автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и численная оптимизация прогнозирования достижения граничных состояний в дуальной вычислительной среде

На правах рукописи

КАШИРИНА Ирина Леонидовна

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ДУАЛЬНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

17 апр гт

005547165

Воронеж - 2014

005547165

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный консультант Львович Яков Евсеевич, доктор

технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», заведующий кафедрой систем автоматизированного проектирования и информационных систем.

Официальные оппоненты: Курейчик Виктор Михайлович, доктор

технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, ФГБОУ ВПО «Южный федеральный университет» заведующий кафедрой дискретной математики и методов оптимизации;

Валеев Сагит Сабитович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», заведующий кафедрой информатики;

Ломакина Любовь Сергеевна, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет», профессор кафедры вычислительных систем и технологий.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Московский государственный

университет приборостроения и информатики»

Защита состоится 9 июня 2014 года в 11-00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет».

Автореферат разослан «4» апреля 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Барабанов Владимир Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задача прогнозирования достижения граничных состояний имеет широкий круг приложений. Прежде всего, она возникает при разработке систем технической диагностики как задача прогнозирования аварийных состояний технических объектов. В экологических системах - это задача прогнозирования неблагоприятного развития экологической ситуации. В инвестиционном анализе - это задача прогнозирования риска неполучения запланированной прибыли. В автоматизированных системах медицинской диагностики — это прогнозирование прогресса заболевания, перехода его в новую форму.

В общем случае, задача прогнозирования достижения граничных состояний возникает при разработке систем автоматического контроля функционирования любых сложных объектов и используется для распознавания критических ситуаций, связанных с неадекватной нормальному функционированию динамикой объекта контроля. Цель решения задачи оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний — повышение надежности сложных систем.

Задачи прогнозирования достижения граничных состояний составляют особый класс задач. В отличие от методов непосредственного прогнозирования состояния сложных объектов, которые, по сути, дают точечные прогнозные оценки, методы прогнозирования достижения граничных состояний должны дать ответ на вопрос - останется ли объект через некоторое время в заданных границах или выйдет за их рамки, что ближе уже к интервальному оцениванию.

Предсказать, попадет ли некоторый параметр в заданный интервал, всегда можно с большей уверенностью, чем определить само значение этого параметра, поэтому методы прогнозирования достижения граничных состояний могут (и должны) обеспечивать более высокую точность прогнозов, чем классические методы прогнозирования. Однако для разработки таких методов нужно применять математический аппарат, максимально учитывающий специфику таких задач. Представляется, что таким аппаратом может стать дуальная вычислительная среда, включающая методы нейросетевого и оптимизационного моделирования. Оптимизационные модели обеспечат точность, наглядность и обоснованность методов, а нейронные сети позволят проводить адаптивную настройку параметров таких моделей. Дуальная вычислительная среда даст возможность более эффективно соединять формализуемые знания (оптимизационные модели) и плохо формализуемые (нейронные сети).

Задача исследования процесса достижения граничных состояний рассматривалась в работах И. А. Биргера, Л.Н. Александровской, А.Н. Абрамова, В.И. Круглова, Ю.К. Беляева, Л.Г. Евланова, И.В. Павлова, Т.А Голинкеви-ча, В.И. Городецкого, А.Г. Кузнецова, В.П. Назарова и других, и, в основном, эти исследования проводились на базе статистических методов. В процессе решения задачи прогнозирования достижения граничных состояний можно выделить несколько основных этапов.

На первом этапе решается задача определения набора прогностических

признаков (предикторов), обладающего низкой избыточностью и высокой информативностью. Математически задача построения минимального подмножества прогностических признаков сводится к оптимизации комбинаторной задачи о минимальном покрытии, методы точного и приближенного решения которой представлены в трудах A.A. Корбута, Ю.Ю. Финкелыптейна, A.B. Еремеева. Но, поскольку задача о покрытии относится к NP- сложным, а задача оптимального построения минимальной системы предикторов имеет высокую размерность, в существующих системах прогнозирования достижения граничных состояний применяются только простые приближенные методы решения задачи о покрытии либо традиционные статистические методы. Поэтому требует решения проблема построения эффективных точных и приближенных алгоритмов для комбинаторного класса задач минимального покрытия, а также проблема предварительного формирования значимых обобщенных прогностических признаков, представляющих собой нелинейные комбинации исходных признаков.

На этапе разработки прогностических процедур осуществляется математическое моделирование оценок риска достижения граничных состояний, связанных с вероятностями выхода за эти границы. В литературе подобная задача решается с привлечением существенных гипотез и допущений о вероятностных свойствах прогнозируемого процесса. На практике такие сведения редко бывают заданными. На этом этапе требует решения задача получения оценок риска достижения граничных состояний, не опирающихся на знание полных вероятностных характеристик прогнозируемого процесса, а также проблема прогнозирования контролируемых параметров процесса для вычисления оценок будущего риска.

При решении задачи прогнозирования достижения граничных состояний огромное значение имеет этап проведения натурного эксперимента, при этом его стоимость и длительность, как правило, становятся определяющими в общих затратах и сроках, необходимых для создания сложной системы. На данном этапе нерешенной остается проблема разработки точных и приближенных алгоритмов отыскания решения многокритериальной задачи повышения надежности аппаратных и программных средств для проведения натурных экспериментов, а также проблема построения моделей виртуальных резервных элементов.

Вместе с тем сроки исследований поведения объекта в состояниях, близких к граничному, тесно связаны с решением задач оптимизации процесса последующего восстановления исходного состояния объекта. Данная задача может быть отнесена к широко известному классу задач о назначении. Однако ее решение осложняется тем, что она может иметь многокритериальную постановку с нечеткими коэффициентами целевых функций или постановку с квадратичной целевой функцией. Возможность точного решения таких задач ограничена размерностью 20-25 элементов, при этом в литературе для них практически отсутствуют эффективные приближенные алгоритмы.

Таким образом, актуальность темы определяется необходимостью комплексного исследования, связанного с недостаточной разработанностью мето-

дов математического моделирования, численной оптимизации и концептуальных основ их интеграции для эффективного решения фундаментальных и прикладных задач оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний сложных объектов.

Работа выполнена в соответствии с основным научным направлением ВГУ «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Целью диссертации является разработка численных методов, алгоритмических процедур и программных средств математического моделирования для концептуального решения задач оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний сложных объектов в дуальной вычислительной среде.

В соответствии с указанной целью определены следующие задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

- проанализировать классы математических методов моделирования и численных методов оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний и определить пути повышения их эффективности в дуальной вычислительной среде;

- разработать математические модели прогнозирования риска достижения объектом граничных состояний на основе оптимизационного и нейросете-вого подходов;

- сформировать оптимизационные модели и исследовать численные методы минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний на основе рандомизированных схем решения задач о минимальном покрытии и репликативной нейронной сети;

- разработать оптимизационную модель и алгоритмические схемы численной оптимизации надежности системы прогнозирования достижения граничных состояний на основе метода ветвей и границ, генетического алгоритма и виртуального нейросетевого резервирования;

- сформировать модели оптимизации восстановления исходного состояния объекта в виде многокритериальных задач о назначениях в квадратичной и нечеткой постановках и разработать для их решения генетический алгоритм и алгоритм на основе растущей нейронной сети;

- провести анализ эффективности разработанных методов математического моделирования и численной оптимизации с применением вычислительного и натурного экспериментов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались основные положения теории математического моделирования, системного анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории эффективности и надежности сложных систем, методы нейросетевого моделирования, дискретной и непрерывной оптимизации, интеллектуального анализа данных, эволюционного моделирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18: п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных

вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.5. «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования»

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) способ математической формализации задач прогнозирования достижения граничных состояний, отличающийся схемой классификации их содержательных постановок инвариантного и проблемно- ориентированного типов, которая обеспечивает возможность адекватного описания с использованием нейросетевых и оптимизационных моделей;

2) концепция интеграции оптимизационного и нейросетевого моделирования в дуальную вычислительную среду, отличающиеся способом выбора нейронных сетей специального вида или их комитета (ансамбля) для включения в структуру поиска численного решения задач оптимизации систем прогнозирования достижения граничных состояний;

3) методы математического моделирования прогнозных оценок риска достижения объектом граничного состояния, отличающиеся формой трансформации трактовки риска из проективной метрики на плоскости в с!-оценки и геометрической интерпретацией процесса изменения наблюдаемого параметра системы в виде определенных классов траекторий с использованием методов нейросетевого прогнозирования;

4) комплекс оптимизационных моделей и алгоритмов минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний, отличающихся проблемной ориентированностью критериев оценивания информативности признаков, использованием новых эквивалентных способов математической формализации исходных задач, позволяющих применять для изначально комбинаторных постановок методы непрерывной оптимизации, разрабатывать вероятностные аналоги методов покоординатного спуска и вероятностные аналоги двойственных субградиентных процедур в сочетании с нейросе-тевым подходом;

5) математическая модель и алгоритмические схемы точной и приближенной численной оптимизации надежности системы прогнозирования достижения граничных состояний, отличающиеся способом формализованного представления критериев и ограничений на множестве булевых переменных и выбором реализации локальных этапов в процедурах многокритериального поиска компромиссного решения на основе результатов вычислительных экспериментов, а также введением нейросетевого резервирования;

6) оптимизационные модели и алгоритмические процедуры численной оптимизации процесса восстановления исходного состояния сложного объекта, отличающиеся формализацией исходной постановки в виде многокритериальной задачи о назначениях с нечеткими целевыми коэффициентами и квадратичной задачи о назначениях, а также моделью генетического алгоритма, учитывающего нечеткие коэффициенты целевой функции, и использованием по-

исковой схемы на основе растущей нейронной сети;

7) структура и реализация комплекса программных средств вычислительного и натурного (испытания жидкостных ракетных двигателей) эксперимента, отличающаяся возможностью использования экспериментальных результатов для проведения сравнительного анализа эффективности численных процедур моделирования и оптимизации в задачах прогнозирования достижения граничных состояний, получаемых при варьировании алгоритмическими схемами и параметрами.

Практическая значимость работы и внедрение результатов работы

Разработанные модели и оптимизационные процедуры позволяют:

- эффективно организовать последовательность взаимосвязанных этапов прогнозирования достижения граничных состояний и объединить методы решения задач на разных этапах в дуальную вычислительную среду;

- минимизировать избыточность систем прогнозирования достижения граничных состояний за счет выбора набора наиболее информативных первичных и формирования вторичных прогностических признаков;

- осуществлять оперативный допусковый контроль и прогнозирование риска достижения граничных состояний сложных объектов;

- находить компромиссное решение по критериям надежность-стоимость при моделировании систем прогнозирования достижения граничных состояний;

- оптимизировать маршрут восстановительных работ по результатам натурных экспериментов;

- использовать их в составе разработанного программного комплекса, универсальность которого допускает рассмотрение достаточно широких классов сложных систем.

Часть исследований, проведенных автором в работе, были выполнены в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»: 2010-1.2.1-400-027 «Разработка поисковой среды интеллектуальной поддержки проектно-производственного процесса освоения инвестиций в создании жидкостных ракетных двигателей» (2010-2012гг.), 2012-1.4-12-000-4005 «Оптимизация управления испытаниями жидкостных ракетных двигателей на основе нейросетевых технологий и адаптивных методов принятия решений» (2012г.)».

