автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические методы и модели прогнозирования нестационарных систем

□□3486983

На правах рукописи

Парамонов Андрей Викторович

Математические методы и модели прогнозирования нестационарных систем

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-з ДЕК 2009

Москва - 2009

003486989

Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «Станкин».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Щетинин Евгений Юрьевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Цветков Виктор Павлович

кандидат физико-математических наук,

доцент

Третьяков Николай Павлович Ведущая организация: Вычислительный Центр Российской

академии наук им. А. А. Дородницына (г. Москва)

Защита состоится « К » _ 2009 г. в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», расположенном по адресу: 127994, г.Москва, Вадковский пер., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «Станкин».

Автореферат разослан я 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.т.н.

Семячкова Е. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Диссертация посвящена математическим методам и моделям прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений, имеющих важное социально-экономическое значение.

Прогноз (от греч. тгроуусоок; — предвидение, предсказание) — наиболее важная и востребованная, но при этом и наиболее трудная научная проблема в исследовании социально-экономических систем. Точный и надёжный прогноз позволяет осуществить эффективное планирование, что особенно актуально в непростой период экономической депрессии. В то же время, типичные социально-экономические системы обладают рядом свойств («эмпирических эффектов»), затрудняющих даже краткосрочный прогноз их поведения. К таким свойствам относятся тяжёлые хвосты распределений и сложная, существенно нелинейная динамика.

Поведение функции распределения случайных величин в области хвостовых значений (экстремальных событий) характеризует индекс экстремальных величин 7 (1, 2]. На практике исследование экстремальных событий принципиально осложнено тем, что накопленная по ним статистика либо отсутствует, либо крайне невелика. Существующие методы оценки экстремального индекса (метод Хилла, метод блок-максимумов, пороговый метод) обладают тем недостатком, что в расчётах используется лишь малая часть исходной выборки. Как следствие, получаемая оценка экстремального индекса оказывается неэффективной, а прогноз потенциального ущерба от воздействия экстремальных событий —неточным. Поэтому актуальной является научная задача разработки нового математического метода оценивания экстремального индекса, позволившего бы получать более точные и эффективные оценки благодаря использованию всего доступного массива исходных данных.

Исследования показателей различных сложных систем, в том числе финансовых рынков с высокой волатильностью, обнаружили наличие нелинейных статистических связей между их экстремальными значениями [3]. Известные методы анализа совместных распределений, опирающиеся на гипотезы о независимости или нормальности, позволяют описать в лучшем случае корреляционные связи линейного тина, тогда как актуальной является задача анализа нелинейных хвостовых зависимостей [1, 4]. Отсутствие учёта нелинейных хвостовых зависимостей приводит к существенной недооценке потенциального ущерба от совместного воздействия экстремальных событий. Поэтому существует необходимость в разработке новых математических методов оценки показателей хвостовых зависимостей.

Сложный характер динамики исследуемых систем может проявляться в наличии автокорреляции, сезонности, возникновении нелинейных эмпирических эффектов кластеризации волатильности, изменчивости формы распределений в зависимости от масштаба времени. При этом часто математические модели и методы, традиционно используемые для описания нестационарных стохастических процессов, являются неэффективными или вовсе неадекватными. Так, приведённая в ГОСТ методика прогнозирования лесопожарных ситуаций [5] фактически не учитывает недетерминированный характер явления, в результате чего получаемый по ней прогноз уровня пожарной опасности обладает низким уровнем статистической связи с действительными значениями количества очагов возгорания. Поэтому важной практической задачей является разработка новой математической модели стохастического процесса лесопожарных ситуаций, позволившей бы получать статистически значимый прогноз уровня пожарной опасности.

Примером стохастического процесса, обладающего существенно нелинейной динамикой, является поведение показателей курсовой стоимости акций на российском фондовом рынке. Традиционным подходом к описанию по-

ведения финансовых показателей является использование эконометрических моделей авторегрессионного типа: AR, ARMA [6], G ARCH [7]. Однако эти модели фактически являются линейными и не позволяют объяснить, например, феномен каскадной структуры эмпирических распределений. Поэтому актуальной научной проблемой является разработка новых математических моделей и методов прогноза поведения финансовых показателей, позволивших бы учесть эмпирические эффекты кластеризации волатильности и каскадной структуры наблюдаемых распределений.

На основании изложенных выше научных проблем сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы

Разработка математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, обладающих следующими эмпирическими свойствами: феномен тяжелохвостых распределений, нелинейный характер хвостовых статистических зависимостей, изменчивость формы распределений в зависимости от масштаба времени и сезонных факторов.

Задачи диссертационной работы

1. Разработка математического метода оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса);

2. Разработка математического метода оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Разработка математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке;

4. Разработка математической модели и метода прогноза стохастического процесса развития лесопожарных ситуаций.

На защиту выносятся следующие основные результаты

1. Метод оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса) по значениям выборки ограниченного объёма;

2. Метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Математическая модель и метод прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке с использованием уравнения Фоккера—Планка с нелинейным коэффициентом диффузии;

4. Математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью и метод прогноза развития лесопожарных ситуаций.

