автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Статистическое моделирование в финансовых моделях диффузионного типа

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОРМИН Анатолий Андреевич

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИНАНСОВЫХ МОДЕЛЯХ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой стенеип кандидата физико-математических паук

Санкт-Петербург 2009

-з ПЕК 2000

Работа выполнена, на кафедре статистического моделирования математико-ме-ханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ЕРМАКОВ Сергей Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

БЕЛОПОЛЬСКАЯ Яна Исаевна (Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет)

кандидат физико-математических наук, инженер КУЧКОВА Ирина Николаевна (Sun Microsystems)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится 'У^ '^у.Ла 200^) г. в/£-£>1асов на заседании совета Д 212.232.51 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_200_г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Даугавет И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В численных приложениях финансовой математики, в частности, при вычислении цен опционов, все большее распространение получает метод Монте-Карло. В многомерных задачах, а также в случаях, когда рассматриваются сложные зависимости платежной функции опциона от траектории случайного процесса, метод Монте-Карло становится основным методом вычисления цен опционов.

Уменьшение дисперсии оценок метода Монте-Карло является важной задачей, так как позволяет повысить эффективность вычислений. Задача уменьшения дисперсии при оценивании одного опциона исследована многими авторами в различных моделях: например, в [1] рассматривалась диффузионная модель, в [2], [3] — модель со стохастической волатилыюстыо. Авторы использовали методы существенной выборки и выделения главной части для уменьшения дисперсии оценки Монте-Карло цены опциона, ими также были получены оценки с минимальной дисперсией. Метод выделения главной части был использован в [4] и [5] для некоторых моделей с диффузией и скачками. Финансовые модели со скачками получили широкое распространение, так как они обеспечивают лучшее соответствие временным рядам цен и большую гибкость при решении задачи калибровки модели (см. [6]).

В диссертации решается общая задача уменьшения взвешенной дисперсии, когда на одной траектории моделируемого процесса оценивается некоторое множество опционов, зависящих от параметров. Такая задача актуальна в ряде приложений финансовой математики, например, в задаче калибровки модели, при оценивании рисков портфеля опционов (см. [7]).

Задача уменьшения взвешенной дисперсии в общем виде рассматривалась в монографии С.М. Ермакова [8], где приведено решение для случая существенной выборки, когда оцениваются интегралы от нескольких функций с общей областью определения. В диссертационной работе решается задача минимизации взвешенной дисперсии для диффузионной модели с локальной волатилыюстыо и модели со стохастической волатилыюстыо и скачками. Получены оценки Монте-Карло с минимальной взвешенной дисперсией цен опционов. Эти оценки аппроксимируются для различных опционов и применяются для эффективного вычисления их цен.

з

Цель работы. Целыо работы является повышение эффективности оценок Монте-Карло стоимости опционов. С этой целыо решаются следующие задачи:

1. Построение оценок Монте-Карло с минимальной в звешенной дисперсией цен опционов.

2. Аппроксимация оценок с минимальной взвешенной дисперсией для различных опционов и параметров взвешивания.

3. Разработка программ, эффективно вычисляющих цены опционов с помощью построенных оценок.

Общая методика работы. В работе используются методы и результаты теории случайных процессов, в том числе процессов с диффузией и скачками, теории дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, методы функционального анализа. Программирование осуществлялось в среде MS Visual С :.

Научная новизна. В данной работе впервые построены оценки Монте-Карло цен опционов с минимальной взвешенной дисперсией для диффузионной модели финансового рынка и .модели со стохастической волатпльностыо и скачками. Показано, как эти оценки могут быть использованы для эффективного вычисления цен опционов.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность дан-нон работы заключается в том. что оценки, минимизирующие взвешенную дисперсию. получены для широкого класса опционов. Показано, что в тех случаях. когда требуется высокая точность вычислений, полученные оценки, уменьшающие взвешенную дисперсию, более эффективны, чем стандартная оценка Монте-Карло. Написаны программы, в которых эффективно реализованы разработанные .методы оценивания опционов. Подход к уменьшению взвешенной дисперсии, продемонстрированный для ряда опционов, может быть успешно использован для эффективного оценивания широкого класса опционов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры статистического моделирования математпко-механического факультета СПбГУ, а также па конференциях

- FIE 08, The international school of Finance, Insurance, and Energy Markets -Sustainable Development, Vast eras. Sweeden. May 5 - 9, 2008;

- MCQMC 08. Eighth International Conference on Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Computing. Montreal. Canada. July G - 11. 2008;

- 6th St.Petersburg Workshop on Simulation, Saint-Petersburg, June 28 - July 4, 2009.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11] - [14]. Статья [11] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК по специальности 05.13.18. В данной статье автору диссертации принадлежит метод уменьшения взвешенной дисперсии с помощью оценки с дополнительными весами, зависящими от параметра взвешивания и численные результаты. В статье [12] автору диссертации принадлежит доказательство теоремы 2.2, доказательство теоремы 2.3 было проведено совместно с соавтором, метод аппроксимации оценок, минимизирующих взвешенную дисперсию, и численные результаты моделирования. В статье [13] автору диссертации принадлежит обобщение результатов, полученных в [12], на случай многомерного параметра взвешивания, а также численные результаты моделирования; в статье [14] — новый метод минимизации взвешенной дисперсии за счет объединения методов существенной выборки и выделения главной части и численные результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Библиография содержит 38 наименований. Общий объем работы 132 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В основе опциона лежит базовый актив, цена которого описывается случайным процессом заданным на вероятностном пространстве (П, F, Р) с фильтрацией (Ft)u^т- Опцион имеет ряд параметров, таких как дата исполнения, страйк и др. Набор таких параметров обозначим через к б R". Платежное обязательство Д(5) опциона есть функционал, заданный на множестве траекторий процесса (б^и^кг- Справедливая цена опциона представляется в виде Ск = ЕД(5) (см. [9], [10]), где Е — математическое ожидание относительно мар-тингалыюй меры Р, fk{S) = i?r/i(5) и (-ßf)o^i^T — дисконтирующий процесс такой, что {RtSt)o^t^T является Р)-мартипгалом.

В диссертации рассматривается задача оценивания цен опционов Си при различных значениях параметра к 6 0 С К". С целью уменьшения взвешенной дисперсии

V = fm(S)Q(dk), Je

где мера Q(dk) определяет требование к точности оценивания величин С к, применяются методы существенной выборки и выделения главной части (см. [8]). Совместное их использование заключается в уменьшении взвешенной днспер-

сии V с помощью оценок среднего С к = Еfk(S) вида Ck(p,Ti) = p(S)MS) + n(S),

где St — некоторый процесс, заданный на (iljF, Q), который описывается тон же моделью, что и исходный процесс St:, мера Q — абсолютно непрерывна относительно Р и плотность p(S) — dP/dQ; i] обладает тем свойством, что Е®t]{S) = 0. Оценка Ск(р, v) является несмещенной оценкой среднего С*, то есть EQCj.(p,T)) = Еfk(S) ~ С/,-. Отметим, что случай S = S, р = 1, 1) = 0 соответствует нммнтацнонному моделированию.

Общее время вычислений по методу Монте-Карло Те для получения точности £ может быть записано в виде:

Ъ = к +■ сЛг{и + i2), (1)

где ¿с — время, затраченное па предварительные вычисления, t\ — время моделирования одной траектории, t2 — время вычисления p{S), fk{S) и t](S) па одной траектории процесса ¿У D — дисперсия оценки Ск{р, J]) и сп — константа, зависящая только от уровня доверия а.

Поскольку St и St описываются одной и той же моделью, то время на моделирование одной траектории этих процессов различается незначительно. Кроме того, временные затраты на вычисление p(S), rj(S) можно сделать незначительными но сравнению с t\ за счет предварительных вычислений. Таким образом. если требуется высокая точность, то. как видно из формулы (1), оценки с меньшей дисперсией будут более эффективны Ш1е зависимости от того, сколько времени требуется на предварительные вычисления. При различных значениях параметра к из некоторого множества В С R" оценки С\\p, 'ij) строятся на одной траектории моделируемого процесса St.. Поэтому при построении эффективных оценок средних Сь где к £ в, основной задачей является уменьшение взвешенной суммы дисперсий.

