моделей риска и принятии решений. Отмечается, что его основная роль состоит в выборе политики перестрахования, включающей в себя: выбор модели риска, способ дележа ри;ка и раздела премии, критерий оптимизации риска, варианты перебора решений и т.д Раздел 5.3 содержит информацию об условиях выполнения программного комплекса САПАР, в том числе: основные сведения о распределениях риска, использованных в САПАР (всего 5 распределений), о дизайне и языке разработки пользовательского интерфейса (язык Visuai FoxPro, версия 6.0, в среде WINDOWS ХР), о минимальных требованиях, предъявляемых к аппаратно-программной платформе, на которую может бь:ть установлен программный комплекс САПАР, примеры экранных форм, характеризующих дизайн пользовательского интерфейса. Раздел 5-4 посвящен описанию состава алгоритмов САПАР. Приводятся классификация алгоритмов, полный их перечень, характеристика входных и выходных данных. В разделе 5.5 представлены типовые сценарии работы пользователя с САПАР, в там числе: сценарий 1 работы пользователя

с моделью индивидуального риска, сценарий 2 работы пользователя с моделью кэл-лективного риска В разделе 5 6 приводятся примеры тестирования I- и С-алгоритмов САПАР

В приложения 1-4 вынесены необходимые справочные данные о программьом комплексе САПАР, необходимые для его использования

В приложении 1 представлены основные характеристики обобщенной модели перестрахования моменты рисков У и обобщенное уравнение Крамера и характеристическое уравнение ф{г) = 0 При соответствующих значениях вектора решений <1 получаем все частные случаи функций дележа риска, рассмотренные в диссертационной работе В приложении 2 приведены примеры экранных форм пользовательского интерфейса Приложение 3 содержит блок-схемы основных алгоритмов, приложение 4 - доказательства теорем, на основании которых разработаны соответствующие алгоритмы САПАР

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Предложена обобщенная модель перестрахования, включающая комонотонные и некомонотонные схемы дележа риска, среди которых представлены все известные схемы пропорционального и непропорционального перестрахования

2 Исследовано отношение порядка стоп лосс <а|, для которого на основе КЫВТ-условия пересечения функций распределения Гу и ^ получены уравнения границ областей <51-предпочтения в случае эксцедентных дележей риска

3 Разработан комплекс /-алгоритмов оптимизации риска в модели индивидуального риска, позволяющий строить области <,!-, и Р-предпочтений для квотного и эксцедентного способов дележа риска

4. Аналитически исследован классический процесс риска Крамера-Лундбергг в случае перестрахования Указана связь эксцедентного уравнения Крамера с уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана, используемым в теории управления

5 Разработан комплекс С-алгоритмов численной оптимизации риска в модели коллективного риска Крамера-Лундберга, использующий методы квадратур, кубической сплайн-аппроксимации и Монте-Карло

6. На основе разработанных алгоритмов создан программный комплекс САП/ Р, обладающий широким диапазоном применения и развитым графическим интерфейсе м

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ .

1 Ле Динь Шон Оптимальный уровень удержания при пропорциональном перестраховании, минимизирующий верхнюю границу вероятности разорения [Текст] / Ле Динь Шон // Тр IV Всерос ФАМ'2005 конф по финансовой и актуарной математике и смежным вопросам Часть 2 - Красноярск ИВМ СО РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск", 2005 - С 92-97

2 Ле Динь Шон Выбор оптимального уровня удержания в схеме эксцедентного перестрахования [Текст] / Ле Динь Шон // Тр IV Всерос ФАМ'2005 конф по финансовой и актуарной математике и смежным вопросам Часть 2 - Красноярск ИВМ С'О РАН, КрасГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск", 2005 - С 98-103

3 Крайнев, Д Е Оптимизация риска в задачах пропорционального перестрахования [Текст] /ДБ Крайнов, Ле Динь Шон // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании Сб статей XV Междунар науч -техн конф - Пенза изд-во ПГТА, 2005 - С 158-161

4 Крайнов, Д Е Сравнительный анализ рисков на основе критериев оптимизации моментного типа [Текст] /ДБ Крайнов, Ле Динь Шон // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании Сб статей XV Междунар науч -техн конф - Пенза изд-во ПГТА, 2005 - С 161-164

5 Григорьев, Ю Д О мерах риска типа стоп лосс с одним и двумя уровнями удержания [Текст] / Ю Д Григорьев, Ле Динь Шон // Сб док междунар конф по мягким вычислениям и измерениям SCM-2005, г Санкт-Петербург, 27-29 июня 2005 г - СПб СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2005 - С 87-90

6 Gngor'ev, Yu D Numerical optimization of Value-at-Risk functional for Stop Loss reinsurance in the Cramer-Lundberg risk model (Численная оптимизация функционала VaR для перестрахования стоп лосс в модели риска Лундберга-Крамера) [Текст] / Yu D Gngor'ev, Le Dinh Son // Modelling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems Proc V Int Sei School MA SR, St-Petersburg, Russia, June 28 - July 1, 2005 - P 216-222