Основные теоретические и практические результаты внедрены в практическую деятельность ОАО КБХА (в испытательный и научно-технический комплекс), ООО «Инвестиционная палата» (г. Воронеж), а также используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет» и АНОО ВПО «Воронежский институт высоких технологий», и подтверждены актами внедрения.

Апробация результатов исследования

Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Международной конференции «Interactive Sytems. The Problems of Human-Computer Interaction» (Ульяновск, 2001), X Международном симпозиуме «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2002),

Международной конференции «Современные сложные системы управления (СССУ-НТСБ 2003)» (Санкт-Петербург, 2003), Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004), Всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии» (Воронеж, 2005), 4-й Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2008), Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009), Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010); X Международной конференции «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта (СЛО/САМ/РОМ-2010)» (Москва, 2010); Всероссийской научной школе «Управление, информация и оптимизация» (Воронеж, 2011), Всероссийской научной школа «Информационно- телекоммуникационные системы и управление» (Воронеж, 2011), Международной школе-семинаре «Интеллектуальные компьютерные обучающие системы», (Воронеж, 2011), Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2012), Международной молодежной научной школе «Теория сложности вычислений» (Воронеж, 2012), 36 Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Воронеж, 2013), а также на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ВГУ.

Публикации результатов работы. По теме диссертации опубликовано 56 научных работ, в том числе 17 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 -свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем. В опубликованных в соавторстве работах автором лично разработаны модели и алгоритмы, представленные в пунктах научной новизны.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, содержащего 205 наименований, приложения. Основная часть диссертации изложена на 270 страницах, содержит 48 рисунков, 26 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведена общая характеристика работы, сформулированы цель и задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость результатов диссертационного исследования.

В первой главе проведен анализ математических методов моделирования и численных методов поиска экстремума в задачах оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний сложных систем. Процесс разработки системы прогнозирования достижения граничных состояний представлен в виде последовательности этапов, приведенных на рис. 1.

Проведен обзор задач математического моделирования, возникающих на каждом из этих этапов, перечислены основные научно-технические проблемы

математического моделирования и численных методов оптимизации в задачах прогнозирования достижения граничных состояний.

Рис. 1. Схема процесса разработки системы прогнозирования.

Показано, что при разработке систем прогнозирования достижения граничных состояний требуют оптимизации, в частности, следующие основные задачи: задача формирования и отбора информативных прогностических признаков, задача прогнозирования риска достижения объектом граничного состояния, задача повышения надежности систем прогнозирования достижения граничных состояний на этапе натурных испытаний, задача планирования работ восстановления исходного состояния объекта по завершению натурных испытаний. Показана комплексность и связанность этих задач моделирования и численной оптимизации при прогнозировании и объединении методов их решения в дуальную вычислительную среду, основанную на использовании оптимизационного и нейросетевого моделирования. «Дуальный» подход предполагает, что синергетическая комбинация нейросетевых и оптимизационных моделей позволит повысить вычислительные возможности прогностических алгоритмов. Интеграция оптимизационных и нейросетевых методов дает возможность использовать индивидуальные особенности каждого метода для решения специфических частей задачи. В результате такой интеграции задача прогнозирования может быть рассмотрена с различных сторон, что позволит получить более точный и объективный результат. Предлагаемая в работе структура дуальной вычислительной среды приведена на рис.2.

Во второй главе осуществляется математическое моделирование оценок риска достижения граничных состояний, связанных с вероятностями выхода за эти границы. Исследуется сложная система, контролируемый параметр которой

за заданное время должен достигнуть заданного значения, при этом скорость изменения данного параметра должна оставаться в некоторых известных до-пусковых границах.

Рис. 2. Структура дуальной вычислительной среды.

Риск в данном случае определяется как степень угрозы недостижения поставленной цели, в связи с выходом за допусковые границы. Риск рассматривается как переменная величина, представляющая собой функцию относительно текущего значения контролируемого параметра. Риск увеличивается при приближении параметров системы к допусковым границам, после достижения которых система становится неуправляемой.

Такая трактовка риска близка к введенной Гильбертом и Клейном проективной метрике на плоскости Лобачевского - Клейна. Плоскость Лобачевского - Клейна представляет собой единичный круг, любая хорда которого трактует-

Расстояние р{В, С) между точками В vi С стремится к бесконечности при

С -» О или при В —> А. Это расстояние задается формулой р = 1п—, где

d =--ангармоническое отношение четырёх точек.

AB CD

АС- BD

Проективное расстояние имеет очевидные аналогии с с1-оценками («оценками трудности достижения цели» Руссмана), которые в данном исследовании предлагается использовать для количественной оценки риска потери управляемости системы. О-оценка - это величина, задаваемая соотношением:

d = 0, когда е = 0 или ц = 1. D-оценка максимальна (с/ = 1) при ц = £.

Формула d-оценки имеет следующую вероятностную интерпретацию. Введем два случайных события: А - за заданное время контролируемый параметр системы не достиг заданного значения, В - скорость изменения контролируемого параметра системы вышла за допусковые границы. Тогда d выступает как вероятность р(А/ В) недостижения результата в случае, если скорость изменения контролируемого параметра удовлетворяет требованиям. При этом величины е и р допускают следующую интерпретацию: = р(В), р = р(В/А). Предполагается выполнение условия р(А/В) = 1, то есть если скорость изменения контролируемого параметра системы вышла за допусковые границы, результат всегда не достигается.

D-оценки, рассчитанные на основе вероятностной интерпретации изменения параметров системы, могут быть использованы для характеристики риска недостижения системой цели. В частности, появляется возможность решить задачи прогнозирования риска достижения граничных состояний.

Для многих сложных систем такие параметры, как допусковые границы, определяются на этапе их проектирования. Поэтому, помимо задачи прогнозирования риска достижения граничных состояний, в диссертационном исследовании рассмотрены и более общие задачи:

- для заданной системы определить плановую конструкторски допустимую траекторию движения к цели, чтобы минимизовать максимальный уровень возможного риска;

-либо обратный случай: построить такую модель системы, чтобы риск при движении по некоторой фиксированной плановой траектории A=f(t) был минимален.

Целью во всех случаях является достижение контролируемым параметром системы некоторого заданного состояния С за фиксированное время tpi.

На рис. 4. прямая OD соответствует траектории изменения параметра системы с минимальной допустимой скоростью, прямая OB -траектории изменения с максимальной допустимой скоростью. Кривая A=f(t) - некоторая плановая траектория движения параметра системы к целевому значению С.

Если в процессе движения контролируемый параметр оказывается правее прямой CD, то достижение цели в заданное время становится невозможным, так как для этого необходимо движение со скоростью, превышающей макси-

Очевидно, что d е [0,1]. Кроме того,

мальную. Риск будет стремиться к единице при приближении точки к прямой СБ.

OI Е, tra t

Рис. 4. Графическое представление возможной траектории параметра. Также критической будет считаться область, лежащая ниже прямой OD, так как минимальная скорость связана с оценкой надежности объекта, и движение с еще меньшей скоростью будет интерпретироваться как возникновение чрезвычайных обстоятельств, которые могут привести к возникновению критической ситуации.

Таким образом, ломаная ODC на рис. 4 является границей критической области. За величину риска для точки М с координатами (t, А) принимается

величина: r(t) = max{dl(t),d2(t)}, где: = g, d2=-l^ZJiA .

(1-£,)//, (l-i"2)/'2

.Ы JEM _\FtM\

М' 2 Ш 1 М'

При этом

В соответствии с принятой интерпретацией, (1] и й2 - это две различные условные вероятности недостижения поставленной цели, а 0 < г < 1 — риск, посчитанный на основе этих вероятностей и связанный с достижением системой некоторых заданных граничных состояний.

Если перейти к безразмерным величинам из [0,1] и положить С и ^ равными единице, то формулы вычисления с!-оценок в точке произвольной траектории 0о, /0а) ) будут иметь следующий вид:

4k2t0- f(t0))(\ + k\t0-к1 -/fa))

(k2t- /«))(! + k]t-k,-f(t))

/(?0)о-*,)(*2-*1) , (1-ак2-т2-ко

В полученных формулах /(¡) представляет собой плановую траекторию изменения контролируемого параметра системы. В диссертации исследуются свойства оценок риска г(1) для базовых классов плановых траекторий, представленных в специальной литературе.

В частности, анализируются траектории Гу поведения системы в плановом периоде, имеющие вид двухзвенной ломаной:

/(0 =

k3t, 0<t</0 (1-е звено);

l-k4(\-t),

(2-е звено),

где tn =

1-^4 k-i —кл

точка перехода траектории с первого звена на второе.

Иначе говоря, предполагается, что до некоторого момента 10 система

движется к цели с постоянной скоростью к3, а после этого момента она движется с постоянной скоростью .

Если решается задача определения плановой конструкторски допустимой траектории движения к цели, минимизирующей уровень возможного риска, то, как показано в работе, для практического использования наиболее подходят траектории, для которых выполняется равенство: къ(кА(\-к{) + кхк2 -l) = kt(k2 -1).

В этом случае в точке t0 принимается минимаксное значение риска на траектории из класса Гг, которое равно

Таких траекторий - бесчисленное множество (в плоскости k3Ok4 они задаются частью гиперболы вида клкъ +акъ =Ь), поэтому этот класс предоставляет достаточно широкие возможности для принятия решения о выборе траектории движения параметра системы к цели. В частности, в этот класс попадают как траектории, для которых к3<к4 (параметр вначале изменяется с более высокой скоростью, а потом с более низкой), так и траектории, для которых к3>к4.

Для траекторий, относящихся к классу функций f(t) = ta, а > 0, доказано, что наилучшие показатели риска достигаются при a = \,f(t)= t. В данной ситуации появляется возможность естественной трактовки dx(t) и d2(t) как функций принадлежности нечетких лингвистических критериев, позволяющих с помощью качественных понятий определить приближение к граничному состоянию, при этом r(t) = тах{с/,(t),d2(t)} будет нечеткой суммой таких критериев:

_kl(k2t-t)(l + ks-k] -t)_kl(k2 -1)0-0 d _ (k2t-Q(1 + kxt- - Q = (1 - )t

r(t) = max«-1--^-—--,-— > = max{c/,(0),ûi2(l)} = max-^ ' —,---V-

Если перейти на следующий уровень оптимизации и рассмотреть задачу построения такой модели системы, чтобы риск при движении системы по фиксированной плановой траектории f(t)= t был минимален, то, как показано в диссертации, наилучшей относительно введенной нами оценки риска будет система, параметры которой удовлетворяют равенству: кхк2 = 1. При этом из возможных проектных решений нужно выбирать то, для которого значение ki минимально. Для такой системы оценка риска будет представлять собой минимум из всех возможных максимумов риска не только по траекториям вида/(t) = ta, а > 0, но и по траекториям, представляющим собой двузвенные ломаные. Таким образом, в работе получены и исследованы формулы, выражающие оценку величины риска достижения системой цели для нескольких классов возможных траекторий в зависимости от текущего положения системы и значений допусковых границ.

