автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стохастические модели рынка однородных активов

Введение.

1 Стохастические модели рынка финансовых активов

1.1 Основные модели рынка финансовых активов

1.2 Стохастические модели и задачи в теории инвестиций

2 Оценивание параметров в модели рынка однородных активов

2.1 Построение оценок параметров линейных систем уравнений диффузионного типа.

2.2 Предельные теоремы для оценок параметров.

3 Задачи оптимизации в теории инвестиций

3.1 Построение оптимальной ортонормированной системы функций платежа.

3.2 Задача нахождения "наилучшего" скалярного произведения

3.3 Теорема существования оптимальной стратегии управления портфелями активов.

3.4 Управление портфелями в линейной модели рынка финансовых активов.

4 Компьютерные исследования моделей рынков финансовых активов

4.1 Оценки параметров в модели уравнений диффузионного типа.

4.2 Определение параметров моделей динамики стоимости финансовых активов.

4.3 Моделирование процессов управления портфелями активов

Одним из важных направлений в финансовой математике является изучение стохастических моделей рынков активов. Основой таких моделей чаще всего служат различные модификации "логарифмического броуновского движения", [35]. Изучению таких систем посвящено большое число работ (см., в частности, Блэк Ф. и Шоулс М. [7], Самуэльсон П. [35], Карацас И. [17], Карацас И. и Шреве С. [20], Мадан Д. и Милн Ф. [24], Мельников A.B. [66], Ширяев А.Н. [73], [75], [76], и библиографию в этих работах). Интерес к процессам "логарифмического броуновского движения" объясняется несколькими причинами. В частности, динамика изменения стоимости реальных активов на финансовых рынках служит наглядным примером таких процессов. Кроме того, мощный аппарат современного стохастического исчисления позволяет получать фундаментальные теоретические результаты, применимые к решению самых разнообразных задач теории финансов, например, расчета справедливой цены вторичных ценных бумаг ([7], [10], [32], [35], [67], [77]), формирования оптимальных портфелей активов ([9], [17], [33], [34], [38]) и многих других. Значительный прогресс в исследованиях связан во многом с использованием мартингальных методов для изучения процессов изменения стоимости финансовых активов ([65], [15], [19], [20]).

Следует отметить, что, несмотря на большое количество публикаций по стохастическим моделям рынков ценных бумаг, существует ряд нерешенных проблем. В частности, интерес представляют задачи формирования оптимальных портфелей ценных бумаг. Общепринятой формализацией критериев оптимальности в современных работах по стохастическим моделям инвестиционных процессов являются функции полезности (см. соответствующее определение, например, в [17], [67]). Как правило, эти функции учитывают один из основных инвестиционных факторов - доходность портфеля. Для многих классов функций полезности доказаны теоремы существования оптимальных стратегий управления портфелями и получены формулы этих стратегий (см., например, монографию И. Карацаса [17]). Следует отметить, однако, что кроме доходности в современной теории инвестиций принято учитывать второй важнейший фактор - риск инвестиций. Поэтому естественным обобщением является рассмотрение стохастических моделей процессов инвестирования с критериями оптимальности, зависящими и от доходности, и от риска портфелей.

Актуальной также представляется проблема нахождения модели, адекватно описывающей динамику стоимости финансовых активов и обобщающей модель "логарифмического броуновского движения". Тот факт, что модель П. Самуэльсона не всегда согласуется с эмпирическими данными, указывался многими авторами, в частности, А.Н. Ширяевым [73]. Особый интерес здесь представляют российские ценные бумаги, поскольку стохастические модели, описывающие динамику данных активов, изучены явно недостаточно, в силу того, что российский финансовый рынок образовался сравнительно недавно. Подобные исследования играют важную роль для практических приложений, в частности, для прогнозирования изменения стоимости активов, управления портфелями ценных бумаг и т.д. Причем для того, чтобы производить такого рода расчеты, необходимы оценки неизвестных параметров математической модели, удовлетворяющие ряду условий. Прежде всего, это зависимость только от "прошлых" значений процесса стоимости ценных бумаг, состоятельность и несмещенность. Следовательно, представляется важным получение таких оценок.

