автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование в задачах оптимального выбора времени начала страхования и профилактики

Санкт-Петербургский государственный университет

"1 J

На правах рукописи

Расова София Станиславовна УИ4603261

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫБОРА ВРЕМЕНИ НАЧАЛА СТРАХОВАНИЯ И ПРОФИЛАКТИКИ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 ИЮН 2010

Санкт-Петербург — 2010

004603261

Работа выполнена в лаборатории методов анализа надежности Института проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Харламов Борис Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Белопольская Яна Исаевна (Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент Смирнова Вера Андреевна (Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет инженеров путей сообщения

Защита состоится 9 июня 2010 г. в 16 ч. 00 м. на заседании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан "X I " Ол^ь

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Г. И. Курбатова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации проводится исследование математических моделей эксплуатации технических объектов на примере задач надежности и риска. Моделируются следующие объекты:

A) процесс деградации технической системы;

B) страхование невосстанавливаемой технической системы, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается случайный процесс;

C) длительное функционирования восстанавливаемой технической системы с профилактическим обслуживанием, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается случайный процесс.

Модели В) и С) обычно приводят к необходимости решения различных задач оптимизации. В области страхования наиболее полно исследован класс задач, связанный с оптимизацией поведения страховщика. Решением этих задач занимались многие выдающиеся математики, начиная с Крамера и Лундберга. В качестве примера работ, рассматривающих оптимальное поведение клиента, можно привести работу Норберга [7]. В диссертации исследуется модель страхования и связанный с ней функционал цели, учитывающий интересы клиента.

С точки зрения математического метода исследования задача о выборе оптимального режима отключений на профилактический ремонт оказалась близка к задаче страхования. Проблемы профилактики в модели с детерминированным неубывающим процессом деградации впервые были затронуты в работах Р. Барлоу и Ф. Прошана, которые исследовали ставшую теперь классической задачу о нахождении оптимального режима профилактики, приводящую к фиксированному графику остановок на профилактический ремонт. Ситуация со случайной неубывающей деградацией была рассмотрена Б. П. Харламовым, который высказал предположение, что оптимальные режимы профилактики при монотонной и немонотонной деградации не отличаются друг от друга. В диссертации на основании предложенной модели обслуживания технической системы рассматривается задача оптимизации правила профилактических остановок на ремонт для немонотонных случайных процессов деградации. Показано, что предположение Харламова в общем случае не выполняется.

В последнее время в связи с проблемой ускоренных испытаний на надежность появилось большое число работ по исследованию связи опасности отказа со степенью износа (деградацией). В частности, в этом направлении работают такие исследователи, как Леманн [6], Ди Крещенцо, Мартинуччи [5] и др. Сформулировано несколько моделей такой связи в работах [2-4]. В диссертации используется одна из таких моделей (модель Кокса), в которой опасность отказа является положительной неубывающей функцией от степени деградации. В этом отношении диссертация близка к работам Аалена и Гжессинга [1], где рассматриваются марковские диффузионные процессы в качестве модели деградации.

Из вышесказанного можно заключить, что исследование математических моделей, рассматриваемых в диссертации, актуально с точки зрения технических приложений и принадлежит к развивающейся области математики.

Цель работы заключается в построении и проведении исследования перечисленных выше моделей деградации, страхования и профилактического обслуживания. Для моделей страхования и профилактики была поставлена задача определить моменты остановки данных немонотонных случайных процессов деградации (процессов регенерации и диффузионных процессов), оптимальные относительно полученных нелинейных функционалов цели. В частности, необходимо было для каждого из рассматриваемых процессов произвести разделение пространства параметров процесса деградации и технической системы на области, соответствующие возможным решениям следующей альтернативы: или оптимальное решение существует и равно моменту первого достижения заданного уровня, или оптимального решения в области конечных марковских моментов не существует.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математического моделирования, математического анализа, дифференциальных уравнений и теории вероятностей.

Научная новизна. В работе была впервые построена математическая модель процесса деградации в виде непрерывного немонотонного полумарковского процесса. Были впервые построены и изучены модели страхования невосстанавливаемых систем и профилактики восстанавливаемых си-

стем при условии немонотонного случайного процесса деградации. В задаче оптимального выбора момента остановки процесса деградации была впервые установлена альтернатива выбора в ситуации, когда оптимальный уровень может многократно пересекаться процессом деградации. Впервые были получены определяющие функции (функции, от знака которых зависит вид решения) для рассматриваемых процессов в аналитическом виде и численно найдены разбиения пространства параметров технической системы и процесса деградации на две области, соответствующие двум решениям альтернативы.

Практическая и теоретическая ценность. В рамках принятых моделей полученные результаты позволяют сводить к минимуму объём вычислений в процедуре принятия решения о выборе момента остановки процесса деградации. В зависимости от параметров модели в случае страхования нужно или заключать страховой договор в момент первого выполнения необходимого условия оптимальности — достижение процессом некоторого вычисленного уровня, или не заключать его совсем, а в случае профилактики нужно или производить отключение на профилактику в момент первого выполнения необходимого условия оптимальности, или продолжать работу системы до её отказа. Теоретическую ценность могут представить ряд теорем и формул, полученных в диссертации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории методов анализа надежности ЙПМаш РАН, а также на следующих конференциях и школах: Международной научной школе 'Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах" (Санкт-Петербург, 4-8 июля 2006, 24-28 июня 2008); VI международной конференции "Математические методы в теории надежности. Теория. Методы. Приложения." (Москва, 22-29 июня 2009).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах [9-14].

Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы из 21 наименования, изложена на 99 страницах, включает 27 иллюстраций.

Основное содержание работы

Во Введении приводится краткая характеристика рассматриваемых задач, формулируется цель работы.

Глава 1 содержит построение и обоснование моделей А и В. Это модели деградации в виде процесса регенерации и диффузионного процесса, и модель страхования невосстанавливаемой технической системы при условии случайной немонотонной деградации. Модель страхования исследуется в связи с задачей оптимального выбора момента начала страхования. Доказано, что альтернатива выбора связана с видом определяющей функции. Задача нахождения определяющей функции решена для двух видов процесса регенерации в качестве процесса деградации технической системы.

Модель А. В качестве модели деградации рассматривается непрерывный полумарковский процесс [8]. Первой рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации кусочно-монотонного типа, где каждый цикл регенерации представляет собой монотонный обращенный гамма процесс с плотностью распределения времени деградации от уровня х до уровня х + И вида

где /3 и к — параметры процесса, Г — гамма функция. Эта модель прошла статистическую проверку по материалам лаборатории трения и износа ИП-Маш РАН. Графики износа и их моделирование с помощью обращенного гамма процесса, а также результаты оценки параметров и статистической проверки приведены в диссертации.

Второй рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации, где каждый цикл регенерации представлен возрастающей линейной функцией случайного наклона. Эта модель используется в медицине, где регенерация интерпретируется как результат временного улучшения состояния пациента после некоторой лечебной процедуры (см. Багдонавичюс и Никулин [3]).

Третьей рассмотренной моделью немонотонной деградации является полумарковский процесс диффузионного типа [8]. Этот процесс используется в финансовой математике. При анализе технической системы диффу-

зионная составляющая процесса деградации обычно понимается как статистический шум, вызванный ошибками измерения или неконтролируемыми внутренними причинами развития.

Модель В. В качестве модели страхования невосстанавливаемой системы рассматривается модель материального ущерба клиента страховой компании в результате страхового случая

где V — интенсивность страховой премии (норма премии), С — момент страхового случая, т. е. происшествия, повлекшего за собой материальные потери в размере С и предусмотренного страховым полисом, т — момент заключения страхового договора, У/ — единовременная выплата согласно страховому договору. В модели предусмотрена условная функция распределения величины С относительно процесса деградации

Функция Н(х) является неубывающей; случайная величина к(Х3) интерпретируется как опасность наступления страхового события. Однозначная монотонная зависимость опасности наступления страхового события от степени деградации в текущий момент представляет собой одну из моделей теории надежности (модель Кокса), находящих статистическое подтверждение в ряде случаев, описанных в литературе по надежности (см. Никулин).

При анализе данной модели невосстанавливаемой системы решается задача об оптимальном выборе момента г в соответствии с критерием оптимальности — математическим ожиданием случайной величины /т, которое вычисляется по формуле

1т = У({-т)+-Ш1т<1;+С,

(« > 0).

оо

Е/т = V ЕI е~ /о л(х'> йасИ- Ш Ее~ 1о к{х'] + ЕС,

т

где Е — символ математического ожидания.

Необходимым условием оптимальности марковского момента г относительно функционала EfT, как было показано Харламовым, является соотношение h(XT) = v/W. В случае, когда процесс деградации представлен положительным кусочно-возрастающим процессом регенерации, уровень Ь —v/W пересекается бесконечное число раз. Для этого процесса получено выражение для определяющей функции G. Этот результат был сформулирован автором в теореме 1:

Теорема 1: Пусть Xt — кусочно-непрерывный процесс регенерации, h — непрерывная неубывающая функция. Тогда определяющая функция для такого процесса имеет вид

о

где у = Ь, с, с > Ь — уровень деградации, определяющий момент регенерации, ту — момент первого достижения уровня у.

На основании определяющей функции для конкретных процессов численно было произведено разделение пространства параметров на области, соответствующие возможным решениям альтернативы.

В качестве второй нетривиальной модели деградации был рассмотрен процесс диффузионного типа. В качестве опасности отказа были приняты модели 1г(х) = тах(е,а:) (е > 0) и Ь,{х) = ехр(Аж) (А > 0). В диссертации было получено выражение для определяющей функции СГ(Ь), г > 0 в случае диффузионных процессов.

Теорема 4: Пусть Хг — полумарковский процесс диффузионного типа, к — непрерывная неубывающая функция. Тогда определяющая функция для такого процесса имеет вид

G = -Ь-^-г + Ъ9ь + /6,

j- Je

где

Gr(b) = -Ь(дь-г(Ь) + дь{Ь - г)/ь_г(Ь)) + 1 - fh(b - г)/6_г(Ь),

где

Л_Г(Ь) = Еье~ Г-" *^ d\ fb(b - г) = Еь-Ге~ -Г h(Xt) d\

"6-т- РЬ

дЬ-г(Ъ) = ЕЬ I е~ ¡о т дь{Ъ - г) = ЕЬ-Т ]е~ & КК'] "Ж о о

г<?е ць — момент первого выхода из интервала (—оо, Ь), — момент первого выхода из интервала (6 —г, оо), — символ интегрирования по мере Рх — распределение диффузионного процесса с начальной точкой х.

