автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами

Введение.

Глава 1. Оптимальные следящие системы управления и оптимальная фильтрация для объектов со случайными скачкообразными параметрами.

1.1. Введение.

1.2. Следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управления.

1.3. Фильтрация для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями.

1.4. Результаты численных расчетов.

2.2. Постановка оптимизационной задачи.38

2.3. Фильтрация нестационарного процесса.40

2.4. Фильтрация стационарного процесса.44

2.5. Численный синтез фильтров.46

2.6. Основные выводы по главе 2.53

Глава 3. Робастные следящие системы для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами.54

3.1. Введение.54

3.2. Робастные следящие системы по наблюдаемому выходу для объектов с мультипликативными возмущениями.54

3.2.1. Модель управляемого объекта.55

3.2.2. Синтез робастных следящих систем для нестационарных объектов.55

3.2.3. Синтез робастных следящих систем для стационарных объектов.63

3.3. Робастные следящие системы с фильтром в контуре управления.66

3.4. Численный синтез робастных следящих систем.80

3.5. Основные выводы по главе 3.90

Глава 4. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами.91

4.1. Введение.91

4.2. Локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами.91

4.3. Локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами при неизвестных возмущениях.94

4.4. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами и аддитивными возмущениями.103

4.5. Робастные локально-оптимальные следящие системы со случайными скачкообразными параметрами при неизвестных возмущениях.106

4.6. Моделирование системы управления запасами .113

4.7. Основные выводы по главе 4.117

Заключение.118

Список цитируемой литературы.119

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Данная диссертационная работа посвящена проблеме синтеза робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами. Рассматриваются методы синтеза следящих систем по вектору наблюдаемого выхода, а также методы синтеза следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр.

Задачи управления для стохастических линейных систем со скачкообразными параметрами впервые были рассмотрены в 1961 году в работе Н.Н. Красовского, Е.А Лидского "Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами" [12].

В настоящее время для многих оптимизационных задач применительно к динамическим системам используют две различные постановки задач синтеза. Согласно одной из них оптимальное управление ищется как функция времени и начального состояния системы, то есть в виде оптимального программного управления. Другая постановка задач синтеза предполагает нахождение оптимального управления в виде некоторой функции от текущего состояния управляемой системы и времени, то есть в виде управления с обратной связью. Решение задачи синтеза управления в первой ее постановке использует принцип максимума Понтрягина, а решение этой же задачи при использовании второй постановки сводится к необходимости решения функциональных уравнений Беллмана или синтеза систем управления заданной структуры.

Существенный вклад в решение проблем оптимального управления объектами со случайными скачкообразными параметрами внесли такие авторы, как

D.D. Sworder [85-86], W.M. Wonham [90], М. Mariton [66, 67], В. Bertrand [70, 71], Р.Е. Caines, H.F. Chen [48], Y.J. Chizeck, H.J. Chizeck [49-51], R. Rishel, L. Harris [76], W.E. Hopkins [61], O.L.V. Costa, M.D. Fragoso [52], P. Shi [82, 83],

E.K. Boukas [46, 80, 81], П.В. Пакшин [26-31, 74, 75], Ю.И. Параев [32-33]. В общем случае проблема оптимального управления сводится к нахождению решения системы нестандартного типа уравнений Риккати или соответствующих матричных неравенств.

Системы со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами могут использоваться в качестве моделей реальных объектов. Примеры синтеза систем управления для объектов, модели которых описываются системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами, приведены в [4, 53, 67, 78, 86, 87] и в ряде других работ, в которых рассматриваются приложения к производственным объектам, техническим системам (управление летательными аппаратами), энергетическим системам, экономическим системам (управление запасами, управление портфелем ценных бумаг) и др.

Важной проблемой является проблема синтеза регуляторов, обеспечивающих замкнутой системе стохастическую устойчивость. Эта проблема исследовалась в работах J.C. Doyle, К. Glover, P.P. Khargonekar, В.А. Francis [55, 91], Boukas E.K., Shi P., Ngnang S.K., Agarwal R.K. [56], Mahmoud M., Jiang J., Zhang Y. [65].

Законы управления системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами зависят от значений скачкообразных параметров, от вероятностных характеристик марковской цепи и от измеряемого выхода. В реальных системах значения скачкообразной составляющей, входящей в описание объекта, точно определить сложно. Бывают ситуации, когда значения скачкообразного параметра определяются блоком диагностики ошибочно, что может привести к потере устойчивости замкнутой системы, а это в свою очередь к отказам техники вплоть до катастрофических последствий. Определенным выходом из положения может быть применение робастного подхода к синтезу следящих систем управления объектами со скачкообразно изменяющимися параметрами.

