автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений

г

На правах рукописи

о Л Л ^

Гапонова Елена Анатольевна

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ВНУТРЕННЕГО ОЦЕНИВАНИЯ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

05.13.17 — Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

о 5 ДЕК 2008

Москва 2008

003456585

Работа выполнена в Московском государственном университете печати на кафедре прикладной математики и моделирования систем

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент Евгений Витальевич Ннкульчев

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Светлана Валентиновна Мальцева

кандидат технических наук, доцент Елизавета Натановна Каширская

Ведущая организация: Московский государственный университет приборостроения и информатики

Защита состоится «18» декабря 2008 г. в 1300 на заседании диссертационного совета Д 212.147.03 в Московском государственном университете печати по адресу: Москва, ул. Прянишникова, 2А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУП.

Автореферат разослан «14» ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.147.03 д. т. н., профессор

В. Н. Агеев

Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность. Последние годы характеризуются значительным ростом информационных систем, предназначенных для анализа и обработки данных с учетом неопределенностей и неоднозначностей. К их числу относятся информационные системы, использующие методы интервального анализа, оперирующие с элементами пространства вещественных интервалов. Каждый интервальный параметр имеет вид ограниченного сегмента.

Интервальный анализ получил широкое распространение в качестве основы для доказательных, достоверных и надежных компьютерных вычислений с гарантированной точностью, а также в информационных системах поддержки принятия решений, оценивания параметров сложных систем и др. Развитию теории интервального анализа посвящены работы В.М. Брадиса, Л.В. Канторовича, P.E. Мура, Ю.И. Шокина, В.В. Шайдурова, З.Х. Юлдашева, Г.Г. Меньшикова, С.П. Шарого, Г. Алефельда, Ю.Херцбергера, А.П. Вощинина, Г.Р. Сотирова, А.И. Орлова и др.

Одними из разработанных и получивших распространение методов интервального анализа является решение интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

В современном аппарате интервального анализа известно несколько видов множеств решений интервальных систем. Наиболее часто встречающимся способом оценивания множества решений интервальных систем являются внешнее и внутренне интервальное оценивание.

Задачи, возникающие в области математической экономики, технологического проектирования, автоматического управления часто требуют нахождения множества решений линейной вещественной системы, в которой коэффициенты матрицы известны неточно и требуется найти решения системы, удовлетворяющие для всех возможных значений матрицы заданным допускам на правую часть. Решение задачи подобного типа в рамках интервального анализа носит название решение линейной интервальной задачи о допусках и является задачей оценки допускового множества решений интервальной системы.

Если размерность интервальной системы линейных алгебраических уравнений велика, то прямое описание ее допускового множества решений, при котором выписываются все ограничивающие гиперплоскости, становится трудоемким и практически бесполезным. По этой причине для практических целей удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений рассматриваемой ИСЛАУ.

Построение бруса решений осуществляется на основе разрешимости линейной задачи о допусках. В настоящее время известны алгоритмы оценки внутреннего бруса решений (А. Ноймайер, И.В. Дутаров, В.В. Шайдуров и др.), ио^ир^клцнссл па применении ГрубиГи ИССЛСДСБстИл рмЗрСшНМОСТс! (li.Pdl, H.A. Хлебалин); полного исследования разрешимости, на основе исследования свойств вогнутого функционала (С.П. Шарый), и решении задачи линейного

программирования (Л.Т. Ащепков, Д.В. Давыдов, А.Ф Бочков и Т.В. Евтушенко и др.).

В случае применения грубого исследования разрешимости, описание допускового множества решений интервальных систем заключаются в построении решений относительно центров ограниченных сегментов.

Однако, если внутри каждого интервала системы и ограниченной допусковой области решений интервальной системы, на основании имеющихся данных, построить функцию плотности распределения величин, то можно столкнуться с тем, что математическое ожидание, не всегда соответствует медианной оценке. А распределение случайных величин внутри интервального измерения в общем случае не будет симметричным.

Согласно вышесказанному, в сопоставление гипотезе о совпадении .центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному закону распределения, предлагается ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента.

Таким образом, развитие методов внутреннего оценивания на основе использования теории вероятности и математической статистики с целью нахождения центра бруса решений внутри ограниченного допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений является важной и актуальной задачей.

Цель работы. Разработка модифицированного метода решения интервальной линейной задачи о допусках, основанного на комплексном использовании интервальных и статистических методов. Основные задачи исследования.

1. Провести аналитический обзор информационных систем, использующих методы интервального анализа.

2. Провести обзор методов оценивания решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

3. Сформулировать задачу внутренней оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе известных допусков на систему с учетом специфики интервальных данных.

4. Реализовать в виде программных модулей построение теоретической плотности вероятности случайной величины в интервальном измерении.

5. Разработать методику нахождения центра интервальной величины, возможно смещенного относительно медианной оценки.

6. Модифицировать метод нахождения внутренней оценки допускового множества решений системы линейных интервальных уравнений с учетом анализа характера данных.

7. Решить интервальные задачи на основе модифицированного метода.

8. Провести анализ результатов и выявить области эффективного использования.

Объект исследования. Интервальные данные, характер которых определяет ассиметричное расположение их центра.

Предмет исследования. Методы поиска и оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Методы исследования. В работе используются методы интервального анализа, теории вероятности, вычислительной математики и современные информационные технологии. Научная новизна.

1. Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи о допусках, позволяющий учитывать расположение центра в интервальных данных.

2. Введена гипотеза о соответствии эмпирической плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

3. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе вычисления квантилей бета-распределения.

Практическая ценность. На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный метод решения линейной интервальной задачи о допусках.

Комплекс теоретических и практических результатов предназначен для использования при создании информационных систем различного назначения, оперирующих с интервальными данными.

Реализация результатов. Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».

Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на 4 научных конференциях:

- VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» (Сочи, 2005);

- конференция молодых ученых «Приборостроение» (Москва, 2006);

- IX всероссийской научной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);

- конференции молодых ученых и аспирантов Московского государственного университета печати (Москва, 2008),

а также на регулярном научно-методическом семинаре кафедры «Прикладная математика и моделирование систем» МГУП.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации

лш i^miii-nnom» ъ ^_тч па^лtov г» тлжг цилпа 1 _f\ti л^отг о я unmti<iiro

рекомендованном ВАК. Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в разработке модифицированного метода решения интервальной линейной задачи о допусках, а также в решении прикладных задач с его помощью.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 118 с. машинописного текста, и состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и поставлены задачи исследования, научная новизна и практической ценность проведенных исследований, изложены сведенья об апробации и публикациях по теме диссертации.

