автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование производственных систем с интервальной неопределенностью параметров

На правах рукописи

НЕМКОВА Елена Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ПАРАМЕТРОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Пенза - 2014 005559085

005559085

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет» на кафедре «Математика».

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Левин Виталий Ильич.

Официальные оппоненты: Гарькина Ирина Александровна,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», профессор кафедры «Математика и математическое моделирование»; Прокофьев Олег Владимирович, кандидат технических наук, доцент, Пензенский филиал ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» доцент кафедры «Информатика, математика и общегуманитарные науки».

Ведущая организация - ОАО «Научно-производственное

предприятие «Рубин», г. Пенза.

Защита состоится 22 декабря 2014 г., в 16 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.337.01 на базе ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет» по адресу: 440039, г.Пенза, пр.Байдукова / ул. Гагарина, д. 1а/ 11, корпус 1, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет» и на сайте www.penzgtu.ru.

Автореферат разослан 31 октября 2014 г.

Ученый секретарь I А

диссертационного совета \JJLp. Чулков Валерий Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В процессе проектирования, разработки и последующего функционирования разнообразных создаваемых человеком систем -технических, экономических, социальных, производственных и т.д. - возникают проблемы, связанные с неточностью задания их параметров, а также с влиянием на эти системы большого числа различных внешних факторов и со значительной неполнотой информации о степени воздействия этих факторов на систему. Возможность пополнения этой информации сопряжена с необходимостью выделения дополнительных времени и средств, и потому, как правило, ограничена. В то же время указанная неполнота информации в сочетании с нестационарностью внешних воздействий не позволяет достаточно точно описать систему и, следовательно, обеспечить в полной мере заданные технические характеристики. Ввиду этого необходимо проведение исследований, разработка и внедрение в практику новых подходов к проектированию систем с неполной информацией об их параметрах в условиях неопределенности данных о факторах внешней среды.

В условиях неопределенности и неточности исходных данных для расчета систем уже долгое время традиционно применяются вероятностно-статистические методы. В последние годы все большее внимание исследователей сосредотачивается также на лингвистических методах и методах теории нечетких множеств, позволяющих в обоснованных случаях перейти от объективных, но сложных в использовании вероятностно-статистических оценок к субъективным, но более доступным нечетко-множественным экспертным оценкам. Однако в условиях высокой неопределенности, усугубленной нестационарностью происходящих в системе процессов и часто ограниченными возможностями наблюдения и контроля этих процессов, ни вероятностно-статистические, ни лингвистические (нечетко-множественные) методы не обеспечивают получения количественных оценок параметров системы, а также численных значений различных вероятностей и мер принадлежности нечетких множеств.

Одним из методов снижения неопределенности параметров системы является метод точечных оценок параметров, выбираемых в центрах соответствующих областей неопределенности, получивший развитие в трудах В.М. Белова, A.A. Ватолина, А.П. Вощинина, Ю.М. Гусева, А. Жолен, В.И. Жуковского, Л. Заде, В.П. Кузнецова и других. Несколько иной подход к проблеме математического моделирования систем в условиях неопределенности, развитый в трудах Ю.М. Волина, Т.В. Лаптевой, Т.М. Островского и др., заключается в исследовании систем, определяемых задачами математического моделирования со случайными коэффициентами в системе ограничений, но с точно заданными коэффициентами целевой функции. Задача приводится к полностью определенной обычными методами математического моделирования.

В последние годы трудами ряда зарубежных и отечественных ученых (Г. Алефельд, К. Иенсон, Р. Мур, Дж. Рон, Г.Р. Сотиров, И. Хансен, Ю. Херц-бергер, А.И. Орлов, С.П. Шарый, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев и др.) успешно

развивается интервальный метод решения задачи математического моделирования систем в условиях неопределенности. В 1990-е годы В.И. Левиным был предложен систематический подход к решению данной задачи для систем с интервальной неопределенностью. Этот подход основан на том, что любую статическую систему, функционирующую в условиях неопределенности, с количественной характеристикой в виде интервальной функции [^(д:), >"2 С*)] можно представить парой статических систем, функционирующих в условиях полной определенности, количественные характеристики которых суть у, (х) (нижняя граничная система) и у2(х) (верхняя граничная система).

В соответствии с названным подходом задаются только интервалы возможных значений неопределенных параметров системы, однако не задаются никакие (ни объективные - вероятностные, ни субъективные - нечетко-множественные) функции распределения этих параметров внутри их заданных интервалов. Благодаря этому сложные расчеты систем с использованием функций распределения их параметров, имеющие своей целью нахождение точных оценок этих параметров, при некоторых допущениях удается заменить расчетами, основанными на простых правилах выполнения элементарных операций над интервалами. Таким образом, применение интервального подхода к моделированию систем, работающих в сложных условиях (высокая неопределенность происходящих процессов, ограниченные возможности наблюдения и измерения характеристик процессов), может оказаться вполне эффективным. Поэтому тема данного исследования, посвященного моделированию систем с интервальной неопределенностью параметров, является актуальной.

Цель диссертационной работы заключается в разработке основанных на принципе математической детерминизации методов математического моделирования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, а также методов анализа и оптимизации этих систем.

