автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и анализ финансово-экономических операций с интервальной неопределенностью в данных

Введение

1 Элементы интервального анализа

1.1 Классическая интервальная арифметика

1.2 Основные понятия обобщенной интервальной арифметики.

2 Применение классической интервальной арифметики в финансовом анализе

2.1 Основные понятия финансового анализа

2.2 Начисление сложных процентов в условиях интервальной неопределенности

2.3 Моделирование и анализ интервальных потоков платежей

2.3.1 Интервальный анализ переменных потоков платежей

2.3.2 Интервальный анализ постоянных потоков платежей

2.4 Интервальный анализ инвестиционных проектов.

2.4.1 Чистый приведенный доход в условиях интервальной неопределенности.

2.4.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности

2.5 Примеры численных расчетов.

2.6 Выводы.

3 Применение обобщенной интервальной арифметики в финансовом анализе

3.1 Начисление сложных процентов с использованием обобщенной интервальной арифметики Хансена

3.2 Моделирование и анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики.

3.2.1 Определение наращенной суммы интервальных потоков платежей.

3.2.2 Определение современной величины интервальных потоков платежей

3.3 Анализ инвестиционных проектов с использованием обобщенной интервальной арифметики

3.3.1 Определение чистого приведенного дохода в условиях интервальной неопределенности.

3.3.2 Интервальная оценка внутренней нормы доходности инвестиционных проектов.

3.3.3 Метод наклона (Slope Method).

3.4 Результаты численных расчетов

3.5 Выводы.

4 Формирование индивидуального пенсионного фонда и методы оценки доходной недвижимости в условиях интервальной неопределенности

4.1 Модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда в условиях интервальной неопределенности

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Оценка размера пенсионного фонда в обычной интервальной арифметике

4.1.3 Оценка размера пенсионного фонда на основе сочетания обычной и обобщенной интервальной арифметик.

4.1.4 Применение сочетания обычной и обобщенной интервальной арифметик для оценки размера пенсии

4.2 Интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости в условиях интервальной неопределенности.

4.2.1 Структура чистого операционного дохода.

4.2.2 Износ и его возмещение.

4.3 Результаты численных расчетов

4.4 Выводы.

5 Пакет программ ФИНИНТ

5.1 Назначение пакета программ ФИНИНТ.ИЗ

5.2 Основы работы.

5.2.1 Начисление процентов в условиях интервальной неопределенности

5.2.2 Анализ финансовых рент с использованием интервального анализа.

5.2.3 Интервальный анализ эффективности инвестиционных проектов.

Инвестиции в реальные или финансовые активы, коммерческие сделки, кредитные соглашения, банковские операции, сделки с недвижимостью и др. предусматривают, как правило, вложения и поступления распределенных во времени денежных сумм. Эффективность подобных финансовых операций зависит от многих параметров и условий, оговоренных в контрактах: размеров денежных сумм, процентной ставки, предполагаемых сроков выплат и поступлений, риска, связанного с вложениями и т.п. Основным объектом финансового анализа в данном случае являются потоки платежей — суммы распределенных во времени денежных расходов и поступлений, предполагаемых в результате финансовой операции. Анализ и расчет показателей эффективности таких операций основан на фундаментальном в финансовом анализе принципе дисконтирования потоков платежей [17,24,47,56,58]. При этом предполагается точное знание размеров инвестиционных расходов и будущих доходов, а также значения рыночной ставки процента (рыночной нормы доходности, ставки сравнения [17,56,58]) в будущем. На практике ни инвестиционные расходы, ни тем более будущие доходы и рыночная ставка процента, как правило, точно неизвестны. Следовательно, моделирование и анализ финансовых операций приходится проводить в условиях неопределенности.

Существует множество методов решения задач в условиях неопределенности. Среди них можно выделить [18]:

1. Стохастические методы. Использование этих методов возможно, когда неопределенности можно приписать вероятностный, случайный характер. В данном случае неопределенность полностью описана, если задана плотность вероятности случайной величины. Наибольшее распространение в литературе получил случай нормального (гауссова) распределения, которое полностью определяется вектором математического ожидания и ковариационной матрицей [12,16,64].

2. Статистические методы. Эти методы применяют, когда для моделирования объекта используются результаты выборочных экспериментов в условиях действия случайных помех и ошибок. Статистические методы тесно связано со стохастическими, но отличие заключается в том, что в условиях эксперимента исследователь получает лишь выборочные оценки параметров плотности распределения или ее моментов. Точность этих оценок зависит от многих факторов таких, как число опытов, метод оценивания, дисперсия помехи и др. [11,13,57].

