автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез робастых следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами

На правах рукописи

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ОБЪЕКТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ СКАЧКООБРАЗНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

05.13.01-"Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2005

Работа выполнена в Томском государственном университете на кафедре прикладной математики.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Смагин Валерий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев Юрий Глебович, кандидат физико-математических наук, доцент Шевелев Геннадий Ефимович

Ведущая организация:

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова

Защита состоится:

30 июня 2005 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться:

В научной библиотеке Томского государственного университета. Автореферат разослан: « 24 » мая 2005 г.

Ученый секретарь /4 л

диссертационного совета / лС^^ В.И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Данная диссертационная работа посвящена проблеме синтеза роба-стных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами, которые представляют собой марковскую цепь с конечным числом состояний. Рассматриваются методы синтеза следящих систем по вектору наблюдаемого выхода, а также методы синтеза следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр.

Задачи управления для стохастических линейных систем со скачкообразными параметрами впервые были рассмотрены в 1961 году в работе Красовского Н.Н., Лидского Е.А. "Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами".

Существенный вклад в решение проблем оптимального управления объектами со случайными скачкообразными параметрами внесли такие авторы, как Sworder D.D., Wonham W.M., Mariton M., BertrandM, Caines P.E., Chen H.F., Chizeck Y.J., Chizeck H.J., Rishel R., Harris L., Hopkins W.E., Costa O.L.V., FragosoM.D., Shi P., BoukasE.K., Пак-шин П.В., Параев Ю.И. В общем случае проблема оптимального управления сводится к нахождению решения системы нестандартного типа уравнений Риккати или соответствующих матричных неравенств.

Системы со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами могут использоваться в качестве моделей реальных объектов, таких как производственные объекты, технические системы (летательные аппараты), энергетические системы, экономические системы (управление запасами, управление портфелем ценных бумаг) и др.

Законы управления системами со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами зависят от значений скачкообразных параметров, от вероятностных характеристик марковской цепи и от измеряемого выхода. В реальных системах значения скачкообразной составляющей, входящей в описание объекта, точно определить сложно. Бывают ситуации, когда значения скачкообразного параметра определяются блоком диагностики ошибочно, что может привести к потере устойчивости замкнутой системы, а это в свою очередь к отказам техники вплоть до катастрофических последствий. Определенным выходом из

положения может быть применение робастного подхода к синтезу следящих систем управления объектами со скачкообразно изменяющимися параметрами.

Методы робастного управления изучались во многих работах. В работе Shi P., Boukas E.K., Ramesh К. Agarwal осуществлен синтез управления объектом с неопределенностью в задании параметров модели, где область изменения неопределенных параметров задается неравенствами, в которые входят нормы от матриц, определяющих неопределенности. В работе Пакшина П.В., Фомина Д.М. рассматривались алгоритмы, позволяющие осуществить синтез управления в условиях неопределенности вероятностных характеристик скачкообразно изменяющегося параметра. В работе Guaoui L.E., Rami M.A. допустимая область изменения вероятностных характеристик скачкообразно изменяющегося параметра ограничивается полиэдрами, а в работе Емельянова А.А., Пакшина П. В. - аналитическими выражениями, зависящими от интервальных параметров. В работах Guaoui L.E., Rami М.А. и Емельянова А.А., Пакшина П.В. используется частичная информация об интенсивностях переходов скачкообразной составляющей.

Задача фильтрации является одной из важнейших в современной теории оптимальных стохастических систем. Эта задача используется для синтеза систем управления и следящих систем в случае косвенных измерений вектора состояния. Основы этой теории были сформулированы Колмогоровым А.Н., Винером Н. Существенный вклад в решение задач синтеза фильтра был сделан Kalman R.E., Busy R., а также Клеки-сом Э.А., Пугачевым B.C. и Синициным И.Н., Hewer G.A., Мо-hanty N.C., McLane P.J., Soong T.T.

