автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Гармонический баланс с учетом высших гармоник в следящей системе с сухим трением и люфтом

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Модели нелинейностей.

1.2. Метода исследования динамических свойств систем с кусочно-линейными нелинейностями

1.2.1. Метод припасовывания

1.2.2. Гармонический баланс

1.2.3. Метод абсолютной устойчивости

1.2.4. Устойчивость периодических режимов в автономных системах .:

1.3. Обзор исследовании систем с нелинейностями. типа сухого трения и люфта

1.4. Постановка задачи и выбор метода исследования

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ СУХОГО ТРЕНИЯ НА АВТОКОЛЕБАНИЯ В

СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

2.1. Структурная схема систем с сухим трением

2.2. Уравнения гармонического баланса в следящей системе с сухим трением.

2.2.1. Гармонический баланс без учёта высших гармоник

2.2.2. Гармонический баланс с учётом высших гармоник

2.3. Исследование условий существования периодических режимов методом гармонического баланса

2.3.1. Расчет без учета высших гармоник

2.3.2. Расчет с учетом высших гармоник

2.4. Моделирование периодических режимов на ЭВМ.

2.5. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ В СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЕ С ЛШТОМ.

3.1. Постановка задачи

3.2. Коэффициенты гармонической линеаризации . нелинейности типа "люфт"

3.3. Уравнения гармонического баланса

3.4. Условия существования и устойчивость периодических режимов

3.4.1. Условия существования периодических режимов

3.4.2. Устойчивость периодических режимов

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. АВТОКОЛЕБАНИЯ В СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЕ

С СУХИМ ТРЕНИЕМ И ЛШТОМ.

4.1. Гармонический баланс без учета высших гармоник.

4.2. Гармонический баланс с учетом высших гармоник

4.3. Следящая система с корректирующим фильтром в виде инерционного форсирующего звена с отставанием.

4.4. Расчеты условий существования автоколебаний в следящей системе с сухим трением и люфтом

4.5. Граница области устойчивости в плоскостях . параметров системы

4.6. Выводы по четвертой главе.ПО

Автоматизация процессов управления различными объектами сопровождается широким использованием следящих систем. Следящие системы нашли применение в самых разнообразных отраслях науки и техники: для управления радиолокационными станциями, производственными процессами в машиностроении, работами и манипуляторами, объектами военной техники и т.д. Уже из этого краткого перечня видно, сколь значительно число задач, решение которых может быть возможно на следящие системы.

Следящая система представляет собой замкнутую динамическую систему, управляющую перемещением объекта регулирования. Следящая система СС имеет в своем составе ряд основных устройств (рис. B.I). В измерительном устройстве ИзУ производится сравнение текущего значения регулируемой величины с управляющим воздействием и на основе этого сравнения формируется сигнал ошибки 9 .

Предварительный усилитель ПУ предназначен для усиления по напряжению и мощности сигнала, поступающего с измерительного устройства, до значений, достаточных для управления усилителем мощности УМ.

Двигатель Д получает сигнал от усилителя мощности Ж и через редуктор Р перемещает объект регулирования.

Интегрирующее звено И преобразует угловую скорость вала двигателя COj в угол поворота вала $

При линейном приближении измерительное устройство ИзУ и предварительный усилитель ПУ рассматривались как безынерционное звено с передаточной функцией ^ , а двигатель представлялся колебательным звеном с передаточной функцией

Структурная схема линейной следящей показана на рис. В.2.

Рис. B.I- Функциональная схема следящей системы

1 i Р

М; л

Рис. В.2 Структурная схема следящей системы

Передаточные функции линейных звеньев структурной схемы имеют вид

Wf = 1 (в нестабилизированной системе) ; ( В.З ) w, = т*р+ 1 ( в стабилизированной системе) ( В.2 )

-Г,;»;,, в.3 ) где Tf и Тг постоянные времени корректирующего фильтра, Тм и % - электромеханическая и электромагнитная постоянные времени двигателя Д . Через Ь обозначено передаточное число редуктора, Mr -момент трения на валу двигателя.