Научная новизна

1. Предложен новый метод оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которого является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами Хилла, блок-максимумов и порогов;

2. Разработан новый параметрический метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин, обеспечивающий одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами;

3. Отличительной особенностью предложенной математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей с использованием уравнения Фоккера—Планка является инвариантность по отношению к масштабу времени;

4. Впервые для описания и прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью.

Практическая значимость

Разработанные математические модели и методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1. Прогноз потенциального экономического ущерба от воздействия экстремальных событий (с использованием значений показателей риска Value-at-Risk, Expected Shortfall);

2. Прогноз величины и структуры потенциальных убытков страховой компании, расчёт оптимального размера и структуры рискового капитала;

3. Количественный анализ риска инвестиций в акции и портфели акций на российском фондовом рынке в периоды высокой волатильности финансовых показателей;

4. Получение статистически значимого прогноза (оценок ожидаемого значения и границ доверительных интервалов) количества очагов возгорания.

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Кафедры Прикладной Математики проф. Л. А. Уваровой (МГТУ «Станкин», 2003-2005 гг.), на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2005, 2006 гг.), на XIII-XVI Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2007, 2009 гг.; Дубна, 2006,

2008 гг.), VI Международном Конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), Международной Научной Школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (С.-Петербург, 2005 г.), Международном семинаре «Extreme Events in Complex Dynamics» (Дрезден, Германия, 2006 г.), XLV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2009 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах, из них 2 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [1', 2'], 7 статей в сборниках трудов конференций и 14 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объём диссертации составляет 109 страниц. Диссертация содержит 20 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 55 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и задачи, представлены выносимые на защиту научные положения, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе описаны научные проблемы, возникающие при разработке математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем. Перечислены эмпирические эффекты, сопутствующие поведению типичных социально-экономических систем: «тяжёлые» (степенные) хвосты эмпирических распределений, асимметрия эмпирических распределений, наличие нелинейных статистических связей между различными показателями

сложных систем, нестационарность наблюдаемых статистических свойств эмпирических распределений, наличие сезонности и автокорреляции, кластеризация волатильности.

В §1.1 рассмотрен подход к прогнозированию потенциального экономического ущерба с использованием показателей риска VaR (Value-at-Risk, значение риска), ТСЕ (Tail Conditional Expectation, условное хвостовое мат. ожидание). Обоснована необходимость в разработке новых, более точных и надёжных математических методов оценки показателей риска. Сформулирована постановка задачи, связанной с прогнозированием потенциального экономического ущерба: разработка математического метода оценки параметра предельного распределения экстремумов (экстремального индекса) по значениям выборки ограниченного объёма с привлечением всего доступного массива исходных данных.

В §1.2 проведён обзор математических методов количественного анализа структур статистической зависимости. Приведено определение функции копулы, описаны некоторые модели структур статистической зависимости и их теоретические свойства. Сформулирована постановка задачи, связанной с моделированием структур статистической зависимости экстремального типа: разработка математического метода оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин.

В §1.3 проведён обзор эконометрических моделей и методов прогнозирования стохастических процессов со сложной динамикой. Сформулированы постановки задач, связанных с прогнозированием таких процессов: разработка математического метода и модели прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке, позволивших бы описать наблюдаемые эмпирические эффекты кластеризации волатильности и каскадной структуры эмпирических распределений; разработка математического метода и модели прогноза развития лесопожарных ситуаций.

Во второй главе описаны математические модели и методы исследоваг ния тяжелохвостых распределений.

В §2.1 рассмотрены математические модели одномерных распределений экстремальных величин. Предельной функцией распределения экстремумов называется предел

(ши Xj — bn \

—-< х = lim F"(anx + bn) = G(x),

an I n—>00

где {Хь... ,Xn} —выборка из генеральной совокупности н.о.р. случайных величин, а„ > 0,bn € К,п ^ 1. Согласно теореме Фишера—'Типпета—Гнеден-ко, функция G необходимо принадлежит параметрическому семейству обобщённых распределений экстремальных величин (GEV— Generalised Extreme Value distribution, ¡1]):

G7(x) = ex р(-(1+7хН), (1)

где 7 — индекс экстремальных величин. F лежит в области притяжения экстремальных величин:

F 6 Ш(<?7).

Предельной функцией распределения надпороговых значений называется предел

lim P(X-h^x\X>h) = G(x/ßh), u-w(F)

ßh > 0,0 ^ x < w(F) — h, üj(F) — крайняя правая точка функции распределения F. По теореме Балкема—де Хаана, предел существует тогда и только тогда, когда F 6 DA(G1), и в обобщённой параметрической нотации может быть записан в форме обобщённого распределения Парето (GPD — Generalised Pareto Distribution):

ад = 1-(1+7*Г*- (2)

10

В §2.2 рассмотрены методы оценки параметра 7 предельных распределений (1), (2):

1. Оценка Хилла в сочетании с графическим методом Резника—Старицы,

2. Метод блок-максимумов,

3. Пороговый метод.

