автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью

На правах рукописи

ЩЕТИНИН ЕВГЕНИЙ ЮРЬЕВИЧ

Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью

Специальность 05.13.18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Тверь - 2006

Работа выполнена в Тверском Государственном Университете

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор A.B. Язенин Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Бенинг В.Е. Доктор физико-математических наук, профессор Крянев A.B. Доктор физико-математических наук, профессор Севастьянов JI.A.

Ведущая организация:

Вычислительный Центр им. A.A. Дородницына Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 24 ноября 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском Государственном Университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского Государственного Университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04 Доктор технических наук, профессор

В.Н. Михно

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию современных фондовых рынков в периоды воздействия на них экстремальных событий, к числу которых можно отнести наступление природных катастрофических явлений, политических событий, негативно отражающихся на экономическом развитии как отдельных компаний так регионов и стран в целом. Последствиями наступления экстремальных событий могут стать значительные колебания стоимости энергоносителей и природных ресурсов; негативные изменения в корпоративной среде, такие как снижение кредитных рейтингов, банкротства крупных корпораций и банков, дефолты по корпоративным и государственным долгам; снижение темпов роста основных макроэкономических показателей, ухудшение социальной обстановки и политической атмосферы, рост социально-экономической напряженности регионов и стран. Все это, как следствие, приводит к высокой волатилъности ценных бумаг на фондовых рынках, возрастанию рисков значительных убытков от инвестирования в них, а также возникновения существенного ущерба от некорректного формирования видов вложения капитала, вида ценных бумаг для инвестирования.

Широко используемыми математическими методами количественного анализа показателей стоимости ценных бумаг являются классическая теория вероятностей и математическая статистика, в основе которых лежит нормальный закон распределения. Однако, общеизвестным является тот факт, что эмпирические распределения показателей стоимости ценных бумаг являются тяжелохвостыми и асимметричными. Кроме того, обнаружены новые эффекты в поведении фондовых рынков в периоды высокой вояатильности1, описать которые классическими методами теории вероятностей и статистики оказалось невозможным, так как проблемой в использовании этих методов является то, что статистика экстремальных значений стоимостных показателей невелика. Это не позволяет обоснованно применить предельные теоремы классической теории вероятностей для построения законов распределения экстремальных значений показателей стоимости акций. Поэтому необходимо разрабатывать новые математические модели показателей

Щетинин Е.Ю., Статистический анализ структур экстремальных зависимостей на российском фондовом рынке, Финансы и кредит, 2005, 22(190), с. 44-51.

стоимости акций, позволяющие в рамках единого теоретического подхода описывать их вероятностные свойства, как в стабильные периоды, так и в периоды высокой волатильности фондовых рынков.

Классические методы количественного анализа инвестиционных рисков, использующие статистические выводы, основанные на применении гипотез о статистической независимости или нормальности совместного распределения стоимостных показателей инвестируемых акций значительно недооценивают возникающие риски убытков в условиях высокой волатильности фондовых рынков. Кроме того, исследования фондовых рынков с высокой волатильностью обнаружили существование нелинейных статистических связей экстремальных значений показателей стоимости акций. Известные методы анализа статистических связей, как правило, исследуют в основном линейные корреляционные связи, тогда как актуальной является проблема анализа хвостовых корреляционных зависимостей, которые и несут информацию о характере нелинейных статистических связей, возникающих между стоимостными показателями объектов инвестиций в условиях высокой волатильности. Кроме того, необходимо постоянно проводить мониторинг чувствительности инвестиционных объектов к внешним возмущающим факторам. Классические методы, как правило, используют в этих целях различные характеристики волатильности, в том числе и дисперсию, которая далеко не всегда достоверно отражает качественный характер экстремальных изменений показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка. Поэтому необходимо разрабатывать новые математические модели показателей рисков инвестирования, учитывающих экстремальный характер изменений стоимости акций, а также экстремальный тип их статистических связей.

Современный инвестиционный риск-менеджмент представляет собой сложный комплекс мероприятий, осуществляемых компаниями и предприятиями в целях наращивания стоимости своих активов, оптимизации структуры инвестиционных проектов в различных условиях ведения бизнеса. Высокая волатильность фондовых рынков, как правило, негативным образом влияет на успешность достижения этих целей, приводит к возникновению существенного ущерба от некорректного выбора ценных бумаг, недооцененных размеров рискового капитала при формировании инвестиционного портфеля. Решение проблемы оптимального размещения рискового капитала требует учета влияния возросшей в условиях высокой волатильности рискованности акций на состав инвестиционного портфеля, на размеры

резервируемого под них рискового капитала, а также учета зависимости формируемой структуры рискового капитала от структуры статистических связей показателей рисков акций, включенных в состав инвестиционного портфеля.

Изложенные выше научные проблемы исследований фондовых рынков с высокой волатильностыо сформулировали следующие цели диссертации.

Цели диссертационной работы:

1) совершенствование существующих и разработка новых математических моделей и методов количественного анализа показателей стоимости акций;

2) разработка новых математических моделей статистической зависимости показателей стоимости акций и математических методов их количественного анализа;

3) разработка новых математических моделей показателей рисков инвестирования в акции и новых математических методов их количественного анализа;

4) разработка новых математических методов оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностыо;

2) Математическая модель функции асимметричной зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса;

3) Математическая модель предельной копулы многомерных эллиптических распределений из области притяжения копул экстремального типа в форме представления Пикекдса;

4) Математическая модель структур хвостовой зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностыо. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа;

5) Параметрический метод оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы. Метод позволяет получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов, по сравнению с другими методами, использующими копулы экстремального типа;

6) Математические модели показателей рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностъю. На их основе разработан метод анализа рисков инвестирования в акции с учетом типа структуры статистических связей показателей та стоимости;

7) Пороговый ковариационный принцип оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка. На его основе построен метод оптимального размещения рискового капитала, позволяющий вычислить величину рискового капитала в акцию, входящую в состав структуры инвестиций, как долю от совокупного рискового капитала с учетом типа структуры статистической зависимости показателей стоимости акций.

Научная новизна результатов диссертации состоит:

1) В разработке математической модели функции распределения экстремальных

значений стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. Традиционно используемые в этих целях модели функций распределения, такие как нормальный закон, тяжелохвостые распределения, типа Стьюдента, Парето, не обеспечивают адекватного описания статистических свойств экстремальных значений показателей стоимости акций одновременно во всей области значений показателей стоимости, тогда как предложенная модель позволяет это делать с высокой точностью как в области малых изменений стоимости акций так и при их экстремальных значениях, т.е. при высокой волатильности фондового рынка;

2) В разработке новой математической модели функции зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса. Она расширяет известные модели зависимости на класс функций асимметричной зависимости, что позволяет описывать эмпирические эффекты асимметризации структур статистической зависимости показателей стоимости акций в результате воздействия на фондовые рынки экстремальных событий и возникающей вследствие этого высокой волатильности;

3) В доказательстве теоремы о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа, а также разработке ее математической модели в форме представления Пикендса для функций копулы экстремального типа;

4) В математической модели структур хвостовой статистической зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа, что позволяет более гибко описывать различные типы хвостовых зависимостей по сравнению с известными моделями хвостовых зависимостей, такими как модели копул Гумбеля и Клейтона;

5) В модификации порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы, позволяющей получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов экстремальной зависимости, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

6) В математических моделях показателей рисков инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В методе анализа рисков инвестирования в акции с учетом структуры статистических связей показателей их стоимости на фондовом рынке. Метод позволяет оценивать риски инвестирования в портфель акций как сумму показателей риска инвестирования в каждую отдельную акцию, входящую в портфель инвестиций. Применение структур статистической зависимости эллиптического типа в качестве структуры зависимости показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка является наиболее эффективным по сравнению с другими типами структур статистической зависимости, такими как независимость, многомерное нормальное распределение, комонотонность;

7) В методе вычисления оптимальной структуры рискового капитала, резервируемого в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В отличие от известных методов аллокации он использует в качестве статистических связей показателей стоимости акций структуры эллиптической зависимости из области притяжения структур экстремального типа. Доказанные свойства аддитивности и бесконечной делимости структур статистической зависимости этого класса позволяют корректно учитывать влияние фактора высокой волатильности

фондового рынка на состав портфеля инвестируемых акций, а их применение в пороговом ковариационном принципе позволяет оптимальным образом вычислять размеры резервируемых в них денежных средств как долю от совокупного рискового капитала.

Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в математическую теорию экстремальных величин, в математическое моделирование и методы количественного анализа многомерных статистических зависимостей, в математические методы количественного анализа рисков инвестирования и методы оптимального размещения рискового капитала на фондовых рынках в периоды высокой волатильности.

Практическая значимость:

Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1) Оценивания параметров математической модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовом рынке, оценивания квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, а также расчетов доверительных интервалов для них. Выражения для показателей рисков Value at Risk, Expected Shortfall с использованием оценок квантилей модели функции распределения экстремальных значений стоимости акций позволяют с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью;

2) Моделирования многомерных случайных величин и расчета их вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков);

3) Оценивания коэффициентов экстремальной зависимости структур статистических связей показателей стоимости акций и их применения для анализа текущего состояния фондового рынка;

4) Оценивания рисков портфельного инвестирования в акции на фондовом рынке. Использование предельных эллиптических структур статистических связей

позволяет построить наиболее точные оценки величин рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью;

5) Расчетов оптимальной структуры рискового капитала портфеля ценных бумаг с учетом существующей структуры статистических зависимостей показателей стоимости входящих в портфель ценных бумаг, а также управления портфелем акций на основе количественного анализа показателей рисков и чувствительности портфеля к воздействию внешних возмущающих факторов.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальным курсам "Стохастический анализ", "Математические методы в экономике", "Прикладная статистика".

Личный вклад автора:

Результаты, выносимые автором на защиту, получены автором лично.

