автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Непараметрические модели нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок

РГ6 од

2 2 ГРМ ''-:Т7

На правах рукописи

КРИВШИЧ ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ В РЕМЕННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В УСЛОВИЯХ МАЛЫХ

ВЫБОРОК

05Л3.14 - Системы обработки информации и управления

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Красноярск -1997

Работа выполнена на кафедре "Автоматизированной обработки информации" Красноярского государственного технического университета и Вычислительном центре СО РАН (г. Красноярск).

Научные руководители: доктор технических наук,

профессор Лапко A.B. кандидат технических наук, доцент Ченцов C.B.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Медведев A.B. кандидат технических наук, доцент Красноштанов А.П.

В едущая организация: Кибернетический Центр при

Томском Политехническом институте

Защита состоится C-g-t^-T лЪ^э-Х 1997 г. в /У ор часов на

заседании диссертационного совета Д.064.54.01 Красноярского государственного технического университета по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим высылать по адресу: г. Красноярск, ул. Киренского, 26, ученому секретарю спецсовета.

Автореферат разослан 20 oAiajCSCk_1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.т.н., профессор В.Н. Тимофеев

Общая характеристика работы

Актуальности проблемы. Важным направлением теории обучающихся систем является моделирование объектов п условиях априорной неопределенности о закономерностях их функционирования. когда основная исходная информация сосредоточена в экспериментальных данных. В настоящее время проблема анализа малых выборок остается еще недостаточно исследованной. Вместе с тем, спектр областей, для которых характерно наличие малых выборок достаточно широк. Примером могут служить медико-биологические и экологические системы. Причинами наличия малых выборок, как правило, являются:

- несовершенство средств контроля за изучаемой системой;

- невозможность проведения частых экспериментов над системой с целью получения дополнительной информации либо их реализация сопряжена со значительными затратами;

- временная изменчивость системы, не позволяющая использовать традиционные методы восстановления зависимостей и сокращающая фактический объем выборки.

Широкое распространение при восстановлении зависимостей в условиях малых выборок получили в основном алгоритмы МГУ Л и эвристические методы. Другим направлением решения данной задачи является искусственное увеличение объема выборки либо преобразование пространства признаков с цслыо увеличения отношения "объем выборки / размерность".

В данной работе исследуется подход к восстановлению зависимостей использующий сочетание преимуществ параметрических и непараметрических методов, что позволяет обойти проблему детальной формулировки математической модели путем целенаправленной статистической интерпретации исходной информации.

Учитывая важность решения проблемы сокращения размерности в задачах восстановления нестационарных зависимостей, в работе предлагается новый метод определения информативных признаков, основанный на непараметрических моделях коллективного типа.

На этой основе разработано программное обеспечение, которое используется при прогнозировании состояния здоровья населения по данным санитарно-эпидемиологических служб.

Диссертационная работа выполнена в рамках программы Госкомвуза РФ "Технические университеты России" раздел "Интеллектуальные информационные технологии" и гр'анта РФФИ №97-01-01043.

Цель работы состояла в разработке и исследовании непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок, создании на их основе информационной системы и ее внедрения при прогнозировании уровня заболеваемости населения региона в конкретных экологических условиях.

Цель достигается путем решения следующих задач:

- синтез и анализ непараметрических алгоритмов коллективного типа для восстановления нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок, решение вычислительных аспектов их применения;

- создание программного обеспечения, реализующего непараметрические алгоритмы восстановления зависимостей в условиях малых выборок;

- применение разработанного программного обеспечения при прогнозировании уровня заболеваемости населения региона в конкретных экологических условиях в составе информационной компьютерной системы "Здоровье населения - окружающая'среда", внедренной в Центре Госсанэпиднадзора Красноярского края.

