автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы численного анализа и прогнозирования рисков в задачах ресурсного управления

Фролов Алексей Геннадьевич

На правах рукописи

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РИСКОВ В ЗАДАЧАХ РЕСУРСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

(по отраслям)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

0031В1ББ0

Москва - 2007

003161550

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Леонова Наталия Михайловна

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Нагорнов Олег Викторович, Московский инженерно-физический институт (государственный университет), кафедра «Моделирование физических процессов в окружающей среде» кандидат технических наук Рождественский Юрий Владимирович, Институт проблем информатики Российской академии наук (ИЛИ РАН)

Ведущая организация- Факультет вычислительной математики и

кибернетики Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится « 14 » ноября 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.130 03 в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу 115409, Каширское шоссе, д 31, тел (495)324-84-98, 323-91-67.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского инженерно-физического института (государственного университета).

Автореферат разослан «12^» октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета дтн, профессор --Ю Ю Шумилов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению задач ресурсного управления и прогнозирования рисков с использованием методов численного анализа вероятностных моделей поведения систем

Актуальность.

В настоящее время вопросы прогнозирования рисков в различных отраслях являются важной составляющей задач управления ресурсами в условиях случайного поведения систем. К настоящему моменту получено большое количество аналитических результатов для вероятностных моделей поведения таких систем. При этом практическое применение ряда важных теоретических результатов ограничено тем, что они получены в виде преобразований Лапласа (часто многомерных), а получение явных конечных выражений в действительной области, имеющих практический интерес, как правило, на сегодня невозможно. Существующие методы численного обращения преобразования Лапласа позволяют получить результат с приемлемой точностью только в ограниченной области действительных аргументов (особенно в случае многомерных преобразований Лапласа) и применимы не для всех классов аналитических результатов (например, если в качестве части аналитического выражения содержится неявно заданная функция), что не отвечает практическим требованиям. Поэтому актуальной является задача разработки новых схем численного анализа, позволяющих снимать эти ограничения и получить численные результаты для заданных классов задач прогнозирования рисков, как на основе известных моделей, так и путем развития новых схем моделирования.

Объектом исследования являются вероятностные процессы поведения систем, сопряженные с затратами ресурсов.

Предметом исследования выступают вычислительные методы, процедуры и модели прогнозирования ресурсных затрат при выполнении проекта создания информационной системы, оптимизации стратегии профилактических обследований газотранспортных систем и оценке финансовой устойчи-

вости страховых компаний.

Целью работы является разработка методов численного анализа, позволяющих расширить область практического применения аналитических результатов, полученных в области задач прогнозирования рисков вероятностной природы в задачах ресурсного управления.

Задачи исследования:

• разработка и практическая реализация базовых процедур численного обращения преобразований Лапласа, адекватных особенностям современных аналитических моделей изменения ресурсов;

• развитие и практическая реализация методов обращения многомерных преобразований Лапласа;

• качественное повышение и практический контроль точности обращения преобразований Лапласа, расширение области гарантированных оценок получаемых результатов для заданного класса моделей;

• понижение порога применимости результатов, получаемых по типовым моделям, до уровня пользователей в различных предметных областях,

• развитие методов обращения для анализа типовых моделей газотранспортных систем, страховой деятельности и моделей с дискретными состояниями

Методы исследования.

Для решения поставленных задач в качестве базовой методологии, являющейся основой исследования, в работе использовались методы численного анализа, экстраполяция к пределу, линейное программирование, элементы теории вероятностей, методы математического моделирования.

Научная новизна:

• разработаны методика и алгоритмы численного анализа моделей оценок риска и управления ресурсами в системах со случайным

поведением, конечные результаты для которых представлены в виде преобразования Лапласа;

• разработаны эффективные численные процедуры обращения выражений преобразований Лапласа, содержащих неявно заданные функции в операторной области;

• разработан и практически реализован метод обращения 2-х и 3-х мерных преобразований Лапласа с обеспечением контроля точности результатов при качественном сокращении объема вычислений по отношению к процедурам поточечного обращения,

• разработан метод контроля погрешности численного обращения преобразования Лапласа функций распределения вероятности,

• разработан метод расчета характеристик достижения выделенных состояний в модели полумарковских блужданий с конечным графом переходов.

Практическая значимость работы:

• разработан и реализован метод практического контроля точности обращения преобразования Лапласа на всей числовой оси,

• реализованы численные методы оценки затрат ресурсов для достижения заданных состояний для модели с полумарковскими процессами с конечным числом состояний. Методы применены для оценки затрат и рисков на реализацию проектов создания информационных систем и для решения задачи выбора оптимальной стратегии проведения обследований газотранспортной системы,

• разработаны и реализованы численные методы исследования характеристик типовых моделей страхования Расширена область гарантированных численных оценок результатов моделирования,

• разработаны программные средства, предназначенные для численного решения задач, требующих вычислений с повышенной точностью, в т.ч. для плохообусловленных задач линейной алгебры

Основные положения, выносимые на защиту:

• вычислительные методы и средства для численного обращения преобразования Лапласа с контролем точности и устранением влияния на результат вычислительной и методической погрешностей,

• вычислительные методы обращения выражений, содержащих неявно заданные функции (в т ч. для многомерных обращений), линейные по затратам памяти и времени;

• процедура определения гарантированной верхней и нижней оценки распределения вероятности по известному изображению,

• вычислительные методы оценки ресурсов в моделях с конечными полумарковскими процессами с доходами;

• процедура трехмерного обращения преобразования Лапласа;

• модель прогнозирования ресурсных затрат при выполнении проекта создания информационной системы;

• модель выбора оптимальной стратегии профилактических обследований газотранспортных систем;

• процедуры численного анализа моделей финансовой устойчивости страховых компаний

Достоверность разработанных моделей, вычислительных методов и процедур обеспечивается применением различных видов математического аппарата, гарантированной точностью вычислений и подтверждается актом о внедрении основных результатов работы

Реализация и внедрение результатов работы. Научные результаты, полученные в диссертационной работе в виде в виде методики численного анализа моделей и вычислительных процедур оценок риска при управлении ресурсами в системах со случайным поведением использованы в ИТЦ «Орг-техдиагностика» ДОАО «Оргэнергогаз» при разработке программы диагностического обслуживания оборудования и трубопроводов компрессорных станций ООО «Уралтрансгаз», а также при выработке рекомендаций по их

безопасной эксплуатации.

Апробация работы.

Научные и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских научных конференциях. В частности на:

- научной сессии МИФИ, 2002 - 2006 г.г., V всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России "Новые технологий в газовой промышленности", Москва, 2003; тематическом семинаре «Диагностика оборудования и трубопроводов КС», Москва, 2004; научно-техническом совете ОАО «Институт инфономики (информационной экономики)», Москва, 2007.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 164 страницах машинописного текста, в том числе на 29 рисунках и в 23 таблицах Список использованной литературы включает 132 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, представлена общая логика выполненных исследований

В первой главе диссертации рассмотрены практически важные классы типовых задач управления рисками и возникающие при их решении проблемы получения конечных численных результатов. Одним из основных вопросов, возникающих при управлении ресурсами, является оценка риска исчерпания ресурса до достижения поставленной цели Как правило, это связано с наличием случайных факторов поступления и потребления ресурсов. Рассматриваются задачи прогнозирования ресурсов для моделей с непрерывным и дискретным пространством состояний Это в равной степени относится и к

оценке ресурсов при ведении проектной деятельности, планированию жизненного цикла сложных технических систем и прогнозированию финансовой устойчивости страховых компаний. Для большинства используемых моделей аналитические выражения удается получить только в ряде специальных случаев, не отвечающих реальным практическим запросам

Модели с дискретными состояниями. На основании данного класса моделей традиционно решаются задачи надежности, задачи обслуживания очередей заявок, ресурсного анализа проектов и многие другие. Практический интерес представляют характеристики переходных процессов, а также исследования затрат ресурсов для достижения выделенных состояний.

В работе рассматриваются задачи прогнозирования ресурсов в полумарковских процессах с доходами В этом классе задач изменение исследуемого ресурса представляется на основе моделей с дискретными состояниями, а ситуации рисков связываются с достижениями определенных состояний на графе переходов. В работе используется следующая формальная модель.

— вводится конечный набор состояний системы;

— Переход из г-го состояния в 7-ое происходит с вероятностью >

— на переход расходуется ресурс с плотностью распределения (О

Таким образом, рассматриваются полумарковские блуждания на заданном графе переходов. Формально введем матрицу

= (1) где /¡г] * (&) - плотность дефектного распределения времени, проводимого процессом в состоянии г перед переходом в состояние ]. Состояние процесса после ¿-го перехода задаётся вектором-строкой у/Кк\ Новое со-

стояние процесса после (к+1) — го перехода

= (2)

Д ля любого поглощающего состояния вероятность пребывания в нем и распределение времени его первого достижения совпадают и могут быть вы-

числены по формуле в матричном виде

00.