Апробация работы:

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики проф. Л.А. Уваровой (МГТУ СТАНКИН 2000-2005 г.г.), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Москва, 2000 г.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), Международной конференции "Наука. Компьютер. Образование", г. Пущино 2003 г., 2005г., Дубна 2002, 2004, 2006 г., VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.-Новгород, 2004 г.), научных семинарах кафедры прикладной математики МИФИ 2005-2006 г.г., научных семинарах отдела информационных технологий Вычислительного Центра им. А.. А. Дородницына РАН 2006 г.

Достоверность результатов основана

1) на корректности математической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;

2) на доказательстве теоремы о существовании предельной копуяы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа;

3) на доказательстве теоремы о том, что предложенная модификация порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы позволяет получать более точные и устойчивые оценки, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

4) на доказательстве теоремы о равенстве коэффициента экстремальной зависимости коэффициенту хвостовой зависимости предельного распределения максимумов блоков выборки;

5) на строгом выводе выражений для показателей рисков инвестирования в акции на фондовом рынке с высокой волатильностью, на доказательстве теорем о свойствах их аддитивности;

6) на строгом обосновании порогового ковариационного принципа оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью;

7) на реализации требовапий свойств несмещенности и состоятельности оценок параметров математических моделей структур статистической зависимости, полученных с использованием вычислительных алгоритмов, разработанных в диссертации.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 39 работах, в числе которых 12 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 8 - в трудах Всероссийских и Международных конференций, 19 - в научных сборниках.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 220 страниц. Диссертация содержит 60 рисунков, 28 таблиц, список литературы из 118 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задачи, поставленные в диссертации, научная новизна и практическая значимость работы. Приведен список конференций, семинаров, где была проведена апробация результатов работы. Приведено описание структуры и объема диссертации, а также изложено краткое описание содержания диссертации по главам.

В Глазе 1 исследованы проблемы математического моделирования и количественного анализа современных фондовых рынков в периоды высокой волатильности, вызванной воздействием на них экстремальных событий, показана актуальность этих исследований в силу того огромного и непредсказуемого, с точки зрения стандартных методов количественного анализа, ущерба, который они наносят экономике компаний, регионов и целых стран. Здесь же описаны основные показатели финансовых рисков, такие как стандартное отклонение, Value at Risk, Expected Shortfall. IIa примерах американских фондовых индексов Dow Jones, NASDAQ, российских фондовых индексов ММВБ, РТС проведен их сравнительный анализ, выявлены их основные недостатки в использовании для оценивания экстремальных рисков. Обоснована необходимость в разработке новых математических моделей показателей стоимости акций на фондовых рынках, находящихся под воздействием внешних возмущающих факторов.

В этой же главе описаны математические методы количественного анализа фондовых рынков и приведены постановки основных задач, решаемых диссертации: исследование и анализ структур статистических зависимостей, возникающих на фондовых рынках в периоды их высокой волатильности; анализ и оценивание рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью; формирование рискового капитала инвестиционного портфеля на фондовых рынках с высокой волатильностью.

Глава 2 посвящена проблемам математического моделирования показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. В п.2.1 описана математическая модель одномерной функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, в основе которой лежит обобщенное распределение экстремальных величин

где параметр £ называется экстремальным индексом.

В п.2.2 описана математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций. Она имеет следующий вид

(1)

Fu(x) = P{X-u<x\X>u),

где «>0 - порог, 0£x<co(F)-u, a(F)- крайняя правая точка функции распределения F(x). Согласно теореме А. Балкема, Л. де Хаана2 функция Fu (х) слабо сходится к функции G^p (х) при стремлении порога и к правой границе fi)(F),T.e.

Km sup |FH(X)-G^(X)| = 0 (2)

тогда и только тогда, когда F(x) принадлежит области притяжения обобщенного распределения экстремальных величин

Функция G( р (х)

называется обобщенным распределением Парето и имеет вид

^^-^-ехрС-^) £ = <).' (3)

где р> 0, х£0, когда £ >0, и 0 й х £ - /3/^, когда £ < 0. Таким образом, для моделирования надпороговых значений показателей стоимости акций используется обобщенное распределение Парето (3), а при значениях показателей стоимости акций, не превышающих пороговое значение и, используются модели функций распределения, параметры которых подбираются на основе статистических критериев, например, максимального правдоподобия. Для вычисления пороговой величины и построена адаптивная процедура на основе оценок Хилла в сочетании с графическим методом Резника-Старицы.

В п.2.3 описаны математические модели структур статистической зависимости показателей стоимости акций. В п.2.3.1 описаны математические модели многомерных функций распределения экстремальных значений показателей стоимости акций. Математическое моделирование предельных функций совместного распределения экстремумов совокупности Х = {Х1,...,ХУ.,...,ХЛ} п случайных

последовательностей Х^-_/ = !,..,л основано на теории

2 P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch, Modeling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin, 1997.

многомерных случайных величин3. Пусть функция Я(х), х = (д:,,Д"

является совместным распределением максимумов Мя .....Л/„та)

векторов Xj, ¿ = 1.....т, где М]т = тах(ЛГл1,...,ЛГ/(,...,Л'7„1), и она обладает

непрерывными невырожденными частными распределениями Н} Тогда, если и только если существуют такие константы а^ т > 0, т е Л1, что существует предел

1Ш1 Р ^--- —х\....."— ,--—.....--:-=

\ Ь\,т Ь1,т К,т

= Я" Кт*1 + «1 ,т.+ а/,т'■■■>Кт*п +"п,т) = 0{х1.....Хп) , (4)

функция (?(х) является предельным совместным распределением максимумов.

В двумерном случае Дж.Пикендсом4 предложено следующее представление предельной функции распределения С(х,у), х,у> О

С?{^) = ехр(-(1+1)л(^-)). (5)

Функция А : [0,1] —> [0,1] в представлении (5) назьтается функцией зависимости и обладает следующими свойствами

1) тах(а),1-»)<^(<у)51, г»е[0,1].

2) Л(0) = Л(1) = 1, -1<Л'(0)<0, 0<Л'(1)<1, А"(ео)20.

В п.2.3.2 описаны математические модели структур зависимости показателей стоимости акций с использованием понятия функции копулы5, показаны преимущества ее применения для моделирования статистических зависимостей показателей стоимости акций.

Определение 1. Функцией копулы С называется совместная функция распределения и-мерного вектора случайных величин, равномерно распределенных на отрезке

3 J, Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

4 H. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London, 1997.

5 R.B. Nelsen, An introduction to copulas, Springer, N.Y., 1999.

[0,1], и отображающая «-мерный куб с единичным ребром в отрезок [0,1], С:[0,1]" ->[0,1]. Для функции С(ии...,ип) справедливы следующие свойства:

1. С(ы],...,«„) непрерывная справа

2. С(«[,...,,0,,) = 0, ¿ = 1,2,...,и, V(u„u2,...,u„)el",

3. C(l,...,l,u(,l,...,l) = u„ Vi = l,...,n,Vuie/,

4. gC("1>"2'-'"")*0, ¿ = 1,2.....и. V(u„M2,...,u„)e/\

5. для всех (û|.....an),(i!,...,in)6 [0,1]" и a, <bt, ¿ = 1,2,..., л выполняется

¡i-i 1

где xJX =dj и xj2 = bj, У/ =l,...,n .

В этом же параграфе рассмотрены такие важные классы копул, используемые нами для моделирования структур статистических связей показателей стоимости акций, как архимедовы копулы. Выражение функции копулы для них имеет следующий вид

С(м1,...,м„...,ил) =

m ) i=i

0.

где функция <р{1~): [0,1] —► Л+ называется генератором архимедовой копулы.

В п.2.3.3 приведено описание новых математических моделей структур статистических зависимостей показателей стоимости акций, использующих многомерные эллиптические распределения.

Определение 2. п — мерный случайный вектор Х = (Х),...,Х„) является эллиптически распределенным с математическим ожиданием 1) и ковариационной

положительно определенной матрицей Е(пхл), если его характеристическая функция рх (х) представима в виде

где функция V (х) - характеристический генератор такой, что у/ (х): [0, а>) —» К", а ^ является п-мерной характеристической функцией. Если существует плотность распределения для вектора X, то она имеет вид

где функция gя (х) называется генератором плотности при условии

ео

jx"/1~lg„(x)dx < со. Нормализующая константа с„ имеет следующий вид

Г(п/2)

(2 ху

Здесь же рассмотрен класс обобщенных многомерных распределений Стьюдента с плотностью распределения следующего вида

Л+У^

п' V 2

, у >0.

В и. 2.4 описаны математические модели структур статистической зависимости экстремального типа, обоснованы необходимые и достаточные условия существования предельной копулы структур статистической зависимости показателей стоимости акций, состоящие в следующем. Пусть Н — и-мерное распределение с частными распределениями Н{ (х,),...,Яп(х„) и соответствующая

ему копула С, такая что Я(х1,...,хл) = С(Я1(х1),...,Яи(хп)). Пусть Н, согласно условию (4), принадлежит области притяжения функции распределения С' с частными распределениями 01(зГ)),...,(?л(а:л), И е |, а функции С*

соответствует копула С*. Тогда копула С лежит в области притяжения копулы С , если и только если Н] е ЛА (бу ), 1 й } 5 п, и существует функция копулы С* такая, что существует предел

И- с-(«?'».....«У")=С'(»,....,«.). (8)

Функция С* называется предельной копулой экстремального типа. Из условия (8), в частности, следует, что функция С* удовлетворяет соотношению

с>:........,«„))',

Воспользовавшись определением копулы, выражение (5) можно представить в следующем виде

С-(„,,2) = еХр[м^2)л(^)). (9)

Наиболее известными примерами функции Л [со) являются логистическая модель

А(ш) = 1(1-а>)а +а>а\ ,а> 1 (10)

и смешанная модель

А(ш) = 6а)2-ва> +1, О:£0:£1, (11)

Здесь же рассмотрена новая математическая модель функции зависимости в следующем виде

А (о) = ((0(1 - ш))а + {<рш)а + 8а {(о (1 - а))"'1 ]"" - в (1 - т)-ерш +1, (12)

где 0 < £ < 1, 0 < р ¿1, 020 <1, а ¿1. Она расширяет свойства моделей (10)-(11) на класс асимметричных функций зависимости, что позволяет описывать эмпирические эффекты асимметризации структур статистической зависимости показателей стоимости акций в результате воздействия на фондовые рынки экстремальных событий и возникающей вследствие этого высокой волатильности. Эта модель включает в себя предельные модели структур зависимости, такие как независимость {а = \,(р-0 = \, А(а>) = \) и полная зависимость (а-»оо, <р~в = \, А(а>) = тах(й), 1 -<у)). Кроме того, при <р-0-\ получим логистическую модель (10). На Рис.1 приведен график функции зависимости (12).

