автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем

На правах рукописи

, < О 0.,

СУХИНИН Владимир Юрьевич

I 3 Г-.1 : "

ПОСТРОЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ СТРАХОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по физико-математическим наукам)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель -Заслуженный деятель науки РФ, академик РАЕН, доктор технических наук, профессор Г.П. Башарин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор О.П. Виноградов доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник СЛ. Шоргин

Ведущая организация — Московский государственный институт электроники 1. математики (Технический университет)

Зашита диссертации состоится декабря 2000 г. в /¿Г час. 00 мин.

на заседании диссертационного совета К 053.22.28 в Российском университете дружбы народов

по адресу: 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, факультет физико-математических и естественных наук, ауд. 'НО,

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан "ЗУ " октября 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

В.А. Кокотушкнн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

1. Развитие актуарной наукн в России и других странах. Моделирование - один из самых распространенных и доступных приемов изучения реальных процессов, происходящих в экономике, в частности, в страховом бизнесе. В силу своей специфики страхование, как финансовый институт, имеет своей целью обеспечение страхователей, т.е. физических лиц, заключающих договоры страхования или третьих лиц, в пользу которых они заключены, денежными средствами при наступлении страховых случаев. Последние, в свою очередь, являются реализацией неких случайных событий, качественно и количественно судить о которых можно, изучив степень риска того или иного конкретного договора страхования. Это, безусловно, делает вероятностное (стохастическое) моделирование одним из наиболее важных инструментов при принятии решений о ведении пел в страховых компаниях.

Следует заметить, что количественной оценкой риска занимаются актуарии -специалисты в страховой (актуарной) математике. Основы актуарной теории как особой этрасли науки были заложены в XVII в. работами таких ученых, как Д. Граунт, Я. Де Вигг, Э. Галлей. Э. Галлей определил основные функции таблиц смертности, исчислил вероятности дожития и смерти, ввел понятие средней продолжительности жизни, исчислил тарифы по страхованию ренты. К концу XVII - началу XVIII века страхование жизни зстало на научную основу. В XVH3 веке актуарную теорию разрабатывали ряд ученых, зключая знаменитых российских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера.

Зачатки стохастического исчисления актуарная наука ассимилировала около :толетия назад. Дифференциальные уравнения для вероятности возможного разорения сомпании были получены Лундбергом еще в 1903 г., когда понятие стохастического ipouecca не было еще точно определено. С начала 20 века в Европе и США актуарная математика получила мощный стимул для дальнейшего развития благодаря огромному ¡кладу в нее таких выдающихся математиков, как Г. Крамер, В. Феллер, А. Лотка, а также, юзднее, таких известных ученых-актуариев, как Н. Bühlmann, H.U. Gerber, C.D. Daykin, P. imbrechts, R. Norberg, P. Petauton и других.

На рубеже 19 и 20 веков в России быстро развивалось страховое дело и актуарные фактика, образование и наука, что нашло свое отражение в работах Б.Ф. Малешевского, i.C. Лунского, Ф.А. Бабаловича, П.М. Гончарова и многих других. После монополизации трахового дела в СССР существовало только две страховые организации: Госстрах и 1нгосстрах, что не стимулировало развитие актуарной науки. Однако, и в СССР [родопжались работы по актуарной науке и смежным проблемам демографии, что нашло вое яркое отражение в трудах таких ученых, как Кагаловская Э.Т., Калихман А.И., 4отылев Л.А., Рейтман Л.И., Четыркин Е.М. и ряда других.

С начала 90-х годов в России в области страховой и финансовой математики ктивно работают такие известные ученые, как Ширяев А.Н., Четыркин Е.М., Фалин Г.И., 1ашарин Г.П., Булинская Е.В., Виноградов О.П., Королев В.Ю., Мельников A.B., Ротарь 1.И., Шоргин С.Я. и другие.

По инициативе заведующего кафедрой теории вероятностей, профессора, кадемика АН УССР Гнеденко Б.В. и ректората МГУ им. М.В. Ломоносова в 1993 г. на [еханико-математнческом факультете была открыта экономико-математическая пециализация, основой которой служила страховая и финансовая математика. 1налоп1чную работу на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ роделал профессор кафедры исследования операций Ашманов С.А., а в 1995 г. на кономическом факультете МГУ была создана кафедра управления риском. В 1994 г. на

базе МГУ было создано Российское Общество Актуариев, первым президентом которой стал член-корреспондент РАН Ширяев А.Н.

С 1994 г. по инициативе руководства Российского университета дружбы народов н; кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико математических и естественных наук в рамках специальности "Прикладная математика 1 информатика" читается цикл актуарных дисциплин и производится выпуск бакалавров 1 магистров.

Учебная и исследовательская работа в этом направлении проводится в ряде ведущи: вузов Москвы, Санкт-Петербурга и некоторых других городов России в рамка: экономических и экономико-математических специализаций.

2. Актуальность работы. Теория стохастического исчисления, которая свое развита получила, в основном, в последние полвека, дает возможность унифицированного подход к широкому классу задач, связанных с предсказанием поведения в будущем страховы договора, портфеля или предприятия на основе прошлой истории. Подходящие вереи теоремы Дуба о свободном выборе и цепное правило для семимартингалов (обобщенна формула Ито) вместе с разложением Дуба-Мейера и некоторые элементарные факты и теории мартингалов дают интегральные, дифференциальные или интегрс дифференциальные уравнения и для моментов современных стоимостей финансовы потоков, для вероятности разорения и других функций, имеющих практический интере! Подход работает в достаточно сложных моделях, способных отвечать реальным система? минимизируя как риск ответственности страховой компании перед клиентами, так и рис размещения активов.

Очень часто достаточно сложные системы, описывающие финансовк взаимоотношения страховой компании (страховщика) и ее клиента (страхователя обладают свойством Маркова, т.е. отсутствием памяти. Иными словами, в каждый момег действия договора страхования возникающие финансовые потоки определяются ситуацие: сложившейся непосредственно к этому моменту, и не зависят от предыдущей истории эти взаимоотношений. Примерами таких систем являются финансовые потоки, возникающие результате заключения договоров страхования жизни определенного вида или договоре страхования автогражданской ответственности. Поскольку такие договоры заключают« наиболее часто и являются классическими с точки зрения теории страхования и посколы изучены и применяются на практике далеко не все математические аспекты, связанные ними, то выбор темы исследования представляется достаточно актуальным.

Целью данной диссертационной работы является изучение, систематизация дальнейшее развитие вероятностных моделей, широко используемых в актуарш математике при исследовании страховых систем, обладающих свойством Маркова, а некоторых случаях и без него, и применение полученных результатов в практическс деятельности.

Методы исследований. В работе использованы методы теории вероятносте математической статистики, актуарной и финансовой математики, математическ< демографии.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

- с помощью дифференциальных уравнений для резервов в страховании жиз! получены новые формулы для расчета нетто- и бругто-премий по страхованию пенсии ] инвалидности, удобные для практического применения;

построена и исследована математическая модель финансовой деятельное страховой компании при осуществлении ей перестрахования жизни для двух различш типов договоров перестрахования;

- тарифы существующего во многих странах, включая Беларусь, и готовящегося в ?Ф обязательного страхования автогражданской ответственности (АГО), основаны на использовании системы бонус-малус (скидок и надбавок) и нуждаются в серьезных эасчетах. Полученные в третьей главе результаты позволяют прогнозировать изменение страховых взносов, которые на практике за несколько лет уменьшаются более чем вдвое, iTo может нанести страховой компании большие убытки.