В реальных следящих системах статические характеристики элементов, соответствующих схеме рис. B.I, являются нелинейными. Наличие определенного вида нелинейностей может оказывать существенное влияние на поведение системы как на статические, так и на динамические свойства системы.

Рассмотрим основные нелинейности СС и эффекты, к которым приводят эти нелинейности.Широкое применение получили измерительные устройства с использованием сельсинов. Характеристика сель-синой передачи выражается зависимостью синусойдального типа. При малых начальных рассогласованиях нелинейностью измерительного устройства пренебречь. Все реальные усилители обладают характеристикой звена типа насыщения. Нелинейность типа насыщения не приводит к появлению автоколебаний, кроме случая АФХ многократно пересекает отрицательную вещественную полуось левее критической точки [8l] . Нелинейность типа насыщения ограничивает форсиру-• ющие сигналы, которые возникают в корректирующих фильтрах.

Сухое трение в статике создает зону нечувствительности, а в динамике при отработанных начальных рассогласованиях оказывается демпфирующим действием [69] .

Люфт в механической передаче при определенных условиях вызывает автоколебания в той области изменения параметров, где линейная система без люфта устойчива [59] .

Влияние нелинейности типа насыщения на динамику системы в литературе полностью исследовалось. Для рассматриваемой СО с линейной частью, обладающей монотонной характеристикой и при определенных условиях существенное влияние на динамические свойства системы оказывают сухое трение в оси двигателя и люфт в механичео скои передаче.

Структурная схема следящей системы с учётом нелинейностей в виде сухого трения на валу двигателя ( Н 1 ) и люфта на ведущем валу редуктора {Н2. ) представлена на рис. В.За.

Путём структурных преобразований схема рис. В.За приводится к рис. В.36, где к = к, к2 -L- • (в.4) ь

Анализ СС с одной нелинейностью, либо с сухим трением, либо с люфтом в отдельности был сделан в многих работах. Для исследования нелинейных систем были применены метод фазовой плоскости, метод гармонической линеаризации без учёта высших гармоник, метод абсолютной устойчивости и методы моделирования на АВМ и ЦВМ.

Исследования проводились для различных вариантов линейной части и моделей нелинейных блоков. Исследовались лишь системы с одной нелинейностью. Лишь в работе [39] изучалась система с люфтом и сухим трением.

Наличие люфта в механической передаче способствует возникло fl'-КЛ Ю

Рис. В.З Структурная схема следящей системы с учётом нелинейностей вению автоколебаний, в то время как сухое трение оказывает стабилизирующее действие. Поэтому представляет интерес выяснить, как будет влиять на условия существования автоколебаний одновременное присутствие двух нелинейностей.

Для исследования нелинейных СС широко применялся метод гармонического баланса без учёта высших гармоник. Однако этот метод может приводить к заметным погрешностям в определении параметров автоколебаний и на границы области их существования [12, 46, 59, 85]. Быяи обнаружены также автоколебательные системы, для которых метод гармонического баланса, проводимого без учёта высших гармоник, давал отрицательный результат относительно возможности существования автоколебаний [77, 92]. Возникает вопрос, в какой мере высшие гармоники влияют на динамические свойства системы. . Указанные проблемы проработаны в диссертации применительно к конкретной следящей системе.

Целью диссертации является исследование влияния каждой из перечисленных нелинейностей и их совместного влияния на условия существования автоколебаний в следящей системе. Задача решается методом гармонического баланса как без учёта, так и с учетом высших гармоник. Для. учёта высших гармоник в системе с двумя не-линейностями в диссертации разрабатывается модификация метода гармонического баланса и алгоритм решения уравнений баланса.

Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе приводится обзор состояния проблемы и постатч н новка задачи исследования. В данной главе описаны методы, применявшиеся для исследования следящих систем с сухим трением и люфтом. Указываются достоинства и недостатки отдельных методов и выделяются, .области их применения. В краткой форме делается классификация методов исследования устойчивости периодических режимов.

