Управление с прогнозированием дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях

Объедко, Татьяна Юрьевна

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление с прогнозированием дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях

кандидата физико-математических наук: Объедко, Татьяна Юрьевна
город: Томск
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.01
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Управление с прогнозированием дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях»

Автореферат диссертации по теме "Управление с прогнозированием дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях"

005055563 На правах рукописи

Объедко Татьяна Юрьевна

УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ШУМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

Томск 2012

005055563

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре прикладной математики

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Домбровский Владимир Валентинович

Официальные оппоненты:

Воробсйчиков Сергей Эрикович, доктор физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра высшей математики и математического моделирования, профессор

Якупов Рафаэль Тимирович, доктор физико-математических наук, профессор, филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» в г. Анжеро-Судженске, кафедра математики, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» (г. Красноярск)

Защита состоится 26 декабря 2012 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (II уч. корпус, ауд. 212б).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 09 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Тарасенко Петр Феликсович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Моделями со случайными параметрами описываются многие реальные системы, такие как сложные производственно-технологические, энергетические и технические системы (атомные энергетические установки; летательные аппараты; системы наведения на объект, уклоняющийся от встречи; процессы теплопереноса); экономические системы, логистические системы. Важной областью приложений стохастической теории управления является финансовая инженерия, в частности, задача управления инвестиционным портфелем (ИП). Финансовый рынок представляет собой сложную стохастическую систему, и задача управления портфелем включает в себя все основные проблемы, связанные с управлением динамическими стохастическими системами.

В связи с этим в настоящее время активно развивается направление, рассматривающее проблемы управления системами со случайными параметрами (структурой). Как правило, выделяют два класса таких систем:

1. Системы, динамика которых описывается разностными (в дискретном времени) или дифференциальными (в непрерывном времени) уравнениями, в то время как структура системы (параметры) изменяется в соответствии с эволюцией переменных, принимающих дискретный набор значений из некоторого множества (так называемые, гибридные системы, или системы непрерывно-дискретной природы). Обычно в моделях таких систем предполагается, что смена структуры осуществляется в соответствии с эволюцией наблюдаемой или скрытой марковской цепи с конечным пространством состояний.

2. Системы, параметры которых меняются непрерывно и представляют собой некоторый случайный процесс или последовательность.

Задачами управления для систем первого класса занимались многие исследователи, среди которых следует отметить работы A.B. Борисова, П.В. Пакши-на, В.И. Смагина, E.K. Boukas, O.L.V. Costa, V. Dragan, R.J. Elliott, W.E. Hopkins, T. Morozan, B. Oksendal, W.L. Paulo, D.D. Sworder и др.

Системам второго класса посвящены работы следующих авторов: H.H. Красовского, П.В. Пакшина, Ю.И. Параева, В.В. Домбровского, M. Ait Rami, А. Beghi, M. Cannon, X. Chen, D. D'Alessandro, J. Fisher, B. Kouvaritakis, A. Lim, P.J. McLane, J.A. Primbs и др.

В большинстве работ, как правило, рассматриваются задачи управления, без учета ограничений на переменные состояния и управления. Основной метод синтеза стратегий управления — это применение метода динамического программирования Беллмана, принципа максимума Понтрягина, либо сведение задачи к решению системы линейных матричных неравенств.

Решение задачи управления с учетом ограничений, используя традиционные подходы, приводит к значительным аналитическим и вычислительным трудностям (так называемому «проклятию размерности») и к практически нереализуемым стратегиям управления. Однако во многих реальных задачах необходимо учитывать ограничения на переменные состояния и управления.

Эффективным подходом к синтезу систем управления с ограничениями, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием). При этом, как правило, получается стратегия управления с обратной связью, но удается избежать «проклятия размерности». Задачам управления с прогнозирующей моделью посвящены работы многих исследователей, таких как В.И. Смагина, В.В. Домбров-ского, Т. Alamo, A. Bemporad, F. Borrelli, E.F. Camacho, M. Cannon, B.L. Cooly, J.A. De Dona, G.C. Goodwin, В. Kouvaritatakis, J.H. Lee, D. Limon, D.Q. Mayne, M. Morari, D.M. Pena, J.A. Primbs, C.V. Rao, J.B. Rawlings, P.O.M. Scokaert, MM. Seron, C.H. Sung и др.

Стохастические системы с марковскими скачками (переменной структуры) рассматриваются в работах B.-G. Park, W.H. Known, L. Blackmore, A. Bektassov, M. Ono, B.C. Williams, системы со случайными непрерывными параметрами и/или мультипликативными шумами рассматриваются в работах В.В. Домбров-ского, М. Cannon, В. Kouvaritatakis, J.A. Primbs и др. Однако практически не решенными остаются многие вопросы. В работах, посвященных управлению с прогнозирующей моделью системами со случайными параметрами, рассматриваются, в основном, задачи управления при ограничениях на математические ожидания переменных состояния и/или управления или при вероятностных ограничениях, кроме того, предполагается, что случайные параметры представляют собой последовательности независимых случайных величин. При управлении реальными объектами часто необходимо учитывать «жесткие», строго выполняемые ограничения на переменные состояния и/или управления. Проведенный анализ литературы показал, что практически отсутствуют результаты для гибридных систем непрерывно-дискретной природы, параметры которых изменяются скачкообразно, а также для систем с непрерывными коррелированными случайными параметрами в условиях «жестких» ограничений.

Объект исследования. Управляемые стохастические системы со случайными параметрами и мультипликативными шумами.

Предмет исследования. Алгоритмы синтеза стратегий управления с прогнозированием при ограничениях на управляющие переменные.

Целью диссертационной работы является построение прогнозирующего управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях и применение результатов к управлению ИП.

В рамках указанной цели были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Разработать метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами при явных ограничениях на управляющие переменные.

2. Синтезировать стратегии управления с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при явных ограничениях на управляющие переменные.

3. Синтезировать стратегии управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами и мультипликативными шумами при явных ограничениях на управляющие переменные.

4. Применить стратегии управления с прогнозированием к управлению ИП при ограничениях на объемы торговых операций с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (методология управления с прогнозированием), теории случайных процессов, методы оптимизации, методы матричной алгебры, методы теории вероятностей и математической статистики, численные методы и методы компьютерного моделирования.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем. Разработаны методы синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для дискретных систем с мультипликативными шумами и скачкообразно меняющимися параметрами, эволюция которых описывается дискретной марковской цепью, а также для систем со случайными коррелированными параметрами, возмущенных мультипликативными шумами, при ограничениях на управляющие воздействия, по квадратичному и «mean-variance» («среднее-вариация») критериям. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. На основе полученных результатов решены новые задачи управления сложной стохастической системой - инвестиционным портфелем.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории прогнозирующего управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов для управления сложными реальными объектами при ограничениях:

а) объектами, динамика которых зависит от случайных скачкообразных параметров,

б) объектами, динамика которых зависит от параметров, представляющих собой случайные коррелированные последовательности.

В диссертационной работе результаты применены к задачам управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами и на финансовом рынке с коррелированными доходностями рисковых активов с учетом ограничений на объемы торговых операций.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и доказательствами, а также результатами численного моделирования с использованием реальных данных.

В работе приведены результаты численного моделирования на примере управления ИП с использованием реальных данных о доходностях акций, торгующихся на Российской бирже «Фондовая биржа ММВБ», Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE (New York stock exchange), а также валютных пар, торгующихся на международном валютном рынке Forex (foreign exchange). Численные эксперименты подтверждают эффективность предложенных подходов к управлению ИП, как примеров управления сложной стохастической системой.

Личное участие автора заключается в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка указанных задач сделана научным руководителем, д.т.н., профессором В.В. Домбровским. Основные теоретические результаты, а также результаты численного моделирования, представленные в диссертации, получены лично автором.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, основного текста, заключения, списка литературы и приложения. Основной текст разбит на 3 главы и содержит 34 рисунка. Список литературы включает 157 наименований. Общий объем работы 159 страниц, основной текст - 138 страниц.

На защиту выносятся:

1. Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные а) по квадратичному критерию, б) по критерию «mean-variance» («среднее-вариация»),

2. Уравнения синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для гибридных систем, состоящих из подсистем, с учетом явных ограничений на управляющие переменные. При этом параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой.

3. Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, при ограничениях на управляющие переменные а) по квадратичному критерию, б) по критерию «mean-variance».

4. Результаты применения методов к решению новых актуальных задач управления ИП:

а) управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов (на рынке с переключающимися режимами) при ограничениях на объемы торговых операций (на объемы купли-продажи финансовых активов и на размеры заемных средств);

б) управление ИП в условиях коррелированное™ доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

5. Результаты численного моделирования и тестирования полученных алгоритмов на примере управления ИП с использованием реальных данных.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2008 г., 2011 г.), Восьмая и девятая Российские конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур»

(Томск, 2010 г., 2012 г.), V Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых ученых, (Томск, май 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе в журналах из списка ВАК - 6 статей [1-6].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор существующих подходов к синтезу стратегий управления системами со случайными параметрами, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложена ее научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

В первой главе диссертации рассматривается задача управления с прогнозирующей моделью дискретными системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами. Получены уравнения синтеза стратегий управления с учетом ограничений на управляющие воздействия для квадратичного и «mean-variance» критериев со скользящим горизонтом управления. Рассмотрены случаи наблюдаемой и ненаблюдаемой цепи Маркова. Произведено обобщение для случай многокомпонентной системы, состоящей из подсистем, зависящих от взаимосвязанных цепей Маркова.

