автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические модели рискового страхования со случайным периодом накопления

ЛУКМАНОВ Наиль Флсрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РИСКОВОГО СТРАХОВАНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРИОДОМ НАКОПЛЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ

Уфа 2007

003176455

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Бакиров Наиль Кутлужанович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Бронштейн Ефим Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент Абдюшева Светлана Рашитовна

Ведущая организация Московский I осударственный университет

им М В Ломоносова, факультет ВМиК

Защита состоится 14 декабря 2007 года в 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212 288 06 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу 450000, г Уфа, ул К Маркса, 12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета

Автореферат разослан 13 ноября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор

Г Т Булгакова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время математическое моделирование все глубже проникает во все сферы человеческой деятельности, в том числе и в страхование Расширяется область применимости результатов, полученных в страховой математике Плоды теоретических исследований вызывают все большую заинтересованность практиков страхования, а в каждой крупной страховой компании есть штатные актуарии

В диссертации исследуются динамические модели рискового страхования В большинстве работ, посвященных данной тематике, результаты, как правило, получены для моделей с детерминированным процессом поступления страховых премий, иногда с постоянной скоростью, как в классической модели Крамера-Лундберга В моделях страхования, в которых приток капитала в страховую компанию является случайным процессом, обычно предполагается независимость процесса поступления страховых премий и процесса выплат по искам Подобные модели адекватны в случаях, когда страховой рынок является устоявшимся, но не позволяют учитывать такую особенность в деятельности страховой компании, как наличие зависимости между процессом поступления страховых премий и процессом выплат, что характерно для России Таким образом, разработка моделей, в которых это учитывается, является актуальной задачей

Цель и задачи работы Цель работы разработка и исследование нового класса моделей рискового страхования, исследование модели с тремя случайными процессами риска Нахождение оценки вероятности неразорения и оценки, аналогичной формуле Лундберга, в различных асимптотиках

Задачи исследования

- нахождение оценки вероятности неразорения страховой компании до заданного момента времени для предложенной в работе динамической модели рискового страхования с периодами накопления при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени;

- разработка аналитических методов для решения задачи оценки вероятности неразорения в предложенной модели рискового страхования при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени,

- разработка программных средств имитационного моделирования для динамической модели рискового страхования с периодами накопления,

- проведение вычислительных расчетов вероятности разорения для предложенной в работе новой динамической модели страхования

Научная новизна

- Исследован ряд новых моделей динамического рискового страхования, в которых процесс выплат по искам зависит от процесса поступления страховых премий Данные модели существенно отличаются от известных тем, что не являются мартингалами или марковскими процессами Для них найдены асимптотики вероятности неразорения

- Впервые найдено распределение максимума приращения винеровского процесса и совместное распределение максимума и минимума приращения винеровского процесса на отрезке, позволяющие находить оценки вероятностей неразорения в моделях рискового страхования

- Впервые найдена вероятность нахождения одной винеровской траектории между двумя другими, которая используется в аналитическом методе исследования модели с тремя капиталами страховых компаний

Научная и практическая ценность работы. Созданная в рамках данной работы динамическая модель рискового страхования является более адекватной при описании реальных процессов, встречающихся в деятельности страховой компании Результаты были получены для случая, когда капитал страховой компании моделировался случайным процессом, который не является мартингалом или марковским процессом

Методы, примененные в данной работе в ходе исследования моделей, могут быть использованы в качестве инструмента для решения задач страховой и финансовой математики и иных задач математического моделирования

Методы исследования. Аналитические исследования проводились с использованием методов теории случайных процессов Использовался метод вычислительного эксперимента на ПЭВМ

Достоверность. Достоверность результатов исследования обусловлена строгостью аналитических доказательств полученных результатов

На защиту выносятся

- ряд новых динамических моделей рискового страхования и оценки вероятностей неразорения страховой компании для данных моделей,

метод определения асимптотики вероятности неразорения страховой компании для динамической модели страхования с применением распределения максимума приращения винеровского процесса на отрезке, результаты расчета совместного распределения максимума и минимума приращения винеровского процесса на отрезке,

- метод определения вероятности возникновения ситуации, когда в течение заданного времени для трех страховых компаний при неограниченном росте среднего числа проданных компаниями полисов

за единицу времени их порядок по текущему размеру капитала останется неизменным,

- программный продукг, реализующий имитационное моделирование процессов риска

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на научных семинарах г Уфы и всероссийских конференциях, соответствовавших профилю диссертации В частности, были сделаны доклады

1) на Втором Всероссийском симпозиуме по промышленной математике (летняя сессия, Самара, 2001),

2) на 8-й Всероссийской школе-коллоквиум по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 2001),

3) на семинаре по теории вероятностей и математической статистике кафедры математики УГАТУ, руководитель профессор Ф С Насыров,

4) на методологическом семинаре Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, руководитель профессор Н К Бакиров,

5) на городском семинаре по специальности 051318, по математическому моделированию, численным методам, комплексам программ, руководители профессор Н Д Морозкин, профессор М Д Рамазанов, профессор С И Спивак

Публикации Основные результаты диссертации изложены в шести статьях ([1]-[6]) Работы [2], [3] выполнены совместно с Н К Бакировым Из результатов этой работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, библиографического списка из 60 наименований Объем диссертации составляет 110 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы ее цели и задачи, дан краткий обзор ранее созданных и рассмотренных моделей рискового страхования, излагается краткое описание диссертации по главам

Глава 1. Динамическая модель рискового страхования

В этой главе предложена и исследована динамическая модель рискового страхования, не являющаяся марковским процессом, и в рамках которой процесс выплат по искам подчинен процессу притока капитала

В §1.1 построена динамическая модель рискового страхования с одинаковым для всех полисов детерминированным временем т между

моментами поступления страховых премий (продажи полиса) и выплатами по искам (далее - период накопления) (модель 1)

Начальная величина капитала компании Ro = const Предполагается, что число заключенных договоров u(t) есть пуассоновский процесс с параметром А > 0 Страховая премия по каждому договору может быть представлена как Z — Sz, где S — const - страховал сумма (максимальная величина иска), z - страховая ставка Иски Y} допускают представление Yj = SX], j = 1,2, , где относительные ущербы Х3 - независимые одинаково распределенные случайные величины, х = ЕХ,, 52 = Т>Х} В силу принципа средней безубыточности z > х После заключения договора страхования компания откладывает часть страховой премии в размере = Sx

в резерв В момент выплаты по иску отложенные по договору деньги возвращаются из резерва До этого момента страховая компания не может ими распоряжаться, и они не будут учитываться в капитале компании

Тогда капитал страховой компании R(t) определяется следующим образом

При t £ (0, т] R(t) = Rq + v(t)S(z ~ х)

"(t-т)

При t G (т, T] R{t)= Ro + v{t)S{z-x)+ Y, S{x~Xk)

k=1

Доказывается ряд вспомогательных лемм, которые требуются для дальнейших расчетов

Пусть Çfc— независимые одинаково распределенные случайные величины, = О, = 1

Лемма 1 В сделанных предположениях > CiV'Â} < 2Р

Р [ max

V<"(f)

Е6 t=i

"(О

к=1

где Ci - произвольная постоянная

> (Ci - v^j ,

I <40

Лемма 2 В сделанных предположениях —& в смысле

V Адг=1

слабой сходимости при А —>• оо, где - стандартный винеровский процесс

Лемма 3. _ у/\Т (И^ + т) — И^(г!)) в смысле слабой

V А

сходимости при А —> сю

Обозначим ^ — Р > е (0,Т]) Данное обозначение сохранится и для других моделей С помощью приведенных выше лемм получен основной результат для модели 1

Теорема 1.