Анализ литературы показал, что для объектов со случайными скачкообразными параметрами достаточно подробно изучена задача стабилизации, а также рассмотрены некоторые подходы синтеза робастных систем стабилизации. И достаточно слабо изучены алгоритмы синтеза следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами. Эти задачи были исследованы для случая полной информации о векторе состояния или для структур управления частного вида. Задача синтеза робастных следящих систем не рассматривалась. В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи синтеза робастных

следящих систем для объектов со случайными скачкообразными параметрами, сохраняющих устойчивость при условии ошибок в диагностике скачкообразной составляющей в модели объекта.

заключается в разработке алгоритмов синтеза робастных и оптимальных следящих систем управления по выходу и робастных следящих систем, содержащих в контуре управления фильтр, для непрерывных объектов со случайными скачкообразными параметрами.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории матриц, теории вероятности, теории случайных процессов, теории функций Ляпунова, численные методы и методы имитационного моделирования.

состоит в следующем:

1. Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами в условиях возможных ошибок диагностики состояния скачкообразной составляющей в модели объекта.

2. Разработаны и исследованы новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и аддитивными и мультипликативными возмущениями.

3. Предложены новые алгоритмы синтеза робастных следящих систем с фильтром в контуре управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами.

4. На основе оптимизации локального критерия разработаны новые алгоритмы синтеза робастных следящих систем для объектов со скачкообразными параметрами.

Полученные результаты могут применяться в различных предметных областях, в которых динамические модели управляемых объектов имеют случайную структуру. Это, например, такие системы как производственные, энергетические, технические, экономические.

Диссертация состоит из введения, четырех

глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц, содержит 10 рисунков и 11 таблиц, список литературы насчитывает 91 наименование.

На защиту выносятся:

Методы и алгоритмы синтеза робастных и оптимальных следящих систем и систем фильтрации со случайными скачкообразными параметрами, мультипликативными возмущениями и косвенными измерениями вектора состояния по интегральным квадратичным критериям, а также методы и алгоритмы синтеза робастных и оптимальных следящих систем со случайными скачкообразными параметрами по локальным критериям (в условиях возможных ошибок диагностики скачкообразной составляющей).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: V Краевой конференции по математике "МАК-2002" (Барнаул, 2002); Всероссийских научно-практических конференциях "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002, 2003, 2004); Всероссийской научной конференции молодых ученых (Новосибирск, 2003); VI Международной конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" в рамках V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004); Международной научно-практической конференции "Электронные средства и системы управления" (Томск, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении произведен обзор литературы по проблеме синтеза ро-бастных следящих систем и фильтров для объектов со случайными изменениями параметров, а также задач стабилизации данных систем. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена проблеме синтеза оптимальных следящих систем и оптимальной фильтрации для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями. Рассматривается случай точного измерения скачкообразной составляющей. Следящая система синтезируется непосредственно по вектору наблюдаемого выхода и не использует оценок состояния.

Поведение непрерывного объекта со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами описывается следующими уравнениями:

т = А(у)х(0 + Я(у)и(г) + (Y)*(')e„(0 +

+£В,(уЖ0Ф.(0+9М. *(0) = *о, (1)

где x(t) - вектор состояния; u(t) - вектор управления; q{t), 9(f), ф(0 -векторы белых гауссовских шумов (независимые между собой); у(/) марковская цепь с конечным числом состояний и интенсив-

ностями переходов матрицы.

Для объекта (1) необходимо найти управление u{t) (f е[0, 7}]), при котором выход объекта = Rx(t) был бы близок к отслеживаемому сигналу z(f). Мера близости задается в виде квадратичного интегрального критерия

У[0,7} ] = 1 М{ - 2(т))тС(у)й(т) - z(t)) + uT(x)D(y)u(x)ldz +

~ О vr)

+ВД)-2(7}))т£(у)ОД)-г(7}))/х(0) = х0> у(0) = у0},

где С(у) = С(у)т >0,D(у) = £>(у)т >0, Е(у) = Е(у)т >0 - весовые матрицы. Задача состоит в выборе такого управления w(i)> при котором достигается минимум критерия (2). Наблюдению доступен вектор

y(t) = S(y)x(t), (3)

где - матрица полного ранга. Структура управления задается в

виде:

u(t) = K(y,t)y(t) + a(y,t). (4)

подлежат определению из условия минимума

критерия (2).