3. Методы теории нечетких множеств. Эти методы используются, когда значения параметров модели и требования к системе задаются не точно, а в виде некоторого множества возможных значений, характеризующихся той или иной "степенью уверенности"эксперта. Основной характеристикой этих множеств возможных значений является функция принадлежности ha{z) параметра z, удовлетворяющая условию 0 < /^(z) < гДе А — известное множество [32,42,45].

4. Методы интервального анализа. Эти методы в последнее время привлекают все большее внимание исследователей. Описание неопределенности с помощью методов интервального анализа является менее ограничительным по сравнению с вышеперечисленными методами.

Часто исследователи сталкиваются с проблемой выбора метода описания неопределенности. Эта проблема возникает, например, когда нельзя даже предположить возможность многократного проведения эксперимента на исследуемом объекте при неизменном действии неучтенных и неуправляемых факторов. Такая ситуация приводит к необходимости учета неопределенности, в общем случае, неизвестной природы. В данном случае относительно факторов неопределенности, практически, ничего не известно, кроме того, что они ограничены. В таких условиях для описания неопределенйости наиболее естественно представить факторы неопределенности в интервальной форме, т.е. задать диапазон возможных значений переменных или зависимостей. Для работы с данными, представленными в интервальном виде, во второй половине XX века появилось и начало бурно развиваться новое направление в современной прикладной математике, названное интервальным анализом (интервальной математикой) [10,21,30,39,63,68,74,76,84,85].

Среди западных ученных, внесших наибольший вклад в развитие интервального анализа, можно выделить R.Moore, G.Alefeld, E.R.Hansen, E.W.Kaucher, R.B.Kearfott, V.Kreinovich, N.W.Kulisch, A.Neumaier, K.Nickel, H.Ratschek, J.Rokne.

В России ведущей организацией, занимающейся проблемами интервального анализа, является Институт вычислительных технологий СО РАН (г.Новосибирск) во главе с академиком Шокиным Ю.И. Также эту тему активно развивают Шарый С.П., Добронец B.C., Калмыков С.А., Лакеев А.В., Марченко Л.В., Назаренко Т.И., Шайдуров В.В. и другие.

Систематическое изложение основ этого направления вычислительной математики было впервые дано в работе Мура [84]. Исторически интервальный анализ возник для решения проблемы соотнесения конечного приближенного результата и истинного абстрактного решения поставленной задачи. Суть данного подхода заключается в том, что неизвестное точное значение заменяется не единственным элементом того же класса, а конечно-представимым множеством элементов, содержащим в себе этот неизвестный элемент. Название "интервальный"данный подход получил в связи с тем, что интервал, представляемый обычно парой рациональных чисел-границ, является простейшим видом конечно-представимого множества, локализующего простейший абстрактный объект — вещественное число. Это привело к необходимости обобщения понятия вещественного числа.

Непосредственное применение интервального анализа в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в некоторых интервалах. При этом в интервалы решений включаются и ошибки округлений, встречающиеся в процессе вычислений.

Основным требованием к интервальным вычислениям является требование минимизации ширины интервала решения. Ширина интервального результата полностью определяется следующими факторами [10]:

1. Неопределенностью в задании исходных данных;

2. Округлениями при выполнении операций;

3. Приближенным характером используемого численного метода;

4. Степенью учета зависимостей между участвующими в вычислении интервальными объектами (переменными и константами).

Компенсируя влияние этих факторов, можно получать сколь угодно точные результаты. Первый фактор поддается лишь учету, но не управлению. Уменьшить влияние четвертого фактора можно путем предварительной обработки исходного алгоритма в процессе вычислений и апо-стериорно. Улучшением численных методов занимается вычислительная математика.

В течение длительного времени интервальные методы применялись, в основном, для автоматического учета ошибок округления на ЭВМ с конечной разрядной сеткой. Основной чертой этих исследований было требование минимизации интервалов изменения входных данных.

Дальнейшие исследования показали, что методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округления, но и являются новыми аналитическими методами для теоретических исследований. В этом случае входные данные могут иметь произвольные интервалы изменения.

