автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Модели страхования при марковском потоке рисков, интенсивность которого зависит от их числа

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ КЕМЕРОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА В ГОРОДЕ АНЖЕРО-СУДЖЕНСКЕ

На правах рукописи УДК 519.262.4

РГБ ОД

Змеев Олег Алексеевич

1 •'» С-ЕЗ т

МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ ПРИ МАРКОВСКОМ ПОТОКЕ РИСКОВ, ИНТЕНСИВНОСТЬ КОТОРОГО ЗАВИСИТ ОТ ИХ ЧИСЛА

Специальность 05. 13. 16 -применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Терпугов А.Ф.

Томск - 2000

Работа выполнена в филиале Кемеровского государственного университета в городе Анжеро-Судженске и Томском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Лившиц К.И.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Теущеков В.Д.

Ведущее предприятие:

Белорусский государственный университет (г. Минск)

Защита состоится 23 марта в 14.00 на заседании Диссертационного Совета Д 063.53.03 при Томском государственном университете. С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в 2-х экземплярах, заверенные печатью) посылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ Буровой Н.Ю.

Автореферат разослан 2í _ января 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

Тривоженко Б.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Несмотря на обилие работ, посвященных различ-.1 проблемам актуарной математики, на сегодняшний день нет общепринятой ематической модели для исследования работы страховой компании в целом. Ее чание существенно осложняется следующими обстоятельствами: приход етра-ых рисков, наступление страховых случаев и связанные с ними изменения ка-ала компании являются стохастическими процессами, и поэтому, в качестве 1ели страховой компании в целом необходимо рассматривать класс дважды статических процессов, который еще очень слабо изучен.

При исследовании подобных моделей возникает ряд вопросов, имеющих нь важное практическое значение. В частности, к таким вопросам относятся дуюгцие:

• каким образом изменяется поток страховых рисков и страховой капитал в стационарном и нестационарном режиме;

• как связаны между собой риски, которые страхует кампания, и ее капитал;

• какова вероятность разорения страховой компании;

• каковы вероятностные характеристики разорения компании.

В данной диссертационной работе предлагаются новые математические аели работы страховой компании, проводится исследование полученных моде-[ на предмет изучения вероятностных характеристик разорения страховой ком-щи.

■Цель работы. В качестве математических моделей работы страховой ком-щи в работе предлагается рассмотреть двумерный случайный процесс г)д(/)), где &(/) число, застрахованных в компании рисков, а — страховой 1игал компании. Подобный подход, в отличии от классических моделей работы •аховых компаний, позволяет учесть следующие особенности:

1. Не только страховые выплаты, но и страховые взносы, а вместе с нш и страховые премии, поступают в компанию в случайные моменты врел ни.

2. Интенсивность страховых выплат пропорциональна числу, застрах ванных компанией рисков.

3. Интенсивность поступления новых рисков зависит от уже застрах ванных компанией рисков.

4. Возможны различные варианты и ограничения на входной поток р] ков и их число.

Целью настоящей работы является получение вероятностных характер стик моделей работы страховой компании - процессов £(/), к[{)и взаимосвяз между ними - в двух частных случаях: для модели, в которой интенсивность вх дящсго потока рисков линейно зависит от числа уже застрахованных компани рисков, и для модели, в которой максимальное число возможных рисков являет конечным.

Для стационарного режима работы интерес представляют следующие I личины: асимптотическое распределение, среднее, дисперсия и функция коррех ции числа рисков; математическое ожидание, дисперсия и функция коррелят капитала компании; ковариация капитала компании и числа застрахованных рг ков.

В нестационарном режиме работы моделей - среднее, дисперсия и фуи ция корреляции для числа застрахованных рисков; математическое ожидание дисперсия капитала компании.

И, наконец, вероятностные характеристики разорения компании: вероя ность разорения компании, среднее время разорения и дисперсия среднего врема разорения при условии, что оно произойдет.

Методика исследования. Как уже отмечалось выше, предлагаемые в рабо модели являются дважды стохастическими случайными процессами, в котор!

■.актеркстики процесса зависят от процесса /с(/), который в эгом смысле жно назвать управляющим случайным процессом. Таким образом, исследование юятностшлх характеристик процессов /<:(/) и ¿"(¡) проводится по следующей ;мс: сначала исследуется процесс А'(/), а затем с помощью результатов, получен-х для этого процесса, находятся характеристики процесса £(/).

Исключение составляет лишь нахождение вероятностных характеристик юрения компании. Для их получения вероятность разорения, среднее время ранения и дисперсия времени разорения, при условии, что оно произойдет пред-юлялись в виде рядов: с одной стороны в виде ряда Тейлора, с другой стороны -иде ряда по степеням соответствующего каждой модели параметра. С помощью IX представлений осуществлялся переход от интегрального уравнения к системе гсгро-дифференциальных уравнений по функциям, стоящим у соответствующих :пеней разложения. Полученные системы имеют диагональный вид и решаются в /чае, когда распределения выплат имеют экспоненциальный характер.

При решении поставленных задач используется аппарат теории вероятно-теории случайных процессов, теории массового обслуживания, математиче-ш статистики. Правильность решения задач подтверждается результатами ими-шонного моделирования.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в сле-ощсм:

1. Предложен новый подход к вопросу о математическом моделировании 5оты страховой компании в целом, основная идея которого состоит в представши работы компании в виде дважды стохастического случайного процесса.

2. Выполнен анализ двух моделей работы страховой компании, для кото-х получены основные вероятностные характеристики.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный автором 1ход к моделированию работы страховых компаний может быть использован I анализе динамики изменения страхового капитала в целом.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующи результаты:

1. Новые математические модели функционирования страховой компани в целом, учитывающие следующие факторы:

• непостоянство числа застрахованных рисков;

• случайность поступления страховых взносов и случайность их размера

• влияние скрытой рекламы на интенсивность потока новых рисков, прр нимаемых к страхованию;

• зависимость интенсивности страховых случаев от числа застраховав ных рисков;

• конечность числа возможных рисков.

