автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Интервальный метод построения нечетких макроэкономических показателей

На правах рукописи

Павлов Антон Викторович

Интервальный метод построения нечетких макроэкономических показателей

05.13.10 управление в социальных и экономических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск 2004

Работа выполнена в Институте экономики и организации промышленного производства Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: Член-корреспондент РАН, д.э.н., проф.

Суслов Виктор Иванович

Официальные оппоненты:

д.т.н., профессор

Губарев Василий Васильевич

к.т.н., доцент

Кузнецова Светлана Анатольевна Ведущая организация: Институт Математики СО РАН

Защита состоится 24 декабря 2004 г. в 16-30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.174.03 при Новосибирском государственном университете по адресу:

630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова 2, Аудитория 317а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Кандидат технических наук

Ю.И. Еремин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Понятие макроэкономического процесса связано с понятием производственной деятельности и ее обобщенным описанием с использованием укрупненных, высокоагреги-рованных параметров и показателей. Примерами макроэкономических показателей могут служить: Валовой внутренний продукт, Валовой выпуск, Продукция I подразделения, Продукция II подразделения, Валовой национальный продукт, Национальный доход и т.д. Макроэкономический процесс описывается системой взаимосвязей между макроэкономическими показателями (системой уравнений, неравенств или иных соотношений, связывающих значения показателей в разные моменты времени).

Всякий экономический процесс протекает в условиях неопределенности, которая порождается большим количеством влияющих факторов. Гипотеза неопределенности имеет достаточно глубокое обоснование в трудах исследователей. Для ее изучения в настоящее время разработаны три математические теории: теория вероятностей (probability theory), теория правдоподобия (plausibility theory) и теория уверенности (belief theory). Эти три теории различаются в основном предположении о свойствах неопределенности. Если обозначить через А некоторое случайное событие заданного вероятностного пространства, а через СА - дополнительное событие, то в теории вероятностей предполагается, что функция вероятности р удовлетворяет равенству p(h)+ р(СА)=1; теория правдоподобия строится на предположении, что функция правдоподобия Р1 удовлетворяет неравенству PI(A)+PI(CA)>1 ; в теории уверенности функция уверенности Bel удовлетворяет неравенству Bel(A)+Bel(CA)<l (Giles, 1982). Наиболее развитой из этих теорий

является теория вероятностей.

Как отмечает Недосекин А.О. в своей докторской диссертации, рыночная неопределенность часто не обладает классически понимаемой статистической природой. Далее, он обосновывает возможность решения проблемы неопределенности в этих случаях на основе теории нечетких множеств, заложенной около полувека назад в фундаментальных работах Лотфи Заде. Сам Заде определил нечеткие множества как инструмент построения теории правдоподобия. С тех пор научные категории случайности, правдоподобия и уверенности получают теоретическое разграничение. В настоящее время разработана интерпретация нечетких множеств не только в терминах теории правдоподобия, но и в терминах теории уверенности.

| "»и «АКИММЛЫМ«]

1 J

Случайность и нечеткость это два способа описания неопределенности и они принципиально различны. Теория вероятностей строится на идее: случайная величина | попадает в детерминированное множество А. Мера множества р(А) определяется как вероятность попадания в него случайной величины Центральная идея теории нечетких множеств: детерминированное множество А накрывается нечетким Е. Мерой множества А в этом случае является либо Р1(А) - правдоподобность

того, что хотя бы одна точка из А принадлежит Е, либо Bel(X) - уверенность в том, что все точки множества А принадлежат Е. Если исследуется накрытие нечетким множеством одноточечного множества, то эти две меры совпадают. Различаются они, когда накрываются более сложные объекты.

Магистральное направление применения теории нечетких множеств в экономике - это обоснование форм характеристических функций (функций принадлежности - membership functions) соответствующих нечетких параметров и классификаторов, используемых в модели.

Расширение понятия множества и введение термина "нечеткое множество" в математической науке связывается с тем, что классическая теория (четких) множеств не позволяет адекватно описать многие проблемы, возникающие в современных приложениях. В частности, это касается исследований в области макроэкономики.

Анализ литературы показал, что сложности в применении нечетких методов для исследования макроэкономических процессов связаны с особенностью объекта, которая заключается в том, что отсутствуют достаточно представительные однородные выборки макроэкономических показателей. Это затрудняет применение широко используемых на микроуровне процедур построения характеристических функций нечетких показателей, таких, например, как нейронные сети. Это обусловило цель и задачи диссертации.

В связи с этим актуальной задачей является разработка методов нечеткого представления макроэкономических показателей.

Степень разработанности проблемы. В основе нечетких методов исследования лежит теория нечетких множеств. Это сравнительно молодая теория. Первая публикация в этом направлении датируется 1965 годом, когда американский математик Л. Заде опубликовал свою знаменитую работу: Zadeh L.A. Fuzzy Sets. Inf. And Control. 8(1965), 338-353. На нее сразу же откликнулись ряд крупных математиков (Wong С.К., Bezdek J., Laveuve S.E.). Очень скоро было замечено, что на новые объекты переносятся с соответствующими уточнениями многие свойства классических множеств. Была разработана теория нечетких мер (Zadeh Ь.А-~Ш72)НЮ|!вЧ|калТ!£Гика (Zadeh L.A., 1975) нечеткая тополо-

L.A., 1973), нечеткая логика (Zadeh L.A., 1975) нечеткая топология (Wong C.K., 1975), теория нечеткого интеграла (Ralescu, D., and Adams G.,, 1980), нечеткая оптимизация (Takeda, E. and Nishida, Т., 1980, Verdegay, J.I., 1982), в математическую статистику вводится понятие нечеткого кластера (Bezdek J., 1981). Таким образом, математический фундамент нечетких методов исследования в основном был заложен во второй половине 20 века.

Прикладные результаты теории нечетких множеств можно проиллюстрировать на нескольких примерах. Так, сегодня зарубежный рынок нечетких контроллеров (разновидность которых установлена даже в стиральных машинах широко рекламируемой марки LG) обладает емкостью в миллиарды долларов. Нечеткая логика, как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств начинают применяться в экономических исследованиях. Так, Бакли [Buckly, 1992] рассмотрел систему дифференциальных уравнений с нечеткими параметрами и в этой же работе обосновал матрицу «затраты-выпуск» Леонтьева, элементы которой являются треугольными нечеткими числами. Отметим здесь же монографию [Кофман А., Хил Алуха X., 1992], в которой представлен широкий спектр возможных применений теории нечетких множеств - от оценки эффективности инвестиций до кадровых решений и замен оборудования, приводятся соответствующие математические модели.

Начали постепенно появляться программные решения и информационные технологии, решающие экономические задачи с применением нечетко-множественных описаний. Так, под руководством Зопоунидиса в Техническом университете на острове Крит была разработана экспертная система FINEVA для детального финансового анализа корпораций, содержащая в своем составе описания так называемых «грубых множеств» (rough sets) и базы знаний на этой основе [Nedovic L., De-vedzic V., 2002]. Чуть раньше в Германии, в конце 80-х годов, группой Циммермана была разработана система стратегического планирования ESP [Zimmerman H.-J., 2001], в которой реализуется позиционирование бизнеса корпорации на основе нечетких описаний конкурентоспособности и привлекательности бизнеса.

