автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Модели и алгоритмы формирования страхового резервного фонда на основе теории очередей

На правах рукописи

Бурмистрова Ольга Валерьевна

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ФОРМИРОВАНИЯ СТРАХОВОГО РЕЗЕРВНОГО ФОНДА НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ОЧЕРЕДЕЙ

Специальность 05.13.10 - «Управление в социальных и экономических системах»

005054080

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

-1 КОЯ 2012

Астрахань — 2012

005054080

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Астраханский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Попов Георгий Александрович

ОФипиальные оппоненты: профессор кафедры «Системы искусственного

интеллекта» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», доктор технических наук, профессор

Большаков Александр Афанасьевич,

заведующий кафедрой «Высшая математика и информационные технологии» ГАОУ АО ВПО «Астраханский инженерно-строительный

институт», кандидат физико-математических наук, профессор

Холодов Юрий Владимирович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

социально-экономический университет»

Защита состоится 26 октября 2012 г. в 15:00 па заседании диссертационного совета Д 307.001.06 при Астраханском государственном техническом университете по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева, 16, главный корпус, ауд. Г. 305.

Ваши отзывы в количестве двух экземпляров, заверенные и скрепленные гербовой печатью организации, просим присылать по адресу: 414025, г. Астрахань, ул. Татищева,16, ученому секретарю диссертационного совета Д 307.001.06.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Астраханского государственного технического университета.

Автореферат разослан сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время страхование принадлежит к числу наиболее прибыльных и потому наиболее привлекательных видов деятельности на финансовом рынке. По итогам 2011 года страховой рынок вырос в сравнении с прошлым годом на 16,5% - до 650 миллиардов рублей (агентство "ЭкспертРА"). Глобализация мировой экономики резко обострила конкуренцию на рынке страховых услуг. С одной стороны, можно видеть бурный рост и развитие большого количества страховых компаний, с другой, выживание наиболее сильных и приспособленных к существующему финансовому рынку. В условиях жесткой конкуренции среди страховых компаний одним из важных инструментов повышения эффективности работы компании является внедрение современных методов организации и управления процессом функционирования страховой компании.

Анализ функционирования страховой компании, вопросы определения величины резервного фонда и моделирования процесса управления резервными финансовыми ресурсами являются особенно важными и актуальными. Страховые компании обязаны создавать страховые резервы, которые предназначены для выполнения страховыми организациями взятых на себя обязательств по выплате страхового возмещения при наступлении страхового случая перед своими клиентами. Сформированные в необходимом для выполнения этих обязательств размере страховые резервы являются основой финансовой устойчивости страховщика и гарантией выплат для страхователей.

Значительный вклад в проблему анализа деятельности страховой компании на основе её моделирования внесли А.Н. Ширяев, Г. Марковиц, Дж. То-бин, A.B. Бойков, О. А. Змеев, Дж. Клейнен, Н. Бауэре и др. Большинство существующих моделей недостаточно полно учитывают значимое место, которое занимает стохастический фактор в деятельности страховой компании. Это обусловлено непрогнозируемостью поступления взносов и случайностью процесса осуществления выплат. Поэтому для моделирования страховой деятельности целесообразно использовать различные стохастические методы моделирования. К подобным относятся модели массового обслуживания. Их использование для описания деятельности страховой компании позволяет более полно учесть стохастический фактор, что и обуславливает актуальность темы диссертационного исследования.

Объект исследования - деятельность страховой компании по оказанию страховых услуг.

Предмет исследования - процесс формирования резервного фонда страховой компании.

Целью диссертационной работы является формирование системы поддержки принятия решения о рациональном выборе величины страхового резервного фонда. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Системный анализ и классификация типов финансовых потоков в деятельности страховой компании.

2. Формирование общей модели функционирования страховой компании на основе методов теории массового обслуживания (ТМО).

3. Разработка метода и построение алгоритма вычисления вероятностей суммарного объема страховых выплат компании на основе построенной модели.

4. Оценка оптимальной величины страхового резервного фонда. Методы исследования. Решение поставленных задач осуществлялось с

использованием методов теории массового обслуживания, оптимизации и программирования, методами математической статистики, анализа, актуарной математики, системного анализа, теории приближений, аппроксимации и теории алгоритмов.

Научная новизна диссертационного исследования:

1. Формализована модель деятельности страховой компании на основе методов теории массового обслуживания (ТМО), которая позволяет более детально моделировать стохастические факторы страховой деятельности.

2. Разработаны алгоритмы оценки вероятностей суммарного объема страховых выплат в произвольный момент времени, позволяющие обеспечить дополнительный контроль деятельности страховой компании.

3. Предложена методика формирования функции выплат страховой компании на основе эмпирических данных, которая может быть использована при решении различных формализованных задач связанных с деятельностью страховой компании.

4. Разработана вычислительная процедура оценки оптимальной величины резервного фонда страховой компании, отличающаяся простотой реализации и возможностью использования в автоматизированных системах реального времени.

Достоверность и обоснованность работы. Достоверность работы обуславливается корректным применением классических методов математики и системного анализа при решении проблемы диссертационного исследования. Результаты исследований согласуются с аналогичным показателем в практической деятельности страховой компании среднего уровня.

Практическая и научная значимость работы. Научная значимость представленной работы обусловлена развитием теории моделирования деятельности страховой компании на основе применения методов теории массового обслуживания. Практическая значимость работы связана с возможностью оптимального формирования резервного фонда компании, что позволяет повысить эффективность ее деятельности.

Апробация результатов. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на XXI Международной научной конферен-

ции «Математические методы в технике и технологиях» - ММТТ-21 (г. Саратов, 2008), на Международной научно - практической конференции «Эволюция системы научных коммуникаций ассоциации университетов прикаспийских государств» (г. Астрахань, 2008), на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава АГ-ТУ (г. Астрахань, 2008-2011).

Публикации. По результатам выполненных научных исследований опубликовано восемь работ, отражающих основное содержание диссертационной работы, в том числе 3 публикации, включенные в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Основное содержание диссертации изложено на 105 страницах, содержит 19 рисунков и 4 таблицы. Библиографический список включает 110 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит обоснование актуальности диссертационной работы; ее теоретическую и практическую значимость. Определены цели и задачи исследования. Изложены теоретико-методологическая и информационная база исследования, его научная новизна и практическая значимость. Приводятся положения и выводы, носящие характер научной новизны, констатируется апробация и реализация результатов.