Здесь же сформулирована и доказана теорема о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа, а также получена ее математическая модель в форме представления Пикендса для предельной копулы экстремального типа (9) Теорема 1. Пусть С - эллиптическая копула и С* - копула экстремального типа (9). Функция С лежит в области притяжения функции С*, если и только если выполнено

Пт-^-11-:-п-1 = -\о&С (ехр(—лГ[),...,ехр(-дгл)). (13)

0,4

---------- 1 — - 1 1 ! 1 1- ---------------

------

0,2

0,6

0.8

Рис.1. Графики моделей функции зависимости Л(а>). »-симметричная модель (10), * - асимметричная модель (12), о - эмпирические данные.

В этом же параграфе доказана теорема о том, что копула С(ы1,«2) двумерного эллиптического распределения лежит в области притяжения копулы экстремального типа С*, если функция зависимости в представлении (10) имеет вид

со Г

■Л7+1

-ЛТП

(14)

где (■) - плотность одномерного распределения Стьюдента, у + 1 - число степеней свободы.

В Главе 3 изложены методы количественного анализа структур хвостовых зависимостей показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностьго.

Определение 3. Двумерный случайный вектор X = (Х1,Х2) обладает верхней хвостовой зависимостью, если существует предел

Лу = 11т > ^Г1 (?)| X > ^(?)), (15)

где означают обобщенные обратные функции распределения случайных

величинХ1,Х2, д е (0,1].

Определение 4. Вектор X обладает нижней хвостовой зависимостью, если

Ь =ЦШР(Х,</-Г1(9)|Х2 (16)

Выражения (15) - (16) можно переписать с использованием функции копулы в следующем виде:

Ли = 1па >, Хъ = Шп 1 >, (17)

1 —V у->0* V

где С(у,у) = 1-2у + С(у,у) - копула выживания. Очевидно, что Х11,Х1 е[0,1]. Если Хь = 0, то говорят о независимости на нижнем хвосте структуры зависимости. Вектор Х = (ЛГ1,Х2) является независимым на верхнем хвосте, если л^ = 0. Для симметричных распределений X = Хь = Хи. Кроме того, например, для гауссовой копулы 1 = 0, для копулы Стьюдента А > 0.

Для описания структур экстремальных зависимостей, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью, в диссертации разработана комбинированная хвостовая копула, параметризованная коэффициентами хвостовой зависимости Х^Хц и сочетающая в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа. Выражение для нее имеет следующий вид

= + + « + (18)

где

1оёгЯ, 1оёз(2-Л,) V V ) } Ч \ \ ) )

На рис.2 приведен график плотности копулы (18). В этой же главе описана модификация порогового метода параметрического оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением копулы (18). Метод позволяет получать более точные и устойчивые оценки, по сравнению с пороговым методом, использующим модели структур зависимости экстремального типа, например, модель Гумбеля. Здесь же приведено описание параметрического метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости, основанного на теореме о равенстве

коэффициента экстремальной зависимости коэффициенту хвостовой зависимости предельного распределения максимумов блоков выборки вектора Х = (Х,,Х2).

Теорема 2: Для структуры зависимости Н(х1,х2) вектора X из области притяжения

структуры зависимости экстремального типа О*: HeDA^G*j справедливо

равенство = , где вычисляется как предел (15) для функции б*.

В Главе 4 описаны математические модели и методы количественного анализа рисков инвестирования и размещения рискового капитала в ценные бумаги фондовых рынков с высокой волатильностью. В п.4.1 рассмотрены новые математические модели показателей рисков инвестирования в акции на фондовых рынках. В качестве одного из показателей рисков инвестирования в акции предложено условное математическое ожидание показателей се стоимости при условии ее превышения порогового значения и = хч

Мх{^) = Е{х\Х>Х9), (19)

где хц = К^1 (д) д -квантиль функции распределения (х) показателя стоимости акции X Нами введен показатель стоимости структуры акций X = (Хи...,Х„) в виде суммы показателей их стоимости

5 = (20) ¡-1

Здесь же доказано, что если случайный вектор X имеет плотность

многомерного эллиптического распределения (9), то вектор имеет

совместное эллиптическое распределение с математическим

ожиданием jui S =1 и ковариационной матрицей =

Vo";.s о\

, где

<т,г = cr¡ ¡, <х,- s = J]. = ' A ~ математическое ожидание X¡, Z = (o"l;),

i,j — l,...,n - ковариационная матрица многомерного эллиптического распределения вектора X. Это позволяет построить показатель риска инвестирования в компоненту Л'( инвестиционной структуры при условии высокой волатильности стоимости показателя (20)

С учетом сложившегося типа структуры статистических связей вектора X для /ix (zs д) может быть вычислено следующим образом

Vx,\s{zs,4) = P¡+Xs<*i,s> (22)

где Zs=g[^zI^I[<tsFs[zS:í¡)), -'s,4 ={xq-Hs)/°S . . g(") -

генератор плотности эллиптического распределения, G(z) = ^g{u)du -кумулятивный генератор эллиптического распределения, Fs (г) = 1-FS (i), G(Í) = G(OO)-G(Í).

На основании доказанной теоремы об аддитивности показателя рисков (21) структурный показатель рисков инвестирования ftsi^s^q) в портфель акций X

может быть вычислен следующим образом

п

i=i

или, применяя (23) и свойство аддитивности, получим

Необходимо заметить, что такие известные показатели риска как Value at Risk и Expected Shortfall в общем случае не обладают свойством аддитивности, тогда как показатель (24) аддитивен для любых типов структур статистических связей. Введенные таким образом показатели рисков инвестирования (23)—(24) позволяют учесть влияние высокой волатилыюсти фондового рынка на рискованность инвестирования в ценные бумаги, входящие в состав сформированного портфеля цепных бумаг, а меру влияния рискованности каждой ценной бумаги на рискованность всего портфеля как вклад ее соответствующего показателя риска (23) в показатель риска портфеля (24).

В п.4.2 описан показатель чувствительности акций, составляющих инвестиционный портфель, к высокой волатильности фондового рынка. Его математическая модель представлена как условная ковариация

выражение для которой в случае эллиптической структуры зависимости (X,,5) имеет вид

основании доказанной теоремы об аддитивности показателя (25), получено выражение для показателя чувствительности инвестиционного портфеля к высокой волатильности фондового рынка

В п.4.3 описаны методы количественного анализа рисков инвестирования в акции фондового рынка с использованием показателей (23)-(26). Далее приведены результаты анализа рисков портфельного инвестирования в акции ведущих эмитентов российского фондового рынка в различные периоды его функционирования. Период 1 составил временной интервал 02.03.04 - 14.04.04.

Px,\S {zS,g ) = Cov[xi-/jj,S-fis | S > zSq ),

(25)

где T(-) - хвостовой генератор, рц =———коэффициент корреляции Xt a S. Ha

<Tfo-s

(26)

Период 2 составил временной интервал 15.04.04 - 02.06.04. Расчеты были проведены для следующих типов структур статистической зависимости:

1) независимость и нормальное распределение показателей стоимости акций Х1;

2) многомерный нормальный закон распределения вектора X;

3) непараметрическая оценка совместного распределения вектора X;

4) многомерное обобщенное распределение Стьюдента вектора X;

5) комонотонная зависимость компонентов вектора X.

На Рис.3,4 приведены графики показателя (24) для указанных выше типов статистической зависимости в Период 1 (см. Рис.3) и Период 2 (см. Рис.4). В случае использования структур независимости и нормального закона совместного распределения показателей стоимости компонент портфеля риск инвестирования в него оказывается значительно недооцененным, а для структуры комонотонности переоцененным как за Период 1, так и за Период 2. Эти различия особенно заметны при высокой волатильности показателей стоимости акций, характерной для современного российского фондового рынка.

В п.4.4 описан метод оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью. Аллокацией рискового капитала К1 в 1-ю акцию при наличии структуры статистических связей между показателями стоимости акций составляющих инвестиционный портфель будем называть отображение

Л(Х,|Х) = А-, (27)

причем, если К = ]!Г АГ,., то говорят о полной аллокации капитала, w

Решение этой задачи основано на пороговом ковариационном принципе минимизации функционала возможных убытков от размещения рискового капитала в сформированный портфель акций. Функционал совокупных убытков от инвестирования в такой портфель акций с учетом структуры статистической зависимости показателей стоимости X = (A'i,...,Х„) имеет следующий вид

¿Л(ад )-♦ min ,

где

D(X„Kt)-E

S>Fs',(g)

(28)

В соответствии с пороговым ковариационным принципом (28) предложенный метод позволяет вычислить величину рискового капитала на акцию, входящую в состав структуры инвестиций, как аддитивную долю совокупного рискового капитала К инвестиционного портфеля, т.е. обладает свойством полной аллокации (27). Выражения для вычисления величин К{ имеет следующий вид

К1=^ЫКг (29)

где величины Д- ( 7.у ? ) вычисляются по формулам (25), (26)

соответственно. В сравнении с известными принципами размещения рискового капитала, такими как пропорциональный, вариационный и ковариационный, пороговый ковариационный принцип более точно учитывает влияние высокой волатштьности фондового рынка на рискованность ценных бумаг, входящих в состав сформированного инвестиционного портфеля. Его применение позволяет как снизить риски значительных убытков от инвестирования путем повышения размеров рискового капитала в наиболее рискованные ценные бумаги портфеля за счет снижения его размеров в менее рискованные, так и определить оптимальную совокупную величину рискового капитала в соответствии со сложившейся структурой инвестиционных рисков.