Практическая ценность работы. Большинство вероятностных и статистических методов, описанных в диссертации, применимо и частично уже было использовано в эаботс страховых и перестраховочных компаний. Результаты диссертации могут быть юлезны при принятии решений о заключении договоров перестрахования на основе «учения финансовых показателей перестраховочной деятельности. Приведенные в шссертации формулы позволяют рассчитать страховые резервы и страховые премии для )азличных типов договоров страхования жизни. Кроме того, полученные результаты юзволяют смоделировать финансовые потоки, возникающие в результате заключения юговоров страхования. Результаты Главы 4, позволяют органам страхового надзора и яраховым компаниям при страховании автогражданской ответственности обоснованно ¡водить в действие системы бонус-малус. Публикации по теме диссертации и результаты )аботы использовались на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета 1ружбы народов в студенческих НИР, выпускных работах бакалавров и магистерских шссертациях.

Реализация результатов работы. Исследования проводились по плану госбюджетных ШР Российского университета дружбы народов "Математические методы и модели в кмографии и страховании" (государственный регистрационный номер 01.20.00 06593). В ÎAO "Страховом обществе "JIK-Сити" на практике проводилось сравнение эффективности эассмотренных автором различных методов перестрахования с точки зрения 1ерестрахователя, что подтверждается справкой о внедрении. В результате наиболее |ффективным был признан метод, рекомендуемый автором в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, Накладывались на XXXI-XXXV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1995-1999 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включения, списка литературы из 58 наименований и двух приложений. Диссертация :одержит 108 страниц текста, 5 рисунков, 11 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается история развития актуарной науки в России и других ¡транах, обосновывается актуальность темы диссертации, проводится краткий обзор тубликаций по этой теме, формулируется цель исследований, кратко изложены содержание i основные результаты диссертации по главам, охарактеризованы их научная новизна и фактическая ценность в области страхования и перестрахования жизни и штотранспортного страхования.

В главе 1 рассматривается вывод и решение дифференциальных уравнений для 1ерспективных и ретроспективных резервов в страховании жизни.

В §1.1 вводятся общие определения резервов в страховании жизни и приводятся «которые соотношения между ними. Рассматривается поток платежей (ПП), задаваемый функцией выплат A(t),t > 0. В случае, когда A(t) — функция ограниченной вариации, и ее

разложение Лебега содержит только две компоненты - абсолютно-непрерывную и функцию скачков, ПП на отрезке [О, Т] записывается в виде

jV>.....с

я,0Г|= ' ;А'( 0,/е2 =: (J, х-А'(О)

, где h - момент дискретного платежа

\ " / _

размера xt денежных единиц, к = \,т\ 2> - отрезок [О,Г] без точек гг'2 >■•■.'„, разрыва функции Л(1); A'(f)Ai + o(At)- размер платежа в окрестности точки /е ; A(tt + 0) - A(f, ) + A'(l + 0)Дг + о(&!) _ размер платежа в правой окрестности точки h- ДО можно представить в виде А(() = £(/)- С(0, где В и С-неубывающие, ограниченные, непрерывные справа функции выплат. В можно интерпретировать как исходящий (в страховании - страховое возмещение), а С — как входящий потоки платежей (в страховании - поступающие страховые взносы).

В любой момент времени t > 0 поток платежей можно разделить на два: после момента /, и до момента t включительно. Таким образом, А = Ф Соответственно, современная стоимость потока выплат на момент 0 также представляется

в виде разности У (О = Vгде у * (0 = S^v(t)<m(t) представляет собой

современную стоимость будущего исходящего непо-потока (в контексте страхового

бизнеса - выплаты минус премии), а У ~ (О = 's ,, (~Л)(т) представляет собой

величину прошлого входящего нетто-потока с учетом накопленных процентов (в контексте страхового бизнеса - премии минус выплаты).

В частном случае, когда функция дисконтирования может быть задана как

-I'strWr -, . ,

v(0 = е ' , где 0(0 — детерминированная кусочно-непрерывная функция интенсивности (силы) процента, и когда функция выплат A(t) тождественна равна нулю при t > Т, справедливо следующее разложение:

T -Ji(«№ -JiOOA Т -Jit«)«/.

v*(f) = (s)jim(i)e ' = ' + jA\s)dse'

t t,4<JtST t

»

V~(t) = (s)J dA(s)e ' = * + \A'(s)ds e '

о ^ла.й 0

В общем случае, когда Л = {Л(0},го и v = МО} ,20 — стохастические процессы, определенные на вероятностном пространстве Р), вводятся определения

перспективного Р-резерва У,(() = Е^У*(1) = ^ОО^СОЙ | и ретроспективного

Р-Резерва Кг"(0 = 0 =

Далее приводятся соотношения для перспективных и ретроспективных резервов в различные моменты времени. Вводится определение убытков страховщика за период

времени : А'.') = у(т)А4(т) + Н'Ж (0 ~ ФЖг (•*). Приводится доказательство

леммы о том, что процесс M(t) = E{V\Jt)Vt > 0 является F-мартингалом, сходящимся к V . Кроме того, ¿(1, | = M(t) - M (s). Далее, приводится теорема Хаттендорфа.

В §1.2 рассматривается применение марковских процессов с непрерывным временем при моделировании финансовой истории полисов страхования жизни и аннуитетов. Рассматривается полис страхования жизни в момент 0. В любой момент времени />0 полис находится в одном и только одном состоянии из 3 = {0,...,J}. В течение действия полиса возникают потоки платежей двух видов: A°(/)-/l°(s)-cyMMH, выплачиваемые при страховании ренты во время нахождения в состоянии g на временном интервале (i,/], и a°h{t)-суммы, выплачиваемые при страховании жизни при переходе из состояния g в состояние h в момент времени /. История полиса описывается стохастическим процессом . Вводится считающий процесс

Ngh(t) =#{г ]те (0,f],X(r-)= g,X(T) - h],g Фк, обозначающий общее число переходов из состояния g в состояние h за время от 0 до t, и процесс l¡(t) = 1(*(,),л - индикатор события, состоящего в том, что процесс {Х(г)},г0 находится в состоянии j в момент

времени />0. Поток нетго-платежей представляется в форме А = ^

м*« J

гдеclAg(t) = lg(t)dA°(t), dAg/l(t) = a°t(t)dNlh(t). Тогда перспективные и ретроспективные резервы описывается в рамках модели традиционного марковского процесса {X(t)}lM с непрерывным временем над множеством состояний 3, вероятностями перехода />;*('■") = Р{Х(ц) = к | X(t) = j}m состояния j в состояние к и интенсивностями р . (t,u)

переходаfiJt (г) = -Vi е [0, У. Приводятся прямые и обратные

и-н+ и —t

уравнения Колмогорова. В рассматриваемой модели соответствующий мартингал определяется как

помощью свойств данного мартингала и ряда вспомогательных утверждения приводится доказательство теоремы Тиле.

В §1.3 рассматриваются марковские условные процессы с непрерывным временем. В §1.4 в соответствии с ранее введенными определениями изучаются резервы в рассматриваемой модели марковского процесса. Наиболее простыми с концептуальной точки зрения являются индивидуальные резервы, которые получаются при усреднении с учетом всей истории индивидуального полиса, т.е. = 5[0/1. Индивидуальный

ретроспективный резерв задается формулой V^(t~) = V'(t), а в силу марковского свойства

индивидуальный перспективный резерв определяется по формуле: Vi (0 = Если

F= йм 1-го. ТО

= /МХ^('.г)на [0,-3 при у = О и на

nfJ l'-~> с 1 hM*s I

(0,~) при

л.л**

У' (0 " v(/)p0y(0>í)J

Ро;(0.0>0.