Теорема 1. Матрица оптимальных коэффициентов передачи ^(Уи0 = ^,(0 и вектор ю(у,,/) = (о,(0 имеют вид:

<*(ВД) = -[(Д ®Г,-Ц О Г(5) = +£>-1Дт(5(,) + 1,Зс('))), (6)

1=1

если существуют матрицы Лг|(/)>0, ¿,(/)>0 и векторы Зс((), , удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче:

г т[

й, = Длг + лгДт + £ -м,)+ё, +2ХЧ4,)Т +

"а,

ЛГ,(0) = М{хЛт/у(0) = уг}, (7) ^')=Д]с")+5|ю(+ £ Х„(3с<л-*">), (0) = М{*0 /у(0) = у,}, (8)

-Ц =ЦА+А?Ц + £ + + +

1=1

, Ц{Т,) = = й), (9)

-Е(,) = ДУ° - ДтС,г +ДВ,®, +5ХТДЧ +

+ "К). Е,(Т/) = -К1Ег(Т/), (10)

.И.;«

Д = 4 + Я,*,5,, ё,=а+ 5,ю(х(')т + Зс(,)0),тВ,, С, = ЯТСЯ, (I = Пг). С11)

Доказательство теоремы основано на объединении принципа максимума и метода функций Ляпунова.

В стационарном случае двухточечная краевая задача (7-10) сводится к решению алгебраических уравнений. Получены условия асимптотической устойчивости замкнутой стационарной системы.

Рассматривается задача синтеза оптимальной фильтрации для линейной динамической системы со случайными скачкообразными параметрами:

^О=ду,0*0+Ё4<г,0*(0е,(0+«<У,0, *(0)=*„. (12) »=1

Наблюдаемый вектор выхода измерительной системы определяется

соотношением:

y(t) = S(y,t)x(t) + v(y,t), (13)

где 5(у,0 - матрица канала наблюдений полного ранга, у(у, /) -вектор белых гауссовских шумов.

Структура фильтра, оценивающего вектор состояния, выбирается совпадающей со структурой фильтра Калмана

¿(0 = А(у,()х(0+Ш, *(0) = *0. (14)

В (14) £(/) - обновляющийся процесс

%0 = х(г,Ш0-я(г,№))- (15)

Коэффициенты передачи К(у,1) определяются из условия минимума критерия

Ь

./[0,7}]= М{\гг№{у,1)е№+ (ет(7})7ге(7}))/у(0) = у0}, (16)

о

где е(() = х(*)-х(/) - вектор ошибок фильтрации, Л(у,/)>0 и Уг > 0 -весовые матрицы.

Решение задачи синтеза оптимального фильтра определяет следующая

Теорема 2. Если существуют матрицы У] (?) > 0 и £>,(/) > 0, являющиеся решением двухточечной краевой задачи:

А=(А -*зд+д(4 -едт+£Л0)ал<0Т+£л(0^тл<,>т -на+

+кхк1т+ £ Ч(^-А)' А(0) = А» (17)

7-1,7«'

£(О=аумо+ к1юш-5(у,от,т=х0, (18) -г, = У((Д. (^ - * А)7*;

X ад-и вд)=гг, (19)

»=1 >=1,7»/

то элементы матрицы оптимальных коэффициентов передачи определятся по формуле:

= (20)

Рассмотрена фильтрация стационарного процесса. Уравнения, с помощью которых осуществляется синтез стационарного фильтра, будут алгебраическими. Получены условия асимптотической устойчивости

замкнутой стационарной системы.

Приводится пример моделирования следящей системы для стационарного непрерывного объекта второго порядка со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными шумами. Проведен анализ характеристик устойчивости оптимальной системы. Показано, что синтезированная следящая система для некоторых комбинаций ошибочного определения скачкообразной составляющей приводит к неустойчивости замкнутой системы. Этот пример подтверждает актуальность проблемы синтеза робастных следящих систем, которые при ошибках диагностики скачкообразного параметра не теряют свойства устойчивости замкнутой системы.

