автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оптимальной структуры портфеля ценных бумаг при различных критериях их формирования

На правах рукописи

Денисенко Андрей Олегович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КРИТЕРИЯХ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2012

005046400

005046400

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Майкопский государственный технологический университет »

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: Уртенов Махамет Али Хусеевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», заведующий кафедрой прикладной математики

Наталуха Игорь Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор, НОУ ВПО «Кисловодский институт экономики и права», заведующий кафедрой математических и информационных технологий

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» (г.Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится «25» мая 2012 года в 1630 на заседании диссертационного совета Д 212.101.17 при ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», а с авторефератом на сайте http://www.kubsu.ru

Автореферат разослан « 24 » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Барсукова В.Ю.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Социально-экономические преобразования в России, которые направлены на формирование рыночной экономики, обусловили институциональное становление и развитие такой важной сферы экономики, как рынок ценных бумаг. Это связано с тем, что развитие современной экономики зависит от уровня развития корпоративных финансов. Корпоративные финансы составляют основу деятельности любого предприятия, так как снабжают его необходимыми финансовыми и капитальными ресурсами. Для осуществления этих функций корпоративные финансы используют различные источники финансирования: частные накопления, кредитные ресурсы, фондовый рынок.

В последнее время среди основных источников финансирования предприятий начал выделяться фондовый рынок, на котором предприятие может с помощью покупки ценных бумаг аккумулировать необходимые ему ресурсы.

Многие предприятия и банки в настоящее время имеют достаточно большой объем свободных средств, которые можно использовать для инвестирования в различные виды деятельности, или направить на приобретение ценных бумаг. При осуществлении инвестирования в ценные бумаги организация, как и любой другой инвестор, сталкивается с различными целями инвестирования.

Именно портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого может быть достигнуто требуемое соотношение всех инвестиционных целей, которое недостижимо с помощью отдельно взятой ценной бумаги.

Портфели ценных бумаг, формируемые предприятиями, являются частью взаимосвязанной системы портфелей более высокого уровня. Функционирование всей системы портфелей подчинено интересам обеспечения устойчивости и рентабельности всей финансовой системы.

Этими факторами обусловлен выбор темы исследования «Математическое моделирование оптимальной структуры портфеля ценных бумаг при различных критериях их формирования».

Начало исследований в области моделей портфельного инвестирования было положено Г. Марковицем в 1952 году. Интенсивные исследования по построению оптимальных портфелей продолжаются в настоящее время. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг внесли зарубежные исследователи: Г. Марковиц, Дж. Тобин, У.Ф. Шарп, П. Артцнер, Ф. Дэлбэн, Ж.-М. Эбер, Д. Хит, Р.Т. Рокафеллар, М. Шоулс, Р. Ингл, Г.Дж. Александер, Дж.В. Бейли, Г. Дженкинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росс, С. Юрязев, М. Забаранкин, С. Рачев и другие, а так же российские ученные: A.B. Мельников, A.A. Новоселов, С.Я. Шоргин, А.И. Кибзун, И.С. Меньшиков, Е.М. Бронштейн, А.О. Недосекин, А.Г. Шоломицкий, С.И. Спивак, Д.А. Шелагин, А. Черный, А. Долматов, А. Шапкин, A.A. Лобанов, Л.О. Бабешко, A.B. Воронцовский, И.Б. Берколайко, Ю.П. Руссман, Л.О. Миркин, Е.М. Недосекин, Л.П. Четыркин и другие.

В настоящее время российскому рынку ценных бумаг в значительной мере присущ ряд специфических черт: недостаточная ликвидность значительной доли ценных бумаг, доминирующее влияние игровых спекулятивных операций, резкие изменения тенденций, слабая зависимость стоимости акций от финансовых результатов эмитента, недостаточная информационная прозрачность. Все это вызывает большие трудности при оценке и прогнозировании значений рыночных показателей и усложняет применение долгосрочных инвестиционных стратегий. Вследствие чего на российском рынке наиболее популярна активная стратегия управления портфелем, которая сводится к частому пересмотру состава портфеля с использованием новых финансовых инструментов.

Однако такой подход трудно соотнести с традиционными способами построения оптимального рыночного портфеля, которые, в силу использования в своей основе средних значений доходности, рассчитаны на

долгосрочные инвестиции (пассивную стратегию управления портфелем). В связи с этим возникает необходимость в разработке стратегий для краткосрочных портфельных инвестиций, по возможности свободных от предположений об эффективности рынка, которая в последнее время очевидным образом нарушается.

Отметим, что особо значимой при инвестировании портфелей является задача оценки рисков, с которой тесно связаны вопросы идентификации, систематизации, анализа, количественной оценки и управления рисками. Объективная реальность развития рынка свидетельствует о том, что на данном этапе требуются новые подходы к формированию портфеля ценных бумаг, новые способы оценки рыночного риска в условиях невозможности долгосрочного и среднесрочного прогнозирования развития тенденций фондового рынка, новые методы аналитического и численного анализа построенных портфелей.

Все эти факты указывают на актуальность темы диссертационной работы, направленной на построение моделей портфелей ценных бумаг, которые бы соответствовали условиям и требованиям современного финансового рынка.

Объект исследования - портфели ценных бумаг.

Предмет исследования - процесс формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Цель диссертационной работы:

предложить новые математические модели формирования оптимальных портфелей ценных бумаг, которые бы позволяли учесть, в отличие от известных моделей, дополнительные условия формирования портфеля, соответствующих условиях современного финансового рынка, провести анализ (численными и аналитическими методами) и разработать методики исследования предложенных моделей.

Задачи исследования. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач.

1. Провести анализ известных методов формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

2. Предложить метод оптимальной линейной свертки критериев в многокритериальной задаче и использовать его при решении задач оптимизации портфелей ценных бумаг.

3. Предложить математическую модель оптимизации портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры.

4. Провести вычислительные эксперименты по проверке предложенных моделей формирования портфелей ценных бумаг на основе статистических данных о котировках ценных бумаг российского фондового рынка.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы современные компьютерные технологии, методы оптимизации, теории оптимального управления динамическими системами, математической статистики, случайных процессов, теории принятия решений.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод оптимальной оценки коэффициентов в линейной свертке критериев в многокритериальных задачах оптимизации портфелей ценных бумаг. Данный метод предполагает объединение критериев путем построения линейной комбинации частных критериев и переходу к однокритериальной задаче путем оптимального выбора коэффициентов в линейной свертке на основе метода наименьших квадратов.

2. Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры и результаты ее анализа. Данная модель обобщает известные модели формирования портфелей ценных бумаг. Для ее построения использован хорошо изученный аппарат теории оптимального управления линейными системами с квадратичным критерием качества, теории оптимальной фильтрации стохастическими объектами.

3. Результаты анализа состояния рынка ценных бумаг в России с помощью метода из п.1 и модели из п.2. Результаты такого анализа (с привлечением компьютерных технологий) позволяют оценить эффективность использования на практике указанных метода и модели.

Научная новизна. В процессе выполнения диссертационной работы получены следующие научные результаты:

- предложены новые методы формирования оптимального состава многокритериального портфеля;

- разработана математическая модель формирования портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры на основе теории оптимального управления линейными динамическими объектами.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы на фондовых рынках России для формирования оптимальных портфелей ценных бумаг.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на конференциях:

• Международной научно-технической конференции (Computer-Based Conference) «Современные информационные технологии», г. Пенза, 2010;

• IV Всероссийской научной конференции молодых ученых, г.Майкоп, 2007;

• II Всероссийской научной конференция молодых ученых и студентов: Современное состояние и приоритеты развития фундаментальной науки в регионах, г. Краснодар, 2005;

• конференции получателей грантов регионального конкурса «ЮГ» Российского фонда фундаментальных исследований, г. Краснодар, 2010.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, общим объемом 5 печатных листов, в том числе 6 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 100 наименований. Основное содержание работы изложено на 103 страницах.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована цель работы, отмечены применяемые методы исследований, научная новизна и практическая ценность работы, описана ее структура, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой (вводной) главе приведены результаты анализа существующих моделей формирования инвестиционного портфеля, классификация инвестиций по их видам, рассмотрены основные характеристики инвестиций, систематизированы типы инвестиционных портфелей и цели их формирования.

Во второй главе предложена новая методика свертки критериев, которая использована при решении задачи оптимизации структуры портфелей ценных бумаг. Представлена математическая модель формирования многокритериального портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры, построенная с помощью методов стохастического анализа, теории оптимального управления линейными динамическими объектами, а также представлены результаты ее исследования численными и аналитическими методами.

Математические модели всех портфелей в значительной степени похожи друг на друга: имеется критерий, который необходимо оптимизировать (как правило, минимизировать) по некоторым входящим в него параметрам, на которые наложены определенные ограничения. Некоторые из этих ограничений можно использовать при построении новых критериев. В этом случае имеется многокритериальная задача оптимизации (с двумя и более критериями). Данная задача была исследована методом

линейной свертки критериев, полученные результаты были реализованы на ЭВМ с помощью программного продукта «Численно-программный комплекс формирования оптимального портфеля ценных бумаг».

Численные расчеты показывают, что с изменением степени значимости критерия изменяется и максимальная средняя эффективность состава портфеля. В связи с этим фактом был предложен способ оптимальной оценки коэффициентов в линейной свертке.

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации: пусть функции /,(дг), / = 1Д...,т, определены на множестве X,XcR", R"- n-мерное вещественное пространство, и отображают X соответственно в У,■ <= R = (-00, со); требуется найти

/ = 1,2,...,от. (1)

Хорошо известно, что одним из способов решения этой задачи является метод линейной свертки критериев /Длг) из (1). Он предполагает объединение критериев из (1) путем построения линейной комбинации/,(*), i = \,2,...,m (построение взвешенной суммы частных критериев) и переход к однокритериальной задаче:

2 «,/(*)(2)

at = const > 0, i = 1,2,..., от, 2 а, = \ (3)

где от, определяются экспертами. Однако такой подход определения а,, основанный на субъективном мнении экспертов, приводит в конечном итоге к тому, что решение задачи (2),(3) будет в значительной степени субъективным. Можно предложить другой способ определения а„ i = 1,2,..., тя.

Пусть вначале все критерии из (1) не ранжированы. В этом случае предлагается следующий способ свертки /(*) из (1). Зададим точки *а),лг(2),...,л(г) еХ. Вычислим значения у^ =fl(xw),i = l,2,...,m, k=l,...,r, и

построим линейную комбинацию

Я«,«„ ) = (х(к)) + aj2 )+...+я,/, (*"»),* = 1,..., г, в которой а„ / = 1,2,..„m, предлагается выбирать (приближенно) методом наименьших квадратов путем решения задачи нелинейного программирования:

¿[сЯв,,«,,...,«.,*0»)-/)2 +{у{.а„а2,...,ат,хт)-у,г)2 +...

1=1

...+{y(a,,a2,...,am,xfr>)-ytr)2]^ min , (4)

¿«,=1, (5)

1=1

or, >0, i = %..., m. (6)

Для численного решения этой задачи можно использовать различные инструментальные средства, например, офисное приложение электронных таблиц Excel.

Пусть теперь критерии /¡(х), / = 1,2,...,m, ранжированы, например, следующим образом:

/,«>-= Л (*)>-=...>-=/,(*), (7)

где соотношение /,(*)>-= /,„(4р = 1.....»'-1» означает, что критерий /р(х) не

менее предпочтителен, чем критерий fpt,(x). Однако степень предпочтительности fp{x) по отношению к /?+1(л) неизвестна (не указана). В этом случае, очевидно а,,/ = 1,...,ш, должны удовлетворять дополнительному условию

а, > а2 >... > а„. (8)

Тогда задача приближенного вычисления а,, / = 1,2,...,т, в случае их ранжирования согласно (7), сводится к решению оптимизационной задачи (4)-(6),(8).

Пример 1. Пусть в модели (ИИ 13), / = 1, 2,= 1, 2,...,5, ха) =0,5, хт = 3, х°> = 4,5, xw = 7, л(5) = 8,5 ; . Тогда, воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем а, = 0,5, а2 = 0,5.

Если критерии /,0),/20) ранжированы (./;(*)>= /20))> то решая эту же задачу при дополнительном условии (8) (т.е. а1 > аг ), получим тот же результат: а, = 0,5,а2 = 0,5.

