автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование совокупности предпринимательских рисков

На правах рукописи

Михайлова Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВОКУПНОСТИ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ РИСКОВ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

006056984 6 ДЕК 2012

Самара — 2012

005056984

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

доктор физико-математических наук, профессор

Сараев Леонид Александрович

Силаев Андрей Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» в Нижнем Новгороде, заведующий кафедрой математической экономики

Котенко Андрей Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет», доцент кафедры прикладной математики и информатики

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится 14 декабря 2012 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д.212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011. г. Самара, ул. акад. Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СамГУ Автореферат разослан 41+,> иУ^кя 2012 г.

Ученый секретарь

дисссратционного совета Д.212.218.08

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К настоящему времени модели и методы количественной оценки риска широко применяются в области страхования. Однако актуальной является задача их использования в сфере кредитования и предпринимательской деятельности.

Современное состояние развития теории риска. Принятие решений в любой сфере социально-экономической деятельности связано с неопределенностью и риском. Развитым научным направлением количественной оценки риска является актуарная математика. Наиболее полно методы оценки риска в страховании изложены в работах Н. Бауэрса, Т. Мака, Р. Кааса. В.К. Малиновского. Е.В. Булинской, В.Ю. Королева, Ж. Лсмера1. Для количественной оценки однородной группы независимых одинаково распределенных рисков (совокупности рисков) применяются модели индивидуального и коллективного риска2. Для построения распределений вероятностей суммарных убытков (далее распределений) однородной группы договоров страхования применяются рекуррентные методы, предложенные в работах Н. Panjei3, N. de Pril4. При вычислении распределений используется аппроксимация на основе нормального закона распределения, разложения Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределения0. Однако до настоящего времени не исследовалась возможность построения распределений для двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков. Для количественной оценки совокупности рисков с помощью показателя убыточности применяется модель Бюльмана-Штрауба6. С использованием данной модели рассчитывается оценка убыточности как всего предприятия, так и любого его подразделения.

Для анализа риска на основе распределений суммарных убытков необходима полном информация, под которой понимается наличие данных о вероятности наступления убытков (q) и законе распределения фактических убытков (У). Тогда двухфакторной совокупностью предпринимательских рисков N, содержащей Л'+_ договоров, называется таблица размерности IxJ, в каждой ячейке N^ которой сгруппировано Ntj однородных договоров, со-

iEayypc Н. Актуарная математика (2001, перевод Малиновского В.К.); Мак Т. Математика рискового страхования (2005): К лаг. Р. Современная актуарная теория риска (2007); Брлинсхая Е. В. Теория риска и перестрахование (2001); Королев В. Ю. Математические основы теории риска (2007); Малиновский В.К Scandinavian Actuarial Journal (1994, рр.161-174), (1Э98 рр.124-147), Insurance: Mathematics and Economics (1998, vol. 22, pp.123-138), Applied Probability (2000, vol. 32, pp.883-923); Лемср Ж. (перевод Малиновского В.К.) Системы (юнус-малус в автомобильном страховании (2003, перевод Малиновского В.К.); Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели (2003, перевод Малиновского В.К.)

2 Фалин Г. И. Математический анализ рисков в страховании, 1994.

3Panjer Я. II. Astin Bulletin, 1981. .\U2.1 рр.22-26. .N»12.2 pp.133-137; 1982. ЛЧ3.1 рр.1-11; 1993. №23.2 рр.227-258

'N. de Pril Astin Bulletin, 1986- Vol. 15. №2. pp.135-139; Vol. 16Л2. pp.109-112: 1D89. Vol. 19. №1 pp.9-21; Vol. 25, №1, pp. 19-31.

sM(ik Т. Математика рискового страхования (2005); Каас. Р. Современная актуарная теория риска (2007):

*Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования, 1993.

Buhlmann Н. Astin Bulletin, 1967, Vol. 4, No. 3. P. 199-207; 1969, Vol. S, No. 2. P. 157-165.

отвстствующих различным значениям величин д и У, в каждой группе N1 сгруппировано договоров с одинаковым значением величины д, где I и .7 - количество групп относительно вероятности наступления убытков и фактических убытков соответственно. Компонентами двухфакторной совокупности рисков называются ячейка и группа Лг(1> (г = 1.27 = 1,2. ...7).

Для решения задачи количественной оценки риска с помощью показателя убыточности используется агрегированная информация под которой понимается наличие статистических данных предприятия по / видам деятельности в J подразделениях о стоимости контрактов (С) и фактических убытках (У ) за ряд последовательных периодов времени (Т). Если имеются данные по одному подразделению или предприятию в целом {3 = 1), то временной однофак-торной совокупностью предпринимательских рисков 2х = {2ц} называется таблица размерности I х Т, в каждой ячейке которой содержится показатель убыточности г-ого вида деятельности в момент времени 4. Если 3 > 1, то временной двухфакторной совокупностью предпринимательских рисков г2 = называется совокупность ./ таблиц размерности I хТ, в

каждой ячейке которой содержится показатель убыточности г-ого вида деятельности в ^-ом подразделении в момент времени Ь. Показатель убыточности определяется отношением фактического убытка к стоимости контракта.

Применение не только полной. 110 и агрегированной информации для анализа совокупностей предпринимательских рисков обусловливается тем, что модели и методы, рассматриваемые в работе, позволяют выработать единый подход к оценке рисков, который не зависит от количества договоров, периода работы предпринимателя и масштабов осуществляемой им деятельности.

Таким образом, научный и практический интерес представляет задача оценки риска на основе распределений суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и сс компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков и показателя убыточности временной двухфакторной совокупности рисков на основе модифицированной модели Бгольмана-Штрауба.

Целью диссертационной работы является разработка методики моделирования совокупности предпринимательских рисков и модификация рекуррентных методов N. (1(: Рп1 И Н. Рагцсг для вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и се компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков, а также модели Бюльмана-Штрауба для анализа показателя убыточности временной двухфакторной совокупности предпринимательских рисков.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- впервые предложена вероятностная модель для анализа суммарных убытков двухфакторной совокупности предпринимательских рисков и се компонентов на основе полной информации и непрерывного закона распределения фактических убытков:

- модифицированы рекуррентные методы N. с!с Рп1 и Н. Рахусг для вьт-

числения распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков;

используются аппроксимации на основе разложения Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределения для вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов;

впервые предложена трехиндсксная модель на основе модификации модели Бюльмана-Штрауба для получения прогнозной оценки условного математического ожидания показателя убыточности (прогнозного значения убыточности) временной двухфакторной совокупности рисков;

впервые для однородного и неоднородного случаев стандартной и модифицированной моделей Бюльмана-Штрауба получены выражения для расчета среднего квадратического отклонения прогнозируемых значений убыточности от однородных и неоднородных оценок;

разработан многофункциональный комплекс программ, реализующий численные алгоритмы решаемых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Модифицированные рекуррентные методы N.de Pril и H. Panjer для расчета совокупного размера убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов на основе производящих функций моментов с применением бета-распределения для описания размера фактических убытков по рискам;

2. Модифицированная трехиндсксная модель Бюльмана-Штрауба для получения прогнозных оценок условного математического ожидания показателя убыточности временной двухфакторной совокупности рисков с учетом статистики как по отдельным группам риска, так и по всей совокупности рисков;

3. Выражения для расчета среднего квадратического отклонения прогнозируемых значений убыточности временной однофакторной и двухфакторной совокупностей рисков от однородных и неоднородных оценок в стандартной и модифицированной моделях Бюльмана-Штрауба.

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов теории вероятностей и математической статистики, математического моделирования, математической теории риска, а также статистических методов обработки данных. Численные результаты получены на основе комплекса программ, разработанного на языке Object Pascal в среде программирования Turbo Delphi Ê006. Для исключения возможных ошибок реализации математических соотношений были проведены дублирующие расчеты средствами MathCad и MS Excel.

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов подтверждаются использованием математически обоснованных методов анализа совокупностей рисков; согласованием полученных результатов математического моделирования с результатами, полученными другими авторами; соответствием основных результатов численного моделирования основным экономическим и статистическим закономерностям.

Практическая значимость работы. Предложенный в диссертационной работе метод математического моделирования и численного исследования совокупностей предпринимательских рисков находит широкое применение в страховании для оценки убыточности отдельного вида страхования и определения тарифных ставок. Кроме того, предложенный подход может использоваться в банковской сфере для оценки убыточности отдельного вида кредитования и определения минимальной процентной ставки, покрывающей риск невозврата ссуд, а также в производственной сфере для оценки убытков от неисполнения или ненадлежащего исполнения обязательств контрагентов предприятия с целью включения в себестоимость затрат на покрытие возможных убытков от совокупности договоров на поставку продукции, выполнение работ, оказания услуг.

База исследования. Работа выполнена на кафедре математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета.

