автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели страховых компаний с нестационарным потоком входящих рисков и при наличии рекламы

Введение

Глава 1. Математическая модель деятельности страховой компании при нестационарном входящем потоке страховых рисков

1.1. Описание модели страховой компании

1.2. Параметр входящего потока - детерминированная функция

1.2.1. Характеристики страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

1.2.2. Характеристики страховой компании при ограниченном числе страховых рисков

1.2.3. Оптимальное управление средними страховыми взносами

1.3. Параметр входящего потока - случайная функция

1.3.1. Характеристики числа рисков страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

1.3.2. Характеристики капитала страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

1.3.3.Характеристики страховой компании при неограниченном числе страховых рисков в случае зависимости функции средних первоначальных взносов от интенсивности входящего потока рисков.

Резюме

Глава 2. Математическая модель и управление деятельностью страховой компании с учетом расходов на рекламу

2.1.Модель страховой компании •

2.2.Исследование деятельности страховой компании при неограниченном числе страховых рисков

2.2.1 .Динамика капитала и числа застрахованных рисков

2.2.2.Условия эффективности рекламы

2.2.3. У правление денежными средствами, вкладываемыми в рекламную программу страховой компании

2.3. Исследование деятельности страховой компании при ограниченном числе страховых рисков

2.3.1 .Поведение капитала и числа рисков

2.3.2.Исследование стационарного режима в страховой компании

2.3.3.Условия эффективности рекламы 114 2.4.Пример 115 Резюме

Глава 3. Математическая модель и управление деятельностью страховой компании с учетом последействия рекламы

3.1 .Модель страховой компании

3.2.Исследование деятельности страховой компании с неограниченным числом страховых рисков

3.2.1 .Поведение капитала и числа рисков при постоянном отчислении средств на рекламу

3.2.2.Условия эффективности рекламы с последействием 122 3.2.3.Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании с учетом последействия

3.2.4.Поведение капитала и числа рисков компании в зависимости от выбранной стратегии рекламной программы

3.3.Исследование деятельности страховой компании с ограниченным числом страховых рисков

3.3.1. Поведение капитала и числа рисков при постоянном отчислении средств на рекламу

3.3.2.Условия эффективности рекламы 137 Резюме

Актуальность работы

Математическому моделированию различных процессов в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Это связано с тем, что в последние годы в нашей стране произошли значительные изменения в области приложений математики. Переход к рыночной экономике заставил перенести интересы специалистов по прикладной математике в новые области, которые не были известны до начала 90-х годов. Одной из таких областей стала актуарная математика, или математика, связанная со страхованием. В числе проблем, которые приходится решать, находится вопрос о построении модели страховой компании в целом.

При исследовании модели страховой компании в целом и определении характеристик её работы возникает ряд задач, имеющих важное практическое значение. Среди таких задач могут быть, например, следующие:

1) определение характеристик работы страховой компании;

2) определение вероятности разорения страховой компании;

3) определение времени разорения компании;

4) вопросы, связанные со стратегическим менеджментом компании и т.д.

Классическая модель страховой компании, описание которой дается в литературе [46, 59, 71], обладает рядом достоинств, но не отражает многих черт страховых компаний в реальной жизни, среди них:

1) нестационарность входящего потока рисков;

2) зависимость средних страховых взносов от параметра входящего потока;

3) влияние рекламы на характеристики капитала и работу страховой компании;

4) последействие рекламы;

В представленной диссертационной работе исследуются модели, учитывающие эти факторы, что и определяет её актуальность.

Работа проводилась по плану научно-исследовательских работ факультета информатики Томского государственного университета.

Цель работы

Цель данной работы состояла в следующем:

1) нахождение характеристик деятельности страховой компании при ограниченном и неограниченном страховом поле с нестационарным входящим потоком рисков в случае, когда параметр входящего потока - детерминированная функция;

2) нахождение характеристик деятельности страховой компании при неограниченном страховом поле с нестационарным входящим потоком рисков в случае, когда параметр входящего потока - случайная функция;

3) оптимизация работы страховой компании, при условии, что параметр управления - функция средних страховых взносов;

4) нахождение характеристик деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу;

5) определение условий эффективности рекламы;

6) исследование модели функционирования страховой компании с учетом последействия рекламы;

7) решение задачи оптимизации управления расходами на рекламную компанию, где параметр управления - доля средств, выделяемых на её проведение.

Состояние проблемы

На сегодняшний день существует достаточно много работ, посвященных различным проблемам актуарной математики. Но все же нет единой общепринятой математической модели, описывающей функционирование страховой компании в целом. Её создание осложняется необходимостью учитывать различные факторы.