В настоящее время создана международная ассоциация SIGEF (International Association for Fuzzy Set Management & Economy) со штаб квартирой в Барселоне, которая регулярно апробирует новые результаты в

области нечетко-множественных экономических исследований, проводя ежегодные конференции и публикуя журнал Fuzzy Economic Review.

Было замечено, что нечеткие методы очень хорошо описывают деятельность человеческого мозга. Модель нейрона (McCulloch W.S., Pitts W., 1943), описанная в нечетких терминах (Hopfield J.J., 1982; Kohonen Т. 1984; Chua L.O. and L.Yang., 1988; Amari S., 1990), и моделирование механизма самообучения оказались мощным методом в теории распознавания образов и нашли широкое применение в разработке нечетких методов исследования микроэкономических задач, особенно в области финансов. Нечеткое описание лингвистической переменной (Zadeh L.A., 1975) позволило широко использовать нечеткие методы для оценивания качественных показателей.

Целью исследования является разработка методов построения характеристических функций нечетких образов макроэкономических показателей, определенных в терминах случайных величин, и разработка методики нечеткого макроэкономического анализа.

Задачи исследования:

1. разработка методов построения характеристических функций нечетких образов случайных величин и построение на этой основе нечетких образов макроэкономических показателей;

2. разработка методов построения нечетких зависимостей между макроэкономическими показателями;

3. разработка методики применения полученных в диссертации теоретических результатов к нечеткому анализу макроэкономических показателей.

Объект исследования - макроэкономические процессы, описываемые системой количественных макроэкономических показателей.

Предметом исследования является метод интервального представления данных, позволяющий выполнить не только построение нечетких образов макроэкономических показателей, но и лежащий в основе методов нечеткого макроэкономического анализа.

Теоретической, методологической и информационной базой исследования являются:

• теория нечетких множеств и отображений;

• теория вероятностей и математическая статистика;

• теория оптимизации;

• макроэкономическая теория;

• разработки отечественных и зарубежных авторов по экономико-математическому моделированию;

• отчетные и статистические данные российской экономики.

Методы исследования. Системный анализ, нечеткие методы обработки статистической информации, статистические методы.

Выносимые на защиту основные научные результаты.

1. Новый оригинальный метод построения характеристической функции нечеткого образа макроэкономического показателя, основанный на интервальном представлении данных (1).

2. Утверждение (см. леммы 1-2). Для любого а 6 Я™ характеристическая функция нечеткого показателя, построенная на основе метода интервального представления данных,

суммируема по Лебегу, и справедливо равенство

Здесь Ф(дт) - функция распределения случайной величины, описывающей экономический показатель; а - параметр, определяющий точность нечеткого описания показателя.

3. Новые свойства вероятностных мер, порожденных интервальным представлением данных (см. леммы 3, 4). В частности, доказана справедливость формулы

где ф(х) - исходная функция распределения экономического показателя ^ (дт) - функция распределения случайной величины п, порожденной интервальным представлением показателя.

4. Свойство нечетких макроэкономических показателей (см. § 3.3, эксперимент 1). Уменьшение точности нечеткого описания макроэкономического показателя (т.е. увеличение значения параметра а) приводит к увеличению степени правдоподобности прогноза (т.е. увеличению значения характеристической функции в наиболее правдоподобной точ-

ке), а увеличение точности приводит к уменьшению степени правдоподобности прогноза.

При этом обнаружилась разная чувствительность прогнозируемых темпов роста продукции I и II подразделений к точности нечеткого описания. Для обеспечения одной и той же степени правдоподобности прогнозов для темпа роста продукции II подразделения требуется значительно большее уменьшение точности по сравнению с темпом продукции I подразделения.

5. Методика нечеткого макроэкономического прогнозирования, которая обогащает детерминированный подход.

В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3).

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что разработанный в диссертации подход к построению характеристических функций нечетких множеств на основе интервального представления данных является новым и позволяет эффективно решать прикладные задачи исследования макроэкономических процессов нечеткими методами. Введенный параметр точности нечеткого описания макроэкономического показателя впервые позволяет оценить для каждого значения показателя степень его правдоподобности и надежность сравнительной оценки вариантов прогноза.

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании научно обоснованной методологии нечеткого исследования макроэкономических показателей, математическом доказательстве свойств характеристических функций нечетких показателей. Математические доказательства выполнены на основе фундаментальных теорем математического анализа, теории дифференцирования, теории меры и теории интеграла. Обоснованность прикладных результатов вьгтекает из применения предложенных в диссертации нечетких отображений с доказанными математическими свойствами и классических методов математической статистики для обработки выборочных рядов данных.

Практическая значимость.

Результаты диссертационного исследования впервые позволяют теоретически обосновать и обеспечить практическую реализацию методов нечеткого анализа макроэкономических показателей.

Преимущество данного подхода перед классическими (четкими) методами заключается в следующем. Каждый вариант детерминированного макроэкономического прогноза описывается однозначно определенной системой показателей, и варианты сравниваются на основе этих прогнозных значений. В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных в каждом варианте, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3).

Результаты диссертационной работы использованы в исследованиях, проводимых в соответствии с планом НИР ИЭОПП СО РАН и поддержанных грантом РГНФ № 00-02-00242 по теме «Экономико-математическое моделирование на основе нечетких множеств», (20002002); при подготовке обосновывающих материалов к докладу на Государственном совете РФ «Прогнозирование транспортной системы России: обоснование стратегических направлений с использованием экономико-математического инструментария (с учетом транзитных контейнерных перевозок)» (2003).

Разработанный подход к построению нечетких макроэкономических показателей включен в программу специального курса по макроэкономическому прогнозированию для студентов старших курсов экономического факультета НГУ.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались автором и получили положительную оценку на XII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 24 июня - 1 июля 2001 г.; на XXXIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, 2001; на XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, 2002; на XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: экономика. Новосибирск, 2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ общим объемом 5 п.л., в том числе авторские - 3 п. л.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 108 наименования и четырех приложений. Основной текст изложен на 118 страницах, включает 7 рисунков и 18 таблиц.

Основное содержание диссертации

Первая глава содержит определение макроэкономического процесса и макроэкономического показателя, описание источников неопределенности и обзор методов описания неопределенности.

Понятие макроэкономического процесса связано с понятием производственной деятельности и ее макроэкономическим описанием с использованием укрупненных, высокоагрегированных параметров и показателей.

В диссертации принимается гипотеза, частично обоснованная в докторской диссертации Недосекина А.О., которая заключается в том, что неопределенность макроэкономических процессов может эффективно описываться с использованием аппарата нечетких множеств.

