автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и оценивания в скрытых марковских системах при обработке разнородной информации

На правах рукописи

Борисов Андрей Владимирович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОЦЕНИВАНИЯ В СКРЫТЫХ МАРКОВСКИХ СИСТЕМАХ ПРИ ОБРАБОТКЕ РАЗНОРОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Специальность 05 13 01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Москва - 2008 год

003444965

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный консультант — доктор физико-математических наук

профессор Панков Алексей Ростиславович

Официальные оппоненты — академик РАН, доктор технических наук

профессор Кузнецов Николай Александрович

— доктор физико-математических наук Добровидов Александр Викторович

— доктор физико-математических наук профессор Пантелеев Андрей Владимирович

Ведущая организация — факультет вычислительной математики

и кибернетики Московского государственного университета

Защита состоится 3 октября 2008 г. в 12 часов на заседании Диссертационного Совета Д 212 125 04 Московского авиационного института по адресу 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института по адресу 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ

Автореферат разослан 5 июня 2008 года

Отзывы просим отправлять в 2-х экземплярах, заверенных печатью, по адресу 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый совет МАИ

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 212 125 04 кандидат физико-математических наук

Ротанина М В

-3-

Общая характеристика работы Актуальность работы. Формальные математические методы обработки информации и анализа сложных динамических объектов заняли законное место в инструментарии решения разнообразных прикладных задач управления и оптимизации в технических, экономических, социальных и других реальных системах Для их эффективного решения ключевым условием является выбор адекватной математической модели явлений, протекающих при наличии случайных воздействий и априорной неопределенности Для ряда технических задач набор таких моделей и соответствующий математический аппарат уже существует Наличие этих моделей определено высокой изученностью указанных систем и явлений, и наличием соответствующих детерминистических законов физики Использование для решения задач анализа, оценивания и оптимизации в таких системах со случайными возмущениями классической теории стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с винеровскими процессами представляется исчерпывающим

В то же время существует ряд явлений и порожденных ими задач анализа и управления, формальное описание которых с помощью известных математических моделей является недостаточным Для них предложен некоторый набор моделей, однако они являются "локальными", то есть условия их адекватности и применимости весьма обременительны К подобным явлениям в области авиационной и ракетно-космической техники относится, например, движение маневрирующего летательного аппарата в турбулентной атмосфере в условиях неопределенных управляющих воздействий, и связанные с ним задачи слежения и наведения К этому же классу принадлежат задачи обнаружения, распознавания и сопровождения множественных воздушных целей в условиях помех различного рода

Случайные процессы такого вида обладают общей ключевой особенностью они представляют собой "склейку" решений разных СДУ, проведенную в случайные моменты времени При этом закон смены "локальных" моделей также случаен Для обозначения таких систем одним из наиболее употребляемых является термин " системы со случайной структурой" Исследование задач анализа, оценивания и оптимизации в этих системах различными математическими средствами выполнялось и ранее В нашей стране идеи использования таких систем были изложены в 1961 г в цикле статей1 в качестве возможного подхода к решению одной прикладной задачи стабилизации Развернутое описание диффузионного процесса со случайной структурой п переключениями в виде марковского скачкообразного процесса (МСП) с конечным числом состояний было приведено в пионерской статье РЛ Стратоновича2, а затем и в его классической монографии3 С объектами такою рода автор связывал понятие условно-марковского процесса В дальнейшем теоретические результаты по анализу, оцениванию и управлению, а также методы и численные алгоритмы решения различных прикладных задач были предложены Т А Авериной, В М Артемьевым, Р Бро-кеттом, В А Бухалевым, В А Васильевым, Н С Деминым, А В Добровидовым, В В Домбровским, С В Емельяновым, Т В Завьяловой, С С Ломакиной, И Е Казаковым, И Я Кацем, Г М Кошкиным, Н А Кузнецовым, Д Либерзоном, П В Пакшиным,

1 Красовский И Н, Лидский Э А Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами, 1-Ш // Автоматика и телемеханика — 1961 — Т 22, N0 9-11

2 Стратонович Р Л Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и ее применения — 1960 — Т 5, Ь о 2 — С 172-195

3 Стратонович Р Л Условные, марковские процессы и их применение к теории оптимального управления — М Изд-во МГУ, 1965

А В Пантелеевым, В С Пугачевым, В Г Репиным, К А Рыбаковым, И Н Синицы-ным, А Н и Ф А Скляревичами, В И Смагиным, И JI Сотсковой, Г А Тимофеевой, В И Уткиным и др

В 1966 г4 Л Баум и Т Петри ввели понятие "скрытой марковской модели" (СММ) как случайной функции от марковской цепи Начиная с этого времени, исследования СММ разделилось на ряд направлений5,6 Это деление обусловлено подклассами исследуемых процессов, рассматриваемыми задачами, методами их решения и областями применения Анализ СММ как частного случая временных рядов (включая вопросы эргодичности, стационарности и устойчивости), а также задачи оценивания/идентификации и статистических выводов о таких моделях исследовались И А Богуславским, М Ю Бородовским, П Бриантом, Дж Вильямсоном, А Витерби, Дж Гамильтоном,Г К Голубевым, О Н Граничиным, Р Греем, В Женон-Катало, О Зей-тони, X Ито, Дж Киффером, К Кобаяси, Т Ковером, В Кришнамурти, В Ларедо, Б Jlepya, Г Линдгреном, В В Моттлем, И Б Мучником, Ш Мэйном, П Нараяном, Л Рабинером, М Россиньолем, Дж Томасом, Р Фонтаной, К Франком, РЗ Хась-минским, У Хольстом

Другое ключевое направление исследований СММ было связано с процессами в непрерывном времени Это свойство определило концепцию описания данных процессов в терминах стохастических динамических систем, что наиболее полно отражено в монографии Р Эллиотта, Л Аггупа и Дж Мура 7 Задачи анализа и оценивания состояний в таких СММ, в том числе в условиях неопределенности, рассматривались в работах К Барбозы, Т Башара, Ф Бернара, П Бертрана, Т Бьорка, Ф Букаса, А Дембо, М Джеймса, Ф Дюфура, А Германи, А Жерарди, Э Косты, X Мао, А И Матасова, Б М Миллера, 3 Пана, А Б Пиуновского, В Рунггалдьера, К Сеси, К де Сузы, А Трофино, М Фрагозо, Л Шайхета

Многочисленные приложения теоретических результатов по анализу, оцениванию и оптимизации в СММ для решения практических задач навигации и слежения за воздушными и морскими судами, управления финансами и страхования, экономики и управления производством и телекоммуникационными системами, передачи информации и кодирования, обработки почерка, речи, сш налов и изображений, биологии и физиологии, климатологии и физики плазмы можно почерпнуть из работ К В Авра-ченкова, В Анисимова, Я Бар-Шалома, В Блейра, X Блома, М Гоша, Дж Йина, Л Кампо, Т Кирубиджана, Р Люгенбуля, Т Жантье, С Маркуса, Р Мотвани, Р Ш Липцера, В Павловича, П Перейры, Б Розовского, С Сатчела, Д Смита, М Солы, Ф Спаньоло, Я Цвитанича, А Н Ширяева, Д Эйнгворда и др

Анализ опубликованных результатов приводит к следующим выводам, определяющим направления исследований данной диссертации

1 Отсутствует универсальный математический аппарат вероятностного описания и анализа стохастических дифференциальных систем со случайной структурой

2 В подавляющем большинстве статей по СММ, в качестве переключающих выступали МСП с конечным числом состояний Это обстоятельство сильно сужает класс реальных явлений, которые могут быть описаны с помощью таких моделей

4 Baum L Е, Peine Т Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains // Ann Math Statist — 1966 - Vol 37 - Pp 1554—1563

5 Саррё О , Moulines V, Ryden T Inferences m Hidden Markov Models — NY Springer, 2005

6 Ephratm Y, Merhav N Hidden Markov processes // IEEE Urans Inform Theory — 2002— Vol 116, no 6 - Pp 151&-1569

T Elhott R J, Aggoun L , Moore J В Hidden Markov Models Estimation and Control — Berlin Springer-Verlag, 1D95

-53 Отсутствует формальное доказательство марковского свойства пары "диффузионный процесс с переключениями — процесс переключений"

4 Не найден общий вид решения задачи оптима.аьной в среднеквадратичном смысле (СК-оптимальной) фильтрации состояний СММ Исследования в этой области привели к пессимистичному результату оптимальная оценка будет конечномерной только для весьма узкого класса систем без наблюдений диффузионной компоненты Тем не менее, вычисление СК-оптимальных оценок даже посредством решения уравнений Кушнера-Стратоновича или Закаи для условной плотпости, является ключевым для решения последующих задач оптимального управления по неполной информации и разработки численных алгоритмов соответствующих оптимальных и субоптимальных процедур

5 Исследование задач оценивания и управления в системах наблюдения со СММ в условиях априорной неопределенности зачастую ограничивалось рассмотрением линейных или кусочно-линейных систем С другой стороны, множество допустимых оценок/управлений обычно постулировалось линейными функциями наблюдений Наконец, в качестве показателей оптимальности выступали робастные Н°° и Я2 критерии, которые косвенно накладывали специфическое ограничения на вид неопределенности как параметров системы, так входных и воздействий/шумов

Помимо этих выводов следует указать все термины, использующиеся для обозначения случайных процессов и динамических систем, структура которых подвержена марковским скачкообразным изменениям

— условно-марковские процессы,

— системы со случайной структурой, системы с изменяющейся структурой,

— системы с марковскими переключениями,

— системы в случайном (марковском) окружении,

— кусочно-детерминированные процессы, гибридные системы,

— скрытые марковские модели и процессы

Множества объектов, соответствующих каждому термину, пересекаются, но не совпадают В диссертации для этого "пересечения" вводится единый термин " скрытой марковской системы" (CMC), обозначающий любую динамическую систему наблюдения, в которой уравнения состояния и/или наблюдения определяют случайною функцию от внешнего ненаблюдаемого (скрытого) марковского скачкообразного процесса — субординатора Если субординатор имеет конечное число состояний, то соответствующая скрытая марковская система называется традиционной (ТСМС), в противном случае будет использоваться термин "обобщенная скрытая марковская система!'' (ОСМС)

Цели и задачи работы Целью диссертации является разработка теоретических основ и методов вероятностного анализа и статистического оценивания процессов и параметров в содержащих скрытых марковских системах с непрерывным временем, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации

Для достижения выбранной цели необходимо

1) сформировать комплексный систематический подход к определению и изучению ОСМС, включая выбор для них класса процессов переключений и вероятностного описания соответствующих стохастических дифференциальных систем со случайной структурой,

2) решить задачу анализа состояний ОСМС,

-63) построить теорию оптимального линейного, условно-оптимального и оптимального нелинейного оценивания состояний в CMC по разнородным наблюдениям,,

4} решить задачу байесовской идентификации параметров CMC,

5) построить теорию минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их момептных характеристик, с приложениями к задачам оценивания состояний неопределенно-стохастических систем наблюдения, описываемых СДУ с мерой,

6) построить теорию минимаксного апостериорного оценивания в CMC по разнородным наблюдениям в условиях неопределенности,

7) продемонстрировать эффективность разработанных теоретических методов анализа и оценивания в CMC при решении практических задач системного анализа и обработки информации в области авиационной и ракетно-космической техники

Методы исследования В главах 1-4 используются современные методы теории вероятностей, математической статистики и стохастического анализа, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений с мартингалами в правой части, а также аппарат дифференциальных уравнений в частных производных и их стохастических аналогов В главе 5, посвященной решению задач минимаксного оценивания, используются методы функционального и выпуклого анализа

Научная новизна В работе получены новые теоретические результаты в области анализа и оценивания в CMC, среди которых можно выделить следующие

1 Предложен единый математический формализм для описания и анализа состояний ОСМС

- выделен и проанализирован класс специальных МСП, служащих переключателями в ОСМС,

- решена задача анализа ОСМС получено обобщение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (уравнения ФПК) для переходной вероятности и плотности распределения, и определены условия существования и единственности их решений

2 Представлены решения задач ошимального оценивания состояний и параметров CMC по разнородным наблюдениям

- решены задачи оптимальной линейной, условно-оптимальной (полиномиальной) и оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания МСП,

- решены задачи оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания состояний ОСМС в форме обобщения уравнения Закаи для условной плотности распределения, и определены условия существования его решения

- решена задача байесовской идентификации параметров CMC

3 Найдено решение задачи минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их моментных характеристик, получено условие минимаксности линейной оценки типа условия Винера-Хопфа

4 Получено решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных СДУ с мерой

5 Разработана теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в CMC в условиях статистической параметрической неопределенности

Практическая ценность работы состоит в том, что ее теоретические результаты могут служить основой для разработки программно-алгоритмического обеспечения решения прикладных задач анализа систем наблюдения, идентификации их

параметров и оценивания состояний, в областях авиационной и ракетно-космической техники, информационно-телекоммуникационных сетей и физики плазмы

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на научных семинарах и сессии Института проблем информатики РАН, на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры прикладной механики и управления Механико-математического факультета и Института механики Московского государсгвенного университета, кафедры компьютерных методов физики Физического факультета Московского государственного университета, отдела физики плазмы Института общей физики РАН им A M Прохорова, факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, кафедры кибернетики Московского государственного института электроники и математики, кафедры теории вероятностей Московского авиационного института Материалы диссертации представлялись на международных конференциях 30th, 31st, 34th, 43th Conferences of Decision and Control (CDC) (1991 Brighton, UK, 1992 Tucson, USA, 1995 New Orleans, USA, 2004 Nassau, Bahamas), IFAC Conference "System Structure and Control" (1995 Nantes, France), 3rd European Control Conference (ECC) (1995 Roma, Italy), IFAC Conference "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems' (1997 Переславль-Залссский, Россия), International Conference "Rare Events" (1999 Riga, Latvia), 44th Conference on Decision and Control and the European Contiol Conference (ECC-CDC) (2005 Seville, Spam), IEEE Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON) (2007, Томск, Россия), IFAC Workshop "Adaptation and Learning in Control and Signal Processing" (ALCOSP) (2007 Санкт-Петербург, Россия), Х-й Международной конференции "Системный анализ и управление" (2005 Евпатория, Украина), 3-я, 5-я и 6-я международные конференции "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO) (2004, 2006, 2007 Москва, Россия)

Работа поддержана грантами РФФИ (05-01-00508-а и 07-02-00455-а) и программой ОИТВС РАН "Фундаментальные алгоритмы информационных технологий" (проект 1 5)

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 21 научной статье, опубликованной в журналах, входящих в список ВАК Помимо этого, результаты частично опубликованы в других журналах, сборниках статей и трудах конференций на русском и английском языках, общее число публикаций — 65

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение, приложение и список используемой литературы Работа состоит из 327 страниц, включая 68 рисунков, 2 таблицы и список литературы, содержащей 330 наименований Приложение составляет 63 страницы

Содержание диссертации Во введении дано обоснование актуальности выбранной автором темы диссертации, сформулирована цель работы, аргументирована ее научная новизна и практическая ценность, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации

В первой главе8 к рассмотрению представлен класс специальных скачкообразных процессов, используемых в дальнейшем в качестве переключателей в CMC

Пусть — {dt}te[o,T] — МСП с конечным множеством состояний Sn = {ej, , en}, (в* — к-й единичный вектор в Rnxl) с начальным распределением ро, известной непре-

8 В автореферате приведены только основные утверждения диссертации Нумерация формул и утверждепий в автореферате соответствует ях нумерации в длссертации

рывной матрицей интенсивности переходов Л(i) и матрицей переходных вероятностей V(s,t),

— A(i) = col(An(i), , Ann(t)) — столбец из диагональных элементов Л(t),

— Â(f) = Л(t) — diag(A(i)) — вспомогательная функция,

— {rn}nSz+ — последовательность марковских моментов - скачков процесса в, то == О,

— Nt — считающий процесс, соответствующий МСП в,

~%(s, tpT {Nt - Ns = О I es = e,}=exp A„(«)duJ, %{s, t, 0)=P {Nt -Ns = 0|fl,},

T(s,t) =f col(7î(s,i), ,Tn(s,t)) — вектор вероятностей пребывания в в каждом из состояний ег,

— D = {А},=г^ — множество непересекающихся борелевских подмножеств R, Е =f

UiiA.

— 1т>(х) — индикаторная функция множества V, 1(г) ^ 1[0, -юо)^) — единичная ступенчатая функция, непрерывная справа, в = 6(ж) Е —> Sn — специальная индикаторная функция Э(х) =f 001(1^(2;), ,I-Dn(x)),

— {7гг(Л)},=у^ — набор вероятностных распределений на множествах V, Tr,(Vt) — 1 для V г = м, ж(В) col(7ri(B), , тгп(В)), Е,. {/(у)} 'Ш JE f(y)n,(dy), Er {f(y)} Ш col(E^j {f(y)}, , E*. {f(y)}), E( tf diag{ET {f(y)}},

— {Xk}kez+ — стохастическая последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов Хь = col(х\, , х£), компоненты х\ которых независимы в совокупности и имеют распределение щ( ),

— 1 — вектор-строка, составленная из единиц

Специальным скачкообразным процессом, порожденным марковским процессом 6 и стохастической последовательностью X, называется процесс Yt == X*N6t

Для данных процессов доказано марковское свойство, и в дальнейшем они называются специальными марковскими скачкообразными процессами (СМСП) Они образуют более широкий класс, чем МСП с конечным числом состояний Определены характеристики СМСП найден вид переходной вероятности, построен производящий оператор, определены свойства стохастической меры, порождаемой данными процессами

Для функции от СМСП получено мартингальное представление в прямом времени Пусть дан процесс ft =f Q(Yt)f(Yt) = 9tf(Yt), где f(y) E —> Ж — известная функция

Теорема 1.1 Если функция f удовлетворяет условию

1М/Ш11<°о, (И5)

то процесс Zt == col(f,6) допускает представление

ft = Wo) + f [diag A(s)/S_ + ds + M[,

(t Jo (116) et = 0a+ / A*{s)es-ds + Met, Jo

где М* и Ме — мартингалы, Ац = О, = О п н , при этом / является специальным семимартингалом, если дополнительно ||Е„. {/2(у)} || < оо, то М^ является квадратично интегрируемым мартингалом

Таким образом, функции от СМСП выражаются через решения замкнутых систем линейных СДУ с мартингалами в правой части

Для СМСП получены вероятностные характеристики и мартингальнос представление в обратном времени

Теорема 1 2 Пусть У, 4 6 [О, Т] - СА1СП, тогда

1) непрерывная слева версия процесса /, рассматриваемая как процесс в обратном врел1ени, является решением СДУ

гТ

/J

jdiagu(s)7s + ElT(s)6s] ds + М{\

/1

|diag[u(s) + Л(s)]fs + £#[T*(s) + A*(s)]6>3} ds является

мартингалом в обратном времени, а Т(t) =f Y(t) + diagu(i) является матрицей интенсивностей переходов процесса в в обратном времени

T (i) dâf (diag pim-'Tit) diag p(t), v(t) —Y(i)l*, (1 28)

2) решения col(/¡,#f) системы, (1 16) и col(frt, (в[)) системы

It = втНУт) + f [diagU(s)7l + ElT(s)6^ ds+

- +m{ - My - J^ {dmg[v(s) + \(s)}Ts + Ef\r\s)+r(s)]e:}ds, pt =6T + J T*(s)ersds + Met - Мвт - J [T*(s) + A*(s)] 9rsds,

P-n h совпадают для любого t 6 [О, T]

Таким образом, помимо марковского свойства, "симметричного" относительно прямого и обратного течения времени, СМСП обладают мартингальным представлением, также "симметричным" относительно направления течения времени, что существенно используется в главе 4 при решении задач обратной интерполяции

Вторая глава посвящена построению ОСМС, использующих в качестве переключателей СМСП Раздел 2 1 содержит основные определения и предположения относительно стохастических динамических систем, описывающих ОСМС На P, {^iJigp.T]) рассматривается ОСМС

xt = x0+ / а(хи~, Yu-, u)du -t- / b{xu-,Yu-,u)dwu, J 0; J 0

Yt = Y0 + jo [y„_A*(u) + E;{y}A*(U)] Q(Yu_)du + M

(2 1)