В настоящее время интервальный анализ достаточно широко применяется для решения задач, возникающих в различных областях научных исследований, в таких как теория автоматического управления, статистический анализ, исследование операций, численный анализ, робототехника и др. [34,37,59-63,68-70,72,74-80,82-86,88-90,92]. Вследствие того, что интервальная арифметика способна предоставить обоснованные решения разнообразных задач, разработан ряд средств для поддержки интервальных вычислений на ЭВМ. Эти средства включают библиотеки [77,80,83], расширения языков программирования [70,82,92] и программные продукты [72,78,79].

В настоящее время методы интервального анализа используются также и при решении различных экономических задач:

- построение моделей управления запасами [25,26,54,55,66,67];

- анализ производственных функций [93].

В финансовом анализе подробно исследованы детерминированные случаи и случаи со статистической неопределенностью [14,17,19,20,24, 27-29,31,33,40,41,43,44,46,47,49-53,56,58,71,87,91].

Однако, в случае неопределенности в данных часто исследователь не имеет достаточно информации для того, чтобы рассматривать неопределенность как вероятностную. Можно только с достаточной степенью достоверности задать интервалы, в которых лежат параметры финансового процесса. В связи с этим актуальным является разработка методов моделирования и анализа финансовых операций в условиях интервальной неопределенности. В этом случае адекватным математическим аппаратом для количественного анализа потоков платежей, связанных с финансовыми операциями, могут служить методы интервального анализа [22,23,85].

По-видимому, впервые на возможность применения интервальных методов в финансовом анализе указал Moore R.E. в работе [85], где он привел пример использования аппарата классической интервальной арифметики для расчета одного из показателей эффективности инвестиционного проекта. Однако многие вопросы анализа финансовых операций с использованием интервальной математики остаются не исследованными.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является:

1. Разработка методов моделирования и анализа интервальных потоков платежей (под интервальным потоком будем понимать поток платежей, параметры которого — размеры платежей и процентная ставка — задаются интервалами) с использованием аппарата интервальной арифметики. Вывод аналитических выражений для расчета обобщающих характеристик интервальных потоков платежей.

2. Разработка методов моделирования и анализа эффективности финансовых операций в условиях интервальной неопределенности: a) вывод аналитических выражений и разработка методов расчета основных показателей эффективности инвестиционных проектов; b) применение методов интервального анализа для решения задачи формирования индивидуального пенсионного фонда; c) оценка доходной недвижимости в условиях неопределенности интервального вида;

3) Разработка пакета программ для моделирования и анализа финансовых операций с использованием аппарата интервальной математики.

В данной работе для моделирования и анализа финансово-экономических операций используются методы классического интервального анализа и аппарат обобщенной интервальной арифметики Хансена, применение которого обусловлено рядом недостатков классической интервальной арифметики, иногда сильно влияющих на точность результата вычислений. К этим недостаткам можно отнести:

1. Слабость алгебраических свойств, т.е.:

• все интервалы ненулевой ширины не имеют обратных элементов ни по сложению, ни по умножению;

• арифметические операции связаны между собой довольно слабыми соотношениями(например, невыполнение в общем случае свойства дистрибутивности).

2. Бедность символьной техники, т.е. нет возможности приводить подобные слагаемые и переносить члены из одной части аналитического выражения в другую.

Все эти отрицательные свойства стимулировали попытки многих исследователей каким-то образом дополнить классическую интервальную арифметику. Одно из таких дополнений было предложено Хансеном [73, 74] и получило название "обобщенная интервальная арифметика Хансена". В этой арифметике вводятся отличные от классической представления интервальных чисел и правила арифметических операций над ними, что позволяет в отдельных случаях получать интервал результата более узкий,чем при использовании методов классической интервальной арифметики.

Методы исследования. Для достижения поставленных в диссертационной работе целей применялись методы классического интервального анализа и обобщенной интервальной арифметики Хансена, численные методы, методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ с использованием программного обеспечения, разработанного автором.

Основные результаты, полученные в данной работе:

1. Разработаны методы моделирования и анализа интервальных потоков платежей с использованием аппарата классической интервальной арифметики и обобщенной интервальной арифметики Хансена.

Получены аналитические выражения для вычисления интервальных расширений обобщающих характеристик потоков платежей — наращенной суммы и современной величины, для различных видов финансовых рент, заданных интервалами.