Пусть г = г(А), /¿о = До (А) « существуют, и конечны пределы

\/Л(г - х) До ^ „

шп--- = С, кт-= = г > О

А->оо д А~>оо

Тогда предел вероятности неразорения страховой фирмы вычисляется по формуле

1ш1 Л = Р(г + + г) + 52\У{Ь) > б (О,Т - г]),

А—>оо

где И^)- стандартный винеровский процесс

В §1.2 рассматривается вероятность разорения ф(и) при начальном капитале и Доказывается оценка

ф{и)<Ьс-°и + Ве-Ли,

1 ( 1 9 , ^Л „ 1

где Ь — ~ ехр -- + -^ - АтС0 , Б

Со \ 2 4(г — х)2 2(г-х)5'

, (г-ж) „ ^ ЗАт(2 — я)2 240(г -г)2 Л - 4 % 5 = ехр 1 - -- 4 у ------

16^5 г \ 32д 256д

Со = 1/2 — 1/е > 1/8, а д - это константа, удовлетворяющая условию Еехр((Х* - х)г) < ехр(д?)

Таким образом, получена экспоненциальная по размерам начального капитала оценка, аналогичная неравенству Лундберга

В §1.3 найдена асимптотика вероятности разорения ф(и,Т) в пределе при А —> оо

Пусть Лд = До (А), г = г(Х), и существуют и конечны пределы

1Ш1 = г > 0.

Тогда

1ш1 ф(Ио, Г) = 1 - Р(Ж(<) + {С/52)г) > (-Г - Сг)/<52, V* € (О, Г - г]) =

А—юо

2 ^ у/2 (Т - г) л/2

где

СО

Ег&(х) = I е~ь2йх

В §1.4 рассмотрено обобщение модели 1, когда период накопления г -случайная величина, одинаковая для всех договоров (модель 2), 0 < т < < Т Для этой модели получено следующее представление вероятности неразорения

Р (0™п > о) = /Р (mm R(t,x) > о) рT(x)dx,

где рт(гг) - плотность распределения вероятностей случайной величины г

В §15 исследуется модель страхования, отличающаяся от рассмотренной в §1 1 тем, что периоды накопления по разным полисам отличаются, а именно тк, к = 1,2, - независимые дискретные одинаково распределенные случайные величины (модель 3) Максимально возможное значение тк равно AN- число возможных значений периода накопления г = 1,2, ,N Пусть аг, г — 1,2, ,N, - упорядоченные возможные значения тк А = адт > ajv_i > > а\ — 0, Р(т£ = at) = р,

Тогда капитал страховой фирмы в момент времени t б (0,Т] в этой модели представляется в виде

R(t) = До + v(t)S{z ~х) + (£N) S(х - Xk)IkiN+

к=1

w(t-aiv-i) f (i—ai)

+ £ S(x - Xjhjt-! + + £ S{x-Xk)IkA, k=i k=\

где h,i = 1{ч = ai], /{#} - индикатор события II В данном выражении

это индикатор выплаты по иску

l/(i+s)

Введем случайную функцию X^t)(s) — £ &

Для получения основного результата доказывается вспомогательная Лемма 4 В сделанных предположениях ^C(t) (s)/v^X слабо сходится к W(t + s) - VK(i) при А —> оо

Основной результат для Модели 3 Теорема 2 Пусть z = z(X),Rq = Rq(X) и

VX (z - x)/5 —>• С > 0, Rq/(S5\/\) —>r> 0

A->oo Л-400

Тогда предел вероятности перазорения страховой компании вычисляется по формуле

lim JA - Р ( г + Ct + £ a(k) Wk(t - ak) > 0, Vi 6 (0, T] \ k=1

где Wk(t) - независимые между собой стандартные винеровские процессы, а{к) = у/Р(п = а к)

В §1 6 рассматривается модель страхования, в рамках которой период накопления имеет непрерывное распределение (Модель 4)

Обозначим моменты поступления страховых премий (или моменты заключения договоров)

Тогда капитал страховой фирмы в момент времени t € (О, Т] в этой модели представляется в виде

"(f) *(<) Щ = До + Е S(z ~ х) + £ S(x - Xk)I{tk + Tk<t} k=l k=l

Обозначим W(s,t) двупараметрический броуновский процесс (броуновский лист), те гауссовский случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией EW(si, t{)W(s2, ¿2) = min(si,s2)mm(ti,i2)

Главным результатом первой главы является следующая теорема, доказываемая в §1 6

Теорема 3. Пусть z = z(А), Но = Ro(^) и

\/а (z - х)/60, ro/(s5y/x) ^г > о

Тогда предел вероятности неразорения страховой компании вычисляется по формуле

Ьш Р{пш R(t) > 0} = Р jr + Ct + fw (dF(s), t - s) > 0, Vt e [0, T]j,

где F(s) - функция распределения случайной величины тх

В §1 7 приводятся схема вычислительного расчета и результаты расчета оценок вероятности разорения для динамической модели рискового страхования с периодами накопления

Приведена зависимость вероятности неразорения от предела начального капитала и от величины интервала времени, в течение которого определяется вероятность неразорения

В §1.8 описана схема проведения имитационного моделирования для динамической модели рискового страхования с периодами накопления Предусмотрено моделирование с постоянным периодом накопления и случайными периодами накопления с непрерывным, равномерным и показательным распределениями

Также предусмотрено имитационное моделирование процесса Крамера-Лундберга

Глава 2. Определение асимптотики вероятности неразорения с использованием распределения супремума приращения винеровского процесса на отрезке

В §2 1 построен частный случай динамической модели рискового страхования

Рассмотрим деятельность филиала страховой компании, созданного для текущих расчетов с клиентами После выплат по искам клиентам, спустя фиксированное время т, компания пополняет средства филиала для его дальнейшего функционирования

Пусть число исков к страховой компании v(t) есть пуассоновский процесс с параметром Л > 0 Иски являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами Y„ Б Y, = у

Далее предполагаем, что как и в ранее описанных моделях, после заключения договора страхования компания откладывает часть страховой премии в размере средней выплаты в резерв Страховая компания не может распоряжаться средствами резерва В момент выплаты по иску отложенные в момент заключения договора деньги возвращаются из резерва Этот механизм позволит компенсировать потери клиентов в случае разорения страховой компании за счет средств резерва