Предложенный метод был использован для исследования портфелей Марковича, Тобина, Шарпа.

От модели Марковица с одним критерием можно перейти к двухкритериальной задаче.

t ZWjbg->min, b,j= J=i в

Î>A~> max, 0 = . (9)

Ï0,=l

i=l

ei >0,...,û„ >0.

где - выбранное инвестором значение эффективности портфеля; О, -доля /-ой ценной бумаги в портфеле; т,- математическое ожидание, эффективности Rj i -ой ценной бумаги: mi =MR,,i = 1 ,...,n.

Методом линейной свертки критериев от модели (9) с двумя критериями можно перейти к модели с одним критерием:

«i( S Î^A Х»>Д )—» min,

1 = 1 j=l 1=1 0

i,j = l,...,n, biJ= covfa,Rj\ (10)

i-1

>0.....e„ >0,

в которой константы ana2, a, > 0,a2 > 0,ar, + a2 = 1, каждая из которых определяет степень значимости соответствующего ей критерия, определяется по указанному методу, а затем (при найденных а,,а2) - задача квадратичного программирования (10) решается численными методами с помощью специально разработанного программного продукта «Численно-

программный комплекс формирования оптимального портфеля ценных бумаг».

Аналогичная методика была предложена для исследования портфелей Тобина, Шарпа.

Рассмотрим задачу оптимизации портфеля ценных бумаг в обобщенной постановке: предполагается, что доходности бумаг являются случайными процессами, доли капитала, вкладываемые инвестором в бумаги - кусочно-дифференцируемыми функциями времени, перераспределение капитала в каждый момент времени производиться с ограничеппой скоростью. Данная модель обобщает известные модели формирования портфелей ценных бумаг. Для решения этой задачи был использован аппарат теории оптимального управления линейными динамическими объектами.

Пусть имеется п видов ценных бумаг с заданными доходностями (эффективностями) г^г2,...,г„, из которых инвестор сформирует портфель. Предполагается, что доходности г. являются случайными процессами:

удовлетворяющими системе стохастических дифференциальных уравнений

где а, (/),»■,_/= 1,...,и, - заданные детерминированные непрерывные функции аргумента I е [0,/,], (-'(/), г = 1,...,«, - процессы белого шума с нулевыми средними МУ1т(г) = 0 и матрицей ковариаций (?(/), элементы которой й7(0» ».7=1непрерывные на [0,/,] функции, определяемые соотношениями

г. = ¿¡¡(I), I = 1,..., п, I е [0,/,], = сопи > О,

(п)

4(0 - мо'

до=............................,

,<*„,(') - «„„с),

ЩУ.С) г/0) = в/0Ъ(О,

(12)

¿>\(7), ] = 1,...,и,— 6- функция Дирака, Т- операция транспонирования. Из (11) следует, что математические ожидания т,(0 = Щ(.0 определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^Р = Л(0т(0 Г б[0,/,], ш(0) = т0, ш(0 = (ш,(0,т2,...т„(/)), (13)

т

а элементы £..(/) = соу(^(0,с,(0)) - из системы

^ = /е[0,/,],д:(0)=л:о, (14)

гмо М 0 МО'

т= МО МО МО

мо МО МО,

Будем предполагать, что инвестор в каждый момент перераспределяет свой капитал долями: <9,(0- доля капитала, вкладываемая инвестором в момент г е[0,/,] в 1-ый вид ценных бумаг, / = 1,2,...,и. При этом 0,(0 являются детерминированными (неслучайными) функциями аргумента /, которые удовлетворяют при всех / е [0,/, ] условию

¿0,(0 = 1. (15)

Тогда доходность (эффективность) портфеля Л(0 является случайным процессом и равна

Д(0 = 1>,(0£(0- (16)

Математическое ожидание тр = ЛЖ(0 (средняя эффективность портфеля) и дисперсия ОК(1) равны соответственно

/лД0 = ЛЖ(0 = 2>,(0'»,(0, (17)

»=1

ДЖО = ¿¿0, (1)0, (1)КЯ (0, (18)

,=1 ;=1

где »7,(0 и определяются из (13),(14). Из (15) и (17) следует, что 0,(0, г' = 1,...,п, линейно связаны и некоторые две из них могут быть выражены

через остальные (выразим для определенности 0,(/),02(/)через <?,(/),...,<9„(?), предполагая, что »>,(/)* »;,(/)при всех / е [О,/,]):

т г л _ „. /■»•>

(19)

еа)-т,Ю-т2(.0 Щ«)-т2«) тЛЪ-тЖ)

іи,(0-и2(0 т\ 0)~п>2(<) "' щО)-т1«)Ли

от2(/)-т,(0 «,(0-^(0 "' іи2(0-іи,(0

(20)

Соотношения (19), (20) показывают, что при рассмотрении структуры портфеля

в(.1) = Щ1),в2{1),в]{1),...,вп({)У достаточно учесть в нем только так как 0,(1), О20) выражается

через них.

Далее, как и в [4], допускаем, что можно менять структуру портфеля 0(1) в каждый момент / е[0,/,] с ограниченной скоростью:

Щ(') Л

do.it)

Л

= »з(0, ом = о°,

(21)

структура портфеля, сформированного инвестором в начальный момент времени / = 0. Здесь допускаем, что 030),...,0п(1) являются кусочно-дифференцируемыми функциями на [0,?;], а их производные £>з(0,•••,<?„'(')> то есть іі3(/),...,іі„(0, - кусочно-непрерывны на этом отрезке.

Рассмотрим функционал 'і

г = \[ЄТ«) А',(;)0(/) + ,,т(і)В(!) »(/)]Л, (22)

0

КО) ]

мо

МО

В(0-

КО)

\АэС) ... КМ

Лз(') ••• *„«

Исследована задача: в классе кусочно-непрерывных функций "з(')>—>*<„(') найти набор и°(0 = ("°(0,-,и„0(0), который доставляет минимум

функционалу (22), если (9}(0,-,0„(0) изменяются с течением времени согласно (21).