Пусть объект управления описывается уравнением

х{к + \) = Ах(к) +

В0[а{к + 1),Л +1] + S Bj[a(k + 1)Д +1 ]\v}(k +1)

и(к), (1)

где х{к) - и^-мерный вектор состояния, а{к) - «„-мерный вектор управления, и>/к) (/ = 1, л) - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией, а(к) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний, известной матрицей переходных вероятностей Р = = р{а(А + 1) = а,|а(£) = а,}, (г,у = 1,у), =1,и известным

__ V

начальным распределением р1= 7*{а(о) = /}, (/ = 1,у), =1. Последовательности

»•/к) и а (к) независимы; А, В\а(к),к], (у = 0,л) - матрицы соответствующих размерностей. Предполагается, что состояние марковской цепи а (к) в момент времени к доступно наблюдению.

На управляющие воздействия накладываются ограничения

итЬ(*)<5(*МА)<«гаах(*), (2)

где .<>(к) — матрица соответствующей размерности.

Для управления системой (1) при ограничениях (2) синтезируем закон управления по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем квадратичный критерий со скользящим горизонтом управления

^к + т/ к) = М{£хТ(к + ¡Щ(к, 1)х(к + 0 -Я2(к,1)х(к + /) + (3)

1=1

+ит (к +/"-1 / к)Я(к,1 - 1)и(к + / -1 /к)/ х{к), а{к)}, по последовательности прогнозирующих управлений и(к/к),...,и(к+т-1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к, где /?,(£,/)>(),/?2(£,/)>0,Л(£,0>0 — весовые матрицы соответствующих размерностей, т - горизонт прогноза, к - текущий момент времени. В качестве управления в момент времени к берем и(к) и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний х(к) и а (к), то есть управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента £+1 и т.д.

Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в пространстве состояний:

е(* + 1) = Р6(А:) + ъ(* + 1), (4)

где 0(£)=[6(а(£),1),...,6(а(£),у)]г, 5(а(к)/) - функция Кронекера (у=Т~у); ь(к) -мартингал разность.

С учетом (4) систему (1) можно представить в следующем виде

х(к + У) = Ах(к) +

В0[в(к + У),к + Ц+£ В;[в(к +1 ),к + 1]и-.(А + 1) М

и(к),

где Ву1в(к),к] = ^Лк)В/°(к);в,(к) (¡ = 1,у) - компоненты вектора в(к), {В/0} 1-1

(/ = 0,и;; = 1,у) - множество значений матрицы 5Д6(£),А]. Критерий (3) будет иметь вид

У (А: + т/ к) = МСГ.Х (к + /)Д, (к,1)х(к + /) - Я2(к,0х(к + /) + (5)

+иТ(к + /-1/к)Щк,1 -1 )и{к + 1-1 /к)/ х(к)Мк)}-Теорема 1.1. Вектор прогнозирующих управлений Щк)=[ит(к/к),..., иг(к+т-\/к)]т, минимизирующий критерий (5) при офаничениях вида (2), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

У(к + т/к) = [2 хТ (к)в(к) - и (к) + иТ (к)Н(к)и(к) (6)

при ограничениях

ит]п(к) < Щ)1/(к) < итах(к), (7)

где

= diag(S(k),...,S(_k + т-1»,

иты(к) = 1иТтт(к),...,иТтт(к + т- 1)]г, ипах(к)=[^(к),...,^+т-\)Т, Щк), С(к), Р\к) - блочные матрицы вида

Н(к) =

ии(к) я12(Л) - Я,„№

Н2,{к) Н22(к) - Н2т{к)

(8)

х(А' )

7\/-/

С(*) = [С,(*) С2(*) - = ОД - (9)

блоки которых равны

Н„(к) = Щк,1 -1 )+tt (В{?\к + '))Т [Е^{Р'%{к))Етч]<2^т - {)ВЬ\к + /),

у =0,7=1

г-1

ЕгЛ<щ{Р'0(к)}(р'-,)Т (Мт-ГЛг)(к + /),/ >

Я(/(*) = Я/(*),/<;, О, (к) = (А' а(т " 01 ЕдР'тВ^ (к +г),

адо! Ечр%к)в$\к+о,

?=1

й(0 = - + -0,Й(0) = _

&ю=ас - +ад» - о,&(0)=я2(к,т)и,/=

Оптимальное управление равно

«<*) = [/* <4 ]£/(*),

где /„ - единичная матрица размерности и„, 0„ - квадратная нулевая матрица размерности пи.

Во многих практических задачах в текущий момент отсутствует информация о состоянии цепи Маркова. Будем полагать, что состояние цепи не доступно наблюдению. Для управления системой (I) на каждом шаге к минимизируем критерий со скользящим горизонтом управления

и {к + т / к) = £М{хг(к + /)/?,(£,/).*(* + 0 - Я2(к,1)х(к + /) +

(=1 (Ю)

+иТ(к + / -1 / - 1)и(Л + / -1 / к) /*(*)},

по последовательности прогнозирующих управлений и{к/к),...,и{к+т-Мк) при ограничениях (2).

В работе сформулирована и доказана теорема об оптимальных стратегиях. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования.

Современные системы управления зачастую состоят из взаимодействующих подсистем неоднородной непрерывно-дискретной природы. В связи с этим актуальной становится следующая задача.

Пусть система представляет собой совокупность подсистем, состояния которых описываются уравнениями

где х<м)(к) - п^ -мерный вектор состояния д-й подсистемой, ич\к) - п^ -мерный вектор управления д-и подсистемой; А(<!\ м(к),к] - матрицы соответствующих размерностей; а'?)(А) - скалярная однородная цепь Маркова с конечным множеством состояний {1,2,.Таким образом, каждая из подсистем может находиться в состояниях, определяемых скалярным случайным процессом с дискретным множеством значений (состояний).

Между подсистемами существует взаимосвязь: состояние цепи а(ч\к) д-й подсистемы в к-й момент времени зависит от состояний цепей

а!г\к-1), (г=1,2,...^) в момент времени к-1. Таким образом, динамика системы в целом зависит от дискретного векторного случайного процесса а(Л)=[а(!>(&),а(2)(&),...,а(5)(&)]г с конечным множеством состояний (д- 1,2,... Уу;1,2,...,\ч) и дискретным временем. Случайный процесс а(к) представляет собой векторную односвязную цепь Маркова.

Для векторной цепи вероятности перехода за один шаг имеют вид:

1\.....=/'Ь(* + 1) = %о-Лк +1) = а,Л/а ,(*) = ац ,...,а ,(*) = сц),

У Р. . =1, л.-.Л

с начальным распределением

Лг..,Л

Предполагается, что состояние векторной марковской цепи в момент времени к доступно наблюдению.

На управляющие воздействия каждой из подсистем накладываются ограничения

НЙ> (*) < 5<«>(*),!<*>(*) < =1,2,...,5', (12)

где ^(к) — матрицы соответствующих размерностей.

Необходимо определить закон управления системой, состоящей из подсистем вида (11), при ограничениях (12) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления

5 т

Лк + т/к) = + /))г Я^СМУ'Ч* + 0 "

-4ч\к,1)х(ч\к + 1)+{и(ч)(к + 1-1 / к))Т 1((ч)(к,1 - 1)и(ч)(к + / -1 / к)/х(ч\к\а(*)), где к(9)(£ + / / к),1 = 0,/и-1 — последовательность прогнозирующих управлений <у-й подсистемой, и{ч\ку=и{я\к1к), >0, >0, К(д\к,0> 0-весо-

вые матрицы соответствующих размерностей.

'В работе сформулирована и доказана теорема об оптимальных стратегиях. Показано, что задача оптимизации на каждом шаге сводится к задаче квадратичного программирования.

В первой главе также рассматривается задача управления с прогнозирующей моделью по критерию «mean-variance» («среднее-вариация») для дискретных систем с мультипликативными шумами и скачкообразно меняющимися параметрами при ограничениях на управляющие воздействия. Критерий «mean-variance» широко используется в финансовых приложениях, в частности, в задачах управления инвестиционным портфелем.

Пусть объект управления описывается уравнением (1) при ограничениях (2). Пусть скалярный выход системы (1)

y(k) = L(k)x(k), (13)

где L(k) - вектор-строка соответствующей размерности.

Задача управления формулируется в двух постановках.

Задача 1.1. Необходимо определить стратегию управления системой (1) при ограничениях на управляющие воздействия (2) по критерию «mean-variance» со скользящим горизонтом

J (к + т / к) = f>, (к, i)M {(>'(£ + /) -М{у(к + 0 / х(к\ u(k)}f / х{к\а(*) j -

-р2(k,i)M{у(к + /) /х(к),«(£)} + М\иТ{к + /-1 / k)R(k,i -1 )и(к + i-\/k)f х(к),а(Аг)}, где весовые коэффициенты р,(А:,/)>0,р2(£,<)^0 -это коэффициенты, характеризующие склонность к риску и задающие соотношение между ожидаемым значением и вариацией выхода системы, R(k,i)>0 - весовая матрица.

Задача 1.2. Необходимо определить стратегию управления системой (1) по критерию «mean-variance» со скользящим горизонтом

J{k + mlk) = f>,(JU)A'{(.y(* + 0 - М{у(к + г) / x(£),u(Ar)})2 / x(fc),a(A:)j -

+М[ит(к +1 -1 / k)R{k,i - l)u(it + i-\i к)! x(£),a(/t)} при ограничениях на управления (2) и ограничениях

М {у(к + /) / х(к),а{к)\ > с(к +;),(/ = U0, где с(к + /") > 0- ожидаемое значение выхода системы.

