автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели функционирования страховых компаний с учетом перестраховки и банковского процента

Введение.

1. Классическая модель страховой компании с перестраховкой.

1.1. Описание модели.

1.2. Математическое ожидание капитала компании.

1.3. Дисперсия капитала компании.

1.4. Функция корреляции капитала компании.

1.5. Вывод уравнения для вероятности разорения компании.

1.6. Решение уравнения для вероятности разорения компании.

1.7. Асимптотика вероятности разорения компании.

1.8. Среднее время разорения страховой компании.

1.9. Дисперсия времени разорения страховой компании.

Резюме.

2. Модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с перестраховкой.

2.1. Описание модели.

2.2. Математическое ожидание капитала компании.

2.3. Дисперсия капитала компании.

2.4. Функция корреляции капитала компании.

2.5. Вывод уравнения для вероятности разорения компании.

2.6. Решение уравнения для вероятности разорения компании.

2.7. Асимптотика вероятности разорения компании.

2.8. Среднее время разорения страховой компании.

2.9. Дисперсия времени разорения страховой компании.

Резюме.

3. Классическая модель страховой компании с работающим капиталом.

3.1. Описание модели.

3.2. Математическое ожидание капитала компании.

3.3. Дисперсия капитала компании.

3.4. Функция корреляции капитала компании.

3.5. Вывод уравнения для вероятности выживания компании.

3.6. Решение уравнения для вероятности выживания в общем случае.

3.7. Решение уравнения для вероятности выживания в случае экспоненциально распределенных выплат.

3.8. Приближенные формулы для небольших процентных ставок.

Резюме.

4. Модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с работающим капиталом.

4.1. Описание модели.

4.2. Математическое ожидание капитала компании.

4.3. Дисперсия капитала компании.

4.4. Функция корреляции капитала компании.

4.5. Вывод уравнения для вероятности выживания компании.

4.6. Решение уравнения для вероятности выживания в общем случае.

4.7. Решение уравнения для вероятности выживания в случае экспоненциально распределенных выплат.

Резюме.

5. Имитационное моделирование.

5.1. Общая характеристика программы.

5.2. Работа с программой.

5.2.1. Системные требования.

5.2.2. Инсталляция.

5.2.3. Запуск программы.

5.2.4. Окончание работы с программой.

5.3. Работа с моделями.

5.3.1. Создание новой модели.

5.3.2. Открытие существующей модели.ПО

5.3.3. Окно модели.ПО

5.3.4. Экспорт данных моделирования.П

5.4. Работа с таблицами и графиками, сервисные функции, Help-система.

5.4.1. Ввод и редактирование данных в таблице.

5.4.2. Настройка таблиц.

5.4.3. Настройка графиков.

5.4.4. Система справочной информации.

5.4.5. Печать.

5.5. Результаты моделирования.

Резюме.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

В последние годы в нашей стране значительные изменения произошли в сфере приложений математики. Социально-экономические причины перенесли интересы специалистов по прикладной математике на новые области, которые практически не были известны в нашей стране до начала 90-ых годов. Одной из таких областей для нашей страны оказалась актуарная математика, то есть математика, связанная со страховым делом.

При исследовании модели функционирования страховой компании в целом и определении характеристик её работы возникает ряд задач, имеюш;их очень важное практическое значение: а) определение вероятностных характеристик величины капитала компании; б) определение вероятности разорения компании; в) определение вероятностных характеристик условного времени разорения компании.

Классическая модель функционирования работы страховой компании в целом, имеющаяся в литературе [39, 51, 65], хотя и обладает рядом достоинств, но всё же не отражает многих черт работы страховых компаний в реальной жизни, среди них: а) возможность перестраховки крупных рисков, что особенно актуально теперь, при усилении деятельности международных террористов; б) возможность размещения капитала компании в банке под определенный банковский процент.

В представленной диссертационной работе исследуются модели, учитывающие эти возможности, что и определяет её актуальность.

Работа проводилась по плану научно-исследовательских работ факультета математики и информатики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы являлось:

1. Расчёт основных характеристик страховой компании для случая, когда страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени и при наличии перестраховки больших рисков.

