автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов

На правах рукописи

0034^г I х .

Горбенко Кирилл Анварович С

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ КУМУЛЯТИВНОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 2 ОКТ 2008

Томск-2008

003447717

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики ГОУ ВПО «Томский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Терпугов Александр Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воробейчиков Сергей Эрикович

кандидат физико-математических наук Китаева Анна Владимировна

Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Сибирский федеральный

университет», г. Красноярск

Защита состоится 30 октября 2008 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36. корп. 2, ауд. 102.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ Буровой Н.Ю.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 15 сентября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

А.В. Скворцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема прогнозирования будущего состояния финансов страховой компании существовала и существует в настоящее время. В связи с этим, любой страховщик стремится выбрать адекватную модель функционирования своей компании, и на основе уже выбранной модели решать различные задачи, например: прогнозирование средней величины капитала компании и числа обслуживаемых рисков, определение в некотором смысле оптимальных тарифных ставок. При этом существуют два принципиально разных подхода повышения адекватности модели: первый из них - построение более качественных оценок входных параметров модели, второй - включение в модель параметров, отвечающих за воздействие того или иного фактора и удовлетворяющих наиболее общим ограничениям.

В связи со сказанным можно отметить, что разработка и исследование моделей, учитывающих как новые факторы, так и прежние, но с более общими ограничениями, являются актуальными.

Первые исследования по тематике диссертационной работы были начаты Ф. Лундбергом (1903), далее получили строгое математическое оформление в работах Г. Крамера (1955) и развиты Е. Спарре-Андерсеном (1957). В результате этими авторами была разработана и изучена классическая модель поведения капитала страховой компании St, которая в научной литературе получила название модели Лунд-берга-Крамера-Андерсена и построена на следующих предположениях: „ „;

1) величина капитала компании в момент времени 0 равна S0;

2) величина страховых взносов за период времени t равна et, где с - интенсивность поступления страховых взносов в единицу времени, является детерминированной величиной;

3) между моментом наступления страхового события и моментом осуществления страховой выплаты нет временного разрыва;

4) моменты наступления страховых событий образуют простейший пуас-соновский поток, число наступивших страховых событий на временном отрезке [О,/] обозначим Nt\

5) размеры страховых выплат ri, (/ = 1, ,¥;) являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.

В настоящее время существуют различные усложнения классической модели. Прежде всего, это введение в рассмотрение расходов на рекламу и инвестирование части капитала (Кац В.М.)

Далее, это рассмотрение потока моментов поступления страховых взносов в виде простейшего пуассоновского потока (Лившиц К.И.)

Другое направление связано с рассмотрением нестационарных потоков рисков, интенсивности которых зависят от величины капитала или от числа застрахованных рисков (Ахмедова Д.Д., Лившиц К.И., Змеев O.A.)

Отдельно следует выделить направление, связанное с моделированием деятельности пенсионного фонда (Гарайшина И.Р.) и фонда социального страхования (Вальц О.В., Китаева A.B.)

Помимо рассмотренного подхода, в основе которого лежит классическая модель, существует направление, связанное с построением моделей страховых компаний в виде систем регрессионных уравнений (Крестьянинова М.В., Ковалев О.Н., Охрименко О.И., Суворов C.B.) В данном случае, на основе эмпирических данных выбираются результирующие и определяющие признаки и виды зависимостей между ними.

Следует заметить, что помимо рассмотрения различных подходов моделирования деятельности страховой компании, существуют такие направления, как определение величины тарифных ставок в имущественном (Калашникова Т.В., Овчинникова Т.И., Штрауб Э., Gerber H.U.) и личном (Фалин Г.И., Четыркин Е.М.) страховании, решение задач перестрахования (Булинская Е.В., Григорьев Ю.Д., Dickson D.C.M.), рассмотрение конкурентного взаимодействия страховых компаний (Змеев O.A., Кац В.М., Масяйкин С.А.)

В данной диссертационной работе автором предпринята попытка построения модели деятельности страховой компании в виде системы массового обслуживания с входящим кумулятивным потоком страховых взносов и рекуррентным временем действия договора страхования.

Цель работы заключается в построении класса математических моделей деятельности страховой компании и построении методики управления капиталом компании.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Предложить математические модели деятельности страховой компании в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков, число обслуживаемых рисков, капитал компании, и для указанных компонент определить математические ожидания, дисперсии и ковариации.

2. Задать критерий определения оптимальной тарифной ставки и в рамках указанного критерия определить оптимальное значение тарифной ставки.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального, интегрального и вариационного исчислений.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Предложена модель кумулятивного потока страховых взносов, отличающегося от известных тем, что условная вероятность поступления страхового взноса линейно зависит от числа уже поступивших взносов, что позволяет более точно прогнозировать объем поступления денежных средств.

2. Предложены математические модели деятельности страховой компании, отличающиеся от известных моделей тем, что представляются в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков (число страхо-

вых взносов), число обслуживаемых рисков (число действующих договоров страхования), капитал компании, при этом время действия страхового договора имеет произвольную функцию распределения, что в совокупности позволяет достичь более точного прогнозирования значения величины капитала страховой компании; для указанных компонент получены математические ожидания, дисперсии и ковариации.

3. Предложена методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании.

Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в ней математические модели строятся на основе процесса изменения числа поступивших рисков, процесса изменения числа обслуживаемых рисков, процесса изменения величины капитала компании и могут быть обобщены путем включения дополнительных факторов, влияющих на поведение величины капитала.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней результаты могут быть полезны при прогнозировании величины капитала страховой компании и определении тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании.

Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использованием методов теории вероятностей и случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального, интегрального и вариационного исчислений.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Одномерное распределение вероятностей кумулятивного потока страховых взносов.

2. Четыре математические модели деятельности страховой компании: модель страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов, портфельная модель страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов, модель страховой компании при интегральном кумулятивном потоке страховых взносов, модель страховой компании при дважды стохастическом кумулятивном потоке страховых взносов.

3. Методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Третья Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2006 г.

2. Шестая Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Шушенское, 2006 г.

3. Пятая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2006 г.

4. Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Адлер, 2007 г.

5. Седьмая Международная научно-техническая конференция «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии». Пенза, 2007 г.

6. Шестая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2007 г.

7. Региональная научно-практическая конференция студентов, молодых ученых и предпринимателей Сибирского региона «Иммпульс-2007». Томск, 2007 г.

8. Пятнадцатая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2008 г.

9. Седьмая Всероссийская конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы». Красноярск, 2008 г.

10. Двенадцатая Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2008 г.

Публикации, По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 2 работы в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы из 115 наименований. Общий объем диссертации составляет 172 страницы, в том числе основной текст - 160 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена математической модели деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов. Данная модель включает в себя следующие процессы: Nt - число поступивших рисков за время длительности t, N0=0-, к, - число обслуживаемых рисков в момент времени t, к0 = 0; S, - величина капитала компании в момент времени t. Далее делаются предположения:

1) вероятность поступления нового страхового взноса на временном отрезке [í,í + А/] равна (А. + (ЗЛ',)Д/ + о(Д/), при этом размер страхового взноса моделируется независимой случайной величиной (н.с.в.) с известными первыми начальными моментами М{^} = Я[ и м^2}=а2;

2) вероятность осуществления страховой выплаты на временном отрезке [/, í + Д/] равна nk,At + о(Д/), при этом размер страховой выплаты моделируется

н.с.в. r|: M{ti} = 6] и м|г)2}=Ь2;

3) время обслуживания риска (время действия договора) начинается с момента уплаты страхового взноса и моделируется н.с.в. с произвольной функцией распределения Вх.

В параграфе 1.2 найдены основные характеристики процесса уУ, :

1) одномерное распределение вероятностей Р{Ы, = 0} = е"Х',

пТЧ

р(«( , „) = - „-с I" е-«, „ . 1,2,...

п\ '

2) математическое ожидание, дисперсия и ковариация, соответственно,

Щ = ДеР', = соу^, ,Ы,г }= о{лГ,, Г, <,2.