В работе сформулированы и доказаны теоремы об оптимальных стратегиях для задач 1.1, 1.2 для случаев наблюдаемой и ненаблюдаемой цепей Маркова. Управляющие воздействия на каждом шаге получаются из решения задачи квадратичного программирования.

Пусть объект управления описывается уравнением

A0(k + \) + Y.Mk+\)Vl(k + \)Uk)+ (14)

x(/t + l) =

+f Я0[г|(£ + \),к +1] + ¿Ä[n(* + \\к + 1Jv,(ä; + 1)1и(*)+ £>[т|(£ + \),к + l]w(/t +1),

Ч ы J

где х(к) - /^-мерный вектор состояния, и(к) - «„-мерный вектор управления, ri(^) — последовательность ¿/-мерных случайных векторов; А,(к), B,{rj{k),k\, i = 0,n, П[ц(к),к] - матрицы соответствующих размерностей, причем элементы матриц 2?,[т|(£)Д], / = О,п, 0[т\(к),к\ зависят от ц(к) линейно.

Для процесса г\(к) предполагаются известными условные моменты распределений

Л/ {т](& + г) / 3t} = + ')> (15)

М {л(Л + 0пГ(* + j)fdk}= Q,j(k),{k = 0,1,2,...),(/, j = М). (16)

где F=--( )t>, - поток о-алгебр, где каждая из а-алгебр порождается

последовательностью {T|(i):.s=0,Ä:} и интерпретируется как доступная информация до момента времени к включительно. Аддитивные и мультипликативные шумы {\'(к); ¿=0,1,...}, {w(k); £=0,1,...} - векторы белых шумов соответствующих размерностей с нулевыми средними и единичными матрицами ковариаций, причем E{w(k)vT(s)}=0, £{t](Ä)vr(s)}=0, £{ri(A)>vT(i)}=0 для всех к, s.

На управляющие воздействия накладываются ограничения вида (2).

Необходимо определить закон управления системой (14) при ограничениях (2) из условия минимума квадратичного критерия со скользящим горизонтом управления

J(k + т/к) = М{хг (к + i)Rt (к, i)x(k + i)-R2(k,i)x(k + i)+ (17)

i=l

+и (к + г -1 / k)R(k,i ■- 1)и(к + i -1 / к) / х(к), дк) •

Теорема 2.1. Вектор прогнозирующих управлений и(к)=[иТ{к!к), ...,иТ(к+П1-\/к)]г, минимизирующий критерий (17) при ограничениях вида (2), на каждом шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

Y(k + m / к) = \lxT{k)G{k) - F(*)](7(*) + UT (k)H(k)U(k) при ограничениях

Umin(k)<S{k)U(k)<Umax(k),

где

S(k) = diag(S(k),...,S(k + m-1)),

Umn (к) = [uTmm(k),...,u[un(k + m-\)f, U^^^^k+m-lf, H(k), G(k), F(k) - блочные матрицы, блоки которых равны

Hu(k) = R{k,t-\)+L22{m-t), H,/(k) = M{B^[T](k + t),k+t]ffl 4{k+l)L,2(m- /)/&},/ < /, Hlf(k) = HTfl(k),t>f,

m j-t _

F, (*)= Z «2(*,у)ПMk+J-I + i)Bo(* + o,

¿11 (i) = Z Aj{k + m- s)Q(s)Ai(k + m-s), i=0

я л

¿I2(i) = Z X 4? + + + m-s)v;(£ + w-s),

;=O.H>

¿12 (i) = Z А] (к + m - s)Q(s)Bj(k + m — s),

j=o

¿22 (л-) = Z M{BTj[i\(k + m — s),k + m — s]Q(s)Bj [ti(£ + m-s),k+m-s]/$k},s = \,m,

/=o _ _

0(/) = ¿n(f -1) + Rx(k,m -1), g(0) = R^KmXUf = Ui-

Оптимальное управление равно

"(*)=K <4 0„J(7 (*), где единичная матрица размерности и„, 0,^— квадратная нулевая матрица размерности пи.

Во второй главе также решена задача управления по критерию «mean-variance» для дискретных систем со случайными коррелированными параметрами и мультипликативными шумами. Доказаны теоремы об оптимальных стратегиях.

В третьей главе результаты применяются к решению актуальных задач управления инвестиционным портфелем:

Рассматривается ИП, состоящий из п видов рисковых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового актива (банковский счет или надежные облигации).

Динамика капитала ИП определяется уравнением

V(k + 1) = [1 + r]V(k) +1[«7,(* +1) - r]u,(k),

(=i

где iii(k), i = \,n - капитал, помещенный в i-й рисковый актив;

u0(k) = V(k)~Y,u,(k) - капитал, помещенный в безрисковый актив г|Д-+1) -¿=1

ставка доходности рисковых вложений на интервале случайная не на-

блюдаемая в момент времени к величина, г — неслучайная доходность безрисковых вложений. Значение и,{к)<0, i = 1,я, означает участие в операции «продажа без покрытия» на сумму |и,{£)|.

При управлении портфелем учитываются следующие ограничения: на размеры вложений в рисковые активы

u,mm(k) < и,(к) < иГ\т = Ц5) (18)

на размер вложений в безрисковый актив

и0тт(к) < V{k)-±u,{k) < и™(к). (19)

/=1

Если нижняя граница и,тт(к)<0, / = 1,п, то для рискового актива г'-го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не более |и,т|п(&)|; если и™'"(к)>0, / = 1,п, то операции «продажа без покрытия» для рискового актива z'-го вида запрещены; и0пах(к)>0 определяет максимальный размер капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив, и™ж(к)> 0 , / = 1,и определяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковый актив г'-го вида; иптт(к) <0, величина |и0™п(£)| определяет максимальный размер займа безрискового актива.

Рассмотрены следующие задачи.

1. Задача слежения за эталонным портфелем с заданной доходностью Цд, эволюция которого описывается уравнением

V\k +1) = Р + v0]V°(k),V° (0) = F(0), по квадратичному критерию

J(k + m/ к) = М jzPi(*,0[*4* + 0 - + i)]2 -р 2{k,i){V(k + i) -У°(к + i)] +

+иТ (к + i -1 / k)R(k + i-\)u(k + i-l/ к)/ F(£), К0 (*),&], (20) где Pj(A:,/) > 0,р2(Д;,г) > 0— весовые коэффициенты, F = - поток о-алгебр,

каждая из с-алгебр $к интерпретируется как доступная инвестору информация о доходностях активов до момента времени к включительно.

2. Управление ИП по «mean-variance» критерию

J(k +т/к) = £р,(k,i)M[(К(* + i)-M{V(k + 0/У(к),$к})2 /V(к),$к J - (21)

-р2 (к, г)М {У (к + /) / У(к), %} + М [иТ (к + / -1 / k)R{k, / - \)и{к + / -1 / к) / У (к), Зк}, где pl(kj)>0,p2(k,i)>0 - коэффициенты, характеризующие склонность инвестора к риску и задающие соотношение между ожидаемым значением капитала ИП и соответствующим риском (вариацией) в момент времени к.

При управлении ИП на рынке с переключающимися режимами предполагается, что доходности рисковых активов описываются уравнениями

г,, [а(к),к] = м, [<*(*),£]+ t [<*(*),%'(*)»

где а(к) (А-=0,1,2...) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {l,2,...,v}; w/Ji) - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией; последовательности Wj(k) и а(к) независимы; р;[а(£),А] - ожидаемая доходность /-го рискового вложения; Gjj[a{k),k] - элементы матрицы волатильности а[а.(к),к}. Для синтеза стратегий управления ИП использовались результаты, полученные в главе 1. Примерами рынков с переключающимися режимами являются рынки акций.

Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных о доходностях акций, торгующихся на российской фондовой бирже ММВБ и американской фондовой бирже NYSE. При моделировании на данных российского рынка портфели формировались из всех возможных комбинаций по 5 активов из наиболее ликвидных акций (всего 21 портфель); на данных американского рынка - по 6 активов из наиболее ликвидных акций (всего 84 портфеля). Тестирование проводилось за период с 20.07.2007 г. по 31.07.2012 г. (более 1200 торговых дней).

Под сменой режимов рынка понимался переход из состояния с низкой в состояние с высокой волатильностью, и наоборот. Смена режимов рынка описывалась марковской цепью. В качестве индикаторов состояния рынка использовались финансовые индексы: на российском рынке ценных бумаг — индекс ММВБ, на американском рынке - индекс Доу Джонса. Если выборочная оценка волатильности доходности индекса не превышала значение а/,то считалось, что рынок находился в состоянии с низкой волатильностью, в противном случае - с высокой. Значение а/ определялось исходя из анализа поведения реального рынка. Оценка матрицы переходных вероятностей осуществлялась по методу максимального правдоподобия по выборке значений индикатора за период, предшествующий периоду инвестирования. Капитал реального управляемого ИП вычислялся с учетом транзакционных издержек (расходов, связанных с торговыми операциями с активами). Оценки ожидаемой доходности рисковых активов на каждом шаге производились методом простой скользящей средней.

Типичные результаты моделирования для портфеля, составленного из рисковых активов Apple Inc, Intel Согр, Microsoft Corp, IBM, American Express, Coca-Cola со, представлены на рис. 1-3. Предполагалось, что операции «продажи без покрытия» запрещены («, (А)>0),и размер банковского займа не может превышать величину 3 V(k). Для стратегии слежения за эталонным портфелем желаемая доходность цо=0.002, коэффициенты pi(A,i)=l, p2(k,i)=0; для управления по критерию «mean-variance» pi(A,i)=l, р2(k,i)=0.2. На рис. 1 показана динамика капиталов эталонного портфеля Vfl(k) и управляемых портфелей V(k) для стратегии слежения за эталонной траекторией и для стратегии «mean-variance».