В первой главе представлены теоретические основы интервальной математики. Выяснено, что одним из основных инструментов интервального анализа является описание интервальных параметров функционирования систем с помощью линейной системы алгебраических уравнений. Рассмотрены основные способы оценивания и виды множеств решений интервальных систем уравнений.

В краткой форме ИСЛАУ, которая характеризует параметры функционирования любой системы, при наличии интервальной неопределенности, может быть записана в виде:

Ах = Ь, (1.1)

где AeIRmx" обозначает интервальную матрицу размера тхп; beIRm —

интервальный вектор длины т, xeR" — вещественный вектор длины п.

В результате проведенного обзора интервальных методов оценивания множеств решений ИСЛАУ выяснено, что одной из важных задач, часто возникающей в областях: математической экономики, технологического проектирования и автоматического управления, является задача, в которой коэффициенты матрицы известны неточно и требуется найти решения системы вида (1.1), удовлетворяющие для всех возможных значений матрицы А заданным допускам на правую часть. Решение задачи подобного типа в рамках интервального анализа носит название решение линейной интервальной задачи о допусках и нахождении допускового множества решений системы.

Допусковым множеством решений для ИСЛАУ называется множество Е1Ы (А,Ь) = Htol = {xeR" | (VA eA)(3beb)(Ax=b)} =

образованным всеми такими векторами xeR", что произведение Ах попадает в интервал Ь, характеризующий для любого АеА.

В результате сделан вывод о том, что для описания допускового множества решений интервальных систем большой размерности, удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений. В случае применения грубого исследования разрешимости, описание допустимого множества решений интервальных систем заключаются в построении бруса решений относительно центров ограниченных сегментов.

В работе проведен анализ алгоритмов, применяющихся при вычислении размеров бруса внутреннего оценивания, ограниченного множества решений ИСЛАУ.

Представлены результаты обзора современных информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа и существующих работ по практическому применению интервальных методов в информационных системах. Одними из последних диссертационных работ, включающих разработку информационных систем на основе применения аппарата интервального анализа, являются: разработка программных систем для геометрических задач параметрического проектирования (А.Г. Ершов, Новосибирск, 2007); анализ и синтез систем управления с интервальными параметрами на основе корневого подхода (C.B. Замятин, Томск, 2007); разработка методов оценки экономической эффективности инвестиционных проектов электростанций по интервальным данным (П.В. Бронз, Москва, 2007); программно-математические средства моделирования системных связей на основе анализа интервальных данных (Д.С. Ляпин, Москва, 2006); структурно-параметрическая идентификация динамических объектов по интервальным исходным данным (Я.И. Петрикевич, Кемерово, 2006); методы представления интервальных динамических систем в пространстве состояний (С.Ю. Калинкина, Бийск, 2005); полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания (Е.К. Костоусова, Екатеринбург, 2005) и др.

Во второй главе рассмотрены основные идеи статистического анализа интервальных данных и приведены примеры их возникновения на основе анализа абсолютной и относительной ошибки измерений.

В соответствии с тем, что многие приборы могут иметь различное документированное отклонение в «плюс» и в «минус», т.е. прибор измеряет величину с точностью вида: +Д,, -Д2 (Д,*Д2), было сделано предположение о том, что центр интервала не всегда совпадает с медианной оценкой. Таким образом, если ввести распределение случайных величин внутри интервального измерения, то оно в общем случае не будет являться симметричным.

Согласно вышесказанному, на основе вероятностного подхода предложено в сопоставление гипотезе о совпадении центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному (или равномерному) закону распределения, ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента (рис.2.1). В качестве альтернативной гипотезы предложено использовать соответствие бета-распределению.

Рис.2.1 График ассиметричногораспределения внутри ограниченного сегмента

- нижняя и верхняя границы ограниченного сегмента)

Рассмотрены свойства бета-распределения. Плотность распределения вероятностей задается функцией:

Г(а)Г(Р)

(2.1)

0,Гй[0,1],

где Г (а), Г (р), Г (а + (3) — гамма-функции.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

бета-распределения

/ \ а СС + Р

ар

, х —. (2.2) (а + р) (а + р + 1)

Сделан вывод, что зависимость данного вида распределения от двух величин аир дает возможность выбирать эмпирическое распределение так, что оно практически полностью будет соответствовать теоретическому распределению (рис. 2.1.). Средние величины, наблюдаемые для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, принадлежат отрезку [0,1]. Таким образом, для выборок с произвольным, но заведомо конечньм, ограниченным каким-либо диапазоном изменения значений признаков необходимо ввести нормированную величину

при которой I е [ОД].

Х1 хШт Х1тах ~хШт

(2.3)

Оценкой математического ожидания является наблюдаемая средняя и исправленная дисперсия. На основании метода моментов параметры бета-распределения имеют вид:

-со1-*1). с-4)

ß = ^(<-(02-4 (2.5)

где 1 = (х-х1тт)/(хш„ -х1тш), S2 -х,ш*У)-

На основе использования возможностей MATLAB разработан комплекс программных модулей, предназначенных для проверки ассиметричного расположения центра интервала на основе статистической обработки исходных данных. С этой целью решаются следующие задачи.

1. Нормировка границ интервального измерения и случайные величины внутри заданного интервала, согласно свойствам бета-распределения.

2. Вычисление параметров аир, согласно (2.4) и (2.5).

3. Построение теоретической функции бета-распределения внутри ограниченного сегмента на основании найденных параметров.

2

4. На основе использования критерия согласия Колмогорова или % , в зависимости от объема выборки, проверка альтернативной гипотезы о согласованности эмпирического распределения случайных величин внутри ограниченного сегмента с теоретическим законом бета-распределения.

Сделан вывод о том, что в случае справедливости нулевой гипотезы, центр совпадает с медианной оценкой и применение известных методов целесообразно, в случае справедливости альтернативной возникает необходимость в разработке методик, учитывающих специфику ассиметричного расположения центра.

В целях увеличения точности нахождения центра ограниченного сегмента, если вероятность попадания в ограниченный интервал не удовлетворяет исследователя, необходимо решить задачу оценки средней х с точностью Д с выбранной надежностью, т.е. найти интервал [л-ДД+Д]^

соответствующий интервалу [7 - Д,;7 + Д, ], где

t±A,= (2.6)

ximax ximm

Решение задачи основано на определении квантилей бета-распределения и вычислении интервального максимума функции плотности бета-

раСнрбдслсппл iipH ЗодопНОИ ЬСрОЯТНОСТИ^

рЛ r(" + P\f-\\-t)Mdt= max Af(t)dt. (2.7)

Разработана методика нахождения центра ограниченного сегмента, смещенного относительно медианной оценки, включающая четыре этапа.

1. Определить параметры бета-распределения а и р.

