автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асимптотический анализ моделей страхования при дважды стохастических потоках страховых премий и выплат

на правах рукописи

Бублик Яна Сергеевна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ СТРАХОВАНИЯ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ СТРАХОВЫХ ПРЕМИЙ И ВЫПЛАТ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ФЕБ 2314

005544»^

Томск-2014

005544849

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре прикладной математики.

Официальные оппоненты:

Китаева Анна Владимировна - доктор физико-математических наук, доцент кафедры инженерного предпринимательства ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Цициашвили Гурами Шалвович - доктор физико-математических наук, профессор, зав. лабораторией вероятностных методов и системного анализа Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток)

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Защита состоится 27 марта 2014 г. в 12.00 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд. 102).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 24 января 2014 г.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Лившиц Климентий Исаакович

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Общеизвестно, что основной принцип любого вида страхования состоит в том, что страховая компания, по луч ив предварительно от страхователя страховую премию, обязуется при наступлении страхового случая произвести страховую выплату, покрывающую финансовые потери. Хотя для каждого страхового контракта значения страховой премии и возможной страховой выплаты строго оговорены, до момента заключения контракта они неизвестны и должны рассматриваться как случайные величины. Моменты поступления страховых премий и наступления страховых случаев также являются случайными величинами. Поэтому любая математическая модель деятельности страховой компании наряду с правилами начисления страховых премий должна включать в себя статистические модели потоков страховых премий и выплат.

Основы современной актуарной математики были заложены работами Ф. Лувдберга и X. Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования, которая благодаря своей простоте позволяет вычислить статистические характеристики рассматриваемой математической модели. В то же время классическая модель не отражает многие реальные черты деятельности страховых компаний. Развитию и обобщению классической модели посвящено большое количество работ по математической теории страхования, укажем, например, работы В.В. Калашникова, В.Е. Бенинга, В.Ю.Королева, О.П. Виноградова, В.И. Ротаря, Г.Ш. Цициашвили, В.М. Малиновского, H.U. Gerber, А. Renyi, J.M. Reinhard, Н. Schmidli, S. Asmussen, R. Norberg, J. Grandell. Однако остается еще много проблем, требующих дополнительного исследования. К числу таких проблем можно отнести, например, следующие:

1. Для моделей страхования с дважды стохастическими потоками премий и выплат не существует простых соотношений, которые позволяли бы оценить вероятность разорения страховой компании и другие статистические характеристики при произвольных распределениях страховых премий и выплат.

2. Близкими к математическим моделям страхования, например, к моделям с выплатой дивидендов, являются математические модели так называемых некоммерческих фондов, целью деятельности которых, как и целью деятельности страховых компаний, является сбор и перераспределение денежных средств без получения прибыли. Изучению математических моделей некоммерческих фондов, к которым могут быть отнесены, в частности, все внебюджетные фонды РФ и эндаумент-фонды, посвящены лишь отдельные работы.

В представленной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что, по мнению автора, я определяет ее актуальность.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей страховых компаний и некоммерческих фондов, а именно:

1. Определение для моделей страховых компаний с дважды стохастическими потоками страховых премий и страховых выплат таких их статистических характеристик, как вероятность разорения, распределение времени до разорения при условии, что разорение происходит, нахождение среднего и дисперсии времени до разорения при дополнительном предположении о малости нагрузки страховой премии. Нахождение путем имитационного моделирования и численного решения

систем уравнений, определяющих вероятности разорения, границ применимости полученных приближенных соотношений.

2. Определение для моделей некоммерческих фондов при различных предположениях о потоках поступающих в фонд платежей и выплат из фонда и различных предположениях о стратегии управления денежными средствами фонда таких их статистических характеристик, как плотность распределения величины капитала фонда, плотностей распределения продолжительности периода повышенных выплат и продолжительности периода неплатежеспособности.

Научная новизна:

1. Впервые для модели страховой компании с дважды стохастическим потоком страховых выплат и непрерывным поступлением страховых премий и модели страховой компании с дважды стохастическими потоками страховых премий и страховых выплат в случае малой нагрузки страховой премии методом введения в уравнения малого параметра найдены вероятность разорения страховой компании на бесконечном временном интервале и производящая функция условного времени до разорения, доказано, что при неограниченно возрастающем начальном капитале распределение условного времени является асимптотически нормальным.

2. Методами имитационного моделирования и путем численного решения систем интегральных к интегро-дифференциальных уравнений, задающих вероятности разорения, установлены границы применимости полученных асимптотических соотношений.

3. Впервые построена и исследована математическая модель некоммерческого фонда с дважды стохастическим потоком поступающих платежей и релейным управлением капиталом. Получены выражения, определяющие плотность распределения капитала фонда, плотности распределения продолжительностей периода неплатежеспособности и периода повышенных выплат при дополнительном предположении о близости в среднем расходуемых и поступающих в фонд денежных средств.

4. Впервые построены и исследованы математические модели некоммерческого фонда с луассоновским потоком поступающих платежей и релейно-гистерезисным управлением средним значением выплаты либо интенсивностью потока выплат. Получены выражения, определяющие плотность распределения капитала фонда, при дополнительном предположении о близости в среднем расходуемых и поступающих в фонд денежных средств.

Положения и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Статистические характеристики математической модели страховой компании с дважды стохастическим потоком страховых выплат при малой нагрузке страховой премии.

2. Статистические характеристики математической модели страховой компании с дважды стохастическими потоками страховых премий и страховых выплат при малой нагрузке страховой премии.

3. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда с дважды стохастическим потоком поступающих платежей и релейным управлением капиталом и определение ее статистических характеристик.

4. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда с пуассоновским потоком поступающих платежей и релейно-гистерезисным

управлением средним значением выплаты либо интенсивностью потока выплат и определение ее статистических характеристик.

5. Комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ расчета вероятностей разорения для моделей страховых компаний с дважды стохастическими потоками страховых премий и выплат и имитационного моделирования моделей страховых компаний.

Методы исследования. Основная часть проведенных исследований носит теоретический характер и проводилась с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории интегральных и дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований. Для определения области применимости полученных в работе асимптотических результатов использовалось численное решение систем интегральных и интегро-дифферснииальных уравнений, методы имитационного моделирования.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что получили дальнейшее развитие методы актуарной математики, примененные для исследования математических моделей страховых компаний и некоммерческих фондов с более адекватными предположениями о стохастических потоках денежных средств и стратегиях управления их расходованием. Рассмотренные в диссертации задачи являются, но сути, частным случаем задач теории запасов. Использованные в диссертации методы могуг быть применены для анализа результата управляемого движения любого ресурса, поступление и выбытие которого подчиняется стохастическим закономерностям.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней соотношения могут быть использованы для расчета нагрузок страховых премий, выбора стратегии управления капиталом некоммерческих фондов. Разработанный комплекс программ позволяет находить численные решения уравнений, определяющих вероятности разорения страховых компаний для рассмотренных моделей.

Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается корректным применением используемого математического аппарата, а также совпадением теоретических результатов с численными расчетами и результатами имитационного моделирования.

Лпчное участие автора и получении результатов, изложенных в днссертацип. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем, д.т.н., профессором К.И. Лившицем. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю К.И. Лившицу принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены автором.

Апробация работы

Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. VII, VIII, X Всероссийских научно-практических конференциях с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2008, 2009, 2011 г.г.

2. VII, VIII, IX Российских конференциях с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, 2008, 2010, 2012 г.г.

3. XII, XIV, XVII Всероссийских научно-практических конференциях «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 200S, 2010, 2013 г.г.

Результаты, представленные в данной работе, были получены в рамках выполнения научных проектов:

• 2009 - 2011 гг. Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 г.г.) Федерального агентства но образованию, проект № 4761: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

® 2011 г. Гранта РФФИ № «11-01-90713-мобст.».

Публикации. По результатам выполненных исследований автором опубликовано 20 печатных работ, в том числе 6 в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы из 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 155 страниц, в том числе основной текст 142 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, изложена его научная новизна, теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

В первой главе диссертации рассматривается случай, когда моделью потока страховых выплат является дважды стохастический ггуассоновский поток. Считается, что интенсивность потока страховых выплат /.(/) является однородной цепыо

Маркова с непрерывным временем и п состояниями /„(/) = . Переход из состояния

в состояние задается матрицей инфинитезямальных характеристик Q = Г<уу j ранга

и-1. Страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения ф), средним значением М{х} = а и моментами

= ак к = 2,3. Наконец, в соответствии с классической моделью страховой

компании считается, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью С .

Пусть л0 - средняя интенсивность потока страховых выплат. Введем нагрузку страховой премии 9 соотношением С = (1 + 9)А0я. Так как средний капитал компании S(t)~ S(0) + BX0at, то при ¿»1 кашггал компании п среднем монотонно возрастает, если 8 > 0. При 8 < 0 компания разоряется.

Пусть в момент времени t капитал компании равен S(t). Определим

r = inf{r:S(t)<0} и Г = со, если S(t)>0Vt. Случайная величина Т - момент разорения. Тогда

P^S) = Р{т < oo|5{0) = 5, МО) = X,}

есть вероятность разорения страховой компания на бесконечном временном интервале при условии, что в начальный момент времени ее капитал равен S и: значение интенсивности потока выплат равно \ . Вероятности разорения P(S) удовлетворяют системе уравнений

CPi{S) = \lPl(S)-fiqiJPj(S)-ll -x)vj(x)dK- \\v/{x)dx, i = Ü (1)

0 S'

с граничными условиями lim />(S) = 0.

Пусть P(S) = ^z.^-(S). Тогда P{0) = (I + ö)~! и определяется, таким образом, ¿=1

только нагрузкой страховой премии.

Основное внимание в работе уделено построению решении системы уравнений (1) при малой нагрузке страховой премии 0 . Решение системы предлагается искать в виде

/;(S) = (os,е)

1 + 0 , (2)

где функции <pr(z,0) предполагаются трижды дифференцируемыми по г и по 9 .

Теорема 1.1. При 0 «1

Л

Фг(г,0) = ф(г) = е^7 + 0(0), (3)

где z, — финальные вероятности состояний /.,,

Zw-w. (4)

2 ¡-1 1=1

Пусть теперь

Чп ■■■

л ■■• Чп-1,„-1

(5)

Ч>((г,0) = Ф(г) + Д(г)в + о(в). (6)

Теорема 1.2. Функции В, (г), входящие в разложения (б) функций ф,(г,0) вряд по степеням 9, гшеют вид:

-А, _

где

А м /=> А м А А

п-1

А3 -Ю'ЕЫЬ-'К)-

1 1=1 I

•ь 1=1 ]=1 0

л»

Формулы (2), определяющие вероятности разорения, при малых 8 принимают

вид

1 + 6

--ио --Т-Ч1

Л +в(1У, + вЗЖ)с д

+ о(0). (7)

В работе рассматривается условное время до разорения страховой компании при условии, что разорение происходит, и исследуется распределение условного времени до разорения при малой нагрузке страховой премии 9. Пусть срДЗ,!/) -производящая функция моментов условного времени до разорения при условии, что в начальный момент времени капитал равен £ и интенсивность потока выплат равна

Тогда ф,■(£,«)=, где функции Ф,(5,и) определяются системой

ЩЗ)

уравнений

= ^ |ф;(5 - л-, иМх)сЫ - А,

с граничным условиям ФД5.0) = ^(5),НтФ,-(5,и) = 0 . Решение системы уравнений ищется в виде:

где Л(и,0) и 0) - некоторые функции. В силу произвольности функции

П

А(и,в) считается, что ^-,/(0^,0) = 1.

