автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оптимальных стратегий инвестирования в линейной модели рынка

На правах рукописи

005000899

Камбарбаева Гаухар Сабикановна

Математическое моделирование оптимальных стратегий инвестирования в линейной модели рынка

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

11 7 НОЯ 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

005000899

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" (МГУ им. М.В. Ломоносова).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Розанова Ольга Сергеевна Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

заседании диссертационного совета Д 218.005.10 в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, ауд. 1235.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Поспелов Игорь Гермогенович кандидат физико-математических наук Селиванов Андрей Валерьевич

Ведущая организация: Центральный экономико-математический

институт РАН

Защита состоится

2011 года в часов на

Автореферат разослан

2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.т.н., профессор р П. Соловьев

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Со времени начала существования фондового рынка задача управления портфелем инвестиций (то есть рассредоточения капитала по различным видам ценных бумаг в условиях неопределенности) является чрезвычайно актуальной. Под инвестиционным портфелем понимается набор реальных или финансовых инвестиций. В узком смысле это совокупность ценных бумаг разного вида, разного срока действия и разной степени ликвидности, принадлежащая одному инвестору и управляемая как единое целое. Основная идея портфельной теории заключается в поиске компромисса между риском и ожидаемой доходностью портфеля, в поиске наилучших стратегий диверсификации.

Начало современных исследований в области моделей портфельного инвестирования было положено Г. Марковичем в 1950-1952 годах. Он ввел понятие эффективного портфеля. Доходность портфеля рассматривается как случайная величина и портфели оцениваются по математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению этой случайной величины. Портфель был назван эффективным, если из тех же ценных бумаг и при тех же ограничениях на их пропорции нельзя составить другой портфель, который имел бы такое же математическое ожидание доходности и меньшее среднеквадратичное отклонение либо такое же

среднеквадратичное отклонение и большее математическое ожидание доходности. В 1959 году Г. Марковиц издал книгу "Portfolio selection: Efficient Diversification of Investments", которая до сих пор остается важным учебником по портфельной теории. Существенный вклад в эту теорию был сделан Дж. Тобином, который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных. Оптимальный портфель выбирается из множества эффективных с учетом отношения инвестора к риску и ожидаемой доходности портфеля, мерами которых являются соответственно стандартное отклонение и математическое ожидание доходности портфеля. Работы Г. Марковича привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. В какой-то степени итогом бурного периода развития портфельной теории было появление в 1970 году знаменитой монографии еще одного из создателей портфельной теории У.Ф. Шарпа "Portfolio Theory and Capital Markets". Все три упомянутых математика были удостоены за свои работы Нобелевской премии по экономике.

Практическое значение теории эффективных портфелей, которая позволяет увеличить прибыль и снизить риск инвестирования, очень велико. Однако, в то же время эта теория подвергается критике как слишком идеализированная и неспособная охватить все особенности практической ситуации. В частности, вызывает критику тот факт, что в теории эффективных портфелей не учитывается либо учитывается очень упрощенно влияние рыночных факторов, которые могут быть весьма разнообразными и играть ведущую роль при формировании стоимости активов. Это, в первую очередь, процентная ставка по банковским вкладам, стоимость сырья, рыночные индексы, уровень безработицы и т.д. Кроме того, кри-

терии оптимальности портфеля могут быть самыми разнообразными. Они могут учитывать при составлении портфеля не только объективные факторы, такие как его доходность и рискованность, но также и предпочтения инвестора, его склонность к риску. Последнее дает инвестору свободу выбора рыночного поведения и поэтому более привлекательно с практической точки зрения.

В последнее десятилетие большую известность приобрели работы Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски (первая из них появилась в 1999 году). Они рассматривают линейную стохастическую модель рынка, в которой активы зависят от стохастических же факторов. Ряд эмпирических исследований М.Н. Pesaran, A. Timmermann (1995), A.D. Pateiis (1997), A. Ilmanen (1997) подтвердили обоснованность рассмотрения такой модели. Т.Р. Белецкий и С.Р. Плиска строят рискочувствительную оптимальную стратегию инвестирования на бесконечном горизонте времени. Для этого рассматривается некоторый достаточно сложного вида функционал, зависящий от параметра риска, выбираемого инвестором. Авторы называют свой функционал темпом роста капитала в долгосрочной перспективе с некоторыми оговорками. Классическим примером во всех их работах является случай одного рыночного фактора, линейной процентной ставки. Есть также работы Т.Р. Белецкого, С.Р. Плиски и их последователей, в которых рассматривается одна из возможных моделей нелинейной процентной ставки (Кокса-Ингерсолла-Росса), однако здесь получены лишь частичные результаты.

Мы, отталкиваясь от модели Белецкого-Плиски, строим рискочувствительную стратегию в любой выбранный момент времени, фиксируя при этом текущие значения факторов. А именно, рассматриваем разницу между математическим ожиданием доходности капитала портфеля и величиной дисперсии этой доходности с

коэффициентом, являющимся параметром риска, и максимизируем этот функционал над классом допустимых стратегий управления. Такой функционал аналогичен первым двум членам при разложении функционала Белецкого-Плиски в ряд Тейлора по малому рискочувствительному параметру. Таким образом, наш способ управления портфелем скорее относится к тактическим (Tactical Asset Allocation) в отличие от стратегического (Stratégie Asset Allocation), когда наибольшая выгода достигается к некоторому заданному в достаточно далеком будущем моменту времени. В диссертации приводятся явные формулы для стратегии управления н случае однофакторной модели, когда фактор - процентная ставка. Нами были рассмотрены различные способы моделирования процентной ставки, и явные формулы получены как для линейной процентной ставки Васичека, так и для нелинейной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса.

Мы сравниваем нашу зависящую от времени стратегию управления с той, которая предлагалась в работах Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски, и заключаем, что при небольших временах управления при определенных значениях параметров наша стратегия дает явное преимущество.

Методы исследования.

Исследования данной работы опираются на теорию стохастических дифференциальных уравнений, теорию дифференциальных уравнений с частными производными, теорию преобразования Фурье, матричные уравнения Риккати, теорию аффинных моделей в финансовой математике.