2. Расчёт основных характеристик страховой компании для случая, когда страховые взносы образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности и при наличии перестраховки больших рисков.

3. Расчёт основных характеристик страховой компании для случая, когда страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени, а капитал компании помеш;ен в банк под определенный банковский процент.

4. Расчёт основных характеристик страховой компании для случая, когда страховые взносы образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности, а капитал компании помещен в банк под определенный банковский процент.

5. Разработка программного обеспечения для реализации предложенных алгоритмов и решения задач имитационного моделирования, работающего под управлением операционных систем Windows 95/98, Windows NT.

СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Несмотря на обилие работ, посвященных различным проблемам актуарной математики, на сегодняшний день нет единой общепринятой математической модели, описывающей функционирование страховой компании в целом. Её создание существенно осложняется при попытке учесть, например. зависимость интенсивности потока рисков от числа клиентов компании, нестационарность величины капитала компании (в терминах теории случайных процессов), возможность перестраховки крупных рисков, возможность вложения части капитала компании в банк под банковский процент, влияние рекламы на деятельность компании в процессе конкурентной борьбы за рынок [2, 3, 34] и другое.

В настоящее время в качестве модели работы страховой компании в целом используется так называемая классическая модель, описание которой можно найти, например, в [39, 41, 51, 53, 54, 56, 58, 62-66].

С позиций математического моделирования процесс страхования представляется с помощью модели резервуара. В резервуар поступают премии, которые вносят клиенты, а вытекают из него страховые возмещения, которые выплачивает компания. Характерное свойство этой модели состоит в том, что приход капитала компании считается регулярным, а расход капитала - нерегулярным. Первое свойство вызывает очень сильные возражения, так как страховые взносы также являются нерегулярными и представляют собой случайный процесс.

Таким образом, процесс функционирования страховой компании определяется четырьмя характеристиками, две из которых детерминированы, а две другие - стохастические, а именно: начальным капиталом компании, годовой премией, которая задает темп прироста капитала, последовательностью временных интервалов наступления страховых случаев и последовательностью страховых возмещений в отдельных страховых случаях. Практически всегда можно считать, что размеры интервалов между страховыми случаями и размеры отдельных страховых возмещений не влияют друг на друга.

Практически всегда утверждается, что поток страховых случаев является ординарным пуассоновским потоком, хотя ординарность выполняется не всегда (катастрофы, террористические акты и т.д.)

Многие из недостатков этой классической модели устранены в работах Змеева O.A. [20-29;.

В его работах предлагается рассматривать страховую компанию как некоторый объект, который характеризуется двумя случайными процессами: количеством застрахованных рисков k(t) и капиталом компании S(t). Принципиальные отличия моделей O.A. Змеева от классической модели следующие:

1. Не только страховые выплаты, но и страховые взносы, а вместе с ними и страховые премии, поступают в компанию в случайные моменты времени.

2. Интенсивность страховых выплат пропорциональна числу, застрахованных компанией рисков.

3. Интенсивность поступления новых рисков зависит от уже застрахованных компанией рисков.

4. Возможны различные варианты и ограничения на входной поток рисков и их число.

В этой модели характеристики процесса S(t) зависят от процесса k{t), который в этом смысле можно назвать управляющим случайным процессом. Таким образом, предлагаемая модель работы страховой компании - дважды стохастический случайный процесс.

Нужно отметить, что если получение характеристик процесса S(t) обычно не вызывает серьезных затруднений, то при расчете вероятности разорения и условного времени разорения компании возникает весьма непростая проблема получения решений интегральных и интегро-дифференциальных уравнений [37, 65].

В работах O.A. Змеева [20-29] получены основные характеристики деятельности страховых компаний в рамках указанных моделей. Однако надо отметить, что целый ряд моментов, имеющих место в реальности, не нашли в этих моделях своего отражения. К ним можно отнести: а) возможность перестраховки больших рисков; б) возможность вложения части капитала компании в банк под банковский процент; в) возможность проведения рекламных компаний; г) вопросы конкурентного взаимодействия страховых компаний на рынке и другие.

Освеш;ению некоторых из этих моментов в настоящее время посвящено большое количество работ, в том числе и представленная диссертация.