По мнению автора, эта модель более адекватна реальности, чем классиче екая модель функционирования страховой компании.

2. Основные характеристики функционирования компании в стационарно) и нестационарном случае, а именно:

• математическое ожидание и дисперсия числа застрахованных рисков зависимости от времени и распределение их числа;

• математическое ожидание и дисперсия капитала компании в зависим с сти от времени;

• функция корреляции капитала в стационарном и нестационарном рс жимах;

• вероятность разорения страховой компании;

• среднее время разорения и его дисперсию при условии, что разорени произойдет.

Публикации по теме диссертации перечислены в конце автореферата.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее ре зультаты докладывались и обсуждались на:

1. Научно-методической конференции «Наука и образование: пути интеграции», Анжеро-Судженск, 1998.

2. Научно-теоретическая конференция «Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция». Барнаул, 1999.

3. Научно-методической конференции «Качество образования ч науко». Анжеро-Судженск, 1999.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, ;ается краткий анализ работ других авторов, формулируется цель работы, основное защищаемые положения, приводится краткое изложение полученных в рабо- _ ге результатов.

В первой главе рассмотрена модель, в которой интенсивность входящего •тока линейно зависит от числа уже имеющихся рисков. В этом варианте измене-[е состояния процесса (5^), ¿(г)) происходит в следующих случаях:

1. Компания страхует новые риски. Будем считать, что поток поступаю-гх рисков - это марковский поток с переменой интенсивности Х + 3. Второе

агаемое в этом выражении отражает тот факт, что среди людей, не застраховав-IX свои риски, распространяется информация о страховой компании ее клиента-I. Происходит некоторая скрытая реклама компании. Причем каждый новый риск иносит компании доход , который является случайной величиной с функцией

спределения

2. Время страхования некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что ждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интсн-вностыс р. Тогда за время Дг компанию покинет клиент с вероятностью

1ДГ+ о(Дг).

3. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков ком| нии выплачиваются взносы в размере г|, который является случайной величиио:

функцией распределения Г2(т|). Клиенты вносят взносы независимо друг от др;

и поэтому за время А/ в компанию поступит такой взнос с вероятност

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с кажд! риском может наступить страховой случай с интенсивностью ц2 и эти страхов случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале А( наступит ст] ховой случай с вероятностью и компания при этом выплатит стра> вое возмещение в размере ^, которое является случайной величиной с функци распределен™

В первом параграфе исследован стационарный режим работы модели. I. казано, что число рисков является асимптотически нормальной величиной п

р-^со с = = и = —= ^ ,где р = -, ф = —, фу!

1-ф н-Р (1-ф) (ц-р) И И

ция корреляции процесса к(() в стационарном режиме имеет эксионенциальш

вид и равна

^(флМ-М^^-^ехр^Сц-РМ) I

Для процесса £(/) выражение для математического ожидания в стащ нарном режиме:

н—где м{$=а,м{ч)=ь,м{$=с- <

ц-р

То есть среднее значение капитала растет пропорционально времени / , прич! для нормального функционирования страховой компании должно выполнять условие цМ{^}+ц,А/{г1}-ц2Л/{^}>0.

Дисперсия капитала 5(/):

аг\х + Ь2Ц\ +с2и3 + ^ (аР + ¿ц, -сц?)2 !—

(м-РГ

JГÍ

и-р

+(яр+- ф2 Т-г^ М- (и - Р>} - 0. (3)

%е М^;2 ^д^М^ |=62,М^2|=с2. При больших г , так же как и его математическое жидание, растет пропорционально времени / .

Функция корреляции процесса при больших г растет пропорцио-ально времени / :

) = Га2р + ¿-2ц, + с2и2 -.—^(ф + йи,

I (И-Р)

(ц-Р)

Во втором параграфе определены статистические характеристики для про-гссов, определяющих поведение модели, в нестационарном режиме: среднее, дис-грсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании, величины 1сднего ~л дисперсии- капитала компании.

В нестационарном режиме для функции корреляции числа рисков получе-э следующее выражение:

ц-Р

М^г}--^м{к) ехр{-(ц~р)[/2 -/¡|) (5)

Среднее значение капитала компании 5(г) в нестационарном режиме име-

■вид:

} = + -Ь-И + - ц2ф0 --А-

Ц-Р

--+ ~ ^2С/г0--(ц - Р» ■

ц-Р V ц-Р;

и растет пропорционально I , как и в стационарном режиме. Дисперсия капитала

} = -^-(ра2 + ц,62 + ц2с21 /0 -

б(ц-э)3

'о-

к

+-

ц-Р.

'о* "7-+

з(н-Р)Ч (и-Р)

• +

+ М-+ \>-\Ь2 + Ц2С2)+(ра + И1 ь - ц2с)2

1п ~

зх

Ж+и)}

(ц-р)2г ^-Р;'(Ц-Р)2]

+г

№

и-р.

ЗЛ + Р + ц

2(Ц"Р Г

+

"^(аВ I и Ь ц с? 1 У. + Р + __L_.ll (Р * "2Ч-Р)Т (м-р)2 Й-Р 1° м-Р^

С

при большом / растет как г.

Третий параграф посвящен проблеме нахождения вероятности разорени страховой компании, которую в работе предлагается искать в виде ряд

д) =Я0(б^с)+-7=^1 {Б,х)+~Я2(Бух). Окончательное выражение для искомою л/Р Р

ряда имеет вид:

Л(5,х)=ехр{-у5}

а + с 1 .