Целями работы являются:

1. Рассмотрение стохастической модели рынка активов, зависящих от рыночных факторов. Построение в ней наилучшей стратегии инвестирования в каждый фиксированный момент времени с учетом отношения инвестора к риску.

2. Сравнение предложенной стратегии инвестирования в фиксированный момент времени со стратегией Белецкого-Плиски.

3. Разработка программного продукта для расчета и визуализации предложенной стратегии инвестирования.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Предложен новый метод построения инвестиционного портфеля в любой фиксированный момент времени. Предложенный метод рассматривается в стохастической модели рынка активов, зависящих от любого числа стохастических рыночных факторов.

2. Получены явные формулы для предложенной стратегии в случае рыночного фактора, описываемого линейным стохастическим дифференциальным уравнением, отвечающего процентной ставке Васичека. При этом рассмотрены различные начальные распределения величины процентной ставки: гауссов-ское и равномерное.

3. Получены явные формулы для предложенной стратегии в случае рыночного фактора, являющегося процессом квадратного корня (модель процентной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса) с равномерным начальным распределением.

4. Получены явные формулы для вычисления условных математических ожиданий одних случайных величин по другим (при фиксированном значении последних) для частных случаев стохастических систем, возникающих в экономических приложениях. При этом рассмотрены два подхода к построению решения: сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и представление в терминах преобразования Фурье.

5. Проведено сравнение полученной стратегии со стратегией Белецкого-Плиски. Показано, что полученная стратегия при нулевом параметре риска при всех временах дает большее математическое ожидание доходности при фиксированном значении фактора, чем стратегия Белецкого-Плиски. Если параметр риска отличен от нуля, то при определенных условиях такая ситуация сохраняется до некоторого момента £ > 0. Этот момент, как показывают вычисления для реальных данных, может быть порядка нескольких лет.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит как теоретический, так и практический характер. Теоретические результаты могут применяться для дальнейшего исследования структуры финансовых рынков. Построенная стратегия инвестирования может найти применение в практических задачах управления портфелем ценных бумаг с учетом отнешения инвестора к риску при малых временах управления.

Апробация работы.

Результаты диссертации обсуждались и докладывались на семинаре под руководством A.C. Шамаева, О.С. Розановой, и Э.Р. Розендорна (МГУ, 2008-2011), на семинаре в ВЦ РАН под руководством профессора A.A. Шананина (2011), на международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2010", на миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (МЭСИ, 2010), на II международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2010), на 51-й международной конференции МФТИ (2008).

Исследования поддержаны аналитической ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1|-[6]. Из совместной работы f6] в диссертацию вошли только принадлежащие Г.С. Камбарбаевой результаты. Работы [1], [2] опубликованы в журналах, входящих в перечень научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на двадцать четыре пункта и списка литературы, включающего сорок один источник. Общий объем диссертации 103 страницы.

Краткое содержание работы.

Во введении кратко приводятся основные сведения о предмете исследования, характеризуется тема, цели и задачи диссертации. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления исследования. Представлены полученные в диссертации результаты.

В первой главе отражена методология исследования задачи оптимального управления инвестиционным портфелем как основного объекта исследования представленной диссертации.

В первом и втором пунктах описаны основные определения, использующиеся в финансовой математике при рассмотрении рынков ценных бумаг. Приводятся определения таких понятий, как эффективный портфель, стохастический рынок активов.

В третьем пункте подробно описана стохастическая модель рынка согласно Т.Р. Белецкому и С.Р. Плиске.

Пусть (П, Р) — вероятностное пространство. Обозначим через

г = 1,...,то, стоимости активов, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями с трендами, зависящими от совокупности рыночных факторов Х^, ] = 1,..., п, каждый из которых также описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением:

(1)

5,(0) = ^ > 0, г = 1,...,т,

¿ад = (в, + + £ \]кй\Ук{1),

Р=1 к=1 (2)

Х}(0) = 1,..., п,

где — (т + п)-мсрное броуновское движение с независимыми компонентами

— п-мерный процесс с компонентами А,, В^, сцр,стц., А^ некоторые константы, являющиеся параметрами модели.

Пусть Я1 := <г((5(в),Х(в)),0 < в < *)> где = (З^),-, &>(*)) является процессом стоимостей активов. Обозначим через Л(<) = (/1х(<),..., Ьт(1)) гп-мерный инвестиционный процесс, или стратегию инвестирования, где /г,(£) доля капитала, инвестированная в г-й актив в момент времени £. Будем называть стратегию допустимой, если она удовлетворяет следующим условиям:

(г) £>(«) = 1; 1=1

(и) /г(£) прогрессивно измерим по Ои

(иг) Р[ / к'(з)к(з)<18 < ос] = 1 для всех конечных £ > 0. ./о

Класс допустимых стратегий инвестирования будем обозначать через Н. Тогда процесс капитала !/(£) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

дчо = ¿мот

¿=1

(Л; + ¿а<рад)Л +

р=1 /¡=1

(4)

У(0) = и > 0.

В четвертом пункте подробно рассмотрена одна из возможных методик оптимальной стратегии инвестирования модель Белсцкого-Плиски на бесконечном горизонте времени.

Задача сводится к задаче максимизации функционала над классом допустимых стратегий Tí1:

Je := liminf weQe(t) := ~ ЫЩе^^), в > -2,0

где V(t) - капитал портфеля, составленного из m активов.

Возникновение этого функционала у Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски обусловлено методом, им приходится искать решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Подробный алгоритм отыскания оптимальной стратегии инвестирования Ho(t) и соответствующего максимального значения функционала Jg приводится в работах Т.Р. Белецкого, С.Р. Плиски (1999-2000).

Согласно разложению в ряд Тейлора в окрестности точки 0 = 0, имеем2

Qe(t) = Е In V(t) - jVar(ln V(t)) + 0(02), (5)

поэтому функционал Jg был интерпретирован исследователями как ожидаемый темп роста капитала портфеля с учетом дисперсии с точностью до в2.

Вторая глава носит технический характер, результаты ее используются в главе 3. Глава состоит из трех пунктов.