7 Григорьев, Ю Д Об одном общем подходе к управлению стохастическими системами страхования, технического обслуживания и управления запасами [Текст] / Ю Д Григорьев, Ле Динь Шон // Информационные технологии и системы (управление, экономика, транспорт) Межвузов сб науч тр - СПб ООО "Андреевский издательский дом", 2005 - Вып 1 - С 41-48

8 Ле Динь Шон Сравнение различных численных методов решения интегрального уравнения Крамера в задаче эксцедентного перестрахования [Текст] / Ле Динь Шон // Информационные технологии и системы (управление, экономика, транспорт) межвуз сб науч тр - Вып 1 - СПб ООО "Андреевский издательский дом", 2005 - С 76-83

9 Григорьев, Ю Д Задача эксцедентного перестрахования в модели Крамера -Лундберга [Текст] / Ю Д Григорьев, Ле Динь Шон // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах тр междунар науч школы МА БР, г Санкт-Петербург, 4-8 июля 2006 г - СПб ГОУ ВПО "СПбГУАП", 2006 - С 183-190

10 Григорьев, Ю Д О комонотонных рисках в договорах перестрахования с двумя уровнями удержаний [Текст] / Ю Д Григорьев, Ле Динь Шон // Вестник Томского ГУ Сер Математика Кибернетика Информатика - 2006 - Вып 290 - С 135-140

11 Григорьев, Ю Д О стратегиях управления рисками в задачах перестрахования [Текст] / Ю Д Григорьев, Ле Динь Шон // Изв СПбГЭТУ "ЛЭТИ" (Известия государственного электротехнического университета) Сер Информатика, управление и компьютерные технологии - 2006 - Вып 1 - С 47-52

Подписано в печать 24 04 07 Формат 60*84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 45

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С -Петербург, ул Проф Попова, 5

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Современное состояние анализа страховых рисков и IT-технологий автоматизации страхования.

1.1. Современное состояние анализа страховых рисков.

1.1.1. Определение риска: основные модели страховых рисков.

1.1.2. Развитие актуарного дела в России.

1.2. Развитие IT-технологий анализа страховых рисков.

1.2.1. Спрос и предложение IT-технологий.

1.2.2. Система алгоритмов и программ анализа рисков САПАР.

Выводы.

Глава 2. Классификация моделей перестрахования и мер риска.

2.1. Моделирование процессов принятия решений.

2.1.1. Принятие решений в условиях вероятностной неопределенности.

2.1.2. Перестрахование как задача принятия решений.

2.2. Классификация моделей перестрахования.

2.2.1. Квотное перестрахование.

2.2.2. Эксцедентное перестрахование.

2.2.3. Франшиза.

2.2.4. Обобщенное перестрахование.

2.3. Измерение рисков.

2.3.1. Общие свойства мер риска.

2.3.2. Отношения порядка на множестве рисков.

2.3.3. Отношение порядка стоп лосс.

2.4. Классификация мер риска.

2.4.1. Меры риска моментного типа.

2.4.2. Меры риска квантильного типа.

2.4.3. Когерентные меры риска.

Выводы.

Глава 3. Анализ модели индивидуального риска в задачах перестрахования.

3.1. Краткосрочная модель индивидуального риска.

3.1.1. Определение модели.

3.1.2. Нормальная аппроксимация.

3.2. Алгоритмы перестрахования.

3.2.1. Стратегии выбора критерия оптимизации риска.

3.2.2. Анализ рисков при квотном перестраховании.

3.2.3. Анализ рисков при эксцедентном перестраховании.

3.2.4. Анализ рисков при частично-эксцедентном перестраховании.

3.3. Эксцедентные стратегии управления рисками в теории сложных систем и управления запасами.

3.3.1. Техническое обслуживание сложных систем и условная франшиза

3.3.2. Однопериодные задачи управления запасами и безусловная франшиза.

Выводы.

Глава 4. Анализ модели коллективного риска в задачах перестрахования

4.1. Модель риска Крамера-Лундберга.

4.1.1. Определение модели.

4.1.2. Уравнение Крамера и экспонента Лундберга.

4.2. Экспонента Лундберга в задачах перестрахования.

4.2.1. Алгоритм анализа рисков при квотном перестраховании.

4.2.2. Алгоритм анализа рисков при эксцедентном перестраховании.

4.3. Эксцедентное уравнение Крамера.

4.3.1. Основная теорема: связь с уравнением Гамильтона- Якоби -Беллмана.

4.3.2. Аналитическое решение эксцедентного уравнения Крамера.

4.4. Алгоритмы численного решения эксцедентного уравнения Крамера.

4.4.1. Алгоритм метода квадратур.

4.4.2. Алгоритм аппроксимации кубическим сплайном.

4.4.3. Алгоритм метода Монте-Карло.

4.4.4. Вычислительные аспекты алгоритма метода Монте-Карло.

4.4.5. Сравнительный анализ численных методов.

Выводы.

Глава 5. Инструментальная среда анализа моделей риска.

5.1. САПАР как BI-средство анализа рисков.

5.2. Роль бизнес-аналитика при анализе моделей риска.