2. Разработаны интервальные методы анализа инвестиций. Рассмотрены два основных показателя эффективности инвестиционных проектов — чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности. Задача определения внутренней нормы доходности в интервальной постановке сводится к поиску положительных корней интервального полинома. Предлагается подход к решению этой задачи с использованием интервально- арифметической версии метода Ньютона- Раф-сона и модификации метода Ньютона, использующей наклон, реализованной в обобщенной интервальной арифметике.

3. Построена интервальная модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда. На основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик получены аналитические выражения для определения размера индивидуального пенсионного фонда и оценки размера пенсии.

4. Разработаны интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик. Получены формулы для определения чистого операционного дохода и оценки износа и его возмещения.

5. Разработан пакет программ для моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием методов интервального анализа.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. Все полученные аналитические выражения в вырожденном случае (когда верхние и нижние границы интервалов исходных данных равны) совпадают с выражениями классического финансового анализа.

Теоретическая ценность. На основе применения аппарата интервального анализа разработаны и исследованы математические модели и методы анализа финансово- экономических процессов с интервальной неопределенностью в данных. Получены расчетные формулы и предложены вычислительные алгоритмы для определения основных показателей, используемых при анализе эффективности инвестиционных проектов, оценке доходной недвижимости, анализе процесса формирования индивидуального пенсионного фонда.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения разработанных методов и реализующего их программного обеспечения для решения практических задач анализа реальных финансовых операций. Исследования, связанные с моделированием и анализом финансовых операций, представленные в диссертации, а также соответствующее программное обеспечение, разработанное автором, были использованы:

- для анализа и расчетов основных характеристик кредитных операций в ТМРФ ТБ "Сибирское ОВК"(доп. офис 6907);

- для анализа финансово-хозяйственных операций в ОАО "Цветочная компания".

Ряд исследований, проведенных в работе, используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Акты о внедрении прилагаются.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации — 139 страниц. Список литературы включает 93 наименования.

Заключение

Представленная диссертационная работа отражает результаты исследований, направленных на применение интервальных методов для моделирования и анализа финансово-экономических операций в условиях интервальной неопределенности в данных. Получены следующие основные результаты:

1. Разработаны математические модели и методы анализа интервальных потоков платежей с использованием аппарата классической интервальной арифметики и обобщенной интервальной арифметики Хансена. Получены аналитические выражения для вычисления интервальных расширений обобщающих характеристик потоков платежей — наращенной суммы и современной величины, для различных видов финансовых рент, заданных интервалами.

2. Разработаны интервальные методы анализа инвестиций. Рассмотрены два основных показателя эффективности инвестиционных проектов — чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности. Задача определения внутренней нормы доходности в интервальной постановке сводится к поиску положительных корней интервального полинома. Предлагается подход к решению этой задачи с использованием интервально- арифметической версии метода Ньютона- Раф-сона и метода Ньютона, использующего наклон, реализованного в обобщенной интервальной арифметике.

3. Построена интервальная модель процесса формирования индивидуального пенсионного фонда. На основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик получены аналитические выражения для определения размера индивидуального пенсионного фонда и оценки размера пенсии.

4. Разработаны интервальная модель и метод оценки доходной недвижимости на основе сочетания классической и обобщенной интервальных арифметик. Получены формулы для определения чистого операционного дохода и оценки износа и его возмещения.

5. Разработан пакет программ для моделирования и анализа интервальных потоков платежей и инвестиционных проектов с использованием методов интервального анализа.

1. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики для анализа финансовых операций //Вычислительные технологии. 2002. - Т.7, №1. - С. 3-14.

2. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Расчет индивидуального пенсионного фонда в условиях интервальной неопределенности //Вычислительные технологии. 2001. - Т.6, 4.2. - С. 9-16 (спец.выпуск, CD).

3. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение интервальных методов в управлении инвестициями //Вестник Томского государственного университета. 2000. - .№269. - С. 78-81.

4. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики в анализе потоков платежей //Вестник Томского государственного университета. 2000. - №271. - С. 122-124.

5. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Анализ инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности //Вестник Томского государственного университета. 2000. - №271. - С. 125-126.

6. Авдеенко С.Н., ДомбровскиЙ В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики для анализа инвестиционных проектов //Труды XV конференции по интервальной математике. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2000.http://www.ict.nsc.ru:8000/ws/showabstract.dhtml?ru+8+432)

7. Авдеенко C.H., ДомбровскиЙ В.В. Анализ потоков платежей с использованием обобщенной интервальной арифметики //Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ 2000): Тезисы докладов. - Новосибирск, 2000. Ч.Ш. С. 143-144.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986.