Предложен новый метод (М-метпод) оценки экстремального индекса, состоящий в вычислении параметров предельного распределения экстремумов по значениям взвешенных по вероятности моментов (PWM — Probability Weighted Moments, [8j) исходной выборки. Проведен сравнительный анализ рассмотренных и предложенного метода на искусственно сгенерированных выборках, а также на реальных данных:

1. Статистика страховых выплат по возмещению ущерба от крупных городских пожаров в г. Копенгаген, Дания, в период с 1980 по 1990 гг.

2. Статистика по количеству жертв террористических актов в России в период с 1 января 2004 по 31 декабря 2008 г. (Рис. 1).

3. Высокочастотные выборки значений российских и мировых финансовых показателей в период с 1 апреля по 1 мая 2009 г.

Показано, что предложенный метод во всех случаях обеспечивает большую стабильность оценок в зависимости от параметра т по сравнению с другими рассмотренными методами.

В §2.3 рассмотрены математические модели и методы количественного анализа структур статистической зависимости экстремальных величин. Коэффициентами нижней и верхней экстремальной зависимости двумерной

а

б

в

к к ш

Рис. 1. Значения оценок экстремального индекса распределения числа жертв террористических актов в России в период с 1 января 200-1 по 31 декабря 2008 г.: а—оценка Хилла, б —пороговый метод, в —М-метод. Пунктиром обозначен 95% доверительный интервал.

случайной величины (X, У) с совместной функцией распределения F и частными функциями распределения Fi,F2 называются пределы [9]

Al = JimоР(Х ^ Fr\v) : Y < А и = lim PIX > FfV) = У >

v—>1-0

Предельным коэффициентом верхней экстремальной зависимости называется предел

\цУ = ц11гаоР{Х > Gr» : У > G^(v)),

где G — предельная функция распределения максимумов совместного распределения F.

Описаны теоретические свойства коэффициентов экстремальной зависимости. Сформулированы и доказаны теоретические утверждения:

Теорема 1. Коэффициент экстремальной зависимости Хц функции распределения Р, лежащей в области притяжения функции распределения экстремальных величин С, совпадает с предельным коэффициентом экстремальной зависимости \§у.

Лемма 1. Пусть С—устойчивое распределение максимумов с невыроэ/с-денными частными распределениями 67, и копулой

В §2.4 рассмотрены методы оценки коэффициентов экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин:

1. Непараметрический метод с использованием эмпирических значений функции копуды.

2. Непараметрический метод с использованием логарифмированных эмпирических значений функции копулы,

3. Параметрический пороговый метод.

Представлен новый параметрический метод блок-экстремумов оценки коэффициентов экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин, основанный на доказанных в диссертации теоретических утверждениях. Проведен сравнительный анализ рассмотренных и предложенного метода на искусственно сгенерированных выборках, а также на высокочастотных выборках значений российских и мировых финансовых показателей в период с 1 апреля по 1 мая 2009 г. Показано, что при больших значениях параметра тп предложенный метод обеспечивает одновременно меньшее

Тогда

ЛЪ, мин мин

Рис. 2. Зависимость моментов эмпирических распределений лог. приращепий от масштаба времени.

смещение и разброс по сравнению с рассмотренными непараметрическими оценками.

В третьей главе рассмотрены математические методы и модели прогнозирования финансовых показателей на российском фондовом рынке.

В §3.1 проведен количественный анализ ряда эмпирических эффектов, сопутствующих процессу изменения финансовых показателей на российском фондовом рынке. Исследованы выборки логарифмических приращений курсовой стоимости акций крупных российских компаний, а также индекса ММВБ в период с 1999 по 2007 гг. Значения временных интервалов взяты в пределах от 5 минут до 1 месяца. Обнаружено, что во всех случаях характер зависимости значения момента от величины интервала приращения хорошо описывается соотношением

Л4(ДХ(Дг)) = С„ • (Д<)к",

где п = 1,2,..., Сп > 0.

В §3.2 изменение финансовых показателей на российском фондовом рынке рассмотрено как марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением Фоккера—Планка [10]:

где х = АХ — значение приращения показателя курсовой стоимости X за интервал времени Д£ = е~т,

т) = а(т) + (3{т) • х2.

Предложена параметрическая модель и метод оценки параметров функций а(т),р(т) с использованием значений начальных моментов безусловных эмпирических распределений:

_ М2(т) (8-6к2 + к4)М4(т) ^ 12 ' М4(т)-М22(Т) ' », (4 - к4)М4(т) + (-12 + 6к2)М|(т)

1[Т) 12' 1Щт) - Щ{т)

Уравнение (3) решено численно методом Монте-Карло. По функциям распределения 2-суточных логарифмических приращений реконструированы распределения для более коротких временных интервалов (вплоть до 15 минут). Во всех случаях обнаружено хорошее соответствие между эмпирическим и предсказанным распределениями, в том числе и для экстремальных значений (см. Рис. 3).

В §3.3 представлен метод прогноза будущих значений финансовых показателей с применением построенной модели и формулы полной вероятности для марковского процесса:

р(х 1, *„) = р(хп, Ьп\хп-1, г„-1) •... • р(х2, Ь\хи к) ■ р{хъи).