2. На основании найденных параметров, используя теоретическую функцию бета-распределения, определить вероятность попадания в интервал. Если найденная вероятность не удовлетворяет исследователя, то необходимо перейти к следующему пункту.

3. В целях увеличения точности нахождения интервального центра необходимо решить задачу оценки средней х с выбранной надежностью, найти квантили бета-распределения.

4. На основании вычисленных параметров бета-распределения и с определенной вероятностью, удовлетворяющей исследователя найти центр ограниченного сегмента.

Применение разработанных методик позволяет расширить интервальные методы математической статистики. На основе найденного центра, не медианного характера, возможно более точное построение интервальных зависимостей между измеряемыми параметрами.

В третьей главе разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи о допусках, основанный на оценке распределения плотности вероятности случайной величины внутри ограниченного сегмента и применении разработанной методики нахождения смещенного центра интервальной величины относительно медианной оценки.

Для практически значимых задач, в которых параметры и характеристики оцениваются в условиях неточности измерения или неопределенности, модифицирован метод решения системы линейных интервальных уравнений, основанный на гипотезе о соответствии эмпирической плотности вероятности внутри ограниченного сегмента теоретической плотности вероятности бета-распределения. Модифицированный метод имеет следующий вид.

1. Определение характера плотности распределения внутри каждого ограниченного сегмента интервальной системы.

2. В случае подтверждения асимметричного характера данных на основе методики, описанной во второй главе, найти центр каждого ограниченного сегмента ИСЛАУ, смещенного относительно медианной оценки.

3. В целях исследования ограниченной области решений по плотности распределения вероятностей необходимо решить задачу оценки средней х с выбранной надежностью, определить интервальный максимум и найти квантили бета-распределения для каждого интервального параметра системы.

4. На основании вычисленных параметров бета-распределения с выбранной надежностью, найти центр внутреннего решения интервальной системы.

5. Исследовать полученный центр на основе использования характеризации элементов допускового множества решений

(х е ~) <=> (Ах с Ь).

6. На основании найденного центра интервальной системы уравнений найти ширину вектора интервального решения задачи о допусках на основе использования известных алгоритмов внутреннего оценивания.

Показано, что предложенный метод позволяет расширить существующие подходы аппарата интервального анализа, заключающиеся в использовании при решении интервальных уравнений только центров ограниченных сегментов, совпадающих с медианой оценкой, до возможности вычисления естественного центра, являющегося в общем случае смещенным относительно медианы интервала.

Все шаги метода реализованы в виде программных модулей, работающих в среде МАТЬАВ. Тексты приведены в приложении к диссертации.

В четвертой главе проведен анализ результатов применения модифицированного метода внутреннего оценивания допускового множества решений для различных интервальных систем.

В результате исследования, модифицированный метод решения ИСЛАУ был проверен на примере решения известной интервальной линейной системы Хансена.

Пусть имеются экспериментальные данные, подтверждающие характер интервалов. Для каждого интервала системы (4.1) имеется 12 значений. На основе применения разработанного метода получены следующие результаты.

Параметры и функция плотности бета-распределения внутри каждого интервала представлены на рис. 4.1.

С использованием критерия согласия Колмогорова на уровне значимости 0,05 была проверена справедливость гипотезы о согласованности эмпирического распределения случайных величин с теоретическим законом бета-распределения внутри каждого ограниченного сегмента.

На основе применения известных подходов для внутреннего оценивания допускового множества решений ИСЛАУ: критерия H.A. Хлебалина, алгоритма В.В. Шайдурова, критерия С.П. Шарого, позволяющего исследовать пустоты/непустоты допустимого множества решений интервальных линейных систем, и модифицированного метода, разработанного в рамках настоящей диссертации, были получены результаты, представленные на рис. 4.2.

(4.1)

интервал

а = 25,(, = 40

'-i^Khh1

f* 1« «w Teolt Dutep «M. Ht * •

a eut t) »»n® ( □ в в □

В—mH-, ■

2 1 1 \ 1 : Kl

» ' i

0.2 0.1 . 0.4 0.5 .V. M « M «i • 4 ■

интервал \o,iJ, а =0.38$ = 0.54

Phgunl

я. m v«« 1™ il Twi, ОмИвр H* »

D^D« t) »«Me ns as

Uamacvv р-дг^цм— •

Г -

• »

35

Л ' ! J \ \

' 1

»3 i 01 02 0J 0i 07 C.» 05

интервал [о,но],

а = 0.48, р = 0.87

Ш ЕЛ View Inxrt TocJi Dtsttof VMndow H*lp

De не t> * "as sa

,■ -,

• О 0Д " 07 M 04', 0.5 0Л 0.7 0Л,- 0,».-

интервал [2,5]

a = 7P,P = 29

ГЙ [1С !H *u«rt TBW. ДОе* »W» Нф

севе 6 с as an

.. « ».M'-.y.u y ° '

интервал [1,2],

a = 10$ = 8

. Ht Ш Vt«w [щ«К Т0Ы1 Ofritop WMm Hdp

Qtffle H^ft®« DS 60

интервал [60,240]

Рис.4.1. Графики плотности бета-распределения в интервальных данных.

Из полученных результатов (рис. 4.2) видно, что центр решения системы, построенный на основе модифицированного метода, сдвинут относительно центров, полученных на основе использования известных подходов. Этот факт свидетельствует о том, что если на ограниченную допусковую область решений ввести функцию плотности наиболее приближенную к плотности распределения случайных величин, то в данном случае будет наблюдаться присутствие плотности ассиметричного распределения случайных величин внутри ограниченного допускового множества решений и смещение центра системы относительно медианной оценки.

Рис. 4.2. Оценка допускового множества решений системы(4.1) на основе применения критерия H.A. Хлебалина и модифицированного метода.

В целях вероятностного исследования бруса внутренней оценки, содержащегося в допусковом множестве решений системы Хансена, на основе полученных параметров a,ß для каждого интервала системы уравнений (4.1) были определены пределы интегрирования (квантили бета-распределения) с надежностью р=0.99 и получена вспомогательная система уравнений:

Г [1.5,3.37^,+[0,1]х2 =[0,109], \[0.7,2.3}х] + [}.3,3.3]х2 =[21,303].

Сравнительные результаты решений интервальной системы Хансена, найденные с вероятностью р=и,УУ, представлены на рис. <4.3.

Рис. 4.3. Оценка допускового множества решений системы(4.1) на основе методики полного исследования разрешимости С.П. Шарого и модифицированного метода при вероятности 0,99.