+—р=Ах

Я. + Р + ц,+р.2 а ^

ус

\jc-l

+ 5

ч

1

+ — р

г Г

х1

\ V

1 2 1-ус н

-В^ + В^

(8)

В четвертом параграфе найдены характеристики для времени разорения траховой компании при условии, что оно произойдет: среднее время разорения

Мх I

^Ш-Н5 яг

+ 5

Л/,

ЬЪА

ЬЬ

+

(9)

Д1-УС (1-ус)3

и дисперсия времени разорения:

л/Р

+ Б2 (х£>8 +£>9)++£>„)+хВп + е-^х[82Оп + £),4 +1>15 )]+... +}, (10) (е А,Ь,Ох,С2 ,£>,,..., 015 - константы, полученные при решении соответствующих гсегро-дифференциальных уравнений.

Вторая глава рассматривает модель, в которой число возможных рисков раничено. Изменение состояния процесса (.!>(/),£(/)) происходит в следующих учаях:

1. Компания страхует новый риск. Будем считать, что поток входящих [сков - это марковский поток с переменой интенсивности, причем страхование «ого риска не зависит от поведения других рисков и происходит с интенсивно-ью К . Тогда вероятность того, что за время А/ компания застрахует новый риск:

I Каждый новый риск приносит компании доход ^, который яв-

ется случайной величиной с функцией распределения .

2. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков per лярно выплачивается взнос в размере г), который является случайной величиной

функцией распределения /^{"п) • Взносы вносятся независимо друг от друга и п

этому за время At в компанию поступит такой взнос с вероятностью к (.цД(+ о(Д/

3. Страховое время некоторых рисков заканчивается, Будем считать, ч' каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с инте: сивностью ц. Тогда за время 41 компанию покинет риск с вероятность

k\xAt+ о(Д/).

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждь; риском может наступить страховой случай с интенсивностью ц2 и эти страховь случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале At наступит стр ховой случай с вероятностью /ср.2Д;+ о(Д/), и компания при этом выплатит страх вое возмещение в размере й,, которое является случайной величиной с функцш распределения . !'

В первом параграфе показано, что при -V ->процесс k(t) являе-п

...-,1 Np Ж ni,i Np NXp

асимптотически нормальным с М\к\ = —— =-D]k) = --—-—г., г,

1+р Ь + ц; (lxp)2 +

л.

и ;

Функция корреляции числа рисков имеет вид

Математическое ожидание капитала имеет вид

M{St }= ¿о +-^-{щЬ - ц2с + где М{() =а,М{ц} (1

1+Р

! растет пропорционально времени с коэффициентом пропорциональности Npfab - р2с + Ца)

Дисперсия капитала S(t)

D{S,} =

а2ц + 62щ +с2ц2 +

2ц

№

-(bpt -аХ-ср2)2

Np 1+р"

+ (бц, -аХ-ср2 (ехр{- (X + ц>} -1),

(13)

де М |^2Цг2,Л/[г|2 |=с2. Таким образом при больших ? дисперсия капи-

ала, так же как и его среднее растет пропорционально времени I .

Функция корреляции капитала компании в стационарном режиме имеет

ид:

a2p + b2px + с2р2 +-7—Т2{b\ix-ак-су.2? [Х+р)

NXp

Х+р

Во втором параграфе определены статистические характеристики для про-ессов, определяющих поведение модели в нестационарном режиме: среднее, дис-ерсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании, величины реднего и дисперсии капитала компании.

Функция корреляции числа рисков для этой модели имеет вид:

Х+р

M^2)~j~M{k} ехр{-(Х+42-г1|}. (15)

Среднее значение капитала компании S(t) в нестационарном режиме имс-г следующее выражение

--^-^б-а^-Нгс! ехр(-(А.+ц)). (1(

Х+й А+ц)

и растет пропорционально г , как и в стационарном режиме.

Дисперсия капитала З1^) определена следующим обратом

д &} = А - Ха2 -г р.2с2 (¡о - +

Л, + ц ^ Х + р)

( , , Лж~5>. + 5цГ. АД.") 2 (.2 Ш. /,л !\ ^ ( и \ I и у [ ш. (. тЛ т(м.+ц)]1

4агс)2\"^кЬ^2

(л + ц)'

NX )2A-57VÀ-2u 'о-— !"Г71-^ +

V

NX ^ЗЛ^-Льц

+ е

_i_\;2 NXjNX + ц) 2ArÀ - A + ц f. NX n,

и при большом t растет как г2.

Третий параграф посвяшен проблеме нахождения вероятности разорен« страховой компании. Для этого функции вероятности представляется в виде ря; 1

по степеням

л/лГ '

л/ЛГ N Ы^/Ы

Окончательно выражение вероятности разорения страховой компании еет вид:

Л(5,х)=ехр{-у5)

У

а + с 1 .

--+ -у=Ах

Х + ц,+ц2 a VjV

ус ус — 1

+ S +

_1_

N

( г

BtS2+B2S-

\ V

-B.S2+B,S

;

(18)

1 - ус V ^

В четвертом параграфе рассчитаны характеристики для времени разорения заховой компании при условии, что оно произойдет: среднее время разорения

I

усЛ ' Г R{s,x) N 1-ус (l — ус) JÑ)

М t

"1-у С (1-ус)2_

+

+ S

М,

LcA

Le

1-У с (1 - ус)3 j (1-ус)3

+ X

Мх

Lc А

1 -1С (1-ус)4

(19)

(исиерсия времени разорения

D

It^xp—lp^+DzS + D, +e-*{DAS + D5)+-^[s2{xD6 + Z)7) +

+ S2(xD3 + Dg)+ S(xDl() + £>, ,)+xD12 + e"lSx{s2Du + D14 + /J15)]+... +}, (20) ; AJ.,GX,G2,Db...,D15 - константы, полученные при решении соответствующих гегро-дифференциальных уравнений.