Личный вклад соискателя заключается в совместной с научным руководителем постановке задач, выборе методов решения, обсуждения и интерпретаций результатов. Автором лично проведены все аналитические и численные расчеты, а также разработан многофункциональный комплекс программ для автоматизации вычислений распределений вероятностей суммарных убытков, формирования агрегированных данных на основе имеющейся статистики и анализа убыточности временной однофакторной и двухфакторной совокупностей рисков.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в их числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов исследований на соискание степени доктора и кандидата наук, и 6 публикаций в материалах научно-практических конференций.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: II Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2010); II Международная научная конференции «Актуальные проблемы развития финансово-экономических систем и институтов» (Самара, 2011); X Международная конференция по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий (Красноярск, 2011); XI Международная конференция «Финансово-актуарная математика и эвентология безопасности» (Красноярск, 2012).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка использованных источников из 120 наименований. Объем диссертации 124 страницы основного текста. Работа содержит 27 рисунков и 29 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и сс практическая значимость, определена цель работы и ее новизна, приводен обзор литературы, обоснована достоверность полученных результатов, а также представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава. В раздые. 1.1 приведена постановка задачи вычисления распределений вероятностей суммарных убытков совокупности рисков на основе полной информации. Впервые в работе вычисляются распределения вероятностей как для двухфакторной совокупности рисков, так и для ее компонентов в случая непрерывного распределения фактических убытков. Вероятности р(.s) того, что суммарный убыток примет значение s, определяются путем преобразований производящих функций дискретной случайной величины.

Моделирование убытков в актуарной математике основано на индивидуальной и коллективной моделях риска. Индивидуальная модель риска базируется на следующих предположениях: рассматривается фиксированный промежуток времени; число договоров совокупности N, | фиксировано и не случайно: отсутствуют поступления в течение анализируемого периода; статистические свойства индивидуального иска Х{п) > 0, связанного с каждым договором. известны (п = 1,2, ...Л/, M - число договоров в ячейке, группе или совокупности); допускается не более одного иска по каждому договору. Если договор предпринимателя может привести более чем к одному иску, то убытки описываются коллективной моделью риска. В этой модели в качестве основной характеристики рассматривается общее число исков и за анализируемый период с вероятностью 7Г(и) = Р(у = и), а также предполагается одинаковый закон распределения случайных величин Y(n) > 0 (п = 1,2, ...i/), описывающих фактические иски по договорам. Суммарный убыток для перечисленных

M V

моделей определяются выражениями: Si = J2 Х{п), S2 = ¿ Y(n).

!' ' 1 П— 1

Величины возможных убытков Xij{k) = Цк) • Yj(k) (к = 1,2,... Щ) по договорам, принадлежащим ячейке являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с вероятностями P(Xij(k) = 0) > 0. Величины Ii(k) и Yj(k) являются случайными, а именно I¡(k) описывает факт поступления иска по договору и подчиняется закону распределения Бер-нулли с вероятностями P(I¡(k) = 1) = g,, P(Ij(k) — 0) = p¿.

Величина фактических убытков представляется в виде Yj(k) = \ • С ¡{к), где Cj(k) = j • D - стоимость договора; D - минимальная стоимость договора; X случайная величина, которая описывает степень ущерба в j-оЯ группе и подчиняется бета-распределению, которое необходимо дискретизировать. Для этого рассчитываются параметры распределения (a, b) и дискретизированные значения вероятностей r¡ = Р(\1 = А,\ • /), где I = 1,2,... L, L количество дискретизированных значений, А\ - шаг дискретизации. Максимальное расхождение функции бета-распределения и ее диекретизированной аппроксима-

НИИ для Д\- = 0,02; Ь = 50; а = 13,45; Ь = 76,207 составляет 0.0377. Графики функций представлены на рис. 1. Точность аппроксимации повышается с увеличением Ь. Также для дискретизации бота-распределения можно использовать метод локальных моментов. Величина фактических убытков и их вероятности для случая Д\ = 0,02 и И = 50 тыс. усл. сд принимают вид: = 1- ], Р [к) = I■з) — г'-

Таким образом, учитывая классификацию договоров по вероятности наступления убытков <1 и размеру фактического убытка У, двухфакторная совокупность рисков ДЛЯ случая Таблица 1. Двухфакторная совокупность рисков непрерывного закона распределения фактических убытков представляется табл. 1. Если степень ущерба х — 1, то

описанная двухфакторная СОВО- Примечание: к - 1,2,,., ,Л'у, г = 1,2.....Ь, I - максиыаль-

купность рисков соответствует ное знамение при котором п > £ — Ю-5, представлению страхового портфеля в работах N. <1е Рп1.

Выражения для суммарных и максимально возможных убытков в ячейке, группе и совокупности рисков приведены в табл. 2. Производящие функции, необходимые для вычисления вероятностей р(в), приведены в табл. 3.

Таблица 2. Характеристики ячейки группы и совокупности.

Рисунок 1. Бста-распрсдслспис

ф у, = 1 ■ 7

<71

ЧІ I *«(<■■)■ 1

Чі 1 1

Характеристика ячейка Л4'-" группа совокупность

суммарный убыток ^ = £ т ъ(к) і 5( = £ Ъ 5= Е Е

максимальный убыток 7 1 О - А^- £тпії — ¿-таї 7=1 Б™* = ЕЕ 5,7" ¡-и-1

Таблица 3. Производящие функции суммарпых убытков

Характеристика Производящая функция

индикатор = ти,= Е(1,(к)) = р, + гц ■ -

фактический размера убытка п.у(--) = = я(г™) = Е п)

возможный размер убытка I

суммарный убыток в ячейке У = = & + <цтуАф))' » = Е •*)•*"

суммарный убыток группы У V ет5.(г) = -Е {--*') = П (И + <Л"<П«(г))' " = £ ' 2> >=1 -

суммарный убыток совокупности = П П + " = £ 1=1 7= 1

Примечание: М.РаС«). РзМ - вероятности того, что наступит убыток я в ячейке, группе и совокупности соответственно.

В разделе 1.2 рассмотрены рекуррентные методы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков. В пункте 1.2.1 проведен сравнительный анализ стандартных методов N. бе Ргії и Н. Рагуег с точки зрения времени работы алгоритма расчета и порядка количества итераций. Для анализа сформировано 20 двухфакторных совокупностей рисков N для случая дискретного распределения фактических убытков. Исследуемые совокупности характеризуются параметрами, приведенные в табл. 4.

_Таблица 4. Характеристики совокупностей численного эксперимента

параметр минимальное значение максимальное значение

размерность 0x4 10 х 10

количество договоров N++ 150 15 ООО

суммарные убытки S',iaT 328 81 800

диапазон вероятностей 0,05-К 0,5 0,05 4-0,95

Графики функции плотности распределения f(s) и функции распределения F(s) суммарных убытков для совокупности рисков размерности б х 10 с диапазоном вероятностей 0, 05 ~ 0, 5 при N = 150 и Snwx = 16360 усл. ед. приведены на рис. 2.

0.014 0.012

0,00« 0,002

—Ли) --А»

—Flat

- -F2is>

Рисунок 2. Функции платности распределения суммарных убытков /(») и распределения суммарных убытков ГЧ.ч) для модельного примера: сплошная линия - метод N. <1е Рп1; штриховая линия - метод Н. Рятусг.

Результаты численного эксперимента представлены в табл. 5. В первом столбце таблицы указывается количество договоров совокупности Лг++, во втором - величина максимально возможных убытков совокупности В третьем и пятом - время работы алгоритма, в четвертом и шестом - порядок количества итераций для методов N. с1е РтП и Н. Рагу'ег соответственно.

Анализ результатов числен-

Таблица 5. Результаты сравнепия стандартных методов N. do Pril и Н. Panjer

ного моделирования позволяет сделать следующие выводы: 1) количество договоров и диапазон значений в группах по вероятности наступления убытков и фактическим убыткам влияет на величину 5'тат; 2) максимум плотности вероятности, вычисленной методом Н. Рагусг, занижен в связи с применением закона распределения Пуассона для числа убытков.

А++ Srnax de Pril Н. Panjer

1 2 3 4 5 6

ISO 818 1 917 мс 7 < 1 мс 5

1500 8 180 2 мин 45 758 мс 9 < 1 мс 6

3000 16 360 8 млн 18 845 мс 10 < 1 мс 6

7500 40 900 1ч 1 мин 37 724 мс 11 < 1 мс 6

15000 81 800 2ч 58 мин 8 768 мс 11 < 1 мс 6

В пункте 1.2.2 представлен вывод выражений для расчета искомых вероятностей рЗ(л) на основе модифицированного метода N. <]е Рп1. Применение стандартного метода N. с!е Рп1 в случае непрерывного закона распределения фактических убытков приводит к необходимости применения операции свертки для вычисления вероятностей Р {У,(к) = /•;') = г(. Используя производную производящей функции суммарных убытков в ячейке

«^М =■»*<«> ■*<,■/(*>. где

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражении для разложения в ряд функции /(г) с учетом производящей функции тУ)(к)(г) фактических убытков, получаем рекуррентные формулы для расчета коэффициентов И/У ,. Тогда искомые вероятности рЗ(.ч) вычисляются по формулам:

ЗП~1 тт(2,0

р35,(0) = (1-70*4 = Е

■>'- 1=1

рЗ$Л0) = (1-Я,)",+, рЗЛ(в) = - Е Е V

, , шМ..г,

р38(0) = П(1рЗ*(») = -£ Е Е ^(«-лп).^.!, ¿=1 ;=1 »=1

без применения операции свертки для вычисления вероятностей гг.