В завершение приведем книги и монографии авторов, чьи идеи и методы в основном использовались в представленной работе.

Понятие перестраховки больших страховых выплат упоминается в книге книге H.H. Panjer, G.E. Willmot [65].

При расчете вероятностных характеристик величины капитала страховой компании в основном использовалась книга Б.В. Гнеденко [17].

Вывод уравнения для вероятности разорения (выживания) страховой компании и получение асимптотики для вероятности разорения (выживания) страховой компании при больших значениях капитала выполнены методами, изложенными в книге H.H. Panjer, O.E. Willmot [65], но несколько переработанными в духе, принятом в советской школе математики [30, 40, 46].

Определение характеристик условного времени разорения страховой компании основано на методике, изложенной в работе Ю.М. Тонконогова [47].

При решении уравнения для вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента широко использовались свойства неполной Г-функции [4, 18] и гипергеометрической функции [4, 5, 18, 19].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В данной диссертационной работе исследуются четыре модели функционирования страховой компании.

В первой главе диссертации рассматривается следующая модель функционирования страховой компании:

- если выплат нет, то капитал компании 6" растет линейно, = с А/;

- поток выплат пуассоновский интенсивности X;

- величина выплаты имеет плотность распределения р(х).

В классической модели страховой компании предполагается, что величина страховой выплаты имеет экспоненциальное распределение, то есть её функция распределения равна Г(х) = 1- еА""'А. Предположим, рассматриваемая страховая компания сама страхует возможность очень большой выплаты в другой страховой компании по следующей схеме:

- если величина выплаты л: < х*, где х* - порог перестраховки, то страховая компания осуществляет выплату за счёт собственных средств;

- если же х>х*,то компания выплачивает из своих средств лишь величину X * , а остаток х-х* выплачивает та компания, в которой произведена перестраховка.

Так как часть поступающих средств уходит на перестраховку, то прирост капитала компании за единицу времени уменьшается, и параметр с становится функцией от л: *, но для краткости эта зависимость опускается.

После введения перестраховки функция распределения величины выплаты принимает вид еслиО<х<х*,

Г(х) =

1, еслих>л;*, так как величина выплаты не превышает х *, а плотность распределения величины выплаты становится равной p(x) = -e A l(x* -x) + e A§(x-x*), 9 где o(x) - о -функция, 1 (x) - единичная функция,

1, еслих>0, l(x) = о, еслих <0.

Основной характеристикой рассматриваемой модели функционирования страховой компании с перестраховкой является случайный процесс S{t) -величина капитала компании в момент времени /, который определяется параметрами с, X, в, X* и начальным капиталом SQ .

В § 1.2-1.4 для этого процесса получены математическое ожидание M {Sit)} = 8л+(с-Хе(\-е-'*''л)) t, дисперсия

D{S{t)} = 2XQ (0(1 - е-"* ) - х*е-"' и функция корреляции

К{Ц,Ц) = 2:A0 ( 0(1 - е-'*'л) - x V " ' min {tA JA)-При этом для нормального функционирования страховой компании должно выполняться условие c>XQ(\-e-'*'A).

§ 1.5-1.7 посвящены проблеме нахождения вероятности разорения компании P{S) при уровне капитала S.

В § 1.5 выведено уравнение для вероятности разорения P{S)

S 00 cP'iS) - X P{S) + X \P(S - x)p(x)dx + X\p{x)dx = 0.

0 s в § 1.6 находится решение уравнения для вероятности разорения при граничном условии lim P(S) = О. После перехода к преобразованию Лапласа

Р{р) ОТ функции P{S) для изображения Р{р) получено уравнение рВ{р) где

А{р) = cP{0){Qp + 1) - Х0( 1 - елл'Рл'л""*'л), В{р) = фр -Ы) - Ге( 1 - е-(бр+1).*/0 л Из условия lim P{S) = О следует А(0) = О, отсюда определяется Р{0) : сР(0) = Хе(1-е-"*л®).

После перехода к оригиналам получено точное выражение для вероятности разорения компании в виде п=0 С m K D - "пх* Л \{S-nx*). cQ и=0 где а = (с - А,9) / сО.

