автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и методы оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью

0034В2568

На правах рукописи

НАЗАРЕНКО КИРИЛЛ МИХАЙЛОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ РИСКОВ ИНВЕСТИРОВАНИЯ В ФИНАНСОВЫЕ АКТИВЫ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 -математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и?

9 "' ЛТ"1 /М*

<- - ^ ......и

Москва - 200?

003462568

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Щетинин Евгений Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Крянев Александр Витальевич

кандидат физико-математических наук, доцент Третьяков Николай Павлович

Вычислительный Центр Российской Академии Наук им. А.А. Дородницына (г. Москва)

Защита диссертации состоится « » 2009 года в ±Л 'О^часов

на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 101472, ГСП, г. Москва, ул. Вадковский пер., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН».

Автореферат разослан « 13 » 2009 г.

!)

Ученый секретарь ■ !'

диссертационного совета Д 212.142.03 Семячкова Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию аиуальных научных проблем, связанных с оцениванием рискованности инвестирования в финансовые активы, показатели стоимости которых характеризуются высокой волатильностью. Базельским комитетом по регулированию банковской деятельности отмечается, что одной из актуальных и значимых задач управления рисками является корректное оценивание рисков убытков от проводимых финансовым институтом операций, неизбежно возникающих в его деятельности1. Для оценки рискованности инвестирования общепринята концепция Vaiue at Risk (VaR) (Стоимость под Риском) в основе которой лежит вычисление квантили функции распределения ценовых показателей финансовых активов компании:

VaR(q) = inf (х е R, Fx (х) > q) = хц. В качестве модели функции распределения ценовых показателей используются различные математические модели, наиболее часто используемой из которых является нормальное распределение.

Однако, в условиях высокой волатильности законы распределения ценовых показателей финансовых активов существенно отличаются от нормального, в частности являются тяжелохвостыми и, как правило, асимметричными. Использование некорректной модели функции распределения ценовых показателей финансовых активов приводит к недооценке инвестирования в эти активы, а также росту рисков значительных убытков от некорректного формирования видов вложения капитала и выбора ценных бумаг для инвестирования.

' Basel Committee on Banking Supervision. (1995a). An Interna! Model-Based Approach to Market Risk Capital Requirements. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland.

3

В последнее десятилетие появилось значительное число научных работ, в которых в основу моделей функции распределения показателей стоимости финансовых активов положены предельные распределения экстремальных величин. Среди методов моделирования экстремальных величин наиболее известными являются метод максимумов блоков выборки2 и пороговый метод3. С точки зрения их практического применения для решения задачи-количественного оценивания финансовых рисков эти методы обладают рядом недостатков, связанных, в частности, с выбором оптимального числа блоков и порогового значения соотвественно. Следовательно, актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей функций распределения экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов.

Задача оценивания рисков портфельного инвестирования существенно сложнее. Параметрический подход к решению задачи оценивания рискованности портфельного инвестирования в активы с высокой волатильностью требует построения модели совместного распределения их стоимостных показателей. Ввиду того, что структура статистической зависимости ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью лежит в области притяжения статистических структур зависимости экстремальных величин4, актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей совместных функций распределения многомерных экстремальных величин.

Исследования стохастических свойств совместной динамики финансовых активов, как правило, обнаруживают изменения структуры статистических связей между ними во времени. Выбор модели совместной динамики ценовых показателей акций существенным образом влияет на количественные оценки рисков инвестирования. Существующие модели не всегда позволяют адекватно оценить динамику корреляционных связей между ценовыми показателями финансовых активов в периоды высокой волатильности. Поэтому актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка новых моделей совместной динамики стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью.

Использование математических моделей ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью, не позволяющих адекватно описать их эмпирические свойства, приводит к некорректному оцениванию рисков инвестирования в них. Так, в

2 Resnick, S.I. (1987).

3 Davison, А. С. and R. L. Smith (1990).

4 Щетинин E JO. Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Тверь 2006 г.

случае недооцешшания рисков инвестирования финансовая компания может понести невосполнимые убытки, в то время как переоценивание рисков инвестирования влечет за собой упущенную выгоду. Используемая для проверки адекватности оценок рисков инвестирования методика «светофора»5 не позволяет отклошггь модели, переоценивающие рискованность инвестирования, а также модели, допускающие систематические ошибки в оценках рискованности инвестирования. Таким образом, актуальной научной проблемой диссертационного исследования является разработка новых методов верификации математических моделей стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью, применяемых для количественного оценивания рискованности инвестирования в них.

Изложенные выше научные проблемы сформулировали следующую цель диссертации.

Целью настоящей работы является совершенствование существующих и построение новых математических моделей стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью, а также разработка математических методов оцепивания раскованности инвестирования в такие активы с использованием методологии VaR.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1) разработка новой математической модели функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

2) разработка новой математической модели совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов;

3) разработка новой математической модели ценовых показателей финансовых активов, учитывающей динамику их корреляционных связей;

4) разработка новых математических методов оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью;

5) разработка математических методов верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются показатели финансовых рынков и характеристики рисков осуществляемой па этих рынках деятельности. Предметом исследования являются математические модели и

5 Supervisoiy Framework for the Usc of «Backtestmg» in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requircmcnts. Bank for International Settlements - Basle Committee. 1996. January.

вычислительные методы оценивания финансовых рисков. Наибольший вклад в развитии исследований данной предметной области внесли такие известные зарубежные ученые как П. Эмбрехтс, С.И. Резник, Л. де Хаан, Дж. Пикандс, Я. Галамбош, а также отечественные математики Б.В. Гнеденко, A.B. Крянев, А.Н. Ширяев, Е.Ю. Щетинин и др. На защиту выносятся следующие результаты:

1) математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

2) математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов;

3) математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов, в которой корреляционные связи описаны в виде стохастических разностных уравнений;

4) метод количественного оценивания инвестиционных рисков финансовых активов с высокой волатильностью компании на основе модели смеси функций распределения экстремальных величин;

5) метод верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью;

Научная новизна результатов диссертации состоит:

1) дня моделирования распределений экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов впервые предложено использовать смесь распределений из класса правильно меняющихся на хвосте функций;

2) впервые математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов реализована в виде двухмерного обобщенного распределения Парето;

3) отличительной особенностью предложенной модели совместной динамики ценовых показателей является описание динамики их вариаций и значений корреляции между ними при помощи отдельных стохастических разностных уравнений;

4) впервые оценивание рисков инвестирования по методологий VaR предложено производить на основе модели смеси функций распределения из класса правильно меняющихся функций;

5) предложена модифицированная методика верификации оценок рискованности, представляющая собой статистическую процедуру проверки адекватности используемой математической модели ценовых показателей финансовых активов.

Практическая значимость: Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1) оценивании параметров математической модели функции распределения экстремальных зпачений показателей стоимости акций на фондовом рынке, оценивания квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, а также расчетов доверительных интервалов для них. Выражения для показателей рисков Value at Risk, Expected Shortfall с использованием оценок квантилей модели функции распределения экстремальных значений стоимости акций позволяют с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью;

2) моделирования распределения многомерных экстремальных величин и расчета их вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков);

3) оценивания рисков портфельного инвестирования в акции на фондовом рынке. Использование модели динамики показателей с условной корреляцией авторегрессиопного типа позволяет учесть се нестационарный характер, что может быть использовано для повышения точности краткосрочного прогнозирования значений Value at Risk в условиях высокой волатильпости;

4) оценивания величины рискового капитала инвестиционной компании по методологии Value at Risk;

5) верификации оценок рискованности инвестирования по методологии Value at Risk, позволяющей осуществить выбор математической модели, наиболее адекватно описывающей статистические свойства стоимостных показателей финансовых активов для получения достоверных оценок риска, по сравнению с другими моделями.

Результаты диссертации используются в курсе лекций по дисциплине «Стохастический анализ» в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Апробация работы:

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики проф. JI.A. Уваровой (МГТУ СТАНКИН 2002-2008 г.г.), на Международной конференции "Наука. Компьютер. Образование", г. Пущино 2003 г., 2005г., 2007 г., Дубна 2002 г., 2004 г., 2006 г., 2008 г. VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.Новгород, 2004 г.), научных семинарах кафедры «Систем Телекоммуникаций» РУДН 2005-2008 г.г., научных семинарах отдела информационных технологий Вычислительного Центра РАН им. А.. А. Дородницына 2006 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, в числе которых 4 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 14 - в трудах Всероссийских и Международных конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 212 страниц. Диссертация содержит 62 рисунка, 30 таблиц, список литературы из 124 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задачи, поставленные в диссертации, научная новизна и практическая значимость работы. Приведен список конференций, семинаров, где была проведена апробация результатов работы. Приведено описание структуры и объема диссертации, а также изложено краткое описание содержания диссертации по главам.