В параграфе 1.3 найдены основные средние характеристики к,:

I < /

к, = х]>,_теРтЛ, 0{/сг} = 2р|Р,_тС„ЛГ{х|/}А + х|р,_тертЛ,

со\\к.

Л2 }= Сь(г11 '2} + РС„,у {'1I '1 } Р,2-х<ь,

где

"^М = Г}+ &, (о| Г} = О,

= 0, 0</<7\ РХ=\~ВХ

ООО В параграфе 1.4 найдены математическое ожидание, дисперсия и ковариация процесса 5,:

5=3)+ «1 О- М«* '

^ Ох

} = 2а,р/Си* {т}Л - 2А,ц {т|т}л + а21 (ер'-1)+ /ерлг Л/

О О Р 0 х

соу5,

где

|с„5{/! | т}л + РСда {/,}} Л /А

I 1 I г

С„5{;| т}= р/СлдМ^-х А + «1Р|с^{х| 7> - ^¡Скп {т| т\к + а{к\Рт_ т е^ йх.

О ООО

В параграфе 1.5 введены в рассмотрение модели имущественного и неимущественного страхования, суть которых в уточнении понятия риска, т.е. вводятся понятия страхователя и объекта страхования. Для модели имущественного страхования моменты поступления страхователей, как и прежде, образуют кумулятивный поток, но страховая компания фиксирует V (у > 1) объектов страхования, например, пришел клиент, желающий застраховать три машины, в этом случае процесс Л^ увеличится на 1, а процесс к, на V = 3. В модели неимущественного страхования в качестве объекта страхования выступает застрахованное лицо, поясним данную модель на примере: пришел клиент, желающий застраховать себя и двух своих родственников от несчастного случая, в этой ситуации и процесс Ы, и процесс к, увеличатся на V = 3.

Для данных моделей получены основные средние характеристики процессов Ы,, к1 и в предположении что V является н.с.в.: м{у} = г/] и м|у2|=«2- Приведем результаты относительно математических ожиданий:

1) модель имущественного страхования:

' Р Р 1 { т

XI \ ' '

= ^ + я,«, — (ер'-1)- 61ци1^|ерд: <к\р^_хск,

^ о л

где Рх=\-Вх\

2) модель неимущественного страхования:

Э Р {

Б, = 50 + а,-(ери1'-1)- ^ Рх_х<1х,

^ Ох

где Рх=1-Вх.

В параграфе 1.6 рассмотрена модель деятельности страховой компании с работающим капиталом. Усложнение модели по сравнению с моделью из параграфа 1.1 состоит в следующем: в дополнение к случайному изменению капитала на отрезке |/,/ + Д/] добавляется детерминированный прирост капитала равный ф5',Л/, где ср - ставка процента. В связи с этим, исследованию подлежал только процесс 5,. Приведем уравнение, определяющее математическое ожидание процесса :

Дt + o(At); при этом размер страхового

IO *

Л о

где Рх=\-Вх.

Во второй главе предлагается и исследуется портфельная модель деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов. Суть модели состоит в том, что страховая компания рассматривается как поставщик некоторого конечного набора услуг. Модель основывается на следующих процессах: N,(t) - число рисков, поступивших за время t в рамках оказания /-ой услуги, i = \,r, N, (О) = 0; £,(/) - число рисков, находящихся на обслуживании в рамках оказания /-ой услуги в момент времени t, i-\,r, к, (о) = 0; S, (?) - величина капитала компании, сформированного за счет оказания /-ой услуги, в момент времени t, / = ],/■. Далее делаются следующие предположения:

1) вероятность поступления страхового взноса на отрезке [i,/ + A/] в рамках

(

оказания /-ой услуги равна Л, + ^ ßis Ns (г)

1 i=l

взноса моделируется н.с.в. : = аи, M^f |= а2,;

2) вероятность осуществления страховой выплаты на отрезке [/,/ + Ai] в

г

рамках оказания /-ой услуги равна + о(Д/); при этом размер страхо-

Л = 1

вой выплаты моделируется н.с.в. г|,: м{г|;} = Ьи, м[г|г2|= Ь2,;

3) время обслуживания риска (время действия договора) в рамках оказания /-ой услуги начинается с момента уплаты страхового взноса и моделируется н.с.в. с функцией распределения В,(х).

В параграфах 2.2-2.4 были получены математические ожидания, дисперсии и ковариации процессов N,(t), k,(t) и S,(t). Для наглядности приведем вид математических ожиданий:

= Х + *(0)=о, k(t)=\p(t-,)dN(z),

dt О

t

s(t)=s0 + щЩ)-

о

где

(/)... Л;«)1, k(t)={k,(/) k2(t)... kr{tf, s(0=(s,(0 s2(i)... sr(t))T, M^i - ß=(ßy,/=ü,y=ü),

ц = (цу,/=1,г,у' = 1,г), Ьх = 1, Ьп, ■■■ Ь\г), ах = сШщ(ап> ап, ... а]г),

0 = (01=0 02= 0 ... ог = 0)Т, /'(х)=с11а8(1-В,(4 1 -В2(х), ... 1-йДд:)).

Отметим, что были найдены основные средние характеристики процессов: г г г

^обч (0 = *0б,„(')=IX (0. $одщ{1)=

5=1 5 = 1 5 = 1

Третья глава посвящена модели деятельности страховой компании, в которой вероятность поступления нового страхового взноса зависит от всей истории развития потока страховых взносов. Данная модель отличается от модели из параграфа 1.1 только входящим потоком страховых взносов, а именно: вероятность поступления нового страхового взноса на временном отрезке [г, л-Д/]

I

равна

А( + о(Л/), где 5>0.

о у

Для рассмотренной модели в параграфах 3.2-3.4 были получены основные средние характеристики процессов Л^, к( и Б(. Как и прежде, приведем только вид математических ожиданий:

51

где

М, = С! ек'г+ С2е*2'- —, к, = С^йх + С2к2|Р,_х ек*т А,

Р о о

' t X г т

- V С^!\с1х\рх_х е*1* (к + С2К-2\с1х\рх_х е*2* (Их ^ 0 0 0 0

Ыт-'Ь^'-т)'

с. =

к2-кД (3

В четвертой главе рассматривается модель деятельности страховой компании, которая отличается от модели из параграфа 1.1, только наличием дважды стохастического потока страховых взносов, а именно: вероятность поступления нового страхового взноса на отрезке |/,? + Д/] равна + РЛ',)Д/ + о(Д/), где X, - случайный процесс, описываемый следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

= а(р - + а^/Х^гЛ»',, а > 0, а > 0, р > Ад > 0, и1, - стандартный винеровский процесс.

В параграфах 4.3^1.5 получены математические ожидания, дисперсии и ковариации процессов М,, к, и . Математические ожидания указанных процессов имеют следующий вид:

V=-£-^L_ 1 ' Р р + сх

Va' +

£ + kz£LP'

1} + a J n + п I*

lP P + a Ло-Р

p + a

где Px=\-B.

P + a

■w«

о 0

p p + a

~dx -

p + P

P P + a >ч)-Р

P + a

\\dx\^x P,_xdx

о 0

Пятая глава посвящена определению оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании в предположениях модели из параграфа 1.1, а именно:

¿5(0.

dt

■ шах. т

Л =

При этом делается ряд уточняющих предположений:

1) величина страхового взноса равна ^ = T-U, где Т - тарифная ставка, О < Т < 1, U - страховая сумма, моделируемая н.с.в. с плотностью распределения Рц{х); между Л. и Т предполагается два типа зависимости: Я.(/') = с~кТ и

Х0 >0,к>0,0<у<1;

2) величина выплаты определяется следующим образом

[X, если X <U,

если X>U,

где сумма ущерба X является н.с.в. с плотностью распределения рх (х). В параграфе 5.2 определяются начальные моменты н.с.в. г| :

, , СО fu СО ^

6я=м(п"}= Jpî/(«)Aî \xnpx{x)dx + itn\px{x)ix ,« = 1,2,...