Таким образом, показано, что для задач, в которых известен характер интервалов, решения, найденные с применением модифицированного метода, предложенного в рамках настоящее работы, лежат внутри допускового множества решений, также как и решения, полученные с применением традиционных алгоритмов внутреннего оценивания. Это означает то, что на ограниченную допусковую область решений, полученную с применением традиционных алгоритмов, приходится 100% вероятность распределения полученных решений. Однако имеется внутри область решений, которой соответствует вероятность 99%, а 1% рассеивается в пределах 100% ограниченной допусковой области решений.

Модифицированный метод решения использован для моделирования по медицинским данным, собранных с применением компьютерного комплекса «Диакомс». Получена интервальная система линейных уравнений: Г [бЗ,100\х, + [30,45]х2 + [0,28\с3 = [40,100], | [б5,101\с1 + [4,33\с2 + [50,99\с3 = [40,100], (4-3)

+ [30,97}х2 + [0,65\с3 =[40,100],

соответствующая размерности п < 3.

Для нахождения ограниченной допустимой области решений интервальной системы применен алгоритм оценивая выпуклого многогранного допускового множества решений, предложенного И.А. Шарой. Согласно данному алгоритму подходящей оценкой для допускового множества решений, которое может оказаться неограниченным, является сумма линейного подпространства Ь = [с е Я" \Ас = 0} с оценкой выпуклого многогранника

V = Н п и из произвольного линейного подпространства V, дополнительного к Ь.

На основании вышесказанного можно определить следующие линейные подпространства ¿ = |(1,1,1)г еЛ"|/1с = о| и Ь' = ^{х1,х2,хъ)г еЛ"|х3 = о|.

Многогранник V в // описывается как допусковое множество решений интервальной системы с новой матрицей (Л А 2) и неизменной правой частью.

Многогранник V состоит из элементов х, удовлетворяющих интервальному включению

'[63,100] {у. Л '[40,100]

[65,101] [4,33] ж Е [40,100]

, [0.45] [30,97]) \40,100\

Результаты построения этого многогранника и его внутренних оценок, полученных на основе применения традиционных алгоритмов и модифицированного метода, разработанного в рамках настоящей диссертации, представлены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Многогранник V в V, внутренняя оценка многогранника V системы (4.3) на основе методики грубого исследования разрешимости Н А. Хлебалина и модифицированного метода при вероятности 0,99.

Оценкой допускового множества решений является сумма линейного подпространства с оценкой многогранника, результаты которой представлены на рис.4.5 и 4.6.

Рис. 4.6. Одна из максимальных внутренних оценок Ь + Р и внутренняя оценка Ь + Р099 допускового множества решений интервальной системы (4.3) на основе модифицированного метода при вероятности 0,99.

Из полученных результатов оценки допускового множества решений системы (4.3) видно, что на основе применения методики грубого интервального оценивания, базирующейся на центровом подходе, и модифицированного метода без повышения вероятности, получены точечные решения системы, которые лежат на одной из граней допускового множества решений. На основе анализа графика (рис.4.4) построена одна из максимальных оценок допускового множества решений. При расчете квантилей бета-распределения внутри каждого ограниченного сегмента интервальной системы уравнений (4.3) найдено наиболее вероятное решение интервальное решение системы, которое является смещенным относительно максимальной внутренней оценки и точечных решений интервальной системы из-за присутствия асимметрии внутри ограниченных сегментов.

Также, модифицированный метод был применен для решения ИСЛАУ, построенной по экономическим данным. Используя данные об объемах продаж по месяцам за три года, построена система в форме (4.5):

[872,90б]х, +[200,257]х2 =[1229,2746], ■ [842,868]х, +[264,310]х2 =[1901,3794], (4.5)

[821,845]х, +[303,359]х2 =[2452,3123].

где (я,) - производственные затраты (тыс. руб.), (а,2) - затраты на рекламу (тыс.руб.), а (/>) - объем продаж, (тыс. руб.). Каждая /-ая строка матрицы (4.5) соответствует годовому периоду изучаемого явления с 2005 по 2007 год.

Асимметрия распределения плотности вероятности случайной величины наблюдается в каждом интервале ИСЛАУ. Особые искажения наблюдались внутри интервалов, приведенных на рис.4.7.

опI"□

интервал [1229,2746],

интервал [««да],

нормированный интервал [0.274,0.611}, нормированный интервал [о.б31,о.б5о],

а =6,/? = 9, р = 0,79 шняя^ваванмюгмл

- -- о™.

1 й < ао за

а = 4088,/? = 2279, р = 0,87

3»в» > ««ОЧ { зи

интервал [1901,3794], нормированный интервал [0.279,0.557], а = 9,/? = 14, р = 0,81

01 03 00

интервал [2452,3123], нормированный интервал [0.524,0.668], а = 56, /3 = 36, ^ = 0,83

Рис. 4.7. Графики ассиметричного распределения плотности вероятности ( Р - вероятность попадания случайной величины в интервал).

Результаты внутреннего оценивания допускового множества решений интервальной системы (4.5) представлены на рис.4.8 и 4.9. Несовпадение внутренних решений свидетельствует о том, что в исходных данных присутствует большая асимметрия функции плотности распределения и значительные отклонение центра внутри каждого ограниченного сегмента от медианного значения.

При исследовании ограниченной области решений системы (4.5) с учетом функции плотности распределения, проведена оценка квантилей бета-распределения, на основе медианного значения, с вероятностью 0.99. Построено следующее вспомогательное ИСЛАУ:

[54У,У/э]*, + [17и,289]*2 = [368,5564], < [831,884]*, +[230,338]х, =[789,4916], (4.6)

[805,864]*,+ [269,393]^ = [2049,3574].

Рис. 4.8. Оценка допускового множества решений системы(4.5) на основе применения критерия H.A. Хлебалина и модифицированного метода.

на основе методики полного исследования разрешимости С П. Шарого и модифицированного метода при вероятности 0,99.

Из полученного результатов (рис.4.9) видно, что брус, найденный на основе выбранной вероятности р=0,99 в результате решения ИСЛАУ (4.5) с применением модифицированного подхода смещен относительно решений, найденных на основе традиционных алгоритмов решения интервальной задачи

о допусках. В результате анализа полученных интервальных решений, также можно отметить, что наиболее вероятное (99%) решение приходится на область, построенную с применением модифицированного алгоритма, а 1% рассеивается на оставшуюся часть допусковой области решений.

На основе проведенного анализа результатов решения задач сделан вывод об эффективном использовании модифицированного метода, позволяющего учитывать характер данных внутри ограниченных сегментов. Таким образом, практические результаты работы могут служить основой для создания интервальных информационных систем, позволяющих учитывать не только неопределенность данных в виде ограниченного сегмента, но плотность распределения внутри сегмента.

Основные результаты работы

1. Проведен обзор современных информационных систем, базирующихся на методах современного интервального анализа.