В первом пункте описывается постановка задачи нахождения условного математического ожидания и условной дисперсии случайной величины F при фиксированном значении величины X, когда случайные величины описываются стохастическими дифференциальными уравнениями:

dF = A(t, F, X)dt + a(t, F, X)dWu

dX = B(t, F, X)dt + A(£, F, X)dW2, (6)

f(o) = /, X(0) = X, t > o, / G r, x e m,

'E( j — математическое ожидание в вероятностном пространстве (П, {/¡}е>о, J7, Р) -Var(-) дисперсия в вероятностном пространстве (П, Р)

где 1У = (\¥1,\¥2) - двумерное броуновское движение с независимыми компонентами, А, В,а,\- заданные функции.

При построении оптимальной стратегии управления, описываемой в главе 3, под Р будем понимать логарифм капитала портфеля, под X - рыночный фактор.

Совместная плотность распределения Р(£, /, х) случайных величин .Р и X описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (см., например, Оксендаль (2003)}:

Ы ~ ^ (7)

дВ(иР,Х)Р(Ц,х) , 1 д2А2(<,-Г,Х)Р(<,/, х) дх + 2 Эх2

с начальными данными

Р(0,/,*) = Р0(/,*), (8)

определенными начальными распределениями Р и X.

Если Р(£,/, х) известна, то можно найти условное математическое ожидание (среднее) величины Р при фиксированном значении X в момент времени I, определенное формулой, согласно, например, книге А.Н. Ширяева (1980):

(0)

Условная дисперсия величины Р при фиксированном значении X в момент времени £ задается формулой

у(1,х) := Уаг(Р(*)|Х(«) = «) = ^Р^И " (1°}

Во втором и третьем пунктах приводятся алгоритмы вычисления условных математических ожиданий и условных дисперсий одних случайных величин при фиксированных значениях других слуйчайных величин.

Для отыскания фундаментального решения уравнения (7) существуют громоздкие алгоритмы с точностью до решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений для матричных уравнений Риккати (например, в работах S. Yau (2004), R. Cordero-Soto, R.M. López, E. Suazo, S.K. Suslov (2008)). Однако, для некоторого простого, но важного для приложений выбора начальных данных задача (7), (8) имеет явное решение в элементарных функциях.

Если рассматривать случайные величины с постоянными волатильностями (ст = const), то решение задачи сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что в данном случае уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова явно интегрируется, так как оно относится к "уравнениям второго порядка" — уравнениям параболического типа, у которых сумма степеней производных по пространственным переменным и степеней многочленов, стоящих в качестве коэффициентов при этих производных, равна двум. Выбор а = const в системе (6) является определяющим фактором для получения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в виде уравнения второго порядка. Такой выбор волатильно-стей оправдан для экономических приложений, в которых коэффициенты системы (6) являются осмысленными параметрами рынка ценных бумаг. Отметим, что в случае а = a{t) специального вида также можно получить уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в виде уравнения второго порядка.

Также отметим, что иногда преобразование Фурье по переменным /, х функции P(t, /, х) находится гораздо проще, чем сама эта функция. В этом случае условное математическое ожидание и условную дисперсию можно выразить в терминах преобразования Фурье.

Мы используем следующий результат. Предположим, что P(t, преоб-

разование Фурье по переменным /, х функции P(t, /, х), являющейся решением задачи (7), (8). Пусть P(t,/j,£) и d^Pit, 0, £) являются по убывающими на бесконечности быстрее всякой степени функциями. Тогда величина /(£,х), определяемая формулой (9), может быть найдена как

f(t,x) = * ' - t> о, хеш.

FfHP(tAO)(t,x)

Условная дисперсия величины F при фиксированном значении X в момент времени t, определенная формулой (10), также может быть найдена в терминах преобразования Фурье от совместной плотности распределения P(t,f, х): (F~l [ditP{t, 0, £)])2 - Ff1 [dfcP(t, 0,0]f£"1 [И*, 0,0],, ,

(Ffl[P(tA0})2

В третьей главе построена стратегия инвестирования, применяя которую инвестор может управлять портфелем инвестирования и максимизировать доход от портфеля в каждый выбранный момент времени.

В первом пункте приведена постановка задачи. Рассмотрен рынок активов (1), (2) и портфель инвестирования (4), определенные в рамках модели стохастического рынка согласно Т.Р. Белецкому и С.Р. Плиске. Если положить In V(t) = F(t), то согласно формуле Ито

dF(t) =

m ^ m+n m п .

- -к] 4)

.1=1 Jfc=l !=1 р=1

m m+n

+Y,h*'52<T*dWk(t).

dt+

«=1 к

Решается задача: при фиксированном £ найти тах <§-у(£, х; к) над классом допустимых стратегий инвестирования к, заданных в (3) в рамках модели Белецкого-Плиски, при фиксированных значениях факторов Х1(£) = £1,..., Х„(£) =

хп в заданный момент времени t, где

07(*, х; К) := /(*, а:; Л.) - г; Л), г = (хьх„)

и 7 = I > 0 коэффициент риска, подобный параметру в в модели Белецкого-Плиски. Функционал (¿^ аналогичен первым двум членам разложения в ряд Тейлора по малому рискочувствительному параметру 0 функционала С}в в модели Белецкого-Плиски (5).

Решение задачи экстремума дает нам стратегию, позволяющую получить максимальный доход портфеля с учетом потерь, возникающих из-за случайности, описываемой дисперсией. Меняя параметр 7, мы можем преувеличивать или преуменьшать роль случайности, либо вовсе ее не учитывать, устремляя 7 к нулю.

Во втором пункте приведен алгоримт решения задачи экстремума для одно-факторного случая (п = 1):

- сначала вычисляются условное математическое ожидание и условная дисперсия по одному из алгоритмов, приведенных в главе 2;

- затем выписывается функционал <27(1,х;к) в явном виде, это будет квадратичная функция по Л;

- далее применяется метод Лагранжа для отыскания экстремума функции.

Преложенная модель рассмотрена в случаях, когда фактор моделируется двумя различными способами в качестве линейной процентной ставки (процентной ставки спот или модель Васичека)

dR.it) = {В + + Ш/Ц),

Д(0) = г,'5>0,/3<0,А>0,

и нелинейной ставки, когда волатильность ее пропорциональна квадратному корню от значения ставки (модель Кокса-Ингерсолла-Росса):

<ШЦ) = (В + /?Д(4))<Й + А Д(0) = г > О, В > 0, /3 < О, Л > 0, -2ЦБ > А2.

