автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и программное обеспечение оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов

На правах рукописи

Истигечева Елена Валентиновна

АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВОЛАТИЛЬНОСТИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2007

003071884

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Научный руководитель

Доктор технических наук, профессор

Мицель Артур Александрович

Официальные оппоненты

Доктор технических наук, профессор

Светлаков Анатолий Антонович

Доктор физико-математических наук профессор

Терпугов Александр Федорович

Ведущая организация

Новосибирский государственный университет экономики и управления

Защита состоится «14» июня 2007 г в 15 час 00 мин на заседании диссертационного совета Д212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу 634034, Томск, ул Белинского, 53

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу 634034, Томск, ул Вершинина, 74

Автореферат разослан « 8 » мая 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

А Я Клименко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Научный интерес к математическому моделированию в теории финансов обусловлен революционными преобразованиями финансового рынка - изменением его структуры, возрастанием вола-тильности (изменчивости) в ценах, появлением новых финансовых инструментов, использованием современных информационных технологий для анализа цен Все это предъявляет к финансовой теории новые требования и ставит новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.

Таким образом, построение и исследование математических моделей, адекватно описывающих динамику таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют, а также разработка алгоритмов прогнозирования стоимости этих финансовых инструментов в настоящее время является актуальным направлением финансовой математики В связи с чем, становится необходимым изучение статистических характеристик и особенностей структуры финансовых временных рядов, вычисление параметров моделей, описывающих эволюцию финансовых инструментов и определение вида распределения стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуа-ций

Основные вопросы, связанные с разработкой моделей и построением алгоритмов оценивания и прогнозирования стоимости финансовых инструментов рассмотрены в работах таких зарубежных специалистов как Engle R F, Bollerslev Т, Nelson D В , Fama Е , Mandelbrot В , Shephard N , Taylor S J , Barndorff-Nielsen О E , Andersen T и др

В российской науке наиболее значительный вклад в исследование указанных проблем внесли Ширяев А Н и группа ученых, работающих под его руководством в математическом институте им В А Стеклова, отдельными задачами занимаются такие ученые как Суслов В И , Ибрагимов Н М , Талышева J1П , Цыплаков А А , Терпугов А Ф , Медведев Г А и др

Актуальность проблем оценивания волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов привлекает к этой области исследования все большее количество ученых, которые пытаются ее решить, используя как традиционные, так и новые подходы вейвлет- анализ, фрактальный анализ, нейросетевое программирование, спектральный анализ

Однако, наибольший интерес сосредоточен вокруг моделей из семейства стохастических условно-гауссовских моделей (ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), многообразие которых, позволяет учесть особенности финансовых временных рядов независимо от их происхождения и дает достаточную точность прогноза без субъективной интерпретации входных данных, поступающих с торгового терминала

В этой области традиционно исследования ведутся в двух самостоятельных направлениях, первое из которых характеризуется разработкой адекватных моделей функции волатильности с последующей оценкой ее параметров, а второе - разработкой алгоритмов идентификации функции распределения доходности финансовых инструментов

В связи с чем, оказываются необходимыми дальнейшие исследования, связанные с разработкой алгоритмов, сочетающих в себе и первое, и второе направления

Целью работы является выявление и формализованное описание эмпирических закономерностей финансовых временных рядов, разработка алгоритмов и комплекса программ оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

1 Выявить и проанализировать особенности структуры и динамики финансовых временных рядов

2 Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности

3 Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности

4 Разработать алгоритм идентификации функции распределения доходно-стей финансовых активов

5 Разработать комплекс программ, реализующий алгоритмы оценивания параметров волатильности, идентификации функции распределения до-ходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов

6 Апробировать комплекс программ прогнозирования на основе реальных данных, поступающих с терминала

Объектом исследования являются реальные финансовые временные ряды на примерах обменных курсов ряда валют швейцарский франк (CHF), английский фунт стерлингов (GBR), японская иена (YEN), канадский доллар (CAD), единая европейская валюта (EUR) к доллару США (USD) за период со 2 января 1997г. по 29 12 2006г.(около 2600 наблюдений для каждого ряда)

На защиту выносятся следующие результаты:

1 Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом

2 Алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов.

3 Результаты прогнозирования стоимости финансовых инструментов с использованием нормального обратно - гауссовского распределения

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем-

1 Разработан новый алгоритм оценивания параметров волатильности, отличительной особенностью которого является использование лага фиксированной длины Кроме того, в отличие от известных методов оценива-

ния, в данном алгоритме не требуется информация о функции распределение доходностей финансовых инструментов

2 Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильно-сти с использованием метода последовательного анализа и фильтра Кал-мана - Бьюси

3 Впервые исследована возможность использования нормального обратно -гауссовского распределения для прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере обменных курсов валют

Методология и методы исследования. Теоретическую и методологическую основу диссертационного исследования составляют труды отечественных и зарубежных ученых - специалистов в области построения и анализа моделей, описывающих динамику финансовых временных рядов.

Диссертационное исследование основано на использовании методов анализа временных рядов, имитационного моделирования, математической статистики, последовательного анализа, метода максимального правдоподобия, численных методов,

Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 7.0, проверка конкретных расчетов осуществлялась в среде MathCad 12 и системы автоматизации математических вычислений «Макрокалькулятор»

Практическая значимость. Разработан комплекс программ для оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности, идентификации распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов

Разработанные в диссертации алгоритмы оценивания и прогноза и их программные реализации используются для оценивания реальной ситуации на финансовом рынке, для решения задач доверительного управления капиталом, для прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Личный вклад автора Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем А.А Мицелем Проведение обзорных и теоретических исследований, разработка алгоритмов оценивания и прогнозирования, проведение экспериментальных исследований и создание комплексов программ осуществлены автором лично

Апробация работы. Основные теоретические результаты и законченные этапы диссертационной работы, а также результаты прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях-

■ XII, XIII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2006г ,2007г.),

■ Научная сессия ТУСУР (Томск, 2006г, 2007г) секции «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте» и «Автоматизация управления в технике и образовании»,

■ научный семинар кафедры ТОЭ ТУСУР (2006 - 2007 г г),

■ научный семинар кафедры АСУ ТУСУР (2005 - 2007 г г),

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных публикациях, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК - 2, научных и научно-технических сборниках - 3, трудах Всероссийских и Международных конференций - 6, учебном пособии - 1, в отраслевом фонде алгоритмов и программ - 2 Результаты работы внедрены:

- в финансовой компании «БрокерКредитСервис»,

- в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд»,

- в учебном процессе Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР),

Достоверность результатов работы подтверждается исходными теоретическими, методологическими и практическими данными исследований, апробацией результатов и успешным внедрением в финансовых компаниях, осуществляющих работу на валютном и фондовом рынках

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту, показана научная новизна и практическая значимость работы, приведены основные результаты апробации

Первая глава содержит обзор работ, посвященных построению моделей финансовых временных рядов, проведена систематизация моделей и исследованы их свойства Рассмотрены закономерности, существующие на финансовом рынке, а также указаны преимущества и недостатки различных моделей финансовых временных рядов

В 1900 году французский ученый Л Башелье опубликовал свою знаменитую диссертацию, основная идея которой состояла в том, что вероятностные методы математической физики могут быть использованы для анализа динамики рыночных цен, если от самих цен активов перейти к их приращениям В 1965 году П Самуэльсон показал, что предпочтительнее сначала перейти к логарифмам цен возникла концепция геометрического (экономического) броуновского движения, которая заключалась в том, что приращения

имеют нормальное распределение Здесь - рыночный курс финансового инструмента Указанная замена переменной оказалась исключительно удачной приращения у„, которые в литературе называются доходностями финансовых инструментов, оказываются стационарными и независимыми на очень больших отрезках времени.

Однако, дальнейшие исследования, показали, что эта простая модель не согласуется с фактическими данными, поскольку нарушается гипотеза о нормальности и независимости величин последовательности уп.