В Главе 5 описаны вычислительные алгоритмы оценивания показателей стоимости акций на фондовом рынке с высокой волатильностью. В п.5.1. приведено описание вычислительного алгоритма оценивания параметров модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, описанной в п.2.1. В п.5.2 описан вычислительный алгоритм оценивания параметров математической модели функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций, приведенной в п.2.2. В п.5.3, п.5.4 приведены вычислительные алгоритмы моделирования структур статистических зависимостей и оценивания их параметров. Описаны универсальный алгоритм моделирования многомерной случайной величины с заданной функцией копулы, алгоритм моделирования многомерной случайной величины с функцией архимедовой копулы, а также алгоритм моделирования многомерной эллиптической случайной величины. Здесь же описаны вычислительные алгоритмы оценивания параметров структур статистической зависимости экстремального типа. В п.5.5 дано описание алгоритма оценивания страховой премии в схеме эксцедентного перестрахования и приведены результаты его применения для данных Европейского Страхового Союза.

Заключение

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

1. Исследованы современные фондовые рынки (американский фондовый рынок, российский фондовый рынок, ряд европейских фондовых рынков) и обнаружены новые эмпирические свойства показателей стоимости акций, такие как смена области притяжения их эмпирических функций распределения, возникновение экстремальных зависимостей между показателями стоимости акций при воздействии на фондовый рынок внешних возмущающих факторов. При исследовании статистических связей показателей стоимости акций было обнаружено, что структуры их статистической зависимости переходят в область притяжения структур зависимости экстремального типа, а также становятся асимметричными, причем наблюдалась асимметрия различного типа.

2. Предложен единый теоретический подход к математическому моделированию показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка, основанный на теории экстремальных величин, теории структур статистических зависимостей и концепции копул. В диссертации построены следующие математические модели показателей стоимости акций фондового рынка:

2.1 Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

2.2 Математическая модель функции асимметричной зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса;

2.3 Математическая модель предельной копулы многомерных эллиптических распределений в представлении Пикендса для функций копулы экстремального типа.

2.4 Математическая модель структуры статистической зависимости показателей стоимости акций, комбинирующая различные типы хвостовых зависимостей, в том числе и экстремального типа.

3. Разработаны следующие математические методы решения конкретных задач анализа показателей стоимости акций фондового рынка:

3.1 Методы количественного анализа структур хвостовых зависимостей показателей стоимости акций на фондовом рынке. Построена модификация порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы, позволяющая получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов экстремальной зависимости, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

3.2 Метод оценивания экстремальных рисков по методологии Value at Risk, Expected Shortfall, позволяющий с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. Метод основан на вычислении квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

3.3 Метод количественного анализа рисков портфельного инвестирования в акции фондового рынка. Построены математические модели показателей рисков инвестирования, которые, во-первых, адекватно отражают уровень волатильности акции, и, во-вторых, позволяют корректно учесть меру се влияния на рискованность всего портфеля акций. Использование эллиптических структур статистической зависимости позволяет учесть с высокой степенью качества приближения эффекты хвостовых зависимостей, возникающих между показателями стоимости акций, и вычислять риски инвестирования в портфель акций как сумму показателей риска инвестирования в каждую отдельную акцию инвестиционного портфеля;

3.4 Метод вычисления оптимальной структуры рискового капитала, резервируемого в акции фондовых рынков, основанный на пороговом ковариационном принципе, позволяющем адекватно учесть влияние существующих в периоды высокой волатильности экстремальных зависимостей между показателями стоимости акций на оптимальные размеры рискового капитала, размещаемого в эти акции.

4. Для решения поставленных задач в диссертации разработана соответствующая совокупность вычислительных алгоритмов. Она включает:

- вычислительные алгоритмы моделирования и оценивания параметров функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы моделирования функций копул показателей стоимости акций и оценивания параметров их моделей;

- вычислительные алгоритмы параметрического и непараметрического оценивания коэффициентов хвостовой зависимости;

- вычислительный алгоритм оценивания рисков инвестирования в портфель акций с эллиптической структурой статистической зависимости показателей их стоимости;

- алгоритм расчета рискового капитала инвестиционного портфеля акций с эллиптической структурой статистической зависимости показателей их стоимости.

5. С использованием разработанных математических моделей, методов и вычислительных алгоритмов, а также созданных на их основе программ, были проведены вычислительные эксперименты по решению поставленных в диссертации задач. В частности, для различных периодов 2000-2006 г.г. функционирования российского фондового рынка был проведен анализ статистических свойств показателей стоимости акций его ведущих эмитентов, а также структур статистических связей, возникающих между показателями стоимости их акций в периоды высокой волатильности. Получены количественные оценки рисков инвестирования и величин совокупного рискового капитала для портфелей акций ведущих эмитентов российского фондового рынка в различные периоды его функционирования 2004 -2006 г.г.

Результаты расчетов на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов. Комплексы программ, представляющих интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ Центра Математических Исследований ГОУ МГТУ "СТАНКИН".

Основные положения диссертации опубликованы в научных изданиях,

рекомендованных ВАК:

1. Щетинин Е.Ю., О генераторах псевдослучайных чисел, Радиотехника, М.:Наука. 1990, 1, с.34-35.

2. Щетинин Е.Ю., Лапуппсин A.C., Статистические методы и математические модели оценивания финансовых рисков, Математическое моделирование, М. Наука, 2004, 5(1б),с.40-54.

3. Щетинин Е.Ю., Назаренко К..М., Парамонов A.B., Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий, Вестник ННГУ, Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2(29),

2004, с. 262-269.

4. Щетинин Е.Ю., Методы моделирования структур статистических зависимостей экстремального типа, Вестник Российского университета дружбы народов, серия прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4,1, с,135-143.

5. Щетинин Е.Ю., Статистический анализ структур экстремальных зависимостей на российском фондовом рынке, Вестник Российского университета дружбы народов, серия прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4, 1, с.144-152.

6. Щетинин Е.Ю., О вычислении премии в схемах эксцедентного перестрахования, Страховое дело, М.: Анкил, 2005, 8, с. 58-64.

7. Щетинин Е.Ю., Статистический анализ хвостовых зависимостей на российском фондовом рынке, Финансы и кредит, 2005,22(190), с. 44-51.

8. Щетинин Е.Ю., О новых подходах к управлению компанией в чрезвычайных ситуациях, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2005, 30(198), с.71-75.

9. Щетинин Е.Ю., Назаренко К..М., Парамонов A.B., О методах анализа эффективности бизнеса компании в условиях высокой изменчивости ее финансовых показателей, Динамика неоднородных систем, - М.: КомКнига,

2005, 9(2), с. 206-212.

10. Щетинин Е.Ю., О структурном подходе к управлению компанией с высокой изменчивостью показателей, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2006, 2(206), с.34-37.

11. Щетинин Е.Ю., О структурном подходе к управлению страховой компанией, Страховое дело, М.: Анкил, 2006,4, с. 9-15.

12. Щетинин Е.Ю., Анализ эффективности бизнеса в условиях высокой изменчивости его финансовых активов, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2006, 14(208), с. 37-42.

В трудах научных конференций

13. Щетинин Е.Ю., Методы измерения финансовых рисков, Сборник трудов Всероссийской научно-практической конференции "Информационные модели экономики", М.: МГАПИ, 2003, с. 148-153.

14. Щетинин Е.Ю., Казаков Я.О., Коновалов К.А., Об одном подходе к оцениванию мер статистической связи экстремальных величин, Сборник трудов 7-ой научной конференции ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2004. М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ СТАНКИН, 2004.

15. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Парамонов A.B., Оценивание значений VaR портфеля фондовых индексов с использованием архимедовых копул. 7-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2004.

16. Прудников Ю.Г., Щетинин Е Ю., Адаптивная процедура оценивания премии в схемах перестрахования. 8-ая научная конференция М1ТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ СТАНКИН, 2005.

17. Щетинин Е.Ю., Феноменология и теоретико-вероятностный формализм стохастического анализа чрезвычайных ситуаций. 8-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2005.

18. Щетинин Е.Ю., Особенности управления финансовой компанией в чрезвычайных ситуациях. 8-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2005.

19. Shchctinin Eu.Yu., Nazarenko K.M., Paramonov A.V., Analysis of statistical dependence structures on financial markets during crisis periods. Моделирование и Анализ безопасности и риска в сложных системах: Труды Международной научной школы МАБР 2005. Санкт-Петербург, 28 июня - 1 июля 2005 г. ГОУ ВПО "СпбГУАП", с.282-286.

20. Коновалов К.А., Назаренко K.M., Щетинин Е.Ю., Проблемно-ориентированная вычислительная среда анализа бизнес-структуры под воздействием внешних

возмушакяцих факторов. 9-я Научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: Янус-K, ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2006.

В других изданиях

21. Заикин П.Н., Щетинин Е.Ю., Об одном классе алгоритмов решения операторных уравнений 1-го рода на истокообразных представлениях. Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов. Сборник научных трудов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, М.: Изд-во МГУ, 1993, с.112-118,

22. Заикин П.Н., Щетинин Е.Ю., Устойчивый алгоритм восстановления базовой компоненты экспериментального спектра. Сборник научных трудов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.ВЛомоносова, Математическое моделирование и решение обратных задач математической физики, под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, М. Изд-во МГУ, 1994, с.76-82.