Определение нечеткого множества

Пусть / = [0,l] - отрезок вещественной оси, Iх - пространство всех отображений х: X ->[0,l]. Всякое отображение Iх по аналогии с четкими множествами будем называть характеристической функцией нечеткого множества Аг, содержащегося в X. Для всякого хе X значение %(х) интерпретируется как правдоподобность того, что xeAz. Функция х(х) для нечеткого множества Ах с X в литературе часто

называется функцией принадлежности (membership function [Zadeh L.A., 1965]).

Определяются операции над нечеткими множествами (см. [Zadeh L.A., 1965]), определяя характеристические функции результирующих множеств.

z(x)=l-%(x) - характеристическая функция дополнения, xc\ft{x)=min\x{jc),//(*)} - характеристическая функция пересечения, %v/u(x)=max{x(x),/j(x)} - характеристическая функция объединения.

В заключение главы делается вывод, что использование широко распространенных на микроуровне методов построения характеристических функций нечетких макроэкономических показателей не является корректным. Особенность объекта исследования, которая заключается в отсутствии достаточно представительных однородных выборок значений макропоказателей, предопределяет выбранную автором методику построения характеристических функций на основе имитационного моделирования макроэкономических процессов с использованием вероятностных моделей и метода интервального представления данных.

Вторая глава содержит результаты автора по математическому исследованию интервального метода построения нечетких макроэкономических показателей.

В § 2.1 дается определение интервального метода построения нечетких макроэкономических показателей, который заключается в следующем.

Пусть | есть некоторая т-мерная случайная вещественная величина,

X - соответствующая вероятностная мера и Ф: Лт —»[0,1] - функция распределения этой случайной величины. Определим отображение

формулой

где через обозначен интеграл Стилтьеса по параллелепипеду

Отображение при любом представляет собой характери-

стическую функцию некоторого нечеткого множества, которое и называется нечетким образом случайной величины построенной по методу интервального представления данных. Параметр характеризует точность нечеткого представления £

Далее, доказаны леммы о математических свойствах нечетких множеств, порожденных вероятностными мерами по методу интервального представления данных:

Лемма 1. Для всякого Д>0 справедливо включение Яае Ь1{—'х',0°),

причем

Г" ~а'

II II*.

и ее обобщение на многомерный случай

Лемма 2, Для всякого а = (а|(Д2.....Дт)>0, йб й"', функция Ла

принадлежит пространству и справедливо равенство

В свою очередь суммируемые нечеткие множества, построенные по интервальному методу представления данных, порождают некоторую вероятностную меру

усредняющую первоначальное распределение вероятностей X.

Далее, в этом параграфе выведены формулы для вычисления функции распределения ^(х), соответствующей вероятностной мере ,

через функцию распределения ф(д:):

Лемма 3. Пусть х,а€ И} на > 0. Тогда справедливо равенство

и ее обобщение на многомерный случай

Лемма 4. Пусть х.аеЯ'", а> 0,

Э"'ф(/) _ Э Г Э Эф(г)" Эг,Эг2...Эгт ~ Э/, [э,2'

Эг„

всю-

ду существует и непрерывна. Тогда справедливо равенство

Леммы 3 и 4 являются теоретическим обоснованием методики надежности нечеткого ранжирования, описанной в третьей главе. В § 2.2 исследуются свойства нечетких отображений. Определение. Обозначим через 3(х) совокупность всех нечетких

множеств, содержащихся в X. Нечетким отображением из пространства Ъ в пространство X будем называть всякое отображение вида

Здесь сформулировано и доказано следующее утверждение.

Лемма 5. Существование нечеткого отображения /: X —> 1Г , порожденного точечно-множественным отображением (р: X —> 2м , эквивалентно следующим двум условиям:

(1) ,,(*)= К при любом хе X ;

(2) Е9Д{х)^Ег^{х) при 0<«</?< 1 илюбом хеХ.

где Е9Я{х) = \у&У\(у,а)в ^лг)}, 2х - множество замкнутых подмножеств пространства X.

Третья глава содержит приложение метода интервального представления данных к исследованию макроэкономических процессов.

В § 3.1 описана разработанная автором модификация имитационной межотраслевой динамической модели со случайными параметрами, обеспечивающая генерацию случайной выборки макроэкономических показателей.

В § 3.2 изложена методика построения нечетких макропоказателей и методика оценки надежности нечеткого ранжирования.

Кратко, методика построения нечетких макропоказателей на основе интервального представления данных (МИПД) заключается в следующем. Если требуется построить нечеткий образ макроэкономического показателя, то следует сгенерировать некоторую выборку значений этого показателя с использованием межотраслевой модели со случайными параметрами (см. § 3.1), построить эмпирическую функцию распределения по этой выборке и применять к эмпирической функции распределен ия формулу (1).

Для оценки надежности нечеткого ранжирования используется аппроксимация нечеткого множества треугольным числом. Здесь рассматривается следующая формула для вычисления надежности ранжирования состояний экономической системы на основе треугольной аппроксимации макроэкономических показателей

С Д

Г(д)= \/с1>{х]ёх {л»Л<. (2)

-с X

Здесь /сД(л:) = (1-|л:-Д|/с)/с,если |х-Д|<с и /сД =0 для других*.

Вычисление интеграла (2) для треугольных чисел приводит к следующему.

1)Если Д>2с,то,очевидно, 7^)=1.

2) Если с < Д < 2с, то интеграл приводится к виду

3) При 0 < Д < с получаем

«ы

4) При -с < А < 0 получаем

2 3^с^ 3\с) 8и;

5) Если -2с < Д < -с, то

24 .

6) Если Д < -2с, то, очевидно, Т(Д)=0.

Функция Т(Д) определена на всей вещественной прямой, непрерывна, непрерывно дифференцируема и монотонно возрастает на отрезке

может использоваться для приближенного вычисления надежности нечеткого ранжирования состояний экономической системы. Здесь Д -расстояние между наиболее правдоподобными значениями нечеткого макропоказателя. Из выведенных формул следует, что максимальная надежность ранжирования равна 1 и достигается она при Д > 2с. Если Д<2с, то надежность ранжирования удовлетворяет неравенству Г(д)<1. Минимальное значение надежности Т(Д) равно 0, и достигается это значение при Д < -2с.

В § 3.3 излагаются результаты нечеткого интервального анализа макроэкономических показателей.

Здесь изложены результаты трех экспериментов.

Эксперимент 1. Построение характеристических функций параметрического семейства нечетких множеств, построенных на основе МИПД.

В этом эксперименте рассматривается вариант, в котором источником неопределенности в российской экономике на рубеже веков служит неопределенность фондоотдачи, которая считается случайной величиной с заданной функцией распределения.

Пример полученных результатов изображен на рис. 2.