Цель работы состоит в нахождении стратегий управления портфелями ценных бумаг для произвольных критериев оптимальности, зависящих от двух основных инвестиционных факторов (доходность и риск инвестиций) и в построении оценок параметров математической модели рынка однородных активов. Модели финансового рынка задаются с помощью систем уравнений диффузионного типа и являются обобщением известной модели "логарифмического броуновского движения". В рамках данного исследования существенно используются такие понятия, как гильбертово пространство функций платежа, скалярное произведение (соответствующие определения взяты из работы Мадана и Милна [24]) и т.д. Предлагается, в связи с этим, к рассмотрению ряд задач теоретического характера. Алгоритмы решения этих задач применяются при формировании оптимальных портфелей активов. Кроме того, исследуется задача нахождения оценок параметров линейной системы уравнений диффузионного типа. Полученные оценки параметров применяются при изучении стохастических моделей динамики стоимости российских ценных бумаг и курсов иностранных валют и при проверке адекватности подобных теоретических моделей эмпирическим данным.

Научная новизна работы определяется следующими факторами.

Оценки параметров линейных систем уравнений диффузионного типа, теоремы об их свойствах, применение этих оценок для нахождения стратегий управления портфелями в линейной модели рынка однородных активов, являются новыми. Исследование проблемы управления портфелями однородных активов с помощью ортогона-лизации относительно некоторого скалярного произведения гильбертова пространства функций платежа, способ нахождения "наилучших" скалярных произведений - новые. Их применение позволяет формировать оптимальные стратегии для определенного класса целевых функционалов. Теорема существования оптимальных стратегий управления портфелями ценных бумаг, являющаяся по сути своей обобщением известного результата из [17], также является новой.

Научная и практическая ценность работы определяется тем, что общая совокупность теоретических результатов, полученных в диссертации, представляет собой эффективный инструмент для решения широкого класса практически важных задач, связанных с анализом стохастических моделей динамики стоимости активов. С практической точки зрения ценность работы заключается в том, что проведенные эксперименты показывают адекватность рассматриваемой модели рынка для различных видов ценных бумаг. Следовательно, соответствующие оценки параметров модели могут использоваться для анализа, предсказания стоимости, формирования инвестиционных стратегий для реальных инструментов финансового рынка.

По теме диссертации опубликовано 5 работ [45] - [49]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 77 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений.

Выводы и заключение

В диссертационной работе исследовались стохастические модели рынков однородных активов и задачи формирования оптимальных портфелей ценных бумаг. В качестве модели рынка однородных активов используется система линейных уравнений диффузионного типа с постоянной диффузией и коэффициентом сноса, задаваемым ненаблюдаемым случайным процессом. Этот процесс линейно зависит от наблюдаемого процесса "мгновенной доходности" активов, имеет линейную обратную связь и коэффициент линейного роста. Все параметры системы предполагаются неизвестными. В связи с этим большое внимание в работе уделено построению оценок параметров и доказательству теорем об их свойствах. Другой важной частью работы является рассмотрение различных задач теории инвестиций в общих (нелинейных) стохастических моделях финансовых рынков. Используемые при этом понятия гильбертова пространства функций платежа и скалярного произведения, основанные на соответствующих определениях из работы [24], позволили рассматривать ряд задач теоретического характера, которые, тем не менее, находят практическое применение при решении проблем теории инвестиций. Основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Алгоритм нахождения оптимальной ортонормированной системы функций платежа и "наилучшего" скалярного произведения относительно заданного "функционала предпочтения". Данный алгоритм применен в задаче формирования портфелей однородных активов. При этом портфели получаются "независимыми" в смысле ортонормированности относительно некоторого скалярного произведения гильбертова пространства функций платежа. "Независимость" портфелей, в соответствии с представлениями теории инвестиций, уменьшает риск.

2. Теорема существования оптимальной стратегии управления портфелями активов в нелинейной модели рынка. Эта теорема является обобщением известного результата из монографии И. Карацаса. В ней кроме конечной стоимости портфелей учитывается и второй важнейший фактор инвестиционного процесса - риск, задаваемый с помощью некоторого (произвольного) скалярного произведения. Для частного случая модели с логарифмической функцией полезности получены формулы оптимальных стратегий.