В пункте 1.2.3 представлен вывод выражений для расчета искомых вероятностей р4(з) на основе модифицированного метода Н. Рагцег. Полученная модификация метода для вычисления распределений суммарных убытков группы Л:(,) не требует применения операции свертки, что приводит к сокращению времени работы алгоритма и порядка итераций. Искомые вероятности р4(«) для ячейки, группы и совокупности вычисляются по формулам:

тгп(я,Ь) , I *

р45ц(0) = (1-®УЧ п.^ + Вц-ур^и-^-!))

1=

тт(»,/2Л у ^ ч

ИЛ(0) = {1-90Л,'+. p4Si(s)= Е r'-iA' + Bi~s) ■ri-pis.A*-1)

1=1 ^ '

L Ni

p4s{s) = p45,(.s) * .. .p44-<(.s) * ... *p4s,(.s),r,4C l>i = P(Y4l) = m ■ E E r< "

J=1 A=1

В разделе 1.3 рассматриваются асимптотические методы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков по ячейке Sij, группе Si и совокупности S. В работе эти методы применяются в силу центральной предельной теоремы. Для применения аппроксимаций получены выражения для вычисления первых двух центральных моментов и коэффициента асимметрии величин

Sij, Si и S:

lUj = Nij - 1?(Д1), 4 = f» + N'i ■ ТУ" —

34 - 2nti + Nirif;;(\)

./ .7 За,2 - 2№ + £ ^ • ,,«(1)

№ = = Л + =-Т-;

3=1 3=1 7 J

г } 1.1 з<7з - 2,/ + х; Е лу,- -

¿=1 3=1 ¡=1 3=1 °

где 1^(1) = ч,т'у(. 1), !/£(1) = «¡Ток(1) - («т^Ц))1 . <(1) = (!) - 3«?т;.(1)т?.(1) + 2(<л«.'у(1))3.

Аппроксимация на основе разложения Корниша-Фишера предполагает: преобразование центрированной случайной величины £ с учетом третьего центрального момента: £ = ^ + ^ + — | и расчет искомых вероятностей

р550. ~ Ф(£: 0; 1), где £ - одна из величин 5у, 5; и 5.

Для аппроксимации функций распределения суммарных убытков двух-факторной совокупности рисков и се компонентов также применяется трехпа-раметрическое гамма-распределение, которое кроме параметров а и /3 содержит а'о, учитывающий сдвиг распределения. Параметры подбираются таким образом, чтобы первые три центральных момента величины £ и аппроксимирующей

ее случайной величины совпадали. Тогда для аппроксимации функции распределения необходимо вычислить параметры распределения а, /3, ха и вероятности: йз — жо; а;/3).

Описанные аппроксимации функций распределения суммарных убытков в ячейке, группе и совокупности рисков позволяют избежать применения точных методов в случае, когда произведение числа убытков в компонентах совокупности рисков на вероятность наступления убытков больше 10.

В разделе 1.4 описывается интерфейс приложения «Анализ средств под риском» для решения задачи вычисления распределений суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков для случаев дискретного и непрерывного распределений фактических убытков методами, рассмотренными в разделах 1.2 и 1.3. Кроме того, с использованием приложения вычисляются математическое ожидание, дисперсия, коэффициент вариации, квантильные оценки и средства под риском суммарных убытков в ячейке, группе и совокупности, а также строятся графики полученных распределений.

В разделе 1.5 сформулированы основные результаты третьей главы.

Вторая глава. В разделе 2.1 приводится постановка задачи вычисления прогнозного значения убыточности однофакторной и двухфакторной совокупностей риска на основе стандартной и модифицированной модели Бюльмана-Штрауба.

Для вычисления временной однофакторной совокупности рисков договора предприятия классифицируются по группам риска и времени, и вычисляются таблицы С и У. содержащие агрегированные данные по стоимости договоров и фактическим убыткам одного подразделения или всего предприятия соответственно. Каждый элемент таблицы убыточности 2х определяется отношением фактических убытков 1а к стоимости договоров Сц. Для временной

двухфакторной совокупности рисков аналогично вычисляется .7 таблиц С, У и 2 с элементами Сщ, и 2щ соответственно.

Требуется получить оценки условного м ате м атичес ко г(м>ж и дан и я показателя убыточности = Е{гк,т+\\21) к-ой группы риска и 2Ы = Е(2ы.т+\\2?) к-ой группы риска в I-ом подразделении на момент времени Т + 1. Искомые оценки определяются в виде линейной комбинации имеющихся данных с коэффициентами (*ц и которые определяются из условий дисперсии. Для модифицированной модели условия минимизации определяются в виде:

¡-и-1!_1 / [\ 1-1 ¡-1 (-1

Тогда однородная оценка с дополнительным условием несмещенности 20ы, неоднородная оценка 2 Ми, а также соответствующие условия минимизации после преобразования определяются выражениями: 1 .1 т

2он==т ¡=1 ^=1

=1 3=1 (= 3 Т

Е{гн,т+1 ц2) - «о - ХШИ 1=1 7=1 (=1

I л т

2-\<ы = а0 + ]Г £ Е

¡=1 (=1

В разделе 2.2 решается задача получения оценки условного математического ожидания показателя убыточности временной однофакторной совокупности рисков с помощью стандартной модели Бюльмана-Штрауба,

В разделе 2.3 приводится вывод выражений для вычислений прогнозного значения убыточности временной двухфакторной совокупности рисков. В пункте 2.3.1 описывается модифицированная модель Бюльмана-Штрауба, для построения которой предполагается, что величины возможных убытков С\]1 являются детерминированными, а У^,/ - случайными с Е(У1]1) = р и I/аг(Уф) = а2. Элементы 2^ временной двухфакторной совокупности рисков независимы и 2^, 6 N (т,з2/С{р), где т - параметр, характеризующий среднее значение убыточности, з2 = а2/С„г - параметр, характеризующий дисперсию на единицу возможных убытков. Показатель убыточности 2^ в данной модели представляется в виде:

г^, = т + П0+Пу(,

где 7п - среднее значение убыточности временной двухфакторной совокупности рисков, Оij - случайное отклонение от среднего, характерное для г группы риска в j ом подразделении, П^ случайные отклонения от долгосрочного среднего, которые описывают изменчивость убыточности во времени. Случайные величины и 0.г}1 характеризуются параметрами = = О, Уаг{Пц) = а, Уаг{Пу4) = Е(ПЦПУ,) = 0.

В пункте 2.3.2 доказывается несмещенность оценок структурных параметров т. а, в2 модифицированной модели, которые вычисляются по формулам:

{у _ у 2 I з т

т = 2+++1 а = ?2 = ЩТ _ !) Е Е Е -

^^Ц'

1 7 1 ' т

= — Е£+++ = ——

7 Г Е- +++ Г-Г Г Г—Г

1=1 +++ В пункте 2.3.3 решаются задачи минимизации. Для однородного и неоднородного случаев решения имеют вид:

1 - 7н ' 7

ХОь = /Гы+ты Л--^ ^ = — 7ы) + 7ы£и+;

7 ¿=1 ¿=1

X—4 \ 1

где 7 = 2_г 7ы'

В пункте 2.3.4 представлен вывод выражений для расчета СКО. Средние квадратические отклонения прогнозируемых значений убыточности от однородных и неоднородных оценок задаются формулами:

й01, = а • <?5 + 52 • Сс, = а ■ С7 + э2 ■ ва

где с, = (1 - -ш)2

Ст = (1 - -ш)2

1 -т

Для автоматизации расчетов анализа убыточности совокупности рисков разработана программная система. В разделе. 2.4 описан интерфейс основного и вспомогательного приложений, входящих в состав системы. Основное приложение «Анализ убыточности» используется для проверки применимости стандартной и модифицированной моделей Бюльмана-Штрауба; вычисления оценок структурных параметров, прогнозного значения убыточности и СКО показателя убыточности в однородном и неоднородном случаях моделей; построения графиков, иллюстрирующих изменение показателя убыточности отдельной группы риска во времени. Вспомогательное приложение «Данные» применяется для формирования агрегированных данных по фактическим и возможным убыткам, учитывая классификацию по группам риска, подразделениям и периодам времени (месяц, квартал, полгода и год).

В разделе Ё.5 сформулированы основные результаты второй главы.

Третья глава. В разделе 3.1 описывается исследуемая совокупность однородных договоров добровольного страхования транспортных средств Самарского филиала СОАО «ВСК» с физическими лицами за период с 2006

по 2011 гг. Для анализа отобраны 24 марки транспортных средств (группы риска), которые закодированы порядковыми номерами.

Б разделе 3.2 формируется двухфакторная совокупность рисков размерности 24x40, которая содержит Л'++ = 19131 договор. В строках совокупности договора сгруппированы по значениям брутто-ставки, в столбцах по страховой сумме. Фрагмент совокупности для г — 22 представлен в табл. 6.

Таблица 6. Двухфакторная совокупность рисков

J/J 1 г 3 4 5 в 7 в « 10 11 12 13 14

22 562 1977 3041 697 50 6 0 0 Ч 0 0 0 0

¡и 15 1в 17 18 19 го 2/ 22 23 24 29 26 27 28

22 0 0 0 0 0 0 0 0 о 0 0 0 0 0

i/j 29 30 31 32 3S 34 3S зв 37 за за 40 N

22 0 0 0 ° 0 u ° 0 0 0 0 0 6333

Для полученной двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов вычисляются максимально возможные убытки, а также распределения суммарных убытков модифицированными рекуррентными и асимптотическими методами. Графики полученных функций плотности распределения/(в) и распределения -Р(в) суммарных убытков для ячейки Лг(22-3) приводятся на рис. 3. Совпадение распределений, полученных различными методами, подтверждается одинаковыми значениями характеристик: Е = 1866; <т = 121; V — 6.5%.