к=0

Наибольшую трудность представляет обращение матрицы в правой части (3), зависящей от параметра 5 Эффективные численные методы для решения этой задачи в известной автору литературе не представлены. В работе данную задачу удается заменить более простой и получить требуемое решение.

Полученные результаты используются при решении задач прогнозирования ресурсов в рамках ведения проектной деятельности и при решении задач выбора оптимальной стратегии проведения диагностических обследований газотранспортных систем.

Модели с непрерывным пространством состояний. Рассмотрены известные модели страховой деятельности, включающей задачи прогнозирования изменений страхового капитала и оценки вероятности разорения. Модели сформулированы в наиболее общих постановках, для которых получены аналитические результаты в виде преобразований Лапласа, обращение которых возможно только численными методами.

Размер страхового капитала ¿7(0 к моменту времени ? общем случае

где U (0) - капитал в начальный момент времени, P(t) - общая сумма страховых взносов к моменту времени t, S(t) - общая сумма выплат

1. Задача о разорении страховой компании. Для общего процесса (4) аналитического выражения для вероятности разорения к настоящему времени не получено. Практически важным является его частный случай (модель Лундберга), когда

U(t) = U(0) + P(t) -S(t),

(4)

< , где

(5)

i=i

скорость поступления денежных средств постоянна и равна с ;

- события выплат между собой не связаны;

— времена между выплатами распределены = 1 — ехр(—М) );

В этом случае известно, что распределение вероятности разорения определяется из

где является корнем нелинейного функционального уравнения

В работе предлагается численная схема, где процесс обращения выражения (6) разбивается на 2 этапа:

- решение (7) в виде ряда относительно неизвестной функции ;

- обращение выражения (6) после подстановки в исходное выражение решения (7) и представления всех функций* непосредственно входящих в (6), в виде рядов и применения операций над рядами

В работе также рассмотрены общие процедуры получения численных оценок для моделей, учитывающих возможности управления процессом риска, используемых в реальной страховой деятельности - перестраховку и помещение страхового капитала в банк под процент Подходы к численному исследованию данных моделей аналогичны подходу, предложенному для классической модели.

2. Задача о распределения капитала страховой компании с постоянным потоком премий Изменение капитала во времени определяется выражением (5), где времена между выплатами распределены по закону

у» = £(£> ехр(-и(0)Л(1-ф))),

(6)

Л"0) = /?0 + СЛ- С Ля (в)).

(7)

где &](О - полином степени 1, все ^ различны,

В этом случае известно, что изменение капитала во времени описывается изображением:

Ыг * пЛ - 1 ~<* + сЯ) Г + <* м^+х-сгр

5 + ' „Г Ту (9)

*=1 сг)

при заданных целых 1,щ,...,т1 и - ,7/ при условии, что Л<Л<"-<Л-' Предполагается, что заданы наборы Л {/ : Л-1 - 7 - }, ^ -1. Оо = 0), ж - изображение времени, г - изображение капитала, <} - изображение начального капитала

В работе задача обращения (9) разбивается на 2 подзадачи

- нахождение ч) в правой части (9) в виде двумерного ряда из условий аналитичности;

- обращение выражения (9).

Во второй главе диссертации проведен краткий сравнительный анализ существующих методов обращения преобразований Лапласа, предложена процедура численного обращения выражений, содержащих неявно заданные функции, предложены процедуры повышения точности обращения как в отдельной точке, так и на всем интервале и в многомерном кубе, рассмотрено решение задачи многомерного обращения, содержащего неявно заданные функции.

В результате в качестве основного метода обращения преобразований Лапласа для использования в работе был выбран метод Поста-Видера с вычислением аппроксимантов с помощью операций над рядами.

Метод Поста-Видера основан на вычислении аппроксимантов вида

где г(к-ц -(к-1) производная преобразования Лапласа/ (я) = ¿(/(¿)).

Недавно была предложена схема, в которой для расчета аппроксимантов применяются операции над рядами (все составляющие элементарные функции представляется в виде рядов и выполняются элементарные действия над ними). Такой подход избавляет от необходимости дифференцирования или численного нахождения интегралов и полностью устраняет методическую погрешность (10). При разложении в ряд в точке 5=0 для задач обращения преобразований функций распределений начальные моменты любого порядка оказываются вычисленными.

В работе на основе такой интерпретации предложена процедура численного обращения выражений, содержащих неявно заданные функции, предложены процедуры повышения точности обращения как в отдельной точке, так и на всем интервале и в многомерной кубической области, рассмотрено решение задачи многомерного обращения, содержащего неявно заданные функции.

Повышение и контроль точности. Развиваемый в работе подход к повышению и обеспечению контроля точности обращения основан на структуре погрешности аппроксиманта метода Поста-Видера

где коэффициенты а„(не зависят от А:, а - погрешность аппрокси-

манта.

Из (11) видно, что' для получения высокой точности требуется очень большие порядки аппроксиманта, как правило, недостижимые при практических вычислениях (особенно для задач многомерного обращения). Качественное повышение точности может быть достигнуто на основе последовательного нахождения нескольких аппроксимантов и последующего примене-

(11)

ния процедур экстраполяции к пределу

В работе применялись полиномиальная и дробно — линейная экстраполяция к пределу по 1/к—>0. Применение данных процедур позволило на несколько порядков снизить объем вычислений для получения приемлемой точности.

В работе предложена процедура контроля точности применения экстра-поляционных схем Для дифференцируемых функций fit) в точке t аппрок-симант к-то порядка имеет вид (11). Выполним с помощью операций над рядами расчет набора N аппроксимантов для одного t, но для различных к-кг,..., kN+1. В (11) пренебрежем погрешностями ek N (t). Тогда.

(12)

Л + к...

"•JV+l KN+1

Посредствам экстраполяционных схем обеспечивается устранение заданного числа членов погрешности в (12). Здесь в качестве гарантированной численной оценки погрешности fif), применимой на практике, предложено

использовать величину anif)/^N+" •

Использование операций над рядами позволяет значительно снизить вычислительные затраты даже в одномерном случае. При нахождении искомого ряда разложений со старшим членом порядка к в виде членов меньших порядков определяются аппроксиманты порядка J для точек t=jT/k при 1 ^ j . На этом основании в работе предложена процедура обращения преобразования Лапласа для промежуточных точек t=jT/k на интервале [0;Г] методом Поста-Видера без дополнительных вычислений. При расчетах на том же отрезке с другим старшим апроксимантом в точке Т (при его соответствующем подборе) для ряда точек t е [0;Г] может быть найдено более од-

ного аппроксиманта и выполнена экстраполяция к пределу (наилучший эффект достигается при #4=2*).

Однако точность может быть значительно повышена не только в точках, для которых рассчитано несколько аппроксимантов Для таких точек вычисленное значение умножается на коэффициент, полученный как линейная комбинация отношений вычисленных значений и оценок после экстраполяции для соседних точек в которых вычислено несколько аппроксимантов Для всех рассмотренных в работе примеров применение этого метода позволило улучшить точность худшей оценки в дискрете на интервале (гиперкубе) не менее чем на 2-3 порядка. Такая возможность становится особенно важной при ее распространении на случай многомерных преобразований Лапласа.

Обращение неявно заданных функций.

Одномерный случай. Применение метода Поста-Видера на основе операций над рядами позволяет построить эффективные численные процедуры для обращения выражений, содержащих неявно заданные функции, например, для уравнения

я(л) = /?(а(«)-Ся-(я)) (13)

Его частные случаи встречаются в целом ряде задач ресурсного управления, рассмотренных выше. Решение ищется в виде ряда, который в дальнейшем подставляется в исходное выражение. В работе предложено несколько схем решения уравнения (13) Однако наиболее эффективной для задач, рассматриваемых в рамках данной работы, оказалась следующая схема — все функции в исходном уравнении представляются в виде разложения в ряды

¿я/=£э, , (14)

/=0 (=0 /=0 у=0 1=0

где ТС = [я,] - вектор размерности п, ^(п) коэффициент при х', зависящий от я, и полученный путем вычисления коэффициентов разложения в ряд выражения (14) На каждом шаге неизвестное я", зависит только от где

] < 1. ЯГ„ находится из уравнения я0 = Р(а0 -Сяг0). Решение исходного уравнения сводится к последовательному решению п-1 уравнений с одной неизвестной относительно коэффициента при 1-ой степени 5. В работе показано, что каждому корню уравнения соответствует не более одного решения в виде разложения в степенной ряд Предложенная в работе процедура имеет линейную зависимость вычислительной сложности и затрат памяти от количества членов искомого ряда

В качестве особого случая в работе данный подход был применен для решения уравнения (13), где /?(•) имеет распределение Парето, не имеющего конечного представления в операторной области.