Рис. 2 иллюстрирует динамику доходности индекса Доу Джонса и оценки состояния рыночного режима. Динамика вложений капитала в рисковый актив

(линия 2 - задача слежения, линия 3 - управление по «mean-variance» критерию)

оценка состояния цепи Маркова (линия 2)

ilkliMlMi 111 ¡¡Ad

Рис. 3. Динамика вложений в акции Microsoft Corp для стратегии слежения

При решении задач управления ИП на рынке с коррелированными доход-ностями использовались результаты главы 2. Примером рынка с коррелированными доходностями может служить валютный рынок Forex. В диссертационной работе приведены результаты моделирования стратегий управления по квадратичному критерию (20) и «mean-variance» критерию (21) с использованием реальных данных валютного рынка Forex.

Численные расчеты подтверждают работоспособность и эффективность предложенных подходов. Доходность портфелей и волатильность траекторий зависят от значений параметра цо — для задачи слежения, или от соотношения доходность-риск - при управлении по «mean-variance» критерию, а также от точности оценок параметров доходностей финансовых активов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Синтезированы стратегии управления с прогнозированием для систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные а) по квадратичному критерию, б) по критерию «mean-variance».

2. Синтезированы стратегии управления с прогнозирующей моделью для систем с марковскими скачками, состоящих из взаимосвязанных подсистем, с учетом ограничений на управляющие переменные.

3. Синтезированы стратегии управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные а) по квадратичному критерию, б) по критерию «mean-variance».

4. Решены новые актуальные задачи управления ИП:

а) управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций; б) управление ИП в условиях коррелированности доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

5. Выполнено численное моделирование и тестирование полученных алгоритмов на примере управления ИП с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2010. - № 3 (12). - С. 5-11.

2. Домбровский В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Вестник Томского государственного

университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2010. - № 4 (13). - С. 5-14.

3. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 5. - С. 96-112.

4. Dombrovskii V.V. Model prcdictivc control of constrained with nonlinear stochastic parameters systems / V.V. Dombrovskii, T.U. Obyedko // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2011. - № 3 (16). — С. 5-12.

5. Dombrovskii V.V. Portfolio optimization in the financial market with serially dependent returns under constraints / V.V. Dombrovskii, T.U. Obyedko // Вестник Томского государственного ниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2012. — № 2 (19). - С. 5-13.

6. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2012. - № 3 (20). - С. 5-12.

7. Объедко Т.Ю. Модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях / Т.Ю. Объедко // Сборник материалов V Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2010. - С. 223-225.

8. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - С. 73.

9. Домбровский В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. -Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - С. 118-119.

10. Объедко Т.Ю. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными нелинейными параметрами при ограничениях / Т.Ю. Объедко // Наука. Технологии. Инновации (НТИ - 2011) : материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. тех-нич. ун-та, 2011. - С. 14-17.

11. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием взаимосвязанными системами с марковскими скачками при ограничениях / В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы докладов Девятой Российской конференции с международным участием. - Томск: Изд-во НТЛ, 2012. - С. 112.

Подписано в печать 08.11.2012 г. Формат А4/2. Ризография . л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 03/11-12 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Объедко, Татьяна Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях.

1.1. Управление с прогнозированием по квадратичному критерию.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Синтез стратегий управления для случая наблюдаемой цепи Маркова.

1.1.3. Синтез стратегий управления для случая ненаблюдаемой цепи Маркова.

1.2. Управление с прогнозированием взаимосвязанными системами с марковскими скачками при ограничениях.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Синтез стратегий управления с прогнозированием.

1.3. Управление с прогнозированием по критерию «шеап-уагіапсе».

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Синтез стратегий управления для случая наблюдаемой цепи Маркова.

1.3.3. Синтез стратегий управления для случая ненаблюдаемой цепи Маркова.

1.4. Выводы.

Глава 2. Управление с прогнозированием системами со случайными коррелированными параметрами при ограничениях.

2.1. Управление с прогнозированием по квадратичному критерию.

2.1. 1. Постановка задачи.

2.1.2. Синтез стратегий управления с прогнозированием.

2.2. Управление с прогнозированием по критерию «теап-уагіапсе».

2.2. 1. Постановка задачи.

2.2.2. Синтез стратегий управления с прогнозированием.

2.3. Выводы.

Глава 3. Применение метода управления с прогнозированием к оптимизации инвестиционного портфеля. Численное моделирование.

3.1. Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом ограничений на объемы торговых операций.

3.2. Постановка задач управления инвестиционным портфелем.

3.3. Управление ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами.

3.3.1. Управление ИП по квадратичному критерию: задача слежения.

3.3.2. Управление ИП по критерию «mean-variance».

3.3.3. Численное моделирование.

3.4. Управление ИП на рынке с коррелированными доходностями активов при ограничениях.

3.4.1. Управление ИП по квадратичному критерию: задача слежения.

3.4.2. Управление ИП по критерию «mean-variance».Ill

3.4.3. Численное моделирование.

3.5. Выводы.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Объедко, Татьяна Юрьевна

Моделями со случайными параметрами описываются многие реальные системы, такие как сложные производственно-технологические, энергетические и технические системы (атомные энергетические установки; летательные аппараты с изменяемыми режимами полета; системы наведения на объект, уклоняющийся от встречи; процессы теплопереноса (heat transfer); биологические системы (процессы иммунологии и эволюции популяций)); экономические системы, логистические процессы (управление запасами) [27]. В связи с этим в настоящее время активно развивается направление, рассматривающее проблемы управления системами со случайными параметрами (структурой). Как правило, выделяют два класса таких систем:

Первому классу систем посвящены работы [2,3,21,22,26,27,29,3133,55,60-62,72,74-78,89,91,92,109,110,122-124,127,149]. Предполагается, что смена структуры системы происходит в соответствии с эволюцией наблюдаемой или скрытой марковской цепи с конечным пространством состояний.

В [60] рассматривается задача управления с обратной связью полностью наблюдаемыми дискретными линейными системами с марковскими скачками (Markovian jumps, Markov switching parameters), для решения которой используется метод динамического программирования. В [21,31-33] рассматривается алгоритм синтеза следящих систем управления с обратной связью для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями.

В [21,22,26-28,31,32,62,75-78,89,109,110,122-124,127] рассматриваются линейные системы с аддитивными и/или мультипликативными шумами и марковскими скачками. В [122-124,127] авторы рассматривают задачу линейно-квадратичного управления на конечном и бесконечном горизонтах для линейных систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Аналогичная задача управления в динамической постановке рассматривалась на бесконечном горизонте в [89]. Для дискретного случая задача была решена в работах [75,77,78,109,110] по квадратичному критерию на конечном и бесконечном горизонтах управления. В этих работах для решения задач используется метод динамического программирования Беллмана [1].

В [72] построены линейные регуляторы на бесконечном горизонте управления для полностью наблюдаемых систем со скачкообразно меняющимися параметрами. Для решения задачи предложен итерационный метод, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.

В работе [76] рассматривается управление системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами по критерию «mean-variance» («среднее-вариация»), представляющему собой соотношение между вариацией и ожидаемым значением выхода системы. Получены условия существования оптимальной стратегии управления с обратной связью. Решение задачи синтеза регулятора сводится к решению системы взаимосвязанных обобщенных дифференциальных уравнений Риккати.

Отметим, что критерий «mean-variance» широко используется в финансовых приложениях [42,57,64,65,69,75,76,80,103,120,125,129,151,153,155-157].

В большинстве работ, посвященных синтезу стратегий управления для систем с марковскими скачками, предполагается, что цепь Маркова наблюдается. Однако на практике это предположение не всегда выполнено, и в этом случае необходимо использовать дополнительные алгоритмы для оценки состояний цепи, предложенные, например, в [3,91,92].

Системам с непрерывными случайными параметрами и/или мультипликативными и аддитивными шумами посвящены работы [12,22,24,25,34,37,38,47,70,85,97,102,115,119,126,128,131]. Для решения используются метод динамического программирования, матричный принцип максимума, метод множителей Лагранжа, теоретико-игровой подход.

Линейно-квадратичные регуляторы для систем с мультипликативными шумами и неопределенными (вырожденными) весовыми матрицами при управлениях в непрерывном времени рассматривались в [70]. В работах [37,126,128] линейно-квадратичные задачи управления сводятся к решению обобщенных дифференциальных уравнений Риккати; в работах [38,102] - к решению системы линейных матричных неравенств. Оптимальный закон управления в дискретном времени для линейно-квадратичной задачи управления был получен в [47], где рассматриваются системы с шумами, зависящими только от управления.

В работах в [12,85] для систем со случайными непрерывными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами получены уравнения синтеза линейных оптимальных регуляторов по квадратичному критерию. В [97] рассматривается задача квадратичного управления для линейных систем с вероятностной неопределенностью по параметрам, для решения которой используется обобщенная полиномиальная теория хаоса (the generalized polynomial chaos theory).

В большинстве работ, посвященных синтезу стратегий управления системами второго класса (с непрерывно меняющимися параметрами), 6 предполагается, что случайные параметры представляют собой совокупность независимых случайных величин, в противном случае задача существенно усложняется. Однако на практике предположение о независимости случайных параметров часто не выполняется.

В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления, в которых не учитываются явные ограничения на переменные состояния и управления. Основной метод синтеза стратегий управления - это применение метода динамического программирования Беллмана [1], принципа максимума Понтрягина в матричной формулировке [40], либо сведение задачи к решению системы линейных матричных неравенств [38,102].