о

• Начальное условие

Д^ = 2 сут

Реконструированные распределения

Д^ = 1 сут Л12 = 4 час Д1з = 2 час Д14 = 1 час

= 30 мин Д16 = 15 ыин

Эмпирические распределения

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

х

Рис. 3. Реконструкция распределений лог. приращепий фопдового индекса ММВБ. Для облегчения восприятия профили функций плотности распределения смещены по оси ординат.

Метод инвариантен по отношению к масштабу времени: один и тот же набор параметров модели используется для прогноза на любой временной горизонт.

В четвёртой главе проведено исследование совместной выборки ежедневных значений количества очагов возгорания (далее —ОВ) и комплексного метеорологического показателя (далее —КП) в Иркутской области за 1969-1990 гг.

В §4.1 описаны общие требования по мониторингу и прогнозированию лесных пожаров и чрезвычайных лесопожарных ситуаций в соответствии с ГОСТ [5]. Степень пожарной опасности в лесу по условиям погоды должна определяться по принятому в лесном хозяйстве комплексному показателю В. Г. Нестерова, который вычисляется на основе данных о температуре возду-

Табл. 1. Численные оценки коэффициента ранговой корреляции Спирмепа между действительным и предсказанными значениями количества очагов возгорания.

Метод прогноза Сезон 1989 г. Сезон 1990 г.

Инд. Нестерова 0.21

МАР(1)С, 1 сутки 0.75

МАР(1)С, 2 суток 0.56

МАР(1)С, 3 суток 0.45

0.39

0.80

0.67

0.59

ха, температуре точки росы и количестве выпавших осадков.

Показано, что описанный в ГОСТ способ прогноза не позволяет получать точные и надёжные оценки пожарной опасности, поскольку выборочное значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена между величинами КП и ОВ в наиболее пожароопасный период с 1 мая по 30 сентября в сезон 1990 г. не превышает 0.5, а в сезон 1989 г. не превышает 0.25 (см. Табл. 1).

В §4.2 построена параметрическая математическая модель МАР(1)С (Мультипликативная АР(1) с Сезонностью) стохастического процесса лесо-пожарных ситуаций, включающая в себя следующие компоненты:

1. Мультипликативная сезонная компонента s(r), описываемая гладкими периодическими функциями;

2. Тренд, описываемый авторегрессионной моделью АР(1) с внешними ре-грессорами;

3. Случайная компонента etk, описываемая нормальным распределением.

Дата

Рис. 4. Ретроирогиоз количества очагов возгорания с 1 мая по 30 сентября 1890 г. (горизонт прогноза 2 суток).

xtk=exp{ytk+s{Tk)), (4а)

ztk = + etk,

etk~N{ 0,<r). (4b)

В §4.3 разработан вычислительный алгоритм моделирования будущих значений количества очагов возгорания. Построен ретропрогноз ожидаемых значений уровня пожарной опасности, а также значений риска для уровней достоверности 90% и 95% в наиболее пожароопасный период с 1 мая по 30 сентября, в сезоны 1989 и 1990 гг., на 1, 2 и 3 суток вперёд.

Рассчитаны значения ранговой корреляции Спирмена между предсказанными и действительными значениями ОБ. Результаты расчёта приведены в Табл. 1. Показано, что прогноз, полученный с использованием модели МАР(1)С, является существенно более близким к действительным значениям, чем прогноз с использованием только показателя Нестерова.

С целью установления степени адекватности рассчитанных значений риска проведена проверка статистической гипотезы Яо о равенстве действительного и теоретического количества превышений значения УаПд0% («безусловное покрытие»). Для прогноза на 1 и 2 суток гипотеза Щ не может быть отвергнута на уровне значимости 0.01. Для прогноза на 3 и более суток гипотеза Но должна быть отвергнута на этом уровне значимости. Таким образом показано, что рекомендуемый максимальный горизонт прогноза количества очагов возгорания с помощью модели МАР(1)С составляет 2 суток.

В Заключении перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Основные выводы

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений.

2. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которых является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами.

3. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин. Метод обеспечивает одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами.

4. Предложена математическая модель и метод прогнозирования поведения финансовых показателей с использованием стохастического уравне-

ния Фоккера—Планка. Отличительной особенностью метода является инвариантность по отношению к масштабу времени.

5. Впервые для прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью. Разработан программный пакет marls для среды статистических вычислений R, предоставляющий процедуры для подбора параметров модели по исходным данным, составления/разложения процесса на компоненты, моделирования и прогноза будущих значений процесса.

6. Проведены численные эксперименты по прогнозу и моделированию различных нестационарных систем, как на искусственно сгенерированных выборках, так и с использованием реальных данных. Верификация результатов расчётов показала, что разработанные математические модели, методы и комплекс программ позволяют строить статистически состоятельный прогноз поведения рассмотренных систем.

Список публикаций

Основные результаты диссертации опубликованы в научных изданиях,

рекомендованных ВАК:

[1'] К. М. Назаренко, А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. - 2004. - № 29 (2). - С. 262-269.