Для достижения цели в диссертационной работе поставлены следующие задачи.

1. Развитие метода математического моделирования и оптимизации функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров производственных систем с целью достижения оптимального соотношения «затраты — выпуск».

2. Разработка методики математического моделирования производственного процесса в приложении к интервальной транспортной задаче линейного математического программирования в условиях интервальной неопределенности параметров недетерминированной производственной функции путем её детерминизации.

3. Разработка численных методов и алгоритмов для расчета динамических характеристик моделей производственных систем, имеющих интервальные двухфакторные производственные функции различного типа.

4. Создание комплекса программ для моделирования производственных процессов с интервальной неопределенностью параметров на основе разработанных методик и алгоритмов, а также проведение компьютерного эксперимен-

та на примере решения интервальной транспортной задачи и интервальной производственной задачи.

Объектом исследования являются производственные системы, функционирующие в условиях неопределенности технологических параметров и условий внешней среды.

Предмет исследования - математические модели и методы математического моделирования производственных систем и процессов в условиях интервальной неопределенности их параметров.

Методы исследования: методы интервальной математики, теории множеств, линейного и нелинейного программирования, математической детерми-низации, математической экономики, вычислительной математики.

Научная новизна работы. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Разработаны методики математического моделирования и оптимизации производственных систем, функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров.

2. Разработаны эффективные вычислительные методы и алгоритмы для расчета характеристик, анализа и оптимизации систем с интервальной неопределенностью параметров, основанные на сочетании традиционных вычислительных методов исследования детерминированных систем с новым методом математической детерминизации систем с неопределенностью.

3. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для моделирования производственных функций с учетом интервальной неопределенности, а также решения задач оптимизации процессов с интервальными параметрами.

4. Проведены комплексные компьютерные исследования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров на примере решения интервальной транспортной задачи и построения интервальных производственных функций с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ.

Практическая значимость работы заключается в следующем.

1. Применение созданных методик и комплекса программ позволяет упростить расчеты и сократить затраты средств и времени на проектирование производственных систем, а также дает возможность определить многие важные характеристики этих систем: производительность, экономическую эффективность и устойчивость к внешним воздействиям, что открывает практические перспективы для синтеза оптимальных производственных систем.

2. Разработанные методика и расчетные алгоритмы обеспечивают проведение всестороннего анализа и оптимизацию производственных систем, они могут также оказаться полезными при исследовании ряда технических, социальных и биологических систем, функционирующих в условиях неопределенности.

Внедрение результатов работы. Основные результаты исследований внедрены в ОАО «Научно-производственное предприятие «Химмаш-Старт», г. Пенза, для исследования динамики основных фондов и объема выпускаемой продукции на примере механического участка. Результаты исследований

в части решения транспортной задачи внедрены в МП «Автотранс», г. Заречный Пензенской области, для построения оптимального плана перевозок. Методика решения транспортной задачи и задач линейного программирования с интервальными параметрами использована в учебном процессе кафедры «Математика» Пензенского государственного технологического университета при реализации основных профессиональных образовательных программ.

Достоверность результатов работы подтверждается корректностью основных допущений, использованием апробированных методов математического моделирования, малой вычислительной погрешностью применяемых численных методов, внедрением на промышленном предприятии, апробацией на международных научных конференциях.

На защиту выносятся.

1. Метод математического моделирования производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, обеспечивающий формализованный переход от словесного описания системы к ее математической модели с представлением в виде задачи дробно-линейного математического программирования, а от математической модели - к искомому оптимальному соотношению «затраты - выпуск» производственной системы.

2. Методика математического моделирования производственного процесса на примере решения транспортной задачи линейного математического программирования в условиях интервальной неопределенности параметров недетерминированной производственной функции, предусматривающая детермини-зацию параметров посредством задания верхних и нижних граничных детерминированных функций, которые получаются заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных переменных их нижними или верхними значениями.

3. Численные методы и алгоритмы определения характеристик производственных систем, имеющих типовые интервальные двухфакторные производственные функции - линейную, Кобба-Дугласа, с постоянной эластичностью замены факторов.

4. Комплекс программ для моделирования производственных процессов с интервальной неопределенностью параметров, а также результаты математического моделирования и компьютерного исследования решения интервальной транспортной задачи и интервальной производственной задачи с применением разработанных программных средств.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пункту 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», пункту 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента» и пункту 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации имеется 15 публикаций, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, глава

в коллективной монографии, свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Основные положения диссертации докладывались на международных научно-технических конференциях «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (Пенза, 2008, 2010 гг.), «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24» (Саратов, 2011 г.), «Проблемы управления, обработки и передачи информации- ATM» (Саратов, 2011 г.), «Internet-education-science» (Украина, Винница, 2012 г.), «Современные информационные технологии» (Пенза, 2013 г.).