а) /(«) для ячейки 6) FW для ячейки

Рисунок 3. Графики распределений ячейки

На основе полученных распределений суммарных убытков получаем значения средств под риском Var, представляющих собой выраженную в базовой валюте оценку ожидаемых потерь совокупности рисков в течение данного периода времени с вероятностью 0.95 под воздействием различных факторов.

Для полученных распределений проводится проверка соответствия полученных функций нормальному закону распределения. Для этого вычисляются квантили нормального закона распределения уровня q: Sq — т+Ф-1 (q — -ст. Для ячейки NW отклонение значения средств под риском от квантили нормального распределения в распределениях, полученных модифицированными рекуррентными методами и G-аппроксимацией, составило 1.72%, а соответствующее отклонение в распределении, полученном NP-аппроксимацией, составило 1.68%.

Структура совокупности рисков оптимизируется так, чтобы убыточность совокупности и ее компонентов не превосходила установленной предпринимателем нормы прибыльности. Для этого рассчитываются показатели убыточности ДЛЯ ячейки, группы И совокупности: Zij = Zi = ^ггйг, 2 = где Var.-j, Уаг{, ^яг и S™1, SJ"", 5maz средства под риском и максимально возможные убытки ячейки, группы и совокупности соответственно. Числовые значения максимально возможного убытка, средств под риском и показателя убыточности для ячейки iV<22-3> соответственно равны = 82 460, Var27.j = 6 201 и ¿22,j = 3.46%. Следовательно, по этой ячейке не требуется изменений при условии, что норма прибыли составляет 30%.

Аналогичные вычисления максимально возможных убытков, распределений суммарных убытков, средств под риском, квантилей и показателей убыточности на основе модифицированных рекуррентных и асимптотических методов проводятся для всех групп в совокупности рисков и всей двухфакторной совокупности рисков.

В разделе 3.3 совокупность рисков анализируется на основе агрегированной информации. Для этого формируются временные однофакторная и двух-факторная совокупности рисков. Применение стандартной модели Бюльмана-Штрауба для расчета прогнозных значений убыточности временной однофак-торной совокупности рисков размерности 24 х 6 приведено в работе.

Для анализа убыточности формируется временная двухфакторная совокупность рисков размерности 24 х 5 в трех подразделениях. Модель Бюльмана-Штрауба применяется в случае статистически значимого различия средних в группах риска при одинаковых дисперсиях, иначе совокупность рисков считается однородной, и убыточность по всем группам риска будет одинакова. Наблюдаемые и критические значения статистик соответственно равны: X2 = 0.96, F = 4.45, Xoosji = 91.67, ía03:7,.288 = 1.34. Следовательно, модифицированная модель применима для анализа убыточности.

Числовые значения параметров модифицированной модели Бюльмана-Штрауба для исследуемой временной двухфакторной совокупности рисков соответственно равны: тп = 0.0522, а = 0.0006,s2 = 18014.6.

Полученные результаты Таблица 7. Результаты анализа убыточности

для 24 групп риска в трех подразделениях приведены в табл. 7. В первом столбце таблицы указывается номер группы риска, во втором процент доверия к статистике группы. Третий и шестой столбцы содержат расчетные значения оценок убыточности, четвертый и седьмой значения среднего квадратического отклонения. в пятом и восьмом -- коэффициенты вариации в однородном и неоднородном случаях модифицированной модели Бюльмана-Штрауба соответственно.

Л* 1 я 20т+1 ВО | VO || 2ЛТ+, 1Ж VN

1 подразделение

22 | 2.4550 0.0361 0.0049 | 0.1365 || 0.0363 0.0019 0.1369

2 подразделение

22 [ 2.23-16 0.0285 0.0087 | 0.3039 || 0.0282 0.0087 0.3075

3 подразделение

22 [ 2.305-1 0.0219 0.0077 | 0.3491 || 0.0217 0.0077 0.3532

Для наглядного представления полученных результатов на графиках отображается информация об изменениях показателя убыточности за анализируемый промежуток времени, а также значения действующего тарифа и полученных оценок (см. рис. 4).

Используя полученные значения однородных и неоднородных оценок прогнозного значения показателя убыточности, вычисляются возможные границы изменения существующих тарифных ставок. В табл. 8 представлен фрагмент полученной в работе таблицы с границами изменения тарифных ставок, в которой группы риска сгруппированы Таблица 8. Границы изменения тарифов но направлению изменения тарифа: снижение или повышение.

В разделе 3-4 сформулированы основные результаты третьей главы.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложениях приведены сводные таблицы, полученные при оценке совокупности рисков на основе полной и агрегированной информации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Впервые предложена методика моделирования совокупности предпринимательских рисков на основе полной и агрегированной информации.

2. Модифицированы рекуррентные методы Г\.(3е Рп1 и Н.Рагусг вычисления распределений суммарных убытков, что позволяет вычислять распределения не только совокупности, но ее компонентов, а также исключить применение операции свертки для вычисления вероятности наступления фактического убытка и распределения вероятностей суммарных убытков группы риска для случая непрерывного распределения фактических убытков соответственно.

Разработаны численные алгоритмы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков совокупности и ее компонентов на основе асимптотических аппроксимаций Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределения, которые уточняют нормальную аппроксимацию совокупного размера убытков, используя коэффициент асимметрии.

3. Впервые получены оценки условного математического ожидания показателя убыточности временной двухфакторной совокупности предпринимательских рисков с помощью трехиндексной модели Бюльмапа-Штрауба, а также расчетные выражения для оценки точности прогнозного значения убыточности для временной однофакторной и двухфакторной совокупностей предпринимательских рисков на основе среднего квадратического отклонения.

іюЛроіОЄ*тіг I » О.ПЦ'Ы

• г.ч

2И* 20« 2010 2012

Рисунок 4. График измспепия показателя убыточности

границы снижения границы повышения

Л* I тт тая Л* | тт | таг

І подразделение

22 І 0.01728 0.01737 10 | -0.01804 | -0.01792

2 подразделение

22 I 0.02526 0-02555 , 8 1 -0.01072 | -О.ООЭ68

3 подразделение

22 | 0.03177 0.03199 | 14 | -0.00582 | -0.00470

4. Проанализирована совокупность договоров добровольного страхования транспортных средств на основе полной информации. Для этого сформирована двухфакторная совокупность рисков размерности 24x40. Для исследуемой совокупности N и сс компонентов вычислены функции плотности распределения суммарных убытков /(з) и распределения суммарных убытков ^(з), а также значения показателей средств под риском и убыточности. Показатели убыточности характеризуют структуру совокупности рисков и позволяют провести се оптимизацию так, чтобы убыточность по совокупности и ее компонентам не превышала заданное значение.

5. Проанализирована совокупность договоров добровольного страхования транспортных средств на основе агрегированной информации. Для этого сформированы временные однофакторная и двухфакторная (для ,7=7) совокупности рисков размерности 24 х 6, для которых вычислены прогнозные значения показателя убыточности, СКО и коэффициенты вариации. Коэффициенты вариации для 100% групп временной однофакторной совокупности рисков и 70% групп временной двухфакторной совокупности рисков не превышают 25%. Для временной однофакторной и двухфакторной совокупностей рисков вычислены возможные границы увеличения и снижения тарифных ставок анализируемых типов транспортных средств на основе фактических и прогнозируемых значений показателей убыточности.

6. Разработана многофункциональная программная система, которая состоит из приложений «Анализ распределений», «Данные» и «Анализ убыточности», и основана на методах вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов, а. также моделях Бюльмана-Штрауба анализа убыточности временных одно-факторных и двухфакторных совокупностей рисков. Эта система позволяет анализировать совокупность предпринимательских рисков независимо от типа имеющейся информации на предприятии и масштабов его деятельности.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых журналах из перечня ВАК

1. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Ценовая динамика прибыли и се оценка методами финансового анализа // Вестн. Сам. гос. ун-та., гуманитарная серия. 2008. №7(66). С. 162-175.

2. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Оценка риска неисполнения предпринимательских контрактов при наличии франшизы /'/ Всстн. Сам. гос. ун-та, гуманитарная серия. 2008. №7(66). С. 152-161.

3. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Математическая модель построения доверительных оценок скрытых источников инвестиционного дохода /7 Всстн. Сам. гос. техн. ун-та, сер. физ.-мат. науки. 2009. №1(18). С. 182-190.

4. Михайлова Е.В., Никишов В.Н., Сараев Л.А. Обобщение модели Бюльмана-Штрауба для оценки убыточности динамического портфеля рисков /У Вестн. Сам. гос. ун-та, серия экономика и управление. 2011. Ш0(91). С. 117-128.

5. Михайлова Е.В., Никишов В.Н. Рекуррентные методы построения кумулятивных функций риска // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, сер. физ.-мат. науки. 2012. №2(27). С. 144-151.

В других изданиях

6. Михайлова Е.В., Трусова А.Ю. Алгоритмы дискретизации данных возможного размера убытков // Казанская наука. 2010. №9 (Вып. 1). С. 32-37.