Используя методы оптимального управления динамическими системами, находим (det В^О):

u0{t) = -B-\t)P(t)e¿t), í6[0,/,], (23)

и0(О = ("з° (0,-,"»), 0!¡{t) = (0*(tl...,0l(t))T, где 00(1)- оптимальная траектория 0(0, получаемая путем подстановки и0(0(определяемого выражением (23)) в (21) и последующего решения системы (21) с заданными начальными условиями, Р(0- матрица размера (п-2)х(п-2) определяется путем решения матричного уравнения Риккати

^Р-Р(,)В-\0Р(0 + к,(0 = О1 (24)

at

с начальным условием

Р(к) = Ох, (25)

В'1 (0- матрица размера (п-2)х(п-2), обратная при каждом /€[0,?,] по отношению к матрице В(0, О,- нуль-матрица размера (п-2)х(п-2).

Рассмотрим теперь более общий случай, когда скорость изменения

структуры портфеля ад = (0,(О.....б,(0)г. подвержена воздействию

dt

аддитивных случайных помех Vm(t) = (y™(t\...,V^\t))T, представляющих собой белый гауссов шум с характеристиками MV¡2'(t) = 0,

MV?\t) к«'(0) = Q?(t)Sj{t), i J =

^ = „(0 + K<n(0, (26)

at

u.(t), i = 1детерминированные (неслучайные) функции.

Из (26) следует, что в,(0< i = \,—,n,- случайные процессы, которые могут принимать значения в (-со,со) (или[0,со)). На практике такой разброс значений 0t (t), очевидно, недопустим. Поэтому вместо случайной структуры

портфеля 6>(/) = (0,(/),...,0 (/))грассмотрим его усредненную структуру -вектор средних значений в(/):

О (г) = М0{1\ в(1) = МО, (/), 1 = 1,..„п.

Согласно (26) = и 0(1)

определяются соответственно из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (13) и

= tc[0,t1l 0(0)=00, (27)

а элементы ^(/) = соу(£(/),^(/))) - из системы (14).

В качестве оценки доходности (эффективности) портфеля выберем величину

(28)

(-1

Математическое ожидание тр=МЯ(/) и дисперсия £>Л(/) равны соответственно

И|,(0 = ЛЯг(0 = ЁЗ(')т,(0, (29)

«=1

т0 = ±±№в,{0к,(0, (30)

1=1 >1

где И,(0 и к. (О определяются из (13),(14). Т.к.

¿3(0 = 1,

1=1

то и

¿3(')=1- (31)

«=1

где Щ и ¿Ш связаны с (/),... Д(/) соотношениями (19),(20) (выражены через них).

Далее допускаем, что въ (/),..., #„(/) являются кусочно-дифференцируемыми функциями на [0,/,], а их производные £>/(?),...,$„ (/)' т0 есть г/3(/),...,г/„(0, - кусочно-непрерывными на этом отрезке. Рассмотрим функционал

^ = )[0Т(() Я.СЖО + ит(1)В(1) и(/)] Л, (32)

О

'МО ... МО

и(/) = (и3(/),...,«|„(/))Г, 0 =

5(0 =

МО ... МО ^ - КМ

чМО ... *„(')

Согласно введенным выше обозначениям, задача оптимизации портфеля ценных бумаг сводится к следующему: в классе кусочно-непрерывных функций и3(0,■■•>"„(О найти набор к°(7) = (г/"(0,(О)? который доставляет минимум функционалу (32), если (в}(1),...,вп(1)) изменяются с течением времени согласно (27).

Данная задача, как и предыдущая (21), (22) представляет собой задачу оптимального управления линейным объектом (27) с квадратичным функционалом (32). Оптимальное управление г<0(/) (скорость), если <1е1 Д * 0, определяется из соотношений:

и0(0 = -Д-'(0Д'Й(0. /е[0,/,], (33)

^-Р(02Г'(/)Р(0 +*,(') = 4 (34)

ш

Щ) = 0,, (35)

Замечание. По указанной схеме можно строить оптимальный портфель ценных бумаг, если доходности i = \являются случайными

величинами с заданными для них математическими ожиданиями т, и заданной ковариационной матрицей К = (а не только

случайными процессами £('))■

Пример 2. Инвестор формирует портфель из трех видов ценных бумаг, эффективности которых £„£2>£} являются независимыми случайными

величинами с математическими ожиданиями /и, =М£, =11, т2 = М%2 =10, тъ = Щ3 = 9 и средними квадратическими отклонениями сг, = = 4, а2=^Щ~2=3, аъ=Щъ=\.

Он считает, что средняя эффективность портфеля должна составить /и0=Ю и допускает, что структура портфеля в(0 = Ш')Л(ОА(*))Т будет меняться с течение времени / є (0,30].

Для начального момента / = 0 инвестор известными методами рассчитал структуру оптимального портфеля (0) = 0,372, 0°(0) = 0,531,0°(0) = 0,098. Требуется рассчитать структуру оптимального портфеля для последующих моментов времени / Є (0,30], если структура портфеля 0(і) изменяется с ограниченной скоростью («,(/), «2(/), и3(/))г:

Решение. Согласно условию /»(/) = ( 11,10,9),

К0) =

16 о о 0 9 0 0 0 1

, «(/) = »,(/), Д(0 = 1.

Поэтому а:,(?) = 1 (см.(32)), О, = 0(см.(35)), задача (34),(35) имеет вид:

[Р(30) = 0.

Решение этой задачи можно построить в явном аналитическом виде:

1-е2'-60

Р(0=

1 + е2'

Тогда (33) имеет вид:

«з°(0 = «."(О-

1 + е2'

Подставляя г/0(/) в (34), имеем:

м<: 1-е2'-60

Л 1 + е

2,-бо (О, 6>30(О) = 0,098. 18

Методом разделения переменных находим решение данной задачи Коши:

(1 + е-60)е'-30 "

03°(/) = 1п

е-30(1+е2'-60)

+ 0,098.

0°(ОА°(0 находим из соотношений (19),(20): в[>{1) = 0°(О 6>°(0 = -20','(і).

Следовательно, і<°(0 = и°(0, и°1(ї) = -2щ(і).

В третьей главе приведен анализ фондового рынка Российской Федерации на основе результатов, изложенных в главе 2. Проведены вычислительные эксперименты, основанные на статистических данных о котировках ценных бумаг российского фондового рынка.