Первая глава посвящена описанию деятельности страховой компании среднего уровня и вопросам ее формализации. Описывается сущность и значение страховой деятельности. Рассматриваются особенности и возможности формирования математической модели страховой деятельности. Выделяются ключевые моменты при формализации страховой деятельности.

Рис. I. Механизм формирования финансовых потоков страховой компании

Производится анализ и классификация финансовых потоков страховой компании (рис. 1), на основе, которых затем строится общая схема формирования типов финансовых потоков (рис. 2). Исходя из проведенного анализа,

делается вывод о подчинение, рассматриваемых в работе потоков, общестатистическим закономерностям типичным для подобных потоков:

1) рассматриваемые в работе потоки, являются массовыми;

2) поток, являющийся суммой большого числа независимых потоков, интенсивность которых и ни один из них не является сравнимым

по мощности со всем суммарным потоком, при некоторых аналитических ограничениях сходится к простейшему потоку с интенсивностью

3) если слагаемые потоки независимы и их интенсивность приблизительно одинакова, то суммарный поток близок к пуассоновскому.

Рис. 2. Общая схема формирования типов финансовых потоков

Далее производится анализ уже существующих моделей, описывающих процесс функционирования страховой компании, рассматриваются проблемы построения этих моделей. На основе проведенного анализа, выявляются основные недостатки уже имеющихся моделей: слишком универсальны, не достаточно эффективно и конструктивно учитывают стохастическую составляющую. Поэтому делается вывод о необходимости построения модели, учитывающей влияние стохастической составляющей на функционирование страховой компании.

Предлагается возможная схема формализации деятельности страховой компании среднего уровня (рис. 3). Описываются этапы процесса функцио-

нирования компании в соответствии с приведенной схемой: имеется объект (страховая компания), на вход которой поступает заданное число к независимых потоков (страховых взносов) ;£ -ый поток имеет интенсивность поступления денежных средств /£(с) (д.е./сек., д.е.-денежные единицы).

Стргаоашксмхшои

Страхоашвс жхгаш

Стршюадяжеамувкств* Л (О1

_ 1' г 1 • 1 Л(0,

Рис. 3. Общая модель функционирования страховой компании

С каждым потоком связан объем денежных, которые после суммирования разбиваются на два потока: величина равная

Я (О = I Л.

направляется непосредственно на обслуживание клиентов, а остальной объем

Р(т) = I /¿(0^ (1 - «(О) Л,

направляется в резервный фонд. Если в процессе функционирования страховой компании ее основной фонд исчерпан, то для осуществления выплат, в объеме

Г т

ИЧт) = Л.

о ;=1

где <7; (О - интенсивность выплат по разным видам страхования (д.е./сек.), привлекается резервный фонд до тех пор, пока текущее значение основного фонда не станет достаточным для текущих выплат. Если же величина резервного фонда оказалась недостаточной, то ситуация является чрезвычайной и страховая компания предпринимает действия для привлечения внеш-

них средств (банковские займы, кредиты, помощь других страховых компаний, помощь государства и т.д.). Ставится основная цель диссертационной работы - нахождение оптимального значения коэффициента отчислений в резервный фонд а(С) в момент времени

Вторая глава посвящена построению и описанию формализованной модели процесса деятельности страховой компании среднего уровня с привлечением аппарата теории массового обслуживания.

Предлагается новый прием замены времени, используемый в строящейся модели: рассматривается функция <р(т) обратная к функции /(с), где /(О = Х?=1/;(0, т. е. <р= Г1Ю, следовательно, Ь = <р(т). В результате описанного преобразования время переводится в денежные единицы. Суть приема сведения исходной нестационарной системы поступлений к системе со стационарным потоком состоит в том, что промежутки времени, в которых интенсивность поступления взносов высокая, «растягиваются», в которых низкая — «сжимаются».

Строится следующая модель массового обслуживания, описывающая деятельность страховой компании:

1. Поступающий поток заявок - поток требований по выплате страховых сумм по Аму виду страхования в момент £ с интенсивностью Л(£), обладающий свойствами ординарности и отсутствия последствия.

2. Дисциплина обслуживания в момент С:

2. 1 если (О < ы0, компания функционирует в обычном режиме;

если <о(Ь) > <и0, то переходим к шагу 2.2; 2. 2 если Д + а)(О - ш0 < 5(С), то переходим к шагу 2.3;

если Д + <о(0 — со0> ситуация критическая, компании следует предпринимать экстренные меры; 2. 3 подключается дополнительное устройство, (т. е. привлекается резервный фонд), которое обслуживает все заявки в объеме не менее — <о0,после чего дополнительное устройство отключается и переходим к шагу 2.1. Здесь ш(г) - время ожидания (объем поступивших требований по выплатам), <о0 - допустимый уровень накопления невыполненных претензий, 5(0 - накопленный резервный фонд, Д - издержки связанные с его привлечением.

3. Выводятся интегрально-дифференциальные уравнения для основной характеристики модели величины Р(£; х) - вероятности того, что в момент времени £ суммарная величина поступивших требований по страховым выплатам меньше х.

при х < со0

У="'о

со / со °° \

I Ь(ил.у-и)(1и1 J Ь2(х1,0.Ьу)<1х1 + I Ь2(Р,х2Л,у)<1х21 +

и=у-х \*1=0 *2=0

иго

+Я Л йуР{иу)Ь{и,1,у)йи (1)

у+и<х ц>0

при X > й)0

дt дх Зг 4

X / \

- I с1у Р{иу) I | Ь2(0,х2, £,у)с/х2 + | ¿2(х!,О,| +

у=ш0 \0 О /

ш /

+А | Ь(иЛ.у)Ли I ¿уРа,у) ( 1 - / Ь2(0,х2Ху) -

и=о уг<а0 \ о

у—и<х

СО \ СО / СО

-1 Ь2(х1,0, Ь. у) <1х± |+ | <у(с,у)| | Ъ2(р,хг,1,у)(1х2-

О / у=ш0 \ х2=°

у-й)0 оо У-шО ,

■ Г Ъ(у,г,у-у)<Ь>+ [ Ь2(х1,0Л,у)4х1 | 1 +

+Я | ауР(Ьу) J Ь(иЛу)Лих(тпт{у;и} < х).