В диссертации рассматривается диффузионная модель с локальной нолатнль-ноетью п модель со стохастической волатильностыо и скачками. В этих моделях решается задача минимизации взвешенной дисперсии

min / BqCk(p,r])Q(dk).

P 'i JB

Мера Q(dk) определяет требование к точности оценивания величин С к- Для удобства предполагается, что Q(0) = I.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор существующих результатов, сформулированы цели исследования, кратко

изложены результаты. Методы существенной выборки и выделения главной части применяются здесь для минимизации взвешенной суммы дисперсий в общем случае, когда оцениваются несколько математических ожиданий вида ЕД(£), где функции /д- : М" —» К и £ — случайная величина на (П, Т, Р). В таком виде задача минимизации взвешенной дисперсии рассматривается в монографии С.М. Ермакова [8] и решается с помощью метода существенной выборки.

В первой главе рассматривается диффузионной модель финансового рынка. В первом параграфе приводится ее описание. Пусть IV — (И^)^о — ви~ перовский процесс, заданный на вероятностном пространстве (О,^7, Р), и Р = (^)^о — естественная фильтрация процесса (И^)^о- Предполагается, что процесс (¿^о^т является решением уравнения

Такая финансовая модель называется моделью с локальной волатильностыо

Во втором параграфе задача минимизации взвешенной дисперсии решается в различных классах оценок. На платежное обязательство накладывается условие

О ^ /*(5) ^ с\ зир $ + С2, Р - п.н., (2)

где С1,С2~ некоторые константы. Отметим, что платежные обязательства таких распространенных контрактов, как стандартные европейские опционы, азиатские и барьерные опционы европейского типа, удовлетворяют данному условию. В случае существенной выборки производится абсолютно-непрерывная замена

меры с/Р" = ЬуСЙР, где процесс Щ является решением уравнения

(

= ц = 1.

Рассматриваются оценки математического ожидания Ск = Ей т/к вида

= ЯгЛРт-

где /Зр = (¿у.)-1, Ят = ехр(— ^ 5()<Л) и для процесса выполнено условие Новикова:

Еехр|^ г£сй|<оо. (3)

Обозначим через Ю^ и Еи дисперсию и математическое ожидание относительно меры Р". Так как О^С^и) = Е"С1(у) — то задача минимизации взвешенной

дисперсии сводится к минимизации взвешенного второго момента

min

lili í ErC¡[v)Q{ilk). (4)

'' Je

Введем обозначение

i

(5)

тогда задача (4) сводится к минимизации второго момента функционала G. Определим мартингал fit = E(G|JFt). Условие на платежное обязательство (2) обеспечивает квадратичную интегрируемость мартингала fit- Задача (4) решена в следующей теореме.

Теорема 1. Существует Tt-измеримый процесс át такой, что выполняется dfit = átd\Vt. Если

EeXP0i) <

тогда минимум (4) равен

(Е<5)" (G)

и достигается при.

vt = -&t/fit-

В случае выделения главной части рассматриваются несмещенные оценки математического ожидания С<: = вида

Ct(z) = RT.h - f'z.'IW.. (7)

Jo

где — .^-измеримый процесс такой, что EfJ < оо. Пусть

C = RTfhQ(dk). pt = E(G\Tt). (8)

Je

В классе оценок (7) минимизируется взвешенный второй момент

min / EC't(z)Q{dk). (9)

; Je

Теорема 2. Минимум (9) равен

Е G2-tíG (10)

н достигается при

Zt - -О,,

где Tt-измеримый процесс át такой, что dfit = átdWt.

ti

В случае выделения главной части при фиксированном z рассматриваются также оценки ЕRtfk вида

Ск(а) = RTfk + а(к) f zsdWs, J о

где к € В С R", а — вещественная функция на множестве 0. Показано, что при

Е (RTfkfizsdWs)

а* (к) =--^-^-J~

Е tfz'ds

достигается минимум взвешенной дисперсии

min f BCk(a)Q(dk)= f (1 - p2)B(ßr/t)Q(d/c), a Je Je

где pk — коэффициент корреляции между Rrfk и f^s dWs.

Вообще говоря, минимумы (6), (10) различны и совпадают, когда мера Q сосредоточена в одной точке, то есть рассматривается один опцион. Далее рассматривается комбинация метода существенной выборки и метода выделения главной части. Пусть для ^¡-измеримого процесса (vs)qвыполнено условие (3), ^¿-измеримый процесс (.га)о<«$г такой, что Е /0Г z^ds < оо. Рассматривается оценка среднего ЕRrfk вида

Ck{v,z) = RTfk&+ izsdW Ja

Так как G ^ G, можем определить -G2 и ßt= E(G|^t)-

Теорема 3. Пусть fit, ät такие же, как в теореме 2, и ^-измеримый процесс ät такой, что dßt — atdWt. Минимум min ГйЕ"С?(г;, z)Q(dk) равен

V.Z

(EG)2 + (EG)2

и достигается при

vt = -rr-, zt = -p4{ät + vtfit), ßt

если для v выполнено условие (3).

Так же, как и для случая выделения главной части, рассматриваются оценки среднего ЕRrfk вида

Ck(a) = RTfkPT + a(k) [TzsdW:

Ja

и решается задача минимизации

" ./н

Во второй главе рассматривается модель финансового рынка со стохастической волатнлышетыо и скачками. В первом параграфе описывается сама модель. Рассматривается пуаееоновский процесс /V, = ]ПН>1 1 {т"., ес} с постоянной интенсивностью Л, где 7], {Тп+1 - Т„)„^1 — последовательность независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром Л. Рассматривается последовательность независимых случайных величин (Уп),^ с распределением пг(<£у) на измеримом пространстве (£,£). Предполагается, что цена базового актива в/ удовлетворяет системе уравнений р1 г1, К

Л Jо п=1

Ц= /\(т,1^/т + [ 0(тЛ'т)с1\¥'т, .7(1

где /и(?, 5() = г(4,5«) - Л /£ 7^, 5<_, у)тп{йу), \р\ < 1, и ТУ"/1' — г-ая компонента двумерного винеровского процесса И^, независимого с последовательностью (Т,„ У„)п^1- Пусть фильтрация ¥ = {Tt)t>^^ — естественная фильтрация, порожденная (И^)^) п (Т„,Ю„>¡. Обозначим через р[М,Ну) считающую меру последовательности (Т„, ¥,,)„>.ь компенсатор меры р(М,<1у) есть и{(И,<1у) — \п\{<1ц)<и. Обозначим через р{(И,<1ц] компенсированную меру />((//, <1ц)— ¡'{(К, (1у).

Во втором параграфе, также как и в главе 1, методы существенной выборки п выделения главной части применяются для минимизации взвешенной дисперсии оценки среднего. Предполагается, что платежное обязательство опционов удовлетворяет условию (2). Введем обозначения

14&) ={/ = /(*,") - -^-измеримый,Е / ||/(«,ы)|Й»Л < ос},

/•"|(К) ={/: /(£,(/,^) - ^-предсказуемый, Е / / /2(<, у,и)т'^у)сИ < эо}.

