автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Эллипсоидальное и интервальное оценивание состояний и параметров дискретных динамических систем с неопределенным описанием модели

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

УДК 517.977.1 На правах рукописи

НАЗИН Сергей Александрович

ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЕ и интервальное ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ И ПАРАМЕТРОВ

ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ОПИСАНИЕМ МОДЕЛИ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор технических наук Б.Т. Поляк

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.В. Добровидов, доктор физико-математических наук А.И. Овсеевич.

Ведущая организация:

Механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится i0 июня 2004 г. в часов на заседании диссертационного Совета Д 002.226.02 при Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997 Москва, ул. Профсоюзная 65, ИПУ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан мая 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 002.226.02 кандидат технических наук

В.Н. Лебедев

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена обобщению метода эллипсоидов и интервальной техники в задачах гарантированного оценивания фазовых состояний дискретных динамических систем на случай неопределенности в описании модели. Изучаются также асимптотические свойства эллипсоидальных оценок для линейных дискретных и стационарных динамических систем без измерений.

Актуальность темы. Задачи оценивания являются одними из фундаментальных в современной теории управления и индентификации. С развитием понятия робастности все больше внимания стало уделяться задачам с различными видами неопределенностей и при наличии неполной информации об объекте управления. В этой связи, для анализа и дальнейшего синтеза управления в динамических системах важно иметь возможность в различные моменты времени оценивать вектор их фазовых координат. Такие оценки получают, основываясь на выбранной модели поведения динамического объекта, на данных наблюдений и на некой априорной информации касательно характера неопределенностей. Альтернативой статистическим методам и калмановской фильтрации является гарантированный подход, когда все ошибки и возмущения в модели предполагаются неизвестными, но ограниченными. Во многих задачах более естественно именно такое представление неопределенностей. К тому же на практике достоверное знание распределений исходных величин зачастую является довольно жестким и ограничительным требованием, а легко доступны только границы их изменения. Возникает необходимость в построении неких гарантированных оценок вектора фазовых состояний динамических систем в условиях неизвестной, но ограниченной неопределенности.

Основы данной проблематики были заложены в конце 60-х — начале 70-х годов прошлого столетия в работах Д. Бертсекаса, X. Витзенхаузе-на, Н.Н. Красовского, Ф. Швеппе, а затем систематически развивались А.Б. Куржанским и Ф.Л. Черноусько. Гарантированный (минимаксный) подход к оцениванию состояний динамических систем в дальнейшем использовался и изучался в работах Э. Вальтера, А. Вичино, В.М. Кун-цевича, А.И. Матасова, М. Миланезе, Дж. Нортона, А.И. Овсеевича, Б.Т. Поляка, Э. Фогеля, В. Чероне и других. В настоящее время теория гарантированного оценивания — активно развивающаяся область в управлении и идентификации. Ее исследованию посвящено множество публикаций, как в отечественной, так и в западной литературе. Такой повышенный интерес обуславливается большим .количеством

ных задач, в которых необходимо применять различные гарантированные подходы, что объясняет актуальность темы диссертации.

Цель работы. Главная цель и значимость данной работы заключается в построении на основе метода эллипсоидов и интервальной техники эффективных алгоритмов внешнего оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных динамических систем с неопределенностью в описании модели, т.е. при наличии как аддитивной, так и мультипликативной составляющих неопределенности. Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит исследование предельного поведения внешних эллипсоидальных оценок множеств достижимости линейных стационарных динамических систем в дискретном времени при условии устойчивости.

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры и линейных матричных неравенств, математического анализа, теории управления и оптимизации, интервального анализа и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов по эллипсоидальному и интервальному оцениванию в динамических системах с неопределенностью. В частности, в рамках эллипсоидальной техники рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с совместными квадратичными ограничениями на мультипликативную матричную и аддитивную векторную части неопределенности, что позволяет упростить задачу аппроксимации невыпуклых областей достижимости и информационных множеств и обеспечить хорошие субоптимальные решения. Предложенный метод может также быть применен и к "слабонелинейным" системам, если трактовать нелинейность как неопределенность. Для задачи интервального параметрического оценивания предложен оригинальный подход, основанный на решении интервальных систем линейных алгебраических уравнений, который дает покомпонентные оценки неизвестного вектора параметров системы при наличии большого числа измерений. Также сформулированы и доказаны утверждения касательно асимптотического поведения классических рекуррентных алгоритмов эллипсоидального оценивания для устойчивых стационарных динамических систем в дискретном времени.