В §1.5 приводится вывод дифференциальных уравнений для перспективных резервов в различных состояниях процесса. В рассматриваемой модели марковского

процесса Г/ (() = ^ р№ (/,г)

м»«

у/ез г;(0 = у(г>к;(0.

В случае, когда все платежи ограничены во времени некоторым интервалом [0,и] и все функции абсолютно непрерывны на (0, п) выводятся перспективные

дифференциальные уравнения:

¿»7(0 = ^(0к(0+ 0»7(0- 5Х(<)И?(0

I «•««./ ) г.г»у

Приводятся их решения и предлагается алгоритм нахождения решений для ряда практически важных случаев.

В §1.6 приводится вывод дифференциальных уравнений для ретроспективных резервов в различных состояниях процесса

В рассматриваемой модели марковского процесса

И7 С) = 2Х~ ^Рч (*•') - {„„^Х Ро, (0Д){< (г)р„ (т. о +

В случае, когда все платежи ограничены во времени некоторым интервалом [0,л] и все функции абсолютно непрерывны на (0, п) выводятся

ретроспективные дифференциальные уравнения:

г.«*/ «■»

Приводятся их решения и предлагается алгоритм нахождения решений для ряда практически важных случаев.

В §1.7 устанавливается связь уравнений для перспективных и ретроспективных резервов с обратными и прямыми уравнениями Колмогорова. Рассматривается договор смешанного страхования жизни. При определенных ограничениях, накладываемых на функцию дисконтирования и условия договора страхования, уравнения дня перспективных резервов сводятся к обратным уравнениям Колмогорова, а уравнения для перспективных резервов сводятся к прямым уравнениям Колмогорова.

В §1.8 приводится вывод дифференциальных уравнений для моментов высших

Г 1 "

—|у(т)ад(т)

современной стоимости потока А, если известно состояние цепи в момент (.

порядков. Определяется = Е

феменной

л

|у(т)<*|АС

- -и условный момеш Пусть

< °°. В предположении, что ^ — кусочно-непрерывная функция

формулируется следующая теорема, обобщающая дифференциальное уравнение Тиле: Функции Vy(f) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

(0 = iq5j(t) + M,0))v;"'(О -q\° (0- £ (t)£(q\«°k(0)'v,""r40

определенным на (0,/i^-2>> 2) = {t0,...,tm} ,t0 <г, < ...<t„, и условиям vj'"= (0)'- ' e ^ •

Предлагается алгоритм численного интегрирования для нахождения решения уравнений.

В §1.9 рассматривается поведение ретроспективных резервов в окрестности 0. Приводится формула для расчета ретроспективных резервов в различных состояниях марковского процесса в окрестности 0, учитывающая данное определение.

В § 1.10 рассматриваются схемы левого и правого цензурирования для полиса, находящегося в состоянии J0 в момент времени t_ и наблюдаемого на отрезке времени [г,Г]. Вводится определение: Тройка (/,7,/0) называется схемой цензурирования. Приводится выражение для функции правдоподобия Л, соответствующей наблюдениям.

В § 1.11. рассматривается способ оценивания параметрических интенсивностей по

, _ , Э1пЛ д2 In А

методу максимального правдоподобия. Рассматриваются функции ———, -———.

да ов да

Оценка 9 максимального правдоподобия (ОМП) находится как решение' уравнения Э In А / дв = О'*1. На основе свойств распределения ОМП для больших выборок делается вывод о том, что матрица ковариаций ОМП стремится к нулю, если ожидаемое число индивидуумов, подверженных риску в различных состояниях, становится неограниченным.

В §1.12 рассматривается вопрос целесообразности использования дифференциальных уравнений как инструмента для расчета резервов в страховании жизни. Приводятся различные варианты договоров страхования, для которых дифференциальные уравнения незаменимы при построении резервов и определении страховой премии. Рассматривается алгоритм решения таких уравнений для практически важных случаев, при которых можно применять вычислительные процедуры итеративного численного интегрирования.

В главе 2 рассматривается применение дифференциальных уравнений для резервов для решения задач, связанных с актуарными расчетами в страховании и перестраховании жизни.

В §2.1 рассматриваются различные подходы к определению резервов. Отмечается важность для российских страховых компаний проблемы оценки обязательств страховщика по договорам страхования жизни, важнейшей частью которых является расчет страховых резервов. Рассматривается следующий пример: человек в возрасте х (далее будем обозначать его (х)) покупает полис страхования жизни. По данному полису в случае его смерти страховая компания (страховщик) обязуется немедленно выплатить наследникам застрахованного (х) страховую сумму в размере b денежных единиц. Срок страхования - п лет, т.е. обязательства компании считаются истекшими, если (х) доживет до х+n лет. Страховые взносы вносятся непрерывно с постоянной интенсивностью с на протяжении всего срока страхования. Вводятся предположения относительно функции дожития (л:) до возраста x+t лет , рх = Р{ТХ > 1} , силы смертности цх = ¡^¡(х) и силы процента S = const.

s

Перспективные резервы V* (() для двух состояний

jб 3 = {0 =" застрахованный жив"Д ="застрахованный умер") полиса определяются по формулам:

к (0=1 vм „ р„, -е}л) у* (0 = 0.

I

Ретроспективные резервы определяются по формулам:

V,-(/) = с)(1 +,)'-' Л V,-(О = Г(1 + 0'"{CUP.-P,)-Ьл

о ' Ь Р, о

Имея дополнительную информацию о точном времени смерти застрахованного традиционный ретроспективный резерв определяется как

^ t

"Ц>(') =-[(1 + 0'"', РЛс~Ь)лх<г№т. В альтернативном варианте ретроспективный

,Р, о

резерв определяется посредством принципа эквивалентности из следующего соотношения:

В §2.2 рассматривается нахождение формул для вычисления страховых резервов и нетто-премий для примера, рассматриваемого во второй главе и двух его модификаций, учитывающих возврат перспективных и ретроспективных резервов в случае смерти застрахованного.

В §2.3 приводится постановка и решение задачи сравнения эффективности различных методов перестрахования (передачи риска от страховщика-перестрахователя к перестраховщику) с точки зрения перестрахователя. Рассматриваются два способа перестрахования: а) "на базе рисковой премии"; б) "на оригинальных условиях". Рассматривается квотный тип договора перестрахования. С математической точки зрения данные типы договоров перестрахования описываются следующим образом: а) "на базе рисковой премии" — премия перестраховщику на f-ом году действия договора

страхования (полиса) (< = 1.....л-1) определяется в размере Q<7,+,_i , SARX, где Q - доля

перестраховщика (квота), выраженная в %, — вероятность смерти в возрастном

интервале [л, х +1), , SARx - сумма под риском (Sum at Risk), , SARX = b-'V„ (I -1), а в силу (2.1.8) , SARX = b - V0+ (f -1); б) "на оригинальных условиях" — премия перестраховщику на г-ом году действия договора страхования (полиса) (г = 1,...,л-1) определяется в размере Qc

Ожидаемая современная нетто-стоимость представляет собой разность математических ожиданий всех дисконтированных к одному моменту входящих потоков С и исходящих потоков В платежей по полису. В первом случае

л л „_(

NPVx=c\v\p,dT-b(\-Q)lv'1p,ii:,l,dT-QYJv,qx„,px„xSARi, а во втором

О О 1-0 •

NPV2 =c(l-Q)Jvrr p,dr-b(l-Q)]v\p,pxiTdr. о 0

Индекс рентабельности представляет собой отношение суммы всех ожидаемых приведенных на начальный момент доходов к сумме всех ожидаемых приведенных на этот

с [ V г т+йь ] V' г

же момент расходов. В первом случае £/, =—--2-!-, а во

к)»', Р.^„¿т + , рхЖ5ДЛ,

О '=0

cjv'tpгdг + Qbjv'tpx^lJíttdт втором иг = —£---^—;-. Очевидно, что I/, <Чг, если

ь\, г^г н- е? | V', р^т

о о

о (=0

Внутренняя норма доходности определяет ту ставку процента, при которой капитализация всех ожидаемых доходов на завершающую дату их поступления дает сумму, равную наращению за счет недоинвестирования ожидаемых затрат по той же ставке и на ту же дату. Внутренняя норма доходности определяется из уравнения: NPV двустороннего потока = 0.

