автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля

На правах рукописи

Ляшенко Елена Александровна

УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ШУМАМИ С ПРИМЕНЕНИЕМ К ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ

05 13 01 - системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2005

Работа выполнена в Томском государственном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Домбровский Владимир Валентинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Васильев Вячеслав Артурович

кандидат физико-математических наук, доцент

Буркатовская Юлия Борисовна

Ведущая организация:

Красноярский государственный технический университет. Защита состоится:

«27» октября 2005 г. в «10-30» на заседании диссертационного совета Д 212.267 12 при Томском государственном университете по адресу 634050, I Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться:

В научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан сентября 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.т.н , профессор

В.И. Смагин

/5/10

riz.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкий класс реальных сигтем описывается линейными моделями со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления; примерами могут служить сложные производственно-технологические, энергетические, технические и экономические системы Проблемой синтеза регуляторов для систем со случайными параметрами занимались многие исследователи, среди которых следует отметить таких ученых, как Казаков И.Е , Красовский H.H., Малышев В.В., Пакшин П.В., Иараев Ю.И., Смагин В.И., Bielecki T., Boukas Е.К., Costa O.L.V., Hopkins W.E , De Koning W.L., Li X., Phska S.R., Runolfssori T., Sworder D.D., Wonham W M и других. В большинстве работ предполагается, что параметры представляют собой цепь Маркова, при этом оптимальное управление зависит от текущего состояния марковской цепи, которое на практике часто недоступно наблюдению, таким образом недостаток информации о случайных параметрах обуславливает необходимость разработки робаст-ных алгоритмов управления. Также во многих .работах предполагается, иго ограничения на переменные состояния и управления отсутствуют, однако на практике к системам часто предъявляются некоторые требования, которые обычно носят форму ограничений.

Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции инвестиционного портфеля (ИП) на финансовом рынке со стохастической волатильностью. В большинстве работ по управлению ИП предполагается, что трансакционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов, это приводит к субоптимальному управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционные издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случ угся.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность настоящей диссертационной работы целью которой является

1 синтез регуляторов для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений;

2 синтез стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при явных ограничениях на управляющие переменные,

3 синтез стратегий управления ИП в условиях стохастической волатиль-ности доходностей рисковых финансовых активов;

4 синтез стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Методика исследования. При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (метод динамического программирования, матричный принцип максимума), методология управления с прогнозированием, численные методы (метод квадратичного программирования) и методы имитационного моделирования. Научная новизна и положения, выносимые на защиту.

1. Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

2. Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

3 Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов

4 Динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

5 Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Теоретическая ценность. Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управлений'й'П в условиях стохастической волатильности с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы, ИП в условиях стохастической волатильности

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. В вырожденном случае (когда параметры системы не случайны) получаются известные формулы для систем с аддитивными и мультипликативными шумами. Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Всероссийской научно-практической конференции "Новые технологии и ком-

плек( ные решения наука, образование, производство" (Анжеро-Судженск 2001) Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002), I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002) Второй международной конференции "Проблемы актуарной и финансовой математики" (Минск, Беларусь, 2002), IV Всероссийской конференции с международным участием "Новые информацион ные технологии в исследовании сложных структур" (Томск. 2002), Ежегодной конференции "SICE Annual Conference 2003" (Фукуи. Япония, 2003), Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики" (Москва, 2004), 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004), III Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы" (Красноярск, 2004), Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод теоретических результатов и их численное исследование Постановка изложенных в диссертации задач и формулировка общего подхода к их решению была сделана научным руководителем соискателя, д.т.н., проф. В.В. Домбровским Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту. В первой главе рассматривается линейно-квадратичное управление системами со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления.

Предполагается, что объект управления описывается уравнениями

т(* + 1)= {Ao[9ik),k] + Y2Aj[e(k),k}vJ{k)]x{k) +

7=1

+ \ВМк),Щ+^,В][в(к),кЫк)\и(к) + 01[в(к),к}яи1(к), (1)

j=i

у(к) = (co{e(k)^}+J2C3{e(k),k}vj(k^j х(к) + D2[d(k),k}w2(k), (2)

где x(fc) - Пдгмерный вектор состояния; у(к) - пу-мерный вектор наблюдений (пу < пх); и(к) - Пц-мерный вектор управления; v(k), Wi(k) и и>2(к) - векторы белых шумов размерностей то, rrii и тог с нулевыми средними и единичными матрицами ковариаций, причем M{wi(fc)t«2 (s)} = О, (.?)} = 0, M{ti(fc)wJ(s)} = 0, для Vfc, s; в (к) - последовательность независимых i-мерных случайных векторов с известными первым и вторым моментами: M{0(fc)} = 9{к), Ш{$(к)вТ(к)} = Ö(fc), причем M{0(/fc)t/T(s)} = О, M^^w^s)} = 0, M{0(fc)u/J(s)} = 0 для Vfc, s; А3[в(к),к], Bj[6(k),k], С][в{к), к] (j = 0, m), Di[e(k), fc], Z)2[0(fc), к] - матрицы соответствующих размерностей зависят от в(к) линейно; Vj(k) - j-я компонента вектора v(k); М -оператор математического ожидания; символ Т означает транспонирование Начальный вектор х(0) предполагается случайным с известными характеристиками М{х(0)} = х° и М{х(0)хт(0)} = > 0. Предполагается также, что M{x(0)vT(fc)} = 0, M{x(0X(fc)} = 0, M{x(0)WT(fc)} = 0, M{x(O)0T(fc)} = 0, к = 0,1,2,....

Определим оптимальный линейный закон управления системой (1)-(2) в виде статической обратной связи по выходу

и(к) ^ К(к)у(к), (3)

где К (к) - матричный коэффициент усиления регулятора.

Задача синтеза статического регулятора состоит в определении последовательности матриц К (к) (к = 0, N — 1), минимизирующей критерий

J = М jlZ [*T(fc)ßi(fcMfc) + KT(fc)ß2(fc)u(fc)] + хт(ЛГ) AjC^X^) j - (4)

где Ех{к) > 0 и Дг(^) > О - заданные симметричные весовые матрицы

Доказана теорема, определяющая вид матриц К{к) и функционала (4) на оптимальных траекториях замкнутой системы (1)-(3)

Структуру динамического регулятора определим соотношениями

и(к) = К(к)х(к), (5)

х(к + 1) = МкЩк) + Щк)и{к) + (?(*) [;у{к) - , (6)

где х(к) - оценка вектора состояния системы (1)-(2), £(0) = М{а:(0)} = К(к), С (к) - матрицы соответствующих размерностей; для любой матрицы Ф [<?(*:), *:], зависящей от в{к), Ф{к) = М {Ф [0(к), к\}.