Во второй главе рассматривается проблема синтеза робастных фильтров в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами.

Решена задача синтеза фильтра для линейных непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами при вырожденной или плохо обусловленной матрице интенсивностей шумов измерителя с аддитивными воздействиями гауссовского типа и мультипликативными шумами. Предлагается синтезировать робастный фильтр с коэффициентами передачи независящими от состояния скачкообразной составляющей. Это позволит сохранить свойство устойчивости фильтра при ошибочном определении состояния скачкообразной составляющей.

Для системы вида (12), вектора наблюдений (13), для обновляющего процесса (14) оптимальные коэффициенты K(t) определяются из условия минимума критерия

т

j[0,7>] = М {]^р,Шетт,{1)е{1)«х£Ш№ +

о М

+ £р1(Т/)(ет(Т/)ГГ1е(Т/))/у(0) = у0}, (21)

где а, > 0 - весовой коэффициент, р, (/) = P{y(t) = г} (/ = 1,г), p(t) = (pl(t),p2(t),...,pr(t))T - вектор вероятностей, удовлетворяющий прямому уравнению Колмогорова

= Л" p{t), рф)=р, /е [0,7} ], (22)

где Л - матрица интенсивностей переходов с элементами Ад

(Х„ =- Л р - вектор начальных вероятностей.

Решение задачи синтеза робастного фильтра определяет следующая Теорема 3. Если существуют матрицы У](/)>0 и (/) > 0, являющиеся решением двухточечной краевой задачи:

«1 »1 +КУ,КТ+ £ ад-Д), А (0) = £)0(, (23)

¿(0 = Л(у,/)*(/) + КММО-^У.'ЖО), *(0) = *0> (24) I ОД)^, (25)

»=1 .И,./*!

то элементы матрицы оптимальных коэффициентов передачи определятся по формуле:

«т = [¿р,(а, / ® (ЗД5,Т + V,) + У, (26)

4 = Жу(); = Л (г, ); А = 0(у,); г, = Яг,); ^ = Д(у,);

й=е(Г,); 5, =^,.); ^ = (27)

Двухточечная краевая задача (23) - (25) разрешима только в том случае, когда наблюдения у{г) известны заранее на всем интервале наблюдения [0, 7} ]. Данная задача может быть решена и в реальном времени, если £(0 в уравнении (24) заменить на оценку по априорным данным х((), которая удовлетворяет следующему уравнению:

*(/) = Ду,)*(/), *«>) = *,. (28)

Тогда в формулировке теоремы 3 необходимо заменить х(() на х(1) в уравнении (23) и (24) заменить на (28).

В стационарном случае задача синтеза сводится к необходимости решения матричных алгебраических уравнений

«=1

+0+КУ,КТ + £ (Д, - А)=0, (29)

7,(4+ Ц - КБ,У У1 + ос, + +

+¿4 V + Е ЗД = 0 • (30)

I»!

Оптимальные коэффициенты передачи определятся по формуле: с(К = [¿д (а, / ® (5,£>ДТ + У,) + У,® У,)У , (31)

гдер, =1ип- установившиеся вероятности состояний дискретной

Г—>яО

переменной у.

Условия асимптотической устойчивости робастного фильтра для стационарного объекта в классе линейных систем определяет следующая

Теорема 4. Если существует решение алгебраических уравнений и существуют числа р, ( 0 < Р, < 1) такие, что

Г, >0, М, = рД Е \jiYj-¥,)>0, (32)

»=1 >и*г

пары матриц , А, детектируемы, то матрицы Д - асимптотически устойчивы для всех / = 1, г.

Выполнение условий теоремы 4 гарантирует устойчивость робастного фильтра в среднеквадратическом.

Приводятся примеры синтеза оптимального и робастного фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами, шумами в наблюдениях с плохо обусловленной матрицей интенсив-ностей и аддитивными возмущениями. Проведен анализ характеристик устойчивости оптимальной системы фильтрации.