Теорема 1.3. При 0 «1 /,(г,и,0) = ехр^ДгОг} + 0(0), где постоянные .>{, Аг определяются соотношениями (4) и (5) и

-Л-л/4 + 4^ х,(„) =-_-.

В диссертации доказана теорема 1.4, формулировка которой здесь не приводится ввиду се громоздкости, уточняющая ныражения для /(г,к,9) с точностью до о(6).

Нормировочная функция А(и, 9) имеет вид

Ди,0) = Ьо

где

XI С") =

-а2 - л/4+44«

2 л

Таким образом,

Ф = \

^+м-Х.0аОХц „2

■'■Л. е

+ О(0).

При 0«1 среднее значение условного времени до разорения

4(5) = £±£+0(1),

л0т)

дисперсия условного времени до разорения

л2о

Плотность распределения условного времени до разорения ( при нулевом начальном капитале £¡(1,0) имеет вид

4«'-*> "'¿к +0(0),

'(1-хУ

2

2л/л

аАЯ „ я „ I

где а = ——, В = —. Пусть т =-, а =

2 л 4 ел.

М.

еЧ3

и ф, г(н,5) производящая функция

случайной величины z =

t-mS

ол/5 ' 1.5. Если при

О->Ое5'(0)->=о, но 02£(9)->О, то

Теорема 1ип<р; .0"ш,5) = е 2 .

Во второй главе диссертации исследуется математическая модель изменения капитала страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат. Считается, что интенсивность потока страховых премий является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и т

состояниями /.(У) = X,. Переход из состояния в состояние задается матрицей

инфинитезимальных характеристик А=[а4,] ранга »7-1. Страховые премии

являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения ф(„х),

средним значением М{-*} = а и моментами = ак,к = 2,3. Интенсивность

потока страховых выплат ц (У) также является однородной цепью Маркова с

lü

непрерывным временем и п состояниями интенсивности p(Y) = ц,. Переход из состояния в состояние задается матрицей инфннитезимальных характеристик B=[ßv] ранга п-1. Страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения , средним значением

М{.г} = Ь и моментами М jx* j = bk, к = 2,3.

Пусть и средние интенсивности потоков страховых премий и выплат. Тогда при i»l средний капитал страховой компании 5(/)~¿>'(0)-(Х,,а-ц0й)/. Поэтому капитал компании в среднем монотонно возрастает, если L/r = (1 + 9)ц,Д

где б>0. При 0<0 компания разоряется. Параметр G, как и ранее, - нагрузка страховой премии.

Пусть Т = inf {f :S(/)<0} и Т = ад , если S (?) > 0 Vi. Обозначим

G„ (5) = Рг{г < ю|5(0) = s Д(0) = *„ц(0) = ц,}

- вероятность разорения страховой компании при условии, что в начальный момент времени ее капитал равен S и значения иителсивностей потоков страховых премий и выплат равны X = Xs и Li = р.,.

Для принятой модели уравнения для вероятностей разорения имеют вид

М j

(Л + = ^]GtJ{S + x)'o{x)dx + р, fG,,(S-x)v(.r)i& +

° / + ц JV(*) А + ¿a (S) + (5),

s Jt=l

с граничными условиями lim Gt. (5) -- 0.

При малой нагрузке страховой премии 8 решения уравнений (8) предлагается искать в виде

G*(s)=c(e)/ff(es,e),

где на дважды дифференцируемые по г и 9 функции /.,(?. 9) наложено

m п

дополнительное условие ]Г "¿Р/Л (0>0) = 1.

(=1 уИ

Теорема 2.1. При 9«1 /у (5,0) = exp-j -^-S}- + О(О),

А =

1

гдв - ■ - ■ Ii

^ (К - {h - К) - ö2Sр* (и* - ß* -л»).

<Че/!=

Рп

К-1

Р—1.1 ''' Рп-1,™-1

а.

Нормировочная функция С(9) определяется выражением

с(е)=ц,

К, + Щ, - К\е л ф(л-)Л

Таким образом, при 0 «1 вероятность разорения

00

Х0 + ц0-А,0|е л ф (х)с1х

ехр^-^-95

+ 0(0).

Пусть уи(!},и) - производящая функция условного времени до разорения при условии, что в начальный момент времени капитал равен 5 и интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат равны ?.. и соответственно. Тогда

где функции ФДЛ^м) определяются системой уравнений

тих.

+ц,.|Ф17{5-х,иЫх)с1х + + И,

о ¿=1 а=1 ,

и удовлетворяют граничным условиям Ф,у(¿',0)- С,,(£'), ИтФ( ,(5,«) = 0.

При малой нагрузке страховой премии решение системы (9) ищется в виде

(9)

где

Теорема 2.2. При 9 «1

/у (г, со) = е*1(ш)г + 0(0).

где х^ю)

~А2 - ^А^ + 4 До

2 А

Функция определяется выражением

Таким образом,

"г Mr

(Xa + ii0 + u)-\Qje Ы ф)с!х

+ 0(6).

При 9 «1 среднее значение условного времени

1 ( „ I

Mo j

дисперсия условного времени

А;

1 / 24

Обозначим /л =-, ст = I 3 3, введем величину

i-mS

сгл/5

и ооозначим

через <pf j Дм, j') ее производящую функцию.

Теорема 2.3. Если при 6 0 05(0) -> =о, но вг£(е) -> 0 то

О2

В третьей главе диссертации исследуются математические модели некоммерческих фондов. При этом под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли.

В параграфе 3.1 исследуется математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке поступающих платежей и релейном управлении выплатами.