Практическая значимость. В диссертации построен эллипсоидальный фильтр фазовых состояний для динамических систем с неопределенностью в описании модели, который по сути является аналогом широко распространенного фильтра Калмана-Бьюси в стохастических моделях со случайными возмущениями, что весьма перспективно с точки

зрения различных приложений. Кроме того, исследованы асимптотические свойства эллипсоидов, аппроксимирующих множества достижимости, учет которых полезен с точки зрения моделирования динамических систем с неизвестными, но ограниченными возмущениями. Предложены алгоритмы интервального параметрического оценивания, которые позволяют избежать многих вычислительных трудностей. Они легко реализуются и могут применяться в задачах идентификации объектов управления.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях: 5-й Международный симпозиум IFAC "Нелинейные системы управления", NOLCOS'2001 (С.-Петербург, 2001), 15-й Всемирный конгресс IFAC (Барселона, Испания, 2002), 4-й Международный симпозиум IMACS по математическому моделированию, MATHMOD'03 (Вена, Австрия, 2003), 2-я Международная конференция по проблемам управления (ИПУ РАН, 2003), Рабочее совещание "Интервальная математика и методы распространения ограничений" в рамках 5-й Международной конференции "Перспективы систем информатики" (Новосибирск, 2003); 13-й Международный симпозиум IFAC "Идентификация систем", SYSID (Роттердам, Нидерланды, 2003); а также на научных семинарах под руководством проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН), акад. Ф.Л. Черноусько (ИПМех РАН), проф. Э. Вальтера (Высшая Электротехническая Школа г. Парижа).

Диссертация поддержана грантом INTAS-YSF-2002-181. Работа над диссертацией входила также в состав проектов РФФИ № 00-15-96018 и № 02-01-00127.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять статей [1-5] в ведущих научных журналах и шесть работ в сборниках трудов международных конференций [6-11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы (162 источника), а также содержит 36 рисунков. Общий объем диссертации составляет 118 страниц.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, приведено краткое описание глав.

Первая глава посвящена развитию и обобщению классического метода эллипсоидов в задаче гарантированного оценивания фазовых состояний линейных дискретных динамических систем на случай неопределенности в описании модели. Наряду с аддитивными внешними возмущениями и ошибками измерений в модели предполагается наличие матричной (мультипликативной) неопределенности. Наличие матричных возмущений в модели приводит к сложностям, связанным с невыпуклостью соответствующих областей достижимости или информационных множеств динамических систем. Для упрощения задачи рассматриваются совместные квадратичные ограничения на мультипликативную и аддитивную части неопределенности, позволяющие получить аналитические оптимальные или субоптимальные решения, которые легко затем обобщаются на случаи других типов неопределенности. Полученные результаты формируют рекуррентный эллипсоидальный фильтр фазовых состояний линейных динамических систем с неопределенностью в описании модели.

Рассматривается линейная дискретная модель динамической системы с неопределенностью

аг*+1 = (Ак + ААк) хк + Vk> Ук = (Ск + А Ск) хк + ъ1;к,

£ = 0,1,.

(1) (2)

где хц £ 1" - фазовый вектор, у к € К"1 — вектор измерений, «ц 6 К" и Юк £ К"1 — внешние возмущения, действующие на систему, Ак € КпХп и Ск € Мтохп — известные номинальные значения матриц модели, а ААк и Д Ск — матричная неопределенность. При этом полагаем, что

ЦАЛ,Ц2 | 1Ы12 ^

ЦЛС*112 , 1Ы12

Ак

~-ск

б2

<1,

(3)

а начальный фазовый вектор хо системы принадлежит некоторому ограниченному эллипсоиду Ео. Эллипсоид с центром с £ Г и матрицей Р > 0 здесь обозначаем через

Требуется определить гарантированную оценку вектора Хк, основываясь на априорной информации, что Хо € Ео, на полученных к этому моменту измерениях и при данных в (3) ограничениях на неопределен-

ность в модели. Как и в фильтре Калмана-Бьюси, алгоритмы гарантированного рекуррентного оценивания состояний динамических систем разбиваются на этап предсказания и этап уточнения, согласно уравнению динамики системы (1) и уравнению наблюдений (2) соответственно.

Для построения эллипсоидальных аппроксимаций на этапе предсказания рассмотрим, без ограничения общности, уравнение (1) системы в виде

х+ = (Л +Дд)х + и.

(4)

Нас интересует множество Ъ всех векторов х+, при которых х лежит в некотором невырожденном эллипсоиде Е(с, Р), Р > 0, а пара {Дд, и} удовлетворяет квадратичному ограничению

Тогда Ъ

= |х+ = {A + Aa)x + v: х е Е(с,Р),

ЦДл||2 , N

81

< 1

}

(6)

есть множество достижимости для (4). Это множество не является эллипсоидом, в большинстве случаев оно даже невыпукло. Чтобы применить эллипсоидальную технику для оценивания состояний системы (1), решим задачу погружения множества Т> в некий эллипсоид E(d, Q):

DC E{d,Q).