Личный вклад автора. Все основные научные результаты, приведенные в диссертации и сформулированные в положениях, выносимых на защиту, получены автором лично. Работы опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановка решаемой задачи и формулирование цели исследования. Лично автором проведено математическое моделирование производственных систем с интервальной неопределенностью параметров, обработаны статистические данные, проведены экспериментальные исследования, интерпретированы и обобщены полученные результаты, сформулированы выводы.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, основных результатов и выводов по работе, библиографического списка из 123 наименований и приложения. Текст изложен на 153 страницах, содержит 15 рисунков, 17 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность темы, указаны цель и задачи исследования, сформулированы научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также перечислены основные выносимые на защиту положения.

В первой главе проанализировано современное состояние проблемы математического моделирования систем, функционирующих в условиях неопределенности. Показаны недостатки существующих методов. В настоящее время известны три типа неопределенных чисел: случайные, нечеткие и интервальные. Случайные числа задаются некоторыми вероятностными распределениями их возможных значений; такие числа изучаются в теории вероятностей. Нечеткие числа задаются лингвистически сформулированными распределениями их возможных значений; они изучаются в теории нечетких множеств. Наконец, интервальные числа задаются интервалами их возможных значений без указания какого-либо закона распределения возможных значений числа внутри заданного интервала; они изучаются в интервальной математике. Математический аппарат интервальных чисел представляет особый интерес для различных приложений, в частности, при исследовании неопределенных систем, когда законы распределения значений их параметров априори неизвестны.

Любое интервальное число по определению может быть записано в виде некоторого замкнутого вещественного интервала а=[а1;а2]. Соответственно этому произвольная интервальная функция F(-), т.е. преобразование интервалов

в интервал, может быть определена формально теоретико-множественной конструкцией

V = F(x,y,...,z) = {f(x,y,...,z)\хе х, уе у.....ze z}, (1)

т.е. множеством возможных значений некоторой детерминированной функции /(•) при условии, что ее аргументы х, у,..., z «пробегают» множества всех возможных значений в пределах интервалов x,y,...,z - аргументов функции F(). Здесь и ниже обозначено:

х=[хих2], 5;=[Л.>'2]' z=[zi,z2L v=[v!,v2]. С использованием общего определения вводятся конкретные интервальные алгебраические функции: сложение и вычитание

v=x ±у = {(х±у)1хех, уе у}. (2)

умножение переменной величины на константу и умножение переменных v = кх = {fcclхе х, к = const},

v = л: • у = {(*- у) 1*6 уе

деление переменных

v =х!у ={{х/у)\хвх, у&у}, (4)

возведение переменной в степень

v=xn ={хп\хех] (5)

и т.д. Основной задачей в интервальной математике является вычисление произвольной заданной интервальной функции, т.е. нахождение интервальных значений v интервальных функций F вида (1) по данным интервальным значениям х,y,...,z аргументов этих функций. Но произвольная интервальная функция может быть представлена в виде суперпозиции некоторых элементарных интервальных функций вида (2)-(5). Поэтому решение задачи вычисления произвольной интервальной функции всегда можно свести к вычислению элементарных интервальных функций, выполняемому по соответствующим простым правилам. Предлагаемая методика вычисления базируется на идее математической де-терминизации, т.е. математически обоснованном сведении вычисления неполностью определенной (интервальной) функции F к вычислению двух обычных, полностью определенных (детерминированных) функций F\ и F2. Для этого необходимо: 1) преобразовать интервальную функцию F{x\,...,xn) к виду интервала [F1(x1,...,jrn),F2(JCi,...,JTn)], нижняя Fj(-) и верхняя F2(-) границы которого являются обычными, т.е. детерминированными функциями; 2) вычислить нижнюю и верхнюю граничные функции этого интервала: F\ (•) = a, F2(-) = Ь, используя для этого общеизвестные и достаточно простые методы вычисления детерминированных функций; 3) объединить вычисления и получить значение интервальной функции F(-) в виде интервала F(-) = [a,b\.

Вторая глава посвящена задачам дробно-линейного и нелинейного программирования. Дана постановка интервальной задачи дробно-линейного программирования: найти максимальное значение интервальной дробно-линейной целевой функции

<1\Х\ +¿2*2 при линейных интервальных ограничениях

Ф/ = + Ч2Х2 1=1,т, хьх2>0, (7)

в предположении, что коэффициенты целевой функции и ограничений су,

ь1> «у - интервалы вида с,-=[су1,с;-2], =[^1.^2]. ^ Ь,- в которых с7-ь с1 ^, а,^, - минимальные значения интерваль-

ных коэффициентов (нижние границы интервалов), а сд> <^у'2> а(/2> ^¡2 ~ максимальные значения интервальных коэффициентов (верхние границы интервалов). Задача решается методом математической детерминизации путем сведения к двум аналогичным детерминированным задачам. Разработан алгоритм решения интервальной задачи.

Шаг 1. Используя формулы интервальной математики, выражающие результаты элементарных преобразований интервалов, представляем целевую

функцию , функции ограничений ф,- и параметры Ь,- решаемой задачи в виде

Ф« =[ф;1,ф/2].»' = 1,т; (В)

Ь/ =[Ьп,Ьп],1=1,т.