Необходимо определить параметры регулятора - последовательности матриц К(к), С(к) (к = 0,1,... , N — 1), минимизирующие критерий

{ЛГ-1

[®Т(*)Я1(*М*) +ИТ(*)Й2(А)И(*)] +

ы о

+ хт(ЛГ)Д1(ЛГ)1(ЛГ) + ет(ЛГ)Пе(ЛГ)|, (7)

где е(к) = х(к) — £(к) - ошибка оценки вектора состояния.

Доказана теорема, определяющая вид матриц К(к), С (к) и функционала (7) на оптимальных траекториях замкнутой системы (1)-(2), (5)-(6).

Теоремы первой главы дают необходимые условия оптимальности статического и динамического регуляторов в виде дискретных двухточечных краевых задач, для решения которых приведена итерационная схема Решения задач синтеза статического и динамического регуляторов получены в виде систем взаимосвязанных матричных уравнений. Правые части этих уравнений включают слагаемые, появление которых обусловлено как необходимостью учета флуктуаций параметров относительно их средних значений, так и присутствием мультипликативных шумов.

Во второй главе рассматривается управление с прогнозированием для систем со случайными Параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления.

Пусть объект управления описывается уравнением (1), предполагается, что вектор состояния полностью доступен наблюдению. На каждом шаге к

вычисляется последовательность прогнозирующих управлений, минимизирующих критерий со скользящим горизонтом управления ( р~1

Дк + р/к) = К/К ^ хт{к 1 г) Яг(к, г)х{к + г) + ит(к г)Щк, г)и(к + г) + I г=0

+ xT{k+p)Rl{k,p)x{k+p)/x{k)\, (8)

где М{а/Ь} - оператор условного математического ожидания, к = 0,1,2,... - текущий момент времени, Ri(k, г) > 0 и Ri(k,i) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей Отметим, что последовательность прогнозирующих управлений зависит от состояния системы в текущий момент времени к. В качестве управления в момент к выбирают первую компоненту последовательности, тем самым получая управление как функцию текущего состояния, т. е. управление с обратной связью. Чтобы получигъ управление на следующем шаге, процедура повторяется для текущего момента к t- 1, при этом горизонт управления сдвигается на один шаг.

Синтезируем стратегию прогнозирующего управления с замкнутой обратной связью. Такая стратегия предполагает, что будущие управления на горизонте прогнозирования зависят от будущих состояний и(к + г) = ip[x{k + г)], г — 1,р — 1, т. е. учитывается будущая обратная связь.

Теорема 1. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления с замкнутой обратной связью системой (1), минимизирующая критерий (8) при фиксированном горизонте прогнозирования р, определяется уравнениями

и(к) = К(р/к)х(к), К(р/к) = - [^(р - 1) + R2(k, 0)] ~lLj3(p - 1),

m { m ^

Ln(s) = £ A]{t - s)Q(s)Aj(t - s) + M j £ ÄJ(t - s)Q(s)Ä,(t - s) } ,

]<=o U=0 J

ra im ~J

Lu(s) = - - в) + M { £ - s)Q(s)BJ(t - s) L

j=0 V. J—0 J

m f m ^

L22(S) = £Bj(t - eMsföit - s) + M | £ Bj(t - s)Q(s)Bj(t - s) L

j=0 lj=0 J

Q{s + 1) = Ln(s) - Ll2{s) [L22(s) + R2(k,p - 1 - s)] 1 bj2{s) +

+ Ri(k,p- 1 -s),

с начальным условием Q(0) = Ri(k,p), где t = k+p— 1, для любой матрицы Ф [в(к),к], зависящей от в{к), $(fc) = Ф [в{к),к] - Ф(1с)

Выражение для оптимального значения функционала (8) имеет вид

J°*{k + p/k) = xT(k)[Q(p) -fl,(fc,0)]x(fc) + tr + 1-г)| ,

где tr - означает след матрицы,

W{i) = Щг0[{г) + М {А(г)^(г)} .

Рассмотрим задачу синтеза прогнозирующего управления разомкнутого типа для системы (1). Такая стратегия основана на предположении, что будущие прогнозирующие управления на всем горизонте прогноза зависят только от текущего состояния системы, т. е. не используется будущая обратная связь.

Теорема 2. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления разомкнутого типа системой (1), минимизирующая критерий (8) при фиксированном горизонте управления р без учета ограничений на управление, определяется уравнениями:

и{к) = [1 0 ... 0 }и(к), Щк) = -ВГ\к)СГ{к)х(к),

где I - единичная матрица размерности пи, 0 - квадратная нулевая матрица размерности пи, Н(к), (?(к) - блочные матрицы вида

Н{к)

\Н11(к) Н12(к) H2i(k) ff22(fc)

Н1р(к) Н2р(к)

_Нр1(к) Нр2(к) ... Н„(к) G(k) = [ Gdk) G2{k) ... Gp(k)],

ю

блоки, которых равны

ВГ0(к + г - 1) Ло (k+j)) 1 l2(k + 5-1), г < s,

L^(k +s-l) +R2{k,s-1), i==s,

. * >

G.W ^ | + s) 1112(fc + г - 1),

-1

+ =

5=0

Q(s) = Zu(s) + ßx(fc,a - k), Q(k+p) = üi(fc.p),

m

Lu(e) - [^(s)Q(s + + M {ÄJ(S)0(S + 1 )A,(s)}] ,

j=0 m

¿12^) = £ ++м {^(в)о(л + 1)вд}], ^=0 т

¿22(5) = £ + 1)5,(5) + М + 1)ВД}] •

Оптимальное значение критерия (8) определяется выражением

7ор1{к + р[к) = хТ(к) [§(*) - <?(А)Я-1(Аг)СТ(А;)] х(к) +

+ 1т д(к + г + 1)\¥(к + г)|,

где

Ш(г) = 5(г)5Т(г) + М {¿)(*)5Т(»)} . С учетом ограничений на управление вида

+ г) < Si(k)u(k + i)< Umaxik + г), (г = 0,р - 1),

где St(k) - матрицы соответствующих размерностей, вектор прогнозирующих управлений U(k) на каждом фиксированном шаге к определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

Y(k + p/k) = 2xr{k)G(k)U(k) + UT(k)H{k)U{k),

и

при ограничениях

где

U^ik) < S{k)U(k) < U^k)

S(k) = diag(S0(k), .,Sp^(k)), Umn(k) = [«*„(*),.. , ulm(k + v - 1)]T, = .....«Lx(fc+P-i)]T

В третьей главе рассматриваются задачи управления ИП на финансовом рынке со стохастической волатильностью.