О V0 и

Далее в параграфах 5.3-5.5 рассматриваются три принципиально разные зависимости тарифной ставки Т от величины страховой суммы U : а) Г не зависит от U ; б) Т непрерывно зависит от U ; в) Т кусочно-постоянно зависит от U. Приведем результаты для каждой ситуации, для этого обозначим через Т* оптимальную тарифную ставку, а) Т не зависит от U :

а.1) случай экспоненциальной зависимости Я. от Т:

Т =

1с/ 1 Й? ,

—I—, если — + — <1, кс к с

1, если — + — >1; к с

а.2) случай степенной зависимости X от Т\

Т =

корень

, если — <1,

1, если — > 1, с

где с = U t^', d = ¿i|i|(l - B(t - т))^ di, Ткореиь - единственный корень уравнения

~(у + \)Ту +—уГ1"1 +1 = 0. с

б) Г непрерывно зависит от II:

6.1) случай экспоненциальной зависимости X от Т: экстремум функцио-dS{t)

нала —— может достигаться на кривои Л

т(и)=М+Ь

си к

6.2) случай степенной зависимости X от Т: экстремум функционала

dS(t) dt

может достигаться на кривои, заданной следующим уравнением

си

_(1 + у)ГУ+у«ИГУ-1+1 = 0,

где с = е"', d{u) = \i

^хрх {х)сЬс + и(х)±х |(1 - - т))еРт dx.

^о и уо

в) Т кусочно-постоянно зависит от и: в данном случае подразумевается, что для значений II задано разбиение {«,,/' = 0,1,2,...}, и на интервале \и„и1+\)

требуется определить оптимальную тарифную ставку Т*: в.1) случай экспоненциальной зависимости X от Т: и, <и<и1+ь

Т, =

1 Д 1 А ,

— + —, если — + —!- < 1, к С, к С,

1, если — + — >1; к С,

в.2) случай степенной зависимости Хот Т:

и, <и<«,+1,

Т,

/, корень»

.если — <1,

с,

1, если — > 1, С,

где С, =с |и/7[/(и)/м, й,= и)рц(й)Ли, Г,

I,корень

- единственный корень

уравнения

(у +1)7" ^ + у—Г1'-1 +1 = 0.

С,

На основе полученных результатов предлагается следующая методика определения оптимальной тарифной ставки:

1) на основе эмпирических данных находятся оценки всех параметров модели из параграфа 1.1с учетом уточняющих предположений пятой главы;

2) задается критерий, на основе которого выбирается вид зависимости параметра X от тарифной ставки Т (экспоненциальная, степенная);

3) исходя из потребностей практики, выбирается вид зависимости тарифной ставки Т от страховой суммы и (постоянная, непрерывная, кусочно-постоянная);

4) в соответствии с результатами шагов 1)-3) выбирается формула, определяющая оптимальное значение тарифной ставки.

В заключении к диссертации приведены основные результаты работы:

1. Введено понятие кумулятивного потока, для которого найдено одномерное распределение вероятностей.

2. Предложены математические модели деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков (число страховых взносов), число обслуживаемых рисков (число действующих договоров страхования), капитал компании, при этом время действия страхового договора имеет произвольную функцию распределения; для указанных компонент получены математические ожидания, дисперсии и ковариации.

3. На примере модели из параграфа 1.1 введен критерий максимального прироста средней величины капитала страховой компании и предложена методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Стохастическая модель функционирования страховой компании О. А. Змеева при наличии портфеля рисков // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 128-134.

2. Горбенко К.А. Кумулятивный поток // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 88-95.

3. Горбенко К.А. Стохастическая модель функционирования страховой компании с кумулятивной интенсивностью входящего потока и независимым временем обслуживания клиента с произвольной функцией распределения // Вестник Томского государственного университета. Прил. 2006. Август. - № 18. -С. 290-291.

4. Горбенко К.А. Средние характеристики интегрального кумулятивного потока // Вестник Томского государственного университета. Прил. 2006. Декабрь.-№ 19.-С. 145-148.

5. Горбенко К.А. Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2008. - № 1. - С. 40-49.

6. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Определение оптимальной тарифной ставки в модели функционирования страховой компании O.A. Змеева // Теоретическая и прикладная информатика. - Томск, 2004. - Вып. 1. - С. 3-12.

7. Горбенко К.А. Средние характеристики дважды стохастического кумулятивного потока // Перспективы развития фундаментальных наук: Тр. III Международной конф. студентов и молодых ученых. Томск, 16-19 мая 2006 г. - Томск, 2006. -С. 146-148.

8. Горбенко К.А. Средние характеристики конечной совокупности взаимосвязанных кумулятивных СМО с рекуррентным обслуживанием // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006): Материалы V Международной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 10-11 ноября 2006 г. - Томск, 2006. - Ч. 1. - С. 105-106.

9. Горбенко К.А. Многоканальная СМО с рекуррентным обслуживанием и неординарным кумулятивным потоком: средние характеристики процесса изменения количества обрабатываемых заявок // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 2. - С. 285-286.

Ю.Горбенко К.А. Модель страховой компании с интегральным кумулятивным потоком страховых взносов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2007): Материалы VI Международной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 9-10 ноября 2007 г. - Томск, 2007. - Ч. 2. -С. 108-111.

11. Горбенко К.А. Определение оптимальной тарифной ставки в модели страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2007): Материалы VI Меж-

дународной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 9-10 ноября 2007 г. -Томск, 2007,-4.2.-С. 111-113.

12. Горбенко К.А. Немарковская кумулятивная модель неимущественного страхования // Экономический инновационный бизнес-форум. Иммпульс-2007: Тр. Региональной научно-практической конференции студентов, молодых ученых и предпринимателей. Томск, 23 ноября 2007 г. - Томск, 2007. - С. 59-60.

13. Горбенко К.А. Модель страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов и работающим капиталом // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии: Сб. статей VII Международной научно-технической конф. Пенза, декабрь 2007 г. - Пенза, 2007. - Ч. 1.-С. 71-72.

14. Горбенко К.А. Модель страховой компании с дважды стохастическим кумулятивным потоком страховых взносов // Математика. Компьютер. Образование: Сб. тезисов VX Международной конф. Дубна, 28 января - 02 февраля 2008 г. -Ижевск, 2008.-С. 244.

15.Горбенко К.А. Портфельная модель страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов // Тезисы докладов Седьмой Всероссийской конф. по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 29 февраля - 02 марта 2008 г. - Красноярск, 2008. - С. 30.

16. Горбенко К.А. Модель имущественного страхования с кумулятивным потоком страховых взносов // Научное творчество молодежи: Материалы XII Всероссийской научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 18-19 апреля 2008 г. -Томск. 2008,-Ч. 1.-С. 17-19.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ КУМУЛЯТИВНОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ

1.1 Модель страховой компании.

1.2 Характеристики процесса изменения числа поступивших рисков.

1.2.1 Одномерное распределение вероятностей.

1.2.2 Распределения вероятностей значений длин интервалов между двумя соседними моментами поступления рисков.

1.2.3 Условная интенсивность.

1.2.4 Математическое ожидание.

1.2.5 Безусловная интенсивность.

1.2.6 Дисперсия.

1.2.7 Ковариация.

1.2.8 Мода.

1.3 Средние характеристики процесса изменения числа обслуживаемых рисков.

1.3.1 Метод просеянного потока.

1.3.2 Изучение свойств процесса изменения числа просеянных рисков

1.3.3 Математическое ожидание.

1.3.4 Дисперсия.

1.3.5 Ковариация.

1.4 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

1.4.1 Математическое ожидание.

1.4.2 Дисперсия.

1.4.3 Ковариация.

1.5 Исследование моделей имущественного и неимущественного страхования.

1.5.1 Модели видов страхования.

1.5.2 Средние характеристики процесса изменения числа поступивших страхователей.

1.5.2.1 Математическое ожидание.

1.5.2.2 Дисперсия.

1.5.2.3 Ковариация.

1.5.3 Средние характеристики процесса изменения числа застрахованных рисков.