Решение задачи управления с учетом явных ограничений, используя традиционные подходы, приводит к значительным аналитическим и вычислительным трудностям (так называемому «проклятию размерности» [1]) и, как следствие, к практически нереализуемым стратегиям управления. Однако во многих реальных задачах, таких как управление летательными аппаратами, управление технологическими процессами, в задачах логистики, управление инвестициями и множестве других необходимо учитывать ограничения на переменные состояния и управления.

В работе [73] рассматривается задача квадратичного управления дискретными линейными системами с марковскими скачками при ограничениях на нормы векторов состояния и управления. В [111] решена задача стохастического линейно-квадратичного управления для непрерывных одномерных систем со случайными параметрами при конических ограничениях на управления. Эти работы ориентированы на разработку законов управления с обратной связью, используя техники линейных матричных неравенств [73], или стохастические уравнения Риккати, зависящие от случайных параметров [111].

Эффективным подходом к синтезу систем управления с ограничениями, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с 7 прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием, управление со скользящим горизонтом, Model Predictive Control, Receding Horizon Control) [9,10,30,39,49,51-53,56,59,68,79,108,113,114,117,118,121,130,132-134,137,139, 143,144,147]. Этот подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления. При этом, как правило, получается стратегия управления с обратной связью, но удается избежать «проклятия размерности», которое препятствует синтезу управлений с обратной связью при ограничениях. Обзор работ, посвященных проблеме управления с прогнозирующей моделью, приведен в [49,53,117,130,144]. Синтез стратегий управления сводится к решению задач квадратичного [39,79,113,147] или линейного программирования [29,51], для решения которых существуют эффективные методы.

Управление с прогнозирующей моделью для стохастических систем со случайными параметрами и/или мультипликативными шумами рассматривается в работах [9,10,68,118,137,139,143]. В частности, в [118] рассматривается задача управления стационарными системами с независимыми одинаково распределенными параметрами при ограничениях. В [68] рассматриваются системы с мультипликативными шумами с учетом «мягких» (soft) вероятностных ограничений. В работах [137,139,143] рассматриваются задачи управления с прогнозирующей моделью стационарными системами с мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, при ограничениях на ожидаемые значения переменных состояния и управления (математические ожидания) (expected constraints).

В [113] решается задача управления по квадратичному критерию системами с аддитивными шумами и неизвестными параметрами, принадлежащими ограниченному множеству. Управление по минимаксному критерию системами с аддитивными шумами представлено в [39].

В [52] рассматривается управление с прогнозирующей моделью дискретными гибридными стохастическими автоматами. В работе [132] для 8 синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью используется стохастическое программирование.

В [9] предложен метод синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для нестационарных дискретных систем с аддитивными и мультипликативными шумами и параметрами, представляющими собой последовательность независимых случайных величин, с учетом явных (жестких - hard) ограничений на переменные управления. В [10] аналогичная задача управления решается для дискретных систем с зависимыми параметрами, динамика которых описывается многомерным уравнением авторегрессии.

Дискретные системы с марковскими скачками рассматриваются в [59,134]. В [134] рассматривается робастное управление с прогнозированием на один шаг, однако в этой работе не учитываются ограничения. В [59] предлагается метод синтеза стратегий управления при «мягких» вероятностных ограничениях. Основная идея метода состоит в аппроксимации распределений, используя выборки наблюдений, и сведении задачи к детерминированной задаче смешанного целочисленного линейного программирования (Mixed Integer Linear Programming).

Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что, несмотря на значительное количество работ, посвященных системам со случайными параметрами, нерешенными остаются следующие задачи управления: а) системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях на переменные управления и/или состояния; б) системами случайной структуры, состоящими из взаимосвязанных подсистем, при ограничениях на переменные управления и/или состояния; в) системами с непрерывными коррелированными случайными параметрами при ограничениях на переменные управления и/или состояния.

Важной областью приложений стохастической теории управления является финансовая инженерия, в частности, задача управления 9 инвестиционным портфелем [5-7,9-12,36,41-46,48,50,54,57,58,63-67,69,71, 75,76,80-85,90,93-96,98-101,103,104,106-108,111,112,116,120,125,129, 135,136, 138,140-142,145,148,151-157] (см. также специальный выпуск журнала IEEE Transactions On Automatic Control - Special Issue on Stochastic Control Methods in Financial Engineering, март 2004).

Финансовый рынок представляет собой сложную стохастическую систему [36,90], и задача управления портфелем включает в себя все основные проблемы, связанные с управлением динамическими стохастическими системами. В работе [90] теорию оптимизации портфеля предлагается использовать как обучающую платформу при изучении теории стохастического управления. Отметим, что построение адекватных моделей управления ИП с нестационарными параметрами рисковых активов требует наличия мощного аппарата управления сложными стохастическими системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.

В основе современной теории управления ИП лежит классическая однопериодная (one-period) модель управления по критерию «mean-variance» («среднее-вариация»), предложенная Нобелевским лауреатом по экономике 1990 г. Г. Марковичем [129]. «Mean-variance» критерий представляет собой соотношение (trade-off) между вариацией и математическим ожиданием выхода системы. В динамической постановке задача управления по критерию «mean-variance» в непрерывном и дискретном времени на примере оптимизации ИП рассматривалась в [42,57,65,104,111,120,125,153,156,157].

При построении динамических моделей управления ИП, значительную сложность представляет собой выбор моделей для описания эволюции цен (или доходностей) рисковых финансовых активов, адекватно описывающих их характерные особенности, такие как нестационарность, стохастическая волатильность, кластерность, скачкообразные изменения и т.д. [150].

Модели классического геометрического броуновского движения, традиционно используемые для описания эволюции цен рисковых финансовых активов [36,57,125,145,150]: а) не учитывают возможные структурные изменения, характерные для финансовых рынков, б) в этих моделях предполагается, что доходности представляют собой последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.

В связи с этим широкое распространение и применение получили модели цен (доходностей) с переключающимися режимами [5,7,46,48,58,63,64,67,69,71,75,76,93-96,98,99,106,107,112,148,151-154, 157]. Значительный интерес к таким моделям объясняется их способностью учитывать ряд особенностей, характерных для реальных финансовых рынков. В частности, известно, что финансовый рынок может находиться в нескольких режимах, которые соответствуют различным состояниям экономики, общим настроениям инвесторов и т.д. В этих моделях предполагается, что параметры рисковых финансовых активов (ожидаемые доходности и/или волатильности) скачкообразно изменяются в соответствии с эволюцией наблюдаемой или скрытой марковской цепи с известной матрицей переходных вероятностей.

В [153,157] рассматривается задача управления ИП с переключающимися режимами по критерию «mean-variance» в непрерывном времени, которая решена через вспомогательную линейно-квадратичную задачу управления линейными дискретными системами с марковскими скачками. В [64,67,69] авторы рассматривают дискретную многопериодную (multi-period) задачу управления портфелем с марковскими скачками, используя подход, аналогичный предложенному в [120]. В работах [153,157, 64,67,69] целевая функция учитывает вариацию портфеля только в конечной точке горизонта инвестирования, что значительно упрощает задачу.

В работах [71,76] рассматривается обобщенная многопериодная задача оптимизации ИП с марковскими скачками по критерию «mean-variance» без учета ограничений на объемы торговых операций на конечном горизонте инвестирования. При управлении учитываются все промежуточные значения

11 вариации и ожидаемого значения капитала ИП. Оптимальная стратегия определяется из решения системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений Риккати.

Помимо «mean-variance» подхода, для управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами применяются и другие критерии. В [99] рассматривается задача максимизации функции полезности с ограничениями на риск, где ожидаемые доходности и волатильности рисковых активов переключаются в соответствии с эволюцией скрытой марковской цепи. В [148] исследуется задача оптимизации ИП с марковскими скачками в динамике цен рисковых активов при ограничениях на банкротство. В [154] рассматривается VAR (Value-at-Risk) подход к определению оптимального ИП, где параметры рисковых активов переключаются в соответствии с эволюцией наблюдаемой марковской цепи.

В работах [5-7,11,12,83] предложен подход к управлению ИП, при котором задача управления формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля (reference portfolio, benchmark portfolio) с заданной доходностью. В работах [5,7] рассматривается задача управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами (марковкими скачками), в [11,12,83] предполагается, что параметры доходностей зависят от последовательностей непрерывных случайных величин.

Характерной особенностью финансовых рынков, учет которой позволяет построить более адекватные модели управления ИП, является коррелированность доходностей рисковых активов. Эмпирические и теоретические исследования временных рядов динамики доходностей показывают, что корреляции существуют и являются значимыми [34,150]. Модели управления ИП с коррелированными доходностями рассматриваются в работах [41,81,103,104,152,155].

В [41] получено аналитическое решение для динамической задачи управления ИП по критерию максимизации экспоненциальной функции полезности с учетом автокорреляций доходностей рисковых активов, которые описываются моделью ARMA(1,1). В работе [81] рассмотрена задача управления ИП с учетом серийных корреляций (serially correlated returns) и определена структура корреляций, которая позволяет получить «близорукую» (myopic) стратегию управления для некоторых видов функций полезности. В [155] рассматривается многопериодная задача управления на неопределенном горизонте по критерию «mean-variance» с серийными корреляциями доходностей активов. В [152] рассматривается многопериодная задача управления по критерию «mean-variance» портфелем, содержащим только один рисковый финансовый актив с серийно коррелированными доходностями.

В вышеупомянутых работах не учитываются ограничения на объемы торговых операций (объемы вложений и займов рисковых финансовых активов). Однако на реальных рынках при управлении ИП такие ограничения присутствуют и оказывают существенное влияние на качество управления инвестициями. Учет таких ограничений проводит к необходимости разработки новых методов управления ИП.