Срок окупаемости капиталовложений представляет собой промежуток времени, необходимый для того, чтобы затраченный капитал был возвращен с учетом ставки дисконтирования. Он может был. определен при изменении знака следующих выражений

' ' У;'

при / л- в формуле ,рхат-Ь(Х-а)\\>' в

о О <"»0

I г

первом случае, или г рхйх-¿(1 - й)^* г рх/лх+^т во втором случае,

о о

Для получения численных результатов применяется интерполяцию функции дожития 50) = рх линейными функциями вида 8(х) = а„ + Ьпх при п < х <п + 1 с а„ ~(п +1)5(п) - п5(л + ]). При ¡=5% годовых имеем

а 0% 50% 80% 100%

и! 1.1765 0.4952 0.4103 0.3771

иг 1.1765 1.0556 1.0182 1.0000

Как видно из таблицы, индекс рентабельности при использовании перестрахователем второго варианта перестрахования всегда больше, зем при использовании первого варианта.

В §2.4 рассматривается применение дифференциальных уравнений для расчета перспективных и ретроспективных резервов и страховых премий для различных, более зложных, чем описанный в §2.1, договоров страхования жизни и здоровья. Рассматривается полис страхования вдовьей пенсии. По данному полису муж и жена обязаны уплачивать :траховые взносы с интенсивностью с, пока оба живы. Если муж умирает, то жена толучает пенсию с интенсивностью Ь. Срок действия полиса заканчивается при вступлении первого из двух событий: по прошествии п лет, или когда жена умирает. С юмощью дифференциальных уравнений находятся выражения для перспективных и ретроспективных резервов в различных состояниях марковского процесса. Далее рассматривается модифицированный полис, по которому мужу выплачивается ретроспективный резерв, если он овдовеет до момента п. Для него также находятся

выражения для перспективных и ретроспективных резервов в различных состояниях марковского процесса.

Далее рассматривается полис страхования пожизненной пенсии по инвалидности. По данному полису он обязан уплачивать страховые взносы с интенсивностью с, пока он не стал инвалидом вследствие несчастного случая и пока он жив. Если ему бессрочно назначается степень инвалидности, то он начинает получать пенсию с интенсивностью Ь. Срок действия полиса заканчивается, когда он умирает. С помощью дифференциальных уравнений находятся выражения для перспективных и ретроспективных резервов в различных состояниях марковского процесса. Далее рассматривается модифицированный полис, по которому в случае смерти застрахованного лица, до момента времени п страховая компания возвращает его родственникам сумму, равную величине ретроспективного резерва. Также рассматриваются дифференциальные уравнения и находятся их решения в случае, когда страховщик несет расходы по ведению дела.

В § 2.5 приводится общее описание параметров оценивания платежеспособности страховой компании с помощью используемого в диссертационной работе аппарата. Общая величина всех платежей определяется как сумма платежей по индивидуальным полисам портфеля договоров страхования жизни, А = ^ А,, где А, - платежи по полису № г.

Вводятся предположения о том, что все А, - потоки платежей по каждому / - му полису из портфеля полисов страхования жизни стохастически независимы. Излишек, созданный платежами, инвестируется под проценты и приносит доход при силе процента 8(г) в каждый момент времени I. Соответствующая функция дисконтирования у(/) = е"Л(,), где

' Г

д(г) = является накопленной интенсивностью (интерпретируемой как |если

о '

г <0). Предполагается также, что Д- стохастический процесс, и что процессы А, и V -стохастически независимы. Далее находятся моменты первого и второго порядков дисконтированных величин, а также ЕА(Л) и Е{а(<Ь)а(<&)}. Чтобы обеспечить выплату сумм по обязательствам, заявки иа которые могут поступить сверх ожидаемого размера, вводится дополнительный флуктуационный резерв, называемый резервом колебаний убыточности: Я = ЕУ + 2-яУагУ Далее для описанной модели рассматривается один пример анализа платежеспособности для портфеля стандартных полисов страхования жизни.

В главе 3 рассматривается построение и применение систем бонус-малус и теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании, а именно, в страховании автогражданской ответственности.

В § 3.1 приводятся общие принципы тарификации договоров рискового страхования. Вводится градация тарифов на средние, дифференцированные и индивидуальные. Последние, в свою очередь, часто определяются путем апостериорной индивидуализации дифференцированных или средних тарифов, базирующихся на системе скидок-надбавок (системе бонус-малус). При этой многоступенчатой тарифной системе премия ежегодно изменяется в зависимости от индивидуальной убыточности в предыдущем году отдельного страхователя (полисодержателя): при отсутствии убытков -через скидку (бонус), а при одном или нескольких убытках - через надбавку (мапус). Такие системы применяются чаще всего в различных видах страхования автотранспортных средств.

Рассматривается математическая модель, в которой априорной (доопытной) характеристикой всех риской данной группы на всех страховых периодах служит для

простоты одномерная случайная величина (СВ) 0 с функцией распределения (ФР) РМ = < < х < Например, каждому владельцу автомашины из некоторой

первичной группы рисков может соответствовать свое постоянное для многих периодов значение в СВ 0 . Это значение 9 может служить постоянным параметром, например, интенсивностью закона распределения числа исков данного владельца полиса страховщику за один период.

В § 3.2 вводится формальное определение системы бонус-малус. Под этой системой понимают основанную на индивидуальных статистических данных систему премий, которая состоит из следующих элементов: 1. Для всех рассматриваемых рисков устанавливается одинаковый период страхования, как правило, один год. 2. Все полисы

принадлежат конечному множеству 1={1,2.....J) базисных бонусных классов, причем в

течение одного страхового периода полис не меняет класс. 3. Премия за один период для всех полисов в классе У равна л(_)€ Л . Вектор я = (л(1),...,я(У)) называется шкалой бонусов. Для удобства бонусная шкала из J упорядочена так, что я(]) > 7Г(у +1), = 1, У -1. 4. В начальном периоде страхования все полисы находятся в одном и том же начальном классе ;0 б 1. 5. Установлено множество Т правил изменения бонусных классов, которые определяют бонусный класс полиса в предстоящем

периоде и + 1 как функцию его бонусного класса е I и числа Хп-0 его исков в

предыдущем периоде п: го = у0, - п = 1,2..... При этом

g(i,r)> g(i,r + l),r = 0,1,..., т.е. увеличение случаев ущерба за период не может увеличить бонусный класс полиса.