5.3. Условия выполнения программного комплекса САПАР.

5.3.1. Входные данные.

5.3.2. Визуализация: пользовательский интерфейс.

5.3.3. Программно-аппаратная платформа.

5.3.4. Особенности реализации: язык, библиотеки.

5.4. Состав алгоритмов САПАР: классификация и перечень.

5.4.1. Принципы классификации алгоритмов.

5.4.2. Классификация алгоритмов по способу дележа риска.

5.4.3. Классификация алгоритмов по типу модели риска.

5.5. Типовые сценарии работы пользователя.

5.5.1. Сценарий 1: модель индивидуального риска.

5.5.2. Сценарий 2: модель коллективного риска.

5.6. Тестирование САПАР: контрольные примеры.

5.6.1. IPE—алгоритмы.

5.6.2. IQR-, IEQ-, IGR-алгоритмы.

5.6.3. CEL\-алгоритмы.

5.6.4. СРЕ2 - алгоритмы.

5.6.5. СЗ-, С4-алгоритмы.

5.6.6. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Выводы.

Актуальность. Принимать решения приходится во всех областях человеческой деятельности. В различных областях экономики и инженерной практики все чаще возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень весомы. В связи с этим появляется потребность в разработке методов и алгоритмов принятия решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Такая тенденция неизбежно требует формализации процесса принятия решений, что может оказать существенную помощь при решении практических задач.

В теории и практике страхования одной из наиболее сложных процедур принятия Business Intelligence решений (BI-решений) является перестрахование, т.е. операция между двумя страховыми компаниями, при которой одна их них передает, а другая принимает часть риска в обмен на выплату страховой премии. Поскольку в задачах перестрахования принимаемые решения неизбежно связаны с риском, то и постановка соответствующих задач должна заключаться в том, чтобы сводить этот риск к минимуму. Поэтому общий подход к их разработке на основе теории риска и теории принятия решений, должен включать некоторые новшества в мысленном процессе обработки информации, в частности, давать в руки бизнес-аналитику критерии, руководящие им при выборе решения.

Начиная с 90-ых годов прошлого столетия, к исследованиям в области математического и информационного обеспечения задач страхования, проявляется все больший интерес со стороны производителей различных информационных технологий (IT-технологий). В настоящее время разрабатываемые IT-компаниями соответствующие BI-системы активно используются страховщиками для решения разнообразных стратегических и текущих BI-задач.

Таким образом, актуальность исследования задач перестрахования, как одной из сфер автоматизации страхования, определяется, с одной стороны, необходимостью построения полного цикла использования аналитической информации для поддержки принятия BI-решений, а с другой стороны, необходимостью привнесения мирового опыта использования BI-систем в страховании в российскую экономику.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов оптимизации риска в задачах перестрахования и создание инструмента.,-ной среды анализа моделей рисков в виде соответствующей системы алго;-лт-мов и программ.

Предметом исследования являются математические модели и методы оптимизации риска в задачах перестрахования.

Исследовательские задачи, решаемые в диссертационной работе для достижения поставленной цели:

1. Постановка задачи перестрахования как задачи принятия решений: классификация рисков и разработка на ее основе обобщенной функции дележа риска, позволяющей параметризовать процедуру принятия решений.

2. Анализ модели индивидуального риска в задачах перестрахования, в том числе: разработка методов, алгоритмов и программ оптимизации риска по различным критериям моментного и квантильного типов с учетом областей предпочтения, соответствующим отношению порядка стоп лосс, вероятности неразорения и прибыли.

3. Анализ модели коллективного риска в задачах перестрахования, в том числе: разработка методов, алгоритмов и программ оптимизации риска в динамической модели Крамера-Лундберга по различным критериям, включая характеристический коэффициент Лундберга, вероятность неразорения страховщика, VaR и CVaR.

4. Аналитическое исследование классического процесса риска (марковская модель коллективного риска Крамера-Лундберга).

Методы исследований. В диссертационной работе использовались теория принятия решений, теория риска, актуарная математика, теория вероятностей, методы оптимизации, численные методы решения интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода.

Научную новизну представляют следующие результаты:

1. Обобщенная модель дележа риска, позволяющая параметризовать процедуру принятия решений на множестве всех известных способов комонотон-ного и некомонотонного дележа риска.

2. Алгоритмы построения областей предпочтения в модели индивидуального риска, в том числе впервые с использованием отношения порядка стоп лосс, при квотном и эксцедентном способах дележа риска.

3. Алгоритмы оптимизации риска в модели Крамера-Лундберга при квотном, эксцедентном и других способах дележа риска, основанные на предложенной автором эксцедентной форме уравнения Крамера.

4. Аналитические результаты: а) нижняя граница 5 = q-r>0 разности между шириной удержания q и уровнем удержания г для экспоненциального, Эр-ланга и Парето распределений при частично-эксцедентном дележе риска, гарантирующая страховщику премущество перед перестраховщиком в смысле отношения стоп лосс; (б) модификации уравнения Крамера для вероятности неразорения в задачах перестрахования, (в) решение эксцедентного уравнения Крамера для марковской модели риска Крамера-Лундберга.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы оптимизации риска в краткосрочных моделях индивидуального риска.

