автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и оценка параметров некоторых систем массового обслуживания по наблюдениям над периодом занятости

Введение.

Глава 1. Исследование периода занятости систем массового обслуживания с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании.

1.1. Однолинейная СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании, при пуассоновском входящем потоке.

1.1.1. Математическая модель системы.

1.1.2. Расчёт вероятностных характеристик периода занятости.

1.1.3. Построение оценок.

1.1.4. Исследование оценок.

1.2. Однолинейная СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании, при рекуррентном входящем потоке.

1.2.1. Математическая модель системы.

1.2.2. Расчёт вероятностных характеристик периода занятости.

1.2.3. Частные случаи.

1.2.4. Построение оценок.

1.2.5. Исследование оценок.

1.3. Многолинейная СМО с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании, при пуассоновском входящем потоке.

1.3.1. Математическая модель системы.

1.3.2. Расчёт вероятностных характеристик периода занятости.:.

1.3.3. Построение оценок.

1.3.4. Исследование оценок.

Резюме.

Глава 2. Исследование периода занятости систем массового обслуживания при линейном убывании незавершённой работы.

2.1. Однолинейная СМО при линейном убывании незавершённой работы.

2.1.1. Математическая модель системы.

2.1.2. Описание процесса w(t) над порогом.

2.1.3. Описание процесса w(t) под порогом.

2.1.4. Построение оценок.

2.1.5. Исследование оценок.

2.2. п однолинейных СМО при линейном убывании незавершённой работы

2.2.1. Математическая модель системы.

2.2.2. Описание процесса над порогом.

2.2.3. Описание процесса w(t) под порогом.

2.2.4. Построение оценок.

2.3. Многолинейная СМО при линейном убывании незавершенной работы

2.3.1. Математическая модель системы.

2.3.2. Расчет вероятностных характеристик периода занятости.

2.3.3. Частный случай.

2.3.4. Построение оценок.

2.3.5. Исследование оценок.

2.4. Средняя длительность периода занятости в однолинейной

СМО с дважды стохастическим входящим потоком.

2.4.1. Математическая модель системы.

2.4.2. Расчет условной средней длительности периода занятости.

2.4.3. Расчет безусловной средней длительности периода занятости.

2.4.4. Расчет условной средней длительности периода простоя системы.

2.4.5. Расчет безусловной средней длительности периода простоя системы

Резюме.

Глава 3. Исследование периода занятости систем массового обслуживания при экспоненциальном убывании незавершенной работы.

3.1. Однолинейная СМО при экспоненциальном убывании незавершенной работы.

3.1.1. Математическая модель системы.

3.1.2. Описание процесса w(t) над порогом.

3.1.3. Описание процесса w(>) под порогом.

3.1.4. Построение оценок.

3.2. п однолинейных СМО при экспоненциальном убывании незавершенной работы.

3.2.1. Математическая модель системы.

3.2.2. Описание процесса w{t) над порогом.

3.2.3. Описание процесса w(t) под порогом.

3.2.4. Построение оценок.

3.3. Многолинейная СМО при экспоненциальном убывании незавершённой работы.

3.3.1. Математическая модель системы

3.3.2. Расчет вероятностных характеристик периода занятости.

3.3.3. Частный случай.

3.3.4. Построение оценок.

3.3.5. Исследование оценок.

Резюме.

Глава 4. Исследование многолинейных СМО по моментам занятия приборов и периоду занятости.

4.1. Многолинейная СМО по моментам занятия приборов.

4.1.1. Математическая модель системы.

4.1.2. Переходные вероятности.

4.1.3. Финальные вероятности.

4.1.4. Временные характеристики.

4.1.5. Построение оценок.

4.1.6. Исследование оценок.

4.2. Многолинейная СМО по периоду занятости.

4.2.1. Математическая модель системы.

4.2.2. Расчёт вероятностных характеристик периода занятости.

4.2.3. Построение оценок.

4.2.4. Исследование оценок.

Резюме.

Глава 5. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мёртвого времени.

5.1.1. Математическая модель системы.

5.1.2. Характеристики некоторых статистик.

5.1.3. Линейная фильтрация интенсивности потока.

5.1.4. Частный случай.

Резюме.

Глава 6. Вероятность разорения страховых компаний с учетом перестраховки.

6.1. Классическая модель страховой компании с перестраховкой.

6.1.1. Описание модели.

6.1.2. Вывод уравнения для вероятности разорения компании.

6.1.3. Решение уравнения для вероятности разорения компании.

6.1.4. Асимптотика вероятности разорения компании.

6.1.5. Среднее время разорения страховой компании.

6.1.6. Дисперсия времени разорения страховой компании.

6.2. Модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с перестраховкой.

6.2.1. Описание модели.

6.2.2. Вывод уравнения для вероятности разорения компании.

6.2.3. Решение уравнения для вероятности разорения компании.

6.2.4. Асимптотика вероятности разорения компании.

6.2.5. Среднее время разорения страховой компании.

6.2.6. Дисперсия времени разорения страховой компании.

Резюме.

Глава 7. Вероятность разорения страховых компаний с работающим капиталом.

7.1. Классическая модель страховой компании с работающим капиталом

7.1.1. Описание модели.

7.1.2. Вывод уравнения для вероятности выживания компании.

7.1.3. Решение уравнения для вероятности выживания в общем случае.

7.1.4. Решение уравнения для вероятности выживания в случае экспоненциально распределенных выплат.

7.1.5. Приближенные формулы для небольших процентных ставок.

7.2. Модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с работающим капиталом.

7.2.1. Описание модели.

7.2.2. Вывод уравнения для вероятности выживания компании.

7.2.3. Решение уравнения для вероятности выживания в общем случае.

7.2.4. Решение уравнения для вероятности выживания в случае экспоненциально распределенных выплат.

Резюме.

Глава 8. Программное обеспечение разработанных алгоритмов и имитационное моделирование.

8.1 Программа STRAHKOMP.

8.1.1 Общая характеристика программы STRAHKOMP.

8.1.2 Работа с программой.

8.1.3. Работа с моделями.

8.1.4. Экспорт данных моделирования.

8.1.5. Работа с таблицами и графиками, сервисные функции,

Help - система.

8.1.6. Результаты моделирования.

8.2. Программа System.

8.2.1 Общая характеристика программы.

8.2.2. Основы работы с программой.

8.2.3. Работа с документом.

Резюме.

Системы массового обслуживания являются стандартной математической моделью для описания многих технических, биологических и других систем. В частности, они находят всё более широкое применение для описания сетей связи и сетей ЭВМ, как локальных, так и глобальных [11, 84].

Важнейшим элементом всех таких систем являются входящие потоки некоторых событий (заявок, задач и т.д.), которые поступают на обслуживающие приборы, занимая их на некоторое время для своего обслуживания, и затем или покидают систему, или уходят на другой обслуживающий прибор.

В реальных системах эти потоки событий, как правило, являются нестационарными - их интенсивность меняется со временем, иногда плавно, иногда скачкообразно. С другой стороны, эффективное функционирование системы массового обслуживания и управление ею (подключение резервных приборов, изменение маршрутизации в сетях и т.д.) требует знания интенсивностей этих потоков заявок. Поэтому оценка текущей интенсивности потоков заявок, поступающих в систему массового обслуживания, является актуальной технической проблемой.

Если сам поток событий, поступающий в систему массового обслуживания, доступен наблюдению, то задача оценки его характеристик сильно упрощается, хотя и остаётся достаточно сложной. Решению этой проблемы посвящено очень большое число работ, например [88, 92, 151].

Однако иногда возникают ситуации, когда прямое наблюдение входящего потока невозможно. Можно указать, по меньшей мере, несколько классов таких систем.

1. Администрирование в сетях ЭВМ. Например, провайдер, который предоставляет нам доступ в Интернет, фиксирует только наш вход в систему и выход из нее, а к каким сайтам мы обращаемся во время нашего сеанса работы - его не касается. Поэтому свое представление о нас он формирует только по моментам начала и конца периодов занятости и должен строить свои оценки именно по этим данным.

2. В последнее время при проектировании и эксплуатации вычислительных сетей часто используются технологии распределенных сетевых ресурсов и распределенных вычислений. Основная идея этих технологий заключается в следующем: дорогостоящие ресурсы вычислительной сети не должны дублироваться на рабочих местах пользователей, но при этом мощности сетевых вычислительных ресурсов должны обеспечить комфортную работу всех пользователей сети. Приведем классические примеры организации таких сетевых ресурсов:

-не стоит покупать на каждое рабочее место сети лазерный принтер, достаточно купить несколько сетевых принтеров, количество которых должно быть определено исходя из соображений оптимальной загрузки таких ресурсов; -не стоит устанавливать для каждого пользователя сети сервер для доступа в Internet, достаточно установить ряд серверов, количество и вычислительные мощности которых должны обеспечить пользователям допустимый уровень работы в Internet;

- наконец, современные технологии позволяют развивать вычислительные ресурсы предприятий двумя способами: увеличение технических возможностей каждого рабочего места пользователей, т.е. всего парка вычислительных машин, или, создание так называемых терминальных центров, каждый из которых реализует поддержку определенного количества пользователей. С экономической точки зрения выгоднее поддерживать терминальный центр, кроме того, организация вычислительных сетей таким образом более выгодна и в связи с участившимися случаями «компьютерного пиратства».