При фиксированной длине страхового периода СБМ 5 может быть задана с помощью четырех величин^ =<1,у0,Т,я >. Множество Т правил перехода для бонусных классов задается в виде матрицы Т = 1 размерности JxJ, элемент Т^ которой

равен множеству из чисел г ущербов, г б {0,1,2,...), при котором класс 1 переходит в класс ], или Тц равно пустому множеству 0, если этот переход невозможен. Довольно часто в настоящее время СБМ задаются в виде таблицы, где в первом столбце указываются бонусные классы с указанием начального класса _/„, во втором столбце - соответствующие им премии, а в верхней строке - количество г ДТП (исков), совершенных страхователями за год. На пересечении соответствующих строки ] и столбца г находится элемент, обозначающий новый бонусный (малусный) класс, в который в следующем году попадет страхователь и ассоциированный с ним полис. Приводятся примеры швейцарской и немецкой СБМ.

В § 3.3 рассматривается возможность использования распределения Пуассона для однородного страхового портфеля. Предполагается, что у всех страхователей уровень риска одинаков. Вероятность наступления страхового случая одинакова для каждого страхователя. Таким образом, страховой портфель однороден, и нет никаких оснований применять СБМ, поощряя или наказывая страхователей. Данная ситуация описывается с помощью распределения Пуассона.

Вводится Х(г) — число исков, предъявляемых страхователем к страховщику на временном интервале I. Предполагается, что случайный процесс {Ж')),го с интенсивностью 0 > 0 является пуассоновским. При / = 1 Х(1) = X * Ро^в). Далее приводится пример распределения числа страховых случаев для портфеля, содержащего п = 106974 полисов. С помощью метода моментов находится оценка параметра

распределения Пуассона для данного портфеля. С помощью критерия X сравниваются получившиеся теоретические и выборочные частоты, и отвергается гипотеза об однородности портфеля.

В § 3.4 рассматривается возможность использования отрицательно-биномиального распределения для неоднородного страхового портфеля. Как и ранее, вводится Х(1) — число исков, предъявляемых страхователем к страховщику на временном интервале 1 . Предполагается, что случайный процесс /го с интенсивностью 0 > 0 является

пуассоновским, причем значение параметра в меняется от одного страхователя к другому. При таком подходе 9 рассматривается как наблюденное значение СВ ©«Г(а,0). При

/ = 1Х(1) = Х °с №

Р I ~

а, I. С помощью метода моментов находится оценка параметра 1 + р

отрицательно-биномиального распределения распределения для рассматриваемого

V2

портфеля. С помощью критерия * сравниваются получившиеся теоретические и выборочные частоты, и принимается гипотеза об однородности портфеля.

В § 3.5 проводится описание алгоритма статистического моделирования СБМ. Анализируются две реальные СБМ: Германии (введена в действие с 1994 г.) и Швейцарии (введена в действие с 1990 г.). Моделируется портфель размером N-100 полисов, содержащий информацию о числе ДТП каждого полисодержателя в течение каждого из Т = 30 лет наблюдения. По таблицам 1 и 2 вычисляются соответствующие каждому

полисодержателю у класс Л и премия л, О,) для каждого г = 0,30, $ = 1,100. Затем

_ 1 мо ^ _

вычисляется средняя премия Л, = 0,30 для рассматриваемых моделей.

101) 1«1

Приводятся соответствующие графики. Стремление к пределу или стабилизация СБМ на верхних бонусных классах означает, что большинство страхователей постепенно перемещается в более выгодные для них бонусные классы. Это заставляет страховые компании ужесточить свои СБМ.

В § 3.6 рассматривается способ определения оптимальной шкалы премий. Вводится

определение: Ш = 4«№-<)1 = | ЕЙ0)-«(ЛЬ!ОЖ«) - средняя

ве8 №

квадратическая ошибка тарификации в периоде п для всей группы рисков 0 при фиксированной К и некотором тг„ е П. Здесь т(в) = е[х |0=е]=£[х|0 = е1 ; = 1,п - условное математическое ожидание величины ущерба, приносимого портфелю некоторым риском 9 , и, в силу принципа финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, индивидуальная страховая премия для данного риска

(полиса). Тогда оптимальная тарифная шкала л* находится из условия . Блуждание риска 0 по различным классам из Л, задаваемое с

я„еП

■ув _

помощью случайного элемента •¿„, описывается с помощью простои одномерной цепи Маркова (1„)лго со следующими переходными вероятностями:

р[, = Н?!*. = ] 1=«} г,Л,п = 0,1.....

В силу независимости от п абсолютные вероятности Р*(]), состояний

однородной цепи Маркова (О«го однозначно определяются с помощью системы линейных уравнений Колмогорова-Чепмена с матрицей коэффициентов = (р",

(/>„" (1).....V)) = (/>„"(1).....(У))Р8 £ = 1

В § 3.7 рассматриваются модели Бюльмана-Штрауба и Бюльмана и в рамках этих моделей строится достоверная премия для полисов автотранспортного страхования. В модели Бюльмана-Штрауба рассматривается некоторая группа полисов, сходных по рисковым характеристикам, из портфеля рисков страховой компании. Вводятся следующие обозначения: У/ - общий размер убытков данной группы в году ]; - некоторый показатель, характеризующий объем бизнеса, например, число полисов, входящих в данную группу (образующих данный риск) в году ]. Предполагается, что все. -известные неслучайные величины; X1 = / ИЛ - убытки в году ] по одному полису из группы; ц = ЕХ ] - ЕХ, ] - \,п — коллективная страховая премия для некоторого класса полисов, содержащих данный; т(в) = е\х] |0 =б]= Е\Х |0 =0} ] = 1,л— индивидуальная страховая премия для данного риска (полиса).

При определенных предположениях с помощью подбора коэффициентов

я0-а......... минимизирующих среднеквадратическую ошибку тарификации

О(а0,а1,...,ап) = Е[т(в)-аа, находится линейная

достоверная (лучшая в смысле минимизации) оценка для премии, назначаемой полису из данной группы в году п +• 1. Находятся несмещенные оценю! для Е[т(0)],Е[$г(9)]Уаг[т(в)], функциями от которых являются о0,а1,...,аЩш

Модель Бюльмана получается как частный случай модели Бюльмана-Штрауба, когда в каждой группе находится только один полис.

В § 3.8 рассматриваются достоверные оценки с геометрическими весами. Вводится понятие достоверных оценок с геометрическими весами: =(1 -с)Хп+стп, п = 1,2,...,

т\ = устанавливается способ задания оценок такого вида: м„ц =(1-с)Хс" +с"/г.

»♦I

Вводится определение функции ожидаемой квадратической потери от применения тшI, не

учитывающей возраст полиса: <2ЛС)= -т(0)Г = |[тл+1 -тф^сННв), „

в€в

определение функции ожидаемой квадратической потери от применения

учитывающей возраст полиса: <2<с) = - »"(б)]3 = ~ т(0)]2<1и(в) _

«€в

Рассматривается вопрос нахождения локального минимума этой функции на (0,1).