23. Щетинин Е.Ю., Об одном классе математических моделей в финансовых системах. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН. М.: Янус-K, вып. 4,2001, с. 14-23.

24. Щетинин Е.Ю., Модель динамики финансового рынка инвесторов с различными финансовыми стратегиями. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН. М.: Янус-K, вып. 5,2002, с.35-47.

25. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть I, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-K, вып. 6,2003, с. 33-52.

26. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть II, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-K, вып. 6,2003, с. 53-62.

27. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть Ш, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование

технико-технологических систем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-K, вьш.6, 2003, с. 63-74.

28. Щетинин Е.Ю., О свойствах функций распределения многомерных экстремальных величин, Математическое моделирование и управление в сложных системах. Сборник научных трудов МГАПИ, М.: Изд-во МГАПИ, 2003, т. 6, с. 60-67 .

29. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Препринт ОИЯИ PI 1-2003-248, Изд-во ОИЯИ, Дубна, 2003.

30. Щетинин Е..Ю., О сильной сходимости аппроксимаций совместных функций распределения многомерных случайных величин. Препринт ОИЯИ PI 1-2003249, 2003.

31. Щетинин Е.Ю., Об одном методе аппроксимации двухмерных эмпирических функций распределения. Математические модели и информационные технологии в экономике. Тематический сборник научных трудов, Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института Экономики УрО РАН, 2004, т.1, стр. 3-7.

32. Shchctinin Eu.Yu., Stochastic methods for modeling multivariate extreme events. Mathematical modeling: modern methods and applications. The book of scientific articles/ ed. by L.A. Uvarova. - Moscow: Yanus-K, 2004, p.81-98.

33. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сб. научных трудов МГТУ СТАНКИН, М.: МГТУ СТАНКИН, 2004, вып.7, с. 34-46.

34. Щетинин Е.Ю., Методы характеризации функций распределения многомерных экстремальных величин. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научных трудов МГТУ СТАНКИН. М.: ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН, вып. 8, 2005, с.45-57.

35. Щетинин Е.Ю., Методы моделирования экстремальных зависимостей на финансовых рынках в кризисных состояниях. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сб. научных трудов МГТУ СТАНКИН, М.: МГТУ СТАНКИН, вып.8, 2005, с. 163-178.

36. Щетинин Е.Ю., Математическая теория структур статистических зависимостей. Монография. - М.: ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2005. - 56 с.

37. Щетинин Е.Ю., Парамонов A.B., О методах количественного анализа и управления компанией в условиях высокой изменчивости ее финансовых показателей, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических проблем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН. - М.: МГТУ СТАНКИН, 2006, вып.9, с. 128-135.

38. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Парамонов A.B., Казаков Я.О., О структурном подходе к оптимальному управлению капиталом страховой компании, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических проблем. Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М.: МГТУ СТАНКИН, 2006, вып.9, с.136-143.

39. Щетинин Е.Ю., О премии в схемах перестрахования, Экономический анализ: Теория и практика, М.: Финансы и кредит, 2006, 1(58).

Принято к исполнению 18/10/2006 Исполнено 19/10/2006

Заказ №761 Тираж: ЮОэкз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА ФОНДОВЫХ РЫНКОВ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ.

1.1 Математическое моделирование и количественный анализ показателей стоимости акций на фондовом рынке с высокой волатильностью.

1.2 Математическое моделирование и количественный анализ структур показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью.

1.3 Математическое моделирование и количественный анализ рисков инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью.

Выводы к Главе 1.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОИМОСТИ АКЦИЙ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ФОНДОВЫХ РЫНКОВ.

2.1 Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций.

2.2 Математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций.

2.3 Математические модели структур статистической зависимости показателей стоимости акций.

2.3.1 Математические модели многомерных функций распределения экстремальных значений показателей стоимости акций.

2.3.2 Математические модели функций копулы.

2.3.3 Математические модели структур эллиптической статистической зависимости показателей стоимости акций.

2.4 Математические модели структур статистической зависимости экстремального типа показателей стоимости акций.

Выводы к Главе 2.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ КОЛИЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА СТРУКТУР ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОИМОСТИ АКЦИЙ НА ФОНДОВЫХ РЫНКАХ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ.

3.1 Непараметрические методы оценивания показателей хвостовой зависимости.

3.2. Параметрические методы оценивания коэффициентов хвостовой зависимости.

3.2.1 Параметрический подход для эллиптических распределений.

3.2.2 Методы оценивания показателей хвостовой зависимости на основе теории экстремальных величин.

3.3 Анализ структур экстремальных зависимостей показателей стоимости акций российского фондового рынка.

Выводы к Главе 3.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ КОЛИЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА РИСКОВ ИНВЕСТИРОВАНИЯ В АКЦИИ НА ФОНДОВЫХ РЫНКАХ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ.

4.1 Математические модели показателей рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью.

4.2 Математические модели показателей чувствительности стоимости акций к высокой волатильностн фондового рынка.

4.3 Методы количественного анализа рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью.

4.4 Методы оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью.

Выводы к Главе 4.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ.

5.1 Вычислительный алгоритм оценивания параметров модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций.

5.2 Вычислительный алгоритм оценивания параметров функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций.

5.2.1 Статистическое оценивание параметров обобщенного распределения Парето.

5.2.2 Оценивание качества приближения эмпирической функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций моделью обобщенного распределения Парето.

5.2.3 Методы построения доверительных интервалов для параметров модели функции распределения надпороговых значений.

5.2.4 Методы построения доверительных интервалов для квантилей функции распределения надпороговых значений.

5.3 Вычислительные алгоритмы моделирования структур статистической зависимости.

5.4 Вычислительные алгоритмы оценивания параметров моделей структур статистической зависимости.

5.5 Алгоритм вычисления страховой премии в схемах эксцедентного перестрахования.

Выводы к Главе 5.

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию современных фондовых рынков в периоды воздействия на них внешних возмущающих факторов или экстремальных событий, например, наступления природных катастрофических явлений, политических событий, негативно отражающихся на экономическом развитии как отдельных компаний так регионов и стран в целом. Последствиями экстремальных событий могут стать значительные колебания стоимости энергоносителей и природных ресурсов; негативные изменения в корпоративной среде, такие как снижение кредитных рейтингов, банкротства крупных корпораций и банков, дефолты по корпоративным и государственным долгам; снижение темпов роста основных макроэкономических показателей, ухудшение социальной обстановки и политической атмосферы, рост социально-экономической напряженности регионов и стран. Все это, как следствие, приводит к высокой волатильности ценных бумаг на фондовых рынках, возрастанию рисков значительных убытков от инвестирования в них, а также возникновения существенного ущерба от некорректного формирования видов вложения капитала, вида ценных бумаг для инвестирования.

Широко используемыми математическими методами количественного анализа показателей стоимости ценных бумаг являются классическая теория вероятностей и математическая статистика, в основе которых лежит нормальный закон распределения. Однако, общеизвестным является тот факт, что эмпирические распределения показателей стоимости ценных бумаг являются тяжелохвостыми и асимметричными. Кроме того, обнаружены новые эффекты в поведении фондовых рынков в периоды высокой волатильности1, описать которые классическими методами теории вероятностей и статистики оказалось невозможным, так как проблемой в использовании этих методов является то, что статистика экстремальных значений стоимостных показателей невелика. Это не позволяет обоснованно применить предельные теоремы классической теории вероятностей для получения законов распределения экстремальных значений показателей стоимости акций. Поэтому необходимо разрабатывать новые математические модели показателей

1 Щетинин Е.Ю., Статистический анализ структур экстремальных зависимостей на российском фондовом рынке, Финансы и кредит, 2005,22(190), с. 44-51. стоимости акций, позволяющие в рамках единого теоретического подхода описывать их вероятностные свойства, как в спокойные периоды, так и в периоды высокой волатильности фондовых рынков.

Классические методы количественного анализа инвестиционных рисков, использующие статистические выводы, основанные на применении гипотез о статистической независимости или нормальности совместного распределения стоимостных показателей инвестируемых акций значительно недооценивают возникающие риски убытков в условиях высокой волатильности фондовых рынков. Кроме того, исследования фондовых рынков с высокой волатильностью обнаружили существование нелинейных статистических связей экстремальных значений показателей стоимости акций. Известные методы анализа статистических связей, как правило, исследуют в основном линейные корреляционные связи, тогда как актуальной является проблема анализа хвостовых корреляционных зависимостей, которые и несут информацию о характере нелинейных статистических связей, возникающих между стоимостными показателями объектов инвестиций в условиях высокой волатильности. Кроме того, необходимо постоянно проводить мониторинг чувствительности инвестиционных объектов к внешним возмущающим факторам. Классические методы, как правило, используют в этих целях различные характеристики волатильности, в том числе и дисперсию, которая далеко не всегда достоверно отражает качественный характер экстремальных изменений показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка. Поэтому нужны новые математические модели показателей рисков инвестирования, учитывающих экстремальный характер изменений стоимости акций, а также экстремальный тип их статистических связей.

Современный инвестиционный риск-менеджмент представляет собой сложный комплекс мероприятий, осуществляемых компаниями и предприятиями в целях наращивания стоимости своих активов, оптимизации структуры инвестиционных проектов в различных условиях ведения бизнеса. Высокая волатильность фондовых рынков, как правило, негативным образом влияет на успешность достижения этих целей, приводит к возникновению существенного ущерба от некорректного выбора ценных бумаг, недооцененных размеров рискового капитала при формировании инвестиционного портфеля. Решение проблемы оптимального размещения рискового капитала требует учета влияния возросшей в условиях высокой волатильности рискованности акций на состав инвестиционного портфеля, на размеры резервируемого под них рискового капитала, а также учета зависимости формируемой структуры рискового капитала от структуры статистических связей показателей рисков акций, включенных в состав инвестиционного портфеля.

Изложенные выше научные проблемы исследований фондовых рынков с высокой волатильностью сформулировали следующие цели диссертации.