С использованием этих математических моделей может быть вычислена величина риска в текущий момент времени, а также спрогнозирована максимальная оценка риска в некоторый заданный будущий период времени tpi, если

известна плановая траектория изменения контролируемого параметра системы в этот период. В общем случае, для вычисления оценок будущего риска достижения граничных состояний надо иметь прогноз изменения параметра системы на этот период. Для получения эффективной оценки риска предлагается рассмотренную процедуру вычисления оценок интегрировать в дуальную вычислительную среду с процедурой прогнозирования на основе комитетов нейро-экспертов. Искусственные нейронные сети (ИНС), благодаря способности к обобщению и выделению скрытых зависимостей между входными и выходными данными, являются на данный момент одним из самых перспективных инструментов прогнозирования. Но, как известно, предсказания разных сетей, обученных на одной и той же выборке данных, могут отличаться. Этот недостаток преодолевается путем организации комитета нейро-экспертов, состоящего из нескольких ИНС. Наряду со стандартными методиками объединения сетей в комитет и выработки комитетом согласованного решения, в работе развиваются следующие подходы к согласованию прогнозов нейро-экспертов.

1) Комитет выбора наилучшего эксперта.

В качестве согласованного решения комитета y*(t) используется прогноз той из Р имеющихся сетей, которая в данный момент t является наилучшей в том смысле, что для нее экспоненциально сглаженная сумма квадратов ошибок прогнозов за к периодов, предшествующих текущему, минимальна:

-> min

А1 ^р

Здесь у ¡(t-s)- прогноз значения параметра, который давала сеть с номером i на момент времени t-s; у (t-s)- истинное значение прогнозируемого параметра в тот момент. Величины 0<2<1 и к>1 определяют скорость забывания предыстории.

2) Комитет, использующий метод наименьших квадратов.

В этом случае согласованный прогноз комитета вычисляется как линейная

р

комбинация прогнозов сетей-экспертов: y*(t) = ^ciyi(t). Весовые коэффициен-

ы

ты с, (/) > 0 ищутся с помощью решения следующей вспомогательной задачи: i.Qs~\j:ci{t)yi(t-s)-y(t-s)? +А1(с/(0-с,(/-1))2 —»min

J=1 Ы /=1

£с;(/) = 1, с, (/) > 0, i = \J>.

/=1

Оптимальный набор весовых коэффициентов таков, что экспоненциально сглаженная сумма квадратов ошибок прогнозов комитета за к периодов, предшествующих данному, минимальна с учетом регуляризации. При этом р

Y,Cj(t)yj(t-s) - это прогноз комитета в момент (t-s), с,(/-1)- весовые коэф-/=1

фициенты сетей, найденные на предыдущем этапе, Л> 0 - параметр регуляризации, позволяющий найти компромисс между точностью прогнозов и устой-

чивостью весовых коэффициентов во времени.

3) Комитет для прогнозирования класса надежности системы.

Этот комитет используется, если прогнозируется не непосредственное значение параметра, а номер одного из К классов надежности, в который он попадет в будущем периоде. Согласованный прогноз комитета вычисляется как номер класса у *, такой, что сумма коэффициентов компетентности сетей-экспертов, проголосовавших за данный класс, максимальна: У * (0 = /*= англах £с,(/)> гДе >',(') ' помер класса, предсказанный (-той

1 <]<к /:у,(/)=у

сетью. При этом коэффициенты компетентности сетей-экспертов на очередном этапе I пересчитываются по формуле: с,(/ +1) = тах{0,с,(/) + А}, / = 1 ,Р, где Д>0, если сеть под номером / дала верный прогноз (угадала номер класса), и Л < 0, если прогноз был неверным. На начальном этапе с,(0) = 1, / = 1 ,Р.

4) Комитет адаптивного пересчета коэффициентов компетентности.

Этот комитет отличается от предыдущего тем, что при пересчете весовых коэффициентов сетей с,-(<) учитывается не только то, ошиблась сеть на последнем образце или нет, но и то, сколько из сетей комитета допустили ошибку на этом образце. Величина изменения весовых коэффициентов на шаге / имеет вид: А,-(/+1) = , если сеть под номером \ угадала номер класса, А1(1 + 1) = 1~у, если сеть под номером 1 дала неверный прогноз. Здесь q - общее количество сетей комитета, сделавших неверный прогноз на шаге 1.

В диссертации предложены рекомендации по выбору архитектур и процедур обучения сетей, включаемых в перечисленные комитеты. Эффективность предлагаемых способов организации нейросетевых комитетов подтверждается результатами вычислительного эксперимента.

Третья глава посвящена формированию и исследованию оптимизационных моделей и численных методов минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний. Задача минимизации избыточности систем прогнозирования заключается, в частности, в построении минимальной системы информативных тестов (прогностических алгоритмов), обеспечивающих опережающее распознавание всех критических ситуаций. Математическая модель задачи зависит от рассматриваемого критерия оценивания информативности теста. В работе рассмотрены следующие классы исходных постановок задач минимизации избыточности.

Задача 1. Пусть / = {/ = 1,ш} - множество граничных состояний контролируемых параметров системы, J = {у = 1,/г} - множество прогностических тестов. Вводится в рассмотрение матрица А= {а,у}пхт, где ач =1, если у'-й тест отслеживает приближение к /-тому граничному состоянию и ац =0 в противном случае. Переменная примет значение 1, еслиу'-ый тест будет включен в итоговое минимальное подмножество прогностических тестов, и значение 0 -иначе. Требуется найти множество У £ {1... п} минимальной мощности такое,

чтобы набор тестов х¡,] 6 U распознавал все множество критических ситуаций, связанных с достижением системой граничных состояний. Математическая модель задачи выглядит следующим образом :

min{Z]=1 Xj | Xy=i dijxj > 1, i = I~m; x, = 1 V 0, j = l~n} (1) Группа ограничений-неравенств гарантирует распознавание всех образов критических ситуаций.

Задача 2. В данной постановке задачи не требуется искать минимальное число прогностических тестов. Достаточно лишь, чтобы количество найденных тестов не превышало некоторого числа г. В этом случае целевая функция задачи (1) превращается в неравенство:

I?=i*y<r (2)

Эта модель тоже может рассматриваться как оптимизационная, если считать, что в задаче (1) надо найти любое решение со значением целевой функции, не превосходящим г.

Задача 3. Если для прогностических тестов по результатам натурных экспериментов (или анализа априорной информации) известны уровни значимости (информативности), то есть каждый j-й тест имеет собственный весовой коэффициент Cj, то задача оптимизации признакового пространства заключается в нахождении оптимального по суммарной информативности подмножества признаков, обеспечивающего распознавание всех критических ситуаций. Математическая модель задачи при этом имеет вид

mtn{ £;=i CjXj | аи xj > 1, i = Т7m; Xj = IV 0, j = In} (3) Задача 4. Если для принятия решения о приближении к i-му граничному состоянию требуется, чтобы признак появился не менее раз (однократное его появление может быть следствием ошибки измерения, шума в данных), то модель задачи отбора прогностических признаков принимает следующий вид: mm{£"=1 xj | E"=i ац Xj > At. i = Vm; x} = 1 V 0, j = (4)

Все перечисленные постановки принадлежат к классу задач о минимальном покрытии. Следующая постановка имеет дополнительное ограничение.

Задача 5. Если по критерию информативности требуется найти комбинацию прогностических тестов, контролирующих не более чем заданное количество граничных состояний, то переменные в модели вводятся следующим образом: Xij принимает значение 1, если приближение к i-w границе проверяется j-м тестом, и 0 в противном случае. Математическая модель задачи при этом имеет следующий вид: min {I?=1 x(Xf=1 Xij)| ZU аихи >l,t=Tw Xij <D,j = l^ } (5)

Xij — lvo

Здесь x(z) = (i'^ > о > a сУмма Y.'}=iX(J^ixij) определяет количество тестов, вошедших в оптимальное решение.

Таким образом, решение нескольких разновидностей комбинаторных задач минимального покрытия является ключевой процедурой при нахождении минимального состава прогностических тестов. Задача о минимальном покрытии относится к классу NP-трудных, применение точных методов отыскания

решения возможно только при небольшой размерности, поэтому размеры задач, возникающих в процессе минимизации состава прогностических алгоритмов, побуждают искать новые подходы к их решению, по возможности максимально использующие специфические особенности конкретной задачи.

Таблица 1

Исходная постановка Эквивалентные постановки

п У Xj -» min; ;=i Tl ац хj >1,1 = 1, т; i=1 Xj = IVO,;' = 1, л. п т П <б> ;=1 ¡=1 /:а,у=1 где оптимальные значения переменных </у связаны с оптимальными значениями переменных х, равенством: су, = 1 — х,

М где М [■] - onef случайные вел! 71 И! / 77 V 7=1 ¡=1 \y=l / >ация математического ожид 1чины, ^(г)определена выш -> min (7) Xj ания, Xj - булевы е.

Tl 7=1 n ^ atj Xj > 1, i = l,m; 7=i _ Xj = 1 v 0,; = l,n. г ъ* к=0 Здесь Xf- булева тематическое ожи; т / п \ случайная величина; [.. данне , ££=0 ak = 1, ак > 0, -> max (8) ]- условное ма-

n ^ Cj Xj -» min; 7=1 n У ац Xj > 1, £ = 1, m; _ Xj = IVO,; = l,n. 71 т / п \ Z^HÄ ' (9) J=i i=i v=i /

n m -Zc^+5Z п (io> 1 = 1 1 = 1 7':a,y=l где для решений верно: = 1 — Xj

n ^ X; -> min; i=i n ^ aijXj >Äi,i = l,m; 7=1 x, = IVO,;' = 1,71. 71 m n x^imva2x„{ Z +Zyi(Ai - Z)} (u) 1=1 ¡=1 ,=1

1 min max—Me Xy=0 VI i p0 < Здесь f = (f0,.. fm) величины 71 771 / 71 V 7=1 7=1 \ 7=1 /. ,Mf= Mfo..fm, ft - булевы сл (12) учайные

n n -» min; 7=1 i=l n ^ aijX^ > 1, i = 1, m; 7=i m ¡=1 _ = 1 V0,i = l,m,;' = l,n. V /V \ V- /v \ n m -£*./)] аз) i=i ¡=i

m n m n m osmc%aox[nZn^-Zn+Zy'Z(14) '=i /■■ai/=i j~i 1=1 ;=i ¡=1 где для решений верно: qy = 1 — Ху

Идея любого разрешающего алгоритма всегда существенно привязана к способу математической формализации задачи. В связи с этим в диссертации рассматриваются различные варианты математической формализации задач (1)-(5), и на основе этих постановок разрабатываются новые алгоритмы решения. В таблице (1) приведены полученные в работе эквивалентные постановки рассмотренных выше задач.

В диссертации показано, что для класса задач о минимальном покрытии возможен эквивалентный переход от рассмотрения комбинаторной постановки задачи к задаче непрерывной оптимизации на единичном гиперкубе. Такой переход осуществляется путем рандомизации переменных и рассмотрения вероятностной постановки исходной задачи. При этом алгоритмы непрерывной оптимизации могут оказаться значительно более эффективными в плане вычислительных затрат, чем комбинаторные алгоритмы.