Многомерный случай. На базе рассмотренных выше вычислительных приемов в работе предложена процедура обращения многомерных преобразований Лапласа, содержащих неявно заданные функции Применим ее для обращения (9) Разлагая в ряды неизвестные функции XJr„(s>cI), получим из условия аналитичности (9)

mJ

К "

= 0

(15)

Решение уравнения (15) относительно г(я) полностью аналогично процедуре решения уравнения (13). В работе показано, что случаи действительных и мнимых корней принципиально не меняют общую вычислительную схему При таком выборе г(и) с Ие (г0) > О, (где т0 - член при нулевой степени разложения в ряд Тейлора функции должен обращаться в ноль и числитель (9) за счет выбора соответствующих функций

—-££ ¿-¡¿-и

= 0

Обозначим через г(8) с Ке(гу 0) >0 корни (15) и через гщ и-ый член разложения вряд Неизвестные функции (•?><?) в(16) определяют-

ся в виде их разложении в ряды из системы уравнении

J »V

11

м т=1

J т, М т=1

ЕЕК-АЛЧ.

_*=0 /=0

.*=0 1=0

= В

/+1]т

4" — ГДе А],т ~

-т

-1

и Вп = д +

¡=О ) V 1=0 >

После определения всех коэффициентов разложения в ряды функций xjJn(s>Я) получение аппроксиманта функции в (9) осуществляется

посредствам операций над рядами трех переменных, подученными разложением всех функций в точке (1 — 5), г0(1 —г); (1 — д)). Данный трехмерный ряд содержит значение аппроксиманта искомой функции у{г, д) в точке (Т0, ¥0, (а также, если требуется, и в точках дискретов кубической

области) Численно аппроксимант равен коэффициенту при ятдтгт полинома, определенного из выражения (9).

Таким образом, во второй главе предложены процедуры численного обращения, позволяющие полностью исключить методическую ошибку вычисления аппроксимантов, и универсальный подход для обращения заданных аналитически в операторной области функций

В третьей главе рассматривается реализация вычислительного ядра, необходимого для поддержки предложенных расчетных схем При разработке ядра учитывалась плохая обусловленность решаемых задач обращения (особенно многомерных) Поэтому в основу ядра были положены вычисления с устанавливаемой длиной мантиссы, хотя в частных случаях возможна разработка специальных вычислительных приемов получения устойчивых схем при стандартной 32-х разрядной арифметике.

Ядро вычислительной среды позволяет.

- работать с длиной мантиссы до 40 тыс. десятичных знаков,

- использовать числа в диапазоне от +/-9 9(9)Е2147483647.

Для обеспечения вычислений для ядра в качестве системных были рассчитаны константы л и е с точностью до 12000 десятичных знаков

Гарантированная оценка точности обращения распределений на оси. Использование предложенных выше расчетных схем обращения преобразования Лапласа остается эффективным в ограниченной области действительного аргумента При отдалении от начала координат оригинала, как и для всех известных методов, наблюдается рост погрешности Конечно, данный рост погрешности может быть скомпенсирован за счет увеличения порядка и количества используемых аппроксимантов Однако на практике это приводит к недопустимым вычислительным затратам и связанным с этим проблемам устойчивости вычислений

Достигнутое повышение устойчивости вычислений позволило сформировать и реализовать процедуру синтеза границ для верхней и нижней оценки на всей числовой оси для обращаемых преобразований распределений вероятности. Основу подхода составляет комплексное применение в одной вычислительной схеме различной доступной информации об исследуемом преобразовании Лапласа для исследуемого распределения, включая:

- данные численного обращения в начале оси;

- значения моментов для обращаемого распределения;

- оценки "хвостов" распределений - асимптоты, которые получены для целого ряда задач.

Формально задача получения, минимальной возможной оценки распределения в точке ¿ = является задачей вариационного исчисления для определения при заданных ограничениях плотности обеспечивающей минимум . Однако в работе данная задача заменяется более простой зао

дачей, где функции./? оцениваются в дискретах г, = к*1 и используется ее кусочная интерполяция полиномами. В результате исходная задача после подстановки формул численного интегрирования сводится к задаче линейного программирования (схема приведена для полинома 2-го порядка)

к, г . .ч . , [2 I-четное,

3 ' (ЛИ м [4. г - нечетное,

(18)

при ограничениях-

Г

~г{/0 + 2 + ) ~ ^ (нормировка); 3 1=1

А А/-1

"тС/о'о + + /м*м) = мк,к = 1. м (известныемоменты);(19)

3 ¡=1

а1 < /1 < Ь1 (отраничения по на основе оценок);

/м _ <*>Ум) .

<у(/ ) (изменения на «хвосте»).

Конкретная форма ограничений (19) в частных случаях может иметь несколько иной вид в зависимости от доступной информации. Аналогично можно найти верхнюю оценку распределения при тех же ограничениях и оценить их разность. Таким образом, в результате применения предложенного подхода:

1. Расширяется область гарантированных оценок распределения и повышается точность (по сравнению с использованием только данных численного восстановления, оценки по моментам и асимптотам);

2. Средства контроля точности решения встроены в сам метод;

3. Получаются гарантированные верхняя и нижняя оценки исследуемой величины как функции времени.

В четвертой главе рассмотрено применение предложенных в работе методов численного анализа.

В работе предложены вычислительные схемы численного исследования

18

процессов с дискретным пространством состояний В частности, для применения метода Поста-Видера с вычислением аппроксимантов с применением операций над рядами предложена процедура обращения матрицы в (3) Искомая обратная матрица представляется в виде матричного ряда. Коэффициенты матричного ряда определяются рекуррентно по схеме:

Предложена и проанализирована модель прогнозирования ресурсов типового проекта создания информационной системы. В рамках данной модели весь процесс создания информационной системы представлен в виде графа, где каждому этапу проекта соответствует вершина, а дуги между вершинами определяют возможность перехода от этапа к этапу. Граф для проекта, выполняемого в соответствии с ГОСТ 19.102-77, представлен на рис 1 Матрица вида (3) для данного графа имеет размерность 12x12. Распределения затрат ресурсов на выполнение этапа определяются на основе экспертных оценок или накопленной в организации статистики.

Следует отметить, что в предлагаемой схеме анализа исполнения проекта, в отличие от известного метода сетевого планирования, можно рассматривать случаи, когда затраты ресурса на прохождение этапа имеют любое распределение, а также допускается возможность возврата к одному из предыдущих этапов в случае определенных завершений текущего. Все это делает модель более адекватной для практического применения.

(20)

Техническое задание

Эскизный

Технический

Рабочий проект

Обоснование необходимости разработки программы во,

ад

Разработка и утверждение технического задания 82,

Разработка эскизного проекта^,

Утверждение технического проек-

Разработка программы 87, 6,(5)

Разработка программной документации вв,

Рис. 1. Граф состояний процесса реализации проекта по разработке информационной системы.

На базе полученных распределений вероятности достижения поглощающих состояний можно сделать вывод о целесообразности осуществления проекта. Например, для проекта, вероятности завершения которого представлены на Рис. 2, видно, что вероятнее всего проект будет не успешным и завершится на ранней стадии с относительно не большими потерями ресурсов. Такой проект вряд ли стоит осуществлять.

0,7 0,6 - 0,5 I 0,4

|о,з 3 0,2 0,1 0

Время (Ц

6

10

-вероятность успешного завершения проекта

---вероятность неуспешного завершения проекта

Рис 2. График вероятностей завершения проекта с благоприятным или неблагоприятным исходом.

Разработана и проанализирована модель оптимизации стратегии диагностических обследований газотранспортных систем. Для определения оптимальной стратегии обследования была сформирована формальная модель, основанная на действующих нормативных положениях, статистических данных и экспертных оценках Весь процесс эксплуатации системы был представлен в виде графа, (см рис 3).

Дефекты после завершения 2-ш периода эксплуатации выявлены и устранены. Цена ремонта имеет распределение Л2(С) (7)

Рис. 3. Граф состояний системы

»

В таб. 1 представлены рассчитанные стратегии диагностических обследований при заданных вероятностях переходов, стоимостях обследований. Очевидно, что если вероятность аварии за весь период эксплуатации не должна превышать 0.01, то оптимальной последовательностью обследований является стратегия №4.

Таблица 1

Сводная таблица характеристик процесса при различных стратегиях проведения обследований

№ Стра- Обследование Обследование Вероятность Средние затраты

тегии после 1-го эта- после 2-го аварии на эксплуатацию

па этапа

1 1-тип 1-тип 1,05Е-02 466,4

2 1-тип 2-тип 8,38Е-03 668,5

3 1-тип Не обсл. 2,32Е-02 221,8

4 2-тип 1-тип 9,41Е-03 667,0

5 2-тип 2-тип 7.33Е-03 869,1

6 2-тип Не обсл 2,20Е-02 422,8

7 Не обсл 1-тип 1,81Е-02 265,8

8 Не обсл. 2-тип 1,50Е-02 468,8

9 Не обсл. Не обсл. 3,69Е-02 0

Выполнен численныр анализ для непрерывных моделей изменения страхового капитала. В частности, для классической модели, моделей с перестраховкой и для модели с работающим капиталом были применены процедуры численного анализа вероятности разорения.