где i( е t - диффузионный процесс с переключениями, Yt е Е С R — процесс переключений — СМСП, заданный своим мартингальным представлением Относительно системы (2 1) сделаны следующие предположения 21 Борелевские функции а = a(x,y,t),b — b(x,y,t) Е х Е х [0, Т] —» М являются липшицевыми по (х, у), и имеют скорость роста не выше линейной 2 2 Функции а( , ,t) и 6(, , i) регулярны по t

2 3 Распределения щ, г = 1,п абсолютно непрерывны по мере Лебега % (у) = Фг(у)> Ф(у) =f col(0i(2/), , Фп(у)), причем существуют константы 7, С > 0

ЦЯЛМ2+7}11 < °о и фг(у) < С для V у е Е, г = М

2 4 Начальные состояния яо и уо — .^-измеримы, г/о имеет плотность распределения ру(у,0) = р*0ф(у), а жо имеет плотность распределения ?о(я)

2 5 Начальное состояние жо, стандартный винеровский процесс w и СМСП Y независимы в совокупности

2 8 Функции а, а'х, Ъ, b'x, b"х 6 Сь(Ш х Е х [0, Г]), а также непрерывны по Гельдеру с показателем а (0 < а < 1) по переменной х равномерно по паре (у, t) Помимо этого, \b(xi,ybti) - Ь(х2,УгМ)\ ^ C(\xi — х2\а + \t\ -ti\a!2)

2 9 Существуют такие константы 0 < А ^ Л < оо, что для \/ (х, у, t) € R х Е х [0,Т] выполняется неравенство А ^ \b(x,y,t)\ ^ А

Лемма 2.1. Пусть для системы (21) выполняются предположения 2 1-2 5, тогда процесс Zt == col(a;t, Yt) является марковским

В разделе 2 2 рассмотрена задача описания переходной вероятности состояния ОСМС Несмотря на то, что указанная вероятность не обладает плотностью, ее можно представить в виде суммы сингулярного и абсолютно непрерывного относительно меры Лебега слагаемых Выведенная для этой пары система интегро-дифференциальных уравнений в частных производных являются обобщением классического уравнения ФПК

Теорема 2.1. Пусть для системы (2 1) выполнены предположения 2 1-2 5, 2 8 и 2 9 Тогда ее переходная вероятность имеет вид

Pu,vAA в, t) = Р {xt eA,YteB\xs = u,Ys = v} =

= T*(s,t)Q(v)IB{v) / qu^s{x,t)dx + / ru^s(x,y,t)dxdy, Ja Jbxa

а пара (qu,v,s{x,t),rUtV:S(x,y,t)) является решением системы

(2 6)

«JtVJ.sOM) = 5и{х) + / £*vqUivts(x,T)dT, t 0

Tu,vAx^y^) ~ Jo I^r-W(a;,y,r) + A*(r)0(i/)rw(a;,2/,r)+ (2 7)

+Ф*{y)~h*iT) [diag(0(v))T(s, r)qUtV,s(xir) + f Q{h)rUiVt${x,h,r)dh]\dr,

, J E

где CJ{x, t) - (a(x, v, t)f(x, t))>| (fe2(x, v, t)f(x, t))"xx

На основании теоремы 2 1 в раздече 2 3 получено уравнение, определяющее

эволюцию совместной плотности распределения ф(х,у,Ь) состояния системы (2 1)

Ф(х,у^)=р*0ф{у)<;0(х) + [ [£уф(х, у, т) + \*(т)0(у)ф(х, у,т)+

Л

+ф*(у)А*(т) у в{к)ф(х,11,тЩ(1т

18)

В ТСМС в качестве переключателей используются не СМСП У, а непосредственно МСП с конечным числом состояний 9 Поэтому система (2 1) в этом случае имеет вид

£«=хо + / а{хи->и)ви-с1и+ / Ь(хи-,и)ви-йхии, < Jot Ja

91 = в0+ [ А*(и)ви-йи + М!, J о

где а(х1,г) = гои^а^,*), , ап(х(, , Ъ{хиЬ) й= го\у^61(а;<, ,&„(*«>*)), аг(х^) =Г а(х,1т>г(у)Л), М-М) =Г (?/),<), г = 1,тг То:да совместное распре-

деление Р {хг € А, = е3\хз = = ег} = / е*ри,ц(х, £)е3йх может быть определено

За

через решение ¿) системы

ри,е{х^) = Зи(х)1пхп+ I Г— (риз(х, т) <1^ а(х, т)4) +

Л 1 / >* (211)

1 / 2\ 1 +2 (ймС1*т) ^т)) )хх+РиЛх> т)л(т)] ^

Предложенные обобщения (2 7) (2 8) и (2 11) являются более сложными, чем собственно уравнение ФПК В разделе 2 4 представлен частный случай ОСМС — так называемые системы с конечным числол1 скачков, для которых решение представленного обобщения выражается через решения классических уравнений ФПК с фиксированными траекториями переключающих процессов

Третья глава посвящена различным задачам СК-оптимального оценивания состояний СМСП при наличии полной априорной информации о системе наблюдений Данные системы наблюдения являются частным случаем ОСМС

Раздел 3 1 посвящен решению задачи СК-оптимальной (нелинейной) фильтрации состояний СМСП по непрерывным и считающим наблюдениям Дана система наблюдения

Г*

Уг

/о

0о1о + У + ¿з +ЖГ,

= во + Л*(в)0._Ла + Мвг, (3 21)

Щ= [ А^э + [ С,(Ьи3, <Э¡ = I 4- М?,

7о Jo ./о

где ^

— Zt == co\{Yt,вt) € Е" х 5„ — ненаблюдаемое состояние системы Уг — СМСП, — порождающий его МСП,

-12— Щ € Жтх1 — непрерывные наблюдения и> £ Етх1 — винеровский процесс, представляющий ошибки наблюдений, Л5 = — план наблюдений, и С8 = С (в) — интенсивность шумов,

— <2г € Z+ — считающие наблюдения, заданные своим мартингальным разложением В качестве сигнальных процессов, подлежащих оцениванию, выступают процессы == ИХд (функция / удовлетворяет (1 15)), задаваемые своим мартингальным представлением

Л1 = /(Ко) + £ (/.-А*(а) + Е, и (у)} Л* (8)) + Ш[, (3 2)

либо процессы /2 =£ /2(£, У, и>) вида

Л2 = /о + Г + Г + с**ш, (3 3)

J 0 Jo Jй

Предложенный вид сигнальных процессов позволяет рассматривать как любые функции состояния системы, так и число попаданий СМСП У в произвольные фиксированные подмножества, суммарное время пребывания У в них и пр

Относительно системы (3 2), (3 3) и (3 21) сделаны следующие предположения 3 2 г) € Сь([0, Т] х Еп х £„), С3 £ Сь([0, Г]) и СаС*в равномерно невырождена по в

3 3 Вектор /д и процессы У, и) независимы в совокупности 3 4 Процессы ав а(з, .£,,), Ь3 = с3 =Г при этом функции

а(з,г), Ъ(ь,г), с(з,г) кусочно-непрерывны по в при V г £ В" х 5, 3 5 /0Г Е {а] + 1г + 1г[сес1}} <Ь < оо

3 7 Плотности ф%{) € С 1{Е), а также тт т£ ф,(х) > О

з

3 8 Выполняется неравенство тт т£ Л„ (Ь) > О

«л ^яе[о,т] ^

_у _у

3 9 Мартингалы М® и Л/ сильно ортогональны (М® И М ), то есть = 0 п н , и для любого марковского относительно момента т верно равенство Е {М?М?} = О

3 10 Интенсивность считающих наблюдений ¡л3 = 6 С(,([0,Х] х Еп)

3 11 Верно равенство Е{ехр[- /0Т А"3_(С3С;)~Ч\УВ - \ /0Т (ОДТ1 -/0т1п+ /0Г(р5_ - 1)еЩ }= 1

Пусть {0;}(Ск+ СЛ == сг{и,, 0 ^ в ^ £} — естественный поток сг-алгебр,

порожденный наблюдениями 01 == (?7',<5г), полученными за время [0,4]

Задача 3 1 Задача СК-оптимальной фильтрации сигнальных процессов Р, г = 1,2 (3 2) и (3 3) по непрерывным и считающим наблюдениям заключается в нахождении таких (^-согласованных процессов Д = /¡(0г), что /¿() € А^гшпЕ < ||/(г — /¡(04)||2 >, где множество Мг допустимых оцепивателей включает

7,( )ем,

все Ог-согласованные процессы второго порядка

Так как одним из решений задачи СК-оптимального оценивания является условное математическое ожидание относительно имеющихся наблюдений, то при решении

задачи 3 1, равно как и в последующих задачах оценивания исследуется возможность характеризации условного распределения, в частности его описание с помощью различных обобщений уравнения Закаи

На (Гвводится новая вероятностная мера Р с помощью производной Радона-Никодима = Фу, где

Ф* = ехр А1_(С$С1)~Чиз х

х ехр •

Пусть ft == Ё {Фtft\Ot} — ненормированное условное математическое ожидание Согласно абстрактному варианту формулы Байеса имеется связь между нормированными и ненормированными условными средними = ft/It, где 11 = Е{Ф(1|£>(}

Теорема 3 1. Пусть для системы наблюдения (3 2), (3 3), (3 21) выполнены

предположения 3 2—3 5, 3 7-3 11 Тогда верны следующие утверждения

1) Ненормированные условные средние и $ являются решениями уравнений

ft = {f(y)} + JГ' (A*(s)9J] + (Е, {!\у)}уТ{з)Ц ds+

+ j* /¡А1(С<С;уЧи, + jl ([7V0]S_ - (dQs - ds),

/? = Е{/02}+ Р(ЯА1+ъсв)(с.с;)-1<и/в+

./о 3 о

+ 1

2) Нормированная условная плотность распределения ф(у, £) процесса У относительно (Э1 существует и удовлетворяет системе

Ш*) = рЖу) + £ [%> 8-)А'(в)в(у) + ¿*(!/)А*(в№_] ds+

[ ф(у, в(у)у, в(у))(с„с;)-Чи3+

/ ф(у, 3-) (р(з, в{у)у)в{у) - 1) ДО. - ¿8), Уо _

+

+

0i= ! 4iy,t)Q{y)dy, Ф(уЛ) =

JE

ФЫ)

/ 4(z,t)dz JE

где ф{у,Ь) — ненормированная условная плотность

-14В разделе также рассмотрена задача оптимальной фильтрации относительно непрерывно-дискретных наблюдений На конечном отрезке [О, Т] дана система

П = У0 + [\drng А(в)У,_ + + М],

Т

[/«= / А(7а-,вв-,з)<1з+ I Сайи}3, Уо _ Jо

где ^к});=ом> 0 = ¿о < < < t¡v ^ Т — набор неслучайных моментов дискретных наблюдений 14, для которых верны следующие предположения

3 12 Случайные величины {> ^ь € КСх1 являются Т^-измеримыми и независимы в совокупности

3 13 У независимы в совокупности

3 14 Функции ак Еп х Бпх Е1)х1 —> Е<гх1 детерминированы и

известны

3 15 Для V ¿г € условное распределение Уг относительно У^ известно

и имеет плотность

Пусть Ог = сг{и$, Ук 0 ^ в ^ 0 < ¿¡ь ^ 15} — поток сг-алгебр, порожденный наблюдениями II и V, полученными на [0,2], а// = — оцениваемый сигнальный

процесс (3 2)

Задача 3.2. Задача СК-оптималъной фильтрации процесса по непрерывно-дискретным наблюдениям состоит в нахождении ^ *= Е С^}

Теорема 3 2 Если для системы (3 2), (3 27) выполнены предположения 3 2— 3 9, 3 12—3 15, то оптимальная оценка фильтрации определяется формулой ]}= }1{у)Ф{уЛ)Лу, где 1р(у, £) — условная плотность распределения, определя-

о Е

емая рекуррентной системой

Ф(у,«) = Ш ь) + £ [ф(у, а)А*(«)в(1/) + Ф*(уЖ(з)Ц ¿3+

+ £ ф{у, з) {А(а, в(у)у, 9(2/)) - А.у {СвС1)~\йив - А.<к),

Л л у ГЪ УхУчЬЦ) г

JE >1Е

В разделе 3 2 решена смежная задача одновременной фильтрации состояния МСП с конечным числом состояний и оценивания параметров системы наблюдения матрицы интенсивности МСП, матрицы плана непрерывных наблюдений и интенсив-ностей считающих наблюдений Полученные байесовские оценки используются далее

для решения задачи минимаксного оценивания в условиях априорной неопределенности параметров CMC, представленной в разделе 5 3

Оценки СК-оптималыюй фильтрации состояний СМСП определяются посредством решений обобщений уравнений Закаи В общем случае оно не представимо в аналитическом виде, а соответствующие численные методы всегда являются сложными и ресурсоемкими Поэтому актуальными являются задачи построения условно-оптимальных оценок фильтрации Это значит, что оптимальный фильтр ищется в более узком классе допустимых оценивателей Построенные таким образом оценки имеют приемлемую точность при умеренных затратах на их вычисление Этим задачам посвящены следующие два раздела главы

В разделе 3 3 решена задача СК-оптималыюй линейной фильтрации состояний СМСП В разделе 3 4 решена задача СК-оптимальной полиномиальной фильтрации Доказано, что эта задача полиномиальной фильтрации сводится к линейной задаче путем подходящего расширения состояния системы и наблюдаемого процесса На отрезке [О, Т] рассматривается система наблюдения

■ __н _ _

Yt = eQYa+ / [diag A(s)Y\,_ + E^K*{s)dsJ\ ds + , /о

< et = во + / A'(s)es_ds + M9t, (3 33)

t Jo t Ut= f A(Yi-,e,-)ds+ / C(Ys.,9,.)dws, Jo Jo

где функции A = А(у,в) и С = С (у, 9) удовлетворяют условиям

f0T (Е {A*tAt} + Е {C(Yu9t)C*(Yt, 9t)}) dt<cx_1 (

3/i>0 Vie [0,T] nImxm^E{C(Yt,9t)C*(YtA)}

Задача 3 5 Задача СК-оптимальной полиномиальной фильтрации порядка к состояния Z(t) =f col(yt, 9t),tQ [0,T], заключается в нахождении оценки вида

P=i Jo

(/?(£), тР^,и),р = 1 ,к — искомые функции), минимизирующем критерий J(Zk(t)) = Е{||2(£) — ^(<)||2} В случае к = 1 оценка является СК-оптимальной линейной Предполагается, что распределения тги г — 1,п, а также функции Л()иС()в наблюдениях удовлетворяют неравенству

||Е„ {у2к} || + ||Е, {А*(у)} || + ||Е, {С*\у)} || < оо (3 40)

В этом случае корректно определены матрицы Св,Г)« "= dlag (Еж {Ая(у)Сг(у)у°}), для

V <?, г, в ^ 0 + процессы УМ)Г,4(г) = в(г)ир1Х(г))А^(ХЦ))СГ(У{Ь))У'(г) являются специальными квадратично интегрируемыми семимаргингалами для

V р,д, г, в ^ 0 р + д + г + в < к, и допускают представление с помощью линейных

,5(i-) + GqAsA*(t)YpW(t-)}dt + dVM,T<s{t),

где являются квадратично интегрируемыми мартишалами — процессами с

ортогональными приращениями Оказывается, что расширенный вектор состояния

совместно с обобщенным процессом наблюдений и{€) = со1(Г/(^, ,ик(£)) описываются некоторой замкнутой системой линейных СДУ с процессами, имеющими ортогональные приращения

Лемма 3 8 Пусть для исходной системы наблюдения (3 33) выполняются условия (3 34), (3 40), а матрица дифференциальной ковариации шумов в наблюдениях равномерно невырождена Тогда оценка Z^L(t) СК-оптимальной полиномиальной фильтрации состояния Z{t) и матрица ковариации ошибок данной оценки задаются соответствующими блочными компонентами оптимальной линейной оценки и ковариации ошибки оценки состояния У расширенной системы наблюдения (3 51), вычисленных по формулам алгоритма Калмана-Бьюси

Полиномиальные оценки, очевидно, занимают по точности промежуточное положение между оптимальными линейными и оптимальными нелинейными оценками Возникает очевидный вопрос о сходимости оптимальных полиномиальных оценок с ростом их порядка к оптимальным нелинейным оценкам Положительный ответ удалось получить не в исходном, но во вспомогательном вероятностном пространстве

На (П,/") вводится новая вероятностная мера Р с помощью производной

Радона-Никодима % = фт, где ф4 Ш ехр {/„' A*s(CsCl)~ldUs - ± £

Система (3 51) рассматривается относительно Р, и строятся СК-оптимальные полиномиальные оценки нарастающего порядка {пzk{t)}k€Z+ состояния пz(t) =f §tz(i)

Теорема 3 3. Имеет место следующие сходимости С К-оптимальных полиномиальных оценок {nzk{t)}ktiZ+ состояния irz(t) к ненормированному условному сред-

нему Z{t) = E{nz{t)\Ot} E{||7r^(i)-Z(t)||2} ->0, nzk{t) -» Z(t) Р-пн прик^оо

Разделы 3 5 и 3 6 посвящены СК-оптимальной нелинейной и линейной интерполяции (сглаживанию) состояний СМСП представлены решения задач сглаживания в фиксированной точке и на фиксированном интервале Для СК-оптимальной нелинейной оценки сглаживания на фиксированном интервале доказана справедливость ее представления в "двухфильтровой" форме, то есть в виде некоторой симметричной функции оценок фильтрации в прямом и обратном времени

Y(t) = со1{Уодо,о(*), Уо,о,од(г), 5W,o(i) р+q + r ^ к, p,q,r ^ 0},

(3 51)

На конечном отрезке [0,Т] рассматривается система наблюдения (3 21), содержащая только непрерывные набчюдепия V

Задача 3 7 Задача оптимального нелинейного сглаживания на фиксированном интервале [О, Т] состояния СМСП У^ заключается в нахождении условной плотности ф(у^,Т) распределения состояния У^, 2 £ [0,Т] относительно Ыт == сг{из, э € [О, Г]}

Пусть заданы линейные операторы

£.ф{х,1) = ф{х,£)Х*^)в(х) + в"{х)Щ У ф(г)ф{г,^г, £,"ф{х, ¿) = ф(х, ¿)А*(«)е(гс) + ф*(х)ТЦ) I в{К)Ф{Ъ,Ь)в.Ь, (3 66)

£>(х, ¿) = ^(х, ¿)г/(<)0(я) + ф*(х)ТЦ) 1 в{к)ф(к, 1)<Иг,

где и и Т определены (1 28)

Теорема 3 5. Ненормированная условная плотность ф(х,Ь,Т) СМСПУ1 огп-носитыьно Ыт имеет два представления

1) ф{х,Ь,Т) = ф(х^)д(х^,Т), где ф{х,{) ид(х,1,Т) решения следующих стохастических уравнений в прямом и обратном времени

д{х Т) = 1 + у Щх, в, Т)йз + у 5, Т)А\в(у)у, в(у), б)^;)"1 . <Ш„

где символ "•" означает интеграл Ито в обратном времени,

~ т1(х 1)т1'г(х ¿1

2) ф(х^,Т) — - - ^ ' , где ф{х,£) — безусловная плотность распределения СМСП У(, аф(х,1) ифТ(х,1) являются решениями следующих стохастических уравнений в прямом и обратном времени

ф(х,г) = ф*(х)р0+ Гф(х ь)л*{е{у)у,в(у),з)(с.с;)-1<ш„

•/о Т Л Г

фг(х,г,Т) = ф*(х)р(Т) +1^;фг(х,з,^з +1фг(х, 8,Т)А\Щ)у, е(у),8)(с6с:)-1*с1и3

Для линейной СК-оптимальной оценки сглаживания на фиксированном интервале в разделе 3 6 также получен симметричный "двухфильтровый" вид

В четвертой главе результаты, полученные в главах 1 и 2 в области анализа состояний ОСМС и оценивания в системах наблюдения со СМСП, применены для решения ключевых задач оценивания состояния ОСМС по разнородной статистической информации

Раздел 4 1 посвящен решению задачи фильтрации состояния ОСММ по непрерывным и считающим наблюдениям На (П, Ту Р, {•7чЬе[о,г]) дана система наблюдения

х1 = х0+ / а(х3-,Уа-,з)с1з+ / Ь(хв-,Уя-,з)(1и)3, У о Jo

У, = У0 + / [У,-А*(в) + Е;{у}Л*(5)] в(У,_)Л + мгу,

иг= А(Ха-,Уа-,8)сЬ + / В, Л У о

Jo

(4 7)