(7)

Более того, желательно, чтобы этот эллипсоид был в каком-то смысле наименьшим. Рассматриваются две основные меры величины эллипсоида:

д(р) = tr Р~\ /2(Р) = -In detP.

(8) (9)

Значение функции равно сумме квадратов длин полуосей эллипсоида (критерий следа), а /г(-Р) соответствует значению его объема (критерий объема или детерминанта). Итак, задача состоит в минимизации (8) или (9) при ограничении (7).

Теорема 1 Пусть множество 3) определяется формулой (6). Тогда каждый эллипсоид Е(с1(т), (}(т)) спараметрами

Q(r)

d(r)

(1 -Sl^AQ^Pc, {AQ~lAT + T~ll}

1-fr

-l

(10)

(И)

где

Qt = (1 -8lr)P-re\l,

= (1 - fir) ctpc- (1 - 62vt)2ctpq-1pc,

содержит D при всех значениях г таких, что

4Tliri

Находя минимум функции одной переменной <pi(r) = trQ(r)-1 или У2 (т) = — In det Q(t) на интервале 0 < т < rmax, получаем минимальный эллипсоид из семейства теоремы 1, содержащий D. Этот субоптимальный эллипсоид может отличаться от оптимального (минимального среди всех возможных эллипсоидов, включающих в себя D), однако это отличие в большинстве случаев незначительно. Он оптимален в том случае, если центр начального эллипсоида расположен в нуле, т.е. когда с = 0.

Оценки множеств достижимости исходной системы (1) можно легко получить, рекуррентно применяя данную процедуру поиска минимального в определенном смысле эллипсоида из однопараметрического семейства теоремы 1. На рисунке 1 приведен пример внешней аппроксимации невыпуклого множества достижимости минимальным в смысле следа эллипсоидом (тонкая сплошная линия). Сравните с более простой аппроксимацией, получаемой по методу Ф.Л. Черноусько и Д.Я. Роки-тянского1 и показанной на этом рисунке точечной линией. Причем разница между этими двумя оценками становится более существенной, если использовать их рекуррентно при оценивании многошагового процесса.

'Chernousko F.L., Rokityanskii D.Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbations. Journ. Optim. Theory andAppl, 2000, 104, No. 1, pp. 1-19.

Рис. 1: Внешняя аппроксимация множества достижимости Ъ

Для построения эллипсоидальных аппроксимаций на этапе предсказания рассмотрим теперь линейную систему с измерениями, описываемыми уравнением (2):

у = {С + Ас)х + ш.

(12)

Временные индексы здесь для простоты опущены, х € К", у € Кт, С € Ктхп, а пара {Дс,го} удовлетворяет квадратичному неравенству

112

им! 4

+

10

¿2 ~

< 1.

(13)

Для данного вектора измерений у и известной номинальной матрицы С необходимо оценить множество всех фазовых векторов х, совместимых с моделью (12)—(13). Такое множество иногда называют информационным или множеством допустимых состояний системы. Оно эквивалентно определяется неравенством

{х - (1)ТМ (х - <1) < 1,

(14)

где

Матрицы Я и М могут не оказаться положительно или даже неотрицательно определенными. Поэтому множество всех х, удовлетворяющих (14), не является эллипсоидом или полосой в К". Однако удается применить эллипсоидальную технику для аппроксимации пересечения этого множества с некоторым невырожденным эллипсоидом.

Теорема 2 Если х принадлежит Е(с,Р), Р > О, и удовлетворяет у = {С+&с)я+'из,гдепара {Ас, и>} подчинена (13), тохпринадлежит и эллипсоиду Е(д(т), т)) с параметрами

при всех значениях т из интервала 0 < т < rmax = min{l; 1/(1—Amin)}, где Ат;п — минимальное обобщенное собственное значение матричной пары {М,Р}.

Напомним, что обобщенными называют собственное значение^ и собственный вектор у, для матричной пары {М,Р}, если Мщ = А¿Рг^

Оптимизируя ip\(r) — trQ(r)-1 или <Р2{т) — —In detQ(r) на интервале 0 < т < rmax, получим минимальный эллипсоид в однопарамет-рическом семействе теоремы 2. Этот эллипсоид дает в общем случае субоптимальную оценку в классе всех эллипсоидов, содержащих внутри себя пересечение. На рисунке 2 показан один из примеров аппроксимации пересечения минимальным в смысле следа эллипсоидом.

В заключительной части главы приводится рекуррентный алгоритм эллипсоидального оценивания фазовых состояний линейных дискретных динамических систем на основе последовательного применения этапов предсказания и уточнения. Также рассматриваются некоторые обобщения полученных результатов на более общие типы неопределенностей.