На Рис. 4 приведена зависимость вероятности разорения от коэффициента вариации к при гамма-распределении величины страховой выплаты и одинаковом среднем

кв=1,73----кв=2,52 -- -• кв=3,38-----кв=4,82 - - ка=5,03

Рис. 4. Вероятность разорения в зависимости от коэффициента вариации к гамма-распределения величины страховой выплаты (11—1, Л—1, С—2, Г=10 при средней величине выплаты 0 5). На Рис. 5 представлен пример оценки распределения капитала.

6.Е-03-" 5.Е-03 ¥ 4.Е-03 3.E-Q3 2.Е-03 1 ,Е-ОЭ -

0.Е+ОО И 0,16

Рис. 5. Распределение капитала при гамма - распределении величины выплаты (С=2.5, Л=1, средняя величина выплаты 2, коэффициент вариации^ .0).

Вычислительные процедуры и алгоритмы реализованы в среде Microsoft Visual С++- и Microsoft С#.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы:

1. Исследованы основные классы задач управления ресурсами. Установлено, что основные конечные результаты, полученные для моделей, определяющих связь применяемых ресурсов и характеристик систем, в большинстве приложений сформулированы в виде преобразований Лапласа. Это относится как к задачам управления запасами, так и к задачам, представляемым в виде процессов массового обслуживания, а также к некоторым задачам надежности и к задачам управления процессами страхования. Практическое применение данных исследований в значительной степени определяется возможностью их представления в виде конечных числовых результатов, т.е. обеспечением эффективных численных процедур перевода результатов из операторной области в область действительных значений.

2. Разработана и реализована вычислительная процедура модифицированного метода Поста-Видера для численного обращения преобразования

24

Лапласа. Переход к вычислению аппроксимантов на основе операций над рядами позволил полностью исключить методическую ошибку вычисления аппроксимантов, присущую другим методам, и получить универсальный подход для обращения заданных аналитически в операторной области функций Реализованы процедуры для обращения выражений содержащих функции, не имеющих конечного выражения в операторной области

3 Разработана и реализована модель повышения точности обращения путем групповой обработки совокупности аппроксимантов разных порядков, вычисленных для одной точки, как для одномерных, так и для многомерных преобразований. Исследование структуры погрешности аппроксимантов позволило представить эту задачу как задачу экстраполяции к пределу - к ап-проксиманту бесконечного порядка. Реализованы процедуры полиномиальной и дробно-линейной экстраполяции, позволившие не только на порядки увеличить точность обращения в точке, но и контролировать отбрасываемые члены погрешности.

4 С целью контроля и устранения вычислительных ошибок при решении плохо обусловленных задачах, таких как обращение преобразования Лапласа, разработана и применена арифметика с устанавливаемой пользователем длиной мантиссы По сравнению с использованием стандартной арифметики это позволило управлять точностью получаемых аппроксимантов и, соответственно, связанных экстраполяционных процедур, а также реализовать задачи двух- и трехмерных обращений на основе общих процедур

5 Для расширения области полученных конечных результатов численного обращения на всю числовую ось аргументов оригинала предложена модель комплексной оценки (верхней и нижней) получаемого распределения с применением данных численного обращения вблизи начала координат и вычисленного набора моментов исследуемой случайной величины, а также известной асимптотики поведения функции оригинала при больших значениях аргумента. Разработаны вычислительные схемы реализации предложенной модели для случаев дискретных и непрерывных распределений в задачах

одномерного и двумерного обращения преобразования Лапласа.

6 Разработана модель и построена процедура повышения точности численного обращения с применением метода Поста-Видера в прямоугольной области. Применение модели позволяет качественно повысить точность обращения в N узлах сетки по каждой координате, практически не увеличивая время вычислений. Сокращение времени относительно способа прямого пересчета обращения для каждого узла в отдельности составляет N раз для задач одномерного, И2 - для двумерного и Л^ - для трехмерного обращений Учитывая, что для достижения необходимой точности порядок старшего ап-проксиманта обычно не менее 50-60, этот подход для многомерных задач становится чрезвычайно эффективным.

7. Для моделей управления ресурсами, представляемых в виде блужданий по конечному графу переходов с затратами ресурсов на каждый возможный переход, разработана процедура решений задачи о достижении заданной группы состояний из исходных. Данная процедура основана на численном обращении матрицы функций переходов, определенной в операторной области Для частных случаев матриц переходов разработаны простые рекуррентные процедуры, позволяющие эффективно решать задачи большой размерности.

8. Сформирована модель для оценивания распределения времени выполнения разработки автоматизированной информационной системы в соответствии с ГОСТ 19.102-77. В отличие от классической сетевой схемы предложенная модель допускает возможность возврата на ранее выполненные этапы, а также применение различных законов распределения времени реализации каждого этапа.

9. Формализована и решена задача оптимизации выбора состава контрольного оборудования для регламентных проверок трубопроводных систем, применяемых для транспортировки нефти Модель построена с учетом этапности жизненного цикла таких систем и позволяет определять вероятность аварий и связанных с ними потерь для различных вариантов решений.

10 Разработана процедура и получено численное решение для задачи определения риска разорения страховой компании как функции времени.

11 Разработана процедура и получено численное решение для обобщенной задачи обращения трехмерной функции изменения во времени распределения капитала страховой компании со случайной величиной начального капитала В работе решена задача нахождения неявно заданной многомерной функции, доказана единственность получаемого решения и реализован комплекс вычислительных процедур для обеспечения численного обращения с гарантированной точностью в действительной области

Содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Фролов А.Г. Расчет распределения вероятного накопленного капитала // Научная сессия МИФИ - 2006, Сборник научных трудов, Том 12, С. 85-86.

2 Фролов А.Г. Обращение 2-х мерных преобразований лапласса методом Поста-Видера // Научная сессия МИФИ - 2006, Сборник научных трудов, Том 12, С. 83-84.

3. Фролов А Г. Повышение точности численного обращения преобразования Лапласа // Научная сессия МИФИ - 2002, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116.

4. Фролов А.Г. Повышение точности численного обращения преобразования Лапласа // Научная сессия МИФИ - 2002, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116

5 Фролов А.Г. Система прогнозирования поступления и расходования ресурсов в социальном фонде // Научная сессия МИФИ -2005, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116.

6. Фролов А.Г Численная оценка вероятности разорения страховой компании // Научная сессия МИФИ - 2004, Сборник научных трудов, Том 12, С. 120-121.

7. Фролов А Г. Численное обращение уравнения вида х(з)=Р(а(з)-Схф), линейное по затратам памяти // Научная сессия МИФИ -2003, Сборник научных трудов, Том 12, С. 110-111.

8. Фролов А.Г, Фролов Г.А Численные оценки распределения вероятностей на основе комплексного применения свойств известного преобразования Лапласа // Научная сессия МИФИ - 2005, Сборник научных трудов, Том 12, С 117-118.

9. Фролов А.Г, Завьялов А.П Прогнозирование ресурса трубопровода по критерию конструктивной надежности // Пятая всероссийская конференция молодых ученых и специалистов по проблемам газовой промышленности России «Новые технологии в газовой промышленности» - 2003. С. 45-48.

Ю.Фролов А Г, Данилов О А., Завьялов А П Метод прогнозирования ресурса оборудования на основе методов теории надежности // Сборник трудов ХХП тематического семинара «Диагностика оборудования и трубопроводов КС». Приложение к журналу «Наука и техника в газовой промышленности». Москва, ИРЦ «Газпром», 2004 ч. 2, С. 61 -67.

11 Фролов А.Г Завьялов А.П. Оптимизация ресурсов на средства диагностики в задаче прогнозирования вероятности безаварийной работы трубопровода // Научная сессия МИФИ - 2004, Сборник научных трудов, Том 12, С. 110-111

12.Фролов А.Г. Вычислительные схемы применения метода Поста-Видера для обращения неявно заданных функций // Инженерная Физика №4 2007 С. 67-68.

Типография МИФИ 115409, Москва, Каширское шоссе, 31

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РИСКОВ.

1.1. Обзор основных задач.

1.2. задачи прогнозирования ресурсов в полумарковских процессах с доходами.

1.3. задачи управления ресурсами в моделях с непрерывными состояниями.

1.3.1 Модель изменения страхового капитала.

1.3.2 Задача о разорении.

1.3.2.1 Решения для классической модели.

1.3.2.2Модели страховой компании с учетом перестраховки.