./о ^ е

Рассмотрим случай существенной выборки. Пусты;* = £ 1Л(К.")■ процесс

л>(= к{1,у,ш) € ^(К) и для любого / 6 [О,X1] выполнено условие

¡СЛГ+ / к;[у)т((1у) ^ф) Р -п.п.. (11)

где с(/) > О -- детерминированная функция такая, что c(t)dt < ос. Обозначим через i) пару {г, к}. Условие (11) позволяет сделать абсолютно-непрерывную замену меры dP'1 = L'jdP. где процесс (Lf)о^г является решением уравнения

dL11 С

= v,dWf + / Kt(y)p(dt,dy), Li = 1. (12)

Lt- JE

Относительно меры P" процесс И7/' = И^ — j0' является вннеровскнм процессом и компенсатор p(dt.dy) есть (1 + Kt(y))i/(dt,dy). Заметим, что если определить щ = JEKt(y)m(dy) + 1 н ht(у) - (к,{у) + 1)/фи тогда p(dt,dy) имеет (Р0,^)-локальные характеристики (Xü>t, ht(y)m(dy)): то есть, относительно новой меры P'J интенсивность равна A?iv п распределение скачков есть ht(y)m(dy). Обозначим через Е° математическое ожидание относительно PJ. Определим Рт = (Lj) и рассмотрим оценки среднего С* — ЕRrfk вида

cm = ДгЛ/4- (13)

Рассмотрим мартингал //( = E(G\J-f), где G определен в (5). Условие на платежное обязательство (2) обеспечивает квадратичную интегрируемость мартингала /}(. В диссертации доказана следующая теорема:

Теорема 4. Существуют процессы at € ¿|(М2) и ß,(y) € Ff(№.) такие, что dfit = ätd\Vt + J^ Д (y)p(dt, dy).

Минимум min liJ)EL>Cf(i))Q(dk) равен и достигается при,

<ь , , My) Vt = —, Ktly) = ——,

I't Pt-

ectii выполнено условие (11) для vt, nt{y).

В случае выделения главной части рассматриваются оценки математического ожидания Q. ~ ЕЛгЛ вида

С;{г; /.'//, • .'/;. (14)

где z, е L|(R2), с,.(у) е Fj(R), ^ = {г, С} н

М?= f z.4W,+ f f Uy)p(ds,dy). (15)

J и Jo Je

Функционал G ii мартингал p, определены в (8). В диссертационной работе доказана следующая теорема:

Теорема 5. Минимум min JeEC^(<^)Q(dfe) равен EG2 — D(G) и достигается при

zt = -ät, Сt(y) = -ßt{y), где процессы ät € и ßt(y) € -Рр(К) такие, что

dßt=ätdWt+ / ßt{y)p(dt, dy). Je

Методы существенной выборки и выделения главной части используются также совместно. Оценки (13) и (14) объединены в оценку математического ожидания Си = ЕRtfk вида

= + (16) где -д — {v, к}, у = {z, £} и мартингал

M?'v = l*z.dW?+ f f Uy)p(ds,dy) (17)

Ja Jо Je

квадратично интегрируемый относительно меры Р0 и p(ds, dy) - p(ds, dy) — (1 + Kt(y))v{dt, dy). Определим G — - G2 и Дг = E(G|:Fi). Задача минимизации

min f EöCl{-d,<f)Q(dk) (18)

Je

решена в следующей теореме:

Теорема 6. Пусть fit, ä-t, ßti}j) такие же, как в теореме 5, и процессы ät £ ¿|(R2), ßt(y) е F|(R) такие, что

dfit = ätdWt + / ßt{y)p{di, dy). Je

Тогда минимум (18) равен (EG)2 + (EG)2 и достигается при

"г , » ßt{y) - \

vt = —, к,{у) = ——, zt = -pt (n, - vtßt), Мг P-t.-

если выполнено условие (11) длль, к.

Кроме того, также как и в главе 1 в оценки среднего Ск вида (14) и (16) добавляются дополнительные веса, зависящие от параметра взвешивания к и рассматриваются оценки вида:

Ск(а■ <р) = ДтА + а(к)М£, Ск{а- tf, v) = RTfkpßT + а{к)М^,

где Mj. MlTv определены в (15) и (17). Решаются следующие задачи минимизации:

min [ 3C,, (n:^)Q{dk). min f Bi>Ci..(n:0,<p)Q(dk).

" Je " Je

В третьей главе рассматривается случай, когда дата, исполнения опциона < включена в параметр взвешивания (к, t), который принимает значения из Егеко-торого множества В = /С х [0,Т], где 1С С SR". Предполагается, что платежная функция опционного контракта имеет вил/и = fk{t, St), Q(dk, dt) — P(dk)Q(dt) па K. x [О, T\. мера Q имеет ограниченную плотность q{t).

В нервом параграфе рассматривается диффузионная модель, описанная в главе 1. Для минимизации взвешенной дисперсии применяются две оценки математического ожидания ERtfhj-

Ck,t(v) = Rtfi,,P?, (19)

где плотность р" = dF/dF'\ Rt = '(t'St)'1t ц оценка

Cu(v) = Rtfi.tpr-

Минимум взвешенной дисперсии для второй оценки получен с использованием теоремы 1. Минимум для первой оценки не превосходит минимума для второй оценки, по при этом требуется затратить существенно больше усилий для решения задачи минимизации. Сначала задача минимизации взвешенного второго момента

min J j W--Cl,{v)P{<1k)q{Wt.

сводится к задаче

min i " (0, So), (20)

г

где

V"(f„,s) = Е-' ^ety^-^'^hH^SAqm S,„ = г) .

1

h{t,.r) — (f^fl(t. r)P{dk))2. Выводится линейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа, которому удовлетворяет функция V''(t,x). Обозначим

W(t,x) — ——— + -0- (t.,x).с ——2— + r(t.,jr).r.——--r{t,x)(J{t..r),

F((..r) = lr(t, r.)q(t). В диссертационной работе получены условия па функции q, г, <т, ft, при которых справедлива следующая теорема:

L3

Теорема 7. Минимум (20) достигается при

где U удовлетворяет уравнению

Ш + в[0 ,Т)хГ

с пулевым финальным условием.

В параграфе 2 рассмотрена модель со стохастической волатильностыо и скачками. Доказала теорема 8, аналогичная теореме 7. В этой теореме решается задача минимизации взвешенного второго момента оценок среднего ЕRtfk,t вида Cfc,i(i?) = Rtfk,tpi, где pf = (Lf) 1 и Lf задано в (12). Решение задачи минимизации

min f f ¥^Clt{ß)Q(dk,dt)

ö Jo Jk.

приводит к решению некоторого нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных.

В четвертой главе результаты глав 1, 2 и 3 применяются к оцениванию различных опционов. В первом параграфе строятся аппроксимации оптимальных оценок стоимостей опционов, минимизирующих взвешенную дисперсию в рассматриваемых моделях для стандартных европейских опционных контрактов, когда параметрами взвешивания является цена исполнения (страйк) и дата исполнения. Для азиатских опционов европейского типа, платежное обязательство которых зависит от среднего значения цены базового актива, аппроксимации получены, когда параметром взвешивания является страйк. Платежное обязательство барьерных контрактов европейского типа зависит от достижения ценой базового актива некоторого барьера. Для таких опционов в качестве параметра взвешивания рассматривается страйк и барьер. В случае оценки (19) для аппроксимации оптимальной функции v* в (21), решающей задачу минимизации (20), рассматривается некоторая последовательность функций {и„}$510, щ = 0, которая при определенных условиях сходится к v*. Показано, что последовательность функций Vv"(t,x) не возрастает и при этом Vv°(0, Sq) есть взвешенный второй момент оценки цены опциона ЕRtfk,t вида Ck.t = Rtfk,t- При моделировании используется аппроксимация функции v\(t,x), которая приводит к существенному уменьшению взвешенной дисперсии.

Во втором параграфе показано, что в тех случаях, когда требуется высокая точность вычислений, построенные оценки более эффективны по сравнению со

стандартной оценкой Монте-Карло. Для повышения эффективности полученные в параграфе 1 аппроксимации вычисляются на сетке и затем при моделировании используется их линейная интерполяция.

Общее время вычислений Тг, где £ — точность оценивания., задается формулой (1). В качестве показателя эффективности используется отношение временных затрат на вычисления R = ТЯ'/ТУ1'. где Т;П) соответствует стандартной оценке Монте-Карло, a Tj1' — оценке C¡}\ которая используется для уменьшения

дисперсии. Для стандартной оценки Монте-Карло предполагается, что предва-

, (0) „

рительные вычисления не производятся, то есть t¡¡ — 0, тогда получаем

„ , руф + ф

где t\ — время моделирования одной траектории для соответствующей оценки,

,(1) ' я(1) Ai)

Гц — время, затраченное на предварительные вычисления для оценки Ch , t2 — время вычисления соответствующей оценки на одной траектории, D^ — дисперсии оценок. Ясно, что t^/T?^ —> 0, при 5 —► 0. Кроме того, для построенных

Л1) . ,(1) ' ,(П) .((>) Т-Г

оценок сj -i- t2 возрастает незначительно но сравнению с tl т í2 . Поэтому если требуется высокая точность вычислений, то оценки с меньшей дисперсией более эффективны вне зависимости от того, сколько времени требуется на предварительные вычисления.