В связи с чем, возникла задача выбора модели, адекватно описывающей доходности финансовых инструментов

Очевидно, что для выбора подходящей модели необходимо иметь пред-

ставление об эмпирических закономерностях, которые могут и должны быть учтены в конструируемой модели Обзор литературы позволяет выделить некоторые устойчивые закономерности, характеризующие доходности финансовых активов

1 «Кластерностъ» валаттьности Суть этого феномена заключается в том, что за значительными изменениями цены актива часто следуют другие значительные изменения, тогда как слабые изменения обычно следуют за слабыми, то есть за периодом высокой волатильности следует период низкой волатильности

2 «Левередж - эффект» Динамика финансовых инструментов характеризуется таким феноменом как отрицательная коррелированность доходности финансовых инструментов и волатильности Так, если волатильность «мала», то цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно дольше, если же волатильность «велика», то цены замедляют свой рост или падение, стремясь повернуть движение в противоположном направлении.

3 «Длинная память». Финансовые временные ряды обладают, так называемой, длинной памятью, что подразумевает наличие значимой автокорреляции между удаленными наблюдениями Это обстоятельство приводит к тому, что прошлые доходности «могут помочь» в предсказании доходностей будущих

4 «Тяжелые хвосты» Функция плотности условного распределения доходностей финансовых активов характеризуется свойством лептокуртичности, т е более «тяжелыми хвостами» и большей вытянутостью (пикообразностью) в области среднего значения по сравнению с функцией плотности нормального распределения Причиной выраженной ненормальности условных распределений являются выбросы или «хвостовые события» - ошибки прогнозов, многократно превосходящие стандартное отклонение

Для объяснения особенностей финансовых временных рядов в 1982 г Роберт Энгле предложил авторегрессионную модель условной гетероскедастично-сти А11СН(р)"

Уп=°пвп> (1)

о5=<*о + ^ <»/>«-/. (2)

(=1

где уп - доходность финансовых инструментов, ст„ - функция волатильности, е„ - последовательность нормальных одинаково - распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией

В дальнейшем Т Боллерслев обобщил АЯСН(р)-модель в виде

= + (3)

Эта модель получила в литературе название обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности (в латинской аббревиатуре —

GARCH(p,q))

Основным преимуществом GARCH(p,q) - моделей является то, что при описании статистических данных можно ограничиться сравнительно небольшими значениями параметров р и q в отличие от моделей типа ARCH(p), которые демонстрируют свою работоспособность только при больших значениях параметра р

Модель GARCH(1,1) хорошо зарекомендовала себя на практике, и многие специалисты по эконометрике относятся к ней как к образцу сравнения

В настоящее время семейство ARCH - моделей насчитывает множество одномерных и многомерных модификаций, однако наиболее интересной из них можно назвать модель стохастической волатильности Принципиальным отличием от моделей семейства ARCH является то, что волатильность зависит не только от прошлых наблюдений, но и от некоторой ненаблюдаемой компоненты

Inal =а0 + 1пст^_( +5vv„ (4)

Здесь ненаблюдаемую компоненту v„ можно интерпретировать как случайный и неустойчивый поток новой информации, поступающей на финансовые рынки

На практике, модель стохастической волатильности оказывается более предпочтительной, чем модель GARCH в предположении нормальности распределения доходностей

В диссертационной работе показано, что при использовании распределений отличных от нормального, например, распределений с «тяжелыми хвостами», ситуация меняется на противоположную Таким образом, для описания исследуемых финансовых временных рядов в работе используются две модели модель стохастической волатильности и обобщенная авторегрессионная модель условной гетероскедастичности GARCH(1,1) при условии, что доходности финансовых инструментов подчиняются распределению с «тяжелыми хвостами» Вторая глава посвящена оцениванию параметров волатильности В п. 2.1. предложен алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности GARCH( 1,1) с заданным лагом

Модель основана на авторегрессионной зависимости вида

= ао + + Pi0n-i > (5)

где а0 > 0,ot| > 0, (3| > 0- коэффициенты модели, подлежащие оценке

Условие стационарности модели GARCH(1,1) определяется следующим неравенством.

а, + р,<1 (б)

В литературе для оценивания параметров волатильности на основе модели (5) предлагается использовать метод максимального правдоподобия Однако, определить параметры а0, а,, Р, в этом случае достаточно сложно, это связано с необходимостью многократного решения системы уравнений, обеспечивающей нахождение максимума функции правдоподобия и большой размерностью

исходных данных Кроме того, вид функции правдоподобия изменяется, если распределение доходностей оказывается отличным от нормального В этом случае решение задачи оценивания параметров волатильности становится еще сложнее

В связи с чем, в диссертационной работе предложен новый алгоритм, лишенный указанных недостатков Так как распределение доходностей на практике всегда является неизвестным, то оценивание параметров модели предлагается осуществлять путем минимизации следующей функции невязки

(7)

(=14 /и

с учетом условия стационарности (6) При этом подмножество и определяется тройкой параметров (а^а^р,) следующим образом

С/={а0,а,,Р, а,+р,<1, ао.а^Х)}, где аапАКСН - значение волатильности, вычисленное в соответствии с (5)

ст^ - дневная волатильность по историческим данным с лагом к, значения которой вычисляются с использованием формулы

- 1 к

где у = — V у - выборочное среднее

При этом предполагается, что значение лага к является априорно заданной величиной

Минимум функции Ци) определяется методом прямого перебора с заданным шагом для соответствующего параметра ос0, о^, в области их изменения Несмотря на кажущуюся трудоемкость вычислений, определение минимума функции ¿(и) на основании соотношения (7) происходит быстрее, чем нахождение максимума функции правдоподобия Кроме того, этот процесс можно ускорить, если подобрать значение величины шага перебора В диссертационной работе предлагается перебирать значения а0 с шагом Л, = Ю-7, а, - с шагом /*2 = Ю-2, Р] - с шагом Л3 = Ю-1

В п. 2.2. предложен алгоритм построения модифицированной оценки параметров стохастической волатильности с использованием фильтра Калмана -Бьюси

Последние исследования в области финансовой математики показали, что волатильность носит стохастический характер, т е волатильность «сама по себе волатильна» и модели со стохастическим непостоянством могут быть использованы для описания динамики финансовых инструментов

Модель стохастической волатильности имеет следующий вид

1по„=а0 + а11па„_, + где е„ , v,, - последовательности независимых нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, ст„ и у„ - во-латильность и доходность финансовых инструментов соответственно

Для оценки параметров хп = естественно было бы воспользоваться оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой

тп = Е{хп\у^, ,у„),

у„ = Е(хп - тп)г

К сожалению, нелинейность рассматриваемой модели делает задачу отыскания тп в явном виде почти безнадежной В работе предлагается линеаризовать модель и воспользоваться теорией гауссовской линейной фильтрации Калмана-Бьюси

Осуществив нелинейные преобразования от переменных (уп,ап,Е„) к новым переменным (;„,.хп,Г|и) по формулам

х„=1по2„, 2„=1пу2„-$, Г1л=1пе^-Р, модель стохастической волатильности после несложных преобразований приводится к системе линейных уравнений

=П=*П+ П„. (9)

хп=а0+ а\хп-\ + (10)

Тогда, при начальных данных

то = Ех0, у0 = Ох0, (11)

в предположении, что тп = Е{х„\гь ,гп) и уп=(хп-тп)2 соответствующая система рекуррентных уравнений оптимальной линейной фильтрации, определяющая эволюцию величин тп и у„, имеет следующий вид

т„+1 = (а0+сх.т,,) + "'Т" 1+у/

г . П2 (12)

На практике численное значение величины параметра а0 оказывается на несколько порядков меньше, чем величина параметра а, В связи с чем, в работе предложена модифицированная оценка параметра а, в предположении, что параметр а0 =0 в (10) Дополнив также второе слагаемое в (9) множителем 5П,

играющим роль интенсивности шумов наблюдений, рассмотрим линейную систему уравнений

2п+1 ~хп+1 Т1л+1> ^^

■*п+1=а1 *л + 8у-х;и+1-Модифицированная оценка получена на основе метода наименьших квадратов

т

-, (14)

и=1

где величина х определяет время работы алгоритма

т = т(Я) = шш т |>„2-5*)>Я .