В частности, в диссертации доказана теорема о том, что дискретные задачи (1) и (3) могут быть эквивалентно переписаны в виде задач минимизации непрерывных функций с простыми ограничениями (6) и (10), не имеющих локальных экстремумов во внутренних точках единичного гиперкуба. Эквивалентность при этом понимается в том смысле, что оптимальные наборы переменных Хр определяемые этими задачами, совпадают, то есть оптимальными решениями непрерывных задач (6) и (10) будут векторы с булевыми координатами.

В таблице (2) дан перечень алгоритмов, использованных в работе для решения задач на основе каждой постановки. Некоторые из этих алгоритмов являются стандартными оптимизационными процедурами, и новизна подхода здесь заключается в том, что ранее они не использовались для решения соответствующих задач. Алгоритмические процедуры для решения задач (7), (8), (12),(14) непосредственно разработаны автором.

Таблица 2

Постановка Алгоритмы

(6) Градиентный алгоритм минимизации непрерывной дифференцируемой функции с простыми ограничениями

(7) Вероятностный аналог метода покоординатного спуска

(8) Двухэтапный вероятностный алгоритм

(9) Метод покоординатного спуска

(10) Градиентный алгоритм минимизации непрерывной дифференцируемой функции с простыми ограничениями

(11) Субградиентный алгоритм

(12) Вероятностная модификация двойственных субградиентных алгоритмов

(13) Субградиентный алгоритм

(И) Вероятностный аналог двойственного алгоритма Удзавы

На основе разработанных алгоритмов может быть решена задача сокращения прогностической информации и минимизации избыточности существующих прогностических процедур, а следовательно, и задача повышения точности и снижения ресурсоемкости программного обеспечения для решения задач прогнозирования достижения граничных состояний.

Повысить эффективность предлагаемых алгоритмов можно за счет пред-

варительного формирования и включения в рассмотрение значимых обобщенных признаков достижения граничных состояний. Обобщенные признаки представляют собой некоторые нелинейные комбинации исходных признаков, значения которых являются более информативными, чем значения исходных признаков.

Для отыскания обобщенных признаков достижения граничных состояний в структуру дуальной вычислительной среды предлагается включить автоассоциативные репликативные нейронные сети, поскольку способность нейросетей к выявлению нелинейных взаимосвязей между различными параметрами дает возможность выразить связанные данные большой размерности более компактно. Архитектура автоассоциативной нейронной сети, как правило, содержит три слоя нейронов. Средний слой - так называемое "узкое горло", который в результате обучения выдает сжатое представление входных данных (вектор Y). Первый скрытый слой нейронов используется для осуществления нелинейного кодирования входного слоя, а последний - для нахождения соответствующего декодера. Таким образом, автоассоциативная сеть обучается воспроизводить на выходе значения своих входов. При этом скрытый слой такой сети осуществляет оптимальное нелинейное сжатие входных данных и содержит максимально возможное при данных ограничениях количество информации. Активационная функция нейронов среднего слоя репликативной сети имеет специальный ступенчатый вид /(.т) = i + ^J^S/Ci tanh (к (s - ffj, где s - входная сумма нейрона среднего слоя, L и к -параметры, определяющие, соответственно, количество ступеней активационной функции и степень их крутизны. Средний слой осуществляет квантование входных данных. Нейроны выходного слоя репликативной сети являются линейными с тождественной функцией активации, а в качестве активационной функции нейронов первого слоя может использоваться любая сигмоидальная функция, в частности, логистическая. После обучения репликативной сети последний слой нейронов удаляется и в процессе функционирования выходом сети является вектор Y (вектор обобщенных признаков). При этом размерность вектора Y совпадает с количеством определяемых вторичных обобщенных диагностических признаков. В данной работе разработана процедура отыскания этой размерности, а также исследуются возможные алгоритмы обучения такой сети и предлагаются модификации стандартных подходов с учетом специфики задачи,

В четвертой главе разрабатываются и исследуются модели и алгоритмы оптимизации надежности систем прогнозирования граничных состояний. При решении задачи прогнозирования достижения граничных состояний огромное значение имеет натурный эксперимент, на основе которого уточняется априорная концептуальная модель объекта и определяется оценка информативности прогностических признаков. Система для проведения натурных экспериментов рассматривается в данной работе как сложная система, состоящая из и элементов. Универсальным принципом обеспечения надёжности сложной системы является резервирование ее элементов, которое может быть аппаратным, информационным, временным, программным. Наибольшее распространение получи-

ли две схемы резервирования: резервирование замещением «один из двух» (1оо2 - 1 out of 2) и резервирование по схеме мажоритарного голосования «два из трех» (2ооЗ). Системы без резервирования обозначаются lool.

Предположим, что каждый элемент исследуемой системы (а значит, и система в целом) характеризуется тремя основными параметрами: вероятностью безотказной работы , стоимостью s j и средним временем безотказной работы tj, j е {1,2,...,»}. В таблице 3 приведена зависимость параметров у-го элемента системы от способа резервирования.

Таблица 3

Критерий lool 1оо2 2oo3

Вероятность безотказной работы Pj ZPi-r,- Зр/-2р/

Стоимость SJ 2 GjSj (Gj > 1) 4 sj

Среднее время работы до отказа f',

Через G обозначен коэффициент, увеличивающий стоимость схемы 1оо2, если для данного резервируемого элемента существует надежный блок переключения на резерв. Если такой блок отсутствует, для элемента вводится запрет на возможность быть зарезервированным методом 1оо2. Вводится ограничение на среднее время безотказной работы резервируемой системы: оно должно быть не меньше заданного значения.

Задача состоит в выборе способа резервирования для каждого элемента системы, который позволил бы получать наибольшую возможную вероятность безотказной работы при наименьшей стоимости системы с учетом выполнения указанного ограничения. Математическая модель бикритериальной задачи оптимального резервирования может быть сформулирована в виде:

PtotaiM = П"=1(2Pj*i; + (2pj - + (3pj - 2p])x3j) - max (15)

Stotalix) = E"=1 (SjXlj + 2GjSjX2j + 4SjXv~) - min (16)

(П)

Z?=1*y = 1. V; e {1,2.....n} (18)

ХЦ 6 {0Д}, Vi £ {1,2,3}, V/ £ {1,2, ...n} (19)

Jl, если элем einy i назначается способ резервирования!; Обозначения: Хц = (о;Иначе.

Здесь i е {1,2,3} - номер способа резервирования (соответственно, lool, 1оо2, 2ооЗ). Plolal - вероятность работы без отказа всей системы, она рассчитывается как произведение вероятностей потому, что отказ любого элемента приводит к потере информационного сигнала и, как следствие, невыполнению программы натурных экспериментов; Stotai - общая стоимость системы, rmin - минимальное среднее время работы до отказа всей системы. Ограничение (17) имеет соответствующий вид потому, что среднее время работы до отказа всей системы

связано со средним временем наработки до отказа ее элементов следующим

Отметим, что с целью получения более простой однокритериальной модели задачи можно было бы отказаться от целевой функции (16), добавив соответствующее ограничение на итоговую стоимость системы. Однако в данном случае существует несколько практических доводов в пользу рассмотрения именно бикритериальной модели. Во-первых, стоимость сложной системы является довольно высокой и может варьироваться в достаточно широких пределах. В связи с этим имеет смысл отыскание всего множества парето-оптимальных решений бикритериальной задачи (или хотя бы его представительной аппроксимации), чтобы получить представление о возможных диапазонах изменения стоимости и надежности и иметь возможность выбрать в итоге компромиссный вариант. Во-вторых, задача конструирования такого рода систем является технически сложной и содержит ряд трудноформализуемых требований. Поэтому получение не одного, а сразу множества решений позволит выбрать из них наиболее приемлемое.

Для отыскания решения данной задачи в работе разработано и исследовано с помощью вычислительно эксперимента два метода: алгоритм ветвей и границ, организованный таким образом, чтобы находить все множество Парето-оптимальных решений и генетический алгоритм, ориентированный на получение некоторой представительной аппроксимации Парето-оптимального множества. Рассмотрим вначале основные этапы метода ветвей и границ.

Ветвление. В данной задаче на каждом этапе используется следующее правило ветвления: £1к = и и П*, где О* - это подмножество множества допустимых решений, в котором для резервирования элемента к выбран способ /, ¡=1,2,3. Если способ резервирования 1оо2 для соответствующего элемента невозможен, то полагается £"2*

Построение множества рекордных решений. Множество рекордных решений для данной задачи представляет собой совокупность точек, которые являются недоминируемыми в множестве всех рассмотренных алгоритмом на данный момент вариантов.

Оценка подмножеств допустимых решений и сокращение дерева поиска.

На этом этапе для каждого подмножества решаются по две специально построенные в работе оценочные задачи, а также определяется, содержит ли данное подмножество допустимые точки (те, в которых выполняется ограничение на среднее время безотказной работы). Если допустимых точек нет, подмножество отбрасывается.

Стратегия построения и обхода дерева вариантов

Как показал вычислительный эксперимент, наиболее существенное сокращение перебора дает рассмотрение координат в порядке убывания значения отношения Sj / Pj. Предварительное упорядочивание элементов по убыванию

коэффициента Лу / Pj и последующее ветвление дерева вариантов в соответст-

соотношением

'<р

вии с полученной очередностью является мощным способом увеличения скорости поиска решения задачи повышения надежности систем прогнозирования граничных состояний с помощью предложенного метода ветвей и границ.

Рис. 5. Блок- схема метода ветвей и границ.

Таким образом, в работе предлагается метод ветвей и границ, отличительной особенностью которого является отыскание полной совокупности па-рето-оптимальных решений бикритериапьной задачи.

Несмотря на достаточно высокую эффективность предложенного алгоритма, его практическое использование ограничено для задач с размерностью более 40-50 резервируемых элементов. Поэтому для решения поставленной задачи в случае, если она имеет большую размерность, были разработаны и ис-

следованы различные модификации приближенных генетических алгоритмов и выбран наиболее эффективный алгоритм, схема которого представлена на рис. 6, позволяющий получать хорошую аппроксимацию множества Парето за приемлемые временные затраты. Решения, найденные генетическим алгоритмом, также будут использоваться для построения начального рекордного множества в методе ветвей и границ. Как известно, хороший начальный рекорд может существенно ускорить время работы этого метода.

Рис. 6. Блок-схема генетического алгоритма

Для генетического алгоритма разработан метод оценки приспособленности, включающий следующие шаги.

1) Для каждого решения в популяции вычисляется вектор целей (ЗшЫ'РшЫ).

2) Из текущей популяции выбирается множество недоминируемых внутри этой популяции решений, они запоминаются и временно исключаются из рассмотрения.

3) Далее ищется множество недоминируемых решений в полученном усе-

ченном множестве, и они тоже исключаются. Эта процедура проделывается до тех пор, пока все решения не будут исключены из популяции.

4) Затем все решения ранжируются: принадлежащие последнему исключённому множеству получают ранг 1, предпоследнему ранг 2. Решения, первыми исключенные из рассмотрения, получают максимальный ранг. Внутри каждого исключенного множества решения имеют одинаковый ранг.

5) Далее, в отдельности для каждой группы решений одного ранга, происходит назначение скалярных оценок приспособленности. Предположим, ранг к имеет т решений. Тогда решение, сумма евклидовых расстояний от которого до остальных решений данного ранга максимальна, получит оценку к+(т-1)/т. Решение со второй по величине суммой расстояний получит оценку к+(т-2)/т. Решение с минимальной суммой расстояний будет иметь оценку к.