Отметим, что Т.Р. Белецкий и С.Р. Плиска построили свою стратегию лишь для случая линейной процентной ставки Васичека. Ставку Кокса- Ингерсолла-Росса они также рассматривали, получили лишь частичные качественные результаты.

В третьем пункте описан случай линейной процентной ставки. Приведен важнейший пример портфеля из двух активов, когда один из активов банковский счет, а фактор — процентная ставка.

Рассмотрены случаи первоначального гауссовского распределения процентной ставки (со средним а,'0 и дисперсией а2), в том числе и предельные случаи в — О, в —> ос, а также случай начального равномерного распределения. Выяснено, что в случае гауссовского распределения, как правило возникает ограничение сверху на время применимости стратегии.

На основе данного примера проведено сравнение полученной стратегии управления со стратегией Белецкого-Плиски в случае равномерного начального распределения величины процентной ставки. Сравнение проведено в смысле условного математического ожидания капитала портфеля при фиксированном значении текущей процентной ставки. Показано, что при этом способе сравнения при любом значении £ полученная нами стратегия дает лучший результат, если параметр риска т принимается равным нулю.

Также изучены асимптотики долей капитала и влияние различных параметров модели на стратегию управления. Детальный анализ проводился на примере порт-

фелей из 2-х и 3-х активов для случая равномерного начального распределения величины процентной ставки. Были получены следующие результаты:

1. Предельные значения асимптотик стратегий вложения на бесконечности в случае двух активов зависят только от значений параметров а;, если а\ ф аг-В случае а.\ — о^ предельное поведение стратегий зависит и от остальных параметров. В случае трех активов предельные стратегии зависят от всех параметров модели. В этом смысле случай двух активов является вырожденным. При времени, стремящемся к бесконечности, предпочтительным оказывается тот актив, который зависит от фактора наименьшим образом (соответствующее а; меньше всего по модулю);

2. Выявлены следующие закономерности:

(a) Увеличение параметра шума соответствующего актива (сг^) приводит к уменьшению доли этого актива в портфеле;

(b) Если разница между = 1,2,3 не велика, то влияние параметра Аг при больших временах мало. Однако при малых временах влияние Л, определяющее. Это приводит к резко отличающейся стратегии вложения при больших и малых временах;

(c) Влияние парметра риска 7 аналогично влиянию параметра /3. Увеличе-, ние того и другого по модулю влечет более быстрый выход стратегий на асимптотику.

В четвертом пункте описан случай нелинейной процентной ставки, когда фактор является процентной ставкой Кокса-Интерсолла-Росса. Явные формулы

оптимальных стратегий удается получить только для случая равномерного начального распределения величины процентной ставки.

В пятом пункте приводится сравнение стратегий вложения для случаев линейной и нелинейной процентных ставок.

В четвертой главе приводится описание программного продукта, разработанного для выполнения практических расчетов значений оптимальной стратегии в фиксированный момент времени при заданных численных данных.

Основные результаты работы.

1. В диссертации построена рискочувствительная в определенном смысле оптимальная стратегия инвестирования в модели рынка активов, зависящих от рыночных факторов. Применяя предложенную стратегию, инвестор может управлять портфелем инвестирования и максимизировать свой доход в каждый выбранный момент времени.

2. Для частных случаев стохастических систем, возникающих в экономических приложениях, получены явные формулы для вычисления условных математических ожиданий и условных дисперсий одних случайных величин при фиксированных значениях других.

3. На основе полученных формул в явном виде была выписана предложенная стратегия управления для классического примера портфеля из двух активов, когда один из них - банковский счет, а рыночный фактор — процентная ставка. Были рассмотрены различные способы моделирования процентной ставки и различные начальные распределения процентной ставки. Явные формулы были получены как для линейной процентной ставки Васичека, так и для

19

нелинейной процентной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса.

4. Для анализа применимости предложенной стратегии к реальным данным был разработан программный продукт, который позволяет выполнять расчеты и визуализировать результаты. На базе данного программного продукта были проведены расчеты с реальными историческими данными индекса NASDAQ и эффективной ставки по федеральным фондам за 2009 - 2011 годы. Этот пример показал легкость применения предложенной стратегии на практике.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Камбарбаева Г.С. О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях// Вестник МГУ, Сср.1. Математика. Механика. 2010, №5, с. 10-15.

2. Камбарбаева Г.С. Задача составления эффективного портфеля в модели рынка согласно Белецкому и Плиске// Вестник МГУ, Сср.1. Математика. Механика. 2011, №5, с. 14-20.

3. Камбарбаева Г.С. Об оптимальных рискочувствитсльных стратегиях в линейной модели рынка с различными способами моделирования процентных ставок: теория и возможные приложения// Москва, изд-во МЭСИ, 2010, с. 96-106.

4. Камбарбаева Г.С. Об асимптотическом поведении оптимальных стратегий инвестирования в модели рынка Белецкого-Плиски// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011, т. 18, в. 3, с. 493-494.

5. Камбарбаева Г.С. Задача составления эффективного портфеля в модели рын-

ка согласно Белецкому и П л иске// Тезисы конференции "Ломоносов-2010", МГУ.

6. Камбарбаева Г.С., Розанова О.С. О некоторых задачах рискочувствительного управления портфелем для моделей с непрерывным временем// II международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". Тезисы. Иркутск, 28 июня - 4 июля 2010, с.35.

Камбарбаева Гаухар Сабикановна

Математическое моделирование оптимальных стратегий инвестирования в линейной модели рынка

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Подписано в печатыиффаказ №5Э#Формат 60 х 90/16 Тираж 80 экз. Усл. -печ. л. — 1.5

127994, Москва, ул. Образцова, д. 9, стр. 9, УПЦ ГИ МИИТ

Введение

0.1 Обзор имеющихся результатов.

0.2 Основные результаты диссертации.

0.3 Краткое содержание работы.

1 Общие определения и понятия

1.1 Проблема выбора инвестиционного портфеля.

1.2 Задача составления эффективного портфеля.

1.3 Стохастическая модель рынка

1.4 Оптимальная стратегия инвестирования Белецкого и Плиски

2 О некоторых подходах к решению задачи нахождения условных математических ожиданий случайных величин

2.1 Постановка задачи и два подхода к построению решения.