В § 3.9 определяется понятие бонусного голода как незаявление страхователями страховых требований по мелким убыткам, поскольку увеличение будущей премии в результате заявления может превысить сам размер убытка. Для простоты предполагается, что полис остается в портфеле страховщика навсегда. Вводится предположение о распределении размеров убытков и ряд других предположений. Если

страхователь сообщает о произошедшем убытке тогда и только тогда, когда он превышает 5, то в году п его индивидуальная премия будет составлять , где символом

1 обозначается отношение соответствующих величин к убыткам, превышающим я. При 1-е

этом * - уз^ • В качестве критерия для нахождения с применяется критерий, который можно интерпретировать как минимизацию накопленной дисконтированной ожидаемой

квадратичной ошибки от применения всех будущих достоверных оценок. Рассчитываются оптимальные значения suc, используя в качестве функции распределения размеров убытков распределение Парето.

В Приложении 1 приводятся некоторые определения и теоремы из теории мартингалов и семимартингалов, а в Приложении 2 - справка о внедрении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В первой главе приводится вывод и решение уравнений для перспективных и ретроспективных резервов в страховании жизни в системах, описываемых марковскими процессами с непрерывным временем.

2. Во второй главе решаются задачи нахождения перспективных и ретроспективных резервов, связанные с применением описанных в первой главе дифференциальных уравнений в различных типах договоров страхования и перестрахования жизни и здоровья. Предлагаются эффективные алгоритмы и результаты численного анализа ряда практически важных примеров.

3. В третьей главе анализируются системы тарификации при страховании автогражданской ответственности. Существующее во многих странах, включая Беларусь, и готовящееся в РФ обязательное страхование АГО всеми автомобилистами, нуждается в серьезных расчетах. Полученные в третьей главе результаты стохастического моделирования ряда реальных систем бонус-малус (скидок и надбавок) позволяют прогнозировать при их использовании изменение среднего страхового взноса, который на практике за несколько лет уменьшается более, чем вдвое, что может нанести страховой компании серьезный ущерб. Рассматриваются различные способы апостериорной тарификации в автотранспортном страховании для марковских и немарковских систем, в частности, достоверные оценки с геометрическими весами.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания // Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН. 15-23 мая 1995 г. - 1995. -С. 82.

2. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН, Серия "Прикладная математика и информатика". - 1996.- № 1.- С.57-76.

3. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. - 1997. - № 12. - С. 34-41.

4. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни // Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г. - 1998. - С. 6-7.

5. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. - 1998. - № 1. - С. 52-57.

6. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. - 1998. - № 6. - С. 43-50.

7. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни /У Вестник РУДН, Серия "Прикладная математика и информатика". - 1999. - № 1. - С.78-91.

8. Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова для сравнения рентабельности различных договоров перестрахования // Тезисы докладов XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания, РУДН, 24-28 мая 1999 г. - 1999. - С. 44-45.

9. Башарин Т.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН, Серия "Прикладная математика и информатика". - 2000. - № 1. - С.37-48.

10. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Численный анализ систем бонус-малус в автомобильном страховании // Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г. - 2000. - С. 38.

11. Сухинин В.Ю. Элементы планирования дохода от инвестирования страховых средств // Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г. - 2000. - С. 37.

Сухинин Владимир Юрьевич (Россия).

Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем

В диссертации приведены основные определения перспективных и ретроспективных резервов в страховании жизни, выведены дифференциальные уравнения для этих резервов в системах, описываемых марковскими процессами с непрерывным временем. Рассмотрены методы решения таких уравнений. В наиболее распространенных в страховании жизни частных случаях выводятся формулы для страховых резервов и нетто-премий. Ставится и решается с помощью рассмотренных моделей задача сравнения эффективности различных способов заключения договоров перестрахования жизни. Рассматриваются марковские системы в автотранспортном страховании. Для немецких и швейцарских систем бонус-малус при определенных предположениях о распределении числа убытков моделируется . будущая финансовая история страховых полисов. С помощью теории достоверного оценивания получаются различные методы апостериорной тарификации, в том числе достоверные оценки с геометрическими весами.

Vladimir Yu. Sukhinin (Russia).

Construction and use of probability models for Markov systems in different sectors of insurance.

In the thesis basic definitions of prospective and retrospective reserves in life insurance are formulated, differential equations for these reserves in systems, governed by time-continuous Markov processes, are derived. Solution methods for these equations are considered. In most common particular cases in life and health insurance formulae for these reserves and net premiums are derived. The problem of effectiveness of different life reinsurance methods is posed and solved with a use of models in question. Markov systems in automobile insurance are considered. Under certain assumptions the distribution of the number of claims future insurance policy claim experience is simulated for some German and Swiss bonus-malus systems. With a use of credibility theory different aposteriori experience rating methods are constructed, including such ones as credibility estimators with geometric weights. The impact of "bonus hunger" is described and analysed.

¿3Ш 2CL-& <9(Pieces /и .j. 7ct p -¿<£<P. 7-с A

у J. 2\ ^¿v^V /О-*-, ¿/ n/z /^-y/j//-

ВВЕДЕНИЕ 5

ГЛАВА 1. Вывод и решение дифференциальных уравнений для 11перспективных и ретроспективных резервов в страховании жизни

§1.1. Общие определения резервов в страховании 11жизни и некоторые соотношения между ними

§1.2. Применение марковских процессов с 17непрерывным временем при моделировании полисов страхования жизни и аннуитетов

§1.3. Марковские условные процессы с непрерывным 24временем

§ 1.4. Резервы в модели марковского процесса 25

§1.5. Дифференциальные уравнения для 27перспективных резервов в различных состояниях процесса

§1.6. Дифференциальные уравнения для 29ретроспективных резервов в различных состояниях процесса

§1.7. Связь уравнений для перспективных и 31ретроспективных резервов с обратными и прямыми уравнениями Колмогорова

§1.8. Дифференциальные уравнения для моментов 32высших порядков

§1.9. Поведение ретроспективных резервов в окрестности

§1.10. Правдоподобие для марковских процессов с непрерывным временем

§ 1.11. Оценивание параметрических интенсивностей 36-38 по методу максимального правдоподобия

§1.12. Алгоритм расчета резервов в страховании жизни 38-39 с помощью дифференциальных уравнений

ГЛАВА 2. Применение дифференциальных уравнений для 40-70 резервов для решения задач, связанных с актуарными расчетами в страховании жизни

§2.1. Различные подходы к определению резервов 40

§2.2. Страховые резервы и нетто-премии 44

§2.3. Сравнение эффективности различных методов 46-52 перестрахования с точки зрения перестрахователя

§2.4. Применение дифференциальных уравнений для 53-64 расчета перспективных и ретроспективных резервов и страховых премий для различных типов договоров страхования жизни

§2.5. Общее описание параметров оценивания 65-70 платежеспособности страховой компании

ГЛАВА 3. Системы бонус-малус и теория достоверного 71-101 оценивания в автотранспортном страховании

§3.1. Общие принципы тарификации 71

§ 3.2. Определение системы бонус-малус 74

§ 3.3. Использование распределения Пуассона для 79-81 однородного страхового портфеля

§ 3.4. Использование отрицательно-биномиального 81распределения для неоднородного страхового портфеля

§ 3.5. Описание алгоритма статистического 83моделирования СБМ

§ 3.6. Определение оптимальной шкалы премий 85

§ 3.7. Достоверная премия: модели Бюльмана-Штрауба 87-90 и Бюльмана

§ 3.8. Достоверные оценки с геометрическими весами 90

§ 3.9. Бонусный голод 94

§ 3.10. Заключительные положения

Актуальность проблемы.