Основы классической теории риска предложены в докторской диссертации Лунберга в начале прошлого века. Изложение этой теории с точки зрения стохастических процессов осуществлено Крамером в 1955 году [63]. Сначала преимущественно разрабатывались актуарные модели, связанные со страхованием жизни, как краткосрочные, так и долгосрочные; это направление и сейчас продолжает развиваться. Впоследствии стали строиться актуарные модели, применяемые и для других видов страхования. Например, модели, приведенные в фундаментальной работе Лемера Ж. [37] по автомобильному страхованию.

Согласно классической модели процесс функционирования страховой компании определяется четырьмя характеристиками, две из которых детерминированы (начальный капитал, годовая премия, которая задает темп прироста капитала), а две другие - стохастические (последовательность временных интервалов наступления страховых случаев, последовательность страховых возмещений в отдельных страховых случаях). Характерное свойство классической модели состоит в том, что поступление страховых премий в компанию считается регулярным, а выплаты, т.е. расход капитала, - нерегулярным. Свойство регулярности прихода капитала можно подвергнуть критике из-за того, что в реальной жизни эти самые страховые взносы являются нерегулярными и могут быть описаны вероятностными методами.

Различаются актуарные модели в основном тем, как распределены страховые выплаты (их размер) и интервалы времени между выплатами: выплаты могут иметь одинаковые распределения с известной функцией распределения [3], с произвольной функцией распределения [2], [40], неодинаковые эрланговские распределения [3]; интервалы между выплатами могут иметь неодинаковые показательные распределения [3], последовательность выплат также может быть описана с помощью пуассоновского процесса [40]. Некоторые модели позволяют учитывать дополнительные возможности, например, выплату дивидендов членам страховой фирмы [44]. Все эти модели имеют одно общее свойство - регулярно поступающие страховые взносы.

Существует ряд работ, посвященных исследованию классических моделей, среди которых следует особенно отметить работы Сила Г. [71], Прабху Н.У.[46], Панджера Г. [69], Штрауба Э. [59]. В них решаются задачи определения вероятности и времени разорения компании, задачи выживания на ограниченном промежутке времени, определения такого начального резерва, при котором вероятность разорения минимальна.

Принципы классической модели используются в ряде работ, выполненных за последние годы, как за рубежом, так и у нас в стране. Наиболее широкое направление в современной актуарной математике связано с нахождением и изучением вероятности разорения страховой компании для различных актуарных моделей [3],

4], [15], [27], [40]. К этому направлению тесно примыкают такие задачи, как задача оптимизации начального капитала страховой компании [2], задача определения минимально допустимого резерва страховой компании [2], задача нахождение оптимальной стратегии управление капиталом страховой компании [44], актуарные модели финансовой устойчивости страховой компании [35]. Также изучаются такие задачи, как моделирование развития убытков (прогнозы будущих выплат) [16], моделирование процессов выплат [49], моделирование динамики страхового портфеля, т.е. изменения совокупности договоров, по которым страховщик несет обязательства [58].

В работе Медведева Г.А. [41] решаются задачи нахождения вероятности разорения страховой компании, определения страховых премий, рассматривается влияние перестраховки на вероятность разорения; также строятся модели коллективных и индивидуальных исков и т.д. В работах Глуховой Е.В. и Капустина Е.В. [4-12] учитывается возможность перестраховки больших рисков, возможность вложения части капитала компании в банк под банковский процент. С учетом этих предположений определяются среднее значение капитала компании, а также дисперсия и функция корреляции, находятся вероятность разорения компании, вероятностные характеристики условного времени ожидания при условии, что разорение произойдет. В работах Лившица К.И. и Каца В.М. [29-32] исследуется классическая модель, в рамках которой определяются характеристики компании при малой нагрузке страховых премий; исследуется зависимость капитала страховых компаний, действующих на одном и том же страховом рынке от нагрузок страховых премий; определяется условное время до разорения страховой компании; учитывается влияние расходов на рекламу.

В последнее время появился ряд работ, учитывающих случайность поступления и размера страховых взносов. К их числу можно отнести работы Маталыцко-го М.А., Романюка Т.В. [38, 39], в которых страховая компания рассматривается как система массового обслуживания и ряд работ, выполненных под руководством Терпугова А.Ф [22, 24, 53]. В них предложен подход, согласно которому страховая компания рассматривается как некоторый объект, характеризующийся двумя случайными процессами: количеством застрахованных компанией рисков k(t) и капиталом компании S(t). Отличия этих моделей от классической состоят в следующем:

1) в случайные моменты времени в компанию поступают не только страховые выплаты, но и страховые взносы, и страховые премии;

2) интенсивность страховых выплат пропорциональна числу, застрахованных компанией рисков;

3) интенсивность поступления новых рисков зависит от уже застрахованных компанией рисков;

4) возможны различные варианты и ограничения на входной поток рисков и их число;

В последней работе Змеева О.А. [21] в рамках этого подхода рассматривается вопрос конкурентного взаимодействия страховых компаний на рынке и возможность вложения части капитала под банковский процент.