В работах [9,10,82] для управления ИП с учетом ограничений предложено использовать методологию управления с прогнозирующей моделью (МРС). Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за эталонным портфелем, имеющим заданную доходность при ограничениях на объемы торговых операций. В [9,82] эволюция цен рисковых активов описывается дискретизованной версией модели типа геометрического броуновского движения. В [10] доходности описываются моделью авторегрессии.

Применению МРС в финансовой инженерии посвящены также работы [9,10,43-45,50,54,82,108,138,140-142]. В данных работах предполагается, что доходности рисковых финансовых активов представляют собой

13 последовательности независимых случайных величин и для их описания используются модели геометрического (экономического) броуновского движения.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является построение прогнозирующего управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях и применение результатов к управлению ИП.

В рамках указанной цели были поставлены следующие основные задачи исследования:

3. Синтезировать стратегии управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами при явных ограничениях на управляющие переменные.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (методология управления с прогнозированием), теории случайных процессов, методы оптимизации, методы матричной алгебры, методы теории вероятностей и математической статистики, численные методы и методы компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту:

1) Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные: а) по квадратичному критерию; б) по критерию «mean-variance».

2) Уравнения синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для гибридных систем, состоящих из подсистем, с учетом явных ограничений на управляющие переменные. При этом параметры каждой из подсистем изменяются в соответствии с эволюцией марковских цепей, состояния которых взаимосвязаны между собой.

3) Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, при ограничениях на управляющие переменные: а) по квадратичному критерию; б) по критерию «mean-variance».

4) Результаты применения методов к решению новых актуальных задач управления ИП: а) управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов (на рынке с переключающимися режимами, regime-switching market) при ограничениях на объемы торговых операций (на объемы купли-продажи финансовых активов и на размеры заемных средств); б) управление ИП в условиях коррелированности доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

5) Результаты численного моделирования и тестирования полученных алгоритмов на примере управления ИП с использованием реальных данных.

В работе приведены результаты численного моделирования на примере управления ИП с использованием реальных данных о доходностях акций, торгующихся на Российской бирже «Фондовая биржа ММВБ» (фондовая секция Московской межбанковской валютной биржи), Нью-Йоркской фондовой бирже NYSE (New York stock exchange), а также валютных пар, торгующихся на международном валютном рынке Forex (foreign exchange). Численные эксперименты подтверждают эффективность предложенных подходов к управлению ИП, как примеров управления сложной стохастической системой.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории прогнозирующего управления системами со случайными параметрами и мультипликативными при ограничениях на управляющие переменные.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов для управления сложными реальными объектами при ограничениях: а) объектами, динамика которых зависит от случайных скачкообразных параметров, б) объектами, динамика которых зависит от параметров, представляющих собой случайные коррелированные последовательности.

К таким объектам относятся летательные аппараты, физические, химические, биологические, экономические процессы и т.д.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (Акт о внедрении прилагается).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, основного текста, заключения, списка литературы и приложения. Основной текст разбит на 3 главы и содержит 34 рисунка. Список литературы включает 157 наименований. Общий объем работы 159 страниц, основной текст - 138 страниц.

Содержание работы

Во второй главе диссертации рассматривается задача управления с прогнозирующей моделью дискретными системами со случайными коррелированными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами. Получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с учетом ограничений на управляющие воздействия для квадратичного и «mean-variance» критериев со скользящим горизонтом управления.

В третьей главе результаты применяются к решению актуальных задач управления инвестиционным портфелем: а) управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций; б) управление ИП в условиях коррелированности доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

Задача управления ИП решена в двух постановках:

1. динамическая задача слежения со скользящим горизонтом инвестирования за некоторым базовым (гипотетическим) портфелем, параметры которого задаются инвестором;

2. многопериодная задача управления по критерию «mean-variance» со скользящим горизонтом инвестирования.

Для синтеза стратегий управления ИП используются результаты, полученные в главах 1,2.

Приведены результаты численного моделирования на примере управления ИП с использованием реальных данных о доходностях акций, торгующихся на различных финансовых рынках. Численные расчеты подтверждают работоспособность и эффективность предложенных подходов к управлению ИП.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2008 г., 2011 г.),

Восьмая и девятая Российские конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2010 г., 2012 г.), V Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых ученых, (Томск, 2010 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ [13-20,23,87-88], в том числе в журналах из списка ВАК - 6 статей [13,14,17,19,87,88].

Заключение диссертация на тему "Управление с прогнозированием дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях"

3.5. Выводы

В данной главе приведены результаты применения предложенных в главах 1,2 методов управления с прогнозирующей моделью к управлению сложной стохастической системой - инвестиционным портфелем. Получены следующие результаты:

1) Решены новые актуальные задачи управления ИП, имеющие важное практическое значение:

- управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций;

- управление ИП в условиях коррелированности доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

Рассмотрены задачи управления ИП в двух постановках:

- управление по квадратичному критерию (динамическая задача слежения за эталонным портфелем);

- управление ИП по критерию «mean-variance».

2) Проведено численное моделирование с использованием реальных данных различных финансовых рынков: а) со скачкообразным изменением режимов, б) с сериально коррелированными доходностями.

Результаты численного моделирования подтверждают работоспособность и эффективность разработанных стратегий управления и возможность их применения для управления сложными стохастическими объектами.

Заключение

В данной диссертационной работе рассматриваются задачи управления с прогнозирующей моделью стохастическими системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие воздействия. Получены следующие основные результаты.

3) Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием для систем со случайными коррелированными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами при ограничениях на управляющие переменные: а) по квадратичному критерию; б) по критерию «mean-variance».

4) Решены новые актуальные задачи управления ИП: а) управление ИП в условиях скачкообразного изменения параметров доходностей рисковых финансовых активов (на рынке с переключающимися режимами, regime-switching market) при ограничениях на объемы торговых операций (на объемы купли-продажи финансовых активов и на размеры заемных средств); б) управление ИП в условиях коррелированности доходностей рисковых финансовых активов при ограничениях на объемы торговых операций.

5) Выполнено численное моделирование и тестирование полученных алгоритмов на примере управления ИП с использованием реальных данных различных финансовых рынков.

Библиография Объедко, Татьяна Юрьевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. БеллманР., КалабаР. Динамическое программирование и современная теория управления. - М.: Наука, 1969. - 120 с.

2. Борисов A.B. Скрытые Марковские модели, порождаемые специальными скачкообразными процессами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. - № 1. - С. 48-62.

3. Борисов A.B., Стефанович А.И. Оптимальная фильтрация состояний специальных управляемых систем случайной структуры. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. - № 3. - С. 16-26.

4. Васильев В.А. и др. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей // Васильев В.А., Добровидов A.B., Кошкин Г.М.; отв. ред. Кузнецов H.A. М: Наука, 2004. -508 с.

5. Гальперин В.А., Домбровский В.В., Федосов E.H. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 5. - С. 175-189.

6. Герасимов Е. С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при квадратичной функции риска // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 2. - С. 119-128.

7. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 7. - С. 77-86.

8. Домбровский Д.В. Динамические модели управления инвестиционным портфелем на нестационарном финансовом рынке с учетом транзакционных издержек и ограничений: диссертация кандидата физ.-мат. наук. Томский государственный университет, Томск, 2008. 188 с.

9. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 4. - С. 84-97.

10. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью // Автоматика и вычислительная техника. 2003. - № 5. - С. 12-21.

11. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 10. -С. 50-65.

12. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами //123

13. Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: материалы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - С. 73.

14. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. -2011. -№ 5. -С. 96-112.

15. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления, (обзор). 4.II. // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. 1990. - № 2. - С. 97-119.

16. Пакшин П.В. Оптимальное управление дискретными объектами с шумами, зависящими от состояния и управления // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 3. - С. 43-54.

17. Пакшин П.В. Оценивание состояния и синтез управления дискретных линейных систем с аддитивными и мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 4. - С. 75-85.

18. Пакшин П.В. Оптимальное линейное управление дискретными объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. 1982. - Т. 11, № 3. - С. 179193.

19. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М: Физматлит, 1994. - 304 с.

20. Пакшин П.В., Ретинский Д.М. Робастная стабилизация систем случайной структуры с переключаемой статической обратной связью по выходу // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 7. - С. 135-147.

21. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. Радио, 1976. - 156 с.

22. Пропой А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика ителемеханика. 1963. - № 7. - С. 912-920.125

23. Смагин В.И., Ломакина С.С. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника. 2004. - № 4. - С. 31-43.

24. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. 2000. - № 271. - С. 171-175.

25. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих регуляторов с обратной связью по выходу для систем со случайными скачкообразными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. 2001. - № 6. - С. 6272.

26. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. - 352 с.

27. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997. - 1028 с.

28. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. Т. 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998. - 1056 с.

29. Ait Rami М., Chen X., Zhou X.Y. Discrete-time Indefinite LQ Control with State and Control Dependent Noise // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 12491250.

30. Ait Rami M., Zhou X.Y. Linear matrix inequalities, Riccati equations, and indefinite linear quadratic controls // IEEE Transactions on Automatic Control. -2000.-№45.-P. 1131-1143.

31. Alamo Т., Репа D.M., Limon D., Camacho E.F. Constrained min-max predictive control: a polynomial-time approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, 2003. P. 912-916.

32. Athans M. The Matrix Minimum Principle // Inf. Control. 1968. - Vol. 11.-P. 592-606.

33. Balvers R.J., Mitchell D.W Autocorrelated returns and optimal intertemporal portfolio choice // Management Science. 1997. - Vol. 43, № 11. -P. 1537-1551.