(2)

У<О)0

у+и2й>0

где В(хЛ,у) - вероятность того, что в момент времени С работает одно устройство, оставшееся время обслуживания меньше х при условии, что время ожидания начала обслуживания равно у. На «языке страховых выплат» это означает, В(х,Ьу) - вероятность того, что в момент времени С потребуется выплатить еще х денежных единиц, при условии, что объем страховых обязательств уже равен у. В2{х1,х2, г,у) - вероятность того, что в момент времени Ь работают два устройства, оставшееся время обслуживания на первом устройстве меньше хг, а на втором меньше х2 при условии, что время ожидания равно у.

Как и во всякой системе, в которой объем поступающей работы меньше пропускной способности, процесс функционирования страховой компании в стабильных условиях достаточно быстро входит в стационарный режим, при котором явная зависимость характеристик от времени исчезает, то есть величина не зависит от Ь. Поэтому достаточно изучать поведение характеристик страховой компании только в условиях стационарного режима, при котором взаимозависимости характеристик обслуживания становятся несу-

щественными в виду их усреднения по всем значениям прошедшего обслуживания. После проведения необходимых преобразований, уравнения (1) и (2) принимают вид при х < а)0 (см.1)

х

арю. = _(я + Ь(0))Р(х) + С( 1 - Р{а>о)) + А| ВС* - У)<^(У) -

—С £ В(у — х)ЛуР(у),

у=са0

при х > 0)0 (см. 2)

^^ = -Ц + С)Р(х) + С(1 + Л)Р(а>о) + Я(1 - С)В(х)Р(«0) + Я(1 - С) ■ йх

СО СО

• | Р(х + и) Ь(и)йи + С | (В(у - £Оо) - В(у - *)+) с1уР(у) -

и=х у=й>0

—2Я I В (тах{у-, ы„ - у}) (1уР (у),

у<ша

со оо

где С = £ Ь2(0,х2) йх2 + J Ь2(х1,0)с1х1 = соп5£.

(3)

(4)

) « аж»2Р1о1

Имущественное сгр»юваи»е|-—гоо»2Р1о]

2» 4 9 в 7 I 9 10 11 12 13 14 13 1В Т7 ■Я 1Э Д 21 22 23 2« Страхование отвеяавеж осп

1 2 3 4 5 е 7 * 9 <1112 13 14 15 10 171119202122324

Рис. 4. Эмпирические кривые страховых выплат

Полученные соотношения (3), (4) могут быть использованы для анализа и оценки функциональных характеристик страховой компании, которые важны для прогноза и выработки эффективных решений, связанных с ее деятельностью.

Третья глава посвящена нахождению функции распределения (функции выплат) В(х), занимающей центральное место в полученных соотношениях (3), (4).

На основе собранных автором реальных данных для типовой страховой компании среднего уровня по выплатам личного, имущественного страхования и страхования

ответственности гражданских лиц производится анализ и построение эмпирических кривых (рис. 4), и методом линейной экстраполяции, составляются функции страховых выплат ЛОО и /2М за 2009, 2010 года соответственно.

Проверка гипотезы о возможном виде функции распределения на основе функций ЛОс) и /2 (х) не позволила принять гипотезы о показательном или нормальном распределении функции выплат. Поэтому производится приближение полученных функций к функции

т

Ь(х) = ^р(-п(.а1,сг1,х'), 1=1

<х-а)2

е , являющейся смесью нормальных распределе-

где п(а,<х,х)

(Г\[2п

НИИ.

В результате решения поставленной задачи была получена следующая функция плотности распределения (рис. 5)

1 (х-0,5)2 1 (х-2,9)2

Ь(х) = 1000000 •

1,5л/2тг

(х-5,1)2 !

■ е + 1700000

е г-«2 + 50000 ■

l,2V2i

Сх-8)2 ,е 2-0,72 +2000000

е гййГ + 600000 • 1 Сж-м)'

. е 2-0,6'

0,7л/2тг " ........ 0,6л/2тг

что позволило найти функцию распределения страховых выплат

/х - 0,5\ (х - 2,9\

В(х) « 2675000 + 1000000 - Ф0 ( j + 50000 • Ф0 ^ 12 J +

/х - 5,1\ IX - 8\ fx- 11\

+600000 • Ф0 ( 36 j + 1700000 • Ф0 (-^yj + 2000000 • Ф0 ^ Q j,

где Ф0(х) — e~~2dz - интеграл Лапласа.

Используя описанные выше результаты, в работе предлагается методика формирования функции выплат страховой компании на основе эмпирических данных:

1. Фиксируется набор показателей, по которым формируется функция выплат.

2. Осуществляется выборка соответствующих данных за временной период 3 года.

3. Фиксируется класс базовых функций (нормальный, экспоненциальный, полиномиальный и т.д.),

4. На основе функции Isqnonlin из пакета MATLAB - Optimization

Рис. 5. График функции выплат ¿(х) Toolbox строится аппрокси-

мирующая функция для функции выплат страховой компании.

5. Находится количество базовых функций из выбранного класса, используемых при аппроксимации на основе среднеквадратичного критерия.

6. Находятся коэффициенты разложения базовых функций и параметры этих функций на основе МНК — критерия (метод наименьших квадратов)

7. Формируется выходная функция страховых выплат.

Четвертая глава посвящена практической реализации полученной во второй главе модели, которая связана с нахождением оптимального значения коэффициента резервного накопления ait).