В работах [17-21, 25, 26] получены основные характеристики страховых компаний в рамках указанных моделей. Однако отметим, что целый ряд моментов, имеющих место в реальности не нашли в этих моделях своего отражения. К ним можно отнести

1) нестационарность входящего потока страховых рисков;

2) возможность проведения рекламных компаний;

3) возможность управления денежными средствами, вкладываемыми в рекламу;

4) оптимизация работы страховой компании посредством управления средними страховыми взносами;

5) учет последействия рекламы.

Освещению этих вопросов посвящена представленная диссертация. В завершении приведем книги и монографии авторов, чьи идеи и методы использовались в представленной работе.

Специальные термины, используемые в работе, изучались с помощью книг [1,42, 50, 54, 57, 59]

Идеи построения классических моделей страховой компании предложены в [59, 69].

Представление модели функционирования страховой компании в виде двумерного случайного процесса можно найти в работах [17-26]

Для решения задач, связанных с оптимальным управлением использовались книги [43,45].

При выводе систем уравнений, определяющих выражения для характеристик капитала и числа рисков страховой компании использовались книги [14,33, 47, 48]

Для определения условий эффективности рекламной компании применялись методы, изложенные в книге Первозванского А.А.[43].

Краткое содержание работы

В первой главе диссертации исследуется математическая модель функционирования страховой компании при нестационарном потоке входящих страховых рисков.

В параграфе 1.1 описывается модель страховой компании. В рамках модели состояние компании в момент времени t характеризуется двумя величинами: капиталом компании S(t) и числом застрахованных рисков k(t). Предполагается, что

1) с интенсивностью X(t) каждый приходящий риск вносит в капитал компании случайную величину с функцией распределения F.(х), M{Q = ax{t) и a2(t). Величина первого страхового взноса - это прерогатива компании, поэтому ax(t), a2(t) зависят от времени и являются величинами, которыми можно управлять; также предполагается, что эти функции непрерывны либо имеют разрывы только 1-го рода.

2) с каждым риском может наступить страховой случай с интенсивностью \iftit) и эти страховые случаи для различных рисков независимы. При наступлении страхового случая компания выплачивает страховое возмещение в размере случайной величины г| с функцией распределения Fр (х) и M{r\}=bt, м\г\2}= b2.

3) каждый из застрахованных рисков выплачивает дополнительные взносы в размере случайной величины С, с функцией распределения F3 (х) и м{С1} = с1, м{(^2}=с2. Взносы осуществляются независимо друг от друга с интенсивностью \i2k{t).

4) с интенсивностью \xk(t) страховое время некоторых рисков заканчивается, и они покидают компанию независимо от поведения других рисков.

В параграфе 1.2. предполагается, что поток входящих рисков пуассоновский и его параметр - детерминированная непрерывная функция, либо функция, имеющая разрывы только первого рода. В 1.2.1. определяются выражения характеристик капитала и числа застрахованных рисков в случае неограниченного страхового поля.

Теорема 1.1. В предположениях 1) - 4) математическое ожидание, дисперсия и функция ковариации числа застрахованных рисков k(t) определяются выражениями кх 0 = k{tQyM + \\{zy^-z)dz, (l)

Dk(l)~ JX%{z)+vkx(z)YMt-z)dz, (2) to

Ck(t},t2)= kXmm^Je-^ , (з) где k(t0) число рисков в начальный момент времени.

Теорема 1.2. В предположениях 1) - 4) математическое ожидание и дисперсия капитала компании S(t) определяются выражениями

S, (0 = S() + )at {u)x(u)du - X j/,(v)(l - }lv + (l - e~h" ) j>,(v)^lviv

О ^ О -00

4) t I

Ds {t) = ja2 (z)X(z)dz + j/c, (z) Ц где S0 капитал компании в момент t0. dz, (5)

В 1.2.2. определены выражения для тех же что и в 1.2.1 характеристик капитала и числа рисков в случае ограниченного страхового поля (теорема 1.3, теорема 1.4).

В 1.2.3. предполагается, что а,(г), a2{t) влияют на интенсивность потока входящих рисков, так как уменьшение a,(t) приводит к увеличению X(t) и, наобонаоборот, при увеличении ах (t) число желающих застраховаться уменьшается. Поэтому в общем случае предполагается, что X зависит от ax(t) и от /.

Предположение 5). Пусть X = X(al,t): k(t)= F(a,(OW*)» F(0)= 1, F(+qo) = 0 и F(al) монотонно убывает с ростом а,(г), А,0(*) максимальная интенсивность потока входящих рисков.

Теорема 1.5. В предположениях 1) - 5) оптимальное управление a,(v), О < v < Т, доставляющее максимум среднему значению капитала в конце рассматриваемого промежутка, определяется из уравнения

В параграфе 1.3 предполагается, что параметр входящего потока x(t) - непрерывный в средне квадратическом стационарный случайный процесс.