Тогда капитал филиала страховой компании определяется выражением

КО

При i G (0, г] Я(4) = До- E(^.-v)

к=1

"(О v(t-r) u[t)

nPHie(r,T] = £ (Уг-у) = Яо- £ (Уг-у)

к=1 к=1 k=u{t-T)+l

Определим Jx = Р (R{t) > 0, Vf € (О,Т])

Далее показывается, что задача нахождения асимптотики вероятности неразорения приводит к задаче нахождения распределения максимума приращения винеровского процесса

hm Л = Р (г + W{t) - W(t - т) > 0,Vt £ (г, Т])

А—юо

Пусть £(£) - гауссовский процесс с E£(s)£(i) = (г - 11 — s|)+ - г2,

def

Е£(£) = 0, (z)+ = тах(0, х) Случайный процесс £(f) распределен как случайный процесс приращений винеровского моста = Wa(t — r}~Wo(t), где W0(t) - стандартный винеровский мост Wo{l) = W(l) — iW(l), I б [0,1]

Основные усилия во второй главе были направлены на доказательство в §2 2 теоремы 4

Теорема 4. В сделанных предположениях

J(s)=p( sup i(i)>aA=P{{fc>*}U{6>*}}+

Ue(o,i-r) J

+E(-==4| exp' ' s

y/T^SL 4 2 \ VT—<5

где £ - гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией

¿(1-5),

' г(1 - г) -(1 - г)2 -(1-г)2 г(1-г)

ем о,, t1 \2

Следствие 1. Ясно, что случайный процесс £(f) + г£о, где £о -нормально распределенная случайная величина с 0-м средним и дисперсией 1, не зависящая от случайного процесса £(i), распределен так же, как процесс приращений винеровского процесса -f г£д — W(t + г) — W(t), t 6 [0,1 — г], где W(i) - стандартный винеровский процесс Тем самым

{1 00 1 2 sup [Wit + г) - W(t)} >®i= f -==e" V J( x - ry)dy te(o,i-r) J J«, V2n

В §2 3 доказывается теорема о совместном распределении максимума и минимума приращения винеровского моста Обозначим

G(x,y) = р(( sup ^ > ж) (J { mf ,е<2/}}' У ^ х> [ Ье(од-г) J lte(o,i-r) J J

K(u:z,a,b,t) = exp

x £ ^ p[* -, ■+ Mb - .))'j _ рг ■- , - 2a + Mb ' <•))"

Теорема 5. Для всех г £ [0,5,1], у < х

С(х, у) = Р {{6 £ [у, г]} и {6 £ [У, *]}} + +Е(1 - ЩиЬ,у,х,1 - 5))1{Ь е [¡мШб 6 [т/.х]},

где случайные величины £1,^2 определены выше в теореме 4, /{#} индикатор события II

Глава 3. Распределение супремума приращения винеровского процесса на отрезке

В §3.1 рассмотриваются эволюции капиталов грех страховых компаний и определенных в §11 Без ограничения общности

можно считать, что Ь б [0,1]

Количество заключенных договоров - пуассоновский процесс с

одинаковым для всех компании параметром Л > 0 Относительные ущербы х1'\г = 1,2,3, = 1,2, , - независимые, одинаково распределенные случайные величины, ЕХ^ = х, ОХ^ — б2

Предполагаем, что в начальный момент времени было справедливо

соотношение < Я^ < 4° = Дц'РО, * = г(Л)

Обозначим Л = Р {д(1)(г) < П^Ц) < -К(3>(<), е [О, Т]}

Как показано в этом параграфе, если существуют и конечны пределы.

-х)

И«

Ьш = г« > О,

Л-+со ¿-у/Д

г(1) < г(2) < г(3))

то при Л —^ оо

Л -»• р {И^) + г« < ИЪ(0 + г® < ВД + г(3\ Ш 6 [0,1]} =

= Р + г« - г® < ХВД < Ш3(1) + г™ - г®, V« е [0,1]}

в смысле слабой сходимости, где УУХ({), Ь £ [0,1] - независимые стандартные винеровские процессы Тогда при га < < гз

Ьт Л = Р (ВД) + п < + г2< \¥3Ц) + г3, № £ [0,1]} =

= Р {\Viit) + П - Г2 < И^) < + Г3 - га, м е [0,1]}

Тем самым первоначальная задача была сведена к задаче поиска вероятности нахождения одной броуновской траектории между двумя другими

В §3.2 рассчитывается вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими

Пусть Ь £ [0,1] - независимые стандартные

винеровские процессы и обозначим УС1 > 0, Сг > 0

и (Сь Сг) = Р (ВД ~СХ< Ш^) < + С2, V* £ [0,1]}

- вероятность того, что три независимые броуновские частицы, стартующие одновременно из трех разных точек на прямой не столкнутся в течение промежутка времени [0,1] Вероятность нестолкновения двух частиц равна

Л (Си) Р №(1) -Сг< ИЭД, Ш е [0,1]} = 1 - 2 /

На плоскости Л2 обозначим через £>1 сектор с вершиной в начале координат, лежащий в первой и четвертой четвертях, симметричный относительно оси ОХ, с углом при вершине 60° Прямые х = 0, у = ±ж/\/3 разбивают плоскость на шесть конгруэнтных секторов • А;, здесь

нумерация секторов соответствует их обходу против часовой стрелки Пусть г — (х, у), Рк - оператор поворота плоскости относительно начала координат на угол (к - 1)60° по часовой стрелке, обозначим

Я(г) = £ ехр - -Щ, ¡(г) = (-1 )мЯ(Ркг), V* еИк,к = 1, , 6,

00 /т\ "+2к 1 «^Ш тщттгу ад-^адо.

=втзд!^12+92

Теорема Справедливо представление

и (Си С2) = У + А(С{)А(С2), УС„ С2 > О,

где

здесь и*у - операция свертки функций и и V

Основные результаты работы

1) Разработан новый класс динамических моделей рискового страхования, в которых процесс выплат по искам зависит от процесса поступления страховых премий, стохастический процесс капитала фирмы не является мартингалом или марковским процессом

2) Разработаны новые аналитические методы исследования моделей метод, основанный на использовании теоремы Ю В Прохорова, метод, основанный на использовании вероятности превышения фиксированного уровня максимумом приращения винеровского процесса, и метод, основанный на использовании вероятности непересечения траекторий трех броуновских частиц

3) На основе аналитического метода работы с моделью проведены вычислительные расчеты вероятности разорения при различных наборах входных параметров начальный капитал, максимальный интервал времени работы страховой компании

4) Разработан программный продукт, реализующий имитационное моделирование процессов риска и определение на основе метода Монте-Карло вероятности разорения страховой компании (свидетельство №2007614618)

Благодарности: Автор благодарит своего научного руководителя профессора Н К Бакирова (Институт математики с ВЦ, Уфа) за постановку задач и помощь в написании диссертации

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых журналах из списка ВАК.