1.5.3.1 Математическое ожидание.

1.5.3.2 Дисперсия.

1.5.3.3 Ковариация.

1.5.4 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

1.5.4.1 Математическое ожидание.

1.5.4.2 Дисперсия.

1.5.4.3 Ковариация.

1.6 Модель страховой компании с работающим капиталом.

1.6.1 Модель страховой компании.

1.6.2 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

1.6.2.1 Математическое ожидание.

1.6.2.2 Дисперсия.

1.6.2.3 Ковариация.

1.7 Резюме.

ГЛАВА 2. ПОРТФЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

ПРИ КУМУЛЯТИВНОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ

2.1 Модель страховой компании.

2.2 Средние характеристики процесса изменения числа поступивших рисков.

2.2.1 Математическое ожидание.

2.2.2 Дисперсия.

2.2.3 Ковариация.

2.3 Средние характеристики процесса изменения числа обслуживаемых рисков.

2.3.1 Метод просеянного потока.

2.3.2 Математическое ожидание.

2.3.3 Дисперсия.

2.3.4 Ковариация.

2.4 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

2.4.1 Математическое ожидание.

2.4.2 Дисперсия.

2.4.3 Ковариация.

2.5 Резюме.

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНОМ КУМУЛЯТИВНОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ

3.1 Модель страховой компании.

3.2 Средние характеристики процесса изменения числа поступивших рисков.

3.2.1 Математическое ожидание.

3.2.2 Дисперсия.

3.2.3 Ковариация.

3.3 Средние характеристики процесса изменения числа обслуживаемых рисков.

3.3.1 Метод просеянного потока.

3.3.2 Математическое ожидание.

3.3.3 Дисперсия.

3.3.4 Ковариация.

3.4 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

3.4.1 Математическое ожидание.

3.4.2 Дисперсия.

3.4.3 Ковариация.

3.5 Резюме.

ГЛАВА 4. МОДЕЛЬ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ КУМУЛЯТИВНОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ

4.1 Модель страховой компании.

4.2 Средние характеристики управляющего процесса.

4.2.1 Математическое ожидание.

4.2.2 Дисперсия.

4.2.3 Ковариация.

4.3 Средние характеристики процесса изменения числа поступивших рисков.

4.3.1 Математическое ожидание.

4.3.2 Дисперсия.

4.3.3 Ковариация.

4.4 Средние характеристики процесса изменения числа обслуживаемых рисков.

4.4.1 Метод просеянного потока.

4.4.2 Математическое ожидание.

4.4.3 Дисперсия.

4.4.4 Ковариация.

4.5 Средние характеристики процесса изменения величины капитала компании.

4.5.1 Математическое ожидание.

4.5.2 Дисперсия.

4.5.3 Ковариация.

4.6 Резюме.

ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ТАРИФНОЙ СТАВКИ

5.1 Постановка задачи.

5.2 Нахождение начальных моментов взносов и выплат.

5.3 Нахождение оптимальной тарифной ставки, независящей от величины страховой суммы.

5.4 Нахождение оптимальной тарифной ставки, непрерывно зависящей от величины страховой суммы.

5.5 Нахождение оптимальной тарифной ставки, кусочно-постоянно зависящей от величины страховой суммы.

5.6 Методика определения оптимальной тарифной ставки.

5.7 Резюме.

Актуальность работы. Проблема прогнозирования будущего состояния финансов страховой компании существовала и существует в настоящее время. В связи с этим, любой страховщик стремится выбрать адекватную модель функционирования своей компании, и на основе уже выбранной модели решать различные задачи, например: прогнозирование средней величины капитала компании и числа обслуживаемых рисков, определение в некотором смысле оптимальных тарифных ставок. При этом существуют два принципиально разных подхода повышения адекватности модели: первый из них - построение более качественных оценок входных параметров модели, второй - включение в модель параметров, отвечающих за воздействие того или иного фактора и удовлетворяющих наиболее общим ограничениям.

В связи со сказанным можно отметить, что разработка и исследование моделей, учитывающих как новые факторы, так и прежние, но с более общими ограничениями, являются актуальными.

Состояние проблемы. Первые исследования по тематике диссертационной работы были начаты Ф. Лундбергом (1903), далее получили строгое математическое оформление в работах Г. Крамера (1955) и развиты Е. Спарре-Андерсеном (1957). В результате этими авторами была разработана и изучена классическая модель поведения капитала страховой компании , которая в научной литературе [4, 7, 55, 63, 69, 78, 88, 107, 111-114] получила название модели Лундберга-Крамера-Андерсена и построена на следующих предположениях:

1) величина капитала компании в момент времени 0 равна ¿>о;

2) величина страховых взносов за период времени t равна с/, где с - интенсивность поступления страховых взносов в единицу времени, является детерминированной величиной;

3) между моментом наступления страхового события и моментом осуществления страховой выплаты нет временного разрыва;

4) моменты наступления страховых событий образуют простейший пуас-соновский поток, число наступивших страховых событий на временном отрезке [О,/] обозначим N(1

5) размеры страховых выплат г)г- (/ = 1, Л^ ) являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами.

В настоящее время существуют различные усложнения классической модели. Прежде всего, это введение в рассмотрение расходов на рекламу и инвестирование части капитала [62].

Далее, это рассмотрение потока моментов поступления страховых взносов в виде простейшего пуассоновского потока [42].

Другое направление связано с рассмотрением нестационарных потоков рисков, интенсивности которых зависят от величины капитала или от числа застрахованных рисков [2, 42, 54, 61, 74, 91], либо вообще являются случайными величинами [42, 49].

Отдельно следует выделить направление, связанное с моделированием деятельности некоммерческого фонда [75-77], пенсионного фонда [19-24] и фонда социального страхования [10-13, 51, 52, 64-66].

Помимо рассмотренного подхода, в основе которого лежит классическая модель, существует направление, связанное с построением моделей страховых компаний в виде систем регрессионных уравнений [67, 72, 86, 93]. В данном случае, на основе эмпирических данных выбираются результирующие и определяющие признаки и виды зависимостей между ними

Следует заметить, что помимо рассмотрения различных подходов моделирования деятельности страховой компании, существуют такие направления, как определение величины тарифных ставок в имущественном [57, 58, 85, 104, 109] и личном [95, 102] страховании, решение задач перестрахования [8, 25, 47, 48, 106], рассмотрение конкурентного взаимодействия страховых компаний [53, 60, 80].

В данной диссертационной работе автором предпринята попытка построения модели функционирования страховой компании в виде системы массового обслуживания с входящим кумулятивным потоком страховых взносов и рекуррентным временем действия договора страхования.

Цель работы заключается в построении класса математических моделей деятельности страховой компании и построении методики управления капиталом компании.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Предложить математические модели деятельности страховой компании в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков, число обслуживаемых рисков, капитал компании, и для указанных компонент определить математические ожидания, дисперсии и ковариации.

2. Задать критерий определения оптимальной тарифной ставки и в рамках указанного критерия определить оптимальное значение тарифной ставки.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального, интегрального и вариационного исчислений.

Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:

1. Предложена модель кумулятивного потока страховых взносов, отличающегося от известных тем, что условная вероятность поступления страхового взноса линейно зависит от числа уже поступивших взносов, что позволяет более точно прогнозировать объем поступления денежных средств.

2. Предложены математические модели деятельности страховой компании, отличающиеся от известных моделей тем, что представляются в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков (число страховых взносов), число обслуживаемых рисков (число действующих договоров страхования), капитал компании, при этом время действия страхового договора имеет произвольную функцию распределения, что в совокупности позволяет достичь более точного прогнозирования значения величины капитала страховой компании; для указанных компонент получены математические ожидания, дисперсии и ковариации.

3. Предложена методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании

Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в ней математические модели строятся на основе процесса изменения числа поступивших рисков, процесса изменения числа обслуживаемых рисков, процесса изменения величины капитала компании и могут быть обобщены путем включения дополнительных факторов, влияющих на поведение величины капитала.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные в ней результаты могут быть полезны при прогнозировании величины капитала страховой компании и определении тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании.

Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использованием методов теории вероятностей и случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального, интегрального и вариационного исчислений.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Одномерное распределение вероятностей кумулятивного потока страховых взносов.

2. Четыре математические модели функционирования страховой компании: модель страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов, портфельная модель страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов, модель страховой компании при интегральном кумулятивном потоке страховых взносов, модель страховой компании при дважды стохастическом кумулятивном потоке страховых взносов.

3. Методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

Краткое изложение содержания работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена математической модели деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов. Данная модель включает в себя следующие процессы: - число поступивших рисков за время длительности I, Л^о = 0; к( - число обслуживаемых рисков в момент времени £, = 0; величина капитала компании в момент времени Далее делаются следующие предположения:

1) вероятность поступления нового страхового взноса на временном отрезке + равна (X, + + о(Д^), при этом размер страхового взноса моделируется независимой случайной величиной (н.с.в.) с известными первыми начальными моментами = а\ и а2;

2) вероятность осуществления страховой выплаты на временном отрезке / + Д,] равна [хк1А( + о(Д/), при этом размер страховой выплаты моделируется н.с.в. "п: М{т|} = Ь\ и м{п2}=62;

3) время обслуживания риска (время действия договора) начинается с момента уплаты страхового взноса и моделируется н.с.в. с произвольной функцией распределения Вх.

В параграфе 1.2 найдены основные характеристики процесса Л^:

1) одномерное распределение вероятностей

Я-1/л Л

2) математическое ожидание, дисперсия и ковариация, соответственно, Р

В параграфе 1.3 найдены основные средние характеристики к1: где

I 11 к( = еРт Л, } = 2р|р/тС„дг {х|/}</х + А.]>,х еРт Л, о оо 2 соуК ,к,2 }= С^ {/, | /2 } + РС^ {г, | ^ })Р(2 хсЬс,

О* Я 7*}= Р^-Ллг {х| г}^ + $]РТ-хСпЫ {*| 1}ск + х]рт^х ер* сЬс, ООО

В параграфе 1.4 найдены математическое ожидание, дисперсия и ковариация процесса :

Ох = {х}</х - 2^¡Сп8 {т|т)Л + а2 НР'-1)+ ер* сЬс\Рх^т,

0 0 ^ Ох V

2 '2 '2 I{г, | X+ рСлк {г,}/

ЧМ где = РСл» й - Ъх{ф} + ахХе2{3/, {о} = 0, ш г

СпЯ Я {х}Р7тЛ + {т| 7>

1 1

- {х| 7> + ерт Л.

В параграфе 1.5 введены в рассмотрение модели имущественного и неимущественного страхования, суть которых в уточнении понятия риска, т.е. вводятся понятия страхователя и объекта страхования. Для модели имущественного страхования моменты поступления страхователей, как и прежде, образуют кумулятивный поток, но страховая компания фиксирует v (v > 1) объектов страхования, например, пришел клиент, желающий застраховать три машины, в этом случае процесс Л^ увеличится на 1, а процесс к{ на v = 3. В модели неимущественного страхования в качестве объекта страхования выступает застрахованное лицо, поясним данную модель на примере: пришел клиент, желающий застраховать себя и двух своих родственников от несчастного случая, в этой ситуации и процесс Л^ и процесс к1 увеличатся на v = 3.

Для данных моделей получены основные средние характеристики процессов Л^, к{ и в предположении что v является н.с.в.: М{у} = г/] и м|у2 • Приведем результаты относительно математических ожиданий: 1) модель имущественного страхования:

3 Р о Р Р о где Рх = 1 - В

X •

В параграфе 1.6 рассмотрена модель деятельности страховой компании с работающим капиталом. Усложнение модели по сравнению с моделью из параграфа 1.1 состоит в следующем: в дополнение к случайному изменению капитала на отрезке ^ + А/1] добавляется детерминированный прирост капитала равный ср^Л?, где ср - ставка процента. В связи с этим, исследованию подлежал только процесс Я,. Приведем уравнение, определяющее математическое ожидание процесса :

1 = ср5, + - ЬУ\1ЦР(Х ерт с1х, = £0, О где Рх = 1 - Вх.

Во второй главе предлагается и исследуется портфельная модель деятельности страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов. Суть модели состоит в том, что страховая компания рассматривается как поставщик некоторого конечного набора услуг. Модель основывается на следующих процессах: - число рисков, поступивших за время / в рамках оказания /-ой услуги, = 1 ,г, Л^(0)=0; — число рисков, находящихся на обслуживании в рамках оказания /-ой услуги в момент времени / = 1, г, к^ (о) = 0; ^ - величина капитала компании, сформированного за счет оказания /-ой услуги, в момент времени / = 1,/'. Далее делаются следующие предположения:

1) вероятность поступления страхового взноса на отрезке [/, / + А?] в рамках г 1 оказания /-ой услуги равна А,/ + ^ Рду^у М А* + ; при этом размер страхового

V у взноса моделируется н.с.в. : } = , М^? ]= а2;;

2) вероятность осуществления страховой выплаты на отрезке [/, I + А/1] в г рамках оказания /-ой услуги равна + я (А?); при этом размер страхо

5 = 1 вой выплаты моделируется н.с.в. г|г-: М^-} = Ь^, М|т|? |= ¿>2/;

3) время обслуживания риска (время действия договора) в рамках оказания /-ой услуги начинается с момента уплаты страхового взноса и моделируется н.с.в. с функцией распределения ^(х).

В параграфах 2.2-2.4 были получены математические ожидания, дисперсии и ковариации процессов к^) и Для наглядности приведем вид математических ожиданий: Л о где Л^) . *(0 = (*1(0 ¿2« . кМТ, 5(0(0 52(0. 5-г(0)т» М^ . М%> 1=й,у=V), = Ь] =&\щ(ьи, Ьп, . ЬХг), щ = <Ца§(ап, <я12, . а1г), о = (ох =0 о2= 0 . =0)Т, Р(х)=сИае(1-В1(х), 1-Я2(х), . 1 -Вг(х)).

Отметим, что были найдены основные средние характеристики процессов: г г г иобщ (0=X ^ (0' кобЩ (0=Xк* (')» ^ (0=X ^ (0 •

Л = 1 Л = 1 Л' = 1

Третья глава посвящена модели страховой компании, в которой вероятность поступления нового страхового взноса зависит от всей истории развития потока страховых взносов. Данная модель отличается от модели из параграфа 1.1 только входящим потоком страховых взносов, а именно: вероятность поступления нового страхового взноса на временном отрезке [V, / + равна I

Я + Р^е"5^1"^! Д/ + о(Д*),где 5>0.

Для рассмотренной модели в параграфах 3.2-3.4 были получены основные средние характеристики процессов Л^, к( и . Как и прежде, приведем только вид математических ожиданий:

N. = С, ек1'+ С2 ек^- у Д, = Цк, ]>,т ек>т <Н + С2к2 |/>,т ек^ йх, + ¿7] х О о 6Х

Р, х еК|Л: ¿¿с + С2к2|с/т|Рхх е*2* еЬ где

С, =

О о к2 - к]

25 13

-1 о о X

С2=

К2 - К! р I к, =

- 5 + д/б2 + 4(3 -5-У52+4р

-' к2 =-1-» 'х =[~вх

2 ^ 2 В четвертой главе рассматривается модель страховой компании, которая отличается от модели из параграфа 1.1, только наличием дважды стохастического потока страховых взносов, а именно: вероятность поступления нового страхового взноса на отрезке + равна (Х{ +РЛ^)Л/' + о(Д/1), где Х{ - случайный процесс, описываемый следующим стохастическим дифференциальным уравнением: сГк1 = а(р - Х{ + СТд/А^/и^, а>0, а > 0, р > > 0, IV, - стандартный винеровский процесс.