3. Стратегии управления портфелями в линейной модели финансового рынка. Основное отличие данных стратегий - зависимость лишь от "прошлых" значений наблюдаемого процесса динамики стоимости активов. При этом также получены оценки неизвестных параметров линейной системы уравнений диффузионного типа и доказаны теоремы об их свойствах, позволяющие использовать данный результат на практике. В качестве примера практического применения результата рассмотрена задача нахождения параметров моделей динамики стоимости различных ценных бумаг.

1. Aase K.K. Contingent Claims Valuation when the Security Price is a Combination of an 1.ô Process and a Random Point Process. -Stoch. Processes Appl., 1988, v. 28, No. 2, p. 185-220.

2. Bachelier L. Théorie de la spéculation. Ann. Ecole Norm. Sup., 1900, v. 17, p. 21-86.

3. Back K., Pliska S.R. On the Fundamental Theorem of Asset Pricing with an Infinite State Space. J. Math. Econ., 1991, v. 20, p. 1-18.

4. Bismut J.M. Conjugate Convex Functions in Optimal Stochastic Control. J. Math. Anal. Appl., 1973, v. 44, p. 384-404.

5. Black F. Living up to the Model. RISK magazine, March 1990.

6. Black F. The Holes in Black-Scholes. RISK magazine, March 1988.

7. Black FScholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. J. Polit. Economy, 1973, v. 3, p. 637-659.

8. Browne S. Optimal Investment Policy for a Firm with Random Risk Process: Exponential Utility and Minimization of the Probability of Ruin. Math. Oper. Res., 1995, v. 20, p. 937-958.

9. Cover T.M. Universal Portfolios. Math. Finance, v. 1(1), 1991, p. 1-29.

10. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option Pricing: a Simplified Approach. J. Financial Economy, 1979, v. 3, No. 7, p. 229-263.

11. Cvitanic J., Karatzas I. Hedging and Portfolio Optimization under Transaction Costs: a Martingale Approach. Math. Finance, 1996, v. 6, p. 133-165.

12. Davis M.H.A., Norman A.R. Portfolio Selection with Transaction Costs. Math. Oper. Res., 1990, v. 15, p. 676-713.

13. Fisher I. The Theory of Interests. New York: Macmillan, 1930.

14. Hakansson N. Optimal Investment and Consumption Strategies under Risk, for a Class of Utility Functions. Econometrica, 1970, v. 38, p. 587-607.

15. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading. Stoch. Proc. Appl., 1981, v. 11, p. 215-260.1.gersoll J.E.Jr. Theory of Financial Decision Making. Rowman and Littlefield, 1987.

16. Karatzas I. Lectures on the Mathematics of Finance. Providence, RI: AMS, 1997.

17. Karatzas I., Lechoczky J.P., Sethi S.P., Shreve S.E. Explicit Solution of a General Consumption/Investment Problem. Math. Oper. Res., 1986, v. 11, p. 261-294.

18. Karatzas I., Lechoczky J.P., Shreve S.E., Xu G.L. Martingale and Duality Methods for Utility Maximization in an Incomplete Market.- SIAM J. Control. Optim., 1991, v. 29, p. 702-730.

19. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian Motion and Stochastic Calculus.- 2nd ed., Springer Verlag, New York, 1991.

20. Karatzas I., Xue X.X. A Note on Utility Maximization under Partial Observations. Math. Finance, 1991, v. 1, No. 2, p. 57-70.

21. Madan D.B., Milne F. Contingent Claims Valued and Hedged by Pricing and Investing in a Basis. Math. Finance, v. 4, No. 3, pp. 223-245.

22. Magill M.J.P., Constantinides G.M. Portfolio Selection with Transaction Costs. J. Econom. Theory, 1976, v. 13, p. 245-263.

23. Mandelbrot B.B., Taylor M. On the Distribution of Stock Price Difference. Oper. Res., 1967, v. 15, p. 1057-1062.

24. Markowitz H. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Cambridge, MA: Blackwell, 1990.

25. Markowitz H. Portfolio Selection. Journal of Finance, 1952, March, p. 77-91.

26. Markowitz H. Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959.

27. Merton R.C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: the Continuous Time Case. Rw. Econom. Stat., 1969, v. 51, p. 247257.

28. Merton R.C. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model. J. Econom. Theory, 1971, v. 3, p. 373-413; Erratum - J. Econom. Theory, 1973, v. 6, p. 213-214.