2. Алгоритмы оптимизации риска в динамических моделях коллективного риска Крамера-Лундберга.

3. Аналитический результат: эксцедентное уравнение Крамера для обобщенной модели перестрахования в модели риска Крамера-Лундберга, решение уравнения Крамера в случае классической модели риска для эксцедентного и частично-эксцедентного перестрахования.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в разработке комплексного подхода к задаче перестрахования с точки зрения его алгоритмического и программного обеспечения. Конкретную практическую значимость имеет разработанная автором инструментальная среда анализа моделей риска в виде системы алгоритмов и программ анализа рисков САПАР, основанная на полученных автором теоретических и экспериментальных результатах.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- XI Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиотехника, электротехника и энергетика", посвященной 75-летию Московского энергетического института (Москва, 2005 г.),

- Ill-VI Всероссийских ФАМ-конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2004-2007 гг.),

- XV Международной научно-технической конференции "Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании" (Пенза, Пензенская государственная техническая академия, 2005 г.),

- Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям SCM-2005 (Санкт-Петербург, СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2005 г.),

- V, VI Международных Научных Школах "Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" МА БР (Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН, 2005,2006 гг.),

- ежегодных научно-технических конференциях профессорско - преподавательского состава Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ", 2005-2007 гг.

По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, из них - 4 статьи (2 статьи - из перечня изданий, рекомендованных ВАК) и 7 работ - в научных трудах международных и Всероссийских конференций.

Общее содержание работы соответствует приоритетному направлению развития науки, технологий и техники Российской Федерации "Информационно - телекоммуникационные системы", раздел "Технологии производства программного обеспечения". Исследование выполнялось в рамках научно - исследовательской работы по разработке научно-технической продукции "Разработf , ка программного комплекса сетевого монитора настройки удаленного доступа", УНИЦ ПСКС 2, проводимой на кафедре МО ЭВМ СПбГЭТУ.

Автор выражает признательность своему научному руководителю Григорьеву Ю.Д. за выбор темы, внимание к его работе над диссертацией и полезные обсуждения, без которых написание данной работы было бы невозможным.

Выводы.

В данной главе описана разработанная в диссертационной работе система алгоритмов и программ анализа рисков САПАР в задачах перестрахования. Описание инструментальной среды анализа рисков дает общее представление о проделанной работе и дает возможность пользователю в первом приближении получить представление о ее возможностях. По каждому из алгоритмов дана исчерпывающая информация относительно его назначения и выполняемых функций. Отсюда виден путь, на котором они могут быть улучшены, модифицированы или как-то переработаны в зависимости от конкретных пожеланий пользователя.

Разработанная аналитическая платформа для принятия решений в области политики перестрахования, безусловно, не является окончательной и предполагает свое дальнейшее развитие в направлении совершенствования, как самих алгоритмов, так и дизайна пользовательского интерфейса.

Заключение.

В диссертационной работе представлена система алгоритмов и программ анализа рисков САПАР в задачах перестрахования. Итогом проведенных исследований явились следующие научные и практические результаты:

1. Предложен новый подход к анализу рисков в задачах перестрахования на основе обобщенной модели дележа рисков и использования областей предпочтения стоп лосс.

2. Задача перестрахования сформулирована как задача принятия решений, что предполагает возможность интегрирования соответствующей системы алгоритмов и программ в более общие системы поддержки принятия решений СППР.

3. Получены удобные для практического использования характеризации А -областей предпочтения (на основе отношения стоп лосс) и разработаны соответствующие алгоритмы их построения.

4. Разработан комплекс I -алгоритмов оптимизации риска в моделях индивидуального риска, оснащенный современным графическим интерфейсом.

5. На основе полученных аналитических результатов для интегрального уравнения Крамера разработан-комплекс С-алгоритмов оптимизации риска в моделях коллективного риска, позволяющий вычислять не только точные значения вероятности неразорения но и ее асимптотические значения согласно аппроксимации Крамера-Лундберга.

Дальнейшие исследования могут быть направлены на совершенствование системы представленных алгоритмов путем создания более совершенной системы их организации, упорядочения ее отдельных частей по тем или иным принципам. Развитие методов теории риска, в том числе предложенных в данной работе, позволит разработать еще более эффективную и продвинутую в сторону практики систему алгоритмов принятия решений в задачах перестрахования.

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения Текст. /Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. М.: Мир, 1972. - 318 с.

2. Алексеев, Б.В. Введение в финансовую и актуарную математику Текст. /Б.В. Алексеев, Д.В. Егорова, А.Ю. Иваницкий. Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та, 2001. - 324 с.

3. Артамонов, А. Практика непропорционального перестрахования Текст. /А. Артамонов. М.: Страховое ревю, 2001. - 169 с.

4. Афоничкин, А.И. Принятие управленческих решений в экономических системах Текст. /А.И. Афоничкин. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1998.- 184 с.

5. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход Текст. /Ф. Байхельт, П. Франкен. М.: Радио и связь, 1988. - 392 с.