Предположение 6). Пусть характеристики X(t):

M{x(t)}=x, M{x(tl)k(t2)} = R(t2-tx), R(z)=R0(z)+)c WmR0(z)=0. z—>00

В 1.3.1. и 1.3.2 определяются выражения для характеристик числа застрахованных рисков и капитала для неограниченного страхового поля.

Теорема 1.6. В предположениях 1) - 4), 6) математическое ожидание, дисперсия и функция ковариации числа застрахованных рисков определяются выражениями

7)

1 « т

8)

J R0(v)e^'dv + ^-- J*0(v)e-Vv. (9)

2M- i |,Д|

Теорема 1.7. В предположениях 1) - 4), 6) математическое ожидание и дисперсия капитала компании определяются выражениями

MX{SM = S0 + It, (10) о й

Ds(t) = X Ja2(z)dz -h к ■ б,(Л, - Cj|X2 )2 — (e'hl> -1) + J Ji?0 (u - v)<3, (;и)аг (v)dudv +

2 Ji?0 (x) l о V Ц t-x —

0 0

7 \2

V ИЛ dx +

J)

1 00 1 + (l - f - fi?0 (x)e^dx + 2(l - e~w )М r 1 1 ^ 2 2 dx +

2 2 dx +2

0 / t

J JX (и - v)a, (v)(l - Jv + (l - e*) J] Ji?0 (u - v)a,

Jv и)

В 1.3.3 предполагается, что величина а,, обозначающая средние первоначальные взносы является функцией, зависящей от X0(t).

Предположение 7). Пусть я, = Интенсивность /.(г) потока рисков, поступающих в компанию связана с X0(t) соотношением X(t) = k0{t)F(al(X0(t))), где смысл функции F(al(k0(t))) описан в 1.2.3.

Теорема 1.8. В предположениях 1) - 4), 7) оптимальное управление а, =а1(А.0(/)), реализующее максимальный темп роста среднего значения капитала определяется как решение уравнения

F{ax) + и \ ах + ■ V

F'{ax) = 0.

12)

Теорема 1.9. Пусть Х0(и)=Ху и X0(v)=X2 имеют совместную плотностей распределения вероятностей р(кх ,X2,w)~ р0(Х: ,X2,w) +р(Х1)р(к2) и limp0(X],X2,w) = 0, тогда в предположениях 1) - 4), 7) асимптотическое поведеw—»со ние дисперсии капитала определяется выражением

ИтМ) = Tp(x0K(X0X0F(a,(^o))^c

Г-» 00 t J b2\x, +c2[i2 + 2

2 \

OU

OJ w 2 j" ja, (X, (\2)kll2F(al(kl > )dX]dX2 + 2 f 7 CO CO

V ц J о о 4 с,ц2 -^ц, о 0

Теорема 1.10. В предположениях 1) - 4), 7) в случае экспоненциально распределенных первоначальных страховых взносов оптимальное управление

Г г Ds(t) страховыми взносами, реализующее lim— => max при lim = D0, опt-> СО f t—>CO f ределяется из уравнения

V J / i»2(a1 + с2ц2 + 2 л

F'fafo))

2 A,, {F{ai (X,)) + jF'fo (X,))} ja, (Х2 jk.Ffa {Х2 ЫКК УК

СЦ2 -b\i,

2J21L I Г(а1(Я.1))+2 v м ; сц2 V ц j^F^JX^,,^)^ [ = 0. (14)

J0

Во второй главе исследуются математическая модель страховой компании с учетом расходов на рекламу.

В параграфе 2.1 дается описание модели. Считается, что в момент времени t состояние страховой компании характеризуется её капиталом s(t) и числом застрахованных рисков k{t). Компания отчисляет часть своего капитала на рекламную компанию, так что на интервале \t,t + At\ на её проведение выделяется aS(t)At денег, где а - параметр, которым можно управлять. В отличие от модели в 1.1. в компанию поступает новый риск с вероятностью (Х0 + aXiS(t))At + o(At) и вносит страховую плату %, которая является случайной величиной с функцией распределения Слагаемое а л, описывает приток новых клиентов, обусловленный рекламой, параметр Х0 определяет интенсивность прихода клиентов, не находящихся под воздействием рекламы; параметр Я] определяет эффективность рекламы. Все остальные параметры, связанные с выплатами страховых возмещений и уходом рисков из компании аналогичны модели из 1.1.

В параграфе 2.2 исследуется модель для случая неограниченного страхового поля. В 2.2.1 находятся выражения математического ожидания капитала и числа рисков компании:

M{k{t)} = k{t)= С^+С2е" (15)

YJi

M{s(t)}=m=-L

А,а

С, (у, + цУ'' + С2 (у 2 + мУ'' + Х0

Т,у2

16) константы определяются из начальных условий £(о) = S0,k(o) = к0.