Для нахождения составляющих определяющей функции были выведены дифференциальные уравнения — аналоги для полумарковских процессов диффузионного вида дифференциальных уравнений Фейнмана—Каца. А именно, показано, что функции /ь_г(ж) (Ь — г < х) и /ь(х) (х < Ь) удовлетворяют уравнению

±Г + а(х)Г-с(Цх),х)/ = 0

с граничными условиями /ь_г(Ь—г) — 1, /&_г(оо) = 0 и /¡,(Ь) = 1, /6(—оо) = О, где с(Л, х) — параметр непрерывного полумарковского процесса диффузионного вида. Функции дь-г(х) {Ь — г < х) и 5ь(аг) (х < Ь) удовлетворяют уравнению

1 д" + а(х)д' - с(Цх), х)д + = О

с граничными условиями дь-т(Ь — г) = 0, дь-г(оо) < оо и рь(Ь) = 0, дь{—оо) < оо.

Глава 2 посвящена построению и обоснованию модели профилактического обслуживания восстанавливаемой технической системы при условии случайной немонотонной деградации.

Модель С. Потери восстанавливаемой системы в течение одного цикла определяются формулой

С Лг

/т = - У Л(Хг) Л + г /с<т + р1с>т, о

где А{Хг) — интенсивность прибыли (отрицательная потеря), получаемой от работы системы до момента отключения на ремонт, которое происходит в результате отказа в момент С или в результате отключения системы

на профилактическое обслуживание в момент г; г — потери, связанные с ремонтом, р — потери, связанные с профилактическим обслуживанием. Отсюда средние потери одного цикла

т

ЕЬ = -Е I А{Х1)е~ /о ^^¿Ь + г - (г - р) Ее" £ о

и средняя длительность одного цикла

т

ЕТг^Е! е- /о к(х')<1° М + тщ- (тщ - тп2)Ее~ К ^ о

где тп\ — условное среднее время ремонта после отказа и тпг — условное среднее время профилактического обслуживания, при этом г > р и т\ > тпг. При анализе данной модели функционирования восстанавливаемой системы решается задача об оптимальном выборе момента т в соответствии с критерием оптимальности — отношением .Рг = Е}\ /ЕТх, которое является средней по времени величиной потерь данной системы. Решается задача выбора такого то, что Гто = ттт^тЕт, где Т — множество всех марковских моментов. Доказано, что альтернатива выбора связана с видом определяющей функции, рассмотренной в предыдущей главе. В этой главе задача нахождения определяющей функции решена для двух видов процесса регенерации. В частности, изучены примеры кусочно-полумарковского и кусочно-линейного процессов. Для этих процессов приведены численные расчеты, иллюстрирующие существование обеих областей возможного решения альтернативы.

Необходимое условие минимума коэффициента неготовности в момент г определяется условием

итг \ 1711 ~ (т1 " т2^Т т

к{Хт) = (т - ш2)К ■ (1)

Для процесса регенерации (кусочно-полумарковский и ку-сочно-линейный процессы) в диссертации приведены численные примеры для некоторых значений параметров, иллюстрирующие существование обеих областей возможного решения альтернативы.

Вопрос о существовании оптимального решения при деградации диффузионного вида решается с помощью траектории выбора. Для этой цели условие (1) приводится к виду, при котором обе части равенства имеют монотонный характер изменения при подстановке вместо г момента та, представляющего собой или ца, или ь>а, или конечную комбинация таких моментов, обладающую свойством ХТа — а на множестве {та < оо}. В данном случае условие (1) сводится к уравнению

ЯГв(а|®) = 1/5-1 относительно а, где 5 = (тпх — Ш2)1тп\ и

То

НТа (а I х) = Ех I е~ /о Л(Л(а) - ВД)) Л-о

Это выражение, рассматриваемое как функция от всех та, называется траекторией выбора. Множество всех траекторий выбора, построенное относительно начальной точки процесса х, имеет вполне определённое среднее направление, которое зависит от определяющей функции Ст(а) и которое решает альтернативу выбора.

В Главе 3 продолжается исследование математических моделей, построенных в предыдущих главах, в связи с задачами нахождения определяющей функции для моделей страхования и профилактики. В качестве моделей деградации рассматриваются стандартный винеровский процесс и винеровский процесс со сносом. Приведены решения соответствующих дифференциальных уравнений:

|/"+а/'-®/ = 0, ^д" + ад'-хд = 1,

где а > О, 0 < х < г, 0 < г <оо (уравнения Эйри) и некоторых других.

В первом параграфе приведены решения дифференциальных уравнений в случае стандартного винеровского процесса. Предполагается, что к{х) = тах(е, ж), с(к(х),х) = И(х), а(х) = 0.

Во втором параграфе изучается винеровская деградация при наличии предсказуемых отказов. В этом случае кроме отказа в случайный момент ( возможны отказы при достижении системой некоторого уровня деградации

z. Эти отказы можно формализовать, положив h(x) = оо при х > z. Было найдено выражение для функции GT(x) и ее производной.

В третьем параграфе была рассмотрена стандартный винеровский процесс в качестве деградации и без предсказуемых отказов. В этом случае отказы происходят только в непредсказуемый момент С- Предполагается, что h{x) = тах(б,г). Найдено выражение для производной G'0(x).