6. Барлоу, Р. Математическая теория надежности Текст. /Р. Барлоу, Ф. Прошан. М.: Сов. радио, 1969. - 488 с.

7. Барсегян, А.А. Методы и модели анализа данных / А.А. Барсегян и др. //OLAP и data Mining. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 336 с.

8. Баскаков, В.Н. Методические указания к решению задач по актуарной математике (модели дожития) Текст. /В.Н. Баскаков, Г.Д. Карташев. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. - 48 с.

9. Баскаков, В.Н. Введение в актуарную математику Текст. /В.Н. Баскаков, Г.Д. Карташов. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 60 с.

10. Баскаков, В.Н. Актуарная математика (элементы финансовой математики) Текст. /В.Н. Баскаков, Г.Д. Карташов, JT.E. Соломатина, И.Г. Зорина. -М.: МГТУ, 2000.

11. Бенинг, В.Е. Одна модель оптимального поведения страховой компании Текст. /В.Е. Бенинг, В.И. Ротарь //Экономика и матем. методы. 1993. Т. 29,Вып. 4.-С. 617-626.

12. Бойков, А.В. Страхование и актуарные расчеты Текст. /А.В. Бойков. М.:1. РОХОС, 2004.

13. Булинская, Е.В. Теория риска и перестрахование. Часть 1. Упорядочивание рисков Текст. /Е.В. Булинская. М.: ЦПИ, 2001.

14. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справ, пособие Текст. /А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков. Киев: Наукова Думка, 1986.-544 с.

15. Виноградов, О.П. Вероятность разорения страховой компании Текст. /О.П. Виноградов //Теория вероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43, Вып. 1.-С. 352-360.

16. Виноградов, О.П. Неоднородный процесс риска с фиксированным числом выплат Текст. /О.П. Виноградов, А.А. Кудрявцев //Статистическое оценивание и проверка гипотез. Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2000. -С. 148-152.

17. Гербер, X. Математика страхования жизни Текст. /X. Гербер. М.: Мир, 1995.- 154 с.

18. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей Текст. /Б.В. Гнеденко М.: Наука, 1965.-400 с.

19. Голубин, А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация Текст. /А.Ю. Голубин. М.: АНКИЛ, 2003. - 160 с.

20. Готовко, В.В. Разработка методик и программных систем для поддержки финансовых решений в НПФ Текст. /В.В. Готовко Канд. дис., СПб: СПбГТУ. 1997.

21. Григорьев, Ю.Д. Актуарная профессия в системе высшего образования: история развития и основные задачи Текст. /Ю.Д. Григорьев //Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. "Информатика, управление и компьютерные технологии". 2003. - Вып. 3. - С. 46-52.

22. Григорьев, Ю.Д. О трех типах резервов при страховании не-жизни Текст.

23. Ю.Д. Григорьев //Сб. науч. тр. С.-Петерб. Академии Права и Бизнеса. -СПб: Андреевский издат. дом, 2004. С. 201-213.

24. Григорьев, Ю.Д. Дележи и оптимизация страхового риска Текст. /Ю.Д. Григорьев //Тр. IV Всерос. ФАМ конф. Часть 2. Красноярск: ИВМ СО РАН, КГУ, КГТЭИ, изд-во "Гротеск". - 2005. - С. 69-76.

25. Григорьев, Ю.Д. О комонотонных рисках в договорах перестрахования с двумя уровнями удержаний Текст. /Ю.Д. Григорьев, Ле Динь Шон //Вестник Томского ГУ. Сер. Математика. Кибернетика. Информатика. -2006.-Вып. 290.-С. 135-140.

26. Григорьев, Ю.Д. О стратегиях управления рисками в задачах перестрахования Текст. /Ю.Д. Григорьев, Ле Динь Шон //Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". Сер. Информатика, управление и компьютерные технологии. -2006.-Вып. 1.-С. 47-52.

27. Григорьев, Ю.Д. О минимизации вероятности разорения при эксцедентном перестраховании Текст. /Ю.Д. Григорьев, Ле Динь Шон //Автоматика и Телемеханика. 2007, - Вып. 6 (в печати).

28. Григорьев, Ю.Д. Что такое оптимальная франшиза? Текст. /Ю.Д.

29. Григорьев, О.Ю. Хекало //Математические модели природы и общества: тр. межрегионал. науч.-практ. коиф. г. Красноярск, 29-30 ноября 2002 г. -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. С. 51-55.

30. Дюк, В.А. Data Mining: учеб. курс Текст. /В.А. Дюк, А.П. Самойленко -СПб.: Питер, 2001.

31. Ермаков, С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы Текст. /С.М. Ермаков. М.: Наука, 1971. - 328 с.

32. Ермаков, С.М. Курс статистического моделирования Текст. /С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов М.: Наука, 1976. - 320 с.

33. Зорин, В.А. Элементы теории процессов риска: методич. разработка по спецкурсу (для студ. дневн. отд. ф-та ВМК) Текст. /В.А. Зорин, В.И. Мухин. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - 28 с.