Третья глава посвящена проблеме синтеза робастных следящих систем со случайными скачкообразными параметрами.

Для объекта (1) необходимо найти управление н(/), при котором выход объекта £(*) был бы близок к отслеживаемому сигналу . Мера близости задается в виде квадратичного интегрального критерия 1 \ '

Л0, ?>] = ^М{ /Еа(т)Шт) - Ф))тС(у)(4(т) - г(т)) + * о '-1

+«т(т)ДуМт)]Л + Ед(т)ОД)-2(7}))т£(У) х

х&{Т/)-г(Т,))/хф) = х0, у(0) = у0}. (33)

Наблюдаемый вектор имеет вид (3), структура управления задается в виде (4). Свойство робастности следящей системы (устойчивость в среднеквадратическом) при возможных ошибках определения значений у заключается в том, что K(t) не зависит от у . Отметим, что для реализации робастного управления при вычислении ш(у,/) необходимо знать оценки у.

Решение задачи синтеза робастной следящей системы определяет следующая

Теорема 5. Матрица оптимальных коэффициентов передачи K(t) и вектор со(у(,0 = со((0 имеют вид:

ctKit) = -[¿Л(Д ®Г, -D, ®Г,)Г'с*£>Дт£,(ЛГ, -x*>3c<i)T)S,T] - (34)

1=1 м

(О, (0 = -(KS^ + D'lBj(g(l) + L,x")), (35)

(A = SX)T£AW + Z}, Г,.=5Д5/, T^S^x^Sj), «1

если существуют матрицы Nt(t) > 0, Li(t)>0 и векторы Зс(,), g(,), удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче:

j'hj*' »=1 +fiSjKTB^NlB^KSl, #j(0) = M{VoT/y(0) = y(}, (36)

S'l

x(i) +B,®i + X X,(3c0)-x("), x(,)(0) = M{x0 /y(0) = y,.}, (37)

j'i.Jfi

, 1,(7}) = ЛТ£Л, (i = V), (38)

i-i

-gW = Ду> + +SjKTDjai +

+ а(7» = -Лт&(г>), (39)

At=Ai + BlKSl,Qi=Q,+ Bi®txm + xl\rB,, С, = ДТСЛ, (/ = U). (40)

Выполнение условий следующей теоремы гарантирует устойчивость замкнутой робастной следящей системы в среднеквадратическом:

Теорема 6. Если существует решение стационарных алгебраических уравнений и существуют числа р, ( 0 < р( < 1) такие, что матрицы ¿( > 0, М, = СД + М, £ 0 и пары матриц , А, детектируемы, то матрицы Д = Аг + ВгЩ асимптотически устойчивы (/ = 1,г).

Осуществлено моделирование робастных следящих систем для стационарного непрерывного объекта второго порядка вида (1) с мультипликативными шумами и тремя состояниями у = {1,2, 3}. Исходные данные имеют вид:

О 0,3^1 .... (-0,2 0,4>

А{ 1)

(-0,04 0,1 "[-0,75 0,4

5(1) = 1 ;2?(2) =

1

1 0 0 1

4,

0,1 1,5

А(2) =

-0,2 0,9)

(-0,2 0,< 1-0,1 о,:

; ДЗ)

/-0,25 0,05 0,25 -0,45

л (0,03 0 ^

йНо 0,05>а =

Го,02

I 0,2 0 ^

0 0,05

1 0

5,= (0 1); с,=\о Д =0,1; 4(0 =

0,2 ^ 0,2

0,05 -0,25у '0,04 0 4 , 0 0,05 '0,006 0,07^1 ^0,003 0,01/

;а =

4(0 =

0,004 0,07^ ^0,0035 0,05

; 5,(0=

0,00Г 0,008,

гч (0,002^1 , — ;В2(0= ; (/ = 1,3).