Рассматривается ИП, состоящий из п видов рисковых вложений и безрискового вложения. Динамика портфеля в пространстве состояний описывается уравнениями

где хг(к) (г — 1 ,п) - капитал, помещенный в рисковый актив г-ro вида, г/г(£) - доходность рискового актива г-го вида, жп+1 (к) - капитал, помещенный в безрисковый актив, г(Д-) - доходность безрискового актива, иг(к) - объем перераспределяемого капитала (если щ(к) > 0, то капитал в размере щ(к) переводится из безрискового актива в г-й рисковый, если ut(k) < 0, то капитал в размере | иг(к)\ переводится из г-ro рискового актива в безрисковый) Если какая-либо переменная хг{к) <0 (i — l,n), то это означает участие в операции "продажа без покрытия" (short sale) на сумму \xt(k)\, если хп+\(к) < 0, то это означает заем безрискового капитала в сумме | х„+1(А;)|.

Для описания динамики цен рисковых финансовых активов используются два типа моделей со стохастической волатильностью: модель цен со стохастической волатильностью, описываемой SV-моделью и многомерная модель цен со стохастической волатильностью, линейно зависящей от случайных параметров.

Модель цен со стохастической волатильностью, описываемой SV-моделью, имеет вид:

х,(к +!) = [! + r,t(k)} [хг(к) 4 u,(fc)], (г = 1,п),

(9)

Т1

zn+i(fc+l) = [l + r(fc)l хn+l(k)~Y^uj(b) ,

(Ю)

St(k + 1) = ЗД [1 + + a,(*M*)J,

(И)

где Б,(к) > 0 (г = 1,п) - цена ценной бумаги г-го вида в момент времени к цг(к) ожидаемая доходность - характеризует среднюю норму возврата (коэффициент роста) на интервале к\ ьг{к) последовательность белых гауссовских шумов с единичной дисперсией. М {'чг(к)и](з)} где <5^

символ Кронекера, аг(к) - волатильность. которая является мерой разброса значений цены и описывается базовой БУ-моделью-

где К{к) выполняет роль скрытых факторов (латентной структуры) и имеет авторегрессионную природу

здесь 7о, и 7х, - коэффициенты авторегрессии, | -у1*| < 1, £г(к) - белые гаус-совские шумы с дисперсиями случайные последовательности и, (к) и (к) некорелированны между собой.

Многомерная модель цен со стохастической волатильностью, линейно зависящей от случайных параметров, описывается следующим образом:

где Зг(к) > 0 - цена ценной бумаги г-ого вида (г = 1,п) в момент времени к; цг(к) - ожидаемая доходность на интервале к, стч [$(£), к] - элементы матрицы стохастической волатильности \\ач [д(к), к] || размерности пхп, причем аг][9{к), к) зависит от в (к) линейно, где в (к) - последовательность независимых ¿-мерных случайных векторов с известными первым и вторым моментами: М{0(£)} = 9{к), М {^(Лг)бт(Аг)} = ©(¡Ь), У3{к) - белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией, М {уг(к)у](з)} — 5г]5к3-, причем М{и(к)#т(к)} = 0, где у{к) = [г*(*), ..., ип(А)1т.

Для обеих моделей цен задача управления ИП решается в двух постановках: слежение за эталонным ИП и активное управление

Рассмотрим задачу слежения за эталонным портфелем Необходимо определить стратегию управления ИП путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с

(12)

Н,{к + 1) = 70, + ЪгЫ(к) £г(к),

(13)

П

+!)=£(*) 1+ Л(*г) 4 £а„[0(*), *]«,(*) , (14)

наименьшими отклонениями следовал капиталу У°(к) некоторого определяемого инвестором гипотетического эталонного портфеля, эволюция которого описывается уравнением

Л* + 1) = [1+«,(*)] (15)

где Цй{к) - заданная желаемая доходность портфеля В начальный момент У°(0) = У(0) и распределение капитала по активам известно х(0) = х°. Критерий качества управления (функция риска) имеет вид

глг-1

3 = М \ Л [*(*) И*) ~ ит{к)11(к)и{к)] + I к=0

+ 5(ЛГ)[1А(ЛГ)-7°(ЛГ)]2|, (16) где общий капитал портфеля У(к) = х'(к)> Щ)

> 0 и 5{к) > 0 -

весовые коэффициенты.

Определим стратегию управления в виде линейной обратной связи

и(к) = К^кЩк) + Щк)У°(к), (17)

которая минимизирует функционал (16) при динамических ограничениях (9), (10), (15), где х{к) — [гг^/г) ... гп+1(А;)]Т, К\(к) и К2{к) - матричные коэффициенты усиления регулятора.

Доказаны теоремы, определяющие оптимальные последовательности матриц К\{к) и К2{к) и вид функционала (16), на оптимальных траекториях замкнутой системы (9), (10), (15), (17) для обеих моделей цен рисковых финансовых активов Определены уравнения для математического ожидания и дисперсии управляемого ИП. При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 1. Приведены результаты численного моделирования.

Рассмотрим задачу активного управления. Предположим, что задан некоторый базовый (индексный) портфель, который содержит набор финансовых активов в заданных долях в соответствии со структурой и состоянием рынка в целом. Активное управление заключается в том, чтобы превосходить доходность индексного портфеля путем перераспределения инвестиций.

Динамика капитала индексного портфеля У(к) описывается уравнением

У{к + 1) =

1 +

п

У(к), (18)

где а, > 0 (г - 1, п + 1) - доля капитала индексного портфеля, вложенного в актив г-го вида, Х^Г^/ = 1- В начальный момент У(0) = К(0) заданы и распределение капитала по активам известно х(0) = х° Функция риска в случае активного управления имеет вид.

{ЛГ~1 - 2 1 6{к) \у{к) - (1+ /?) Ь ит{к)П(к)и(к) +

4-г(^)[к(ЛГ)-(1 + /?)^(ЛГ)]г|, (19)

где Щк) > О

и 6(к) > 0 - весовые коэффициенты, параметр (3 > 0 характеризует склонность инвестора к риску.

Определим стратегию управления в виде линейной обратной связи

и{к) = К1(к)х(к) + К2(к)У{к), (28)

которая минимизирует функционал (19) при динамических ограничениях (9), (10), (18), где К\(к) и К2(к) - матричные коэффициенты усиления регулятора.

Доказаны теоремы, определяющие оптимальные последовательности матриц К\(к) и К2(к), минимизирующие критерий (19) на траекториях замкнутой системы (9), (10), (18), (20) для обеих моделей цен рисковых финансовых активов. Определены уравнения для математического ожидания и дисперсии управляемого ИП При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 1 Проведено численное исследование предложенных моделей управления ИП с использованием модельных данных.

Разработана модификация модели активного управления ИП на случай, когда индексный и инвестиционный портфели содержат различные виды акций. Если г-й вид акций не включен в ИП, то в критерий вводится штраф за использование акций г-го вида, то есть Я(к) = diag(iíl(fc), ..., Я„(А:)), где #,(&) = М » 1, в начальный момент 1,(0) = 0. Если г-й вид акций не

включен в индексный портфель, то а, = 0 Проведено численное исследование модифицированного подхода с использованием модельных данных В четвертой главе рассматривается задача управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций, а также различия ставок вклада и займа безрискового актива.