В четвертом параграфе рассматривается винеровский процесс с положительным сносом в качестве деградации. Предполагается, что h(x) = max(e, х). Приводятся решения дифференциальных уравнений в случае ви-неровского процесса со сносом. Рассматривается винеровский процесс со сносом при наличии предсказуемых отказов и без предсказуемых отказов. В обоих случаях найдены выражения для производной G'0(x).

В пятом параграфе изучается геометрический винеровский процесс в качестве опасности отказа. Предполагается, что h(x) = ехр(Лх), А > О, то есть h(Xt) = exp(XXt) — геометрический винеровский процесс. Приводятся решения дифференциальных уравнений для этого случая, находится представление для производной G'0(x).

В шестом параграфе приводится интерпретация винеровской модели для задач страхования и профилактики. Приводятся численные примеры для стандартного винеровского процесса, для винеровского процесса со сносом и геометрического винеровского процесса в качестве модели деградации. Для получения этих примеров для указанных процессов в среде Mathcad был составлен комплекс программ, позволяющий находить разделение пространства параметров на области, соответствующие возможным решениям альтернативы.

Заключение. Суммируются основные результаты диссертации и приводятся положения, выносимые на защиту.

Основные положения, выносимые на защиту

• Математическая модель деградации, учитывающая случайный характер процесса деградации, допускающий интервалы постоянства и немонотонность выборочных траекторий;

• Математическая модель страхования невосстанавливаемой системы, учитывающая функциональную зависимость опасности отказа от степени деградации и немонотонный характер деградации;

Математическая модель режима профилактического обслуживания восстанавливаемой системы, учитывающая функциональную зависимость опасности отказа от степени деградации и немонотонный характер деградации;

Модель алгоритма поведения клиента страховой компании, учитывающего оптимальный момент заключения страхового договора;

Модель алгоритма поведения оператора восстанавливаемой системы, учитывающего оптимальный момент отключения системы на профилактическое обслуживание в каждом цикле восстановления;

Методика расчёта определяющих функций моделей, связанная с решением дифференциальных уравнений Эйри.

Работы, цитированные в автореферате.

1. О. О. Aalen, Н. К. Gjessing. Understanding the shape of the hazard rate: A process point of view // Third International Conference on Mathematical Methods in Reliability: Methodology and Practice. 2002. P. 1-2.

2. V. Bagdonavicius, A. Bikelis, V. Kazakevicius, M. Nikulin. Non-parametric estimation in degradation-renewal-failure models // Probability, Statistics and Modelling in Public Health / Ed. by M. Nikulin, D. Com-menges, C. Huber. Berlin: Springer, 2006. P. 23-36.

3. V. Bagdonavicius, M. Nikulin. Statistical analysis of degradation data in dynamic environment // Dipartimento di matematica: Guido Castelnuo-vo. 2000. P. 1-20.

4. P. Barberger-Gateau et al. The impact of dementia and sex on the disablement in elderly // Probability, Statistics and Modelling in Public Health / Ed. by M. Nikulin, D. Commenges, C. Huber. Berlin: Springer, 2006. P. 37-52.

5. A. Di Crescenzo, B. Martinucci. Some results on degradation processes with repairs and catastrophes // Third International Conference on Mathematical Methods in Reliability: Methodology and Practice. 2002. P. 193196.

6. A. Lehmann. Degradation-Threshold-Shock Models // Probability, Statistics and Modelling in Public Health / Ed. by M. Nikulin, D. Commenges, C. Huber. Berlin: Springer, 2006. P. 286-298.

7. R. Norberg. Topics in non-life insurance mathematics. Berlin: Springer, 2004.

8. Б. П. Харламов. Непрерывные полумарковские процессы. СПб: Наука, 2001.

Работы, подготовленные по теме диссертации.

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК.

9. С. С. Расова. Выбор момента начала страхования при немонотонной деградации // Вестник СПбГУ. 2007. Вып. 4, серия 10. С. 65-75.

Публикации в других изданиях.

10. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Полумарковская модель деградации и задачи надежности // В сб. Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах. СПб. 2006. С. 404-414.

11. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Задачи по минимизации потерь при наблюдении за опасностью отказа // В сб. Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах. СПб. 2008. С. 429-434.

12. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Оптимальный локальный момент первого выхода // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. Т. 361. С. 83-108.

13. В. Harlamov, S. Rasova. Optimal stopping time under observation on non-monotone degradation //VI Международная конференция: Математические методы в теории надежности. Теория. Методы. Приложения. М. 2009. С. 71-75.

14. В. Harlamov, S. Rasova. Optimal prophylaxis policy under non-monotone degradation // In: Advances in Degradation Modelling Applications to Reliability, Survival Analysis, and Finance. Birkhauser, 2009. P. 181-194.

Подписано к печати 19.04,10. Формат 60 <84 1/16 . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4734. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-40-43,428-69-19

Введение

Глава 1. Модель страхования при немонотонной деградации

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модель деградации в виде процесса регенерации.

1.3 Кусочно-монотонная полумарковская модель

1.3 Начало страхования при деградации диффузионного вида

Глава 2. Модель профилактики

2.1 Постановка задачи.

2.2 Модель деградации в виде процесса регенерации.

2.3 Диффузионная полумарковская модель деградации.