К сожалению, на сегодняшний день большинство вопросов, связанных с количеством и качеством такого рода оборудования, чаще всего решаются эмпирическим путем, основываясь на опыте системных администраторов, простом сравнении аналогичных сетей, или соображениях экономии денежных средств. Это очень часто приводит к естественным последствиям - перечисленные технологии либо не работают, либо работают не на том уроне, который достаточен для нормальной работы сетевых клиентов. В связи с выше сказанным актуальными становятся вопросы, связанные с загруженностью и полнотой использования распределенных вычислительных ресурсов. Поэтому повышается роль мониторинга за подобного рода ресурсами. Предлагаемые в работе модели и методы модели подходят в качестве математической основы для такого рода мониторинга.

3. Наконец, типичным примером таких ситуаций являются физические, технические или биологические системы с так называемым «мёртвым временем», когда часть событий исходного потока теряется из-за эффекта мёртвого времени, возникающего в регистрирующих приборах, и наблюдению доступны лишь моменты начала периодов занятости.

Этими соображениями и вызвана данная работа.

Математические модели

В настоящей работе систематически исследовались статистические свойства периодов занятости следующих систем массового обслуживания.

1. Системы с вытеснением заявки, находящейся на обслуживании. Такие модели могут быть использованы для описания работы броузеров, особенно в системах с низкоскоростными каналами связи. В этом случае пользователь, открывая, например, страницу новостей, может не дождаться, пока она откроется полностью, и по гипертекстовой ссылке переходить к другой странице, прерывая, таким образом, обслуживание предыдущей заявки. Подобные же модели могут быть использованы и для описания других сетевых технологий.

2. Системы с распределением работы между приборами. Такие системы достаточно адекватно отображают работу систем клиент/сервер, когда клиент посылает свой запрос на второй уровень (сервер приложений), и содержащаяся в этом запросе работа распределяется между несколькими подсистемами, каждая из которых выполняет свою часть запроса клиента. Например, сложный финансовый анализ требует работы подсистем анализа покупок, анализа продаж, анализа кредитной политики, анализа взаимоотношений с контрагентами и т.д. Вся эта работа распределяется между подсистемами, которые работают одновременно.

3. Системы массового обслуживания типа M/M/l/oo, M/G/l/oo, MIMhо, MJG!оо, в том числе эти системы с распределением работы между приборами.

4. Системы массового обслуживания, когда незавершенная работа убывает по экспоненциальному закону. Подобная ситуация возникает, например, в системах с так называемым продлевающимся мёртвым временем, которые встречаются при изучении технических, физических, биологических и других объектов.

Например, в биологических системах подобная ситуация возникает при изучении прохождения импульсов возбуждения в нейронных сетях. Этот импульс, идущий по нейрону, вызывает в его окончании выброс некоторого химического вещества, которое блокирует мембраны нервных клеток. Поэтому после этого выброса мембрана на некоторое время теряет проводимость и не пропускает дальнейшие импульсы - наступает так называемое "мёртвое время".

С течением времени это вещество рассасывается и после того, как его концентрация уменьшится до какого-то порогового уровня, мембрана снова может пропускать импульсы. К сожалению, закон распада этого химического вещества точно неизвестен и, по-видимому, может иметь самый разнообразный вид. Это затрудняет точное исследование этого вопроса. Это выброшенное вещество как раз и имеет смысл незавершённой работы. Так как его рассасывание (распад) идёт нелинейно со временем, то и возникает ситуация, когда незавершённая работа изменяется со временем нелинейно.

5. Наконец, в работе рассматриваются модели так называемой актуарной математики. Среди большого разнообразия математических моделей, описывающих различные стороны деятельности страховых компаний, особое место занимают модели, описывающие деятельность компании в целом.

Следует отметить, что, с точки зрения математической модели, деятельность страховой компании можно описать бесконечно линейной системой массового обслуживания. Действительно, в компанию приходят новые клиенты -это входящий поток заявок. Клиентов, застраховавших свои риски в компании, в принципе может быть сколь угодно много. Наконец, клиенты могут покидать компанию - это будет выходящий поток заявок.

Однако, с точки зрения периода занятости, имеется одно очень существенное отличие от систем массового обслуживания. Дело в том, что даже если компанию покинут все клиенты, то она не прекратит своё существование, если у нее останутся деньги, то есть капитал. Поэтому период занятости закончится только тогда, когда капитал компании станет равен нулю, то есть компания разорится. Поэтому характеристики этого периода занятости надо считать по-другому.

Кроме этого следует иметь в виду, что при нормальных условиях работы страховая компания с ненулевой вероятностью может не разорится никогда, то есть период занятости с ненулевой вероятностью может быть равен бесконечности. Поэтому надо считать только условные характеристики периода занятости при условии, что разорение наступит. Это требует применения своеобразного математического аппарата, который хотя и близок к аппарату теории массового обслуживания, но не совсем совпадает с ним.

Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие задачи.

1. Разработать оценки интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания по наблюдениям над началом периода занятости в СМО с вытеснением заявок.

2. Разработать оценки интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания по наблюдениям над моментами пересечения процессом незавершенной работы некоторого порога в однолинейной системе с равномерным распределением работы между п идентичными СМО при линейном и экспоненциальном законах убывания незавершенной работы.

3. Разработать оценки интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания по наблюдениям над началом периода занятости в многолинейной СМО с равномерным распределением работы между п идентичными системами типа M/G/oo при линейном и экспоненциальном законах убывания незавершенной работы.

4. Разработать оценки интенсивности входящего потока заявок по моментам занятия приборов в системе МI М / п / 0.

5. Разработать оценки интенсивности входящего потока заявок по наблюдениям над началом периода занятости в системе М/М/со.

6. Разработать алгоритмы оптимальной линейной фильтрации пуассонов-ского потока заявок с учётом мёртвого времени.

7. Рассчитать основные характеристики времени жизни страховой компании для случая, когда страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени, и когда страховые взносы образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности, при наличии перестраховки больших рисков.

8. Рассчитать вероятность разорения страховой компании для случая, когда страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени, и когда страховые взносы образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности, а капитал компании помещен в банк под определенный банковский процент

9. Разработать программное обеспечение предложенных алгоритмов.

Работа проводилась по плану научно-исследовательских работ факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ в рамках госбюджетной темы «Разработка алгоритмов оценки параметров и состояний дважды стохастических потоков заявок, циркулирующих в информационно-вычислительных сетях», код ГАС НТИ 28.00.27.47 и по плану научно-исследовательских работ факультета информатики, экономики и математики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.

Состояние проблемы

Как уже говорилось выше, с проблемой идентификации систем массового обслуживания приходится сталкиваться прежде всего в технике сетей связи, сетей ЭВМ, а также в радиолокации при обработке потоков сигналов от нескольких целей [12, 13].

Если входящий поток событий наблюдаем непосредственно, то задача сильно упрощается, и проблемам оценки характеристик флуктуирующих (нестационарных) пуассоновских потоков посвящено достаточно много работ и проблема эта неплохо изучена. В этом плане можно упомянуть, прежде всего, монографии [88, 112]. В настоящее время работы в этом направлении усиленно развиваются в плане фильтрации так называемых дважды стохастических или пуассоновских потоков, то есть пуассоновских потоков, интенсивность которых есть некоторый случайный процесс (дважды стохастические потоки) или марковский процесс (МС-потоки). Проблемам фильтрации таких потоков посвящены, например, работы [55, 56, 57, 58, 59, 60, 95, 146, 149, 150] и многие другие.

Гораздо меньше работ посвящено идентификации систем массового обслуживания. В основном это - работы по оценке параметров СМО по наблюдениям над выходящим потоком заявок. Это работы A.M. Александрова [1, 2, 3], В.А. Ивницкого [77], Р.В. Амбарцумяна [120, 121] и некоторых других авторов [86, 87, 93, 94, 122, 123, 128, 133, 138, 141, 147]. Однако видимо ввиду сложности проблемы интерес к этим вопросам угас, и в последние годы работ в этом направлении не появлялось.

Достаточно общий метод идентификации систем массового обслуживания по наблюдениям над её функционированием, использующий идеи оптимальной нелинейной фильтрации и теории мартингалов, предложен в монографии P. Bremaud [125], однако применение этого метода к решению конкретных задач приводит к очень сложным аналитическим выкладкам, что, по-видимому, и привело к тому, что этот метод не нашёл широкого применения.

По своей математической стороне близко к задачам идентификации систем массового обслуживания подходят исследования по регистрирующим системам с так называемым «мёртвым временем» [5]. Случайные потоки событий являются непременной частью экспериментальных исследований по определению характеристик излучения и его взаимодействия с веществом в оптике, квантовой электронике, астрофизике, ядерной физике и т.д. Современная регистрирующая аппаратура позволяет разрешать импульсы во времени с точностью

1 л порядка 10 с, что позволяет вести анализ считая отдельные фотоны или фотоэлектроны [16, 78].

Именно в таких быстродействующих устройствах и может проявляться эффект мёртвого времени, который заключается в том, что после регистрации одного фотона или частицы система некоторое время не реагирует на другие частицы. С этим же эффектом приходится сталкиваться и при изучении биологических систем, например, нейронных сетей.

Обычно образование мёртвого времени связывается с выбросом некоторого количества вещества, превышение которым некоторого порогового значения приводит к тому, что регистрирующий прибор не работает [5]. В физике это может быть некоторый заряд, который затем рекомбинирует, в биологии это может быть некоторое химическое вещество, блокирующее клеточные мембраны. В физических явлениях обычно считается, что каждая молекула этого вещества рекомбинирует независимо от других; это приводит к тому, что количество этого вещества экспоненциально убывает со временем. Для этого закона создана достаточно обширная теория, посвященная фильтрации интенсивности входящего потока событий по наблюдениям над входящим потоком [4, 63, 113 и др.].