В третьей главе приведено описание программного обеспечения для регае-и задач имитационного моделирования. Программа MODELS, разработана в сис-ie Delphi 4.0 и работает под управлением операционной системы Windows 95, Программный продукт осуществляет накопление статистического материала, шизует расчеты для вероятностных характеристик моделей, полученных в пре-дущих главах, строит доверительные интервалы для этих характеристик, а также

выполняет ряд сервисных функций, предназначенных для удобства просмотра р< зультатов моделирования.

В процессе эксплуатации программного обеспечения было рассмотрен более восьмидесяти различных вариантов исследуемых моделей. Были проверен: различные возможные комбинации параметров, при которых соблюдаются услови нормальной работы компании. Несмотря на разнообразие результатов, полученны при моделировании систем с различными наборами параметров и достаточные ра' личия отдельных реализаций внутри одной и той же модели, хотелось бы огметш следующее. Результаты имитационного моделирования подтверждают аналитич( ские формулы, полученные в главах 1, 2. Кривые, которые про1рамма строит дл выборочных значений всегда попадают в 95% доверительный интервал относ* тельно соответствующей теоретической кривой.

Работа выполнялась в соответствии с планом'научно-исследовательски работ факультета информатики Томского государственного университета и фг культета математики и информатики филиала Кемеровского государственное университета в городе Лнжеро-Судженского. Ее результаты использовались пр чтении спецкурса «Актуарная математика», а также при выполнении курсовых дипломных работ студентами АСФ КемГУ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Змеев O.A., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов.// Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть2. - Анжеро-Судженск. 1998, с. 21-22.

2. Змеев O.A., Терпугов А.Ф, Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов. Часть2. - Анжеро-Судженск. 1998, с. 23-24.

3. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний// Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. доклад. -Барнаул. 1999.-е. 88-90.

4. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 57-66.

5. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с интенсивностью входного потока, зависящей от числа клиентов. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. -Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 66-75.

6. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов. Известия высших учебных заведений. Физика. 1999, № 4, с.34-39.

7. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. - Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 67-73.

8. .Змеев O.A., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения сгра ховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, завися щей от числа имеющихся рисков. // Наука и образование: пути интеграции Тез. доклада. - Анжеро-Судженске, 1999, с. 32-33.

9. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорсни страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. / Качество образования и наука. Тез. доклада. - Анжеро-Судженске, 199S

с.33-34.

Введение.

Глава 1. Модель с интенсивностью входящего потока рисков, линейно зависящей от числа застрахованных рисков

1.1 Стационарный режим

1.1.1 Описание модели.

1.1.2 Распределение числа рисков.

1.1.3 Функция корреляции числа рисков.

1.1.4 Математическое ожидание капитала компании.24 1.1.5. Дисперсия капитала компании.

1.1.6 Ковариация капитала компании и числа застрахованных рисков.

1.1.7 Функция корреляции капитала компании.

1.2 Нестационарный режим

1.2.1 Среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании.

1.2.2 Поведение капитала страховой компании в нестационарном режиме.

1.3. Вероятность разорения страховой компании

1.3.1 Основные уравнения для определения вероятности разорения.

1.3.2. Случай равно распределенных выплат.

1.4. Вероятностные характеристики времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет, в случае равно распределенных выплат

1.4.1 Среднее время разорения компании при условии, что оно произойдет.

1.4.2. Дисперсия времени разорения при условии, что оно произойдет.

Резюме.

Глава 2. Модель с конечным числом возможных рисков

2.1 Стационарный режим

2.1.1 Описание модели.

2.1.2 Распределение числа рисков.

2.1.3 Функция корреляции числа рисков.

2.1.4 Математическое ожидание капитала компании.60 2.1.5. Дисперсия капитала компании.

2.1.6 Ковариация капитала компании и числа застрахованных рисков.

2.1.7 Функция корреляции капитала компании.

2.2 Нестационарный режим

2.2.1 Среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании.

2.2.2 Поведение капитала страховой компании в нестационарном режиме.

2.3. Вероятность разорения страховой компании

2.3.1 Основные уравнения для определения вероятности разорения.

2.3.2. Случай равно распределенных выплат.

2.4. Вероятностные характеристики времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет, в случае равно распределенных выплат

2.4.1 Среднее время разорения компании при условии, что оно произойдет.

2.4.2. Дисперсия времени разорения при условии, что оно произойдет.

Резюме.

Глава 3. Программное обеспечение и имитационное моделирование 3.1. Общая характеристика программы.

Актуальность работы. Несмотря на обилие работ, посвященных различным проблемам актуарной математики, на сегодняшний день нет общепринятой математической модели для исследования работы страховой компании в целом. Ее создание существенно осложняется следующими обстоятельствами: приход страховых рисков, наступление страховых случаев и связанные с ними изменения капитала компании являются стохастическими процессами, и поэтому, в качестве модели страховой компании в целом необходимо рассматривать класс дважды стохастических процессов, который еще очень слабо изучен.

При исследовании подобных моделей возникает ряд вопросов, имеющих очень важное практическое значение. В частности, к таким вопросам относятся следующие:

• каким образом изменяется поток страховых рисков и страховой капитал в стационарном и нестационарном режиме;

• как связаны между собой риски, которые страхует кампания, и ее капитал;

• какова вероятность разорения страховой компании;

• каковы вероятностные характеристики разорения компании.

В данной диссертационной работе предлагаются новые математические модели работы страховой компании для двух частных случаев. Проводится исследование полученных моделей на предмет изучения вероятностных характеристик разорения страховой компании.

Состояние проблемы. В настоящее время в качестве модели работы страховой компании в целом используется модель, описанная, например в [34].

С теоретической точки зрения процесс страхования представляется с помощью модели резервуара. В резервуар поступают премии, которые вносят клиенты, а «вытекают» из него страховые возмещения, которые выплачивает компания. Характерное свойство этой модели состоит в том, что приход капитала компании считается регулярным, тогда как расход капитала - нерегулярным.