Так как целевая функция Р является нелинейной и представляет собой отношение двух линейных функций с положительными коэффициентами и неотрицательными переменными, то нижняя граничная функция ^ целевой функции F будет получена при замене всех интервальных коэффициентов числителя целевой функции их нижними границами, а всех интервальных коэффициентов знаменателя целевой функции - их верхними границами. Верхняя граничная функция F2 целевой функции Р будет получена при замене всех интервальных коэффициентов числителя целевой функции их верхними границами, а всех интервальных коэффициентов знаменателя целевой функции - их нижними границами.

Таким образом, получаем выражения указанных граничных функций Т7] и F2 в виде

р _ с\\х\ +с2\х2

dnx\+d22x2, (9)

Р = С\2Х\ + с22х2

<1п*\+<1г\хг

Так как произвольная 1-я функция ограничений ф,- является линейной функцией с положительными коэффициентами и неотрицательными переменными, то ее нижняя граничная функция ф,} и верхняя граничная функция ф,-2 получаются в виде следующих выражений:

Ф/1 = а/11*1 +а/21*2 > Ф/2 = «112-4 +а122х2' ' = 1.»»• (10)

Шаг 2. Используя полученные на шаге 1 интервальные представления целевой функции Р, функций ограничений ф,- и параметров ограничений ¿>/, формируем нижнюю и верхнюю граничные задачи решаемой интервальной задачи дробно-линейного программирования:

¿12*1+^22*2 Ф/1 (*1 > *2 ) = а/1 \xl + ai2lx2 ^ЬП>'=!>т, Ф/2(*1>*2) = «/12*1 + Щ22х2 - bi2,i = 1, т,

х{ >0,х2 >0;

¿11*1 +¿21*2

- нижняя граничная задача (11)

■ верхняя граничная задача (12)

Ф/1 (*1,*2> = «/11*1 + а/21*2 ^bn,i = \,m, Ф/2(*1>*2> = ail2xl+ai22x2 ^ bi2<1 = Ът<

х{>0,х2>0.

Шаг 3. Используя известный метод решения детерминированных задач условной оптимизации, находим решения нижней {A/H(x),fijmax} и верхней [Мв(х), ^2,max } граничных задач. Здесь Мн(х) - множество точек решения x = (xi,x2) нижней граничной задачи (в них целевая функция этой задачи F\ достигает максимумаFi>max), а Мв(х) - множество точек решения х = (х[,х2) верхней граничной задачи (в них целевая функция этой задачи F2 достигает максимума ^2>тах).

Шаг 4. Выбирая в качестве точки решения интервальной задачи любую * * *

точку х =(xi,x2) из пересечения множеств Мн(х) и MR(x) точек решения нижней и верхней граничных задач и беря в качестве нижней границы интервала-максимума Fmax интервальной целевой функции F этой задачи максимум F| max целевой функции нижней граничной задачи, а в качестве верхней границы того же интервала-максимума Fmax - максимум F2 max целевой функции

верхней граничной задачи, получаем полное решение интервальной задачи дробно-линейного программирования в виде

{х еМи(х)глМв(х)

> ^тах ,тах ]}• (13)

Во второй главе также рассматривается интервальная задача нелинейного программирования. Одним из наиболее часто встречающихся на практике частных видов детерминированной задачи нелинейного выпуклого программирования является задача условной оптимизации. В случае, когда целевая функция содержит только квадратичные слагаемые, а ограничения носят линейный ха-

рактер, задача является задачей квадратичного программирования. Недетерминированная (интервальная) задача нелинейного квадратичного (выпуклого) программирования может быть сформулирована так: найти минимум нелинейной квадратичной интервальной функции

_ л п п _

f(x) = 'ZcjXj ^dyXjXj -> min (14)

У=1 /=1 у=1 при наличии линейных интервальных ограничений

_ п __ _

Ф, (л) = Ysijxj 5 bi, i = l,m (15)

j=1

и при дополнительном условии неотрицательности неизвестных xj >0, j = l,n.

Аналогично интервальной задаче дробно-линейного программирования задача нелинейного программирования решается как задача условной оптимизации методом математической детерминизации, т.е. сведением к двум аналогичным детерминированным задачам. При этом алгоритм решения задачи остается прежним четырехшаговым алгоритмом.

Шаг 1. С использованием формул элементарных преобразований интервалов запишем интервальную целевую функцию/, функции ограничений Ф,- и параметры 6,- решаемой задачи в интервальной форме с детерминированными нижними /„(х) и верхними /ъ(х) граничными целевыми функциями и с детерминированными нижней Ф,'1(д:) и верхней Ф/2 U) граничными целевыми функциями ограничений, имеющими вид

п п п

Л М = Е cßxj + X Zdißxixj - (16)

/=1 i=\j=l п п п

/2W = Tcj2xj + 'L Ydijlxixj . (17)

У=1 i=lj=l

n n _

фП W = 2>1/1*у.Ф/2М = Y,aij2xj>' = 1 ,m. (18)

j=1 y=i

Шаг 2. Используя полученный на шаге 1 интервал представления целевой функции /, функций ограничений Ф,- и параметров ограничений bj, строим для решаемой недетерминированной (интервальной) задачи нелинейного квадратичного программирования две детерминированные задачи нелинейного квадратичного программирования: нижнюю граничную задачу нахождения минимума недетерминированной нелинейной функции