Рис. 1. График характеристических функций нечеткого темпа валового выпуска народного хозяйства

Анализ результатов первого эксперимента показывает следующее. Хотя основным источником нечеткости темпов роста является предположение о случайном характере параметров фондоемкости, в то же время из рисунка 1 видно, что значение параметра а, выбранное для построения характеристической функции в методе интервального

представления данных, также влияет на степень нечеткости. Задав зна-

/ \

а а

чение параметра а, мы определяем интервал х—,х+— темпов роста

V 2 2)

показателя, точки которого неразличимы от темпа х. С увеличением параметра а нечеткое описание темпов экономического развития становится менее точным. Одновременно с уменьшением точности увеличивается степень правдоподобности, приписываемая МИПД значениям темпа. Повышение точности описания показателя (уменьшение параметра а) наоборот делает прогноз менее предсказуемым.

Эксперимент 2. Построение нечеткой зависимости темпов второго подразделения от темпов первого подразделения.

В этом эксперименте подтвержден следующий вывод. Правдоподобность темпов второго подразделения увеличивается, если при прочих равных известны заранее темпы роста первого подразделения Эксперимент 3. Оценка надежности нечеткого ранжирования вариантов экономического развития.

Здесь по методике, изложенной в § 3.2, оценивается надежность ранжирования по темпу роста валового выпуска трех прогнозных вариантов экономического развития РФ на период 2001-2005 гг., описанных в работе (Баранов А.О., Гильмундинов В.М., Павлов В.Н. Прогноз развития экономики России на период 2001-2005 гг. с использованием динамической межотраслевой модели с бюджетным и монетарным блоком. Препринт. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2000). Базовые значения темпов роста валового выпуска за период 2001-2005 гг. по этим ва-

Наименование показателя Вариант базовый Вариант 1 Вариант 2

Темп валового выпуска 1,246 1,153 1,35

Наиболее вероятный темп 1,246 1,153 1,35

Вычисленная по предлагаемой методике таблица надежности нечеткого ранжирования вариантов имеет следующий вид_

Вариант базовый

Вариант 1

Вариант 2

Вариант базовый

0,2872

0,7351

Вариант 1

0,7128

0,8862

Вариант 2

0,2649

0,1138

Здесь на пересечении 1-й строки иу-го столбца стоит уровень надежности того, что темп варианта, стоящего в наименовании столбца, выше, чем темп варианта, стоящего в наименовании строки.

Таким образом, видим, что имеется шанс с надежностью Т = 0,1138 того, что темп валового выпуска в варианте 2 будет ниже, чем темп валового выпуска в варианте 1. В то же время для наиболее правдоподобных темпов справедливо обратное соотношение: наиболее правдоподобный темп в варианте 2 равен 1,350, что значительно больше наиболее правдоподобного темпа в варианте 1, равного 1,153.

В заключение отметим, что сравнение нечетких методов с вероятностными позволяет сделать следующий вывод. В вероятностных методах экономический показатель рассматривается как случайная величина и исследуются свойства этой случайной величины (вероятность попадания в заданное множество и др.). При этом мы не можем однозначно сказать, какое конкретное значение принимает исследуемый показатель. В нечетких методах рассматривается конкретное значение экономиче-

ского показателя (число) и исследуются свойства этого числа (степень правдоподобности того, что значение показателя равно этому числу). Таким образом, нечеткие и вероятностные методы исследования в существенной степени дополняют друг друга. Одновременное применение нечетких и вероятностных методов позволяет выполнить комплексное исследование свойств экономической неопределенности с двух разных сторон.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Казанцев СВ., Павлов А.В., Павлов В.Н. Интервальный анализ данных. // Методы анализа динамики экономических процессов. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2001, с. 3-17.1 п.л. (авторские 0,5 пл.)

2. Павлов А.В. О некоторых свойствах мер, порожденных интервальным представлением данных. В сб. Динамика экономических процессов: методы моделирования и анализа. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2002, с. 184-198.1 пл.

3. Казанцев СВ., Павлов А.В., Павлов В.Н. Нечеткие экономико-статистические модели. Тезисы доклада. В сб. Труды XII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 24 июня - 1 июля 2001 г., том 3, Математическая экономика, с. 183-186.0,25 п.л. (авторские 0,1 пл.)

4. Павлов А.В. Методы нечеткого анализа экономических показателей. Тезисы доклада. В сб. Материалы ХХХГХ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2001, с. 51-52.0,1 п.л.

5. Павлов А.В. Метод построения нечетких экономических показателей. Тезисы доклада. В сб. Материалы ХЬ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2002, с. 180-181.0,1 п.л.

Ь. Павлов А.В., Павлов В.Н. Некоторые свойства нечетких отображений. В сб. Системное исследование экономических процессов в России. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2004, с. 119-129.0.7 пл. (авторские - 0.3 п л.)

7. Павлов А.В., Павлов В.Н. Нечеткая оптимизация. Препринт. Издательство ИЭОПП СО РАН, 2000 год. 1,2 пл. (авторские - 0,6 пл.)

8. Апарина А.В., Павлов А.В. Нечеткий метод прогнозирования цен на недвижимость. В сб. Материалы ХЬ1 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: экономика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2003,0,2 п.л. (авторские 0,1 п.л.)

9. Зырянова Н.В., Павлов А.В. Нечеткое ранжирование качественных экономических показателей. В сб. Исследование тенденций социально-экономического развития России. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2003, с. 108-115.0,5 пл. (авторские -0,3 п.л.)

ИД № 03575 от 19.12.2004 г. Подписано к печати 16 ноября 2004 г.

Формат бумаги 60x84 Объем 1 п.л.

Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 166.

Участок оперативной полиграфии Института экономики

И организации промышленного производства СО РАН.

630090, г. Новосибирск, просп. Академика Лаврентьева, 17

»26188

Введение

Гл 1. Основные подходы к нечетко-множественному описанию макроэкономических процессов

§1.1 Макроэкономические процессы и их нечетко-множественное описание

§ 1.2. Основные подходы к применению нечетко-множественных методов в экономических исследованиях

Гл 2 Математическое исследование интервального метода построения нечетких макроэкономических показателей

§ 2 1 Математические свойства нечетких показателей, порожденных интервальным представлением данных

§ 2 2 Некоторые свойства нечетких отображений

Гл. 3 Применение метода интервального предоставления данных в макроэкономических исследованиях

§ 3 1 Оптимизационная межотраслевая модель со случайными параметрами как генератор выборки макроэкономических показателей

§ 3 2. Методика применения МИПД к построению нечетких макроэкономических показателей и приближенная оценка надежности нечеткого ранжирования

§ 3 3 Нечеткий анализ вариантов прогнозирования темпов роста валового выпуска с использованием вероятностной оптимизационной модели

Актуальность темы исследования. Понятие макроэкономического процесса связано с понятием производственной деятельности и ее обобщенным описанием с использованием укрупненных, высокоагрегированных параметров и показателей. Примерами макроэкономических показателей могут служить: Валовой внутренний продукт, Валовой выпуск, Продукция I подразделения, Продукция II подразделения, Валовой национальный продукт, Национальный доход и т.д. Макроэкономический процесс описывается системой взаимосвязей между макроэкономическими показателями (системой уравнений, неравенств или иных соотношений, связывающих значения показателей в разные моменты времени).