Во второй главе исследовалось влияние сухого трения на автоколебания в CG третьего порядка методом гармонического баланса с учётом высших гармоник.

В третьей главе рассматривается метод гармонического баланса при учёте высших гармоник в СС с люфтом на валу редуктора.

В четвертой главе получены уравнения баланса гармоник в системе с двумя, нелинейностями типа люфта и сухого трения и разработан алгоритм их решения.

Произведено сравнение условий существований автоколебаний в следящей системе, полученных без учёта и при учете высших гармоник.

- 12

4.6. Выводы по четвертой главе

Структурная схема следящей системы с сухим трением и люфтом представлена в виде замкнутого контура, содержащего линейное звено и динамический нелинейный элемент. Были разработаны алгоритмы решения уравнений гармонического баланса для одноконтурной структуры с динамическим нелинейным элементом и составлены программы для численного решения уравнений на ЦВМ.

Для нестабилизированной и стабилизированной следящих систем с фиксированными параметрами были определены показатели автоколебаний как без учёта, так и с учётом высших гармоник.

Исследовано влияние параметров следящей системы на границу области автоколебаний н показатели автоколебаний внутри области. Рассматривалось влияние на показатели автоколебаний уровня сухого трения, величины люфта, электромеханической постоянной времени и длины участка с наклоном - 20 дб/дек в окрестности частоты среза ЛАЧХ стабилизированной системы. Были определены границы области автоколебаний в плоскостях параметров !JS} С1 и К, fj^ •

Заключение

К основным результатам -диссертации следует отнести.

1. Преобразование структурной схемы следящей системы с нелинейностью в виде сухого трения в цепи локальной обратной связи к одноконтурной структуре, содержащей релейный элемент и эквивалентное линейное звено.

2. Исследование условий существования и устойчивости периодических режимов в следящей системе 3-го порядка с сухим трением. Условия существования периодических режимов определялись методом гармонического баланса с учётом и без учёта высших гармоник. Устойчивость периодического режима,оценивалась по дифференциальному уравнению, составленному для малых отклонений входного сигнала релейного элемента от периодического режима. Рассматривались точные условия устойчивости и приближенные условия, вытекающие из дифференциального уравнения для отклонений, в котором опущены периодические составляющие коэффициентов. Исследования показали, что при устойчивом эквивалентном линейном звене периодический режим невозможен, а при неустойчивом- будет существовать неустойчивый периодический режим. В зависимости от знака отклонения входного сигнала релейного элемента от периодического режима наблюдается либо расходящийся переходный процесс, либо движение системы в положение равновесия. Эти явления подтверждены цифровым и аналоговым моделированием. Расчеты показали относительно малое влияние высших гармоник на параметры неустойчивого периодического режима.

3. Исследование условий существования и устойчивости периодических режимов в следящей системе 3-го порядка с люфтом. Исследование проводилось методом гармонического баланса как в пренебрежении высшими гармониками, так и с их учётом. Для проведения вычислений с учётом высших гармоник были определены коэффициенты комплексных рядов Фурье выходного сигнала и динамического коэффициента усиления нелинейного элемента. Для решения ограниченной системы уравнений, связывающей коэффициенты гармоник комплексного ряда, был применен метод итераций. Устойчивость периодических режимов оценивалась по приближенному критерию Гольдфарба. Расчеты показали, что в некоторой области параметров линейной части системы возможен устойчивый периодический режим (автоколебания) .

4. Преобразование структурной схемы следящей системы с сухим трением и люфтом к одноконтурной структуре, содержащей линейный элемент и нелинейное динамическое звено.

5. Алгоритм решения уравнений гармонически»го баланса в одноконтурной структуре, содержащей нелинейное динамическое звено.