7. Михайлова Е.В., Авряскина М.А. Рекуррентные методы построения кумулятивных функций риска /,/ Материалы II международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 2010. С. 239-241.

8. Михайлова Е.В., Никишов В.Н. Применение доверительной теории Бюльмана-Штрауба для анализа рентабельности /7 Материалы II международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 2010. С. 242-244.

9. Михайлова Е.В., Трусова А.Ю. Метод подгонки локальных моментов для дискретизации возможного размера ущерба по предпринимательским договорам. /'/ Труды X Международной конференции по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий. Красноярск, 2011. С. 257 260.

10. Михайлова Е.В., Никишов В.Н. Применение доверительной теории Бюльмана-Штрауба для прогнозирования показателя рентабельности предприятия // Материалы и доклады II Международной научной конференции «Актуальные проблемы развития финансово-экономическоих систем и институтов». Т.2. Самара, 2011. С. 101108.

11. Михайлова Е.В., Никишов В.Н., Трусова А.Ю. Асимптотическое моделирование двухфакторных групп рисков на основе разложений Корниша-Фишсра и трехпараметрического гамма-распределения. /7 Труды XI Международной конференции по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности. Красноярск, 2012. С. 234-238.

Подписано в печать 24.10.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага кссроксная. Печать оперативная. Объем - 1,25 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 44

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080, г.Самара, ул. Сапфировой, 110 А; тел.: 222-92-40

Введение

1 Распределение вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов

1.1 Постановка задачи вычисления распределений вероятностей суммарных убытков.

1.2 Рекуррентные методы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков.

1.2.1 Стандартные методы N. с1е Рп1 и Н. Рагусг.

1.2.2 Модификация метода N. с1е Рп1 для вычисления распределений двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов

1.2.3 Модификация метода Н. Рагуег для вычисления распределений ячейки и группы двухфакторной совокупности рисков.

1.3 Асимптотические методы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков

1.4 Общая характеристика и интерфейс приложения для решения задачи вычисления распределений суммарных убытков.

1.5 Результаты первой главы.

2 Анализ убыточности временной однофакторной и двухфакторной совокупностей рисков

2.1 Постановка задачи оценки убыточности.

2.2 Анализ убыточности временной однофакторной совокупности рисков.

2.2.1 Стандартная модель Бюльмана-Штрауба

2.2.2 Несмещенность оценок параметров стандартной модели

2.2.3 Однородный и неоднородный случаи стандартной модели

2.2.4 Точность оценки показателя убыточности стандартной модели

2.3 Анализ убыточности временной двухфакторной совокупности рисков.

2.3.1 Модифицированная модель Бюльмана-Штрауба.

2.3.2 Несмещенность оценок параметров модифицированной модели

2.3.3 Однородный и неоднородный случаи модифицированной модели

2.3.4 Точность оценки показателя убыточности в модифицированной модели.

2.4 Общая характеристика и интерфейс приложений для решения задач анализа убыточности.

2.5 Результаты второй главы.

3 Практическое применение моделей и методов анализа совокупности рисков

3.1 Общая характеристика исследуемой совокупности рисков

3.2 Оценка совокупности рисков на основе полной информации

3.3 Оценка совокупности рисков на основе агрегированной информации.

3.4 Результаты третьей главы.

Современное состояние развития теории риска. Приня тие решений в любой сфере социально-экономической деятельности связано с неопределенностью и риском. Основоположником экономической теории рисков является Р.Кантильоп, который в работе «Очерк об общей природе торговли» рассматривал риск в качестве свойства любой торговой деятельности. Существенный вклад в развитие понятия риска внесли экономисты классической (А.Смит, Дж. С. Милль, Й. фон Тюнен) и неоклассической (Ф. Найт, А. Пигу, Й. Шумпетер) школ, а также А.Маршалл, Дж. М. Кейнс и другие экономисты [1^9]. Понятие неопределенности рассматривается в работах Ф. Найта, A.C. Шапкипа, A.B. «Панскова и Н.Б. Ермасовой [5,10-12]. В классическом подходе риск не рассматривался применительно к экономической системе в целом и отождествлялся только с вероятностью понести убытки. Согласно представлениям неоклассической школы риск - это существующая вероятность колебания величины финансового результата хозяйствующего субъекта от ожидаемого значения. Однако данные походы не разделяли понятия риск и неопределенность. Впервые категории риска и неопределенности были разграничены в работе «Риск, неопределенность и прибыль» Ф. Найта, который установил, что к риску пе относится та область, в которой невозможно оценить вероятность исхода событий [5]. Эволюционный анализ теорий риска проводится в работе В.И. Бархатова [13]. Теоретические основы риск-менеджмента рассматриваются в работах Н.В. Хохлова, В.М. Грапату-рова [14,15].

Развитым научным направлением количественной оценки риска является актуарная математика. Подробно методы оценки риска в страховании изложены в работах Ii. Бауэрса, Т. Мака, Р. Кааса, X. Гербера, Е.В. Булии-ской, В.Ю. Королева, Г.И. Фалина, П. Эмбрехтса, Ж.Лемера [16-25]. Существенный вклад в развитие теории риска в нашей стране внес Малиновский В.К. [23,27-33].

Основными направлениями оценки риска в страховании являются решение задачи оценки вероятности разорения страховой компании, оценка риска на основе распределений вероятностей суммарных убытков и анализ убыточности страховых операций.

Впервые задача об оценке вероятности разорения рассмотривалась в работах Ф. Лундберга [34-36]. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения продолжены в работах В.Ю. Королева, А.А. Кудрявцева, Т.А. Бел-кипой [22, 37-41]. Анализ зависимости вероятности неразорения страховой компании от инвестирования свободных средств в рисковые и безрисковые активы проведен в работах К. Сегердала, Дж. Паульсепа, X. Гжессипга, С. Броупа, А.В. Мельникова [42-48] и др.

Для оценки однородной группы независимых одинаково распределенных рисков применяются модели индивидуального и коллективного риска [26] для случая дискретного распределения фактических убытков. При вычислении функций распределения суммарных убытков однородной группы рисков применяются точные и асимптотические методы. В работе P.S. Korriya [49] предлагается алгоритм расчета распределения суммарных убытков в случае индивидуальной модели риска, основанный па применении производящих функций и формулы R.P. White и T.N.E. Greville [50]. Рекуррентные методы, основанные на индивидуальной и коллективной моделях риска рассматриваются в работах Н. Panjer [52-56] и N. de Pril [57-60]. Рекуррентные методы вычисления распределений суммарных убытков обобщены в работе [61].

В работе Н. Panjer [52] разработан рекуррентный метод вычисления распределения суммарных убытков без применения операции свертки, что сокращает порядок количества ичераций на несколько порядков. В работе [54] рассмотрен широкий класс распределений числа убытков, применяемых в рекуррентном методе Н. Panjer. А именно, в работе показано, что в качестве распределений числа убытков могут использоваться биномиальное, отрицательно-биномиальное, гипергеометрическое, логарифмическое, отрицатательное ги-иергеометрическое распределения, а также распределения Пуассона и Ва-ринга. В работе [55] доказано, что формула Н. Panjer не накапливает ошибки округления при вычислении распределений на основе составных распределений Пуассона. Для составного биномиального распределения доказана нестабильность рекурсии.

В работе N. cle Pril [57] получена простая рекурсия, исключающая применение операции свертки для вычисления распределений вероятностей суммарных убытков. В работе [58] для расчета распределения вероятностей суммарного убытка портфель1 полисов страхования жизни представлен в виде таблицы размерности / х J, где I - количество групп по вероятности наступления страхового случая, J - количество групп по величине страховой

1 страховой портфель - эго фактическое количество застрахованных объектов или совокупность страховых рисков, пришпых страховщиком за определённый период. суммы. Позднее получены результаты оценки погрешности аппроксимации, опубликованные в [59], где показано, что погрешность аппроксимации метода de Pril меньше, чем в аппроксимации, применяемой в работе P.S. Когпуа [49]. Также и [59] предложен алгоритм расчета суммарного распределения убытков и доказана теорема сходимости данного метода. Следует отмстить, что метод, предложенный в работах de Pril, сходится при значениях q¡ < 0.5. В работе [60], результаты, полученные в работах de Pril модифицированы для рекурсивного расчета распределений суммарных убытков с положительной вероятностью в пуле.

Результаты, полученные в работах N. de Pril и H. Panjer, получили развитие в работах S. Киоп, С. Ribas, J. Dhaeiie, M. Vanderbroek, S.M. Pitts, J. Yang, H. Cossette [63-68] и других. В работе M. Fackler [62] получена формула, объединившая дискретные распределения (Пуассона, биномиального и отрицательно биномиального) класса Panjer.

В силу центральной предельной теоремы, для вычисления распределений суммарных убытков страхового портфеля применяется аппроксимация на основе нормального закона распределения, разложения Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределсиия [17,18].