Подставив найденные в третьей главе функции Ь(х) и В(х) в уравнения (3), (4), были получены интегрально-дифференциальные уравнения, для которых не существует аналитического решения. Поэтому, для нахождения функции Р(х) в работе использовались численные методы. Для этого, полученные уравнения были записаны в виде рекуррентных соотношений при х < оо0

/ 171 171 - \ Р(х + Д) = Р(х) - Д ( Я + • п(аг, at, х)) + 0,5Л ^ р, 1 Р(х) + \ t=i ¡=1 '

-д.c±L х

i=i\ V

+Д-С^1-О,5^р^(1-Р(а>0)) (5)

при X > й)0

Pix + Д) = Pix) + Д • Л(1 - C)P(cü0) у I ргФ0 (——) I + дс(1 + A)P(iü0) -

-Д2ЛУ

¡=1

Pi ^ [Фо (p((fc + 1) • Д) - Pik . Л))]

+Л.Ла-С)]Г Pi Y, (P(x + k-&)-n(ai,0i,k-A)-&) J +

m

+Д -С

i=1

• Р((/с + 1) • Д) - Р(_к • Д)]] - ДЯ(0,5 + С)Р(шо) ^ Р£ " ДУ + С)Р(х) (6)

¡=1

Далее в работе ставится и решается задача об определении оптимальной величины резервного фонда. Для этого, формируется целевая функция 2, которая состоит из двух составляющих: объема капитала, полученного в результате использования резервного фонда путем его вложения в ценные бумаги, депозитные банковские вклады, недвижимость и т.д. и части страхового капитала, которая остается в страховой компании и доступна для текущего использования, то есть для текущих выплат.

1 = 2{а.сг, с2,.....сп) = ( «^Ч - | 1(1 + +

<D0

П Ы°

+(1 - а) ^ Q - J xP,ao(x)dx, ¡=1 о

где Л[ и С( соответственно интенсивность поступлений и величина взносов по i-му виду страхования, i — 1,п (п - число видов страхования, которые предоставляет страховая компания), S- процент дохода от вложений резервного фонда в банковские инвестиционные операции.

Хотя построенная модель позволяет учесть изменения величины страховых взносов, в рамках рассматриваемой задачи, считалось, что величины страховых взносов фиксированы, то есть cXj с2 ,..., сп - const. Поэтому целевая функция была оптимизирована только за счет варьирования коэффициента а. То есть, решается задача Z -> max, где функция Р(х) удов-

а

летворяет уравнениям (5), (6). Аналитическое решение поставленной оптимизационной задачи пока не представляется возможным. Поэтому алгоритм реализующий нахождение оптимального значения а, представленный в зиде блок - схемы на рисунке 6, был выполнен на основе внутреннего языка программирования в среде MATLAB. В соответствии с имеющимися статистическими данными, был выбран временной промежуток - один квартал и рассчитаны основные параметры: п = 3, Хг = 55, Л2 = 147, Я3 = 322, сг = 2500, с2 = 5000, с3 = 2000, 5 = 8%, Дх = 0,01, Да = 0,01.

Рис. 6. Нахождение оптимального значения а

В процессе реализации описанного алгоритма необходимо вычислить значения М2иМ1 где ш0

О

о

хРо, (х)(1х,

хРо>ь(х)йх.

о>о

Блок — схема алгоритма вычисления значений интегралов М1 и М2 на основе рекуррентных формул (5), (6) приведена на рисунке 7.

Перебирая значения а с шагом Да = 0,01, были найдены значения функции 2{а). График, функции £(а) приведен на рисунке 8. Как видно из графика, при выбранных начальных значениях функция 2(а) принимает максимальное значение при коэффициенте отчисления в резервный фонд а = 0,17. При этом, как показали расчеты, наибольшая прибыль компании с учетом всех выплат составила 130 тыс. рублей.

Таким образом, можно сделать вывод, что для страховой компании, основная деятельность которой заключается в оказании страховых услуг, оптимальная величина отчисления в резервный фонд должна составлять порядка 17% от суммы всех поступивших страховых взносов. Отметим, что представленная процедура расчета оптимальной величины резервного фонда производится для каждой страховой компании индивидуально, по различным видам страхования. Полученная в работе оценка может быть взята как начальное приближение, а затем, по мере функционирования компании, изменяться с учетом индивидуальных особенностей ее деятельности.

Предлагаемая методика была внедрена в Астраханском филиале ОАО «АльфаСтрахование». Проведенный анализ величины отчислений в резервный фонд компании позволил дополнительно вовлечь в текущий оборот 7%

Рис. 7. Вычисление значений интегралов М1г М2

Г | .(мм-руб.)

1.65 - —^

Рис. 8. График функции 2(а)

резервного фонда. Конкретное содержание аналитических данных по расчету и исходных данных составляет коммерческую тайну.

Заключение содержит перечень основных научных результатов, полученных при выполнении диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена общая схема формирования финансовых потоков по их типам для страховой компании, основной сферой деятельности которой является оказание страховых услуг. Данная схема позволяет провести классификацию факторов, которые оказывают влияние на деятельность страховой компании.

2. Сформирована общая модель функционирования страховой компании в сфере оказания страховых услуг. Полученная модель позволяет оцепить различные параметры связанные с деятельностью страховой компании.

3. Построена модель массового обслуживания, описывающая деятельность страховой компании, и, в рамках полученной модели, выведены соотношения для вероятности возможных размеров выплат в произвольный момент времени. Данная характеристика является одной из ключевых в описании деятельности страховой компании, позволяющая оценить другие ее функциональные характеристики.

4. Сформирована методика построения эмпирической функции выплат на основе анализа статистических данных деятельности страховой компании за предыдущий период. С использованием данной методики, построена функция выплат для конкретной страховой компании.

5. Получены рекуррентные соотношения для оценки средних размеров выплат страховой компании, в условиях использования резервного фонда и без него, при стационарном режиме функционирования компании. Полученные соотношения позволяют сравнить относительные размеры использования резервного фонда и, при необходимости, скорректировать его величину.

6. Разработан алгоритм нахождения оптимальной величины резервного фонда, при которой суммарные накопления являются наибольшими. Данный алгоритм может быть использован при формировании резервного фонда для любой страховой компании.

7. Реализация результатов диссертационной работы позволит страховой компании более рационально распоряжаться фондом страховых выплат и, как следствие, повысить качество и понизить стоимость страховых услуг.

8. Практическая реализация результатов диссертационной работы, применительно к деятельности Астраханского филиала ОАО «АльфаСтрахование», позволила дополнительно вовлечь в текущий оборот 7% резервного фонда.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

Публикации в изданиях, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий:

1. Бурмистрова, О.В. Моделирование процесса выплат в страховой компании с учетом системных зависимостей / О.В. Бурмистрова, Г. А. Попов // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика.- 2010. - №2. - С. 21-29.

2. Бурмистрова, О.В. О приближении функции выплат смесью нормальных распределений // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. -2011.-№1.- С. 162-165.