1.3.2.3Классическая модель страховой компании с работающим капиталом.

1.3.3 Задача о распределении капитала страховой компании.

1.3.3.1 Решение для классической модели.

1.3.4 Модели со скачкообразным изменением капитала.

1.4. выводы по первой главе.

2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА ДЛЯ ЗАДАЧ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РИСКОВ.

2.1. сравнительный анализ основных методов численного обращения преобразования лапласа.

2.2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОСТА-ВИДЕРА НА ОСНОВЕ АРИФМЕТИКИ РЯДОВ.

2.3. применение метода поста-видера для обращения неявно заданных функций.

2.3.1 Базовая процедура, линейная по памяти.

2.3.2 Итерационная процедура по вектору.

2.3.3 Процедура с последовательными итерациями по координатам.

2.3.4 Сравнение процедур.

2.3.5 Специальная схема для распределения Парето.

2.4. повышение точности обращения в точке путем экстраполяции к пределу. практический контроль точности.

2.4.1 Полиномиальная экстраполяция.

2.4.2 Дробно-линейная экстраполяция.

2.4.3 Оценка областей применимости процедур экстраполяции.

2.5. обращение преобразования лапласа iia интервале.

2.6. развитие метода поста-видера для обращения многомерных преобразований лапласа.

2.7. Решение задачи многомерного обращения с неявно заданными функциями.

2.8. Выводы по второй главе.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

3.1. вычислительная среда и базовые функции.

3.1.1 Реализация арифметики с произвольной длиной мантиссы.

3.1.2 Константы вычислительной среды.

3.1.3 Процедуры контроля устойчивости вычислений.

3.1.4 Операции над рядами.

3.1.5 Архитектура системы.

3.2. Тестовые примеры.

3.2.1 Обращение с предельной точностью.

3.2.2 Обращение на интервале.

3.2.3 Обращение в прямоугольной области.

3.3. Синтез границ оценки переходных режимов в задачах анализа изменения ресурсов.

5.5.1 Обобщенная оценка границ интервалов распределения.

3.3.2 Синтез оценок для одномерных распределений.

3.3.3 Синтез для многомерных распределений.

3.4. Выводы по третьей главе.'.

4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ЗАДАЧ

ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РИСКОВ.

4.1. Численный анализ дискретных полумарковских процессов с доходами.

4.1.1 Общий случай.

4.1.2 Процессы с трехдиаганальной матрицей переходов.

4.1.3 Процессы чистой гибели.

4.2. разработка и анализ ресурсной модели типового проекта создания информационной системы.

4.2.1 Постановка и формальная модель.

4.2.2 Численный анализ.

4.3. Разработка и анализ модели оптимизации стратегии диагностических обследований газотранспортных систем.

4.3.1 Постановка и формальная модель./

4.3.2 Численный анализ.

4.4. Численный анализ для непрерывных моделей изменения страхового капитала.

4.4.1 Оценка вероятности разорения для классической модели.

4.4.2 Оценка вероятности разорения для моделей с перестраховкой.

4.4.3 Оценка вероятности разорения для модели с работающим капиталом.

4.4.4 Оценка распределения капитала.

4.5. Выводы по четвертой главе.

Общая характеристика работы. Диссертационная работа посвящена решению задач ресурсного управления и прогнозирования рисков с использованием методов численного анализа вероятностных моделей поведения систем.

Актуальность.

В настоящее время вопросы прогнозирования рисков в различных отраслях являются важной составляющей задач управления ресурсами в условиях случайного поведения систем. К настоящему моменту получено большое количество аналитических результатов для вероятностных моделей поведения таких систем. При этом практическое применение ряда важных теоретических результатов ограничено тем, что они получены в виде преобразований Лапласа (часто многомерных), а получение явных конечных выражений в действительной области, имеющих практический интерес, как правило, на сегодня невозможно. Существующие методы численного обращения преобразования Лапласа позволяют получить результат с приемлемой точностью только в ограниченной области действительных аргументов (особенно в случае многомерных преобразований Лапласа) и применимы не для всех классов аналитических результатов (например, если в качестве части аналитического выражения содержится неявно заданная функция), что не отвечает практическим требованиям. Поэтому актуальной является задача разработки новых схем численного анализа, позволяющих снимать эти ограничения и получить численные результаты для заданных классов задач прогнозирования рисков, как на основе известных моделей, так и путем развития новых схем моделирования.

Объектом исследования являются вероятностные процессы поведения систем, сопряженные с затратами ресурсов.

Предметом исследования выступают вычислительные методы, процедуры и модели прогнозирования ресурсных затрат при выполнении проекта создания информационной системы, оптимизации стратегии профилактиче4 ских обследований газотранспортных систем и оценке финансовой устойчивости страховых компаний.

Целью работы является разработка методов численного анализа, позволяющих расширить область практического применения аналитических результатов, полученных в области задач прогнозирования рисков вероятностной природы в задачах ресурсного управления.

Задачи исследования:

• разработка и практическая реализация базовых процедур численного обращения преобразований Лапласа, адекватных особенностям современных аналитических моделей изменения ресурсов;

• развитие и практическая реализация методов обращения многомерных преобразований Лапласа;

• качественное повышение и практический контроль точности обращения преобразований Лапласа, расширение области гарантированных оценок получаемых результатов для заданного класса моделей;

• понижение порога применимости результатов, получаемых по типовым моделям, до уровня пользователей в различных предметных областях;

• развитие методов обращения для анализа типовых моделей газотранспортных систем, страховой деятельности и моделей с дискретными состояниями.

Методы исследования.

Для решения поставленных задач в качестве базовой методологии, являющейся основой исследования, в работе использовались методы численного анализа, экстраполяция к пределу, линейное программирование, элементы теории вероятностей, методы математического моделирования.

Научная новизна:

• разработаны методика и алгоритмы численного анализа моделей оценок риска и управления ресурсами в системах со случайным поведением, конечные результаты для которых представлены в виде преобразования Лапласа;

• разработаны эффективные численные процедуры обращения выражений преобразований Лапласа, содержащих неявно заданные функции в операторной области;

• разработан и практически реализован метод обращения 2-х и 3-х мерных преобразований Лапласа с обеспечением контроля точности результатов при качественном сокращении объема вычислений по отношению к процедурам поточечного обращения;

• разработан метод контроля погрешности численного обращения преобразования Лапласа функций распределения вероятности;

• разработан метод расчета характеристик достижения выделенных состояний в модели полумарковских блужданий с конечным графом переходов.

Практическая значимость работы:

• разработан и реализован метод практического контроля точности обращения преобразования Лапласа на всей числовой оси;

• реализованы численные методы оценки затрат ресурсов для достижения заданных состояний для модели с полумарковскими процессами с конечным числом состояний. Методы применены для оценки затрат и рисков на реализацию проектов создания информационных систем и для решения задачи выбора оптимальной стратегии проведения обследований газотранспортной системы;

• разработаны и реализованы численные методы исследования характеристик типовых моделей страхования. Расширена область гарантированных численных оценок результатов моделирования;

• разработаны программные средства, предназначенные для численного решения задач, требующих вычислений с повышенной точностью, в т.ч. для плохообусловленных задач линейной алгебры.

Основные положения, выносимые на защиту:

• вычислительные методы и средства для численного обращения преобразования Лапласа с контролем точности и устранением влияния на результат вычислительной и методической погрешностей;

• вычислительные методы обращения выражений, содержащих неявно заданные функции (в т.ч. для многомерных обращений), линейные по затратам памяти и времени;

• процедура определения гарантированной верхней и нижней оценки распределения вероятности по известному изображению;

• вычислительные методы оценки ресурсов в моделях с конечными полумарковскими процессами с доходами;

• процедура трехмерного обращения преобразования Лапласа;

• модель прогнозирования ресурсных затрат при выполнении проекта создания информационной системы;

• модель выбора оптимальной стратегии профилактических обследований газотранспортных систем;

• процедуры численного анализа моделей финансовой устойчивости страховых компаний.

Достоверность разработанных моделей, вычислительных методов и процедур обеспечивается применением различных видов математического аппарата, гарантированной точностью вычислений и подтверждается актом о внедрении основных результатов работы.

Реализация и внедрение результатов работы. Научные результаты, полученные в диссертационной работе в виде в виде методики численного анализа моделей и вычислительных процедур оценок риска при управлении ресурсами в системах со случайным поведением использованы в ИТЦ «Орг-техдиагностика» ДОАО «Оргэнергогаз» при разработке программы диагностического обслуживания оборудования и трубопроводов компрессорных станций ООО «Уралтрансгаз», а также при выработке рекомендаций по их безопасной эксплуатации.

Апробация работы.