В § 1.7 рассматривается асимптотическое поведение вероятности разорения Р(5') при больших значениях капитала 5". Искомая асимптотика получена в виде

1 -екжо)лл л л кБ'(-к) где через (-к) обозначается веп];ественный нуль В{р), отличный от (-1/0), и который при выполнении условия нормального функционирования компании будет отрицательным. в § 1.8-1.9 рассчитываются характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет; получены асимптотики для математического ожидания и дисперсии времени разорения компании t{S) при больших значениях капитала 5 в виде

M{t(S)}--Ml+M2S, где М2, -О}, 1)2 - константы, выражаемые через параметры с, X, 9, х* и к.

Во второй главе диссертации рассматривается модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с перестраховкой:

- если нет ни страховых выплат, ни страховых взносов, то капитал компании 5' не изменяется, Аб* = О;

- поток страховых взносов пуассоновский интенсивности А,,;

- величина взноса имеет плотность распределения (у);

- поток выплат пуассоновский интенсивности Х2',

- величина выплаты имеет плотность распределения Р2 (х). Предполагается, что величина страхового взноса имеет экспоненциальное распределение, то есть /?! (у) = — е " ,а после введения перестраховки веа личина выплаты имеет ту же плотность распределения, что и предыдущей модели, то есть

Р2{х) = ~-е ®1(х*-х) + е Л5(х-х*).

Так как часть страхового взноса идет на перестраховку, то параметр а зависит от порога перестраховки х*, но для краткости эта зависимость опускается.

Таким образом, случайный процесс S{t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами ХА, Xj, а, 0, х* и начальным капиталом SAA.

В § 2.2 получено математическое ожидание процесса S{t)

M{S{t)} = Л0 + - Л2 0(1 - .

В § 2.3 получена дисперсия процесса S{t)

D{S{t)] = 2(a2Ai +120(0(1 - 'л)- х*е~' 'л))L

В § 2.4 получена функция корреляции процесса S(t)

K{tA, /2 ) = 2(A4i + Л20 (0(1 - е~* ) - х*е-"* )) min (?, JA)-При этом для нормального функционирования страховой компании должно выполняться условие

ХАа>Х2А{1-е~'*'А).

В § 2.5 выведено уравнение для P{S) - вероятности разорения компании при уровне капитала S

X, + X2)P{S) = X, \P{S + у)р, iy)dy + X2 P(S - х)р2 {x)dx + Р2 {x)dx о s в § 2.6 находится решение уравнения для вероятности разорения при граничном условии lim P{S) = О. После перехода к преобразованию Лапласа

Р{р) от функции P{S) для изображения Р{р) получено уравнение

РФ) = А{р) рВ(р) где

Ар) = XiP( 1 / а)(0р +1) - }i20 (1 - ра)(1 - е-Р'*-'*'А), В{р) = X.aiQp +1) - Х2е (1 - ра){1 - е^Р^'А).

Из условия lim P{S) = О следует Л(0) = О, отсюда определяется Р{0) :

5-Лоо

XiPil/a) = X2Qil-e-'*'A).

После перехода к оригиналам получено точное выражение для вероятности разорения компании.

В § 2.7 рассматривается асимптотическое поведение вероятности разорения P{S) при больших значениях капитала S. Как и в предыдущей модели, 1-екЖ0)лл л к 5'(- к) где через (-к) обозначается вещественный нуль В{р), отличный от ( -1/0), и который при выполнении условия нормального функционирования компании будет отрицательным.

В § 2.8-2.9 рассчитываются характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет; получены асимптотики для математического ожидания и дисперсии времени разорения компании Л5*) при больших значениях капитала S в виде

M{t{S)}-Mi+M2S, D{tiS)}-D^+D2S, где Mj , М2, Д, D2 - константы, выражаемые через параметры А,,, 0, x * и к. в третьей главе диссертации рассматривается следующая модель страховой компании с работающим капиталом:

- если выплат нет, то прирост капитала компании S за время А/ равен aS=Aic + rS)At + oiAt);

- поток выплат пуассоновский интенсивности X;

- величина выплаты имеет плотность распределения 7r(x).

Таким образом, случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами с, г, X, плотностью распределения выплат 7u(x) и начальным капиталом SQ .