п п п

Мх 1 .»•*„) = T.cj\xj + X Tdijlxixj min (19)

j=1 /=1 y=l при наличии линейных ограничений

п _

фп(х1,...хп)= Haijlxj £ba,i=l,m,

7=1

п _

ф/2(дг1 ,...хп) = Haij2xj ¿bi2,i=l,m j=1

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных, а также верхнюю граничную задачу нахождения минимума детерминированной функции

п п п

f2(x\,...xn) = Xеj2xj + Z Hdij2xixj min (21)

j=1 i=ly=l

при наличии тех же линейных ограничений и том же дополнительном условии неотрицательности неизвестных. Таким образом, целевой функцией нижней (верхней) граничной задачи является нижняя/j (верхняя f2) граничная функция интервальной целевой функции / исходной интервальной задачи, а ее система ограничений получается из исходной интервальной задачи заменой интервальных функций ограничений Ф,- их нижними Фд (верхними Ф/г) граничными функциями.

ШагЗ. Используя любой метод решения детерминированных нелинейных (в частности квадратичных) задач математического программирования, например, метод функции Лагранжа, находим решения нижней (М„(х), /iimin 1 и

верхней {Л/В(х),/2 min} граничных задач. Здесь Ми(х) - множество точек решения x = (xi,...,xn) нижней граничной задачи, а /imin - достигаемое в них минимальное значение целевой функции f\ этой задачи; Мц(х) - множество точек решения .г = (х[,...,х„) верхней граничной задачи, а /2 min - достигаемое в них минимальное значение целевой функции /2 этой задачи.

Шаг 4. Берем в качестве точки решения интервальной задачи любую точку je* = (xi,...,x*) из пересечения множеств Ми(х) и Мв(х), в качестве нижней границы интервала-минимума /min интервальной целевой функции / этой задачи - минимум /i min целевой функции нижней граничной задачи, а в качестве верхней границы того же интервала-минимума /mjn - минимум f2 rrL£n целевой функции верхней граничной задачи. Получаем полное решение интервальной задачи квадратичного программирования в виде

[х sMHnMB(x),fmia=[fi

/2

]}. (22)

Третья глава посвящена разработке методики моделирования производственных систем с учетом неопределенности. В данном разделе рассматривается важный класс таких задач - транспортные задачи линейного программирования, служащие математическими моделями процессов обеспечения необходимыми ресурсами самых разнообразных систем, создаваемых человеком (производство, ЖКХ, вооруженные силы и т.д.). При этом неопределенность, которая

будет учитываться при решении задач, полагается, как и прежде, неопределенностью интервального типа, когда параметры изучаемой системы задаются интервалами возможных значений. Однако особенность интервального варианта транспортной задачи линейного программирования по сравнению с другими интервальными задачами условной оптимизации состоит в его смешанном характере, когда коэффициенты при неизвестных в целевой функции - интервальные величины, а коэффициенты при неизвестных в ограничениях - детерминированные величины. С другой стороны, ограничения в транспортной задаче линейного программирования имеют иной вид по сравнению с ограничениями в общей задаче линейного программирования. Все это делает целесообразным выделение транспортной задачи линейного программирования при наличии интервальной неопределенности в отдельный класс задач, для которых имеет смысл искать более эффективные, чем в общем случае, методы решения задач условной оптимизации при наличии ограничений. Введенные интервальные параметры позволяют представить интервальную транспортную задачу линейного программирования в таком виде: определить минимум интервальной линейной функции

__ т п

¿О) = Е X Цхц п^п (23)

/=1 у'=1

при наличии интервальных линейных ограничений

п т _ _

Х*,)^} , 1=\т,] = \,п, (24)

У=1 (=1

и дополнительном условии неотрицательности неизвестных. Неизвестные в транспортной задаче определяются в той же интервальной форме, в которой заданы параметры целевой функции и ограничений х^ = [•*//!, ХугЬ так что в результате имеем интервальную матрицу неизвестных X =|Х(-/-|| = [Х1,Х2], где

*1=|Ы1 ~ минимальная, а = ||ХУ211 ~ максимальная детерминированные

матрицы неизвестных, составленные из минимальных (максимальных) значений неизвестных. Далее решение транспортной задачи методом математической детерминизации сводится к решению двух граничных задач (верхней и нижней). Предложен алгоритм решения интервальной транспортной задачи, который позволяет получить решение в интервальном виде.

В данной главе также рассматриваются особенности математического моделирования производственных функций. Представлена математическая модель процесса производства в виде формулы зависимости выпуска продукции (дохода) от вектора затрачиваемых или используемых в производстве ресурсов (затрат на их покупку), получившей название производственной функции (ПФ). Применяемое для выпуска продукции количество ресурсов или их стоимости являются факторами производства. Конкретная формула и параметры этой модели определяются типом производства, достигнутым уровнем технологий и управления, техническими и экономическими знаниями персонала и т.д. Рас-

смотрены основные виды производственных функций (линейная, функция Кобба-Дугласа, функция с постоянной эластичностью замены факторов).