В 2.2.2 определяются условия эффективности рекламы, и результаты сформулированы в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. Для модели с учетом расходов на рекламу в случае неограниченного страхового поля реклама эффективна, если выполнено хотя бы одно из условий

А,

1, + (17) а v И у

Следствие. При выполнении первого условия (17) реклама будет эффективна при любом а > 0. Второе условие (17) может быть выполнено лишь при Х^а >1; оно даёт ограничение на величину параметра а, определяющего количество денег, выделяемых на рекламу: а > —-—. То есть вкладывать деньги в рекламу стоит

Хха -1 лишь тогда, когда параметр, соответствующий доле денег на рекламу, превышает некоторую величину.

В 2.2.3 решается следующая задача оптимального управления: пусть страховая компания начинает свою работу в момент времени t = 0 и её цель провести рекламную программу таким образом, чтобы к концу рассматриваемого промежутка времени [о,г] темп прироста её среднего капитал стал максимальным. Критерий оптимальности определяется следующим образом: U = Максимум определяется по виду сф), 0 <t<T с учетом ограничений 0 < а(/) < а0; S0- капитал компании в начальный момент времени. Заметим, что это лишь одна из постановок задач на оптимизацию рекламной деятельности. Для решения задачи рассматриваемый промежуток времени [о,г] делится на три: [о,Г0], [Т(], Тх) и [трг], причем каждому из промежутков соответствует своё значение a(t): a

0 = о, о<t<T0, а0, T0<t <ТХ, О, Tx<t<T.

Система относительно средних капитала и числа рисков получена в 2.2.1 Система для ковариаций капитала и числа рисков выводится в данном параграфе и имеет следующий вид 2а(OK -l)D{s(t)}+ Xia2a{t)M{s(t)}+ dt 2(сц2 -b\ix)c{S,k)+{c2\i2 + b1\i1)M{k(t)}+X0a2,

Mi = Xia{t)M{s(t)}+ pM {k(t)}~ 2)>D{k{t)} + dt dt

Решение системы находится для каждого из промежутков, где параметр a(t) изменяет свои значения. На первом промежутке решение имеет вид

Ся(*,0)=(ец2 -Ьц,) с \ С2е~»' +

Хп

Ds(t,0) = 2D

19) И сц2 - Ь\хх У te 1X1 +(

-v-'

2С2(с|а2 -&Ц,) 2£>,(СЦ-2 """^Ш)2

-е

-2ц<

Д |Г С, , i 2ц константы находятся из начальных условий £>5(0,0) = 0, Dk(0,0) = О, Ся(0,0) = 0. Далее для каждого из решений, соответствующих второму и третьему промежутку константы находятся из условий сшивания на границе M{s(ro,0)} = M{s(To,a)},M'{s{TQ,0)}= M'{s(r0,a)} (для решения на втором промежутке) и Ds{Tx,a) = Ds(T{,0), Csk(rx,a)= CSk{Tl,0),Dk (T^a) = D(rx,0] (на третьем). Поэтому в выражениях для среднего значения и дисперсии капитала в момент времени Т присутствуют константы, зависящие от моментов Т0 (включение рекламы) и 71, ди(Т0,Тх) выключение рекламы). При выполнении условия дТп О страховая комг„= о пания включает рекламу в нулевой момент времени.

В параграфе 2.3 исследуется модель страховой компании в случае ограниченного страхового поля.

В 2.3.1 выводится и решается система относительно средних значений капитала и числа рисков аналогично случаю неограниченного страхового поля. В 2.3.2 рассматривается стационарный режим страховой компании. Находится точка покоя системы

Ж,а(с|й2 -b\i] + а|д)-а(|.1 +A.0)]+Vl)

Г =• к* = N а(А,0 -|д,) +А^[а(с|Л2 -b\xx + a\x) + 4D a(Xg +ц)+ М,,а(с|л2 ~Ь\хх + ац) + 4d определяются условия, при которых эта точка является устойчивой.

В 2.3.2 определяются условия эффективности рекламы (теорема 2.2)

Ж, а + сц2 - b\i{

1; Ккха > 1 + —. а

20)

В третьей главе рассматривается модель страховой компании с учетом расходов на рекламу и с учетом последействия рекламы. В 3.1 дается описание модели. Наряду с уже рассматриваемыми ранее величинами S(t) и k(t) вводится дополнительная величина R(t), которая отражает влияние рекламы и связана она с количеством средств aS(t), поступающих на рекламу, соотношением а S(t)-R(t), так что при к = 0 R(t) = aS(t) и последействие рекламы отсутсвует. Параметр к будем называть параметром эффекта последействия рекламы.

В параграфе 3.2 модель исследуется для неограниченного страхового поля. В 3.2.1 находятся выражения для средних значений капитала, числа рисков и величины, описывающей влияние рекламы. В 3.2.2. определяются условия эффективности рекламы (теорема 3.1)

-l) + /\,,(c|x2 -&|Д,,)]> 0, а

ДаА-! -1)+Х,(с|л2 -Ь\хх) к а + и-ааЯ, а|х +---к 1 Л а + |а + v

0.