Для исходной системы все матрицы А(Г) / = 1,3 неустойчивые. Синтезирована робастная следящая система со следующими параметрами:

К= -2,0899; ю(1)= 29,5562, ю(2)= 7,0635, ю(3)= 17,2506. Собственные значения матриц динамики замкнутой системы ДО + стали устойчивыми и приведены в таблице

Матрица динамики Собственные значения

1 А(1)+ В(1)Щ1) -0,086782 -1,643182

2 А(2) + В(2)КБ(2) -0,008174 -2,226772

3 А(3) + В(3)КБ(3) -0,356941 -0,58804

В результате синтеза робастной следящей системы имеем замкнутую систему, сохраняющую устойчивость при ошибочных определениях значений скачкообразно изменяющегося параметра у.

Рассмотрена задача синтеза робастных следящих систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и фильтром в кон-

туре управления. В этом случае поведение непрерывного объекта со случайными скачкообразными параметрами описывается уравнениями:

*(0 = Л(У)*(0 + В(УМО+9(У.О, = хо• (41)

Наблюдаемый вектор выхода измерителя у имеет вид (6). Структуру робастного управления зададим в виде

и(0 = ад)+со(у), (42)

где £(/) определяется с помощью робастного фильтра

¿(0 = ДУЖ0+5(У)«(0+^(Я0-^(УЖ0), *(0) = *о, (43) у(/) - оценка состояния скачкообразного марковского процесса у(<) (марковская цепь у(?)имеет /¡состояний, марковская цепь у(/)имеет г2 состояний).

В (43) коэффициенты передачи фильтра Кр определяются по методу, приведенному в главе 2, и не зависят от скачкообразной составляющей.

Необходимо найти матрицу коэффициентов передачи Кк и векторы со(у) (42) для робастной системы такие, чтобы критерий

Л/, т» = - г(т))тС(у)(^(т)-

1 о М >1

-2(т))+йт(т)Ду)й(т Мт+^рЛъЁрМХКГ,)-

-2(Т,))тЕЪЖТ,)-<Т,))1 у(0 - у(,у(0 = Ь) (44)

был минимальным.

С помощью расширения пространства состояния решена задача синтеза робастной следящей системы со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами и фильтром в контуре управления.

Произведен численный синтез робастных следящих систем для стационарных объектов со случайными скачкообразными параметрами и фильтром в контуре управления.

В четвертой главе решается ряд задач синтеза линейных следящих систем со скачкообразными параметрами по локальному критерию.

Рассматривается задача синтеза следящей системы со скачкообразными параметрами при неизвестном возмущении по локальному критерию для объекта:

х{1) =А(М0 + В(Ы0+/, *(0)=*о, (45)

где/- постоянное неизвестное возмущение.

Наблюдаемый вектор имеет вид (3). Оптимизируемый локальный критерий задается в виде

ДО = М {(х(0-г(0)тС(у)(х(0 -7(0) + }«т(т)£>(уЖт)Л /у(') = У, Ь(46)

о

где г(0 - отслеживаемый вектор, удовлетворяющий уравнению

2(0=^(0, г(0) = 70. (47)

Закон управления системой слежения (45) определим в форме Пи-регулятора:

«СО=Ыъ 'МО+к2(у, О + Ш 02(0 + *4(У, О . (48)

о о

Коэффициенты передачи для управления (48) 0> К2(у, 0, ^з(У> 0» Л"4(у, 0 определяются из следующей теоремы:

Теорема 7. Если для линейного объекта вида (45), канала наблюдений (3) и локального критерия (46) матрицы Д > 0 и

Р(,)(0 =

ЗД?

Д.

>0,

то непрерывное локально-оптимальное управление, представленное в виде (48), имеет следующие коэффициенты передачи: К? = -Д-'Б/СД«^1 (5Д <"5(т)-1, = К^Я^Н10'1 + д-'в/с^^я'0'1,

к? -К^р;1 -к,р„р;1 +

где *<'> = К(у(,о, о=Рь-РьР;%, =

= ма-гр-гръчр, мр.рю-гтрггрп,

¿» = />< о , м<" = срсг^ -£'>,

я<о = дО^и^от + М(0) Л(0 = М(.)5т; Я(0 = 5.М(-)5т _

Решение задачи синтеза робастной локально-оптимальной линейной системы слежения со скачкообразными параметрами при неизвестном возмущении сформулировано в следующей теореме:

Теорема 8. Если для линейного объекта вида (45), канала наблюде-

ний (3) и локального критерия (46) матрицы £2, > 0 (г = \,г), то непрерывное локально-оптимальное управление, представленное в виде (48), имеет следующие коэффициенты передачи:

ы /=1

где

КК2 Къ ,

дат да'

дат да/

р* к

р.1 р.