Такой подход к оцениванию экземпляров популяции настраивает алгоритм не только на поиск недоминируемых решений (любая недоминируемая строка будет иметь оценку выше любой доминируемой), но и на поддержание разнообразия популяции (удаленные точки получают более высокие оценки), что в результате обеспечивает более представительную аппроксимацию Паре-то-оптимального множества. Предлагаемый алгоритм подтвердил свою конкурентоспособность в сравнении с известными генетическими методами (FFGA,

SPEA, NPGA, VEGA).

С целью дальнейшего повышения надежности системы прогнозирования граничных состояний, кроме оптимизационной модели, в дуальную вычислительную среду предлагается включить модуль построения нейросетевых моделей некоторых элементов этой системы для осуществления дополнительного резервирования в случае, если по результатам решения оптимизационной задачи для данного элемента не предусмотрен резерв (например, элемент слишком дорогостоящий). То есть предлагается в качестве дополнительного резервного канала рассматривать вместо физической реализации некоторый виртуальный образ в виде нейросетевой модели, имитирующей преобразование входных воздействии от других компонентов в выходные величины, поскольку именно нейросетевая модель способна решать слабо формализованные задачи, оперативно аппроксимировать произвольные непрерывные многопараметрические зависимости, обрабатывать данные, представленные в разнотипных шкалах.

В пятой главе рассматривается задача оптимизации процессов восстановления исходного состояния сложного объекта. Решение этой задачи определяет сроки исследований поведения объекта в состояниях, близких к граничному. Данная задача может быть отнесена к широко известному классу задач о назначении. Однако ее решение осложняется тем, что она может иметь многокритериальную постановку с нечеткими коэффициентами целевых функций (в задачах нечеткого планирования), постановку с квадратичной целевой функцией (в задачах составления расписаний восстановительных работ).

В работе рассматривается случай, когда целевые коэффициенты критериев оптимизации представляют собой гауссовы нечеткие числа. Функция принадлежности гауссова нечеткого числа А определяется как

рл (*) = , X e R, (а, а)- параметры, задающие гауссово число. Таким

образом, рассматриваемая нечеткая постановка многокритериальной задачи о назначениях имеет вид:

~ N N

?ЛХ) = Zücky min (шах); к = \.Х

I>„=l;./ = 1../V; Zxij^i^-N- хие{0,\}\iJ = \..N. (20)

f=i ¡-\

Здесь с* - нечеткое гауссово число, заданное парой (а1Гац), К - число

критериев оптимизации, N - размерность задачи. При вычислении значений критериев подразумевается, что С,* xl= Щ, С* х0=0, а суммирование происходит по правилу, определенному для гауссовых нечетких чисел.

Для решения поставленной многокритериальной задачи в нечеткой постановке разработан генетический алгоритм, причем для вычисления значений критерия приспособленности используется следующий метод.

1) С помощью операции сложения гауссовых чисел для каждого экземпляра популяции в соответствующей точке X1,1 = 1 ...L, рассчитывается значение целевой функции отдельно по каждому критерию, образуя набор из К гауссовых нечетких значений: sf = £f=i C-jX¡j\ к = 1... К.

2) Затем по каждому критерию суммируются результаты всех экземпляров популяции Sk = Zf=15,fc; к = 1... К. Полученные нечеткие числа Sk являются (в силу неотрицательности параметров а*) верхними оценками значений максимизируемых нечетких критериев Fk(X) на решениях текущей популяции. Нижними оценками минимизируемых критериев в задаче о назначениях можно считать нулевые значения, то есть числа 5°, задаваемые парой (0,0).

3) С помощью таких оценочных величин решения сравниваются по всем выбранным критериям следующим образом. Пусть рассматриваемый критерий Fk()С) максимизируется, тогда X* > X? (XY "лучше" Хр) по критерию Fk(X), если d(Fk(XY),SK) < d(Fk(X^),SK), где d(X,Y) -определенное для гауссовых чисел расстояние между нечеткими числами X и Y. Наоборот, если критерий минимизируется, то XY > X?, если d(Fk(XY),S°) < d(Ffc(XP),5°).

Когда способ сравнения особей по каждому критерию в отдельности определен, используется процедура получения назначения оценки приспособленности на основе метода SPEA. Именно этот метод в процессе вычислительного эксперимента обеспечил наилучшую аппроксимацию фронта Парето в многокритериальной детерминированной задаче о назначениях.

Решением многокритериальной задачи является множество эффективных точек, окончательный выбор из которого должен сделать руководитель-эксперт. В случае нечеткой постановки задачи это бывает достаточно сложно. С целью возможного облегчения процедуры выбора компромиссного решения предлагается нечеткая модифицикация известного и часто используемого в четких задачах векторной оптимизации метода ограничений. Согласно этому методу, лицу, принимающему решение, предлагается назначить нижние допус-

тимые границы для всех критериев на максимум и верхние допустимые границы для критериев на минимум. (Например, если минимизируются общие расходы на выполнение работ, то дополнительно указывается, чтобы они, если возможно, были не больше конкретного четкого значения).

Однако результат работы ГА в данном случае - это набор решений с нечеткими значениями всех критериев, для которых нельзя осуществить прямую проверку попадания в заданные границы. С целью оценить возможность этого

(МуМУ

попадания рассматривается величина = ^-» которую можно интер-

¡Му)4У

претировать как вероятность того, что нечеткое гауссово число с параметрами (а, сг) реализуется в четкое значение, не превосходящее g. С помощью замены отношение для р(&) может быть преобразовано к виду:

. . = 1 | -'^сп- В результате искомая вероятность того, что реализация гауссова нечеткого числа не превысит заданную верхнюю границу g для максимизируемого критерия, равна: 1 + если a>g и а)),

если а<£, где Ф(г)- функция Лапласа. Для минимизируемых критериев соответствующие вероятности меняются местами.

На рис. 7. приведена схема процедуры выбора компромиссного решения в случае многокритериальной задачи о назначениях с нечеткими целевыми коэффициентами. Представленная процедура отыскивает точку с максимальной вероятностью выполнения граничного условия даже для наименее оптимизированного критерия.

Таким образом, в работе предложен генетический алгоритм для многокритериальной задачи о назначениях с нечеткими целевыми коэффициентами.

Д1 , Решение

найдено

Рис. 7. Процедура выбора компромиссного решения для нечеткой постановки.

Для случая, когда задача оптимизации процессов восстановления исходного состояния сложного объекта имеет постановку с квадратичной целевой функцией, в работе разработан приближенный алгоритм на основе растущей нейронной сети. Разработка алгоритмов для решения квадратичной задачи о

назначениях (КЗН) относится к числу актуальнейших проблем дискретной оптимизации, так как все имеющиеся алгоритмы точного решения КЗН показывают низкую вычислительную эффективность и непригодны для практического использования уже для задач размерности 30 и выше.

Растущие нейронные сети поддерживают все функции, присущие обычным нейронным сетям. При этом в растущих нейронных сетях с ростом размерности задачи вычислительные затраты растут лишь линейно. В рамках предлагаемого в данном исследовании алгоритма каждый нейрон сети соответствует одному из восстанавливаемых в задаче элементов, и с помощью специальных процедур смещения и добавления нейрона в сеть на каждом этапе алгоритма нейроны перераспределяются между имеющимися фиксированными позициями.

В шестой главе проводится анализ эффективности разработанных методов моделирования и численной оптимизации на основе вычислительного и натурного эксперимента. Все алгоритмы, представленные в диссертации и входящие в состав дуальной вычислительной среды, были программно реализованы в среде Delphi 2006. Для каждого из программных модулей проведен вычислительный эксперимент. Осуществлен сравнительный анализ эффективности численных процедур, получаемых при варьировании алгоритмическими схемами и параметрами. Результаты численных экспериментов подтвердили эффективность предлагаемых в работе методов и целесообразность их объединения в дуальную вычислительную среду. Остановимся на наиболее значимых результатах вычислительного и натурного эксперимента.

Для алгоритма метода ветвей и границ, реализованного в подсистеме оптимизации надежности системы прогнозирования , был организован численный эксперимент с целью определения наилучшей стратегии обхода дерева вариантов. Анализировались стратегии, основанные на упорядочивании резервируемых элементов по убыванию характеристик, вычисляемых на основе значений параметров Pj,Sjn tj. Коэффициенты целевых функций определялись с помощью специальной рандомизированной процедуры. Рассматривались системы, содержащие от 15 до 50 элементов с возможностью резервирования. В таблице 4 приведена зависимость времени выполнения алгоритма (в мс) от некоторых из рассмотренных в работе способов предварительной сортировки элементов.

Таблица 4

Вид сор- Номер теста

тир. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14

Без упор. 11770 672 131 1344 1547 3940 868 1658 1816 1136 2014 3754 2993 496

f, 4351 918 380 6558 2021 2042 547 666 2544 1236 7941 1173 5334 762

1/1: 12119 2146 207 1496 320 2650 1309 2095 3517 1098 1116 1823 4613 866

S, 629 380 288 459 576 755 526 676 463 449 568 440 648 912

Us, 21167 3504 1115 14318 3831 8146 3513 2130 6835 4354 17914 10699 10677 1115

Р, 44567 2888 598 8537 3889 6521 4445 4675 9426 5599 17241 10321 6430 2896

1/р, 714 443 134 437 268 478 579 246 315 410 506 206 426 418

Ф, 256 118 72 141 115 314 143 157 184 150 216 149 275 231

Видно, что упорядочивание элементов по убыванию характеристик / р/ дает наилучшие результаты, время работы алгоритма сокращается в несколько

раз. Поэтому далее вычислительный эксперимент проводился только для этой стратегии обхода с целью выяснения, насколько она обеспечивает сокращение дерева поиска. С помощью рандомизированной процедуры было сформировано 100 различных случайных тестовых задач для 15 элементов с возможностью резервирования. В таблице 5 приводятся результаты сокращения дерева поиска

для 5 таких задач.

_Таблица 5

Уровень ветвления Тест 1 Тест 2 Тест 3 Тест 4 Тест 5

Б/у С/у Б/у С/у Б/у С/у Б/у С/у Б/у С/у

5 0 18 0 10 0 0 0 0 0 0

6 0 132 0 98 0 0 0 2 0 3

7 0 461 0 627 0 0 0 113 0 111

8 0 1286 7 1273 0 5 0 1017 0 1386

9 О 1630 590 2098 0 238 68 2231 67 7180

10 1052 3329 7714 4134 0 279 5350 14780 2998 13094

11 25370 3519 47121 7279 301 557 75932 50422 49978 17433

12 174432 3699 112264 7928 1175 772 150205 55095 187343 18238

13 102535 4273 166558 9004 576 704 266535 48501 351868 18447

И 48858 3155 154448 9015 1443 26 105834 33791 411644 13157

Проем, реш. 6009 9654 147429 11175 2596 1008 76941 16401 63627 4350

Для каждого из тестов осуществлялось сравнение количества отсекаемых ветвей на каждом уровне ветвления для разработанной стратегии перебора элементов с упорядочиванием (С/у ) по убыванию соотношения Sj ¡p¡ и для перебора элементов без упорядочивания (Б/у).