21)

В 3.2.3 при помощи принципа максимума Понтрягина решается задача оптимального управления расходами на рекламу. Критерий оптимальности S(t) => max, где максимум ищется по виду ос(?), 0 <t<t с учетом ограничения 0 < «(/) < а0. Заметим, что это одна из возможных постановок задач на оптимизацию рекламной деятельности. Для решения задачи составляется гамильтониан

Я = v|/,(aX0 +aXxR -a(t)S + (сц2 -Ь\лх)к)+ у2(хо а t)S R к к

Оптимальное управление долей капитала a(t), выделяемого на рекламу, находится из условия Н => max, что приводит к задаче сф)^ л

Ц)3

-¥, к J max, где максимум находится по виду a(t), О <t<T с учетом ограничения 0 < a(t) < а0. Управление рекламой носит релейный характер и имеет вид а ш, а0, если —--M/j

К (22)

0, если —^— v|/j <0. к

Для окончательного нахождения оптимального управления a(t) нужно определить г = 1,2,3. Считая, что \]/;(/) = -t), получаем следующую систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для vj7,(T): dx dy2 аг

Уз — — "Vi » к dx (ф2 -^iVi (23) л — Л — 4*3 = аХ1ц)1+к1ц2-dx ц которую нужно решать при начальных условиях vj7, (о) = 1, vj72 (о) = 0, vj/3 (о) = 0.

В 3.2.4 определяется поведение среднего капитала компании, при заданной стратегии рекламной программы. Определяется зависимость момента отключения рекламы от параметра эффекта последействия при определенных значениях параметров (рис 3.1, рис 3.2).

В параграфе 3.3 исследуется модель с учетом последействия в случае ограниченного страхового поля. В 3.3.1 определяются выражения для среднего значения капитала, числа рисков и величины, определяющей последействие рекламы k{t)=Hleb' +Н2еъ' 4-НъеУз> - Ж°а

KTiY2У3 lAeT''(KYi2 +1Wi +У, +у)+Н2еъ'(ку22 +кцу2 + у2

NXx а Нъеъ> (куз + кцуз +Уз + ц)]----(24)

АТ1Г2Т3 V

Щ= г [^"(г, + »)+С2е-'(у2 + „)+ сзе» (у3 + и)]—r^L. ■ где константы Я,., / = 1,2,3 определяются из начальных условий S(0)=So,k(0) = ko,R(0)=0.

В 3.3.2 определяются условия эффективности рекламы (теорема 3.2), определяется зависимость момента отключения рекламы от параметра эффекта последействия рекламы (рис 3.4).

Основные научные результаты, полученные автором и выносимые им на защиту, следующие:

1) предложены три математические модели функционирования страховых компаний, учитывающие а) нестационарность потока входящих рисков; в этом случае модель представляется в виде двухмерного неоднородного марковского процесса, где число застрахованных компанией рисков - марковский процесс; б) наличие рекламы; в этом случае модель представляется в виде двухмерного марковского процесса, где число застрахованных рисков - не является марковским процессом; в) последействие рекламы; модель представляется в виде трехмерного марковского процесса.

2) для этих математических моделей получены характеристики капитала и числа рисков;

3) решена задача оптимального управления средним первоначальным страховым взносом

4) задача оптимального управления расходами на рекламу;

5) проведено исследование явления последействия рекламы.

Методика исследований

Исследование носило теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории управления, методов оптимизации.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, состоит в том, что в ней получены основные характеристики страховой компании в рамках различных улучшенных моделей (с нестационарным входящим потоком потенциальных рисков, с учетом расходов на рекламу, с учетом последействия рекламы.) Задачи рассматривались для случая ограниченного и неограниченного страхового поля.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней формулы могут быть использованы для определения среднего значения капитала компании; для определения степени эффективности рекламной деятельности страховой компании. Результаты, относящиеся к вычислительным алгоритмам и их программная реализация, представляют определенную практическую ценность.

Публикации по работе

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях: Статьи

1) Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов, Физика, 2001 -№1,- С 25-29.

2) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. // Модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу при ограниченном числе клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. - Изд-во ТГУ, 2001. - С 3-13.

3) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. И Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании // Изв. вузов, Физика, 2001 - №6. - С 3.-7.

4) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А, Терпугов А.Ф. // Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу // Вестник Томского государственного университета №275 - Изд-во ТГУ, 2002. - С 181-185.

5) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. // Модель функционирования страховой компании с входящими рисками в виде пуассоновского потока событий переменной интенсивности // Обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 4: Сборник статей. - Изд-во ТГУ, 2002. - С 3-13.