Всякий экономический процесс протекает в условиях неопределенности, которая порождается большим количеством влияющих факторов. Случайность и нечеткость это два способа описания неопределенности и они принципиально различны. Теория вероятностей строится на идее: случайная величина q попадает в детерминированное множество а. Мера множества определяется как вероятность попадания в него случайной величины \ Центральная идея теории нечетких множеств: детерминированное множество а накрывается нечетким Е. Мерой множества а в этом случае является либо Р1(а) - правдоподобность того, что хотя бы одна точка из а принадлежит Е, либо Ве1(л) - уверенность в том, что все точки множества А принадлежат Е. Если исследуется накрытие нечетким множеством одноточечного множества, то эти две меры совпадают. Различаются они, когда накрываются более сложные объекты.

В своей докторской диссертации [35] Недосекин А.О. отмечает, что рыночная неопределенность часто не обладает классически понимаемой статистической природой. Соответственно, встает под сомнение применимость к анализу этих экономических процессов классических вероятностей и случайных процессов. Далее, в упомянутой диссертации убедительно показано, что в исследовании этих процессов может применяться теория нечетких множеств, заложенная около полувека назад в фундаментальных работах Лотфи Заде [97]. Сам Заде определил нечеткие множества как инструмент построения теории правдоподобия. С тех пор научные категории случайности, правдоподобия и уверенности получили теоретическое разграничение. В настоящее время имеются интерпретации нечетких множеств не только в терминах теории правдоподобия, но и в терминах теории уверенности [108].

Магистральное направление применения теории нечетких множеств в экономике — это обоснование форм характеристических функций (функций принадлежности — membership functions) соответствующих нечетких параметров и классификаторов, используемых в модели. Если все исходные данные модели, имеющие нечеткий вид, обоснованы, то получить результирующие показатели на основе соответствующих методов уже не составляет труда: методы, записанные в детерминированной постановке задачи, преобразуются к нечеткому виду, «фазифицируются», а классические вычисления заменяются «мягкими».

Расширение понятия множества и введение термина "нечеткое множество" в математической науке связывается с тем, что классическая теория (четких) множеств не позволяет адекватно описать многие проблемы, возникающие в современных приложениях. В частности, это касается исследований в области внедрения компьютерных технологий в экономические процессы.

В данной диссертации принимается, что значения макроэкономических показателей, полученные с использованием экономико-математических моделей, с высокой степенью достоверности можно считать нечеткими, т.е. принимающими различные числовые значения с разными уровнями правдоподобия.

Анализ литературы показал, что сложности в применении нечетких методов для исследования макроэкономических процессов связаны с особенностью объекта, которая заключается в том, что отсутствуют достаточно представительные однородные выборки макроэкономических показателей. Это затрудняет применение широко используемых на микроуровне процедур построения характеристических функций нечетких показателей, таких, например, как нейронные сети. Это обусловило цель и задачи диссертации.

В связи с этим актуальной задачей является разработка методов нечеткого представления макроэкономических показателей.

Степень разработанности проблемы. В основе нечетких методов исследования лежит теория нечетких множеств. Это сравнительно молодая теория. Первая публикация в этом направлении датируется 1965 годом, когда американский математик JI. Заде опубликовал свою знаменитую работу: Zadeh L.A. Fuzzy Sets. Inf. And Control. 8(1965), 338-353. На нее сразу же откликнулись ряд крупных математиков (Wong С.К., Bezdek J., Laveuve S.E.). Очень скоро было замечено, что на новые объекты переносятся с соответствующими уточнениями многие свойства классических множеств. Была разработана теория нечетких мер (Zadeh L.A., 1973), нечеткая логика (Zadeh L.A.,

1975) нечеткая топология (Wong С.К., 1975), теория нечеткого интеграла (Ralescu, D., and Adams G.„ 1980), нечеткая оптимизация (Takeda, Е. and Nishida, Т., 1980, Verdegay, J.I., 1982), в математическую статистику вводится понятие нечеткого кластера (Bezdek J., 1981). Таким образом, математический фундамент нечетких методов исследования в основном был заложен во второй половине 20 века.

Прикладные результаты теории нечетких множеств можно проиллюстрировать на нескольких примерах. Так, сегодня зарубежный рынок так называемых нечетких контроллеров (разновидность которых установлена даже в стиральных машинах широко рекламируемой марки LG) обладает емкостью в миллиарды долларов. Нечеткая логика, как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств начинают применяться в экономических исследованиях. Так, Бакли [Buckly, 1992] рассмотрел систему дифференциальных уравнений с нечеткими параметрами и в этой же работе обосновал матрицу «затраты-выпуск» Леонтьева, элементы которой являются треугольными нечеткими числами. Отметим здесь же монографию [Кофман А., Хил Алуха X., 1992], в которой представлен широкий спектр возможных применений теории нечетких множеств - от оценки эффективности инвестиций до кадровых решений и замен оборудования, приводятся соответствующие математические модели.

Начали постепенно появляться программные решения и информационные технологии, решающие экономические задачи с применением нечетко-множественных описаний. Так, под руководством Зопоунидиса в Техническом университете на острове Крит была разработана экспертная система FINEVA для детального финансового анализа корпораций, содержащая в своем составе описания так называемых «грубых множеств» (rough sets) и базы знаний на этой основе [Nedovic L., Devedzic V., 2002]. Чуть раньше в Германии, в конце 80-х годов, группой Циммермана была разработана система стратегического планирования ESP [Zimmerman H.-J., 2001], в которой реализуется позиционирование бизнеса корпорации на основе нечетких описаний конкурентоспособности и привлекательности бизнеса.

В настоящее время создана международная ассоциация SIGEF (International Association for Fuzzy Set Management & Economy) со штаб квартирой в Барселоне, которая регулярно апробирует новые результаты в области нечетко-множественных экономических исследований, проводя ежегодные конференции и публикуя журнал Fuzzy Economic Review.

Было замечено, что нечеткие методы очень хорошо описывают деятельность человеческого мозга. Модель нейрона (McCulloch W.S., Pitts W., 1943), описанная в нечетких терминах (Hopfield J.J., 1982; Kohonen Т. 1984; Chua L.O. and L.Yang. 1988; Amari S., 1990), и моделирование механизма самообучения оказались мощным методом в теории распознавания образов и нашли широкое применение в разработке нечетких методов исследования микроэкономических задач.

Нечеткое описание лингвистической переменной (Zadeh L.A., 1975) позволило широко использовать нечеткие методы для оценивания качественных показателей.

Целью исследования является разработка методов построения характеристических функций нечетких образов макроэкономических показателей, первоначально определенных в терминах случайных величин, и методики нечеткого макроэкономического анализа.

Задачи исследования:

1. разработка методов построения характеристических функций нечетких образов случайных величин и построение на этой основе нечетких образов макроэкономических показателей;

2. разработка методов построения нечетких зависимостей между макроэкономическими показателями;

3. разработка методики применения полученных в диссертации теоретических результатов к нечеткому анализу макроэкономических показателей.