Цели диссертационной работы:

1) совершенствование существующих и разработка новых математических моделей и методов количественного анализа показателей стоимости акций;

2) разработка новых математических моделей экстремальной зависимости показателей стоимости акций и математических методов их количественного анализа;

3) разработка новых математических моделей показателей рисков инвестирования в акции и новых математических методов их количественного анализа;

4) разработка новых математических методов оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовых рынках с высокой волатильностью;

2) Математическая модель функции асимметричной зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса;

3) Математическая модель предельной копулы многомерных эллиптических распределений из области притяжения копул экстремального типа в форме представления Пикендса;

4) Новая математическая модель структур хвостовой зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа;

5) Параметрический метод оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы. Метод позволяет получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов, по сравнению с другими методами, использующими копулы экстремального типа;

6) Математические модели показателей рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью. На их основе разработан метод анализа рисков инвестирования в акции с учетом типа структуры статистических связей показателей их стоимости;

7) Пороговый ковариационный принцип оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка. На его основе построен метод оптимального размещения рискового капитала, позволяющий вычислить величину рискового капитала в акцию, входящую в состав структуры инвестиций, как долю от совокупного рискового капитала с учетом типа структуры статистической зависимости показателей стоимости акций.

Научная новизна результатов диссертации состоит:

1) В разработке математической модели функции распределения экстремальных значений стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностью. Традиционно используемые в этих целях модели функций распределения, такие как нормальный закон, тяжелохвостые распределения, типа Стьюдента, Парето, не обеспечивают адекватного описания статистических свойств экстремальных значений показателей стоимости акций одновременно во всей области значений показателей стоимости, тогда как предложенная модель позволяет это делать с высокой точностью как в области малых изменений стоимости акций так и при их экстремальных значениях, т.е. при высокой волатильности фондового рынка;

2) В разработке новой математической модели функции зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса. Она расширяет известные модели зависимости на класс функций асимметричной зависимости, что позволяет описывать эмпирические эффекты асимметризации структур статистической зависимости показателей стоимости акций в результате воздействия на фондовые рынки экстремальных событий и возникающей вследствие этого высокой волатильности;

3) В доказательстве теоремы о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа, а также разработке ее математической модели в форме представления Пикендса для функций копулы экстремального типа;

4) В математической модели структур хвостовой статистической зависимости, возникающих на фондовых рынках с высокой волатильностью. Комбинированная хвостовая копула сочетает в себе различные типы верхней и нижней хвостовой зависимости, в том числе и экстремального типа. Это позволяет более гибко описывать различные типы хвостовых зависимостей по сравнению с известными моделями хвостовых зависимостей, такими как модели копул Гумбеля, Клейтона;

5) В модификации порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы, позволяющей получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов экстремальной зависимости, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

6) В математических моделях показателей рисков инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В методе анализа рисков инвестирования в акции с учетом структуры статистических связей показателей их стоимости на фондовом рынке. Метод позволяет оценивать риски инвестирования в портфель акций как сумму показателей риска инвестирования в каждую отдельную акцию, входящую в портфель инвестиций. Применение структур статистической зависимости эллиптического типа в качестве структуры зависимости показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка является наиболее эффективным по сравнению с другими типами структур статистической зависимости, такими как независимость, многомерное нормальное распределение, комонотонность;

7) В методе вычисления оптимальной структуры рискового капитала, резервируемого в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. В отличие от известных методов аллокации он использует в качестве статистических связей показателей стоимости акций структуры эллиптической зависимости из области притяжения структур экстремального типа. Доказанные свойства аддитивности и бесконечной делимости структур статистической зависимости этого класса позволяют корректно учитывать влияние фактора высокой волатильности фондового рынка на состав портфеля инвестируемых акций, а их применение в пороговом ковариационном принципе позволяет оптимальным образом вычислять размеры резервируемых в них денежных средств как долю от совокупного рискового капитала.

Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в математическую теорию экстремальных величин, в математическое моделирование и методы количественного анализа многомерных статистических зависимостей, в математические методы количественного анализа рисков инвестирования и методы размещения капитала на фондовых рынках в периоды высокой волатильности.

Практическая значимость:

Разработанные в диссертации математические модели и методы, вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1) Оценивания параметров математической модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовом рынке, оценивания квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, а также расчетов доверительных интервалов для них. Полученные выражения для показателей рисков Value at Risk, Expected Shortfall с использованием оценок квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений стоимости акций позволяют с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью;

2) Моделирования многомерных случайных величин и расчета их вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков);

3) Оценивания коэффициентов экстремальной зависимости структур статистических связей показателей стоимости акций и их применения для анализа текущего состояния фондового рынка;

4) Оценивания рисков портфельного инвестирования в акции на фондовом рынке. Использование предельных эллиптических структур статистических связей позволяет построить наиболее точные оценки величин рисков инвестирования в акции фондового рынка с высокой волатильностью;

5) Расчетов оптимальной структуры рискового капитала портфеля ценных бумаг с учетом существующей структуры статистических зависимостей показателей стоимости входящих в портфель ценных бумаг, а также управления портфелем акций на основе количественного анализа показателей рисков и чувствительности портфеля к воздействию внешних возмущающих факторов.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальным курсам "Стохастический анализ", "Математические методы в экономике", "Прикладная статистика".

Личный вклад автора:

Результаты, выносимые автором на защиту, получены автором лично.

Апробация работы:

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики проф. Л.А. Уваровой (МГТУ СТАНКИН 2000-2005 г.г.), на IV Международной конференции по математическому моделированию (Москва, 2000 г.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), Международной конференции "Наука. Компьютер. Образование", г. Пущино 2003 г., 2005г., Дубна 2002, 2004,2006 г., VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.-Новгород, 2004 г.), научных семинарах кафедры прикладной математики МИФИ 2005-2006 г.г., научных семинарах отдела информационных технологий Вычислительного Центра им. А. А. Дородницына РАН 2006 г.

Достоверность результатов основана

1) на корректности математической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;

2) на доказательстве теоремы о существовании предельной копулы многомерных эллиптических распределений, лежащей в области притяжения копул экстремального типа;

3) на доказательстве теоремы о том, что предложенная модификация порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы позволяет получать более точные и устойчивые оценки, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

4) на доказательстве теоремы о равенстве коэффициента экстремальной зависимости коэффициенту хвостовой зависимости предельного распределения максимумов блоков выборки;

5) на строгом выводе выражений для показателей рисков инвестирования в акции на фондовом рынке с высокой волатильностью, на доказательстве теорем о свойствах их аддитивности;

6) на строгом обосновании порогового ковариационного принципа оптимального размещения рискового капитала в акции фондового рынка с высокой волатильностью;

7) на реализации требований свойств несмещенности и состоятельности оценок параметров математических моделей структур статистической зависимости, полученных с использованием вычислительных алгоритмов, разработанных в диссертации.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 39 работах, в числе которых 12 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 8 - в трудах Всероссийских и Международных конференций, 19 - в научных сборниках.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 220 страниц. Диссертация содержит 60 рисунков, 28 таблиц, список литературы из 118 наименований.

Выводы к Главе 5

В Главе 5 описаны разработанные в диссертации вычислительные алгоритмы моделирования функций распределения и структур статистических связей показателей стоимости акций, оценивания их параметров, алгоритмы моделирования структур статистических зависимостей показателей стоимости акций и оценивания их параметров.

В п.5.1, п.5.2 описаны вычислительные алгоритмы оценивания параметров обобщенного распределения экстремальных величин, обобщенного распределения Парето, рассмотрены вопросы вычислительной реализации процедуры минимизации функции логарифмического правдоподобия для различных областей значений экстремального индекса, построения доверительных интервалов для получаемых оценок и предложены эффективные подходы к их решению.

В п.5.3 рассмотрены алгоритмы моделирования структур статистических зависимостей двумерных случайных величин и указаны пути перехода к многомерному случаю. В основу моделей структур статистических зависимостей нами положены функции копулы. Предложены универсальный алгоритм моделирования двумерных случайных с произвольной моделью копулы, алгоритм моделирования архимедовых копул, и алгоритм моделирования многомерных эллиптических случайных величин по заданной корреляционной матрице и математическому ожиданию.

В п.5.4 описаны вычислительные алгоритмы оценивания параметров моделей копул на основе эмпирической функции распределения копулы исследуемой двумерной выборки. Итерационная структура алгоритмов позволяет оценить с высокой точностью коэффициент Кендалла, а также показатель асимметрии модели функции зависимости копулы экстремальных величин в представлении Пикендса.

В п.5.5 предложен вычислительный алгоритм оценивания страховой премии в схемах эксцедентного перестрахования. На примере данных Европейского Актуарного Союза с его использованием проведены расчеты премии перестраховщика и показана необходимость учета существующей статистической зависимости размеров страховых выплат и расходов на ведение договоров эксцедентного перестрахования. С использованием алгоритмов, описанных в п.5.4, проведены оценки параметров различных моделей копул статистической зависимости с использованием алгоритмов, описанных в п.5.4. Анализ результатов показал, что для значительных уровней ставки удержания наиболее точно моделирующей зависимостей параметров страховой схемы является асимметричная модель зависимости в представлении копулы экстремальных величин.

Результаты расчетов на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов. Комплексы программ, представляющих интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ Центра Математических Исследований ГОУ МГТУ "СТАНКИН".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Исследованы современные фондовые рынки (американский фондовый рынок, российский фондовый рынок, некоторые европейские фондовые рынки) и обнаружены новые эмпирические свойства показателей стоимости акций, такие как смена области притяжения их эмпирических функций распределения, возникновение хвостовых зависимостей между показателями стоимости акций при воздействии на фондовый рынок экстремальных событий. При исследовании статистических связей показателей стоимости акций фондового рынка было обнаружено, что структуры статистической зависимости показателей стоимости акций переходят в область притяжения структур зависимости экстремального типа, становятся асимметричными, причем наблюдалась асимметрия различного типа.