и=1 ]

Для системы (13) оптимальная оценка тп и ее ошибка уи удовлетворяет следующей системе рекуррентных уравнений оптимальной линейной фильтрации

т„+1 =а\т„ +

«1 Уп

(15)

. «2 «1У„

с начальными данными типа (11)

В заключение главы 2 приводится описание программ оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности и модели стохастической волатильности

В третьей главе рассматривается задача идентификации параметров функции распределения доходностей финансовых инструментов Известно, что эмпирическая функция плотности распределения доходностей финансовых инструментов, построенная на основе исторических данных, характеризуется асимметрией, свойством «вытянутости» функции плотности в е-окрестности точки математического ожидания и «тяжелыми хвостами», когда вероятность значительных изменений ценовых приращений выше, чем для нормального распределения и, следовательно, условие нормальности функции плотности распределения доходностей финансовых инструментов, справедливое в рамках гипотезы эффективного рынка, оказывается на практике противоречащим наблюдениям.

В связи с чем, на различных этапах исследований в течение ряда последних лет для описания временных рядов предлагалось использовать различные распределения обобщенное распределение Парето, распределение Стьюдента, распределение Лапласа

В последнее время внимание исследователей привлекает класс обобщенных гиперболических распределений, имеющих ряд привлекательных свойств для описания финансовых временных рядов асимметричность и «тяжелые хво-

сты», убывающие по показательному закону, т е медленнее, чем хвосты нормального распределения

Функция плотности обобщенного гиперболического распределения имеет

вид

Гё„(хЛ,ц,а,Р,5) = (82 + (Х-112)){Х-и2),2К^а2- р2)х

х^х-1 / 2 (ад/52+(*-ц)2) ехр(Р(х - ц)),

где а - параметр устойчивости, (3 - параметр асимметрии, ц и 5 - параметры положения и масштаба соответственно Параметр Хп Я характеризует определенный подкласс из семейства обобщенных гиперболических распределений Здесь Кх означает модифицированную функцию Бесселя третьего рода

1 °° ( К*« =-//"'ехр

го I

которая обладает следующими свойствами 1 Кх(х) = К_х(х).

)=ёх

( f j \\ у + -

У

dy,x>0,

i

2 К±х_(х)--

2

3 К{{х) = --Кк(х)-К^{х)

х

4

Ых)

В диссертационной работе наряду с известными распределениями для описания доходностей предлагается использовать нормальное обратно-гауссовское распределение (Normal Inverse Gaussian - NIG)

fnil,(*,a,P,5,ii)= , a5 K, Ud2 +(x- ц)2 )exp(5Va2 - p2 + -

И»,

которое является представителем семейства обобщенных гиперболических распределений при X - —-

Наличие четырех параметров (а,Р,5,ц) позволяет на практике повысить точность описания эмпирических данных и, кроме того, функция плотности NIG - распределения имеет более высокий куртозис и более «тяжелые» хвосты по сравнению с функцией плотности нормального распределения (рис 1)

0,9 0,6 07 06 05 04 03 0,2 01 0

Рис 1 Функция плотности N1G - распределения о параметрами а = 1 826, (3 = -0 163, ц. = О 0738, 5 = 0 820 в сравнении с функцией плотности нормального распределения с параметрами ц = 0, ст = 0 623

Вычислительная схема алгоритма оценивания параметров NIG - распределения предусматривает параметризацию.

+ т

при которой функция NIG - распределения приобретает следующий вид

fnig(*>T>i.5.H) =

Ы]

.К,

\ + 1г

+ хМ +

х-\1

ехР| С +

(16)

Если в соотношении (16) в качестве значений аргумента х воспользоваться величиной доходности уп, то функцию максимального правдоподобия можно записать в следующем виде

¿ = (17)

Л=1

Поиск максимума функции Ь осуществляется в соответствии с выполнением необходимого условия существования экстремума по четырем переменным, т е частные производные по каждой из переменных должны быть равны нулю'

BL 2m v IT,—», ,

Эт 1 + x2 Vl + t2n=i s«=i

эс

'/1=1

l-^^t^W-fEta-rt-o,

98 8 8 »=1 V1 + P« 8

Эц 5 ^iVl + P«

где p„ :

_f Уп-У-

,<o„=cVl+T27l + pn

Вычисление начальных значений для решения системы (18) в работе осуществляется с использованием метода моментов

£(Л-) = ц + 5т,

82(1 +т2)

S(X) = 3

(19)

1 + т

.2 Л

1 + 4-

1 + Tz

Здесь £(ЛГ) - математическое ожидание выборки, V(X) - дисперсия, S(X) - коэффициент асимметрии, К(Х) - куртозис

Решение системы (19) определяет значения величин (т0,С0,50,ц0), которые используются в качестве начальных приближений для вычисления оценок параметров N1G - распределения

При X = 1 из семейства обобщенных гиперболических распределений выделяется гиперболическое распределение (Hyperbolic - HIP) с функцией плотности

-ехр(-а\/б2 + (* - |i)2 + Р(х - ц)).

^ (дг,а,р,5,ц)=- ---

2БаК1ф^а ~Э )

Аналогично ЫЮ-распределению в диссертационной работе для Н1Р-распределения составлена функция максимального правдоподобия и система нелинейных уравнений, определяющая соответствующие оценки параметров Н1Р-распределения

В заключение главы 3 приводятся описания программ оценивания параметров HIP - и NIG - распределений

В четвертой главе рассматривается задача прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере пяти финансовых временных рядов обменных курсов валют швейцарский франк, английский фунт стерлингов, японская иена, канадский доллар и единая европейская валюта к доллару США за период со 2 января 1997г по 29 12.2006г (около 2600 наблюдений по каждому финансовому ряду)

Алгоритм прогнозирования стоимости финансовых инструментов включает следующие этапы

1) Вычисление доходностей исследуемых финансовых инструментов,

2) Вычисление статистических характеристик ряда доходностей,

3) Оценка параметров волатильности,

4) Идентификация распределения доходностей,

5) Вычисление прогнозных значений стоимости финансовых инструментов

Анализировать графики цен финансовых инструментов с точки зрения вероятностного подхода не представляется возможным, поскольку кривые существуют в единственном экземпляре (рис 2), а не в виде статистического ансамбля Других реализаций с идентичным распределением вероятностей не существует, т к повторить в опыте рыночную историю валютного курса или цен акций невозможно

Рис 2 Дневные цены закрытия валютной пары USD/ JPY, за период со 2 января 1997г по 29 12 200бг

Кроме того, проведенный в диссертационной работе Тест Дики - ФуЛЛера на стационарность, показал, что ряды котировок валютных курсов Sh являются нестационарными

С другой стороны, график доходностей (рис 3) является более удобным для анализа, т к он представляет статистически однородный и стационарный ансамбль приращений, о чем свидетельствуют результаты теста Дики - Фулле-ра

-4 -

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2DOS

Рис 3 Ежедневная доходность валютной пары USD/ JPY, за период со 2 января 1997г по 29 12 200бг

Для каждого из пяти исследуемых рядов доходностей валютных пар вычислены основные статистические характеристики, значения которых представлены втабл 1

Таблица 1 Статистические характеристики

Ряд Среднее Ст отклонение Асимметрия Куртозис JB

GBR 0 00568 0 504 0 019 4 635 609 64

JPY 0 00082 0 685 -0 725 8 810 1087 89

CHF -0 00422 0 670 -0 119 4.762 550 82

CAD - 0 00623 0417 -0 013 5 082 798 58

EUR 0 002134 0 624 0 044 4 577 641 32

Анализ таблицы 1 показывает, что все пять рядов демонстрируют свойство лептокуртичности, поскольку значение куртозиса превышает величину К = 3, характерную для нормального распределения В связи с чем, выдвигается нулевая гипотеза о нормальности исследуемых рядов. Для подтверждения или опровержения указанной гипотезы гипотезу в работе проведен тест Jarque - Bera (JB) на нормальность

JB.»f[s*+\(K-3f

Здесь N - объем выборки, S - коэффициент асимметрии, К - куртозис

В случае, если доходности подчиняются нормальному закону, то статистика Jaique - Bera следует распределению %г с двумя степенями свободы Таким образом, если полученная статистика JB>y\, нулевая гипотеза отклоняется

В работе показано, что для исследуемых рядов величина JB превышает критическое значение статистики при уровне значимости 0 05 и, следова-

тельно, гипотеза о нормальности отвергается для всех рассматриваемых рядов с вероятностью Р = 0 95.