6. Исследование условий существования и устойчивости периодических режимов в нестабилизированной и стабилизированной следящих системах с двумя нелинейностями типа сухого трения и люфта и выявление влияния параметров системы на границу области существования автоколебаний и их показатели внутри области существования.

7. Программное обеспечение алгоритмов определения з'слов;лй существования периодических режимов и нахождения их показателей.

8. Исследование влияния высших гармоник на границу области автоколебаний и их показатели. Рассматривались нестабилизи-рованная следящая система 3-го порядка и стабилизированная инерционным форсирующим звеном с отставанием система 4-го порядка, расчеты показали, что в обследованном диапазоне параметров системы высшие гармоники мало влияют на границу области автоколебаний и их показатели, что позволяет пользоваться более простыми алгоритмами гармонического баланса без учёта высших гармоник.

Для следящих систем с передаточными функциями или параметрами, отличающимися от обследованных, разработанные в диссертации программы позволяют произвести расчеты границ и показателей автоколебаний и оценить влияние высших гармоник.

1. Айзерман М.А. Проблема определения периодических режимов в системах автоматического регулирования. - Труды второго всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, Том 1. Изд-во АН СССР. - М.-Л., 1955, с. 105-130.

2. Айзерман М.А., Лурье А.И. Методы определения периодических движений в кусочно-линейных системах. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям, Том I, Киев 1963, Академия Наук УССР, с. 27-51.

3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Физматгиз, 1959.

4. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

5. Андронов А.А., Баутин Н.Н., Горелик Г.С. Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага. -ДАН, Т. ХУП, № 4, 1945.

6. Баркин А.И. О соотношении мевду двумя критериями абсолютной устойчивости. АиТ, 1984, № I, с. 36-41.

7. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем управления. АиТ, 1981, J6 7, с. 5-10.

8. Белова Л.А., Нетушил А.В. Об абсолютной устойчивости систем регулирования с неоднозначными нелинейностями типа "люфт" и "упор". АиТ, 1967, & 12, с. 58-63.

9. Брич З.С. Фортран ЕС ЭШ. М., 1978.

10. Бруштейн Р.Е., Кобринский А.Е. Динамика и устойчивость периодических движений виброударных систем. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 5, I960.

11. Брусин В.А. Об абсолютной устойчивости следящей системы с люфтом. Изв. высш. учеб. завед. Радиофизика, Т. УП, № 3, 1964.

12. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972, 767 с.

13. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. -М.: Наука, 1979.

14. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости. АиТ, 1982, Ш 5, с. 5-28.

15. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. -Ч. 2, М.-Л.: Энергия, 1966, 372 с.

16. Гольдфарб Л.С. О некоторых нелинейностях в системах регулирования. АиТ, & 5, 1947.

17. Гольдфарб Л.С. Метод исследования нелинейных систем регулирования, основанный на принципе гармонического баланса. Труды П Всесоюзного совещания, 1955, Т. I, с. 177-192.

18. Грунд Ф. Программирование на языке Фортран 1У. М., 1976.

19. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.: Наука, 1970, 120 с.

20. Джеймс Х.М., Никольс Н.Б., Филлипс Р.С. Теория следящих систем. М., Изд-во иностранной литературы, 1951, 484 с.

21. Джури Э., Ли Б. Абсолютная устойчивость систем с многими не-линейностями. АиТ, № 6, 1965.

22. Джермейн К. Программирование на ГВМ/360. М., Изд. Мир, 1978 , 870 с.

23. Калдербенк В.Дж. Курс программирования на Фортране ЗУ. Перевод с англ. B.C. Першенкова. М.: Энергия, 1978, 86 с.

24. Леонов Г.А., Филина М.Ю. Неустойчивость и колебания систем с гистерезисными нелинейностями. АиТ, 1983, 16 I, с. 44-49.

25. Ливерсидж Дж. Влияние зазоров и упругих деформаций в замкнутых цепях систем автоматического регулирования на поведение этих систем. См. Сборник "Автоматическое регулирование", Изд-во иностранной литературы, 1954, с. 320.