Таким образом, процесс функционирования страховой компании определяется четырьмя характеристиками, две из которых детерминированы, а другие две -стохастические. А именно: начальным резервом, который определяет начальную точку процесса, годовой премией, которая задает прирост капитала компании, последовательностью временных интервалов наступления страховых случаев и последовательностью страховых возмещений в отдельных страховых случаях. Практически всегда на практике утверждается, что размеры интервалов между страховыми случаями и размеры отдельных страховых возмещений не влияют друг на друга.

Подобная математическая модель, как мне кажется, не совсем точно отображает действительность и имеет ряд существенных недостатков. Во-первых, в этой модели не рассматривается поведение рисков, застрахованных компанией, а ведь именно они определяют динамику изменения капитала, которым располагает компания. Во-вторых, приход капитала в компанию считается регулярным, хотя приход - это премии, которые вносят клиенты компании по уже застрахованным и новым рискам. А поступление новых рисков не может быть никак прогнозировано и имеет явно случайный характер.

В настоящей работе предлагается рассматривать страховую компанию как некоторый объект, который характеризуется двумя случайными процессами: количеством застрахованных рисков k{t) и капиталом компании S(t). Перечислим принципиальные отличия от классической модели:

1. Не только страховые выплаты, но и страховые взносы, а вместе с ними и страховые премии, поступают в компанию в случайные моменты времени.

2. Интенсивность страховых выплат пропорциональна числу, застрахованных компанией рисков.

3. Интенсивность поступления новых рисков зависит от уже застрахованных компанией рисков.

4. Возможны различные варианты и ограничения на входной поток рисков и их число.

В этой модели характеристики процесса S(t) зависят от процесса k(t), который в этом смысле можно назвать управляющим случайным процессом. Таким образом предлагаемая модель работы страховой компании - дважды стохастический случайный процесс.

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки событий [28,23,24,31,44,55,56]. В работах Л. Гела [40], М. Ньютса [50,51], Л. Зеелена [46] выполнен анализ СМО при поступлении потока требований, интенсивность которого изменяется в случайные моменты времени (дважды стохастический пуассоновский процесс поступления требований - справочник [22], Дж. Грэндел [41]). Эти потоки имеют следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий, интенсивность которого зависит от управляющего процесса . Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, диффузионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс. Эти дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают сигналы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, прохождения излучения через вещество и тому подобное. В работах по этим потокам рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [27,44,56], фильтрация [23,24], оценка характеристик управляющего процесса [2-8] и так далее.

Вторым классом дважды стохастических потоков, которые также нашли достаточно большое отражение в литературе, являются дважды стохастические авторегрессионные модели. В них рассматривается процесс авторегрессии какого-то порядка и коэффициенты этого процесса берутся независимыми от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [56]. В литературе также исследованы характеристики таких процессов [55], оценки параметров управляющего процесса [19,54] и так далее.

Содержание работы. В данной диссертационной работе исследуются две математические модели работы страховой компании, основанные на следующей идее: в качестве характеристики модели выступает двумерный случайный процесс где число, застрахованных в компании рисков, а - страховой капитал компании.

В первой главе рассмотрена модель, в которой интенсивность входящего потока линейно зависит от числа уже имеющихся рисков. В этом варианте изменение состояния процесса происходит в следующих случаях:

1. Компания страхует новые риски. Будем считать, что поток поступающих рисков - это марковский поток с переменой интенсивности \ + к\3. Второе слагаемое в этом выражении отражает тот факт, что среди людей, не застраховавших свои риски, распространяется информация о страховой компании ее клиентами. Происходит некоторая скрытая реклама компании. Причем каждый новый риск приносит компании доход В,, который является случайной величиной с функцией распределения ^(Д).

2. Время страхования некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интенсивностью |1. Тогда за время Л/ компанию покинет клиент с вероятностью

Л:(ДА/+ о(Аг1).

3. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков компании выплачиваются взносы в размере г), который является случайной величиной с функцией распределения 772( г|). Клиенты вносят взносы независимо друг от друга и поэтому за время А/ в компанию поступит такой взнос с вероятностью

А: |а1Аг'+ ).

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждым риском может наступить страховой случай с интенсивностью \х2 и эти страховые случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале At наступит страховой случай с вероятностью о(Д?) и компания при этом выплатит страховое возмещение в размере С,, которое является случайной величиной с функцией распределения ^з(С).

В первом параграфе исследован стационарный режим работы модели. Показано, что число рисков является асимптотически нормальной величиной при л р^оо с = = и в{к} = Р

А,ц X В .

7-\2 -^2"'где р = (р = ' функция

1 -ф) (и-Р)2 У И

1-ф ц-р корреляции процесса в стационарном режиме имеет экспоненциальный вид и равна Д0(т) = Д(т)- м[к2} = —^-Техр(-(ц-р)|т|).

1-фГ

Для процесса выражение для математического ожидания в стационарном режиме: +--(щб-цзс+ца), где М{$=а,М\г[}=Ъ,М{С\=с. ц-р

То есть среднее значение капитала растет пропорционально времени I, причем для нормального функционирования страховой компании должно выполняться условие

Дисперсия капитала : а2\ь + Ъ2\1х + с2\х2 + , 2Ц (аР + ^! -сц2)2 и-Р) м-р

-и ар + - сц2 )2-^-(ехр{- (ц - р>}-1),

М-Р) где | = а2, м|г|21 = £2, м{£,2 |=с2. при больших I, так же как и его математическое ожидание, растет пропорционально времени ? .

Функция корреляции процесса ¿"(г1) при больших t растет пропорционально времени ? : л а2$ + Ъ2\хх +С2^2 +7—+ %-с^г)2

М-Р)

Ц-Р

-+ (аР+ 6(1! -сц2)2 ^ ц-рГ

См.—Р>1 1

Во втором параграфе определены статистические характеристики для процессов, определяющих поведение модели, в нестационарном режиме: среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании, величины среднего и дисперсии капитала компании. Среднее значение капитала компании в нестационарном режиме растет пропорционально t, как и в стационарном режиме. Дисперсия капитала £(/) при большом I растет как ¿2.