2. Проведен обзор и сравнительный анализ методов и алгоритмов, применяемых для оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

4. Введена гипотеза о соответствии эмпирической плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

5. Реализовано в виде программных модулей в среде МАТЬАВ решение задач оценки характеристик бета-распределения случайной величины в интервальном измерении.

6. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного интервального решения системы интервальных линейных уравнения на основе вычисления квантилей бета-распределения.

7. Разработан модифицированный метод внутреннего оценивания допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений, основанный на гипотезе возможного присутствия асимметричного распределения внутри ограниченного сегмента и на возможном не совпадении центра с медианной оценкой.

8. Реализован комплекс программных модулей в среде МАТЬАВ, реализующий разработанный метод.

9. С помощью разработанного комплекса программных модулей решены практические задачи для моделей, построенных по медицинским и экономическим данным.

Ю.На основе проведенных испытаний и полученных результатов выявлена эффективность использования разработанного метода для нахождения внутренней оценки допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

11.Результаты работы используются в учебном процессе кафедры прикладной математики и моделирования систем Московского

государственного университета печати в рамках специальной дисциплины «Программные средства обработки информации».

Публикации по теме диссертации

В журналах, входящих в перечень периодических изданий ВАК.

1. Гапонова Е.А., Никульчев Е.В., Петрушин В.Н. Модифицированный метод решения системы линейных интервальных уравнений // Известия вузов. Проблемы полиграфии и издательского дела. - 2007. — № 5.— С.52-60

В других изданиях.

2. Гапонова Е.А., Никульчев Е.В. Модифицированный метод нахождения внутренней оценки множества решений системы линейных интервальных уравнений. // XI всероссийская научная конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008): Материалы,- Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2008.- С.19.

3. Гапонова Е.А., Петрушин В.Н. Методика нахождения вероятного смещенного центра в задаче внутреннего оценивания решений систем линейных интервальных уравнений. // XI всероссийская научная конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008): Материалы-Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2008.- С.20.

4. Видяпина (Гапонова) Е.А. Разработка методики нахождения Парето-оптимальных решений в условиях интервальной неопределенности критериев качества//Вестник МГУП- 2007 -№3.-С. 31-39.

5. Видяпина (Гапонова) Е.А., Иванова Е.Б., Котова И.Н., Лакин В.В. Исследования возможностей компьютерного комплекса «Диакомс» в оценке влияния магнитной бури на состояние здоровья детей. // Труды VIII Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики». — М.: МГАПИ, 2005. - С.33-38.

Гшднииани в псча1ь I ¡.11.200о. иилоч/1и. Бума1 а офсетная.

Печать на ризографе. Усл. печ л 1.45. Тираж 100 экз Заказ № 340/314 Отпечатано в РИО Московского государственного университета печати 127550, Москва, ул. Прянишникова, 2а

ВВЕДЕНИЕ

1. Аналитический обзор информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа

1.1. Применение интервального подхода к исследованию систем

1.2. Основы интервальной математики

1.2.1. Интервальные векторы и матрицы

1.2.2. Исходные гипотезы интервальных измерений

1.2.3. Область возможных значений параметров модели

1.2.4. Интервальная модель выходной переменной

1.3. Постановки задач интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ)

1.4. Линейная интервальная задача о допусках

1.4.1. Грубое исследование разрешимости

1.4.2. Полное исследование разрешимости ИСЛАУ

1.4.3. Вычисление размеров бруса интервального решения

1.5. Обзор интервальных информационных систем

1.6. Выводы

2. Разработка методики оценки плотности распределения вероятностей случайной величины внутри ограниченного сегмента

2.1. Основные идеи статистики интервальных данных

2.2. Влияние погрешности измерения при исследовании объекта

2.2.1. Абсолютная погрешность измерений

2.2.2. Относительная погрешность

2.3. Линейный регрессионный анализ интервальных данных 58 2.3.1. Метод наименьших квадратов для интервальных данных

2.5. Интервальные данные в задачах проверки гипотез

2.5.1. Проверка гипотез о согласии по точечной выборке

2.5.2. Проверка простых гипотез по интервальной выборке

2.6. Методика нахождения смещенного центра интервальной величины относительно медианной оценки

2.7. Выводы

3. Модифицированный метод нахождениявнутренней оценки множества решений системы линейных интервальных уравнений

3.1. Объект исследования

3.2. Модифицированный метод

4. Результаты применения разработанного модифицированного подхода к решению ИСЛАУ

4.1. Иллюстрация разработанной модификации на примере решения интервальной системы Хансена

4.2. Исследование медицинских данных

4.3. Решение экономической задачи

4.4. Выводы 100 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 101 БИБЛИОГРАФИЯ 103 ПРИЛОЖЕНИЕ

Последние годы характеризуются значительным ростом информационных систем, предназначенных для анализа и обработки данных с учетом неопределенностей и неоднозначностей. К их числу относятся информационные системы, использующие методы интервального анализа, оперирующие с элементами пространства вещественных интервалов. Каждый интервальный параметр имеет вид ограниченного сегмента.

Интервальный анализ получил широкое распространение в качестве основы для доказательных, достоверных и надежных компьютерных вычислений с гарантированной точностью, а также в информационных системах поддержки принятия решений, оценивания параметров сложных систем и др. Развитию теории интервального анализа посвящены работы В.М. Брадиса, JI.B. Канторовича, Р.Е. Мура, Ю.И. Шокина, В.В. Шайдурова, З.Х. Юлдашева, Г.Г. Меньшикова, С.П. Шарого, Г. Алефельда, Ю.Херцбергера, А.П. Вощинина, Г.Р. Сотирова, А.И. Орлова и др.

Одними из разработанных и получивших распространение методов интервального анализа является решение интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

В современном аппарате интервального анализа известно несколько видов множеств решений интервальных систем. Наиболее часто встречающимся способом оценивания множества решений интервальных систем являются внешнее и внутренне интервальное оценивание.

Задачи, возникающие в области математической экономики, технологического проектирования, автоматического управления часто требуют нахождения множества решений линейной вещественной системы, в которой коэффициенты матрицы известны неточно и требуется найти решения системы, удовлетворяющие для всех возможных значений матрицы заданным допускам на правую часть. Решение задачи подобного типа в рамках интервального анализа носит название решение линейной интервальной задачи о допусках и является задачей оценки допускового множества решений интервальной системы.

Если размерность интервальной системы линейных алгебраических уравнений велика, то прямое описание ее допускового множества решений, при котором выписываются все ограничивающие гиперплоскости, становится трудоемким и практически бесполезным. По этой причине для практических целей удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений рассматриваемой ИСЛАУ.

Построение бруса решений осуществляется на основе разрешимости линейной задачи о допусках. В случае применения центрового подхода к исследованию разрешимости, внутренняя оценка допускового множества решений интервальных систем заключаются в построении решений относительно центров ограниченных сегментов.