Научная новизна диссертации состоит в разработке и исследовании новых непараметрических моделей нестационарных стохастических зависимостей, обеспечивающих эффективное решение задач анализа данных в условиях малых выборок. В частности:

- разработаны непараметрические алгоритмы восстановления нестационарных временных зависимостей в условиях' малых выборок;

- определены аналитические условия применения предложенных непараметрических моделей, обеспечивающие сочетание ире,-имуществ параметрических и локальных методов аппроксимации;

- установлены области компетентности разработанных непараметрических моделей коллективного тала;

- на основе предложенных непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей разработан метод определения информативных признаков. В отличие от традиционных методов предлагаемая методика позволяет определять условную

информативность отдельных признаков с учетом нсстационарности восстанавливаемой зависимости.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке алгоритмического и программного обеспечения для решения задач восстановления нестационарных зависимостей в условиях малых выборок, на основе которого создана подсистема "Прогноз" информационной системы "Здоровье населения - окружающая среда". Данная система используется в Центре Госсанэпиднадзора Красноярского края для прогнозирования показателей заболеваемости, определения неблагоприятных экологических параметров внешней среды и формирования вариантов изменения экологических условий с целью достижения заданного уровня заболеваемости.

Научные и практические результаты диссертационной работы могут быть использованы:

- при восстановления нестационарных временных зависимостей, когда отношение "объем выборки / размерность" близко к единице;

- при прогнозировании процессов в уникальных медико-биологических. экологических и экономических системах в условиях малых выборок;

- при выделении информативных признаков в смежные интервалы времени контроля за параметрами системы.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались аппарат непараметрической статистики, теории адаптивных обучающихся систем, методы коллективных решений и статистического моделирования.

Автор защищает:

1. Непараметрические модели нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок, вычислительные аспекты их применения и свойства.

2. Метод определения информативных признаков в конкретных условиях на основе непараметрических моделей коллективного типа.

3. Зависимости показателей эффективности непараметрических моделей коллективного типа от объема и степени зашумленности исходной выборки, размерности пространства входных переменных.

4. Информационную подсистему моделирования, динамики показателей заболеваемости населения в изменяющихся экологических условиях внешней среды.

5. Результаты применения непараметрических моделей нестационарных" временных зависимостей в задачах социально-гигиенического прогнозирования.

Реализация результатов работы. Разработанные непараметрические модели нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок и программное обеспечение внедрено в Красноярском краевом центре Госсанэпиднадзора в рамках информационной системы "Здоровье населения - окружающая среда".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на региональных и Всероссийских конференциях: 1. Межрегиональная конференция "Проблемы информатизации региона" (г. Красноярск, 1995); 2. Межвузовская конференция студентов и аспирантов (г. Красноярск, 1996); 3. Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1996); 4. Научно-практическая конференция с международным участием, посвященная 60-летшо науки на севере "Факторы малой интенсивности -экология европейского севера" (г. Архангельск, 1996); 5. Второй международный симпозиум "Конверсия науки - международному сотрудничеству (Сибконверс'97)" (г. Томск, 1997); 6. Всероссийская конференция "Здоровье общества и безопасность жизнедеятельности" (г. Красноярск, 1997).

Публикации. Результаты проведенных теоретических и экспериментальных исследований опубликованы в 10 печатных работах.

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии (87 наименований), содержит 133 страницы машинописного теста, иллюстрируется 31 рисунком и 4 таблицами.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы, рассматриваемой в диссертации, определены цель и задачи исследования,

выделены основные положения работы, имеющие новизну и практическую значимость.

В первой главе приведен обзор литературы по проблеме восстановления зависимостей в условиях малых выборок.

Дастся анализ методов, применяемых при восстановлении зависимостей в условиях малых выборок. Особое внимание уделяется алгоритмам МГУА. получившим широкое распространение при решении задачи восстановления зависимостей. Приводятся параметрические и непараметрические варианты алгоритмов МГУА.

Рассматриваются методы гибридизации в задаче восстановления зависимостей, позволяющие синтезировать на основе уже имеющихся моделей новые эффективные модели.

На основании выполненного обзора сделаны выводы о том, что существующие параметрические и непараметрическне методы восстановления зависимостей в основном ориентированы на большой объем исходных данных, что снижает их эффективность при исследовании нестационарных систем. Перспективным направлением восстановление зависимостей в условиях малых выборок является использовании принципов коллективного оценивания, обеспечивающих сочетание преимуществ непарамстрических и параметрических методов.

Разработке новых непараметртеских моделей нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок посвящена вторая глава.