Третий параграф посвящен проблеме нахождения вероятности разорения страховой компании, которую в работе предлагается искать в виде ряда К0(8+ + — Я2(51,ху Окончательное выражение для искомого ряда имеет вид:

Я(£,;с) = ехр{-у5} а + с 1 , + P + а л/Р VYC-1 у с + S 1 — Р f

X1 V V

BxS2+B2S--—AJИ

1 - ус VA,

-BlS¿ +B3S

• В четвертом параграфе найдены характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет: среднее время разорения

R(S,x) L Lb 1

S-+ --—+

1-У с (l-yc)2 Vp

Мл х L

1-У с (l-yc)2 S х

Мл

LbA l-yc (l-y cf) (l-yc)

Lb х

М,

Lb2A Л

1-ус (1-у с)4 и дисперсия времени разорения: {Д£2 + £)25 + £>3+ + Д) + + А) + 52(х£>8 + Д,) + £(х£>10 + £>и) + Щ2 + е^х^Б^ + Д4 + Д5) +.+}, где - константы, полученные при решении соответствующих интегро-дифференциальных уравнений.

Вторая глава рассматривает модель, в которой число возможных рисков ограничено. Изменение состояния процесса происходит в следующих случаях:

1. Компания страхует новый риск. Будем считать, что поток входящих рисков - это марковский поток с переменой интенсивности, причем страхование нового риска не зависит от поведения других рисков и происходит с интенсивностью

X . Тогда вероятность того, что за время & компания застрахует новый риск: {Ъ1 - /с)лЛ/+ 6>(Л/). Каждый новый риск приносит компании доход , который является случайной величиной с функцией распределения ^ .

2. Будем считать далее, что по каждому из застрахованных рисков регулярно выплачивается взнос в размере г|, который является случайной величиной с функцией распределения -Р2(г|). Взносы вносятся независимо друг от друга и поэтому за время А t в компанию поступит такой взнос с вероятностью к ^Д^+с^Л?).

3. Страховое время некоторых рисков заканчивается. Будем считать, что каждый риск покидает компанию независимо от поведения других рисков с интенсивностью |1. Тогда за время Л? компанию покинет риск с вероятностью

4. Наконец, наступают страховые случаи. Будем считать, что с каждым риском может наступить страховой случай с интенсивностью \х2 и эти страховые случаи для различных рисков независимы. Тогда на интервале А t наступит страховой случай с вероятностью к\\2&+о(А^), и компания при этом выплатит страховое возмещение в размере С,, которое является случайной величиной с функцией распределения ^з(С).

В первом параграфе показано, что при N -» да процесс к(7) является асим х ЛГр N1 , х Ыр ЫХц X птотически нормальным с М\к)- —— =-, 13\к) = -—г- = -—гх-., где р= —.

1+р Х + \х (1+р)2 + Ц

Функция корреляции числа рисков имеет вид

До(т) = Д(т) - М{к2} = -ДР-ехр(- (X + ц)|т|).

1 + р)

Математическое ожидание капитала имеет вид

М{^}= + где М{^}=а,М{ц}=Ь,М{С,}=с.

И растет пропорционально времени с коэффициентом пропорциональности

Ыр{\\.хЬ-\12с + \ш)

1+р

Дисперсия капитала

2\л

-{Ь\хх -ак-ср.2)2 тУр

1+р

1+ {Ьщ-ак- С1Л2 )2 (ехр{- (к + ц)} -1), где м|^,2| = а2, м|г|2| = 62 , м{й,2} = с2. Таким образом при больших г дисперсия капитала, так же как и его среднее растет пропорционально времени t.

Функция корреляции капитала компании в стационарном режиме имеет вид: а2\1 + Ъ2\1х + с2ц2 + , 2Цч2 -ак-с\х2)2 (к+ц)2 к+\\. (¿Ц! -ак-с\х2)2 ^^

Во втором параграфе определены статистические характеристики для процессов, определяющих поведение модели в нестационарном режиме: среднее, дисперсия и функция корреляции для числа рисков в страховой компании, величины среднего и дисперсии капитала компании. Среднее значение капитала компании в нестационарном режиме растет пропорционально t, как и в стационарном режиме. Дисперсия капитала £(/) при большом / растет как Г.

Третий параграф посвящен проблеме нахождения вероятности разорения страховой компании. Окончательно выражение вероятности разорения страховой компании имеет вид: $,*)= ехр}-^} У а + с 1 ■ + —р=гах у с N ( х V Л

-ВЛ1

1 - ус \ к

В четвертом параграфе рассчитаны характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет: среднее время разорения

Lc ■ l-yc (l-y cf JN

S£

My x l-yc (l-ycf 5

Мл л:

M-x

Lc1 А Л

1-Yc (l-yc)4 l-yc (l-yc)3 J (l-yc)3 и дисперсия времени разорения

2 + D2S + D2 +е das + d,)+-jJ[s\xd6 + d1)+ S2(xDs +D9) + S(xDl0 + DU) + xDn + e^sx(s2Dn + Du + D15) +.+J, где A,L,Gl,G2,Dl,.,Dl5 - константы, полученные при решении соответствующих интегро-дифференциальных уравнений.

В третьей главе приведено описание программного обеспечения для решения задач имитационного моделирования. Программа MODELS, разработана в системе Delphi 4.0 и работает под управлением операционной системы Windows 95, 98. Программный продукт осуществляет накопление статистического материала, реализует расчеты для вероятностных характеристик моделей, полученных в предыдущих главах, строит доверительные интервалы для этих характеристик, а также выполняет ряд сервисных функций, предназначенных для удобства просмотра результатов моделирования.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания и математической статистики. Проверка полученных результатов проводилась методом имитационного моделирования с применением персонального компьютера.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие результаты:

1. Новые математические модели функционирования страховой компании в целом, учитывающие следующие факторы:

• непостоянство числа застрахованных рисков;

• случайность поступления страховых взносов и случайность их размера;

• влияние скрытой рекламы на интенсивность потока новых рисков, принимаемых к страхованию;

• зависимость интенсивности страховых случаев от числа застрахованных рисков;

• конечность числа возможных рисков.