1. Линейная производственная функция. Интервальная ПФ Р является интервальной линейной функцией, которая получается из детерминированной линейной ПФ заменой детерминированных параметров (коэффициентов) а\, а2 на соответствующие интервальные параметры ау, а2. Таким образом, интервальная ПФ изучаемой системы приобретает вид

у = Р(хьх2) = а{х{ + а2х2, (25)

где интервальные параметры й1 =[ац,а12], а2=[а2х,а22]. Параметры а

¡',/ = 1,2 и переменные ху,х2 в (25) считаются неотрицательными.

Представим интервальную ПФ в виде, удобном для вычислений. Применим трехшаговый алгоритм.

Шаг 1. Используя формулы интервальной математики, преобразуем интервальную ПФ к виду интервала, нижняя и верхняя границы которого суть суперпозиции границ заданных интервалов ау, а2 - параметров представления функции

У = Р{х\,х2) — а\Х\ + а2х2 =[а11,а12]дг1 + [а21,а22]х2 =[а11д:1,а12х1] +

[а21*2,а22х2] = [апх1+ а21х2,а12х2 + а22х2]. (26)

Шаг 2. Используя полученное на шаге 1 представление интервальной ПФ

(26) в виде интервала = [/г1(0),/72(0)], выписываем содержащиеся в нем нижнюю и верхнюю ^2(°) граничные функции интервальной ПФ

, выраженные в виде суперпозиции границ заданных интервалов а\, а2 -параметров представления функции Р(°):

Р\{х1,х2) = апх1+а2ух2, F2(x1,.x2) = al2x1 +а22х2. (27)

Шаг 3. Известными методами расчета обычных детерминированных функций вычисляем нижнюю /•[ (°) и верхнюю граничные функции интервальной ПФ ^(о), которая имеет вид интервала = F2(°)].

2. Производственная функция Кобба-Дугласа. Интервальная ПФ является интервальной функцией Кобба-Дугласа, которая получается из детерминированной функции Кобба-Дугласа заменой детерминированных параметров (коэффициентов) ад, а[, а2 на соответствующие интервальные параметры 50, ау, а2. Таким образом, интервальная ПФ изучаемой системы имеет вид

у = Р(х1,х2) = а0 (28)

где интервальные параметры Яд = [а01>°02]> "I =[а11>а12]> «2 =[а2ь<з22]- Параметры а,у, / = 0,2,у = 1,2 и переменные ху,х2 в (28) считаем неотрицательными величинами.

Действуя аналогично с использованием трехшагового алгоритма, получим интервальную ПФ Кобба-Дугласа в явном виде:

у = Р(хьх2) = [атх°" х^,а02х^х^]. (29)

Здесь, как видно, нижняя и верхняя граничные функции интервальной ПФ имеют вид

Рх(хьх2) = аохх"пх22Х, Р2(хх,х2) = а02х"12х222 , (30)

а сама ПФ имеет вид интервала = (°), F2(°)] с указанными в (30) границами. Представление интервальной ПФ через детерминированные граничные функции позволяет вычислять интервальную ПФ.

3. Производственная функция с постоянной эластичностью замены факторов. Интервальная ПФ является интервальной функцией с постоянной эластичностью замены факторов, получаемой из одноименной детерминированной функции заменой детерминированных параметров ах, а2, а3, д4 на соответствующие интервальные параметры ах, а2, а3, ад. Таким образом, интервальная ПФ изучаемой системы записывается в виде

У = Р (хьх2) = (щх^ +а2х? , (31)

где интервальные параметры ах =[ахх,ах2], а2 =[а2Х,а22], 03 = [031,032],

04 =[041,042]- Как и выше, параметры о,у, / = 1,4,_/ = 1,2 и переменные хх,х2 в

(31) считаем неотрицательными величинами. Аналогично предыдущему находим явный вид интервальной ПФ с постоянной эластичностью замены факторов:

у = Р (х1,х2)=[(а11х1в31 +а21х?1)а",а12х^ +а22х^)а^]. (32)

Таким образом, нижняя и верхняя граничные функции интервальной ПФ принимают вид

ЗД.Х2) = («11хр1 + а2Хха^)а^,Р2{хх,х2) = аХ2х^2 + а22х?2)а*2, (33)

а сама ПФ имеет вид интервала с указанными в (33) границами. Представление ПФ через детерминированные граничные функции позволяет находить интервальную ПФ.

В четвертой главе представлен разработанный комплекс программ для решения интервальной транспортной задачи и расчета интервальных производственных функций с использованием метода детерминизации, описаны результаты исследования задач оптимизации и построения производственных функций. Комплекс программ обеспечивает проведение вычислительного эксперимента и позволяет определить интервальные производственные функции (линейная, функция Кобба-Дугласа, производственная функция с постоянной эластичностью замены факторов), дает возможность найти оптимальное интервальное решение задач дробно-линейного программирования, выпуклого (нелинейного) программирования, а также интервальной транспортной задачи.

Формирование структуры программного комплекса для решения подобных задач требует создания некоей общей методики исследования. Если рассматривать различные интервальные задачи, то можно выделить несколько этапов, которые характерны для большинства из них: сбор и хранение исходных

данных; формирование выборки исходных данных по запросу; решение задачи при помощи того или иного численного метода; обработка полученных результатов; графическая визуализация результатов; сохранение полученных результатов. Перечисленные общие черты позволяют представить общую методику моделирования при помощи разработанных программных средств в виде приведенного на рисунке 1 алгоритма.