Для проведения вычислительного эксперимента были выбраны 4 вида ценных бумаг - акции российских компаний крупной капитализации1: 1) х1 -ОАО «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ»», 2) х2 - ОАО «Газпром», 3) х} -ОАО «Сбербанк России», 4) дг4 - ОАО «Нефтяная компания «Роснефть»».

Основные характеристики акций, из которых предполагается сформировать портфель, представлены в табл. 1

Таблица 1.

Основные характеристики акций

Название акций Эмитент Вид акций Номинал,руб. Котировальный список Статус

ОАО Лукойл, ао ОАО «Лукойл» Акции обыкновенные 0,025 А1 Допущены к торгам

ОАО Газпром, ао ОАО «Газпром» Акции обыкновенные 5 Б Допущены к торгам

ОАО НК Роснефть, ао ОАО "НК "Роснефть" Акции обыкновенные 0,01 Б Допущены к торгам

ОАО Сбербанк России,ао ОАО "Сбербанк России" Акции обыкновенные 3 А1 Допущены к торгам

1 Котировки акций взяты с официального сайта Фондовой биржи РТС/ ЬНр^-Ч'.^УУУПБ.ги

19

Для расчета доходности акций используются временные ряды цен закрытия. При этом анализируются данные с 12.12.2011г. по 11.03.12г. Предварительная обработка временного ряда цен включает в себя удаление выходных и праздничных дней из выборки; заполнение тех дат, в которые не было торгов - ценами закрытия предыдущего дня.

Полученные данные доходностей используются для расчета математического ожидания и корреляционной матрицы доходностей активов.

Среднее значение доходности ценных бумаг приведено в табл. 2.

Таблица 2.

Среднее значение доходности

*3 *4

П11 1 771,17 176,18 101,63 250,77

Корреляционная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид:

7424,35 437,87 239,71 814,48

437,87 80,14 11,74 78,63

239,71 11,74 20,38 48,25

814,48 78,63 48,25 172,66

Результаты численного решение задачи о формировании оптимального портфеля ценных бумаг приведено в табл. 3.

Таблица 3.

Результаты формирования портфеля

Вид ценной бумаги *1 *2 *3 *4

Доля / - го, / = 1,2,3,4, вида 0,05 0,25 0,25 0,45

Основные результаты диссертационной работы и выводы.

1. Проведен анализ основных, часто используемых на практике, методов формирования оптимальных портфелей ценных бумаг (Марковица, Шарпа, Тобина).

Анализ показал, что используемые на рынке ценных бумаг, методы формирования портфелей строятся по одному принципу: имеется критерий, который необходимо оптимизировать по входящим в него параметрам, на которые наложены определенные ограничения.

2. Предложен метод оценки коэффициентов в линейной свертке критериев в многокритериальных задачах оптимизации портфелей ценных бумаг. Данный метод реализован на ЭВМ с помощью специально разработанного программного продукта «Численно-программный комплекс формирования оптимального портфеля ценных бумаг».

Результаты проведенных численных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными позволяют заключить, что портфели ценных бумаг, построенные по этому методу, позволяют инвестору более выгодно и надежно для себя сформировать портфель.

3. Впервые построена и подробно исследована математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры. Данная модель, учитывающая изменения структуры портфеля в различные моменты времени, позволяет лучше, чем известные модели портфелей, учитывать быстро изменяющееся во времени состояние Российского рынка ценных бумаг, случайные колебания различных показателей рынка.

4. Проведены численные эксперименты, использующие результаты проведенных исследований по формированию портфелей из акций крупнейших компаний России, выставляющих на продажу свои ценные бумаги на рынок ценных бумаг. Результаты проведенных экспериментов показали:

4.1) результаты, полученные в диссертационной работе, удобно использовать для анализа различных ситуаций, складывающихся в различные периоды времени на рынке;

4.2) портфели, сформированные согласно предложенным в диссертации методикам, позволяют инвестору сформировать при достаточно малой степени риска портфель, приносящий достаточно высокий доход.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования в та

основных результатов кандидатских и докторских диссертаций

1. Симанков B.C., Черкасов А.Н., Денисенко А.О., Владимиров С.Н. Методологические аспекты построения систем поддержки принятия решений // Журнал «Вестник Донского государственного технического университета». Издательский центр ДГТУ. 2008. Т. 8. № 3(38). С. 258-267.

2. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Оптимизация портфеля ценных бумаг У. Шарпа // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М., 2010. Т. 17. № 5. С.165-173.

3. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Многокритериальные математические модели принятия решений на рынке ценных бумаг в условиях неопределенности // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2010. №64(10). - Шифр Информрегистра: 0421000012\0266. - Режим доступа: http://ei.kubagro.ru/2010/10/pdf/08.pdf

4. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Об одном способе свертки критериев в многокритериальных задачах и его применение при решении задач оптимизации портфелей ценных бумаг // Фундаментальные исследования. - М., 2012.-№3.-С.181-186.

5. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Оптимизация портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры // Фундаментальные исследования. - М., 2012.-№4.-С. 175-180.

6. Семенчин Е.А., Денисенко A.B., Барсукова В.Ю. Об оптимальном управлении портфелем ценных бумаг// Труды института системного анализа РАН. Т.53,вын. 14А. М.,2010,- С.174-179.

Публикации в других изданиях

7. Денисенко А.О. Формирование множества альтернатив в системах поддержки принятия решений // Наука. Образование. Молодежь. Материалы IV Всероссийской научной конференции молодых ученых. Часть 1, Майкоп: изд-во АГУ, 2007. С. 287-289.

8. Симанков B.C., Черкасов А.Н., Денисенко А.О., Владимиров С.Н. Алгоритмизация системы поддержки принятия решений // Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон. Краснодар, 2008. Деп. В ВИНИТИ 22.01.08, №45-В2008. '

9. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Оптимизация портфеля ценных бумаг Г. Марковица // «Современные информационные технологии» г. Пенза, 2010 - № 2. - С. 146-154.