В параграфах 4.3-4.5 получены математические ожидания, дисперсии и ковариации процессов Л^, кг и Математические ожидания указанных процессов имеют следующий вид:

N = Р ^о ~~ Рс~а/ I (р , ^О'РУр^

Р (3 + а

3 (3 + а к =а^РГе-<« р тс1% + ' (3 + а-1 50 + ах

Р + сх Я а^фт}

Р | ГР , ~Р р (3 + а [р р + а о -РУГ

У У р + а е ахРххс1х + Г

0 О о о где Рх =1-Вх.

Пятая глава посвящена определению оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала компании в предположениях модели из параграфа 1.1, а именно: Ж шах. т

При этом делается ряд уточняющих предположений:

1) величина страхового взноса равна Ъ, = Т -II, где Т — тарифная ставка, 0 < Т < 1, и — страховая сумма, моделируемая н.с.в. с плотностью распределения Ри(х); между 1 и Г предполагается два типа зависимости: А,(г) = Я-де~КТ и

Х{т)=10\}-ту),ще ^о > 0, к > 0,0 < у < 1;

2) величина выплаты определяется следующим образом

Х, если X < II, и, если X >11, где сумма ущерба X является н.с.в. с плотностью распределения рх (*) • В параграфе 5.2 определяются начальные моменты н.с.в. г|: и 00 ^ Л

ОО

Ъп = м|п" |= |ри(и)с1и рх{х)сЬ + ип |рх (х)сЬс

О 40 и

Далее в параграфах 5.3-5.5 рассматриваются три принципиально разные зависимости тарифной ставки Гот величины страховой суммы V: а) Т не зависит от и; б) Т непрерывно зависит от и; в) Т кусочно-постоянно зависит от и. Приведем результаты для каждой ситуации, для этого обозначим через Т оптимальную тарифную ставку, а) Т не зависит от V: а.1) случай экспоненциальной зависимости А, от Г:

18 *

Т =

1 а 1 а л + —, если — н— <1, к с к с

1, если —I- — > 1; к с а.2) случай степенной зависимости X от Т :

Т = г * „л

Ткорень» если

1, если — >1, с где с = 17 еР/, <3 - - т)ерт с/т, Ткорень - единственный корень уравнения нала

-(у + 1)Гу+—уГ^-1 +1 = 0. с б) Т непрерывно зависит от и:

6.1) случай экспоненциальной зависимости А- от Г: экстремум функцио-¿й?(0 аг может достигаться на кривои си к

6.2) случай степенной зависимости А, от Т : экстремум функционала может достигаться на кривой, заданной следующим уравнением си

5(0 аг

Си 00 Л/ где с = ер', а(и)=\и |д:рх{х)ах + и^рх{х)ах - т)ерх с?т, и /0 в) Т кусочно-постоянно зависит от и: в данном случае подразумевается, что для значений и задано разбиение , / = 0,1,2,.}, и на интервале [и,-, ) требует* ся определить оптимальную тарифную ставку 7} : в.1) случай экспоненциальной зависимости А, от Т: и1<и< м/+1,

Тг =

1 01 1 £>• 1 — + —, если — + — < 1, к С1 к С/

1 А^

1, если — + — > 1: к С; в.2) случай степенной зависимости А, от Г:

Ы1<Ы< М/+],

7;- =

Г/. корень

А , если —£- < 1,

С/

1, если — > 1,

С/

И/+1 мН-1 где С,- = с (и)е/и, Д = Т^корень - единственный корень уравнения

- (у + 1)ГУ + у^-Г7-1 +1 = 0.

На основе полученных результатов предлагается следующая методика определения оптимальной тарифной ставки:

1) на основе эмпирических данных находятся оценки всех параметров модели из параграфа 1.1с учетом уточняющих предположений пятой главы;

2) задается критерий, на основе которого выбирается тип зависимости параметра А, от тарифной ставки Т - экспоненциальная или степенная;

3) исходя из потребностей практики, выбирается вид зависимости тарифной ставки Т от страховой суммы и (постоянная, непрерывная, кусочно-постоянная);

4) в соответствии с результатами шагов 1)-3) выбирается формула, определяющая оптимальное значение тарифной ставки.

В заключении к диссертации приведены основные результаты работы:

1. Введено понятие кумулятивного потока, для которого найдено одномерное распределение вероятностей.

2. Предложены математические модели страховой компании при кумулятивном потоке страховых взносов в виде трехмерных процессов, компонентами которых являются число поступивших рисков (число страховых взносов), число обслуживаемых рисков (число действующих договоров страхования), капитал компании, при этом время действия страхового договора имеет произвольную функцию распределения; для указанных компонент получены математические ожидания, дисперсии и ковариации.

На примере модели из параграфа 1.1 введен критерий максимального прироста средней величины капитала страховой компании и предложена методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. Третья Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2006 г.

2. Шестая Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Шушенское, 2006 г.

3. Пятая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2006 г.

4. Восьмой Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Адлер, 2007 г.

5. Седьмая Международная научно-техническая конференция «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии». Пенза, 2007 г.

6. Шестая Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2007 г.

7. Региональная научно-практическая конференция студентов, молодых ученых и предпринимателей Сибирского региона «Иммпульс-2007». Томск, 2007 г.

8. Пятнадцатая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2008 г.

9. Седьмая Всероссийская конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы». Красноярск, 2008 г.

10. Двенадцатая Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск, 2008 г.

Публикации по работе. Результаты работы опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:

1. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Стохастическая модель функционирования страховой компании О. А. Змеева при наличии портфеля рисков // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 128-134.

2. Горбенко К.А. Кумулятивный поток // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 88-95.

3. Горбенко К.А. Стохастическая модель функционирования страховой компании с кумулятивной интенсивностью входящего потока и независимым временем обслуживания клиента с произвольной функцией распределения // Вестник Томского государственного университета. Прил. 2006. Август. — № 18. -С. 290-291.

4. Горбенко К.А. Средние характеристики интегрального кумулятивного потока // Вестник Томского государственного университета. Прил. 2006. Декабрь. - № 19. - С. 145-148.

5. Горбенко К.А. Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2008. — № 1. — С. 40-49.

6. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Определение оптимальной тарифной ставки в модели функционирования страховой компании О.А. Змеева // Теоретическая и прикладная информатика. - Томск, 2004. - Вып. 1. - С. 3-12.

7. Горбенко К.А. Средние характеристики дважды стохастического кумулятивного потока // Перспективы развития фундаментальных наук: Тр. III Международной конф. студентов и молодых ученых. Томск, 16-19 мая 2006 г. - Томск, 2006. -С. 146-148.

8. Горбенко К.А. Средние характеристики конечной совокупности взаимосвязанных кумулятивных СМО с рекуррентным обслуживанием // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006): Материалы V Международной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 10-11 ноября 2006 г.-Томск, 2006.-Ч. 1.-С. 105-106.

9. Горбенко К.А. Многоканальная СМО с рекуррентным обслуживанием и неординарным кумулятивным потоком: средние характеристики процесса изменения количества обрабатываемых заявок // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 2. - С. 285-286.

Ю.Горбенко К.А. Модель страховой компании с интегральным кумулятивным потоком страховых взносов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2007): Материалы VI Международной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 9-10 ноября 2007 г. - Томск, 2007. - Ч. 2. -С. 108-111.

11. Горбенко К.А. Определение оптимальной тарифной ставки в модели страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2007): Материалы VI Международной научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 9-10 ноября 2007 г. -Томск, 2007. - Ч. 2. - С. 111-113.

12. Горбенко К.А. Немарковская кумулятивная модель неимущественного страхования // Экономический инновационный бизнес-форум. Иммпульс-2007:

Тр. Региональной научно-практической конференции студентов, молодых ученых и предпринимателей. Томск, 23 ноября 2007 г. - Томск, 2007. — С. 59-60.

13. Горбенко К.А. Модель страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов и работающим капиталом // Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии: Сб. статей VII Международной научно-технической конф. Пенза, декабрь 2007 г. - Пенза, 2007. - Ч. 1.-С. 71-72.

14. Горбенко К.А. Модель страховой компании с дважды стохастическим кумулятивным потоком страховых взносов // Математика. Компьютер. Образование: Сб. тезисов УХ Международной конф. Дубна, 28 января — 02 февраля 2008 г. -Ижевск, 2008. - С. 244.