Для анализа риска па основе распределений суммарных убытков необходима полная информация, под которой понимается наличие данных о вероятности наступления убытков (д) и законе распределения фактических убытков (У). Тогда двухфакторной совокупностью предпринимательских рисков N называется таблица, размерности I х J, в каждой ячейке которой сгруппировано N¡j однородных договоров предприятия, соответствующих различным значениям величин q и У, в каждой группе -Nj+ договоров с одинаковым значением величины q, где Inj- количество групп относительно вероятности наступления убытков и фактических убытков соответственно. Компонентами двухфакторной совокупности рисков называются ячейка А1^ и группа Аг^г\ входящие в состав совокупности (г = 1,2,.,/;jî = 1,2, .J). Всего в двухфакторной совокупности рисков сгруппировано АТ++ договоров.

Отмстим, что с помощью стандартных рекуррентных методов N. de Pril и H. Panjer вычисляются распределения суммарных убытков двухфактор-пых совокупностей рисков в случае дискретного распределения фактических убытков. Однако до настоящего времени не исследовалась возможность построения распределений вероятности суммарных убытков пе только для двухфакторной совокупности рисков, но и для ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков.

Показатели убыточности совокупности рисков являются универсальными характеристиками, отражающими совокупный эффект воздействия целого ряда факторов па страховой портфель. Анализу убыточности страховых операций посвящены работы Э. Штрауба и X. Бюльмана [69-71].

Для решения задачи количественной оценки риска с помощью показателя убыточности используется агрегированная информация, под которой понимается наличие статистических данных предприятия по / видам деятельности в J подразделениях о стоимости контрактов (С) и фактических убытках (У) за ряд последовательных периодов времени (Т).

Если имеются данные по одному подразделению или предприятию в целом (,/ = 1), то временной однофакторной совокупностью предпринимательских рисков Z1 = \Zit\ называется таблица размерности I х Т, в каждой ячейке которой содержится показатель убыточности г-ого вида деятельности в момент времени t. Если J > 1, то временной двухфакторной совокупностью предпринимательских рисков Z2 = {Zfjt} называется совокупность J таблиц размерности / х Т, в каждой ячейке которой содержится показатель убыточности г-ого вида деятельности n j-ом подразделении в момент времени t. Показатель убыточности определяется отношением фактического убытка к стоимости контракта.

Особенность модели Бюльмана-Штрауба состоит в том, что прогнозное значение показателя убыточности рассчитывается с учетом статистических данных не только по группе риска, по и по всей совокупности рисков.

Применение не только полной, по и агрегированной информации для анализа совокупностей предпринимательских рисков обусловливается тем, что модели и методы, рассматриваемые в работе позволяют выработать единый подход к оценке рисков, который не зависит от количества договоров, периода работы предпринимателя и масштабов осуществляемой им деятельности.

Применяемые в работе модели анализа риска основаны на методах теории вероятностей и математической статистики, изложенных в работах [87-95]. Также в работе применяется методика оценки рисков Var, подробно рассмотренная в работах A.A. Лобанова, Д. Щукина [83,84] и других.

Актуальность темы. К настоящему времени применяемые в работе модели и методы количественной оценки риска широко применяются только в области страхования. Однако, актуальной является задача их использования в сфере кредитования и предпринимательской деятельности. Базовые вопросы предпринимательства рассматриваются в трудах А. Смита, Д. Рикардо, И. фон Тюнеиа, И. Шумиетра, Дж. М. Кейпса, Д.К. Гэлбрайта [1,3,7,9,79] и других экономистов.

Совокупность кредитных договоров подвержена риску возникновения убытков вследствие неоплаты или несвоевременной оплаты заемщиком финансовых обязательств. Особенность кредитного риска в том, что в убытки включается не только сумма задолженности, но и проценты за использование средств.

Другим направлением применения методов, полученных в работе является совокупность предпринимательских договоров, включающая контракты на поставку продукции, выполнение работ или оказания услуг. Неисполнение обязательств контрагентами несет для предпринимателя риск получения убытков. Отдельно стоит отметить контракты для государственных и муниципальных нужд, исполнение которых контролируется па основании федерального закона [108]. В этом случае совокупность рисков формируется у заказчика, который, не являясь предпринимателем, несет риск получить убытки в связи с неисполнением или ненадлежащим исполнением обязательств но договору.

Количественная оценка риска совокупности коммерческих контрактов, каждый из которых в банковской или производственной сфере может привести к одному или нескольким случаям неисполнения или ненадлежащего исполнения обязательств может быть получена, используя модели и методы, применяемые па сегодняшний день только в сфере страхования.

Таким образом, научный и практический интерес представляет задача оценки риска на основе распределений суммарных убытков двухфакторпой совокупности рисков и ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков и показателя убыточности временной двухфакторпой совокупности рисков на основе модифицированной модели Бюльмана-Штрауба.

Целыо диссертационной работы является разработка методики моделирования совокупности предпринимательских рисков и модификация рекуррентных методов N. с1е Рп1 и Н. Рагуег для вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторпой совокупности рисков и ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков а также модели Бюльмана-Штрауба для анализа показателя убыточности временной двухфакторной совокупности предпринимательских рисков.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

- впервые предложена вероятностная модель для анализа суммарных убытков совокупности предпринимательских рисков и ее компонентов на основе полной информации и непрерывного закона распределения фактических убытков;

- модифицированы рекуррентные методы N. с1е Рп1 и Н. Ратуег вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов в случае непрерывного распределения фактических убытков;

- используется аппроксимация распределений суммарных убытков на основе разложения Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределения для вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов;

- впервые предложена трехиндексная модель на основе модификации модели Бюльмана-Штрауба для получения прогнозной оценки условного математического ожидания показателя убыточности (прогнозного значения убыточности) с учетом статистики как по отдельным группам риска, так и по временной двухфакторной совокупности рисков в однородном и неоднородном случаях;

- впервые для однородного и неоднородного случаев стандартной и модифицированной моделей Бюльмана-Штрауба получены формулы для расчета среднего квадратического отклонения прогнозируемых значений убыточности от однородных и неоднородных оценок;

- разработан многофункциональный комплекс программ, реализующий численные алгоритмы решаемых задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Модифицированные рекуррентные методы N.¿0 Рп1 и Н. Рап]"ег для расчета распределен и й вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов на основе производящих функций моментов с применением бета-распределения для описания размера фактических убытков по рискам.

2. Модифицированная трехиндексная модель Бюльмана-Штрауба для получения прогнозных оценок условного математического ожидания показателя убыточности временной двухфакторной совокупности рисков с учетом статистики как по отдельным группам риска, так и по всей совокупности рисков.

3. Расчетные формулы среднего квадратического отклонения прогнозируемых значений убыточности временной однофакторпой и двухфакторной совокупностей рисков от однородных и неоднородных оценок в стандартной и модифицированной моделях Бюльмана-Штрауба.

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов теории вероятностей и математической статистики, математического моделирования, математической теории риска, а также статистических методов обработки данных. Численные результаты получены на основе комплекса программ, разработанного на языке Object, Pascal в среде программирования Turbo Delphi 2006. Для исключения возможных ошибок реализации математических соотношений были проведены дублирующие расчеты средствами MathCad и MS Excel.

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются использованием математически обоснованных методов анализа совокупности предпринимательских рисков; согласованием полученных результатов математического моделирования с результатами, полученным другими авторами; соответствием основных результатов численного моделирования основным экономическим и статистическим закономерностям.

Практическая значимость работы. Предложенный в диссертационной работе метод математического моделирования и численного исследования совокупностей предпринимательских рисков находит широкое применение в страховании для оценки убыточности отдельного вида страхования и определения тарифных ставок. Кроме того, предложенный подход может использоваться в банковской сфере для оценки убыточности отдельного вида кредитования и определения минимальной процентной ставки, покрывающей риск невозврата ссуд, а также в производственной сфере для оценки убытков от неисполнения или ненадлежащего исполнения обязательств контрагентов предприятия с целыо включения в себестоимость затрат на покрытие возможных убытков от совокупности договоров на поставку продукции, выполнение работ, оказания услуг.

База исследования. Работа выполнена на кафедре математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета.

Личный вклад соискателя заключается в совместной с научным руководитслем постановке задач, выборе методов решения, обсуждения и интерпретаций результатов. Автором лично проведены все аналитические и численные расчеты, а также разработан многофункциональный комплекс программ для автоматизации вычислений распределений вероятностей суммарных убытков, формирования агрегированных данных на основе имеющейся статистики и анализа убыточности временной однофакторной и двухфактор-ной совокупностей рисков.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в их числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов исследований на соискание степени доктора и кандидата наук, и 6 публикаций в материалах научно-практических конференций.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: II Международная конференция «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2010); II Международная научная конференции «Актуальные проблемы развития финансово-экономических систем и институтов» (Самара, 2011); X Международная конференция по финансово-актуарной математике и эвентоконвергепции технологий (Красноярск, 2011); XI Международная конференция «Финансово-актуарная математика и эвентология безопасности» (Красноярск, 2012).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка использованных источников из 120 наименований. Объем диссертации 124 страницы основного текста. Работа содержит 27 рисунков и 29 таблиц.

Заключение

Таким образом, в данной работе получены следующие результаты.

1. Впервые предложена методика моделирования совокупности предпринимательских рисков па основе полной и агрегированной информации.

2. Модифицированы рекуррентные методы 1Ч.с1е Рп1 и Н.Рагцег вычисления распределений суммарных убытков, что позволяет вычислять распределения не только совокупности, но ее компонентов, а также исключить применение операции свертки для вычисления вероятности наступления фактического убытка и распределения вероятностей суммарных убытков группы риска для случая непрерывного распределения фактических убытков соответственно.