3. Бурмистрова, О. В. Модель массового обслуживания в деятельности страховой компании среднего уровня // Образование. Наука. Научные кадры.-2012.-№2.-С. 211-215.

Публикации в научных журналах и изданиях:

4. Бурмистрова, О.В. Моделирование процесса выплат в страховой компании на основе методов теории массового обслуживания / О.В. Бурмистрова, Г. А. Попов // Вестник Астраханского государственного технического университета. - 2008. - №1. - С. 45-49.

5. Бурмистрова, О.В. Модель процесса выплат в страховой компании при показательном распределении размера выплат //Сборник, трудов XXI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» - ММТТ-21. - Саратов - 2008. - С. 40-42.

6. Бурмистрова, О.В. Анализ возможного распределения страховых выплат в сфере оказания научно-образовательных услуг // Эволюция системы научных коммуникаций Ассоциации университетов Прикаспийских государств: Труды Международной научно-практической конференции. Астрахань - 2008. - С.106-108.

7. Бурмистрова, О.В. Моделирование процесса выплат в страховой компании при показательном распределении размера выплат // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика-2010. —№1.- С. 15-18.

8. Бурмистрова, О.В. Оценка оптимальной величины резервного фонда страховой компании // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук-2012.-№2(37).-С. 11-13.

Подписано в печать 20.09.12 г. Тираж 100 экз. Заказ № 543 Типография ФГБОУ ВПО «АГТУ», тел. 61-45-23 г. Астрахань, Татищева 16ж.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

1. 1 Описание деятельности страховых компаний и возможности формализации этой деятельности.

1. 2 Анализ потока поступлений и выплат в страховых компаниях.

1. 3 Анализ существующих моделей, описывающих процесс поступления и выплат страховых компаний.

1. 4 Постановка задач решаемых в диссертационной работе.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Моделирование деятельности страховой компании на основе модели теории массового обслуживания.

2. 1 Формализация общей задачи.

2. 2 Вероятностные соотношения для основных характеристик деятельности страховой компании.

2. 3 Вывод уравнений, описывающих основные характеристики процесса функционирования страховой компании.

2. 4 Адаптация общей модели к страховой компании среднего уровня.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Статистический анализ исходных данных, требуемых для практической реализации.

3. 1 Построение функции выплат на основе статистических наблюдений69 3. 2 Процедура аппроксимации эмпирического распределения функции.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Формирование процедуры оценки величины резервного фонда страховой компании.

4. 1 Базовые соотношения для характеристик типовой страховой компании среднего уровня.

4. 2 Оценка оптимальной величины резервного фонда страховой компании.

Выводы по главе 4.

Актуальность темы исследования. В настоящее время страхование принадлежит к числу наиболее прибыльных и потому наиболее привлекательных видов деятельности на финансовом рынке [66]. Рынок страхования является одним из самых динамично развивающихся сегментов российской экономики (рис.1). По аналитическим исследованиям рейтингового агентства «ЭкспертРА», в целом по итогам 2011 года страховой рынок вырос в сравнении с прошлым годом на 16,5% - до 650 миллиардов рублей. Начался рост инвестиционной привлекательности лидеров рынка. В долгосрочной перспективе, российский рынок к 2020 году может занять 9-12-е место в мире,

1 400,0 I

1 200,0

1 000,0 I 800,0

Q. g 600,0 ж

400,0 200,0 0,0 о^о.->сч1гоч-1лчог-^со<^* * * *

СТ> О ОСIOOOOOOOO —i СМ П

CTi О О О О О О OOOO-H-h—I-H (NI C41<M<M<M<M <M<M<M<MOOOO м см <м см

Рис. 1. Прогноз динамики страхового рынка поднявшись с 19-го места, которое он занимает сейчас. При этом доля страховых взносов в валовом внутреннем продукте (ВВП) может вырасти с 2,3 до 5-6%, а совокупная доля страховых компаний в выручке достигнет 4%. о о м со CTN * * * *

О о о о о <м <т>

О о о о Ч-Н у—1 1—1 '—1 м <м <м см о см о см о <м о см

Рис. 1. Прогноз динамики страхового рынка

Глобализация мировой экономики резко обострила конкуренцию на рынке страховых услуг. С одной стороны, можно видеть бурный рост и развитие большого количества страховых компаний, с другой, выживание наиболее сильных и приспособленных к существующему финансовому рынку [40, 78]. По итогам развития страхового рынка Российской Федерации за 9 месяцев 2011 года, сегодня в Едином государственном реестре субъектов страхового дела зарегистрировано 587 страховых организаций, годом ранее на рынке работало 640 компаний. ТОП-10 компаний за 9 месяцев 2011 года собрали 46,2% всех премий. В 18 регионах наблюдается рост числа действующих страховых компаний, в 4 регионах число страховщиков не изменилось, в 58 - сократилось по сравнению с 9 месяцами 2010 года [108].

В условиях жесткой конкуренции среди страховых одним из важных инструментов повышения эффективности работы компании является внедрение современных методов организации и управления процессом функционирования. Неотъемлемой составляющей этих методов является использование информационных технологий, методов формализованного анализа различных аспектов деятельности компаний [36, 53].

Значительный вклад в проблемы анализа деятельности страховой компании, на основе её моделирования, внесли А.Н. Ширяев, Г. Маркович, Дж. Тобин, А.В. Бойков, О. А. Змеев, Дж. Клейнен, Н. Бауэре и др. В основном существующие работы по данной тематике касаются актуарных методов анализа страховой деятельности, требующих для своего применения обширной, очень детальной и не всегда доступной информационной базы [4, 5, 54]. Многие из описанных моделей не достаточно полно учитывают значимое место, которое занимает стохастический фактор в деятельности страховой компании [57,74]. Это обусловлено непрогнозируемостью поступления взносов и случайностью процесса осуществления выплат. Поэтому для более полного учета фактора случайности целесообразно использовать различные стохастические методы моделирования [47, 99, 104, 105]. К подобным методам относятся модели массового обслуживания.