В § 3.2-3.4 для этого процесса получены математическое ожидание f г-Im Л M{Sit)} = S , + \S , - , ' (e^-l),

V г J дисперсия

2г и функция корреляции где и - моменты 1-го и 2-го порядка для величины выплаты х.

В § 3.5 выведено уравнение для P{S) - вероятности выживания компании при уровне капитала S S с + rS)P'{S) -XP{S) + X \P(S - x)n(x)dx = О. о

В § 3.6-3.7 для случая экспоненциально распределенных страховых вы1 плат, то есть при п{х) = ~е получено решение этого уравнения при граО ничном условии lim P(S) = 1, то есть искомая вероятность выживания: Г(Л„+1,с„/б) тт CQ = С1Г, XQ =Х/Г.

В § 3.8 для случая небольших процентных ставок г и произвольно распределенных страховых выплат получена формула для вычисления вероятности выживания компании в виде ряда по степеням г. в четвертой главе диссертации рассматривается следующая модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с работающим капиталом:

- если нет ни страховых выплат, ни страховых взносов, то капитал компании S растет экспоненциально, AS = rS (t)At + o{At);

- поток страховых взносов пуассоновский интенсивности ; 1

- величина взноса имеет плотность распределения р(у) = —е"; а

- поток выплат пуассоновский интенсивности Я, 2;

- величина выплаты имеет плотность распределения п(х).

Таким образом, случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами ХА, Х2, а, плотностью распределения выплат Tz(x) и начальным капиталом 5*0.

В § 4.2-4.4 для этого процесса получены математическое ожидание

0 ХАа-ХАтЛ it 14

M{Sit)} = S,+ А0 + (е -1), У дисперсия

2 / 2rt

2г <л и функция корреляции ъ где тАи т2 - моменты 1-го и 2-го порядка для величины выплаты х.

В § 4.5 выведено уравнение для P{S) - вероятности выживания компании при уровне капитала S

00 S rSP'iS) - (Al + X2)PiS) + Al jPiS + y)p(y)dy + A2 jPiS - x)n(x)dx = 0.

0 0 в § 4.6—4.7 для случая экспоненциально распределенных страховых вы1 плат, то есть при TZ(X) = - е Л, получено решение этого уравнения при гра0 ничном условии lim P(S) = 1, то есть искомая вероятность выживания

5 А00

-'е-лллт(у + l,//g0y? где 11 = А, / г, V = 1АА л = " 4 - - . а 0

В пятой главе диссертации описывается программное обеспечение для решения задач имитационного моделирования. Программа STRAHKOMP (версия V. 1.0) разработана в системе Delphi 5.0 и работает под управлением операционных систем Windows 95/98 или Windows NT. Программный продукт осуществляет накопление статистического материала, реализует расчеты для вероятностных характеристик моделей, исследованных в предыдущих главах, а также выполняет ряд сервисных функций, предназначенных для удобства просмотра результатов моделирования.

В этой главе также приводятся результаты имитационного моделирования, подтверждающие основные результаты и выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, полученные автором и выносимые им на защиту, следующие:

1. Среднее значение капитала компании, дисперсия и функция корреляции капитала компании в зависимости от времени для модели страховой компании с перестраховкой.

2. Вероятность разорения компании (точное выражение и асимптотическое поведение при больших значениях капитала), вероятностные характеристики условного времени разорения компании при условии, что разорение произойдет (только асимптотическое поведение при больших значениях капитала) для модели страховой компании с перестраховкой.

3. Среднее значение капитала компании, дисперсия и функция корреляции капитала компании в зависимости от времени, когда капитал компании вносится в банк под определенный банковский процент.

4. Вероятность выживания компании (точные формулы и приближенное выражение в виде ряда по степеням банковского процента) в случае, когда капитал компании вносится в банк под определенный банковский процент.

Все указанные выше результаты получены для двух моделей страховой компании: а) когда страховые взносы поступают непрерывно во времени (классическая модель); б) когда поток страховых взносов является пуассоновским потоком постоянной интенсивности.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Исследование носило теоретический характер и проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов (цепи Маркова), теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. Правильность результатов исследования подтверждена результатами имитационного моделирования.