Научные и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских научных конференциях. В частности на:

- научной сессии МИФИ, 2002 - 2006 г.г., V всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России "Новые технологии в газовой промышленности", Москва, 2003; тематическом семинаре «Диагностика оборудования и трубопроводов КС», Москва, 2004; научно-техническом совете ОАО «Институт инфономики (информационной экономики)», Москва, 2007.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание работы изложено на 165 страницах машинописного текста, в том числе на 29 рисунках и в 23 таблицах. Список использованной литературы включает 133 наименования.

4.5. Выводы по четвертой главе.

В четвертой главе рассмотрено применение предложенных в работе методов:

Рассмотрены решения задачи о достижениях для случайных процессов с дискретным пространством состояний, применяемых в моделях различных предметных областей.

В качестве практических примеров применения результатов работы приведены:

• ресурсная модель типового проекта поэтапного создания (с возможностью возврата на предыдущий этап) информационной системы в соответствии с ГОСТ 19.102. Распределения затрат ресурса при переходе из состояния в состояние определяется на основе экспертных оценок;

• модель оптимизации стратегии диагностических обследований газотранспортных систем. Целевой функцией является минимальная суммарная стоимость проводимых работ за весь жизненный цикл эксплуатации системы при ограничении на вероятность безаварийной работы. В качестве параметров управления выступают состав и момент проведения профилактических работ. В рамках данной модели так же учитывается снижение надежности, обусловленное старением оборудования;

• приведены примеры численного анализа характеристик для страховых моделей. В частности, вероятность разорения и распределение накопленного страхового капитала.

При решении задач определялись численные оценки распределения случайной величины расхода ресурса для достижения выделенных состояний, а также необходимое число начальных моментов этой величины.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы:

1. Исследованы основные классы задач управления ресурсами. Установлено, что основные конечные результаты, полученные для моделей, определяющих связь применяемых ресурсов и характеристик систем, в большинстве приложений сформулированы в виде преобразований Лапласа. Это относится как к задачам управления запасами, так и к задачам, представляемым в виде процессов массового обслуживания, а также к некоторым задачам надежности и к задачам управления процессами страхования. Практическое применение данных исследований в значительной степени определяется возможностью их представления в виде конечных числовых результатов, т.е. обеспечением эффективных численных процедур перевода результатов из операторной области в область действительных значений.

2. Разработана и реализована вычислительная процедура модифицированного метода Поста-Видера для численного обращения преобразования Лапласа. Переход к вычислению аппроксимантов на основе операций над рядами позволил полностью исключить методическую ошибку вычисления аппроксимантов, присущую другим методам, и получить универсальный подход для обращения заданных аналитически в операторной области функций. Реализованы процедуры для обращения выражений содержащих функции, не имеющих конечного выражения в операторной области.

3. Разработана и реализована модель повышения точности обращения путем групповой обработки совокупности аппроксимантов разных порядков, вычисленных для одной точки, как для одномерных, так и для многомерных преобразований. Исследование структуры погрешности аппроксимантов позволило представить эту задачу как задачу экстраполяции к пределу - к ап-проксиманту бесконечного порядка. Реализованы процедуры полиномиальной и дробно-линейной экстраполяции, позволившие не только на порядки увеличить точность обращения в точке, но и контролировать отбрасываемые члены погрешности.

4. С целью контроля и устранения вычислительных ошибок при решении плохо обусловленных задачах, таких как обращение преобразования Лапласа, разработана и применена арифметика с устанавливаемой пользователем длиной мантиссы. По сравнению с использованием стандартной арифметики это позволило управлять точностью получаемых аппроксимантов и, соответственно, связанных экстраполяционных процедур, а также реализовать задачи двух- и трехмерных обращений на основе общих процедур.

5. Для расширения области полученных конечных результатов численного обращения на всю числовую ось аргументов оригинала предложена модель комплексной оценки (верхней и нижней) получаемого распределения с применением данных численного обращения вблизи начала координат и вычисленного набора моментов исследуемой случайной величины, а также известной асимптотики поведения функции оригинала при больших значениях аргумента. Разработаны вычислительные схемы реализации предложенной модели для случаев дискретных и непрерывных распределений в задачах одномерного и двумерного обращения преобразования Лапласа.

6. Разработана модель и построена процедура повышения точности численного обращения с применением метода Поста-Видера в прямоугольной области. Применение модели позволяет качественно повысить точность обращения в N узлах сетки по каждой координате, практически не увеличивая время вычислений. Сокращение времени относительно способа прямого пересчета обращения для каждого узла в отдельности составляет N раз для зау э дач одномерного, ЛГ - для двумерного и - для трехмерного обращений. Учитывая, что для достижения необходимой точности порядок старшего аппроксиманта обычно не менее 50-60, этот подход для многомерных задач становится чрезвычайно эффективным.

7. Для моделей управления ресурсами, представляемых в виде блужданий по конечному графу переходов с затратами ресурсов на каждый возможный переход, разработана процедура решений задачи о достижении заданной группы состояний из исходных. Данная процедура основана на численном обращении матрицы функций переходов, определенной в операторной области. Для частных случаев матриц переходов разработаны простые рекуррентные процедуры, позволяющие эффективно решать задачи большой размерности.

8. Сформирована модель для оценивания распределения времени выполнения разработки автоматизированной информационной системы в соответствии с ГОСТ 19.102-77. В отличие от классической сетевой схемы предложенная модель допускает возможность возврата на ранее выполненные этапы, а также применение различных законов распределения времени реализации каждого этапа.

9. Формализована и решена задача оптимизации выбора состава контрольного оборудования для регламентных проверок трубопроводных систем, применяемых для транспортировки нефти. Модель построена с учетом этапности жизненного цикла таких систем и позволяет определять вероятность аварий и связанных с ними потерь для различных вариантов решений.

10. Разработана процедура и получено численное решение для задачи определения риска разорения страховой компании как функции времени.

11. Разработана процедура и получено численное решение для обобщенной задачи обращения трехмерной функции изменения во времени распределения капитала страховой компании со случайной величиной начального капитала. В работе решена задача нахождения неявно заданной многомерной функции, доказана единственность получаемого решения и реализован комплекс вычислительных процедур для обеспечения численного обращения с гарантированной точностью в действительной области.

1. Виноградов О.П. Вероятность разорения страховой компании в случае, когда интервалы между моментами выплат имеют неодинаковые показательные распределения // Теория вероятностей и ее применение, 1998, том 43, выпуск 2, С. 352-357.

2. Виноградов О.П., Вероятность разорения страховой компании// Теория вероятностей и ее применения, 1998.т.43,вып.1,с. 352-360

3. Виноградов О.П. Об одном элементарном методе получения оценок вероятности разорения // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, том5, выпуск 1, С. 134 139.

4. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компанийс учетом перестраховки // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. С. 150.

5. Додд, Эйлбек, Гиббон, Моррис.// Солитоны и нелинейные волновые ур-я. М.Мир 1988. 694 с.

6. Змеев О.А. Математические модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов Физика, 2001.-№1. С. 19-24.

7. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассонов-ском потоке взносов // Изв. вузов. Физика, 2001. №6. С. 7-12.

8. Ильин Игорь "Технологии построения корпоративной информационной системы (КИС) для российской страховой сетевой компа153нии. РОССИТА™: описание конкретного решения" // (Интернет ресурс) http://vvww.rbc.ru/insurance/tech.html.

9. Ю.Клейнрок JL Вычислительные системы с очередями // М. Мир 1979 600 с.

10. П.Клейнрок J1. Теория массового обслуживания. // М.: Машиностроение, 1979. 624 с.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. // М.: Наука, 1997. 832 с.

12. Кочегаров В.А., Фролов Г.А. "Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели".// Радио и связь. 1991.216 с.

13. Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: Пер. с англ.- 1998,316с.

14. Матвеев О. О вычислении вероятности разорения страховой компании в динамической модели // Страховое дело, 2000, №8, С. 41 -43.16.0бзор корпоративных информационных систем // (Интернет ресурс) http://www.erp.mctlab.ru/reviews/unicusreview.shtml.

15. Рассказов В. Моделирование процессов выплат по договорам добровольного медицинского страхования // Страховое дело, 2000, №5, С. 39-43.

16. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2 -С.Пб.: Лань, 1999. 464с.

17. Фролов А.Г. Расчет распределения вероятного накопленного капитала // Научная сессия МИФИ 2006, Сборник научных трудов, Том 12, С. 85-86.

18. Фролов А.Г. Обращение 2-х мерных преобразований лапласса методом Поста-Видера // Научная сессия МИФИ 2006, Сборник научных трудов, Том 12, С. 83-84.

19. Фролов А.Г. Повышение точности численного обращения преобразования Лапласа // Научная сессия МИФИ 2002, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116.

20. Фролов А.Г. Повышение точности численного обращения преобразования Лапласа Научная сессия МИФИ 2002, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116.

21. Фролов А.Г. Система прогнозирования поступления и расходования ресурсов в социальном фонде // Научная сессия МИФИ 2005, Сборник научных трудов, Том 12, С. 115-116.