В Главе 1 исследованы научные проблемы и задачи математического моделирования и количественного анализа современных фондовых рынков в периоды высокой волатильности, показана актуальность этих исследований. Здесь же описаны основные показатели финансовых рисков, такие как стандартное отклонение и Value at Risk. В п. 1.1 описаны эмпирические свойства показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности, такие как эффект тяжелых хвостов их эмпирических функций распределения, наличие нелинейных статистических связей между их экстремальными изменениями, нестационарность динамики условной корреляции между ценовыми показателями финансовых активов с высокой волатильностью. В п. 1.2

приведены постановки основных задач, решаемых в диссертации, связанные с моделиропаппем экстремальных значений цеповых показателей финансовых активов с высокой волатильностыо: разработка модели функции распределения экстремальных значений ценовых показателей акций с высокой волатильностыо, позволяющей получать оценки рискового капитала инвестиционной компании, не требующей предварительного выбора порогового значения; разработка модели совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей акций, на основе порогового метода. В л. 1.3 приведена постановка задачи, связанной с моделированием совместной динамики показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности: построение математической модели ценовых показателей финансовых активов, учитывающей динамику их корреляционных связей с использованием стохастических разностных уравнений. В п. 1.4 приведены постановки задач верификации оценок рисков инвестирования в условиях высокой волатильности: разработка методов оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностыо на основе построенных моделей; разработка методики верификации оценок рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностыо. Описаны математические методы верификации оценок рискованности инвестирования. Обоснована необходимость в разработке новых методов верификации оценок рисков инвестирования на фондовых рынках с высокой волатильностыо.

Глава 2 посвящена научным проблемам математического моделирования показателей стоимости акций фондовых рынков с высокой волатильностыо. В п. 2.1 содержатся основные сведения теории экстремальных величин. В п. 2.2 описал метод блоков выборки моделирования экстремальных значений показателей стоимости акций, в основе которого лежит обобщенное распределение экстремальных величин

где параметр £ называется экстремальным индексом.

В п. 2.3 описана математическая модель функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций. Она имеет следующий вид

(1)

Ри(х) = Р(Х~ы<х\Х>и),

где и>0 - порог, 0<x<a)(F)-u, <a(F)- крайняя правая точка функции распределения F(x). Согласно теореме А. Балкема, Л. де Хаана6 функция Fu(x) слабо сходится к функции G^ р (*) при стремлении порога и к правой границе a>(F), т.е.

lim sup |^(*)-С^(х)| = 0 (2)

тогда и только тогда, когда F{x) принадлежит области притяжения обобщенного распределения экстремальных величин Gr(x): FeDA(GФункция G(ß(x) называется обобщенным распределением Парето и имеет вид

i-ap{-xfß) z=o:

GeJ(x)-

где Р>0, когда £>0, и 0<х<-/3/£, когда £<0. Таким образом, для

моделирования надпороговых значений показателей стоимости акций используется обобщенное распределение Парето (3), а при значениях показателей стоимости акций, не превышающих пороговое значение и, используется эмпирическая функция распределения. Для вычисления пороговой величины и используется адаптивная процедура на основе оценок Хилла в сочетании с графическим методом Резника-Старицы. Показано, что даже в случае оптимального выбора значения и, точность аппроксимации хвоста эмпирической функции распределения недостаточна для получения корректных количественных оценок УэЯ.

В п. 2.4 нами предложена и исследована новая математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью, позволяющая решить поставленную задачу без предварительного оценивания порога. Для моделирования функции распределения ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью предложено использовать смесь распределений из класса правильно меняющихся функций, имеющую следующий вид:

где g(л;;£,(т) - плотность обобщенного распределения Парето

6 P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch, Modeling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin, 1997.

cr\ <т,

f{x,p) - некоторая другая плотность распределения, - нормализующая

константа, р(х;0) - монотонно неубывающая функция принадлежности наблюдений к совокупности экстремальных значений, принимающая значения на интервале (0,1] и такая, что

\imp(x-0) = i,

где О - вектор параметров.

Предлагаемый нами подход к моделированию функции распределения убытков, опирается на три следующих положения: во-первых, в отличие от порогового метода, при моделировании нами принимается во внимание вся выборка; во-вторых, в качестве модели эмпирической функции распределения используется вероятностная смесь двух распределений, одним из которых является обобщенное распределение Парето; в-третьих, доля случайных величин, имеющих распределение g(x;£,<x), описывается функцией

р(Х;0).

В этом же пункте сформулирована н доказана теорема о хвостовых свойствах смеси распределений экстремальных, обосновывающая предложенный метод моделирования функции распределения убытков.

Определение 1. Распределение F(x) называется тяжсло-хвостым, если для его хвоста Fix) = 1 — F(x), х > 0 выполняется следующее условие

Iim Р(Х>х + у\Х>х) = lira + = I-»O0 x—*oo F (X)

для всех у > О.

Определение 2. Измеримая функция й:(0,°о)-»(0,°о) является правильно меняющейся на хвосте с хвостовым индексом a eR, если для всех х > 0

■ • Ч1*) а

1-ую h(t)

Если а — 0, функция h(x) называется медленно меняющейся.

Теорема. Пусть р(х) ~ медленно меняющаяся функция, fug- тяжело-хвостовые, правильно меняющиеся на хвосте распределения. Обозначим их хвостовые индексы через

а и а, соответственно и предположим, что а.<сс,, причем lim—= Тогда

' g(t)

функция распределения с плотностью (4) является функцией правильно меняющейся на хвосте с хвостовым индексом ag.

Нами был произведен выбор функций р{х,в) и /(г,/?) следующим образом. В качестве смешивающей функции использовалась

где в = (//,г), p,r>0, р, г - параметры локализации и масштаба соответственно. В качестве левого компонента смеси использовалось распределение Вейбулла, являющееся предельным для экстремумов легкохвостых распределений, плотность которого имеет следующий вид

/(r,/3,A) = /tt'a/Me-<*)\ ß,X>0. Рассматриваемая плотность распределения смеси /(*) имеет шесть параметров: ß и X для компонента плотности Вейбулла, ц и г - параметры смешивающей функции р, £ и <т - параметры плотности обобщенного распределения Парето. На рисунке 2 построены графики плотностей смеси распределений и ее компонентов.

— • — тяжелохвостовый компонент (обобщенное распределение Парето), —— - смесь распределений.

В п. 2.5 описана новая математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов. Математическое моделирование предельных функций совместного распределения экстремумов

совокупности Х = {Х,,...,Х;,...,ХП| п случайных последовательностей у =1,..,я основано на теории многомерных случайных величин7. Пусть функция //(х), х = е Л" является совместным

распределением максимумов М„ векторов Xj, / = 1,...,т, где

А/ул и она обладает непрерывными невырожденными

частными распределениями Hj{xj^. Тогда, если и только если существуют такие константы а^ > О, bjMe.Fp, что существует предел

lim Р

'К»-^) ^

——^ Ai ,...,-is Л;,...,-— Л„

I 1 U J h

jn }.m °n,m

функция С7(х) является предельным совместным распределением максимумов.

В двумерном случае Дж. Пикендсом8 предложено следующее представление предельной функции распределения С(х,у), х,у>0

(6)

Функция А: [0,1] -»[0,1] в представлении (6) называется функцией зависимости и обладает следующими свойствами

1) тах(й>,1-(а)^Л(су)21, ше[0,1].

2) Л(0) = Л(1) = 1, -1<;Л'(0)<0, 0<Л(1)<1, А (а)^0.

Нами предложено обобщение порогового метода моделирования хвоста функции распределения экстремальных величин с использованием многомерного обобщенного распределения Парето.

Определение 3. Будем говорить, что Н - многомерное обобщенное распределение Парето (МСРО) с положительной областью определения, если ее хвост имеет вид

-10ёС(х+х) ** ' -1о§О(х0)

7 J. Galambos, The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

' H. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London, 1997.

дм некоторого распределения экстремальных величш б, где х > 0, х0 - вектор порогов,

принадлежащий обмети определения б, и Н (х) = 1 в остальных случаях.

С использованием различных моделей функции зависимости А(а>) возможно построение

различных моделей двухмерного обобщенного распределения Парето. Так, например, это позволяет получить параметрические модели совместных функций распределения ценовых показателей акций, адекватпо учитывающих статистическую связь экстремального типа, возникающую между ними в периоды высокой волатилыюсти (рис. 3 слева).

0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 t

Рис. 3. Двухмерное обобщенное распределение Парето и его кваигильные линии.

Предложенная модель (7) позволяет построить квантштьные линии совместных распределений ценовых показателей для различных уровней значимости, которые ограничивают области экстремальных изменений (рис. 3 справа). Квалтильиые линии могут быть использованы для количественного анализа рискованности портфельного инвестирования в активы с высокой волатильностью.

Глава 3 посвящена научным проблемам математического моделирования динамики ценовых показателей финансовых активов. В и. 3.1 приведен обзор одномерных математических моделей динамики показателей стоимости акций. В том числе линейные модели: авторегрессионный процесс, процесс скользящей средней, авторегрессионные модели скользящей средней (ARMA), модель ARIMA. Модели с условной гетероскедастичностью: модель с авторегрессионой условной гетероскедастичностью, обобщешгая модель с авторегрессиошюй условной гетероскедастичностью, их нелинейные и асимметричные расширения. В п. 3.2 приведен обзор многомерных математических моделей совместной динамики показателей стоимости акций в условиях

высокой волатильности: УЕСН-модель, ВЕКК-модель, модели с динамической корреляцией, модель с постоянной корреляцией. Проведен их сравнительный анализ, показавший необходимость совершенствования существующих и разработки новых математических моделей совместной динамики ценовых показателей акций. В п. 3.3 предложена математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов, в которой корреляционные связи описаны в виде стохастических разностных уравнений, имеющая следующий вид:

Ки =°п+611еи-1 + с1Ли-1»

Ьц/ = а17 + Ьг1е2,1-\ + >

Ьг,! . (8)

¿-Г*-.