Очевидно, что при использовании выбранной стратегии дерево начинает сокращаться на более верхних уровнях (начиная с пятого), что существенно сказывается на эффективности алгоритма. В последней строке таблицы приводится общее количество просмотренных алгоритмом решений в процессе построения полного множества Парето-оптимальных точек. Отметим, что если бы решение задачи осуществлялось методом полного перебора, то в каждой задаче необходимо было рассмотреть З15 степени вариантов, то есть перебрать 14348907 решений. По результатам численного эксперимента метод ветвей и границ, не использующий стратегию упорядочивания элементов, просматривает в среднем 40 ООО решений, а алгоритм, использующий эту стратегию, просматривает в среднем 8000 решений (что, примерно, в 1800 раз меньше, чем метод полного перебора). Средний размер Парето-оптимального множества, найденного в ходе данного вычислительного эксперимента, составил 65 решений.

С помощью построенной многокритериальной оптимизационной модели и разработанного для нее алгоритма в ОАО «Конструкторское бюро химавто-матики» (КБХА) решена задача повышения надежности управляющих трактов стендовой информационно-управляющей системы для диагностики и испытаний жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Среди 46 Парето-оптимальных решений, найденных методом ветвей и границ, выбран результат, удовлетворяющий требованиям технического задания по показателю надежности 0,99 в течение 8000 часов (нерезервированная система имела показатель надежности 0,9). Стоимость системы при этом составила 144800 руб, что удовлетворяло имеющемуся ограничению бюджета в 150000 руб. Одним из основных критериев выбора этого компромиссного решения стало то, что техническая реали-

зация такой зарезервированной структуры не представляет сложности. В результате 2 элемента системы оказались зарезервированными по схеме 2ооЗ, а остальные по схеме 1оо2.

Для элементов, зарезервированных по схеме 1оо2, в рамках дуальной вычислительной среды далее были построены нейросетевые модели и сформированы дополнительные виртуальные каналы измерений, позволяющие при физическом резервировании по дублированной схеме 1оо2 использовать более наглядный метод мажоритарного контроля 2ооЗ. Возможность использования нейросетевого резервирования в системах управления и регулирования основных параметров ЖРД подтверждена на более чем 60-и огневых испытаниях в ОАО КБХА.

Для градиентного алгоритма, адаптированного на поиск точного решения задачи о минимальном покрытии, в рамках процедуры минимизации избыточности прогностических систем также был проведен обширный вычислительный эксперимент. Данный алгоритм был протестирован на случайных матрицах размером max (п,т)<\ ООО. В каждом случае алгоритм выдавал решение за приемлемое время (не более 40 с). Результаты отражены на диаграмме, представленной на рис. 8.

40000

30000 20000 10000 о

. в

::: Градиентный метод [ ^ Метод ветвей и границ

шах (iii.ii)

500 1000

И

Рис. 8. Сравнительная характеристика времени работы метода ветвей границ и градиентного метода.

На оси абсцисс представлена размерность задачи, на оси ординат - среднее время решения задач такой размерности (в мс). Для сравнения на этой же диаграмме приведены временные затраты на тех же задачах для метода ветвей и границ. При тах (п,т)> 100 метод ветвей и границ перестал выдавать результат за время <40 с, поэтому для таких случаев данные представлены только для градиентного метода. В ходе тестирования было установлено, что среди матриц одинаковой размерности время поиска решения градиентным методом существенно короче для тех из них, которые являются более разреженными, т.е содержат больше нулевых элементов. (Для метода ветвей и границ справедлива, скорее, обратная зависимость).

При этом надо отметить, что хотя оптимизируемая градиентным алгоритмом функция и не имеет локальных экстремумов внутри единичного гиперкуба, они присутствуют в граничных точках. С целью отыскания глобального экстремума для каждой решаемой задачи градиентный алгоритм перезапускался п раз (где п- размерность решаемой задачи), каждый раз с новой случайной начальной точки (на графике временные затраты отображены с учетом этих перезапусков). При п< 100 для каждого теста алгоритмом было найдено точное ре-

шение, такое же как методом ветвей и границ. При п>100 этого утверждать невозможно, так как точное решение задачи было неизвестно.

В ОАО КБХА была проведена интеграция программных модулей, реализующих оптимизационные и нейросетевые процедуры минимизации избыточности прогностических систем в базовый пакет программ управления испытаниями ЖРД. Эффективность программных модулей подтверждена системным тестированием программного обеспечения системы аварийной защиты и управления (ПО САЗУ). Показатели эффективности модернизированного ПО в сравнении с базовым ПО приведены в таблице 6.

_Таблица б

Вид ПО Процент верных диагност, решений, % Ресурсоемкость (кол-во прогн. алгоритмов) Мобильность, кол-во часов на отладку, ч

Базовое ПО 70% 100 40ч

Модернизированное ПО 86% 83 25ч

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Проведен анализ математических методов моделирования и численных методов оптимизации для решения задач прогнозирования достижения граничных состояний и определены направления их развития с ориентацией на научные и технические проблемы в этой области.

2. Предложена схема классификации содержательных постановок задач прогнозирования достижения граничных состояний, ориентированная на возможность адекватного описания с использованием нейросетевых и оптимизационных моделей.

3. Получены оптимизационные модели и разработаны численные методы минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний на основе рандомизированных схем решения задач о минимальном покрытии, позволяющие находить минимальную систему прогностических признаков.

4. Разработана процедура формирования наиболее информативных обобщенных нелинейных прогностических признаков с помощью репликативной нейронной сети.

5. Построены математические модели получения оценок риска достижения граничных состояний сложных систем. Получены и исследованы формулы, выражающие оценку величины риска для нескольких наиболее естественных классов траекторий поведения системы в зависимости от текущего положения системы и значений допусковых границ. Для случаев, когда плановая траектория не известна, предложены методы получения прогнозных оценок риска с помощью комитетов нейро-экспертов.

6. Разработана бикритериальная оптимизационная модель отыскания компромиссного решения по критериям надежность-стоимость в задаче оптимизации системы прогнозирования достижения граничных состояний. Предложены алгоритмические схемы точной и приближенной оптимизации на основе многокритериального метода ветвей и границ и многокритериального генетического алгоритма.

7. Исследована дополнительная возможность повышения надежности системы

прогнозирования достижения граничных состояний с помощью виртуального нейросетевого резервирования.

8. Сформулированы модели оптимизации процессов восстановления исходного состояния сложного объекта в виде многокритериальных задач о назначениях в квадратичной и нечеткой постановках. Для решения многокритериальной задачи о назначениях в нечеткой постановке разработан генетический алгоритм, ориентированный на специфику задачи.

Для решения составления расписания восстановительных работ, сформулированной в виде квадратичной задачи о назначениях, разработан алгоритм на основе растущей нейронной сети.

9. Проведен анализ эффективности разработанных методов моделирования и численной оптимизации на основе вычислительного эксперимента, а также на основе натурного эксперимента для решения задачи оптимизации диагностического процесса при проведении испытаний жидкостных ракетных двигателей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Каширина, И.Л. Сравнительный анализ "жадных" алгоритмов, используемых при решении задачи о минимальном покрытии/ И.Л. Каширина, C.B. Писковецкий, Г.Д. Чернышева // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия: Вычислительные и информационно-телекоммуникационные системы. — 2001 .— Вып. 8.1 .— С. 40-43.

2. Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения квадратичной задачи о назначениях специального вида/ И.Л. Каширина// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. -2003.-№ 1.-С. 128-131.

3. Каширина, И.Л. Оптимизация проектных решений в САПР на основе эквивалентных преобразований задачи о минимальном покрытии/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович, Г.Д. Чернышова // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана [Электронный журнал]- 2006. - № 1. - С. 4.

4. Каширина, И.Л. Нейросетевой метод решения квадратичной задачи о назначениях/ И.Л. Каширина // Системы управления и информационные технологии. -2007.- № 2 (28).- С. 9-12.

5. Каширина, И.Л. Методы повышения качества обучения нейронных сетей в задачах прогнозирования/ И.Л. Каширина, К.Г. Иванова// Системы управления и информационные технологии,- 2007.- № 4 (30).- С. 31 -36.

6. Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях/ И.Л. Каширина, Б.А. Семенов // Информационные технологии,- 2007,- № 5. -С. 62-68.

7. Каширина, И.Л. О методах формирования нейросетевых ансамблей в задачах прогнозирования финансовых временных рядов/ И.Л. Каширина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии - 2009 2 -С. 116-119.

8. Каширина, И.Л. Нейросетевое резервирование дублированных измерений параметров при наземных огневых испытаниях ЖРД/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович, A.A. Тузиков// Информационные технологии,- 2011,- № 9.- С. 74-78.

9. Каширина, И.Л. Нейросетевой подход к отбору наиболее информативных признаков для функционального диагностирования ЖРД/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович, А.А.Шостак// Вестник Воронежского государственного технического университета,-2012 -Т 8 - № 8 - С 21-23.

10. Каширина, И.Л. Интеграция базовых и оптимизационных процедур при управлении испытаниями ЖРД/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович, А.А.Шостак II Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8. № 5. - С. 22-24.

11. Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи повышения надежности резервирования/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович, A.A. Тузиков // Информационные технологии. - 2012,- № 6. - С. 56-60.

12. Каширина, И.Л. Метод ветвей и границ для многокритериальной задачи повышения надежности резервирования/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович // Фундаментальные исследования. -2013. -№10(часть 15) -С. 3352-3357.

13. Каширина, И.Л. Разработка методов решения многокритериальной задачи оптимального резервирования/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013.- № 6-2. — С.32-34.

14. Каширина, И.Л. Математическое моделирование оценок риска достижения допусковых границ в процессе испытаний технических систем/ И.Л. Каширина, Я.Е. Львович // Фундаментальные исследования. - 2013. - №10 (часть 15) - С. 3347-3351.

15. Каширина, И.Л. Решение задачи оптимизации надежности в дуальной вычислительной среде/ И .Л . Каширина //Вестник Воронежского государственного технического университета. -2013.-№6-3.- С.74-77.

16. Каширина, И.Л. Управление портфелем ценных бумаг на основе методов прогнозирования достижения граничных состояний в дуальной вычислительной среде/ И.Л. Каширина// Экономика и менеджмент систем управления.- 2014.- № 1. - С. 32-39.

17. Каширина, И.Л. Структура дуальной вычислительной среды прогнозирования достижения граничных состояний сложных объектов/ И.Л. Каширина // Системы управления и информационные технологии. - 2014.- №1(55)- С. 15-18.

Свидетельства на программу для ЭВМ:

18. Каширина, И.Л. Решение задачи оптимизации надежности системы прогнозирования достижения граничных состояний/ И.Л. Каширина// Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014612757 - М.: Роспатент.- 2014.

Статьи и материалы конференций:

19. Львович Я.Е. Оптимизация проектных решений на основе эквивалентных преобразований

задачи о минимальном покрытии/ Я.Е. Львович, И.Л. Каширина, Г.Д. Чернышова// Информационные технологии.- 1999. - № 4. - С. 2-6.

20. Каширина, И.Л. Эквивалентные преобразования одной задачи транспортного типа, позволяющие использовать различные методы ее решения/ И.Л. Каширина, Г.Д. Чернышо-ва.//Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика.-2001.-№ 2. -С. 104.