Методы робастного управления изучались во многих работах. В работе [80] осуществлен синтез управления объектом с неопределенностью в задании параметров модели, где область изменения неопределенных параметров задается неравенствами, в которые входят нормы от матриц, определяющих неопределенности. В работе [31] рассматривались алгоритмы, позволяющие осуществить синтез управления в условиях неопределенности в задании вероятностных характеристик скачкообразно изменяющегося параметра. В [59] допустимая область изменения вероятностей ограничивается полиэдрами, а в работе [6] -аналитическими выражениями, зависящими от интервальных параметров. В этих работах [59, 6] используется частичная информация об интенсивностях переходов скачкообразной составляющей. Задача робастной стабилизации с коэффициентами передачи, независящими от состояния случайной скачкообразной составляющей, рассматривалась в [38].

Задача фильтрации является одной из важнейших в современной теории оптимальных стохастических систем. Эта задача используется для синтеза систем управления и следящих систем в случае косвенных измерений вектора состояния. Основы теории оптимальной фильтрации были сформулированы А.Н. Колмогоровым [11], Н. Винером [88]. Существенный вклад в решение задач синтеза алгоритмов фильтрации был сделан R.E. Kalman, R. Busy [63, 64], а также Э.А. Клекисом [10], B.C. Пугачевым и И.Н. Синициным [35], Л.Б. Ряшко [36], G.A. Hewer [60], P.J. McLane [72], N.C. Mohanty, T.T. Soong [73] и др.

Задачи робастной фильтрации для объектов с неопределенностями в задании матрицы динамики рассматривалась в работе [82], а задачи робастной фильтрации для объектов с полной и неполной неопределенностью в задании интенсивностей переходов в [47].

В силу того, что задачи фильтрации являются двойственными к задачам управления, то при синтезе систем робастной фильтрации для объектов со случайными изменениями параметров, в частности с Марковской цепью, появляются проблемы, аналогичные проблемам, возникающим при синтезе систем управления.

Таким образом, класс задач синтеза робастных регуляторов и фильтров в системах со случайными скачкообразными изменениями параметров является очень широким. Эти задачи отличаются одна от другой предположениями о модели наблюдаемого процесса, о принципах робастности и подходами к ее решению.

Анализ литературы показал, что для объектов со случайными скачкообразными параметрами достаточно подробно изучена задача стабилизации, а также рассмотрены некоторые подходы синтеза робастных систем управления. И достаточно слабо изучены алгоритмы синтеза следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами. Эти задачи были исследованы для случая полной информации о векторе состояния или для структур управления частного вида [32, 34, 38, 40]. Задача синтеза робастных следящих систем не рассматривалась. В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи синтеза робастных следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами, сохраняющих свою работоспособность при ошибках в диагностике скачкообразной составляющей в модели объекта.

Цель работы заключается в разработке алгоритмов синтеза робастных и оптимальных следящих систем управления по выходу и робастных следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр, для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории матриц, теории вероятности, теории случайных процессов, теории функций Ляпунова, численные методы и методы имитационного моделирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами в условиях возможных ошибок диагностики состояния скачкообразной составляющей в модели объекта.

2. Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и мультипликативными возмущениями.

3. Предложены новые алгоритмы синтеза робастных следящих систем с фильтром в контуре управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами.

4. На основе оптимизации локального критерия разработаны новые алгоритмы синтеза робастных следящих систем для объектов со скачкообразными параметрами.

Практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в различных предметных областях, в которых модели управляемых объектов имеют случайную структуру. Это, например, такие системы как производственные, энергетические, технические, экономические.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем, д.т.н., проф. Смагиным В.И. Результаты, полученные в диссертации, выводились и доказывались лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц, содержит 10 рисунков и 11 таблиц, список литературы насчитывает 91 наименование.

Основные результаты диссертационной работы:

1. На основе оптимизации интегрального критерия для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами при наличии мультипликативных возмущений предложены новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем.

2. Разработаны новые алгоритмы синтеза робастных фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами при наличии мультипликативных возмущений.

3. Разработаны методы синтеза робастных фильтров при вырожденной или плохо обусловленной матрице интенсивностей шумов измерителя.

4. Для объектов со случайными скачкообразными параметрами предложены алгоритмы синтеза робастных следящих систем с фильтром в контуре управления.