Начало ^

/Получение исходных данных

Обработка исходных данных

Подготовка исходных данных для решения задачи

(структурирование) + —

Выбор алгоритма решения

1

Решение задачи

Рисунок 1 - Схема алгоритма работы программного комплекса

Модель построения интервальных производственных функций и решения задач оптимизации была реализована в системе МАТ1АВ, имеющей программные и алгоритмические средства для широкой гаммы специализированных приложений. На базе ядра МАТЬАВ созданы многочисленные расширения, обеспечивающие моделирование и анализ систем.

Для решения задач линейного программирования используется встроенная функция Ипрго^. Однако средств решения транспортной задачи в МАТЬАВ не предусмотрено, поэтому был разработан от-файл - функция 1гап8р, который используя встроенную функцию linprog, позволяет решить транспортную задачу. Схема алгоритма приведена на рисунке 2.

В результате работы программы было получено интервальное решение транспортной задачи, где объемы перевозок и распределение поставок получены в виде интервалов вида «от-до» (рисунок 3). Результаты исследования были представлены в рекомендательной записке по организации перевозок при строительстве автодороги г. Заречный - пос. Ахуны.

Вбои Hdt.no!* Решен« еерютей транспортной задачи

Вр№Ю | Из Файла 1 У 82 ВЗ В4 В5 Провожен

А1 10 20 0 10 40

А» |3 А2 20 0 ¡0 0 0 20

|5 АЗ 5 0 ¡0 30 5 40

Спрос 25 10 20 30 ¡15 340

Решет*« ннжней транспортной задач<

1; Собрать 1 Из Файла 2 | шт В2 ВЗ 64 В5 Предложен

А1 11 21 0 10 42

А2 21 0 0 0 0 21

АЗ 5 0 0 31 Б 42

Спрос 26 11 21 ¡31 16 357

Решен« 1«ттереалы<й транспортной зааа-вт

шш В2 ВЗ В4 В5 Предложен

А1 [10.11] ¡[20,21] [0.0] 110.10] [40.42]

А2 12021) [0.0] : [0.0] Ю.0] [0.0] 120211

АЗ |55] Н ¡[0.0] [30.31] 15.6] [40.42]

Спрос [25,261 ; [10.11] (20211 [30,31] 115.16] [340.3571

Софанигь

Рисунок 3 - Окно решения интервальной транспортной задачи

Задачи построения интервальных производственных функций были решены с использованием статистических данных за 5 лет о численности работников механического участка, о выпуске продукции и об используемых ресурсах. Были решены задачи прогнозирования развития производства при различных вариантах наличия ресурсов, дана оценка эффективности использования ресурсов и целесообразности их дополнительного вовлечения в сферу производства. Визуализация построения двухфакторных производственных функций показана на рисунке 4.

Рипсйоп С ось а - Ооид1а8е

Рисунок 4 - Интервальная двухфакторная производственная функция Кобба-Дугласа

В приложении приведены акты внедрения результатов диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Обоснован новый подход к исследованию неопределенных систем, заключающийся в математической детерминизации задачи, в соответствии с которой учитывается полное множество возможных значений недетерминированных параметров системы. Получаемое решение составляет при этом множество возможных значений параметров исследуемой системы внутри их областей распределения при условии отсутствия данных о характере распределения указанных значений. Обосновано использование интервальных чисел в описании неопределенных систем.

2. Обоснован метод парной математической детерминизации, когда решение недетерминированной задачи оптимизации сводится к математически обоснованному решению двух детерминированных задач оптимизации.

3. Разработан метод математического моделирования производственного процесса в условиях интервальной неопределенности параметров, базирующийся на нахождении интервальной недетерминированной производственной функции в виде пары функций посредством разделения её на верхнюю и нижнюю

граничную функции. Полученные функции детерминированы, и для их вычисления используются известные методы, работающие в условиях полной определенности производственных систем.

4. Разработан метод и построен алгоритм математического моделирования и оптимизации производственных систем, функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров. Этот метод и алгоритм позволяют последовательно переходить от словесного описания системы к ее математической модели в виде соответствующей задачи дробно-линейного математического программирования, а от математической модели к искомому оптимальному соотношению «затраты - выпуск» в производственной системе.

5. Обосновано решение интервальной транспортной задачи линейного математического программирования методом детерминизации, заключающейся в сведении ее к двум детерминированным нижней и верхней граничным задачам, которые получаются из интервальной задачи заменой всех интервальных коэффициентов и неизвестных переменных их нижними или верхними граничными значениями.

6. Разработаны численные методы определения характеристик производственных систем, имеющих интервальные двухфакторные производственные функции. При этом разработаны трехшаговые алгоритмы для определения производственных функций (линейной, Кобба-Дугласа, с постоянной эластичностью замены факторов) путем замены детерминированных параметров или коэффициентов на соответствующие интервальные.