34. Кан, Ю.С. Управление рисками и введение в страхование, учеб. пособие Текст. /Ю.С. Кан; МАИ, фак. Экономики и менеджмента. М.: ДОБРОЕ СЛОВО, 2006. - 56 с.

35. Карри, И. Прикладная статистика Текст. /И. Карри Кемерово: Кузбассвузиздат, 1994. - 184 с. - (Б-ка страховщика. Вып. 3).

36. Касимов, Ю.Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни-.'и пенсионных схем) Текст. /Ю.Ф. Касимов. Зеленоград: НТФ НИТ, 1994. -183 с.

37. Кибзун, А.И. Сравнение критериев VaR и CVaR Текст. /А.И. Кибзун, Е.А. Кузнецов //Автоматика и Телемеханика. 2003, - Вып. 7. - С. 153-164.

38. Компьютерные системы поддержки принятия решений в экологии Текст. //Сб. науч. тр. ИК АН УССР. Киев, 1991. - 77 с.

39. Корнилов, И.А. Актуарные расчеты в имущественном страховании: учеб. -практ. пособие для системы высш. и доп. образ. Текст. /И.А. Корнилов. -М.: Моск. гос. ун-та экономики.

40. Королев, В.Ю. Теорема переноса для обобщенных процессов риска Текст. /В.Ю. Королев, А.А. Кудрявцев //Статистическое оценивание и проверка гипотез. Пермь: Изд-во Пермского гос. ун-та, 2000. - С. 19-25.

41. Кошкин, Г.М. Введение в математику страхования жизни: учеб. пособие. Текст. /Г.М. Кошкин Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - 112 с.

42. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию Текст. /М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

43. Кудрявцев, А.А. Мировой опыт подготовки актуариев Текст. /А.А. Кудрявцев, Г.В. Чернова //Вестн. СПбГУ. Сер. 5, Экономика. - 1996.-Вып. 3. - С. 87-94.

44. Кудрявцев, А.А. Прогнозирование потребности в перестраховочной защите Текст. /А.А. Кудрявцев, Е.В. Спиридонов, Г.В. Чернова. СПб.: Институт страхования, 2000. - 31 с.

45. Кудрявцев, А.А. Актуарная математика. Оценка обязательств компании страхования: учеб. пособие Текст. /А.А. Кудрявцев СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.-242 с.

46. Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи Текст. /М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.'

47. Лившиц, В.М. Принципы формирования системы технического обслуживания машин в хозяйствах Сибири (Методические рекомендации) Текст. /В.М. Лившиц, В.И. Голиченко. Новосибирск: Изд-во СО ВАСХНИЛ, 1976.-98 с.*

48. Ломакина, Т.П. Актуарные расчеты Учеб. пособие (для студ. экон. спец.) Текст. /Т.П. Ломакина, М.Ш. Иризепова. Волгоград: Изд-во Волгогр. гос. ун-та, 2 ООО.

49. Мак, Т. Математика рискового страхования Текст. /Т. Мак. М.: ЗАО "Олимп-Бизнес", 2005. - 432 с.

50. Малиновский, В.К. Страховые тарифы и резервы: стохастические модели и методы вычислений Текст. /В.К. Малиновский: дисс. . докт. М.: МИ РАН, 2000.

51. Медведев, Г.А. Математические модели финансовых рисков: учеб. пособие Текст. /Г.А. Медведев //2-х частях. Часть 2. Риски страхования. -Мн.: БГУ, 2001. 293 с.

52. Мельников, А.В. Международная конференция "Актуарная наука: теория, образование и приложение" Текст. /А.В. Мельников //Теориявероятностей и ее применения. 1998. - Т. 43, Вып. 1.

53. Михайлов, Г.А. К вопросу о построении экономичных алгоритмов моделирования случайных величин Текст. /Г.А. Михайлов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. - Вып. 6. - С. 1134-1136.

54. Михайлов, Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло Текст. /Г.А. Михайлов Новосибирск: Наука. СО, 1974. - 142 с.

55. Михайлов, Г.А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло: учеб. пособие для студ. вузов Текст. /Г.А. Михайлов, А.В. Войтишек. М.: Издательский центр "Академия", 2006. - 368 с. -(Университет, учеб. Сер. Прикл. математика и информатика).

56. Мушик, Э. Методы понятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер. Пер. с нем. М.: Мир, 1990. - 208 с.

57. Новоселов, А.А. О свойствах монотонности и выпуклости некоторых мер риска Текст. /А.А. Новоселов //Статистическая метафизика. -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. С. 66-81.

58. Новоселов, А.А. Основные понятия теории риска: лекции для студентов КГУ по курсу "Теория риска" Текст. /А.А. Новоселов //http://anov.narod.ru/lectures.htm, 2000.

59. Новоселов, А.А. Математическое моделирование финансовых рисков. Теория измерения Текст. /А.А. Новоселов Новосибирск: Наука, 2001. -102 с.

60. Плаксина, Н.Н. Математические модели дожития и заболеваемости на основе теории конкурирующих рисков Текст. /Н.Н. Плаксина: дисс. . Канд.-М.:РУДН, 1999. . .