Однако, если внутри каждого интервала системы и ограниченной допусковой области решений интервальной системы, на основании имеющихся данных, построить функцию плотности распределения величин, то можно столкнуться с тем, что математическое ожидание, не всегда соответствует медианной оценке. А распределение случайных величин внутри интервального измерения в общем случае не будет симметричным.

Согласно вышесказанному, в сопоставление гипотезе о совпадении центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному закону распределения, предлагается ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента.

Таким образом, развитие интервальных методов внутреннего оценивания на основе использования теории вероятности и математической статистики с целью нахождения центра бруса решений внутри ограниченного допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений является важной и актуальной задачей.

Целью диссертации является разработка модифицированного метода внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений, основанного на:

- статистических методах и использовании интервального представления данных;

- учете неопределенности данных в задачах идентификации параметров;

- гипотезе соответствия эмпирического распределения данных, полученных в условиях неопределенности измерений бета-распределению.

Для достижения цели диссертационной работы были поставлены следующие задачи:

1. Провести аналитический обзор информационных систем, использующих методы интервального анализа.

2. Провести обзор методов оценивания решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

3. Сформулировать задачу внутренней оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе известных допусков на систему с учетом специфики интервальных данных.

4. Реализовать в виде программных модулей построение теоретической плотности вероятности случайной величины в интервальном измерении.

5. Разработать методику нахождения центра интервальной величины, возможно смещенного относительно медианной оценки.

6. Модифицировать метод нахождения внутренней оценки допускового множества решений системы линейных интервальных уравнений с учетом анализа характера данных.

7. Решить интервальные задачи на основе модифицированного метода.

8.Провести анализ результатов и выявить области эффективного использования.

Методы исследования.

В работе используются методы интервального анализа, теории вероятности, вычислительной математики и современные информационные технологии.

Новые научные результаты.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем.

1. Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи идентификации параметров, позволяющий учитывать неравномерность внутри интервальных данных.

2. Введена гипотеза о соответствии ассиметричной плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

3. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный метод решения линейной интервальной задачи идентификации параметров.

Комплекс теоретических и практических результатов предназначен для использования при создании информационных систем различного назначения, оперирующих с интервальными данными. Реализация результатов.

Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на 4 научных конференциях:

-VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» (Сочи, 2005);

-конференция молодых ученых «Приборостроение» (Москва, 2006); -IX всероссийской научной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);

-конференции молодых ученых и аспирантов Московского государственного университета печати (Москва, 2008), а также на регулярном научно-методическом семинаре кафедры «Прикладная математика и моделирование систем» МГУП.

Структура диссертации

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и поставлены задачи исследования, научная новизна и практической ценность проведенных исследований, изложены сведенья об апробации и публикациях по теме диссертации.

В первой главе представлены теоретические основы интервальной математики. Выяснено, что одним из основных инструментов интервального анализа является описание интервальных параметров функционирования систем с помощью линейной системы алгебраических уравнений. Рассмотрены основные способы оценивания и виды множеств решений интервальных систем уравнений.

В работе проведен анализ алгоритмов, применяющихся при решении задач внутреннего и внешнего оценивания ограниченного множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

В результате проведенного обзора интервальных методов оценивания множеств решений ИСЛАУ выяснено, что одной из важных задач, часто возникающей в областях: математической экономики, технологического проектирования и автоматического управления, является решение линейной интервальной задачи о допусках и нахождении допускового множества решений системы.

В результате сделан вывод о том, что для описания допускового множества решений интервальных систем большой размерности, удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений. В случае применения грубого исследования разрешимости (без привлечения процедур оптимизации функций), описание допустимого множества решений интервальных систем заключаются в построении бруса решений относительно центров ограниченных сегментов.

Представлены результаты обзора современных информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа и существующих работ по практическому применению интервальных методов в информационных системах.

Во второй главе рассмотрены основные идеи статистического анализа интервальных данных и приведены примеры их возникновения на основе анализа абсолютной и относительной ошибки измерений.

В соответствии с тем, что многие приборы могут иметь различное документированное отклонение в «плюс» и в «минус», т.е. прибор измеряет величину с точностью вида: чД, -Д2 (Д, ф Д2), было сделано предположение о том, что центр интервала не всегда совпадает с медианной оценкой. Таким образом, если ввести распределение случайных величин внутри интервального измерения, то оно в общем случае не будет являться симметричным.

Согласно вышесказанному, на основе вероятностного подхода предложено в сопоставление гипотезе о совпадении центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному (или равномерному) закону распределения, ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента. В качестве альтернативной гипотезе предложено использовать соответствие бета-распределению.

Сделан вывод, что зависимость данного вида распределения от двух величин СС и Р дает возможность выбирать эмпирическое распределение так, что оно практически полностью будет соответствовать теоретическому распределению.

На основе использования возможностей MATLAB разработан комплекс программных модулей, предназначенных для проверки ассиметричного расположения центра интервала на основе статистической обработки исходных данных.

Сделан вывод о том, что в случае справедливости нулевой гипотезы, центр совпадает с медианной оценкой и применение известных методов целесообразно, в случае справедливости альтернативной возникает необходимость в разработке методик, учитывающих специфику ассиметричного расположения центра.

В целях увеличения точности нахождения центра ограниченного сегмента, если вероятность попадания в ограниченный интервал не удовлетворяет исследователя, необходимо решить задачу оценки моментов распределения с выбранной надежностью, на основе определения доверительных интервальных оценок математического ожидания и дисперсии.

Разработана методика нахождения центра ограниченного сегмента, смещенного относительно медианной оценки.

Применение разработанной методики позволяет расширить интервальные методы математической статистики. На основе найденного центра, не медианного характера, возможно более точное построение интервальных зависимостей между измеряемыми параметрами.

В третьей главе разработан модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений системы линейных интервальных уравнений, основанный на оценке распределения плотности вероятности случайной величины внутри заданного интервала и применении разработанной методики нахождения смещенного центра интервальной величины относительно медианной оценки.

Показано, что предложенный метод позволяет расширить существующие подходы аппарата интервального анализа, заключающиеся в использовании при решении интервальных уравнений только центров ограниченных сегментов, совпадающих с медианой оценкой, до возможности вычисления естественного центра, являющегося в общем случае смещенным относительно медианы интервала.

Все шаги метода реализованы в виде программных модулей, работающих в среде MATLAB. Тексты приведены в приложении к диссертации.

В четвертой главе проведен анализ результатов применения модифицированного метода внутреннего оценивания для решения различных интервальных систем.

В заключении приведены основные выводы и результаты работы.