Здесь

— xt € R — ненаблюдаемый диффузионный процесс с переключениями,

— У 6 Е С R — ненаблюдаемый процесс переключений, являющийся СМСП,

— Ut € Rmxl — непрерывные наблюдения,

— Qt £ ¡Z+ — считающие наблюдения

Относительно (4 7) выполняются следующие предположения

4 1 Уравнения (4 7), представляющие состояние zt == col(a;¡, У), удовлетворяют условиям теоремы 2 2

4 2 Начальное условие xq, СМСП У, винеровские процессы w и W независимы в совокупности

4 3 Функция Л R х £ х [0,Т] —> Mmxl такова, что / \\A{ut,vt,t)\\dt < оо для

Jo

Vue С[0,Т] и V <5 Bs([0,T]), где Вв([0,Т]) — пространство Блекуэлла функций со значениями в Е

4 4 Матричнозначная функция В g £2([О, Г]) и BtB¿ равномерно невырождена

по t

45 J¿E{\\A(xt,Yt,t)\\}dt < 00 и Р {g Â;Âtdt < 00} = 1, где Ât = Е {A{xuYt,t)\Ot}, OtA¿a{Us, Qs 0 < s ^ í}

4 7 Известная интенсивность считающих наблюдений к £ C¡,(R х Е х [0,Т]) такова, что 3 к i 0 < ко ^ «i < 00, ко ^ «(£> У, í) ^ Для V (х, у, t), 4 8 Мартингалы М^ и Мг сильно ортогональны M® 1L Мг 4 9 Верно равенство Е{ехр[- /0Г А*_(В3В*)~Ч\У$ - | J0T A*s_(BsB*s)~lAs-ds -/0Т1п{KsJ)dQ, + - l)ds] }= 1

dcf

Задача 4 2. Задача СК-оптимальной фильтрации сигнального процесса ft = f(zt) по непрерывным и считающим наблюдениям заключается в нахождении /( =f E(ft\Ot}

Теорема 4.1 При выполнении предположений 4 1-4 5, 4 7-4 9 верны следующие утверждения

1) если ft = f(zt) — такой сигнальный процесс, что f 6 С^'^Ж х Е), то его

л -19-

оптпималъная оценка фильтрации ft является решением уравнения

Л = Е{/Ы}+ f J о

Cfs + А\s)Of, + jf ф*{и)А'(з)вПх„ и)] ds+

j О J О Ks-

-dws

где

Cft 12 Е {fi(xt,Yt)a(xitYt,t) + ¡fZx(xt,Yt)b2(xt,Yt,t)\öt} ,

= E{e(Yt)f(xt,Yt)\Ot}, Of(xt, u) däE{Q(Yt)f(xt,u)\Ot}, JA\ = E {f(xt, Yt)A*(xt, Yt, t)\Ut} , % = k{xu Yu t\Ot), A d=f A(xt, Yt, t\Ot), ut = J*(BsB;)-l'2(dU4 - Äsds), Wt = J*(dQs - K3-ds),

2) ненормированная условная плотность ф(х,у,Ь) существует, является обобщенным решением уравнения

■ф{х, У, t) = Со(х)Ф*(у)Ро+

ds+

+ [ \c*J{x,y,s) + X,(s)e(y)^{x,y,s) +ф"(у)А\в) [ В(и)ф(х, и, s)du Jo L Je

+ / ip{x,y,s)A,(x,y,s)(BsB*s)-1dUs + / ${x,y,s-)(n(x,y,s)-l)(dQ,-ds), Jo Jo

и связана с нормированной условной плотностью ф(х, у, t) соотношением нормиров-

ки ф(х, у, Ь) = ф(х, у,^ / I ф^и^^вязйи ' JшxE

В этом же разделе решена задача оптимальной фильтрации состояния ОСМС по непрерывно-дискретным наблюдениям Дана система наблюдения

х1 = х0 + / a(xs-,Ys-,s)ds + / J о Jo

у4 = Го +1 [у4_л*(8) + е;{2/}л*(3)] е(у,_)л + м(у, (412)

и(= [ А(хя-,У3-,з№+ [ В,Ш„ J о Jo

, ук = ак(хи,Уи,\Ук)

где ^к}к=о~М' 0 = ¿о < ¿1 < < tN ^ Т — набор неслучайных моментов дискретных наблюдений относительно которых, предполагаются выполненными предположения, аналогичные 3 12-3 15 задачи 3 2 фильтрации состояния СМСП по непрерывно-дискретным наблюдениям

Пусть == ст{из, 0 ^ в < 0 ^ ^ — поток а-алгебр, порожден-

ный наблюдениями II и V, полученными на [0,<], а /г = /(г() — полезный сигнал — функция от текущего состояния ^

Задача 4.3 Задача СК-оптимальной фильтрации процесса /г = /(-г() по непрерывно-дискретным наблюдениям состоит в нахождении /( Е {/(гг)|

Теорема 4 2. Оптимальная оценка фильтрации /( процесса по непрерывно-дискретным наблюдениям определяется формулой /( = / /(х, у)ф{х, у, Ь)йх<1у, где ф{х,у,{) — условная плотность распределения, являющаяся обобщенным решением рекуррентной системы

ф{х,у, I) = ф{х,у,1к)+

+ [ Суф{х,у,з) +Х*(з)Э(у)ф(х,у,з) + ф*(у)Т{з) [ в(и)ф{х,и,з)с1и сЫ-

+ / ф(х,у,з){А(х,у,з) - АэПВ^В;)-1^,

te{tk,tk+1), fc = o,JV-i, ?i+i(Vil+11а;, y, tM~)

ф(х,у,гм) = -у-^—-, & = 1, TV — 1,

J ExR

/ СЫдЖ^М^оК^еЫи

Jbx'A

В разделе 4 2 решена задача СК-оптимальной прямой интерполяции состояния ОСМС по непрерывным наблюдениям Раздел 4 3 содержит решение задачи совместной фильтрации состояния и идентификации параметров системы наблюдения с ТС-МС по непрерывным и считающим наблюдениям

Пятая глава посвящена распространению одного из направлений теории гарантирующего оценивания — минимаксного подхода, на решение задач оценивания в CMC в условиях априорной неопределенности

Концептуально 1лава делится на две части Первая час:ь посвящена задачам минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями гильбертовых пространствах и их приложениям при оценивании состояний динамических систем Неопределенность в этих задачах связана с неточным знанием моментных характеристик В разделе 5 1 исследуется задача минимаксного линейного оценивания случайного элемента с неопределенными математическим ожиданием и ковариационным оператором, известным с точностью до принадлежности некоторому множеству с максимальным элементом В качестве допустимых оценок выступают не только результаты линейных ограниченных преобразований наблюдений, но и их СК-пределы В качестве результата доказаны утверждения об условиях существования решения задачи минимаксного оценивания, виде искомых оценок, а также критерии минимаксности оценок, являющегося обобщениями классического условия Винера-Хопфа СК-оптимальности линейной оценки

Пусть Hi и Яг — гильбертовы пространства, и Н0 = Я!®Я2 На (fi,-F,P) задан частично наблюдаемый случайный элемент fi(u) = col(u(o;),rj(a;)), ц Q, —»

Яо, причем вероятностная мера Р^, порожденная ß, имеет сильный второй порядок Элемент и(ш), и Q Н 1 таков, что математическое ожидание Е {и} = ти £ Н\ и ковариационный оператор соv(u,u) = Кии £ С1(Н{) существуют, но неизвестны Элемент Т)(и), г? Q —> Н2 таков, что Е {??} = 0, а относительно ковариационного оператора соv(t],t]) = Krin известны лишь его верхняя и нижняя границы, то есть О ^ Кщ ^ К™ ^ ~Кпп, где Кщ, К™ € £t(Н*) - известные операторы Элементы и и г/ некоррелированы

Модель наблюдений имеет вид

f = Фи + Ат] (5 15)

где линейные операторы Ф £ С(Н\,Щ) и Л £ С(Н2,Нз) известны, а псевдообратный оператор Ф+ является непрерывным, то есть Ф+ 6 £(773 Н{) Модель оцениваемого случайного элемента имеет вид

в = Аи + Вт), (5 16)

где А £ C(Hi,Hi), В £ C(H2,Hi) — известные линейные операторы

Множество случайных элементов /л обозначается через Eß Множество Ф допустимых оценивателей ф формируется всеми такими последовательностями операторов {0„()}п6н, Фп() € С(Н3,Щ), что для V ¡1 £ Eß существует ф(£(ц)) = 11 m n_,oo Фп{£(А<)) В качестве функционала качества, определенного на Ец х Ф, используется J(/x, ф) d=I=f Е {\\в - «У

Задача 5 2 Задача минимаксного линейного оценивания элемента 9 по наблюдениям £ заключается в нахождении такой оценки 9 = ф(£), ф() € Ф, что

ф() £ Argmin sup J(ß, ф)

ФеФ v^Ef,

Теорема 5 1. Пусть для системы (5 15)-(5 16) выполнено условие идентифицируемости ЛФ+Ф = А, тогда верны следующие утверждения 1 Оценка в = ф(£)

ф($ = 11 m „-,00 ш, Ш = + GT'A'P (PDP + 7„7)-1 Pf,

D = AK™ А", G^B-АФ+А, P =f 7 — ФФ+,

(5 20)

в которой последовательность {7П}^1, 7п > 0, такова, что 7„ 1 О при п —> оо, является решением задачи 5 2 Ковариационный оператор КАА =={ сск(в — в,в — 9) ошибки оценки удовлетворяет ограничению ¡£АА ^ КАА ^ КАА, где

КАА = в (¡С1" - К^ТК™ - Т^ТК™ + К^ТКрчТКгп) в*,

КАА ^ сдг - ТГ'ТТГ')^, т Л*(Р7)Р)+Л

2 Пусть == со1(й,т?) £ Ем — элемент, для которого соу(?;, 77) = Ж11, а невязка г/(£(Д)) =Г 11 т (Д)) == (7 — Фс известной последова-

п—»со

тельностъю операторов {фп( )}пбМ> Фп( ) £ £(77з,77з), такова, что Е {^(^(/л))} = О

~ _ -22-Оценка в = ф(£), </>()€ Ф является минимаксной тогда и только тогда, когда выполнены условия Е {(9(д) - <Ж(Р))} = 0, соv(0(7t) - ФШ))^Ш))) = О

Полученный критерий дает эффективный метод решения различных задач минимаксного оценивания в динамических системах В разделе 5 2 рассматривается задача минимаксной линейной фильтрации состояний неопределенно-стохастических систем, описываемых СДУ с мерой Часть входных воздействий в них имеют неопределенное среднее, а часть — неопределенную, но ограниченную сверху интенсивность Решение данной задачи — минимаксный фильтр, который может рассматриваться как минимаксное обобщение классического фильтра Калмана-Бьюси

Дана дифференциальная неопределенно-стохастическая система

0(f) =0 о+ / йа{т)в{т—) + f db{r)u(T) + w{t), (5 25)

J(0,t] J {0,1]

Z(t) = A0e0 + W0+ [ йА(т)в(т—)+ f dB(r)и(т) + W(t) (5 26) j( 0,t] j(0fi

Процесс 6 = {0(i)}ig[o,T]i £ R"xl — ненаблюдаемое состояние системы,

£ = {{(t)helo,Tl, Ш € - наблюдения Процесс г) = {r?(i)}te[o,t], »?(*) =

col(w(i), W(t)) G R(n+m)xl — центрированный квадратично интегрируемый мартингал с характеристикой Rqit), р-п н ограниченной сверху и снизу известными матрич-нозначными функциями

0 ^ ЗД < ^ Rn{t) (5 27)

для Vi G [0,Г], причем Д,(0) = Щ0) = 0, tr[Д,,(Т)] < оо и Л,(г) < Rv{t) для Vr < t Начальное условие 90 — случайный вектор с неизвестными средним Е{$о} = тп$0, ||mj0|| < оо и ковариационной матрицей 0 ^ cov(#o,#o) = Re0 Случайный вектор Wo — центрированный с неизвестной ковариацией До = cov(Wo, Wo), ограниченной сверху и снизу известными матрицами Rq ^ Rq iC Случайный процесс и = {w(i)}i£[0,T], u{t) G Kfcxl квадратично интегрируем на [О, Г], имеет непрерывные траектории, неизвестные среднее Е (w(i)} = mu(t) и ковариационную функцию cov(u(f), и(т)) = Дц^т) Векторы Wo и процессы и и т) некоррелированы Известные детерминированные функции а() А{), Ь{), В( ), Д,() и ) регулярны и имеют конечные вариации на [О, Г] Все они представляют собой сумму функций, непрерывных относительно меры Лебега, и кусочно-постоянных функций, имеющих на [О, Т] конечное число скачков

Для системы наблюдения (5 25), (5 26) выполнены условия согласованности для Vi G [О, Г] существуют такие матричнозначные функции s() и q(), что

dA{t) = [dRw{t)]s(t), db(t) — q(t)[dB(t)], А%А0 = 1 (5 28)

def

Множество неопределенности Se(t) содержит все случайные элементы g(t) = (0о,М5)Ье[о,ф Wo,{??(s)}se[o,t]), описанные выше

В качестве допустимых оценок фильтрации 6(t) состояния 6(t) выступают линейные функционалы 9() от наблюдений p(t)) = {£(T)}re[o,t] вида

0{?(р)Л) = м*)№ + [ Ф&тЩт), ) е vb[o,т],

такие, что sup Е \ ^(^(¿э), фг)\\2 f < ос Множество Ф оцепивателей такого рода

определяется парой </>j =f (фо{),Ф^, )) детерминированных функций В качестве функционала качества на х Ф, рассматривается

J(eAt) = е{||6|(£>, i) - 0(£'(р),<^)||2}

Задача 5 3 Задача минимаксной линейной фильтрации состояния 6(t) по наблюдениям заключается в нахождении такой оценки 6{t) = ф{£1), что

Jt S Argmm sup J{e^t)

Выбирается новая мера p(t), относительно которой абсолютно непрерывны все меры, встречающиеся в интегралах системы (5 25), (5 26) После приведения к этой мере и 'ортогонализации" мартингалов в уравнении состояния и наблюдениях система принимает вид

e(t)=0о+ [ а1{т)в(т-)дц{т)+ [ Ь1(г)ы(г)ф(г) + [ ¿(т)<%{т) + wl(t),

J(o,t] Jw J(o,t)

£(t) = А0в0 + W0 + [ Л1(т)(?(т-)ф(г) + [ В\т)и{т)йр{т) + W(t) J(0,t] j(0,t]

Теорема 5.2. Минимаксная линейная оценка 6(t) является решением стохастического уравнения

Щ = ¿о + [ аг{г)в{т-)<1(1{т) + / с1(г)^(г)+ •/(0,4] j(0,t]

+ J [&V) (B1(r))+ + a(r)j [df(r) - A\r)e(T-)dii(T)] ,

где

а{т) tf { [/ + (а'(г) - Ь\т) (В\т))+А\т)] A/i(r)J x

Цт-)(А\т)У - Нт)(ВЧт))+Т$г(т)} (P(t)z(t)P(t))+ ,

P(r) I - B1(t)(B1(t))+, z(t) ^ А\т)к(т-)(А\т)УАц(т) + T?w(r), а функция k(t) — верхняя граница для ковариационной матрицы ошибки оценки

фильтрации, является решением уравнения Риккати

Щ = ко +

•Л<М]

/ {[а1(г)-Ь1(т)(В1(т))+Л1(г)]Мг-)+

+ к(т-) [а\т)-Ь1(т)(В1(т))+А1(т)У+Т1г1,(т)+ + Ь1(г)(Б1(г))+Ди,(г)(Ь1(т)(В1(г))+)* - а(т)г(г)с'(г)}ф(г)+ + ^[Атг)-Ь1(тг)(В1(тг)ГА\тг)} к(т,~) [ах(г,) — Ь1(гг)(В1(г,))+т11(гг)]* Д/х2(т,)

Далее в разделе решена задача линейного минимаксного сглаживания на фиксированном интервале состояния дифференциальной системы наблюдения с неопределенными входными воздействиями Примечательно, что полученная минимаксная оценка имеет двухфильтровую форму, то есть выражается через оценки минимаксной фильтрации в прямом и обратном времени Таким образом задачи минимаксного сглаживания примыкают к стохастическим задачам, изложенными в разделах 3 5 и 3 6

Вторая часть главы представляет совершенно новые постановки задач оценивания, сформулированные в рамках традиционного минимаксного подхода Их ключевыми отличительными чертами являются, во-первых, критерии качества в форме условных математических ожиданий квадратичных функций оценок, и, во-вторых, класс допустимых оценивателей, включающий в себя нелинейные преобразования наблюдений Оцениванию подвергаются ненаблюдаемый сигнальный процесс — функция состояния системы и вектора неопределенных параметров В разделе 5 3 рассматривается задача минимаксной фильтрации/идентификации в системе наблюдения, содержащей МСП с конечным числом состояний в условиях априорной параметрической статистической неопределенности

На отрезке [0,Т] рассматривается система наблюдения

где € 5П — ненаблюдаемый МСП с конечным числом состояний, <2( е ¿и^ — считающий процесс наблюдений, /7( € Ктх1 процесс непрерывных наблюдений

Матрица интенсивностей Л = Л(7(ы)), матрица плана А = Л(7(о>)) и вектор ин-тенсивностей считающих наблюдений р, = ¿¿(7(0;)) являются известными функциями ненаблюдаемого случайного векторного параметра 7(ш) б!1*1

Система (5 67) и вероятностная мера Р^, определенная на (П,^7), удовлетворяют следующим предположениям

Начальные условия во и ко равны

0о = {у£-^ЯО[ВДРО] + }*(О),

/со = А+ЩА+У - А+ЩРоЯоРоУЩА+У, Р0 ШI -

(5 67)

-255 17 7(ш) 6 £} = где ) — неизвестное априорное распределение 7, сосредоточенное на известном выпуклом компакте С С К.^1

5 18 Функции А = С -> Л = Л(д) С -> и ц = /х(д)

С —+ М1х" известны, при этом Аг_,(<7) ^ 0 если г ф ], ^(9) = 0, и ^ 0 для V г - 1 ~п и д в С

5 19 Оо(ш), 7(ш) 17(1^) независимы в совокупности 5 20 Мартиш алы М® и М° сильно ортогональны М® М° 5 21 Для V д € С верно равенство

1 jexp - £ %A*{q)(ee*)-1dW,+ ^ j\;A*{q){ee*)-lA(q)etds-

- jf Hß{q)9s.)dQs+jf (/i(9)0,_ - l)ds J = 1

В качестве множества неопределенности F выступает набор всех раенреде 1ений F параметра 7(ш), удовлетворяющих предположению 5 17

Оцениваемый сигнальный процесс ht =Г h(zt) = fj(7t)@t £ Kixl являегся функцией состояния системы zt = coI(#t,7f), причем supEj? {|[/t(|[2} < ос

F еТ

Множество допустимых оцениватпелей Hj образуют все измеримые функции наблюдений ht = ht(u,v) Cm[0, t] x B[0, t] -» K,xl такие, что sup EF {||й(°г)1|2} < 00

Fe F

Пусть а С —> Ärxl — некоторая известная ограниченная функция Задана фиксированная "опорная' оценка üj = at(Ot) вектора а(7(а;)), ао есть измеримая функция

ät Cm[0,i] х B[0,i] -> Rrxl для которой supEf {|ЫО')||2} < оо

Fe F

Рассматривается семейство целевых функций Jot

J0'(F,ht) = Ef {||/ii ~~ht(Ot)\\2 - IW7) - atm\\2\Ot} ,

параметризованное траекторией наблюдений О' == {Us, Qs 0 ^ s ^ t}

Задача 5 5. Задача минимаксного апостериорного оценивания в системе наблюдения с МСП с конечным числом состояний закчючается в нахождении такой

оценки h(, что ht е Arg mm sup Jot{F, hi) для Pjr-почти всех траекторий О® одновре-hiSHt F6?