1 Лукманов Н Ф Асимптотика вероятности неразорения страховых компаний / Н Ф Лукманов // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2004 -Т11, вып 1 - С 67-72

2 Лукманов Н Ф Распределение супремума приращения винеровского процесса на отрезке / Н Ф Лукманов, Н К Бакиров // Вестник УГАТУ -2003 - Т 4, №2 - С 84-88

3 Лукманов Н Ф Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими / Н Ф Лукманов, Н К Бакиров // Вестник УГАТУ - 2006 - Т 7, №1 - С 133-136

В других изданиях

4 Лукманов Н Ф Оценка оптимальной страховой ставки для динамической модели страхования / Н Ф Лукманов // Обозрение прикладной и промышленной математики мат Шестой Всерос шк -коллоквиума по стохастическим методам - 1999 - Т 6, вып 1 - С 172

5 Лукманов Н Ф Асимптотика вероятности неразорения для динамической модели рискового страхования с непрерывной отсрочкой / Н Ф Лукманов // Обозрение прикладной и промышленной математики мат Второго Всерос симпозиума по промышленной математике - 2001 -Т8, вып 1 - С 259

6 Лукманов Н Ф Модель страхования с непрерывным временем отсрочки / Н Ф Лукманов // Актуальные проблемы математики Математические модели современного естествознания межвузов науч сб - Уфа Изд-во УГАТУ, 2002 - С 94-98

Лукманов Наиль Флерович

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РИСКОВОГО СТРАХОВАНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРИОДОМ НАКОПЛЕНИЯ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 12 11.2007. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Уел печ л. 1,0 Уел кр-отт. 1,0 Уч-изд л 0,9 Тираж 100 экз Заказ № 561

ГОУВПО Уфимский государственный авиационный технический университе

Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул К Маркса, 12

Ъ Введение

Глава 1. Динамическая модель рискового страхования, с периодом накопления.

1.1. Динамическая модель рискового страхования с постоянным периодом накопления

1.2. Неравенство, аналогичное неравенству Лундберга (Оценка сверху вероятности разорения как функция от начального капитала)

1.3. Асимптотическое неравенство Лундберга

1.4. Динамическая модель рискового страхования со случайной величиной периода накопления

1.5. Динамическая модель рискового страхования с дискретным временем периода накопления

1.6. Динамическая модель рискового страхования с непрерывным временем периода накопления

1.7. Примеры численных расчетов.

1.8. Программный комплекс для оценки вероятности разорения страховой компании

Глава 2. Определение асимптотики вероятности неразорения с использованием распределения супремума приращения винеровского процесса на отрезке

2.1. Частный случай задачи нахождения асимптотики вероятности неразорения страховой компании

2.2. Распределение супремума приращения винеровского процесса на (0,1)

2.3. Совместное распределение максимума и минимума приращения винеровского моста

Глава 3. Моделирование капитала трех страховых компаний

3.1. Асимптотика вероятности непересечения трех «процессов риска

3.2. Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими

В настоящее время математическое моделирование все глубже проникает во все сферы человеческой деятельности, в том числе и в страхование. Расширяется область область применимости результатов, полученных в страховой математике. Плоды теоретических исследований вызывают все большую заинтересованность практиков страхования. А в каждой крупной страховой компании есть штатные актуарии. Изменяется значимость страховой математики: в странах с развитой рыночной экономикой страхование является одним из стратегических секторов экономики. Уровень развития страхования может служить одним из показателей развития экономики в целом. Например, рост платежеспособного спроса на страхование не может заметно обгонять рост экономики. Ведущие страховые компании становятся крупными инвесторами на рынке.

Страхование обеспечивает социально-экономическую стабильность в обществе, так как гарантирует собственникам возмещение ущерба при гибели или повреждении их имущества и потере дохода, что играет важную роль для России.

Все это обуславливает актуальность и модность исследований в страховой математике.

К старейшим формам страхования можно отнести контракты в морских рисковых предприятиях, использованных вавилонянами, относящихся к периоду 3 тысячи лет до н.э. Позже практика подобных контрактов существовала у финикийцев, греков, римлян, индусов. В Средневековье, в XV-XVI веках, в период активных морских путешествий европейцы объединили понятия "общий фонд"и "риск". Владельцы судов и грузов ввели понятие распределения общего риска. Появились люди, которые за определенную плату соглашались компенсировать потери владельцам судов или грузов, если данный корабль потерпит неудачу во время плавания. В 1584 году в Марселе был выдан первый страховой полис, обеспечивающий защиту морского груза, провозимого из Марселя в Триполи. В 1601 году, в Англии был создан первый государственный документ - Парламентский Акт, регулирующий механизмы страхования -"Акт, касающийся случаев страхования среди торговцев".

В 1688 году, в Лондоне открылась кофейная, в которой страховщики собирались для обсуждения своих профессиональных проблем. Кофейня стала неким прототипом страхового рынка, а её владелец Эдвард Ллойд - родоначальником страховых компаний. Дальнейшее бурное развитие страхового* бизнеса было обусловлено развитием банковского дела и крупного промышленного производства.

Страхование в России на государственном уровне развивалось ещё со времён Екатерины II. В начале XIX века появляется страхование как вид коммерции. Первые страховые компании - "Саламандра", "Россия", "Российское общество" и т. д. специализируются на страховании от огня. Вскоре появляются такие виды страхования как страхование имущества, страхование грузов, страхование от несчастного случая, долгосрочное страхование жизни.

Предполагается, что первая модель страхования была построена еще в 1834 г. Т.Барруа (Т. Barrois) [43], а современные модели страхования восходят к Ф. Лундбергу. (F. Lundberg, 1903).

Основные задачи, решаемые в страховой математике:

- оценка оптимальной страховой премии, обеспечивающей высокую вероятность неразорения в течении фиксированного интервала времени (в том числе и с выплатой дивидендов);

- нахождение оценок вероятности разорения функцией от начального капитала компании (неравенство Лундберга);

- задачи, связанные с перестрахованием.

В настоящее время появляются работы, находящиеся на пересечении финансовой и страховой математики, и можно прогнозировать увеличение числа таких работ в ближайшем будущем.

Актуальность работы

В большинстве работ, посвященных страховой математике, результаты получены для моделей с, как правило, детерминированным процессом поступления страховых премий, иногда с постоянной скоростью, как в классической модели Крамера-Лундберга. Для моделей страхования, в которых процесс притока капитала является случайным, используется другое сильное допущение - фактическая независимость процесса поступления страховых премий и процесса выплат по искам. Такой подход объясняется подавляюще большим числом полисов по сравнению с числом исков. Подобная модель адекватна только в случаях, когда страховой рынок является развитым и стабильным. Во многих случаях это не так, в частности,<страховой рынок России нельзя считать устоявшимся.

Решение задачи нахождения вероятности неразорения страховой компании для представленной в работе динамической модели рисковог.о страхования, с разделением по времени моментов получения премий и моментов по страховым требованиям, при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени является переходом к качественно новым моделям, позволяющим более адекватно описывать деятельность страховой компании.