А = °12 + Ь12еи-\€г>-\ + с\гР,-\ -Показано, что в отличие от известных многомерных авторегрессионных моделей с условной гетероскедастичностью, предложенная в диссертации модель позволяет адекватно описать статистическое свойство нестационарности динамики условной корреляции между стоимостными показателями ценных бумаг в периоды высокой волатильности. Кроме того, структура параметризации разработанной модели позволила нам построить эффективный вычислительный алгоритм оценивания параметров. Проведена верификация предложенной модели на симулированных данных (рис. 4).

Рис. 4. Верификация математической модели с условной корреляцией авторегрессионного -rana на симулированных (сверху) и реальных (снизу) данных.

В п. 3.4 приведен обзор методов тестирования и верификации как одномерных, так и многомерных математических моделей динамики цеповых показателей финансовых активов.

Глава 4 посвящена проблемам количественного оценивания рисков инвестирования на фондовых рьшках с высокой волатияьностью. В я. 4.1 приведен обзор классических методов оценивания рискованности инвестирования в финансовые активы: метод исторического моделирования, группа методов имитационного моделирования, часто именуемый по основной применяемой в его рамках модели методом Монте-Карло, ШвктейсБ, стресс-тестирование. В п. 4.2 описан метод параметрической оценки рискованности портфельного инвестирования, наиболее распространенный в форме вариационно-ковариационной модели. В п. 4.3 проведены вычислительные эксперименты по оцениванию рискованности инвестирования с использованием данных ценовых показателей международных фондовых рынков, как с помощью классических моделей, так и с помощью предложенных в диссертации моделей. При этом было показана необходимость использования в качестве распределения инноваций процесса скошенного распределения Стьюдента для повышения точности оценивания.

Проведены вычислительные эксперименты по оцениванию рисков инвестирования в акции с высокой волатильностью по методологии УаЯ с использованием пороговой модели и предложенной в диссертации модели смеси распределений экстремальных величин (см. таблицу 1). Нами использовались данные индекса Ш1А 01.01.1953 -10.08.2008 г.

Таблица 1. Оценки рисков инвестирования по методологии УаЯ для различных уровней значимости. В скобках указаны среднеквадратичные отклонения оценок.

9 0.95 0.99 0.999 0.9999 0.99999

УаЯд (пороговый метод) 2.9374 (6.5416) 3.7227 (3.5226) 5.8668 (0.4732) 10.3917 (9.1239) 19.9408 (51.2386)

УаЯд (смешанная модель) 2.14 (0.371) 4.169 (0.463) 9.1497 (0.514) 17.9757 (1.196) 33.6357 (3.457)

Анализ таблицы 1 показал более высокую точность оценок рисков инвестирования, полученных при помощи предложенной в диссертации модели в виде смеси распределений из класса правильно меняющихся на хвосте функций, поскольку в случае

ее использования обеспечивается меньшее значение среднеквадратичного отклонения оценок5.

В п. 4.4 проведены вычислительные эксперименты по моделированию динамики ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильносгью с использованием модели с условной корреляцией авторегрессионного типа и проведен сравнительный анализ с результатами моделирования при помощи ВЕКК-модели, показавший более высокую точность предложенной модели. В п. 4.5 предложен алгоритм получения прогноза значения VaR с использованием авторегрессионной модели с условной гетероскедастичностъю и с его помощью проведены вычислительные эксперименты по получению прогноза оценок рискованности инвестирования по методологии Value at Risk (рис. 5).

Рис. 5. Оценки рисков портфельного инвестирования по методологии УаЯ.

В п. 4.6 описана методика Базельского комитета оценивания точности УаЯ и проведен ее анализ. В п. 4.7описан предложенный в диссертации новый метод верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью, включающий в себя проверку доли превышений величины УаК ожидаемой и анализ случайности их размещения (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация методики верификации оценок рискованности инвестирования.

° Крянев A.B., Лукин Г.В., Математические методы обработки неопределенных данр:ьгх. -2-е изд., исгтр М..ФИЗМА ТЛИТ, 2006.

С использованием предложенного метода было проведено сравнение оценок рискованности портфельного инвестирования по методологии VaR, полученных с использованием моделей ВЕКК и .предложенной в диссертации математической модели совместной динамики цеповых показателей финансовых активов (8) (см. таблицу 2). Ожидаемое число превышений для уровней значимости 0.99 и 0.95 составляет 42 и 212 соответственно.

Таблица 2. Число превышений для моделей ВЕКК и модели (8) с использованием различных распределений инноваций.

Распределение N и 'б h '20

Уровень знач. 0.95 0.99 0.95 0.99 0.95 0.99 0.95 0.99 0.95 0.99

Модель (8) 215 72 188 29 215 39 225 46 215 63

ВЕКК 215 71

Анализ таблицы 2 позволяет сделать вывод, что использование предложенной в диссертации модели со скошенным распределением Стьюдента с 6 степенями свободы в качестве распределения процесса инноваций позволяет более точно оценить рискованность инвестирования по методологии КаД, чем модель ВЕКК для рассматриваемых данных.

В Главе 5 описаны вычислительные алгоритмы оценивания показателей стоимости акций на фондовом рынке с высокой волатильпостыо. В п. 5.1. приведено описание вычислительного алгоритма оценивания параметров модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, описанной в п. 2.3. Там же описаны методы оценивания качества приближения эмпирической функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций моделью обобщенного распределения Парето и методы построения доверительных интервалов для значений параметров и квантилей обобщенного распределения Парето. В п. 5.2 списан вычислительный алгоритм имитационного моделирования случайных величин, имеющих распределение в виде смеси распределений экстремальных величин. В п. 5.3 приведены вычислительные алгоритмы оценивания совместной функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций моделирования структур статистических зависимостей и оценивания их параметров. В п. 5.4 описано многомерное скошенное распределение Стьюдента, а также алгоритмы имитационного моделирования случайных векторов, имеющих скошенное нормальное распределение и скошенное /-распределение.

В Заключении перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

1. В диссертационной работе развивается научное направление, связанное с разработкой математических моделей, вычислительных алгоритмов, комплексов программ и методов количественного анализа финансовых рынков с высокой волатильностью, а также количественного оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

2. Результаты исследований современных фондовых рынков (американский фондовый рынок, ряд европейских фондовых рынков, российский фондовый рынок) подтвердили наличие статистических свойств их ценовых показателей описанных ранее другими авторами. Кроме того, было обнаружено новое эмпирическое свойство показателей стоимости акций - нестационарность динамики эмпирической условной корреляции между ними в периоды высокой волатильности.

3. В диссертации построены следующие математические модели показателей стоимости акций фондового рынка:

3.1 математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

3.2 математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов. Благодаря использованию для описания структуры статистической зависимости между ценовыми показателями функции зависимости Пикандса, предложенная модель позволяет адекватно учесть влияние рискованности одного актива на другой, и тем самым получить белее точную оценку рискованности инвестирования в них по сравнению с другими структурами статистической зависимости;

3.3 математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов. Данная математическая модель позволяет адекватно учесть эмпирическое свойство нсстационарности динамики условной корреляции между ценовыми показателями, и тем самым получить белее точную оценку рискованности портфельного инвестирования с использованием вариационно-ковариационного принципа.

4. Разработаны следующие математические методы количественного анализа показателей стоимости акций фондового рынка:

4.1 метод оценивания рисков по методологии Value at Risk, позволяющий с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. Метод основан на применении разработанной в диссертации модели смеси распределений из класса правильно меняющихся на хвосте функций;

4.2 метод верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностыо, позволяющий произвести выбор математической модели ценовых показателей акций, наиболее адекватно описывающую их статистические свойства.

5. Для решения поставленных задач в диссертации разработана соответствующая совокупность вычислительных алгоритмов. Она включает:

- вычислительные алгоритмы моделирования и оценивания параметров функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы оценивания параметров совместных функций распределения показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы оценивания параметров математической модели совместной динамики ценовых показателей акций;

- вычислительный алгоритм оценивапия рисков инвестирования в портфель акций;

- алгоритм расчета рискового капитала инвестиционного портфеля акций с учетом динамики их корреляционных связей;

- вычислительный алгоритм верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностыо.

6. С использованием разработанных математических моделей, методов и вычислительных алгоритмов, а также созданных на их основе программ, были проведены вычислительные эксперименты по количественному оцениванию рисков инвестирования иа фондовых рынках в периоды их высокой волатильности. Проведенная верификация полученных оценок показала их более высокую точность по сравнению с оценками, полученными с использованием известных ранее математических моделей.

Результаты расчетов на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов. Комплексы программ, представляющих интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ кафедры «Прикладная Математика» ГОУ ВПО МГТУ "СТАНКИН".