26. Львов Е.Л., РАО В.М. Модифицированный метод гармонического баланса для замкнутой системы, обладающей свойством фильтра верхних частот. Электричество, 1977, № 12.

27. Львов Е.Л. Гармонический баланс с учётом произвольного числа высших гармоник. Электричество, 1982, 2.

28. Львов Е.Л. Гармонический баланс в релейных системах с учётом высших гармоник. Электричество, 1982, № 8.

29. Львов Е.Л., Нгуен Тхи фьюнг Ха. Исследование влияния сухого трения на автоколебания в следящей системе третьего порядка. Vfissenschaftfiche Ze/tscfiHft derTeckniscke Hochsch.

30. Karf-Marx-Sfadtpzz, » 6, c. 882-883.

31. Львов Е.Л., Нгуен тхи фьюнг Ха. Автоколебания в следящей системе с сухим трением и люфтом. Моск. энерг. ин-т. М., 1984, 12 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 4.04.84, J6 1939-84. Деп.

32. Мак. Д. Кракен, Численные методы и программирование на Фортране. - М., 1977.

33. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем П. АиТ, 1982, $ 2, с. 17-28.

34. Малкин И.Г. К теории периодических решений Пуанкаре. -"Прикл. матем. и механика", 1984, 13, вып. 6.

35. Математические основы теории автоматического регулирования. -Под ред. профессора Чемоданова Б.К., М., 1971.

36. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. М., 1962.

37. Метод Гольдфарба в теории регулирования. Сб. статей, ГЭИ, 1962.

38. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. М.: Наука, 1972.

39. Наджаров Э.М. Приближенное определение периодических режимов в системах автоматического регулирования, содержащих несколько нелинейностей. В кн.: Труды 2-го Всесоюзного совещания по ТАР. - I, М.-Л., 1955.

40. Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления. Под ред. Топчеева Ю.И. М.: Машиностроение, 1971, 465 с.

41. Нелинейные системы автоматического управления. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Топчеева Ю.И., М.: Машиностроение, 1970, 567 с.

42. Нелинейные системы автоматического управления. Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Федорова С.М., М.: Машиностроение, 1970, 415 с. .

43. Нелинейные сервомеханизмы. Петров В.В., Гордеев А.А., М. 1979.

44. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Изд-во "Судостроение", Л., 1967.

45. Нелинейные системы автоматического управления. Под общей ред. Попова Б.П. "Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления", М.: Машиностроение, 1970.

46. Основы проектирования следящих систем. Под ред. Н.А.Лакоты, "Машиностроение", 1978.

47. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.-Л., "Фязматгиз", I960, 792 с.

48. Попов Е.П. Приближенные методы исследования переходных процессов в нелинейных системах методом гармонической линеаризации. Изв. АН СССР, ОТН, 1956, № 12.

49. Попов Е.П. Приближенное исследование переходных процессов в нелинейных автоматических системах методом гармонической линеаризации. Изв. АН СССР, ОТН, 1955, lb 9.

50. Попов Е.П. Об определении высших гармоник несимметричных автоколебаний. Изв. АН СССР, ОТН, "Механика и машиностроение", 1959, В 6.

51. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования. АиТ, 1961, J& 8, с. 961-979.

52. Пальтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. М.: Наука, 1975.

53. Первин Ю.А. Основы Фортрана. Изд. "Наука", 1972.

54. Пятницкий Е.С. Новые исследования по абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования (обзор). АиЯГ, 1968,1. J* 6, с. 5-36.

55. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: ГИТТЛ, 1954.

56. Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1970.

57. Проектирование следящих систем с помощью ЭВМ. Под ред.

58. Медведева B.C., Попова Е.М., М., 1979.

59. Применение ЦВМ для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования на основе критерия

60. Попова. Моюллер Г., М., 1972.

61. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. Под ред. Якубовича В.А., М., 1983.