В третьем параграфе приведены результаты моделирования, демонстрирующие эффективность построенных оценок.

В приложении А приводится список используемых обозначений. В приложениях В и С производятся необходимые вычисления для расчетов барьерных опционов.

Список литературы

[l] Nigel J. Newton. Variance reduction for simulated diffusions. SI AM Journal on Applied Mathematics, Vol. 54. .\'"G f 1994). pp. 1780-1805.

[2J J.P. Fouque. C.H. Han. Variance reduction for Monte Carlo methods to evaluate option prices under multi-factor stochastic volatility models. Quantitative Finance. Vol. 4. №5 (2004), pp. 597-606.

[3| J.P. Fouque. T. Tullie. Variance reduction for Monte Carlo simulation in a stochastic volatiitiy environment. Quantitative Finance., Vol. 2 (2002), 24-30.

[4] C. Chiarella, C. Nikitopoulos, E. Schlogl. A control variate method for Monte Carlo simulations of Heath-Jarrow-Morton models with jumps. Applied Mathematical Finance, Vol. 14, №5 (2007), pp. 365-399.

[5] Z. Zhu, F. B. Hanson. A Monte-Carlo option-pricing algorithm for log-uniform jump-diffusion model. Proceedings of Joint 44nd IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, 2005, pp. 5221-5226.

[6] P. Glasserman, N. Merener. Numerical solution of jump-diffusion LIBOR market models. Finance and Stochastic, Vol. 7, №1 (2003), pp. 1-27.

[7] S. Lindset, A-C. Lund. A Monte Carlo approach for the American put under stochastic interest rates. Journal of Economics Dynamics and Control, Vol. 31,

[8] С. М. Ермаков. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. Наука, Москва,

[9] J. М. Harrison, S. R. Pliska. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 11 (1981), pp. 215-260.

[10] J. M. Harrison, S. R. Pliska. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 15 (1983), pp. 313-316.

Список публикаций автора

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[11] А.А. Гормин, Ю.Н. Каштанов. Уменьшение дисперсии при оценивании опционных контрактов. Вестник С.-Петербургского университета, Издательство СПбГУ, серия 10, вып. 3, стр. 10-21, сентябрь 2009. Остальные публикации:

[12] A. A. Gormin, Y. N. Kashtanov. The weighted variance minimization for options pricing. Monte Carlo Methods and Applications, Vol. 13, №5-6 (2007), pp. 333-

[13] A. A. Gormin., Y. N. Kashtanov. Variance reduction for multiple option parameters. Journal of Numerical and Applied Mathematics (ISSN 0S68-6912), Vol. 1, №96 (2008), pp. 96-104.

[14] A. A. Gormin. Importance sampling and control variates in the weighted variance minimization. Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation, June 2009, pp. 109-113.

№4 (2007), pp. 1081-1105.

1975.

351.

Подписано к печати 30.10.09. Формат 60x84 '/к. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 4535.

Отпечатано з Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПоГУ 198504. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Унизерситетский пр., 26 Тел.: (812) 428-1043, 428-6914

Введение

1 Диффузионная модель финансового рынка

1.1 Описание модели.

1.2 Оценки цен опционов с минимальной взвешенной дисперсией

2 Модель со стохастической волатильностью и скачками

2.1 Описание модели.

2.2 Оценки цен опционов с минимальной взвешенной дисперсией

3 Нелинейная оптимизация

3.1 Диффузионная модель.

3.2 Модель со стохастической волатильностью и скачками

4 Применение к оцениванию опционов

4.1 Аппроксимации оптимальных функций.

4.2 Эффективность построенных оценок.

4.3 Результаты моделирования.

В численных приложениях финансовой математики, в частности, при вычислении цен опционов, все большее распространение получает метод Монте-Карло. В многомерных задачах, а также в случаях, когда рассматриваются сложные зависимости платежной функции опциона от траектории случайного процесса, метод Монте-Карло становится основным методом вычисления цен опционов.

Уменьшение дисперсии оценок метода Монте-Карло является важной задачей, так как позволяет повысить эффективность вычислений. Задача уменьшения дисперсии при оценивании одного опциона исследована многими авторами в различных моделях: например, в [30] рассматривалась диффузионная модель, в [17], [18] — модель со стохастической волатильностью. Авторы использовали методы существенной выборки и выделения главной части для уменьшения дисперсии оценки Монте-Карло цены опциона, ими также были получены оценки с минимальной дисперсией. Метод выделения главной части был использован в [31] и [38] для некоторых моделей с диффузией и скачками. Финансовые модели со скачками получили широкое распространение, так как они обеспечивают лучшее соответствие временным рядам цен и большую гибкость при решении задачи калибровки модели (см. [21]).

В диссертации решается общая задача уменьшения взвешенной дисперсии, когда на одной траектории моделируемого процесса оценивается некоторое множество опционов, зависящих от параметров. Такая задача актуальна в ряде приложений финансовой математики, например, в задаче калибровки модели, при оценивании рисков портфеля опционов (см. [33]).

Задача уменьшения взвешенной дисперсии в общем виде рассматривалась в монографии С.М. Ермакова [3], где приведено решение для случая существенной выборки, когда оцениваются интегралы от нескольких функций с общей областью определения. В диссертационной работе решается задача минимизации взвешенной дисперсии для диффузионной модели с локальной во-латильностью и модели со стохастической волатильностью и скачками. Получены оценки Монте-Карло с минимальной взвешенной дисперсией цен опционов. Эти оценки аппроксимируются для различных опционов и применяются для эффективного вычисления их цен.

В основе опциона лежит базовый актив, цена которого описывается случайным процессом (5г)ог^т, заданным на вероятностном пространстве Р) с фильтрацией F = {Tt)t^tо - Наибольшее распространение в финансовой математике получили модели, в которых процесс (St)o^t^T является процессом диффузионного типа. К таким моделям относятся модель Блэка-Шоулса (см. [15]), модель локальной волатильности (см. [14]); модели со стохастической волатильностью, например, Хестона (см. [24]). Также широкое распространение получили финансовые модели, в которых цена базового актива описывается процессом с диффузией и скачками. Это, например, модель Мертона (см. [29]), модели со стохастической волатильностью и скачками, например, Бэйтса (см. [И]). Модели со стохастической волатильностью подробно исследованы во многих работах, например, см. [27]. В общем виде модели с диффузией и скачками рассмотрены в [21] и [35].

Опцион имеет ряд параметров, таких как цена исполнения, дата исполнения, и др. Набор таких параметров обозначим через ^ G 1п. Платежное обязательство fk(S) опциона есть функционал, заданный на множестве траекторий процесса {St)o^t^T- Справедливая цена опциона представляется в виде где Р — некоторая вероятностная мера, называемая мартингальной (см. [25], [26]) и (Rt)o^T — дисконтирующий процесс такой, что {RtSt)o^T является (JTf,P)-мартингалом. Для уменьшения количества обозначений предполагаем, что Р = Р, то есть процесс (5г)о<г<т задается сразу относительно мартингальной меры Р. В дальнейшем через Е будем обозначать математическое ожидание относительно Р.

Рассмотрим задачу оценивания цен опционов Ск = ^R-t{S) fk{S) с различными значениями параметра к £ <д Cl". Стандартная оценка Монте-Карло среднего Cj- строится следующим образом: где Sl, S2,., SN независимые реализации траектории процесса {Sijo^T, которым аппроксимируется исходный процесс Оценки Ск для различных параметров к 6 0 вычисляются на одних и тех же реализациях процесса При этом общая ошибка £ = |Ск — Ск\ складывается из

Ск = Е FRT(S)fk(S), л N

1) г=1 систематической и статистической ошибок :

S < |ЕRT{S)fk{S) - ERT(S)fk(S)\ + |ЕДг(5)Л(5) - Ск\ = Esys + Sstat.