Теоретическая ценность работы, по мнению автора, заключается в том, что в ней получены основные характеристики деятельности страховых компаний с учётом перестраховки и банковского процента. Предложенные в диссертации подходы могут быть распространены и на более сложные модели страховых компаний.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные в ней формулы могут быть использованы для нахождения порога перестраховки больших рисков.

РЕАЛИЗАЦИЯ И ВНЕДРЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты работы использовались при чтении спецкурса по актуарной математике, а также при выполнении курсовых и дипломных работ студентами филиала КемГУ в г. Анжеро-Судженске.

ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях: Статьи

1. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов. Физика, 2000. - №4. - С. 3-9.

2. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки при пуассоновском потоке страховых взносов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - С. 34-46.

3. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Вероятностные характеристики времени разорения страховой компании с учетом перестраховки при пуассоновском потоке страховых взносов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. -С. 47-55.

4. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2001. - С. 14-25.

5. Глухова Е.В., Капустин E.B. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Изв. вузов, Физика, 2001. - №6. - С. 7-12.

Тезисы докладов на конференциях

1. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом перестраховки // Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. - Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. - С. 150.

2. Капустин Е.В., Терпугов А.Ф. Расчет вероятностных характеристик для модели страховой компании с работаюпдим капиталом // Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса. Тезисы докладов. 4.L - Анжеро-Судженск, 2000. - С. 25-26.

3. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с работающим капиталом // Математическое моделирование экономических систем и процессов: Материалы всероссийской научно-практической конференции. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та, 2000. -С. 46-48.

4. Глухова Е.В., Капустин Е.В., Терпугов А.Ф. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы меж-дунар. научно-практич. конф. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т, Ч. 3. - Новочеркасск: ПАВЛА, 2 0 0 1. - С . 36-38.

5. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Образование и наука в третьем тысячелетии: сборник материалов международной научно-теоретической конференции. 4.1. - Барнаул: Изд-во АЭ-ЮИ, 2001 .-С. 5-17.

6. Капустин Е.В., Лезарев A.B. Имитационное моделирование работы страховых компаний // Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство. Тезисы докладов всероссийской научно-практической конференции в г. Анжеро-Судженске. 41. - Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. -С. 21-22.

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на:

1. Четвёртом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000), г. Новосибирск, 2000 г.

2. IV межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», г. Томск, 2000 г.

3. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса», г. Анжеро-Судженск, 2000 г.

4. Всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование экономических систем и процессов», г. Чебоксары, 2000г.

5. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике», г. Новочеркасск, 2001 г.

6. Международной научно-теоретической конференции «Образование и наука в третьем тысячелетии», г. Барнаул, 2001 г.

7. V межрегиональной научно-практической конференции «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2001 г.

8. Общероссийской V межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», г. Томск, 2001 г.

9. Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство», г. Анжеро-Судженск, 2001 г.

Основные результаты этой главы опубликованы в работе автора [32].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проделанной работы, автор хотел бы отметить следующее. Автору представляется, что данная работа достаточно хорошо осветила проблему исследования моделей функционирования страховых компаний с учетом перестраховки и с учетом работающего капитала.

В работе исследованы следующие аспекты анализа работы страховой компании: определение характеристик величины капитала компании; определение вероятности разорения компании; определение характеристик условного времени разорения компании. Задачи определения характеристик работы страховых компаний решаются для двух вариантов: страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени; страховые взносы в компанию образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности.

Для всех четырех рассмотренных моделей были получены основные характеристики работы страховой компании: среднее значение, дисперсия и функция корреляции капитала компании, вероятность разорения компании, среднее значение и дисперсия условного времени разорения компании (кроме моделей с работающим капиталом).

Автор реализовал разработанные им алгоритмы в виде программы 8ТКАНК0МР в полном соответствии к требованиям, предъявляемым к современному программному обеспечению.

В заключение автор хотел бы выразить огромную благодарность кандидату технических наук, доценту Елене Владимировне Глуховой и доктору физико-математических наук, профессору Александру Федоровичу Терпуго-ву за неоценимую помощь в работе над диссертацией.

1. Архангельский А.Я. Разработка прикладных программ для Windows в Delphi 5.-м.: ЗАО "Издательство БИНОМ", 1999. - 256 с.