Во второй главе рассматриваются оригинальные непараметрические аппроксимации нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок. Предлагаемые модели основаны на построении последовательности простых параметрических аппроксимаций относительно системы опорных точек с последующим их непараметрическим сглаживанием в коллективе решающих правил.

Постановка задачи. Пусть V = (ху', I - 1 ,п)- выборка наблюдений стохастического процесса у({)=/,(х(1)), измеряемых в дискретном времени / = \,п. При этом объем исходной выборки п сопоставим с размерностью пространства/; входных признаков. Случайные величины (х, у) распределены с неизвестными плот-

ностями вероятности. Априори вид нелинейной стохастической зависимости у(1) = //(х(ф не задан.

Методика построения модели.

Поставим в соответствие каждой точке (хт, ут) е V подвы-борку Ут - (х', у', I = т +1, п) и аппроксимирующую функцию /т(х,аг), параметры которой удовлетворяют условиям:

,2

У

ат = &щтт(п-т) 1 £ [У -/г\х',ат

а' 1>т

Функции /т{х, а г| проходят через опорные точки (у\ хт)

и близки в среднеквадратическом к элементам выборки УГ, т — \,п — р. Для линейных опорных функций

Р

параметры Ь г определяются уравнением

Р _

Ьт = Ут - Ъа^А .

а оптимальные коэффициенты а* находятся из условия миниму-Л . „ . Л2

п

У7-УТ)~ Ъа1[х1-х1

' V —1

ма критерия £

В одномерном случае оптимальные коэффициенты опорных функций могут быть определены по следующей формуле

п

2 [Хт-х у'=г+1

На. основе полученной системы опорных функций /т[хт, ат\, т= 1, п- р построим приближение искомой

зависимости у(0= в виде непараметрической модели кол-

лективного типа

п—р

ЕЛ(х, ат)с1-'(х, х'

п-р

I й~1[х, хг

(1)

г=\

где ¿(х,хт) - весовая функция, значение которой зависит от расстояния между точками х я хт. В качестве весовой функции ¿1 1 (х,хт) могут быть использованы обратное Евклидово расстояние либо функции ядерного типа.

Анализ модели. Установлено, что непараметрическая модель (1) представляется в виде

' ' , . у = у(х) + 7(х). (2)

Первое слагаемое в (2) соответствует непараметрической регрессии (приводится одномерный случай при известной плотности вероятности р(х) случайной величины х).

у(х) = ((п-1)р(х)су1Ху!Ф

Второе слагаемое

п-1

/=1

Х- X

Е (/-/1Ы

Е *

Л.у .л

. \ 2

-Ф

х — х

играет роль поправочного члена, значение которого снижается по мере роста объема исходной информации. Так как второе слагаемое зависит от опорных функций, то выбор их конкретной системы не оказывает принципиального влияния на свойства статистики (2).

Предложенная непараметрическая модель (1) временной зависимости у (О = /¡(х((]) характеризуется высоким уровнем помехозащищенности, что обеспечивается двойным сглаживанием:

1) при формировании системы функций аг| (оценивание

параметров аг); 2) путем усреднения опорных функций в соответствии с процедурой (1). 4 . .

Доказана теорема об асимптотической несмещенности и состоятельности непараметрических моделей коллективно^ типа. Определены условия сходимости: 1) искомая зависимость у = /(х) и плотности вероятности р(х), р(х,у) допускают разложение в ряд Тейлора; 2) ядерные функции Ф(к) положительны, симметричны и нормированы; 3) последовательности с(п)—> 0 при п —> со, а пс —> со.

Полученные результаты обобщены при восстановлении инерционных процессов с учетом параметров запаздывания реакции системы на входные воздействия.

Для случая, когда отношение "объем выборки / размерность" меньше единицы, предложена методика комплексирования частных непараметрических моделей (1) в единую модель.

При этом исходное пространство X входных признаков разбивается на подпространства Х(И), в которых формируются непараметрические модели коллективного тала (1). Полученный в результате набор частных моделей искомой зависимости объединяется в коллектив решающих правил

А=1

где С}, - весовые коэффициенты, характеризующие вклад /г - ой модели в коллектив.

Значения параметров С), находятся из условия точности аппроксимации зависимости по заданной выборке в режиме "скользящего экзамена".