Во второй главе исследуются асимптотические свойства классических эллипсоидальных алгоритмов внешнего оценивания множеств достижимости линейных стационарных динамических систем в дискретном времени и без измерений. При условии устойчивости системы, т.е. когда спектральный радиус рд матрицы А меньше 1, последовательность се множеств достижимости сходится к некоторому компакту . В

Q(r)

9(т) Qr

(1 - г/т)-*С}г, Q-^l-^Pc + rMd], (1 - т)Р + тМ,

(1 - т) стРс + r<FMd - 9(t)tQt9(t)

т.

(15)

4

Рис. 2: Внешняя аппроксимация пересечения.

этой связи возникает вопрос о предельном поведении их внешних эллипсоидальных аппроксимаций. В таком контексте исследуются стандартные и наиболее распространенные рекуррентные алгоритмы оценивания с использованием критерия следа.

Рассмотрим линейную стационарную модель динамической системы без измерений

где хк € К" есть фазовый вектор системы, ги* е Кт представляет собой вектор внешних возмущений, Л и В ^ 0 — заданные вещественные матрицы соответствующих размерностей. Без ограничения общности, полагаем ||го*|| <1, к = 0,1,2,.... Будем предполагать, что начальный фазовый вектор хй принадлежит ограниченному, возможно вырожденному эллипсоиду £0 = £(со>Ро), где эллипсоид уже определяется через исевдообратную матрицу

Так определенный эллипсоид может быть вырожденным, т.е. не иметь внутренних точек в Кп. Функция, определяющая критерий следа, запишется так:

хк+1 = Ахк +Ву)к, к- 0,1,2,..

• )

(16)

£(с, Р) = {х € Кп : (х - с)тР{(х - с) < 1, Р> 0}.

/Х(Р) = Р.

(17)

Тогда множество

= {хл = Акхо + А*'1 Выо + Ak~2Bwl + ... + Ви>к-1 : (18) х0€£(с0,Ро), 1К||<1, ^ = 0,..., Л — 1}

есть множество достижимости системы (16) в момент времени к. Эк является алгебраической суммой к + 1 эллипсоидов, которая в общем случае есть выпуклое множество, но не эллипсоид.

Рекуррентный локально оптимальный алгоритм.

Выпишем рекуррентный алгоритм, который дает локально оптимальные по критерию следа эллипсоидальные оценки множеств :

при начальном хо € Е(со,Ро). Тогда £(ск,Рк) 2 Ук = 1,2,... При

условии устойчивости матрицы А (и только при нем) центры ск стремятся к нулю с ростом . Для матриц доказана следующая теорема.

Теорема 3 Матричная последовательность, заданная рекуррентно в (20) с параметрами из (21), ограничена тогда и только тогда, когда матрица А устойчива.

Ограниченность внешних эллипсоидальных аппроксимаций по критерию следа для устойчивых систем влечет сходимость неких подпоследовательностей из (20). Сходимость всей последовательности эллипсоидов, по-видимому, имеет место, но доказать ее для любой устойчивой матрицы А пока не удается.

Оптимальный алгоритм на конечном интервале времени. Рассмотрим эллипсоидальную аппроксимацию множества достижимости Юм в момент времени N как сумму N + 1 эллипсоидов. Пусть для некоторого и заданы

ак р

ск+1 = А ск ,

(19)

(20)

ак = у/ЬгАРкАТ, 0 = у/Ьг ВВТ

(21)

(22)

где параметры 7fc > О, А; = 0,1,...,N, равны

in =

7к =

(tr AN P0(AT)N)1'2

(tr ANPo(AT)N)1/2

(tr AkBBT{AT)

tr А*ВВТ(АТУ)Ч2

:)l/2

(tr #P0(Ar)w)V2 + ^-^tr А*ВВТ{АТУУ!2

(25)

Тогда Z(cn,Pn) содержит множество достижимости Dfj- динамической системы (16) при начальном Хо € £(co,Po)i -Po > 0. Алгоритм (23) с коэффициентами из (24)-(25) называют оптимальным по следу на конечном интервале времени, так как выбор (24)-(25) обеспечивает минимум tr Рдг по всем 7t > 0, к = 0,1,...,N, — Центры сц эллипсоидов здесь сходятся к нулю с ростом N при условии устойчивости матрицы А. Следующая теорема определяет предельное поведение последовательности матриц при

Теорема 4 Пусть матрица А устойчива. Тогда для любого начального Р0 > 0 матрица P/v стремится к некоторой конечной неотрицательно определенной матрице Р00, когда N —* оо. При этом

где

lk =

[tr AkBBT(AT)kl1/2 TZo\tx AiBBT{ATY\1l2'

(27)

Таким образом, данный алгоритм эллипсоидального оценивания сходится и может считаться в некотором смысле итеративной процедурой поиска оценки предельного множества достижимости для случая устойчивой системы (16). Отметим, что при каждом N оценка алгоритма (22)-(25), вообще говоря, более точная (по тому же критерию следа), чем рекуррентного локально оптимального алгоритма (19)—(21).