10. Симанков B.C., Редько А.П., Черкасов А.Н., Владимиров С.Н., Тарасов Е.С., Путято М.М., Денисенко А.О., Колесников Д.А., Мирзоев М.Р. Разработка теоретических основ и построение интеллектуальных систем мониторинга, анализа и поддержки принятия политических, социально-экономических и технологических решений регионального уровня для ситуационных центров органов власти // Сборник научных трудов «Вклад фундаментальных научных исследований в развитие современной инновационной экономики Краснодарского Края», 2009, Российский фонд фундаментальных исследований Департамент образования и науки Краснодарского края НП «Инновационно-технологический центр «Кубань-ЮГ». - С.176-179.

11. Симанков B.C., Денисенко А.О. Генерирование альтернатив в системе поддержки принятия решений // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальной науки в регионах: Труды II Всероссийской научной конференция молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2005. Т.2. С. 134-145.

Денисенко Андрей Олегович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КРИТЕРИЯХ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 16.05.2012. Формат 60 х 84 1/16. Бумага тип. № 1. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 982.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервнс", тел. 21-99-551

Введение.

Глава 1. Анализ проблемы оптимизации формирования портфеля ценных бумаг в условиях неопределенности.

1.1. Проблема формирования портфеля ценных бумаг.

1.2. Методы оптимизации портфеля ценных бумаг.

1.3. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной.

1.4. Проблема оценки риска портфеля ценных бумаг.

1.5. Принятие решений в условиях неопределенности.

1.6. Программные средства, используемые при формировании портфеляценных бумаг.

Глава 2. Двухкритериальная методика формирования портфеля ценных бумаг.

2.1. Способ оценки коэффициентов в линейной свертке.

2.2. Оптимальная оценка значений коэффициентов в линейной свертке критериев.

2.3. Оптимизация состава портфелей ценных бумаг.

2.4. Оптимальное управление детерминированной структурой портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости ее изменения

2.5. Оптимальное уравнение стохастической структурой портфеля при ограниченной скорости ее изменения

Глава 3. Формирование портфелей ценных бумаг на основе статистических данных о состоянии рынка ценных бумаг России

3.1 Формирования оптимальных портфелей рынка ценных бумаг.

3.2 Формирования формирования портфелей с ограниченной скоростью изменения ихструктуры.

Актуальность темы исследования. Социально-экономические преобразования в России, которые направлены на формирование рыночной экономики, обусловили институциональное становление и развитие такой важной сферы экономики, как рынок ценных бумаг. Это связано с тем, что развитие современной экономики зависит от уровня развития корпоративных финансов. Корпоративные финансы составляют основу деятельности любого предприятия, так как снабжают его необходимыми финансовыми и капитальными ресурсами. Для осуществления этих функций корпоративные финансы используют различные источники финансирования: частные накопления, кредитные ресурсы, фондовый рынок.

В последнее время среди основных источников финансирования предприятий начал выделяться фондовый рынок, на котором предприятие может с помощью покупки ценных бумаг аккумулировать необходимые ему ресурсы.

Многие предприятия и банки в настоящее время имеют достаточно большой объем свободных средств, которые можно использовать для инвестирования в различные виды деятельности, или направить на приобретение ценных бумаг. При осуществлении инвестирования в ценные бумаги организация, как и любой другой инвестор, сталкивается с различными целями инвестирования.

Именно портфель ценных бумаг - инструмент, использование которого позволяет достигнуть требуемого соотношения всех инвестиционных целей, которое недостижимо с помощью отдельно взятой ценной бумаги.

Портфели ценных бумаг, формируемые предприятиями, являются частью взаимосвязанной системы портфелей более высокого уровня. Функционирование всей системы портфелей подчинено интересам обеспечения устойчивости и рентабельности всей финансовой системы.

Этими факторами обусловлен выбор темы исследования «Математическое моделирование оптимальной структуры портфеля ценных бумаг при различных критериях их формирования».

Первым, кто внес значительный вклад в исследование портфельного инвестирования, был Г. Марковиц в 1952 году. Интенсивные исследования по построению оптимальных портфелей продолжаются в настоящее время. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг внесли зарубежные исследователи: Ж.-М. Эбер, П. Артцнер, Ф. Дэлбэн, Р. Ингл, Г. Марковиц, У.Ф. Шарп, Дж.В. Бейли, Дж. Тобин, Дж. Линтнер, М. Шоулс, Р.Т. Рокафеллар, Г.Дж. Александер, Д. Хит, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Г. Дженкинс, Д. Нельсон, С. Росс, С. Юрязев, М. Забаранкин, С. Рачев и другие, а так же российские ученные: А. Черный, A.A. Новоселов, С .Я. Шоргин, А.И. Кибзун, И.С. Меньшиков, А.О. Недосекин, А.Г. Шоломицкий, С.И. Спивак, Д.А. Шелагин, A.B. Мельников, Е.М. Бронштейн, Е.М. Недосекин, А. Долматов, А. Шапкин, A.A. Лобанов, Л.О. Бабешко, A.B. Воронцовский, Ю.П. Руссман, Л.П. Четыркин, Л.О. Миркин, И.Б. Берколайко и другие.

Российскому рынку ценных бумаг в условиях современности присущ целый ряд специфических черт таких как: резкие изменения тенденций, недостаточная ликвидность значительной доли ценных бумаг, доминирующее влияние игровых спекулятивных операций, слабая зависимость стоимости акций от финансовых результатов эмитента, а так же его недостаточная информационная прозрачность. Все вышеперечисленное является причиной возникновения значительных трудностей при оценке и прогнозировании основных значений рыночных показателей, а так же становится причиной возникновения сложностей в применении долгосрочных инвестиционных стратегий. И в связи с этим на российском рынке наиболее популярна активная стратегия управления портфелем, которая сводится к частому пересмотру состава портфеля с использованием новых финансовых инструментов.

Однако данный подход едва ли сопоставим с традиционными способами построения оптимального рыночного портфеля, рассчитанными на долгосрочные инвестиции (пассивную стратегию управления портфелем). Это обусловлено использованием в своей основе средних значений доходности. Необходимость в разработке стратегий для краткосрочных портфельных инвестиций, которые по возможности могут быть свободными от предположений об эффективности рынка, имеет тенденцию к нарушению в условиях современности.