1. Развитие актуарной науки в России и других странах. Моделирование - один из самых распространенных и доступных приемов изучения реальных процессов, происходящих в экономике, в частности, в страховом бизнесе. В силу своей специфики страхование, как финансовый институт, имеет своей целью обеспечение страхователей, т.е. физических лиц, заключающих договоры страхования или третьих лиц, в пользу которых они заключены, денежными средствами при наступлении страховых случаев. Последние, в свою очередь, являются реализацией неких случайных событий, качественно и количественно судить о которых можно, изучив степень риска того или иного конкретного договора страхования. Это, безусловно, делает вероятностное (стохастическое) моделирование одним из наиболее важных инструментов при принятии решений о ведении дел в страховых компаниях.

Следует заметить, что количественной оценкой риска занимаются актуарии - специалисты в страховой (актуарной) математике. Основы актуарной теории как особой отрасли науки были заложены в XVII в. работами таких ученых, как Д. Граунт , Я. Де Витт, Э. Галлей. Э. Галлей определил основные функции таблиц смертности, исчислил вероятности дожития и смерти, ввел понятие средней продолжительности жизни, исчислил тарифы по страхованию ренты. К концу XVII - началу XVIII века страхование жизни встало на научную основу. В XVIII веке актуарную теорию разрабатывали ряд ученых, включая знаменитых российских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера.

Зачатки стохастического исчисления актуарная наука ассимилировала около столетия назад. Дифференциальные уравнения для вероятности возможного разорения компании были получены Лундбергом еще в 1903 г., когда понятие стохастического процесса не было еще точно определено. С начала 20 века в Европе и США актуарная математика получила мощный стимул для дальнейшего развития благодаря огромному вкладу в нее таких выдающихся математиков, как Г. Крамер, В. Феллер, А. Лотка, а также, позднее, таких известных ученых-актуариев, как Н. Bühlmann, H.U. Gerber, C.D. Daykin, Р. Embrechts, R. Norberg, P. Petauton и других [13, 42, 44, 40, 21, 22,47-52].

На рубеже 19 и 20 веков в России быстро развивалось страховое дело и актуарные практика, образование и наука, что нашло свое отражение в работах Б.Ф. Малешевского, Н.С. Лунского, Ф.А. Бабаловича, П.М. Гончарова и многих других. После монополизации страхового дела в СССР существовало только две страховые организации: Госстрах и Ингосстрах, что не стимулировало развитие актуарной науки. Однако, и в СССР продолжались работы по актуарной науке и смежным проблемам демографии, что нашло свое яркое отражение в трудах таких ученых, как Кагаловская Э.Т., Калихман А.И., Мотылев Л.А., Рейтман Л.И., Четыркин Е.М. и ряда других.

С начала 90-х годов в России в области страховой и финансовой математики активно работают такие известные ученые, как Ширяев А.Н., Четыркин Е.М., Фалин Г.И., Башарин Г.П., Булинская Е.В., Виноградов О.П., Королев В.Ю., Мельников A.B., Ротарь В.И., Шоргин С.Я. и другие [35-37, 33, 34,31,32, 2-12, 24, 17, 38, 39].

По инициативе заведующего кафедрой теории вероятностей, профессора, академика АН УССР Гнеденко Б.В. и ректората МГУ им. М.В. Ломоносова в 1993 г. на механико-математическом факультете была открыта экономико-математическая специализация, основой которой служила страховая и финансовая математика. Аналогичную работу на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ проделал профессор кафедры исследования операций Ашманов С.А., а в 1995 г. на экономическом факультете МГУ была создана кафедра управления риском. В 1994 г. на базе МГУ было создано Российское Общество Актуариев, первым президентом которого стал член-корреспондент РАН Ширяев А.Н.

С 1994 г. по инициативе руководства Российского университета дружбы народов на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук в рамках специальности "Прикладная математика и информатика" читается цикл актуарных дисциплин и производится выпуск бакалавров и магистров.

Учебная и исследовательская работа в этом направлении проводится в ряде ведущих вузов Москвы, Санкт-Петербурга и некоторых других городов России в рамках экономических и экономико-математических специализаций.

2. Актуальность работы. Теория стохастического исчисления, которая свое развитие получила, в основном, в последние полвека, дает возможность унифицированного подхода к широкому классу задач, связанных с предсказанием поведения в будущем страховых договора, портфеля или предприятия на основе прошлой истории. Подходящие версии теоремы Дуба о свободном выборе и цепное правило для семимартингалов (обобщенная формула Ито) вместе с разложением Дуба-Мейера и некоторые элементарные факты из теории мартингалов дают интегральные, дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения и для моментов современных стоимостей финансовых потоков, для вероятности разорения и других функций, имеющих практический интерес. Подход работает в достаточно сложных моделях, способных отвечать реальным системам, минимизируя как риск ответственности страховой компании перед клиентами, так и риск размещения активов.

Очень часто достаточно сложные системы, описывающие финансовые взаимоотношения страховой компании (страховщика) и ее клиента (страхователя), обладают свойством Маркова, т.е. отсутствием памяти.

Иными словами, в каждый момент действия договора страхования возникающие финансовые потоки определяются ситуацией, сложившейся непосредственно к этому моменту, и не зависят от предыдущей истории этих взаимоотношений. Примерами таких систем являются финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования жизни определенного вида или договоров страхования автогражданской ответственности. Поскольку такие договоры заключаются наиболее часто и являются классическими с точки зрения теории страхования и поскольку изучены и применяются на практике далеко не все математические аспекты, связанные с ними, то выбор темы исследования представляется достаточно актуальным.

Целью данной диссертационной работы является изучение, систематизация и дальнейшее развитие вероятностных моделей, широко используемых в актуарной математике при исследовании страховых систем, обладающих свойством Маркова, а в некоторых случаях и без него, и применение полученных результатов в практической деятельности.

Методы исследований. В работе использованы методы теории вероятностей, математической статистики, актуарной и финансовой математики, математической демографии.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

- с помощью дифференциальных уравнений для резервов в страховании жизни получены новые формулы для расчета нетто- и брутто-премий по страхованию пенсии по инвалидности, удобные для практического применения; построена и исследована математическая модель финансовой деятельности страховой компании при осуществлении ей перестрахования жизни для двух различных типов договоров перестрахования;

- тарифы существующего во многих странах, включая Беларусь, и готовящегося в РФ обязательного страхования автогражданской ответственности, основаны на использовании системы бонус-малус (скидок и надбавок) и нуждаются в серьезных расчетах. Полученные в третьей главе результаты позволяют прогнозировать изменение страховых взносов, которые на практике за несколько лет уменьшаются более чем вдвое, что может нанести страховой компании большие убытки.

Практическая ценность работы. Большинство вероятностных и статистических методов, описанных в диссертации, применимо и частично уже было использовано в работе страховых и перестраховочных компаний. Результаты диссертации могут быть полезны при принятии решений о заключении договоров перестрахования на основе изучения финансовых показателей перестраховочной деятельности. Приведенные в диссертации формулы позволяют рассчитать страховые резервы и страховые премии для различных типов договоров страхования жизни. Кроме того, полученные результаты позволяют смоделировать финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования. Результаты Главы 4, позволяют органам страхового надзора и страховым компаниям при страховании автогражданской ответственности обоснованно вводить в действие системы бонус-малус. Публикации по теме диссертации и результаты работы использовались на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов в студенческих НИР, выпускных работах бакалавров и магистерских диссертациях.