Аппроксимация предельного множества достижимости. Устойчивость матрицы А есть необходимое и достаточное условие сходимости последовательности множеств достижимости динамической системы и соответственно ограниченности предельного множества

1 "Ч Г 1 N ■

/ —. \ ч \ ""V Ч ■

/ / _____ - ¿да 1» ** -

/ ' ✓ " // ЧЧ

/ ч Чч 1и Ч ч ч

' \ 1)1 1 I 1 . 1

П// > ' у' ' ' /

"Лч^^--

ч ' <

- ч / /

<

-з-г-1 о 1 г з

Рис. 3: Эллипсоидальные оценки предельного множества достижимости.

достижимости Ооо. Это множество определяется только матрицами А и В системы и не зависит от выбора начального фазового вектора Хо. В этой связи, по данным этим матрицам оказывается возможным найти простую субоптимальную эллипсоидальную аппроксимацию .Ооо

Теорема 5 Пусть Иоа есть предельное множество достижимости устойчивой динамической системы (16). Тогдадлялюбого фиксированного 7 из рд < 7 < Хэллипсоид £(0, Ру) с матрицей, являющейся реше-ниемуравнения Ляпунова

содержит . При этом, функция /1 (Р-у) = Ьг Р-, строго выпукла по 7 на интервале рд < 7 < 1

Минимальный по следу эллипсоид из однопараметрического семейства теоремы 5 есть решение выпуклой задачи минимизации функции (7) = 1гР7 на интервале Рд < 7 < 1. На рисунке 3 в качестве примера при некоторых значениях матриц А и В минимальный по следу эллипсоид показан жирной линией. Он дает "хорошую" внешнюю оценку предельного множества достижимости (тонкая сплошная линия). Причем эту оценку можно вычислить сразу по известным матрицам А и В, не прибегая к анализу эволюции множеств достижимости системы.

Третья глава посвящена рассмотрению интервального подхода к задаче внешнего гарантированного оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных динамических систем при наличии неопределенности в описании модели. Как и в главе 1, помимо внешних возмущений и ошибок измерений в модели предполагается наличие мультипликативной матричной неопределенности, причем вся неопределенность описывается интервальными векторами или матрицами. В этом случае множества достижимости и информационные множества динамической системы будут невыпуклыми многогранниками, нахождение которых представляет собой КР-трудную задачу, связанную с перебором всех их вершин. Поэтому ищут интервальные аппроксимации этих многогранных множеств.

Алгоритм оценивания фазовых состояний здесь, аналогично методу эллипсоидов, разбивается на этап предсказания и этап уточнения. Если переписать уравнения динамической системы (1), (2) в интервальных терминах

где Ук е ИТ, Ук € Жт, Ак е Шпхп иСкё ЖтХп - известные

интервальные вектора и матрицы модели, то видно, что нахождение оценки на этапах предсказания и уточнения, аппроксимирую-

щей вектор фазовых координат системы, ведет к простым операциям над интервальными векторами и матрицам, а именно: к сложению двух интервальных векторов, умножению интервальной матрицы на интервальный вектор и к обращению интервальной матрицы. Первые две операции элементарны в интервальной арифметике, тогда как обращение интервальной матрицы является КР-трудной задачей и может привести к вычислительным трудностям при больших размерностях. Обращение интервальной матрицы возникает на этапе уточнения в соответствии с полученными на данный момент измерениями. Поэтому основной целью данной главы служит рассмотрение частного случая задачи оценивания состояний - задачи параметрического оценивания, где ищется оценка вектора параметров статической системы по измерениям в условиях неопределенности, т.е. динамики в модели нет, а присутствует только уравнение наблюдений (2). При этом размерность вектора измерений у € Мт обычно много больше размерности вектора параметров х 6 Жп системы, т^п, поскольку всегда стараются провести как можно больше измерений, с целью получить наиболее точные оценки.