Основной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени t. Предполагается, что с капиталом могут происходить следующие изменения:

1. В фонд поступают денежные средства (премии). Поступающие премии являются независимыми одинаково распределенными величинами с плотностью распределения ф(х) и моментами М{х} = а и Л/(х:{ = Моменты поступления денежных средств образуют дважды стохастический пуассоновский поток с переменной интенсивностью Х(().

2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Считается, что моменты выплаты денежных средств образуют пуассоновский поток с интенсивностью ц ■ Расходуемые суммы являются независимыми случайными величинами b(S)x, где случайная величина х имеет плотность распределения и моменты Л/{*} = 1 и

Л/{.х} = Рт Стратегия расходования денежных средств имеет релейный характер, т.е.

<

для некоторого порогового значения капитала SB. Так как фонд не имеет целью

получение прибыли, то считается, что цА0 <\a,\ib{ > Хм, где Х0 = - средняя

интенсивность потока поступающих премий.

3. Наконец, считается, что при S < 0 фонд не прекращает своей деятельности, по наступает период неплатежеспособности фонда, выплаты начисляются, а обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.

ПустьP:(S)dS = Рг{5<S(t)<S + dS;X(l) = ?.,} - вероятность того, что в момент

времени t интенсивность потока K(i) = Xi и капитал фонда Sit) s[.S',5 + М] в стационарном режиме. Введем параметр 9 , где 0 < 6 < 1 и будем считать, что

рД, = (1 - 9}V, цЬ, = (1 + 8)>.са. (10)

Рассмотрим далее асимптотический случай, когда 6 «1. Функции Pt(S) будем искать в виде

/>(s) = wes,e),

считая функции/(s,0) дважды дифференцируемыми по 9 и дважды дифференцируемыми по г за исключением точки, z0=fl50, так как в точке S„ функция b(S) имеет разрыв.

Теорема 3.1. При ö «1 /(г,9) = тс,е + 0{9), где 7t- — фшшдъные вероятности состояний Л,,

= h^kК) Wh - hW, г. = R = [/у= 2 kJ

Безусловная плотность распределения капитала фонда

Qu ■■■ <1п-1,1 <?!,„ ... ?„_!,„-!

ы 2у0 [ Го J

Наряду с плотностью распределения капитала фонда в работе исследуются такие характеристики деятельности фонда, как продолжительность периода его неплатежеспособности и продолжительность периода повышенных выплат. Под периодом неплатежеспособности фонда понимается время, в течение которого фонд не может выполнять свои обязательства. В работе доказано, что безусловная плотность распределения продолжительности периода неплатёжеспособности имеет вид

т=

_J_ -i_2 f [Г

00

где а =

Второй исследованной характеристикой является продолжительность периода повышенных выплат. Период повышепных выплат наступает, когда капитал фонда S >Sa. В работе доказано, что безусловная плотность распределения

продолжительности периода повышенных выплат также имеет вид (11). Совпадение выражений для плотностей распределения продолжительностей периодов неплатежеспособности и повышенных выплат объясняется тем, что был рассмотрен симметричный случай, определяемый соотношениям!* (10).

В параграфе 3.2 исследуется математическая модель деятельности некоммерческого фонда при пуаесоновском потоке поступающих платежей и релейно-гистерезисном управлением выплатами. Рассматривается следующий вариант изменения капитала фонда:

1. В фонд поступают денежные средства. Считается, что моменты поступления денежных средств образуют пуассоиовский поток с интенсивностью Я. Поступающие денежные суммы (премии) являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения <р(.г), средним значением М {.г} - а и

вторым моментом М j = аг.

2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Считается, что расходование денежных средств происходит непрерывно во времени со скоростью b(S), где S - капитан фонда в текущий момент времени, так что за малое время Д( выплата составляет b(S)At. Управление расходованием денежных средств определяется следующим образом. Устанавливается два пороговых значения капитала S, и S2, причём S\ < S,. В области S <St, b(S) = а,, в области S>S2,b(S)~b1, где be<Xa, h > ла. Что касается области .S', < S < S2, то здесь устанавливается b(S) = ö„ или b(S) = b, в зависимости от того, как процесс ¿'(0 вошёл в эту область. Если он вошёл в неё через порог 5, снизу вверх, то остаётся 6(5) = Ь0, если же он вошёл в эту область через порог S2 сверху вниз, то остаётся b(S) = . Следуя O.A. Змееву, такой алгоритм управления капиталом фонда назовём релейно-гистерезисным.

При произвольном распределении премий <p(.t) введём параметр 9, где

0 < 9 < 1, и будем считать, что b0 = (1 - 0)Ла. /;,{1 + 0)?.д.

Теорема 3.5. При 9 «1 плотность распределения капитала фонда имеет вид

— e

где co„ =

2a

•o =

a-

B работе также найдено точное распределение капитала фонда при экспоненциальном распределении премий.

В параграфе 3.3 рассматривается математическая модель деятельности некоммерческого фонда с пуассоновскими потоками поступлений и выплат и релейио-гистерезисным управлением интенсивностью выплат. В отличие от рассмотренной выше модели считается, что выплаты являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами с плотностью распределения

»!>(*) , средним значением М {.т} = b и вторым моментом Моменты

начисления выплат денежных средств также образуют пуассоновский поток, интенсивность которого зависит от капитала фонда. Предполагается, что

управление расходованием денежных средств определяется следующим образом: устанавливается два пороговых значения капитала Л', и S2, причём 52 > . В

области S < = , в области S > S2 p.(S) - fij. При этом |i06 <Ха<

В области же < S < S2 устанавливается значение ц(Л') = ц., или = и, в зависимости от того, как процесс S(i) вошёл в эту область. Если он вошёл в нее через порог 5t снизу вверх, то остаётся ц(5) = и0, если же он вошёл в эту область через порог S2 сверху вниз, то остается ц(5) = ц,. Будем считать, что начало отсчета капитала перенесено в точку S, и разность S2-S}= SB.