2.2 Сведение задачи к решению системы ОДУ.

2.3 Представление в терминах интегралов от преобразования Фурье

3 Задача составления эффективного портфеля в фиксированный момент времени

3.1 Постановка задачи.

3.2 Алгоритм решения задачи.

3.3 Случай линейной процентной ставки.

3.3.1 Пример портфеля из двух активов.

3.3.2 Сравнение со стратегией Белецкого-Плиски.

3.3.3 Асимптотики долей капитала портфеля.

3.3.4 Влияние различных параметров модели на оптимальную стратегию на малых временах.

3.4 Случай нелинейной процентной ставки

3.4.1 Задача нахождения среднего.

3.4.2 Пример портфеля из двух активов, зависящих от процентной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса.

3.5 Сравнение стратегий вложения для случаев линейной и нелинейной процентных ставок.

4 Програмный продукт для расчета оптимальной стратегии

4.1 Описание программы

4.2 Интерфейс программы.

4.2.1 Рабочее окно.

4.2.2 Задание исходных данных.

4.3 Режим прогнозирования.

4.4 Режим анализа.

0.1 Обзор имеющихся результатов

Со времени начала существования фондового рынка задача управления портфелем инвестиций (то есть рассредоточения капитала по различным видам ценных бумаг в условиях неопределенности) является чрезвычайно актуальной. Под инвестиционным портфелем понимается набор реальных или финансовых инвестиций. В узком смысле это совокупность ценных бумаг разного вида, разного срока действия и разной степени ликвидности, принадлежащих одному инвестору и управляемых как единое целое. Основная идея портфельной теории заключается в поиске компромисса между риском и ожидаемой доходностью портфеля, в поиске наилучших стратегий диверсификации.

Начало современных исследований в области моделей портфельного инвестирования было положено Г. Марковицем в 1950 - 1952 годах. Он ввел понятие эффективного портфеля. Доходность портфеля рассматривается как случайная величина и портфели оцениваются по математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению этой случайной величины. Портфель был назван эффективным, если из тех же ценных бумаг и при тех же ограничениях на их пропорции нельзя составить другой портфель, который имел бы такое же математическое ожидание доходности и меньшее среднеквадратичное отклонение либо такое же среднеквадратичное отклонение и большее математическое ожидание доходности. В 1959 году Г. Маркович издал книгу "Portfolio selection: Efficient Diversification of Investments" [1], которая до сих пор остается важным учебником по портфельной теории. Существенный вклад в эту теорию был сделан Дж. Тобином, который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных. Оптимальный портфель выбирается среди множества эффективных портфелей с учетом отношения инвестора к риску и ожидаемой доходности портфеля, мерами которых являются соответственно стандартное отклонение и математическое ожидание доходности портфеля. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. В какой-то степени итогом бурного периода развития портфельной теории было появление в 1970 году знаменитой монографии еще одного из создателей портфельной теории У.Ф. Шарпа "Portfolio Theory and Capital Markets" [2]. Все три упомянутых математика были удостоены за свои работы Нобелевской премии по экономике.

Практическое значение теории эффективных портфелей, которая позволяет увеличить прибыль и снизить риск инвестирования, очень велико. Однако, в то же время эта теория подвергается критике как слишком идеализированная и неспособная охватить все особенности практической ситуации. В частности, вызывает критику тот факт, что в теории эффективных портфелей не учитывается либо учитывается очень упрощенно влияние рыночных факторов, которые могут быть весьма разнообразными и часто играют ведущую роль при формировании стоимостей активов. Это, в первую очередь, процентная ставка по банковским вкладам, стоимость сырья, рыночные индексы, уровень безработицы и т.д. Кроме того, критерии оптимальности портфеля могут быть самыми разнообразными. Они могут учитывать при составлении портфеля не только объективные факторы, такие как его доходность и рискованность, но также и предпочтения инвестора, его склонность к риску. Последнее дает инвестору свободу выбора рыночного поведения и поэтому более привлекательно с практической точки зрения.

Ряд эмпирических исследований М.Н. Pesaran, A. Timmermann [3], A.D. Patelis [4], A. Ilmanen [5] подтвердили обоснованность рассмотрения модели рынка, в которой активы зависят от рыночных факторов. К примеру, М.Н. Pesaran и A. Timmermann проверяли зависимость стоимостей американских акций от следующих факторов: дивидендной доходности, уровня инфляции, стоимости сырья, ставки по казначейским векселям и других. Исследуя исторические данные о стоимостях акций, они показали, что зависимость от факторов имела место на рынке акций 1970-х годов. A.D. Patelis заключил, что прибыль американской фондовой биржи зависит от факторов валютной политики, дивидендной доходности, маржи сверх процентных ставок и месячной реальной процентной ставки. А. Ilmanen показал, что прибыль по долгосрочным казначейским облигациям США зависит от структуры процентных ставок по срочности ссуд, реальной (скорректированной на темпы роста цен) доходности, фактического уровня благосостояния и психологии инвестора. Существует огромное количество исследований на эту тему.

В то же время развивалась стохастическая теория рынка и в некоторых случаях учитывалось влияние рыночных факторов. В знаменитой работе R.E. Lucas [6] рассмотрена следующая модель: активы являются дискретными стохастическими процессами и зависят от рыночных факторов, описываемых марковскими процессами. Решается задача максимизации ожидаемой дисконтированной полезности потребления на бесконечном горизонте времени. R.C. Merton [7], I. Karatzas [8] и другие исследователи использовали модель стохастического управления для построения непрерывной по времени стратегии управления портфелем активов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, но без учета рыночных факторов. Принимая во внимание важность этих моделей в теории финансовой математики, было естественным рассмотреть расширенную стохастическую модель с учетом рыночных факторов. Расширенная модель была рассмотрена впервые в работе R.C. Merton 1973 года [9], но факторы учитывались в очень общей и абстрактной форме. В работе M.J. Brennan, E.S. Schwartz, R. Lagnado [10] идея состояла в том, чтобы моделировать факторы как диффузионные процессы и активы как соответсвующие геометрические броуновские движения с кэффи-циентами сдвига и диффузии в виде заданных функций от факторов. Их целью было максимизировать ожидамую полезность капитала портфеля к конкретному моменту времени в будущем. Продолжая методологию стохастического управления, они показали, что максимум ожидаемой полезности — это функция от времени и факторов, которая может быть получена при помощи решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Они рассмотрели частный случай модели, когда коэффициенты сдвига и диффузии процесса стоимости актива являются афинными функциями факторов, и протестировали на примере портфеля из трех активов (наличные, биржевой индекс и долгосрочные облигации) с учетом трех факторов (краткосрочной процентной ставки, долгосрочной процентной ставки и дивидендной доходности биржевого индекса). Основное ограничение подхода Brennan-Schwartz-Lagnado состоит в том, что невозможно получить явную формулу для оптимальных стратегий. Более того, на практике возникают ограничения на количество факторов, связанные с тем, что уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана приходится решать численно.