Рассмотрим ИП, состоящий из п рисковых активов и одного безрискового актива Динамика портфеля в пространстве состояний описывается уравнениями.

хг(к + 1) = [1 + V,(*)] [*,(*) + «,+(*) - и;{к)] , (г = м), (21) хп+1(*; + 1) = [1 + п(*)]х

(22)

*п+1(*) + д{к) - + КК(к) + - А:)и;(к) ,

Х=1 «=1

хп+2{к + !)=[!+ г2(*)] [хп+2(к) - д(к)], (23)

где хг{к) (г — 1,п) - капитал, помещенный в рисковый актив г-го вида, т]г(к) доходность рискового финансового актива г го вида, и*(к) > 0 - капитал, переводимый из безрискового вложения в г-ый рисковый актив, и~(к) > О - капитал, переводимый из г-го рискового вложения в безрисковый актив, Хп+1 {к) - капитал, помещенный в безрисковый актив, г\(к) ~ ставка доходности безрискового актива, А+ > 0 - доля капитала и^(к), отчисляемая на оплату трансакционных издержек при покупке рискового актива г-го вида, А~ > 0 - доля капитала и~[к), идущая на оплату трансакционных издержек при продаже рискового актива г-го вида, переменная д(к) > 0 означает заем безрискового капитала в размере д(к), если д{к) < 0, то происходит возврат безрискового долга в размере | #(£)!, переменная хп+2(к) означает, что на сумму равную | хп+2(к)\ сделан заем безрискового актива, г2(к) - ставка займа безрискового актива (гх(Лг) < г2(к)).

При управлении портфелем также учитываются следующие ограничения:

а?т(*0 +Ч+(*0 «Г(*) < хГх{к), {г -- 1^), (24)

П П

о < хп+1(к) + д(к) - + А+)<(*) + - \~)и~(к) < х^(к), (25)

1=1 «=1

< тп+г{к) - д(к) < 0 (26)

Соотношения (24)-(26) ограничивают объемы вложений в финансовые активы, а также гарантируют, что переменная не может быть отрицательной а переменная хп+2 принимает только неположительные значения. Общий капитал портфеля У(к) —

Для описания цен рисковых финансовых активов используется многомерная модель (14) Задача управления ИП решается в двух постановках, слежение за эталонным ИП и активное управление Доказаны теоремы, определяющие оптимальные стратегии прогнозирующего управления ИП при ограничениях. При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 2. Проведено численное исследование предложенных моделей управления ИП с использованием как модельных, так и реальных данных.

В заключении приводятся основные научные результаты полученные в диссертационной работе, которые состоят в следующем'

1 Синтезированы линейные оптимальные по квадратичному критерию статический и динамический регуляторы по ввотзду для-систем со-случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений

2 Предложен метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью замкнутого типа для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

3. Предложен метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью разомкнутого типа для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

4. Синтезированы динамические стратегии управления ИП с обратной связью в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

5 Разработаны динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования

6. Синтезированы стратегии управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

7. Проведено численное исследование моделей управления ИП с использованием модельных и реальных данных в системе МАТЬАВ

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 10. - С. 50-65.

2 Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 4. - С 84-97.

3 Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью // Автоматика и вычислительная техника. - 2003. - № 5. - С. 12-21.

4. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Стратегии прогнозирующего управления инвестиционным портфелем с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2004 - Т. 11, № 2. - С. 331-332.

5 Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Робастное управление линейными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Вестник Томского государственного университета. - 2002 - № 1(1) - С. 154159.

6 Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Прогнозирующее управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Вестник Томского государственного университета - 2004. - № 284 - С- 148-151

7. Dombrovsky V.V., Lashenko Е.А. Dynamic Model of Active Portfolio Management with Stochastic Volatility in Incomplete Market // Proceedings of SICE Annual Conference in Fukui Fukui: Fukui university, 2003. - P. 636641.

8. Dombrovsky V.V., Lashenko E.A. Robust Control of Linear Systems with Random Parameters and Multiplicative Disturbances with Application to the Investment Portfolio Management // Proceedings-ef-StCE Annual Conference in Fukui Fukui: Fukui university, 2003 - P. 1109-1114.

9 Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A. Dynamic Feedback Strategies Of Investment Management Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Proceedings of the International Conference "Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics. Moscow: RSSU, 2004. - P. 105-107.

10. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A. Investment Portfolio Optimisation With Transaction Costs And Constraints Using Model Predictive Control // Proceedings of the 8-th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Tomsk: TPU, 2004. P. 202-205.

11. Домбровский B.B., Ляшенко E.A. Управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск:

»16754

"Твердыня". 2002. - С. 96-98.

12. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Робастное управление инвестиционным портфелем в условиях стохастической волатильности доходно-стей финансовых активов // Труды первой Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - Ч. I. - С. 181-186.

13 Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Активное управление инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической всшатиль-ностью // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" Томск: Твердыня, 2002. - С. 99-101

14. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko Е.А. Dynamic Asset Management With Stochastic Volatility Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Материалы Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск: издательство института математики, 2004. - С. 200.

15. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Робастное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Труды десятого юбилейного симпозиума по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике Томск: ТГУ, 2003 -С 119-124.

РНБ Русский фонд

15130

Тираж 100 экз. заказ jv ¿

Отпечатано в ООО "НИП", г.Томск

i Введение

1 Линейно-квадратичное управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами

1.1 Синтез статического регулятора.

1.2 Синтез динамического регулятора.

1.3 Выводы.

2 Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами

2.1 Методология прогнозирующего управления.

2.2 Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью

2.3 Прогнозирующее управление разомкнутого типа.

2.4 Выводы.

3 Управление инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью 3.1 Модель инвестиционного портфеля со стохастической волатильностью

3.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем

3.3 Активное управление

3.4 Численное моделирование.

3.5 Управление инвестиционным портфелем в условиях стохастической волатильности, линейно зависящей от случайных параметров.

3.5.1 Многомерная модель цен финансовых активов со стохастической волатильностью, линейно зависящей (щ от случайных параметров

3.5.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем

3.5.3 Активное управление

3.5.4 Численное моделирование .'.

3.6 Выводы.

4 Применение метода управления с прогнозированием к оптимизации инвестиционного портфеля: учет трансак-ционных издержек и ограничений на объемы торговых операций

4.1 Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

4.2 Управление инвестиционным портфелем

4.3 Активное управление

4.4 Численное моделирование.

4.5 Моделирование с использованием реальных данных

4.6 Выводы.