Для уменьшения ошибки Ssys могут быть использованы более точные методы аппроксимации исходного процесса St. Пусть (<St)o^t^T является сильным решением уравнения dSt = a(t, St)dt + b{t, St)dWt, S0 = s0 6 R. (2)

Схема Эйлера для аппроксимации (St)o^t^T выглядит следующим образом. Сначала выбирается шаг дискретизации А = jj , затем строятся аппроксимации в точках tn — пА, 0 ^ п ^ М:

So — So,

Stn+1 — Stn + a(t 71 7 где &W(tn+i) = W(tn+1) — W(tn) — н.о.р. с распределением N{О,А). В точках t таких, что пД ^ t < (п + 1) Д, St определяется как

St = Stn + a(tn, Stn)(t - пА) + b(tn, Stn){Wt - Wtn).

В [36] показано, что при условии липшицевости коэффициентов уравнения (2) выполняется sup E|St - St\2p ^ CAP, t€[0,T] где С не зависит от Д, р ^ 1.

Схема Милыптейна дает более точную аппроксимацию процесса {St)o^t^T- Аппроксимация в точках tn строится следующим образом:

So — So,

Stn+1 = Я, + anA + bnAW(tn+1) + \ЬпЬ'п (AW\tn+l) - А) , где ап = a(tn, Stn), bn = b(tn, Stn), b'n = b'(tni St J и b'{t, x) = ^. В точках t таких, что nA ^ t < (п + 1) А, определяется как $ - 5tf,)(i-nA)+b(tn> SJ ((Wi - WJ2 - (i - in))

В [36] утверждается, что при том же условии липшицевости коэффициентов уравнения (2) справедливо неравенство sup Е|St - St |2р < СД2р,

6[0,Г] где С не зависит от А, р ^ 1. Схема Милыптейна была использована для получения численных результатов в примере 5.

Для ошибки £stat = \ERT(S)fk{S) — Ck|, где Ск определено в (1), выполняется где а — уровень доверия, а константа са зависит только от а. Уменьшение Sstat достигается за счет уменьшения дисперсии DRT(S)fk(S) или увеличения количества реализаций N траекторий процесса St. И то и другое приводит к увеличению временных затрат на моделирование. Поэтому, чтобы сравнивать эффективность различных методов уменьшения дисперсии, нужно сравнивать временные затраты на вычисления, которые необходимы для получения заданной точности.

Для вычисления цен опционов применяются оценки вида

Ck(p,ri) = p(S)RT(S)fk(S) +п(ё), где St — некоторый процесс, заданный на (О,^, (Q)), который описывается той же моделью, что и исходный процесс St; мера Q — абсолютно непрерывна относительно Р и плотность p(S) — cflP/dQ; г/ обладает тем свойством, что Е ®n(S) 0. Оценка Ск(р,т]) является несмещенной оценкой среднего = ЕRx(S)fk(S), то есть Е^СЦ/у, 77) = Ск. Отметим, что случай S = S, р = 1, т] = 0 соответствует иммитационному моделированию.

Общее время вычислений по методу Монте-Карло Т£ для получения точности е может быть записано в виде:

T£=t0 + ca^{t j+ta), (3) где to — время, затраченное на предварительные вычисления, t\ — время моделирования одной траектории, £2 ~ время вычисления p(S), Rt(S) , fk(S) и rj(S) на одной траектории процесса St, D — дисперсия оценки Ск(р,г]) и са — константа, зависящая только от уровня доверия а.

Поскольку St и St описываются одной и той же моделью, то время на моделирование одной траектории этих процессов различается незначительно. Кроме того, временные затраты на вычисление p(S), rj(S) можно сделать незначительными по сравнению с t\ за счет предварительных вычислений. Таким образом, если требуется высокая точность, то, как видно из формулы

3), оценки с меньшей дисперсией будут более эффективны вне зависимости от того, сколько времени требуется на предварительные вычисления. При различных значениях параметра к из некоторого множества 6с1" оценки

N ^

Ck(p,r)) строятся на одной траектории моделируемого процесса St. Поэтому при построении эффективных оценок средних С^, где /се©, основной задачей является уменьшение взвешенной суммы дисперсий.

Целью диссертации является повышение эффективности оценок Монте-Карло стоимости опционов. С этой целью решаются следующие задачи:

1. Построение оценок Монте-Карло с минимальной взвешенной дисперсией цен опционов.

2. Аппроксимация оценок с минимальной взвешенной дисперсией для различных опционов и параметров взвешивания.

3. Разработка программ, эффективно вычисляющих цены опционов с помощью построенных оценок.

В главах 1 — 4 решается задача минимизации взвешенной дисперсии

Мера Q(dk) определяет требование к точности оценивания величин С&. Для удобства предполагается, что Q(©) = 1. Для решения (4) сначала решается задача минимизации

4) после этого решается задача mm / ч Je VPCk(l,ri)Q(dk) Je

Оценка СЦр, 0) соответствует оценке по методу существенной выборки, 77) — методу выделения главной части. Покажем, как методы существенной выборки и выделения главной части применяются для минимизации взвешенной дисперсии в общем случае. Пусть есть случайная величина £ на вероятностном пространстве (Vt, J7, Р) и требуется оценить п математических ожиданий где функции fi : Мп —> R. Предполагаем, что конечны вторые моменты случайных величин /„(£).

Использование стандартной оценки Монте-Карло в данном случае заключается в вычислении N независимых реализаций , С2,.,^ случайной величины £ и оценивании величин С^ как выборочное среднее ^ J2iLi fk(€) • Здесь одни и те же реализации £ используются для оценивания различных величин Cfc. Взвешенная сумма дисперсий стандартной оценки Монте-Карло имеет вид: гДе Як — положительные веса. Предполагаем, что q\ -f • • • + qn — 1.

С целью уменьшения дисперсии (5) рассматриваем различные классы s несмещенных оценок С\ величин С& ив этих классах минимизируем взве

Ci = ЕШ, С2 = Е/2(0, ■ • ■, с„ = ЕШ

5) шенную дисперсию п к=1

Существуют различные методы уменьшения дисперсии (см. [3], гл. 4, §2).

В диссертации рассматриваются методы существенной выборки, выделения главной части и их комбинация. В дальнейшем случайную величину /&(£) будем обозначать как fk.

Существенная выборка. Пусть Q — произвольная вероятностная меdP pa такая, что Р абсолютно непрерывна относительно Q и пусть р — — производная Радона-Никодима. Рассмотрим оценку среднего Ск = ЕД вида Ск(р) = pfk - Эта оценка является несмещенной, так как Е®Ск(р) = Ск. Минимум взвешенной дисперсии достигается, когда достигается минимум взвешенного второго момента к=1 к=1 Определим случайную величину ( — 1ьЯк) 2, тогда

Е^С)2 £ (ес)2 и равенство достигается при р — Е("/С- Таким образом, минимум mmjr№C2k{p)qk = {ш? (6)

Р к=1 и достигается при Q такой, что dQ = —ЦсйР. Этот результат был получен

ЕС в [3] (гл. 4, §2).

Выделение главной части. Рассмотрим оценки среднего С к = ЕД вида Cfc(77) = Д + ?7, где 77 — случайная величина такая, что Е77 = 0. Распишем взвешенный второй момент п п / п \ ЕС2^ = Е £ /2gfc + 2Е [ £ Дд* J tj + Ет?2 = Е<? + В(С + 77) где ( = ELi Отсюда видно, что минимум п min £ EC^g, = ЕС2 - ВС (7)

77 < ' к= 1 и достигается при 77 = — £ + Е£.