Разработаны численные алгоритмы вычисления распределений вероятностей суммарных убытков совокупности и ее компонентов на основе асимптотических аппроксимаций Корниша-Фишера и трехпараметрического гамма-распределения, которые уточняют нормальную аппроксимацию совокупного размера убытков, используя коэффициент асимметрии.

3. Впервые получены оценки условного математического ожидания показателя убыточности временной двухфакторной совокупности предпринимательских рисков с помощью трехиндекспой модели Бюльмана-Штрауба, а также расчетные выражения для оценки точности прогнозного значения убыточности для временной одпофакторной и двухфакторной совокупностей предпринимательских рисков на основе среднего квадратического отклонения.

4. Проанализирована совокупность договоров добровольного страхования транспортных средств на основе полной информации. Для этого сформирована двухфакторная совокупность рисков размерности 24x40. Для исследуемой совокупности N и ее компонентов вычислены функции плотности распределения суммарных убытков /(я) и распределения суммарных убытков .Р(й), а также значения показателей средств под риском и убыточности. Показатели убыточности характеризуют структуру совокупности рисков и позволяют провести ее оптимизацию так, чтобы убыточность по совокупности и ее компонентам не превышала заданное значение.

5. Проанализирована совокупность договоров добровольного страхования транспортных средств на основе агрегированной информации. Для этого сформированы временные однофакториая и двухфакторная (для J=7) совокупности рисков размерности 24 х 6, для которых вычислены прогнозные значения показателя убыточности, СКО и коэффициенты вариации. Коэффициенты вариации для 100% групп временной однофакторной совокупности рисков и 70% групп временной двухфакторной совокупности рисков не превышают 25%. Для временной однофакторной и двухфакторной совокупностей рисков вычислены возможные границы увеличения и снижения тарифных ставок анализируемых типов транспортных средств на основе фактических и прогнозируемых значений показателей убыточности.

6. Разработана многофункциональная программная система, которая состоит из приложений «Анализ распределений», «Данные» и «Анализ убыточности», и основана на методах вычисления распределений вероятностей суммарных убытков двухфакторной совокупности рисков и ее компонентов, а также моделях Бюльмана-Штрауба анализа убыточности временных одно-факторных и двухфакторных совокупностей рисков. Эта система позволяет анализировать совокупность предпринимательских рисков независимо от типа имеющейся информации на предприятии и масштабов его деятельности.

1. См,um А. Исследование о природе и причинах богатства народов. В 2 т. М.: Наука, 1993.

2. Милль Дж. С. Основы политической экономии В 2 т. Пер. с англ. Общ. ред. А.Г. Милейковского. М.: Прогресс. 1980.с

3. Маршалл А. Принципы политической экономии. М.: Прогресс. 1983. 415 с.

4. Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль, пер с англ. М.Я. Каждана. Под ред. В.Т. Гребенникова. М.: Дело, 2003. 360 с.

5. Лигу A.C. Экономическая теория благосостояния В 2 т. М.: Прогресс. 1985.

6. Ксйис Дою. М. Общая теория занятости, процента и денег. Петрозаводск: Петроком. 1993. 307 с.

7. Шумпетер И. Теория экономического развития. М.: Прогресс. 1982. 454 с.

8. Рикардо Д. Сочинения / Под ред. М.Н. Смит. Т.1. Начала политической экономии и налогового обложения. М.: Госполитиздат, 1955. 314 с.

9. Шапкин A.C. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. М.: Дашков и Ко. 2003. 544 с.

10. Пансков A.B., Фомин Е.П., Чумак В.А. Риски па предприятии: классификация, анализ и управление. Самара: Самар. экон. ун-та. 2005. 118 с.

11. Ермасова Н.Б. Риск-менеджмент организации М.: Альфа-Пресс. 2005. 239 с.

12. Бархатов В.И. Эволюционный анализ портфельных теорий и теорий риска // Вестник челябинского государственного университета. 2010. № 5 (186). Экономика. Вып. 25. С. 52-59.

13. Хохлов Н.В. Управление риском. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 239 с.

14. Гранатуров В.М. Экономический риск:сущность, методы измерерния, пути снижения М.: Дело и сервис, 1999. 111 с.

15. Бауэре Н., Гербер X., Джоне Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. М.: Янус-К. 2001. 656 с.

16. Мак Т. Математика рискового страхования. М.: Олимп-Бизнес. 2005. 432 с.

17. Каас Р., Гувертс М., Дэне Ж., Денут М. Современная актуарная теория риска Z Перевод с англ. Новоселова А.А. под ред. Малиновского В.К. М.: Янус-К. 2007. 372 с.

18. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: Мир. 1995. 156 с.

19. Вулинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Часть 1. Упорядочивание рисков. М.: ММФ МГУ. 2001. 119 с.

20. Вулинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Часть 2. М.: ММФ МГУ. 2006. 160 с.

21. Королев В. Ю., Бенина В. Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М.: Физматлит. 2007. 544 с.

22. П. Эмбрехтс, К. Клюппелъберг. Некоторые аспекты страховой математики ZZ Теория вероятностей и ее применения. 1993. Т. 38. С. 374-416.

23. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: Перев. с англ. В.К. Малиновского, изд. 2-е, М.: Янус-К. 2003. 307 с.

24. Лемер Ж. Системы бонус-мал ус в автомобильном страховании: Перев. с англ. В.К.Малиновского, изд. 2-е. М.: Янус-К. 2003. 259 с.

25. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом. 1994. 130 с.

26. Malinovskii V.K. Corrected normal approximation for the probability of ruin within finite time /Z Scandinavian Actuarial Journal. 1994. P. 161-174.

27. Malinovskii V.K. Approximations and upper bounds on probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time, Scandinavian Actuarial Journal. 1996. P. 124-147.

28. Malinovskii V.K. Non-poissonian claims arrivals and calculation of the probability of ruin, Insurance: Mathematics and Economics. 1998. Vol. 22. P. 123-138.

29. Malinovskii V.K. Probabilities of ruin when the safety loading tends to zero, Advances in Applied Probability. 2000. vol. 32. P. 885-923.

30. Малиновский В.К. Расчет общего числа страховых выплат и предельные теоремы теории вероятностей ZZ Страховое дело 1995. №1. С. 42-46.

31. Малиновский В.К. Некоторые вопросы исследования платежеспособности страховых компаний ZZ Страховое дело (1995). №6. С. 46-52.

32. Малиновский В.К. Проблема финансовой устойчивости: что может подсказать страховщику математическая модель ZZ Страховое дело (1996). №11. С. 32-36.

33. Lundberg F. I approximerad framstallning av sannolikhetsfunktionen. ii a terforsakring av kollektivrisker. Doctoral Thesis, Akad. Afhandling. Almqvist och Wiksell, Uppsala. 1903.

34. Lundberg F. Uber die theorie der ruckversicherung. Trans. VI Int. Congr. Actuaries 1. 1909. P. 877-955.

35. Lundberg F. Forsakringsteknisk Riskutjarrming. F. Englunds Boktryckeri AB. Stockholm. 1926.

36. Belkina T. A., Hipp C., Luo Sh., Taksar M. Optimal Constrained Investment in the Cramer-Lundberg model. 2011. Cornell University Library. arXiv:1112.4007vl.

37. Кудрявцев А.А. Актуарные модели финансовой устойчивости страховых компаний. СПб.: Институт страхования. 1997. 62 с.

38. Кудрявцев А.А. Неоднородные процессы риска: дисс. канд. ф.-м. на-ук:защищеиа 15.03.2003.-утв. 14.02.2003 / А.А. Кудрявцев. М.: Изд-во МГУ. 2003. 148 с.

39. Grandell J., Segerdahl С. О. A Comparison of Some approximations of Ruin Probabilities 11 Skand. Aktuar. Tidskr. 1971. P. 144-158.

40. Paulsen J. Risk theory in a stochastic economic environment // Stochastic Process and their Applications. 1993. №46. P. 327-361.

41. Paulsen J. Sharp conditions for certain ruin in a risk process with stochastic return on investments j/ Stochastic Process and their Applications. №75. 1998. P. 135-148.

42. Paulsen J., Gjessing H.K. Ruin theory with stochastic return on investments 11 Advances in Applied Probability. 1997. №29. P. 965-985.

43. Browne S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: Exponential utility and minimizing the probability of ruin // Mathimatics of Operations Research. №20. 1995. P. 937-958.

44. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной промышленной математики. 1995. Т.2. №4. С. 514-526.

45. Мельников А.В. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ. 2001. 260 с.

46. Kornya P. S. Distribution of the aggregate claims in the individual Risk Theory model. // Transactions of the Society of Actuaries 1983. Vol. 35. P. 823-836.

47. R.P. White, T.N.E. Grevile On Computing the probability that exactly k of n independent events will occur. // Transactions of the Society of Actuaries 1959 Vol.11 №29AB, P. 88-95.

48. Panjer H.H. The aggregate claims distribution and stopp-loss reinsurance // Trans of Society of Actuaries. XXXII.

49. Panjer H.H. Recursive evaluation of a family of compound distributions // Astin Bulletin. 1981. №12.1 P. 22-26.

50. Panjer H.H. Finite sum evaluation of the negative binomial-exponential model // Astin Bulletin. 1981. №12.2 P. 133-137.