2. Предложен единый теоретический подход к математическому моделированию показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка, основанный на теории экстремальных величин, теории структур статистических зависимостей и концепции копул. В диссертации построены следующие математические модели показателей стоимости акций фондового рынка:

2.1 Математическая модель функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

2.2 Математическая модель функции асимметричной зависимости в характеризации структур статистической зависимости экстремального типа в форме представления Пикендса;

2.3 Математическая модель предельной копулы многомерных эллиптических распределений представления Пикендса для функций копулы экстремального типа.

2.4 Математическая модель структуры статистической зависимости показателей стоимости акций, комбинирующая различные типы хвостовых зависимостей, в том числе и экстремального типа.

3. Разработаны математические методы решения конкретных задач анализа показателей стоимости акций фондового рынка.

3.1 Методы количественного анализа структур хвостовых зависимостей показателей стоимости акций фондового рынка. Построена модификация порогового метода оценивания коэффициентов экстремальной зависимости с применением комбинированной хвостовой копулы, позволяющая получать более точные и устойчивые оценки коэффициентов экстремальной зависимости, по сравнению с методом максимумов блоков выборки и непараметрическими оценками;

3.2 Метод количественного анализа рисков инвестирования в акции с учетом структуры статистических связей показателей их стоимости на фондовом рынке. Метод позволяет оценивать риски инвестирования в портфель акций как сумму показателей риска инвестирования в каждую отдельную акцию, входящую в портфель инвестиций. Применение структур статистической зависимости эллиптического типа в качестве структуры зависимости показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности фондового рынка более эффективно, чем другие структуры статистической зависимости, такие как независимость, многомерное нормальное распределение, комонотонность.

3.3 Метод вычисления оптимальной структуры рискового капитала, резервируемого в акции фондовых рынков с высокой волатильностью, основанный на пороговом ковариационном принципе, позволяющем адекватно учесть влияние существующих в периоды высокой волатильности экстремальных зависимостей между показателями стоимости акций на оптимальные размеры рискового капитала, размещаемого в эти акции.

4. Для решения поставленных задач в диссертации разработана соответствующая совокупность вычислительных алгоритмов. Она включает:

- вычислительные алгоритмы моделирования и оценивания параметров функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы моделирования функций копул показателей стоимости акций и оценивания параметров их моделей;

- вычислительные алгоритмы параметрического и непараметрического оценивания коэффициентов хвостовой зависимости;

- вычислительный алгоритм оценивания рисков инвестирования в портфель ценных бумаг с эллиптической структурой статистической зависимости показателей из стоимости;

- алгоритм расчета величин денежных средств, инвестируемых в портфель ценных бумаг с эллиптической структурой статистической зависимости показателей из стоимости.

5. С использованием разработанных моделей, методов и вычислительных алгоритмов, а также созданных на их основе программ, были проведены вычислительные эксперименты по решению поставленных в диссертации задач. В частности, для различных периодов 2000-2006 г.г. функционирования российского фондового рынка проведен анализ статистических свойств показателей стоимости акций его ведущих эмитентов, а также статистических свойств статистических связей, возникающих между показателями стоимости их акций в периоды высокой волатильности. В результате получены количественные оценки рисков инвестирования в акции эмитентов российского фондового рынка для различных уровней волатильности.

Для тестирования разработанного в диссертации метода оптимального размещения инвестиционного капитала в ценные бумаги с высокой волатильностью были сформировано несколько отличающихся по составу портфелей из акций российского фондового рынка и проведены расчеты величин инвестируемых в них капитала для различных типов структур статистической зависимости показателей их стоимости. Результаты расчетов показали, что хвостовой ковариационный принцип и используемые в нем эллиптические структуры зависимости, позволяют наиболее точно, по сравнению с остальными структурами зависимости, рассчитать размер инвестиций в каждую компоненту портфеля как аддитивную величину совокупного капитала, предназначенного для инвестирования в составленный портфель ценных бумаг.

Результаты расчетов на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов. Комплексы программ, представляющих интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ Центра Математических Исследований ГОУ МГТУ "СТАНКИН".

1. А.Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, том 2, Теория, М.: ФАЗИС, 1998.

2. J. Danielsson and С. de Vries, Value at risk and extreme returns, P. Embrechts, editor, Extremes and Integrated Risk Management, p. 85-106. Risk Books, 2000.

3. P. Embrechts, S.I. Resnick, Samorodnitsky, Extreme value theory as a risk management tool, North American Actuarial Journal, 3, p. 30-41,1999.

4. B.O. Bradley, M.S. Taqqu, Financial risk and heavy tails, Department of Mathematics and Statistics, Boston University, 2001.

5. P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, How relevant is volatility forecasting for financial risk management? Review of Economics and Statistics 82: p.1-11,2000.

6. S. Resnick, Extreme values, regular variation and point processes, Springer, Berlin, 1987.

7. J. Galambos, The Asymptotic theory of extreme order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

8. B.V. Gnedenko, Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire.-Ann. Math., 1943, v. 44,423-453.

9. R.L. Smith, Extreme value theory, in Handbook of Applicable Mathematics (Vol. 7), ed. W. Ledermann, Chichester, U.K.: Willey, 1990.

10. Щетинин Е.Ю., Статистический анализ структур экстремальных зависимостей на российском фондовом рынке, Вестник Российского университета дружбы народов, серия прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4,1, с.144-152.

11. Щетинин Е. Ю., Назаренко К. М., Парамонов А. В., Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий, Вестник ННГУ, Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2(29), 2004, стр. 56-63.

12. R.B. Nelsen, An introduction to copulas, Springer, N.Y., 1999.

13. H. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London,1997.

14. Щетинин E. Ю., Теория математических структур статистической зависимости. Монография. ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2005.

15. Щетинин Е.Ю., Лапушкин А.С., Статистические методы и математические модели оценивания финансовых рисков, Математическое моделирование, М. Наука, 2004, 5(16), с.40-54.

16. Amendment to Capital Accord to Incorporate Market Risks. Bank for International Settlements Basle Committee. January 1996.

17. International conference of capital measurement and capital standards. Basel Committee on Banking Supervision, July, 1998, updated to April 1998.

18. J. Danielsson, C. de Vries, Beyond the Sample: Extreme quantile and probability estimation. Preprint, LSE, 1997.

19. J.A. McNeil, T. Saladin, The peaks over threshold method for estimating high quantiles of loss distributions, In Proceedings of the 28th International ASTIN Colloquium, 1997.

20. J. Danielsson, L. De Haan, L. Peng, C.G. De Vries, Using a bootstrap method to chose the sample fraction in the tail index estimation, Journal of Multivariate Analysis, 76, p. 226-248,2001.

21. B.M. Hill. A simple general approach to inference about the tail of a distribution. Annals of Statistics, 3(5):1163-1174,1975.

22. S. Resnick, C. Starica, Smoothing the Hill estimator, Advances in Applied Probability, 29,1997.

23. H. Drees, L. De Haan, S. Resnick, How to make a Hill plot, The Annals of Statistics, 28(1), p. 254-274, 2000.

24. A.C. Davison, R.L. Smith, Models for exceedances over high thresholds. J. R. Statist. Soc. В 52, p.393-442, 1992.

25. J. Beirlant, J.L. Teugels, P. Vynckier, Practical Analysis of Extreme Values, Leuven University Press, 1996.

26. Щетинин E. Ю., О новых подходах к управлению компанией в чрезвычайных ситуациях, Финансовый кредит, 2005, 30 (198), стр. 71-75.

27. Щетинин Е.Ю., О новых подходах к управлению компанией в чрезвычайных ситуациях, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2005, 30(198), с.71-75.

28. Щетинин Е.Ю., О структурном подходе к управлению компанией с высокой изменчивостью показателей, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2006, 2(206), с.34-37.

29. Щетинин Е.Ю., Методы моделирования структур статистических зависимостей экстремального типа, Вестник Российского университета дружбы народов, серия прикладная и компьютерная математика, 2005, т.4,1, с. 135-143.

30. Щетинин Е.Ю., Статистический анализ хвостовых зависимостей на российском фондовом рынке, Финансы и кредит, 2005, 22(190), с. 44-51.

31. J.Tawn, Bivariate extreme value theory: models and estimation, Biometrika, 75,1988.

32. P. Embrechts, P. Lindskog, A. McNeil, Modeling dependence with copulas and application to risk management, 2001.

33. P. Embrechts, P. McNeil, D. Strautmann, Correlation and dependency in risk management: properties and pitfalls, ETH Zurich Technical Report, 1998.

34. R. Schmidt. Tail dependence. Statistical tools in finance and insurance, ed. W. Hardle, P. Cizek, and R. Weron, Springer Verlag, 2003.

35. Щетинин Е.Ю., О структурном подходе к управлению страховой компанией, Страховое дело, М.: Анкил, 2006,4, с. 9-15.

36. Щетинин Е.Ю., Анализ эффективности бизнеса в условиях высокой изменчивости его финансовых активов, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2006,14(208), с. 37-42.

37. М. Denauit, Coherent allocation of risk capital, Journal of risk, 4,1-34,2001.

38. J. Dhaene, M. Goovaerts, R. Kaas, Economic capital allocation principles derived from risk measures, North american actuarial journal, 7,44-59,2003.

39. M.J. Goovaerts, F. de Vylder, J. Haezendonck, Insurance premiums: Theory and Applicaions. Elsevier Science Pub., Amsterdam, 1984.

40. R. Kaas, M. Goovaerts, J.Dhaene, M. Denuit, Modern actuarial risk theory, Boston, Kluwer Academic Publishers, 2001.

41. P. Embrechts, C. Cluppelberg, T. Mikosch, Modelling extremal events for insurance and finance, Springer, Berlin, 1997.