2. Ахмедова Д.Д., Змеев O.A. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании // Изв. вузов. Физика, 2001. № 6. - С. 36.

3. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика, 200 1.-№ 1.-С. 25-28.

4. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. - 294 с.

5. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. М.: Наука, 1969.-343 с.

6. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. - 287 с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544 с.

8. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов. Физика, 2000. №4. -С.3-9.

9. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом перестраховки // Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. - С. 150.

10. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. С. 14-25.

11. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Изв. вузов. Физика, 2001. № 6. - С. 7-12.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 447 с.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. - 466 с.

15. Змеев O.A. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 1: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С. 57-66.

16. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Изв. вузов. Физика, 1999. № 4. - С. 34-39.

17. Змеев O.A. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.-С. 67-73.

18. Змеев O.A. Математические модели функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов. Физика, 2001. № 1. - С. 19-24.

19. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 23-24.

20. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. доклада. Анжеро-Судженск, 1999. - С . 33-34.

21. Змеев O.A., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. доклад. Барнаул, 1999. - С. 88-90.

22. Змеев O.A., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 21-22.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

24. Калверт Ч. Базы данных в Delphi 4. Руководство разработчика. К.: Изд-во «ДиаСофт», 1999. - 464 с.

25. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Изв. вузов. Физика. 2001. № 1. С. 29-35.

26. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. -243 с.

27. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук. Думка, 1983. - 368 с.

28. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

29. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

30. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М.: Мир, 1984. -184 с.

31. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1988. - 174 с.

32. Ротарь П., Бенинг А. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 1, вып.5, 1994.

33. Тейксейра С, Пачеко К. Borland Delphi 4. Руководство разработчика. -К., М., Спб.: Издательский дом «Вильяме», 1999. 912 с.

34. Тейксейра С, Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 1. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 832 с.

35. Тейксейра С, Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 2. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 992 с.

36. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974.- 136 с.

37. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: Изд-во Томск, унта, 1974. - 136 с.

38. Тонконогов Ю. М. Поиск движущегося сигнала в многоканальной системе. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. - 196 с.

39. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. - 285 с.

40. Форсайт Дж., Маоткольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

41. Хендерсон К. Руководство разработчика баз данных в Delphi 2. Киев: Диалектика, 1996. - 544 с.

42. Штрауб Э. Актуарная математика имуш;ественного страхования. Цюрих, 1988. - 148 с.

43. Эльгольц Л. Э., Филипов А.Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Гос-техиздат, 1957.

44. Bowers N., Gerber Н., Hickman J., Nesbitt С. Actuarial Mathematics, Society ofActuaries, Itasca, 1986.

45. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlag, New York, 1970.

46. Cox D., Lewis P. The Analyses of Series of Events. Chapman and Hall, London, 1974.

47. Gerber H. Mathematical Fun with Ruin Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 7, 1988. P. 15-23.

48. Griffin W. Transform Techniques for Probability Modeling. Academic Press, New York, 1975.

49. Harry H. P., Gordon E.W. Insurance risk models // Society of actuaries, 1994. -P. 442.

50. Holgate P. The Modality of Some Compound Poisson Distributions // Bio-metrika, 57, 1970. P. 666-667.

51. Karlin S., and Taylor H. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York. 1975.

52. Karlin S., and Taylor H. A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press,New York. 1981.

53. Panjer H ., Willmot G. Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory // Journal of Econometrics, 23, 1983. P. 63-76.

54. Panjer H., Willmot G. Computational Techniques in Reinsurance Models // Transactions of the 22-nd International Congress of Actuaries, Sydney, 4, 1984a.-P. 111-120.

55. Panjer H., Willmot G. Models for the Distribution of Aggregate Claims in Risk Theory // Transactions of the Society of Actuaries, 36, 1984b. P. 399-446.

56. Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992.-442 p.

57. Seal H. Stochastic Theory ofA Risk Business. N. Y.: Wiley. - 1969.

58. Snyder D.L. Random point processes. N. Y.: Wiley. - 1975. - 485 p.

59. Tijms H. Stochastic Modeling and Analyses: A Computational Approach. John Wiley, Chichester, 1986.