Объект исследования - макроэкономические процессы, описываемые системой количественных макроэкономических показателей.

Предметом исследования является метод интервального представления данных, позволяющий выполнить не только построение нечетких образов макроэкономических показателей, но и лежащий в основе методов нечеткого макроэкономического анализа.

Теоретической, методологической и информационной базой исследования являются:

• теория нечетких множеств и отображений;

• теория вероятностей и математическая статистика;

• теория оптимизации;

• макроэкономическая теория;

• разработки отечественных и зарубежных авторов по экономико-математическому моделированию;

• отчетные и статистические данные российской экономики.

Методы исследования. Системный анализ, нечеткие методы обработки статистической информации, статистические методы.

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что разработанный в диссертации подход к построению характеристических функций нечетких множеств на основе интервального представления данных является новым и позволяет эффективно решать прикладные задачи исследования макроэкономических процессов нечеткими методами. Введенный параметр точности нечеткого описания макроэкономического показателя впервые позволяет оценить для каждого значения показателя степень его правдоподобности и надежность сравнительной оценки вариантов прогноза.

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании научно обоснованной методологии нечеткого исследования макроэкономических показателей, математическом доказательстве свойств характеристических функций нечетких показателей. Математические доказательства выполнены на основе фундаментальных теорем математического анализа, теории дифференцирования, теории меры и теории интеграла. Обоснованность прикладных результатов вытекает из применения предложенных в диссертации нечетких отображений с доказанными математическими свойствами и классических методов математической статистики для обработки выборочных рядов данных.

Практическая значимость.

Результаты диссертационного исследования впервые позволяют теоретически обосновать и обеспечить практическую реализацию методов нечеткого анализа макроэкономических показателей.

Преимущество данного подхода перед классическими (четкими) методами заключается в следующем. Каждый вариант детерминированного макроэкономического прогноза описывается однозначно определенной системой показателей, и варианты сравниваются на основе этих прогнозных значений. В разработанной методике нечеткого прогнозирования, детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных в каждом варианте, оценивается степень правдоподобности этих значений и исслед>ется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3).

Результаты диссертационной работы использованы в исследованиях, проводимых в соответствии с планом НИР ИЭОПП СО РАН и поддержанных грантом РГНФ № 00-02-00242 по теме «Экономико-математическое моделирование на основе нечетких множеств», (2000-2002); при подготовке обосновывающих материалов к докладу на Государственном совете РФ «Прогнозирование транспортной системы России: обоснование стратегических направлений с использованием экономико-математического инструментария (с учетом транзитных контейнерных перевозок)» (2003).

Разработанный подход к построению нечетких экономических показателей включен в программу специального курса по макропрогнозированию для студентов старших курсов экономического факультета НГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 108 наименований и четырех приложений. Текст диссертации изложен на 118 страницах, включает 7 рисунков и 18 таблиц.

Выводы

1. Основное свойство нечетких макроэкономических показателей (см. § 3.3, эксперимент 1) заключается в следующем. Уменьшение точности нечеткого описания макроэкономического показателя (т.е. увеличение значения параметра а) приводит к увеличению степени правдоподобности прогноза (т.е. увеличению значения характеристической функции в наиболее правдоподобной точке), а увеличение точности приводит к уменьшению степени правдоподобности прогноза. Параметр точности а должен подбираться так, чтобы выполнялось приближенное равенство а и 2<т, где сг -стандартное отклонение случайной выборки показателя. В этом случае из семейства нечетких представлений макропоказателя выделяется наиболее наглядно описывающее его свойства.

При этом обнаружилась разная чувствительность прогнозируемых темпов роста продукции I и II подразделений к точности нечеткого описания. Для обеспечения одной и той же степени правдоподобности прогнозов для темпа роста продукции II подразделения требуется значительно большее уменьшение точности по сравнению с темпом продукции I подразделения.

2. Предложенная методика нечеткого макроэкономического прогнозирования обогащает детерминированный подход.

В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3).

Преимущество данного подхода перед классическими (четкими) методами заключается в следующем. Каждый вариант детерминированного макроэкономического прогноза описывается однозначно определенной системой показателей, и варианты сравниваются на основе этих прогнозных значений. В разработанной методике нечеткого прогнозирования, детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных в каждом варианте, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению tf макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3).

Сравнение нечетких методов с вероятностными позволяет сделать следующий вывод. В вероятностных методах экономический показатель рассматривается как случайная величина и исследуются свойства этой случайной величины (вероятность попадания в заданное множество и др.). При этом мы не можем однозначно сказать, какое конкретное значение принимает исследуемый показатель. В нечетких методах рассматривается конкретное значение экономического показателя (число) и исследуются свойства этого числа (степень правдоподобности того, что значение показателя равно этому числу). Таким образом, нечеткие и вероятностные методы исследования в существенной степени дополняют друг друга. Одновременное применение нечетких и вероятностных методов позволяет выполнить исследование свойств экономической неопределенности с двух разных сторон.

Заключение

Понятие макроэкономического процесса связано с понятием производственной деятельности и ее обобщенным описанием с использованием укрупненных, высокоаг-регированных параметров и показателей. Примерами макроэкономических показателей могут служить: Валовой внутренний продукт, Валовой выпуск, Продукция I подразделения, Продукция II подразделения, Валовой национальный продукт, Национальный доход и т.д. Макроэкономический процесс описывается системой взаимосвязей между макроэкономическими показателями (системой уравнений, неравенств или иных соотношений, связывающих значения показателей в разные моменты времени).

Автором принято, что магистральным направлением применения теории нечетких множеств в экономике является обоснование форм характеристических функций (функций принадлежности - membership functions) нечетких параметров и классификаторов, используемых в модели.

Особенность объекта исследования заключается в том, что для макроэкономических показателей отсутствует более-менее емкая однородная статистика отчетных данных. Поэтому, применение широко распространенных на микроуровне методов построения характеристических функций нечетких образов экономических показателей, например нейронных сетей, здесь не представляется возможным.

Основные научные выводы и результаты, полученные в диссертации.

1. Новый оригинальный метод построения характеристической функции нечеткого образа макроэкономического показателя, основанный на интервальном представлении данных.

2. Утверждение (см. леммы 1, 2). Для любого aeR™ характеристическая функция нечеткого показателя, построенная на основе интервального представления данных, а х— 2 суммируема по Лебегу и справедливо равенство т

Здесь ф(х) - функция распределения экономического показателя, а - параметр, определяющий точность нечеткого описания показателя.

3. Новые свойства вероятностных мер, порожденных интервальным представлением данных (см. леммы 3, 4). В частности, доказана справедливость формулы функция распределения случайной величины г|, порожденной интервальным представлением показателя.

4. Свойство нечетких макроэкономических показателей (см. § 3.3, эксперимент 1). Уменьшение точности нечеткого описания макроэкономического показателя (т.е. увеличение значения параметра а) приводит к увеличению степени правдоподобности прогноза (т е. увеличению значения характеристической функции в наиболее правдоподобной точке), а увеличение точности приводит к уменьшению степени правдоподобности прогноза.