Широкий класс реальных систем, параметры которых точно неизвестны и меняются случайным образом, описывается линейными моделями со случайными параметрами. Примерами могут служить сложные производственно-технологические системы, склонные с отказам, энергетические и технические системы (ядерный реактор; летательный аппарат; система наведения на объект, уклоняющийся от встречи), экономические процессы (управление инвестиционным портфелем (ИП)). Проблема синтеза регуляторов для таких систем рассматривалась во многих работах, что обусловлено ее теоретической и практической важностью. Задаче управления линейными системами со случайными параметрами в непрерывном времени посвящены работы [4, 27, 28, 30, 32, 39, 43, 44, 72, 78, 100, 108, 113, 133]. Системы со случайными параметрами в дискретном времени рассматриваются в [22, 26, 27, 32, 37, 38, 63, 66, 71, 79, 128, 134].

Управление по критерию чувствительному к риску для систем со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи рассматривалось в [128].

В [71] авторы с помощью метода динамического программирования получили оптимальное управление с обратной связью по состоянию для полностью наблюдаемой линейной системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с известной матрицей переходных вероятностей. В [79] рассматриваются полностью наблюдаемые линейные системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с неизвестными переходными вероятностями. Для решения задачи построения линейного регулятора для таких систем на бесконечном горизонте предложен итерационный метод, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.

Системам с мультипликативными шумами и случайными параметрами посвящены работы [32, 38, 44, 100, 113], в которых предполагается, что случайные параметры принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи.

В [44] рассматривается алгоритм синтеза систем слежения по интегральному квадратичному критерию для непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Предполагается, что в канале наблюдения отсутствуют случайные параметры и шумы. С использованием принципа динамического программирования получено оптимальное управление в виде обратной связи по вектору измеряемого выхода. Полученный закон управления является линейным относительно выхода системы и зависит от текущего состояния цепи.

В [38] решается задача оптимальной стабилизации линейной дискретной системы с аддитивными и мультипликативными шумами и случайной структурой, меняющейся в соответствии с эволюцией стационарной марковской цепи с известной стохастической'матрицей. Предполагается, что вектор состояния доступен наблюдению. С использованием метода динамического программирования показано, что оптимальное управление с обратной связью по состоянию является линейным, причем матричный коэффициент усиления зависит от текущего состояния марковской цепи.

В [113] исследуется задача линейно-квадратичного управления на бесконечном горизонте для линейной стохастической системы со случайной структурой и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Параметры системы принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи с известными постоянными переходными вероятностями. В работе рассматривается случай полной информации о векторе состояния системы. Оптимальное управление получается путем усреднения оптимальных управлений при всевозможных состояниях марковской цепи на текущем шаге. Для получения оптимального управления авторы используют подход, основанный на линейных матричных неравенствах.

В [32] рассматриваются системы с мультипликативными шумами и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний, как в дискретном, так и в непрерывном времени. Решены задача линейно-квадратичного управления в случае, когда вектор состояния системы доступен наблюдению, и задача построения динамического регулятора в случае, когда канал наблюдений также имеет случайную структуру, меняющуюся в соответствии с эволюцией марковской цепи.

Необходимо отметить, что в работах [32, 38, 44] оптимальное управление зависит от текущего состояния марковской цепи, которое на практике часто недоступно наблюдению, следовательно необходимы дополнительные алгоритмы для оценивания состояния марковской цепи.

В работах [1, 29, 34 - 36, 45, 64, 65, 80, 118, 123, 124, 137, 138] рассматривается управление системами с мультипликативными шумами и неслучайными известными параметрами. Для получения оптимального управления используются метод динамического программирования, матричный принцип минимума, метод множителей Лагранжа, теоретико-игровой подход.

В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления без учета явных ограничений на переменные управления и состояния системы. Однако на практике к системам часто предъявляются требования связанные как с непосредственными издержками, такими как энергетические затраты, так и с экологическими нормами и требованиями безопасности. Такие требования обычно носят форму ограничений, предъявляемых к системе. Различают два вида ограничений: на переменные управления (максимальная скорость потока в гидравлических системах определяется диаметром трубы, клапаны имеют ограниченный диапазон регулировки, затраты энергии ограничены мощностью установки) и на выход системы (требования к качеству производимой продукции, экологические нормы, требования безопасности). Известно, что применение традиционных подходов к синтезу управления с обратной связью при ограничениях, например, с использованием метода динамического программирования, приводит к проблеме, названной Беллманом "проклятие размерности" [3], которая в конечном итоге не позволяет решить поставленную задачу численно. В связи с этим были разработаны различные подходы к учету ограничений в динамических моделях, такие как добавление в критерий качества штрафов за невыполнение ограничений [54], схема "anti-windup" [62, 96], учитывающая эффект насыщения системы.

Одним из эффективных подходов к синтезу систем управления при ограничениях, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием)^, 50, 57 - 61, 81, 103, 106, 109, 116, 125, 126, 129]. Преимуществом этого метода является возможность достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью. При учете ограничений синтез стратегий управления с прогнозированием обычно сводится (в зависимости от выбора критерия) к решению задач линейного [42, 57] или квадратичного [129] программирования, для решения которых существуют эффективные методы [8].

Проблеме управления динамическими системами с использованием метода управления с прогнозированием посвящены многие работы, обзор которых приведен в [125]. В большинстве работ рассматриваются детерминированные системы [57- 59, 61, 106, 126, 129]. В [126,129] синтезируется управление стационарными полностью наблюдаемыми системами. В [129] линейные ограничения накладываются только на переменные управления. В [126] наложены ограничения общего вида как на переменные управления, так и на состояние системы. В [57 - 59, 61] рассматривается задача управления стационарными неполностью наблюдаемыми системами при ограничениях на управляющие воздействия и выход системы. В [106] - управление нестационарными неполностью наблюдаемыми системами при линейных ограничениях на переменные управления и выход системы. В работах [59, 61, 106, 126, 129] синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования, а в работах [57, 58] - линейного программирования.

Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.

Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.

Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7,10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66 - 70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110].

В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].

В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс

• акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптимальному управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционные издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обф зор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы ft классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете трансакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным- алгоритмам управления в непрерывном времени.