22. Фролов А.Г. Численная оценка вероятности разорения страховой компании // Научная сессия МИФИ 2004, Сборник научных трудов, Том 12, С. 120-121.

23. Фролов А.Г. Численное обращение уравнения вида x(s)=P(a(s)-Cx(s)), линейное по затратам памяти. // Научная сессия МИФИ2003, Сборник научных трудов, Том 12, С. 110-111.

24. Фролов А.Г., Фролов Г.А. Численные оценки распределения вероятностей на основе комплексного применения свойств известного преобразования Лапласа // Научная сессия МИФИ 2005, Сборник научных трудов, Том 12, С. 117-118.

25. Фролов А.Г., Завьялов А.П. "Оптимизация ресурсов на средства диагностики в задаче прогнозирования вероятности безаварийной работы трубопровода" // Научная сессия МИФИ 2004, Сборник научных трудов, Том 12, С. 110-111.

26. Фролов А.Г. Вычислительные схемы применения метода Поста-Видера для обращения неявно заданных функций // Инженерная Физика № 4.2007. С. 67-68.

27. Abate J. Choudhury Gagan L. Whitt W. On The Laguerre Method For Numerically Inverting Laplace Transforms // Journal on computing Vol 8. No 4. pp 413-427 (1996).

28. Abate J. Whitt W. The Fourier-series method for inverting transforms of probability distributions // Queuing Systems 10, pp. 5-88 (1992).

29. Airapetyan R.G.; Ramm A.G. Numerical Inversion of the Laplace Transform from the Real Axis // Journal of Mathematical Analysis and Applications, August 2000, vol. 248, no. 2, pp. 572-587(16).

30. Akin J. E.; Counts J. On Rational Approximation to the Inverse Laplace Transform // SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 17, No. 6. (Nov., 1969), pp. 1035-1040.

31. Assmussen S., Approximations for the probability of ruin within finite time. // Scand. Actuarial J., 1984, pp.31-57.

32. Babakahani A.; Dahiya R. S.Iterative Laplace transforms of two variables // Comput. Math. Appl. 19 (1990), no. 6, pp. 71-93.

33. Baker G.A. Jr., P. Graves-Morris "Pade Approximants" Part II Extensions and Applications //Addison-Wesley Co. (1981) 215 p.

34. Baker G.A. Jr., P. Graves-Morris, "Pade Approximants"// Encyclopedia of Mathematics and its Applications vol. 13.14, Addison-Wesley Publ. Co. 1981 -746p.

35. Baradorf-Nielsen O.E., H.Schmidli, Saddlepoint approximations for the probability of ruin in finite time// Scand. Actuar. J., 1995, pp. 169-186.

36. Beard R.E., On the calculation of the ruin probability for a finite time period//ASTIN Bull., 1971,6 (2), pp. 129-133.

37. Beard R.E., Ruin probability during a finite time interval// ASTIN Bull, 1975, 8(3), pp. 265-271.

38. Benktander, G., Claims frequency and risk premium rate as a function of the size of the risk//ASTIN Bulletin, 1973, 7(2), pp. 119-136.

39. Berger Bruce S. Inversion of the N-Dimensional Laplace Transform (in Technical Notes and Short Papers) // Mathematics of Computation, Vol. 20, No. 95. (Jul., 1966), pp. 418-421.

40. Bloom Steven Hardy Integral Estimates for the Laplace Transform // Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 116, No. 2. (Oct., 1992), pp. 417-426.

41. Branders M. Piessens, Numerical inversion of the Laplace transform using generalized Laguerre polynomials // Proc. IEEE 118,1517-1522.

42. BuhImann H., A distribution free method for general risk problems// ASTIN Bull., 1964, 3 (2), pp. 144-152.

43. Bulirsch R. Stoer J. Asymptotic Upper and lower bounds for results of exponential method//Numerische Mathematic 8, pp. 93-104, (1966).

44. Carrasco J.A. Transient Analysis of Rewarded Continuous Time Markov Models by Regenerative Randomization with Laplace Transform Inversion// The Computer Journal, January 2003, vol. 46, no. 1, pp. 8499.

45. Cavers J.K., On the fast Fourier transform inversion of probability generating functions // J. Inst. Math. Appl. 22 (1978) pp. 275-282.

46. Chandran, Pallath Inverse Laplace transforms of a class of non-rational fractional functions.// Intemat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 32 (2001), no. 1, pp. 136-140.

47. Choudhury Gagan, Lucantoni L. and Whitt W. Multidimensional transform inversion with application to the transient M/G/l queue // Ann. Appl. Prob. 4 pp. 719-740 (1994).

48. Crum Larry A.; Heinen James A. Simultaneous Reduction and Expansion of Multidimensional Laplace Transform Kernels // SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 26, No. 4. (Jun., 1974), pp. 753-771.

49. Cunha Cristina Fermin Viloche An Iterative Method for the Numerical Inversion of Laplace // Transforms Mathematics of Computation, Vol. 64, No. 211. (Jul., 1995), pp. 1193-1198.

50. Dahiya R. S.; Vinayagamoorthy M. Laplace transform pairs of n-dimensions and heat conduction problem // Math. Comput. Modelling 13 (1990), no. 10, pp. 35-50.

51. Dai, Yu J. Algebraic numerical inversion of Laplace transform. (Chinese) //Numer. Methods Comput. Appl. 22 (2001), no. 4, pp. 281-285.

52. D'Amore L.; Murli A. Regularization of a Fourier series method for the Laplace transform inversion with real data// Inverse Problems, 2002, vol. 18, no. 4, pp. 1185-1205(21).

53. Davies B. and Martin B.L., Numerical Inversion of Laplace Transforms: a critical evaluation and review of methods. // J. Сотр. Phys. 33 (1970) pp. 1-32.

54. Daykin C.D., Practical risk theory for actuaries// C.D.Daykin, T.Pentikainen, M.Pesonen, Chapman&Hall, 1996. 550 p.

55. De Vylder F., A practical solution to the problem of ultimate ruin probability// Scand. Actuarial J., 1978, p. 114-119.

56. De Vylder.F.E., M.J.Goovaerts, Explicit finite-time and infinite-time ruin probabilities in the continuous case// Insurance: Mathematic and Economic, 1999,24, p. 155-172.

57. Debnath Joyati; Dahiya R. S. Theorems on multidimensional Laplace transform for solution of boundary value problems. // Comput. Math. Appl. 18 (1989), no. 12, pp. 1033-1056.

58. Dhaene J., Distributions in life insurance// ASTIN Bull., 1990, 20 (1), p.81-92.

59. Dickson C.M., H.R.Waters, Gamma processes and finite time survival probabilities//ASTIN Bull., 1993, 23 (2), p.259-272.

60. Dickson C.M.D., The probability of ultimate ruin with a variable premium loading a special case// Scand. Actuarial J., 1991,1, p.75-86.

61. Dickson D., On numerical evaluation of finite time ruin probabilities// Trans. 26th International Congress of Actuaries, 1996, p.437-447.

62. Dickson D.C.M., A.D.E.Reis, W.R.Waters, Some stable algorithms in ruin theory and their applocations// ASTIN Bull., 1995, 25 (2), p. 153175.

63. Dickson D.C.M., C.Hipp, Ruin probabilities for Erlang(2) processes// Insurance: Mathematic and Economic, 1998, 22, p.251-262.

64. Dickson D.C.M., On a class of renewal risk processes // NAAJ, 1998, 2(3),p.60-73.

65. Dickson, D. С. M., H. R. Waters, Ruin problems: simulation or calculation// British Actuarial Journal, 1996, 2,111(8), p. 727-740.

66. Dickson, D.C.M. and H.R. Waters, Recursive calculation of survival probabilities. II ASTIN Billetin, 1991. 21(2): p. 199-221.

67. Dickson, D.C.M., On numerical evaluation of finite time survival probabilities. //British Actuarial Journal, 1999. 5,111(23): p. 575-584.

68. Dufresne F. and H.U. Gerber, Three methods to calculate the probability of ruin. // ASTIN Billetin, 1989.19(1): pp. 71-90.

69. Dufresne F., H.U.Gerber, E.S.W.Shiu, Risk theory with the Gamma process//ASTIN Bull, 1991,21 (2), pp.177-192.

70. Fettis H.E. Numerical Calculation of certain definite integrals by Pois-son's summation formula // Math. Tables Other Aids Сотр. 9 (1955) pp. 85-92.

71. Fox Charles Applications of Laplace Transforms and their Inverses // Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 35, No. 1. (Sep., 1972), pp. 193-200.

72. Freew E.W., Nonparametric estimation of the probability of ruin// ASTTN Bull., 1986,16 (S), pp. 81-90.

73. Frolov G.A. Kitaev M.Y. "A problem of Numerical Inversion of Im-plicity defined Laplace Transforms". // Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 35-44,1998.