29. Merton R. C. Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Econ. and Management, 1973, 4 (Spring), p. 141-183.

30. Pliska S.R. A Stochastic Calculus Model of Continuous Trading: Optimal Portfolio. Math. Oper. Res., 1986, v. 11, p. 371-382.

31. Samuelson P.A. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming. Rev. Econom. Stat., 1969, v. 51, p. 239-246.

32. Samuelson P.A. Rational Theory of Warrant Pricing. Industrial Management Review, 1965, 6 (Spring), p. 13-31.

33. Schachermayer W. A Hilbert Space Proof of the Fundamental Theorem of Asset Pricing in Finite Discrete Time. Insurance: Math. Econom., 1992, v. 11, p. 249-257.

34. Schweizer M. Risk Minimality and Orthogonality of Martingales. -Stochastics, 1990, v. 30, p. 123-131.

35. Sharpe W. Portfolio Theory and Capital Markets. New York, McGraw-Hill, 1970.

36. Shreve S.E., Soner H.M. Optimal Investment and Consumption with Transaction Costs. Ann. Appl. Probab., 1994, v. 4, p. 689-692,

37. Shreve S.E., Soner H.M., Xu G.-L. Optimal Investment and Consumption with Two Bonds and Transaction Costs. Math. Finance, 1991, v. 13, p. 53-84.

38. Vasicek 0. An Equilibrium Characterization of the Term Structure. Journal of Financial Economics, 1977, v. 5, p. 177-188.

39. Wiener N. Differential Spaces. J. Math. Phys. Math. Inst. Tech., 1923, v. 2, p. 131-174.

40. William J.B. The Theory of Investment Value (1938). North-Holland, Amsterdam, 1964.

41. Apamo M. Об оценках параметров процессов, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям. Studia Sci. Math. Hungarica, 1970, v. 5, p. 17-27.

42. Арбеев К.Г. К вопросу о нахождении оптимальной ортонор-мированной системы функций платежа. Рукопись деп. в ВИНИТИ, N 1918-В98, 9 стр.

43. Арбеев К.Г. К вопросу об оптимальной стратегии формирования портфелей активов. Обозр. прикл. и пром. матем., 1998, т. 5, в. 2, стр. 196-197.

44. Арбеев К.Г. Об одном алгоритме нахождения оптимального базиса в моделях многосвязных систем диффузионного типа. -Фундаментальные проблемы математики и механики, сб. статей, вып. 3, Ульяновск, УлГУ, 1997, стр. 5-8.

45. Арбеев К.Г. Оценка параметров в системе стохастических уравнений диффузионного типа. Фундаментальные проблемы математики и механики, сб. статей, вып. 2, Ульяновск, УлГУ, 1996, стр. 7-8.

46. Арбеев К.Г. Оценка параметров уравнений в моделях стохастических систем. Тезисы докладов студентов и аспирантов на IV ежегодной научно-практической конференции, Ульяновск, 1995, стр. 3-4.

47. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

48. Бутов A.A. Арбитражные возможности в ситуации (B,S)~ рынка с фиксированными терминальными значениями процесса 5, допускающего скачки. Обозр. прикл. и пром. матем., 1998, т. 5, в. 2, стр. 208-209.

49. Бутов A.A. Некоторые вероятностные задачи, возникающие при построении моделей облигаций. Обозр. прикл. и пром. матем., 1997, т. 4, в. 1, стр. 5-17.

50. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

51. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1975.

52. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов, т. 1, 2. М.: Физматлит, 1994.

53. Карманов В.Т. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

54. Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: ИИД Филинъ, 1998.

55. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, 2-е изд. М.: Наука, 1968.

56. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

57. Кулинич Г. Л. Об оценке параметра сноса стохастического диффузионного уравнения. Теор. вер. и ее примен., 1975, т. 20, в. 2, стр. 393-397.

58. Кутоянц Ю.А. Об одном свойстве оценки параметра коэффициента сноса. Изв. АН Арм. ССР, Математика, 1977, т. 12, в. 4, стр. 245-251.

59. Кутоянц Ю.А. Оценивание параметров случайных процессов. -Ереван, 1980.

60. Кутоянц Ю.А. Оценка параметра коэффициента сноса диффузионного процесса в гладком случае. Теор. вер. и ее примен., 1977, т. 22, в. 2, стр. 409-415.64 65 [6667 68 [69 [7071