В последнее десятилетие большую известность приобрели работы Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски (первая из них появилась в 1999 году). В их модели активы также зависят от факторов, которые моделируются в виде стохастических процессов аналогично модели Bremian-Schwartz-Lagnado [11],[12]. Т.Р. Белецкий и С.Р. Плиска максимизуруют некоторый достаточно сложного вида функционал, зависящий от параметра риска, выбираемого инвестором, и таким образом строят рискочув-ствительную оптимальную стратегию инвестирования на бесконечном горизонте времени. Авторы называют свой функционал темпом роста капитала в долгосрочной перспективе с некоторыми оговорками [11]. Предельный переход по времени позволяет им получить оптимальные стратегии более простого вида (так как нет зависимости от времени), которые могут быть посчитаны для любого количества факторов. Отметим, что классическим примером во всех их работах является случай одного рыночного фактора, линейной процентной ставки. Есть также работы Т.Р. Белецкого, O.P. Плиски и их последователей [13], в которых рассматривается одна из возможных моделей нелинейной процентной ставки (Кокса-Ингерсолла-Росса), однако здесь получены лишь частичные результаты.

Отметим, что рискочувствительные критерии также рассматривались в работах M. Lefebvre и P. Montulet [14], W.H. Fleming [15], D.R. Carino [16] в различных моделях портфельного инвестирования.

Мы, отталкиваясь от модели Белецкого-Плиски, строим рискочуствительную стратегию в любой выбранный момент времени, фиксируя при этом значения факторов. А именно, рассматриваем разницу между математическим ожиданием доходности капитала портфеля и величиной дисперсии этой доходности с коэффициентом, являющимся параметром риска, и максимизируем этот функционал над классом допустимых стратегий управления. Такой функционал аналогичен первым двум членам при разложении функционала Белецкого-Плиски в ряд Тейлора по малому рискочувствительному параметру.

Таким образом, наш способ управления портфелем скорее относится к тактическим (Tactical Asset Allocation, см., например, [17]) в отличие от стратегического (Stratégie Asset Allocation, [10]), когда наибольшая выгода достигается к некоторому заданному в достаточно далеком будущем моменту времени. В диссертации приводятся явные формулы для полученной стратегии управления в случае одно-факторной модели, когда фактор — процентная ставка. Нами были рассмотрены различные способы моделирования процентной ставки, и явные формулы получены как для линейной процентной ставки Васичека, так и для нелинейной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса.

Мы сравниваем нашу зависящую от времени стратегию управления с той, которая предлагалась в работах Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски, и заключаем, что при небольших временах управления при определенных значениях параметров наша стратегия дает явное преимущество.

0.2 Основные результаты диссертации

Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Предложен новый метод построения инвестиционного портфеля в любой фиксированный момент времени. Предложенный метод рассматривается в стохастической модели рынка активов, зависящих от любого числа стохастических рыночных факторов.

2. Получены явные формулы для предложенной стратегии в случае рыночного фактора, описываемого линейным стохастическим дифференциальным уравнением (модель процентной ставки Васичека). При этом рассмотрены различные начальные распределения величины процентной ставки: гауссовское и равномерное.

3. Получены явные формулы для предложенной стратегии в случае рыночного фактора, являющегося процессом квадратного корня (модель процентной ставки Кокса-Ингерсолла-Росса) с равномерным начальным распределением.

4. Получены явные формулы для вычисления условных математических ожиданий одних случайных величин по другим (при фиксированном значении последних) для частных случаев стохастических систем, возникающих в экономических приложениях. При этом рассмотрены два подхода к построению решения: сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и представление в терминах преобразования Фурье.

5. Проведено сравнение полученной стратегии со стратегией Белецкого-Плиски. Показано, что полученная стратегия при нулевом параметре риска при всех временах дает большее математическое ожидание доходности при фиксированном значении фактора, чем стратегия Белецкого-Плиски. Если параметр риска отличен от нуля, то при определенных значениях параметров модели такая ситуация сохраняется до некоторого момента Ь > 0. Этот момент, как показывают вычисления для реальных данных, может быть порядка нескольких лет.

0.3 Краткое содержание работы

Во введении кратко приводятся основные сведения о предмете исследования, характеризуется тема, цели и задачи диссертации. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления исследования. Представлены полученные в диссертации результаты.

В первой главе отражена методология исследования задачи оптимального управления инвестиционным портфелем как основного объекта исследования представленной диссертации.

В первом и втором пунктах описаны основные определения, использующиеся в финансовой математике при рассмотрении рынков ценных бумаг. Приводятся определения таких понятий, как эффективный портфель, стохастический рынок активов.

В третьем пункте подробно описана стохастическая модель рынка согласно Т.Р. Белецкому и С.Р. Плиске.

Пусть (Г2, Т, Р) — вероятностное пространство. Обозначим через г = 1 стоимости активов, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями с трендами, зависящими от совокупности рыночных факторов Х^, ] = 1 каждый из которых также описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением:

0.3.1)

0) = Эг > 0, г = 1, .,777, т+п dXj(t) = (Bj + Y]ßjpxp(t))dt + V ЛjkdWk(t),

U tl (0.3.2)

Xj(0) = XjJ = 1, .,n, где W(t) — (т + п)-мерное броуновское движение с независимыми компонентами

Wk(t); X(t) — n-мерный процесс с компонентами Xj(t); Ai, Bj, щр, ßjp, ац,z, Xjk — некоторые константы, являющиеся параметрами модели.