Материалы конференций

6) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. // Нахождение характеристик работы страховой компании с нестационарным входящим потоком клиентов // Труды первой всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Часть вторая. Красноярск 2002. - С 20 -27.

7) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. // Исследование математической модели страховой компании при нестационарном потоке рисков.// Материалы второй международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики» Минск 2002.-С 5-10.

8) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. // Нахождение характеристик работы страховой компании с нестационарным входящим потоком и ограниченным числом рисков // Вестник Томского государственного университета. Приложение №1 - Изд-во ТГУ, 2002. - С 3-8.

9) Ахмедова Д.Д. Модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Студент и научно технический прогресс. Раздел экономика. Тезисы докладов. Часть1 - г. Новосибирск - 2000 г. С. 6-8.

10) Ахмедова Д.Д. Функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса. Тезисы докладов. 4 1. - Анжеро -Судженск, 2000. - С 4-6.

И) Ахмедова Д.Д. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании. // Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство. Тезисы докладов. 4 2.- Анжеро - Судженск, 2001. - С 3-4.

12) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик числа рисков страховой компании при неограниченном числе страховых рисков и нестационарном входящем потоке, параметр которого случайная функция // Информационные технологии и математическое моделирование. Тезисы докладов. 4 2.- Анжеро - Судженск, 2002. - С 3-5.

13) Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Нахождение характеристик капитала страховой компании при неограниченном числе страховых рисков и нестационарном входящем потоке, параметр которого случайная функция // Информационные технологии и математическое моделирование. Тезисы докладов. 4 2.-Анжеро - Судженск, 2002. - С 6-8.

22

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на

1) XXXVIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно технический прогресс», г. Новосибирск - 2000 г.

2) Межрегиональной научно - методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса», г. Анжеро - Судженск, 2000г.

3) Всероссийской научно - практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство», Анжеро -Судженск, 2001г.

4) IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» и Сибирской научной школы - семинара «Проблемы компьютерной безопасности», г.Томск, 2002г.

5) Второй международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики», г. Минск, 2002г.

6) Первой всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, г. Красноярск, 2002г.

7) Всероссийской научно - практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование», 2002г

Заключение

Подводя итоги проделанной работы, автор хотел бы отметить следующее.

В работе исследованы следующие аспекты анализа работы страховой компании.

1) для модели с нестационарным входящим потоком рисков определены характеристики капитала и числа рисков компании в случае, когда параметр входящего потока неслучайная функция. Эта задача рассматривается для ограниченного и неограниченного страхового поля.

2) для модели с нестационарным входящим потоком рисков определены характеристики капитала и числа рисков компании в случае, когда параметр входящего потока - стационарный случайный процесс. Эта задача рассматривается для неограниченного страхового поля.

3) для модели с нестационарным входящим потоком рисков и неограниченным страховым полем решается задача оптимального управления средними страховыми взносами, где критерием качества выступает максимизация темпа роста капитала при ограничении на его флуктуацию.

4) для модели с учетом расходов на рекламу определены характеристики капитала и числа рисков компании, определены условия эффективной рекламной компании (для ограниченного и неограниченного страхового поля); рассматривается задача оптимального управления расходами на рекламу, где критерием оптимальности выступает максимизация прироста капитала;

5) для модели с учетом последействия рекламы определены характеристики капитала, числа рисков компании и величины, характеризующей последействие рекламы; определены условия эффективной рекламной компании (для ограниченного и неограниченного страхового поля); с помощью принципа максимума Понтрягина решается задача оптимального управления расходами на рекламу.

В заключении автор хотел бы выразить огромную благодарность доктору физико-математических наук, профессору Александру Федоровичу Терпугову и кандидату технических наук, доценту Олегу Алексеевичу Змееву за неоценимую помощь в работе над диссертацией.

1. Басаков М.И. Страховое дело в вопросах и ответах. Р.-на-Д.:Феникс, 1999.-576с.

2. Виноградов О.П. Вероятность разорения страховой компании в случае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения // Теория вероятностей и ее применение, 1998, том 43, выпуск 2

3. Виноградов О.П. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, том 5, выпуск 1, с. 134-139

4. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов Физика, 2000. №4. - С 3-9.

5. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом перестраховки // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. - С. 150

6. Н.Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. Томск: Изд-во Том.ун-та, 2001.-С 14-25

7. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Изв. вузов. Физика, 2001. №6. - С 7-12.

8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука,1998. -447с.

9. Едаков А. Конструктивная модель развития убытков // Страховое дело, 2000, №1, с. 52-53

10. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 1: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С 57-66.

11. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе клиентов // Изд-во Том. ун-та, 1999. -№4. С 34-39.

12. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во. Том. ун-та, 1999. - С.67-73

13. Змеев О.А. Математические модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов Физика, 2001. №1. - С 19-24.

14. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 23-24.

15. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. докладов. Анжеро-Судженск, 1999. - С. 33-34.

16. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. докладов Барнаул, 1999.-С. 88- 90.

17. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 21-22.

18. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с интенсивностью входного порока, зависящей от числа имеющихся рисков // Наука и образование: пути интеграции. Тез. докладов-Анжеро-Судженск, 1999. С. 32-33.

19. Калашников В.В., Констанидис Д. Вероятность разорения // Фундаментальная и прикладная математика, 1996, том 2, №4, с. 1055 1100

20. Кудрявцев А.А. Актуарные модели финансовой устойчивости страховой компании//СПб, 1997, 62 с.

21. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Изв. вузов. Физика. 2001. №1 . С.29-35.

22. Кац В.М., Лившиц К.И. Условное время до разорения страховой компании // Изв. вузов. Физика. 2002. №2 . С.64-70.

23. Кац В.М., Лившиц К.И. Характеристики страховой компании при малой нагрузке страховой премии для классической модели // Вестник ТГУ. Приложение2001. №1 С. 159-163

24. Кац В.М., Лившиц К.И. Конкурентное взаимодействие двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Вестник ТГУ. Приложение 2001. №1 -С. 163-167

25. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. -432с.

26. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. -М.: Наука, 1996. 243с.

27. Кудрявцев А.А., Актуарные модели финансовой устойчивости страховой компании //СПб, 1997.-62 с.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1997. - 832с.

29. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: Пер. с англ. 1998, 316 с.

30. Маталыцкий A.M., Романюк Т.В. Исследование стохастической модели обработки разнотипных исков страховой компании // Материалы второй международной конференции «Проблемы актуарной и финансовой математики» Минск2002. С. 70-75.

31. Матвеев О. О вычислении вероятности разорения страховой компании в динамической модели // Страховое дело, 2000, №8, с. 41 43

32. Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков. 4.2. Риски страхования. Мн: БГУ, 2001.- 293 с

33. Панкратов Ф.Г., Баженов Ю.К., Серегина Т.К. Рекламная деятельность: Учебник для студентов высших учебных заведений. М.: Маркетинг, 1999 .- 364с.

34. Первозванский А.А. Курс автоматического управления. М.: Наука, 1986. -615с.

35. Пиуновский А.Б. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах с ограничениями //Москва, РФФИ, 1996

36. Понтрягин J1.C., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко.- М.: Наука, 1983. 392с.

37. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М.: Мир, 1984. - 184с.

38. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987. - 400с.

39. Радюк JI.E., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988. 174с.

40. Рассказов В. Моделирование процессов выплат по договорам добровольного медицинского страхования // Страховое дело, 2000, №5, с. 39 43

41. Ротарь П., Беннинг А. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, т.1, вып.5, 1994.

42. Скитович В.П. Элементы теории массового обслуживания. Ленинград: Изд. Ленинградского университета, 1976. - 96с.

43. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. - 136с.

44. Терпугов А.Ф., Туренова Е.Л. Определение характеристик процесса разорения компании. // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - С 147-156.

45. Фалин Г. И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. Математические модели в страховании. Москва, 1994 - 110 с.

46. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2 С.Пб.: Лань, 1999.-464с.

47. Харкевич А.Д., Лившиц Б.С., Пшеничников А.П. Теория телетрафика. М.: Связь, 1979.-224с.

48. Хэмптон Д.Д. Финансовое управление в страховых компаниях: пер с англ. М.: анкил, 1995. -264с.

49. Шаплыко Д. Модель и задачи оценки параметров прогнозного страхового портфеля // Страховое дело, №4, с. 29 38

50. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. Цюрих, 1998. -148с.146

51. Веекшап John A. Two Stochastic Processes. N.Y.: Wiley. 1974

52. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Nesbitt C. Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Itasca, 1986.

53. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlag, New York, 1970.

54. Cramer. Collective Risk Theory, Reprint from the Scandia Jubilee Volume, 1955.

55. Gerber H. Mathematical Fun with Ruin Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 7, 1988.-P. 15-23.

56. Harry H., Gordon E.W. Insurance risk models // Society of actuaries, 1994. P.442.

57. Panjer H., Willmot G. Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory // Journal of econometrics, 23, 1983. P. 63-76.

58. Panjer H., Willmot G. Computational Techniques in Reinsurance Models // Transactions of the 22-nd International Congress of Actuaries, Sydney, 4, 1984. P.111-120.

59. Panjer H., Willmot G. Models for the Distribution of Aggregate Claims in Risk theory // Transactions of the Society of Actuaries, 36, 1984b. P.339-446.

60. Panjer H., Willmot G. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992. - 442p.

61. Seal H. Stochastic Theory of A Risk Business. -N.Y.: Wiley. 1969.

62. Seal H. Survival Probabilities: The Goal of Risk Theory. -N.Y.: Wiley. 1978