Глава 3. Винеровский процесс в качестве модели деградации

3.1 Решение дифференциальных уравнений в случае винеровского процесса.

3.2 Винеровская модель при наличии предсказуемых отказов

3.3 Винеровская модель без предсказуемых отказов.

3.4 Винеровская модель со сносом в виде модели деградации

3.5 Геометрический винеровский процесс в качестве опасности отказа

3.6 Интерпретация винеровской модели для задач страхования и профилактики

В диссертации проводится исследование математических моделей эксплуатации технических объектов на примере задач надежности и риска. Задачи надежности многочисленны и тесно связаны с практикой. В диссертации изучаются некоторые частные проблемы: задача о выборе оптимального момента начала страхования с точки зрения клиента и задача о выборе оптимального режима отключений на профилактический ремонт. Принадлежность последней задачи к задачам надежности сомнений не вызывает. В свою очередь, рассматриваемая задача страхования тоже может быть отнесена к надежности, но в несколько ином смысле. В этой задаче предполагается, что клиент наблюдает процесс износа некоторого важного элемента объекта страхования — речь идет о страховании технического устройства. Клиент заинтересован в безотказной работе элемента и, чтобы уменьшить ущерб в случае его поломки, заключает страховой договор. Так как клиенту известен процесс износа, то в его власти выбрать момент начала страхования, выгодный для себя. Ясно, что в данном случае ситуация довольно упрощена, поскольку размеры страховой премии и выплаты считаются фиксированными, следовательно, задача имеет смысл, если рассматривается последовательность договоров на одних и тех же условиях. Кроме того, у страховых компаний разработаны свои методы извлечения максимальной прибыли, которые в данной постановке не учитываются.

В конечном итоге приводятся некоторые рекомендации, согласно которым нужно или заключать страховой договор, или проводить профилактический ремонт, смотря какая рассматривается задача, при определенных условиях, зависящих от параметров этой задачи.

Моделируются и исследуются следующие объекты:

A) процесс деградации технической системы;

B) страхование невосстанавливаемой технической системы, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается немонотонный случайный процесс;

C) длительное функционирование восстанавливаемой технической системы с профилактическим обслуживанием, отличающееся тем, что в качестве процесса деградации технической системы рассматривается немонотонный случайный процесс.

В качестве модели деградации (модель А) рассматривается непрерывный полумарковский процесс [11]. Первой рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации кусочно-монотонного типа, где каждый цикл регенерации представляет собой монотонный обращённый гамма процесс. Модель деградации в виде обращенного гамма процесса прошла статистическую проверку по материалам лаборатории трения и износа ИП-Маш РАН. Второй рассмотренной моделью немонотонной деградации является процесс регенерации, где каждый цикл регенерации представлен возрастающей линейной функцией случайного наклона. Эта модель используется в медицине, где регенерация интерпретируется как результат временного улучшения состояния пациента после некоторой лечебной процедуры (см. Багдо-навичюс и Никулин). Третьей рассмотренной моделью немонотонной деградации является полумарковский процесс диффузионного типа. Этот процесс используется в финансовой математике. При анализе технической системы диффузионная составляющая процесса деградации обычно понимается как статистический шум, вызванный ошибками измерения или неконтролируемыми внутренними причинами развития.

Задачи страхования, связанные с моделью В, в последнее время получили широкое распространение. На русском языке современное состояние математической теории страхования достаточно полно отражено в работе [4]. В области страхования лучше всего исследован класс задач, связанный с оптимизацией поведения страховщика. Решением этих задач занимались миогие выдающиеся математики, начиная с Крамера и Лундберга. В качестве примера работ, рассматривающих оптимальное поведение клиента, можно привести работу Норберга [21], в которой, в частности, исследуется случай, когда клиенту предоставляется право выбора оптимального с его точки зрения условия страхования. В диссертации исследуется модель страхования и связанный с ней функционал цели, учитывающий интересы клиента.

С точки зрения математического метода исследования задача о выборе оптимального режима отключений на профилактический ремонт (модель С) оказалась близка к задаче страхования. Проблемы профилактики в модели с детерминированным неубывающим процессом деградации впервые были затронуты в работах Р. Барлоу и Ф. Прошана [1], которые исследовали ставшую теперь классической задачу о нахождении оптимального режима профилактики, приводящую к фиксированному графику остановок на профилактический ремонт. Ситуация со случайной неубывающей деградацией была рассмотрена Б. П. Харламовым [10], который высказал предположение, что оптимальные режимы профилактики при монотонной и немонотонной деградации не отличаются друг от друга. В диссертации на основании предложенной модели обслуживания технической системы рассматривается задача оптимизации правила профилактических остановок на ремонт для немонотонных случайных процессов деградации. Показано, что предположение Харламова в общем случае не выполняется, но подтверждается для диффузионных процессов деградации с положительным сносом.

Цель работы заключается в построении и проведении исследования перечисленных выше моделей деградации, страхования и профилактического обслуживания. Для моделей страхования и профилактики была поставлена задача определить моменты остановки данных немонотонных случайных процессов деградации (процессов регенерации и диффузионных процессов), оптимальные относительно полученных функционалов цели. В частности, необходимо было для каждого из рассматриваемых процессов произвести разделение пространства параметров процесса деградации и технической системы на области, соответствующие возможным решениям следующей альтернативы: или оптимальное решение существует и равно моменту первого достижения заданного уровня, или оптимального решения в области конечных марковских моментов не существует.