Однако теория мёртвого времени в биологических объектах практически не разработана. Закон убывания количества выброшенного в межклеточное пространство вещества здесь может быть достаточно произвольным; кроме того, путей для прохождения импульса возбуждения может быть несколько, что также усложняет задачу.

Других работ по идентификации СМО по наблюдениям над её функционированием автору найти не удалось, что, видимо, вызвано также и тем, что объём получаемой в России научной информации в последние годы значительно сократился.

Несмотря на обилие работ, посвященных различным проблемам актуарной математики, на сегодняшний день нет единой общепринятой математической модели, описывающей функционирование страховой компании в целом. Её создание существенно осложняется при попытке учесть, например, зависимость интенсивности потока рисков от числа клиентов компании, нестационарность величины капитала компании (в терминах теории случайных процессов), возможность перестраховки крупных рисков, возможность вложения части капитала компании в банк под банковский процент, влияние рекламы на деятельность компании в процессе конкурентной борьбы за рынок [7, 8, 82, 83] и другое.

В настоящее время в качестве модели работы страховой компании в целом используется так называемая классическая модель, описание которой можно найти, например, в [97, 103, 117, 124, 126, 129, 134, 142, 143, 144, 145, 148].

С позиций математического моделирования процесс страхования представляется с помощью модели резервуара. В резервуар поступают премии, которые вносят клиенты, а вытекают из него страховые возмещения, которые выплачивает компания. Характерное свойство этой модели состоит в том, что приход капитала компании считается регулярным,' а расход капитала - нерегулярным. Первое свойство вызывает очень сильные возражения, так как страховые взносы также являются нерегулярными и представляют собой случайный процесс.

Таким образом, процесс функционирования страховой компании определяется четырьмя характеристиками, две из которых детерминированы, а две другие - стохастические, а именно: начальным капиталом компании, годовой премией, которая задает темп прироста капитала, последовательностью временных интервалов наступления страховых случаев и последовательностью страховых возмещений в отдельных страховых случаях. Практически всегда можно считать, что размеры интервалов между страховыми случаями и размеры отдельных страховых возмещений не влияют друг на друга.

Практически всегда утверждается, что поток страховых случаев является ординарным пуассоновским потоком, хотя ординарность выполняется не всегда (катастрофы, террористические акты и т.д.).

Однако следует отметить, что, с точки зрения математической модели, деятельность страховой компании можно описать бесконечно линейной системой массового обслуживания. Действительно, в компанию приходят новые клиенты - это входящий поток заявок. Клиентов, застраховавших свои риски в компании, в принципе может быть сколь угодно много. Наконец, клиенты могут покидать компанию - это будет выходящий поток заявок.

Однако, с точки зрения периода занятости, имеется одно очень существенное отличие от систем массового обслуживания. Дело в том, что даже если компанию покинут все клиенты, то она не прекратит своё существование, если у нее останутся деньги, то есть капитал. Поэтому период занятости закончится только тогда, когда капитал компании станет равен нулю, то есть компания разорится. Поэтому характеристики этого периода занятости надо считать позорится. Поэтому характеристики этого периода занятости надо считать по-другому.

Кроме этого следует иметь в виду, что при нормальных условиях работы страховая компания с ненулевой вероятностью может не разорится никогда, то есть период занятости с ненулевой вероятностью может быть равен бесконечности. Поэтому надо считать только условные характеристики периода занятости при условии, что разорение наступит. Это требует применения своеобразного математического аппарата, который хотя и близок к аппарату теории массового обслуживания, но не совсем совпадает с ним.

Методика исследования

При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики, теории массового обслуживания.

Содержание работы

В первой главе рассматривается оценка интенсивности входящего потока и средней длительности обслуживания в СМО с вытеснением заявок по моментам начала периодов занятости.

Термин «вытеснение заявок» означает следующее: если в период обслуживания какой-то заявки придет следующая заявка, то она вытесняет с обслуживающего прибора находящуюся там заявку и сама занимает ее место. Вытесненная заявка теряется и на обслуживание не возвращается.

В первом параграфе этой главы рассматривается однолинейная СМО с вытеснением заявки при пуассоновском входящем потоке (типа M/GI1/0), т.е. однолинейная СМО, на которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X, обслуживание поступающих заявок рекуррентное и время обслуживания 0 - случайная величина с плотностью вероятностей Л \ 0 где р0(-) - известная функция со свойствами 0

V0oy р0(л:)>0; ^pQ{x)dx = 1; ^xpQ{x)dx = 1. о о

Параметр G0 имеет смысл средней длительности обслуживания заявки. В § 1.1.2 проведен расчет вероятностных характеристик величин Ъ, - длительности периода занятости их- длительности временного интервала между началами периодов занятости. Тогда для функций = и gx(s) = M\fsx} получены явные выражения, например

4 1--— [l-goCA+^o)]' T A + ^o-^oCA+^o)'

A, + s где g0(s) - преобразование Лапласа от функции р0(х).

Найдены явные выражения для величин Ск = — м|хк} для к = 1,4. В частности g„(a)X 2 2 1 ' (Xg0(a))2 где a = XQ0. Отсюда следует, что оО) = , ag'o(a) = f1 АС, С. 2 1

В § 1.1.3 построены оценки неизвестных параметров. Пусть имеется выборка из N значений величин тг. Обозначим

1 1 N Vxf .

Тогда оценку а параметра а предлагается искать из уравнения Ц

Показывается, что это уравнение имеет не менее двух корней. Какой из них соответствует действительности - надо выбирать из дополнительных соображений.

Оценки X и 0О параметров X и 0О предлагается искать из соотношений

Х = —!— С,, 90 = f = ag0(<2)C,. £о(а) А,

В § 1.1.4 находятся асимптотические (при TV —» оо) свойства этих оценок. Также находятся асимптотические (при TV —» оо) дисперсии и ковариации

А /V оценок а, А, и 90.

Во втором рассматривается однолинейная СМО с вытеснением заявки при рекуррентном входящем потоке (типа G/G/1/0), т.е. однолинейная СМО, на которую поступает рекуррентный поток заявок с плотностью вероятностей для интервалов времени г| между заявками вида рл(г\) = \рх(\у\), где px{z) - функция, обладающая свойствами

00 00 Pi{z)> 0; jVi{z)dz = \\ jzpj(z)dz = 1. о 0

В этом случае X имеет смысл интенсивности потока заявок.

Каждая заявка обслуживается независимо от остальных, и её время обслуживания х имеет плотность вероятностей вида уо veoy где функция p0(z) имеет те же свойства, что и функция p,(z). В этом случае параметр 0О имеет смысл среднего времени обслуживания заявки.

В § 1.2.2 произведен расчет вероятностных характеристик величин -длительности периода занятости их- длительности временного интервала между началами периодов занятости. Тогда для функций gi(s) = ] и gz(s) = м\е~8Х j получены явные выражения, например со ^Л

V „ о УеоУео /

1- \р\ -XfftpAn)^^ 1-У f )*p№)e-"dr\

Найдены явные выражения для величин Ск -—м\тк ] для к = 1,4. В частк\ ности

1 " Х10(а) 2 2! X 11(a) ю ^ (х\ °° ™1 ( X^ Л где а = А90, 1к(а) = [— /?0 — \dx \zk P\(z)dz, Jk(a)- Г— p0 — \dx \zkpx(z)dz.

CIl /ТГ J J J SI \ St I J

Отсюда следует, что a) J ia С

F(a) — — Iq (a)m2 + 2 J, (a), C, uu где 4 (a) + Jk (a) = jz*pj (z)dz = mk .

В § 1.2.3 рассмотрены частные случаи для m z 2m m m—1

ГК

P'(Z) (m -1)! ' что соответствует эрланговскому потоку порядка m на входе СМО. л

В § 1.2.4 получены оценки А, и 90 параметров X и 90 по выборке из Означений тг. Обозначая

1 1 N найдем оценку а параметра а из условия С

-§■= IQ{a)m2 + 2 Jj (a). Li л /\

Оценки X и 90 параметров А, и 90 предлагается искать из соотношений

1 ' (Д

А, = •=-—, 90 = —.

ОДОЗ) я.

В § 1.2.5 находятся асимптотические (при N —> со) свойства этих оценок. Также находятся асимптотические (при N —» оо) дисперсии и ковариации

А /V оценок a, А, и 90.

В третьем параграфе рассматривается многолинейная СМО с вытеснением заявки при пуассоновском входящем потоке, т.е. п однолинейных СМО, на которые поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X. Будем считать, что каждая поступающая заявка требует для своего обслуживания случайное время (работу) х, распределенное по экспоненциальному закону со средним значением 0О, так что =-^-ехр х} V ео J

Однако это время (работа) х случайным образом распределяется между этими п идентичными системами, так что на каждую СМО поступает работа y-zx, где z - случайная величина с плотностью вероятностей p0(z),

Po(z)=(n-m-zr2.

В § 1.3.2 для функций g^(s) = и gT(s) - M[e~ST] получены явные соотношения goW)+Mo) *Vg0(g90+A.e0)

5 1—A(lg(j0 +я,0о))' 5 A+Mo-So^o+Mo))'

X, + ^ где Е, - длительность периода занятости, т - длительности временного интервала между началами периодов занятости.

В § 1.3.3 найдены явные выражения для величин Ск = ~м\хк} для к = 1,4.

В частности 1 где а = XQ0, т = п - 2 и Im = g0(a) = (т +1) f—л 1

1 -z)mdz о ^ +

Отсюда следует, что ag'^a) = с -с

2 М с,г 2

1 1 N

Имея выборка из N значений величин т,, и обозначая CV =---Vtf, fc! 7V" оценку а параметра а предлагается искать из уравнения

Г2 - с

С?