В приложении представлены фрагменты программ, написанных в системе MATLAB в виде m-файлов, позволяющих реализовывать модифицированный метод внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Результаты работы могут служить основой для создания интервальных информационных систем:

- идентификации линейных моделей (таких как системы оценки качества и надежности выпуска изделий, конструирование систем в условиях интервально заданных ограничений, и других);

- интервальная оценка весовых коэффициентов в интегральных критериях качества функционирования систем;

- сужение априорного множества решений до наиболее вероятного с выбранным уровнем надежности;

- построение аппроксимирующих моделей в условиях несоответствия измеряемых данных «симметричному» закону распределения. Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены теоретические основы интервальной математики, которую можно рассматривать как совокупность в пространстве вещественных интервалов, а каждый интервальный параметр в виде ограниченного сегмента.

Составлен обзор современных подходов к решению интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Проведен обзор современных информационных систем, базирующихся на методах интервального анализа и существующих диссертационных работ по практическому применению интервальных методов в информационных системах.

Основным результатом работы в соответствии с поставленной целью являются разработанная методика и алгоритм модифицированного метода, позволяющего решать задачи внутреннего оценивания интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе нахождения естественного центра внутри ограниченного множества.

Новые научные результаты состоят в следующем:

1. Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи идентификации параметров, позволяющий учитывать неравномерность внутри интервальных данных.

2. Введена гипотеза о соответствии ассиметричной плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.

3. Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный внутреннего оценивания множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

1. Брадис В.М. Приближенные вычисления в школьном курсе математики// Сб. «Вопросы математики и ее преподавания» под ред. И. Чистякова и Н. Соловьева.- М.: ГИЗ, 1923. - с. 87-117.

2. Брадис В.М. Средства и способы элементарных вычислений. Москва: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1948.

3. Шарый С. П. Интервальный алгебраические задачи и их численное решение: Дис. . доктора физ.-мат. наук: 01.01.07 / Шарый Сергей Петрович. -Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2000. 327 с.

4. Алефельд Г., Херцбергер Ю Введение в интервальные вычисления.- М.: Мир, 1987.

5. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Ю. Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986 г.

6. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Интервальный метод калибровки // Датчики и системы. 2000. - №9. - с. 52-60.

7. Вощинин А.П., Скибицкий Н.В. Обработка неточных данных как неопределенных чисел // Вестник МЭИ 2005. - №3. - с. 95-107.

8. Brown Р J. Multivariate calibration // J. R. Statist.Soc.B. 1982. - 44, N3.

9. Канторович Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962 г. - Т.З, №5. - с.701-709.

10. Матиясевич Ю.В. Вещественные числа и ЭВМ // Кибернетика и вычислительная техника. 1986. - №2. - с. 104 - 133.

11. Нариньяни А.С. Неопределенность в системе представления и обработки знаний // Техническая кибернетика. 1986. - №5. - с. 3 - 28.

12. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Универсальные решения интервальных задач оптимизации и управления / Институт прикладной математики ДВО РАН. — М.: Наука, 2006 г.

13. Добронец Б.С. Интервальная математика. — Учеб. пос./ Б.С. Добронец, Краснояр. гос. ун-т. — Красноярск, 2004.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. —4-е изд., перераб. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория изданий, 2006.

15. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1978.

16. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений: Конспект лекций. Выпуск: 1-12. СПб: ООП НИИХ СПбГУ, 1996 3003 г.

17. Меньшиков Г.Г. Локализирующие вычисления: Конспект лекций. Выпуск: 1- 4. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.

18. Меньшиков Г.Г., Орлов В.Б. Методы вычислений. Программа основного курса // Программы общих и специальных курсов факультета прикладной информатики процессов управления. — СПб: НИИ Химии СПбГУб, 2001. - с. 84-90.

19. Шайдуров В.В., Шарый С.П. Некоторые методы решения линейной задачи о допусках // Информационное оперативный материал (интервальный анализ). -Красноярск, 1989. - (Препринт ВЦ СО АН СССР; №9) - с. 38-41.

20. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. -Изд-во МЭИ (СССР); «Техника» (НРБ), 1989 г.

21. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сотиров Г.Р. // Заводсткая лаборатория. — 1990 г.-Т. 56, № 7. -с.76 -95.

22. Walter Е. (Ed.) Spesial issue on parameter identification with error bound // Math. And Comput. In Simulation. 1990. - c. 32.

23. Norton J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation, 1,2// Intern. Journ. Of Adaptive Control and Signal Proc. 1994. - 8, N.l; 1995. - 9, N.2.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М: Наука, 1970 г.

25. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. -Новосибирск: Наука, 1990.

26. Sunaga Т. Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis // RAAG Memoirs. 1958. - Vol. 2, Misc. II. - p.574 - 564.

27. Добронец Б.С. Интервальная математика. — Красноярск: КГУ, 2004.

28. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. — М.:Ижевск:Ин-т компьютерных исследований, 2005.

29. Куржацкий А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1977.

30. Н. Дрейпер, Г. Смит. «Прикладной регрессионный анализ» //перевод с английского Ю.П. Адлера и В.Г. Горского. М.: Финансы и статистика, 1986.

31. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. Том 1. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2001.

32. Елтаренко Е.А. Оценка и выбор решений по многим критериям. — М.: МИФИ, 1995.

33. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: МНИИПУ, 1990 г.

34. Петрушин В.Н., Картечина Н.В. Нормальное и бета распределение в оценке ограниченных случайных величин. М.:МГУП, 2007, 63 - 70 с.

35. Кремер И.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2003 г.

36. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

37. Абергауз Г.Г., Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина И.А., Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1966.

38. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука. Главная редакция физико математической литературы, 1981г.

39. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. -М.: Сов. радио, 1975 г.

40. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.

41. Розен В.В. Цель-оптимальность-решение. М.: Радио и связь, 1982 г.

42. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ.— М.: Радио и связь, 1993 г. —320 е.: ил.

43. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006 г.

44. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений: Сб.статей. -М.: Статистика, 1979.

45. Сухарев А.Г. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986 г.

46. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

47. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения.: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992.

48. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления стабилизации. Красноярск, 1994. - 13 с. - (Препринт / ВЦ СО РАН; №7)

49. Шарый С.П. Решение интервальной линейной задачи о допусках. // Вычислительные Технологии /Сборник научных трудов ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2004. 147-162 с.

50. Шарый С.П. Оптимальное внешнее оценивание множеств решений интервальных систем уравнений. Часть 1 // Вычислительные Технологии. -2002. Т. 7, №6.-С. 90-113.

51. Шарый С.П. Оптимальное внешнее оценивание множеств решений интервальный систем уравнений. Часть 2 // Вычислительные Технологии. 2003. -Т. 8, № 1.-С. 84- 109.

52. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интервальной неопределенностью // Проблемы управления и информатики. 2006. - №1. - с. 70-91.

53. Сошникова JI.A., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шеффер М. Многомерный статистический анализ в экономике. М.: ЮНИТИ, 1999.

54. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. М.: Финансы и статистика, том 1 (1983), том 2 (1985), том 3 (1989).

55. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002.

56. Грачева М.В., Фадеева Л.Н., Черемных Ю.Н. Количественные методы в экономических исследованиях. М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2004.

57. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально — экономических процессов. М.: Наука, 1992.

58. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002.

59. Moor R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs, N. J. : Prentice - Hall, 1996.

60. Hansen E.R. Global optimization using interval analysis. N.Y.: Marcel Dercel, 2004.

61. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. // Электронный вариант находится на сервере ИВТ СО РАН по адресу http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks/Shary/SharyBook.pdf

62. Хлебалин Н.А. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта // Аналитические методы синтеза регуляторов. — Саратов: Саратовский политехнический институт, 1981.-е. 123 -127.

63. Oettli W. On the solution set of a linear system with inaccurate coefficients // SIAM J. Numer. Analysis. 1965. - Vol. 2, No. 1. - P. 115 - 118.

64. Moor R.E. Methods and Applications of Interval Analysis. SIAM, Philadelphia, 1979.

65. Молодцов Д.А. Экстремальные интервальные задачи (достаточные условия). М.: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2003 г.

66. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. М.: Мир, 1982.

67. Hoskuldsson A. Predicction Methods in Science and Technology. Vol. 1. Thor Publishing, Copenhegen, Denmark, 1996.

68. Kearfott R. B. Rogorous global search: continuous problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

69. Neumaier A. Interval Method for Systems of Equation. Cambridge: Cambrige University Press, 1990.

70. Barth W., Nuding E. Optimale Losung von Intrvallgleichungssystemen // Computing. 1974. - Vol. 12. - P. 117 - 125.

71. Jaulin L., Kiefer M., Didrit O., Walter E. Applied Interval Analysis. London, Berlin: Springer, 2001.

72. Rohn J. Input-output model with interval data. // Econometrica. 1980. - Vol. 48. - p. 767 - 769.

73. Jasson C.A. global minimization method using interval arithmetic // Computer Arithmetic and enclosure Methods / Atahassova L. And Herzbeger J., eds.

74. Amsterdam: Elsevier, 1992. p. 259 -267. -( IMACS Computing and Applied Mathematics)

75. Hansen E., Walster G.W. Global optimization using interval analysis. New York: Marsel Dekker, 2003.

76. Kearfott R.B. Rigorous global search: continuous problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

77. Skelboe S. Computation of rational function // BIT. 1974. - Vol. 14. - p.87-95.

78. Ким B.M. Формальное описание показателей электропунктурной диагностики и их структурная факторизация для популяционных задач. М.: ПАИМС, 1998.

79. Лакин В.В. Метод электропунктурной диагностики по Накатани и компьютерный комплекс «Диакомс». Учебно-методическое пособие, - М.: РГМУ, 2003.

80. Видяпина Е.А. Разработка методики нахождения Парето — оптимальных решений в условиях интервальной неопределенности критериев качества. М.: МГУП, 2007.-с. 31 -39.

81. Никульчев Е.В., Петрушин В.Н., Гапонова Е.А. Модифицированный метод решения системы линейных интервальных уравнений. М.: МГУП, 2008. с. 5260.

82. Cerone V. Feasible parameter set for linear models with bounded errors in all variables // Automatica, 1993. 29. - p. 15 51 -15 5 5.

83. Вегнер Г. Исследование операций. Т. 1-3. М.: Мир, 1977.

84. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Выпуск: 1,2. М.: Мир, 1974.

85. Когаловский М.Р. Перспективные технологии информационных систем. -М.: АйТи пресс, ДМК - пресс, 2002. - 286 с.

86. Белов В.М., Суханов В.А, Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. Новосибирск: Наука, 1995.

87. Кулиш У., Рац Д., Хаммен Р., Хокс М. Достоверные вычисления. -Издательство РХД: Москва Ижевск, 2005.

88. Музыкин С.Н., Радионов Ю.М. Системный анализ. М.:МГАПИ, 2003.

89. Коллац JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969.

90. Кунцевич В.М. Об одновременном построении гарантированных оценок векторов состояния и параметров дискретных систем управления при ограниченных возмущениях и помехах // Кибернетика и вычислю. Техника. — 1990.-№6.-с. 1-10.

91. Кунцевич В.М., Лычак М.М., Никитенко А.С. Решение системы линейных уравнений при наличии неопределенности в ее обеих частях // Кибернетика. — 1988.-№4. с. 42-49.

92. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. M.:ACADEMIA. -2001.

93. Экономическая информатика: Учебник / Под.ред. В.П. Косарева, Л.В. Еремина. М.:Финансы и статистика, 2001.

94. Beynon-Davies P. Information system. An Introduction to Informatics in Organisation. Palgrave 2002.

95. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E., (Eds) Bounding approaches to system identification. New York: Plenum, 1996.

96. С.П. Соколов, Л.А. Соколова Иммунокомпьютинг для сложных интервальных систем // Труды V международной конференции «Перспективы систем информатики». Новосибирск: Институт систем информатики им. Ершова СО РАН, 2003. - с. 13-18.

97. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.:Мир, 1980.

98. Barth W., Nuding Е. Optimale Losung von Intervallgleichungssystemen // Computing. 1974. - Vol.12, p.l 17 - 125/

99. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 910с.109. http://vvovw.nsc.ru/interval/Library/Thematic/DataProcs/ILeastSquares.tif

100. Сборник трудов Международной конференции по интервальным и стохастическим методам в науке и технике (ИНТЕРВАЛ-92). Тт. 1,2. М.: МЭИ, 1992, 216 с. + 152 с.

101. ГОСТ 11.011-83. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения. М.: Изд-во стандартов, 1984, 53 с.

102. Орлов А.И. Интервальный статистический анализ. В сб.: Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Пермский государственный университет, 1993, с.149-158.

103. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

104. Van Hentenryck P., Michel L. and Deville Y. Numerica: a modeling language for global optimization, Cambridge: MIT Press, 1997.

105. A. Semenov, D.Petunin, A.Kleymenov. GMACS the general-purpose module architecture for building cooperative solvers. In: Proceedings of the 2000 ERCIM/ Compulog Net Workshop on Constraints. Padova, Italy, June, 2000.

106. Н.Г. Видуев, Г.С. Кондра Вероятностно-статистический анализ погрешностей измерений. М.: Изд-во Недра, 1969.

107. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.