Основные положения диссертации опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Щетинил Е.Ю., Назаренко К..М., Парамонов A.B., Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий, Вестник ННГУ, Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2(29), 2004, с. 262-269.

2. Назаренко K.M., О методе оценки рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностъю, Аудит и финансовый анализ Х«5,2007, ООО «ДСМ Пресс», с. 292-301.

3. Назаренко K.M., О новом методе моделирования многомерных экстремальных величин на основе порогового подхода, Вестник Российского Университета Дружбы Народов №2,2008, серия «Математика Информатика Физика», издательство РУДН.

4. Назаренко К. М., О новой модели условной гетероскедастичности с корреляцией авторегрессионного типа, Вестник Российского Университета Дружбы Народов №4, 2008, серия «Математика Информатика Физика», издательство РУДН.

В трудах научных конференций

5. Eu. Yu. Shchetinin., K.M. Nazarenko., «Extreme quantile estimation for heavy-tailed distributions», Proc. of 10-th Int Conf. "Mathematics, Computer, Education", Pushino, Russia, 20-26 January 2003, p.181.

6. Назаренко K.M. «О вычислении квантилей функций распределения экстремальных величин», VI-ая научная конференция МГТУ «СТАНКИН» и Учебно-Научного центра Математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» - ИММ РАН. Программа, Сборник докладов. Москва, нзд. Янус-K ИД ГОУ МГТУ СТАНКИН 2003 г.

7. Назаренко K.M., Щетинин Е.Ю. «Предельные функции распределения экстремальных величин» Сборник Трудов Всероссийской Научно-Практической Конференции Информационные Модели Экономики. Москва МГАПИ 2003 г.

8. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Парамонов A.B., Оценивание значений VaR портфеля фондовых индексов с использованием архимедовых копул. 7-ая научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН, 2004.

9. Коновалов К.А., Назаренко K.M., Щетинин Е.Ю. «Алгоритмы генерирования многомерных случайных величин», VII-ая научная конференция МГТУ «СТАНКИН» и Учебно-Научного центра Математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» -ИММ РАН. Программа, Сборник докладов. Москва, изд. Янус-K ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН 2004 г.

10. Назаренко K.M., Панарин A.A., Щетинин Е.Ю. «Об одной пороговой модели функции распределения многомерных экстремальных случайных величин», VII-ая научная конференция МГТУ «СТАНКИН» и Учебно-Научного центра Математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» - ИММ РАН. Программа, Сборник докладов. Москва, изд. Янус-K ИЦ ГОУ МГТУ СТАНКИН 2004 г.

11. Shchetinin Eu.Yu., Nazarenko K.M., Paramonov A.V., Analysis of statistical dependence structures on financial markets during crisis periods. Моделирование и Анализ безопасности и риска в сложных системах: Труды Международной научной школы МАБР 2005. Санкт-Петербург, 28 июня -1 июля 2005 г. ГОУ ВПО "СпбГУАП", с.282-286.

12. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Парамонов A.B., «О некоторых статистических свойствах поведения финансовых рынков в кризисных состояниях», Конфереиция: Математика. Компьютер. Образование. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. Сборник научных трудов. Выпуск 12.2005 г.

13. Назаренко K.M., О статистических свойствах обобщенных скошенных эллиптических распределений ! Vll-я паучная конференция МГТУ «Стащат» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН»: Сборник докладов.Я1од редакцией O.A. Казакова - М.: «ЯНУС-K», ИЦ ГОУ МГТУ «Станкин», 2005.

14. Назаренко K.M., Егоров Н.В., «Эконометрические модели стохастической динамики финансовых рынков с высокой волатильностью», 10-я Научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: Янус-K, ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2007.

15. Назаренко K.M., «О новом подходе к моделированию экстремальных величин», 10-я Научная конференция МГТУ СТАНКИН и ИММ РАН. Сборник докладов. М.: Яяус-К, ИЦ МГТУ СТАНКИН, 2007.

16. Щетинил Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Препринт ОИЯИ PI 1-2003-248, Изд-воОШШ, Дубна, 2003.

17. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. Сб. научных трудов МГТУ СТАНКИН, М.: МГТУ СТАНКИН, 2004, вьш.7, с. 34-46.

18. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Парамонов A.B., «Методы моделирования экстремальных зависимостей на финансовых рынках в кризисных состояниях», Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сборник научных трудов/ Под редакцией JLA. Уваровой. -М.: Издательство «Янус-К», 2005.

Подписано в печать:

16.02.2009

Заказ № 1569 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ КОЛИЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА РИСКОВ ИНВЕСТИРОВАНИЯ В ФИНАНСОВЫЕ АКТИВЫ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ.

1.1. Эмпирические свойства показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности.

1.2. Проблемы моделирования экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности.

1.3. Проблемы моделирования совместной динамики показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности.

1.4. Проблемы верификации оценок рисков инвестирования в условиях высокой волатильности 37 Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОИМОСТИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ.

2.1. Предельные функции распределения экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов.

2.2. Метод максимумов блоков выборки.

2.3. Пороговый метод моделирования экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов.

2.3.1. Полу параметрический подход.

2.3.2. Параметрический подход.

2.4. Метод моделирования экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с использованием смеси распределений.

2.5. Пороговая модель совместных функций распределения показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности.

2.5.1. Двухмерные обобщенные распределения Парето.

2.5.2. Вычислительные эксперименты.

Выводы к Главе 2.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОИМОСТИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ.

3.1. Одномерные математические модели динамики показателей стоимости финансовых активов

3.1.1. Линейные модели.

3.1.2. Стационарные авторегрессионные модели скользящей средней (ARMA).

3.1.3. Математические модели с условной гетероскедастичностью.

3.1.4. Нелинейные GARCHмодели: EGARCH, APARCHu TARCH.

3.1.5. Асимметричные GARCHмодели: VS-GARCH, GJR-GARCH и Q-GARCH.

3.2. Многомерные математические модели совместной динамики показателей стоимости финансовых активов в условиях высокой волатильности.

3.2.1. Обоби/ение GARCH-модели на многомерный случай.:.

3.2.2. VECH-Модель.

3.2.3. ВЕКК-модель.

3.2.4. Модели с динамической корреляцией.

3.2.5. Модель с постоянной корреляцией.".

3.3. Математическая модель совместной динамики показателей стоимости акций в условиях высокой волатильности с условной корреляцией авторегрессионного типа.

3.3.1. Оценивание параметров.

3.3.2. Верификация модели условной гетероскедастичности с условной корреляцией авторегрессионного типа на симулированных данных.

3.4. Методы выбора и тестирования математических моделей динамики ценовых показателей финансовых активов.

3.4.1. Выбор и тестирование одномерных математических моделей динамики ценовых показателей финансовых активов.

3.4.2. Выбор и тестирование многомерных математических моделей динамики if еновых показателей финансовых активов.

Выводы к главе 3.'.

ГЛАВА 4. КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ РИСКОВ ИНВЕСТИРОВАНИЯ НА ФОНДОВЫХ РЫНКАХ С ВЫСОКОЙ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ.

4.1. Оценивание рисков инвестирования в один актив.

4.1.1. Историческое моделирование.

4.1.2. Метод статистических испытаний Монте-Карло.

4.1.3. Фильтрованное историческое моделирование.

4.1.4. Riskmetrics.

4.1.5. Стресс-тестинг.

4.2. Вариационно-ковариационный метод расчета рисковой стоимости портфеля.

4.3. Использование предложенных моделей для оценивания рисковой стоимости.

4.3.1. Описательная статистика исследуемых данных.

4.3.2. Использование пороговой модели распределения экстремальных значений показателей стоимости акций для оценивания рискованности инвестирования.

4.3.3. Вычисление размеров рискового капитала инвестиционной компании с использованием модели смеси экстремальных величин.

4.3.4. Использование метода блоков выборки для стресс-тестинга.

4.3.5. Применение одномерных GARCHмоделей волатильности к эмпирическим данным.

4.4. Моделирование совместной динамики ценовых показателей.

4.4.1. Применение модели с условной корреляг/ией авторегрессионного типа.

4.4.2. Сравнительный анализ модели условной гетероскедастичности с корреляцией авторегрессионного типа и модели ВЕКК.

4.5. Прогнозирование VaR.

4.6. Методика Блзельского комитета оценивания точности оценок УаЯ.

4.7. Модифицированная методика верификации оценок рискованности.

4.7.1. Верификация рисков портфельного инвестирования.

Выводы к главе 4.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

5.1 Вычислительные алгоритмы оценивания функции распределения надпороговых значений показателей стоимости финансовых активов.

5.1.1. Статистическое оценивание параметров обобщенного распределения Парето.

5.1.2. Оценивание качества приближения эмпирической функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций моделью обобгценного распределения Парето.

5.1.3. Методы построения доверительных интервалов для параметров модели функции распределения надпороговых значений.

5.1.4. Методы построения доверительных интервалов для квантилей функции распределения надпороговых значений.

5.2. Алгоритм генерирования вероятностных смесей.

5.3. Вычислительные алгоритмы оценивания совместной функции распределения экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов.

5.3.1. Процедура выбора порогов цензурирования данных.