Пусть gt := cr((S(s),X(s)),0 < s < t), где S(t) = (Si(i),., Sm(t)) является процессом стоимостей активов. Обозначим через h(t) — (h\(t),hm(t)) т-мерный инвестиционный процесс, или стратегию инвестирования, где^(£) — доля капитала, инвестированная в г-й актив в момент времени t. Будем называть стратегию h(t) допустимой, если она удовлетворяет следующим условиям1: т

0 = г=1 ii) h(t) прогрессивно измерим по Qt\ (0.3.3) iii) Р[ / hT(s)h(s)ds < оо] = 1 для всех конечных t > 0.

Jo

Класс допустимых стратегий инвестирования будем обозначать через 7-L. Тогда процесс капитала V(t) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

П ГП+Т1

Ai + Y^ ocipXp(t))dt + aikdWk{t) p=i k=i

V(0) = v>0.

В четвертом пункте подробно рассмотрена одна из возможных методик оптимальной стратегии инвестирования — модель Белецкого-Плиски па бесконечном горизонте времени. i

0.3.4)

1(-)т — оператор транспонирования

Задача сводится к задаче максимизации функционала над классом допустимых стратегий 1-0".

Je где Qe{t) := 1пЕ(е^/2)1п^)), 0 > -2,0^0,

ОО t и где V(t) - капитал портфеля, составленного из т активов.

Возникновение этого функционала у Т.Р. Белецкого и С.Р. Плиски обусловлено методом, им приходится искать решение уравнения Гамильтопа-Якоби-Беллмана. Подробный алгоритм отыскания оптимальной стратегии инвестирования Ну и соответствующего максимального значения функционала Jy приводится в работах Т.Р. Белецкого, С.Р. Плиски [11], [12].

Согласно разложению в ряд Тейлора в окрестности точки в — 0 (см. [11],[12]), имеем2

Qe{t) = E(ln V{t)) - ^Var(lnV(i)) + 0(92), (0.3.5) (

4 l поэтому функционал Jq был интерпретирован исследователями как ожидаемый темп роста капитала портфеля с учетом дисперсии с точностью до#2.

Вторая глава носит технический характер, результаты ее используются в главе 3. Глава состоит из трех пунктов.

В первом пункте описывается постановка задачи нахождения условного математического ожидания и условной дисперсии случайной величины F при фиксированном значении величины X, когда случайные величины описываются сто

ХЕ(-) — математическое ожидание в вероятностном пространстве (Г2, {7-i}t>o, J7, Р)

2Var(-) дисперсия в вероятностном пространстве (Г2, { J1^}t>о, Т, Р) хаотическими дифференциальными уравнениями: dF = A(t, F, X)dt + (t(î, F, X)dWu dX = B(t, F, X)dt + A(t, F, X)dW2, (0.3.6)

F(0) = /, X(0) = x, t > 0, / G M, x e M, где W = (W\, W2) - двумерное броуновское движение с независимыми компонентами, А,В,(7, Л — заданные функции. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда А, В — линейные функции от F и X.

При построении оптимальной стратегии управления, описываемой в главе 3, под F будем понимать логарифм капитала портфеля, под X - рыночный фактор.

Совместная плотность распределения P(t, /, х) случайных величин F я X описывается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова (см., например, [18]): dP(t, f, x) dA(t,F,X)P(t,f,x) , 1 d2a2(t,F,X)P(t,f,x) dt df + 2 эр (0.3.7) dB(t,F,X)P(t,f,x) l d2X2(t,F,X)P(t,f,x) dx 2 dx2 с начальными данными

P(OJ.x) = P0(f,x), (0.3.8) определенными начальными распределениями F и X.

Если P(t, /, х) известна, то можно найти условное математическое ожидание (среднее) величины F при фиксированном значении X в момент времени t, определенное формулой, согласно, например, [19]: f(t,x) := -E(F(t)\X(t) = х) = hfp(ffiXS- (0-3-9)

Jа P{t, J, x)df

Условная дисперсия величины F при фиксированном значении X в момент времени t задается формулой v(t,x) := Var(F(i)|*(t) = x) = V^f/'^f " P&x). (0.3.10)

JRP{t, /, x)df

Во втором и третьем пунктах приводятся алгоритмы вычисления условных математических ожиданий и условных дисперсий одних случайных величин при фиксированных значениях других слуйчайных величин.

Для отыскания фундаментального решения уравнения (0.3.7) существуют громоздкие алгоритмы с точностью до решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений для матричных уравнений Риккати (например, в работах S. Yau [20], R. Cordero-Soto, R.M. López, E. Suazo, S.K. Suslov [21]). Однако, для некоторого простого, но важного для приложений выбора начальных данных задача (0.3.7), (0.3.8) имеет явное решение в элементарных функциях.

В случае, когда А и В — линейные функции от X и F (могут быть с коэффициентами, зависящими от времени), а и и А не зависят от X и F, то уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова относится к так называемым "уравнениям второго порядка" — уравнениям параболического типа, у которых сумма степеней производных по пространственным переменным и степеней многочленов, стоящих в качестве коэффициентов при этих производных, равна двум. В этом случае при выборе специальных начальных данных задача (0.3.7), (0.3.8) сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Есть классы уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (кроме уравнений второго порядка), решение которых может также быть сведено к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ним приводят так называемые "афинные модели" [32].

Также отметим, что иногда преобразование Фурье по переменным /, х функции P(t. /, х) находится гораздо проще, чем сама эта функция. В этом случае условное математическое ожидание и условную дисперсию можно выразить в терминах преобразования Фурье.

Мы используем следующий результат. Предположим, что £) - преобразование Фурье по переменным f,x функции P(t,f,x), являющейся решением задачи (0.3.7), (0.3.8). Пусть P(t, 0, £) и d^Pit, 0, £) являются по £ убывающими на бесконечности быстрее всякой степени функциями. Тогда величина f(t,x), определяемая формулой (0.3.9), может быть найдена как

Условная дисперсия величины F при фиксированном значении X в момент времени t, определенная формулой (0.3.10), также может быть найдена в терминах преобразования Фурье от совместной плотности распределения P(t, /, х):

-и ^ (Ff' &р& ^ " Ft Ы и ^ v(t,x) = —--—Ч-----и,х).