[2'] А. В. Парамонов. Моделирование и прогноз развития лесопожарных ситуаций с использованием векторных авторегрессиоиных процессов // Вест-

20

ник РУДН. Серия сМатематика, информатика, физика»,— 2009.— №2.-С. 66-73.

В других изданиях:

[1"] К. М. Назаренко, А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. Анализ структур статистических зависимостей на финансовых рынках в кризисные периоды // Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах: Труды Международной Научной Школы МА БР-2005. — СПб.: ГОУ ВПО «СПбГУАП», 2005. - С. 282-286.

[2"] К. М. Назаренко, А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. О методах анализа эффективности бизнеса компании в условиях высокой изменчивости сё финансовых показателей // Динамика неоднородных систем. Труды Института системного анализа РАН. — Вып. 9. — М.: КомКнига, 2005. — С. 206-212.

[3"] К. М. Назаренко, А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. Методы моделирования экстремальных зависимостей на финансовых рынках в кризисных состояниях // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научных трудов / Под ред. Л. А. Уваровой. - Вып. 8. - М.: «Янус-К», 2005. - С. 163-177.

[4"] К. М. Назаренко, А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. О некоторых статистических свойствах поведения финансовых рынков в кризисных состояниях // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — Т. 1 из Вып. 12. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — С. 219-229.

[5"] А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. О методах количественного анализа и управления компанией в условиях высокой изменчивости её финансовых

показателей // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научных трудов / Под ред. Л. А. Уваровой. - Вып. 9. - М.: «Янус-К», 2006. - С. 128-135.

[6"] А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. Современные методы количественного анализа структур статистической зависимости экстремальных величин // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — Т. 1 из Вып. Ц- — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. — С. 262-266.

[7"] А. В. Парамонов, Е. Ю. Щетинин. Метод моделирования динамики показателей курсовой стоимости акций на российском фондовом рынке // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — Т. 1 из Вып. 15. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — С. 190-195.

[8"] П. Н. Марков, А. В. Парамонов. Модель стохастического процесса лесо-ножарных ситуаций // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. — Т. 1 из Вып. 16. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. — С. 456-469.

Цитированная литература

[1] S. Resnick. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes. — Berlin: Springer, 1987.

[2] J. Galambos. The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics.— Malabar: Robert E. Krieger Publishing Company, 1987.

[3] E. Ю. Щетинин. Статистический анализ свойств структур экстремаль-

ной зависимости на российском фондовом рынке // Финансы и кредит. - 2005. - № 22. - С. 44-51.

[4] J. Pickands. Multivariate Extreme Value Distributions // Bull, of the International Statistical Institute. — 1981. — № 49. — C. 859-878.

[5] ГОСТ P 22.1.09-99 «Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Мониторинг и прогнозирование лесных пожаров. Общие требования». — М.: Изд-во стандартов, 1999.

[6] Дэю. Бокс, Г. Дэюенкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.— М.: Мир, 1974.

[71 Т. Bollerslev. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // J. Econometrics. — 1986. - № 31. - C. 307-327.

[8] J. A. Greenwood, J. M. Landwehr, N. C. Matalas, J. R. Wallis. Probability Weighted Moments: Definition and Relation to Parameters of Several Distributions Expressable in Inverse Form // Water Resources Research. — 1979. - T. 15, № 5. - C. 1049-1054.

[9] H. Joe. Multivariate Models and Dependence Concepts. — London: Chapman and Hall, 1997.

[10] H. Risken. The Fokker-Planck Equation. - Berlin: Springer-Verlag, 1984.

Подписано в печать:

11.11.2009

Заказ № 3018 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Глава 1. Проблемы математического моделирования и прогнозирования нестационарных систем.

1.1. Научная проблематика и методы прогнозирования потенциального экономического ущерба.

1.2. Структуры статистической зависимости

1.3. Динамика стохастических процессов

Выводы к главе

Глава 2. Математические модели и методы исследования тяже-лохвостых распределений.

2.1. Математические модели одномерных распределений экстремальных величин.

2.2. Математические методы оценки экстремального индекса

2.3. Математические модели структур статистической зависимости экстремальных величин.

2.4. Математические методы оценки коэффициентов экстремальной зависимости.

Выводы к главе

Глава 3. Прогнозирование финансовых показателей на российском фондовом рынке.

3.1. Статистические свойства эмпирических распределений финансовых показателей.

3.2. Математическая модель стохастического процесса изменения финансовых показателей.

3.3. Метод краткосрочного прогноза поведения финансовых показателей

Выводы к главе

Глава 4. Математическое моделирование и прогнозирование лесопожарных ситуаций.

4.1. Комплексный метеорологический показатель В. Г. Нестерова

4.2. Математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью

4.3. Метод краткосрочного прогноза развития лесопожарных ситуаций

Выводы к главе

Актуальность работы

Диссертация посвящена математическим методам и моделям прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений, имеющих важное социально-экономическое значение.