Отметим, что при использовании этих двух методов, минимальные взвешенные дисперсии различны и разность между ними равна В£ — В£ •

Совместная оценка. Различие минимальных взвешенных дисперсий приводит к рассмотрению совместной оценки среднего Ск = ЕД вида CkiPiV) = Ck{p) + V: гДе Ск{р) — оценка по методу существенной выборки, а 7] — случайная величина такая, что Е^rj = 0. Оценка Ск(р, v) является несмещенной. Так как п / п \ 2

С = ^2f2kqk> к=1 \к=1 / то можно определить С, = у С2 — С2 • Распишем взвешенный второй момент ЕQCl(p, rj)qk = EQ/?2 £ fUk + EV + 2E V £ Л» = k=1 A=1 A=1 EVC2 + E<> fa + K)2 - EVC2 = E<VC2 + В «fa + PC) + (E<02

Таким образом, минимум п min Y, ECgfa V)4k = (ЕС)2 + (ЕС)2 (8)

ЕС ЕСи достигается при р = и т] = —~~С + •

Легко видеть, что минимум (8) не превосходит минимумов (6) и (7). Действительно,

ЕС) + (ЕС) ^ (ЕС) (ЕС)2 + (ЕС)2 ^ ЕС2 + (ЕС)2 ^ ЕС2 - ОС

1 + ( С2 V (J (ЕС)2 - D^J , С где мера Q такая, что dQ = —хбЯР.

ЕС

Выделение главной части с дополнительными весами. Рассмотрим оценку среднего Ск = ЕД вида

Ск{а,г]) = fk + акт), (9) где а — вещественная функция параметра к, ак~ а(к) — ее значения, rj — случайная величина такая, что Ег; = 0. Дисперсия оценки равна

DCfe(a, г]) = а\Щ + ЪакркУ/Щ~к л/Щ + Ш = 2 («к + % + (1 - р1)Ш, (ю) где рк = p{fk,T)) — коэффициент корреляции между fk и г/. Решим задачу минимизации взвешенной дисперсии оценки С&(а,7/) при фиксированном г/.

Из выражения (10) следует, что п п п п /ц-, г \2 ^(1 - plWkQk = X>/fc<fc ~ ЕЧгТ^ (U) а к=1 к=1 к=1 А=1 ^ и достигается при

Ег/! ак = "м-- (12)

Случайная величина 77 может быть получена с помощью метода выделения главной части без дополнительных весов, то есть, как решение задачи (Т). В этом случае 77 — —С + оценка (9) имеет вид

Cfc(o, ту) = Д + С)(Е< ~ С) (13) и взвешенная дисперсия этой оценки не превосходит минимума (7).

Совместная оценка с дополнительными весами. Рассмотрим оценку среднего Ск = Еfk вида

Ск(а-,р,т]) = Ск(р) + ад, где Ск{р) — оценка по методу существенной выборки, 77 — случайная величина такая, что Е®77 — 0, а — вещественная функция параметра к, а ак = а(к) — ее значения. Оценка Ск(а; р, rj) является несмещенной: Е®Ск(а\ р, 77) = Ск. Получив р = щ ж rj как решение задачи минимизации (8), решаем задачу min У\Ш^Ск{а\р^к. (14) а —* к=1

Расписывая дисперсию оценки Ск{а\ р,г)) аналогично (10), получаем, что минимум (14) равен к=1 fc=l 1 достигается при а такой, что ак = ( } и не превосходит (Е£)2 + (ЕС)2.

В диссертации методы существенной выборки и выделения главной части применяются для минимизации взвешенной дисперсии оценок Монте-Карло цен опционных контрактов в различных финансовых моделях.

В первой главе рассматривается диффузионной модель финансового рынка. В первом параграфе приводится ее описание. Пусть W = (Wt)t^o — винеровский процесс, заданный на вероятностном пространстве (О, J7, Р), и F = — естественная фильтрация процесса (Wt)t^о - Предполагается, что процесс {St)o^t^T является решением уравнения

7 Q

- = r(t, St)dt + a(t: St)dWt, S0 = s0l O^t^T. Такая финансовая модель называется моделью с локальной волатильностью

St) ■

Во втором параграфе задача минимизации взвешенной дисперсии решается в различных классах оценок. На платежное обязательство накладывается условие

О ^ fk(S) < С! sup St + с2, Р - п.н., (17) где с\, C2 — некоторые константы. Отметим, что платежные обязательства таких распространенных контрактов, как стандартные европейские опционы, азиатские и барьерные опционы европейского типа, удовлетворяют данному условию. В случае существенной выборки производится абсолютно-непрерывная замена меры сйРи = Lj.d\Р, где процесс Щ является решением уравнения jTv

-± = -vtdWt, Ц = 1. bt

Рассматриваются оценки математического ожидания Ck = ЖЯт/к вида

Ck{v) = RrfkPTi где р^ = (Ly)-1, Rt = ехр(—Jq r(t, St)dt) и для процесса vt выполнено условие Новикова:

Eexpji J^ v2sdt^ < оо. (18)

Обозначим через и дисперсию и математическое ожидание относительно меры Р^. Так как ВvCk(v) = ЕvCl(v) — С|, то задача минимизации взвешенной дисперсии сводится к минимизации взвешенного второго момента min [ EvGl{v)Q{dk). (19) и Je

Введем обозначение

G = Rt (J fiQ{dk)y , (20) тогда задача (19) сводится к минимизации второго момента функционала G. Определим мартингал jit = Е((7|^). Условие на платежное обязательство (17) обеспечивает квадратичную интегрируемость мартингала jXt. Задача (19) решена в следующей теореме.

Теорема 1. Существует Tt-измеримый процесс at такой, что выполняется djlt — octdWt ■ Если

Еехр jijf (&t/fH)2dtj <00, тогда минимум (19) равен

EG)2 (21) и достигается при vt = -oct/fa

В случае выделения главной части рассматриваются несмещенные оценки математического ожидания Ck = ЕRrfk вида Т

Ck(z)=RTfk + [ zs dWs, (22)

Jo T где (2s)o<s<t ~ Ft-измеримый процесс такой, что Е fQ z^ds < 00. Пусть

G = RT f hQ(dk), jk = E(G\Ft). (23)

Je

В классе оценок (22) минимизируется взвешенный второй момент min [ ECl(z)Q(dk). (24) Je

Теорема 2. Минимум (24) равен

EG2 - D)G (25) и достигается при zt = -at, где Tt -измеримый процесс at такой, что dfit = atdWt.

В случае выделения главной части при фиксированном г рассматриваются также оценки EjRrfk вида Т

Ck(a) = RTfk + a{k) f zsdWs,

J о где к £ © С Mn, а — вещественная функция на множестве О. Показано, что при

Е [iirfk &S dWs) а (к) = Е tfzlds достигается минимум взвешенной дисперсии min [ BCk(a)Q(dk)= f (1 - p2k)B(RTfk)Q(dk), ° Je Je ji где pk — коэффициент корреляции между Rrfk и JQ zs dWs.

Вообще говоря, минимумы (21), (25) различны и совпадают, когда мера Q сосредоточена в одной точке, то есть рассматривается один опцион. Далее рассматривается комбинация метода существенной выборки и метода выделения главной части. Пусть для Tt-измеримого процесса (vs)o^s^t выполнено условие (18), Tt-измеримый процесс (zs)0^s^t такой, что Е JQ z2ds < оо. Рассматривается оценка среднего ЕRrfk вида

Ck(v,z) = RTfkpvT+ [ zsdWl

J о

Так как G ^ G, можем определить G = Vd2-G2 и fit = .

Теорема 3. Пусть Цц такие же, как в теореме 2, и Tt~измеримый процесс at такой, что dj2t — atdWt. Минимум min /еЕvСЦу, z)Q(dk) pa

VjZ вен

EG)2 + (EG)2 и достигается при vt = Zt = ~Pt(at + ум), Mt если для v выполнено условие (18).

Так же, как и для случая выделения главной части, рассматриваются оценки среднего ЕRxfk вида Т

Ck{a) = RrfkPr + а{к) f zs dWvs

J о и решается задача минимизации mm а /0 f BuCk{a)Q(dk).