V Л

Оценки X и 60 параметров X и G0 предлагается искать из соотношений л 1 л Й ^ = утг' = j = . ш 1 ^

В § 1.3.4 находятся асимптотические (при 7V" —> оо) свойства этих оценок.

Также находятся асимптотические (при N —> со) дисперсии и ковариации

V /V оценок а, X и 90.

Вторая глава посвящена исследованию оценок интенсивности потока и средней длительности обслуживания в СМО по периоду занятости, используя понятие незавершенной работы w{t) при линейном ее убывании.

В первых двух параграфах рассматриваются свойства временных интервалов нахождения процесса w{t) над порогом с и под порогом с, причем -время достижения процессом w(t) порога с, если в начальный момент времени w(t) = w> с, и л(^) - время до пересечения процессом w{t) порога с, если в начальный момент времени t w{t) = w < с. Фиксируются моменты пересечения процессом w{t) этого порога снизу вверх.

В первом параграфе рассматривается однолинейная СМО типа М/М/1/оо, на которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X. Каждая поступающая заявка требует для своего обслуживания случайное время (работы) х, распределённое по экспоненциальному закону со средним значением G0

С \ х

V ео J о

В § 2.1.2 для g(s, w) = M{exp(-s^(w))} получено g(5,w) = e>p(-2r1(w-c)), где z, = •

Л 1 U 1 \2 4 S X + s--+ (X + s--) + —

0o V 0O 00

Усреднение по значению w, которое получается сразу после пересечения процессом w(t) порога с, дает g(s) = 2/ 0с

1 1 L 1 \2 4Я X + s +— + (X + s +—)-

00 V 00 00

В § 2.1.3 для g(s, w) = M{exp(-,sT|(w))} получено уравнение dw с граничным условием л

X + s)g(s, w) = —ee° fg(s,z)e %dz + Xe 0o J c-w e7 dw 0. w= 0

Величины mk(w) = —m{t|*(w)} удовлетворяют системе уравнений k\

X c ~ mk(w) + Xmk(w) = —ee° \mk(z)e %dz + mkx(w)

0o и w с граничным условием m'k(0) = 0 и mQ{w) = 1.

Эта система решалась последовательно для к = 1,4. Нас интересуют только тк=с. Для примера т,(с) - М{г|} =

1 + 1

1 -а 1-ас \ ?6° -1 а = А-0О.

Пусть теперь т = + Г| - интервалы времени между моментами пересечения процессом w(t) порога с снизу вверх и Ск =— Тогда найдены Ск. для к = 1,4. В частности С С2 —

2(1 -а)с

Х(1 -а)' А2 (1-я)2

1 -а

-а(2 + (\ + а)с)е

-(1-а)с где с = с/0о .

В § 2.1.4 найдены явные выражения

С? г-т = ^ = = — = F2{a,c),

1 1 * которые позволяют по выборке из N значений величин тг и Ск = наити оценки а и с параметров а и с . V

Зная оценки а и с параметров а и с , то находятся оценки других параметров

V t /\ / Л /Л ЛЛЛ/Л

X, = ехр((1 - а)с)/(1 - a)Cj, G0-а/Х, с — с 0О = с а/ X. В § 2.1.5 находятся асимптотические (при N —» оо) свойства этих оценок. Также находятся асимптотические (при TV —» оо) дисперсии и ковариации оценок.

Во втором параграфе рассматривается ситуация, когда имеется п идентичных однолинейных СМО, рассмотренных в первом параграфе этой главы, и общая работа х распределяется случайным образом между этими п идентичными системами, так что на каждую СМО поступает работа у - zx, где z случайная величина с плотностью вероятностей р0(z), p0(z) = (п-1)(1 - z)"~2.

В § 2.2.2 для величин mk(w) = —M{^k(w)} получена система уравнений к\

Х°° ( х Л 1 т'к (w) + Хтк (w) - ткх (w) = — fexp -^-\dx fmk (w + zx)p0 (z)dz

0oo I 0o J о с граничным условием т'к{0) = 0 и m0(w) = 1.

В § 2.2.3 для величин mk(w) = — M{r\k(w)} получена система уравнений к\ c-w

Щ (w) + Хтк (w) - ткх (w) - X jmk (w + y)p{y)dy о с граничным условием т'к (0) = 0 и m0(w) = 1.

Эти системы решаются методом последовательных приближений.

Пусть теперь т = £,+Г] - интервалы времени между моментами пересечения процессом w(t) порога с снизу вверх. Тогда найдены оценки для

СА=||М{т*}при £ = 1,2.

В § 2.2.4 найдены явные выражения для С С j = -=Y = F(a,c,n),r%e а = XQ0, с =с/0о,

Ц Ц

1 1 N которые позволяют по выборке из N значений величин тг и л найти оценки а и с параметров а и с , которые позволяют найти оценки других параметров.

В третьем параграфе представлена система из п многолинейных СМО вида М / G / оо, на которые поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X, с временем обслуживания, удовлетворяющим экспоненциальному закону, с равномерным распределением этого времени между п системами. Используется в качестве основы максимальное остаточное время обслуживания на занятых приборах. Методика последующего вывода предложена А.А. Назаровым.

Величину этого максимального остаточного времени в дальнейшем будем обозначать через w.

В § 2.3.2 для - длительности периода занятости, найдены вероятностные характеристики из уравнения -(X + s)g(s,w) + XB(w)g(s,w) + X\g(s,y)dB(y) w с граничным условием ^(^,0) = 1, где g(s, w) = \w(t) = wj.

Найдены явные выражения для Ск=М^к] при А: = 1,4, т.е. Q =(-!)* gw(0), например г а I

Q—gUO)— , где i|/(«) = q>(0) = Г(1 -В(у))е-ауе 0 dyta = А0О.

Ал|/(Л) -1 0J

В § 2.3.3 при равномерном распределении работы х между п идентичными системами типа МIGIоо на каждую СМО поступает работа у = zx, где z - некоторая случайная величина с плотностью вероятностей р0 (z) pQ{z) = -P%>z} = {n-\){\-z)n-1. Тогда для В{у) имеем

1 Г 1 1 -

В{у) = p{x-z>y}= J'р0 (z)JzP|x > ^ j = (п -1) je z (1 - z)n'2 dz.

В § 2.3.4 строятся оценки по выборке из N значений величины т- для Ск 1 1 N — величины Ск, где Ск = — • — • S1^ ' для котоРых очевидно, что М{Ск } = Ск.

Оценку а параметра а ищем из условия

На'П) С? ■

V А

Зная оценку а параметра а, можно найти и оценки 'к и 0О исходных параметров А, и 0О \|/(а) + С1 а

К — —=-, Uq — —.

Сх\у(а) X

В § 2.3.5 также находятся асимптотические дисперсии и ковариации этих оценок.

В четвертом параграфе рассмотрена однолинейная СМО с дважды стохастическим входящим потоком. С использованием метода моментов найдена средняя длительность периода занятости.

В третьей главе результаты параграфов 2.1, 2.2, 2.3 обобщены на случай экспоненциального закона убывания незавершенной работы, где — = -cp(w) и dt cp(w) - aw.

В первом параграфе четвертой главы рассматривается система массового обслуживания типа Ml Mini 0 по моментам занятия приборов. Считается, что на СМО поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X, и обслуживание является экспоненциальным с параметром fi.

В § 4.1.2 найдены переходные вероятности р^. Пусть {?•} - моменты поступления заявок на имеющийся свободный прибор и хк = ti+x -интервалы времени между этими поступлениями. Будем рассматривать состояние системы только в эти моменты времени и обозначим через i число занятых приборов в момент tk + 0, то есть сразу после поступления заявки на прибор. Тогда величины i образуют цепь Маркова, и все исследование ведется методом вложенных цепей Маркова.

Показывается, что переходные вероятности ptj этой цепи Маркова равны для 1 < i < п -1

Рц = О р + / Р если j>i +1, , если j = i +1, если1< j<i.

J- 1 + Р

Здесь р = А,/ц - загрузка системы. Далее pnj = рп, . В § 4.1.3 найдены финальные вероятности г'-1

7С; i-Щ п-1 J s=o j! т.е. они выражаются формулами Эрланга.

В § 4.1.4 находится математическое ожидание временных интервалов между моментами занятия приборов п-\ р п р п и-1) п-\

2! 3! (и-1)!

В § 4.1.5 методом моментов построены оценки. Зная оценку р параметра V р, можно найти и оценку X интенсивности входящего потока событий по форл муле А, = |ыр.

В §4.1.6 исследованы свойства этих оценок.

В втором параграфе рассмотрена система типа М / М / оо. Наблюдаются моменты начала периода занятости. Несмотря на то, что эта система исследовалась многими авторами, в справочной литературе [131] отсутствует информация о свойствах периода занятости этой системы. В работе методом, связанным с решением бесконечной системы дифференциально-разностных уравнений удалось найти первые 4 начальных момента для длительности периода занятости этой системы и для интервалов времени между началами периодов занятости.

Пятая глава посвящена оптимальной линейной фильтрации интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мёртвого времени. Предполагается, что интенсивность X(t) потока есть стационарный случайный процесс с известным среднем значением и функцией корреляции. Рассматривается случай, когда каждое событие наблюдаемого потока создаёт мёртвое время постоянной длительности 0О.

Получено интегральное уравнение для переходной характеристики оптимального линейного фильтра и в частном случае экспоненциальной корреляционной функции найдено его решение.[90] Также получено выражение для средне-квадратичной ошибки фильтрации.