Для адекватного описания эмпирических данных рассматриваются обобщенная авторегрессионная модель условной гетероскедастичности и модель стохастической волатильности.

Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели ОАЯСН(1,1) использовался при различных значениях величины лага от 2 до 10 и для каждого значения лага вычисляется максимальная относительная погрешность между а°лнсн и а[к) по формуле

8 =

ОЛЯСЯ _ (*)

100%.

Так, при к = 2 максимальная относительная погрешность между а™™ и а^ оказывается равной 8,7%, при к = 5 она составляет 4,5%, а при /с = 10 соответственно - 1,7% В дальнейшем с ростом к погрешность остается на постоянном уровне и не превосходит величины 8= 1,4%

Однако, с ростом величины к происходит существенное сглаживание ряда доходностей, что отрицательно сказывается на конечном результате - прогнозе стоимости финансовых инструментов В связи с чем, в работе значение лага определяется величиной к = 5 Кроме того, наиболее точный прогноз пиковых данных ряда получен именно при к= 5 (рис 4), что подтверждает правильность выбора значения лага

Рис 4 Погрешность оценивания параметров волатильности при различных значения* лага для пиковых значений ряда

В табл. 2 представлены значения параметров волатильности а,,^, вычисленных на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности при к - 5 для всех исследуемых рядов при фиксированном значении а0 = 1 10~7 Также в таблице показаны максимальные относительные погрешности 5 между дневной волатильностью и волатильностью, вычисленной на основе модели ОАИСН(1,1)

Ряд а, Р, Погрешность 8 (%)

ввя 0 27 0 72 2 38

ЛРУ 0 26 0 73 4 18

СНР 0 26 0 73 2 67

САБ 0 26 0 73 3 89

Е1Ж 0 27 0 72 4 03

С целью получения наилучшего прогноза стоимости финансовых инструментов, обеспечивающего минимальное среднеквадратическое отклонение от истинных значений исторического ряда, осуществляется идентификация функции распределения доходностей финансовых инструментов Оценки параметров для рассматриваемых распределений (нормального, Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределений) найдены методом максимального правдоподобия В качестве примера оценки параметров нормального обратно - гауссовского распределения для исследуемых пяти рядов сведены в табл 3

Таблица 3 Оценки параметров нормального обратно - гауссовского распределения

Ряд т С 6 И

ввк 0 02349 0 01372 0 55443 -0 01279

ЛРУ -0 08946 1 49123 0.82006 0.07382

СНР - 0 05064 1 77807 0 64726 0 05881

САБ - 0 02299 1 98597 0 58907 0 00734

Е1Ш 0 03292 2.31750 0.73180 -0 03876

Используя результаты оценивания параметров волатильности и результаты процедуры идентификации функции распределения доходностей, прогнозные значения стоимости финансовых инструментов вычисляются по формуле

5'„=5'„_1 ехр(о„е„)

В табл 4 приведены среднеквадратические ошибки прогноза стоимости финансовых инструментов для модели ОАКСН(1,1) с использованием указанных распределений в сравнении с прогнозом, полученным на основе модели стохастической волатильности

Таблица 4 Среднеквадратическая ошибка прогноза

Ряд ]^огта1 ^иёегй Ьар1асе Н1Р ыю 8У

ввя 0 0081 0 0081 0 0028 0 0028 0 0027 0 0045

ЛРУ 0 7810 0 7930 0 793 0 4530 0 3100 0 6482

СНР 0 0094 0 0096 0 0096 0 0057 0 0031 0 0061

САБ 0 0056 0 0056 0 0018 0 0019 0 0015 0 0024

Е1Ж 0 0065 0 0066 0 0066 0 0031 0 0022 0 0045

Анализ данных из таблицы 4 показывает, что модель САЯСН(1,1) как с нормальным распределением, так и распределением Стьюдента обеспечивает неприемлемую точность прогнозирования валютных курсов Гиперболическое распределение и распределение Лапласа обеспечивают сравнительно хорошую точность прогноза для всех исследуемых временных рядов Наконец, нормальное обратно - гауссовское распределение дает наилучший прогноз изменения котировок валют

Использование модели стохастической волатильности дает прогноз лучше, чем использование вАЯСН - модели с нормальным распределением доходно-стей, но хуже, если рассматривать распределения с «тяжелыми» хвостами (рис 5)

Рис 5 Прогноз дневных цен закрытия валютной пары изЭЛРУ с нормальным обратно - гауссовским и нормальным распределениями

В заключение главы 4 приводится описание комплекса программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов

Комплекс программ включает в себя

1) модуль интеграции в торговый терминал Ме1а(}ио1е8 Ме1аТгас1ег4,

2) программу оценки параметров волатильности на основе модели ОА11СН(1,1) и модели стохастической волатильности,

3) программу оценки параметров гиперболического и нормального об-ратно-гауссовского распределений,

4) программу идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов,

5) программу прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Комплекс программ дает возможность автоматизировать весь процесс

прогнозирования и осуществлять расчеты в реальном режиме времени, что существенно уменьшает время анализа с момента формирования первичных данных до осуществления прогноза в опережающем масштабе времени

Комплекс прошел апробацию и внедрен в Томских компаниях «Томск-Телетрейд» и «БрокерКредитСервис»

В заключении приведены основные научные и практические результаты настоящей работы, которые заключаются в следующем

128,00 126,00 124,00 122,00 120,00 118,00 116,00 114,00

— Эмпирические данные • ЫЮ-р ас пределен не

— Нормальное

112,00 110,00

Январь 1997

Февраль 1997

Март 1997

1 Проведен обзор моделей финансовых временных рядов, отмечены их преимущества и недостатки

2 Исследованы закономерности, существующие на финансовом рынке, которые учтены при выборе моделей

3. Исследованы статистические характеристики временных рядов и описаны их особенности

4 Осуществлена проверка статистических гипотез на стационарность и нормальность изучаемых временных рядов

5 Разработан алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом

6 Согласно предложенному алгоритму вычислены оценки параметров волатильности и значения относительной погрешности для различных лагов На основании полученных результатов выбран оптимальный лаг, обеспечивающий наилучшие оценки параметров модели.

7 Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси

8 Произведена идентификация функции распределения доходностей финансовых инструментов Показано, что наилучшим распределением доходностей с точки зрения прогноза стоимости финансовых инструментов является нормальное обратно — гауссовское распределение.