В рамках проблемы оптимального управления ИП возникает вопрос о выборе адекватной модели динамики цен рисковых активов. В большинстве работ по управлению ИП в качестве модели эволюции цен рисковых активов принята классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [119] с детерминированной вола-тильностью (изменчивостью) [5, 56, 67, 75, 76, 88, 91, 114, 115, 119, 127, 132] или ее дискретизованный вариант [5, 10, 76]. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся (случайной) волатильностью [47, 48, 73, 82, 93, 99, 107, 130, 131, 136]. Такие модели можно разбить на два класса [130]. Первый - это модели, управляемые данными - в этом случае волатильность зависит от прошлых значений временного ряда. К такому классу относятся авторегрессионные модели типа ARCH и ее обобщения, такие как GARCH, t-GARCH, log-GARCH, EGARCH, IGARCH, FIARGH и др. [48, 107, 130]. Второй класс составляют модели, управляемые параметрами, в которых волатильность зависит от некоторых ненаблюдаемых компонент (латентной структуры). Представителями этого класса являются так называемые SV-модели (модели стохастической волатильности, stochastic volatility models), которые достаточно хорошо отражают эффекты "самовозбуждения" волатильности (volatility clustering), наблюдаемые на реальных финансовых рынках [48,107,130,131]. Заметим, что исследование модели ИП в условиях стохастической волатильности цен рисковых финансовых активов приводит к необходимости рассмотрения систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения оптимального управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение результатов для управления ИП. Это, в свою очередь, обуславливает актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является:

1) синтез регуляторов для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений;

2) синтез стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при явных ограничениях на управляющие переменные;

3) синтез стратегий управления ИП в условиях стохастической вола-тильности доходностей рисковых финансовых активов;

4) синтез стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (метод динамического программирования, матричный принцип максимума), методология управления с прогнозированием, численные методы (метод квадратичного программирования) и методы имитационного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие.

1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

2) Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

3) Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

4) Динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

5) Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. В вырожденном случае (когда параметры системы не случайны) получаются известные формулы для систем с аддитивными и мультипликативными шумами.

Теоретическая и практическая ценность

Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы, ИП в условиях стохастической волатильности.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (акт о внедрении прилагается).

Структура и объем работы

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц.

4.6 Выводы

В данной главе предложена многомерная модель ИП в пространстве состояний, учитывающая трансакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций. Цены рисковых финансовых активов подчиняются стохастическим разностным уравнениям со случайной волатильностью.

Получены уравнения синтеза прогнозирующих стратегий управления с обратной связью при явных ограничениях на управляющие переменные для двух задач управления ИП, целями которых являются:

- слежение за эталонным (гипотетическим) портфелем с желаемой доходностью, задаваемой инвестором,

- превышение капитала индексного портфеля, отражающего состояние рынка (активное управление).

Приведены результаты численного моделирования и моделирования с использованием реальных данных.

Заключение

В данной диссертационной работе рассматривается управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение полученных результатов к оптимизации ИП. Получены следующие основные результаты.

1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

2) Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

3) Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

4) Динамические модели управления ИП" в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

5) Уравнения синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

1. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. - М.: Наука, 1971.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

4. Вонэм В.М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика: Сборник переводов. 1973. - Т. 17, № 5. - С. 82-114.

5. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска // Автоматика и телемеханика. 2002. '- № 2. - С. 119-128.

6. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 7. - С. 77-86.

7. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985.

8. Домбровский В.В. Синтез оптимальных динамических регуляторов пониженного порядка для нестационарных линейных дискретных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1996. - № 4. - С. 79-86.

9. Домбровский В.В., Гальперин В.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем при квадратической функции риска // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Январь. - № 269. - С. 73-75.

10. Домбровский В. В., Герасимов Е. С. Динамическая сетевая модель управления порфелем ценных бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Январь. - № 269. - С. 70-73.

11. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А.

12. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. -2005. № 4. - С. 84-97.

13. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Прогнозирующее управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Вестник Томского государственного университета. 2004. - № 284 - С. 148-151.

14. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2003. -№ 10. - С. 50-65.

15. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью // Автоматика и вычислительная техника. 2003. - № 5. - С. 12-21.

16. Домбровский В.В., Смагин В.И. Робастные локально-оптимальные следящие системы управления // Известия Вузов. Физика. 1995. - № 9. - С. 96-99.

17. Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Модель управления инвестиционным портфелем в пространстве состояний на нестационарном диффузионно-скачкообразном финансовом рынке // Автоматика и вычислительная техника. 2002. - № 6. - С. 13-24.

18. Домбровский В.В.,Чикунова Е.В. Синтез динамических регуляторов пониженного порядка для систем со случайными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. -№ 2. - С. 97-101.

19. Казаков И.Е. Стохастические системы со случайной сменой структуры. // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. -1989. - № 1. - С. 58-78.

20. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980.

21. Красовский Н.Н. О стабилизации систем, в которых помеха зависит от величины управляющего воздействия // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. 1965. - № 2. - С. 102-109.

22. Красовский Н.Н.,: Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1961. - № 9. - С. 1145-1150.

23. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1995. - Т. 31, N2 1. -С. 138-150.

24. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления, (обзор). Ч.Н. // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. 1990.- № 2. С. 97-119.

25. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

26. Пакшин П.В. Оптимальное управление дискретными объектами с шумами, зависящими от состояния и управления // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 3. - С. 43-54.

27. Пакшин П.В. Оценивание состояния и синтез управления для дискретных линейных систем с аддитивными и мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 4. - С. 75-85.

28. Пакшин П.В. Достаточные условия эргодичности и оптимальное стационарное управление для дискретных стохастических систем // Проблемы управления и теории информации. 1978. - Т. 7, № 4.- С. 277-294.

29. Пакшин П.В. Оптимальное линейное управление дискретными объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. 1982. - Т. 11, № 3. - С. 179-193.

30. Пакшин П.В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1983. - N2 6. - С. 75-85.

31. Параев Ю.И. Введение статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М: Сов. радио, 1976.

32. Первозванский А.А. Оптимальный "портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. 1999. - Т. 35, № 3. - С. 63-68.

33. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.

34. Пропой А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1963. - № 7. - С. 912-920.

35. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: ТГУ, 1996.

36. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Июнь. - N2 271. -С. 171-175.

37. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

38. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.

39. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1996. - Т. 3. - С. 764-826.

40. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. - Т. 2, № 4. - С. 527-555.

41. Alamo Т., Репа D.M., Camacho E.F. Min max МРС based on a graph problem // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 917-922.

42. Alamo Т., Репа D.M., Limon D., Camacho E.F.

43. Constrained min-max predictive control: a polynomial-time approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control.• 2003. P. 912-916.

44. Albeverio S., Lao L.J., Zhao X.L. On-line portfolio selection strategy with prediction in the presence ■ of transaction costs // Mathematical Methods of Operations Research. 2001. - № 54. - P. 133-161.

45. Albeverio S., Steblovskaya V. A Model of Financial Market with Several Interacting Assets. Complete Market Case // Finance and Stochastics. 2002. - № 6. - P. 383-396.

46. Athans M. The Matrix Minimum Principle // Inform. Control.1968. Vol. 11. - P. 592-606.

47. Batina I., Stoorvogel A. A., Weiland S. Optimal control of linear, stochastic systems with state and input constraints // Proceedings of the 41th IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas, Nevada, USA, 2002. P. 1564-1569.