5.3.2. Оценивание параметров двумерного обобщенного распределения Парето.

5.4. Скошенное £ -распределение.

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию актуальных научных проблем, связанных с оцениванием рискованности инвестирования в финансовые активы, показатели стоимости которых характеризуются высокой волатильностью. Базельским комитетом по регулированию банковской деятельности отмечается, что одной из актуальных и значимых задач управления рисками является корректное оценивание рисков убытков от проводимых финансовым институтом операций, неизбежно возникающих в его деятельности1. Для оценки рискованности инвестирования общепринята концепция Value at Risk (VaR) (Стоимость под Риском) в основе которой лежит вычисление квантили функции распределения ценовых показателей финансовых активов компании:

VaR (q) = inf (х е К, Fx (x) >q) = xq.

В качестве модели функции распределения ценовых показателей используются различные математические модели, наиболее часто используемой из которых является нормальное распределение.

Однако, в условиях высокой волатильности законы распределения ценовых показателей финансовых активов существенно отличаются от нормального, в частности являются тяжелохвостыми и, как правило, асимметричными. Использование

1 Basel Committee on Banking Supervision. (1995a). An Internal Model-Based Approach to Market Risk Capital Requirements. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland. 6 некорректной модели функции распределения ценовых показателей финансовых активов приводит к недооценке инвестирования в эти активы, а также росту рисков значительных убытков от некорректного формирования видов вложения капитала и выбора ценных бумаг для инвестирования.

В последнее десятилетие появилось значительное число научных работ, в которых в основу моделей функции распределения показателей стоимости финансовых активов положены предельные распределения экстремальных величин. Среди методов моделирования экстремальных величин наиболее известными являются метод максимумов блоков выборки2 и пороговый метод3. С точки зрения их практического применения для решения задачи количественного оценивания финансовых рисков эти методы обладают рядом недостатков, связанных, в частности, с выбором оптимального числа блоков и порогового значения соотвественно. Следовательно, актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей функций распределения экстремальных значений показателей стоимости финансовых активов.

Задача оценивания рисков портфельного инвестирования существенно сложнее. Параметрический подход к решению задачи оценивания рискованности портфельного инвестирования в активы с высокой волатильностью требует построения модели совместного распределения их стоимостных показателей. Ввиду того, что структура статистической зависимости ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью лежит в области притяжения статистических структур зависимости экстремальных величин4, актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка новых математических моделей совместных функций распределения многомерных экстремальных величин.

Исследования стохастических свойств совместной динамики финансовых активов, как правило, обнаруживают изменения структуры статистических связей между ними во времени. Выбор модели совместной динамики ценовых показателей акций существенным образом влияет на количественные оценки рисков инвестирования. Существующие модели не всегда позволяют адекватно оценить динамику корреляционных связей между ценовыми показателями финансовых активов в периоды высокой волатильности. Поэтому актуальной научной проблемой является совершенствование существующих и разработка

2 Resnick, S.I. (1987).

3 Davison, А. С. and R. L. Smith (1990).

4 Щетинин Е.Ю. Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Тверь 2006 г. новых моделей совместной динамики стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью.

Использование математических моделей ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью, не позволяющих адекватно описать их эмпирические свойства, приводит к некорректному оцениванию рисков инвестирования в них. Так, в случае недооценивания рисков инвестирования финансовая компания может понести невосполнимые убытки, в то время как переоценивание рисков инвестирования влечет за собой упущенную выгоду. Используемая для проверки адекватности оценок рисков инвестирования методика «светофора»5 не позволяет отклонить модели, переоценивающие рискованность инвестирования, а также модели, допускающие систематические ошибки в оценках рискованности инвестирования. Таким образом, актуальной научной проблемой диссертационного исследования является разработка новых методов верификации математических моделей стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью, применяемых для количественного оценивания рискованности инвестирования в них.

Изложенные выше научные проблемы сформулировали следующую цель диссертации.

Целью настоящей работы является совершенствование существующих и построение новых математических моделей стоимостных показателей финансовых активов с высокой волатильностью, а также разработка математических методов оценивания рискованности инвестирования в такие активы с использованием методологии УаЯ.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1) разработка новой математической модели функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

2) разработка новой математической модели совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов;

3) разработка новой математической модели ценовых показателей финансовых активов, учитывающей динамику их корреляционных связей;

4) разработка новых математических методов оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью;

5 Supervisory Framework for the Use of «Backtesting» in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements. Bank for International Settlements - Basle Committee. 1996. January.

5) разработка математических методов верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются показатели финансовых рынков и характеристики рисков осуществляемой на этих рынках деятельности. Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы оценивания финансовых рисков. Наибольший вклад в развитой исследований данной предметной области внесли такие известные зарубежные ученые как П. Эмбрехтс, С.И. Резник, JI. де Хаан, Дж. Пикандс, Я. Галамбош, а также отечественные математики Б.В. Гнеденко, A.B. Крянев, А.Н. Ширяев, Е.Ю. Щетинин и др. На защиту выносятся следующие результаты:

1) математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

2) математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов;

3) математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов, в которой корреляционные связи описаны в виде стохастических разностных уравнений;

4) метод количественного оценивания инвестиционных рисков финансовых активов с высокой волатильностью компании на основе модели смеси функций распределения экстремальных величин;

5) метод верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью;

Научная новизна результатов диссертации состоит:

1) для моделирования распределений экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов впервые предложено использовать смесь распределений из класса правильно меняющихся на хвосте функций;

2) впервые математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов реализована в виде двухмерного обобщенного распределения Парето;

3) отличительной особенностью предложенной модели совместной динамики ценовых показателей является описание динамики их вариаций и значений корреляции между ними при помощи отдельных стохастических разностных уравнений;

4) впервые оценивание рисков инвестирования по методологии VaR предложено производить на основе модели смеси функций распределения из класса правильно меняющихся функций;

5) предложена модифицированная методика верификации оценок рискованности, представляющая собой статистическую процедуру проверки адекватности используемой математической модели ценовых показателей финансовых активов.

Практическая значимость:

Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1) оценивания параметров математической модели функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций на фондовом рынке, оценивания квантилей высокого порядка эмпирической функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций, а также расчетов доверительных интервалов для них. Выражения для показателей рисков Value at Risk, Expected Shortfall с использованием оценок квантилей модели функции распределения экстремальных значений стоимости акций позволяют с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции на фондовых рынках с высокой волатильностью;

2) моделирования распределения многомерных экстремальных величин и расчета их вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков);

3) оценивания рисков портфельного инвестирования в акции на фондовом рынке. Использование модели динамики показателей с условной корреляцией авторегрессионного типа позволяет учесть ее нестационарный характер, что может быть использовано для повышения точности краткосрочного прогнозирования значений Value at Risk в условиях высокой волатильности;

4) оценивания величины рискового капитала инвестиционной компании по методологии Value at Risk;

5) верификации оценок рискованности инвестирования по методологии Value at Risk, позволяющей осуществить выбор математической модели, наиболее адекватно описывающей статистические свойства стоимостных показателей финансовых активов для получения достоверных оценок риска, по сравнению с другими моделями.

Результаты диссертации используются в курсе лекций по дисциплине «Стохастический анализ» в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Апробация работы:

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики проф. JI.A. Уваровой (МГТУ СТАНКИН 2002-2008 г.г.), на Международной конференции "Наука. Компьютер. Образование", г. Пущино 2003 г., 2005г., 2007 г., Дубна 2002 г., 2004 г., 2006 г., 2008 г. VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н.Новгород, 2004 г.), научных семинарах кафедры «Систем Телекоммуникаций» РУДН 2005-2008 г.г., научных семинарах отдела информационных технологий Вычислительного Центра РАН им. А. А. Дородницына 2006 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, в числе которых 4 публикации в журналах, рекомендованных ВАК, 14 — в трудах Всероссийских и Международных конференций. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 212 страниц. Диссертация содержит 62 рисунка, 30 таблиц, список литературы из 124 наименований. Краткое содержание диссертации

Выводы к главе 4

В главе 4 изучены вопросы, связанные с количественным оцениванием рисков инвестирования. Рассмотрены классические методы количественного оценивания рисков инвестирования и проведен их сравнительный анализ.

Проведены вычислительные эксперименты, по оцениванию рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностыо для данных шести важных мировых фондовых индексов. Анализ результатов, которых показал, что предложенная в диссертации модель смеси распределений экстремальных величин обеспечивает большую точность оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

С использованием моделей семейства ОАЯСН проведено количественное исследование основных эмпирических свойств финансовых временных рядов, выполнено моделирование волатильности рассматриваемых данных, в результате которых была показана необходимость использования асимметричных лептокуртических законов распределения в качестве распределений процессов инноваций моделей для повышения точности оценивания рисков инвестирования.

Проведены вычислительные эксперименты по оцениванию совместной динамики ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью и оцениванию рисков портфельного инвестирования с использованием предложенной модели. При этом в качестве метода количественного оценивания рисков был выбран вариационно-ковариационный принцип. Сравнительный анализ результатов эксперимента показал большую точность описания динамики процесса условной корреляции по сравнению с моделью ВЕКК.