менно для всех распределений F 6 F

Доказано утверждение, описывающие искомую нелинейную минимаксную оценку в терминах решения двойственной оптимизационной задачи, а также характеризующее наихудшее распределение параметров

Теорема 5 3 Пусть дгя системы (5 67) верны предположения 5 17-5 21, тогда

1) если существует решение двойственной задачи

F € Arg max

FeF

W - II ht* II2) - (iM2* - ||3f II2) - Ef {||a(7) - of II2}

(5 80)

то целевая функция Jot(F, Ы) пРи Рр-почти всех 01 (Е € ¥ — любое допустимое распределение) имеет седловую точъу (Р,Ь() на множестве Р х И наихудшее рас-

-26- л

пределение Е является решением (5 80), о Ь( = ЬДО4) = — решение задачи

5 5, являющееся байесовской оценкой для наихудшего распределения Г, вычисляемое с помощью формул

+

(9)=Р0+ / Л*{q)9s{q)ds+ J О

/ dia,g(9s(q))A*(q)(££*)~1dUs + [ [diag^g) - Inxn]9.-{q){dQ. - ds), Jo Jo

hj = Ц Wt(g)F(dg)) 1 jc b(q)0t(qp(dq),

2) если функция непрерывна по q, то решение задачи (5 80) гарантиро-

ванно существует, при этом имеется вариант наихудшего распределения F, сосредоточенного не более чем в I + г + 4 точках множества С

В разделе 5 4 исследуется аналогичная задача минимаксного апостериорного оценивания в ТСМС На отрезке [О, Т] дана система наблюдения

xt = x0+ / a(xs-,fs-)9s-ds+ / b(xs-,^/3-)9s-dwa, хо~фа(х), J о( Jo

6t = в0 + j k*{ls_)6s-ds + Mf, 6>o~Po, (581)

7г = 7> (

Ut = j A{xs-,lsJ)es-ds + eWu Qt= I n(xs-,7s-)es-ds + M? Jo Jo

где xt € R — ненаблюдаемый диффузионный процесс с переключениями, 9t € Sn — ненаблюдаемый МСП переключений, Ut € Rmxl — непрерывные наблюдения, Qt € Z+ — считающие наблюдения

Функции a{y,q) = ||a,(y,g)||,=I^, b{y,q) = ||Ь,(у,д)||,=т^, A{y,q) = IIAj(y>9)l|i=im, fJ-(y,q) == [\Hi{y,q)\\i=Tn определяют, соответственно, возможные снос и

диффузию процесса х, план непрерывных наблюдений U и интенсивности считающих наблюдений Q для каждого возможного состояния переключающего процесса 9 Все эти объекты зависят от случайного параметра 7(w)

Для системы (5 81) выполняются предположения, аналогичные 5 18-5 21 в задаче 5 5 минимаксной апостериорной фильтрации МСП с конечным числом состояний Вероятностная мера Рр такова, что Рр{о; 7(0») € С} = F(C), где F{) — неизвестное априорное распределение параметра 7, сосредоточенное на известном выпуклом компакте С С Rfcxl, при этом матрица Л() и вектор ц{) таковы, что Лц(д) > 0, для любых г ф j, = 0, и Hi{y,q) ^ 0 для любых (y,q) 6 RxC Множество

неопределенности F формируется всеми такими распределениями F

В качестве оцениваемого сигнала выступает процесс ht = h(zt) = i)(xt,lt)9t 6 R!x1, являющийся такой функцией состояния zt = со1(а^,7(Д) системы (5 81), что sup Ef {||Л(||2} < оо

t€[0T] F€ F

Множество допустимых оценивателей образуют такие измеримые функции наблюдений /гг = Ы{и,и) Ст[0, г] х В[0,*] М'х1, что {||7г(0')Ц2} < 00

Fe ¡F

irxl

Пусть а С —> Rrxl — известная ограниченная функция Задана фиксированная "опорная" оценка oj = а«(04) вектора a(7(w)), то есть измеримая функция at Cm[0,i] х B[0,i] P/Xl, для которой sup EF {||(О*)j|2} < oo

tela T]

Fe F

Рассматривается семейство целевых функций Jot

MF, ht) = {\\ht - ht(Ob)||2 - ||a(7) - 5((0')||2|Ot) ,

параметризованное траекторией наблюдений Оt

Задача 5.6. Задача минимаксного апостериорного оценивания в ТСМС заключается в нахождении такой оценки hf, что h( € Arg mm sup Jo'(F, ht) для Pjr-

ht6H, FeV

почти всех траекторий Оь одновременно для всех распределений F £ F Теорема 5 4 Верны следующие утверждения 1) если существует решение двойственной задачи

F е Argmax j - \\htF||2) - - \\a?||2) - \\ät - af ||2} , (5 88)

то целевая функция Jo'{F,ht) при Рр-почти всех Ог (F 6 F — любое допустимое распределение) имеет седловую точку (F, h;) на множестве F х Ht наихудшее распределение F является решением (5 88), а h( = ht(O') = /if(O') — решение задачи 5 6, являющееся байесовской оценкой для наихудшего распределения F

bp{u,v,t)duY(dv)\ / t){y,q)zlj{y,q,t)dyF(dq), \JRxC J JRxC

и выражающееся через (обобщенное) решение уравнения ip(y,q,t) = diag(p0)^o(2/) - J (diaga(y,q)ip(y,q,s)j ds+

+ Ja \{(dmgb(y'qrfy(y'q's})yy+A*(qMy'q's) ds+

[ dia,gxf(y,q!s)A*(y,q)(ee*)~1dU3 + / (diag ?) - Inxn)v(y,Q, s-)(dQs - ds), J 0 J 0

2) если функция Щ(0*) ?1епрерывна по q, то решение двойственной задачи (5 88) гарантированно существует, при этом имеется вариант наихудшего распределения Р, сосредоточенный не более, чем в 1 + г + 4 точках множества С

Шестая глава посвящена приложениям разработанных методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах в практических задачах

Глава делится на три крупные раздела Раздел 6 1 посвящен использованию методов анализа и оценивания в области авиационной и ракетно-космической техники

П 611 содержит решение задачи оценивания локальной горизонтальной скорости ветра по косвенным зашумленным измерениям скорости метеорологического зонда

П 612 посвящен применению методов байесовской идентификации и минимаксного оценивания для калибровки характеристик шумов траекторных измерительных средств в процессе их нормальной эксплуатации Предложенные процедуры идентификации позволяют существенно уточнить по сравнению с паспортными значениями метрологические характеристики измерительных средств систематическую погрешность, дисперсии номинальных шумов и выбросов, показатели интенсивности появления выбросов и их длительности

В разделе 6 2 рассмотрена задача, имеющая отношение к области телекоммуникаций Необходимо осуществлять мониторинг состояния TCP-соединения по статистической информации о времени подтверждения получения пакетов и потоку потерь пакетов по различной априорной информации о характеристиках канала В пп 6 2 1 и 6 2 2 предполагается, что все вероятностные характеристики канала известны, и мониторинг сводится к решению задачи СК-оптимальной фильтрации состояния СМ-СП В и 6 2 3 мониторинг осуществляется в условиях априорной неопределенности характеристик канала В этом случае он сводится к решению задачи минимаксного апостериорного оценивания состояний МСП с конечным числом состояний

В разделе 6 3 математический аппарат анализа и оценивания в CMC применен при феноменологическом исследовании явлений в турбулентной плазме В пп 6 316 3 3 проводится физический анализ CMC, то есть выделяются те их свойства, которые близки реальным явлениям, протекающим в опытных установках по удержанию плазмы Оказывается, что распределения состояний CMC обладает "тяжелыми хвостами", а также имеют "долгоживущую корреляцию", как и флуктуации плотности плазмы, измеряемые на плазменных установках Данные выводы позволяют рассматривать CMC как альтернативы известным вероятностным моделям описания плазменных явлений В п 6 3 4 решена задача идентификации параметров плазменной турбулентности, причем эффективность ее численной реализации проверена как на искусственно смоделированных данных, так и на измерениях, полученных на сталлараторе TJ-II (СИЕМАТ, г Мадрид) Математические результаты идентификации полностью соответствуют выводам физиков о турбулентных процессах, протекающих в "спокойной" плазме

Результаты, выносимые на защиту

В диссертационной работе представлена единая теория анализа и оценивания состояний и параметров диффузионных процессов со скачками, описываемых скрытыми марковскими системами, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации

1) Универсальное математическое описание стохастических дифференциальных систем наблюдения со случайной структурой в форме скрытых марковских систем

2) Определение класса специальных марковских скачкообразных процессов для использования в качестве переключающих процессов в скрытых марковских системах Методы анализа специальных марковских скачкообразных процессов, вывод их производящих операторов, компенсаторов порожденных стохастических мер и мартингаль-ных представлений в прямом и обратном времени

3) Методы анализа обобщенных скрытых марковских систем, порожденных специальными марковскими скачкообразными процессами, вывод обобщения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для переходной вероятности и плотности распределе-

ния

4) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами по непрерывным, считающим и дискретным наблюдениям

5) Теория оптимального линейного и условно-оптимального (полиномиального) оценивания в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами

6) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции состояний в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям, вывод обобщенного уравнения Закаи и анализ условий существования его решения

7) Теория байесовской идентификации параметров в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям

8) Теория минимаксного линейного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах, имеющих неопределенное среднее и ограниченный ковариационный оператор, вывод обобщения условия Винера-Хопфа минимаксности линейной оценки Решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой

9) Теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах в условиях статистической параметрической неопределенности по разнородным наблюдениям

10) Применение методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах при решении прикладных задач определения горизонтальной скорости ветра по зашумленным измерениям скорости метеорологического зонда, калибровки тра-екторных измерительных средств в режиме нормальной эксплуатации, мониторинга состояния ТСР-соединения по различной априорной и статистической информации, анализа и идентификации феноменологических моделей явлений в турбулентной плазме

Публикации по теме диссертации в изданиях, входящих в список ВАК

1 Борисов А В, Панков А Р, Сотский Н М Фильтрация и сглаживание в неопределенно-стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // Автоматика и телемеханика — 1991 — № 3 — С 85-95

2 9 Борисов А В, Панков А Р, Сотский Н М Минимаксное оценивание линейных дифференциальных неопределенно-стохастических систем // Автоматика и телемеханика — 1992 — № 4 — С 57-63

3 Борисов А В, Панков А Р Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика — 1996 — № 6 — С 61-75

4 10 Панков А Р, Борисов А Б Минимаксные процедуры статистического оценивания в гильбертовых пространствах // Доклады РАН — 1996 — № 6 —

С 61-75_

9 В [1,2] автор готовил материалы численных примеров и проводил расчеты на компьютере

10 В [3,4] авгор доказал обобщение условий минимаксности линейной оценки типа условия Винера-Хопфа в задаче оценивания центрированного случайного элемента г неизвестным, но ограниченным ковариационным оператором

-305 Борисов А В , Панков А Р Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах I оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика — 1998 — № 5 — С 102-111

6 11 Борисов А В, Панков А Р Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах II минимаксная фильтрация в динамических системах, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой // Автоматика и телемеханика — 1998 — № 5 — С 139-152

7 Борисов А В Оптимальная фильтрация с вырожденными шумами в наблюдениях // Автоматика и телемеханика — 1998 — № 11 — С 32-46

8 Борисов А В Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов I мартингальное представление // Автоматика и ■телемеханика — 2004 — Т 65, № 1 — С 45-60

9 Борисов А В Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов II оптимальная фильтрация в присутствии винеровских шумов // Автоматика и телемеханика — 2004 — Т 65, № 5 — С 61-76

10 Борисов А В Предварительный анализ распределения состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН Теория и системы управления — 2005 — № 1 — С 48-62

И Борисов А В, Миллер Г Б Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени I Мартингальное представление // Автоматика и телемеханика — 2005 — № 6 — С 114-125

12 12 Борисов А В, Миллер Г Б Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени II Оптимальная фильтрация // Автоматика и телемеханика — 2005 — № 7 — С 112-125

13 Борисов А В Анализ состояний скрытых марковских моделей, порожденных специальными скачкообразными процессами //' Теория вероятностей и ее применения - 2006 — Т 51, № 3 — С 1-16

14 Борисов А В Минимаксный фильтр Вонэма // Обозрение прикладной и промышленной математички — 2006 — Т 13, № 6 — С 1021-1022

15 Борисов А В Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы I оптимальное линейное оценивание // Автоматика и телемеханика — 2006 — Т 67, № 8 — С 51-76

16 Борисов А В Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы II оптимальное нелинейное оценивание // Автоматика и телемеханика — 2006 — Т 67, № 9 — С 120-141

17 Борисов А В, Стефанович А И Оптимальная фильтрация состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН Теория и

_системы управления — 2007 — № 3 — С 16-26

11 В [5,6] автор решит поставленные задачи минимаксного линейного оценивания

12 В (11,12] автору принадлежит мартингальное представление марковского скачкообразного процесса в прямом и обратном времени, постановка задачи оптимальной фильтрации и сведение к ней задачи мониторинга состояния сетевого ТСР-соединения

-3118 Борисов А В Условно-оптимальное оценивание специальных марковских скачкообразных процессов // Автоматика и телемеханика — 2007 — Т 68, № 9 - С 47-65

19 Борисов А В Минимаксное апостериорное оценивание в скрытых марковских моделях // Автоматика и телемеханика — 2007 — Т 68, № 11 — С 31-45

20 Борисов А В Минимаксное апостериорное оценивание марковских процессов с конечным числом состояний // Автоматика и телемеханика — 2008 — Т 69, № 2 - С 64-79

21 13 Борисов А В , Стефанович А И , Скворцова Н Н Информационные технологии идентификации в скрытых марковских модетях процессов плазменной турбулентности // Вестник МАИ — 2008 — Т 15, Л® 2 — С 17-27

Избранные публикации по теме диссертации в иностранных изданиях

1 Borisov А V Fokkei-Plank like equation for hidden Markov models governed by special jump processes // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control — Paradise Island Omnipress, 2004 — Pp 4151-4156

2 Borisov A V, Korolev V Y, Stefanovich A I Hidden Markov Models of Plasma Turbulence // Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence / Ed by V Y Korolev, N N Skvortsova - Leiden-Boston VSP, 2006 - Pp 345-400

3 Bonsoo A V, Miller G В Hidden Markov model approach to TCP link state tracking // 43-th Conference on Decision and Control — Bahamas, Nassau December 14-17, 2004 - Pp 3126-3137

4 Borisov A V, Pankov A R Conditionally-minimax filtering foi infinite-dimensional nonlinear stochastic systems If 3rd European Control Conference, Pioceedmgs — Roma, Italy 1995 - Pp 2154-2159

5 Bonsov A V, Pankov A R Mimmax statistical estimation procedures m infinite dimensional spaces // System Structure and Control, Preprints — Nantes, France 1995 - Pp 49-54

6 Pankov A R , Bonsov A V Process estimation m unceitain-stochastic systems // Advances in Modelling & Simulation — 1992 — Vol 32 — Pp 1-16

7 Pankov A R , Borisov A V Optimal filtering m stochastic discrete-time systems with unknown inputs // IEEE Transactions on Automftic Control -- 1994 — Vol 39, no 12 - Pp 2461-2464

8 Pankov A R , Borisov A A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic linear dynamic systems // International Journal of Control — 1994 ~ Vol 60 - Pp 413-423

9 Borisov A V, Stefanovich A I Optimal filtering for HMM governed by special jump processes // 44-th Conference on Decision and Control and the European Control Conference - Seville, Spam December, 12-15 2005 - Pp 5935-5940

13 В [17,21] автору принадлежат постановка и теоретическое решение задачи оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системе«

Борисов Андрей Владимирович

Методы анализа и оценивания в скрытых марковских системах при обработке разнородной информации

Специальность 05 13 01 Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)

Подписано к печати Формат бумаги 60 х 90 1/16 Заказ

Объем 2 печ л Тираж —100 экз

Типография МАИ, 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4

Обозначения

Сокращения

Введение

1 Методы анализа специальных марковских скачкообразных процессов

1.1 Основные определения и обозначения.

1.1.1 Определение специального марковского скачкообразного процесса и его конструктивное описание.

1.1.2 Производящий оператор специального марковского скачкообразного процесса.

1.1.3 Стохастическая мера, порожденная специальным марковским скачкообразным процессом.

1.2 Мартингальное представление специальных марковских скачкообразных процессов в прямом времени.

1.3 Мартингальное представление специальных марковских скачкообразных процессов в обратном времени.

1.4 Выводы по главе 1.

2 Методы анализа состояний обобщенных скрытых марковских систем

2.1 Определение и свойства обобщенных скрытых марковских моделей.

2.2 Переходная вероятность процессов, описываемых обобщенными скрытыми марковскими системами.

2.3 Плотность распределения состояний обобщенных скрытых марковских систем

2.3.1 Уравнение для плотности распределения.

2.3.2 Численные примеры анализа плотности распределения

2.4 Анализ частных случаев скрытых марковских систем.

2.4.1 Переходная плотность состояний традиционных скрытых марковских систем.

2.4.2 Обобщенная скрытая марковская система с конечным числом скачков

2.4.3 Численный пример: анализ обобщенной скрытой марковской системы с одним скачком.

2.5 Выводы по главе 2.

3 Методы оценивания в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами

3.1 Оптимальная нелинейная фильтрация специальных марковских скачкообразных процессов

3.1.1 Оптимальная нелинейная фильтрация по непрерывным наблюдениям

3.1.2 Условная переходная плотность вероятности при фильтрации по непрерывным наблюдениям

3.1.3 Оптимальная нелинейная фильтрация по непрерывным и считающим наблюдениям.

3.1.4 Оптимальная нелинейная фильтрация по непрерывно-дискретным наблюдениям.

3.1.5 Численный пример: нелинейная фильтрация по непрерывным наблюдениям

3.2 Байесовское оценивание в системах наблюдения с марковскими скачкообразными процессами с конечным числом состояний.

3.3 Оптимальная линейная фильтрация специальных марковских скачкообразных процессов.

3.4 Условно-оптимальные методы фильтрации специальных марковских скачкообразных процессов.

3.4.1 Условно-оптимальная полиномиальная фильтрация в исходном вероятностном пространстве

3.4.2 Условно-оптимальная полиномиальная фильтрация для ненормированных оценок.

3.4.3 Численный пример: сравнение качества линейной, полиномиальной и нелинейной оценок фильтрации.

3.5 Оптимальная нелинейная интерполяция специальных марковских скачкообразных процессов

3.5.1 Прямая нелинейная интерполяция

3.5.2 Обратная нелинейная интерполяция

3.5.3 Обратная нелинейная интерполяция: двухфильтровая оценка.

3.6 Оптимальная линейная интерполяция специальных марковских скачкообразных процессов

3.6.1 Обратная линейная интерполяция.

3.6.2 Обратная линейная интерполяция: двухфильтровая оценка.

3.6.3 Численный пример: сравнение качества оценок фильтрации и сглаживания

3.7 Выводы по главе 3.

4 Методы оценивания в скрытых марковских системах

4.1 Оптимальная фильтрация в обобщенных скрытых марковских системах

4.1.1 Оптимальная фильтрация по непрерывным наблюдениям.

4.1.2 Оптимальная фильтрация по непрерывным и считающим наблюдениям

4.1.3 Оптимальная фильтрация по непрерывно-дискретным наблюдениям

4.1.4 Численный пример: оптимальная фильтрация по непрерывным наблюдениям

4.2 Оптимальная интерполяция в обобщенных скрытых марковских системах

4.3 Байесовское оценивание в традиционных скрытых марковских системах

4.4 Выводы по главе 4.

5 Методы минимаксного оценивания

5.1 Минимаксное оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах.

5.1.1 Минимаксное оценивание центрированных случайных элементов

5.1.2 Минимаксное оценивание случайных элементов с неопределенным математическим ожиданием и ограниченным ковариационным оператором

5.2 Минимаксное оценивание в дифференциальных неопределенно-стохастических системах.

5.2.1 Минимаксная фильтрация в неопределенно-стохастических системах, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой.

5.2.2 Минимаксная обратная интерполяция состояний неопределенных линейных дифференциальных систем: двухфильтровая оценка.

5.2.3 Численные примеры: сравнение качества оценок минимаксной фильтрации и интерполяции состояний неопределенных систем

5.3 Минимаксное апостериорное оценивание в системах наблюдения с марковскими скачкообразными процессами.

5.3.1 Постановка задачи.

5.3.2 Решение задачи минимаксного оценивания в системах наблюдения с марковскими скачкообразными процессами

5.4 Минимаксное апостериорное оценивание в традиционных скрытых марковских системах

5.4.1 Постановка задачи.