5. На основе оптимизации локального критерия для линейных объектов с неизвестными возмущениями и скачкообразными параметрами разработаны алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем.

6. Выполнены моделирование и синтез разработанных робастных и оптимальных алгоритмов управления и фильтрации, которые показали, что применение робастных алгоритмов позволяет избежать нарушения устойчивости замкнутой системы при ошибках в определении скачкообразной составляющей.

Заключение

1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

2. Борисов А.В. Оптимальная фильтрация в системах с вырожденными шумами в наблюдениях // Автоматика и телемеханика. 1998. -№11.- С. 32-45.

3. Васильев В.А., Добровидов А.В., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М.: Наука, 2004. 508 с.

4. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика. 2003. — № 7. - С.77-87.

5. Демин Н.С. Оптимальное распознавание скачкообразных компонент марковских сигналов // Проблемы передачи информации. 1977. - Т. XIII, Вып. 2. - С. 45-54.

6. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. М.: Наука, 1977.-416 с.

7. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980.-381 с.

8. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. М.: Физматлит: Наука, 1993. 270 с.

9. Клекис Э.А. Оптимальная фильтрация в дискретных системах со случайной структурой // Автоматика и телемеханика. — 1987. — № 11. С. 61-70.

10. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР, Серия математическая. -1941. Т. 5,№ 1.-С. 3-14.

11. Красовский Н.Н., ЛидскийЭ.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. -1961. -№ 11.-С. 1273-1278.

12. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

13. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974. — 696 с.

14. Ломакина С.С. Локально-оптимальное управление запасами при неизвестном спросе // Актуальные проблемы экономики в творчестве студентов.- СПб.: СПбГИЭУ. 2003. - С. 41-44.

15. Ломакина С.С. Робастные следящие системы для объектов со случайными параметрами // Наука. Технологии. Инновации. Материалы докладов Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2003. Ч. 1.- С. 46-47.

16. Ломакина С.С., Смагин В.И. Дискретное локально-оптимальное управление запасами при неизвестном спросе // Материалы V краевой конференции по математике "МАК-2002". Барнаул. 2002. - С. 59-60.

17. Ломакина С.С., Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со скачкообразными изменениями в случайные моменты времени // Автометрия . 2005. - № 2. - С. 36-43.

18. Ломакина С.С., Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами // Вестник Томского государственного университета. — 2003. — № 280. С.201-203.

19. Ломакина С.С., Смагин В.И. Робастные следящие системы с фильтром для объектов со случайными скачкообразными параметрами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 2, Вып. 11.— С.363-364.

20. Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость дисретных систем случайной структуры // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989. - № 6 — 189 с.

21. Пакшин П.В. Асимптотические свойства линейных дисретных управлений-II: Робастная стабилизация стохастических систем с мультипликативнымишумами // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1991. — № 4. -С. 103-114.

22. Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Наука, 1994.-303 с.

23. Пакшин П.В. Оптимальное линейное управление дисретными объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. 1982. - № 3. - С. 179-193.

24. Пакшин П.В., Ретинский Д.М. Синтез робастного управления в гибридных стохастических системах со скачкообразными изменениями вектора состояния // Нелинейное моделирование и управление: Материалы международного семинара. Самара. 2000. - С. 87-88.

25. Пакшин П.В., Фомин Д.М. Робастное управление гибридной системой с обратной связью по выходу // Моделирование и исследование устойчивости систем: Тез. докл. 7-ой Украинской конференции, КНУ. Киев. 1997. -С. 79.

26. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. Радио, 1976. - 184 с.

27. Параев Ю.И. Об устойчивости линейных систем со случайным изменением структуры // Автоматика и телемеханика. 1982. — № 8. -С.165-168.

28. Параев Ю.И., Смагин В.И. Решение задач оптимального управления при воздействиях гауссовского и пуассоновского типов // Труды СФТИ. Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1973. Вып. 64. - С. 46-56.

29. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990.-630 с.

30. Ряшко Л.Б. Линейный фильтр в задаче стабилизации линейных стохастических систем при неполной информации // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 7. - С. 80-89.

31. Смагин В.И. Линейная фильтрация в непрерывных системах с вырожденной матрицей интенсивностей шумов измерителя // Автоматика и вычислительная техника. — 1996. № 1. — С. 54.

32. Смагин В.И., Иванова Е.В. Синтез робастных регуляторов для систем со случайными скачкообразными параметрами // Труды X юбилейного симпозиума по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. Томск: Изд-во ТГУ. 2004. - С. 140-145.