9 Осуществлено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе модели GARCH(1,1) с нормальным распределением, распределением Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гаус-совского распределения, а также модели стохастической волатильности

10 Разработан комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов «Predict»

11 Осуществлена апробация комплекса программ «Predict» на реальных данных в финансовой компании «БрокерКредитСервис» и в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд», о чем получены соответствующие акты.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Истигечева Е. В. Гарантированное оценивание параметров функциональной волатильности на основе МНК / Е. В Истигечева // XII международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» сб науч тр — Томск, 2006 -Т 2 -С 71-73

2 Истигечева Е. В. Гарантированное оценивание параметров функциональной волатильности / ЕВ. Истигечева, А А. Мицель // Информационные системы Труды постоянно действующего научно-практического семинара - Томск, 2006 -Вып 4 - С. 154-158

3 Истигечева Е. В. Оценивание параметров стохастической волатильности с использованием фильтра Капмана-Бьюси / ЕВ. Истигечева // Научная сессия ТУСУР матер докладов Всеросс научно-техн конф сту-

дентов, аспирантов и молодых ученых - Томск, 2006 - Т 4 - С 173176

4 Истигечева Е. В. Гарантированное оценивание параметров стохастической волатильности /ЕВ Истигечева // Научная сессия ТУСУР - 2006 матер докладов Всеросс научно-техн конф студентов, аспирантов и молодых ученых.-Томск, 2006 -Т. 5 -С 219-221

5 Истигечева Е. В. Модели с авторегрессионной условной гетероскеда-стичностью / ЕВ. Истигечева, А А. Мицель // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники -Томск, 2006. - Т. 5 - С 15-21

6 Истигечева Е. В. Оценивание параметров волатильности /ЕВ Истигечева, А А Мицель // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники - Томск, 2006 - Т. 5 - С 22-28

7 Истигечева Е.В. Оценивание параметров гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределений /ЕВ Истигечева, А А Мицель//Известия ТПУ - Томск, 2006 -Т 6 - С. 11-13.

8 Истигечева Е. В. Прогнозирование изменений котировок финансовых инструментов на основе модели стохастической волатильности И Известия ТПУ - Томск, 2006 -Т 7 - С. 117-120

9 Истигечева Е. В. Комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов «Predict» // Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8165 от 25 апреля 2007г

10 Истигечева Е. В. Программа оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскеда-стичности «Volatility» Н Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8166 от 25 апреля 2007г

11. Истигечева Е. В. Прогнозирование волатильности финансовых инструментов с использованием GARCH - модели /ЕВ Истигечева, А А Бобенко // Научная сессия ТУСУР - 2006 матер докладов Всеросс научно-техн конф студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск, 2007 -Т 4

12 Истигечева Е. В. Имитационное моделирование цен финансовых инструментов с использованием NIG - распределения / Истигечева ЕВ// Научная сессия ТУСУР - 2007 матер, докладов Всеросс научно-техн конф. студентов, аспирантов и молодых ученых - Томск, 2006, - Т. 5.

13. Истигечева Е. В. Автоматизированный математический тренажер на основе системы «Макрокалькулятор» / Т. В Ганджа, Е. В. Истигечева // // XIII международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» сб науч.тр -Томск,2007.-Т 2.-С 71-73.

14 Истигечева Е.В. Математика на Макрокалькуляторе Учебное пособие / В M Дмитриев, Т В Ганджа, Е В Истигечева Томск Томск гос ун-т систем упр и радиоэлектроники, 2007 - 110 с.

¥

Тираж 100 экз Заказ 644 Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г Томск, пр. Ленина, 40

Условные сокращения.

Введение.

Глава 1. Математические модели описания финансовых временных рядов.

1.1. Методы анализа финансовых рынков.

1.2. Особенности моделей стоимости финансовых инструментов.

1.3. Линейные стохастические гауссовские модели.

1.4. Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели.

1.4.1. ARCH - модель.

1.4.2. GARCH - модель.

1.4.3. EGARCH - модель.

1.4.4. Другие одномерные параметризации.

1.4.5. Модель стохастической волатильности.

1.4.6. Многомерные модели волатильности.

1.5. Непараметрические модели.

1.5.1 Историческое моделирование.

I 1.5.2 Непараметрическое моделирование волатильности.

Выводы.

Глава 2. Оценивание параметров волатильности.

2.1. Понятие волатильности.

2.2. Алгоритмы оценивания параметров волатильности.

2.2.1. Оценивание параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности.

2.2.2. Оценивание параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

2.2.3. Фильтр Калмана - Бьюси.

2.3. Программная реализация алгоритма оценивания параметров волатильности.

Выводы.

Глава 3. Идентификация распределения доходностей финансовых инструментов.

3.1. Постановка задачи идентификации.

3.2. Семейство гиперболических распределений.

3.2.1. Обобщенное гиперболическое распределение.

3.2.2. Нормальное обратно-гауссовское распределение.

3.2.3 Гиперболическое распределение.

Глава 4. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов.

4.1 Доходность финансовых инструментов.

4.2 Статистические характеристики доходностей.

4.3. Оценивание параметров волатильности.

4.4. Идентификация функции распределения доходностей.

4.5. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов.

4.6. Комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструметов.

Выводы.

Актуальность темы исследования. Научный интерес к математическому моделированию в теории финансов обусловлен революционными преобразованиями финансового рынка - изменением его структуры, возрастанием вола-тилъности (изменчивости) в ценах, появлением новых финансовых инструментов, использованием современных информационных технологий для анализа цен, что предъявляет к финансовой теории соответственно новые требования и ставит новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов. Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.

Важнейшим направлением исследований является моделирование динамики доходности фондового и валютного рынков. Долгое время было принято считать, что доходность финансового рынка следует процессу "случайного блуждания" и, следовательно, является величиной непредсказуемой [24]. Эта точка зрения полностью соответствовала гипотезе эффективного рынка, постулирующей, что вся информация о рынке включена в текущую цену актива. В этом случае цены должны совпадать со своими фундаментальными значениями, любые отклонения от которых связаны с процессом поступления новостей на рынок, носящим случайный характер.

Однако, в последнее время ставится под сомнение адекватность этой гипотезы реалиям финансового рынка. Большинство современных исследований показали, что величина доходности не подчиняется закону «случайного блуждания», и, следовательно, является предсказуемой [2-5].

Другим важнейшим направлением финансового моделирования является исследование динамики волатилъности рынков [3], показавшее изменчивость этой характеристики во времени, тогда как ранее предполагалось, что волатильность является постоянной величиной. Целью моделирования волатильно-сти является построение ее прогноза и изучение различных аспектов рыночной доходности. Подобные прогнозы применяются в таких областях финансовой деятельности, как риск - менеджмент [4], оценка стоимости финансовых инструментов [5], определение структуры портфеля ценных бумаг [6], выбор оптимального времени для осуществления операций на рынке [7] и т.д. В каждом из а этих случаев немаловажным оказывается построение оценки волатильности, ожидаемой в будущем.

Оба указанных выше направления исследований продолжают развиваться, опираясь на новейшие разработки в области эконометрики. Стремление «подобрать» модель, наиболее точно соответствующую реальному поведению финансовых рынков, и повысить качество строящихся прогнозов ведет к появлению, как новых классов моделей, так и модификаций уже существующих.

Таким образом, построение и исследование математических моделей, адекватно описывающих динамику таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют и др., в настоящее время является актуальным направлением финансовой математики. В связи с чем, становится необходимым изучение статистических характеристик и особенностей структуры финансовых временных рядов, вычисление параметров моделей, описывающих эволюцию финансовых инструментов и определение вида распределения стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуаций.

Актуальность перечисленных проблем предопределила выбор темы диссертационной работы.

Современное состояние проблемы. Основные вопросы, связанные с разработкой моделей и построением алгоритмов оценки и прогнозирования стоимости финансовых инструментов рассмотрены в работах таких зарубежных специалистов как: Engle R.F. [62-77], Bollerslev Т. [50-57], Nelson D.B. [97101], Fama E. [76], Mandelbrot B. [94], Shephard N. [31], Taylor S.J. [109], Barndorff-Nielsen O.E. [44-46], Andersen T. [37-43] и др.

В российской науке наиболее значительный вклад в исследование указанных проблем внесли Ширяев А.Н. и группа ученых, работающих под его руководством в математическом институте им. В.А.Стеклова [25,30,34-36], отдельными задачами занимаются такие ученые как Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. [26], Терпугов А.Ф. [27,28], Медведев Г.А. [22] и др.

Актуальность проблем оценивания волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов привлекает к этой области исследования все большее количество ученых, которые пытаются ее решить, используя как традиционные, так и новые подходы: вейвлет- анализ [65], фрактальный анализ [66], нейросетевое программирование [67], спектральный анализ [68].