5.4.2 Решение задачи минимаксного оценивания в традиционных скрытых марковских системах.

5.5 Выводы по главе 5.

6 Применение скрытых марковских систем в прикладных задачах анализа и оценивания

6.1 Применения в области авиационной и ракетно-космической техники.

6.1.1 Совместное оценивание горизонтального движения метеорологического зонда и ветровых возмущений

6.1.2 Калибровка траекторных измерительных средств в режиме нормальной эксплуатации.

6.2 Мониторинг функционирования телекоммуникационных каналов связи

6.2.1 Фильтрация состояний специальных марковских цепей

6.2.2 Мониторинг TCP соединения (дискретное время)

6.2.3 Мониторинг TCP соединения в условиях неопределенности (непрерывное время).

6.3 Анализ и оценивание процессов структурной плазменной турбулентности

6.3.1 Предпосылки использования скрытых марковских моделей для описания турбулентных явлений в плазме.

6.3.2 Использование скрытых марковских моделей для аппроксимации самоподобных процессов

6.3.3 Использование скрытых марковских систем для аппроксимации процессов с "долгоживущей" и "вспышечной" корреляцией

6.3.4 Байесовская идентификация параметров плазменной турбулентности 219 6.4 Выводы по главе 6.

Формальные математические методы обработки информации и анализа сложных динамических систем заняли свое законное место в инструментарии решения самых разнообразных прикладных задач управления и оптимизации в технических, экономических, социальных и других реально существующих системах. В силу того, что конечный практический выход, польза теоретических исследований становятся все более значимыми и даже доминирующими, в деятельности специалистов в области теории вероятностей, системного анализа, обработки информации и управления, и практических инженеров и экономистов наблюдается активное сближение. С одной стороны, всегда делаются попытки применения результатов математических исследований вполне абстрактных динамических систем при решении проблем анализа, оценивания или оптимизации в практических задачах, то есть производится поиск реальных систем, которым отвечают разработанные математические модели. С другой стороны, успешное решение практических задач системного анализа и управления на инженерном уровне дает основание для дальнейших теоретических обобщений и создания общих абстрактных математических моделей.

Для эффективного решения практических задач ключевым условием является выбор адекватной математической модели реальных явлений, протекающих при наличии случайных воздействий и априорной неопределенности. Для ряда областей техники набор таких моделей и соответствующий математический аппарат уже существует. Например, это верно для различного рода механических и робототехнических систем, радиоэлектронных приборов и систем управления и пр. Наличие таких моделей определено, прежде всего, высокой степенью изученности указанных систем и связанных с ними явлений, а также известными детерминированными законами физики. При наличии случайных возмущений в таких системах использование классического математического аппарата стохастических дифференциальных уравнений с гауссовскими мартингалами, а также соответствующих адаптивных, робастных и гарантирующих подходов для решения задач анализа, оценивания и оптимизации представляется достаточным. В то же время в современной науке, технике, экономике и социологии известен значительный ряд явлений и порожденных ими задач анализа и управления, формальное описание которых с помощью известных математических моделей, и, в частности, с помощью указанных стохастических дифференциальных уравнений, является недостаточным. Для этих объектов, безусловно, предложен некоторый набор моделей, однако они являются "локальными", то есть условия их адекватности, а значит и применимости, весьма обременительны.

К подобным явлениям в области авиационной и ракетно-космической техники относится, например, движение маневрирующего летательного аппарата в турбулентной атмосфере в условиях неопределенных управляющих воздействий, и связанные с ним задачи слежения и наведения. К этому же классу принадлежат задачи обнаружения, распознавания и слежения за множественными воздушными целями в условиях помех различного рода.

В физике высокотемпературной плазмы отсутствует адекватная феноменологически подтвержденная математическая модель явлений, связанных с плазменной турбулентностью. Наличие такой модели дало бы возможность прогнозирования явлений аномальной диффузии в установках удержания плазмы, что является одним из необходимых условий осуществления управляемого термоядерного синтеза.

В области телекоммуникаций ожидают своего адекватного математического описания процессы отправки, передачи и получения данных в крупномасштабных сетях. При этом одни и те же явления требуют, с одной стороны, локального определения для отдельных пользовательских узлов, серверов, активного сетевого оборудования, с другой — интегрального описания состояния сети как единой системы массового обслуживания. Такое описание должно учитывать изменчивость как окружения сети, то есть случайный характер, разнородность и неопределенность потоков данных в ней, так и нестационарность ее характеристик, связанную со скачкообразной сменой топологии, отказами оборудования, случайными изменениями характеристик сетевых соединений и пр. Ясно, что наличие адекватных математических моделей этих явлений в совокупности со средствами анализа и оценивания/идентификации, могли бы служить надежной основой для решения практических задач оптимизации при проектировании распределенных информационно-вычислительных систем и сетевого оборудования, разработки и усовершенствования протоколов передачи данных, и в других областях.

В сфере управления ценными бумагами до сих пор не существует фундаментальной модели, описывающей эволюцию во времени курсов основных и производных финансовых инструментов в условиях случайной смены сценариев развития финансовых рынков. Полезность такой модели совершенно очевидна с точки зрения ее последующего использования как при оптимизации портфельных инвестиций, так и в спекулятивной игре на финансовом рынке.

Перечисленные выше реальные явления обладают общими для них ключевыми особенностями: временной неоднородностью и нестационарностью. Траектории соответствующих процессов представляют собой своего рода "склейку" разной степени гладкости траекторий процессов — решений разных стохастических дифференциальных уравнений, проведенную в случайные моменты времени. При этом дисциплина смены "локальных" моделей также является случайной. Например, полет любого летательного аппарата можно рассматривать как последовательность выполнения им различного рода маневров. Эволюция курсов финансовых инструментов, рассмотренная с этих же позиций, определяется случайной сменой сценариев функционирования финансового рынка: спокойным развитием, периодом, предшествующим панике, собственно паникой и последующей рецессией. Та же аргументация по выбору формального математического описания справедлива и для других уже упомянутых реальных явлений. Для обозначения динамических систем такого вида одним из наиболее употребляемых является термин "системы со случайной структурой". Вышеперечисленные практические примеры подтверждают тот факт, что задачи разработки математического аппарата описания, анализа и оценивания/идентификации стохастических динамических системах со случайной структурой для их последующей оптимизации являются весьма актуальными.

Конструирование новых стохастических систем со структурой, изменяющейся со временем скачкообразно и случайным образом, а также рассмотрение для таких систем задач анализа, оценивания и оптимизации, выполнялось и ранее с помощью различных математических подходов. В нашей стране идеи использования систем со случайной структурой впервые, по-видимому, была опубликована в цикле статей [100] в качестве возможного подхода к решению одной прикладной задачи стабилизации. Тем не менее, развернутое формальное описание процесса со случайной структурой, смена которой определялась бы марковским скачкообразным процессом с конечным множеством состояний [77], а на промежутках постоянства состояния структуры процесс являлся бы диффузионным, было приведено в пионерской статье P. JT. Стратоновича [149], а затем и в его классической монографии [150]. С объектами такого рода автор связывал понятие условно-марковского процесса. В упомянутой монографии основное внимание уделялось определению апостериорных характеристик марковского процесса смены структуры (в дальнейшем называемом также процессом переключений, переключателем, субординатором, дисциплинарным процессом) при наблюдении переключаемого диффузионного процесса. Полученные аналитические характеристики (инфинитезимальиые генераторы, переходные вероятности и пр.) были абстрактно выражены в терминах производных Радона-Никодима вероятностных мер диффузионных процессов по таким же мерам. Так как внимание в монографии в большей степени было уделено определению апостериорных характеристик процесса переключений, термин "условно-марковский процесс" не получил широкого распространения, и более популярным в отечественной литературе стал уже упомянутый термин "процессы (системы) со случайной структурой", а также "процессы (системы) с марковскими переключениями". В дальнейших изысканиях класс подобных процессов был расширен до множества диффузионных процессов со скачками [9,53,59]. Для этих процессов рассматривалась возможность их представления в виде решений стохастических дифференциальных уравнений с мартингалами в правой части, или общих мартингальных представлений. С этой точки зрения исследовались и собственно скачкообразные процессы переключений [80,112,176,245,261].

Теоретические результаты в области анализа, оценивания и управления, а также методы решения прикладных задач в авиационно-космической области, а также при обработке сигналов в радиоэлектронных системах с использованием аппарата систем со случайной структурой были получены В. М. Артемьевым, В. А. Бухалевым, С. В. Емельяновым, И. Е. Казаковым, А. Н. и Ф. А. Скляревичами, В. Г. Репиным, В. И. Уткиным и др. в [5,79,84-86,143]. Однако, математический аппарат, использованный в данных работах, являлся недостаточным при выводе обобщений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Поэтому полученные результаты нуждались в верификации и уточнении.

Спектральные методы анализа использовались Р. Брокеттом, Д. Либерзоном, А. В. Пантелеевым, К. А. Рыбаковым, И. JI. Сотсковой в [135,259]. Проблемы анализа, устойчивости и стабилизации стохастических систем со случайной структурой были исследованы в работах Т. А. Авериной, Т. В. Завьяловой, И. Я. Каца, С. С. Ломакиной, В. И. Смагина, Г. А. Тимофеевой [1,81,82,90,113-115].

Задачи анализа и управления в динамических системах со случайной структурой в дискретном времени исследовались в работах В. А. Бухалева [49-51]. Проблемы управления наблюдениями в подобных системах изучались Ф.Н. Григорьевым, H.A. Кузнецовым и А.П. Серебровским [63]. Робастный подход к задачам оценивания и стабилизации в системах со случайной структурой как в непрерывном, так и в дискретном времени был использован П. В. Пакшиным [125-129], а минимаксные методы — О.Н. Граничиным [62]. Задачи оценивания в стохастических системах наблюдения, содержащих в качестве состояний или наблюдений процессы со случайной структурой по непрерывно-дискретным измерениям рассматривались Н. С. Дёминым в [65-71]. Проблемы оптимального и ро-бастного управления линейными стохастическими системами со случайной структурой применительно к задачам портфельного инвестирования исследовались В.В. Домбров-ским в [57,58,74,75,217,218]. Эффективные с точки зрения численной реализации оптимальные и субоптимальные методы оценивания в дискретных системах со случайной структурой были предложены в монографиях В. А. Васильева, А. В. Добровидова и Г. М. Кошкина [52,72]. Методы анализа и оценивания в стохастических системах с переменной структурой, основанные на использовании уравнений Пугачева и методах канонических разложений случайных процессов, предложены в работах В. С. Пугачева и И. Н. Сини-цына [136-138,147].

В 1966 г. в статье [166] JI. Баум и Т. Петри ввели понятие "скрытого марковского процесса" как случайной функции от марковской цепи. Другой термин — "скрытая марковская модель" — в этом контексте означал любое формальное описание скрытого марковского процесса, и отождествлялся с ним. Изначально в работах Баума, Петри и их современников в качестве скрытого марковского процесса рассматривалась дискретная цепь Маркова, переходная матрица которой, в свою очередь, была функцией другой (скрытой) марковской цепи. Начиная с этого времени, исследования скрытых марковских моделей разделилось на ряд направлений, различные классификации которых можно найти, например, в [199,220,222]. Это деление, обусловлено подклассом исследуемых процессов, рассматриваемыми задачами, методами их решения и областями применения.

Прежде всего, существует ряд работ по анализу, оцениванию и статистическим выводам о скрытых марковских моделях с дискретным временем, основанных на статистических методах временных рядов [199, 227, 229, 239, 240, 254, 260, 277]. В данных работах предполагается, что скрытые марковские процессы описываются моделями известных классов (например, ARMA, GARCH и пр.), параметры которых переключаются марковским образом. Помимо этого, для этих моделей рассмотрены задачи, связанные с их асимптотическими свойствами: стационарностью, эргодичностью, устойчивостью и пр. [205, 225, 233, 236, 257]. Условия эргодичности и стационарности исследовались и для процессов Кокса (то есть пуассоновских процессов, интенсивность которых зависит от состояния марковской цепи) [238,303]. Ряд работ был посвящен оптимальным и субоптимальным относительно различных критериев качества методам и алгоритмам оценивания состояний [177,235,251,320], а также идентификации параметров моделей [122,167,197,243,248,257,262,276,300,302,304,305,330].

Другое ключевое направление исследования скрытых марковских моделей связано с процессами в непрерывном времени. Это свойство определило концепцию описания данных процессов в терминах стохастических динамических систем, что наиболее полно отражено в монографии Р. Эллиотта, Л. Аггуна и Дж. Мура [220]. Для таких процессов аппарат исследований базировался на стохастическом анализе, теории мартингалов и методе замены вероятностной меры. Помимо работ по анализу и обработке скачкообразных процессов, упомянутых выше, следует отдельно упомянуть работы [201,215,219,246,328], посвященные решению задачи оптимальной фильтрации состояний марковских скачкообразных процессов с конечным числом состояний по наблюдениям различной структуры, а также идентификации их параметров. Дело в том, что практически во всех упоминаемых работах по скрытым марковским моделям переключающий процесс имел конечный набор состояний. Задачи анализа таких скрытых марковских моделей рассматривались в [168,266], оптимального и условно-оптимального оценивания — в [174,204,230,279], а управления — в [171,226,247,258,268]. Необходимо отметить, что и класс переключаемых процессов также расширялся и стал включать в себя, помимо решений "обыкновенных" стохастических дифференциальных уравнений, также и уравнения с памятью и запаздываниями разного рода [196,267,308,325].

Помимо задач анализа, оценивания и управления в условиях полной информации о характеристиках системы наблюдения со случайной структурой, рассматривались также и соответствующие задачи в условиях их априорной неопределенности с привлечением робастного, Н°° и Н2 подходов [164,210-213,290,324].

Скрытые марковские процессы, описываемые между моментами переключений с помощью обыкновенных (неслучайных) дифференциальных уравнений, были названы М.Х.А. Дэвисом кусочно-детерминированными [208,209]. Другие авторы называют системы, соответствующие этим процессам, гибридными. Задачи анализа и управления такими системами по полной информации рассмотрены, помимо указанных выше двух работ в [198,202,203,250,265,269,289,327].

Наряду с исследованиями абстрактных свойств скрытых марковских моделей, они весьма активно применялись при решении практических задач в самых различных областях: в навигации, при слежении и наведении воздушных и морских судов, в управлении финансами и страховании, экономике и управлении производством, управлении телекоммуникационными системами, передаче информации и кодировании, обработке почерка, речи, сигналов и изображений, акустике, биологии и физиологии, климатологии и физике плазмы. Обширная библиография по приложениям приведена в монографиях [199,220], а также в обзоре [222]. Помимо этого, необходимо также упомянуть интересные и важные работы [56,83,158,160-163,170,175,207,228,231,241,256,264,299,301,313,315,326,329].

Подводя итоги анализа перечисленных выше работ, можно сделать следующие выводы, определяющие направления исследований данной диссертации.

1) Отсутствуют универсальные математические методы вероятностного описания стохастических дифференциальных систем со случайной структурой.

2) В подавляющем большинстве статей, посвященных скрытым марковским процессам в непрерывном времени, в качестве переключающих выступали марковские скачкообразные процессы с конечным числом состояний. Это обстоятельство сильно сужает класс реальных явлений, которые могут быть описаны с помощью таких моделей.

3) Отсутствует аккуратное доказательство марковского свойства пары "диффузионный процесс с переключениями — процесс переключений". Наличие такого свойства узаконило бы стандартный для марковских процессов эффективный способ описания их распределений с помощью переходной вероятности.

4) Не найден общий вид решения задачи оптимальной в среднеквадратичном смысле фильтрации состояний скрытых марковских моделей. Исследования в этой области [174, 279] привели к пессимистичному результату: оптимальная нелинейная оценка фильтрации будет конечномерной только для очень узкого класса систем наблюдения, не содержащих измерений диффузионной компоненты. Тем не менее, вычисление оптимальных оценок даже посредством решения уравнений Кушнера-Стратоновича или Закаи для условной плотности, является ключевым как для решения последующих задач оптимального управления по неполной информации, так и для разработки эффективных с точки зрения численной реализации алгоритмов субоптимального оценивания и управления.

5) Оценивание и управление в системах наблюдения со скрытыми марковскими процессами в условиях априорной неопределенности зачастую ограничивалось рассмотрением линейных или кусочно-линейных систем. С другой стороны, множество допустимых оценок/управлений обычно постулировалось линейными функциями наблюдений. Наконец, в качестве показателей оптимальности выступали робастные Н°° и Н2 критерии, которые косвенно накладывали специфическое ограничения на вид неопределенности как параметров системы, так входных и воздействий/шумов.

Помимо этих выводов следует еще раз перечислить все те термины, которые используются для обозначения случайных процессов и соответствующих динамических систем, структура которых подвержена марковским скачкообразным изменениям: условно-марковские процессы, системы со случайной структурой, системы с изменяющейся структурой, системы с марковскими переключениями, системы в случайном (марковском) окружении, кусочно-детерминированные процессы, гибридные системы, скрытые марковские модели и процессы.

Множества объектов, соответствующих каждому термину, пересекаются, но не совпадают. В данной диссертационной работе для этого "пересечения" вводится единый термин " скрытой марковской системы". Он обозначает любую динамическую систему наблюдения, в которой уравнения состояния и/или наблюдения определяют случайную функцию от внешнего ненаблюдаемого (скрытого) марковского скачкообразного процесса — субординатора. Если субординатор имеет конечное число состояний, то соответствующая скрытая марковская система называется традиционной, в противном случае будет использоваться термин 11 обобщенная скрытая марковская система". Системы наблюдения такого вида и являются объектом исследований, представленных в данной работе.

Предметом изучения являются скрытые марковские системы с непрерывным временем при наличии различных комплексов априорной и статистической информации. В работе применительно к данным системам исследуются задачи анализа и оценивания. При этом к области анализа относятся аспекты, связанные с характеризацией процессов в исследуемых системах наблюдения, включая вероятностное описание класса скачкообразных процессов, являющихся процессами переключений в рассматриваемых скрытых марковских моделях: определение переходных вероятностей, генераторов, порождаемых стохастических мер и пр.,

-17- мартингальное представление описанного класса скачкообразных процессов в прямом и обратном времени,

- характеризацию класса обобщенных скрытых марковских моделей и описание эволюции во времени их распределений.

К области оценивания отнесены проблемы фильтрации, интерполяции и идентификации в скрытых марковских системах. При этом математический аппарат и методы, применяемые при оценивании, определяются структурой и объемом имеющейся информации о системе. В работе предполагается, что доступная информация является разнородной и глобально подразделяется на

- априорные данные о системе наблюдения, содержащие информацию об уравнениях состояния и наблюдениях, их параметрах, начальных условиях, вероятностных характеристиках входных воздействий и шумов, и пр.;

- статистическую информацию, определяемую структурой и свойствами доступных наблюдений.

При наличии полной априорной информации о скрытой марковской системе для решения задачи оценивания может применяться известный математический аппарат оптимального и условно-оптимального оценивания, в то время как в условиях априорной неопределенности необходим выбор иных подходов: адаптивного, робастного, гарантирующего, минимаксного и др.

Доступная статистическая информация о скрытой марковской системе подразделяется на

- непрерывные наблюдения,

- считающие наблюдения,

- дискретные наблюдения.

Целью диссертации является разработка теоретических основ и методов вероятностного анализа и статистического оценивания процессов и параметров в скрытых марковских системах с непрерывным временем, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации.

Для достижения выбранной цели необходимо:

-181) сформировать комплексный систематический подход к определению и изучению обобщенных скрытых марковских систем, включая выбор для них класса процессов переключений и вероятностного описания соответствующих стохастических дифференциальных систем со случайной структурой;

2) решить задачу анализа состояний обобщенных скрытых марковских систем;

3) построить теорию оптимального линейного, условно-оптимального и оптимального нелинейного оценивания состояний в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям;

4) решить задачу байесовской идентификации параметров скрытых марковских систем;

5) построить теорию минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их моментных характеристик, с приложениями к задачам оценивания состояний неопределенно-стохастических систем наблюдения, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой;

6) построить теорию минимаксного апостериорного оценивания в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям в условиях неопределенности;

7) продемонстрировать эффективность разработанных теоретических методов анализа и оценивания при решении практических задач системного анализа и обработки информации в области авиационной и ракетно-космической техники.