Отдельное внимание было уделено проблеме верификации математических моделей рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью. Для оценки точности получаемых оценок рискованности инвестирования был разработан новый метод верификации рисков инвестирования. Отличительной особенностью, которого является проверка статистических гипотез о соответствии частоты ошибок тестируемой модели ожидаемой и случайности их размещения. Предложенная в диссертации методика позволяет осуществить выбор наиболее адекватной математической модели финансовых активов с высокой волатильностью.

Глава 5. Математические методы и вычислительные алгоритмы оценивания экстремальных значений показателей финансовых рынков- --

5.1 Вычислительные алгоритмы оценивания функции распределения надпороговых значений показателей стоимости финансовых активов

5.1.1. Статистическое оценивание параметров обобщенного распределения Парето

При оценке параметров функции (х) нами был использован метод максимального правдоподобия. Запишем функцию обобщенного распределения Парето:

1+ х

5.1)

Дифференцируя по х, получаем функцию плотности распределения, имеющую следующий вид:

1 +

1 *

С £ \ 1 + ^

Пусть — выборка имеет закон распределения С^р(х) и пусть х^ - порядковая статистика. Запишем вероятность реализации выборки: N

П g(Z,P,x¡)->max, /=1 и прологарифмируем ее, переходя к функции логарифмического правдоподобия: 1 N 1 N I 1 N

1 + р 1 Р ,

->шах.

Производя дальнейшие преобразования, получаем следующее выражение:

N N ( 1 / е

-т

1 ,=\\ ъ \ Р Р у У шах.

Таким образом, функция максимального логарифмического правдоподобия определяется следующими соотношениями:

-AHogö-f;^, 4 = 0. N

Пример графика функции логарифмического правдоподобия (с обратным знаком) изображен на рис. 5.1.

В работе А. Девисона, Р.Смита [115] показано, что в случае £>-1/2, при соблюдении условий непрерывности функции правдоподобия, оценки максимального правдоподобия асимптотически нормальны и асимптотически эффективны. Случай -1<£<-0.5 Смит определил как неустойчивый, в котором изменяется сходимость оценок максимального правдоподобия. Для при вероятность того, что функция максимального правдоподобия не имеет локального максимума стремиться к !.

Рис. 5.1. График функции максимального логарифмического правдоподобия (с обратным знаком), построенный с использованием данных приращений фондового индекса NASDAQ, 521 эксцесс за порогом и = 0.016 . Минимум достигается в точке 4 = 0.0759 , ß = 0.0109.

Рассмотрим следующие три возможных случая:

1. Известен параметр формы (4), но неизвестен параметр масштаба (ß).

2. Параметр формы неизвестен, но параметр масштаба (ß) известен.

3. Оба параметра неизвестны.

Третий случай наиболее часто встречается в практике.[115, 116].

Случай 1. (4 известно, ß неизвестно). Для этого случая мы получаем следующее утверждение.

О 0.006

Лемма 5.1. Для любого известного £>-1, оценка максимального правдоподобия для параметра /7 существует и единственна [115].

Доказательство. В случае % = 0 (экспоненциальное распределение), результат известен. Пусть £ ^ 0, тогда /?, оценка максимального правдоподобия для параметра (3, будет решением уравнения = о, которое может быть упрощено до Ц (/3) = 0, где д/3

V /=1

То, что d2L(g,ß)jd2ß, при ß = ß меньше нуля т.к.

1=1 говорит о том, что функция правдоподобия принимает максимальное значение. Кроме того, функция Z, (/?) является возрастающей, т.к. дь {ß)/dß = (1+4)fdxil(ßHxif > о i=i и может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но пересекает ось абсцисс только в одной точке. Следовательно, оценка единственна.

Случай 2 (ß известно, % неизвестно). В этой ситуации оценка максимального правдоподобия для параметра £ может и не существовать. Чтобы показать это, рассмотрим функцию правдоподобия L(ß,ß) для -ßjx^ <£<со. Так как параметр ß известен, функция правдоподобия будет представлять собой функцию одной переменной Z(df). Выберем = -ßjx(N), тогда: lim L(^) = -со, lim L(£) = -со, если ¿* <1 и lim Z(£) = +co, если >1. tz"

Следовательно, в случае с, < 1 функция правдоподобия имеет хотя бы один максимум. Для фиксированного размера выборки N получаем, что локальный максимум может отсутствовать.

Случай 3 (оба параметра неизвестны). Как и в случае 2 оценки максимального правдоподобия могут и не существовать. Дифференцируя по % и ¡3, получаем следующую систему: N N т-Е N I

X; 3

N „ о 1 N 0

1+2-х,

1 м V +—У—5г— = 0

Данная нелинейная система может быть решена только численно. Ее, тем не менее, можно свести к уравнению одной переменной, для чего, умножая второе уравнение на р и складывая оба уравнения, получим:

1 м

2У (=1 V

1+-2-ЛГ,

Р '

N 1 N

Из последнего выражения получим — = выражение в первое уравнение системы: после преобразований которого, получаем:

ЙЧ'-Я^Н»;

1 + —Х

Р >

Подставим полученное

Р ' м \ Р ) Р ,=11+5-х

Р ' подставляем выражение для £:

Г I Р ) Р,

1 +—х, Р N

Теперь, если обозначить г} = р, можно получить следующее уравнение: N N

1 1-7 у. Х>

N ^1+щ, с одной неизвестной г}, решая которое методом дихотомии, можно найти £ и Р по следующим формулам:

1 м м" V где 4 > Р - оценки параметров обобщенного распределения Парето, полученные методом максимального правдоподобия.

Для функций из класса распределений Фреше оценки %, р являются асимптотически нормально распределенными. В работе Р. Смита [117] доказано, что

ЛПГ(1+#)2 р(1+4) fz л N где Nu - количество значений, превышающих порог и.

5.1.2. Оценивание качества приближения эмпирической функции распределения надпороговых значений показателей стоимости акций моделью обобщенного распределения Парето

В этом параграфе для оценивания качества приближения мы используем критерии

Колмогорова-Смирнова и хи-квадрат (%г), а также критерии согласия Крамера-фон

2 2 Мизеса (статистика W ), Андерсона-Дарлинга (статистика А ). Нуль-гипотеза Hq состоит в том, что выборка подчиняется закону распределения (5.2). Рассмотрим

9 2 более подробно статистики W и А .

В случае, когда нам известны оба параметра 4 и ß, преобразование zl = G^ß (х() производит выборку z которая будет равномерно распределена на отрезке [0;1] согласно гипотезе Н0. Существует множество тестов на равномерность распределения, включая тест Крамера-фон Мизеса [118], [119], так, что мы не будем далее касаться этого случая. В более общих случаях 1, 2 и 3, когда какой-либо один или оба параметра требуют оценки, алгоритм проверки на качество приближения выглядит следующим образом:

1. Оценить неизвестные параметры, как описано ранее, и провести преобразование z^ =G^ ß j, для i = 1используя оценки параметров, где это необходимо. 2

2. Вычислить статистики W и А~ по следующим формулам: и

А2 =-"-(l/")S(2/-l)[ln{z(i)} + ln{l-z(„+10}].

1=1

Заключение

В диссертации получены следующие результаты.

1. В диссертационной работе развивается научное направление, связанное с разработкой математических моделей, вычислительных алгоритмов, комплексов программ и методов количественного анализа финансовых рынков с высокой волатильностью, а также количественного оценивания рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

2. Результаты исследований современных фондовых рынков (американский фондовый рынок, ряд европейсюгх фондовых рынков, российский фондовый рынок) подтвердили наличие статистических свойств их ценовых показателей описанных ранее другими авторами. Кроме того, было обнаружено новое эмпирическое свойство показателей стоимости акций - нестационарность динамики эмпирической условной корреляции между ними в периоды высокой волатильности.

3. В диссертации построены следующие математические модели показателей стоимости акций фондового рынка:

3.1 математическая модель функций распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов с высокой волатильностью;

3.2 математическая модель совместной функции распределения экстремальных значений ценовых показателей финансовых активов. Благодаря использованию для описания структуры статистической зависимости между ценовыми показателями функции зависимости Пикандса, предложенная модель позволяет адекватно учесть влияние рискованности одного актива на другой, и тем самым получить белее точную оценку рискованности инвестирования в них по сравнению с другими структурами статистической зависимости;

3.3 математическая модель совместной динамики ценовых показателей финансовых активов. Данная математическая модель позволяет адекватно учесть эмпирическое свойство нестационарности динамики условной корреляции между ценовыми показателями, и тем самым получить белее точную оценку рискованности портфельного инвестирования с использованием вариационно-ковариационного принципа.

4. Разработаны следующие математические методы количественного анализа показателей стоимости акций фондового рынка:

4.1 метод оценивания рисков по методологии Value at Risk, позволяющий с высокой точностью оценивать риски инвестирования в акции фондовых рынков с высокой волатильностью. Метод основан на применении разработанной в диссертации модели смеси распределений из класса правильно меняющихся на хвосте функций;

4.2 метод верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью, позволяющий произвести выбор математической модели ценовых показателей акций, наиболее адекватно описывающую их статистические свойства.