хк+1 = ак хк + ук, yk = ск хк,

(29)

(30)

Итак, рассмотрим линейную модель регрессии для исходной системы с ошибками измерений и матричной неопределенностью

у = (С + АС) х + и>,

(31)

где 1бГ,у€ Кш, С е КшХп и ги 6 Еш. Для простоты положим

оо-норма матрицы или вектора равна максимальному значению модуля их элементов. Неравенства (32) описывают частный случай интервальной неопределенности, когда все компоненты АС или ш принадлежат одинаковым интервалам [—е,е] или [—¿,<5] соответственно. Матрица С, вектор у и величины е, 3 предполагаются известными. Тогда все вектора х 6 К", удовлетворяющие (31) при данных ограничениях (32), формируют так называемое множество допустимых параметров системы

Х = {х€Еп: у - (С + АС)х + ю, ||ДС||оо<£, 1Ч1оо < «}, (33)

которое в общем случае есть невыпуклый многогранник в М". Задача заключается в нахождении внешней интервальной оценки вектора в соответствии с имеющимся набором измерений и структурой

модели (31)-(32), т.е. требуется найти интервальный вектор X 6 Ж" (желательно наименьший), содержащий множество допустимых параметров X. Для построения необходимых оценок сначала рассматривается вспомогательная задача решения систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей и интервальной неопределенностью. Предлагаются простые алгоритмы получения интервальных решений для таких

есть возмущенная система из п линейных уравнений с п неизвестными, где матричная неопределенность и неопределенность в правой части ||А6||оо < 5 ограничены по оо-норме. Матрица А предполагается невырожденной. Система (34) называется интервальной системой линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных. Тогда множество всех решений такой системы записывается в виде

||Д<?||оо<е, М|оо<£

(32)

систем.

(34)

1 = {х€Г: \\Ах — 6||оо < е||х||1 + £ }.

(35)

Здесь ||x||i = Множество X ограничено, если е < рд =

1/||Л-:1||00)1, где рА — радиус невырожденности номинальной матрицы А. Заметим, что интервальная матрица А = {А + АЛ : ЦАЛЦоо < £} регулярна, т.е. все Л € А невырождены, п ф <Фа- Требуется найти интервальное решение системы (34), т.е. определить внешнюю интервальную оценку ХЭХ. Эта задача является классической в интервальном анализе, причем поиск оптимального интервального решения (т.е. минимального X, содержащего X) есть NP-трудная проблема.

Алгоритм нахождения оптимального интервального решения основан на поиске вершин выпуклой оболочки ConvX множества решений X с использованием линейного преобразования у = Ах — Ь. В новых переменных у множество решений (35) запишется в виде

? = Híílleo^elH-^y + bJIU+í}. (36)

Множество Y есть линейный образ Х,т.е. У = АХ — Ь, причем ConvY = A ConvX — Ь. Рассмотрим множество вершин "единичного" куба S =

и скалярное уравнение

где <р(т) = £||.i4-1(TS + b)||i + 5, а вектор s Е S.. Функция <£>(т) определена на положительной полуоси и является выпуклой кусочно-линейной функцией скалярного аргумента.

Теорема 6 2 Пусть интервальная матрица А = {Л+ДЛ : ЦАЛЦоо < е} регулярна. Пусть s — некий фиксированный вектор из S. Тогда ys = t*/sí есть вершина выпуклой оболочки преобразованного множества решений Y, где Т* — решение уравнения (37) при данном s, и

Перебрав все 2П различных векторов s G S, найдем все вершины ConvY, а значит и ConvX. После этого окончательно определяем оптимальные нижние и верхние интервальные границы множества решений X. В самом деле, если Xa ~ {x¿,, s € S} — набор всех вершин ConvX, то для каждой компоненты ищем минимальное и максимальное значения

X; — mm{xs.}, x¿=max{xí;}. ¿ = l,...,n, (39)

2Теорема основана на результатах И. Рона: Rohn J. Systems of linear interval equations. Linear Algebra and Its Appl., 1989, 126, pp. 39-78.

Рис. 4: Интервальная аппрокси- Рис. 5: Преобразованное множество мация множества решений X решений У и вершины Сопь У

что дает оптимальное интервальное решение линеинои интервальной системы X* = ([х1,х1],...,[жп,х„])т

В данной главе приведены также некоторые обобщения предложенного метода получения оптимального интервального решения на случаи интервальной неопределенности общего вида и на некоторые случаи структурированной матричной неопределенности.

Для случаев систем большой размерности, когда оптимальные интервальные решения получить не удается, представляют интерес простые и достаточно хорошие его внешние покомпонентные аппроксимации. Про них также говорят как об интервальных решениях системы уравнений (34). В диссертации даются два таких приближенных интервальных решения. Первое описывается неравенством

Здесь все вектора у £ У лежат внутри куба, или шара в оо-норме радиусом , а при условии регулярности интервальной матрицы А = {А + ДА : ЦДЛЦоо < е). Во многих случаях (40) есть минимальный куб с центром в нуле, содержащий множество У. Основной недостаток оценки (40) заключается в наличии (оо, 1) матричной нормы. Существуют хорошие верхние границы приближения ее значения; используя наиболее простую из них, {|>1 1 ^оо,! < 1||1, приходим ко второй оценке, справедливой при условии е < 1/||А-1||1. Из интервальной

аппроксимации для множества У легко получить интервальную аппрок-симациюдля X, таккак х естьлинейная функция от у, х = х*+А~гу, и задача покомпонентной минимизации х» на кубе решается в явном виде.