Реализация результатов работы. Исследования проводились по плану госбюджетных НИР Российского университета дружбы народов "Математические методы и модели в демографии и страховании" государственный регистрационный номер 01.20.00 06593). В ЗАО "Страховом обществе "ЛК-Сити" на практике проводилось сравнение эффективности рассмотренных автором различных методов перестрахования с точки зрения перестрахователя, что подтверждается справкой о внедрении. В результате наиболее эффективным был признан метод, рекомендуемый автором в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ХХХ1-ХХХУ научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1995-1999 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 58 наименований и двух приложений. Диссертация содержит 108 страниц текста, 5 рисунков, 11 таблиц.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1.Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15-23 мая 1995 г, С. 82.

2. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, № 1, С.57-76.

3. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. 1997, № 12, С. 34-41.

4. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г, С. 6-7.

5. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. 1998, № 1, С. 52-57.

6. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. 1998, № 6, с.с. 43-50.

7. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1999, № 1, С.78-91.

8. Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова для сравнения рентабельности различных договоров перестрахования. Тезисы докладов XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания, РУДН, 24-28 мая 1999 г, С. 44-45.

9. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 2000, № 1, с.с.37-48.

10. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Численный анализ систем бонус-малус в автомобильном страховании. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г, С. 38.

11. Сухинин В.Ю. Элементы планирования дохода от инвестирования страховых средств. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22-26 мая 2000 г, С. 37.

Заключение

1. Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Построение таблиц продолжительности жизни по данным внутренней статистики НПФ // М.: "Пенсионные фонды", 1996, №4.

2. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: "Инфра-М", 1997.

3. Башарин Т.П., Коломин Е.В. Теория построения индивидуальных тарифов с использованием системы бонус-малус // Страховое дело. 1995, № 10, С. 3138.

4. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15-23 мая 1995 г., С. 82.

5. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, № 1, С.57-76.

6. Башарин Т.П., Сухинин В.Ю. Теория стабильной популяции в демографии // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1996, №2, С. 44-60.

7. Башарин Т.П., Сухинин В.Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19-22 мая 1998 г., С. 6-7.

8. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1999, № 1 С.78-91.

9. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Оценка чистой функции материнства в демографической теории стабильной популяции // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1997, №1, С. 27-36.

10. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Распределение возраста обнаружения опасного хронического заболевания // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 1998, №1, С. 65-76.

11. Башарин Г.П., Сухинин В.Ю., Солохина Т.Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика". М.: Изд-во РУДН, 2000, № 1, С.37-48.

12. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: Мир, 1995.

13. Ефимов C.JI. Энциклопедический словарь. Экономика и страхование. М.: "Церих-ПЭЛ", 1996.1-Х.

14. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. М.: Изд. ПРИОР, 1998.

15. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. 1998, № 1, С. 52-57.

16. Крихели М., Шоргин С. Подход к расчету перестраховочной квоты для квотно-пропорционального перестрахования и его реализация // Страховое дело. 1998, №6, С. 51-55.

17. Лемер Ж. Автомобильное страхование. М.: "Янус-ЕС", 1998.

18. Лемер Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании. М.: "Янус-К", 1998.

19. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. 1998, № 6, С. 43-50.

20. Норберг Р. Стохастическое исчисление в актуарной науке (перевод с англ. Т.Б. Толозовой) // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995, т. 2, в. 5, С. 823-848.

21. Норберг Р. Методы стохастического анализа в страховании жизни // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998, т. 5, в. 1, С. 83-116.

22. Плаксина H.H. , Сухинин В.Ю. Анализ современной динамики заболеваемости туберкулезом в России. Материалы научной конференции "Ломоносов -98", МГУ, экономический факультет, Совет молодых ученых. М.: ТЕИС, 1998, С.28-37.

23. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994, т. 1, в. 5, С. 698-779.

24. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. 1997, № 12, С. 34-41.

25. Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Оценка чистой функции материнства в демографической теории стабильной популяции. Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 20-24 мая 1997 г, С. 96.

26. Сухинин В.Ю., Плаксина H.H. Анализ динамики заболеваемости туберкулезом в России. Тезисы докладов международной научной конференции "Ломоносов -98", МГУ. М.: Диалог МГУ, 1998, С. 28-30.

27. Сухинин В., Плаксина Н., Новожилова Н. 2040-й год: что век грядущий нам готовит? // Страховое дело. 1998, № 5, С. 21-27.

28. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994.

29. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Изд. мех.-мат. ф-таМГУ, 1996.

30. Четыркин Е.М. Актуарные методы в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999.

31. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2000.

32. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: "Наука", 1989.

33. Ширяев А.Н. Актуарное и финансовое дело: современное состояние и перспективы развития // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994, т.1, в. 5, С. 684-697.

34. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. М.: "Фазис", 1998, т.1: "Факты и модели".

35. Шоргин С.Я. Асимптотические оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997, т. 4, в. 1, С. 124-156.

36. Шоргин С .Я. Верхние оценки оптимальных страховых тарифов в условиях вариации страховых сумм // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998, т. 5, в. 1, С. 147-172.

37. Эмбрехтс П., Клюппельберг К. Некоторые аспекты страховой математики // Теория вероятностей и ее применения. 1993, т. 38, в. 2, С. 375-416.

38. Borgan О., Ноет J.M., Norberg R. A Nonasymptotic Criterion for the Evaluation of Automobile Bonus Systems // Scandinavian Actuarial Journal, 1981, P. 165-178.

39. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Itasca, IL: The Society of Actuaries, 1986.

40. Bremaud P. Point processes and queues. New-York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1981, Section III.3.

41. Daykin C.D., Pentikainen Т., M. Pesonen. Practical Risk Theory for Actuaries. London: Chapman & Hall, 1996.

42. Higgins R.C. Analysis for Financial Management. 3rd edition. Homewood, IL, Boston, MA: IRWIN, 1992.

43. Neuhaus W. A bonus-malus system in automobile insurance // Insurance: Mathematics&Economics. 1998, # 7, P.103-112.

44. Norberg R. A Credibility Theory for Automobile Bonus Systems // Scandinavian Actuarial Journal, 1976, P. 92-107.

45. Norberg R. The Credibility Approach to Experience Rating // Scandinavian Actuarial Journal, 1979, P. 181-221.

46. Norberg R. Reserves in Life and Pension Insurance // Scandinavian Actuarial Journal, 1991, #1, P. 3-24.

47. Norberg R. Hattendorff s Theorem and Thiele's Differential Equation Generalised // Scandinavian Actuarial Journal, 1992, #1, P. 2-14.

48. Norberg R. A Solvency Study in Life Insurance // Proceedings of the 3rd AFIR Colloquium, 1993, v.2, P. 821-830.

49. Norberg R. Differential Equations for Moments of Present Values in Life Insurance // Insurance: Mathematics & Economics, 1995.

50. Sundt B. Credibility estimators with geometric weights // Insurance: Mathematics & Economics, 1988, # 7, 113-122.

51. Sundt B. Bonus hunger and credibility estimators with geometric weights // Insurance: Mathematics & Economics, 1989, # 8, 119-126.

52. Tiller J.E., Jr., Fagerberg D. "Life, Health and Annuity Reinsurance". Winsted, CT: ACTEX Publications, Inc., 1990.

53. Vatter C. Simulation of automobile insurance bonus-malus systems // American journal of Mathematical Sciences. V. 17, # 3-4, P. 329-368.

54. Walhin J.F., Paris J. Using Mixed Poisson Processes in Connection with BonusMalus Systems // ASTIN Bulletin, 1999, V. 29, # 1, P. 81-99.

55. Waters H.R. Credibility theory. Edinburgh: Heriot-Watt University, Department of Actuarial mathematics and Statistics, 1993.