Je

Во второй главе рассматривается модель финансового рынка со стохастической волатильностью и скачками. В первом параграфе описывается сама модель. Рассматривается пуассоновский процесс Nt = Yhn^i l{T„<:t} с постоянной интенсивностью Л, где Т\, (Тп+\ — Тп)п^>i — последовательность независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение с параметром Л. Рассматривается последовательность независимых случайных величин (Xi)n^i с распределением m(dy) на измеримом пространстве

20

Е,£). Предполагается, что цена базового актива St удовлетворяет системе уравнений

Nt

St= f p(r,ST)STdr + [ *(T,VT)STdWM + f]^(Tn,Sтn-,Yn)Sтn

J* J° n= 1

Vt= [ v(r,VT)dr+ [ 9(r,VT)dW Jo Jo w't = Pwl[) + y/1 - p*Wt{2\ где p(t,St) = r(t, St) - A JE j(t, St-,y)rn(dy), \p\ < 1, и W^ — г-ая компонента двумерного винеровского процесса Wt, независимого с последовательностью (Tn,Yn)n^ 1- Пусть фильтрация ¥ = (^)^о — естественная фильтрация, порожденная (Wt)t^o и (Tn,Yn)n^i. Обозначим через p(dt,dy) считающую меру последовательности (Тп, Yn)n^i > компенсатор меры p(dt, dy) есть u(dt,dy) = Xm(dy)dt. Обозначим через p(dt,dy) компенсированную меру p(dt, dy) - u(dt, dy).

Во втором параграфе, также как и в главе 1, методы существенной выборки и выделения главной части применяются для минимизации взвешенной дисперсии оценки среднего. Предполагается, что платежное обязательство опционов удовлетворяет условию (17). Введем обозначения

Ll(Rk) ={/ : f(t,w) - ^-измеримый,Е [ \\f(t,cj)\gkdt < оо},

J о

F§{R) ={/ : f(t, у, со) - ^-предсказуемый, Е / / f2(t,y,u)m(dy)dt < оо}.

J о Je

Рассмотрим случай существенной выборки. Пусть vt = v(t,uj) е Zj-(R2), процесс Kt(y) = у, uj) G ^р(М) и для любого t G [О, Т] выполнено условие vt\2 + [ K2t(y)m(dy) ^ c(t) Р-п.н., (26)

Je где c(t) ^ 0 — детерминированная функция такая, что /0Г c(t)dt < оо. Обозначим через д пару {v, к}. Условие (26) позволяет сделать абсолютно-непрерывную замену меры сПР^ = L^dP, где процесс (bf)o<is$r является решением уравнения dT^ Г vtdWt + Je Kt(y)p(dt, dy), Lt = 1. (27)

Относительно меры P19 процесс W? = Wt — Jq vsds является винеровским процессом и компенсатор p(dt,dy) есть (1 + Kt(y))u(dt, dy). Заметим, что если определить ipt = fEKt(y)m(dy) + l и ht(y) = («t(y) + 1)М, тогда p(dt,dy) имеет (Р15, Ft)-локальные характеристики (Л-^, ht(y)m(dy)): то есть, относительно новой меры Р^ интенсивность равна Л^ и распределение скачков есть ht(y)m,(dy). Обозначим через математическое ожидание относительно Р*9. Определим р^ — {Lj) 1 и рассмотрим оценки среднего Ск = ЕRrfk вида

Ск(#) = RTfkPdT. (28)

Рассмотрим мартингал p,t = , где G определен в (20). Условие на платежное обязательство (17) обеспечивает квадратичную интегрируемость мартингала p,t ■ В диссертации доказана следующая теорема:

Теорема 4. Существуют процессы at G и (3t{y) G такие, что dfit = atdWt + / $t{y)p(dt, dy). Je

Минимум min f9 E^C%(tf)Q(dk) равен ^EG^ и достигается при A t / ч А (у) Vi = —, Kt{y) = i !H fj>tесли выполнено условие (26) для Vt, Kt{y) ■

В случае выделения главной части рассматриваются оценки математического ожидания Ck = ЕRrfk вида

Ск{у) = Rrfk + (29) где * G L2 (R2), Сt{y) € f?(»), Ч> = С} и

Л/f = f zsdWs+ f [ Сs(y)P(ds,dy). (30)

Vo ./о Je

Функционал G и мартингал pt определены в (23). В диссертационной работе доказана следующая теорема:

Теорема 5. Минимум min/е EC%(<p)Q(dk) равен ЕС2 — D((7) и достигается при

Zt = -Oit, Ct(y) = -pt(y), где процессы at £ L|(M2) и (3t{y) € i^O^) 4mo dpt = octdWt + / fit{y)p{dt, dy). Je

Методы существенной выборки и выделения главной части используются также совместно. Оценки (28) и (29) объединены в оценку математического ожидания Ск = E-Rt/a; вида

Ck{'d,ip) = RTfkPdT + M^, (31) где = {г>, к}, tp = {z, С} и мартингал f ZsdW"+ Г [ Сs(y)P(ds,dy) (32)

Jo Jo JE квадратично интегрируемый относительно меры Р^ и p(ds, dy) = p(ds, dy) — (1 + Kt(y))v(dt,dy). Определим G = — G2 и = E(G|^"t). Задача минимизации min f E^C^tf, ip)Q(dk) (33)

Je решена в следующей теореме:

Теорема 6. Пусть fit, at, Pt{y) такие же, как в теореме 5, и процессы at € L|(R2), (3t(y) e такие, что dfk = atdWt + / pt{y)p{dt, dy). Je

Тогда минимум (33) равен (EG)2 + (EG)2 и достигается при vt = —, Kt{y) = ——, zt = -pt [at - vtfH), если выполнено условие (26) для v, к.

Кроме того, также как и в главе 1 в оценки среднего Ск вида (29) и (31) добавляются дополнительные веса, зависящие от параметра взвешивания к и рассматриваются оценки вида:

Ск(а; <р) = RTfk + а(к)М£, Ск(а; 0, <р) = ДгД^ + a(k)M*'v, где Mjp, Мр'^ определены в (30) и (32). Решаются следующие задачи минимизации: min I BCk(a)tp)Q(dk), min f lf6k(a\ •&, p)Q(dk). a Je a Jq

В третьей главе рассматривается случай, когда дата исполнения опциона t включена в параметр взвешивания (k,t), который принимает значения из некоторого множества © = /С х [0, Т], где /С С Шп. Предполагается, что платежная функция опционного контракта имеет вид = fk(t, St), Q(dk, dt) = P(dk)Q(dt) на /С x [0, T], мера Q имеет ограниченную плотность Q(t).

В первом параграфе рассматривается диффузионная модель, описанная в главе 1. Для минимизации взвешенной дисперсии применяются две оценки математического ожидания ЕRtfk,t '■

Cklt(v) = Rtfk,tpl (34) где плотность р\ = dP/dF" , Rt = е~ Jo r(r,ST)dr и 0ценка

Cklt(v) = Rtfk,tpT

Минимум взвешенной дисперсии для второй оценки получен с использованием теоремы 1. Минимум для первой оценки не превосходит минимума для второй оценки, но при этом требуется затратить существенно больше усилий для решения задачи минимизации. Сначала задача минимизации взвешенного второго момента min [ [ ЕvClt{v)P(dk)q{t)dt. v Jo Jk сводится к задаче minУг'(0, So), (35) где Г

VV(t0,x) = E~V Ц ei:0(^Sr)-2r(r,ST))drh2^^ St)q(j.)dt

Sta=x), h(t,x) = f£(t,x)P(dk))2. Выводится линейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа, которому удовлетворяет функция Vv(t,x). Обозначим

W{t, х) = + + Г it, - r(t, x)U(t, X),

F(t, х) — h2(t, x)q(t). В диссертационной работе получены условия на функции q, г, а, fk при которых справедлива следующая теорема:

Теорема 7. Минимум (35) достигается при у*{г,х) = -а(г,х)хЩ^, (36) где U удовлетворяет уравнению = 0 е[0,Т)хМ+ с нулевым финальным условием.

• В параграфе 2 рассмотрена модель со стохастической волатильностью и скачками. Доказана теорема 8, аналогичная теореме 7. В этой теореме решается задача минимизации взвешенного второго момента оценок среднего ЕRtfk,t вида Ск= Btfk,tPt, гДе Pt = и Lt задано в (27). Решение задачи минимизации ГТ mm / Jo приводит к решению некоторого нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных.