Однако, наибольший интерес сосредоточен вокруг моделей из семейства стохастических условно-гауссовских моделей (ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), многообразие которых, позволяет учесть особенности финансовых временных рядов независимо от их происхождения и дает достаточную точность прогноза без субъективной интерпретации входных данных, поступающих с торгового терминала.

В этой области традиционно исследования ведутся в двух самостоятель-to ных направлениях, первое из которых характеризуется разработкой адекватных моделей функции волатильности с последующей оценкой ее параметров, а второе - разработкой алгоритмов идентификации функции распределения доход-ностей финансовых инструментов.

В связи с чем, оказываются необходимыми дальнейшие исследования, связанные с разработкой алгоритмов, сочетающих в себе и первое, и второе направления.

Таким образом, приведенные аргументы обусловили цели и задачи диссертационного исследования.

Целью работы является выявление и формализованное описание эмпири-* ческих закономерностей финансовых временных рядов, разработка алгоритмов и комплекса программ оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Выявить и проанализировать особенности структуры и динамики финансовых временных рядов.

2. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастич-ности.

3. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

4. Разработать алгоритм идентификации функции распределения доход-ностей финансовых активов.

5. Разработать комплекс программ, реализующий алгоритмы оценивания параметров волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

6. Апробировать комплекс программ прогнозирования на основе реальных данных, поступающих с торгового терминала.

Объектом исследования являются реальные финансовые временные ряды на примерах обменных курсов ряда валют: швейцарский франк (CHF), английский фунт стерлингов (GBR), японская иена (YEN), канадский доллар (CAD), единая европейская валюта (EUR) к доллару США (USD) за период со 2 января 1997г. по 29.12.2006г. (около 2600 наблюдений для каждого ряда).

Предметом исследования являются: математические модели волатильности финансовых временных рядов, алгоритмы оценивания параметров волатильности, алгоритмы прогнозирования стоимости финансовых инструментов с учетом влияния вида функции распределения доходностей.

На защиту выносятся следующие результаты: 1. Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом.

2. Алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов.

3. Результаты прогнозирования стоимости финансовых инструментов с использованием нормального обратно - гауссовского распределения.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

1. Разработан новый алгоритм оценивания параметров волатильности, отличительной особенностью которого является использование лага фиксированной длины. Кроме того, в отличие от известных методов оценивания, в данном алгоритме не требуется информация о функции распределения доходностей финансовых инструментов.

2. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси.

3. Впервые исследована возможность использования нормального обратно -гауссовского распределения для прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере обменных курсов валют.

Методология и методы исследования. Теоретическую и методологиче-Ш скую основу диссертационной работы составляют труды отечественных и зарубежных ученых - специалистов в области построения и анализа моделей, описывающих динамику финансовых временных рядов.

Диссертационная работа основана на использовании методов анализа временных рядов, имитационного моделирования, математической статистики, последовательного анализа, а также численных методов.

Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 7.0, проверка конкретных расчетов осуществлялась в среде MathCad 12 и в системе автоматизации математических вычислений «Макрокалькулятор».

Практическая значимость. Разработан комплекс программ для оценива-^ ния параметров функциональной и стохастической волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Разработанные в диссертации алгоритмы оценки и прогноза и их программные реализации используются для оценивания и прогнозирования реальной ситуации на финансовом рынке, для решения задач доверительного управления капиталом, для прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Личный вклад автора. Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем А.А. Мицелем. Проведение обзорных и теоретических исследований, разработка алгоритмов оценивания и прогнозирования, проведение экспериментальных исследований и создание комплекса программ осуществлены автором лично.

Апробация работы. Основные теоретические результаты и законченные этапы диссертационной работы, а также результаты прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

XII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 27-31 марта 2006г.);

Научная сессия ТУ СУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;

Научная сессия ТУСУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»;

XIII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2-5 апреля 2007 г.);

Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;

Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»; научный семинар кафедры ТОЭ ТУСУР (2006 - 2007 г.г.); научный семинар кафедры АСУ ТУСУР (2005 - 2007 г.г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных публикациях, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК - 2, научных и научно-технических сборниках - 3 , трудах Всероссийских и Международных конференций - 6, учебном пособии - 1, в отраслевом фонде алгоритмов и программ - 2.

Результаты работы внедрены:

- в финансовой компании «БрокерКредитСервис»;

- в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд»;

- в учебном процессе Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР);

Достоверность результатов работы подтверждается исходными теоретическими, методологическими и практическими данными исследований, апробацией результатов и успешным внедрением в финансовых компаниях, осуществляющих работу на валютном и фондовом рынках.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений и содержит 140 страниц основного текста, 19 рисунков, 7 приложений, 112 использованных источников, в том числе 76 зарубежных.

Выводы

В результате выполненной работы, можно сделать следующие выводы по четвертой главе.

1. Выполнено исследование статистических характеристик финансовых временных рядов, которое подтверждает отсутствие свойств нормальности (куртозис превышает величину характерную для нормального распределения

3).

2. Получены оценки параметров волатильности на основе GARCH - модели с различными временными лагами. Наилучшим, с точки зрения прогнозирования волатильности, является лаг к = 5, обеспечивающий относительную погрешность оценок параметров в заданных пределах.

3. Получены оценки параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

4. Проведена идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов. Наилучшим распределением, обеспечивающим минимальное среднеквадратическое отклонение от истинных значений, является нормальное обратно - гауссовское распределение.

5. Выполнено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе модели GARCH(1,1) и модели стохастической волатильности с использованием полученных оценок параметров волатильности для ряда известных распределений (нормального, Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гауссовского).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи оценивания, моделирования и прогнозирования поведения систем, относящихся к области экономики и эконометрики в частности, давно обсуждаются на междисциплинарном уровне. Исследователи все чаще пытаются применить методы из областей физики и математики для изучения динамических характеристик финансовых инструментов. Броуновское движение, преобразование Фурье, вейвлет-анализ, теория хаоса, фракталы, нейросетевое программирование, инструменты Ганна, золотое сечение и числа Фибоначчи, волны Эллиотта, линии тренда, линии поддержки и сопротивления, технические индикаторы - далеко не полный набор инструментария любого трейдера.

Однако при этом игнорируется тот факт, что применяемые методы и изобретаемые алгоритмы становятся полезными только тогда, когда они ориентированы на понимание динамики ценового движения. Вопрос, ответ на который ищет каждый практический участник финансового рынка, гласит: что может влиять на предсказуемость ценового движения? Модель, шум? Если шум, то как от него избавиться, модель - на основе чего?

Известные технические индикаторы, алгоритмы и их программные реализации, ориентированы в большинстве своем на решение частных задач и характеризуются наличием субъективных факторов.

В связи с этим нельзя создать универсальный алгоритм, совмещающий в себе оценивание, моделирование и прогнозирование стоимости финансовых инструментов, используя который можно было бы без участия субъективных факторов предсказать с достаточной точностью цену выбранных финансовых инструментов на следующий день, месяц или год, не требуя при этом никаких данных кроме прошлых значений цен.

Применение на практике предложенных в диссертации новых алгоритмов и программных комплексов «Volatility» и «Predict» позволяет повысить оперативность и адекватность вычислений, направленных на повышение точности предсказания движения финансовых инструментов в опережающем масштабе времени.

Таким образом, в диссертации решена актуальная научно-практическая задача, связанная с разработкой алгоритмов и комплексов программ прогнозирования доходностей финансовых инструментов.

В целом, по выполненному в диссертации исследованию получены слеЧ дующие результаты:

1. Проведен обзор моделей финансовых временных рядов, отмечены их преимущества и недостатки.

2. Исследованы закономерности, существующие на финансовом рынке, которые учтены при выборе моделей.

3. Исследованы статистические характеристики временных рядов и описаны их особенности.

4. Осуществлена проверка статистических гипотез на стационарность и нормальность изучаемых временных рядов.

5. Разработан алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с за данным лагом.