В шестой главе диссертации рассматривается следующая модель функционирования страховой компании:

- если выплат нет, то капитал компании S растет линейно, AS -с At;

- поток выплат пуассоновский интенсивности X;

- величина выплаты имеет плотность распределения р(х).

В классической модели страховой компании предполагается, что величина страховой выплаты имеет экспоненциальное распределение, то есть её функция распределения равна F(x) = 1-е хП). Предположим, рассматриваемая страховая компания сама страхует возможность очень большой выплаты в другой страховой компании по следующей схеме:

- если величина выплаты х < х*, где х* - порог перестраховки, то страховая компания осуществляет выплату за счёт собственных средств;

- если же х> х*, то компания выплачивает из своих средств лишь величину х*, а остаток х-х* выплачивает та компания, в которой произведена перестраховка.

Так как часть поступающих средств уходит на перестраховку, то прирост капитала компании за единицу времени уменьшается, и параметр с становится функцией от х *, но для краткости эта зависимость опускается.

После введения перестраховки функция распределения величины выплаты принимает вид ч f \ -e~xlQ, еслиО<х<х*,

F ^ = I 1

1, если*>х , так как величина выплаты не превышает jc *, а плотность распределения величины выплаты становится равной

J X X р(х) = -е 0 1 (х* - х) + е 0 5(jc - х*), 0 где 8(х) - 5 -функция, 1 (х) - единичная функция,

Г 1, еслих>0,

1(х) = 0, если х < 0.

Основной характеристикой рассматриваемой модели функционирования страховой компании с перестраховкой является случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t, который определяется параметрами с, X, 0, х* и начальным капиталом S0.

В § 6.1.2 выведено уравнение для вероятности разорения P(S) [136, 137] s 00 cP'(S) - XP(S) + A, j^CS - х)p(x)dx + Xjp(x)dx = 0.

0 s

В § 6.1.3 находится решение уравнения для вероятности разорения при граничном условии lim P(S) = 0. После перехода к преобразованию Лапласа s-> 00

Р{р) от функции P(S) для изображения Р{р) получено уравнение

А{Р)

Р{р) = рВ(р) где

А(р) = cP(0)(Qp + 1)-Щ1- ),

В{р) = фр +1) - Щ1 - e-{Qp+X)x*'*). Из условия lim P{S) - 0 следует А(0) = 0, отсюда определяется Р(0) : s—>00 сР(0) = А.0 (1 - e~x*,Q). После перехода к оригиналам получено точное выражение для вероятности разорения компании в виде с п=О

VW cQ ± п=О / -пх /

-га /9 е (S-wc)n e-a(s-nx*) i(snx*) п\ j s-nx п Z I nl

-azdz

1 (S - nx*). где a = (c - 7i0) / cQ.

В § 6.1.4 рассматривается асимптотическое поведение вероятности разорения P(S) при больших значениях капитала S. Искомая асимптотика получена в виде

К J к 5'(-к) где через (-к) обозначается вещественный нуль В(р), отличный от (-1/0), и который при выполнении условия нормального функционирования компании будет отрицательным.

В § 6.1.5-6.1.6 рассчитываются характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет; получены асимптотики для математического ожидания и дисперсии времени разорения компании t(S) при больших значениях капитала S в виде

M{t(S)}~Ml+M2S> D{t(S)}-Dl +D2S, где М,, М2, Dl, D2 - константы, выражаемые через параметры с, А,, 9, jc* и к.

Далее рассматривается модель страховой компании с пуассоновским потоком взносов и с перестраховкой:

- если нет ни страховых выплат, ни страховых взносов, то капитал компании S не изменяется, AS - 0;

- поток страховых взносов пуассоновский интенсивности А^;

- величина взноса имеет плотность распределения рх (у);

- поток выплат пуассоновский интенсивности Х2;

- величина выплаты имеет плотность распределения р2 (jc) .

Предполагается, что величина страхового взноса имеет экспоненциальное ч 1 ~ распределение, то есть рх (у) = — е а, а после введения перестраховки величина а выплаты имеет ту же плотность распределения, что и предыдущей модели, то есть

J X X р2(х) = —е 0 1 (JC* - jc) + е 05(JC-JC*). 0

Так как часть страхового взноса идет на перестраховку, то параметр а зависит от порога перестраховки jc*, но для краткости эта зависимость опускается.

Таким образом, случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами А^, Х2, а, 0, х* и начальным капиталом Sn.

В § 6.2.2 выведено уравнение для P(S) - вероятности разорения компании при уровне капитала S

00 s 00

А,! +А2)P(S) = Xx ^P{S + y)px{y)dy + Х2 JjP(5'-x)/?2(jc)^+ Jp2(x)dx

0 Lo ,5

В § 6.2.3 находится решение уравнения для вероятности разорения при граничном условии lim P(S) = 0. После перехода к преобразованию Лапласа

S—» 00

Р(р) от функции P(S) для изображения Р(р) получено уравнение рВ{Р) где

А{р) = ХхР{ 1 / a) (Qp +1) - (1 - ра){ 1 - e^^-/е),

В(р) = Xxa{Qp + \)- A.2G(1 - ра){ 1 - e~{Qp+])x*'Q), Из условия lim P(S) = 0 следует Л(0) = 0, отсюда определяется Р(0): s-> 00

A,jP(l/ а) = А26(1 - е~х*/д). После перехода к оригиналам получено точное выражение для вероятности разорения компании.

В § 6.2.4 рассматривается асимптотическое поведение вероятности разорения P(S) при больших значениях капитала S. Как и в предыдущей модели, кВ'(-к) где через (-к) обозначается вещественный нуль В(р), отличный от (-1/0), и который при выполнении условия нормального функционирования компании будет отрицательным.

Ъ § 6.2.5 - 6.2.6 рассчитываются характеристики для времени разорения страховой компании при условии, что оно произойдет; получены асимптотики для математического ожидания и дисперсии времени разорения компании t(S) при больших значениях капитала S в виде

M\t(S)}~Mx +M2S,

D^OSObA + D2S, где Mj, М2, Dx, D2 - константы, выражаемые через параметры Х;, Х2, а, 0, х* и к.

В седьмой главе диссертации рассматривается следующая модель страховой компании с работающим капиталом:

- если выплат нет, то прирост капитала компании S за время At равен AS = (c + rS)At + o(At);

- поток выплат пуассоновский интенсивности X;

- величина выплаты имеет плотность распределения тс(х).

Таким образом, случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами с, г, X, плотностью распределения выплат к(х) и начальным капиталом S0.

В § 7.1.2 выведено уравнение для P(S) - вероятности выживания компании при уровне капитала S s с + rS)P'(S) - X P(S) + X \P(S - x)ic(x)dx = 0. о

В § 7.1.3 - 7.1.4 для случая экспоненциально распределенных страховых

1 -выплат, то есть при %(х) = —е 0, получено решение этого уравнения при гра0 ничном условии lim P(S) = 1, то есть искомая вероятность выживания:

S->0О r(x0 + i>C0/e) гд е с0 = с / г, Х0 =Х/г.

В § 7.1.5 для случая небольших процентных ставок г и произвольно распределенных страховых выплат получена формула для вычисления вероятности выживания компании в виде ряда по степеням г.

Далее рассматривается следующая модель страховой компании с пуассо-новским потоком взносов и с работающим капиталом:

- если нет ни страховых выплат, ни страховых взносов, то капитал компании S растет экспоненциально, AS = rS (t)At + o(At);

- поток страховых взносов пуассоновский интенсивности А-,; Л 1 -z

- величина взноса имеет плотность распределения р{у) = — е а ; а

- поток выплат пуассоновский интенсивности X 2;

- величина выплаты имеет плотность распределения тг(х).

Таким образом, случайный процесс S(t) - величина капитала компании в момент времени t - определяется параметрами А.,, Х2, а, плотностью распределения выплат ти(х) и начальным капиталом S0.

В § 7.2.2 выведено уравнение для P(S) - вероятности выживания компании при уровне капитала S

00 5 rSP'(S) - (X, + X2)P(S) + X, + y)p(y)dy + Х2 - х)7z(x)dx = 0. о о

В § 7.2.3 - 7.2.4 для случая экспоненциально распределенных страховых

1 выплат, то есть при 7г(х) = - е 9, получено решение этого уравнения при гра9 ничном условии lim P(S) = 1, то есть искомая вероятность выживания

S-» 00

J^-i e-"^r(v,(Sq + t)/qQ)dt

P(S) = -----------------------------------------j>-V/(?T (y + l,t/qQ)dt где \i = X{ /г, v = X2 /r, q = ^ + - . a 9

Основные научные результаты работы состоят в следующем: 1. Найдены начальные моменты интервалов времени между началами периодов занятости в СМО с вытеснением находящейся на обслуживании заявки. На их основе с использованием метода моментов построены оценки интенсивности входящего потока заявок, средней длительности обслуживания и исследованы асимптотические свойства этих оценок.

2. Найдены начальные моменты интервалов времени между моментами пересечения процессом незавершённой работы некоторого порогового значения с в однолинейной системе с равномерным распределением работы между п идентичными СМО. Эти характеристики найдены для линейного и экспоненциального законов убывания незавершённой работы. На основе этих характеристик методом моментов построены оценки интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания.

3. Найдены характеристики периода занятости в многолинейной СМО с равномерным распределением работы между п идентичными системами типа МIGIоо, используя в качестве основы максимальное остаточное время обслуживания на всех занятых приборах п идентичных систем. Эти характеристики найдены для линейного и экспоненциального законов убывания незавершённой работы. На их основе, с использованием метода моментов, построены оценки интенсивности входящего потока заявок, средней длительности обслуживания и исследованы асимптотические свойства этих оценок.