Ffl[P(t, О, О])2

В третьей главе построена стратегия инвестирования, применяя которую инвестор может управлять портфелем инвестирования и максимизировать доход от портфеля в каждый выбранный момент времени.

В первом пункте приведена постановка задачи. Рассмотрен рынок активов (0.3.1), (0.3.2) и портфель инвестирования (0.3.4), определенные в рамках модели стохастического рынка согласно Т.Р. Белецкому и С.Р. Плиске. Если положить lnV(i) = F(t), то согласно формуле Ито dF(t) = т ^ т+п тп п

- y^ a2ik) + J2hiYl aipxp(t) г=1 к—1 i=1 p= 1 m m+n dt+

1 к

Решается задача: при фиксированном £ найти шах над классом допустимых стратегий инвестирования /г, заданных в (0.3.3) в рамках модели

Белецкого-Плиски, при фиксированных значениях факторов-X"i(¿) = Х\, .,Xn(t) = хп в заданный момент времени í, где

Q7(í, х; h) := f(t, х; ti) - 7v(t, x\h), x = (хг, .,xn), и 7 = | > 0 — коэффициент риска, подобный параметру 0 в модели Белецкого-Плиски. Функционал Q1 аналогичен первым двум членам разложения в ряд Тейлора по малому рискочувствительному параметру 9 функционала Qq в модели Белецкого-Плиски (0.3.5).

Решение задачи экстремума дает нам стратегию, позволяющую получить максимальный доход портфеля с учетом потерь, возникающих из-за случайности, описываемой дисперсией. Меняя параметр 7, мы можем преувеличивать или преуменьшать роль случайности, либо вовсе ее не учитывать, устремляя 7 к нулю.

Во втором пункте приведен алгоримт решения задачи экстремума для одно-факторного случая (n = 1):

- сначала вычисляются условное математическое ожидание и условная дисперсия по одному из алгоритмов, приведенных в главе 2;

- затем выписывается функционал Q7(t,x;h) в явном виде, это будет квадратичная функция по h;

- далее применяется метод Лагранжа для отыскания экстремума функции.

Преложенная модель рассмотрена в случаях, когда фактор моделируется двумя различными способами — в качестве линейной процентной ставки (процентной ставки спот или модель Васичека, [22]): dR(t) = (В + ¡3R{t))dt + \dW(l),

R(0) = г, В > 0,¡3 < 0, Л > 0, 17 и нелинейной ставки, когда волатилыюсть ее пропорциональна квадратному корню от значения ставки (модель Кокса-Ингерсолла-Росса, [23]):

Ш{і) = (В + + Ху/яЩсШЦ),

ЩО) = г > О, В > 0,¡3 < О, Л > О, -20В > А2.

Отметим, что Т.Р. Белецкий и С.Р. Плиска построили свою стратегию лишь для случая линейной процентной ставки Васичека. Ставку Кокса-Ингерсолла-Росса они также рассматривали, но получили лишь частичные качественные результаты.

В третьем пункте описан случай линейной процентной ставки. Приведен важнейший пример портфеля из двух активов, когда один из активов банковский счет, а фактор — процентная ставка.

Рассмотрены случаи первоначального гауссовского распределения процентной ставки (со средним хо и дисперсией з2), в том числе и предельные случаи й = 0,5 —у оо, а также случай начального равномерного распределения. Выяснено, что в случае гауссовского распределения, как правило, возникает ограничение сверху на время применимости стратегии.

На основе данного примера портфеля из двух активов проведено сравнение полученной стратегии управления со стратегией Белецкого-Плиски в случае равномерного начального распределения величины процентной ставки. Сравнение проведено в смысле условного математического ожидания капитала портфеля при фиксированном значении текущей процентной ставки. Показано, что при этом способе сравнения при любом значении і полученная нами стратегия дает лучший результат, если параметр риска 7 принимается равным нулю. Если параметр риска 7 отличен от нуля, то при определенных значениях параметров модели наша стратегия дает лучший результат до некоторого момента > 0.

Также изучены асимптотики долей капитала и влияние различных параметров модели на стратегию управления. Детальный анализ проводился на примере портфелей из 2-х и 3-х активов для случая равномерного начального распределения величины процентной ставки. Были получены следующие результаты:

1. Предельные значения асимптотик стратегий вложения па бесконечности в случае двух активов зависят только от значений параметров^, если а^ ^ а'2. В случае а\ — »2 предельное поведение стратегий зависит и от остальных параметров. В случае трех активов предельные стратегии зависят от всех параметров модели. В этом смысле случай двух активов является вырожденным. При времени, стремящемся к бесконечности, предпочтительным оказывается тот актив, который зависит от фактора наименьшим образом (соответствующее щ меньше всего по модулю);

2. В случае трех активов выявлены следующие закономерности: a) Увеличение параметра шума соответствующего актива (сг^) приводит к уменьшению доли этого актива в портфеле; b) Если разница между а,, г = 1,.,3, не велика, то влияние параметра Аг при больших временах мало. Однако при малых временах влияние Аг определяющее. Это приводит к резко отличающейся стратегии вложения при больших и малых временах; c) Влияние парметра риска 7 аналогично влиянию параметра ¡3. Увеличение того и другого по модулю влечет более быстрый выход стратегий на асимптотику.

В четвертом пункте описан случай нелинейной процентной ставки, когда фактор является процентной ставкой Кокса-Интерсолла-Росса. Явные формулы оптимальных стратегий удается получить только для случая равномерного начального распределения величины процентной ставки.

В пятом пункте приводится сравнение стратегий вложения для случаев линейной и нелинейной процентных ставок.

В четвертой главе приводится описание программного продукта, разработанного для нахождения оптимальной стратегии согласно методу, описанному в диссертации, на примере реальных данных(индекса NASDAQ и эффективной процентной ставки по федеральным фондам за 2009-2011 годы). Практические расчеты показали, что при равномерном и гауссовском распределениях линейной процентной ставки в общем случае получаются близкие стратегии.

При помощи программного продукта также были проанализированы различные случаи применения предложенной стратегии: разные значения параметра риска, разные периоды выборки исторических данных, разные интервалы пересчета стратегии.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту Розановой О.С. за помощь, оказанную при работе над диссертацией.