Методы исследования. В главах 1-4 работы используются современные методы теории вероятностей, математической статистики и стохастического анализа, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений с мартингалами в правой части, а также математический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных и их стохастических аналогов. Помимо этого, в главе 5 диссертации, посвященной решению задач минимаксного оценивания, используются методы функционального и выпуклого анализа.

Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты в области анализа и оценивания в скрытых марковских системах, среди которых можно выделить следующие.

-191) Предложен единый математический формализм для описания и анализа состояний обобщенных скрытых марковских систем: выделен и проанализирован класс марковских скачкообразных процессов, служащих переключателями в обобщенных скрытых марковских системах, решена задача вероятностного анализа скрытых марковских систем: получено обобщение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для переходной вероятности и плотности распределения, и определены условия существования и единственности их решений.

2) Представлены решения задач оптимального оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям: решены задачи оптимальной линейной, условно-оптимальной (полиномиальной) и оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания марковских скачкообразных процессов; решены задачи оптимальной нелинейной фильтрации и сглаживания состояний скрытых марковских систем в форме обобщения уравнения Закаи для условной плотности распределения, и определены условия существования его решения. решена задача байесовской идентификации параметров скрытых марковских систем.

3) Найдено решение задачи минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах в условиях априорной неопределенности их моментных характеристик, получено условие минимаксности линейной оценки типа условия Винера-Хопфа.

4) Получено решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой.

5) Разработана теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах в условиях статистической параметрической неопределенности.

Практическая ценность работы состоит в том, что ее теоретические результаты могут служить основой для разработки программно-алгоритмического обеспечения решения прикладных задач анализа систем наблюдения, идентификации их параметров и оценивания состояний, в областях авиационной и ракетно-космической техники, информационно-телекоммуникационных сетей и физики плазмы.

Диссертационная работа содержит шесть глав, заключение и приложение.

В главе 1 к рассмотрению представлен класс специальных скачкообразных процессов. Для них доказано марковское свойство, а также определены их характеристики: переходная вероятность, производящий оператор и компенсатор порождаемой стохастической меры. Предлагаемые процессы образуют более широкий класс, чем марковские процессы с конечным числом состояний и в дальнейших главах служат переключающими процессами в обобщенных скрытых марковских системах. В данной главе для специальных скачкообразных процессов также получены их мартингальные представления в прямом и обратном времени.

В главе 2 определен класс обобщенных скрытых марковских систем, порожденных специальными марковскими скачкообразными процессами. Доказано марковское свойство пары "диффузионный процесс с переключениями — переключающий процесс". Для обобщенных скрытых марковских систем решена основная задача анализа: получены уравнения, описывающие эволюцию во времени переходной вероятности ее состояния, и являющиеся обобщением уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова. Найдены условия, налагаемые на систему, гарантирующие для нее описание переходной вероятности с помощью полученного обобщения. Для данных систем найдено уравнение, описывающие эволюцию их плотностей распределения. Рассмотрены частные случаи обобщенных скрытых марковских систем — так называемые системы с конечным числом скачков, для которых предложено аналитическое представление решения обобщения уравнения Фоккера -Планка - Колмогорова через решение уравнений без смен состояний.

Глава 3 посвящена решению различных задач оценивания состояний специальных марковских скачкообразных процессов при наличии полной априорной информации о вероятностных характеристиках систем наблюдения и разнородной измерительной информации. В этих задачах исследуемые системы наблюдения являются частным случаем обобщенных скрытых марковских систем, так как именно наблюдения представляют собой функции от ненаблюдаемых марковских скачкообразных процессов. Решены задачи оптимальной линейной, условно-оптимальной (полиномиальной) и оптимальной нелинейной фильтрации состояний скачкообразных процессов по считающим, непрерывным и дискретным косвенным наблюдениям в присутствии случайных шумов. Выведены уравнения, определяющие искомые оценки и являющиеся обобщениями уравнений фильтрации Калмана-Бьюси и уравнения Закаи. Определены условия, налагаемые на систему наблюдения, которые гарантируют существование и единственность решений этих уравнений. Найдена взаимосвязь между полученными оценками, являющимися оптимальными в различных классах допустимых оценивателей.

Для систем наблюдения с марковскими скачкообразными процессами с конечным числом состояний решена задача совместной фильтрации состояния процесса и байесовской идентификации параметров системы наблюдения по непрерывным и считающим наблюдениям.

В главе также решены задачи оптимальной линейной и нелинейной прямой и обратной интерполяции состояний специальных марковских скачкообразных процессов. Найдена взаимосвязь решения задач фильтрации и обратной интерполяции (сглаживания на фиксированном интервале наблюдения): получен "двухфильтровый" вид оптимальной оценки сглаживания, представляющей собой некоторую симметричную функцию оптимальных оценок фильтрации в прямом и обратном времени.

В главе 4 исследованы задачи оценивания в обобщенных скрытых марковских системах при наличии полной априорной информации об их вероятностных характеристиках и разнородной измерительной информации. Получены решения оптимальной нелинейной фильтрации состояния системы по считающим, непрерывным и дискретным косвенным наблюдениям в присутствии случайных шумов. Выведено уравнение, описывающее эволюцию во времени условного распределения состояния системы относительно имеющихся наблюдений, являющееся обобщением уравнения Закаи. Для исследуемых систем наблюдения определены условия, гарантирующие существование решения этого уравнения.

В главе также решена задача оптимальной интерполяции состояний обобщенных скрытых марковских систем.

Для традиционных скрытых марковских систем, порожденными марковскими скачкообразными процессами с конечным числом состояний, решена задача совместной фильтрации состояния и байесовской идентификации параметров системы наблюдения по непрерывным и считающим наблюдениям.

В главе 5 рассмотрены задачи оценивания в динамических системах в условиях априорной неопределенности параметров систем наблюдения и вероятностных характеристик случайных воздействий/шумов. Для их решения избран минимаксный подход, гарантирующий заявленную точность оценок при любом, даже наихудшем выборе указанных параметров и характеристик.

Концептуально глава делится на две части. Первая часть посвящена постановке и решению задач минимаксного линейного оценивания частично наблюдаемых случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах. Неопределенность в этих задачах связана с неточным знанием их моментных характеристик. Множество неопределенности включает в себя все элементы с конечным, но неизвестным средним и ковариационным оператором, ограниченным сверху известным ядерным неотрицательно определенным оператором. Рассмотрена задача минимаксного оценивания, в которой в качестве допустимых оценивателей выступают результаты линейных ограниченных преобразований наблюдений, а также их среднеквадратичные пределы. В качестве функции потерь в данной задаче выступает квадратичная функция ошибки оценки. Определены условия идентифицируемости, необходимые для существования решения поставленной задачи минимаксного оценивания, представлен вид минимаксной оценки, а также критерий минимаксности линейной оценки в форме условия Винера-Хопфа. В дальнейшем полученные результаты оценивания в регрессионной задаче применены для решения задачи минимаксной линейной фильтрации состояний неопределенно-стохастических систем наблюдения, описываемых линейными стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой. Помимо этого, решена задача линейной минимаксной обратной интерполяции состояний неопределенных динамических систем.

Вторая часть главы содержит новые постановки задач минимаксного оценивания. Их ключевыми отличиями являются, во-первых, критерии качества в форме условных математических ожиданий некоторых квадратичных функций оценок, и, во-вторых, класс допустимых оценивателей, включающий в себя нелинейные преобразования наблюдений. Множества неопределенности параметров содержат все их распределения, сосредоточенные на известном компакте. Оцениванию подвергаются сигнальный процесс — функция состояния системы и вектора неопределенных параметров. Указанная задача минимаксной фильтрации/идентификации решена для системы наблюдения с марковским скачкообразным процессом с конечным числом состояний, а также для традиционной скрытой марковской системы. Доказаны утверждения, описывающие искомые минимаксные оценки в терминах решения более простых двойственных оптимизационных задач, а также определен вид возможных наихудших распределений идентифицируемых параметров.

В главе 6 представлены приложения изложенных в работе теоретических методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах в практических задачах. Первая

часть главы посвящена применению полученных результатов в области авиационной и ракетно-космической техники. Рассматривалась задача оценивания локальной горизонтальной скорости ветра по косвенным зашумленным измерениям скорости поднимающегося метеорологического зонда. Решение предлагаемой прикладной задачи опиралось на выведенные в главах 2 и 4 обобщения уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова и Закаи, описывающие априорную и апостериорную совместную плотности распределения локальных скорости ветра и зонда.

В этой же части главы результаты по байесовской идентификации и минимаксному оцениванию (см. главы 4 и 5) положены в основу методики калибровки метрологических характеристик траекторных измерительных средств в процессе нормальной эксплуатации. Уточнению подвергались систематические погрешности, дисперсии номинальных шумов и выбросов, а также показатели интенсивности появления выбросов и длительности их серий.

Во второй части главы б рассмотрена задача мониторинга состояния сетевого соединения, функционирующего по протоколу TCP, по разнородной априорной и статистической информации. В случае полной априорной информации предполагается, что состояние канала связи описывается специальным марковским скачкообразным процессом (см. главу 1 работы), и задача его мониторинга по наблюдениям времени подтверждения получения пакетов и потока их потерь является частным случаем задачи фильтрации, рассмотренной в главе 3. В случае априорной неопределенности характеристик канала задача мониторинга сводится к решению задачи минимаксного апостериорного оценивания в системах наблюдения с марковским скачкообразным процессом (см. главу 5).

Третья часть главы 6 содержит приложение результатов анализа (глава 2) и идентификации (главы 3 и 4 диссертации) скрытых марковских моделей в феноменологической теории процессов плазменной турбулентности. В процессах флуктуации плотности и потенциала плазмы, наблюдаемых на существующих плазменных установках, выделены свойства, характерные для скрытых марковских процессов. К ним относятся наличие "тяжелых хвостов" у гистограмм, построенных по статистическим данным, а также эффект "долгоживущей корреляции". Ряд скрытых марковских систем обладает такими же свойствами, поэтому они могут рассматриваться как альтернативы традиционным вероятностным моделям описания плазменных явлений с помощью стохастических дифференциальных уравнений с винеровским процессом, случайных блужданий с непрерывным временем и др. В данном разделе определение параметров флуктуации плотности плазмы по зашумленным наблюдениям сведено к решению задачи байесовской идентификации, исследованной в главе 4 диссертации. Применимость предложенного метода и достоверность полученных результатов продемонстрированы как на искусственно смоделированных данных, так и на реальных измерениях, полученных на сталлараторе TJ-II (СИЕМАТ, г. Мадрид).

В заключении подведены основные итоги данной работы, сформулированы результаты, представляемые диссертантом к защите. Помимо этого предложены некоторые перспективные теоретические и практические направления дальнейших исследований в области анализа, оценивания и управления в скрытых марковских системах, основанием для которых могут служить результаты данной диссертации.

В приложение вынесены доказательства большинства утверждений работы.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на 21 всероссийской и международной конференции по системному анализу, управлению и обработке информации, а также на научных сессиях и семинарах под руководством члена-корреспондента И.А. Соколова (ИПИ РАН), профессоров В.Н. Афанасьева (МИЭМ), A.M. Горцева (ТГУ), А.И. Кибзуна (МАИ), В.Ю. Королева (факультет ВМК МГУ), Ю.И. Параева (ТГУ), H.A. Парусникова (ИМ МГУ), Ю.П. Пытьева (физический факультет МГУ), H.H. Скворцовой (ИОФ РАН).

Работа поддержана грантами РФФИ (05-01-00508-а и 07-02-00455-а) и программой ОИТВС РАН "Фундаментальные алгоритмы информационных технологий" (проект 1.5).

Публикации по теме. Основные результаты диссертации получены лично автором и представлены в 65 печатных работах [10-47, 130-133, 178-195, 291-294, 306]: статьях, препринтах, тезисах докладов и трудах конференций, причем 21 из них — [14,16,17,20,22,23,25,26,28,30,31,34,35,39-43,46,47,132], опубликована в журналах, входящих в список ВАК "Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук".

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность академику РАН И.А. Соколову, профессорам А.Р. Панкову, Б.М. Миллеру, А.И. Кибзуну, И.Н. Синицину, В.Ю. Королеву, д.ф.-м.н. В.И. Синицину, а также к.ф.-м.н. A.B. Босову и К.В. Семенихину за разностороннюю помощь, оказанную диссертанту в процессе исследований и написания данной работы.

Основные результаты главы опубликованы в [27,34-37,47,183,185,188,306].

Заключение

В диссертационной работе представлена единая теория анализа и оценивания состояний и параметров диффузионных процессов со скачками, описываемых скрытыми марковскими системами, при наличии различных комплексов априорной и статистической информации.

На защиту выносятся следующие результаты.

1) Универсальное математическое описание стохастических дифференциальных систем наблюдения со случайной структурой в форме скрытых марковских систем.

2) Определение класса специальных марковских скачкообразных процессов для использования в качестве переключающих процессов в скрытых марковских системах. Методы анализа специальных марковских скачкообразных процессов; вывод их производящих операторов, компенсаторов порожденных стохастических мер и мартин-гальных представлений в прямом и обратном времени.

3) Методы анализа обобщенных скрытых марковских систем, порожденных специальными марковскими скачкообразными процессами; вывод обобщения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для переходной вероятности и плотности распределения.

4) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами по непрерывным, считающим и дискретным наблюдениям.

5) Теория оптимального линейного и условно-оптимального (полиномиального) оценивания в системах наблюдения со специальными марковскими скачкообразными процессами.

6) Теория оптимальной нелинейной фильтрации и интерполяции состояний в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям; вывод обобщенного уравнения Закаи и анализ условий существования его решения.

7) Теория байесовской идентификации параметров в скрытых марковских системах по разнородным наблюдениям.

-2328) Теория минимаксного линейного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах, имеющих неопределенное среднее и ограниченный ковариационный оператор; вывод обобщения условия Винера-Хопфа минимаксности линейной оценки. Решение задачи минимаксной линейной фильтрации в неопределенно-стохастических системах, заданных стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой.

9) Теория минимаксного апостериорного оценивания состояний и параметров в скрытых марковских системах в условиях статистической параметрической неопределенности по разнородным наблюдениям.

10) Применение методов анализа и оценивания в скрытых марковских системах при решении прикладных задач: определения горизонтальной скорости ветра по зашум-ленным измерениям скорости метеорологического зонда; калибровки траекторных измерительных средств в режиме нормальной эксплуатации; мониторинга состояния ТСР-соединения по различной априорной и статистической информации; анализа и идентификации феноменологических моделей явлений в турбулентной плазме.

Вместе с этим, работа в данном направлении не может считаться завершенной. Во-первых, анализ и оценивание/идентификация в скрытых марковских системах являются обязательными, но, вспомогательными задачами, предваряющими решение основной задачи — оптимизации/управления. Именно с этой целью эти служебные задачи решались в работе, и в дальнейшем предполагается перейти к решению оптимизационных задач. Ясно, что спектр этих задач крайне широк. В него входят проблемы оптимального управления (включая вопросы существования и единственности, а также определения условий оптимальности), задачи синтеза минимаксного, робастного управлений и др. Интересной также представляется разработка "быстрых" субоптимальных методов управления, позволяющих синтезировать его в реальном масштабе времени. Помимо этого, перспективными выглядят задачи разработки программно-алгоритмического обеспечения для реальных систем автоматического управления (или автоматизированных систем принятия решений), базирующихся на предложенном в работе математическом аппарате обобщенных скрытых марковских моделей.

Во-вторых, полученные в данной работе обобщения уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и Закаи являются весьма ресурсоемкими в процессе своего решения известными численными методами. Поэтому, наряду с разработкой подходящих модификаций

233— сеточных методов для их решения требуется создание принципиально новых численных процедур.

В третьих, реализация предложенных в работе методов минимаксного апостериорного оценивания также требует дальнейших исследований как теоретического, так и прикладного плана. Необходимы легко проверяемые условия существования решения двойственной задачи оптимизации, а также эффективные численные методы, реализующие это решение.

В-четвертых, методы идентификации, применимые к рассмотренным обобщенным скрытым марковским моделям, не исчерпываются предложенными в работе байесовским методом и его минимаксной модификацией. Требуются дальнейшие детальные исследования, результатом которых явилась бы возможность построения для одной и той же динамической системы набора оценок идентификации, полученных с помощью байесовских, минимаксных и адаптивных методов. Помимо этого, необходимо характеризовать свойства полученных оценок идентификации: несмещенность, состоятельность и пр. Все эти результаты необходимы при решении прикладных задач для последующего эффективного выбора одной из оценок идентификации и решения основной задачи — оптимизации/управления в динамической системе.

Все указанные направления представляются весьма перспективными и требуют дальнейшего изучения.

1. Аверина Т. А. Метод Монте-Карло для анализа динамики нелинейных систем со случайной структурой // Труды II международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" (SICPRO). — Москва: 2003. — С. 2106-2121.

2. Александров В. М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации // Изв. АН СССР, Техн. киберн. 1966. - № 5. - С. 124-136.

3. Ананьев Б. И. Гарантированное оценивание статистически неопределенных систем и задачи коррекции движения // Диссертация д.ф.-м.н. — Свердловск: УРО АН СССР, 1979.

4. Ананьев Б. И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений // Автоматика и телемеханика. — 1993.- № 10.- С. 131-139.

5. Артемьев В. М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. — Минск: Вышэйшая школа, 1979.

6. Бакулев П. А. Радиолокационные системы: учебник для вузов. — М.: Радиотехника, 2004.

7. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

8. Бахшиян Б. Ц., Соловьев В. Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания // Космические иследования. — 1990. — № 2.

9. Бенсуссан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. — М.: Наука, 1987.

10. Борисов А. В. Алгоритмы фильтрации состояний неопределенно-стохастических систем // Исследования в прикладной математике и физике. — М.: ВИНИТИ, № 2665-В 90, от 16.05.90, 1990.-С. 9-13.

11. Борисов А. В. Сглаживание в динамических системах с неопределенными входными воздействиями // Динамика полета, управление и исследование операций (Тезисы докладов). —Москва: 1990.

12. Борисов А. В. Оптимальная фильтрация с вырожденными шумами в наблюдениях // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 11. — С. 32-46.

13. Борисов А. В. Оптимальное оценивание числа скачков марковского процесса с непрерывным временем и конечным числом состояний // Системы и средства информатики. — 2002. — Т. 12 (спецвыпуск). — С. 24-35.

14. Борисов А. В. Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов I: мартингальное представление // Автоматика и телемеханика. — 2004. Т. 65, № 1. - С. 45-60.

15. Борисов А. В. Анализ и оценивание состояний специальных скачкообразных марковских процессов II: оптимальная фильтрация в присутствии винеровских шумов // Автоматика и телемеханика. — 2004. — Т. 65, № 5. — С. 61-76.

16. Борисов А. В. Оптимальная фильтрация состояний специальных скачкообразных процессов // Труды III международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" (ЗЮРШЭ). Москва: 2004. - С. 473-489.

17. Борисов А. В. Двухфильтровый алгоритм обратной интерполяции состояний специальных скачкообразных процессов // Системы и средства информатики. — 2005. — Т. 15 (спецвыпуск). — С. 51-81.

18. Борисов А. В. Предварительный анализ распределения состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 1. — С. 48-62.

19. Борисов А. В. Минимаксный фильтр Вонэма // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — Т. 13, № 6. — С. 1021-1022.

20. Борисов А. В. Оптимальная фильтрация состояний скрытых марковских моделей, порожденных специальными скачкообразными процессами / / Труды V международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" (БЮРКО). — Москва: 2006. С. 618-632.

21. Борисов А. В. Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы I: оптимальное линейное оценивание // Автоматика и телемеханика. — 2006. — Т. 67, № 8. — С. 51-76.

22. Борисов А. В. Представление марковских скачкообразных процессов в обратном времени и смежные вопросы II: оптимальное нелинейное оценивание // Автоматика и телемеханика. 2006. - Т. 67, № 9. - С. 120-141.

23. Борисов А. В. Байесовское оценивание в системах наблюдения с марковскими скачкообразными процессами: игровой подход // Информатика и ее применения. — 2007. — Т. 1, № 2,- С. 65-75.

24. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание в скрытых марковских моделях // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Т. 68, № 11. — С. 31-45.

25. Борисов А. В. Оптимальное сглаживание специальных марковских скачкообразных процессов // Труды VI международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" (81СРШ).- Москва: 2007.- С. 1419-1446.