4. Найдены финальные вероятности состояний системы МI МI п/ 0 сразу после момента занятия заявкой свободного прибора, а также статистические характеристики интервалов времени между моментами занятия приборов. На основании этих результатов построена оценка интенсивности входящего потока заявок и исследованы её характеристики.

5. Найдены начальные моменты интервалов времени между началами периодов занятости в системе М / М / <х>. На их основе с использованием метода моментов построены оценки интенсивности входящего потока заявок и исследованы асимптотические свойства этих оценок.

5. Найден алгоритм оптимальной линейной фильтрации пуассоновского потока при наличии мёртвого времени.

6. Найдены вероятность разорения компании (точное выражение и асимптотическое поведение при больших значениях капитала), вероятностные характеристики условного времени разорения компании при условии, что разорение произойдет (только асимптотическое поведение при больших значениях капитала) для модели страховой компании с перестраховкой.

7. Найдена вероятность выживания компании (точные формулы и приближенное выражение в виде ряда по степеням банковского процента) в случае, когда капитал компании вносится в банк под определенный банковский процент.

Все указанные выше результаты получены для двух моделей страховой компании: а) когда страховые взносы поступают непрерывно во времени (классическая модель); б) когда поток страховых взносов является пуассоновским потоком постоянной интенсивности.

Практическая ценность

Разработанные алгоритмы оценки интенсивности входящего потока заявок (главы 1-5) реализованы в виде программы в системе Delphi 5.0. Они могут быть использованы при обработке экспериментальных данных. Разработанные оценки предполагается использовать при создании вычислительной сети мэрии г. Анжеро-Судженска для мониторинга ее функционирования.

Полученные основные характеристики деятельности страховых компаний с учётом перестраховки и банковского процента (главы 6, 7) могут быть использованы для нахождения порога перестраховки больших рисков. Разработано программное обеспечение для реализации предложенных алгоритмов и решения задач имитационного моделирования, работающего под управлением операционных систем Windows 95/98, Windows NT.

Результаты включены в спецкурс «Системы массового обслуживания» и спецкурс по актуарной математики, читаемые студентам факультета информатики, экономики и математики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске, а также при выполнении курсовых и дипломных работ студентами этого факультета.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях и тезисах докладов на конференциях:

Статьи в научных журналах и сборниках

1. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассонов-ского потока событий при наличии мёртвого времени // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12. С.61-66.

2. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Изв. вузов. Физика. 1995. № 3. С.22-31.

3. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценки параметров пуассоновского потока событий при продлевающемся мёртвом времени // Радиотехника. 1995. № 9. С.10-12.

4. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Модель мёртвого времени при наличии нескольких регистрирующих приборов // Изв. вузов. Физика. 1997. № 4.

5. Глухова Е.В. Оценка параметров мёртвого времени в биологических объектах // Информатика и процессы управления: Межвузовский сборник научных статей. Красноярск: КГТУ, 1996. С.56-61.

6. Glukhova E.V., Terpougov A.F. Estimation of the intensity of Poisson point process with presence of a «dead time» // Information theory, statistical decision functions, random processes. Praga, 1994. P.80-81.

7. Глухова E.B., Шкуркин A.C. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий по наблюдениям над началами периодов занятости в многолинейной СМО. Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сборник статей. -Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С.47-52.

8. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий по наблюдениям над незавершенной работой в многолинейной СМО. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей. -Томск: Изд-во ТГУ, 1999. С.41-56.

9. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок. Вестник Томского государственного университета. -Томск: Изд-во ТГУ, 2000. Т.247. С.45-47.

10. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка параметров многолинейной СМО с вытеснением заявок находящихся на обслуживании. Экономика, технология, предпринимательство: сборник научных трудов сотрудников технолого-экологического факультета. Томск: Изд-во Томского государственного педагогического университета, 2000. С.79-84.

11. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в СМО с вытеснением заявок. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. -Томск: Изд-во ТГУ, 2000. С.56-69.

12. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока в многолинейной СМО при экспоненциальном законе убывания незавершенной работы. Изв. вузов. Физика, 2001.-№1. С. 8-12.

13. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов, Физика, 2000. - №4. - С. 3-9.

14. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки при пуассоновском потоке страховых взносов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - С. 34-46.

15. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Вероятностные характеристики времени разорения страховой компании с учетом перестраховки при пуассоновском потоке страховых взносов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - С. 4755.

16. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2001.-С. 14-25.

17. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка характеристик пуассоновского потока заявок по наблюдениям над периодом занятости в системе М / G / оо // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2001. - С.35-44.

18. Глухова Е.В., Орлов А.Б. Средняя длительность периода занятости в однолинейной СМО с дважды стохастическим входящим потоком // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. - Томск: Изд-во ТГУ, 2001. - С.26-34.

19. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Изв. вузов, Физика, 2001. - №6. - С. 7-12.

20. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка характеристик пуассоновского потока заявок по наблюдениям над периодом занятости в системе М / G / оо при экспоненциальном законе убывания незавершенной работы // Изв. вузов. Физика, 2002.-№5. С. - .

Тезисы докладов на конференциях

1. Глухова Е.В. Оценка параметров пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Идентификация и измерение характеристик и имитация случайных сигналов. Новосибирск. Май 1994. С.23-24.

2. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока при наличии мёртвого времени // XLIX научная сессия, посвя-щённая дню Радио. Москва. Ч. II. 1994. С.139.

3. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка параметров пуассоновского потока событий при наличии мёртвого времени // XLIX научная сессия, посвящённая дню Радио. Москва. Ч. II. 1994. С. 141.

4. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Исследование сетей связи и компьютерных сетей методами теории массового обслуживания. Минск. Февраль 1995. С. 129.

5. Глухова Е.В. Модель мёртвого времени при наличии нескольких регистрирующих приборов // Наука и образование: Теория, практика, инновации. Анжеро-Судженск, 1996. С.53-56.

6. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Идентификация СМО типа М/М/1/оо по процессу незавершенной работы // Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии. 4.II. - Анжеро-Судженск, 1997. С.31-33.

7. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок. Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С.84.

8. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока в многолинейной СМО при произвольном убывании незавершенной работы. «Контроль, измерения, информатизация»: Материалы межд. научно-технической конференции. -Барнаул: АГТУ, 2000. С.51-52.

9. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка параметров многолинейной СМО при произвольном убывании незавершенной работы. «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Межрегиональная научно-методическая конференция (г. Анжеро-Судженск 2000). С. 1821.

10. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока в многолинейной СМО. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Материалы международной научно-практической конференции г. Новочеркасск. Часть 3. / Юж.-Рос.гос. техн. ун-т. 2001. С.38-39.

11. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом перестраховки // Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. Ч.Ш. - Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. - С. 150.

12. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с работающим капиталом // Математическое моделирование экономических систем и процессов: Материалы всероссийской научно-практической конференции. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та, 2000. - С. 46-48.

13. Глухова Е.В., Капустин Е.В., Терпугов А.Ф. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы между-нар. научно-практич. конф. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т, Ч. 3. - Новочеркасск: НАЕЛА, 2001. - С.36-38.

14. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока в многолинейной СМО // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы междунар. научно-практич. конф. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Ч. 3. - Новочеркасск: НАБЛА, 2001. - С.38-39.

15. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Образование и наука в третьем тысячелетии: сборник материалов международной научно-теоретической конференции. 4.1. - Барнаул: Изд-во АЭЮИ, 2001. -С. 15-17.

16. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка характеристик пуассоновского потока заявок по наблюдениям над периодом занятости в системе М / G / оо // Образование и наука в третьем тысячелетии: сборник материалов международной научно-теоретической конференции. 4.1. - Барнаул: Изд-во АЭЮИ, 2001. - С.17-19.

17. Глухова Е.В., Орлов А.Б. Средняя длительность периода занятости в однолинейной СМО с дважды стохастическим входящим потоком // Наука и образование: Тезисы докладов второй научно-практической конференции. - Белово: БФ КемГУ, 2001. С.294-296.

18. Глухова Е.В., Орлов А.Б. Расчет безусловной средней длительности периода занятости в однолинейной СМО с дважды стохастическим входящим потоком // Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство.

Hit%m • 'sy»'»-» ЬКа

Материалы Всероссийской научно-практической конференции. 4.II. - КемГУ, 2001. С.10-12.

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на:

1. Научной конференции «Анализ и применение систем и сетей массового обслуживания», г. Минск, февраль 1994 г.

2. Международной научной конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов», г. Новосибирск, май 1994 г.

3. XLIX научной сессии, посвящённой дню радио, г. Москва, 1994 г.

4. Международной научной конференции по теории информации, статистическим решающим функциям и случайным процессам, г. Прага, 1994 г.

5. Научной конференции «Исследование сетей связи и компьютерных сетей методами теории массового обслуживания», г. Минск, февраль 1995 г.

6. Международной научной конференции по робастным методам в математической статистике, г. Красноярск, 1995 г.

7. Региональной научной конференции «Наука и образование: теория, практика, инновации», г. Анжеро-Судженск, 1996 г.

8. Четвёртом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000), г. Новосибирск, июнь 2000 г.

9. Международной научно-практической конференции «Контроль, измерения, информатизация» (РЖИ 2000), г. Барнаул, 2000 г.

10. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса», г. Анжеро-Судженск, 2000 г.

11. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономики», г. Новочеркасск, 2001 г.

12. Всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование экономических систем», г. Чебоксары, 2000 г.

13. V межрегиональной научно-практической конференции, г. Анжеро-Судженск, апрель 2001 г.

14. Общероссийской V межвузовской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование», г. Томск, апрель 2001 г.