В страховой и финансовой математике существуют задачи, решение которых сводится к нахождению экстремумов процессов, изучаемых в теории вероятностей. Чаще всего это гауссовские, пуассоновские и сложнопуассоновские процессы. Во второй главе решается задача поиска вероятности неразорения филиала страховой компании в динамической модели при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени. Данная задача была решена новым методом - была сведена к задаче нахождения вероятности превышения фиксированного уровня максимумом приращения винеровского процесса. Особую ценность представляет возможность применения данного метода при решении многих других задач страховой и финансовой математики.

В третьей главе решается следующая задача: найти вероятность, что в течение всего заданного интервала времени при неограниченном росте среднего числа проданных компаниями полисов за единицу времени, капитал одной страховой компании будет оставаться больше капитала второй и меньше капитала третей. Все компании имеют одинаковое < распределение случайных моментов времени поступления страховых премий, размеров исков, промежутков времени с момента заключения договора до момента выплаты по иску.

Решение такой задачи позволит оценить устойчивости рынка, на котором работают страховые компании.

Эта задача была сведена к задаче определения вероятности нахождения одной винеровской траектории между двумя другими. Данный метод также может использоваться как эффективный инструмент для решения разнообразных задач, возникающих в страховой и финансовой < математике. В частности, когда при моделировании рынка ценных бумаг используется винеровский процесс Wt. Такие модели описаны в [47].

Объект исследования

Объектом исследования в данной работе является капитал страховой фирмы при рисковом страховании. В работе рассматривается ряд динамических моделей рискового страхования, описывающих поведение капитала страховой компании. Процесс изменения размера капитала страховой компании можно назвать процессом риска. [37, стр.83].

В первой главе рассматривается следующий процесс риска. Начальная величина фонда Rq = const. Предполагается, что число заключенных договоров v{t) есть пуассоновский процесс с параметром

Л > 0 (т.е. Л имеет смысл среднего числа заключенных договоров в единицу времени).

В работе применяется факторизационная модель С. Я. Шоргина

45]. В рамках этой модели предполагается, что все договора страхования являются однотипными. Тогда иски Yk - независимые, одинаково распределенные случайные величины, допускающие представление Yk = SXk,k = 1,2,., где S = const - страховая сумма, Yk < S. Относительные ущербы Хк - независимые одинаково распределенные случайные величины, ЕХк = х, DХк = б2.

Одинаковые по всем договорам страховые премии Z, поступающие в моменты времени U, соответственно, могут быть представлены как Z = Sz, z - страховая ставка.

После. заключения договора страхования компания откладывает <

часть страховой премии в размере E5Xi = Sx в резерв. Считаем, что страховая компания не может распоряжаться средствами резерва. В момент выплаты по иску отложенные с договора деньги возвращаются из резерва. Время с момента поступления по к-иу договору страхования первой (и единственной) страховой премии и до момента выплаты по иску здесь и далее будем называть период накопления тк.

• Капитал страховой фирмы в момент времени t £ (О, Т] в модели представляется в виде О

R(t) = Ro + v{t)S(z -x) + Y,S{x- Xk)l{tk + rk< t}. k=0

В §1.1, §1.2 и §1.3 задается динамическая модель рискового страхования с одинаковым для всех полисов детерминированным временем периода накоплений: Тк = т=const (модель 1).

В §1.4 рассматривается обобщение модели 1, в рамках которого снимается требование г =const (модель 2).

В §1.5 построена динамическая модель рискового страхования со случайными, одинаково распределенными периодами накоплений Тк, имеющими дискретное распределение: пусть щ, г = 1,2, .,N -упорядоченные возможные значения т^. А = адг > ajv—i > ••• > а\ = О, Pfa = а,-) = pi i = 1,2, . , (модель 3).

В §1.6. построена динамическая модель рискового страхования со случайными, одинаково распределенными периодами накопления имеющими непрерывное распределение (модель 4).

Во второй главе рассматривается следующая модель: иски по договорам Y{, г = 1,2,., - независимые одинаково распределенные случайные' величины, ЕY{ = у. Филиал страховой компании производит выплаты по искам, а через некоторый интервал времени г = const компания компенсирует эти потери. При t £ (О, Т] капитал филиала равен i/(0 u(t-r) i/(0

R(t) = Ro + i:(Yi-y)- т, (Yi-y) = R0+ £ (Yi-y). i=0 г=0 i=u(t-r)+l

Ro = const - начальная величина фонда (модель 5).

В третьей главе объектом исследования является набор из трех процессов, являющихся моделями из §1.1: Капитал г-ой страховой компании R^(t), i = 1,2,3, задается уравнением

1/М (о

R(i)(t) = В® + v®(t)S{z -х)+ £ S{x- Xt])l{tf + rf < t}. к=1

Количество заключенных договоров - пуассоновский процесс с параметром Л > 0. Относительные ущербы Х^\г = 1,2,3,/г* = 1,2,., - независимые, одинаково распределенные случайные величины, Exf = xf = S2. Начальный капитал = R$\\) (модель 6).

Предмет исследования

Предметом исследования в данной работе является процесс риска. <

Во-первых, для разных моделей проводится оценивание рисковых ситуаций. Иначе говоря, определяется вероятность разорения компании (пересечение процессом нулевого уровня). Во-вторых проводится сравнение нескольких процессов риска с разными начальными уровнями.

Определяется вероятность пересечения двух процессов с разными начальными условиями.

Эти вероятности рассматриваются при неограниченном росте < среднего числа заключенных договоров за единицу времени.

Цель и задачи работы

Нахождение оценки вероятности неразорения страховой компании до заданного момента времени для предложенной в работе ч динамической модели рискового страхования с периодами накопления при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени.

- Разработка аналитических методов для решения задачи оценки вероятности неразорения в предложенной модели рискового страхования при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени.

- Разработка программных средств имитационного моделирования для динамической модели рискового страхования с периодами накопления.

- Проведение вычислительных расчетов вероятности разорения для предложенной в работе новой динамической модели страхования.

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, { библиографического списка.

В первой главе рассматривается динамическая модель рискового страхования, когда договора заключаются в случайные моменты времени, распределенные по закону Пуассона, страховые премии по всех договорам одинаковы и равны константе. Т.е. приток капитала есть сложнопуассоновский процесс. Срок действия договора - до момента выплаты или до теоретического максимума периода накопления. В

параграфах 1.1-1.3 периоды накопления по договорам - постоянные и < одинаковые по всем договорам промежутки времени. В параграфах 1:5 и 1.6 это независимые, одинаково распределенные случайные величины, имеющие, соответственно, дискретное и непрерывное распределение.

Во второй главе решается задача нахождения вероятности неразорения филиала страховой компании для динамической модели методом сведения задачи к поиску распределения максимума приращения винеровского процесса. I

В параграфе 2.1 приводится постановка задачи и в этом же параграфе данная задача сведена к задаче нахождения распределения случайной величины супремума приращения винеровского процесса ria отрезке, в параграфе 2.2 найдено это распределение. В параграфе 2.3 дается обобщение результатов, полученных в параграфе 2.2.