26. Борисов А. В. Условно-оптимальное оценивание специальных марковских скачкообразных процессов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — Т. 68, № 9. — С. 47-65.

27. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание марковских процессов с конечным числом состояний // Автоматика и телемеханика. — 2008. — Т. 69, № 2. — С. 64-79.

28. Борисов А. В. Анализ состояний скрытых марковских моделей, порожденных специальными скачкообразными процессами // 2-я научная сессия Института проблем информатики РАН. — Россия, Москва: апрель, 2005. — С. 73-74.

29. Борисов А. В., Босов А. В. Фильтрация состояний самопорождаемых скрытых марковских систем // Системы и средства информатики. — 2002. — Т. 12 (спецвыпуск).- С. 36-50.

30. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени I: Мартингальное представление // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 6. — С. 114-125.

31. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени II: Оптимальная фильтрация // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 7. - С. 112-125.

32. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Скрытая марковская модель передачи данных по протоколу TCP // 2-я научная сессия Института проблем информатики РАН. — Россия, Москва: апрель 2005. — С. 74-76.

33. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Фильтрация состояний специальных марковских процессов / / Х-я Международная конференция "Системный анализ и управление". — Украина, Евпатория: июль, 2005. — С. 150.

34. Борисов А. В., Панков А. Р. Оптимальная фильтрация фазовых координат неопределенно-стохастических систем с дискретным временем // Оптимизация алгоритмов обработки информации и управления. — М.: МАИ, 1992. — С. 81-89.

35. Борисов А. В., Панков А. Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика. — 1996. № 6. - С. 61-75.

36. Борисов А. В., Панков А. Р., Сотский Н. М. Фильтрация и сглаживание в неопределенно-стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 3. — С. 85-95.

37. Борисов А. В., Панков А. Р., Сотский Н. М. Минимаксное оценивание линейных дифференциальных неопределенно-стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 4. — С. 57-63.

38. Борисов А. В., Сотский Н. М. Метод оценивания движения материальной точки с помощью двух фильтров // Анализ и синтез динамических систем в условиях неопределенности. — М.: МАИ, 1990.- С. 60-66.

39. Борисов А. В., Стефанович А. И. Оптимальная фильтрация состояний скрытых марковских моделей, порожденных специальными скачкообразными процессами // Системы и средства информатики. — 2005. — Т. 15 (спецвыпуск). — С. 30-50.

40. Борисов А. В., Стефанович А. И. Оптимальная фильтрация состояний специальных управляемых систем случайной структуры // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 3. — С. 16-26.

41. Борисов А. В., Стефанович А. И., Скворцова Н. Н. Информационные технологии идентификации в скрытых марковских моделях процессов плазменной турбулентности // Вестник МАИ. 2008. - Т. 15, № 2. - С. 17-27.

42. Бутов А. А. Оптимальная фильтрация при вырожденных шумах в наблюдениях // Автоматика и телемеханика. — 1980. — № 11. — С. 33-39.

43. Бухалев В. А. Анализ точности автоматических систем со случайной структурой, имеющей два возможных состояния // Автоматика и телемеханика. — 1975. — № 4.

44. Васильев В. А., Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей, — М.: Наука, 2004.

45. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — М.: Наука, 1986.

46. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. — М.: Наука, 1985.

47. Вахания Н. Н., Чобанян С. А. О задаче наилучшего приближения в пространстве векторных функций // Известия АН СССР. — 1981. — Т. 49. — С. 24-27.

48. Гальперин В. А., Домбровский В. В., Федосов Е. Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном рынке с переключающимися режимами // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5.

49. Гальперин В. А., Домбровский В. В., Федосов Е. Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 174189.

50. Герасимов Е. С., Домбровский В. В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 7. — С. 77-86.

51. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1973.

52. Голубев Г. А. Синтез минимаксных линейных фильтров по локальному и интегральному критериям // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 4. — С. 53-62.

53. Григорьев Ф. Н., Кузнецов Н. А., Серебровский А. Управление наблюдениями в автоматических системах. — М.: Наука, 1986.

54. Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы (общая теория). — М.: Иностранная литература, 1962.

55. Демин Н. С. О процедуре сглаживания для скачкообразных марковских процессов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1975. — № 6. — С. 129-136.

56. Демин Н. С. Оптимальное оценивание состояния и оптимальная классификация стохастических систем со случайными скачкообразными процессами в каналах измерения // Автоматика и телемеханика. — 1976. — № 8. — С. 25-33.

57. Демин Н. С. Оптимальное распознавание случайных марковских сигналов с непрерывными и скачкообразными коммпонентами / / Радиотехника и электроника. — 1976. № 10. - С. 2142-2148.

58. Демин Н. С. Оптимальное распознавание скачкообразных компонент марковских сигналов // Проблемы передачи информации. — 1977. — № 2. — С. 45-54.

59. Демин Н. С., Жадан Л. И. Об оптимальности процедуры исключения аномальных измерений // Автометрия. — 1983. — № 4. — С. 29-33.

60. Демин Н. С., Михайлюк В. В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения, I, II // Изв. РАН. Техническая кибернетика. — 1994. — № 4,6.

61. Демин Н. С., Рожкова С. В. Фильтрация стохастических сигналов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автометрия. — 1999. — № 3. — С. 23-35.

62. Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. — М.: Физматлит, 1997.

63. Домбровский В. В., Ляшенко Е. А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. — 2003. № 10. - С. 50-65.

64. Дуб Д. Вероятностные процессы. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956.

65. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М.: Физматлит, 1963.

66. Дэвис М. X. А. Линейное оценивание и стохастическое управление.— М.: Наука, 1984.

67. Емельянов С. В., Уткин В. И., др. Теория систем с переменной структурой.— М.: Наука, 1970.

68. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов.— М.: Физматлит, 1994.

69. Завьялова Т. В. Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий: Автореферат на соискание ученой степени к.ф.-м.н. / УрГУПС. — Екатеренбург, 2004.

70. Завьялова Т. В., Кац И. Я., Тимофеева Г. А. Об устойчивости движения стохастических систем со случайным условием скачка фазовой траектории // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 7. — С. 33-43.

71. Задача оптимального стохастического управления потоком данных по неполной информации / Б. М. Миллер, К. Е. Авраченков, К. В. Степанян, Г. Б. Миллер // Проблемы передачи информации. — 2005. — Т. 41, № 2. — С. 89-110.

72. Казаков И. Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. — М.: Наука, 1977.-30685. Казаков И. Е., Артемьев В. М. Оптимизация динамических систем случайной структуры,— М.: Наука, 1980.

73. Казаков И. Е., Артемьев В. М., Бухалев В. А. Анализ систем случайной структуры. — М.: Физматлит, 1993.

74. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

75. Кац И. Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах // Оценивание в условиях неопределенности. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. Рр. 43-59.

76. Кац И. Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации / / Эволюционные системы в задачах оценивания. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. — Рр. 31-37.

77. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. — Екатеринбург: Изд-во Уральской гос. академии путей сообщения, 1998.

78. Кац И. Я., Куржанский А. Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 11. — С. 79-87.

79. Кицул П. И. К решению вырожденной задачи обратной интерполяции диффузионных процессов // Автоматика и телемеханика. — 1988. — № 3. — С. 65-72.

80. Колмановский В. В., Матасов А. И. Об оценке точности приближенного метода решения минимаксных задач фильтрации в системах с запаздыванием // Докл. РАН. — 1994,- Т. 339, № 1,- С. 37-39.

81. Колмановский В. Б., Матасов А. И. Об одном приближенном методе решения минимаксных задач фильтрации в системах с последействием // Автоматика и телемеханика. — 1996. № 6. - С. 125-147.

82. Коростелев A. П. Минимаксная фильтрация траектории динамической системы, зависящей от непараметрического сигнала // Автоматика и телемеханика. — 1989.— № 9. С. 89-96.

83. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969.

84. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. — М.: Наука, 1983.

85. Красовский Н. П., Лидский Э. А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами, I—III. // Автоматика и телемеханика. — 1961. — Т. 22, № 9-11.

86. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. — М.: Наука, 1974.

87. Куржанский А. Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977.

88. Куржанский А. Б. Задача идентификации: теория гарантирующих оценок (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 4. — С. 3-26.

89. Куркин О. М., Коробочкин Ю. Б., Шаталов С. А. Минимаксная обработка информации.— М.: Энергоатомиздат, 1990.

90. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, — М.: Наука, 1967.

91. Лидов М. Л. Минимаксная задача оценивания параметров траектории в непрерывной постановке // Космические иследования. — 1984. — Т. 22, № 4. — С. 483-498.

92. Лидов М. Л. Алгоритм оценивания параметров движения в задаче с немоделируемы-ми ускорениями // Космические иследования. — 1988. — Т. 300, № 1. — С. 483-498.

93. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, — М.: Мир, 1973.

94. Липцер Р. Ш. Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов, — Москва: Наука, 1974.

95. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. — М.: Наука, 1984.

96. Ломакина С. С. Синтез робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами // Диссертация к.ф.-м.н. — Томск: ТГУ, 2005.

97. Ломакина С. С., Смагин В. И. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника. — 2004. — № 7. — С. 31-43.

98. Ломакина С. С., Смагин В. И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со скачкообразными изменениями в случайные моменты времени // Автометрия.— 2005. № 2. - С. 81-88.

99. Лоэв М. Теория вероятностей, — М.: ИЛ, 1962.

100. Мартынюк А. А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. — Киев: Наукова думка, 1989.

101. Матасов А. И. Об оценке чувствительности фильтра Калмана-Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц // Автоматика и телемеханика. — 1991. — № 1,- С. 78-87.

102. Матасов А. И. Введение в гарантирующее оценивание. — М.: Изд-во МГУ, 2000.

103. Моттлъ В. В., Мучник И. Б. Скрытые марковские модели в структурном анализе сигналов. — М.: Физматлит, 1999.

104. Наконечный А. Г. Минимаксные оценки параметров // Вычислительная и прикладная математика. Т. 39. - Киев: Изд-во КГУ, 1979. - С. 17-24.

105. Невельсон М. В., Хасъминский Р. 3. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание, — М.: Наука, 1972.

106. Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. — М.: Физматлит, 1994.

107. Пакшин П. В. Робастное децентрализованное управление системами со случайной структурой // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2003. — Т. 42, № 2.

108. Пакшин П. В. Экспоненциальная диссипативность диффузионных процессов случайной структуры и задачи робастной стабилизации // Автоматика и телемеханика. — 2007. № 10.

109. Пакшин П. В., Ретинский Д. М. Робастное управление нелинейными системами со случайной структурой // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2003. — Т. 42, № 1.

110. Пакшин П. В., Ретинский Д. М. Робастная стабилизация систем случайной структуры с переключаемой статической обратной связью по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 7.

111. Панков А. Р., Борисов А. В. Фильтрация для систем с неизвестным управлением // Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике (Тезисы докладов). — Томск, ТГУ: 1990.

112. Панков А. Р., Борисов А. В. Оптимальная фильтрация в неопределенно-стохастических системах с частично наблюдаемыми входными воздействиями // Автоматика. — 1991. — № 6. — С. 42-48.

113. Панков А. Р., Борисов А. В. Минимаксные процедуры статистического оценивания в гильбертовых пространствах // Доклады РАН. — 1996. — № 6. — С. 61-75.

114. Панков А. Р., Борисов А. В., Сотский Н. М. Методы и алгоритмы оптимального оценивания состояний неопределенно-стохастических систем. — М.: МАИ, 1991.

115. Панков А. Р., Миллер Г. Б. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической дифференциальной системе // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 1. — С. 59-71.

116. Пантелеев А. В., Рыбаков К. А., Сотскова И. Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления: Учеб. пособие для вузов. — М.: Вузовская книга, 2006.

117. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация, — М.: Наука, 1990.

118. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные уравнения со случайной изменяющейся структурой в банаховых пространствах // Вестник МГУ. — 1996. — Т. 1. Математика. Механика, № 6. — С. 86-89.

119. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Теория стохастических систем. — М.: Логос, 2004.

120. Пытъев Ю. П. Псевдообратный оператор. Свойства и применение // Матем. сборн.- 1982.-Т. 118(160), № 1(5).- С. 19-49.

121. Пытъев Ю. П. К теории измерительно-вычислительных систем минимаксного типа // Мат. моделирование. — 1985. — Т. 3, № 10. — С. 65-79.

122. Пытъев Ю. П. Методы редукции измерений в гильбертовых пространствах // Матем. сборн. 1985. - Т. 126(168), № 5. - С. 543-565.

123. Пытъев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента. — М.: Высшая школа, 1989.

124. Репин В. Анализ одного класса систем со случайно изменяющимися параметрами // Автоматика и телемеханика. — 1970. — № 6. — С. 21-28.

125. Сейдж Э., Меле Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М.: Сов. Радио, 1976.

126. Семенихин К. В. Минимаксное оценивание случайных элементов по среднеквадра-тическому критерию // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2003. — № 5. С. 12-25.

127. Семенихин К. В., Лебедев М. В. Минимаксная фильтрация в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 45-56.

128. Синицын И. Н. Методы исследования точности систем с возможными нарушениями, основанные на канонических представлениях случайных функций / / Рефераты докладов VI Всероссийского совещания по проблемам управления. — М.: Наука, 1974.

129. Соловьев В. Н. К теории минимаксно-байесовского оценивания // Теория вероятн. и ее примен. 1990. — Т. 44, № 4. - С. 738—756.

130. Стратонович Р. Л. Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и ее применения. 1960. - Т. 5, № 2. - С. 172-195.

131. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. — М.: Изд-во МГУ, 1965.

132. Фарбер В. Е. Основы траекторной обработки радиолокационной информации в многоканальных PJIC: учебное пособие. — М.: Радиотехника, 2005.

133. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968.

134. Фриш У. Турбулентность. Наследие Колмогорова. — М.: Фазис, 1998.

135. Хида Т. Броуновское движение. — М.: Наука, 1987.

136. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. — М.: Наука, 1988.

137. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: факты, модели, теория. — М.: Фазис, 1989.

138. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. — М.: Мир, 1986.

139. Aingworth D. D., Das S. R., Motwani R. A simple approach for pricing equity options with Markov switching state variables // Quantitative Finance. — 2006. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 95-105.

140. Altman E., Avrachenkov K., Barakat C. TCP in presence of burstly losses // Performance Evaluation. 2000. - Vol. 42. - Pp. 129-147.

141. Anisimov V. Switching processes: Averaging principle, diffusion approximation and applications // Acta Applicandae Mathematicae. — 1995. — Vol. 40.— Pp. 95-141.

142. Bar-Shalom Y, Blair W. Multitarget-Multisensor Tracking: Applications and Advances, Vol. III. Norwood, MA: Artech House, 2000.

143. Bar-Shalom Y., Campo L., Li X. R. Control of Discrete-time Hybrid Stochastic Systems. — San Diego: Academic Press, 1996.

144. Bar-Shalom Y., Li X. R. Multiple-model estimation with variable structure // IEEE Trans. Autom. Contr. 1996. - Vol. 41, no. 4. - Pp. 478-493.

145. Barbosa K. A., de Souza C. E., Trofino A. Robust H2 filter design via parameter-dependent Lyapunov functions // Preprints 15th IFAC World Congress. — Barcelona, Spain: 2002.

146. Basar T., Bernhard P. H. ff°°-optimal control and related minimax design problems. A game theoretic approach. — Boston: Birkhauser, 1991.

147. Baum L. E., Petrie T. Statistical inference for probabilistic functions of finite state Markov chains // Ann. Math. Statist. 1966. —Vol. 37.- Pp. 1554—1563.

148. Baum L. E., Petrie T. et al. A maximization technique occurring in the statistical analysis of probabilistic functions of Markov chains // Ann. Math. Statist. — 1970.— Vol. 41.— P. 164-171.

149. Bernard F., Dufour F., Bertrand P. Systems with Markovian jump parameters: Approximations for the nonlinear filtering problem // Proc. ECC'97. — Brussels: 1997.

150. Beutler F. J., Root W. L. The operator pseudoinverse in control and systems identification // Generalized Inverses and Applications / Ed. by Z. Nashed. — New York: Acad. Press, 1976. Pp. 397-494.

151. Bhar R., Kim S.-J., Pham T. M. Exchange rate volatility and its impact on the transaction costs of covered interest rate parity // Japan and the World Economy. — 2004. — Vol. 16, no. 4. Pp. 503-525.

152. Bhatt B., Borkar V. Existence of optimal Markov solutions for ergodic control of Markov processes // Ind. J. of Stat. 2005. - Vol. 67, no. 1. —Pp. 1-18.

153. Bibbi B. M., Skovgaard I. B., S0renson M. Diffusion-type models with given marginal distribution and autocorrelation function // Bernoulli. — 2005. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 191— -220.

154. Bisguert J. Fractional diffusion in the multiple-trapping regime and reversion of the equivalence with the the continuous-time random walk // Phys. Rev. Lett. — Vol. 91, no. 1.

155. Bjork T. Finite optimal filters for a class of nonlinear diffusions with jumping parameters // Stochastics. 1982. - Vol. 6. - Pp. 121-138.

156. Blom H. A. P., Bar-Shalom Y. The interacting multiple model algorithm for systems with Markovian switching coefficients // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — Vol. 33, no. 8. Pp. 780-783.

157. Boel R., Varaiya P., E. W. Martingales on jump processes I: Representation results // SIAM Journal of Control and Optimization. — 1975. — Vol. 15, no. 5. — Pp. 999-1021.

158. Boguslavskii I. A., Borodovskii M. Y. On identification of states of a sequence generated by a hidden Markov model // J. Comput. Syst. Sci. Int. 1998. - Vol. 37. - Pp. 551—556.

159. Borisov A. V. Estimation in generalized uncertain-stochastic linear regression // Technical Report TR 91-39. University of Michigan: 1991. — Pp. 1-13.

160. Borisov A. V. Process estimation in uncertain-stochastic systems // Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control. — Tucson, USA: 1992. — Pp. 1222-1223.

161. Borisov A. V. Kalman filtering in observation systems with degenerated observation noises // Proceedings of IFAC Conference "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". Pereslavl-Zalessky: 1997. - Pp. 171-174.

162. Borisov A. V. Fokker-Plank like equation for hidden Markov models governed by special jump processes // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. — Paradise Island: Omnipress, 2004. — Pp. 4151-4156.

163. Borisov A. V. The minimax posterior Wonham filtering/identification // Proceedings of IFAC Conference ALCOSP. Saint-Peterburg: 2007.

164. Borisov A. V. Optimal and conditionally-optimal filtering of special Markov jump processes // Proceedings of Siberian IEEE Conference on Control and Communications. — Tomsk: 2007.- Pp. 113-119.

165. Borisov A. V., Korolev V. Y., Stefanovich A. I. Hidden Markov Models of Plasma Turbulence // Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence / Ed. by V. Y. Korolev, N. N. Skvortsova. Leiden-Boston: VSP, 2006. - Pp. 345-400.

166. Borisov A. V., Miller B. M., Gurdyumov A. Suboptimal estimation for number of transitions in a hidden Markov model jump process // Selected Papers of International conference on control problems. — Vol. 2. — Moscow, Russia: 1999. — Pp. 75-82.

167. Borisov A. V., Miller G. B. Hidden Markov model approach to TCP link state tracking // 43-th Conference on Decision and Control. — Bahamas, Nassau: December 14-17, 2004. — Pp. 3126-3137.

168. Borisov A. V., Pankov A. R. Optimal estimation in uncertain-stochastic systems // Technical Report TR 91-27. University of Michigan: 1991. - Pp. 1-15.

169. Borisov A. V., Pankov A. R. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic differential systems // Technical Report TR 91-33. — University of Michigan: 1991.-Pp. 1-15.

170. Borisov A. V., Pankov A. R. Conditionally-minimax filtering and control in infinite dimensional stochastic systems // Proceedings of the 34th IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 1. - New Orleans, USA: 1995. - Pp. 87-92.

171. Borisov A. V., Pankov A. R. Conditionally-minimax filtering for infinite-dimensional nonlinear stochastic systems // 3rd European Control Conference, Proceedings. — Roma, Italy: 1995. Pp. 2154-2159.

172. Borisov A. V., Pankov A. R. Minimax statistical estimation procedures in infinite dimensional spaces // System Structure and Control, Preprints. — Nantes, France: 1995.— Pp. 49-54.