6. Согласно предложенному алгоритму вычислены оценки параметров волатильности и значения относительной погрешности для различных лагов. На основании полученных результатов выбран оптимальный лаг, обеспечивающий наилучшие оценки параметров модели.

7. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси.

8. Произведена идентификация функции распределения доходностей финансовых инструментов. Показано, что наилучшим распределением доход ностей с точки зрения прогноза стоимости финансовых инструментов является нормальное обратно - гауссовское распределение.

9. Осуществлено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе модели GARCH(1,1) с нормальным распределением, распределением Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределения, а также модели стохастической волатильности.

10. Разработан комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов «Predict».

11. Осуществлена апробация комплекса программ «Predict» на реальных данных в финансовой компании «БрокерКредитСервис» и в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд», о чем получены соответствующие акты.

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Гарантированное оценивание параметров функциональной волатильности // Информационные системы: Тр. постоянно действующего научно-практического семинара. Томск, 2006. -Вып. 4.-С. 154- 158.

3. Истигечева Е.В. Гарантированное оценивание параметров стохастиче -ской волатильности // Научная сессия ТУ СУР 2006: Матер, докладов Всеросс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск, 2006. - Т. 5. - С. 219 - 221.

4. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичнсостью // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. - Т. 5. -С. 15-21.

5. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Оценивание параметров волатильности // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. - Т. 5. - С. 22 - 28.

6. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Оценивание параметров гиперболического и обратного гауссовского распределений // Известия 11IV Томск, 2006.-Т. 6.-С. 11-13.

7. Истигечева Е.В. Прогнозирование изменений котировок финансовых инструментов на основе модели стохастической волатильности // Известия ТПУ Томск, 2006. - Т. 7. - С. 117 - 120.

8. Кардаш В.А. О нелинейности и стохастичности экономической динамики // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006. Т. 13. -Вып. 2.-С. 193 -209.

9. Крицкий О.JI. Прогнозирование волатильности рисковых активов методом обобщенной авторегрессионной условной неоднородности GARCH(1,1) // Моделирование неравновесных систем. Красноярск: издательство ИПЦ КГТУ, 2005. С. 99 -106.

10. Лоскутов А.Ю., Бредихин А.А. К проблеме описания финансовых временных рядов. III. ARCH-модели на финансовом рынке России // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. — Вып.З. -С.1 -12.

11. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. -М.: Дело, 2003. 320 с.

12. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995. Т. 2. - Вып.4. - С. 1-12.

13. Медведев Г. А. Математические основы финансовой экономики. Часть1. Минск: Электронная книга БГУ, 2003. - 287 е., часть 2. - 294с.

14. Мицель А.С., Истигечева Е.В., Бобенко А.В. Программный комплекс прогнозирования стоимости финансовых инструментов // Регистрация программного комплекса «Predict» в ОФАП. Свидетельство об отраслевой регистрации разработок № 8165 от 24 апреля 2007г.

15. Перцовский О.Е. Моделирование валютных рынков на основе процессов с длинной памятью. М.: ГУ ВШЭ, 2003. - 52 с.

16. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики //Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000. Т. 7.-Вып. 2.-С.210-238.

17. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия: Учебник. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2005. - 744 с.

18. Терпугов А. Ф. Экономико-математические модели: Учебное пособие. -Томск: ТГПУ, 1999. 118 с.

19. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск, Изд-во НТЛ,2004.-164 с.

20. Тихомиров Н.П., Дорохииа Е.Ю. Эконометрика. М.: Изд.-во Рос. экон. акад., 2002.-640 с.

21. Тутубалин В.Н. Сопоставление с реальными данными некоторых моделей и результатов стохастической финансовой математики // Тр. матем. инст. им. В.А.Стеклова, 2002. Т. 237. - С.302 - 319.

22. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность/Юбозрение прикладной и промышленной математики, 1996. Т.З. - Вып.6 - С.764 - 826.

23. Щетинин Е.Ю. Анализ эффективности бизнеса в условиях высокой изменчивости его финансовых активов//Финансы и кредит, 2006. Т. 14. -С. 37-42.

24. Ширяев А. Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995. Т. 2. - Вып.4. - С.527 - 555.

25. Ширяев А. Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994. Т.1. -Вып.5. -С.1 -39.

26. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применение, 1994. Т.39. -Вып.1. -С.5 -22.

27. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. -Факты. Модели. -М.: Фазис, 1998. - 512 с.

28. Andersen Т. Return volatility and trading volume: An information flow interpretation of stochastic volatility // J. Finance, 1996. V.51. - P. 169 - 204.

29. Andersen Т., Bollerslev T. Answering the skeptics: yes, standard volatility models do provide accurate forecasts // Int. Economic Rev., 1998. V.39. -P. 885-905.

30. Andersen Т., Bollerslev Т. DM-Dollar volatility: intra-day activity patterns, macroeconomic announcements, and longer-run dependencies // J. Finance, 1998.-V.53.-P.219-265.

31. Andersen, Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Ebens H. The Distribution of Realized Stock Return Volatility // J. Financial Economics, 2001. V.61. - P. 43-76.

32. Andersen Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Labys P. Exchange Rate Returns Standardized by Realized Volatility are (Nearly) Gaussian // Multinational Finance J., 2000. V.4. - P. 159 - 179.

33. Andersen Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Labys P. The Distribution of Exchange Rate Volatility // J. Amer. Statist. Assoc., 2001. V. 96. - P.42- 55.

34. Andersson J. On the Normal Inverse Gaussian Stochastic Volatility Model // J. Business and Economic Statistics, 2001. 19. - P. 44 - 54.

35. Barndorff-Nielsen O.E. Hyperbolic distributions and distributions on hyperbolae // Scandinavian J. Statistics, 1978. V.5. - P. 151 - 157.

36. Barndorff-Nielsen O.E. Normal Inverse Gaussian Distributions and Stochastic Volatility Modelling // Scandinavian J. Statistics, 1997. V. 24. - P. 1 -13.

37. Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models // J. Royal Statist. Soc., Series B, 2001. V.63. -P.167-241.

38. Baillie R. Т., Bollerslev T. A multivariate generalized ARCH approach to modelling risk premium in forward foreign exchange rate markets // J. Int. Money and Finance, 1990. V. 9. - P.309 - 324.

39. Baillie R.T., Bollerslev T. Prediction in dynamic models with time-dependent conditional variances // J. Econometrics, 1992. -V. 52. P.91-113.

40. Bera A.K., Higgins M.L. On ARCH models: properties, estimation and testing. — In: Surveys in Econometrics / Ed. by L. Oxley, D. A. R, George, C. J. Roberts and S. Sayer. Oxford: Blackwell, 1995.

41. Bollerslev T. Generalised autoregressive conditional heteroscedasticity // J.

42. Econometrics, 1986. V.51. - P. 307 - 327.

43. Bollerslev T. A conditional heteroscedastic time series model for speculative prices and rates of return // Rev. Economics and Statistics, 1987. V.69. - P. 542-547.

44. Bollerslev T. Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH approach // Rev. Economics and Statistics, 1990.-V.72.-P.498-505.

45. Bollerslev Т., Chou R. Y., Kroner K. F. ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence // J. Econometrics, 1992. V.52. -P. 5 -59.

46. Bollerslev Т., Engle R. F., Wooldridge J. M. A capital asset pricing model with time vaiying covariances // J. Political Economy, 1988. V. 96. - P. 116-131.

47. Bollerslev Т., Engle R.F. Common persistence in conditional variances // Econometrica, 1993. V.61. - P. 167-186.

48. Bollerslev Т., Mikkelsen H.O. Long-Term Equity Anticipation Securities and Stock Market Volatility Dynamics//! Econometrics, 1999. V.92. - P. 75 -99.

49. Bollerslev Т., Wooldridge J. M. Quasi maximum likelihood estimation and inference in dynamic models with time varying covariances // Econometric Rev., 1992. V.l 1. - P.143 - 172.

50. Brock W.t Lakonishok J., LeBaron B. Simple technical trading rules and the stochastic properties of stock returns // J. Finance, 1992. V.47. - P. 1731-1764.