Теорема 7 Интервальный вектор X = ([¡ГиХх],..., [хп,!сп])т с компонентами

содержит множество решений X. Здесь д* — вектор из 1-й строки матрицы й = А~1

Нахождение интервального решения X 2 X* Э X, используя (41), не вызывает трудностей. Многие численные примеры показывают, что это решение оказывается близким к оптимальному.

Алгоритмы интервального параметрического оценивания. Пусть имеется линейная модель регрессии

и размерность вектора измерений у € Кт много больше размерности вектора параметров х е К", т'> п. Эта модель формирует множество X допустимых параметров х системы, совместимых с результатами измерений. Пусть также априорно известен некий интервальный вектор Хо, содержащий х. Обычно Х0 выбирается достаточно большим, чтобы гарантированно включать в себя вектор параметров системы. Значит, принадлежит их пересечению . Обозначим через вектор, со-

ставленный из г-й строки номинальной матрицы С регрессоров системы. В первом алгоритме для простоты положим т = Кп, где К » 1 — целое число.

Алгоритм 1: Пусть к — 1. Положим X = Хо в качестве начального интервального приближения.

а) Рассмотрим интервальную систему линейных уравнений в модели (42), соответствующих регрессорам Скп_п+1,...,Скп. Вычислить радиус невырожденности рк для номинальной матрицы этой системы. Если е < рк, то найти се интервальное решение Х^, иначе Хк предполагается бесконечно большим.

б) Вычислить интервальный вектор X, содержащий пересечение X р) Хк Положим X = X

-1-1-1-1-1-L.

-Ю 5 0 05 1 15 г

Рис. 6: Интервальные аппроксимации множества X.

в) Если к — К, то алгоритм остановить, иначе положить к = к+1 и перейти к шагу а).

Интервальное решение Хк на этапе а) можно получать как описано выше. Результирующий интервальный вектор X в алгоритме содержит пересечение П^о^к и дает удовлетворительную внешнюю интервальную аппроксимацию множества допустимых параметров X системы. Основное преимущество алгоритма 1 — это сравнительно малое число вычислений. Он требует решения К — т/п интервальных систем линейных уравнений.

Алгоритм 2 имеет рекуррентный характер — измерения могут поступать последовательно, по одному. В нем на шаге а) рассматривается интервальная система линейных уравнений в модели (42), соответствующих регрессорам а меняется от 1 до Второй алгоритм требует решения интервальных систем линейных уравнений вместо тп/п для алгоритма 1. Однако он зачастую дает более точную внешнюю интервальную оценку. На рисунке б приведен наглядный пример внешних интервальных аппроксимаций невыпуклого множества возможных значений параметров системы с измерениями. Оценка, показанная пунктирной линией, получена с помощью алгоритм 1, тогда как алгоритм 2 вычисляет более точную внешнюю интервальную аппроксимацию (сплошная линия).

Выводы и заключение.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту.

1. Предложен эффективный алгоритм эллипсоидального оценивания фазовых состояний линейных дискретных динамических систем с неопределенностью в описании модели. Поиск аппроксимирующих эллипсоидов при этом сводится к простым процедурам минимизации скалярной функции на конечном интервале.

2. Изучены асимптотические свойства классических рекуррентных эллипсоидальных алгоритмов внешнего оценивания фазовых состояний для стационарных линейных дискретных динамических систем без измерений. Исследованы на ограниченность и сходимость алгоритмы: рекуррентный локально оптимальный и оптимальный на конечном интервале времени; изучена возможность их использования для аппроксимации предельного множества достижимости устойчивой системы. Кроме того, описан простой способ построения внешних эллипсоидальных оценок предельного множества достижимости устойчивых систем, который сводит поиск минимального по критерию следа эллипсоида к задаче выпуклой одномерной оптимизации, легко решаемой численными методами.

3. Предложен алгоритм оценивания параметров статической системы с интервальной неопределенностью в данных и с большим числом выходов (наблюдений). Он базируется на идее разбиения исходной модели на определенное число квадратных интервальных систем линейных алгебраических уравнений, для которых разработан оригинальный метод нахождения оптимального и простого приближенного интервальных решений. Этот подход позволяет избежать вычислительных трудностей, связанных с большим количеством измерений, и дает хорошие внешние интервальные оценки невыпуклых множеств допустимых параметров объекта.

4. Все построенные алгоритмы легко реализуются на вычислительной технике и представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Назин С.А. Предельное поведение эллипсоидальных оценок состояний линейных динамических систем. АиТ, 2001, №4, с. 91-97.