По мнению автора, эта модель более адекватна реальности, чем классическая модель функционирования страховой компании.

2. Основные характеристики функционирования компании в стационарном и нестационарном случае, а именно:

• математическое ожидание и дисперсия числа застрахованных рисков в зависимости от времени и распределение их числа;

• математическое ожидание и дисперсия капитала компании в зависимости от времени;

• функция корреляции капитала в стационарном и нестационарном режимах;

• вероятность разорения страховой компании;

• среднее время разорения и его дисперсию при условии, что разорение произойдет.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

1. Предложен новый подход к вопросу о математическом моделировании работы страховой компании в целом, основная идея которого состоит в представлении работы компании в виде дважды стохастического случайного процесса.

2. Выполнен анализ двух моделей работы страховой компании, для которых получены основные вероятностные характеристики.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный автором подход к моделированию работы страховых компаний может быть использован при анализе динамики изменения страхового капитала в целом.

Работа выполнялась в соответствии с планом научно-исследовательских работ факультета информатики Томского государственного университета и факультета математики и информатики Анжеро-Судженското филиала Кемеровского государственного университета.

Результаты работы использовались при чтении спецкурса по актуарной математике, а также при выполнении курсовых и дипломных работ студентами АСФ КемГУ.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях и тезисах докладов:

1. Змеев O.A., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов.// Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть2. - Анжеро-Судженск. 1998, с. 21-22.

2. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов. Часть2. - Анжеро-Судженск. 1998, с. 23-24.

3. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний// Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. докладов - Барнаул. 1999. -с. 88-90.

4. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 57-66.

5. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с интенсивностью входного потока, зависящей от числа клиентов. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. - Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 66-75.

6. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов. Известия высших учебных заведений. Физика. 1999, № 4, с.34-39.

7. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. Математическое моделирова

16 ние. Кибернетика. Информатика. - Томск: Издательство Томского университета, 1999, с. 67-73.

8. . Змеев O.A., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, зависящей от числа имеющихся рисков. // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов. -Анжеро-Судженске, 1999, с. 32-33.

9. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. докладов. - Анжеро-Судженске, 1999, с.33-34.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на:

1. Научно-методической конференции «Наука и образование: пути интеграции», Анжеро-Судженск, 1998.

2. Научно-теоретическая конференция «Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция». Барнаул, 1999.

3. Научно-методической конференции «Качество образования и наука», Анжеро-Судженск, 1999.

Результаты работы использовались при чтении спецкурса по актуарной математике, а также при выполнении курсовых и дипломных работ студентами АСФ КемГУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты данной работы.

В работе предложен новый подход к вопросу математического моделирования работы страховой компании. В качестве модели предлагается рассмотреть двумерный случайный процесс где к^) число, застрахованных в компании рисков, а - страховой капитал компании. С помощью этого подхода исследованы две модели работы страховой компании с различным представлением интенсивности входящего потока рисков.

В первой главе рассмотрена модель, в которой интенсивность входящего потока линейно зависит от числа уже имеющихся рисков. Показано, что в стационарном режиме число рисков является асимптотически нормальной величиной при р —» оо. Функция корреляции процесса в стационарном режиме имеет экспоненциальный вид и равна Я0(т) = —е"^1^'1'. Среднее значение капитала комМ) пании 5(7) в нестационарном режиме растет пропорционально t, как и в стационарном режиме. Дисперсия капитала 5(7) при большом t растет как t. Найдена вероятность разорения страховой компании. Определено и найдено решение для нахождения вероятности разорения в виде ряда по степеням . Найдены харакл/Р теристики времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет. Его математическое ожидание и дисперсия, аналитическое представление которых, аналогично вероятности разорения, получено в виде соответствующих ря-1 дов по степеням —¡=. л/Р

Вторая глава рассматривает модель, в которой число возможных рисков ограничено. Показано, что в стационарном режиме число рисков является асимптотически нормальной величиной при N —> со. Функция корреляции процесса в стационарном режиме имеет экспоненциальный вид и равна

117

Среднее значение капитала компании sYi) в нестационар

1 + р) ном режиме растет пропорционально t, как и в стационарном режиме. Дисперсия капитала при большом t растет как t. Найдена вероятность разорения страховой компании. Рассчитаны характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет: среднее время разорения и дисперсия времени разорения.

В третьей главе приведено описание программного обеспечения для решения задач имитационного моделирования. Программа MODELS, разработана в системе Delphi 4.0 и работает под управлением операционной системы Windows 95, 98. Программный продукт осуществляет накопление статистического материала, реализует расчеты для вероятностных характеристик моделей, полученных в предыдущих главах, строит доверительные интервалы для этих характеристик, а также выполняет ряд сервисных функций, предназначенных для удобства просмотра результатов моделирования.

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - 13-е изд., исправленное. - М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986. - 544 с.

2. Горцев A.M., Баранник Н.Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1991, № 12. С. 20-25.

3. Горцев A.M., Катаева С.С. Оптимизация гистерезисной дисциплины обслуживания несимметричным резервным каналом. // Изв. вузов. Физика. 1996. №4.-С. 3-10.

4. Горцев A.M., Катаева С.С. Оптимальное подключение несимметричного резервного прибора к однолинейной СМО в нестационарных условиях. // Радиотехника. 1994, № 8. С. 20-24.

5. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание периода наблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996, № 2.-С. 8-11.

6. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание параметра знакопеременного пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1994, № 8. С. 3-9.

7. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его не наблюдаемости // Радиотехника. 1991,№ 12.-С. 3-7.

8. Горцев A.M., Нежельская JI.A., Шевченко Т.И. Оценивание состояний MC-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12. С. 67-85.

9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 447 с.

10. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний// Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. доклад. Барнаул, 1999. - с. 88-90.

11. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов. Сборник статей

12. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. 1999, с. 57-66.

13. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с интенсивностью входного потока, зависящей от числа клиентов. Сборник статей Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. 1999, с. 66-75.

14. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов. Известия высших учебных заведений. Физика. 1999, №4, с.34-39.

15. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. 1999, с. 6773.

16. Змеев O.A., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов.// Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть2. Анжеро-Судженске, 1998, с. 21-22.

17. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов. // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть2. Анжеро-Судженске, 1998, с. 23-24.

18. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. доклада. Анжеро-Судженске, 1999, с. 33-34.

19. Змеев O.A., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного потока, зависящей от числа имеющихся рисков. // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Анжеро-Судженске, 1999, с.32-33.

20. Идрисов Р.Ф. Статистический анализ дважды стохастической авторегрессионной модели // Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. Тезисы докладов. Гродно. 1988. С. 42-43.

21. Калверт Ч. Базы данных в Delphi 4. Руководство разработчика. Киев: DiaSoft. 1999.-463с.

22. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. -243с.

23. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. -Киев: Наук, думка. 1983. -368с.

24. Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. Фильтрация дважды стохастических рекуррентных точечных процессов // Радиотехника. 1991. № 12. -С. 20-25.

25. Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация случайных процессов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. вузов. Физика. 1994. № 2. -С. 67-72.

26. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1988. -174с.

27. Ротарь П., Бенинг А. Введение в математическую теорию страхования. -// Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 1, вып.5, 1994.

28. Скляревич А.Н., Скляревич Ф.К. Вероятностные методы объектов с возможными изменениями. Рига: Зитатне. 1989. - 366с.

29. Тейксейра С., Пачеко К. Borland Delphi 4. Руководство разработчика. К., М., Спб.: Издательский дом «Вильяме». 1999. 912с.

30. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974. 136с.

31. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: изд-во Томск, ун-та, 1974,- 136 с.

32. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск.: Изд-во ТГУ. 1989. -285с.

33. Форсайт Дж., Маоткольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

34. Хендерсон К. Руководство разработчика баз данных в Delphi 2. Киев: Диалектика. 1996. 544с.

35. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. -Цюрих, 1988. 148 с.

36. Эльгольц JI. Э., Филипов А.Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Гостехиздат, 1957.

37. Bowers N., Gerber Н., Hickman J., Nesbitt С. Actuarial Mathematics, Society of Acturies, Itasca. 1986.

38. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlag, New York. 1970.

39. Cox D., Lewis P. The Analyses of Series of Events. Chapman and Hall, London. 1974.

40. Gerber H. Mathematical Fun with Ruin Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 7. 1988. P. 15-23.

41. Goel L.R. Transient solution of a certain type of heterogeneous queues // Trab. Estadist. Inversting. Operstiva. 1979. Vol. 30,1 3. -P. 63-70.

42. Grandell J. Double stochastic Poisson processes. Lecture notes in mathematics 529. -Berlin: Springer Verl. 1976. -234p.

43. Griffin W. Transform Techniques for Probability Modeling . Academic Press, New York. 1975.

44. Harry H. P., Gordon E.W. Insurance risk models // Society of actuaries. 1994. P. 442.

45. Helm W.E., Woldmann K.H. Optimal control of arrivals to multiserver queues in a random enviroment // J. Appl. Probbabiliti. 1984. -Vol. 21, 1 3. -P. 602-615.

46. Holgate P. The Modality of Some Compound Poisson Distributions. Bio-metrika, 57. 1970. P. 666-667/

47. Hoorn M.N., Van, Seelen L.P. The SPP/G/1 queue: A single server queue with a swithed Poisson process as input process // OR Spectrum. 1983. -Vol. 5, №4. -P. 207-218.

48. Karlin S., and Taylor H. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York. 1975.

49. Karlin S., and Taylor H. A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York. 1981.

50. Linhart H., Zucchini W. Model Selection. John Wiley, New York. 1986.

51. Neuts M.F. The M/M/Iqueue with randomly varying arrival and service rates//Opsearch. 1978. -Vol. 15, -P. 139-157.

52. Neuts M.F. A queuing model for a storage buffer in whish the arrival rate is controlled by a swith with a random delay // Performance Evaluation. 1985. -Vol. 5,1 4 -P. 243-256.

53. Panjer H., Willmot G. Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory. Journal of Econometrics, 23. 1983. P. 63-76.

54. Panjer H., Willmot G. Computational Techniques in Reinsurance Models. Transactions of the 22nd International Congress of Actuaries, Sydney, 4. 1984a. P. 111-120.

55. Panjer H., Willmot G. Models for the Distribution of Aggregate Claims in Risk Theory. Transactions of the Society of Actuaries, 36. 1984b. P. 399446.

56. Ray D. On the autoregressive model with random coefficients. -Calcutta Statist. Assos. Bull. 1983, 32 1 127-128. -P. 136-142.

57. S. Ben Slimane and T. Le-Ngoc. A double stoc Poisson model for self-similar traffic. // Conference Record of the International Conference on Communication (ICC). 1995.

58. Seal H. Stochastic Theory of A Risk Business. John Wiley, New York. 1969.

59. Snyder D.L. Random point processes. -N.Y. Wiley. 1975.

60. Tijms H. Stochastic Modeling and Analyses: A Computationnal Approach. John Wiley, Chichester. 1986.

61. Tjostheim D. Some doubly stochastic time series models. -J. Of Time Series Analyssis, Vol.7,1 1. 1986. -P. 51-71.