61. Пфайффер, К. Введение в перестрахование Текст. /К. Пфайффер. М.: Анкил, 2000.

62. Райфа, Г. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности Текст. /Г. Райфа. М.: Наука, 1976. - 408 с.

63. Рыжиков, Ю.И. Управление запасами Текст. /Ю.И. Рыжиков. М.: Наука, 1969.-344 с.

64. Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло Текст. /И.М. Соболь. М.: Наука, 1973.-312 с.

65. Стечкин, С.Б. Сплайны в вычислительной математике Текст. /С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М.: Наука, 1976. - 248 с.

66. Сухинин, В.Ю. Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем Текст. /В.Ю. Сухинин: дисс. Канд. М.: РУДН, 2000.

67. Тихонов, А.Ф. Visual FoxPro 5.0 Текст. /А.Ф. Тихонов, JI.H. Тихонова -М.: Восточная Книжная Компания, 1997. 464 с. - (серия "Без проблем!").

68. Фалин, Г.И. Математический анализ рисков в страховании Текст. /Г.Й. Фалин. М.: Рос. юрид. издат. дом, 1994. - 130 с.

69. Фалин, Г.И. Введение в актуарную математику Текст. /Г.И. Фалин, А.И. Фалин. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 85 с.

70. Фалин, Г.И. Актуарная математика в задачах Текст. /Г.И. Фалин, А.И. Фалин. М.: Физматлит, 2003. - 192 с.

71. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Текст. /В. Феллер. М.: Мир, 1967. - Т. 2, - 752 с.

72. Хедли, Дж. Анализ систем управления запасами Текст. /Дж. Хедли, Т. Уайтин. -М.: Наука, 1969. 512 с.

73. Цлаф, Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения Текст. /Л.Я. Цлаф. М.: Наука, 1966. - 176 с.

74. Шахов, В.В. Теория и управление рисками в страховании Текст. /В.В. Шахов, В.Г. Медведев, А.С. Миллерман. М.: Финансы и статистика, 2003.-224 с.

75. Шоргин, С.Я. Определение страховых тарифов: стохастические модели и методы оценки Текст. /С.Я. Шоргин: дисс. Докт. М.: ИПИ РАН, 1996.

76. Штрауб, Э. Актуарная., математика имущественного страхования (Актуарию страховой компании)/ Э. Штрауб. М.: Сов. Ит. Ас., 1995. -147 с.

77. Юсупов, И.Ю. Автоматизированные системы принятия решений Текст.

78. И.Ю. Юсупов. М.: Наука, 1983. - 86 с.

79. Artzner, P. Definition of Coherent Measures of Risk /Р. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber, D. Heath //Symposium on Risk Management at the European Finance Association 24th Annual Meeting, Vienna, Austria. 1997.

80. Artzner, P. Coherent Measures of Risk /Р. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber, D. Heath //Mathematical Finance. 1999. - V. 9. - P. 203-228.

81. Borch, K. An Attempt to Determine the Optimum Amount of Stop Loss Reinsurance /К. Borch //Transactions of the XVI International Congress of Actuaries. 1960. -V. 2. - P. 597-610.

82. Borch, K. The Mathematical Theory of Insurance /К. Borch //An Annotated Selection of Papers on Insurance published 1960-1972. Lexington Books, D.C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts, Toronto, London, 1974.

83. Bowers, N. Actuarial mathematics /N. Bowers, H. Gerber, J. Hickman, D. Jones, C. Nesbitt //Itasca, Illinois: The Society of Actuaries, 1986.

84. Buhlman, H. Mathematical Models in Risk Theory /Н. Buhlman //Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Springer Verlag: Berlin Heidelberg New York, Second Printed. 1996. Band 72.

85. Centeno, L. Excess of Loss Reinsurance and the Probability of Ruin in Finite Horizon /L. Centeno //ASTIN Bulletin. 1997. - V. 27, No. 1. - P. 59-70.

86. Corless, R.M. On The Lambert W Function / R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey, D.E. Knuth // Advances in Computational Mathematics. 1996. - V.5,- P. 329-359.

87. Crossland, M.D. Spatial Decision Support Systems: An overview of technology and a test of efficacy /M.D. Crossland, B.E. Wynne, W.C. Perkins //Decision Support Systems. -1995. V. 14, No. 3, - P. 219-235.

88. Daykin, C.D. Practical Risk Theory for Actuaries /C.D. Daykin, T. Pentikainen, M. Pesonen //Monographs on statistics and applied probability: 53. Charman & Hull. 1996.

89. Dhaene, J. Solvency capital, risk measures and comonotonicity /J. Dhaene, S. Vanduffel, Qihe Tang, M.J. Goovaerts //A review. July 14,2004.

90. Eom, S.B. Decision Support Systems Research (1970-1999) /S.B. Eom //Lewiston. NY: Edwin Mellen Press, 2002.

91. Gerber, H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory /H.U. Gerber //Hubner foundation monograph series. 1979. - No. 8.