Особое значение при инвестировании портфелей приобрела задача оценки рисков, с которой тесно связаны вопросы количественной оценки, систематизации, анализа, идентификации, и управления рисками. Объективная реальность развития современного финансового рынка свидетельствует о том, что на данном этапе возникает необходимость в новых подходах к формированию портфеля ценных бумаг, новых способах оценки рыночного риска в условиях неосуществимости долгосрочного и среднесрочного прогнозирования развития тенденций фондового рынка, а также необходимость в разработке новых методов аналитического и численного анализа построенных портфелей.

Все эти факты указывают на актуальность темы диссертационной работы, направленной на построение моделей портфелей ценных бумаг, которые бы соответствовали условиям и требованиям современного финансового рынка.

Объект исследования - портфели ценных бумаг.

Предмет исследования - процесс формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Цель диссертационной работы: предложить новые математические модели формирования оптимальных портфелей ценных бумаг, которые бы позволяли учесть, в отличие от известных моделей, дополнительные условия формирования портфеля, соответствующих условиях современного финансового рынка, провести анализ (численными и аналитическими методами) и разработать методики исследования предложенных моделей.

Задачи исследования. Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач.

1. Провести анализ известных методов формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

2. Предложить метод оптимальной линейной свертки критериев в многокритериальной задаче и использовать его при решении задач оптимизации портфелей ценных бумаг.

3. Предложить математическую модель оптимизации портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры.

4. Провести вычислительные эксперименты по проверке предложенных моделей формирования портфелей ценных бумаг на основе статистических данных о котировках ценных бумаг российского фондового рынка.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы современные компьютерные технологии, методы оптимизации, теории оптимального управления динамическими системами, математической статистики, случайных процессов, теории принятия решений.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод оптимальной оценки коэффициентов в линейной свертке критериев в многокритериальных задачах оптимизации портфелей ценных бумаг. Данный метод предполагает объединение критериев путем построения линейной комбинации частных критериев и переходу к однокритериальной задаче путем оптимального выбора коэффициентов в линейной свертке на основе метода наименьших квадратов.

2. Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры и результаты ее анализа. Данная модель обобщает известные модели формирования портфелей ценных бумаг. Для ее построения использован хорошо изученный аппарат теории оптимального управления линейными системами с квадратичным критерием качества, теории оптимальной фильтрации стохастическими объектами.

3. Результаты анализа состояния рынка ценных бумаг в России с помощью метода из п.1 и модели из п.2. Результаты такого анализа (с привлечением компьютерных технологий) позволяют оценить эффективность использования на практике указанных метода и модели.

Научная новизна. В процессе выполнения диссертационной работы получены следующие научные результаты:

- предложены новые методы формирования оптимального состава многокритериального портфеля;

- разработана обобщающая математическая модель формирования портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры на основе теории оптимального управления линейными динамическими объектами.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы на фондовых рынках России для формирования оптимальных портфелей ценных бумаг.

Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на конференциях:

• Международной научно-технической конференции (Computer-Based Conference) «Современные информационные технологии», г. Пенза, 2010;

• IV Всероссийской научной конференции молодых ученых, г.Майкоп, 2007;

• II Всероссийской научной конференция молодых ученых и студентов: Современное состояние и приоритеты развития фундаментальной науки в регионах, г. Краснодар, 2005;

• конференции получателей грантов регионального конкурса «ЮГ» Российского фонда фундаментальных исследований, г. Краснодар, 2010.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, общим объемом 5 печатных листов, в том числе 6 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

Основные результаты диссертационной работы и выводы

1. Проведен анализ основных, часто используемых на практике, методов формирования оптимальных портфелей ценных бумаг (Марковича, Шарпа, Тобина).

Анализ показал, что используемые на рынке ценных бумаг, методы формирования портфелей строятся по одному принципу: имеется критерий, который необходимо оптимизировать по входящим в него параметрам, на которые наложены определенные ограничения.

2. Предложен метод оценки коэффициентов в линейной свертке критериев в многокритериальных задачах оптимизации портфелей ценных бумаг. Данный метод реализован на ЭВМ с помощью специально разработанного программного продукта «Численно-программный комплекс формирования оптимального портфеля ценных бумаг».

Результаты проведенных численных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными позволяют заключить, что портфели ценных бумаг, построенные по этому методу, позволяют инвестору более выгодно и надежно для себя сформировать портфель.

3. Впервые построена и подробно исследована математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг при ограниченной скорости изменения его структуры. Данная модель, учитывающая изменения структуры портфеля в различные моменты времени, позволяет лучше, чем известные модели портфелей, учитывать быстро изменяющееся во времени состояние Российского рынка ценных бумаг, случайные колебания различных показателей рынка.

4. Проведены численные эксперименты, использующие результаты проведенных исследований по формированию портфелей из акций крупнейших компаний России, выставляющих на продажу свои ценные бумаги на рынок ценных бумаг. Результаты проведенных экспериментов показали:

4.1) результаты, полученные в диссертационной работе, удобно использовать для анализа различных ситуаций, складывающихся в различные периоды времени на рынке;

4.2) портфели, сформированные согласно предложенным в диссертации методикам, позволяют инвестору сформировать при достаточно малой степени риска портфель, приносящий достаточно высокий доход.

Заключение

1. Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and Statistics, February, 1965, pp. 13-37.

2. Markowitz H. Portfolio selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959.

3. Markowitz H. Portfolio selection// Journal of Finance 7(1). March 1952, pp. 77-91.

4. Mossin J. Equilibrium in a capital asset market, Econometrica 34(4) October 1966, pp. 768-783.

5. Sharpe W.F. A Simplified model for portfolio analysis, Management Science, 1963, January.

6. Sharpe W.F. Capital asset price: a theory of market equilibrium under conditions of risk, Journal of finance 29(3) September, 1964, pp. 425-442.

7. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling. The Theory of Interest Rate. London, Macmillan, 1965, pp. 3-51.

8. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. -Л.: Издательство Ленингр. ун-та, 1981. 328 с.

9. Айвазян С. А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

10. Алексеев М. Ю. Рынок ценных бумаг. М.: Финансы и статистика, 1992.-352 с.

11. Алехин Б. И. Рынок ценных бумаг: Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 2004. С. 123

12. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы: Пер.с англ. -М.: Мир, 1982, 563с.