74. Frolov G.A. Kitaev M.Y. "Improvement of Accuracy in Numerical Methods for Inverting Laplace Transforms Based on the Post-Widder Formula". // Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 23-34,1998.

75. Gaver D.P. Observing stochastic processes and approximate transform Inversion// Oper. Res. 14, pp. 444-459 (1966).

76. Gerber H.U., An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk// Skand. Aktuar. Tidskr., 1970, pp. 205210.

77. Glynn P. W. and Whitt W. "The Asymptotic Efficiency of Simulation Estimations" // Oper. Res. 39 (1991) pp 174-183.

78. Goovaerts M., N. De Pril, Survival probabilities based on Pareto claim distributions. Comment.//ASTIN Bull., 1980,11 (2), pp. 154-157.

79. Grandell J., A class of approximations of ruin probabilities// Scand. Actuarial J., 1977, pp.37-52.

80. Grandell, J., Simple approximations of ruin probabilities. // Insurance: Mathematics and Economics, 2000. 26: pp. 157-173.

81. Heidelberger, P., Fast simulation of rare events in queuing and reliability models//ACM Transaction on Modeling and Computer Simulation, 1995, 5(1), pp. 43-85.

82. Hickman J.C., Introduction to actuarial modeling// NAAJ, 1 (3), pp.l- 5.

83. Hipp C., Estimators and bootstrap confidence intervals for ruin prob-abilities//ASTIN Bull, 1989,19(1), pp.57-70.89.1glehard D.L., Diffusion approximations in collective risk theory// J. Appl.Probab., 1969, 6, pp.285-292.

84. Jagerman D.L., An inversion technique for the Laplace transform // Bell Sys. Tech. J. 61, pp. 1995-2002 (1982).91Jongh B.H., The insurer's rain// ASTIN Bull, 1966, 4 (1), pp.72-80.

85. Kendall A Summation formula finite trigonometric integrals // Quart. J. Math. 13 (1942) pp. 172-184.

86. Kitaev M.Y. "On Risk Reserve Dynamics In Classical Collective Risk Model"// Scand. Actuarial J (на публикации).

87. Kluppelberg С., U.Stadtmuller, Ruin probabilities in presence of heavy-tails and interest rates// Acand Actuar. J., 1998, pp. 49-58.

88. Knessl, C. and C.S. Peters , Exact and asymptotic solutions for the time-depend problem of collective ruin 1 //. SIAM Journal of Applied Mathematics, 1994. 54(6): pp. 1745-1767.

89. Knessl, C. and C.S. Peters, Exact and asymptotic solutions for the time-depend problem of collective ruin 2. // SIAM Journal of Applied Mathematics, 1996. 56(5): pp. 1471-1521.

90. Lemaire J., Automobile Insurance: Actuarial Models // Kluwer, Boston etc., 1996, 248p.

91. Lew John S. Asymptotic Inversion of Laplace Transforms: A Class of Counterexamples // Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 39, No. 2. (Jul., 1973), pp. 329-336.

92. Malinoivskii V.K., On automobile insurance in Russia (in Russian). // Janus-K, Moscow, 1998, pp. 288-295.

93. Malinovski, V.K., Some aspects of rate making and collective risk models with variable safety loadings // Transactions of the 26-th International Congress of Actuaries 4,1998, pp. 465-481.

94. Malinovskii V.K. "Approximations and upper bounds on probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time".// Scand. Actuarial J., 1994, pp. 161-174.

95. Malinovskii V.K. "Non-poissonian claims arraivals and calculation of the probability of ruin".// Insurance: Mathematics & Economics, 1998, Vol. 22, №2, pp. 123-138.

96. Malinovskii V.K. "Probabilites Of Ruin When The Safaty Loading Tends To Zero"// Advances in Applied Probability Volume 32, Number 3 (2000) pp. 885-923.

97. Malinovskii, V. K., "Non-Poissonian claims' arrival and calculations of the probability of ruin." // Insurance: Mathematics and Economics 22:pp. 123-138, 1998.

98. Matsaev V.; Sodin V. Asymptotics of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions.// M. Algebra i Analiz 14 (2002), no. 4, pp. 107-140.

99. Michna Z., Ruin probabilities and first passage times for self-similar processes // Lund University, Lund, 1998,117 pp.

100. Murthy Bhaskara Direct method of finding the inverse Laplace transforms // Math. Ed. (Siwan) 26 (1992), no. 2, pp. 128-131.

101. Panjer H., Insurance Risk Models/H.H. Panjer, G.E.Willmot, Shaum-berg IL, Society of Actuaries, 1992. 442 p.

102. Paulsen J., Risk theory in a stochastic economic environment// Stochastic Processes and their Applications, 1993,46, pp. 327-361.

103. Pervozvoiisky Ji. A.A., Equation for survival probability in a finite time interval in case of non-zero real interest force// Insurance; Math-ematic and Economic, 1998,23, pp. 287-295.

104. Peters C.S., Mangel M., New methods for the problem of collective ruin// SIAM J. Appl. Math., 1990, 50(5), pp. 1442-1456.

105. Picard P., C.Lefevre, The moments of ruin in the classical risk model with discrete claim size distribution// Insurance: Mathematic and Economic, 1998,23, pp.157-172.

106. Piessens R.; Branders M. Computation of Fourier and Laplace transforms of singular functions using modified moments. // Comput. Math. Appl. Part В 12 (1986), no. 5-6, pp. 1241-1248.

107. Pinkham R. S. An Inversion of the Laplace and Stieltjes Transforms Utilizing Difference Operators // Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 83, No. 1. (Sep., 1956), pp. 1-18.

108. Post E.L. Generalized differentiation // Trans. American Math. Soc. 32(1930) pp. 723-781.

109. Press, W. H., S. A. Teukolsky, et al., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing // Cambridge University Press, 1992. 1256 pp.

110. Rice S.O. Efficient evolution of integrals of analytic functions by the trapezoidal rule // Bell Sys. Tech. J. 52 (1973) pp. 707-702.

111. Saxena Vinod Prakash Some rules in Laplace transform of one and two variables. // Math. Education 8 (1974), pp 1-8.

112. Schmidli, H., Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities of risk process perturbed by diffusion// Insurance Math. Econom., 16, 1995; pp. 135-149.

113. Seal H.L, Survival probabilities based on Pareto claim distributions// ASTIN Bull, 1980,11(1), pp.61-71.

114. Seal H.L. The numerical calculation of U(w,t), the probability of non-ruin in an interval (0,t) // Scand. Actuarial J. 1974 pp. 121-139.

115. Seal H.L, From aggregate claims distribution to probability of ruin// ASTIN Bull, 1978,10 (1), pp. 47-53.

116. Shan Hua Ning J. Numer A method for the numerical inversion of Laplace transforms // Methods Comput. Appl. 20 (1999), no. 3, pp. 231-236.

117. Siegl Т., R.F.Tichy, A process with stochastic claim frequency and linear dividend barrier// Insurance: Mathematic and Economic, 1999, 24, pp.51-65.

118. Siegl Т., R.F.Tichy, Ruin theory with risk proportional to the free reserve and securization // Insurance: Mathematic and Economic, 2000,26, pp.59-73.

119. Spinelli R. A Numerical Inversion of a Laplace Transform // SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 3, No. 4. (Dec., 1966), pp. 636649.

120. Stanford, D. A., K. J. Stroinski, et al., Ruin probabilities based at claim instants for some non-Poisson claim processes// Insurance: Mathematics and Economics, 2000,26, pp. 251-267.

121. Strain John A Fast Laplace Transform Based on Laguerre Functions // Mathematics of Computation, Vol. 58, No. 197. (Jan., 1992), pp. 275283.

122. Tagliani A. Numerical inversion of Laplace transform on the real line of probability density functions // Applied Mathematics and Computation, 15 October 2001, vol. 123, no. 3, pp. 285-299(15).

123. Thorin O., N.Wikstad, Numerical evaluation of the ruin probabilities for a finite period// ASTIN Bull., 1973, 7 (2), pp. 137-153.

124. Weeks W. T. Numerical inversion of Laplace transforms using Laguerre functions // J. ACM. 13 pp. 419-426 (1966).

125. Widder D.V. The inversion of the Laplace integral and related moment problem// Trans. American Math. Soc. 36 (1934) pp. 107-200.

126. Willmot G., X.S.Lin, Exact and approximate properties of the distribution of surplus before and after ruin// Insurance; Mathematic and Economic, 1998,23, p.91-110.

127. УТВЕРЖДАЮ" Главный инженер ИТЦ^^^Щ^^тюстика»газ»1. Бутусов2006г.i- ^♦.•f-'rflr1. V

128. Начальник производственно-диспетчерского отдела > т^/ А.П. Завьялов^