7. Разработан комплекс объектно-ориентированных программ, состоящий из четырех взаимосвязанных модулей: выполнения основных математических операций и вычисления базовых математических функций; решения задачи интервальными методами с использованием результатов работы первого модуля; операций с базой данных; модуля визуализации результатов.

8. С применением программного комплекса выполнено математическое моделирование и компьютерное исследование производственных функций в условиях неопределенности параметров на примере интервальной транспортной задачи и интервальной производственной задачи.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Немкова, Е.А. Решение интервальной задачи квадратичного программирования методом детерминизации [Текст] / В.И. Левин, Е.А. Немкова // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2012. -Т. 18. -№ 1.-С. 203-211.

2. Немкова, Е.А. Интервальное решение недетерминированной транспортной задачи [Текст] / Е.А. Немкова // Известия Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского. Серия: физико-математические и технические науки. - 2012. - № 30. - С. 443-447.

3. Немкова, Е.А. Комплекс программ моделирования производственных систем с интервальными параметрами [Текст] / В.В. Бурков, Е.А. Немкова // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего „„о,;. - 2012,- №5. - С. 205-211.

4. Немкова, Е.А. Интервальная задача дробно-линейного программирования [Текст] / В.И. Левин, Е.А. Немкова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - Вып. 4. - С. 666.

Глава в коллективной монографии

5. Немкова, Е.А. Математические и компьютерные методы в технических, гуманитарных и общественных науках [Текст]: монография / В.И. Левин, С.Д. Апгазин, C.B. Баумгертнер, Е.С. Гебель, Р.Ш. Марданов Б.Ф. Мельников, Е.А. Немкова, C.B. Пивнева, Д.Л. Поправка, Г.Н. Романенко, Е.А. Соловьева, О.И. Соловьева, Е.В. Солонин, Е.В. Сорокина, Ю.А. Халин, О.В. Хицов, Е.В. Шпилева. - Пенза, Москва: Приволжский Дом знаний, МИЭМП, 2011. -С. 31-41.

Публикации в других изданиях

6. Немкова, Е.А. Моделирование интервальных производственных функций [Текст] / Е.А. Немкова // Современные информационные технологии: сборник статей Международной научно-технической конференции. - Пенза: ПГТА, 2013. - Вып. 17. - С. 40-43.

7. Немкова, Е.А. Интервальные методы оптимизации в условиях неопределенности [Текст] / В.И. Левин. Е.А. Немкова // Internet-education-science: сборник статей Международной научно-технической конференции. - Винница: Изд-во Винницкого национального технического университета, 2012. -С. 150-151.

8. Немкова, Е.А. Интервальная задача дробно-линейного программирования. Графическое решение [Текст] / В.И. Левин, Е.А. Немкова // Ресурсосбережение в химической технологии: сборник статей Международной научно-технической конференции. - СПб: СПбГТИ (ТУ), 2012. - С. 63-65.

9. Немкова, Е.А. Решение интервальной задачи дробно-линейного программирования сведением к задаче линейного программирования / Е.А. Немкова, В.И. Левин//Молодой ученый.-2011,-№ 8 (31).-С. 30-34.

10. Немкова, Е.А. Моделирование, анализ, оптимизация систем в условиях неопределенности [Текст] / Е.А. Немкова // Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект: материалы Всероссийской молодежной конференции. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2011.-С. 61-65.

11. Немкова, Е.А. Интервальная задача дробно-линейного программирования [Текст] / В.И. Левин, Е.А. Немкова// Проблемы управления, обработки и передачи информации - АТМ-2011: сборник трудов П Международной научной конференции. - Саратов: Изд-во «Научная книга», 2011. - С. 55-58.

12. Немкова, Е.А. Решение интервальной задачи дробно-линейного программирования [Текст] / В.И. Левин, Е.А. Немкова// Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: сборник трудов XXIV Международной научно-технической конференции. - Киев: Технич. ун-т Украины «КПИ», 2011. -Т. 2.-С. 12-14.

13. Немкова, Е.А. Интервальное решение транспортной задачи [Текст] / Н.К. Земцова, Е.А. Немкова // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: сборник статей XXVI Международной научно-технической конференции. - Пенза: ПДЗ, 2010. - С. 18-20.

14. Немкова, Е.А. Интервально-параметрический подход к решению транспортной задачи [Текст] / Н.К. Земцова, Е.А. Немкова, И.Ю. Пильщикова // Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: сборник статей XXI Международной научно-технической конференции. - Пенза: ПДЗ, 2008. - С. 39-40.

Зарегистрированные программы

15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014612890. Программа решения интервальной транспортной задачи. Правообладатель: ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет». Автор: Немкова Е.А. Заявка № 2013660108 от 06.11.2013 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12.03.2014 г.

НЕМКОВА Елена Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ПАРАМЕТРОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Редактор Л.Ю. Горюнова Корректор А.Ю. Тощева Компьютерная верстка Т.А. Антиповой

Сдано в производство 22.10.14. Формат 60x84 Vie Бумага типогр. № 1. Печать трафаретная. Шрифт Times New Roman Cyr. Уч.-изд л. 1,35. Усл. печ. л. 1,34. Заказ № 2499. Тираж 100

Пензенский государственный технологический университет 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, 1711