173. Borisov A. V., Stefanovich A. I. Optimal filtering for HMM governed by special jump processes // 44-th Conference on Decision and Control and the European Control Conference. Seville, Spain: December, 12-15 2005.- Pp. 5935-5940.

174. Bosov A. V., Pankov A. R., Borisov A. V. Finite-dimensional algorithms of nonlinear system state estimation // Technical Report TR 92-13. — University of Michigan: 1992. — Pp. 1-13.

175. Boukas E. K., Liu Z. K. Robust H°° filtering for polytopic uncertain time-delay systems with Markov jumps // Computers and Elect. Engr. — 2005. — Vol. 28. — Pp. 171-193.

176. Bryant P., Williamson J. A. Asymptotic behavior of classification maximum likelihood estimates // Biometrika. 1991. — Vol. 65, no. 2. - Pp. 273—281.

177. Bujorianu M. L., Lygeros J. Theoretical Foundations of General Stochastic Hybrid Processes. Deliverable DSHS2: Work Package SHS, 2003.

178. Cappe O., Moulines V., Ryden T. Inferences in Hidden Markov Models. — NY: Springer, 2005.

179. Carravetta F., Germani A., Raimondi M. Polynomial filtering of discrete-time stochastic linear systems with multiplicative state noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 1997. - Vol. 42. - Pp. 1106-1126.

180. Ceci C., Gerardi A. Filtering of a Markov jump process with counting observations // Appl. Math. Optim. 2000. - Vol. 42. - Pp. 1-18.

181. Cinquemani E., Micheli M., Picci G. Fault detection in a class of stochastic hybrid systems // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. — Paradise Island: Omnipress, 2004. Pp. 3197-3203.

182. Cinquemani E., Micheli M., Picci G. State estimation and prediction in a class of stochastic hybrid systems // Proceedings of MNTS 2004. 2004.

183. Costa E. D. F., do Val J. B. R. On the observability and detectability of continuous-time Markov jump linear systems // SIAM J. Control Optim. — 2005. — Vol. 41, no. 4. — Pp. 1295-1314.

184. Cover T. M., Thomas J. A. Elements of Information Theory. — NY: Wiley, 1988.

185. Curtain R. F., Pritchard A. J. Infinite dimensional linear system theory.— Berlin: Springer, 1978.

186. Cvitanic J., Liptser R., Rozovskii B. A filtering approach to tracking volatility from prices observed at random times // Ann. Appl. Probab. — 2003. — Vol. 16, no. 3. — Pp. 16331652.

187. Davis M. H. A. Piecewise-deterministic Markov processes: a general class of non-diffusion stochastic models // Journal of Royal Statistic Society, B. — 1984. — Vol. 46, no. 3. — Pp. 353-388.

188. Dembo A., Zeitouni O. Parameter estimation of partially observed continuous time stochastic processes via the EM algorithm // Stochastic Processes Their Applic. — 1992. — Vol. 23, no. 1.- P. 91-113.

189. Di Masi G. B., Kitsul P. I. Backward representation for nonstationary Markov processes with finite state space // Systems & Control Letters. — 1994, — Vol. 22, — Pp. 445-450.

190. Dombrovsky V. V., Lashenko E. A. Dynamic model of active portfolio management with stochastic volatility in incomplete market // Proceedings of the SICE Annual Conference in Fukui. — Fukui, Japan: Fukui University Press, 2003.— Pp. 636-641.

191. Elliott R. J. New finite-dimensional filters and smoothers for noisily observed Markov chains // IEEE Trans. Inform. Theory.- 1993.-Vol. 39, no. l.-Pp. 265-271.

192. Elliott R. J., Aggoun L., Moore J. B. Hidden Markov Models: Estimation and Control.— Berlin: Springer-Verlag, 1995.

193. Elliott R. J., Malcolm W. P., Tsoi A. HMM volatility estimation // Proceedings of the 41th IEEE Conference on Decision and Control. — Las Vegas: Omnipress, 2002. — Pp. 398404.

194. Ephraim Y., Merhav N. Hidden Markov processes // IEEE Trans. Inform. Theory.— 2002. Vol. 116, no. 6. - Pp. 1518-1569.

195. Fedotov S., Mendez V. Continuous-time random walks and travelling fronts // Phys. Rev. 2002. - Vol. 66.

196. Flow control as stochastic optimal control problem with incomplete information / B. M. Miller, K. E. Avrachenkov, K. V. Stepanyan, G. B. Miller // Proc. INFO-COM'2005. Miami: 2005. - Pp. 1328-1337.

197. Fontana R. J., Gray R. M., Kieffer J. C. Asymptotically mean stationary channels // IEEE Trans. Inform. Theory. 1981. - Vol. IT-27. - P. 308-316.

198. Fragoso M. D., Baczinski J. Optimal control for continuous-time linear quadratic problems with infinite Markov jump parameters // SIAM J. Control Optim. — 2001.— Vol. 40, no. 1,- Pp. 270—297.

199. Francq C., Roussignol M. Ergodicity of autoregressive processes with Markov-switching and consistency of the maximum-likelihood estimator // Statistics. — 1998.— Vol. 32.— Pp. 151-173.

200. Genon-Catalot V., Jeantheau T., Laredo C. Stochastic volatility models as hidden Markov models and statistical applications // Bernoulli. — 2000. — Vol. 6, no. 6. — Pp. 1051-1079.

201. Genon-Catalot V., Laredo C. Leroux's method for general hidden Markov models // Stochastic processes and their applications. — 2006. — Vol. 116. — Pp. 222-243.

202. Germani A., Manes C., Palumbo P. Polynomial filtering for stochastic systems with Markovian switching coefficients / / Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. Maui, Hawaii: Omnipress, 2003. - Pp. 1392-1397.

203. Ghosh M. K., Arapostathus A., Markus S. Optimal contpol of switching diffusions with application to flexible manufacturing systems // SIAM J. Control Optim. — 1992. — Vol. 30, no. 6. Pp. 1-23.

204. Gilbert E. M. Capacity of a burst-noise channel // Bell Syst. Tech. J. — 1960. — no. 5. — Pp. 1253-1265.

205. Gland F. L., Mevel L. Exponential forgetting and geometric ergodicity in hidden Markov models // Math. Contr. Signals Syst. 2000. - Vol. 13. - Pp. 63-93.

206. Gnedenko B. V., Kolmogorov A. N. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. — MA: Addison Wesley, Reading, 1954.

207. Golubev G. K. On filtering for a hidden Markov chain under square performance criterion // Probl. Inform. Transm. 2000. - Vol. 36. - Pp. 213—219.

208. Gray R. M. Probability, Random Processes, and Ergodic Properties. — NY: Springer, 1988.

209. Grewal M. S., Weiss L. R., Andrews A. P. Global positioning systems, inertial navigation, and integration. — New York: Wiley, 2001.

210. Grimmett G. R., Stirzaker D. R. Probability and Random Processes. — Oxford, U.K.: Oxford Univ. Press, 2001.

211. Hamilton J. D. Time Series Analysis. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1994.

212. Hoist U., Lindgren G., et al. Recursive estimation in switching autoregressions with a Markov regime //J. Time Ser. Anal. 1994. - Vol. 5. - Pp. 489—506.

213. Hwang S., Satchell S. E., Pereira P. L. V. How persistent is stock return volatility? An answer with Markov regime switching stochastic volatility models // Journal of Business Finance & Accounting. 2007. - Vol. 34, no. 5-6. - Pp. 1002-1024.

214. Ito H., Amari S.-I., Kobayashi K. Identifiability of hidden Markov information sources and their minimum degrees of freedom // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1992.— Vol. 36, no. 3. Pp. 324—333.

215. Jacobson V. Congestion avoidance and control //in Proc. of ACM SIGCOMM'88. — 1988.

216. Jacod J. Calcul stochastique et Problèmes de Martingales. — Berlin: Springer-Verlag, 1979.

217. James M. R., Krishnamurthy V., Gland F. L. Time discretization of continuous-time filters and smoothers for HMM parameter estimation // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1996. Vol. 42, no. 3. - Pp. 593—605.

218. Ji Y., Chizeck H. J. Controllability, stabilizability and continuous-time Markovian jump linear quadratic control // IEEE Trans. Automat. Control. — 1990. — Vol. 35. — Pp. 777— -788.

219. Juang B.-H., Rabiner L. R. The segmental k-means algorithm for estimating parameters of hidden Markov models // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. — 1991. — Vol. 38, no. 9.- Pp. 1639—1641.

220. Khasminskii R., Zeitouni 0. Asymptotic filtering for finite state Markov chains // Stochastic Processes Their Applic. — 1996. — Vol. 63. — Pp. 1-10.

221. Kloeden P., Platen E. The Numerical Solution of Stochastic Differential Equations.— Berlin: Springer-Verlag, 1992.

222. Korabel N., Chechkin A. V., et al. Fractal properties of anomalous diffusion in intermittent maps. 2007.

223. Krishnamurthy V., Ryden T. Consistent estimation of linear and nonlinear autoregressive models with Markov regime // J. Time Ser. Anal — 1998.— Vol. 19, no. 3.— Pp. 291-307.

224. Kurzhanski A. B., Tanaka M. On a Unified Framework for Deterministic and Stochastic Treatment of Identification Problems. — Luxenburg: IIASA, 1977.

225. Leblang D., Mukherjee B. Presidential Elections and the Stock Market: Comparing Markov-Switching and Fractionally Integrated GARCH Models of Volatility // Political Analysis. 2004. - Vol. 12, no. 3. - Pp. 296-322.

226. Leroux B. G. Maximum-likelihood estimation for hidden Markov models // Stochastic Processes Their Applic. 1992. - Vol. 40. - Pp. 127—143.

227. Liberzon D. Switching in Systems and Control. — Boston: Birkhauser, 2003.

228. Liberzon D., Brockett R. W. Spectral analysis of Fokker Planck and related operators arising from linear stochastic differential equations // SIAM J. Control Optim. — 2000. — Vol. 38, no. 5. - Pp. 1453—1467.

229. Lindgren G. Markov regime models for mixed distributions and switching regressions // Scan. J. Statist. 2002. - Vol. 5. - Pp. 81-91.

230. Liptser R. S., Shityayev A. N. Statistics of Random Processes. — Berlin: Springer-Verlag, 1977.

231. Liu C.-C., Narayan P. Order estimation and sequential universal data compression of a hidden Markov source by the method of mixtures // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1994. Vol. 40, no. 7. - Pp. 1167—1180.

232. Low-frequency structural plasma turbulence in stellarators / N. N. Skvortsova, G. M. Batanov, L. V. Kolik et al. // Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence / Ed. by V. Y. Korolev, N. N. Skvortsova. Leiden-Boston: VSP, 2006. - Pp. 36-62.

233. Luginbuhl R., de Vos A. Seasonality and Markov switching in an unobserved component time series model: A Bayesian analysis of US GDP // Empirical Economics. — 2003.— Vol. 28. Pp. 365—386.

234. Lygeros J. Lecture Notes on Hybrid Systems. — University of Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2003.

235. Mao X. Stability of stochastic differential equations with Markovian switching // Stock. Process. Appl. — 1999. Vol. 79. — Pp. 45—67.

236. Mao X., Matasov A. I., Piunovskiy A. B. Stochastic differential delay equations with Markovian switching // Bernoulli. 2000. - Vol. 6. - Pp. 73-90.

237. Mariton M. Jump Linear Systems in Automatic Control. — New York: Marcel Decker, 1990.

238. Mariton M., Bertrand P. Output feedback for a class of linear systems with stochastic jump parameters // IEEE Trans. Automat. Control. 1985. - Vol. 30. - Pp. 898-900.

239. Martin C. J., Mintz M. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: A game-theoretic approach // IEEE Trans. Autom. Contr. — 1983. — Vol. AC-28. Pp. 888-896.

240. Matasov A. I. The Kalman-Bucy filter accuracy in the guaranteed parameter estimation problem with unknown statistics // IEEE Trans. Autom. Contr. — 1994,— no. 3.— Pp. 635-639.

241. Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. Limit theorems for sums of independent random vectors: Heavy tails in theory and practice // J. Appl. Probab. — 2004. — Vol. 41, no. 3. — Pp. 623-638.

242. Mémin J., Shiryaev A. N. Un critère prévisible pour l'uniforme intégrabilité des semi-martingales exponentielles // Séminaire de Probabilité XIII. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — Vol. 721 of Lecture Notes in Mathematics. — Pp. 147-161.

243. Merhav N., Ephraim Y. Hidden Markov modeling using a dominant state sequence with application to speech recognition // Computer, Speech, and Language. — 1991. — Vol. 5, no. 10. Pp. 327—339.

244. Meyn S. P., Tweedie R. L. Markov Chains and Stochastic Stability. — NY: Springer, 1994.

245. Miller B. M., Rubinovich E. Y. Regularization of a generalized Kalman filter // Mathematics in Computer and Simulation. — 1995. — Vol. 39. — Pp. 87-108.

246. Miller B. M., Runggaldier W. J. Kalman filtering for linear systems with coefficients driven by a hidden Markov jump process // Syst. & Control Lett. — 1997.— Vol. 31.— Pp. 93-102.

247. Milligen B. P. V., Sanchez R., Carreras B. A. Probabilistic finite-size transport models for fusion: Anomalous transport and scaling laws // Physics of Plasmas. — Vol. 11, no. 5.— Pp. 2272-2285.

248. Nagpal K. M., , Khargonekar P. P. Filtering and smoothing in an H°° setting // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. - Vol. AC-36. - Pp. 152-166.

249. Nasyrov F. S. On local times for functions and stochastic processes. I // Theory Probab. Appl. 1996. - Vol. 40. - Pp. 702-713.

250. Nasyrov F. S. Symmetric integrals and stochastic analysis // Theory Probab. Appl. — 2006. Vol. 51. - Pp. 406-503.

251. Orlov Y., Basin M. On minimax filtering over discrete-continuous observations // IEEE Trans. Autom. Contr. 1995. - Vol. TAC-40. - Pp. 1623-1626.

252. P. B.-K., Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. Limit theorems for continuous-time random walks with infinite mean waiting time // Annals of Prob. — 2004.

253. Pakshin P. V. Robust stability and stabilization of the family of jumping stochastic systems // Nonlinear analysis, theory, methods and applications. — 1997. — Vol. 30. — Pp. 2855—2866.

254. Pan Z., Basar T. control of Markovian jump systems and solutions to associated piecewise-deterministic differential games // Annals of the Int. Society of Dynamic Games / Ed. by G. J. Olsder. Boston, MA: Birkhauser, 1996.- Pp. 61-94.

255. Pankov A. R., Borisov A. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic linear dynamic systems // Intern. J. Control. — 1994. — Vol. 60. — Pp. 413-423.

256. Pankov A. R., Borisov A. V. Optimal signal processing for uncertain-stochastic systems // Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control. — Brighton, UK: 1991.-Pp. 3082-3083.

257. Pankov A. R., Borisov A. V. Process estimation in uncertain-stochastic systems // Advances in Modelling & Simulation. — 1992. — Vol. 32. — Pp. 1-16.

258. Pardoux E. Stochastic partial differential equations and filtering of diffusion processes // Stochastics. 1979. - Vol. 3. - Pp. 127-167.

259. Pavlovic V., Rehg J. M., MacCormick J. Learning switching linear models of human motion 11 NIPS. 2000. - Pp. 981-987.

260. Robert C. P., Celeux G., Diebolt J. Bayesian estimation of hidden Markov chains: A stochastic implementation // Statist. Probab. Lett. — 1993.— Vol. 16, no. 1,— Pp. 77— 83.

261. Runggaldier W. J. Jump Diffusions Models // Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance / Ed. by S. T. Rachev. North-Holland: Elesevier, 2003. - Pp. 169-209.

262. Rydén T. Consistency and asymptotically normal parameter estimates for hidden Markov models // Ann. Statisti- 1994.-Vol. 22, no. 4,- Pp. 1884—1895.

263. Rydén T. Parameter estimation for Markov modulated Poisson processes // Commun. Statist. Stochastic Models. 1994. - Vol. 10, no. 4. - Pp. 795—829.

264. Rydén T. An EM algorithm for estimation in Markov-modulated Poisson processes // Comput. Statist. Data Anal. 1996. - Vol. 21. — Pp. 431—447.

265. Samorodnitsky G., Taqqu M. S. Stable Non-Gaussian Processes. — NY: Chapman & Hall, 1994.

266. Shaikhet L. Stability of stochastic hereditary systems with Markov switching // Theory of Stochastic Processes. 1996. - Vol. 2. - Pp. 180-184.

267. Siemenikhin K. V., Lebedev M. V. Minimax estimation of random elements: Theory and applications // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. — Paradise Island: Omnipress, 2004. — Pp. 3581-3586.

268. Skorohod A. V. Stochastic equations for complex systems. — Kluwer, 1987.

269. Skvortsova N. N., Batanov G. M., et al. Structural plasma turbulence and anomalous non-Brownian diffusion // Stochastic Models of Structural Plasma Turbulence / Ed. by V. Y. Korolev, N. N. Skvortsova. Leiden-Boston: VSP, 2006. - Pp. 63-86.

270. Smith D. R. Markov-switching and stochastic volatility diffusion models of short-term interest rates // Journal of Business & Economic Statistics. — 2002. — Vol. 20, no. 2. — Pp. 183-97.

271. Soise C. The Fokker-Plank Equation for Stochastic Dynamical Systems and Its Explicit Steady Solutions. — Singapore: World Scientific, 1994.

272. Sola M., Psaradakis Z., Spagnolo F. Testing the unbiased forward exchange rate hypothesis using a Markov switching model and instrumental variables // Journal of Applied Econometrics. 2005. - Vol. 20, no. 3. — Pp. 423-437.

273. Verdu S., Poor H. V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second-order statistics // IEEE Trans. Autom. Contr. — 1984. — Vol. AC-29, no. 6. — Pp. 499-510.

274. Verdu S., Poor H. V. Robust estimation and signal detection // IEEE Trans. Inform. Theor. 1984. - Vol. IT-36. - Pp. 485-501.

275. Viterbi A. J. Error bounds for convolutional codes and an asymptotically optimum decoding algorithm // IEEE Trans. Inform. Theory. 2000. - Vol. IT-13. - Pp. 260—269.

276. Wall J. E., Willsky A. S., Sandell N. R. On the fixed-interval smoothing problem // Stochastics. — 1981. no. 1. - Pp. 1-42.

277. Wong E., Hajek B. Stochastic Processes in Engineering Systems.— New York: SpringerVerlag, 1985.

278. Wonham W. N. Some applications of stochastic differential equations to optimal nonlinear filtering // SIAM J. Control 1965. - no. 2. - Pp. 347-369.

279. Xiong J., Lam J., et al. On robust stabilization of Markovian jump systems with uncertain switching probabilities // Automatiea. — 2005. — Vol. 41. — Pp. 897—903.

280. Xu S., Chen T., Lan J. Robust H°° filtering for uncertain Markovian jump systems with mode-dependent time-delays // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — Vol. 48. — Pp. 900-907.

281. Ying J., Kirubarajan T., Pattipati K. R. A hidden Markov model-based algorithm for online fault diagnosis with partial and imperfect tests // IEEE Trans. Autom. Contr. — 2000. Vol. SMC(C)-30, no. 4. - Pp. 463-473.

282. Yuan C., Lygeros J. Invariant measure of stochastic hybrid processes // Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control. — Paradise Island: Omnipress, 2004.

283. Председатель: Батанов Г.М. заведующий лабораторией РАМУС ИОФ РАН, д.ф.-м.н., профессор,члены комиссии:

284. Председатель: Шоргин С.Я. заместитель директора ИПИ РАН, д.ф.-м.н.;члены комиссии:

285. Синицын В.И. начальник отдела статистических проблем информатики и управления (№ 17) ИПИ РАН, д.ф.-м.н.,

286. Результаты диссертации послужили основой для создания методик оценивания состояния TCP-соединения по разнородной априорной и статистической информации.

287. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

288. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияv» \> О

289. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТгосударственный технический университет)1Ч/1АИ »

290. МАИ», Волоколамское шоссе, д.4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993 Факс: (495) 158-29-77 Тел. (495) 158-43-33 e-mail: aet@mai.ru

291. Председатель: Красильников П.С. декан факультета «Прикладная математика и физика» МАИ, д.ф.-м.н., профессор;члены комиссии:

292. Кибзун А.И. заведующий кафедрой теории вероятностей (№ 804) МАИ, д.ф.-м.н., профессор,