При произвольных распределениях поступающих премий <p(S) и выплат 4i(5) введём параметр 0 , где 0 < 9 < 1, и будем считать, что \1ф = (I - 0)Ха, ^b = (1 + 8)%а. Теорема 3.7. При 9 «1 плотность распределения капитала фонда имеет вид

^oK + iOi) 5o(rao + ®i)

+ о(6), 0 < S < S(

0>

где

2\а Тка

Ш() =-—) И] =----.

Ха2 + р,фг Хаг + \\.хЬг В работе также найдено точное распределение капитала фонда при экспоненциальных распределениях премий и выплат.

В четвертой главе диссертационной работы рассмотрен комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ численного решения систем интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, определяющих вероятности разорения для моделей страховых компаний с дважды стохастическими потоками страховых премий, и выплат и имитационного моделирования моделей страховых компаний. Комплекс может быть использован как для непосредственного определения вероятностных характеристик, так и для оценки границ применимости полученных в работе асимптотических соотношений. Программный комплекс реализован в среде программирования Delphi.

На рис. I приведены вероятности разорения Gsj{S) страховой компании с дважды стохастическими потоками страховых премий и выплат, определяемые уравнениями (8), для параметров т = 2, п = 2. "кх = 10 , Х2 = 5 , щ = 1, р2 = 2,

4S -— 45 -—

а = 1,8 = 0.5, = 4 , <р(5)=—-г-е " матрицы инфинитезимальных

b а

f-ОЛ 0,1 Д (-0,2 0,2 ^ характеристик А = , В =

V 0,4 -0,4J ^ 0,8 -0,8J

Вероятность разорения страховок компания при дважды стохастически* потоках страховых премий и выплат

Рис. 1.

В табл. 1 приведена относительная погрешность аппроксимации вероятностей разорения Р,{8) для модели с дважды стохастическим потоком страховых выплат соотношениями (7).

в 8, 62 53

0,2 1,252 1,214 1,071

0,1 0,825 0,514 0,477

0,05 0,128 0,125 0,123

0,01 0,0029 0,0029 0,0027

Таблица 1

Страховые выплаты п = 3 Д[ = 1, Х2 = 2Д3 = 5, а — 1,

"-1 0,3 0,7" 0= 0,5 -1 0,5 0,6 0,4 -1

а

0,95

имеют гамма-распределение. Параметры матрица инфинитезимальных характеристик

О - 0 01

о,» 0,85 0,8 9,75 0,7

£»0.05

г?. 01

о,«

Рис.2

На рис. 2 для модели с пуассоновекими потоками страховых премий и выплат приведены зависимости вероятности разорения С?(5) от начального капитала,

полученные посредством имитационного моделирования (сплошные линии), и ее оценки, построенные по формулам (7), при различных значениях 9. Страховые ' премии и выплаты имеют гамма-распределение. Параметры: а = 5Д = 10, ц = 1. Объем выборки при моделировании .V = 100 000 .

В заключение диссертации приведены основные результаты, которые изложены в пунктах научной новизны, теоретической значимости и практической ценности.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах, включенных в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов

диссертаций:

1. Бублик Я.С. Плотность распределения капитала некоммерческого фонда при гистерезпсном управлении капиталом / К.И. Лившиц Я.С. Бублик Н Известия Томского политехнического университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - Т. 315, № 5. — С. 174 - 177. -0,24/0,14 п.л.

2. Бублик Я.С. Вероятность разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2010. - № 1 (10). — С. 66-77. -0,66 / 0,56 п.л.

3. Бублик Я.С. Плотность распределения капитала некоммерческого фонда для пуассоновской модели при гистерезпсном управлении капиталом / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника п информатика. - 2010. — № 3 (12). С. 12-20. 11,54 / 0.44 тг.л.

4. Бублик Я.С. Распределение условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат ! К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестник Томского государственного упиверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. — JV» 4 (13). -С. 15-23. - 0,54 / 0,44 п.л.

5. Бублик Я.С. Вероятность разорения страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислитель пая техника и информатика. - 2011. - № 4 (17). — С. 64-74. -0,66 / 0,56 пл.

6. Бублик Я.С. Распределение условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и ипформатнка. - 2012. — JV® 1 (18). - С. 82-91. - 0,60 / 0,50 п.л.

Публикации в других научных гаданиях:

7. Бублик Я.С. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда / И.Ю. Шифердекер, Я.С. Бублик // Научное творчество молодежи : материалы XII Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 18-19 апреля 2008 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008. - Ч. 1. -С. 4-7.-0,24/0,14 пл.

8. Бублик Я.С. Диффузионная аппроксимация пуассоновской модели деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Вестиик Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2008. - № 3 (4). - С. 48-58. -0,66 / 0,56 п.л.

9. Бублпк Я.С. Математическая модель деятельности внебюджетного фонда при дважды стохастическом потоке страховых премий и экспоненциальных распределениях поступлений и выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008): материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 14-15 ноября 2008 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2008. - Ч. 1. -С. 45-149.-0,30/0,20 п.л.

10. Бублик Я.С. Диффузионная аппроксимация луассоновской модели деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Новью информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Седьмой Российской конференции с международным участием, 2-5 сентября 2008 г. - Томск : Изд-во НТЛ, 2008. - С. 91. - 0,06 / 0,04 п.л.

11. Бублик Я.С. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при гистерезисном управлении капиталом / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009) : материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием: в 2 ч. 13 - 14 ноября 2009 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. -С. 234-238. - 0,30 / 0,20 п.л.