34. Bajeux-Besnainou I., Portait R. Dynamic asset allocation in a mean-variance framework // Management Science. 1998. - Vol. 44, № 11. - Part 2. -P. S79-S95.

35. Barmish B.R. On Trading of Equities: A Robust Control Paradigm // Proceedings of the 17th World Congress of The International Federation of Automatic Control. Seoul, Korea, July 2008. P. 1621-1626.

36. Barmish B. R. On Perfomance Limits of Feedback Control-Based Stock Trading Strategies // Proceedings of the 2011 American Control Conference. San-Francisco, CA, July 2011. P. 125-134.

37. Barmish R., Primbs J. On Arbitrage Possibilities Via Linear Feedback in an Idealized Brownian Motion Stock Market //2011 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. Orlando, FL, USA, December 12-15, 2011. P. 2889-2894.

38. Báuerle N., Rieder U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, № 3. - P. 442-447.

39. Beghi A., D'Alessandro D. Discrete-time optimal control with control-dependent noise and generalized Riccati difference equations // Automatica. -1998.-№34.-P. 1031-1034.

40. Bellamy N. Wealth optimization in an incomplete market driven by a jump-diffusion process // Journal of Mathematical Economics. 2001. - № 35. -P. 259-287.

41. Bemporad A. Model-based predictive control design: New trends and tools // Proc. 45th IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, CA, 2006. P. 6678-6683.

42. Bemporad A., Bellucci L., Gabbriellini T. Dynamic option hedging via stochastic model predictive control based on scenario simulation // Quantitative1271. Finance.-2012.-P. 1-13.

43. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. Model Predictive Control Based on Linear Programming The Explicit Solution // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, № 12. - P. 1974-1985.

44. Bemporad A., Di Cairano S. Model-Predictive Control of Discrete Hybrid Stochastic Automata // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. -Vol. 56, №6.-P. 1307-1321.

45. Bemporad A., Morari M. Robust model predictive control: A survey // Robustness in Identification and Control. Springer: Berlin, 1999. - P. 207-226.

46. Bemporad A., Puglia L., Gabbriellini T., A stochastic model predictive control approach to dynamic option hedging with transaction costs // Proc. American Control Conference. San Francisco, CA, USA, June 29-July 01, 2011. -P. 3862-3867.

47. Benjelloum K., Boukas E.K., Shi E.K. Robust Stochastic Stability of Discrete-Time Linear Systems with Markovian Jumping Parameters // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. P. 559-564.

48. Bernardini D., Bemporad A. Scenario-based model predictive control of stochastic constrained linear systems // Proceedings of the 48th IEEE IEEE Conference on Decision and Control. Shanghai. P.R. China. December, 2009. -P. 6333-6338.

49. BieleckiT., JinH., Pliska S.R., Zhou X.Y. Continuous-time mean-variance portfolio choice with no bankruptcy constraint // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 5945-5950.

50. Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach // Journal of Empirical Finance. 2000. - № 7. - P. 531-554.

51. Blair W.P.Jr., Sworder D.D. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters and Quadratic Cost Criteria // International Journal of Control. 1975. - Vol. 21, № 5. - P. 883-841.

52. Boukas E.K. Stochastic switching systems: analysis and design. -Birkhauser, 2005. 405 P.

53. Boukas E.K., Yang H. Robust LQ Regulator for Jump Linear Systems with Uncertain Parameters // Dynamics and Control. 1999. - № 9. - P. 125-134.

54. Cajueiro D.O., YoneyamaT. Optimum portfolio choice for a class of jump stochastic models // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. P. 1665-1670.

55. Cakmak U., Ozeckici S. Portfolio optimization in stochastic markets // Mathematical Methods of Operation Research. 2006. - № 63. - P. 151-168.

56. Calafiore G.C. Multi-period portfolio optimization with linear control policies // Automatica. 2008. - № 44. - P. 2463-2473.

57. Calafiore G.C. An Affine Control Method for Optimal Dynamic Asset Allocation with Transaction Costs // SIAM Journal of Control and Optimization. -2009. Vol. 48, № 4. - P. 2254-2274.

58. Canakoglu E., Ozeckici S. Portfolio selection in stochastic markets with HARA utility functions // European Journal of Operation Research. 2010. - № 21.-P. 520-536.

59. Cannon M., Kouvaritakis B., Wu X. Model predictive control for systems with stochastic multiplicative uncertainty and probabilistic constrains // Automatica. 2009. - Vol. 45, № l. - p. 167-172.

60. Celikyurt U., Ozeckici S. Multiperiod portfolio optimization models in stochastic markets using the mean-variance approach // European Journal of Operation Research. 2007. - № 179. - P. 186-202.

61. Chen S., Yong J. Stochastic Linear Quadratic Optimal Control Problems // Applied Mathematics and Optimization. 2001. - Vol. 43. - P. 21-45.

62. Costa O.L.V., Araujo M.V. A generalized multi-period portfolio optimization with Markov switching parameters // Automatica. 2008. - Vol. 44,12910.-P. 2487-2497.

63. Costa O.L.V., Aya J.C.C. Monte Carlo TD(*.)-methods for the optimal control of discrete-time Markovian jump linear systems // Automatica. 2002. -Vol. 38.-P. 217-225.

64. Costa O.L.V., Filho E.O.A., Boukas E.K., Marques R.P. Constrained quadratic state feedback control of discrete-time Markovian jump linear systems // Automatica. 1999. - Vol. 35, № 4. - P. 617-626.

65. Costa O.L.V., Fragoso M.D., Marques R.P. Discrete-time Markov jump linear systems. Springer-Verlag, 2005. - 286 P.

66. Costa O.L.V., Okimura R.T. Discrete-time mean-variance optimal control of linear systems with Markovian jumps and multiplicative noise // International Journal of Control. 2009. - Vol. 82, № 2. - P. 256-267.

67. Costa O.L.V., Oliveira A. Optimal mean-variance control for discrete-time linear systems with Markovian jumps and multiplicative noises // Automatica.- 2012. Vol. 48, № 2. - P. 304-315.

68. Costa O.L.V., Paulo W.L. Indefinite quadratic with linear costs optimal control of Markovian jump with multiplicative noise systems. // Automatica. -2007. Vol. 43, № 4. - P. 587-597.

69. Costa O.L.V., Paulo W.L. Generalized Coupled Algebraic Riccati Equations for Discrete-time Markov Jump with Multiplicative Noise Systems // European Journal of Control. 2008. - № 5. - P. 391-408.

70. Cuzzola A.F., Geromel J.C., Morari M. An impoved approach for constrained robust model predictive control // Automatica. 2002. - Vol. 38, № 7. -P. 1183-1189.

71. Dokuchaev N. Optimality of myopic strategies for multi-stock discrete time market with management costs // European Journal of Operational Research.- 2012. Vol. 200. - P. 551-556.

72. Dokuchaev N. Discrete time market with serial correlations and optimal myopic strategies // European Journal of Operational Research. 2007. - Vol. 177, №2.-P. 1090-1104.

73. Dombrovsky V.V., Gerasimov E.S. Dynamic network model of control investment portfolio in continuous time // Proceedings of the 5th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. Tomsk, 2001. P. 304-308.

74. Dombrovsky V.V., Lyashenko E.A. Dynamic Model of Active Portfolio Management with Stochastic Volatility in Incomplete Market // Proceedings of SICE Annual Conference in Fukui. Fukui: Fukui University, 2003. P. 636-641.

75. Dombrovskii V.V., Obyedko T.U. Predictive control of systems with Markovian jumps under constraints and its application to the investment portfolio optimization // Automation and remote control. 2011. - Vol. 72, № 5. - P. 9891003.

76. Dombrovskii V.V., Obyedko T.U. Model predictive control of constrained with non-linear stochastic parameters systems // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика.2011.- №3 (16).-С. 5-12.

77. Dombrovskii V.V., Obyedko T.U. Portfolio optimization in the financial market with serially dependent returns under constraints // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика.2012.- №2 (19).-С. 5-13.

78. Dragan V., Morozan Т. The Linear Quadratic Optimization Problems for a Class of Linear Stochastic Systems with Multiplicative White Noise and Markovian Jumping // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, № 5. - P. 665-675.

79. Durtschi В., Skinner M., Warnick S. Portfolio Optimization as a Learning Platform for Control Education and Research // 2009 American Control Conference. Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA, June, 2009. P. 3781-3786.

80. Elliott R.J., Aggoun L., Moore J.B. Hidden Markov Models: Estimation and Control. Berlin: Springer-Verlag, 1995. - 302 P.

81. Elliott R.J., Dufour F., Malcolm W.P. State and mode estimation for discrete-time jump Markov systems // SIAM journal on Control and Optimization. 2005. - № 44. - P.1081-1104.

82. Elliott R.J., Framstad N.Ch., OksendalB., Sulem A. Optimal consumption and portfolio in a jump diffusion market with proportional transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - № 35. - P. 233-257.

83. Elliott R. J., Hinz J. Portfolio optimization, hidden Markov models, and technical analysis of P&F-charts // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2002. - Vol. 5, №4. - P. 385-399.

84. Elliott R.J., Malcolm W.P., Tsoi A.H. Robust parameter estimation for asset price models with Markov modulated volatilities // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. - Vol. 27, № 8. - P. 1391-1409.

85. Elliott R.J., Van der Hoek J. An application of hidden Markov models to asset allocation problems // Finance and Stochastics. 1997. - № 1. - P. 229-238.

86. Fisher J., Bhattacharya R. Linear quadratic regulation of systems with stochastic parameter uncertainties // Automatica. 2009. - Vol. 45. - P. 28312841.