33. Смагин В.И., Ломакина С.С. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника 2004. - №.4. - С.31-43.

34. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. — 171 с.

35. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих регуляторов с обратной связью по выходу для систем со случайными скачкообразными параметрами // Автоматика и вычислительная техника. 2001. - № 6. - С. 62-72.

36. Смагин В.И. Локально-оптимальные следящие системы управления при косвенных измерениях с ошибками // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1995.-№ 1.-С. 26-30.

37. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980. — 375 с.

38. Athans М. The matrix minimum principle // Informat. and Contr. 1968. -V. 11.-P. 592-606.

39. Boukas E.K. Control of systems with controlled jump Markov disturbances // Control Theory and Advanced Technology. 1993. - V. 9., N. 2. - P.577-595.

40. Boukas E.K., Shi P., Ngnang S.K., Agarwal R.K. On designing Д» controller for a class of nonlinear Markovian jump systems with parametric uncertainties // Proc. American Control Conference. San Diego, California. 1999. - P.970-974.

41. Boukas E.K., Shi P., Ngnang S.K., Agarwal R.K. Robust Kalman filtering for continuous-time Markovian jump uncertain systems // Proc. American Control Conference. San Diego, California. 1999. - P. 4413-4417.

42. Caines P.E., Chen H.F. Optimal adaptive LQG control for systems with finite state process parameters // IEEE Trans. Automat. Contr., 30(2). 1985. -P. 185-189.

43. Chizeck H.J., Chizeck Y.Ji. Jump linear quadratic gaussian control in continuous time // IEEE Trans. Automat. Contr., 37(12). 1992. - P. 1884-1892.

44. Chizeck H.J., Chizeck Y.Ji. Controllability, observability and discrete-time Markovian jump linear quadratic control // Int. J. Contr., 48(2). 1988. -P. 481-498.

45. Chizeck H.J., Chizeck Y.Ji. Controllability, stabilizability and continuous-time Markovian jump linear quadratic control // IEEE Trans. Automat. Contr., 35(7). -1990.-P. 777-788.

46. Costa O.L.V., Fragoso M.D. Stability results for discrete-time linear systems with Markovian jumping parameters // J. Math. Anal. Appl., 179(2). 1993. -P. 154-178.

47. Cvitanic J., Liptser R., Rosovskii B. Tracking volatility // Proc. 39 IEEE Conf. on Decis. and Contr. 2000. - P. 1189-1192.

48. De Farias P.D., Geromel J.C., Do Val J.B., Costa O.L. Output feedback control of Markov jump linear systems in continuous-time // IEEE Trans. Automat. Contr. -2000. V. AC - 45, N. 5. - P. 944-949.

49. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State space solutions to the standard H2 and Hm control problems // IEEE Trans. Automat. Contr., 34(8). -1989.-P. 831-847.

50. Dufour P., Bertrand P. The filtering problem for continuous-time linear systems with Markovian switching coefficients // Syst. and Contr. Letters. 1994. - V. 23, N. 5. -P.453-461.

51. Ephraim Y., Merhav N. Hidden markov processes // IEEE Trans, on Inf. Theory. 2002. - V. 48., N. 6. - P. 1518-1569.

52. Fragoso M.D., de Souza C.E. Д» filtering for Markovian jump linear systems // Proc. 35th IEEE Conf. on Decis. And Contr., Kobe, Japan. 1996. -P. 4814-4818.

53. Guaoui L.E., Rami M.A. Robust state-feedback stabilization of jump linear systems via LMIs // Int. J. Robust Nonlinear Contr. 1996. — V. 6. -P. 1015-1022.

54. Hewer G.A. Analysis of a matrix Riccati equation of linear control and Kalman filtering // J. Math. Anal. Appl., 12. 1973. - P. 226-236.

55. Hopkins W.E. Optimal stabilization of families of linear stochastic differential equations with jump coefficients and multiplicative noise // SIAM J. Contr. and Opt.-1987.-P. 1587-1599.

56. James M.R., Krishnamurthy V., LeGland F. Time discretization of continuous-time filters and smoothers for HMM parameter estimation // IEEE Trans, on Inf. Theory. 1996. V. 42., N. 2. - P. 593-605.

57. Kalman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mathem. Мех.-1960.-N. l.-P. 102-119.

58. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. - V. 83. - P. 95-108.