51. Panjer H.H. Recursions for compound distributions // Astin Bulletin. 1982. №13.1 P. 1-11.

52. Panjer H.H. On the stability of recursive formulas // Astin Bulletin. 1993. №23.2 P. 227-258.

53. Panjer H.H. Computation aspects of Sundt's generalized class // Astin Bulletin. 1995. №25.1 P. 5-17.

54. N. de Pril Recursions for covolutions of arithmetic distributions // Astin Bulletin. 1986. Vol. 15. №2. P. 135-139.

55. N. de Pril On the exact computation of the aggregate claims distribution in the individual life model // Astin Bulletin. 1986. Vol. 16.№2 P. 109-112.

56. N. de Pril The aggregate claims distribution in the individual model with arbitrary positive claims // Astin Bulletin. 1989. Vol. 19. №1 P. 9-24.

57. B. Sundt On some properties of de Pril Transforms of counting distributions // Astin Bulletin. 1989. Vol. 25, №1 P. 19-31.

58. Recursions for Actuaries and Applications in the Field of Reinsurance and Bonus-Mains Systems. Louvain-la-Neuve Septembre 2000.

59. Fackler Michael Panjer class united one formula for the Poisson, Binomial, and Negative Binomial distribution // Aktuar DAV. 2009.

60. S. Kuon, A. Reich, L. Reimcrs Panjer vs Kornya vs de Pril: a comparison from a practical point of view // Astin Bulletin. Vol 17. №2. P. 183-181

61. C. Ribas, J. Marin-Solano, A. Alegre On the computation of the aggregate claims distribution in the individual life model with bivariate dependencies // Insurance Mathematics and Economics. 2003. №32, P. 201 215.

62. J. Dhaene, M. Vanderbroek Recursions for the individual model. // Insurance Mathematics and Economics 1995. №16, P. 31-38.

63. S.M. Pitts A functional approach to approximations for the individual risk model // Astin Bulletin. 2004. Vol. 34. №2. P. 379-397.

64. J. Yang, S. Zhou, Z. Zhang The compound Poisson random variable's approximation to the individual risk model // Inshurance: Mathematics and Economics. 2005. №36. P. 57-77.

65. H. Cassette, P.Gaillardetz, E. MavceaiL, J. Rioux On two depent individual risk models // Inshurance: Mathematics and Economics. 2002. №30. P. 153166.

66. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. М.: КРОКУС-Т. 1993. 150 с.

67. Н. Buhlmann Experience rating and credibility // ASTIN Bulletin. 1967. Vol.4. №3. P. 199-207.

68. H. Buhlmann Experience rating and credibility // ASTIN Bulletin. 1969. Vol.5. №. 2. P. 157 165.

69. J. Ledorter, S. Klugman, C-S. Lee Credibility models with time-varning trend component // ASTIN Bulletin. 1991. Vol. 21. №. 1. P. 73-91.

70. P. Albrecht An evolutionary credibility model for claim numbers // ASTIN Bulletin. 1992. Vol. 15. №. 1. P. 1-17.

71. H. Buhlmann Credibility in the regression case revisited // ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. №. 1. P. 83 98.

72. H. Buhlmann, P. Buhlmann Selection of credibility regression model 11 ASTIN Bulletin. 1999. Vol. 29. №. 2. P. 245-270.

73. H. R. Kunsch Robust Methods for credibiliry // ASTIN Bulletin. 1992. Vol. 22. №. 1. P. 33-49.

74. Бабешко Л.О. Сравнительный анализ результатов прогнозирования убытков в рамках моделей Бюльмана-Штрауба и случайных эффектов // Управление риском. 2012. № 1. С. 6-13.

75. Кудрявцев А. Сравнение оценок с ограниченной флуктуацией и оценок с наибольшей точностью в теории доверительного оценивания. // Актуарий. №1(4). 2010-2011. С. 48-52.

76. Гэлбрейт, Д.К. Экономическая теория и цели общества. М.: Экономика. 1986. 230 с.

77. Тактаров Г.А., Григорьева Е.М. Финансовая среда предпринимательства и предпринимательские риски. М.: Финансы и статистика. 2006. 255 с.

78. Кинев Ю.Ю. Оценка рисков финансово-хозяйственной деятельности предприятий на этапе принятия управленческого решения. // Менеджмент в России и за рубежом. 2000. №5.

79. Стрелков С.В. Стохастическое моделирование операционных рисков кредитных организаций // Аудит и финансовый анализ. 2010. №2.

80. Лобанов A.A., Кайиова Е.И. Сравнительный анализ методов расчета VaR-лимитов с учетом модельного риска на примере российского рынка акций // Управление финансовыми рисками. №1. 2005.

81. Щукин Д. О методике оценки риска VaR // Рынок ценных бумаг 1999. №16.

82. Башарин Г.П., Сухинип В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». М.: РУДН. 1996. № 1. С. 57-76.

83. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2004. 573 с.

84. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 256с.

85. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения М.:ИНФРА-М. 1984. 528 с.

86. Карри И. Прикладная статистика. Пер. с англ. В.А. Толстых. М.:Сов. Ит. Ас. М: 1994.

87. Г. Крамер. Математические методы статистики. М.: Мир. 1975, 648 с.

88. А.И. Кобзарь. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: Физматлит. 2006. 816 с.

89. Справочник по специальным функциям, под ред. М. Абрамовица, И. Сти-ган. М.: Наука. 1979. 832 с.

90. М. Кеидалл, А. Стьюарт. Теория распределений. Т.1. М.: Наука. 1966. 588 с.

91. Н. Л. Дэюонсон, С. Коц, А. Кемп Одномерные дискретные распределения М.: Бином. Лаборатория знаний, Серия Теория вероятностных распределений. 2010. 560 с.

92. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.:Финансы и статистика. 2003. 190 с.

93. Дубров A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: Финансы и статистика. 2000. 176 с.

94. Иода Е.В., Иода Ю.В., Мешкова Л.Л., Болотина E.H. Управление предпринимательскими рисками: 2-е изд, испр. и перераб. Тамбов:Тамб.гос.техн.ун-та. 2002. 212 с.

95. Кабышев О. Правомерность предпринимательского риска // Хозяйство и право. 1994. №3. С. 47-60.

96. Куликова A.C. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. Монография М.: Дашков и Ко. 2003. 544 с.

97. Лапуста Ad.Г., Шаршукова Л.Г. Риски в предпринимательской деятельности. Учебник. М.:ИНФРА-М. 1998. 528 с.

98. Раизберг Б.А. Предпринимательство и риск. Учебник. М.:3нание. 1992. 528 с.

99. Романов В. Понятие рисков и их классификация как основной элемент теории рисков // Инвестиции в России. №12 2000г. С. 41-43.

100. Рыхтикова H.A. Анализ и управление рисками организации. М.: ФОРУМ:ИНФРА-М. 2007. 240 с.

101. Управление рисками, риск-менеджмент на предприятии URL: http://www.risk24.rn/index.htm.

102. Г.В. Чернова, A.A. Кудрявцев. Управление рисками. М.: Проспект. 2009. 160 с.

103. М. Эддоус, Р. Стэпсфилд. Методы принятия решений. М.: Аудит, ЮНИ-ТИ. 1997. 590 с.

104. Российская Федерация. Законы. О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд: федер. закон, принят Гос. Думой 8 июля 2005 г. одобр. Советом Федерации 13 июля 2005 года.

105. Кузькин А.П., Никишов В.И., Прыткова Н.И., Сараев Л.А. Экономика и управление в XXI веке, том 6. Математические и инструментальные методы в экономике. Самара: Глагол. 2011. 10 с.

106. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Ценовая динамика прибыли и ее оценка методами финансового анализа // Вестн. Сам. гос. ун-та, гуманитарная серия. 2008. №7(66). С. 162-175.

107. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Оценка риска неисполнения предпринимательских контрактов при наличии франшизы // Вестн. Сам. гос. ун-та, гуманитарная серия. 2008. №7(66). С. 152-161.

108. Михайлова Е.В. Никишов В.Н., Сараев Л.А. Математическая модель построения доверительных оценок скрытых источников инвестиционного дохода // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, сер. физ.-мат. науки. 2009. №1(18). С. 182 190.

109. Михайлова Е.В., Никишов В.Н., Сараев Л.А. Обобщение модели Бюльмана-Штрауба для оценки убыточности динамического портфеля рисков // Вестн. Сам. гос. ун-та, серия экономика и управление. 2011. №10(91). С. 117-128.

110. Михайлова Е.В., Никит,о в В.Н. Рекуррентные методы построения кумулятивных функций риска // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, сер. физ.-мат. науки. 2012. №2(27). С. 144-151.

111. Михайлова Е.В., Трусова А.Ю. Алгоритмы дискретизации данных возможного размера убытков // Казанская наука. 2010. №9 (Вып. 1). С. 32-37.

112. Михайлова Е.В., Авряскииа М.А. Рекуррентные методы построения кумулятивных функций риска // Материалы II международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 2010. С. 239-241.

113. Михайлова Е.В., Никишов D.H. Применение доверительной теории Бюльмана-Штрауба для анализа рентабельности // Материалы II международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 2010. С. 242 244.