21. Каширина, И.Л. Алгоритмизация одной задачи транспортного типа/ И.Л. Каширина, Г.Д. Чернышова // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия: Вычислительные и информационно-телекоммуникационные системы. — 2001 .— Вып. 8.1.— С. 38-39.

22. Каширина, И.Л. Использование градиентных алгоритмов для решения задачи о минимальном покрытии И Системное моделирование социально-экономических процессов: Сб.науч.тр. — Воронеж, 2000 .— С. 111 -116.

23. Каширина, И.Л. Система поддержки принятия решений по выбору оптимизационного алгоритма/ ИЛ. Каширина, А.А. Фокин // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия: САПР и системы автоматизации производства. — 2001.— Вып. З.1.— С. 49-53.

24. Каширина, И.Л. Возможности системы поддержки принятия решений по выбору оптимизационного алгоритма/ И.Л.Каширина, А.А.Фокин // Interactive Sytems.The Problems of HumanComputer Interaction: Proc.of the Int.Conf.- Ulyanovsk, 2001 .— C. 169-171.

25. Каширина, И.Л. Использование генетического алгоритма для построения расписания / И.Л.Каширина // Современные сложные системы управления (CCCY-HTCS 2003): Сб. науч. тр. международ, конф. — Санкт-Петербург, 2003 .— Т. 1 .— С. 64-67.

26. Каширина, И.Л. Разработка математической модели и генетического алгоритмы для решения задачи составления расписания/ И.Л. Каширина // Информационные технологии : мат. все-рос. науч.-техн. конф. — Воронеж, 2005 .— С. 411-413.

27. Каширина, И.Л. Использование сети Кохонена для дифференциальной диагностики син-дромных поражений слизистой оболочки рта и кожи / И.Л. Каширина [и др.] // Системный анализ и управление в биомедицинских системах .— 2006 .— Т. 5,- № 1. - С. 52-60.

28. Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях при нечетких коэффициентах целевой функции/ И.Л. Каширина, Б.А. Семенов// Вестник

Воронежского государств, университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2006,- № 1.- С. 102-106.

29. Каширина, И.Л. Прогнозирование финансовых рынков с использованием искусственных нейронных сетей / И.Л. Каширина, К.Г. Иванова // Тр. 30-ой междунар. науч. шк.-семинара им. С.С. Шаталина.— Воронеж, 2007 — 4.2. - С. 299-303.

30. Каширина, И.Л. Применение растущей нейронной сети для решения квадратичной задачи о назначениях/ И.Л. Каширина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. -2007. -№ 1. -С. 52-55.

31. Каширина, И.Л. Прогнозирование курсов акций с помощью вероятностной нейронной сети и средств технического анализа / И.Л. Каширина // Экономическое прогнозирование : модели и методы : матер. 4-й междунар. науч.-практ. конф.— Воронеж, 2008 .— Ч.2.- С. 246-250.

32. Каширина, И.Л. Управление портфелем ценных бумаг с использованием нейросетевого комитета/ И.Л. Каширина, К.Г. Иванова// Системное моделирование социально-экономических процессов: сб. тр. 31 междунар. науч. школы-семинара.— Воронеж, 2008.— Ч.З.- С. 130-134.

33. Берколайко, М.З. Использование d-оценок Руссмана для управления портфелем активов/ М.З. Берколайко, И.Л. Каширина, К.Г. Иванова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2008 № 1 С 102-110.

34. Каширина, И.Л. Генетические алгоритмы решения многокритериальных задач / И.Л. Каширина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф.— Воронеж, 2009 .— Ч. 1. - С. 223-225.

35. Каширина, И.Л. Использование растущей нейронной сети для решения квадратичной задачи о назначениях / И.Л. Каширина // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики.— 2010 .— Вып. 8. - С. 111-122.

36. Львович, И.Я. Нейросетевая модель компромисса при проектировании системы испытаний ЖРД / И.Я. Львович, A.A. Шостак, И.Л. Каширина // Теория конфликта и ее приложения : материалы VI-й всерос. науч.-тех. конф. — Воронеж, 2010 .— Ч. II. - С. 48-53.

37. Каширина, И.Л. Нейросетевая модель датчика давления в камере сгорания для наземных огневых испытаний ЖРД / И.Л. Каширина, A.A. Тузиков // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф.— Воронеж 2010 — С 162-165.

38. Каширина, И.Л. Нейросетевая модель датчика давления в камере сгорания для наземных огневых испытаний ЖРД/ И.Л. Каширина, Я.Е Львович, A.A. Тузиков // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010,- Т. 6. - № 11. С. 4-7.

39. Каширина, И.Л. Построение обобщённой модели нейронных сетей семейства ART и применение её к оценке экологического состояния региона// Молодежь и современные информационные технологии : материалы Всерос. молодеж. конф.— Воронеж, 2011—С. 117-118.

40. Шостак, A.A. Оптимизационная модель и алгоритм минимизации решающих правил при управлении испытаниями ЖРД / A.A. Шостак, И.Л. Каширина // Управление, информация и оптимизация : материалы Всерос. науч. шк., 5-6 сент. 2011 г. — Воронеж, 2011 .— С. 88-90.

41. Тузиков, A.A. Оптимизация резервирования в системе управления стендовыми испытаниями / A.A. Тузиков, И.Л. Каширина // Управление, информация и оптимизация : материалы всерос. науч. шк.— Воронеж, 2011 .— С. 77-78.

42. Шостак, A.A. Интеграция оптимизационных процедур в информационную систему управления испытаниями ЖРД/А.А. Шостак, И.Л. Каширина// Информационно-телекоммуникац. системы и управление : материалы всерос. науч. шк. —Воронеж, 2011.— С. 239-241.

43. Каширина, И.Л. Интеллектуальные технологии управления испытаниями ЖРД на основе нейросетевого и нейро-нечеткого моделирования / И.Л. Каширина, A.A. Тузиков // Интеллектуальные технолог™ будущего. Естественный и искусственный интеллект : матер, всерос. конф.— Воронеж, 2011 .— С. 87-91.

44. Каширина, И.Л. Оптимизационное моделирование надежности системы управления огневыми испытаниями ЖРД / И.Л. Каширина, A.A. Тузиков // Математическое моделирование в технике и технологии : материалы всерос. конф.— Воронеж, 2011 .— С. 276-278.

45. Каширина, И.Л. Нейросетевое резервирование элементов информационно-управляющей

системы огневых испытаний ЖРД / И.Л. Каширина, И.Я. Львович, A.A. Тузиков // Информационно-телекоммуникационные системы и управление: материалы всерос. науч. шк.— Воронеж, 2011 .— С. 224-228.

46. Каширина, И.Л. Нейросетевая экспертная система медицинской диагностики / И.Л. Каширина, Л.А. Анашкина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сборник трудов международной конференции— Воронеж, 2012 .— Ч. 1. - С. 168-172.

47. Каширина, ИЛ. Применение метода ветвей и границ для решения многокритериальной задачи оптимального резервирования / И.Л. Каширина, A.A. Тузиков // Теория сложности вычислений: матер, междунар. молодежной научной школы.— Воронеж, 2012 .— С. 137-141.

48. Каширина, И.Л. Использование репликативной нейронной сети для решения задачи отбора диагностических параметров / ИЛ. Каширина, A.A. Шостак // Инженерия знаний: состояние и перспективы : матер, всерос. науч. шк.— Воронеж, 2012 .— С. 251-253.

49. Каширина, ИЛ. Генетический алгоритм решения двухкритериальной задачи повышения надежности резервирования/ И.Л. Каширина, A.A. Тузиков//Инженерия знаний. Представление знаний : состояние и перспективы : матер, всерос. науч. шк.— Воронеж, 2012.— С. 247-249.

50. Каширина, И.Л. Решение задачи повышения надежности резервирования с помощью эволюционного моделирования / И.Л. Каширина, Я .С. Гальцев // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. трудов междунар. конф.— Воронеж, 2012 -С. 173-177.

51. Каширина, ИЛ. Сокращение размерности диагностической информации с помощью репли-кативных нейронных сетей / И.Л. Каширина, A.A. Шостак // Математические проблемы современной теории управления системами и процессами : материалы международной конференции— Воронеж, 2012.— С. 93-97.

52. Каширина, И.Л. Оптимизация эффективности алгоритмической структуры в системе контроля, диагностики и управления аварийной зашитой при испытаниях ЖРД / И.Л. Каширина, Я.Е Львович, A.A. Шостак // Вестник Тульского государственного университета. Серия: Системы управления .— 2012 .— Вып. 1. - С. 25-27.

53. Каширина, И.Л. Оценка риска в задаче прогнозирования технического состояния сложной системы/ И.Л. Каширина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. трудов международной конференции. — Воронеж, 2013 .— Ч. 1. - С. 173-177.

54. Каширина, ИЛ. Методы огранизации нейросетевых комитетов для решения задачи прогнозирования достижения граничных состояний/ И.Л. Каширина//Вестник ВИВТ,- 2013. -№11.-С. 109-114.

Зарегистрированные программы для ЭВМ:

55. Каширина И.Л. Программный комплекс для решения задачи оптимального резервирования/ И.Л. Каширина, Я.С. Гальцев. -М.: ФГАНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти».- № 50201450079 от 17.01.2014.

56. Каширина ИЛ. Программный комплекс для решения задачи минимизации избыточности систем прогнозирования/ И.Л. Каширина. - М.: ФГАНУ «Центр информационных технологий и систем органов исполнительной власти»,- № 50201450122 от 27.01.2014.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [27,39,46] - формализация задач прогнозирования достижения граничных состояний с использованием нейросетевых и оптимизационных моделей (п.1 научной новизны); [10,42]- концепция дуальной вычислительной среды (п.2 научной новизны); [5,29,31,32]-методы организации нейросетевых комитетов (п.2 научной новизны); [14,33]-методы получения оценок риска через d-оценки (п.З научной новизны); [1,3,19,21,40,52]- оптимизационные модели и алгоритмы минимизации избыточности (п.4 научной новизны); [20, 22]- эквивалентные способы математической формализации задачи о покрытии, позволяющие применять для нее методы непрерывной оптимизации (п.4 научной новизны); [8,9,48, 51] -нейросетевые алгоритмы минимизации избыточности систем прогнозирования; [11,12,13, 47,49,50]- точные и приближенные алгоритмы решения многокритериальной задачи оптимизации надежности (п.5 научной новизны); [8,37,38]- модели нейросетевого резервирования (п.5 научной новизны); [6,28]- алгоритмы решения многокритериальной задачи о назначениях с нечеткими целевыми коэффициентами (п.6 научной новизны); [23,24,36,42,43] - структура и реализация комплекса программных средств вычислительного и натурного (испытания жидкостных ракетных двигателей) эксперимента (п.7 научной новизны).