В третьей главе рассматривается задача о вероятности сохранения взаимного расположения при упорядочивании по возрастанию по параметру текущего размера капитала для трех страховых компаний в течение заданного времени при неограниченном росте среднего числа < проданных компаниями полисов за единицу времени методом сведения к задаче поиска вероятности непересечения трех винеровских траекторий.

В параграфе 3.1 дана постановка задачи и в этом же параграфе данная задача сведена к задаче нахождения вероятности нахождения одной броуновской траектории между двумя другими. В параграфе 3.2 приводится решение последней задачи. I

Литературный обзор

Классификации механизмов страхования

Страхование - это договор, по которому одна сторона (страхователь) за определенную денежную плату (премию) покупает у второй стороны (страховщика) услугу, состоящую в том, что страховщик возместит возможные потери страхователя.

По классификации, данной в обзорной статье В.И. Ротаря, В.Е. Бенинга [40] и кратко приведенной ниже, механизмы страхования относятся к механизмам перераспределения риска.

Последние по той же классификации включают в себя также и механизмы резервирования. В случае резервирования создаются резервы < в деньгах, материальных ресурсах и т.п.) на случай возникновения ущерба или колебания в доходах. Основная задача состоит в поиске оптимального соотношения между объемами резерва и потребления в каждый момент времени. Используются модели управления запасами и модели оптимальных стратегий потребления. К этому же типу механизмов следует отнести кредитование отдельной экономической единицы. В некотором смысле во всех перечисленных случаях происходит перераспределение риска по времени.

Страхование можно понимать как перераспределение риска между многими участниками экономического процесса. Такой вид стабилизации возможен лишь при наличии достаточно большого числа экономических единиц, функционирующих в условиях риска, и связан с перераспределением ущерба, возникающего в результате отклонений случайных производственных показателей от их средних значений. Как правило, указанный механизм предполагает предварительные взносы участников в тот или иной стабилизационный фонд.

Важным является то, что у большинства экономических единиц взносы пропадают - они служат лишь платой за уверенность в < возмещении возможного ущерба. Реальной стабилизации суммарного дохода производителей (или потребителей) не происходит - имеется лишь перераспределение ущерба немногих «неудачников» среди всех единиц в совокупности, что в конечном итоге приводит к «устойчивому существованию» системы в целом.

Сами по себе механизмы перераспределения риска не снижают вероятности появления рисковых ситуаций, а лишь перераспределяют ответственность за риск.

При формировании механизмов перераспределения риска осуществляется выбор между рядом возможностей. Вот некоторые из них:

1. Создание страховой организации, берущей на себя обязательство полного или частичного возмещения ущерба из средств, полученных в результате накопления страховых взносов.

2. Создание организации взаимного страхования. В этом случае возмещение ущерба происходит путем перераспределения страхового фонда. *

3. Особым макромеханизмом является перестрахованием, т.е. перераспределение риска между страховыми организациями путем, например, перепродажи обязательств на покрытие страховых исков или на основе иных договоров между страховыми фирмами.

4. Использование опционов (options), т.е. долгосрочных договоров о праве на покупку или продажу. Эти договоры заключаются в случае, когда требуется гарантировать покупку или продажу по заранее обусловленной цене. Они используются при продаже акций, облигаций, заключаются в связи с использованием иностранной валюты и т.п.

Характеристики моделей страхования

Как описывается в [40], всякая модель страхования задается следующими элементами.

1. Описание случайных процессов поступления доходов или возникновения ущерба системы в целом.

2. Определение целей отдельных единиц, что, как правило, сводится к определению функций полезностей этих экономических единиц.

3. Определение механизма стабилизации. Выше приводилось четыре таких механизма.

4. Описание механизма взаимодействия между страховым обществом (или страховщиком) и страхователями. Решение такой задачи приводит к описанию "рыночного"равновесия в соответствующей модели.

Среди моделей страхования различают модели страхования жизни и рисковые модели страхования. Использование вероятностных методов в страховании жизни может корректироваться наличием большого количества статистического материала, который концентрируется в таблицы продолжительности жизни. Описание таких таблиц можно найти в [37]. Для моделей страхования жизни основной задачей' является расчет оптимальной премии за полис с использованием таблиц продолжительности жизни. Примеры моделей страхования жизни приводится в работе [20].

Примеры моделей рискового страхования

В литературе по теории риска проводится следующая классификация моделей риска:

- статическая модель страхования (индивидуальная модель риска)

- если страховые премии собраны в момент формирования страхового портфеля, срок действия всех полисов одинаковый;

- динамические модели страхования (коллективная модель риска)

- если договоры страхования заключаются страхователем в моменты времени, образующие некоторый случайный процесс, каждый договор может иметь собственный срок действия.

Статическая модель страхования

Пусть страховая компания с начальным капиталом S продала п страховых полисов. Страховые выплаты клиентам являются независимыми случайными величинами. Обозначим случайную величину выплат г'-му клиенту Y{,i = 1,2,.,п, ее функцию распределения = М{. п

Суммарные страховые выплаты Y = Y^Yi, с функцией распределения х=1

Fy(x). Положим ЕУ = М < оо. Если компания продает полисы по цене Mi = М/п, то средняя прибыль равна нулю. На самом деле в дополнение к Mi в цену полиса включают дополнительную величину - нагрузку. Обозначим Li нагрузку, соответствующую г—му полису. Окончательно, перед началом страховых выплат компания имеет капитал

S+f2Li + M = R + M. i=1

Величина R называется свободным резервом. Рисковая ситуация i.' страховой компании характеризуется двумя элементами: R и Fy{x). Можно выделить две проблемы, связанные с данной моделью:

1) страховая компания так должна определить свою политику и нагрузку, чтобы риск был в том или ином смысле "минимальным"или отклонения от оптимальной политики причиняли как можно меньше неудобств;

2) компания должна проанализировать данную рисковую ситуацию и попытаться ее «оптимизировать» с помощью некоторых механизмов перестрахования.

Пусть Y = R + М — X - конечный капитал страховой компании и G(y) - функция распределения случайной величины У. Тогда G(y) = 1 при R + М < у и G(y) = 1 - F(R + М - у) при R + М > у. Между функцией распределения G(y) и рисковыми ситуациями (it!, F(x)) существует взаимно однозначное соответствие.

Среди работ, связанных со статическими моделями страхования, можно отметить [43].

Динамические модели страхования

Фактически, статическая модель описывает состояние страховой компании за единичный отрезок времени. Динамические модели страхования более адекватно описывают процесс деятельности страховой компании. Эти модели можно разделить на модели с непрерывным временем и модели с дискретным временем.