51. Clark P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices // Econometrica, 1973. V. 41. - P.135 - 155.

52. Danielsson J. Stochastic volatility in asset prices: estimation with simulated maximum likelihood // J. Econometrics, 1994. V. 61. - P. 375 - 400.

53. Ding Z., Granger C. W. J., Engle R. F. A long memory property of stock market returns and a new model // J. Empirical Finance, 1993. V.l. - P. 83

54. Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of the United Kingdom inflation // Econometrica, 1982. V.50. -P. 987-1008.

55. Engle R.F. ARCH. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

56. Engle R.F., Bollerslev T. Modelling the persistence of conditional variances // Econometric Reviews, 1986. V.5. - P.l- 50; 81- 87.

57. Engle R.F., Gonzalez-Rivera G. Semiparametric ARCH models // J. Economics and Business Statist., 1991. V 9. - P.345 - 359.

58. Engle R.F., Hendry D.F., Trumble D. Small-sample properties of ARCH estimators and tests // Canadian J. Economics, 1985. V. 18. - P.66 - 93.

59. Engle R.F., Hong C.H. Arbitrage valuation of variance forecasts with simulated options //Adv. Futures and Options Research, 1993. V.6. - P.393 -415.

60. Engle R.F., Lilien D.M., Robins R.P. Estimating time-varying risk premium in the term structure: the ARCH-M model // Econometrica, 1987. V.55. -P. 391-407.

61. Engle R.F., Ng V.K., Rothschild M. Asset pricing with a factor ARCH co-variance structure: empirical estimates for Treasury bills // J. Econometrics, 1990.-V.45.-P.213-238.

62. Engle R.F., Granger C.W. Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing // Econometrica, 1987. V.55. - P. 251-276.

63. Engle R.F., Kroner K.F. Multivariate simultaneous generalized ARCH // Econometric Theory, 1995. V.l 1. -P.122- 150.

64. Engle R.F., Mustafa C. Implied ARCH models for options prices // J. Econometrics, 1992. V. 52. - P. 289 - 311.

65. Engle R.F., Ng V.K. Measuring and testing the impact of news on volatility // J. Finance, 1993. V. 48. - P.1749 - 1778.

66. Engle R. F., Russel J.R. Autoregressive conditional duration: a new model for irregularly spaced transaction data//Econometrica, 1998. V. 66.1. P.l 127-1162.

67. Engle R.F., Yoo B.S. Forecasting and testing in cointegrated systems // J. Econometrics, 1987. V.5. - P. 143 - 159.

68. Fama E.F. The behaviour of stock market prices // J. Business, 1965. V.38. -P.34-105.

69. Forsberg L., Bollerslev T. Bridging the Gap Between the Distribution of Realized (ECU) Volatility and ARCH Modeling (of the EURO): The GARCH Normal Inverse Gaussian Model // J. Appl. Econometrics, 2002. V. 17. - P. 535-548.

70. French K.R., Schwert G.W., Stambaugh R.F. Expected Stock Returns and Volatility//!. Financial Economics, 1987. V.19. - P. 3 - 29.

71. Geweke J. Exact predictive densities in linear models with ARCH disturbances // Econometrics, 1989. V. 44. - P. 307 - 325.

72. Glosten L. R., Jagannathan R, Runkle D. Relationship between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks //J. Finance, 1993, v. 48, - p. 1779 -1802.

73. Gourieroux C, Monfort A. Qualitative threshold ARCH models // J. Econo-f metrics, 1992. V. 52. - P. 159 - 200.

74. Harvey A. C, Ruiz E., Shephard N. Multivariate stochastic variance models // Rev. Economic Studies, 1994. V. 61. - P. 247 - 264.

75. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility, with applications to bond and currency options // Rev. Financial Studies, 1993.-V. 6. -P.327-343.

76. Higgins M. L., Bera A.K. A class of nonlinear ARCH models // Int. Economic Rev., 1992. V. 33. - P. 137 -158.

77. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // J. Finance, 1987. v. 42. - p. 281 - 300.

78. Jacquier E., Poison N. G., Rossi P.E. Bayesian analysis of stochastic volatility models // J. Business and Economic Statistics, 1994. V. 12. - P. 371 -417.

79. Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kurtosis: existence, persistence, and comovements //J. Economic Dynamics and Control, 2003.-V. 27.-P. 1699-1737.

80. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // J. Basic Engineering, Trans. ASMA, 1960. V. 82. - Ser. D. - P. 35 - 45.

81. Kim S., Shephard N., Chib S. Stochastic Volatility: Likelihood Inference andу

82. Comparison with ARCH Models // Rev. Economic Studies, 1998. V. 65. -P. 361-393.

83. King M., Sentana E. Volatility and links between national stock markets // Econometrica, 1994. V. 62. - P. 901- 933.

84. Konev V.V. Guaranteed estimation of parameters in stochastic volatility models // 26th International congress of actuaries, 1998. V.7. - P.l21 -135.

85. Konev V.V., Le Breton A. Guaranteed parameter estimation in a first order autoregressive process with infinite variance // The Annals of Probability, 1998. - V.17. - №17. - P.946 - 962.

86. Kritski O.L., Belsner O.A., Rachev S.T. Forecasting of share prices by using STS-GARCH( 1,1) method / Frankfurter Stochastik Tage 2006, 14-17 March

87. P 2006, Goethe University of Frankfurt am Main, p.61 -63.

88. Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices // J. Business, 1963.-V. 36.- P.394-419.

89. Menn C., Rachev S.T. A GARCH option pricing model with alpha-stable innovations // European J. Operational Research, 2005 . V. 163. - P. 201 -209.

90. Mittnik S., Paolella M.S., Rachev S.T. Stationarity of stable power-GARCH processes //J. Econometrics, 2002. V.106. - P.97 - 107.

91. Nelson D.B. Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model // Econometric Theory, 1990. V. 6. - P. 318 - 334.

92. Nelson D.B. ARCH models as diffusion approximations // J. Econometrics, 1990. -v.45,-p.7-38.

93. Nelson D.B. Conditional heteroscedasticity in asset pricing: a new approach // Econometrica, 1991. V.59. - P.347 - 370.

94. Nelson D.B. Filtering and forecasting with misspecified ARCH models I: Getting the right variance with the wrong model // J. Econometrics, 1992. -V. 52. -P.61 -90.

95. Nelson D.B., Foster D. P. Asymptotic filtering theory for univariate ARCHmodels // Econometrica, 1994. V.62. - P. 1 - 41.

96. Newey W.K Maximum likelihood specification testing and conditional moment tests/ZEconometrica, 1985.- V.53. P. 1047-1070.

97. Noh J., Engle R.F., Kane A. Forecasting volatility mid option pricing of the S fe P 500 index // J. Derivatives, 1994. P. 17 - 30.

98. Pagan A.R., Schwert G.W. Alternative models for conditional stock volatility //J. Econometrics, 1990. V. 45. - P. 267 - 290.

99. Schwert G.W. Why does stock market volatility change over time? // J. Finance, 1989. V. 44. - P. 1115 -1153.

100. Schwert G.W. Stock market volatility//Financial Anal. J., 1990. May-June, 23-34.

101. Schwert G.W. Stock volatility and the crash of '87 // Rev. Financial Studies, 1990. V.3. - P. 77-102.

102. Seshadri V. The inverse Gaussian distribution. Oxford: Clarendon Press, 1993.

103. Taylor S.J. Modelling stochastic volatility // Math. Finance, 1994. V. 4. -P. 183-204.

104. Wagner N., Marsh T. A. Measuring tail thickness under GARCH and an application to extreme exchange rate changes, Journal of Empirical Finance, 2005.-V. 12.-P. 165-185.

105. White H. Maximum likelihood estimation of misspecified models //

106. Econometrica, 1982. V. 50. - P. 1- 25.

107. Wiggins J. B. Option values under stochastic volatilities // J. Financial Economics, 1987.-V. 19.-P. 351-372.