Подписано в печать 17.03.14. Формат 60*84 '/]6. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ 234.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ВОРОШЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

05201451266 На правах рукописи

КАШИРИНА Ирина Леонидовна

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В ДУАЛЬНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант Доктор технических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Львович Яков Евсеевич

Воронеж 2014

р

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................................6

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА.......................................16

1.1. Анализ задач моделирования при оптимизации систем

прогнозирования достижения граничных состояний сложного объекта ..16

1.2. Основные проблемы математического моделирования и численных методов оптимизации в задачах прогнозирования риска достижения граничных состояний......................................................................................24

1.3. Основные проблемы математического моделирования и численных методов оптимизации в задачах отбора и формирования прогностических признаков...........................................................................31

1.4. Основные проблемы математического моделирования и численных методов оптимизации при разработке методов планирования процесса натурного эксперимента для систем прогнозирования граничных состояний..........................................................................................................41

1.5. Структура дуальной вычислительной среды для решения задачи оптимизации систем прогнозирования граничных состояний сложного

объекта..............................................................................................................49

Выводы первой главы......................................................................................53

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ РИСКА ДОСТИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОМ ГРАНИЧНОГО СОСТОЯНИЯ.................................................................................55

2.1. Моделирование риска потери управляемости сложной системы с помощью с1-оценок...........................................................................................55

2.2. Исследование свойств оценок риска для некоторых базовых классов плановых траекторий.......................................................................................64

2

2.3. Прогнозирование изменения параметров системы с помощью

комитета нейроэкспертов для получения оценок будущего риска............72

Выводы второй главы..........................................................................................82

ГЛАВА 3. ФОРМИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ИЗБЫТОЧНОСТИ СИСТЕМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.....................................................83

3.1. Построение оптимизационных моделей и формирование эквивалентных задач оптимизации................................................................83

3.2. Разработка алгоритмов решения задач минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний.....................98

3.3. Минимизация избыточности систем прогнозирования с использованием репликативных нейронных сетей..................................130

Выводы третьей главы.......................................................................................130

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ.......................................138

4.1. Оптимизационная модель задачи повышения надежности системы прогнозирования граничных состояний при многовариантном резервировании ее компонентов..................................................................138

4.2. Метод ветвей и границ для решения задачи повышения надежности системы прогнозирования граничных состояний при многовариантном резервировании ее компонентов...................................145

4.3. Генетический алгоритм для решения задачи повышения надежности системы прогнозирования граничных состояний при многовариантном резервировании ее компонентов...................................158

4.4. Формирование процедур нейросетевого резервирования при решении задачи повышения надежности системы прогнозирования граничных состояний........................................................................................................167

Выводы четвертой главы...................................................................................169

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОЦЕДУР ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ исходного состояния сложного

ОБЪЕКТА.................................................................................................................171

5.1. Решение задачи оптимизации восстановления исходного состояния сложного объекта в нечеткой многокритериальной постановке..............171

5.2. Применение растущей нейронной сети для решения задачи оптимизации восстановления исходного состояния сложного объекта

в квадратичной постановке..........................................................................193

Выводы пятой главы..........................................................................................200

ГЛАВА 6. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАЗРАБОТАННЫХ ПРОЦЕДУР

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЧИСЛЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ

ИСПЫТАНИЙ ЖРД................................................................................................201

6.1. Анализ эффективности решения задачи прогнозирования риска достижения граничных состояний с помощью нейросетевых комитетов........................................................................................................201

6.2. Анализ эффективности разработанных процедур минимизации избыточности систем прогнозирования граничных состояний................205

6.3. Анализ эффективности алгоритмов оптимизации надежности систем прогнозирования граничных состояний......................................................217

6.4. Анализ эффективности алгоритмических процедур оптимизации процессов восстановления исходного состояния сложного объекта.......229

6.5. Анализ эффективности разработанных алгоритмов при использовании их в задачах разработки диагностических процедур и управления наземными огневыми испытаниями ЖРД..................................................237

Выводы шестой главы.......................................................................................246

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................249

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ................................................251

ПРИЛОЖЕНИЕ.......................................................................................................271

ВВЕДЕНИЕ

Задача прогнозирования достижения граничных состояний имеет широкий круг приложений. Прежде всего, она возникает при разработке систем технической диагностики как задача прогнозирования аварийных состояний технических объектов. В экологических системах — это задача прогнозирования неблагоприятного развития экологической ситуации. В инвестиционном анализе - это задача прогнозирования риска неполучения запланированной прибыли. В автоматизированных системах медицинской диагностики - это прогнозирование прогресса заболевания, перехода его в новую форму.

В общем случае, задача прогнозирования достижения граничных состояний возникает при разработке систем автоматического контроля функционирования любых сложных объектов и используется для распознавания критических ситуаций, связанных с неадекватной нормальному функционированию динамикой объекта контроля. Цель решения задачи оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний — повышение надежности сложных систем.

Задачи прогнозирования достижения граничных состояний составляют особый класс задач. В отличие от методов непосредственного прогнозирования состояния сложных объектов, которые, по сути, дают точечные прогнозные оценки, методы прогнозирования достижения граничных состояний должны дать ответ на вопрос - останется ли объект через некоторое время в заданных границах или выйдет за их рамки, что ближе уже к интервальному оцениванию.

Предсказать, попадет ли некоторый параметр в заданный интервал, всегда можно с большей уверенностью, чем определить само значение этого параметра, поэтому методы прогнозирования достижения граничных состояний могут (и должны) обеспечивать более высокую точность прогнозов, чем классические методы прогнозирования. Однако для разработки таких методов нужно применять математический аппарат, максимально учитывающий

специфику таких задач. Представляется, что таким аппаратом может стать дуальная вычислительная среда, включающая методы нейросетевого и оптимизационного моделирования. Оптимизационные модели обеспечат точность, наглядность и обоснованность методов, а нейронные сети позволят проводить адаптивную настройку параметров таких моделей. Дуальная вычислительная среда даст возможность более эффективно соединять формализуемые знания (оптимизационные модели) и плохо формализуемые (нейронные сети).

Задача исследования процесса достижения граничных состояний рассматривалась в работах И. А. Биргера, J1.H. Александровской, А.Н. Абрамова, В.И. Круглова, Ю.К. Беляева, Л.Г. Евланова, И.В. Павлова, Т.А Голинкевича, В.И. Городецкого, А.Г. Кузнецова, В.П. Назарова и других, и, в основном, эти исследования проводились на базе статистических методов. В процессе решения задачи прогнозирования достижения граничных состояний можно выделить несколько основных этапов.

На первом этапе решается задача определения набора прогностических

признаков (предикторов), обладающего низкой избыточностью и высокой

информативностью. Математически задача построения минимального

подмножества прогностических признаков сводится к оптимизации

комбинаторной задачи о минимальном покрытии, методы точного и

приближенного решения которой представлены в трудах A.A. Корбута, Ю.Ю.

Финкельштейна, А.В.Еремеева. Но, поскольку задача о покрытии относится к

NP- сложным, а задача оптимального построения минимальной системы

предикторов имеет высокую размерность, в существующих системах

прогнозирования достижения граничных состояний применяются только

простые приближенные методы решения задачи о покрытии либо

традиционные статистические методы. Поэтому требует решения проблема

построения эффективных точных и приближенных алгоритмов для

комбинаторного класса задач минимального покрытия, а также проблема

предварительного формирования значимых обобщенных прогностических

7

признаков, представляющих собой нелинейные комбинации исходных признаков.

На этапе разработки прогностических процедур осуществляется математическое моделирование оценок риска достижения граничных состояний, связанных с вероятностями выхода за эти границы. В литературе подобная задача решается с привлечением существенных гипотез и допущений о вероятностных свойствах прогнозируемого процесса. На практике такие сведения редко бывают заданными. На этом этапе требует решения задача получения оценок риска достижения граничных состояний, не опирающихся на знание полных вероятностных характеристик прогнозируемого процесса, а также проблема прогнозирования контролируемых параметров процесса для вычисления оценок будущего риска.

При решении задачи прогнозирования достижения граничных состояний огромное значение имеет этап проведения натурного эксперимента, при этом его стоимость и длительность, как правило, становятся определяющими в общих затратах и сроках, необходимых для создания сложной системы. На данном этапе нерешенной остается проблема разработки точных и приближенных алгоритмов отыскания решения многокритериальной задачи повышения надежности аппаратных и программных средств для проведения натурных экспериментов, а также проблема построения моделей виртуальных резервных элементов.

Вместе с тем сроки исследований поведения объекта в состояниях, близких к граничному, тесно связаны с решением задач оптимизации процесса последующего восстановления исходного состояния объекта. Данная задача может быть отнесена к широко известному классу задач о назначении. Однако ее решение осложняется тем, что она может иметь многокритериальную постановку с нечеткими коэффициентами целевых функций или постановку с квадратичной целевой функцией. Возможность точного решения таких задач ограничена размерностью 20-25 элементов, при этом в литературе для них

практически отсутствуют эффективные приближенные алгоритмы.

8

Таким образом, актуальность темы определяется необходимостью комплексного исследования, связанного с недостаточной разработанностью методов математического моделирования, численной оптимизации и концептуальных основ их интеграции для эффективного решения фундаментальных и прикладных задач оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний сложных объектов.

Работа выполнена в соответствии с основным научным направлением ВГУ «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Целью диссертации является разработка численных методов, алгоритмических процедур и программных средств математического моделирования для концептуального решения задач оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний сложных объектов в дуальной вычислительной среде.

В соответствии с указанной целыо определены следующие задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

- проанализировать классы математических методов моделирования и численных методов оптимизации прогнозирования достижения граничных состояний и определить пути повышения их эффективности в дуальной вычислительной среде;

- разработать математические модели прогнозирования риска достижения объектом граничных состояний на основе оптимизационного и нейросетевого подходов;

- сформировать оптимизационные модели и исследовать численные методы минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний на основе рандомизированных схем решения задач о минимальном покрытии и репликативной нейронной сети;

- разработать оптимизационную модель и алгоритмические схемы

численной оптимизации надежности системы прогнозирования

9

достижения граничных состояний на основе метода ветвей и границ, генетического алгоритма и виртуального нейросетевого резервирования;

- сформировать модели оптимизации восстановления исходного состояния объекта в виде многокритериальных задач о назначениях в квадратичной и нечеткой постановках и разработать для их решения генетический алгоритм и алгоритм на основе растущей нейронной сети;

- провести анализ эффективности разработанных методов математического моделирования и численной оптимизации с применением вычислительного и натурного экспериментов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались основные положения теории математического моделирования, системного анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории эффективности и надежности сложных систем, методы нейросетевого моделирования, дискретной и непрерывной оптимизации, интеллектуального анализа данных, эволюционного моделирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18: п.З «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий», п.5. «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 8 «Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования»

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1) способ математической формализации задач прогнозирования достижения граничных состояний, отличающийся схемой классификации их содержательных постановок инвариантного и проблемно-ориентированного типов, которая обеспечивает возможность адекватного описания с использованием нейросетевых и оптимизационных моделей;

2) концепция интеграции оптимизационного и нейросетевого

10

моделирования в дуальную вычислительную среду, отличающиеся способом выбора нейронных сетей специального вида или их комитета (ансамбля) для включения в структуру поиска численного решения задач оптимизации систем прогнозирования достижения граничных состояний;

3) методы математического моделирования прогнозных оценок риска достижения объектом граничного состояния, отличающиеся формой трансформации трактовки риска из проективной метрики на плоскости в с1-оценки и геометрической интерпретацией процесса изменения наблюдаемого параметра системы в виде определенных классов траекторий с использованием методов нейросетевого прогнозирования;

4) комплекс оптимизационных моделей и алгоритмов минимизации избыточности систем прогнозирования достижения граничных состояний, отличающихся проблемной ориентирова