12. Бублик Я.С. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда / Я.С. Бублик // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции: в 2 ч. 15- 16 апреля 2010 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 16-19. - 0,24 / 0,14 п.л.

13. Бублик Я.С. Условное время до разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием, 5-8 октября 2010 г. - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - С. 29. - 0,06 i 0,04 п.л.

14. Бублик Я.С. Вероятность разорения страховой компании в случае дважды стохастических потоков страховых премий и выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик// Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011): материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием : в 2 ч. 25-26 ноября 2011 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. -С. 148-153.-0,36/0,26 п.л.

15. Бублик Я.С. Производящая функция условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат [Электронный ресурс] / Я.С. Бублик // Научное творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции: в 2 ч. 17 - 18 мая 2012 г. - Электрон, дан. - Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1. - 1 электрон, опт. диск. - С. 5-8.

16. Бублик Я.С. Распределение условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: тезисы докладов Девятой Российской конференции

с международным участием, 5-8 июня 2012 г. - Томск : Изд-во'НТЛ, 2012. -С. 80. - 0,06 / 0,04 п.л.

17. Бублик Я.С. Электронный информационный образовательный ресурс: Вычисление вероятности разорения при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат [Электронный ресурс] / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование», №8,2012. Режим доступа: http://ofernio.ru/portaL/newspapeT/of егпш/2012/8.с1ос. - С. 9.

18. Бублик Я.С. Электронный информационный образовательный ресурс: Вычисление вероятности разорения страховой компании при пуассоновских потоках страховых премий и выплат [Электронный ресурс] / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование», № 8, -2012. - Режим доступа: Ьйр://о£епн'о.пь/роЛа1/пе\¥зрарег/оГет)о/2012/8^ос.-С. 10.

19. Бублик Я.С. Электронный информационный образовательный ресурс: Вычисление вероятности разорения при дважды стохастическом потоке страховых выплат [Электронный ресурс] / К.И. Лившиц, Я.С. Бублик // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование», № 8, - 2012. - Режим доступа: http://ofcrnio.ru/portal/newspaper/ofernio/2012Z8.doc - С. 10.

20. Бублик Я.С. Вероятность разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке разнораспределённых страховых выплат [Электронный ресурс] / Я.С. Бублик // Научное творчество молодежи : материалы XVII Всероссийской научно-практической конференции : в 2 ч. 25- 26 апреля 2013 г. -Электрон, дан. - Анжеро-Судженск, 2013.-Ч. 1.-1 электрон, опт. диск. - С. 4-8.

Подписано в печать 20.01.2014 г. Формат А4/2. Ризография

Печ. л. 0,95. Тираж 120 экз. Заказ № 1112.__

Отпечатано на участке оперативной полиграфии филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» в г. Анжеро-Судженске. 652470, Кемеровская область, г. Анжеро-Судженск, ул. Ленина, 8.

04201 45 п 31

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

на правах рукописи

БУБЛИК ЯНА СЕРГЕЕВНА

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ СТРАХОВАНИЯ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ СТРАХОВЫХ ПРЕМИЙ И ВЫПЛАТ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Лившиц К.И.

Томск-2014

Оглавление

Введение..................................................................................................................................................................5

Глава 1. Математическая модель страховой компании при дважды

стохастическом потоке страховых выплат..............................................................................................18

1.1. Математическая модель страховой компании..................................................19

1.2. Уравнения для вероятностей разорения и выживания..............................20

1.3. Вероятности разорения и выживания при малой нагрузке страховой премии..............................................................................................................................23

1.4. Численные примеры-1........................................................................................................31

1.5. Производящие функции условного времени до разорения................35

1.6. Численные примеры-2........................................................................................................45

1.7. Моменты условного времени до разорения....................................................47

1.8. Плотность распределения условного времени до разорения при нулевом начальном капитале............................................................................................................50

1.9. Плотность распределения условного времени при неограниченно возрастающем начальном капитале......................................................................52

Резюме к главе 1..................................................................................................................................53

Глава 2. Математическая модель страховой компании при дважды

стохастических потоках страховых премий и выплат..........................................55

2.1. Математическая модель страховой компании..................................................55

2.2. Уравнения для вероятностей разорения и выживания..............................58

2.3. Вероятности разорения при малой нагрузке страховой премии............................................................................................................................................................60

2.4. Производящие функции условного времени......................................................69

2.5. Производящие функции условного времени при малой нагрузке страховой премии......................................................................................................72

2.6. Плотность распределения условного времени при неограниченно возрастающем начальном капитале....................................................................77

Резюме к главе 2.................................................................. 78

Глава 3. Математические модели деятельности некоммерческого фонда..................................................................................... 80

3.1. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке поступающих платежей и релейном управлении выплатами.................................................. 80

3.1.1. Модель изменения капитала фонда................................ 80

3.1.2. Плотность распределения капитала фонда..................... 82

3.1.3. Плотность распределения продолжительности периода неплатёжеспособности...................................................... 89

3.1.4. Плотность распределения продолжительности периода повышенных выплат........................................................................... 94

3.2. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при пуассоновском потоке поступающих платежей и релейно-гистерезисном управлении выплатами.......................................... 97

3.2.1. Модель изменения капитала фонда............................... 97

3.2.2. Плотность распределения капитала фонда....................... 99

3.2.3. Экспоненциальное распределение с премий..................... 101

3.2.4. Плотность распределения капитала фонда при произвольном распределении премий................................................. 106

3.3. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда с пуассоновскими потоками поступлений и выплат и релейно-гистерезисным управлением интенсивностью выплат.................. 115

3.3.1. Модель изменения капитала фонда............................... 115

3.3.2. Плотность распределения капитала фонда....................... 116

3.3.3. Экспоненциальные распределения премий и выплат.......... 119

3.3.4. Плотность распределения капитала фонда при произвольных распределениях премий и выплат............................................ 121