15. Горбенко К.А. Портфельная модель страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов // Тезисы докладов Седьмой Всероссийской конф. по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 29 февраля - 02 марта 2008 г. - Красноярск, 2008. - С. 30.

16. Горбенко К.А. Модель имущественного страхования с кумулятивным потоком страховых взносов // Научное творчество молодежи: Материалы XII Всероссийской научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 18-19 апреля 2008 г. -Томск, 2008. - 4.1. - С. 17-19.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В приведенной работе введено понятие кумулятивного потока, для которого найдено одномерное распределение вероятностей, и рассмотрены четыре математические модели деятельности страховой компании, на примере одной из них была изложена методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

Первая модель - это модель страховой компании с кумулятивным потоком страховых взносов в виде бесконечнолинейной системы массового обслуживания, у которой время обслуживания риска (время действия договора) является рекуррентным. На базе этой модели при соответствующих предположениях предлагаются и рассматриваются еще три модели: модель имущественного страхования, модель неимущественного страхования, модель компании с работающим капиталом.

Вторая модель обобщает первую путем представления страховщика в виде поставщика некоторого конечного набора услуг, что с точки зрения математики представляет собой конечную совокупность бесконечнолинейных систем массового обслуживания, связанных между собой условными интенсивностями входящих потоков рисков (страховых взносов).

Третья модель снимает предположение марковости входящего потока страховых взносов в первой главе и предполагает входящий поток, у которого условная интенсивность зависит от поведения потока на некотором временном интервале.

В четвертой модели предполагается, что интенсивность входящего потока страховых взносов является случайной при неизменности остальных предположений первой модели.

Для всех вышеуказанных моделей были найдены математические ожидания, дисперсии и ковариации процесса изменения числа поступивших рисков

ОТ,, процесса изменения числа обслуживаемых рисков к,, процесса изменения величины капитала компании .

В пятой главе вводятся понятие страховой ставки и критерий максимального прироста средней величины капитала, а также предлагается уточнение первой модели относительно правила определения величины страховых выплат. Рассматриваются разные виды зависимости между тарифной ставкой и страховой суммой (постоянная, непрерывная, кусочно-непрерывная), между условной интенсивностью и тарифной ставкой (экспоненциальная, степенная). Для каждого вида зависимости определены либо значение оптимальной тарифной ставки, либо необходимое условие, которому она должна удовлетворять. В завершении главы, приводится методика определения оптимальной тарифной ставки, обеспечивающей максимальный прирост средней величины капитала страховой компании.

1. Российская Федерация. Законы. Об организации страхового дела в Российской Федерации : федер. закон. - 3-е изд. -М.: Ось-89,2005. - 48 с.

2. Ахмедова Д.Д. Математические модели страховых компаний с нестационарным потоком входящих рисков и при наличии рекламы : дис. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 2002. - 146 с.

3. Балабанов И. Т., Балабанов А.И. Страхование. СПб. : Питер, 2003. -256 с.

4. Бойков A.B. Пример зависимых процессов премий и риска в модели Крамера-Лундберга // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. Т. 14, вып. 1. - С. 72-73.

5. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 288 с.

6. Бронштейн Е.М. Страховые премии и функция спроса // Страховое дело. -2004.-№8. -С. 15-20.

7. Бронштейн Е.М., Гунченко К.Г. Статистическое моделирование процесса разорения страховой компании // Страховое дело. 2006. - №2. - С. 60-64.

8. Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9, вып. 2. - С. 345.

9. Бухгалтерский учет: учебник / A.C. Бакаев, П.С. Безруких, Н.Д. Вруб-левский и др.. 4-е изд. - М. : Бухгалтерский учет, 2002. - 719 с.

10. Вальц О.В., Змеев O.A. Диффузионная аппроксимация модели Фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капиталом // Изв. высших учебных заведений. Физика. 2004. - Т. 47, № 2. - С. 26-31.

11. Вальц О.В., Змеев O.A. Исследование модели фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. Т. 12, вып. 2. - С. 320.

12. Вальц О.В. Функциональная и математическая модели деятельности фонда социального страхования : дис. . канд. техн. наук. Анжеро-Судженск, 2006.- 155 с.

13. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для втузов. 2-е изд. -М. : Высш. шк., 2000. - 480 с.

14. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов. 2-е изд. - М. : Высш. шк., 2000.-383 с.

15. Вероятностные разделы математики : учеб. пособие / H.H. Амосова, Б.А. Куклин С.Б. Макарова и др.. СПб. : Иван Федоров, 2001. - 588 с.

16. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / гл. ред. Ю.В. Прохоров. -М. : Большая Российская энциклопедия, 1999. 910 с.

17. Виноградов О.П. Неоднородный процесс риска // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. Т. 9, вып. 2. — С. 349.

18. Гарайшина И.Р. Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала Пенсионного фонда при нестационарном входящем потоке // Вест. Томского гос. ун-та. Математика. Кибернетика. Информатика. 2004. - № 284.-С. 46-48.

19. Гарайшина И.Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования : дис. . канд. физ.-мат. наук. — Томск, 2005. 148 с.

20. Голубев С.Д., Черная Л.А., Шарафутдинова Н.Е. Оптимизация состава страхового портфеля с учетом платы за перестраховочные услуги в условиях пуассоновского распределения числа страховых событий // Страховое дело. -2005.-№4.-С. 45-51.

21. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Определение оптимальной тарифной ставки в модели функционирования страховой компании O.A. Змеева // Теоретическая и прикладная информатика. Томск, 2004. - Вып. 1. - С. 3-12.

22. Горбенко К.А. Средние характеристики дважды стохастического кумулятивного потока // Перспективы развития фундаментальных наук: Тр. III Международной конф. студентов и молодых ученых. Томск, 16-19 мая 2006 г. -Томск, 2006. С. 146-148.

23. Горбенко К.А., Терпугов А.Ф. Стохастическая модель функционирования страховой компании О. А. Змеева при наличии портфеля рисков // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. - № 290. - С. 128-134.

24. Горбенко К.А. Кумулятивный поток // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. -№ 293. - С. 88-95.

25. Горбенко К.А. Средние характеристики интегрального кумулятивного потока // Вест. Томского гос. ун-та. Прил. 2006. Декабрь. № 19. - С. 145-148.

26. Горбенко К.А. Модель страховой компании с дважды стохастическим кумулятивным потоком страховых взносов // Математика. Компьютер. Образование: Сб. тезисов VX Международной конф. Дубна, 28 января 02 февраля 2008 г. -Ижевск, 2008. - С. 244-244.

27. Горбенко К.А. Модель имущественного страхования с кумулятивным потоком страховых взносов // Научное творчество молодежи: Материалы XII Всероссийской научно-практической конф. Анжеро-Судженск, 18-19 апреля 2008 г. -Томск, 2008. Ч. 1. - С. 17-19.

28. Горбенко К.А. Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования // Вест. Томского гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. - № 1. - С. 40-49.

29. Глухова Е.В., Змеев O.A., Лившиц К.И. Математические модели страхования. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.

30. Глухова Е.В., Фомин A.A. Оптимизация деятельности страховой компании при нестационарном потоке страховых случаев // Обработка данных и управление в сложных. — Томск, 2005. — Вып. 7. С. 81—91.

31. Глухова Е.В., Фомин A.A. Оптимизация деятельности страховой компании при периодическом потоке страховых выплат // Вест. Томского гос. ун-та. -2006. № 290. - С. 124-127.

32. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 2-е изд. - М. : Наука, 1987. - 336 с.

33. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей : учеб. пособие. М. : Наука, 1988.-448 с.

34. Григорьев Ю.Д., Jle Динь Шон О комонотонных рисках в договорах перестрахования с двумя уровнями удержаний // Вест. Томского гос. ун-та. -2006.-№290.-С. 135-140.

35. Григорьев Ю.Д., Ле Динь Шон О минимизации вероятности разорения при эксцедентном перестраховании // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 6.-С. 116-133.