Прогноз (от греч. Ttpoyvcoau; — предвидение, предсказание) — наиболее важная и востребованная, но при этом и наиболее трудная научная проблема в исследовании социально-экономических систем. Точный и надёжный прогноз позволяет осуществить эффективное планирование, что особенно актуально в непростой период экономической депрессии. В то же время, типичные социально-экономические системы обладают рядом свойств («эмпирических эффектов»), затрудняющих даже краткосрочный прогноз их поведения. К таким свойствам относятся тяжёлые хвосты распределений и сложная, существенно нелинейная динамика.

Поведение функции распределения случайных величин в области хвостовых значений (экстремальных событий) характеризует индекс экстремальных величин 7 [1, 2]. На практике исследование экстремальных событий принципиально осложнено тем, что накопленная по ним статистика либо отсутствует, либо крайне невелика. Существующие методы оценки экстремального индекса (метод Хилла, метод блок-максимумов, пороговый метод) обладают тем недостатком, что в расчётах используется лишь малая часть исходной выборки. Как следствие, получаемая оценка экстремального индекса оказывается неэффективной, а прогноз потенциального ущерба от воздействия экстремальных событий — неточным. Поэтому актуальной является научная задача разработки нового математического метода оценивания экстремального индекса, позволившего бы получать более точные и эффективные оценки благодаря использованию всего доступного массива исходных данных.

Исследования показателей различных сложных систем, в том числе финансовых рынков с высокой волатильностью, обнаружили наличие нелинейных статистических связей между их экстремальными значениями [3]. Известные методы анализа совместных распределений, опирающиеся на гипотезы о независимости или нормальности, позволяют описать в лучшем случае корреляционные связи линейного типа, тогда как актуальной является задача анализа нелинейных хвостовых зависимостей [1, 4]. Отсутствие учёта нелинейных хвостовых зависимостей приводит к существенной недооценке потенциального ущерба от совместного воздействия экстремальных событий. Поэтому существует необходимость в разработке новых математических методов оценки показателей хвостовых зависимостей.

Сложный характер динамики исследуемых систем может проявляться в наличии автокорреляции, сезонности, возникновении нелинейных эмпирических эффектов кластеризации волатильности, изменчивости формы распределений в зависимости от масштаба времени. При этом часто математические модели и методы, традиционно используемые для описания нестационарных стохастических процессов, являются неэффективными или вовсе неадекватными. Так, приведённая в ГОСТ методика прогнозирования лесопожарных ситуаций [5] фактически не учитывает недетерминированный характер явления, в результате чего получаемый по ней прогноз уровня пожарной опасности обладает низким уровнем статистической связи с действительными значениями количества очагов возгорания. Поэтому важной практической задачей является разработка новой математической модели стохастического процесса лесопожарных ситуаций, позволившей бы получать статистически значимый прогноз уровня пожарной опасности.

Примером стохастического процесса, обладающего существенно нелинейной динамикой, является поведение показателей курсовой стоимости акций на российском фондовом рынке. Традиционным подходом к описанию поведения финансовых показателей является использование эконометрических моделей авторегрессионного типа: AR, ARMA [6], GARCH [7]. Однако эти модели фактически являются линейными и не позволяют объяснить, например, феномен каскадной структуры эмпирических распределений. Поэтому актуальной научной проблемой является разработка новых математических моделей и методов прогноза поведения финансовых показателей, позволивших бы учесть эмпирические эффекты кластеризации волатильности и каскадной структуры наблюдаемых распределений.

На основании изложенных выше научных проблем сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы

Разработка математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, обладающих следующими эмпирическими свойствами: феномен тяжелохвостых распределений, нелинейный характер хвостовых статистических зависимостей, изменчивость формы распределений в зависимости от масштаба времени и сезонных факторов.

Задачи диссертационной работы

1. Разработка математического метода оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса);

2. Разработка математического метода оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Разработка математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке;

4. Разработка математической модели и метода прогноза стохастического процесса развития лесопожарных ситуаций.

На защиту выносятся следующие основные результаты

1. Метод оценки параметра предельного распределения максимумов (экстремального индекса) по значениям выборки ограниченного объёма;

2. Метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин;

3. Математическая модель и метод прогноза поведения финансовых показателей на российском фондовом рынке с использованием уравнения Фоккера—Планка с нелинейным коэффициентом диффузии;

4. Математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью и метод прогноза развития лесопожарных ситуаций.

Научная новизна

1. Предложен новый метод оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которого является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами Хилла, блок-максимумов и порогов;

2. Разработан новый параметрический метод оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин, обеспечивающий одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами;

3. Отличительной особенностью предложенной математической модели и метода прогноза поведения финансовых показателей с использованием уравнения Фоккера—Планка является инвариантность по отношению к масштабу времени;

4. Впервые для описания и прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью.

Практическая значимость

Разработанные математические модели и методы, вычислительные алгоритмы и комплексы программ могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1. Прогноз потенциального экономического ущерба от воздействия экстремальных событий (с использованием значений показателей риска Value-at-Risk, Expected Shortfall);

2. Прогноз величины и структуры потенциальных убытков страховой компании, расчёт оптимального размера и структуры рискового капитала;

3. Количественный анализ риска инвестиций в акции и портфели акций на российском фондовом рынке в периоды высокой волатильности финансовых показателей;

4. Получение статистически значимого прогноза (оценок ожидаемого значения и границ доверительных интервалов) количества очагов возгорания.