[ ВХ(Р*-Р?) }

р£>, /£>, />, 4, Р2 удовлетворяют диффе-

ренциальным уравнениям с граничными условиями на левом конце.

В конце главы приведен пример синтеза и моделирования системы управления запасами с неизвестной составляющей и скачкообразными параметрами в модели спроса. Для синтеза использовался алгоритм слежения по локальному критерию для объекта со случайными скачкообразными параметрами при неизвестном возмущении.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе оптимизации интегрального критерия для непрерывных объектов со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами при наличии мультипликативных возмущений предложены новые алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем.

2. Разработаны новые алгоритмы синтеза робастных фильтров для непрерывных систем со случайными скачкообразно изменяющимися параметрами при наличии мультипликативных возмущений.

3. Разработаны методы синтеза робастных фильтров при вырожденной или плохо обусловленной матрице интенсивностей шумов измерителя.

4. Для объектов со случайными скачкообразными параметрами предложены алгоритмы синтеза робастных следящих систем с фильтром в контуре управления.

5. На основе оптимизации локального критерия для линейных объектов с неизвестными возмущениями и скачкообразными параметрами разработаны алгоритмы синтеза оптимальных и робастных следящих систем.

6. Выполнены моделирование и синтез разработанных робастных и оптимальных алгоритмов управления и фильтрации, которые показали, что применение робастных алгоритмов позволяет избежать нарушения устойчивости замкнутой системы при ошибках в определении скачкообразной составляющей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смагин В.И., Ломакина С.С. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Автоматика и вычислительная техника - 2004. - №.4. - С.31-43.

2. Ломакина С.С, В.И. Смагин. Робастная фильтрация в непрерывных системах со скачкообразными изменениями в случайные моменты времени // Автометрия - 2005. - №.2. - С.81-88.

3. Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастные следящие системы с фильтром для объектов со случайными скачкообразными параметрами // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2004. - Т. 2, Вып. 11.-С363-364.

4. Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными скачкообразными параметрами // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 280. - С201-203.

5. Ломакина С.С, Смагин В.И. Следящие системы управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями, зависящими от состояния и управления // Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284. -С.155-159.

6. Ломакина С.С Локально-оптимальное управление запасами при

неизвестном спросе // Актуальные проблемы экономики в творчестве студентов. - СПб.: СПбГИЭУ. - 2003. - С.41-44.

7. Ломакина С.С., Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными параметрами и мультипликативными возмущениями // Материалы Международной научно-практической конференции "Электронные средства и системы управления". Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН. — 2004. - С. 159-161.

8. Ломакина С.С., Смагин В.И. Дискретное локально-оптимальное управление запасами при неизвестном спросе // Материалы V краевой конференции по математике "МАК-2002". Барнаул. - 2002. - С.59-60.

9. Ломакина С.С., Смагин В.И. Локально-оптимальные следящие системы для непрерывных систем с неизвестными возмущениями // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: "Твердыня". - 2002. - С.208-210.

Ю.Ломакина С.С. Робастные следящие системы для объектов со случайными параметрами // Наука. Технологии. Инновации. Материалы докладов Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2003. Ч. 1.- С.46-47.

11. Ломакина С.С, Смагин В.И. Робастная фильтрация в непрерывных системах со случайными параметрами при вырожденных шумах в канале измерений // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: "Твердыня". -2003. - С. 140-142.

12. Ломакина С.С, Смагин В.И. Локально-оптимальные робастные следящие системы со скачкообразными параметрами // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Томск: Изд-во Томск, ун-та. -2004.-С160-161.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД №00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № _<£$_ от "¿3" 05" 2005 г. Тираж экз.

1641