Разработанные непараметрические модели коллективного типа использованы при формировании оригинальной методики оценивания степени влияния отдельных входных признаков на изме-

нение значений восстанавливаемой функции в смежные интервалы времени (t-1, t) ее контроля.

В отличие от традиционных методов, где определение информативных признаков предшествует формированию модели, предлагаемая методика позволяет определять вклад отдельных признаков с учетом нестационарности восстанавливаемой зависимости в фиксированных временных интервалах.

Суть идеи состоит в аппроксимации нестационарного временного процесса на интервале (t-1, t) линейной зависимостью, параметры которой оцениваются из условия прохождения через конечные точки интервала и по вторичной выборке, сформированной на основе непараметрических моделей коллективного типа (1). При этом оценки степени влияния признаков на интервале рассчитываются с учетом соответствующих им коэффициентов линейной аппроксимации.

В третьей главе приводятся результаты исследования свойств предлагаемых непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей с помощью метода статистического моделирования.

В качестве показателей эффективности непараметрических моделей коллективного типа использовались:

1. Критерий Фишера. Значение критерия вычисляется по формуле:

F — S'y 1 S' ocm,

где S'y - оценка дисперсии среднего, S~ocm - оценка остаточной дисперсии аппроксимации.

2. Относительная ошибка аппроксимации. С помощью данного критерия определяется относительная ошибка аппроксимации на контрольной выборке.

У,-Pi

1 m m /=1

* 100%.

У\

где т - объем контрольной выборки.

3. Среднеквадратичное отклонение. Среднеквадратичное отклонение рассчитывается на контрольной выборке по следующей формуле

*2 = -41(у,-Л)г.

«2-1/=1

где т - объем контрольной выборки.

4. ЯЯ- критерий точности. В случае восстановления стационарной зависимости ЕЛ- критерий имеет вид

где у - среднее значение величины^.

Для нестационарных зависимостей у заменяется на значение тренда для /-го шага. Один из простейших подходов при этом определяется равенством у(1) = _у,./. В этом случае критерий принимает вид

™ -)2 ■

Значение ЯК-критерия <0.5 соответствует хорошей модели, при 0.5 < КЕ1 < 0.8 - модель удовлетворительная, Ы1 > 0.8 - неудовлетворительная. В случае, если значение Ш1 > 1, модель является непригодной для использования.

В результате статистического моделирования выявлены закономерности взаимосвязи между принятыми показателями эффективности непараметрических моделей коллективного типа и объемом исходной информации, размерностью пространства входных признаков и степенью зашумленности исходных данных.

Показано, что увеличение размерности пространства входных переменных при прочих одинаковых условиях ведет к ухудшению показателей эффективности и значительному росту временных затрат при формировании непараметрических моделей коллективного типа. Данный факт объясняется увеличением размерности задачи оптимизации параметров системы опорных функций.

Установлено, что с увеличением объема обучающей выборки качество аппроксимации искомой зависимости непараметрическими моделями коллективного типа улучшается.

При восстановлении зависимостей, когда отношение п /р <30 значения критериев для непараметрической модели коллек-

тивного типа (2.6) на 30-50% достоверно лучше, чем для непараметрической регрессии, при отношении п /р > 30 значения критериев для модели (2.6) и непараметрической регрессии близки, отклонение составляет 5-10%.

5 10 30 50 70 100

Объем выборки

Рис. 1. Зависимость относительной ошибки аппроксимации от объема обучающей выборки при восстановлении нестационарной зависимости второго порядка с помощью непараметрических моделей коллективного типа (пунктирная линия), непараметрической регрессии (штриховая линия) и непараметрического метода поиска аналогов (сплошная линия).

В результате исследования помехоустойчивости непараметрических моделей коллективного типа установлено, что при малых объемах обучающих выборок (п /р<30) и уровне помех до 30% их аппроксимационные свойства лучше, чем у непараметрической регрессии. С дальнейшим увеличением помех при п / р<30 аппроксимационные свойства непарамегрических моделей коллективного типа снижаются быстрее по сравнению с непараметрической регрессией. Однако, с ростом объема обучающей выборки, влияние помех на качество аппроксимации искомой зависимости непараметрическими моделями (1) снижается.