48. Bauerle N., Rieder U. Portfolio Optimization With Markov-Modulated Stock Prices and Interest Rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - V. 49, № 3. - P. 442-447.• 56. Baviera R. Transaction Costs: A New Point Of View // International

49. Journal of Theoretical and Applied Finance. 2001. - Vol. 4, № 2. -P. 335-354.

50. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. Model Predictive Control Based on Linear Programming The Explicit Solution // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, № 12. - P. 19741985.

51. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. The Explicit Solution of Constrained LP-Based Receding Horizon Control // Proceedings of the39.th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 632637.

52. Bemporad A., Filippi C. Suboptimal Explicit MPC via Approximate Multiparametric Quadratic Programming // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4851-4856.

53. Bemporad A., Morari M., Dua V., Pistikopoulos E.N.

54. The explicit linear quadratic regulator for constrained systems // Automatica. 2002. - № 38. - P. 3-20.

55. Bendotti P., Praly L., Rouchon P., Falinower C.-M.

56. Constrained Control for a Pressurized Water Reactor // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 47084713.

57. Benjelloun K., Boukas E.K., Shi E.K. Robust Stochastic Stability Of Discrete-Time Linear Systems With Markovian Jumping Parameters // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. P. 559-564.

58. Bernstein D. S. Robust Static And Dynamic Output Feedback Stabilization: Deterministic And Stochastic Perspectives // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. - Vol. 32, № 12. - P. 10761084.

59. Bernstein D.S., Haddad W.M. Optimal projection equations for discrete-time fixed-order dynamic compensation of linear systems with multiplicative white noise // International Journal of Control 1987. - Vol. 46, № 1. - P.65-73.

60. Bielecki Т., Hernandez-Hernandez D., Pliska S.R. Risk sensitive control of finite state Markov chains in discrete time, with applications to portfolio management // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 167-188.

61. Bielecki Т., Jin H., Pliska S.R., Zhou X.Y Continuous-Time Mean-Variance Portfolio Choice with No Bankruptcy Constraint // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 5945-5950.

62. Bielecki Т., Pliska S.R. Risk sensitive asset management with transaction costs // Finance and Stochastics. 2000. - № 4. - P. 1-33.

63. Bielecki Т., Pliska S.R. Risk-Sensitive Dynamic Asset Managment // Applied Mathematics and Optimization. 1999. - Vol. 39. - P. 337360.

64. Billio M., Pellizon L. Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach // Journal of Empirical Finance. 2000. - № 7. - P. 531-554.

65. Blair W.P.Jr., Sworder D.D. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters and Quadratic cost criteria // International Journal of Control 1975. - Vol. 21, № 5. - P. 833-841.

66. Boukas E.K., Yang H. Robust LQ Regulator for Jump Linear Systems with Uncertain Parameters // Dynamics and Control. 1999. - №. 9. - P. 125-134.

67. Brandt M.W., Sant-Clara P. Simulated likelihood estimation of diffusions with an application to exchange rate dynamics in incomplete markets // Journal of Financial Economics. 2002. - №. 63. - P. 161210.

68. Browne S. Risk-Constrained Dynamic Active Portfolio Management // Management Science. 2000. - Vol. 46, № 9. - P. 1188-1199.

69. Cadenillas A. Consumption-investment problems with transaction costs: Survey and open problems // Mathematical Methods of Operational Research. 2000. - № 51. - P. 43-68.

70. Cadenillas A., Pliska S.R. Optimal Stopping Theory For An Investment Problem With Taxes And Transaction Costs // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 2680-2685.

71. Cajueiro D.O., Yoneyama T. Optimum Portfolio Choice for a Class of Jump Stochastic Models // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. -P. 1665-1670.

72. Chen S., Yong J. Stochastic Linear Quadratic Optimal Control Problems // Applied Mathematics and Optimization. 2001. - Vol. 43.- P. 21-45.

73. Costa O.L.V., Aya J.C.C. Monte Carlo TD(A)-methods for the optimal control of discrete-time Markovian jump linear systems // Automatica. 2002. - Vol. 38. - P. 217-225.

74. Costa O.L.V., Kubrusly C.S. State Feedback ^-Control for Discrete-Time Infinite-Dimensional Stochastic Bilinear Systems // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control. 1996.- Vol. 6, № 2. P. 1-32.

75. Cuzzola A.F., Geromel J.C., Morari M. An improved approach for constrained robust model predictive control // Automatica. 2002.- Vol. 38. P. 1183-1189.

76. Cvitanic J., Liptser R., Rozovskii B. Tracking volatility // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 1189-1193.

77. Cvitanic J., Wang H. On optimal terminal wealth under transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - № 35. - P. 223231.

78. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.1.vestment Portfolio Optimisation With Transaction Costs And

79. Constraints Using Model Predictive Control // Proceedings of the 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Tomsk: TPU, 2004. P. 202-205.

80. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.

81. Dynamic Feedback Strategies Of Investment Management Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Proceedings of the International Conference "Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics. Moscow: RSSU, 2004. P. 105-107.

82. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.

83. Dynamic Asset Management With Stochastic Volatility Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Материалы Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск: издательство института математики, 2004. С. 200.

84. Dombrovsky V.V., Fedosov E.N. Active portfolio selection under non-stationary jump-diffusion financial market // Actuarial and Financial Mathematics: Proceedings of the Second International Conference. Minsk, 2002. P. 104-109.

85. Dombrovsky V.V., Gerasimov E.S.- Dynamic network model of control investment portfolio in continuous time // Proceedings of the 5th Russian-Korean Symposium on Science and Technology. Tomsk, 2001. P. 304-308.

86. Dombrovsky V.V., Lashenko E.A. Dynamic Model of Active Portfolio Management with Stochastic Volatility in Incomplete Market // Proceedings of SICE Annual Conference in Fukui. Fukui: Fukui university, 2003. P. 636-641.

87. Dumas В., Luciano E. An Exact Solution to a Dynamic Portfolio Choice Problem under Transactions Costs // The Journal of Finance.- 1991,- Vol. 46, № 2. P. 577-595.

88. Dupakova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 245-270.

89. Elliott R.J., Malcolm W.P., Tsoi A.H. Robust parameter estimation for asset price models with Markov modulated volatilities // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. - Vol. 27, № 8.- P. 1391-1409.

90. Framstad N.Ch., Oksendal В., Sulem A.- Optimal consumption and portfolio in a jump diffusion market with proportional transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - №. 35. - P. 233257.

91. Golub В., Holmer M., McKendall R., Pohlman 1., Zenios S.A.

92. A Stochastic programming model for money managment // European Journal of Operational Research. 1995. - Vol. 85. - P. 282-296.

93. Grimm G., Hatfield J., Postlethwaite I., Teel A.R., Turner M.C., Zaccarian L. Experimental results in optimal linear anti-windup compensation // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 2657-2662.