36. Даммер Д.Д. Исследование математической модели страховой компании в виде бесконечно линейной системы массового обслуживания при синхронном дважды стохастическом входящем потоке рисков // Вест. Томского гос. ун-та. -2006.-№290.-С. 141-144.

37. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие. 13-е изд. - М. : Изд-во Моск. Ун-та, ЧеРо, 1997. - 624 с.

38. Змеев O.A. Деятельность фонда социального страхования при релейно-гистерезисном управлении капиталом // Математическое моделирование. 2004. -Т. 16, №2.-С. 43-53.

39. Змеев O.A., Масяйкин С.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии трех страховых компаний // Теоретическая и прикладная информатика. Томск, 2004. — Вып. 1. - С. 27-37.

40. Змеев O.A. Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков : дис. . д-ра физ.-мат. наук. -Томск, 2005.-354 с.

41. Иванова H.JL, Хохлов Ю.С. Многомерная модель коллективного риска // Вест. Московского гос. ун-та. Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. 2005. - № 3. - С. 35-43.

42. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра : учеб. пособие для вузов. -4-е изд. М. : Наука. Физматлит, 1999. - 296 с.

43. Калашникова Т.В. Определение оптимальной тарифной ставки при имущественном страховании // Обработка и управление в сложных системах. — Томск, 2004. Вып. 6. - С. 88-94.

44. Калашникова Т.В. Использование актуарных расчетов в обязательном страховании автогражданской ответственности // Вест. Томского гос. ун-та. Прил. 2006. Декабрь. № 19. - С. 283-287.

45. Кац В.М., Лившиц К.И. О конкурентном взаимодействии двух страховых компаний на ограниченном страховом рынке // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9, вып. 2. — С. 389.

46. Кац Е.В. Исследование математических моделей страхования при нестационарных потоках страховых премий с интенсивностью, зависящей от капитала : дис. канд. физ.-мат. наук. — Томск, 2003. 129 с.

47. Кац В.М. Моделирование работы страховой компании с учетом расходов на рекламу в рамках классической модели // Изв. Томского политехнического ун-та. 2007. - Т. 311, № 6. - С. 16-18.

48. Кашаев Т.Р., Королев В.Ю. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска при возможности больших выплат // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, вып. 1. - С. 51-66.

49. Китаева A.B. Оптимизация деятельности фонда социального страхования // Обработка данных и управление в сложных. Томск, 2005. - Вып. 7. - С. 131-133.

50. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. - № 290. - С. 167-168.

51. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Модель фонда социального страхования при релейном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах по социальным программам // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. - № 293.-С. 35-37.

52. Ковалев О.Н. Моделирование финансовой деятельности страховой компании : дис. канд. экон. наук. М., 2000. - 169 с.

53. Кокс Дж. Р. Теория очередей. М. : Мир, 1984. - 184 с.

54. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С .Я. Математические основы теории риска : учеб. пособие. М.: Физматлит, 2007. - 542 с.

55. Кошкин Г.М. Введение в математику страхования жизни : учеб. пособие. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2004. - 112 с.

56. Крамер Г. Математические методы статистики. М. : Мир, 1975. — 648 с.

57. Крестьянинова М.В. Эконометрические методы выявления влияния различных факторов на результат деятельности страховой компании // Страховое дело. 2004. - №2. - С. 20-23.

58. Лившиц К.И. Оптимальное управление расходами на рекламу страховой компании // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — Т. 12, вып. 2.-С. 423-424.

59. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вест. Томского гос. ун-та. Прил. 2006. Август. -№ 18. С. 302-308.

60. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Пуассоновская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вест. Томского гос. ун-та. Прил. 2006. Декабрь. -№ 19. С. 302-312.

61. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. - № 293. - С. 38-44.

62. Лукманов Н.Ф. Асимптотика вероятности неразорения страховой компании // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, вып. 1.-С. 67-72.

63. Малиновский В. Некоторые вопросы исследования платежеспособности страховых компаний // Страховое дело. 1995. - № 6. - С. 46-52.

64. Масяйкин С.А. Построение переговорного множества при конкурентном взаимодействии двух страховых компаний, функционирующих по модели, предложенной О. А. Змеевым // Вест. Томского гос. ун-та. 2006. - № 293. - С. 45-48.

65. Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. М. : Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с.

66. Моисеева С.П., Морозова A.C. Исследование потока обращений в бесконечно-линейной СМО с повторным обслуживанием // Обработка данных и управление в сложных. Томск, 2005. —Вып. 7. - С. 158-164.

67. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания : учеб. пособие. Томск : Изд-во НТЛ, 2004. — 228 с.

68. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов : учеб. пособие. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

69. Овчинникова Т.И. Модель предупредительной и мотивационной роли страхования // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 1. С. 130—134.

70. Охрименко О.И. Экономико-математические модели процессов управления системами страхования : дис. канд. экон. наук /. Ростов н/Д., 2000. - 174 с.

71. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа : учеб. пособие. 3-е изд. — Томск : Изд-во HTJI, 2001. - 396 с.

72. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. -М. : Мир, 1984.- 184 с.

73. Радюк J1.E., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов : учеб. пособие. Томск : Изд-во Том. ун-та, 1988. - 174 с.

74. Рублев А.Н: Линейная алгебра : учеб. пособие для втузов. — М. : Высшая школа, 1968. 383 с.

75. Русилко Т.В., Маталыцкий М.А. О прогнозировании ожидаемого дохода страховой компании // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005.-Т. 12, вып. 2.-С. 500-501.

76. Сербиновский Б.Ю., Гарькуша В.Н. Страховое дело : учеб. пособие для вузов. Ростов н/Д. : Феникс, 2000. - 384 с.

77. Суворов C.B. Математическое моделирование инвестиционно-финансовой деятельности страховой компании : дис. . канд. экон. наук. М., 2000. - 146 с.

78. Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг : учеб. пособие. -Томск : Изд-во НТЛ, 2004. 164 с.

79. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М. : Анкил, 2002. - 261 с.

80. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2 т. М. : Мир, 1984,-Т.1.-528 с.

81. Финансы, денежное обращение и кредит: учебник / М.В. Романовский и др.; под ред. М.В. Романовского, О.В. Врублевской. М. : Юрайт-Издат, 2002.- 543 с.

82. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. 8-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003. - Т. 1. -680 с.

83. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - Т. 2. - 864 с.

84. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. 2-е изд. - М. : Дело, 1999.-864 с.

85. Четыркин Е.М. Финансовая математика : учеб. пособие. М. : Дело, 2001.-400 с.

86. Ширяев А.Н. Вероятность : учеб. пособие для вузов. 2-е изд. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с.

87. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. — Цюрих, 1988.- 147 с.

88. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 424 с.

89. Dickson D.C.M., Waters H.R. Reinsurance and ruin // Insurance: Mathematics and Economics. 1996. - Vol. 19, issue 1. - P. 61-80.

90. Dickson D.C.M., Waters H.R. The distribution of the time to ruin in the classical risk model // ASTIN BULLETIN. 2002. - Vol. 32, № 2. - P. 299-313.

91. Embrechts P., Schmidli H. Modelling of extremal events in insurance and finance // Mathematical Methods of Operations Research. 1994. - Vol. 39, № 1. - P. 1-34.

92. Michna Z. Self-similar processes in collective risk theory // Journal of applied mathematics and stochastic analysis. 1998. - Vol. 11, № 4. - P. 429-448.

93. Contemporary business law: principles and cases / J.D. Reitzel, D.P. Lyden, N.J. Roberts, G.B. Severance. 4th ed. - McGraw-HILL PUBLISHING COMPANY, 1990. - P. 570-592.

94. Schmidli H. On Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities under optimal excess of loss reinsurance // Working paper series. 2004. - № 171. - P. 1-10.

95. Yang J., Zhou S., Zhang Z. The compound Poisson random variable's approximation to the individual risk model // Mathematics and Economics. 2005. - № 36.-P. 57-77.