По результатам статистического моделирования сделан вы--вод, что на качество аппроксимации в большей степени оказывают

влияние зашумленность как входной, так и выходной переменных (достоверное ухудшение результатов в 1.5-2 раза), чем зашумле-ние только выходной переменной. Такая зависимость показателей эффективности непараметрических моделей коллективного типа от помех определятся наличием второго слагаемого в (2), зависящего от значений входных переменных.

0.4

Ряд1 .......Ряд2 Помеха

Рис. 2. Зависимость среднеквадратичного отклонения от уровня помех при восстановлении нестационарной зависимости с помощью непараметрической модели коллективного типа. Кривая 1 соответствует объему обучающей выборки -10 точек, кривая 2-50 точек.

На основании результатов исследований зависимости значений показателей эффективности при восстановлении тестовых функций с помощью непараметрических моделей коллективного типа в зависимости от объема обучающей выборки, размерности пространства входных переменных и уровня зашумленности исходных данных были определены области компетентности моделей. Выделены три области, соответствующие хорошему, удовлетворительному и неудовлетворительному качеству аппроксимации.

Объем выборки

Рис. 3. Области компетентности непараметрических моделей коллективного типа при восстановлении нестационарной зависимости второго порядка ( р=5 ). Область, лежащая шоке сплошной линии, соответствует хорошему качеству аппроксимации, область, ограниченная сплошной и пунктирной линией - удовлетворительному, область, лежащая выше пунктирной линии - неудовлетворительному.

Из анализа областей компетентности разработанных непараметрических моделей коллективного типа и сравнения их свойств с непараметрической регрессией рекомендуются следующие условия их применения:

- отношениеп/р <30,

- максимальный уровень помех 10-30% при объеме обучающей выборки «<30 и размерностир<5;

- максимальный уровень помех 40 -60% при «>50 и р<5.

В четвертой главе рассматривается применение непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей в условие малых выборок в задачах санитарно-гигиенического прогнозирования.

Программное обеспечение подсистемы "Прогноз" информационной компьютерной системы "Здоровье населения - окружающая среда" реализовано в среде визуального программирования Delplii 1.0 и представляет собой диалоговый пакет программ. Разработанное программное обеспечение предназначено для работы в

операционной среде Windows 3.11 или Windows 95 на компьютерах типа 486 DX4 или Pentium с объемом оперативной памяти не менее 8Mb.

Разработанная информационная подсистема обеспечивает эффективное решение следующих задач: формирование моделей динамики показателей заболеваемости населения региона в зависимости от экологических параметров окружающей среды; прогнозирование показателей заболеваемости в различных экологических условиях; определение экологических параметров внешней среды, оказывающих наибольшее влияние на изменение показателей заболеваемости; выбор вариантов изменения экологических параметров внешней среды с целью достижения требуемых значений показателей заболеваемости.

По результатам внедрения информационной подсистемы установлены наиболее неблагоприятные параметры загрязнений, влияющие на изменение первичной заболеваемости детей болезнями органов дыхания в условиях г. Красноярска (диоксид серы, пыль органическая, окись углерода, фурфурол и др.) и г. Дивногор-ска (соляная кислота, уайт-спирит, щелочь, окислы азота, диоксид серы и др.).

10

с

? 8 о о

? 6 л X

л 4 -Г к

с

0 ? .

- ю ; ш п

0 ......

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

' -Ряд1 .......Ряд2 -----РядЗ ;Год

Рис. 4. Прогноз первичной заболеваемости детей, проживающих в г. Красноярске болезнями крови и кроветворных органов на 1995 г.. Кривые на рис. соответствуют: 1 - сохранению выбросов в атмосферу на уровне 1994 г.; 2-увеличению

выбросов в атмосферу (окислы азота - 15000т., диоксид серы - 35000т., углерода окись - 84000т.); 3 - уменьшению выбросов в атмосферу (окислы азота - 11000т., диоксид серы -30000т., углерода окись - 77000т.).

Получены прогнозы первичной заболеваемости детей, проживающих в городах Красноярского края (г. Красноярск, г. Дивно-горек, г. Норильск) болезнями органов дыхания, крови и кроветворных органов при различных значениях экологических параметров внешней среды.