13. Балдин К.В., Воробьев С.Н. Управление рисками. М.: ЮНИТИ, 2005

14. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер, с англ. М.: Радио и связь, 1988. - 128с.

15. Башарин Г. П. Начала финансовой математики / М.: Инфа-М, 1997. -160 с.

16. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и связь,. 1987. 400 с.

17. Бочаров П. П. Финансовая математика: Учебник / П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов. М. : Гардарики, 2002. - 576 с.

18. Бронштейн Е. М. О показателях эффективности инвестиционных проектов // Экономика и математические методы. 2008. - Т. 44, N 1. - с. 137141.

19. Бублик Н., Голичев И., Горбатков С. Стохастическая оптимизация риска как ресурса в экономических системах. Уфа: Изд-во Башкирский гос. ун-т, 2000- 136 с.

20. Вахрин П.И. Инвестиции: учебник. Изд. 2-е.- М.: Дашков и К, 2004. -384 с.

21. Владимирова Л. П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: учебное пособие. М.: Дашков и К, 2000.- 307 с.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1981.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: Изд-во БГУ, 1975.

24. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. Л.: Издательство Ленингр. ун-та, 1984. - 176 с.

25. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер.с англ. -М.Мир,1985,- 509 с.

26. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир, 1977.-290 с.

27. Глущенко С., Демин Д. Первый индексный фонд облигаций // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 11. - с. 29.

28. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк, 2001.-479 с.

29. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1975.

30. Голынтейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). М.: Наука, 1970.-68 с.

31. Голыптейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. -М.: Наука, 1971. 352 с.

32. Горюнов И. Негосударственные пенсионные фонды как коллективный инвестор // Рынок ценных бумаг. 2005. - №22 с. 22-26.

33. Гребенщиков Э. Российский рынок страхования: параметры, пропорции и тенденции// Рынок ценных бумаг. 2007. - №2. с. 57-61.

34. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. -M.: Мир, 1972.-311 с.

35. Джон Уокенбах. Профессиональное программирование на VBA в Excel 2003,Изд-во: Диалектика, 2005, 800 с.

36. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

37. Евдокимов Е., Лисенков Д. Венчурные горизонты финансовых рынков // Рынок ценных бумаг. 2005. - № 18. с. 16-18.

38. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982.-432 с.

39. Елизаров Е.Я., Савченко B.C. Численные методы нелинейного программирования. Тексты лекций. Донецк: ДонГУ, 1982. - 66 с.

40. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 192 с.

41. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Сов. радио, 1973.-312 с.

42. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963. - 176 с.

43. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 460 с.

44. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 288 с.

45. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

46. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

47. К. Олбрайт. Моделирование с помощью Microsoft Excel и VBA: разработка систем поддержки принятия решений, Изд-во: Вильяме, 2005,-672 с.

48. К. Чен, П. Джиблин, А. Ирвинг, Matlab в математических исследованиях,, Изд-во: Мир, 2001, 346 с.

49. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика. М.: Высш. шк, 1998.

50. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.-264 с.

51. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг / Ю. Ф. Касимов. -М.: Филинъ, 1998. 142 с.

52. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг/ Ю. Ф. Касимов. М.: «Анкил», 2005. - 144 с.

53. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику. Анализ кредитных и инновационных операций. М.: «Анкил», 2001.

54. Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Рынок ценных бумаг и биржевое дело. -М.: Юристъ, 2001.-704 с.

55. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 1994.

56. Колтынюк Б.А. Ценные бумаги: Учебник. СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2000.-304 с.

57. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.-960 с.

58. Кочович Е. Финансовая математика с задачами и решениями. М.: Финансы и статистика, 2004.

59. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

60. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1994. - 286 с.

61. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1984.-221 с.

62. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высш. шк., 1980. - 300 с.

63. Куртепов И. Оценка паевого фонда: доходность или риск? // Рынок ценных бумаг. 2005. № 10. - с. 20-22.

64. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М.: Дело, 1998.-304 с.

65. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1965.-304 с.

66. М. Джексон. Финансовое моделирование в Microsoft Office Excel и VBA: углубленный курс, Изд-во: Вильяме, 2006,-352 с.

67. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 1999.

68. Миркин Я.М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Перспектива, 1995.

69. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

70. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.- 168 с.

71. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994. - 192 с.

72. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис-пресс, 2005.-256 с.

73. Плахотная А. Страховые компании как институциональные инвесторы на рынке ценных бумаг// Рынок ценных бумаг. 2005. - №20. с. 62-64.

74. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. - 376 с.

75. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. 384 с.

76. Потапов В. Инвестиции в Junk bonds // Рынок ценных бумаг. 2006. -№11.-с. 27-28.

77. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.-320 с.

78. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975.

79. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

80. Росс С., Вестерфилд Р, Джордан Б. Основы корпоративных финансов: Пер. с англ. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. -720 с.

81. Рынок ценных бумаг: Учебник / Под ред. Галанова В.А., Басова А.И. -М.: Финансы и статистика, 2005. 448 с.

82. Самаров КЛ. Финансовая математика. М.: Инфра-М, 2006. - 80 с.

83. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

84. Солодовников A.C. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. -112 с.

85. Спивак С.И., Саяпова Е.В., Ахтямов Р.Э. Математическая модель оптимального портфеля // Системы управления и информационные технологии. 2007. №2(28) - С.48-52.

86. Ф.А. Новиков Дискретная математика для программистов СПб: Питер, 2000. - 304 с.

87. Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник/ Под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива, 1996.

88. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.-470 с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

90. Холт Р.Н. Основы финансового менеджмента. М.: Дело ЛТД, 1995.

91. Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций. М.: Дело ЛТД, 1994.

92. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995.

93. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2006. -400 с.

94. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. -М.: Финансы и статистика, 1990.

95. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982.

96. Чулюков Ю. Паевые инвестиционные фонды: формирование, управление и контроль // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 24. с. 53-57.

97. Шарп У., Гордон Дж. А., Бейли Д. Инвестиции: Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1997.

98. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

99. Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962.

100. Ю. Кетков, А.Кетков, М.Шульц, МАТЬАВ 7. Программирование, численные методы, БХВ-Петербург, 2005, -742 с.