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Кафедры Прикладной Математики проф. Л. А. Уваровой (МГТУ «Станкин», 2003-2005 гг.), на Международной конференции'студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 2005, 2006 гг.), на XIII-XVI Международной Конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2007, 2009 гг.; Дубна, 2006,

2008 гг.), VI Международном Конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004 г.), Международной Научной Школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (С.-Петербург, 2005 г.), Международном семинаре «Extreme Events in Complex Dynamics» (Дрезден, Германия, 2006 г.), XLV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2009 г.).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 24 печатных работах, из них 2 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [8, 9], 7 статей в сборниках трудов конференций и 14 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений. Общий объём диссертации составляет 109 страниц. Диссертация содержит 20 рисунков, 4 таблицы, список литературы из 55 наименований.

Выводы к главе 4

Впервые для прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью. Разработан программный пакет marls для среды статистических вычислений R, предоставляющий процедуры для подбора параметров модели по исходным данным, составления/разложения процесса на компоненты, моделирования и прогноза будущих значений процесса.

Заключение

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке математических методов и моделей прогнозирования нестационарных систем, процессов и явлений.

2. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки экстремального индекса, отличительной особенностью которых является большая стабильность и меньшее смещение получаемых оценок по сравнению с известными методами.

3. Разработан новый математический метод и вычислительный алгоритм оценки коэффициента экстремальной зависимости двумерного распределения случайных величин. Метод обеспечивает одновременно меньшее смещение и разброс получаемых оценок по сравнению с известными непараметрическими методами.

4. Предложена математическая модель и метод прогнозирования поведения финансовых показателей с использованием стохастического уравнения Фоккера—Планка. Разработан вычислительный алгоритм подбора параметров модели по исходным данным. Отличительной особенностью метода является инвариантность по отношению к масштабу времени.

5. Впервые для прогноза развития лесопожарных ситуаций предложена математическая модель мультипликативной авторегрессии 1-го порядка с сезонностью. Разработан программный пакет marls для среды статистических вычислений R, предоставляющий процедуры для подбора параметров модели по исходным данным, составления/разложения процесса на компоненты, моделирования и прогноза будущих значений процесса.

6. Проведены численные эксперименты по прогнозу и моделированию различных нестационарных систем, как на искусственно сгенерированных выборках, так и с использованием реальных данных. Верификация результатов расчётов показала, что разработанные математические модели, методы и комплекс программ позволяют строить статистически состоятельный прогноз поведения рассмотренных систем. Быстродействие разработанного комплекса программ достаточно для практических применений.

1. Resnick S. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes. Berlin: Springer, 1987.

2. Galambos J. The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics. Malabar: Robert E. Krieger Publishing Company, 1987.

3. Щетинин E. Ю. Статистический анализ свойств структур экстремальной зависимости на российском фондовом рынке // Финансы и кредит. 2005. № 22. С. 44-51.

4. Pickands J. Multivariate .Extreme Value Distributions // Bull, of the International Statistical Institute. 1981. № 49. C. 859-878.

5. ГОСТ P 22.1.09-99 «Безопасность в чрезвычайных ситуациях. Мониторинг и прогнозирование лесных пожаров. Общие требования». М.: Изд-во стандартов, 1999.

6. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.

7. Bollerslev Т. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity //J. Econometrics. 1986. № 31. C. 307-327.

8. Назаренко К. M., Парамонов А. В., Щетинин Е. Ю. Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий // Вестник ИНГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. № 29 (2). С. 262-269.

9. Парамонов А. В. Моделирование и прогноз развития лесопожарных ситуаций с использованием векторных авторегрессионных процессов // Вестник РУДН. Серия «Математика, информатика, физика». 2009. № 2. С. 66-73.

10. Mantegna R. N., Stanley Н. Б. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

11. Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3rd edition. New York: McGraw-Hill, 2006.

12. Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками. М.: УРСС, 2007.

13. Artzner P., Delbaen F., Eber J. М., Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance. 1999. T. 9, № 3. C. 203-228.

14. Landsman Z. M., Valdez E. A. Tail Conditional Expectations for Elliptical Distributions: Tech. Rep. 02-04: University of Haifa, 2002.

15. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Framework — Comprehensive Version, Basel Committee on Banking Supervision. 2006. http://www.bis.org/publ/bcbsl28.pdf.

16. Nelsen R. B. An Introduction to Copulas. N.-Y.: Springer, 1999.

17. Joe H. Multivariate Models and Dependence Concepts. London: Chapman and Hall, 1997.

18. Щетинин Е. Ю. Теория математических структур статистической зависимости. М.: ИЦ ГОУ МГТУ «Станкин», 2005.

19. Arneodo A., Muzy J.-F., Sornette D. Causal cascade in the stock market from the "infrared" to the "ultraviolet" // European Physical J. B. 1998. T. 2. C. 277-292.