Динамические модели страхования с дискретным временем

Предполагается, что Rq > 0 - начальный капитал компании. Случайное требование на возмещение ущерба в момент времени г обозначим Z{,i = 1,2,., N - независимые неотрицательные одинаково распределенные случайные величины, ЕZi = ц.

Страховой взнос в каждый момент времени имеет вид (1 -f 6){i. Величина в > О считается малой.

Текущий капитал страховой компании R(t) к моменту времени N есть случайная величина

RN = Ro + (l + 0)nN-jtzk. к=1

Вероятность разорения компании в зависимости от начального < капитала страховой компании и: i/>N(u) = l-P{Ri>0,i=l,.,N}.

В общем случае ^v(w), в принципе, не выражается в элементарных функциях. Однако асимптотическая теория хорошо развита. (Например при N оо.) В частности выведена оценка для вероятности разорения: iv(w) < ехр{—ки}, где к - решение трансцендентного уравнения L(k) = 1, a L(x) -преобразование Лапласа случайной величины (1 + в)ц — Z\.

Динамические модели страхования с непрерывным временем.

Первой работой, в которой была построена математическая модель страхования, была работа основоположника теории коллективного риска Филиппа Лундберга [14]. Позже Харальд Крамер в работах [3-4],[26] сформулировал более четкие математические формулировки, определил основные понятия теории риска и получил ряд важных результатов. Во многих современных работах используется классическая модель Крамера - Лундберга и ее обобщения.

Эволюции капитала страховой компании R(t) в моменты времени t описываются соотношением u(t)

R(t) = Ro + ct— J^Yk, k=0 в котором < поступление страховых премий является детерминированным линейным по времени процессом, а число выплат по искам u(t) есть пуассоновский процесс с параметром Л > 0. Выплаты Yk - одинаково распределенные случайные величины, не зависящие от числа исков и независимые между собой. Ro - начальный капитал компании. Скорость поступления премий с есть величина постоянная на протяжении всего времени.

Обозначим как Gy функцию распределения случайной величины У. Из условия «средней безубыточности» следует Е "(0 ^ ct-^Yi Ь=1 ,

0.

Соответственно, скорость поступления премий можно записать в следующем виде: с = (1 + 0)Л/2, где /i = ЕУ^, а в > 0 - коэффициент нагрузки. Этот коэффициент обеспечивает компании необходимую вероятность неразорения.

Для процесса Крамера - Лундберга были получены формулы, позволяющие приближенно оценить вероятность разорения страховой компании ф{и) = Р (R{u, t) < 0 t > 0) в зависимости от начального капитала страховой компании и: ф{и) < е-ки, неравенство Лундберга) lhnexpl&ul^u) = /i 6{h'(k) — с/А), аппроксимация Крамера-Лундберга) где

00

ОД = J exp{kz}dF(z) - 1, о к - коэффициент Лундберга, определяемый из уравнения ск — Xh(k).

Обобщением предыдущей модели является процесс с переменной скоростью поступления страховых премий.

Это классический процесс Крамера - Лундберга, где скорость поступления премий с = c(t) есть функция от времени. Например ' c(t) = at + btk, где а, 6, к -постоянные.

Другим примером может служить модель, со скорость поступления премий, зависящей от капитала компании.

Из предположения, что большее доверие у клиента вызывает страховая компания с большим капиталом, следует, что скорость поступления премий должна быть функцией от текущего размера капитала страховой компании: t u(t) c(R(z))dz - £ Yi. о *=i

Подобные модели рассмотрены в работах [7], [15]. Вариантом реализации подобной модели может служить многоуровневая модель.

R{t) = До + / c(R(z)) =

Co, 0<z<Ri Ch RI<Z<R2

Ck-i Rk-i < z < оо

Следующий вариант - модель с процентной ставкой, когда капитал страховой фирмы пополняется со скоростью c{R{z)) = co + SR(z).

Для случая, когда иски имеют показательное распределение, получены точные аналитические выражения вероятности распределения.

Еще один вариант с процессом притока капитала, являющимся кусочно-непрерывной переменной функцией

Nt

C(t) = Y, ciai + cNt+l{t ~ TnX i=1 где T{ - момент предъявления г-го иска, сг- - скорость поступления страховых премий между г — 1-ыи и г—тым иском, сгг- = 7] — Nt - число исков к моменту t.

Приток капитала в страховую фирму в большинстве работ является детерминированным, а скорость поступления постоянна, что объясняется значительным превышением числа поступающих премий над числом иском, и тем самым, при усреднении процесс поступления премий можно апрЪксимировать линейной функцией. В действительности процесс поступления премий является случайным процессом.

Модель со случайными моментами поступления премий и случайными величинами размеров страховых премий.

Mt

Пусть премии, собранные к моменту времени t, равны ct + Zj, i=i с = const. Случайные величины Z{, г = 1,2,., и Yk,Jc = 1,2,. - независимы между собой. Выплаты по к-му иску Т&. Тогда капитал страховой фирмы равен

Mt vt

R(t) = Ro + ct + j:Zi-Y,yk-*=1 к=1

В данной модели было введено ограничение - пуассоновские процессы щ и Mt с параметрами соответственно Ai и Л предполагаются независимыми.

Обобщением последней модели будет модель с неоднородными процессами Пуассона для описания поступления премий и выплат по искам.

Здесь параметры Пуассоновского процессов меняется со временем: Л = A(t),Ai = Ai(£). Подобная модель позволяет описывать, например, сезонные изменения интенсивности подачи исков или тенденции изменения со временем интенсивности заключения договоров.

В конце обзора приведем упрощенную модель, в рамках которой процесс R(t) представляют в виде

R(t) = od + SW(t), где a, S > 0, a W(t) - стандартный винеровский процесс. В этом случае { справедливо равенство ф(и, t) = 1 - Ф ((u + at^Vt)-1) + Ф (-(и + at)(8\/t)~1) ехр{-2сш<Г2}, где Ф(х) - функция распределения нормального закона.

Модели могут быть осложнены условиями возможностей выплат дивидендов, особенностями вероятностного распределения случайных величин размеров ущербов. Отдельный класс задач - задачи на перестрахование.

Проблеме нахождения вероятности разорения для различных процессов риска уделено внимание в большом количестве работ, среди которых выделим следующие: [2], [6], [Ю]-[13], [17], [22],[27],[38], [48]-[50],[51].

Новизна исследования:

Рассматриваемая модель страхования отличается от классических моделей, рассмотренных выше, не только нелинейностью процесса притока капитала в страховую фирму. Главное отличие заключается в том, что капитал страховой фирмы не является мартингалом или марковским процессом. Другая особенность - определение процесса риска не как сложнопуассоновского, а как процесса, чье распределение подчиняется процессу притока капитала.

Методы, использованные для решения задач во второй и третьей главах, ранее не применялись. Эти методы представляют интерес с точки зрения теории случайных процессов как новые результаты, полученные в данной области. У

Г JI А В А 1

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РИСКОВОГО

СТРАХОВАНИЯ НЕ ЯВЛЯЮЩАЯСЯ

МАРКОВСКИМ ПРОЦЕССОМ.