Классическая задача оптимальной остановки случайного процесса Xt, t > О сводится к нахождению экстремума некоторого функционала цели, заданного на множестве марковских моментов т. В рассматриваемой задаче функционал цели имеет вид функции R(U,V), где h — положительная неубывающая функция. В теории массового обслуживания, в теории надежности, в финансовой математике процесс Xt интерпретируется как степень деградации системы, a UT и VT имеют смысл: UT — Р(£ > г), Vr = ЕС,— — т)+. Здесь £ — некоторый случайный момент (отказ), распределение которого зависит от реализации случайного процесса Xt] h{Xt) — функция интенсивности случайной величины £ в момент t (опасность отказа), которую можно рассматривать как наблюдаемую величину, зависящую некоторым образом от деградации системы; г — марковский момент, подлежащий выбору.

Функционал UT характеризует потери, возникающие при слишком позднем сигнале остановки, когда нежелательное событие произошло до начала профилактических мероприятий. Функционал VT характеризует потери, возникающие при слишком раннем сигнале остановки, когда плата за профилактические мероприятия перед нежелательным событием становится больше предполагаемого ущерба.

Анализ функционала цели показывает, что если частные производные R[ и й'2 в точке (U,V) совпадают по знаку (здесь R'k(x\,x2) = dR(x 1^X2)/дхк, к = 1,2), то для непрерывного процесса необходимым условием минимума в точке т является уравнение [7], [19] I(т < (0Л)

Этому условию удовлетворяют моменты первого достижения некоторого уровня, но не только такие моменты.

Решение задачи об оптимальной остановке зависит от вида функции R, которая, в свою очередь, определяется рассматриваемой ситуацией и ее моделью. Следует отметить, что случай линейной функции R реализуется в задаче об оптимальном выборе момента начала страхования с точки зрения клиента. В задачах профилактики (определение режима отключений некоторой технической системы на профилактический ремонт) функция R имеет дробно-линейный вид. В диссертации рассматриваются эти два частных вида задачи об оптимальной остановке.

В диссертации проводится исследование классической модели страхования невосстанавливаемой технической системы, когда функция потерь определяется средними потерями индивидуального клиента. Отличие от классической постановки задачи нахождения минимума функции потерь состоит в том, что процесс деградации предполагается случайным, а опасность наступления страхового события — неубывающей функцией степени износа некоторой детали, служащей диагностическим параметром объекта. В этом отношении настоящее исследование является продолжением работы [12], где такая задача была решена для случая, когда процесс износа (деградация) является монотонным неубывающим процессом. В этом случае оптимальным является момент пересечения процессом износа некоторого уровня, который определяется в соответствии с параметрами задачи. Ясно, что для возрастающего процесса этот момент единственный. В диссертации в качестве процесса деградации рассматриваются немонотонные процессы: кусочио-пепрерывпо-возрастающие процессы регенерации [5] и диффузионные процессы [8], [18]. В этом случае необходимому условию минимума могут удовлетворять не только моменты первого достижения некоторого уровня, но и другие марковские моменты.

Для восстанавливаемой технической системы в диссертации определяется и исследуется модель С, отражающая эффективность эксплуатации системы с учётом потерь от простоя и ремонта. Функция потерь такой системы равна средним потерям за большой промежуток времени, что приводит к функционалу в виде дробно-линейной функции R от функционалов UT и VT, рассмотренных выше. Здесь марковский момент т является моментом остановки на профилактический ремонт в каждом из статистически однородных циклов восстановления. Это означает, все время функционирования системы состоит из циклов восстановления, включающих в себя периоды работы и ремонта, причем ремонт подразделяется на ремонт после отказа и профилактический. Время отключения на профилактику подлежит выбору оператора системы. Задача состоит в том, чтобы оптимизировать правило, согласно которому выбирается этот момент отключения на профилактику. Одной из возможных функций потерь является коэффициент неготовности системы, отражающий стационарную вероятность застать систему в нерабочем состоянии. Такая постановка была рассмотрена в |10] для непрерывного неубывающего случайного процесса в качестве опасности отказа. Затем в [19] она была распространена на случай кусочно-монотонного процесса регенерации. В диссертации в качестве опасности отказа будет рассмотрен также диффузионный процесс [19].

Некоторые общие теоремы для случая немонотонных процессов в задачах страхования и профилактики были доказаны Б. П. Харламовым. В диссертации исследуются конкретные типы немонотонных процессов: процессы регенерации (кусочно-полумарковский и кусочно-линейный) и диффузионные процессы. Исследование этих процессов принадлежит автору диссертации.

В ходе исследования была подтверждена возможность существования двух принципиально различных оптимальных правил поведения управляющего субъекта. Это свойство моделей страхования и профилактики было названо альтернативой выбора. Выбор зависит от знака так называемой определяющей функции, которую рекомендуется вычислять до принятия решения. В настоящей работе найдены определяющие функции для каждого из рассмотренных процессов. Этот результат нашел отражение в теоремах 1 и 4, которые принадлежат автору диссертации. Теорема 1 дает общее представление определяющей функции в случае процессов регенерации. Теорема 4 дает общее представление определяющей функции в случае процессов диффузионного типа. Определяющая функция существенным образом зависит от распределения процесса. Поэтому при рассмотрении конкретных процессов необходимо каждый раз находить эту функцию. Представления определяющей функции для каждого из рассмотренных процессов были найдены в диссертации в аналитическом виде, что является непростой задачей, особенно в случае диффузионных процессов.