Целью исследования теории массового обслуживания ( в дальнейшем, ТМО) или теории очередей является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований поступающих в систему и выходящих из нее, длительности ожидания и длины очередей. Предметом исследования ТМО являются вероятностные модели физических систем обслуживания, в которых в случайные и не случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства на обработку данных заявок. Системы массового обслуживания (СМО) встречаются во многих областях экономики и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач. Для решения задач теории массового обслуживания необходимо изучить случайный процесс, протекающий в СМО, то есть необходимо построить и проанализировать его математическую модель, что и сделано в представленной работе [41, 46]. Отметим, что существующие крупные страховые компании являются многопрофильными, так как занимаются не только страховой деятельностью. В работе рассматривается деятельность страховой компании связанная только со страховым бизнесом, что соответствует типичной страховой компании среднего уровня.

Анализ функционирования страховой компании, вопросы определения величины резервного фонда и моделирование процесса управления резервными финансовыми ресурсами являются особенно важными и актуальными. Страховые компании обязаны создавать страховые резервы, которые предназначены для выполнения страховыми организациями взятых на себя обязательств по выплате страхового возмещения (страхового обеспечения) при наступлении страхового случая перед своими клиентами. Сформированные в необходимом для выполнения этих обязательств размере страховые резервы являются основой финансовой устойчивости страховщика и гарантией выплат для страхователей, что и обуславливает актуальность темы диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является формирование системы поддержки принятия решения о рациональном выборе величины страхового резервного фонда. Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Системный анализ и классификация типов финансовых потоков в деятельности страховой компании;

2. Формирование общей модели функционирования страховой компании на основе методов теории массового обслуживания (ТМО);

3. Разработка метода и построение алгоритма вычисления вероятностей суммарного объема страховых выплат компании на основе построенной модели;

4. Оценка оптимальной величины резервного фонда страховой компании.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является деятельность страховой компании по оказанию страховых услуг. Предметом исследования - процесс формирования резервного фонда страховой компании.

Информационная база и методы исследования. Теоретической и методологической основой исследования являются труды российских и зарубежных авторов в области теории массового обслуживания (теории очередей), страхового дела, финансов и актуарной математики. Решение поставленных задач осуществлялось с использованием методов теории массового обслуживания, оптимизации и программирования, методами математической статистики, анализа, теории приближений, аппроксимации и теории алгоритмов.

Научная новизна диссертационного исследования.

1. Формализована модель деятельности страховой компании на основе методов теории массового обслуживания (ТМО), которая позволяет более детально моделировать стохастические факторы страховой деятельности.

2. Разработаны алгоритмы оценки вероятностей суммарного объема страховых выплат в произвольный момент времени, позволяющие обеспечить дополнительный контроль деятельности страховой компании.

3. Предложена методика формирования функции выплат страховой компании на основе эмпирических данных, которая может быть использована при решении различных формализованных задач связанных с деятельностью страховой компании.

4. Разработана вычислительная процедура оценки оптимальной величины резервного фонда страховой компании, отличающаяся простотой реализации и возможностью использования в автоматизированных системах реального времени.

Достоверность и обоснованность работы. Достоверность работы обуславливается корректным применением классических методов математики и системного анализа при решении проблемы диссертационного исследования. Результаты исследований согласуются с аналогичным показателем в практической деятельности страховой компании среднего уровня.

Практическая и научная значимость работы. Научная значимость представленной работы обусловлена развитием теории моделирования деятельности страховой компании на основе применения методов теории массового обслуживания. Практическая значимость работы связана с возможностью оптимального формирования резервного фонда компании, что позволяет повысить эффективность ее деятельности.

Апробация результатов. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на XXI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» - ММТТ-21 (г. Саратов, 2008), на Международной научно - практической конференции «Эволюция системы научных коммуникаций ассоциации университетов прикаспийских государств» (г. Астрахань, 2008), на еже-годных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава АГТУ (г. Астрахань, 2008-2011).

Публикации. По результатам выполненных научных исследований опубликовано восемь работ, отражающих основное содержание диссертационной работы, в том числе 3 публикации, включенных в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание диссертации изложено на 105 страницах, содержит 19 рисунков и 4 таблицы. Библиографический список включает 110 наименований.

Выводы по главе 4 I

1. Получены алгебраические соотношения, позволяющие численно находить значения функции Р(х), то есть вероятность того, что суммарная величина поступивших требований по страховым выплатам меньше х.

2. Сделан вывод о том, что для страховой компании, основная деятельность которой заключается в оказании страховых услуг, оптимальная величина отчисления в резервный фонд должна составлять порядка 17% от суммы всех поступивших страховых взносбв. Данная оценка может быть взята как начальное приближение, а затем, по мере функционирования компании, изменяться с учетом индивидуальных особенностей ее деятельности

Заключение

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с поставленной целью. В процессе ее выполнения получены следующие основные результаты:

1. Построена общая схема формирования финансовых потоков по их типам для страховой компании, основной сферой деятельности которой является оказание страховых услуг. Данная схема позволяет провести классификацию факторов, которые оказывают влияние на деятельность страховой ком1 пании.

2. Сформирована общая модель функционирования страховой компании в сфере оказания страховых услуг. Полученная модель позволяет оценить различные параметры связанные с деятельностью страховой компании.

3. Построена модель массового обслуживания, описывающая деятельность страховой компании, и, в рамках полученной модели, выведены соотношения для вероятности возможных размеров выплат в произвольный момент времени. Данная характеристика является одной из ключевых в описа1 нии деятельности страховой компании, позволяющая оценить другие ее функциональные характеристики.

4. Сформирована методика построения эмпирической функции выплат на основе анализа статистических данных деятельности страховой компании за предыдущий период. С использованием данной методики, построена функция выплат для конкретной страховой компании.

5. Получены рекуррентные соотношения для оценки средних размеров выплат страховой компании, в условиях использования резервного фонда и 1 без него, при стационарном режиме функционирования компании. Полученные соотношения позволяют сравнить относительные размеры использования резервного фонда и, при необходимости, скорректировать его величину.

6. Разработан алгоритм нахождения оптимальной величины резервного фонда, при которой суммарные накопления являются наибольшими. Данный алгоритм может быть использован при формировании резервного фонда для любой страховой компании. I

7. Реализация результатов диссертационной работы позволит страховой компании более рационально распоряжаться фондом страховых выплат и, как следствие, повысить качество и понизить стоимость страховых услуг.