42. A. Balkema, S. Resnick, Max-infinite divisibility, J. Appl. Probab., 14,1977.

43. L. de Haan, S. Resnick, Limit Theory for multivariate sample extremes, Z. Wahr. Verwiew Gebiete, 40,1977.

44. J.Pickands, Multivariate extreme value distributions, Bull. Int. Statist. Inst., 1981.

45. S. Kotz, S. Nadarajah, Extreme value distributions, theory and applications, Imperial College Press, London, 2000.

46. E.J. Gumbel, Statistics of Extremes. New York: Columbia University Press, 1958.

47. E.J. Gumbel, Bivariate exponential distributions. J. Amer. Statist. Assoc. 55, p. 698707,1960.

48. J. Galambos, S. Kotz, Characterizations of probability distributions. Lecture notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1978.

49. S.G. Coles, J.A. Tawn, Modelling multivariate extreme events, J.R. Statist. Soc., Biometrika 53, 377-392,1991.

50. A.W. Marshall, I. Olkin, A generalised bivariate exponential distribution. J. Appl. Probab. 4, p. 291-302, 1962.

51. M. Sibuya, Bivariate extremal statistics, Ann. Ins. Statist. Math. XI, p. 195-210, 1962.

52. H.-B. Fang, K.-T. Fang, The meta-elliptical distributions with given marginals, J. of Multivariate Analysis, 2002, 82,1-16.

53. B.W. Silverman, Density estimation for statistics and data analysis, London: Chapman and Hall, 1986.

54. C. Genest, K. Ghoudi and L. P. Rivest, A semiparametric estimation procedure of dependence parameters in multivariate families of distributions, Biometrika, 1995.

55. A. Azzalini, Statistical inference based on the likelihood. Chapman and Hall, London, 1996.

56. L. Peng, Estimation of the coefficient of tail dependence in bivariate extremes. Statistics and Probability Letters, 1999,43,399-409.

57. P. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber, D. Heath, Coherent measures of risk, Mathematical finance, 9,203-228,1999.

58. H. H. Panjer, Measurement of risk, solvency requirements and allocation of capital within financial conglomerates, Institute of Insurance and Pension Research, Univ. of Waterloo, Research Report 01-15,2002.

59. J.B. McDonald, W.K. Newey, Partially adaptive estimation of regression models via the generalized t-distribution, Econometric Theory, 1998,4,429-457.

60. С. Kleiber, S. Kotz, Statistical size distributions in economics and actuarial sciences, New Jersey, John Wiley&Sons Inc., 2003.

61. S. Klugman, H.H. Panjer, G. Willmott, Loss models: from data to decisions, New York, John Wiley&Sons, Inc., 1998.

62. S. Cambanis, S. Huang, and G. Simons, On the theory of elliptically contoured distributions, Journal of Multivariate Analysis, 11 (1981), 368-85.

63. N. H. Bingham, С. M. Goldie, and J. L. Teugels, Regular variation, Encyclopedia, of Mathematics and Its Applications, vol. 27, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

64. A.C. Шапкин, Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций, М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и К", 2004.

65. М.А. Stephens, Test Based on EDF Statistics, in Goodness-of-fit Techniques, eds. R.B. D'Agostino and M.A. Stephens, New York: Marcel Dekker, p. 97-122,1986.

66. D. Darling, The Cramer-von Mises test in the parametric case, The Annals of Mathematical Statistics, 26, p. 1-20,1955.

67. V.Choulakian, M.A. Stephens, Goodness-of-Fit tests for the Generalized Pareto Distribution, research report. Simon Fraser University, Dept. of Mathematics and Statistics, 2000.

68. W.A. Wallis, Rough-and-ready statistical tests, Industrial Quality Control, 1972, 5, p. 35-40.

69. J.R. Hosking, J.H. Wallis, E.F. Wood, Estimation of the generalised extreme value distributions by the method of probability-weighted moments. Technometrics 27, p. 251-261, 1985.

70. J.R. Hosking, J.H. Wallis, Parameter and quantile estimation for the generalised Pareto distribution. Technometrics 29, p. 339-349, 1985.

71. E. Kellezi, M. Gilli, Extreme value theory for tail-related risk measures. Department of Econometrics and FAME, University of Geneva, 2000.

72. C. Genest, L.P. Rivest, On the multivariate probability integral transformation, Statistics and Probability Letters, 53,2000.

73. H. Joe, R.L. Smith, L. Weissman, Bivariate threshold methods for extremes. J. R. Statist. Soc. В 54, p. 171-183, 1992.

74. M.R. Leadbetter, G. Lindgren, H. Rootzen, Extremes and related properties of random sequences and processes. Berlin: Springer-Verlag, 1983.

75. R.L. Smith, Statistics of extreme values, Proc. 45th Session S.I., Paper 26.1, Amsterdam, 1986.

76. R.L. Smith, Maximum likelihood estimation in a class of nonregular cases. Biometrika 72, p.67-90, 1985.

77. R.L. Smith, Estimating tails of probability distributions, A. Statist. 15. 1174-1207, 1987.

78. R.L. Smith, J.A. Tawn, H.K. Yuen, Statistics of multivariate extremes. Int. Statist. Inst. Rev. 58, p.47-58, 1990.

79. S. Wang, A set of a new methods and tools for enterprise risk capital management and portfolio optimization, SOR Reinsurance Company, working paper, 2002.

80. J. Tiago de Oliveira, Bivariate extremes: Foundations and statistics. Proc. 5th Int. Symp. Mult. Anal., North Holland, New York, 1980.

81. J. Tiago de Oliveira, Bivariate models for extremes, statistical decision. Statistical extremes and applications, Reidel, p. 131-153, 1989.

82. J. Tiago de Oliveira, Intrinsic estimation of the dependence structure for bivariate extremes. Statist. Probab. Lett. 8, p.213-218, 1989.

83. I. Weissman, Estimation of parameters and large quantiles based on the к largest observations. J. Amer. Statist. Ass. 73, p.812-815, 1978.

84. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин, Препринт ОИЯИ Р11-2003-248, Дубна, 2003.

85. A. Manzotti, F.J. Perez, A.J. Quiroz, A statistic for testing the null hypothesis of elliptical symmetry, J. of Multivariate Analysis, 81, 2002, p. 274-285.

86. B. Abdous, K. Ghoudi, A. Khoudraji, Nonparametric estimation of the limit dependence function of multivariate extremes, Extremes, 2,243-265,1999.

87. H. A. Hauksson, M. Dacorogna, T. Domenig, U. Muller, G. Samorodnitsky, Multivariate extremes, aggregation and risk estimation, Quantative finance, vl, 2001, p.79-95.

88. A. Penza, D. Bansal, Measuring Market Risk with Value at Risk, John Wiley and Sons, Inc., 2001

89. H.H. Тренев, Управление финансами, M.: Финансы и статистика, 2000.

90. А. Кендалл, М. Стьюарт, Статистические выводы и связи, М.: Наука, 1973.

91. Щетинин Е.Ю., О вычислении премии в схемах эксцедентного перестрахования, Страховое дело, М.: Анкил, 2005,8, с. 58-64.

92. Щетинин Е.Ю., Назаренко К.М., Парамонов А.В., О методах анализа эффективности бизнеса компании в условиях высокой изменчивости ее финансовых показателей, Динамика неоднородных систем, М.: КомКнига, 2005,9(2), с. 206-212.

93. Щетинин Е.Ю., Методы измерения финансовых рисков, Сборник трудов Всероссийской научно-практической конференции "Информационные модели экономики", М.: МГАПИ, 2003, с. 148-153.

94. Щетинин Е.Ю., Назаренко К.М., Парамонов А.В., Оценивание значений VaR портфеля фондовых индексов с использованием архимедовых копул. 7-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2004.

95. М. Leippold, Implications of Value at Risk and Expected Shortfall: Limits on portofolio selection. Seminar Talks, Univ. Zurich, 2001.

96. Щетинин Е.Ю., Особенности управления финансовой компанией в чрезвычайных ситуациях. 8-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2005.

97. Щетинин Е.Ю., Об одном классе математических моделей в финансовых системах, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН. М.: Янус-К, вып. 4,2001, с. 14-23.

98. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть I, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-К, вып. 6, 2003, с. 33-52.

99. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть И, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-К, вып. 6, 2003, с. 53-62.

100. Щетинин Е.Ю., О предельных функциях распределения экстремальных величин, часть III, Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов МГТУ СТАНКИН, М. Янус-К, вып.6, 2003, с. 63-74.

101. Щетинин Е.Ю., О свойствах функций распределения многомерных экстремальных величин, Математическое моделирование и управление в сложных системах, Сборник научных трудов МГАПИ, М.: Изд-во МГАПИ, 2003, т. 6, с. 60-67 .

102. Щетинин Е.Ю., Назаренко К.М., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Препринт ОИЯИ Р11-2003-248, Изд-во ОИЯИ, Дубна, 2003.

103. R. Li, К. Т. Fang, L. Zhu, Some Q-Q probability plots to test spherical and elliptical symmetry, J. of Computational and Graphical Statistics, 6, p. 435-450, 1997.

104. Shchetinin Eu.Yu., Stochastic methods for modeling multivariate extreme events. Mathematical modeling: modern methods and applications. The book of scientific articles/ ed. by L.A. Uvarova. Moscow: Yanus-K, 2004, p.81-98.

105. Щетинин Е.Ю., О премии в схемах перестрахования, Экономический анализ: Теория и практика, М.: Финансы и кредит, 2006,1(58).

106. Щетинин Е.Ю., К анализу показателей стоимости акций компаний на фондовом рынке с высокой волатильностью, Финансы и кредит, М.: Финансы и кредит, 2006, 29(233), с. 34-38.

107. R.D. Reiss, М. Thomas, Statistical analysis of extreme values with applications to insurance, finance and other fields. Springer, 2001.

108. A. Charpentier, Tail distribution and dependence measures, ASTIN Colloquium, 2003.