5. Для решения поставленных задач в диссертации разработана соответствующая совокупность вычислительных алгоритмов. Она включает:

- вычислительные алгоритмы моделирования и оценивания параметров функции распределения экстремальных значений показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы оценивания параметров совместных функций распределения показателей стоимости акций;

- вычислительные алгоритмы оценивания параметров математической модели совместной динамики ценовых показателей акций;

- вычислительный алгоритм оценивания рисков инвестирования в портфель акций;

- алгоритм расчета рискового капитала инвестиционного портфеля акций с учетом динамики их корреляционных связей;

- вычислительный алгоритм верификации оценок рискованности инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью.

6. С использованием разработанных математических моделей, методов и вычислительных алгоритмов, а также созданных на их основе программ, были проведены вычислительные эксперименты по количественному оцениванию рисков инвестирования на фондовых рынках в периоды их высокой волатильности. Проведенная верификация полученных оценок показала их более высокую точность по сравнению с оценками, полученными с использованием известных ранее математических моделей.

Результаты расчетов на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов. Комплексы программ, представляющих интерес для широкого круга пользователей, переданы в библиотеку вычислительных алгоритмов и программ кафедры «Прикладная Математика» ГОУ ВПО МГТУ "СТАНКИН".

1. А.Н. Ширяев, Основы стохастической финансовой математики, том 2, Теория, М.: ФАЗИС, 1998.

2. International conference of capital measurement and capital standards. Basle Committee on Banking Supervision. July 1988, updated to April 1998.

3. Basel Committee on Banking Supervision. (1995a). An Internal Model-Based Approach to Market Risk Capital Requirements. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland.

4. B.O. Bradley, M.S. Taqqu, Financial risk and heavy tails, Department of Mathematics and Statistics, Boston University, 2001.

5. Щетинин Е.Ю. Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Тверь 2006 г.

6. J. Danielsson and С. de Vries, Value at risk and extreme returns, P. Embrechts, editor, Extremes and Integrated Risk Management, p. 85-106. Risk Books, 2000.

7. P. Embrechts, S.I. Resnick, Samorodnitsky, Extreme value theory as a risk management tool, North American Actuarial Journal, 3, p. 30-41,1999.

8. B.O. Bradley, M.S. Taqqu, Financial risk and heavy tails, Department of Mathematics and Statistics, Boston University, 2001.

9. Ю.Щетинин E. Ю., Назаренко К. M., Парамонов А. В., Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий, Вестник ННГУ, Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2(29), 2004, стр. 56-63.

10. P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, How relevant is volatility forecasting for financial risk management? Review of Economics and Statistics 82: p.l-l 1,2000.

11. S. Resnick, Extreme values, regular variation and point processes, Springer, Berlin, 1987.

12. J. Galambos, The Asymptotic theory of extreme order statistics, John Wiley and Sons Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

13. B.V. Gnedenko, Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire.-Ann. Math., 1943, v. 44, 423-453.

14. R.L. Smith, Extreme value theory, in Handbook of Applicable Mathematics (Vol. 7), ed. W. Ledermann, Chichester, U.K.: Willey, 1990.

15. L. de Haan, "On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes" , Tracts , 32 , Math. Centre , Amsterdam (1970).

16. H. Joe, Multivariate models and dependence concepts, Chapman and Hall, London, 1997.

17. М. Longin, Stress Testing: a Method based on Extreme Value Theorie, Research paper prepared for The Third Annual BSI GAMMA Foundation Conference on global asset management, managing market risks and new measures and practices, 1999.

18. A. McNeil and T. Saladin. The peaks over threshold method for estimating high quantiles of loss distributions. In Proceedings of the 28th International ASTIN Colloquium, 1997.

19. Щетинин Е.Ю., Назаренко K.M., Математические модели и методы оценивания функций распределения экстремальных величин. Препринт ОИЯИ Р11-2003-248, Изд-во ОИЯИ, Дубна, 2003.

20. Н. Drees, L. De Haan, S. Resnick, How to make a Hill plot, The Annals of Statistics, 28(1), p. 254-274, 2000.

21. S. Resnick, C. Starica, Smoothing the Hill estimator, Advances in Applied Probability, 29, 1997.

22. Haan, L. de and Resnick, S.I. (1977) Limit theory for multivariate sample extremes. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie v. Geb. 40, 317-337.

23. M. Sibuya, Bivariate extremal statistics, Ann. Ins. Statist. Math. XI, p. 195-210,1962.

24. Pickands, J. (1981) Multivariate extreme value distributions. Proc. 43rd Session I.S.I., 859878.

25. Deheuvels, P. and Tiago de Oliveira J. (1989) On the Non-parametric estimation of the bivariate extreme value distributions. Statist. Prabab. Lett. 8, 315-323.

26. Tiago de Oliveira J. (1984) Bivariate models for extremes, statistical decision. Statisitcal extremes and Applications, Reidel, Dordrecht, 131-153.

27. Бокс Дж., Дминкис Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. М.: Мир, 1974.

28. Taylor St .J. Modeling Financial Time Series. Un. Of Lancaster, John Wiley & Sons, Inc.1986.

29. Bollerslev, Tim & Engle, Robert F. & Nelson, Daniel В., "ARCH models" // Handbook of Econometrics. Vol. IV. Ch. 49. Elsevier Science, 1994.

30. T.Bollerslev (1986). Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity. Journal of Econometrics 31 307-327

31. Glosten, L.R., R. Jagannathan and D. Runkle (1993), "On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks," Journal of Finance, 48, 1779-1801

32. Fornari, F. and A. Mele (1996), "Modeling the Changing Asymmetry of Conditional Variances" Economics Letters, 50, 197-203.

33. Fornari, F. and A. Mele (1996), "Sign and Volatility Switching ARCH Models," Journal of Applied Econometrics 12,49-65

34. Rabemananjara, R. and J. M. Zakoian, 1993. Threshold Arch Models and Asymmetries in Volatility. Journal of Applied Econometrics 8,31-49

35. Sentana, E. (1995), "Quadratic ARCH Models," Review of Economic Studies, 62, 639-661

36. Baba, Y., Engle, R.F., Kraft, D., Kroner, K.F., 1991, Multivariate Simultaneous Generalized ARCH, MS, University of California, San Diego, Department of Economics.

37. Bollerslev, Т., Engle, R.F., Wooldridge, J.M., 1988, F Capital Asset Pricing Model with Time Varying Covariances, Journal of Political Economy, 96, 116-131.

38. Engle, R.F., 2002, Dynamic Conditional Correlations A Simple Class of Multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models, Journal of Business and Econonmic Statistics, 20, 3, 339-350.

39. Tse, Y.K., Tsui, A. K.C., 2002, A Multivariate GARCH Model with Time-Varying Correlations, Journal of Business and Economic Statistics, 20, 3, 351-362.

40. Supervisory Framework for the Use of «Backtesting» in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements. Bank for International Settlements Basle Committee. 1996. January.

41. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. 2-е изд. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.

42. J. Danielsson, С. de Vries, Beyond the Sample: Extreme quantile and probability estimation. Preprint, LSE, 1997.

43. B.M. Hill. A simple general approach to inference about the tail of a distribution. Annals of Statistics, 3(5): 1163-1174, 1975.

44. J.A. McNeil, T. Saladin, The peaks over threshold method for estimating high quantiles of loss distributions, In Proceedings of the 28th International ASTIN Colloquium, 1997.

45. P. Embrechts, S.I. Resnick, Samorodnitsky, Extreme value theory as a risk management tool, North American Actuarial Journal, 3, p. 30-41, 1999.

46. J. Danielsson, L. De Haan, L. Peng, C.G. De Vries, Using a bootstrap method to chose the sample fraction in the tail index estimation, Journal of Multivariate Analysis, 76, p. 226-248, 2001.

47. A. Balkema, S. Resnick, Max-infinite divisibility, J. Appl. Probab., 14, 1977.

48. Dupuis, D. J. (2000). Exceedance over high thresholds: A guide to threshold selection.

49. A. Frigessi, O. Haug, H. Rue, Tail estimation with the generalized Pareto distribution without threshold selection, NCC, NTNU, Norway 2000.

50. Назаренко K.M., О методе оценки рисков инвестирования в финансовые активы с высокой волатильностью, Аудит и финансовый анализ №5, 2007, ООО «ДСМ Пресс», с. 292-301.

51. Chistyakov V.P., A theorem on sums of independent positive random variables and its applications to branching random processes, Theory Prob. Appl. 9, pp. 640-648, 1964.

52. Embrechts P., Goldie C.M., On closure and factorization theorems for subexponential and related distributions. J. Austral. Math. Soc. Ser. A29, p.243-256, 1989.

53. Goldie C.M., Resnick S.I., Distributions that are both subexponential and in the domain of attraction of an extreme value distributions, Adv. Appl. Probab., 20, p.706-718, 1988.

54. Embrechts, P.,Kluppelberg, C., Mikosch, T. Modeling Extremal Events, number 33 in Applications of Mathematics: Stochastic Modeling and Applied Probability, Springer Verlag, 1997.