При этом обнаружилась разная чувствительность прогнозируемых темпов роста продукции I и II подразделений к точности нечеткого описания. Для обеспечения одной и той же степени правдоподобности прогнозов для темпа роста продукции II подразделения требуется значительно большее уменьшение точности по сравнению с темпом продукции I подразделения.

5. Методика нечеткого макроэкономического прогнозирования, которая обогащает детерминированный подход.

В разработанной методике нечеткого прогнозирования детерминированные прогнозные значения используются в качестве наиболее правдоподобных, оценивается степень правдоподобности этих значений и исследуется влияние различных экономических факторов на надежность сравнительной оценки вариантов по наиболее правдоподобному значению макропоказателя (см. § 3.3, эксперимент 3). где ф(х) - исходная функция распределения экономического показателя /^(х)

1. Айзенберг Н Н. Спектральный анализ и ошошения юлерлшносш. УжГУ. 1984, с 46.

2. Айзенберг ИЛ1. Уневерсальный логический элемент над полем комплексных чисел. Кибернетика.МЗ, 1991 .с. 116-121.

3. Апарина А.В., Павлов А.В. Нечеткий метод прогнозирования цен на недвижимость. В сб. Материалы XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: экономика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2003, с.

4. Баранов А.О. Динамическая межотраслевая модель с блоком отраслей нематериального производства. // Системный анализ воспроизводства. Новосибирск: ИЭ-ОПП СО РАН, 1992

5. Баранов А.О. Инвестиционный лаг в воспроизводстве общественного продукта и фондов. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991.

6. Баранов А.О., Гильмундинов В.М., Павлов В.Н. Прогноз развития экономики России на период 2001-2005 гг. с использованием динамической межотраслевой модели с бюджетным и монетарным блоком. Препринт. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2000.

7. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело ЛТД, 1994.

8. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

9. Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии или Теория общественного богатства. / Пер. с фр. И. Егорова, А. Белянина. М.: Экономика, 2000.

10. Винер Н. Кибернетика Пер. с англ.: 2 изд. М. 1968.

11. Гохман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.

12. Дергоузос, Пороговая логика. Мир, 1967.

13. Жданов А.А. О подходе к моделированию управляемых объектов. Препринт ВЦ РАН СССР. М. 1991.

14. Золотухин Ю.Н. Нечеткая логика. Fuzzy Technologies Lab. 1997

15. Зырянова Н.В., Павлов А.В. Нечеткое ранжирование качественных экономических показателей. В сб. Исследование тенденций социально-экономического развития России. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2003, с. 108-115

16. Казанцев С.В. Об одном методе измерения относительного положения объектов. // Моделирование динамики экономических процессов. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН (2000) 20-25.

17. Казанцев С.В., Павлов В.Н. Сравнение потенциала и ресурсоемкости экономик регионов России на основе нечетких методов оценки показателей. Препринт. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2002.

18. Казанцев С.В., Павлов А.В., Павлов В.Н. Интервальный анализ данных. // Методы анализа динамики экономических процессов. Новосибирск: ИЭОПП СО РАН, 2001, с. 3-17.

19. Кендалл М Д , Стьюарт А. Статистические выводы и связи, т. 1-2. М/ Наука, 1973

20. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1977.

21. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями, Минск: Вышэйшая школа, 1992.

22. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

23. Куратовкий К. Топология. Т. 1-2. Пер. с англ. М.: Мир, 1968.

24. Либерман .Е.А. Молекулярная вычислительная машина клетки (МВМ). Общие соображения и гипотезы // Биофизика. 1972. Т. 17. N.5. С.932-943.

25. Лычагин М.В., Суслов В.И. Финансовые инновации: зарубежный опыт. Новосибирск, 1997.

26. Ляпунов А.А., Беликова М.А. О кибернетических вопросах биологии // В кн.: О некоторых вопросах кодирования и передачи информации в управляющих системах живой природы. Новосибирск. 1971.

27. Маркс К. Капитал. Том II. М.: Изд-во Партиздат, 1936.

28. Методологические положения по статистике. М.: Логос, 1996.

29. Минский М., Пейперт С. Перцептроны. Мир, 1971.

30. Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. М.: Сезам, 2002.

31. Недосекин А.О. Фондовый менеджмент в расплывчатых условиях. М.: Сезам, 2003.

32. Недосекин А.О. Методологические основы моделирования финансовой деятельности с использованием нечетко-множественных описаний. Докторская диссертация. 2004, http://www.vmgroup.ru/Win/dissertation.zip

33. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств в задачах управления финансами // Аудит и финансовый анализ, № 2, 2000. Также на сайте http-//www cfin ru/ptеss/afa/2000-2/08.shtm 1

34. Озеров В.К. Анализ динамики социалистического расширенного воспроизводства. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1984.

35. Осипов Ю.М. Конкурентоспособность наукоемкой машиностроительной продукции: экономика и менеджмент. Изд-во Томского государственного университета, Томск, 2002.

36. Павлов А.В. Методы нечеткого анализа экономических показателей. Тезисы доклада. В сб. Материалы XXXIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2001, с. 51-52.

37. Павлов А.В. Метод построения нечетких экономических показателей. Тезисы доклада. В сб. Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Секция: математика. Новосибирск, изд-во НГУ, 2002, с. 180-181.

38. Павлов А.В. О некоторых свойствах мер, порожденных интервальным представлением данных. В сб. Динамика экономических процессов: методы моделирования и анализа. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2002, с. 184-198.

39. Павлов А.В., Павлов В.Н. Некоторые свойства нечетких отображений. В сб. Системное исследование экономических процессов в России. Новосибирск, Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2004, с. 119-129.

40. Павлов А.В., Павлов В.Н. Нечеткая оптимизация. Препринт. Издательство ИЭОПП СО РАН, 2000 год.

41. Терещенко В. Маркетинг: новые технологии в России. Спб.: Питер, 2001.

42. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1-2. М.: Мир, 1967.

43. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1-3. М.: Наука, 1966.

44. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. М.: Дело, 1998.

45. Фон Нейман Дж. Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент. // Автоматы, под ред. Шеннона К.Э. и Маккарти Дж. М.: ИЛ, 1956. С. 68- 139.

46. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971, 382 с.

47. Фролов А.А., Муравьев И.П. Информационные характеристики нейронных сетей. М.: Наука, 1988. 160 с.

48. Фролов А.А., Муравьев И.П. Нейронные модели ассоциативной памяти. М.: Наука, 1987. 160 с.

49. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. 240 с.

50. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение. Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук, Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.

51. Шатилов Н.Ф. Анализ зависимостей социалистического расширенного воспроизводства и опыт его моделирования. Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1974.

52. Эдварде Р. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

53. Al-Daoud, М. В. and S. A. Roberts (1996), "New Methods for the Initialisation of Clusters", Pattern Recognition Letters, 17,451-455.