Обращенный гамма процесс, рассмотренный в качестве модели на интервалах монотонности процесса регенерации, нашел подтверждение на практике. По экспериментальным данным по износу материалов (разные грани сапфиров) была проверена гипотеза о том, что процесс износа является обращенным гамма процессом. С этой целью была написана программа в среде Delphi. Был сделан вывод о том, что выдвинутая гипотеза не противоречит наблюдениям. Кроме того, для каждого из процессов, изученных в работе, численно было произведено разделение пространства параметров на области, соответствующие возможным решениям альтернативы. С этой целью в среде Mathcad был разработан комплекс программ. Оказалось, что для рассмотренных процессов в зависимости от параметров задачи имеется как область, где оптимальное решение существует (в этом случае им является момент первого достижения уровня), так и область, где оптимальных решений нет. При определенных условиях немонотонные процессы ведут себя точно так же, как монотонные. Особенно отчетливо это видно в случае виперовского процесса со сносом: начиная с достаточно маленького параметра сноса с > 0.4 для такого процесса оптимальное решение существует всегда. Все выводы, связанные с получением определяющих функций для рассматриваемых процессов и разделением пространства параметров в соответствии с возможным решением альтернативы, приведенные в диссертации, принадлежат автору; теоремы 2, 3, 5, приведенные без доказательства, сформулированы и доказаны Б. П. Харламовым.

В последнее время в связи с проблемой ускоренных испытаний на надёжность появилось большое число работ по исследованию связи опасности отказа со степенью износа (деградацией). В частности, в этом направлении работают такие исследователи, как Леманн [20], Ди Крещендо, Мартииуччи [17] и др. Сформулировано несколько моделей такой связи в работах [14, 15, 16]. В диссертации используется одна из таких моделей (модель Кокса), в которой опасность отказа является положительной неубывающей функцией от степени деградации. В этом отношении диссертация близка к работам Аалена и Гжессинга [13], где рассматриваются марковские диффузионные процессы в качестве модели деградации.

Диссертация построена следующим образом:

Во Введении приводится краткая характеристика рассматриваемых задач. Формулируется цель работы.

Заключение

В диссертации были исследованы математические модели следующих объектов: А) процесса деградации технической системы; В) страхования невосста-навливаемой технической системы, отличающееся тем, что процессом её деградации является немонотонный случайный процесс; С) длительного функционирования восстанавливаемой технической системы с профилактическим обслуживанием, отличающееся тем, что процессом её деградации в каждом цикле восстановления является немонотонный случайный процесс.

Исследование этих моделей привело к задаче о выборе оптимального момента начала страхования с точки зрения клиента и к задаче о выборе оптимального режима профилактики.

В области страхования была решена задача о нахождении оптимального момента начала страхования в предположении, что клиент наблюдает процесс износа некоторой диагностически важной детали объекта страхования. Процесс деградации известен клиенту, но может быть неизвестен страховой компании. Таким образом, при фиксированных значениях страховой премии и выплаты по страховому иску клиент может выбирать оптимальный момент начала страхования. В качестве процесса износа рассматриваются немонотонные процессы регенерации (кусочно-полумарковская модель и кусочно-линейная модель), а также полумарковский процесс диффузионного вида. Эти процессы деградации могут быть лег-ко интерпретированы, обладают достаточно хорошими аналитическими свойствами и уже имеют некоторую историю своего изучения рядом отечественных и зарубежных исследователей. Процессы регенерации имеют довольно очевидную практическую интерпретацию [14]. Диффузионные процессы уже неоднократно использовались в качестве модели деградации [16]. Известно, что диффузионное приближение процесса динамики страхового капитала уже давно входит в арсенал средств исследования вероятности разорения страховой компании. Ситуацией, когда процесс диффузионного вида используется в качестве опасности отказа, является динамика курса акций на финансовом рынке. Задачи рассмотренного вида возникают при страховании инвестора от разорения в результате форс-мажорного обстоятельства, при этом опасность отказа (разорения) является функцией от капитала инвестора.

В работе [12] показано, что минимальные потери клиент несет, если он заключает страховой договор в момент достижения процессом износа некоторого уровня Ь = v/W. При монотонном процессе этот момент будет единственным. То есть оптимальное решение существует, если этот момент конечен. Очевидно, что для немонотонных процессов необходимому условию минимума помимо момента первого достижения уровня b удовлетворяют и другие марковские моменты. Поэтому возникает задача выбора среди них оптимального, если он существует. В диссертации было получено выражение для функции (определяющая функция), от знака которой зависит выбор момента начала страхования, для процессов регенерации (теорема 1) и процессов диффузионного вида (теорема 4). В частности, для рассмотренных в диссертации процессов с помощью компьютера было произведено разделение пространства параметров на области, соответствующие возможным решениям альтернативы. Была выделена область, где оптимальное решение существует (им является момент первого достижения процессом уровня Ъ), и область, где оптимального решения нет. Согласно проведенному анализу выбор одной из двух возможностей зависит от знака функции G(b) в случае процессов регенерации и от знака производной Gr'{x) при г — 0 в случае процессов диффузионного вида. При положительных значениях функции (процессы регенерации) или отрицательных значениях производной (процессы диффузионного вида) оптимальное решение существует. При отрицательных значениях функции (процессы регенерации) и положительных значениях производной (диффузионные процессы) такой определенности нет, так как момент каждого последующего пересечения одного и того же уровня является более предпочтительным, чем предыдущего. В этом случае для выбора момента страхования необходимы какие-либо дополнительные соображения.