94. Guasoni P. Risk minimization under transaction costs // Finance and Stochastics. 2002. - № 6. - P. 91-113.

95. Helmbold D.P., Schapire R.E., Singer Y., Warmuth M.K. OnLine Portfolio Selection Using Multiplicative Updates // Mathematical Finance. 1998. - № 8. - P. 325-347.

96. Herzel S. A Simple model for option pricing with jumping stochastic volatility // International Journal of Theoretical and Applied Finance.- 1998. Vol. 1, № 4. - P. 487-505.

97. Hopkins W.E. Optimal Stabilization of Families of Linear Differential Equations with Jump Coefficients and Multiplicative Noise // SIAM Journal of Control and Optimiz. 1987. - Vol. 25, № 6. - P. 1587-1600.

98. Jobst N.J., Horniman M.D., Lucas C.A., Mitra G.

99. Computational aspects of alternative portfolio selection models in the presence of discrete asset choice constraints // Quantitative Finance. 2001. - Vol. 1. - P. 1-13.

100. Jones C.K. Digital Portfolio Theory // Computational Economics. -2001. № 18. - P. 287-316.

101. Kanev S., Verhaegen M. Robust Output-Feedback Integral MPC: A Probabilistic Approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 1914-1919.

102. Kabanov Yu., Kliippelberg C. A geometric approach to portfolio optimization in models with transaction costs // Finance and Stochastics. Springer-Verlag. 2004. - № 8. - P. 207-227.

103. Kellerer H., Mansisni R., Speranza M.G. Selecting Portfolios with Fixed Costs and Minimum Transaction Lots // Annals of Operations Research. 2000. - Vol. 99. - P. 287-304.

104. Kim K.B. Implementation of Tracking Controls for Constrained Discrete Time-Varying Systems via Receding Horizon Strategy // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4883-4884.

105. Kim S., Shephard N., Chib S. Stochastic Volatility: Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models // Review of Economic Studies. 1998. - Vol. 65. - P. 361-393.

106. De Koning W.L. Infinite Horizon Optimal Control of Linear Discrete-Time Systems with Stochastic Parameters // Automatica. 1982. -Vol. 18, № 4. - P. 503-514.

107. Kouvaritakis В., Rossiter J.A., Schuurmans J. Efficient robust predictive control // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 4283-4287.

108. Kushner H.J. Consistency Issues for Numerical Methods for Variance Control with Applications to Optimization in Finance // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. - Vol. 44, № 12. - P. 22832296.

109. Levine W.S., Johnson T.L., Athans M. Optimal Limited State Variable Feedback Controllers for Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. - Vol. AC-16, № 6. -P. 785-793.

110. Li D., Ng W.-L. Optimal Dynamic Portfolio Selection: Multi-Period Mean-Variance Formulation // Mathematical Finance. 2000. - №10. - P. 387-406.

111. Li X., Zhou X., Rami M. Indefinite Stochastic LQ Control with Jumps // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 1693-1698.

112. Lim A.E.B., Zhou X.Y. Mean-variance portfolio selection via LQ optimal control // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4553-4558.

113. Liu H. Optimal Consumption and Investment with Transaction Costs and Multiple Risky Assets // Journal of Finance. 2004. - Vol. LIX, № 1. - P. 284-338.

114. Lu Y., Arkun Y. A Scheduling Quasi-MinMax MPC for LPV Systems // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 2272-2276.

115. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. -Vol. 7, № 1. - P. 77-91.

116. McLane P.J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State- and Control-Dependent Disturbances //■ IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. AC-16. - № 6. - P. 793-798.

117. Merton R.C. Continuous-time finance. Cambridge MA: Blackwell, 1990.

118. Nagai H. Risk-sensitive portfolio optimization with partial information // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000. P. 1206-1211.

119. Oksendal В., Sulem A. Optimal consumption and portfolio with both fixed and proportional transaction costs // SIAM Journal on Control and Optimization. 2002. - V. 40, № 6. - P. 1765-1790.

120. Pham H. Smooth Solutions to Optimal Investment Models with Stochastic Volatilities and Portfolio Constraints // Applied Mathematics and Optimization. 2002. - № 46. - P. 55-78.

121. Phillis Y.A. Estimation and Control of Systems with Unknown Covariance and Multiplicative Noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, № 10 - P. 1075-1078.

122. Rami M.A., Chen X., Zhou X.Y. Discrete-time Indefinite LQ Control with State and Control Dependent Noises // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 1249-1250.

123. Rawlings J. Tutorial: Model Predictive Control Technology // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 662-676.

124. Rojas O.J., Seron M.M., Goodwin G.C. SVD based receding horizon control for constrained linear systems: stability results // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 3695-3700.

125. Runggaldier W.J. On Stochastic Control in Finance // Mathematical Systems Theory in Biology, Communication,

126. Computation and Finance (D. Gilliam and J. Rosental, eds.) IMA Book Series (MINS-2002). Springer Verlag. 2002. - P. 1-28.

127. Runolfsson T. Risk-sensitive and Robust Control of Discrete Time Hybrid Systems // Proceedings of the 39th IEEE Conference Decision and Control. Sydney, 2000. P. 1055-1060.

128. Seron M.M., De Dona J.A., Goodwin G.C. Global Analitical Model Predictive Control with Input Constraints // Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000. -P. 154-159.

129. Shephard N. Statistical Aspects of ARCH and Stochastic Volatility. Time Series Models in Econometrics, Finance and Other Fields. -London: Chapman and Hall, 1996.

130. Simandl M., Kralovec J. Cramer-Rao Bound for Stochastic Volatility Model // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. P. 996-1002.

131. Stettner L. Risk sensitive portfolio optimization // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 463-474.

132. Sworder D.D. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. 1969. - Vol. AC-14, № 1. - P. 9-14.

133. Takaba K. Robust Preview Tracking Control for Polytopic Uncertain Systems // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 1765-1770.

134. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. 1958. - Vol. 25, № 2. - P. 65-86.

135. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series. JOHN WILEY & SONS, INC, 2002.

136. Yaz E.E. Robust Design of Stochastic Controllers for Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, № 3. - P. 349-353.

137. Yaz E.E., Yaz Y.I. Optimal Control of Discrete-Time Nonlinear Stochastic Systems with General Criteria // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 28732874.

138. Yin G., Zhou X. Y. Markowitz's Mean-Variance Potfolio Selection With Regime Switching: From Discrete-time Models to Their Continuous-Time Limits // IEEE Transactions on Automatic Control.- 2004. V. 49, № 3. - P. 349-360.

139. Young M.R. A Minimax Portfolio Selection Rule with Linear Programming Solution // Management Science. 1998. - Vol. 44, № 5.- P. 673-683.

140. Zenios S.A. High-performance computing in finance: the last 10 years and the next. // Paraller Computing. 1999. - Vol. 25. - P. 2149-2175.