В настоящую диссертацию частично включены результаты А.С. Шкуркина и Е.В. Капустина, защитивших в 2001 г. кандидатские диссертации, выполненные под моим руководством.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.

1. В однолинейной СМО с вытеснением заявок найдено преобразование Лапласа от плотности вероятностей временных интервалов между началами периодов занятости для рекуррентного и пуассоновского потока заявок. Найдены четыре начальных моментов этих временных интервалов.

Построены оценки загрузки системы, интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания, найдены асимптотические дисперсии и ковариации этих оценок.

2. В много линейной СМО с вытеснением заявок найдено преобразование Лапласа от плотности вероятностей временных интервалов между началами периодов занятости для пуассоновского потока заявок. Найдены первые четыре начальных момента для этих интервалов.

Построены оценки загрузки системы, интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания и найдены асимптотические дисперсии и ковариации этих оценок.

3. Найдены шесть начальных моментов для интервалов времени пребывания процесса незавершенной работы над и под некоторым порогом с при линейном законе убывания незавершенной работы. Найдены также начальные моменты для интервалов времени между пересечениями процессом незавершенной работы порога с снизу вверх.

На основании полученных результатов построены оценки загрузки системы, интенсивности входящего потока заявок, средней длительности обслуживания и порога с по наблюдениям над моментами пересечения процессом незавершенной работы порога с снизу вверх и найдены асимптотические дисперсии и ковариации этих оценок.

4. Найдены два начальных момента для интервалов времени пребывания процесса незавершенной работы над порогом и под порогом с при линейном законе убывания незавершенной работы в однолинейной системе при равномерном распределении работы между п идентичными СМО. Найдены также первые начальные моменты для интервалов времени между пересечениями процессом незавершенной работы порога с снизу вверх.

На основании полученных результатов построены оценки интенсивности входящего потока заявок и средней длительности обслуживания по наблюдениям над моментами пересечения процессом незавершённой работы порога с снизу вверх.

5. Результаты пунктов 3, 4 обобщены на случай, когда скорость убывания незавершённой работы имеет произвольный вид. Результаты конкретизированы для случая, когда скорость убывания незавершённой работы зависит линейно от самой работы. Для этого случая построены оценки загрузки системы и интенсивности входящего потока заявок.

6. Найдены характеристики периода занятости в многолинейной СМО с равномерным распределением работы между п идентичными системами типа MIGIсо, используя в качестве основы максимальное остаточное время обслуживания на всех занятых приборах п идентичных систем. Эти характеристики найдены для линейного и экспоненциального законов убывания незавершённой работы. На их основе, с использованием метода моментов, построены оценки интенсивности входящего потока заявок, средней длительности обслуживания и исследованы асимптотические свойства этих оценок.

7. В системе М/ Mini 0 найдены переходные вероятности между числом занятых приборов в моменты времени, непосредственно следующие за моментами занятия приборов. Найдены финальные вероятности числа занятых приборов в эти моменты времени.

Найдено математическое ожидание интервалов времени между моментами занятия приборов поступающими заявками. Построена оценка интенсивности входящего потока заявок по моментам занятия заявками приборов и найдена асимптотическая дисперсия этой оценки.

8. Для системы М/ М/ оо найдены первые четыре начальных момента для временных интервалов между началами периодов занятости этой системы.

Построены оценки для загрузки системы, интенсивности входящего потока и средней длительности обслуживания по наблюдениям над началом периодов занятости и найдены асимптотические дисперсии и ковариации этих оценок.

8. Для пуассоновского потока, интенсивность которого есть стационарный случайный процесс с известным математическим ожиданием и функцией корреляции с учётом мёртвого времени, найдены математическое ожидание и n ковариация статистик вида ^/(?■), где ti - моменты наступления событий наг=1 блюдаемого потока.

Получено уравнение для оптимальной линейной переходной характеристики линейного фильтра для фильтрации интенсивности пуассоновского потока заявок с учётом мёртвого времени. Найдено явное решение этого уравнения для экспоненциальной функции корреляции интенсивности пуассоновского потока.

9. Исследованы модели функционирования страховых компаний с учетом перестраховки и с учетом работающего капитала для случая, когда страховые взносы поступают в компанию непрерывно по времени и когда страховые взносы в компанию образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности. Для всех четырех рассмотренных моделей были получены вероятность разорения компании, среднее значение и дисперсия условного времени разорения компании (кроме моделей с работающим капиталом).

10. Автор реализовал разработанные им алгоритмы в виде программ STRAHKOMP и System в полном соответствии к требованиям, предъявляемым к современному программному обеспечению.

1. Александров A.M. Некоторые свойства однолинейной СМО с ограниченным ожиданием // Труды Ленинградского политехнического института. 1966. Т.275.С.22-29.

2. Александров A.M. О выходящих потоках некоторых систем массового обслуживания // Труды Ленинградского политехнического института. 1966. Т.275.С.18-21.

3. Александров A.M. О выходящих потоках одного класса систем массового обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. № 4. С.З-11.

4. Апанасович В.В., Гуланов И.Р. Учёт продлевающегося мёртвого времени в счётчиках фотонов при регистрации нестационарных световых потоков // Журнал прикладной спектроскопии. 1987. 4.46. № 2. С. 191-195.

5. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: «Университетское», 1988.254 с.

6. Архангельский А.Я. Разработка прикладных программ для Windows в Delphi 5. М.: ЗАО "Издательство БИНОМ", 1999. - 256 с.

7. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании // Изв. вузов. Физика, 2001. № 6. - С. 3-6.

8. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика, 2001. -№ 1,-С. 25-28.

9. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. - 294 с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. T.l. М.: Наука, 1969. 343 с.

11. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. 542 с.

12. Большаков И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума. М.: Сов. радио, 1969. 464 с.

13. Большаков И.А., Раношиц B.C. Прикладная теория случайных потоков. М.: Сов. радио, 1978. 248 с.

14. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. 287 с.

15. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544 с.

16. Ветохин С.С., Гулаков И.Р., Перцев А.Н., Резников И.В. Одноэлектронные фотоприемники. М.: «Энергоатом», 1986. 160 с.

17. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мёртвого времени // Изв. вузов. Физика, 1993. -№ 12. С.61-66.

18. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока при наличии мёртвого времени // XLIX научная сессия, посвященная дню Радио. Ч. 2. -М., 1994. С.139.

19. Глухова Е.В. Оценка параметров пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Идентификация и измерение характеристик и имитация случайных сигналов. Новосибирск, 1994. С.23-24.

20. Глухова Е.В. Оценка параметров мёртвого времени в биологических объектах. // Информатика и процессы управления. Красноярск: КГТУ, 1996. С.116-123.

21. Глухова Е.В. Модель «мёртвого времени» при наличии нескольких регистрирующих приборов // Наука и образование: теория, практика, инновации. 4.1. -Анжеро-Судженск, 1996. С.53-56.

22. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов. Физика, 2000. №4. С.3-9.

23. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки при пуассоновском потоке страховых взносов //

24. Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - С.34-46.

25. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом перестраховки // Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. 4.IIL Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. - С. 150.

26. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховых компаний с учетом банковского процента // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 3: Сборник статей. Томск: Изд-во ТГУ, 2001.-С. 14-25.

27. Глухова Е.В., Капустин Е.В. Расчет вероятности выживания страховой компании с учетом банковского процента при пуассоновском потоке взносов // Изв. вузов. Физика, 2001. -№ 6. С.7-12.

28. Глухова Е.В., Орлов А.Б. Средняя длительность периода занятости в однолинейной СМО с дважды стохастическим входящим потоком // Наука и образование: Тезисы докладов второй научно-практической конференции. Белово: БФ КемГУ, 2001. С.294-296.

29. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка параметров пуассоновского потока событий при наличии мёртвого времени // XLIX научная сессия, посвящённая дню Радио. Ч. 2.-М., 1994. С. 141.

30. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Изв. вузов. Физика, 1995. № 3. С.22-31.

31. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценки параметров пуассоновского потока событий при продлевающемся мёртвом времени // Радиотехника, 1995. № 9. С. 10-12.

32. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий при наличии продлевающегося мёртвого времени // Исследование сетей связи и компьютерных сетей методами теории массового обслуживания. -Минск, 1995. С.129.

33. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Модель мёртвого времени при наличии нескольких регистрирующих приборов // Изв. вузов. Физика, 1997. № 4. С.50-56.

34. Глухова Е.В., Терпугов А.Ф. Идентификация СМО типа Ml М III со по процессу незавершенной работы // Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии. Ч.И. Анжеро-Судженск, 1997. С.31-33.

35. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок // Вестник Томского государственного университета. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. Т.247. С.45-47.

36. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в СМО с вытеснением заявок // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 2: Сборник статей. Томск: Изд-во ТГУ, 2000. С.56-69.

37. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Расчет характеристик периода занятости в однолинейной СМО с вытеснением заявок // Четвёртый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000). Тезисы докладов. ЧЛИ. Новосибирск: Изд-во ИМ, 2000. С.84.

38. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока в многолинейной СМО при экспоненциальном законе убывания незавершенной работы // Изв. вузов. Физика, 2001. № 1. С. 8-12.

39. Глухова Е.В., Шкуркин А.С. Оценка характеристик пуассоновского потока заявок по наблюдениям над периодом занятости в системе М/G!оо при экспоненциальном законе убывания незавершенной работы // Изв. вузов. Физика, 2002. -№5. С. .

40. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972. 287 с.

41. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.

42. Горцев A.M., Баранник Н.Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий // Радиотехника, 1991. № 12. С. 20-26.