Резюме к главе 3............................................................... 127

Глава 4. Комплекс алгоритмов и программ для вычисления вероятностей разорения и имитационного моделирования моделей

страховых компаний................................................................................................................................128

4.1. Комплекс алгоритмов и программ для расчета вероятностей разорения математических моделей страховых компаний..........................128

4.2. Имитационное моделирование моделей страховых компаний.... 134 Резюме к главе 4..................................................................................................................................140

Заключение........................................................................................................................................................141

Список использованной литературы........................................................................................143

Введение

Актуальность работы

Общеизвестно [1,35], что основной принцип любого вида страхования

состоит в том, что страховая компания (страховщик), получив предварительно от страхователя определенную денежную сумму (страховую премию), обязуется при наступлении страхового случая произвести страховую выплату, покрывающую финансовые потери.

Хотя для каждого страхового контракта значения страховой премии и возможной страховой выплаты строго оговорены, до момента заключения контракта они неизвестны и должны рассматриваться как случайные величины. Моменты поступления страховых премий и наступления страховых случаев также являются случайными величинами. Поэтому любая математическая модель деятельности страховой компании должна наряду с правилами начисления страховых премий включать в себя статистические модели потоков страховых премий и выплат.

Основы современной актуарной математики были заложены работами Ф.Лундберга и Х.Крамера, в которых была предложена и исследована так называемая классическая модель процесса страхования [83,106]. В рамках

этой модели поступление страховых премий в компанию считается детерминированным, страховые выплаты считаются независимыми, как правило, одинаково распределенными случайными величинами. Моменты наступления страховых выплат образуют пуассоновский поток. Описание этой модели содержится практически в любой монографической литературе. Укажем, например, монографии Н. Бауэрса с соавторами [1], Э. Штрауба

[85], Д. Кокса и В. Смита [65] , Y.H. Panjer и G.E. Willmont [106], H.U.

Gerber [92] , В.Ю. Королева, В.Е. Бенинга, С.Ю. Шоргина [66], обзорные

статьи В.И. Ротаря и В.Е. Бенинга [83], В. Калашникова и Д. Константидиса

[54], П. Эмбрехтса и К. Клюппенберга [86].

В работах У.М.МаНпоУБки [103,104] и В.Н. Иголкина [52] для классической модели страховой компании исследована вероятность разорения на конечном интервале, З.АБтшзеп [87] исследовал адаптивные

процедуры оценки вероятности разорения. Верхние и нижние границы для вероятности разорения рассматриваются в работах Ю.Д. Григорьева и А.В.Куклина [41,42], О.П. Виноградова [34]. Выражение для вероятности разорения при малой нагрузке страховой премии приводится в работе В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [5], В.М. Каца и К.И. Лившица [60], «простые аппроксимации» вероятности разорения, как их называет автор, в работах .ШгапёеП [95,96]. В работе [95] приводится подробный разбор предшествующих результатов, полученных О. 1лтс1Ьег§, А. Яепу1, Б.Е. Эе УуЫег. В работе В.В. Калашникова и Г.Ш. Цициашвили [55] исследуются

оценки вероятности разорения при больших выплатах. В работах В.М. Каца и К.И. Лившица исследуется распределение условного времени до разорения страховой компании [62], влияние рекламы на деятельность страховой

компании [61], задача конкурентного взаимодействия страховых компаний

[58]. Задача перестрахования больших рисков рассматривается в монографии

Е.В. Булинской [10], а также в работах Е.В. Булинской [9], А.Ю. Голубина

[37,94] Е.В. Глуховой и Е.В. Капустина [36], Г.А. Медведева [75], Н.

8с1тисШ [109] Специальный случай выплат, имеющих экспоненциальное

распределение со сдвигом, исследован в работе Е.В. Капустина [56].

Усложнение классической модели страхования осуществляется за счет отказа от некоторых ограничительных предположений, связанных с характером потоков поступающих страховых взносов и страховых выплат. В работе О.П. Виноградова [33] исследован случай, когда интервалы между выплатами имеют неодинаковые показательные распределения, а сами выплаты показательное распределение. В работах О.С. Жилиной [45], К.И.

Лившица [69], A.B. Бойкова [8] рассматривается ситуация, когда страховые

премии и страховые выплаты образуют два независящих друг от друга пуассоновских потока (модель со случайными премиями), находятся оценки сверху для вероятности разорения. Дальнейшее исследование этой модели содержится в работах [89,3]. В работах O.A. Змеева [46,47] исследуются

модели, в которых интенсивность потока поступающих в компанию рисков зависит от количества уже застрахованных, а возможное число клиентов компании может быть конечным.

Наиболее близкой к проблемам, рассматриваемым в дальнейшем в диссертации, является модель изменения капитала страховой компании, в которой интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат могут меняться в случайные моменты времени за счет изменения, например, внешних условий. Так, например, официальная статистика Минздравсоцразвития РФ и ГИБДД РФ [76,38] указывает на наличие

сезонных скачкообразных колебаний числа заболевших и числа ДТП. Адекватной моделью потоков страховых премий и выплат при этом являются дважды стохастические пуассоновские потоки.

Впервые такая модель была рассмотрена в работе J.M. Reinhard [107], в которой были получены уравнения для вероятностей разорения. Верхние границы для вероятности разорения были получены Y. Wu [115]. Оценке коэффициента Лундберга для данной модели посвящена работа Н. Schmidli [108]. Вероятность разорения исследуется в работе М. Snoussi [110]. Для

модели с двумя состояниями и некоторого специального класса распределений выплат вероятности разорения находятся в работе Y. Lu и S. Li [102]. Н. Jasiulewicz [97] вводит дополнительное предположение, что

скорость поступления страховых премий зависит от накопленного капитала и находит преобразования Лапласа для вероятностей разорения в случае двух состояний. Модели такого типа рассматривались также в работах В.Е.