Также в диссертации была рассмотрена задача профилактики. Постановка задачи не является повой. В частности, эта задача уже была решена для случаев, когда опасность отказа является непрерывным неубывающим случайным процессом [10]. В диссертации в качестве процесса деградации рассматриваются те же процессы, что и в главе о страховании, поскольку значение определяющей функции Go(b) то же самое. В области профилактики была поставлена задача: найти оптимальный относительно коэффициента готовности момент отключения на профилактику. С помощью компьютера было произведено разделение пространства параметров на области, соответствующие возможному решению альтернативы. Оказалось, что в ряде случаев имеется как область, где оптимальное решение существует (оптимальным является момент первого достижения процессом некоторого уровня), так и область, где оптимального решения нет. Согласно проведенному анализу выбор одной из двух возможностей зависит от знака производной Gq(x) в точке х = 6i, где &i — корень уравнения (2.3). При отрицательных значениях производной оптимальное решение существует. При положительных значениях такой определенности нет, так как момент каждого последующего пересечения нового уровня является более предпочтительным, чем предыдущего. В этом случае для выбора момента отключения на профилактику необходимы какие-либо дополнительные соображения.

Таким образом, в работе была впервые построена математическая модель процесса деградации в виде непрерывного немонотонного полу марковского процесса. Были впервые изучены модели страхования невосстанавливаемых систем и профилактики восстанавливаемых систем при условии немонотонного случайного процесса деградации. В задаче оптимального выбора момента остановки процесса деградации была впервые установлена альтернатива выбора в ситуации, когда оптимальный уровень может многократно пересекаться процессом деградации. Впервые были получены определяющие функции для рассматриваемых процессов в аналитическом виде и численно найдены разбиения пространства параметров технической системы и процесса деградации на области, соответствующие двум решениям альтернативы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая модель деградации, учитывающая случайный характер процесса деградации, допускающий интервалы постоянства и немонотонность выборочных траекторий;

2. Математическая модель страхования невосстанавливаемой системы, учитывающая функциональную зависимость опасности отказа от степени деградации и немонотонный характер деградации;

3. Математическая модель режима профилактического обслуживания восстанавливаемой системы, учитывающая функциональную зависимость опасности отказа от степени деградации и немонотонный характер деградации;

4. Модель алгоритма поведения клиента страховой компании, учитывающего оптимальный момент заключения страхового договора;

5. Модель алгоритма поведения оператора восстанавливаемой системы, учитывающего оптимальный момент отключения системы на профилактическое обслуживание в каждом цикле восстановления;

6. Методика расчёта определяющих функций моделей, связанная с решением дифференциальных уравнений Эйри.

1. Р. Барлоу, Ф. Прошан. Математическая теория надежности. Москва: Советское радио, 1969.

2. Е. Б. Дынкин. Марковские процессы. Москва: Физматгиз, 1963.

3. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Физматлит, 2001.

4. В. Ю. Королев, В. Е. Бенинг, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска. Москва: Физматлит, 2007.

5. С. С. Расова. Выбор момента начала страхования при немонотонной деградации // Вестник СПбГУ. 2007. Вып. 4, серия 10. С. 65-75.

6. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Полумарковская модель деградации и задачи надежности // В сб. Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах. СПб. 2006. С. 404-414.

7. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Задачи по минимизации потерь при наблюдении за опасностью отказа // В сб. Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах. СПб. 2008. С. 429-434.

8. С. С. Расова, Б. П. Харламов. Оптимальный локальный момент первого выхода // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. Т. 361. С. 83-108.

9. А. В. Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями. Москва: Наука, 1964.

10. Б. П. Харламов. Оптимальный режим обслуживания системы с наблюдаемой опасностью отказов // Автоматика и Телемеханика, Наука, М. 1998. С. 117-134.

11. Б. П. Харламов. Непрерывные полумарковские процессы. Санкт-Петербург: Наука, 2001.

12. Б. П. Харламов. О выборе момента начала страхования // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 7. С. 134-142.

13. О. О. Aalen, Н. К. Gjessing. Understanding the shape of the hazard rate: A process point of view // Third International Conference on Mathematical Methods in Reliability: Methodology and Practice. 2002. P. 1-2.

14. P. Barberger-Gateau et al. The impact of dementia and sex on the disablement in elderly // Probability, Statistics and Modelling in Public Health. 2006. P. 37-52.

15. A. Di Crescenzo, B. Martinucci. Some results on degradation processes with repairs and catastrophes // Third International Conference on Mathematical Methods in Reliability: Methodology and Practice. 2002. P. 193-196.

16. A. Lehmann. Degradation-Threshold-Shock Models // Probability, Statistics and Modelling in Public Health. 2006. P. 286-298.

17. R. Norberg. Topics in non-life insurance mathematics. Berlin: Springer, 2004.