В четвертой главе результаты глав 1, 2 и 3 применяются к оцениванию различных опционов. В первом параграфе строятся аппроксимации оптимальных оценок стоимостей опционов, минимизирующих взвешенную дисперсию в рассматриваемых моделях для стандартных европейских опционных контрактов, когда параметрами взвешивания является цена исполнения (страйк) и дата исполнения. Для азиатских опционов европейского типа, платежное обязательство которых зависит от среднего значения цены базового актива, аппроксимации получены, когда параметром взвешивания является страйк. Платежное обязательство барьерных контрактов европейского типа зависит от достижения ценой базового актива некоторого барьера. Для таких опционов в качестве параметра взвешивания рассматривается страйк и Е*C£t(tf)Q(dMt)

J к барьер. В случае оценки (34) для аппроксимации оптимальной функции v* в (36), решающей задачу минимизации (35), рассматривается некоторая последовательность функций {wn}£Lo > ^о = 0) которая при определенных условиях сходится к v*. Показано, что последовательность функций VVn(t,x) не возрастает и при этом VV°(Q, So) есть взвешенный второй момент оценки цены опциона ~ERt}\jt вида Ck,t — Rtfk,t ■ При моделировании используется аппроксимация функции V\(t, х), которая приводит к существенному уменьшению взвешенной дисперсии.

Во втором параграфе показано, что в тех случаях, когда требуется высокая точность вычислений, построенные оценки более эффективны по сравнению со стандартной оценкой Монте-Карло. Для повышения эффективности полученные в параграфе 1 аппроксимации вычисляются на сетке и затем при моделировании используется их линейная интерполяция.

Общее время вычислений Т£, где £ — точность оценивания, задается формулой (3). В качестве показателя эффективности используется отношение временных затрат на вычисления R = Tj^/Tj0^, где Tj0^ соответствует станfi) —ci ^ дартной оценке Монте-Карло, а Те — оценке Cj. , которая используется для уменьшения дисперсии. Для стандартной оценки Монте-Карло предполагается, что предварительные вычисления не производятся, то есть t^ = 0, тогда получаем

41' д'ЧМ"

7;р) т IJIS'I М + tm • i) где t\ — время моделирования одной траектории для соответствующей оценки, ц — время, затраченное на предварительные вычисления для оценки Cf}, t^ — время вычисления соответствующей оценки на одной траектории, дисперсии оценок. Ясно, что t^/TP 0, при е —> 0. Кроме i) I Л*) того, для построенных оценок г\ + ц возрастает незначительно по сравнению с tf^ + 40). Поэтому если требуется высокая точность вычислений, то оценки с меньшей дисперсией более эффективны вне зависимости от того, сколько времени требуется на предварительные вычисления.

В третьем параграфе приведены результаты моделирования, демонстрирующие эффективность построенных оценок.

В приложении А приводится список используемых обозначений. В приложениях В и С производятся необходимые вычисления для расчетов барьерных опционов.

1. Н.Н. Уральцева О.А. Ладыженская, В.А. Солонников. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. НАУКА, Москва, 1967.

2. А. Н. Ширяев А. В . Булинский. Теория случайных процессов. Физмат-лит, Москва, 2005.

3. С. М. Ермаков. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. Наука, Москва, 1975.

4. А. Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики, т.1. ФАЗИС, Москва, 1998.

5. А. Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики, т. 2. ФАЗИС, Москва, 1998.

6. К. Миранда. Уравнения с частными производными эллиптического типа. Издательство иностранной литературы, Москва, 1957.

7. А. Фридман. Уравнения с частными производными параболического типа. МИР, Москва, 1968.

8. Y. N. Kashtanov A. A. Gormin. Variance reduction for multiple option parameters. Journal of Numerical and Applied Mathematics (ISSN 08686912), 1(96):96—104, 2008.

9. Y. N. Kashtanov A. A. Gormin. The weighted variance minimization in jump-diffusion stochastic volatility models. Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2008, pages 383 394, November 2009.

10. Ю.Н. Каштанов А.А. Гормнн. Уменьшение дисперсии при оценивании опционных контрактов. Вестн. С.-Петербург, ун-та, 10(3):10 21, сентябрь 2009.

11. D. Bates, "jump and stochastic volatility: Exchange rate processes implict in deutsche mark in options. Review of Financial Studies, 9(1):69—107, 1996.

12. N. Bruti-Liberati and E. Platen. Strong approximations of stochastic equations with jumps. Journal of Computational and Applied Mathematics, 205:982-1001, 2007.

13. R. Cont and P. Tankov. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004.

14. B. Dupire. Pricing with a smile. Risk Magazine, 7(l):18-20, 1994.

15. M. Scholes F. Black. The pricing of options and corporate liabilities. The Journal of Political Economy, 81:637-659, 1973.

16. G. S. Fishman. Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications. Springer-Verlag, New York, 1996.

17. J.P. Fouque and C.H. Han. Variance reduction for Monte Carlo methods to evaluate option prices under multi-factor stochastic volatility models. Quantitative Finance, 4(5):597-606, 2004.

18. J.P. Fouque and T. Tullie. Variance reduction for Monte Carlo simulation in a stochastic volatiltiy environment. Quantitative Finance, 2:24-30, 2002.

19. A. Friedman. Stochastic Differential Equations and Applications, volume 1. Academic Press, New York, 1975.

20. P. Glasserman. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer-Verlag, New York, 2004.

21. P. Glasserman and N. Merener. Numerical solution of jump-diffusion LIBOR market models. Finance and Stochastic, 7(l):l-27, 2003.

22. A. A. Gormin. Importance sampling and control variates in the weighted variance minimization. Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation, pages 109-113, June 2009.

23. A. A. Gormin and Y. N. Kashtanov. The weighted variance minimization for options pricing. Monte Carlo Methods and Applications, 13(5-6):333—351, 2007.

24. S. L. Heston. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6:327-343, 1993.

25. S. R. Pliska J. M. Harrison. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications, ll(3):215-260, 1981.

26. S. R. Pliska J. M. Harrison. A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets. Stochastic Processes and their Applications, 15:313-316, 1983.

27. K. R. Sircar J. P. Foque, G. Papanicolaou. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

28. C.H. Han J.P. Fouque and Y. Lai. Variance reduction for MC/QMC methods to evaluate option prices. Resent Advances in Financial Engineering (Proceedings of the 2008 Daiwa International Workshop on Financial Engineering).

29. R. C. Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. The Jourbal of Financial Economics, 3:125-144, 1976.

30. Nigel J. Newton. Variance reduction for simulated diffusions. SIAM Journal on Applied Mathematics, 54(6): 1780-1805, 1994.

31. C. Chiarella, C. Nikitopoulos and E. Schlogl. A control variate method for Monte Carlo simulations of Heath-Jarrow-Morton models with jumps. Applied Mathematical Finance, 14(5):365-399, 2007.

32. J.-P. Foque, G. Papanicolaou and K. R. Sircar. Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

33. A-C. Lund S. Lindset. A monte carlo approach for the american put under stochastic interest rates. Journal of Economics Dynamics and Control, 31(4):1081—1105, 2007.

34. L. M. Wakeman S. M. Turnbull. A quick algorithm for pricing european average options. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 26(3):377-389, 1991.

35. R. Situ. Theory of Stochastic Differential Equations with Jumps and Applications. Springer-Verlag, New York, 2005.

36. D. Talay. Probabilistic numerical methods for partial differential equations: Elements of analysis. Probabilistic Models for Partial Differential Equations and Numerical Applications, Lecture Notes in Mathematics, 1627:148-196, 1996.

37. G. Yan and Floyd B. Hanson. Option pricing for a stochastic-volatility jump-diffusion model with log-uniform jump-amplitudes. Proceedings of American Control Conference, pages 2989-2994, 2006.

38. Z. Zhu and Floyd B. Hanson. A Monte-Carlo option-pricing algorithm for log-uniform jump-diffusion model. Proceedings of Joint 44nd IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference, pages 5221-5226, 2005.