9. ВАН КАМПЕН Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Высшая школа, 1990.

10. ВАН ХОРН Дж. Основы управления финансами. М.: Финансы и статистика, 1996.

11. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. СССР, НРБ: изд-во МЭИ "Техника", 1989.19. грибовский С.в. Оценка доходной недвижимости. Санкт-Петербург: Питер, 2001.

12. ДАНИЛОВА Т.Н. Инвестиционный рынок и его место в структуре финансового рынка //Финансы и кредит. 2002. - JYe8. - С. 10-25.

13. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфра-М, 1997.

14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997.

15. Ивашкина 0.0., Карибский А.В., Шишорин Ю.Р. Анализ эффективности инвестиционных проектов: информационная технология и средства автоматизации //Автоматика и телемеханика. -2000. т. - С. 156-169.

16. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

17. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике: учебное пособие. Санкт-Петербург: Питер, 2000.

18. КОФМАН А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

19. КОЧОВИЧ Е. Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.

20. КУЗНЕЦОВ В.П. Интервальные статистические модели. М.: Радио и связь, 1991.

21. Лазаревский А.А., сушкевич А.г. Наизнанку и вверх ногами (пенсионная реформа в России на фоне зарубежного опыта) //Финансы и кредит. 2002. - №3. - С. 11-17.

22. Математическая энциклопедия. Т.2. - М.: Сов. Энциклопедия, 1979.

23. Назаренко Т.И., Марченко Л.В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1982.

24. СМОЛЯК С.А. Оценка эффективности проектов в условиях нечеткой вероятностной неопределенности //Экономика и математические методы. 2001. - Т.37, Ш. - С. 3-17.

25. ТАРАСЕВИЧ Е.И. Методы оценки недвижимости. Санкт-Петербург: Технобалт, 1995.50. фридман, н.ордуэй. Анализ и оценка приносящей доход недвижимости. М.: Дело ЛТД, 1995.

26. Филип КОТЛЕР Основы маркетинга. М.: Прогресс, 1990.

27. Чайковская JI.А., Филин С.А. Финансовые инвестиции — их оценка и учет //Финансы и кредит. 2002. - №7. - С. 24-32.

28. Четыркин В.И. Методы финансовых и коммерческих расчетов. -М.: Дело ЛТД, 1995.

29. Четыркин Е.М., калихман И.Л. Вероятность и статистика = Probability and statistics. М., Финансы и статистика, 1982.

30. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., БеЙли Дж. Инвестиции. М., Инфра-М, 1997.

31. ШАРЫЙ С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Диссертация.докт. ф. м. наук, Новосибирск, 2000.

32. ШАРЫЙ С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации. Препринт. - Красноярск: ВЦ СО РАН. - С. 64-80.

33. ШАРЫЙ С.П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных //Вычислительные Технологии. 1997. - Т.2, т. - С. 84-102.

34. Dargel R.H., Lascalzo F.R., Witt Т.Н. Automatic error bounds on real zeros of rational function //Comm. ACM. 1966. -V.19, 11.

35. Ely J.S. The VPI Software Package for Variable Precision Interval Arithmetic //Interval Computations. 1993. - 2. - P. 135-153.

36. Froot К.A., O'Connell P.G.J, Seasholes M.S. The portfolio flows of international investors //NBER working paper. 1998. - 6687.

37. KAUCHER E. Interval analysis in the extended interval spase EM. //Computing Suppl. 1980. - 2. - P. 33-49.

38. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.

39. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. SIAM: Philadelphia, 1979.

40. Morales D., Tran Cao Son Interval Methods in Robot Navigation //Reliable Computing. 1998. - 4. - P. 55-61.

41. Ratschek H., Rokne G. Formulas for the width of interval products //Reliable Computing. 1995. - 1(1). - P. 9-14.

42. The Appraisal of Real Estate. 11 Edition. - Chicago, Illinois, 1996.

43. Walter W.V. ACRITH-XSC: A Fortran-like Language for Verified Scientific Computing. In Adams E. and Kulisch U.(eds), Scientific Computing with Automtic Result Verification. Academic Press, 1993. - P. 45-70.

44. Zhihui Huey Ни Reliable Optimal Production Control with Cobb-Douglas Model //Reliable Computing. 1998. - 4. - P. 63-69.

45. РОССГЙС/ ГОСУДА.'." JBlLS/'l: У'