Основные результаты работы.

Разработан новый класс динамических моделей рискового страхования, в которых стохастический процесс капитала фирмы не является мартингалом или марковским процессом.

Разработаны новые аналитические методы исследования моделей: < для решения задачи поиска вероятности неразорения при неограниченном росте среднего числа заключенных договоров страхования (полисов) в единицу времени:

- Метод, основанный на использовании теоремы Ю.В.Прохорова.

- Метод, основанный на использовании вероятности превышения фиксированного уровня максимумом приращения Винеровского процесса.

- Метод, основанный на использовании вероятности непересечения траекторий трех броуновских частиц.

На основе аналитического метода работы с моделью проведены < вычислительные расчеты вероятности разорения при различных наборах входных параметров: начальный капитал, максимальный интервал времени работы страховой компании.

Разработан программный продукт, реализующие имитационное моделирование процессов риска и определение на основе метода Монте-Карло вероятности разорения страховой компании (свидетельство №2007614618).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Billingsley P. Convergence of probability measures./Billingsley P. John Wiley & Sons, 1968. .p.

2. Bohman H. The ruin probability in special case //Bohman H. ASTIN Bull., 1971, 6 (1), P. 66-68.

3. Collins R. Actuarial application of Monte Carlo technique Transaction of the Society of Actuaries / Collins R., 1962, v,14,p/365-384.

4. Cramer H., Collective risk theory // Scandia Jubilee Volume, Stochholm, 1955.

5. Criamer H., On the mathematical theory of risk // Scandia Jubilee Volume, Stockholm, 1930.

6. De Vylder F. Explicit finite-time and infinite-time ruin probabilities in the continuous case //De Vylder F., Goovaerts M. Insurance: Mathematic and Economic. 1999. 24. P.155-172.

7. Dickson C.M.D., The probability of ultimate ruin with a variable premium loading a special case // Scandinavian Actuarial Journal, 1991, v.l, p. 75-86.

8. Dickson D., On numerical evaluation of finite time ruin probabilities // Trans. 26th International Congress of Actuaries, 1996, p. 437-447.

9. Dickson D.C.M., Waters H.R., Ruin probabilities with compounding assets// Insurance: Mathematics and Economics, 1999, 25, p.49-62.

10. Freew E.W., Nonparametric estimation of the probability of ruin // ASTIN Bull., 1986, 16 (S), P. 81-90.

11. Goovaerts M. Survival probabilities based on Pareto claim distributions. Comment. //Goovaerts M., N. De Pril. ASTIN Bull., 1980, 11 (2), P.154-157.

12. Grandell J., A class of approximations of ruin probabilities // Scand. Actuarial J1., 1977, P.37-52.

13. Gullenberg M., Silvestrov D.S., Cramer-Lundberg approximation for nonlinearly perturbed risk processes // Insurance: Mathematic and Economic, 2000, 26, P. 75-90.

14. Thorin O., N. Wikstad, Numerical evaluation of ruin probabilities for a finite period// ASTIN Bull., 1973? 7 (2) p/137-153.

15. Seal H.L., From aggregate claims distribution to probability of ruin// ASTIN Bull., 1978, 10 (1), p.47-53.

16. Бородин A.H., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. Факты и Формулы.-СПб.: "Лань 2000.

17. Бакиров Н.К. Лукманов Н.Ф. Вероятность нахождения одной броуновской траектории между двумя другими // Вестник УГАТУ. 2006, т.7, N1, С.133-136.

18. Бронштейн Е.М. Основы актуарной математики. Страхование жизни и пенсионные схемы.// Е.М. Бронштейн, Е.И. Прокудина.- Уфа: УГАТУ. 2002.-134с.

19. Бронштейн Е.М. Основы актуарной математики. Общее страхование.// Е.М. Бронштейн, Е.И. Прокудина.- Уфа: УГАТУ. 2006.-194с.

20. Виноградов О.П., Вероятность разорения страховой компании вслучае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения // Теория вероятностей и ее применения, 1998. Том 43, №2.

21. Виноградов О.П. Вероятность разорения страховой компании // Теория вероятностей и ее применение, 1998, Т.43, вып.1,с. 352-360.

22. Гихман И.И., Скороход А.В./ Введение в теорию случайныхпроцессов. М.: Наука, 1965. 656 с.

23. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и поизведений/ М.:Физматгиз, 1962. 1100 с.

24. Крамер Г., Математические методы статистики/ Пер. с англ. А.С. Монина, А.А. Петрова под ред. акад. А.Н. Колмогорова.- М.: Госуд. изд-во иностр.лит., 1948.-632 с.

25. Калашников В.В., Вероятность разорения // Фундаментальная и прикладная математика, 1992. Т.2, №4, С. 1055-1100.

26. Лукманов Н.Ф. Асимптотика вероятности неразорения страховых компаний // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании, Межвуз. научн.сб. Уфа, 1999. С.150-154 .

27. Лукманов Н.Ф. Асимптотика вероятности неразорения страховой компании // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004, т.11, вып.1, стр.67-72.

28. Лукманов Н.Ф. Модель страхования с непрерывным временем отсрочки // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник.- Уфа, Изд-во УГАТУ, 2002, С.94-98.

29. Лукманов Н.Ф., Бакиров Н.К. Распределение супремума приращения винеровского процесса на отрезке // Вестник УГАТУ. 2003, т.4, N2, стр.84-88.

30. Меллер К.М. Точечные процессы и мартингалы в теории риска // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995, т.2. вып.4, С.658-675.

31. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995, т.2. вып.4, стр.514-527.

32. Мельников А.В. Риск-менеджмент: стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования 2-е изд., перераб. и доп.-М.:Анкил, 2003 - 159 с.'

33. Петров В.В. "Суммы независимых случайных величин". М.: Наука 1972 г. 414 с.

34. Розанов Ю.А. Случайные процессы.-М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1979.

35. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994, т.1. вып.5, стр.698-780.

36. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращенцями.-М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986.

37. Спивак С.И., Что такое финансовая математика // Соросовский образовательный журнал, №8, 1996, С. 123-127.

38. Страхования математическая теория, авт. статьи Ротарь В.И. // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. Гл. ред. Ю.В.Прохоров.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.-910 с.

39. Ширяев А.Н. Вероятность-1. М.: Наука. 2003, 520с.

40. Щоргин С.Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т.4. вып.1, стр. 124-156.

41. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики // Теория вероятностей и ее применения. 1993, т.38. вып.2, стр.375-416.

42. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов, Теория вероятностей и ее применения, 1994, т.39, в.1, с. 80-129.

43. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании.-М.: Российский юридический издательский дом, 1994.-130 с.

44. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику.-М.: Финансово-актуарный центр МГУ им. М.В.Ломоносова, 1994.-86 с.

45. Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.-М., Фазис, 1998.-512 с.

46. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики // Теория вероятностей и её применения. 1993. Т.38, вып.2. С. 374- 416.