87. Framstad N. C., Oksendal B., Sulem A. Optimal consumption and portfolio in a jump diffusion market with proportional transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - № 35. - P. 233-257.

88. Gaivoronski A.A., Krylov S., Van der Wijst N. Optimal portfolio selection and dynamic benchmark tracking // European Journal of Operational Research.- 2005. -№ 163.-P. 115-131.

89. Gaivoronski A.A., Stella F. On-line portfolio selection using stochastic programming // Journal of Economic Dynamic and Control. 2003. - №. 27. - P. 1013-1043.

90. Ghaoui E.L. State-feedback control of systems with multiplicative noise via linear matrix inequalities // Syst. Control Letters. 1995. - № 24. - P. 223228.

91. Hakansson N. H. Multi-period mean-variance analysis: toward a general theory of portfolio choice // Journal of Finance. 1971. - Vol. 26, № 4. - P. 857884.

92. Hakansson N. H. On optimal myopic portfolio policies, with and without serial correlation of yields // Journal of Business. 1971. - Vol. 44, № 34. - P. 324-334.

93. Hakansson N. H., Liu T.C. Optimal growth portfolios when yields are serially correlated // Review of Economics and Statistics. 1970. - Vol. 52, № 4. -P. 385-394.

94. Hanson F. B., Westman J. J. Optimal portfolio and consumption policies subject to Rishel's important jump events model: computational methods // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, № 3. - P. 326-337.

95. Herzel S. A Simple model for option pricing with jumping stochastic volatility // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 1998. -Vol. 1, № 4. - P. 487-505.

96. Herzog F., Dondi G., Geering H.P. Stochastic model predictive control and portfolio optimization // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2007. - Vol. 10, № 2. - P. 203-233.

97. Hopkins W.E. Optimal Stabilization of Families of Linear Differential Equations with Jump Coefficients and Multiplicative Noise // SIAM Journal of Control and Optimization. 1987. - Vol. 25, № 6. - P. 1587-1600.133

98. Hou T., Zhang W., Ma H. Finite horizon H2/H-infinity control for discrete-time stochastic systems with Markovian jumps and multiplicative noise // IEEE Trans. Automat. Control. 2010. - Vol. 55, № 5. - P. 1185-1191.

99. Kanev S., Verhaegen M. Robust Output-Feedback Integral MPC: A Probabilistic Approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 1914-1919.

100. Kim K.B. Implementation of Tracking Controls for Constrained Discrete Time-Varying Systems via Receding Horizon Strategy // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4883-4884.

101. Koning W.L. Infinite Horizon Optimal Control of Linear Discrete-time Systems with Stochastic Parameters // Automatica. 1982. - Vol. 18, № 4. - P. 503-514.

102. Konno H., Wijayanyayake A. Minimal cost index tracking under nonlinear transaction costs and minimal transaction limit constraints // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 2001. - Vol. 4, № 6. -P. 939-957.

103. Kouvaritatakis B., Cannon M., Tsachouridis V. Recent developments in stochastic MPC and sustainable development // Annual Reviews in Control. -2004. № 28. - P. 23-35.

104. Lee J.H., Cooly B.L. Optimal feedback control strategies for state-space systems with stochastic parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. -1998. Vol. 43, № 10. - P. 1469-1475.

105. Levine W.S., Johnson T.L., Athans M. Optimal Limited State Feedback Controllers for Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control.1341971. Vol. AC-16, № 6. - P. 758-793.

106. Li D., Ng W.-L. Optimal Dynamic Portfolio Selection: Multi-Period Mean-Variance Formulation // Mathematical Finance. 2000. - № 10. - P. 387406.

107. Li P., Wendt M., Wozny G. Robust model predictive control under chance constraints // Comput. Chem. Engng. 2000. - № 24. - P. 829-834.

108. Li X., Zhou X.Y., Ait Rami M. Indefinite Stochastic LQ Control with Jumps // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 1693-1698.

109. Li X., Zhou X.Y., Ait Rami M. Indefinite stochastic linear quadratic control with Markovian jumps in infinite time horizon // Journal of Global Optimization. 2003. - № 27. - P. 149-175.

110. Li X., Zhou X.Y. Indefinite stochastic LQ control with Markovian jumps in a finite time horizon // Communications in Information and Systems. 2002. -№2.-P. 265-282.

111. Lim A., Zhou X.Y. Mean-variance portfolio selection via LQ optimal control // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4553-4558.

112. Lim A., Zhou X.Y. Stochastic optimal control LQR control with integral quadratic constraints and indefinite control weights // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. - № 44. - P. 1359-1369.

113. Liu Y., Yin G., Zhou X.Y. Near-optimal controls of random-switching LQ problems with indefinite control weight costs// Automatica. 2005. - № 41. -P. 1063-1070.

114. Luo C., Feng E. Generalized differential Riccati equation and indefinite stochastic LQ control with cross term // Applied Mathematics and Computation. -2004. -№ 155.-P. 121-135.

115. Marcowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. -Vol. 7, № 1. - P. 77-91.

116. Mayne D.Q., Rawlings J.B., Rao C.V., Scokaert P.O.M. Constrained135model predictive control: Stability and optimality // Automatica. 2000. - Vol. 36, №6.-P. 789-814.

117. McLane P.J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State and Control-Depandent Disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. - Vol. AC-16, № 6. - P. 793-798.

118. Park B.-G., Known W.H. Robust One-step Receding Horizon Control of Discrete-time Markovian Jump Uncertain Systems // Automatica. 2002. - Vol. 38, №9.-P. 1229-1235.

119. Pasic-Duncan B. Stochastic Control Methods in Financial Engineering // Special issue of IEEE Transactions on Automatic and Control. 2004. - P. 882894.

120. Pham H. Smooth solutions to optimal investment models with stochastic volatilities and portfolio constraints // Applied Mathematics and Optimization. -2002.-№46.-P. 55-78.

121. Primbs J.A. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise // Proc. American Control Conference. New York, NY, 2007. P. 4470-4475.

122. Primbs J.A. LQR and Receding Horizon Approaches to MultiDimensional Option Hedging under Transaction costs // Proc. American Control Conference. Baltimore, MD, July 2010. P. 6891-6896.

123. Primbs J.A. A soft constraint approach to stochastic receding horizon control // Proc. 46th IEEE Conference on Decision and Control, 2007. P. 47974802.

124. Primbs J.A. Dynamic Hedging of Basket Options under Proportional Transaction Costs Using Receding Horizon Control // International Journal of Control. 2009. - Vol. 82, № 10. - P. 1841-1855.

125. Primbs J.A., Barmish B.R. An Introduction to Option Trading from a Control Perspective //2011 American Control Conference on O'Farrell Street. San Francisco, CA, USA, June 29-July 01, 2011. P. 1726-1728.

126. Primbs J.A., Sung C.H. A stochastic receding horizon control approach to constrained index tracking // Asia-Pacific Finan Markets. 2008. - Vol. 15. - P. 3-24.

127. Primbs J.A., Sung C.H. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise // IEEE Trans. Automat. Control. 2009. - Vol. 54, № 2. - P. 221-230.

128. Rawlings J. Tutorial: Model Predictive Control Technology // Proceedings of American Control Conference. San Diego. California, 1999. P. 662-676.

129. Runggaldier W.J. On Stochastic Control in Finance // Mathematical systems Theory in Biology, Communication, Computation and Finance (D. Gilliam and J. Rosental, eds.) IMA Book Series (MINS-2002). Springer Verlag. -2002.-P. 1-28.

130. Runolfsson T. Risk-sensitive and Robust Control of Discrete Time Hybrid Systems // Proceedings of the 39th IEEE Conference Decision and Control. Sydney, 2000. P. 1055-1060.

131. Seron M.M., De Dona J.A., Goodwin G.C. Global Analytical Model Predictive Control with Input Constraints // Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney. Australia, 2000. P. 154-159.

132. Sotomayor L.R., Cadenillas A. Explicit Solutions of Consumption-investment Problems in Financial Markets with Regime-switching // Mathematical Finance. 2009. - Vol. 19, № 2. - P. 251-279.

133. Sworder D.D. Feedback control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. 1969. - Vol. AC-14, №137l.-P. 9-14.

134. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series. JOHN WILEY & SONS, INC, 2002.-448 P.

135. Wu H., Li Z. Multi-period Mean-Variance Portfolio Selection with Markov Regime Switching and Uncertain Time-Horizon // Journal of Systems Science and Complexity. 2011. - Vol. 24. - P. 140-155.

136. Xu Y.H., Li Z.F. Dynamic portfolio selection based on serially correlated return Dynamic mean-variance formulation // System Engineering Theory and Practice. - 2008. - Vol. 28, № 8. - P. 123-131.

137. Yin G., Zhou X.Y. Markowitz's Mean-Variance Portfolio Selection with Regime Switching: From Discrete-time Models to their Continuous-time Limits // IEEE Transactions Automat. Control. 2004. - Vol. 49, № 3. - P. 349-360.

138. Yiu K.F.C., Liu J., Siu T.K., Ching W.K. Optimal portfolios with regime switching and value-at-risk constraint // Automatica. 2010. - Vol. 46. - P. 979989.

139. Zhang L., Li Z. Multi-Period Mean-Variance Portfolio Selection with Uncertain Time Horizon When Returns Are Serially Correlated // Mathematical Problems in Engineering. 2012. - P. 1-17.

140. Zhou X. Y., Li D. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework // Applied Mathematics & Optimization. 2000. - № 42. -P. 19-33.

141. Zhou X. Y., Yin G. Markowitz's mean-variance portfolio selection with regime-switching: a continuous-time model // SIAM Journal on Control and Optimization. 2003. - Vol. 42, № 4. - P. 1466-1482.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00