59. Mahmoud M., Jiang J., Zhang Y. Optimal control low for fault tolerant control systems // Proc. 39th Conf. on Decis. and Contr. Australia. 2000. - P. 241-246.

60. Mariton M. Jump linear quadratic control with random state discontinuities // Automatica. 1987. - V. 23, N. 2. - P. 237-240.

61. Mariton M. Jump linear system in automatic control. Marcel Dekker Inc. N.Y. - 1990.

62. Mariton M. On the influence of noise on jump linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr.- 1987.-V. AC-32,N. 12.-P. 1094-1097.

63. Mariton M. Output feedback for a class of linear system with stochactic jump parameter // IEEE Trans. Automat. Contr., 30(9). 1985. - P.898-900.

64. Mariton M., BertrandB. A homotopy algorithm for solving coupled Riccati equations // Opt. Contr. Appl. Methods, 6. 1985. - P. 351-357.

65. Mariton M., Bertrand B. Output feedback for a class of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr., AC-30(9). 1985. - P. 898-900.

66. McLane P.J. Optimal linear filtering for linear systems with state-dependent noise //Int. J. Contr., 10, N. 1.-1969.-P. 41-51.

67. Mohanty N.C., Soong T.T. Linear filtering in multiplicative noise // Informat. and Contr., 34. 1977. - P. 141-147.

68. Pakshin P.V., Fomin D.M. Robust control design for hybrid systems based on Markovian jumping models // Preprints of 2nd IFAC Workshop on new trends in design of control systems. Bratislava, Slovak Republic. 1997. - P. 445-450.

69. Pakshin P.V., Glukhova A.F. Robust control of discrete time systems withiLrandom jumps // Proc. 13 Int. Conference on Process Control. Strbske Pleso. -2001.-P. 1-4.

70. Rishel R., Harris L. An algorithm for a solution of stochastic adaptive linear quadratic optimal control problem // IEEE Trans. Automat. Contr., 31(12). — 1986.-P. 1166-1170.

71. Schwartz C., Haddad A.H. Control of jump linear systems having semi-markov sojourn times // Proc. 42 IEEE Conf. on Decis. and Contr. Hawaii USA. 2003. -P. 2804-2805.

72. Sethi S.P., Zhang Q. Hierarchical decision making in stochastic manufacturing systems. Birkhauser, Boston-Basel, Berlin. 1994.

73. Shi P. Robust control for linear systems with markovian jumping parameters // Proc. 13 IFAC World Congress. San Francisco USA. 1996. - P. 433-438.

74. Shi P., Boukas E.K., Ramesh K. Agarwal. Robust Kalman filtering for continuous-time Markovian jump uncertain systems // Proc. American Contr. Conf., San Diego, California. 1999. - P. 4413-4417.

75. Shi P., Boukas E.K. //«, control for Markovian jumping linear systems with parametric uncertainty // J. Optimization Theory and Applications, 95(1). 1997. -P. 75-99.

76. Shi P., Karan M., Kaya Y. Robust Kalman filter design for hybrid systems with norm-bounded unknown nonlinearities // Proc. 39th IEEE Conf. Australia. 2000. -P. 1522-1523.

77. Shi P., Kaya C.Y. Robust Kalman filtering for continuous-time systems with norm-bounded nonlinear uncertainties. // Proc. 39th IEEE Conf. Australia. 2000. -P. 1112-1114.

78. Sworder D.D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameters // IEEE Trans. Automat. Contr., 14(1). 1969. - P. 9-14.

79. Sworder D.D. Utilization of repair capability in a stochastic dynamic system // J. Economic Dynam. and Contr., 5. 1983. - P. 371-385.

80. Sworder D.D., Roger R.O. An LQ-solution to a control problem associated with a solar thermal central receiver // IEEE Trans. Automat. Contr., 28(2). -P. 971-978.

81. Willsky A.S. A survey of design methods for failure detection in dynamic systems // Automatica. 1976. - V. 12., N. 5. - P.601-611.

82. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. -John. Wiley.-1949.-N. 7.

83. Wonham M. Linear multivariable control: a geometric approach. New York: Springer-Verlag. - 1979.

84. Wonham W.M. Random differential equation in control theory // Probabilistic methods in applied mathematics / Ed. A.T. Bharucha-Reid. Academ. Press. -N.Y. 1971. - P.131-213.

85. Xun Li, Xun Yu Zhou, Mustapha Ait Rami. Indefinite Stochastic LQ control with jumps // Proc. IEEE Conf. on Decis. and Contr., Orlando, Florida USA, 2001. -P. 1693-1698.