62. Современные методы проектирования САУ. Под общ. ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова и Ю.П. Топчеева. М.: Машиностроение, 1967.

63. Современная теория автоматического управления и ее применение. Сю Д., Мейер А. Перевод с англ. М.: Машиностроение, 1972.

64. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Г. Корн и Т. Корн. - Изд-во "Наука", М., 1970, 720 с.

65. Старикова М.В. Автоколебания и скользящий режим в системах автоматического управления. Машгиз, М., 1962.

66. Следящие приводы. Под ред. Чемоданова Б.К. М.: Энергия, 1976.

67. Сборник научных программ на Фортране. Перевод с англ. С .Я. Валентина. -М., 1974.

68. Техническая кибернетика. Книга I. Под ред. Солодовникова В.В. , Изд-во "Машиностроение", М., 1967.

69. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управления при случайных воздействиях. Под ред. А.В. Нетушила. М.: ВШ, 1983.

70. Теория автоматического управления. Часть I. Под ред. А.В.Не-. тушила. М.: ВШ, 1968, 424 с.

71. Теория автоматического регулирования. Часть 2. Под ред. А.В. Нетушила. М.: ВШ, 1972, 460 с.

72. Теллер Д., Пестель М. Анализ и расчёт нелинейных систем автоматического управления. Перевод с англ. М.-Л.: Энергия, 1964.- 120

73. Тустин А. Автоматическое и ручное регулирование.

74. A cadeт/с Press , Ж У.} issz .

75. Теория и техника следящих систем. Жиль I., Пелегрен Н., Декольн П. М., Машгиз, 1961, 804 с.

76. Урмаев А.С. Основы моделирования на АЕМ "Наука", М., 1976.

77. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. М.: Наука, 1978.

78. Фелъдбаум А.А. Введение в теорию нелинейных цепей. М. : ГЭИ, 1948.

79. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений. М., 1980.

80. Хлыпало Е.И. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах. "Энергия", Л., 1973, 344 с.

81. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974, 576 с.

82. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: ФМ, 1963, 968 с.

83. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

84. Честнат Г. Приближенный частотный метод представления насыщения и зоны нечувствительности. Сб. "Частотные методы в автоматике". Под ред. Карабанова В.А. - М.: ИЛ, 1957.

85. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем . и систем регулирования. М.: ГЭИ, 1959.

86. Чернов B.C., Чуднова Л.А. Определение параметров автоколебаний систем с нелинейностью типа люфта. АиТ, 1968, JS 10,с. 182-184.

87. Чернов В.Г. Об одном методе гармонической линеаризации нели-нейностей в автоматических системах. АиТ, 1984, JS I,с. 167-172.

88. Шомло Я. Обобщенный метод для исследования систем с кусочно-линейными характеристиками. Уточнение первого приближения периодического решения. АиТ, № 10, 1966.

89. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975, с. 74-180.

90. Якубович В.А. Частотные условия автоколебаний в нелинейных системах с одной стационарной нелинейностью. Сиб. матем. ж., 1973, Т. 14, № 5, с. II00-II29.

91. Якубович В.А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями. Докл. АН СССР, Т. 171, 3, 1966.

92. Якубович В.А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. АиТ, 6, 1967.

93. Яворский В.Н., Макшанов В.И., Ермолин В.П. Проектирование . нелинейных систем. "Энергия", Л., 1978.

94. Лешу А й., Jury Е. /. A Mole on Aizerman's Critem/ij)

95. IEEE Trans, on Automatic Cant roc ,1foLAC-Ю , ПО. 4, РР- №- 483, .October 1365.92. puts Я. Тио counterexamples to Aizerman's Conjecture „ IBEB Trans, on Automatic Control'

96. Vot AC- 11, no. J , pp- 553 556 у Jufy 196$

97. Tusiin A. The effects of bach^sh and of speedtependent friction on tke Stability ctosed cycte controf jys terns , Y.B.E, Ve£. 24, m7 •