Применение разработанного программного обеспечения рекомендуется при моделировании систем, характеризующихся временной изменчивостью.

Основные результаты и выводы

1. С позиций принципов коллективного оценивания разработан новый класс непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок. Достаточно высокий уровень помехозащищенности и точности решения задач обеспечивается сочетанием преимуществ параметрических и локальных методов аппроксимации.

2. Доказана асимптотическая несмещенность и состоятельность непараметрических моделей коллективного типа. Для условий малых выборок методом'статистического моделирования определены и исследованы зависимости показателей эффективности предложенных моделей от объема статистической информации, размерности пространства входных переменных, зашумленности исходных данных. Установлены области компетентности разработанных моделей при восстановлении стационарных и нестационарных зависимостей.

3. На основе разработанных непараметрических моделей предложена оригинальная методика оценивания степени влияния отдельных входных признаков на изменение значений восстанавливаемой функции в смежные интервалы времени ее контроля.

4. Разработан диалоговый пакет программ, обеспечивающий автоматизацию исследований нестационарных временных зависи-

мостей в условиях малых выборок на основе нспараметрнческих моделей коллективного типа.

5. Создана и внедрена информационная подсистема прогнозирования показателей заболеваемости населения по данным санитарно-эпидемиологических служб и выбора рациональных экологических условий.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Ченцов C.B., Крившич Д.В. Прогнозирование состояния здоровья населения // Проблемы информатизации региона: Труды межрегиональной конференции / Отв. ред. Г.М. Цибульский. -Красноярск. КГТУ, 1995. - С. 485.

2. Крившич Д.В., Ченцов C.B., Юдин H.A. Непараметрические модели нестационарных временных зависимостей в условиях малых выборок // Информатика и системы управления / Отв. ред. А.И. Рубан, Б.П. Соустин. - Красноярск. КГТУ, 1996. - С. 124-129.

3. Крившич Д.В., Ченцов C.B. Исследование свойств непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей // Информатика и системы управления / Отв. ред. А.И. Рубан, Б.П. Соустин. - Красноярск. КГТУ, 1996. - С. 42-49.

4. Крившич Д.В., Ченцов C.B. Коллективы непараметрических моделей нестационарных временных зависимостей // Вестник Красноярского государственного технического университета. -Красноярск. КГТУ, 1996. - Вып. 5. - С. 90-94.

5. Лапко A.B., Ченцов C.B., Крившич Д.В.. Куркатов C.B. Информационное обеспечение прогнозирования состояния здоровья населения // Материалы научно-практической конференции с международным участием посвященная 60-летию науки на севере "Факторы малой интенсивности - экология европейского севера". -Архангельск, 1996. - С. 48-49.

6. Островская В.Ф., Крившич Д.В. Прогнозирование заболеваемости детей при воздействии антропогенных загрязнителей // "Экология человека". - Архангельск, 1996. - С. 48-49.

7. Лапко A.B., Ченцов C.B., Крившич Д.В., Юдин H.A. Исследование свойств непарамстрических моделей нестационарных временных зависимостей // Тезисы второго сибирского конгресса по

прикладной и индустриальной математике INPRJM-96. - Новосибирск, 1996. - С. 43.

8. Крившич Д.В. Непараметрические модели коллективного типа в задачах социально-гигиенического прогнозирования // Информатика и системы управления / Отв. ред. А.Н. Ловчиков, Б.П. Соустин. - Красноярск. КГТУ, 1997. - С.64-72.

9. Крившич Д.В. Непараметрические модели коллективного типа // Организационные модели управления территориальными энергосистемами: Сборник докладов науч.-техн. конф. / Под ред. Б.П. Соустина. - Красноярск. КГТУ, 1997. - С. 87-95.

10. Лапко A.B., Ченцов C.B., Лапко В.А., Крившич Д.В., Шубин А.Ю. Имитационные модели распределенных систем // Информатика и системы управления / Отв. ред. А.Н. Ловчиков, Б.П. Соустин. - Красноярск. КГТУ, 1997. - С.159-168.

Подписано к печати 30.07.97 Формат 60 х 84 х 16. Бумага писчая № 2. Тираж 100 экз. Заказ № 7" 13 Ротапринт КГТУ