92. Hald, M. On the maximization of the adjustment coefficient under proportional reinsurance M. Hald, H. Schmidli //ASTIN Bulletin. 2004. - V. 34, No. 1. -P. 75-83.

93. Hipp C., Vogt M. Optimal dynamical XL reinsurance /С. Hipp, M. Vogt //ASTIN Bulletin. 2003. - V. 33, No. 2. - P. 193-207.

94. Holsapple, C. Decision Support Systems: A Knowledge-Based Approach, Minneapolis /С. Holsapple, A. Whinston St. Paul, MN: West Publishing, 1996.

95. Hossack, I.B. Introductory statistics with applications in general insurance /1.В. Hossack, J.H. Pollard, B. Zehnwirth. Cambrige University Press, 1983.

96. Hurlimann, W. On Stop-Loss order and the Distorsion Pricing Principle /'W. Hurlimann //ASTIN Bulletin. 1998. - V. 28, No. 1. - P. 119-134.

97. Hiirlimann, W. Analytical evaluation of economic risk capital for portfolios of gamma risks /W. Hurlimann //ASTIN Bulletin. 2001. - V. 31, No. 1. - P. 107122.

98. Hurlimann, W. Analytical bounds for two value-at-risk functionals /W. Hurlimann //ASTIN Bulletin. 2002. - V. 32, No. 2. - P. 235-265.

99. Jarrow, R. Generalized coherent risk measures: the firm's perspective 7R. Jarrow, A. Purnanandam //Working paper. 2002.

100. Jarrow, R. Generalized coherent risk measures: the firm's perspective /R. Jarrow, A. Purnanandam //Finance Research Letters. 2005. - V. 2 - P. 23-29.

101. Kibzun, A.I. Stochastic Programming Problem with Probability and Quantile Functions /А.1. Kibzun, S. KanYU. Chichester: John Wiley, 1996.

102. Mack, Th. A simple Parameter Model for Rating Automobile Insurance or Estimating IBNR Claims Reserves /Th. Mack //Astin Bulletin. 1991. - V. 21, No.l.-P. 93-109.

103. McCosh, A.M. The Optimization of What? /A.M. McCosh, B.A. Correa-Perez //Gupta, J. G. Forgionne, and M. Mora, Intelligent Decision-making Support Systems: Foundations, Applications and Challenges, Springer-Verlag, 2006. -P. 475-494.

104. Novosyolov, A. Generalized coherent risk measures in decision-making under risk /А. Novosyolov //Modelling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems: Proc. V Int. Sci. School MA SR, St-Petersburg, Russia, June 28 July 1,2005.-P. 145-150.

105. Pandjer, H.H. Insurance Risk Models /Н.Н. Pandjer, G.E. Willmot //Published by the Society of Actuaries. Itaca, 1992.

106. Pendse, N. Origins of today's OLAP products /N. Pendse //The OLAP Report, URLwww.olapreport.com, 1997.

107. Power, D.J. Decision Support Systems: Concepts and Resources for Managers /D.J. Power//Westport, CT: Greenwood/Quorum. 2002.

108. Reinsurance: Edited and published by R.W. Strain. Strain Publishing & Seminars, Inc //Library of Congress Cataloging Data. Revised Edition, 1997.

109. Rokafellar, R.T. Optimization of conditional value-at-risk /R.T. Rokafellar, Uruasev. //J. Risk. -2000. No. 2. - P. 21-41.

110. Schmidli, H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting HI. Schmidli //Scand. Actuarial J. 2001. - No. 1. - P. 55-68.

111. Schmidli, H. Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance policies: the small claim case /Н. Schmidli //Working paper 180, Laboratory of Actuarial Mathematics, University of Copenhagen, 2002.

112. Schmidli, H. On Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities under optimal excess of loss reinsurance /Н. Schmidli //Working paper. 2004. - No. 193. .

113. Schmidli, H. Lecture Notes on Risk Theory /Н. Schmidli http: //www.gloriamundi.org / var / wps.html. - 2005.

114. Silva, J.M.A. Comparing risk adjusted premium from reinsurance point of view /J.M.A. Silva, M. de Lourdes Centeno //ASTIN Bulletin. 1998. - V. 28, No. 2. -P. 221-239.

115. Subject C2. Unit 4: Ruin theory //The Actuarial Education Company, September, 1995.

116. Taylor, G.C. Reserving in non-life insurance, Norch-Holland /G.C. Taylor. -Amsterdam, 1986.125. van Eeghen, J. Loss Reserving Methods, Nationale-Nederlanden NV /J. van Eeghen. Rotterdam, 1981.

117. Wang, S.S. Premium calculation by transforming the layer premium density /S.S. Wang //ASTIN Bulletin. 1996. - V. 26, No. 1. - P. 71-92.

118. Waters, H.R. Some Mathematical Aspects of Reinsurance /H.R. Waters //Insurance Math. Econom. 1983. - V. 2, No. 1. - P. 17-26.

119. Watson, H. Building Executive Information Systems and other Decision Support Applications /Н. Watson, G. Houdeshel, R.K. Rainer. New York: John Wiley, 1997.