20. Fisher R. A., Tippett L. H. C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample // Proc. of the Cambridge Philosophical Society. Cambridge: Cambridge University Press, 1928. C. 180-190.

21. Gnedenko В. V. Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatorire // Annals of Mathematics. 1943. № 44. C. 423-453.

22. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Heidelberg: Springer, 1997.

23. Balkema A., de Haan L. Residual life time at great age // Annals of Probability. 1974. № 2. C. 792-804.

24. Greenwood J. A., Landwehr J. M., Matalas N. C., Wallis J. R. Probability Weighted Moments: Definition and Relation to Parameters of Several Distributions Expressable in Inverse Form // Water Resources Research. 1979. T. 15, № 5. C. 1049-1054.

25. Landwehr J. M., Matalas N. C., Wallis J. R. Probability Weighted Moments Compared with Some Traditional Techniques in Estimating Gumbel Parameters and Quantiles // Water Resources Research. 1979. T. 15, № 5. C. 1055-1064.

26. Hosking J. R. M., Wallis J. R., Wood E. F. Estimation of the Generalized Extreme-Value Distribution by the Method of Probability-Weighted Moments // Technometrics. 1985. T. 27, № 3. C. 251-261.

27. Coles S. G., Dixon M. J. Likelihood-Based Inference for Extreme Value Models // Extremes. 1999. T. 2, № 1. C. 5-23.

28. Drees H., de Haan L., Resnick S. How to make a Hill plot // Annals of Statistics. 2000. T. 28, № 1. C. 254-274.

29. Balkema A., Resnick S. Max-Infinite Divisibility //J. Applied Probability. 1977. № 14. C. 309-319.31. de Haan L., Resnick S. Limit theory for multivariate sample extremes // Probability Theory and Related Fields. 1977. T. 40, № 4. C. 317-337.

30. Tawn J. A. Modelling Multivariate Extreme Value Distributions // Biometrika. 1990. № 77. C. 245-253.

31. Genest C., Rivest L.-P. Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas //J. American Statistical Association. 1993. T. 88, № 423. C. 1034-1043.

32. АН M. M., Mikhail N. N., Haq M. S. A class of bivariate distributions including the bivariate logistic // J. Multivariate Analysis. 1978. № 8. C. 405-412.

33. Schmidt R. Tail Dependence // Statistical Tools for Finance and Insurance / Под ред. P. Cizek, W. Hardle, R. Weron. Verlag: Springer, 2003. C. 65-88.

34. Schmidt R., Stadtmtiller U. Nonparametric estimation of tail dependence // Scandinavian J. of Statistics. 2006. T. 2, № 33. C. 307-335.

35. Gupta A. K., Varga T. Elliptically contoured models in statistics. London: Kluwer Academic Publishers Group, 1993.

36. Genest С., Ghoudi К., Rivest L.-R A semiparametric estimation procedure of dependence parameters in multivariate families of distributions // Biometrika. 1995. № 82. C. 543-552.

37. Frahm G., Junker M., Schmidt R. Estimating the tail-dependence coefficient: Properties and pitfalls // Insurance: Mathematics and Economics. 2005. № 37. C. 80-100.

38. Juri A., Wiithrich M. V. Copula convergence for tail events // Insurance: Mathematics and Economics. 2002. T. 3, № 30. C. 405-420.

39. Renner C., Peinke J., Friedrich R. Evidence of Markov properties of high frequency exchange rate data // Physica A. 2001. № 298. C. 499-520.

40. Brummelhuis R., Kaufmann R. The Time Scaling of Value-at-Risk in GARCH(1,1) and AR(1)-GARCH(1,1) Processes // J. Risk. 2007. T. 9, № 4. C. 39-94.

41. Mazo R. M. Brownian Motion: Fluctuations, Dynamics and Applications. Oxford: Oxford University Press, 2002.

42. Risken H. The Fokker-Planck Equation. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

43. Российский статистический ежегодник. 2007, Гос. ком. Рос. Федерации по статистике. М.: Госкомстат России, 2007.

44. Валендик Э. Н., Матвеев П. М., Софронов М. А. Крупные лесные пожары и больба с ними. М.: Наука, 1979.

45. Нестеров В. Г. Горимость леса и методы её определения. М.: Гослесбум-издат, 1949.

46. МЕТ4 and МЕТ4А Calculation of Dew Point. http://www. paroscientif ic. com/dewpoint .htm.

47. Барановский Н. В. Методика прогнозирования лесной пожарной опасности как основа нового государственного стандарта // Пожарная безопасность. 2007. № 4. С. 80-84.

48. Зденева М. Я., Виноградова М. В. Метод среднесрочного прогноза степени пожарной опасности в лесах по метеорологичеким условиям // Метеорология и гидрология. 2009. № 1. С. 16-26.

49. Ramsay J. О.,' Silverman В. W. Applied Functional Data Analysis. New York: Springer, 2002.

50. Sims C. A. Macroeconomics and Reality // Econometrica. 1980. № 48. C. 1-48.

51. Льюнг JI. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ., Под ред. Я. 3. Цыпкина. М.: Наука, 1991.

52. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976.