8. Практическая реализация результатов диссертационной работы, применительно к деятельности Астраханского филиала ОАО «АльфаСтрахова-ние», позволила дополнительно вовлечь в текущий оборот 7% резервного фонда.

1. Абрамовиц М., Стриган И. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стриган. -М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Алтынникова И. Формирование страховых резервов (бухгалтерский учет, налогобложение). М.: Приложение к журналу «Бухгалтерский бюллетень», 1995.-208 с.

3. Архипов А.П. Эффективность страховой деятельности //Финансы. -1999. -№ 11.-С. 34-38.

4. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарную математику. Учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998. - 63 с.

5. Бауэре Н., Гербер X, Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. Перев с англ. / Под ред. В. К. Малиновского. М.: Янус - К, 2001.-656 с.

6. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. - 632 с.

7. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989. - 336 с.

8. Бессон Ж.-Л. Вероятность разорения. Пер. с фр. Кемерово: Институт сибирских актуариев, 1994. - 98 с.

9. Богатин Ю. В. Инвестиционный анализ: учеб. пособие для вузов / Ю. В. Богатин, И. А. Швандар. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 288 с.

10. Бойков А. В. Страхование и актуарные расчеты. М.: РОХОС, 2004. - 96с.

11. Боровиков В. П. Популярное введение в программу 8ТАТ18Т1СА. -М.: Компьютер-пресс, 1998. 267 с.

12. Боровков А. А. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1986.-431 с.

13. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. -М.: Наука, 1986.-544 с.

14. Бурмистрова О.В., Попов Г. А. Моделирование процесса выплат в страховой компании на основе методов теории массового обслуживания // Вестник Астраханского государственного технического университета. -2008.-№1.-С. 45-49.

15. Бурмистрова О. В. Модель массового обслуживания в деятельности страховой компании среднего уровня // Образование. Наука. Научные кадры.-2012.-№2.-С. 211-215.

16. Бурмистрова О. В. Модель процесса выплат в страховой компании при показательном распределении размера выплат // Сборник трудов XXI

17. Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21. - Саратов. - 2008. - С. 40-42.

18. Бурмистрова О. В. О приближении функции выплат смесью нормальных распределений // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. - № 1. - С. 162-165.

19. Бурмистрова О. В. Оценка оптимальной величины резервного фонда страховой компании // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2012. - № 2(37). - С. 11-13.

20. Бурроу К. Основы страховой статистики. Пер. с англ. М.: Издательский центр Анкил, 1996. - 112 с.

21. Бхат Ю. Теория массового обслуживания.— В кн.: Исследование операций. Методические основы и математические методы. Т.1. / Пер. с англ. под ред. чл.-корр. АН СССР И. Н. Макарова, д-ра техн. наук И. М. Бескровного.-М.: Мир, 1981.-С. 391-447.

22. Волковинский М. И., Кабалевский А. Н. Анализ приоритетных очередей с учетом времени переключения. М.: Энергоиздат, 1981. - 167 с.

23. Гвозденко A.A. Страхование. Учебник. М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. - 464 с.

24. Гинзбург А.И. Страхование. СПб: Питер, 2002. - 176 с.

25. Глинский В. В., Ионин В. Г. Статистический анализ. М.: Филинъ, 1998.-264 с.

26. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математический статистике: Учеб. пособие. М.: Высшее образование, 2006. - 404 с.

27. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания, 2-е изд. М.: Наука, 1987. - 432 с.

28. Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация. М.: Анкил, 2003. - 160 с.

29. Гражданский кодекс Российской Федерации. (Часть вторая). Ред.24.10.1997. Глава 48. Страхование. -М.: ИНФРА-М-Норма, 1996.

30. Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учебное пособие. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2001. 274 с.

31. Гунченко К.Г. Прямые методы оценки вероятности разорения страховой компании // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2004. Т.11. - № 2. - С. 322-323.

32. Гусейнов Е. Особенности российского страхового рынка / «Страховое дело», 1994. №2.

33. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. СПб.: Питер, 1997. -240 с.

34. Ефимов С. Л. Организация управления страховой компанией: теория, практика, зарубежный опыт. М.: Рос. юрид. издат. дом, 1995. - 147 с.

35. Закон РФ от 27 ноября 1992 г. N 4015-1 (реда. от 30.11.2011) "Об организации страхового дела в Российской Федерации" (с изм. и доп. вступающими в силу с 01.01.2012) // «Российская газета», 1993. -№6.

36. Змеев О. А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.-С. 67-72.

37. Змеев О. А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Известия вузов. Физика. 1999. -№4.-С. 34-39.

38. Зубец А. Н. Маркетинговые исследования страхового рынка. -М.: центр экономики и маркетинга, 2001. 224с.

39. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

40. Кагаловская Э.Т., Попова A.A. Страхование жизни: тарифы и резервы взносов. Финансовые основы страхования жизни. М.: Анкил, 2000. -192 с.

41. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. / Пер. с англ. под ред. Г. П. Климова. -М.: Радио и связь, 1981. 127 с.

42. Кирьянов Д. В. Самоучитель Mathcad 11. СПб.: БХВ-Петербург, 2003.-560 с.

43. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. -М.: Статистика, 1978. -335 с.

44. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания / Пер. с англ. под ред. д-ра техн. наук В. И. Неймана М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

45. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.-243 с.

46. Кокс Д. Р., Смит У. Л. Теория очередей / Пер. с англ. под ред. А. Д. Соловьева. М.: Издательство «Мир». 1966. - 219 с.

47. Конюховский П. В. Микроэкономическое моделирование банковской деятельности. СПб.: Питер, 2001. - 224с.

48. Корнилов И.Л. Основы страховой математики: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 400 с.

49. Кочович Е. Финансовая математика: теория и практика финансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. - 268 с.

50. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. -М.: Наука, 1976.-654 с.

51. Крутик А. Б., Никитина Т.В. Организация страхового дела: Учебное пособие СПб.: Изд. дом «Бизнес пресса», 1999. - 304 с.

52. Кудрявцев A.A. Актуарные модели финансовой устойчивости страховых компаний: Конспект лекций. СПб.: Институт страхования, 1997.-62 с.

53. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. -М.: Дело, 1998.-304 с.

54. Мак Т. Математика рискового страхования / Пер. с нем. М.: ЗАО «Олимп - Бизнес», 2005. - 432с.

55. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. A.A. Самарского, H.H. Моисеева, A.A. Петрова. М.: Наука, 1986. - 296 с.

56. Медведев Г. А. Математические основы финансовой экономики: Электронный ресурс. Учебное пособие Мн.: Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2003.

57. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных: учеб. пособие для механико-математических и физических специальностей вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1983. - 424 с.

58. Назаров А. А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во ТГУ, 1984. - 234 с.

59. О точности приближения композиции процессов восстановления пуассоновским процессом // Литов. матем. сб. 1962. - Т. 2. - № 2. - С. 135143.

60. Основы страховой деятельности. Учебник / отв. ред. проф. Т.А. Федорова М.: Издательство БЕК, 1999 - 776 с.

61. Павский В. А. Теория массового обслуживания (элементы теории и приложения): учебное пособие / Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. Кемерово, 2007. - 120 с.

62. Потемкин В. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x (в 2-х томах). М.: Диалог-МИФИ, 1999. - Т. 1. - 366 е., Т.2. - 304 с.

63. Приказ Минфина РФ от 02.07.2012 N 100 «Об утверждении Порядка размещения страховщиками средств страховых резервов (зарегистрировано в Минюстие России 03.08.2012 №25192) // «Российская газета», 2012. -№189

64. Ржанов A.A. Страхование вошло в группу лидирующих по темпам роста отраслей экономики РФ // Финансы. 2000. - № 1. - С. 59-61.

65. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. / Пер. с англ. под ред. к-та техн. наук А. Д. Харкевича. М.: Связь, 1966. - 184 с.

66. Романюк Д. В. Моделирование управления финансовыми потоками (на примере банка) // Аудит и финансовый анализ , 1998. № 4. - С. 21-23.

67. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / Пер. с англ. под ред. И. Н. Коваленко. М.: Советское радио, 1971. -520 с.

68. Самаров Е. К. Страховая математика: практический курс. Учебноеtпособие. М.: Инфра-М, 2009. - 79 с.

69. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1981. 245 с.

70. Сербиновский Б.Ю., Гарькуша В.Н. Страховое дело: Уч. пособие для ВУЗов. Ростов н/Д.: Феникс, 2000. - 384 с.

71. Симчера В. Финансовые и актуарные вычисления: учебно-практическое пособие. М.: Маркетинг, 2002. - 556 с.

72. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 1998.-320с.

73. Страхование: Учебник / Под ред. Т. А. Федоровой. 2-е изд., пере-раб. и доп. - М.: Экономистъ, 2004. - 875 с.

74. Страховое дело в вопросах и ответах. Учеб. пособие / Сост. М.И. Басанов. Ростов н/Д: Феникс, 1999. - 571 с.

75. Страховое дело: учебник под ред. Рейтмана Л. И. М.: Рост, 1992.1530 с.

76. Суетин Д. Стратегия развития Российской Федерации до 2010 года (проект). // Российский страховой бюллетень. 2000. - №3. - С. 10-15.

77. Уточнение многомерной предельной теоремы о сходимости к закону Пуассона // Литов. матем. сб. 1962. - Т. 2. - № 2. - С. 143-148.

78. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. 655 с.

79. Фалин Г. И. Математический анализ рисков в страховании. -М.: РЮИД, 1994.- 130 с.

80. Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 192 с.

81. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику: математические модели в страховании / МГУ. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 110 с.

82. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. -М.: Мир, 1984.-Т. 2.-751 с.1

83. Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. - 256 с.

84. Хачатурова С. М. Электронный учебник по дисциплине «Математические модели системного анализа» Электронный ресурс. -http://ermak.cs.nstu.ru/mmsa/main/Proba.htm

85. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. - 235 с.

86. Чернова Г. В. Страхование: экономика, организация, управление: Учебник; В 2-х т. / СПбГУ, экон. факультет / под ред. Г. В. Черновой. -М.: ЗАО Издательство Экономика, 2010. 752 с.

87. Четыркин Е. Н. Теория массового обслуживания и ее применение в экономике. -М.: Статистика, 1971. 104 с.

88. Шахов В. В. Страхование: учебник для вузов. М.: Страховой полис, ЮНИТИ ДАНА, 2002. - 311 с.

89. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.-368 с.

90. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.:ФАЗИС, 1998. - 512 с.

91. Шихов А. К. Страхование: учебное пособие для вузов. М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2003.-311 с.

92. Щербаков В. А. Страхование: учебное пособие / В. А. Щербаков, Е.В. Костяева М.: КРОНУС, 2007. - 312 с.

93. Щербаков В. А., Костяева Е. В. Страхование: Учебное пособие для студентов. Электронная версия. -http://www.insurance2000.ru/books/02/index.php

94. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / под. ред. В. В. Федосеева. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999. -391 с.

95. Benjamin В., Pollard J. Н. The analysis of mortality and other actuarial statistics. Butterworth-Heinemann, 1980.

96. Borch К The mathematical theory of insurance. Lexington, Mass.: Lexington books, 1974.

97. Combe M. Queueing models with dependence structures. — Amsterdam: CWI, 1994. — 165 p.

98. Cox D. R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955.-V. 51.-P. 313- 319.

99. Gerber H. U. Life insurance mathematics. Springer, 1995.

100. Insurance: Principles and practice. The Chartered Insurance Institute. 1993.-413 p.

101. Malyshev V.A. Networks and dynamical systems.// Advances in Applied Probability, 1993. -V. 25. P. 140-175.

102. Moder J., Phillips C. Queueing with fixed and variable channels. // Operat. Res. 1962. -V.10. -N2. - P. 218-231.

103. Newts M. F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. Baltimore and London: The Johns Hopkins UniVersity Press., 1981.

104. Panjer H. H., Willmot G. E. Insurance risk models. Schaumburg, 111.: Society of actuaries, 1992.

105. Romani J. A queueing model with a variable number of channels // Trabajos de estadística. 1957.-V.8.-N3.-P. 175-189.

106. РОСГОССТРАХ. Прогноз развития рынков. -http://www.rgs.ru/about/csr/insurance/indeX.wbp/109. Страховой фонд. http ://www. grandars .ru/college/strahovanie/strahovoy-fond.html /

107. ООО «Континент». Что такое страховые резервы ? -http://www.kontinent-lobby.ru/aticles/425/I