43. Горцев A.M., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана, 1997. т. 10. № 3. С. 273-280.

44. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника, 1991. № 12.С. 3-7.

45. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание периода наблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника, 1996. № 2. С. 8-11.

46. Горцев A.M., Куснатдинов Р.Т. Оценивание состояний МС-потока событий при его частичной ненаблюдаемости // Изв. вузов. Физика, 1998. № 4. С. 2229.

47. Горцев A.M., Нежельская Л.А., Шевченко Т.И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика, 1993. № 12. С. 67-85.

48. Горцев A.M., Паршина М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий в условиях «мертвого» времени // Изв. вузов. Физика, 1999. № 4. С. 813.

49. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

50. Денисенко В.М., Иванов М.А. Мёртвое время при счёте фотонов // Метрология. 1985. № 6. С.24-30.

51. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральное преобразование и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

52. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. - 466 с.

53. Дудин А.Н., Медведев Г.А., Меленец Ю.В. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания. Изд. 1, Минск, БГУ, 1994, 166 е.; Изд. 2, Минск: Изд-во «Университетское», 2000, 97 с.

54. Змеев О.А. Определение вероятности разорения страховой компании для модели с конечным числом возможных клиентов // Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 1: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С. 57-66.

55. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Изв. вузов. Физика, 1999. № 4. - С. 34-39.

56. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. -С. 67-73.

57. Змеев О.А. Математические модели функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов. Физика, 2001. № 1. - С. 1924.

58. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 23-24.

59. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Расчет характеристик времени разорения страховой компании для моделей с конечным числом возможных рисков. // Качество образования и наука. Тез. доклада. Анжеро-Судженск, 1999. - С. 33-34.

60. Змеев О.А., Терпугов А.Ф. О некоторых подходах к вопросам моделирования деятельности страховых компаний // Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция. Тез. доклад. Барнаул, 1999.-С. 88-90.

61. Змеев О.А., Змеева Е.Е. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Наука и образование: пути интеграции. Тез. доклада. Часть 2. Анжеро-Судженск, 1998. - С. 21-22.

62. Ивницкий В.А. О восстановлении по наблюдениям над выходящим потоком характеристик СМО с ограничением на время пребывания // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1969. № 3. С.60-65.

63. Измерение интервалов времени в экспериментальной физике / Рекин Е.М. и др. М.: Атомиздат, 1967. 382 с.

64. Калверт Ч. Базы данных в Delphi 4. Руководство разработчика. К.: Изд-во «ДиаСофт», 1999.-464 с.

65. Кац В.М., Лившиц К.И. Влияние расходов на рекламу на характеристики страховой компании // Изв. вузов. Физика. 2001. № 1. С. 29-35.

66. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бес-конечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей. Вестник Томского университета, 2002, № 275. С. 189-192.

67. Клейнрок Л. Коммуникационные сети: стохастические потоки и задержки сообщений. М.: Наука, 1970.

68. Климов Т.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 243 с.

69. Коваленко И.Н. О восстановлении характеристик системы по наблюдениям над выходящим потоком // доклады АН СССР. 1968. Т. 104 № 5. С.978-981.

70. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук. Думка, 1983. - 368 с.

71. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 321 с.

72. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

73. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 304 с.

74. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1973. 736 с.

75. Марго лис Н.Ю. Оценка интенсивности флуктуирующего пуассоновского потока событий методом полиномиальной аппроксимации // Управляемые системы массового обслуживания. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1984. Вып. III. С.73-81.

76. Назаров А.А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984. 234 с.

77. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

78. Никитин Н.Н., Снеговой А.А. Рекуррентное оценивание параметров нестационарного пуассоновского потока // Автоматика и телемеханика. 1984. № 1. С.86-90.

79. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

80. Прабху Н.У. Стохастические процессы теории запасов. М.: Мир, 1984. -184 с.

81. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. М.: Наука,1969. 455 с.

82. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

83. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Томск, ун-та, 1988. 174 с.

84. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. 547 с.

85. Розанов А.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971. 286 с.

86. Ротарь П., Бенинг А. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 1, вып.5, 1994.

87. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под редакцией М.Абрамовича, И.Стиган и др. М.: Наука, 1979. 830 с.

88. Тейксейра С., Пачеко К. Borland Delphi 4. Руководство разработчика. К., М., Спб.: Издательский дом «Вильяме», 1999. - 912 с.

89. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 1. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 832 с.

90. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика, том 2. М.: Издательский дом «Вильяме», 2000. - 992 с.

91. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. Томск: Изд-во Томского университета, 1974. 136 с.

92. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1974.-136 с.

93. Терпугов А.Ф. Функциональный анализ. Томск: Изд-во Томского университета, 1982. 166 с.

94. Тонконогов Ю. М. Поиск движущегося сигнала в многоканальной системе. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1989. - 196 с.

95. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во Томского университета, 1988. 174 с.

96. Федосеев В.В. О пуассоновской модели сигналов фотоприёмников // Оп-тико-мех. пром-сть. 1982. № 7. С. 18-20.

97. Форсайт Дж., Маоткольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

98. Хендерсон К. Руководство разработчика баз данных в Delphi 2. Киев: Диалектика, 1996. - 544 с.

99. Хеннекен П.Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. М.: Наука, 1974. 472 с.

100. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. Цюрих, 1988.- 148 с.

101. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука. 1969. 424 с.

102. Эльсгольц Л.Э., Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Гос-техиздат, 1957.

103. Ambartzumian R.V. Two inverse problems concerning the superposition of re-currennt point processer // J/ Appl. Prob. 1965. № 2. P.449-454.

104. Ambartzumian R.V. Correlation properties of the intervals in the superposition of independent stationary recurrent point processer // Studia Sci. Math. Hungarica/ 1969. №4. P.161-170.

105. Azencott R., Dacunha-Castelle D. Series of Irregular Observation. Springer Ver-lag, 1986. 236 p.

106. Bloomfield P., Cox D.R. A low traffic approximation for queues. J. Appl. Prob. 1972. № 9. P.832-840.

107. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Nesbitt C. Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Itasca, 1986.

108. BremaudP. Point processer and queues. Springer Verlag, New York, 1981.

109. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlag, New York, 1970.

110. Cox D., Lewis P. The Analyses of Series of Events. Chapman and Hall, London, 1974.

111. Disney R.L., Farrell R.L. etc. A characterization of M/G/l queues with renewal departure process//Management Science. 1973. V.19.№ 11.P. 1222-1228.

112. Gerber H. Mathematical Fun with Ruin Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 7, 1988. P. 15-23.

113. Glukhova E.V., Terpougov A.F. Estimation of the intensity of Poisson point processes with presence of a «dead time»// Information theory, statistic decision functions, random processes. Praga, 1994. P. 80-81.

114. Gnedenko B.W., Konig D. Handbuch der Bedienungstheorie. II. Formeln und andere Ergebnisse. 1984.

115. Griffin W. Transform Techniques for Probability Modeling. Academic Press, New York, 1975.

116. Jenkins J.H. On the correlation structure of the departure process of the M/Ex/1 queues //Journal Roy. Statist. Soc. 1996. V.B 28.№ 2. P.336-334.

117. Harry H. P., Gordon E.W. Insurance risk models // Society of actuaries, 1994. -P. 442.

118. Holgate P. The Modality of Some Compound Poisson Distributions // Bio-metrika, 57, 1970. P. 666-667.

119. Karlin S., and Taylor H. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York. 1975.

120. Karlin S., and Taylor H. A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York. 1981.

121. Kendall D., Lewis T. On the structural information contained in the output of GI/G/00.//Z. Wahrscheinlichkeits theorie und verw. Geb. 1965. V.4. № 2. P. 144-148.

122. Medvedev G.A., Pribylovsky L.A. Approximation of Waiting Time Probability Distribution in Queueing Systems. Communication Means Enginnering, Ser. Communication Systems, 7 (1990), P. 22-29.

123. Medvedev G.A., Serdjukov E.V. Tests Flow Parameters Optimization in Local Area Networks. Automatic Control and Computer Sciences, 3 (1991), P. 50-58.

124. Mirasol N. The output of an M/G/oo queueining system is Poisson // Operations Research. 1963. V.ll.№2.P.282-284.

125. Panjer H., Willmot G. Compound Poisson Models in Actuarial Risk Theory // Journal of Econometrics, 23, 1983. P. 63-76.

126. Panjer H., Willmot G. Computational Techniques in Reinsurance Models // Transactions of the 22-nd International Congress of Actuaries, Sydney, 4, 1984a. P. 111-120.

127. Panjer H., Willmot G. Models for the Distribution of Aggregate Claims in Risk Theory // Transactions of the Society of Actuaries, 36, 1984b. P. 399-446.

128. Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992. -442 p.

129. Raftery A.E.,Akman V.E. Bayesian analysis of a Poisson process with a chah-gepoint // Biometrika.1986. V.73. № 1. P.85-89.

130. Ross Sh.M. Identifiability in GI/G/k queues // J. Appl. Prob. № 7. P.776-780.

131. Seal H. Stochastic Theory of A Risk Business. N. Y.: Wiley. - 1969.

132. Snyder D.L. Random point processes. N.Y.:Join Wiley and Sons, 1975. 486 p.

133. Snyder D.L. Filtering and Detection for Doubly Stochactic Poisson Processes // IEEE Traans. Inform Theory, 1972. V. 11-18. № l.P.91-102.

134. Srivasan S.K. Stochactic point processes and their application. London: Griffin, 1974. 174 p.

135. Tijms H. Stochastic Modeling and Analyses: A Computational Approach. John Wiley, Chichester, 1986.