55. S.G. Coles, J.A. Tawn (1991), Modeling multivariate extreme events. J. R. Statist. Soc. В 53, p.377-392.

56. Barnett, V. (1976) The ordering of multivariate data (with discussion). J. R. Statist. Soc. A 53, p.318-354.

57. Назаренко K.M., О новом методе моделирования многомерных экстремальных величин на основе порогового подхода, Вестник Российского Университета Дружбы Народов №2, 2008, серия «Математика Информатика Физика», издательство РУДН.

58. Tawn, J.A. (1988) Bivariate extreme value theory: Models and estimation. Biometrika 75, 397-415.

59. Щетинин Е.Ю., О новых подходах к управлению компаний в чрезвычайных ситуациях, Финансы и кредит, 2005, 30(198), М.: Финансы и кредит.

60. Campbell J.V., Lo A.W., MacKinley А.С. The Econometrics of Financial Markets. -Princeton Un. Press, 1997.

61. Engle, R.F. (1982) "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation," Econometrica 50, 987-1008

62. Higgins, M.L. and A.K. Bera (1992), "A Class of Nonlinear ARCH Models," International Economic Review, 33, 137-158.

63. Taylor, S.J. (1986) Modeling Financial Time Series. Chichester, UK: John Wiley and Sons

64. Schwert, G.W. (1990), "Stock Volatility and the Crash of '87," Review of Financial Studies, 3, 77-102.

65. Nelson, D.B. (1991), "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach," Econometrica, 59, 347-370.

66. Ding, Z., C.W.J. Granger and R.F. Engle (1993), "A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model," Journal of Empirical Finance, 1, 83-106

67. ZakoTan, J.-M. (1994), "Threshold Heteroskedastic Models," Journal of Economic Dynamics and Control, 18, 931-955.

68. Engle, R.F., Bollerslev, Т., 1986, Modeling the Persistence of Conditional Variances, Econometric Reviews, 5, 1-50, 81-87.

69. Tse, Y.K., 2000 A test for constant correlations in a multivariate GARCH Model, Journal of Econometrics, 107-127.

70. Tse, Y.K., 2000 A test for constant correlations in a multivariate GARCH Model, Journal of Econometrics, 107-127.

71. Kroner, K.F., Ng, V.K., 1998, Modeling Asymmetric Comovements of Asset Returns, The Review of Financial Studies, 11, 4, 817-844

72. Tsay, R.S., 2002, Analysis of financial time series, Wiley series in probability and statistics, New York, second edition

73. Box, G.E.P. and G.M. Jenkins (1970) Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day.

74. Ljung, G. M. and G. E. P. Box (1978). On a measure of lack of fit in time series models, Biometrika 65 p297-303.

75. Akaike, Hirotugu (1974). "A new look at the statistical model identification". IEEE Transactions on Automatic Control 19 (6): 716-723.

76. Schwarz, G., 1978. "Estimating the dimension of a model". Annals of Statistics 6(2):461-464.

77. Hannan, E. J., and B. G. Quinn (1979): "The Determination of the Order of an Autoregression," Journal of the Royal Statistical Society, B, 41, 190-195.

78. Ding, Z., Engle, R. F., 2001, Large scale conditional covariance matrix modeling, estimation and testing. Academia Economic Papers 29, 157-184

79. Newey, W. (1985): "Generalized Method of Moments Specification Testing," Journal of Econometrics, 29, 229-56.

80. Tauchen, G. 1985. Diagnostic testing and evaluation of maximum likelihood models. Journal of Econometrics 30: 415-443

81. Diebold, F.X., T. Gunther and A.S. Tay, (1998), Evaluating Density Forecasts with Applications to Finance and Management, International Economic Review, 39, 863-883.

82. Diebold, F.X., J. Hahn and A.S. Tay, (1999), Multivariate Density Forecast Evaluation and Calibration in Financial Risk Management: High Frequency Returns on Foreign Exchange, Review of Economics and Statistics, 81, 661-673.

83. Density Forecasting in Economics and Finance. Editorial in special issue of Journal of Forecasting. August 2000.

84. Li, W.K., Mak, T.K., 1994, On the squared residual autocorrelations in nonlinear time series modeling, Journal of Time Series Analysis 15, 627-636

85. Ling, S., Li, W.K., 1997, Diagnostic checking of nonlinear multivariate time series with multivariate arch errors, Journal of Time Series Analysis 18, 447-464

86. Tse, Y.K., Tsui, A. K.C., 1999, A Note on Diagnosing Multivariate Conditional Heteroscedasticity models, Journal of Time Series Analysis 20, 679-691.

87. Tse, Y.K., 2002, Residual-based diagnostics for conditional heteroscedasticity models, The Econometrics Journal 5 (2), 358-374.

88. Tse, Y.K., 2002, Residual-based diagnostics for conditional heteroscedasticity models, The Econometrics Journal 5 (2), 358-374.

89. Sentana E, Fiorentini G. 2001. Identification, estimation and testing of conditionally heteroskedastic factor models. Journal of Econometrics 102: 143-164.

90. Bollerslev, Т., 1990, Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH approach, Review of Economics and Statistics, 72, 11551180.

91. Bera, A. K., and S. Kim (2002): "Testing constancy of correlation and other specifications of the BGARCH model with an application to international equity returns," Journal of Empirical Finance, 9(2), 171-195.

92. Longin, F. and B. Solnik (1998) 'Correlation Structure of International Equity Markets During Extremely Volatile Periods,' Working Paper.

93. Engle, R.F. and V.K. Ng (1993), "Measuring and Testing the Impact of News on Volatility," Journal of Finance, 48, 1749-1778.

94. Basle Committee on Banking Supervision. (1995b). Planned Supplement to the Capital Accord to incorporate Market Risks. Basle Committee on Banking Supervision, Basle, Switzerland.

95. ЮО.Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А. Лобанова и А.В. Чугунова. 2-е изд. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.

96. Barone-Adesi, G. and Giannopoulos, К. (2001). Non-parametric VaR techniques. Myths and realities. Economic Notes by Banca Monte dei Paschi di Siena SpA, 30, 167-181

97. HuU, J. and White, A. (1998). Incorporating volatility updating into the historical simulation method for VaR. Journal of Risk, 1,5-19.

98. Barone-Adesi, G., Giannopoulos, K. and Vosper, L. (1999). VaR without correlations for nonlinear Portfolios. Journal of Futures Markets, 19, 583-602.

99. Angelidis, T. and Benos, A. (2007). Value-at-Risk for Greek Stocks. Multinational Finance Journal, forthcoming

100. Angelidis, Т., Benos, A. and Degiannakis, S. (2007). A Robust VaR Model under Different Time Periods and Weighting Schemes. Review of Quantitative Finance and Accounting, forthcoming

101. Laubsch, A. J. (1999). Risk Management: A Practical Guide, RiskMetrics Group

102. M. Longin, Stress Testing: a Method based on Extreme Value Theorie, Research paper prepared for The Third Annual BSI GAMMA Foundation Conference on global asset management, managing market risks and new measures and practices, 1999.

103. McNeil, A. J. (1997): Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory, ASTIN Bulletin, 27, 117-137.

104. McNeil, A. J., (1996) "Estimating The Tails of Loss Severity Distributions Using Extreme Value Theory, Mimeo. ETH Zentrum, Zurich

105. Andersen, Т., Bollerslev, Т., Christoffersen, P. and Diebold, F.X. (2005). Volatility and Correlation Forecasting. In Graham Elliott, Clive W.J.Granger, and Allan Timmermann, (eds.) Handbook of Economic Forecasting Amsterdam: North Holland.

106. А.С. Davison, R.L. Smith, Models for exceedances over high thresholds. J. R. Statist. Soc. В 52, p.393-442, 1992.

107. J. Beirlant, J.L. Teugels, P. Vynckier, Practical Analysis of Extreme Values, Leuven University Press, 1996.

108. M.R. Leadbetter, G. Lindgren, H. Rootzen, Extremes and related properties of random sequences and processes. Berlin: Springer-Verlag, 1983

109. M.A. Stephens, Test Based on EDF Statistics, in Goodness-of-fit Techniques, eds. R.B. D'Agostino and M.A. Stephens, New York: Marcel Dekker, p. 97-122, 1986.

110. D. Darling, The Cramer-von Mises test in the parametric case, The Annals of Mathematical Statistics, 26, p. 1-20, 1955.

111. V.Choulakian, M.A. Stephens, Goodness-of-Fit tests for the Generalized Pareto Distribution, research report. Simon Fraser University, Dept. of Mathematics and Statistics, 2000.

112. Щетинин Е.Ю., О свойствах функций распределения многомерных экстремальных величин, Математическое моделирование и управление в сложных системах, Сборник научных трудов МГАПИ, М.: Изд-во МГАПИ, 2003, т. 6, с. 60-67.

113. Shchetinin Eu.Yu., Stochastic methods for modeling multivariate extreme events. Mathematical modeling: modern methods and applications. The book of scientific articles/ ed. by L.A. Uvarova. Moscow: Yanus-K, 2004, p.81-98.

114. A. Azzalini, A. Capitanio, Statistical applications of the multivariate skew-normal distribution, J. Roy. Statist. Soc., series B, vol. 61, no. 3,2001.

115. A. Azzalini, A. Capitanio, Distributions generated by perturbation of symmetry with emphasis on a multivariate skew t distribution, J. Roy. Statist. Soc., series B, vol. 65, pp. 367-389, 2003.