Бенинга и Ю.В. Королева [б], S. Asmussen [88], R. Wu и L. Wei [114], в которых марковский процесс одновременно с интенсивностью выплат изменяет скорость поступления премий. В.Н. Иголкин [51,53] в отличие от

упомянутых выше работ исследует эту проблему в предположении синхронности моментов изменения интенсивности потока и моментов поступления страховых исков.

В большом числе работ, опубликованных в последнее десятилетие, рассматриваются ситуации, когда страховая компания может реинвестировать имеющиеся у нее свободные средства в безрисковые или рисковые активы для извлечения дополнительного дохода. В работе G. Wang [112], G. Wang и R. Wu [113] рассматривается расширение стандартной

модели на случай, когда излишек капитала реинвестируется, при этом существует неопределенность в поступлении страховых премий. В работе [l 11] О. Tang и G. Tsitsiashvili рассматривается два типа рисков, с которыми сталкивается компания: основной, страховой и финансовый риск от инвестирования капитала в рисковые активы. J. Cai и Н. Jang [90] исследуют

разорение в пуассоновской модели выплат с возмущением и возможностью инвестировать под постоянный либо случайный процент. Несколько неожиданным является один из результатов авторов. В исследуемой модели вероятность разорения не являются монотонно убывающей функцией начального капитала.

Отметим также работу [99] С. Kluppelberg с соавторами, в которой

вместо обобщенного пуассоновского процесса рассматривается обобщенный процесс Леви, что позволяет отказаться от условия существования конечного математического ожидания для размера страховой выплаты. В работе [100] X.S. Lin и K.P. Pavlova стандартная модель расширяется за счет введения выплаты дивидендов выше определенного порога. В работе [91] Y. Chen и K.W. Ng исследуется задача разорения страховой компании в случае, когда

страховые выплаты являются попарно отрицательно зависимыми случайными величинами, в отличие от стандартного условия их независимости.

Можно упомянуть также работы В.М. Каца, К.И. Лившица и A.A. Назарова [59] и A.M. Моисеева [78], в которых для исследования задач

страхования используется аппарат теории массового обслуживания, применение методов теории чувствительности к задачам страхования рассматривается в работе R. Norberg [105]. Франшизе посвящена работа

Ю.Д. Григорьева и И.Ю. Хекало [40].

Близкими к математическим моделям страхования являются математические модели так называемых некоммерческих фондов, целью деятельности которых, как и целью деятельности страховых компаний, является сбор и перераспределение денежных средств. К некоммерческим фондам могут быть отнесены, например, все внебюджетные фонды РФ и эндаумент-фонды, самым известным из которых является Нобелевский фонд. Общие черты этих моделей особенно проявляются при сравнении с моделями страхования, в которых как, например, в [100,98,57,93], допускается

выплата дивидендов при достаточно большом накопленном капитале, а страховая компания продолжает существовать после наступления разорения[57,98]. Основное отличие от моделей страхования состоит в том,

что при отрицательном капитале фонд не прекращает деятельность, возможно управление выплатами из фонда. Исследованию различных моделей некоммерческих фондов посвящены работы O.A. Змеева [48,49,50],

О.В. Вальц и O.A. Змеева [31,32], в которых в качестве модели фонда

используется классическая модель страховой компании с нестраховыми выплатами (дивидендами) и предлагается стратегия релейно-гистерезисного управления выплатами из фонда. В работах К.И. Лившица и И.Ю. Шифердекер [70,71] находится плотность распределения капитала фонда в

нестационарном режиме. В работе [72] модель фонда строится как аналог

модели страховой компании с пуассоновскими потоками премий и выплат. Выбор оптимальной стратегии управления капиталом фонда рассмотрен в работах A.B. Китаевой и А.Ф. Терпугова [63,64].

Не смотря на обилие работ, посвященных исследованию математических моделей страхования, можно отметить еще много проблем, требующих дополнительного исследования. К числу таких проблем можно отнести, например, следующие:

1. Для моделей страхования с дважды стохастическими потоками премий и выплат не существует простых соотношений, которые позволяли бы оценить вероятность разорения страховой компании и другие статистические характеристики при произвольных распределениях страховых премий и выплат.

2. Как уже упоминалось, близкими к математическим моделям страхования являются математические модели некоммерческих фондов. Изучению математических моделей некоммерческих фондов посвящены лишь отдельные работы.

Представленная работа посвящена решению данных задач, что, по мнению автора, и определяет ее актуальность.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей страховых компаний и некоммерческих фондов, а именно:

1. Для моделей страховых компаний с дважды стохастическими потоками страховых премий и страховых выплат определение таких их статистических характеристик, как вероятность разорения, распределение времени до разорения при условии, что разорение происходит, нахождение среднего и дисперсии условного времени до разорения при дополнительном предположении о малости нагрузки страховой премии. Разработка алгоритмов и проблемно-ориентированных программ численного

нахождения вероятностей разорения и имитационного моделирования моделей страховых компаний.

2. Для моделей некоммерческих фондов определение при различных предположениях о потоках поступающих в фонд платежей и выплат из фонда и различных предположениях о стратегии управления денежными средствами фонда таких их статистических характеристик, как плотность распределения величины капитала фонда, плотностей распределения продолжительности периода повышенных выплат и продолжительности периода неплатежеспособности.

Краткое содержание работы

В первой главе диссертации рассматривается математическая модель страховой компании в случае, когда моделью потока страховых выплат является дважды стохастический пуассоновский поток, интенсивность которого Ц/) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и п состояниями. Страховые выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Страхо