54. Amari S. Dualistic geometry of manifold of higher-order neurons // Neural networks. 1991. V.4. P.443-451.

55. Amari S. Mathematical foundations of neurocomputing // Proceedings of the IEEE. 1990. V.78.N.9. P. 1443-1462.4 63. Andrews, D. W. K. (1993). Tests for parameter instability and structural change with unknown change point. Econometrica 61, 821-856.

56. Barinov, V., Pervozvansky, A., Pervozvanskaya, T. (1999). State debt policy and state bond market behavior. EERC Working paper.

57. Bauwens, L., Giot, P. (2000). The logarithmic ACD model: an application to the bid/ask quote process of three NYSE stocks. Annales d'Economie et de Statistique 60, 117-149.

58. Bezdek J. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function. Plenum Press, New York, 1981.

59. Buckley, J. Solving fuzzy equations in economics and finance // Fuzzy Sets & Systems,1992, N48.

60. Burgin M. Neoclassical Analysis: Fuzzy Continuity and Convergence , Fuzzy Sets and Systems, 1995 v.75,N3, pp.291-299

61. Chua L O. and L.Yang. Celuar neural networks' theory, IEEE 1 rans Circuits S\st. Vol.35., 1988, pp 1257-1290.

62. Davidson I Combining Probabilistic Search, Latent Variable Analysis and Classification Models // Probabilistic Approaches in Search, 2002, 9-16af

63. De Luca A. and Termini S. A Definition of Nonprobabilistic Entropy in the Settings of Fuzzy Set Theory. Inf. And Control, 20-4 (1972) 301-312.

64. Ghysels, E., Gourieroux, C., Jasiak, J. (2003). Stochastic volatility duration models. Journal of Econometrics, to appear.

65. Giles E.A., Draeseke R. Econometric Modelling Based on Pattern Recognition via the Fuzzy c-Means Clustering Algorithm. Department of Economics University of Victoria, 2001.

66. Giles R. Foundation for the theory of possibility. Fuzzy Information and Decision Procm>t esses, North-Holland Publishing Company (1982) 183-196.

67. Goldberg, L., Tenorio, R. (1997). Strategic trading in a two-sided foreign exchange auction. Journal of International Economics 42, 299-326.

68. Gutfreund H. Neural networks with hierarchically correlated patterns // Physical Review A. 1988. V.37. N.2. P.570-577.

69. Hebb D.O. The organization of behavior. A neuropsychlogical theory. N.Y.: Wiley & Sons, 1949. 355 p.

70. Hogan W.W. Point-to-set maps in mathematical programming. SIAM Rereview, 1973, v. 15, №3, p. 591-603.

71. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1982. V.79. N.8. P.2554-2558.

72. Hopfield J.J. Neurons with gradual response have collective computational properties like those of two-state neurons // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1984. V.81. N.10. P.3088-3092.

73. Hopfield J.J., Tank D.W. Computing with neural circuits: A model. // Science. 1986. V.233. N.464. P.625-633.

74. Kaymak U., Setnes M. Extended Fuzzy Clustering Algorithms. Report. Erasmus Research Institute of Management (ERIM), 2000.

75. Kaymak U., Setnes M. Fuzzy Modelling of Client Preference in Data-Rich Marketing

76. Environment. Erasmus Research Institute of Management (ERIM), 2000.

77. Kaymak U., Van den Berg J., Van den Berg W.M. Probabilistic and statistical fuzzy set foundations of competitive exception learning. Erasmus Research Institute of Management (ERIM), 2001.

78. Keppens J., Shen Q. A Calculus of Partially Ordered Preferences for Compositional Modeling and Configuration // Preferences in AI and CP: Symbolic Approaches, 2002, 39-47.

79. Kohonen T. 1984. Self organization and associative memory. Series in Information Sciences, \ol. 8. BerLIn: Springer Veilag.

80. Laveuve S.E. Definition einer Kahan-Arithmetic und ihre Implementierung // Interval Mathematics; Nickel K., ed. Berlin: Springer Verlag, 1975. - P. 236-245.

81. Systems with Applications, 23,2002.

82. Nij P., Nobilio L., Reggiani A. Spatial Modal Patterns In European Freight Transport Networks: Results of Neurocomputing and Logit Models. University of Amsterdam, 1997.

83. Ralescu, D., and Adams G., The Fuzzy Integral, J. Math. Anal. Appl. 75 (1980) 562-570.

84. Rosenblatt F. 1962. Principles of neurodynamics. New York: Spartan Books. (Русский перевод: Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. М.: Мир., 1965.)

85. Takeda, Е. and Nishida, Т. Multiple Criteria Decision Problems with Fuzzy Domination

86. Structures. Fuzzy Sets and Systems 3 (1980) 123-136.

87. Verdegay, J.I. Fuzzy Mathematical Programming. Fuzzy Information and Decision Processes, North-Holland Publishing Company (1982) 231-237.

88. Widrow B. 1959 Adaptive sampled data systems, a statistical theory of adaptation. 1959. IRE WESCON Convention Record, part 4. New York: Institute of Radio Engineers.

89. Wong C.K. Fuzzy Topology. Fuzzy Sets and their Applications to Cognitive and Decision Processes, pp. 171-190, Academic Press, 1975.

90. Zadeh L.A. Fuzzy Sets. Inf. And Control. 8(1965), 338-353.

91. Zadeh L.A. Fuzzy Sets: Theory and Applications/Selected Papers (1987).

92. Zadeh L.A. On fuzziness and linguistic probabilities (1977.) J. Math. Anal, and Appl., (61), 658-671.

93. Zadeh L.A. Probability measures of fuzzy events, J. Math. Anal. Appl., 23 (1968) 421-427.

94. Zadeh L.A. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I: Inf. Sci. 8, 199-249, 1975; Part II: Inf. Sci. 8, 301-357, 1975; Part III:1.f. Sci. 9,43-80,1975.

95. Zadeh L.A., V. Kreinovich. Kolmogorov's theorem and its impact on soft computing (1997). In The Ordered Weighted Averaging Operators (R. Yager and J. Kacprzyk, Eds), Kluwer Academic, 3-17.

96. Zadeh L.A. and со. Fundamentals of Uncertainty Calculi with Applications to Fuzzy Inference (1994). Kluwer Academic.

97. Zadeh L.A. and со. Fundamentals of Mathematical Statistics, Volume I: Probability for Statistics (1989). Springer-Verlag University Text Book Series.

98. Zadeh L.A. and со. Fundamentals of Mathematical Statistics, Volume II: Statistical1.ference (1989). Springer-Verlag University Text Book Series.

99. Zhdanov A. A. A principle of Pattern Formation and Recognition.//Pattern Recognition and Image Analisis vol.2, N3,1992. (ISSN: 1054-6618).

100. Zimmerman H.-J. Fuzzy Sets Theory and Its Applications. - Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 0792374355.

101. Kampe de Feriet J. Interpretation of membership function of fuzzy sets in terms of plausibility and belief. Fuzzy Information and Decision Processes, North-Holland Publishing Company (1982) 93-100.