2. Nazin S.A., Polyak B.T. Limiting behavior of bounding ellipsoids for state estimation. Nonlinear Control Systems 2001, A. Kurzhanskii, A. Pradkov (Eds), Elsevier Science, 2002, 2, pp. 553-558.

3. Polyak B.T., Nazin S.A. Interval solutions for interval algebraic equations. Math, and Comput. in Simulation, 2004, (в печати).

4. Polyak B.T., Nazin S.A., Durieu C, Walter E. Ellipsoidal parameter or state estimation under model uncertainty. Automatica, 2004, 40, No. 7, (в печати).

5. Nazin S.A., Polyak B.T. Interval parameter estimation under model uncertainty. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, 2004, (принята к печати).

6. Nazin S.A., Polyak B.T. Limiting behavior of bounding ellipsoids for state estimation. Proc. 5th IFAC Symp. Nonlinear Control Systems, NOLCOS'2001, St.-Petersburg, Russia, July 4-6, 2001, pp. 585-589.

7. Polyak B.T., Nazin S.A., Durieu C, Walter E. Ellipsoidal technique under model uncertainty. Proc. 15th IFAC World Congress, Barcelona, Spain, July 21-26, 2002, pp. 1090-1095.

8. Polyak B.T., Nazin S.A. Interval solutions for interval algebraic equations. Proc. 4th IMACS Symp. Math. Modelling, Vienna, Austria, February 5-7, 2003, pp. 973-980.

9. Nazin S.A. Asymptotic properties of ellipsoidal state estimation for linear discrete-time dynamic systems. Abstracts of 2nd Int. Conf. on Control Problems, Moscow, Russia, June 17-19, 2003, 1, p. 61.

10. Назин С.А., Поляк Б.Т. Интервальная техника в задаче параметрического оценивания. Доклады рабочего совещания "Интервальная математика и методы распространения ограничений", Новосибирск, Академгородок, 8-9 июля, 2003, с. 54-57.

11. Polyak B.T., Nazin S.A., Durieu С, Walter E. Guaranteed ellipsoidal state estimation for uncertain MIMO models. Proc. 13th IFAC Symp. on System Identification, Rotterdam, Netherlands, August 27-29, 2003, pp. 1054-1059.

Принято к исполнению 30/04/2004 Исполнено 01/05/2004

Заказ № 169 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095)318-40-68 www.autoreferat.ru

««107 59

Обозначения

1 Метод эллипсоидов в задаче оценивания состояний

1.1 Введение.

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Множества достижимости.

1.4 Аппроксимация суммы.

1.5 Аппроксимация пересечения

1.6 Обобщения.

1.6.1 Матричная неопределенность, ограниченная во фро-бениусовой норме.

1.6.2 Аппроксимация суммы при раздельных ограничениях на неопределенность.

1.6.3 Аппроксимация пересечения при раздельных ограничениях на неопределенность.

1.7 Рекуррентный алгоритм эллипсоидальный фильтр).

1.7.1 Этап предсказания.

1.7.2 Этап уточнения.

2.2 Оценка предельного множества достижимости.51

2.3 Локально оптимальный рекуррентный алгоритм.55

2.3.1 Критерий детерминанта.55

2.3.2 Критерий следа.57

2.4 Оптимальный алгоритм на конечном интервале времени.62

2.4.1 Критерий детерминанта.63

2.4.2 Критерий следа.65

2.5 Заключение.70

3 Интервальная техника оценивания 71

3.1 Введение.72

3.2 Оценивание состояний.75

3.2.1 Множества достижимости.76

3.2.2 Аппроксимация суммы.78

3.2.3 Аппроксимация пересечения .80

3.3 Параметрическое оценивание.84

3.4 Интервальные решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений.85

3.4.1 Постановка задачи.85

3.4.2 Множество решений.86

3.4.3 Радиус невырожденности.87

3.4.4 Оптимальное интервальное решение.88

3.4.5 Обобщения .92

3.4.6 Приближенные интервальные решения .95

3.5 Алгоритмы интервального параметрического оценивания.98

3.6 Заключение.101

Выводы 102

Литература 105

Обозначения

R, С — множества вещественных и комплексных чисел. \х\ — модуль числа х. sign х — знак числа х <Е Ж.

Rn — пространство n-мерных векторов с вещественными компонентами, sign а; — вектор с компонентами signccj, где х = хп)т G Rn. х,у) — скалярное произведение векторов из Rn, (ж, у) — хту.

1 j С) х\\ — евклидова норма вектора х G R": ||ж|| = \xi\2) a:||i — 1-норма вектора: \\x\\i — \xi\.

Ц^Цоо — оо-норма вектора х Е М71: ||а;[[ = max!<j<n \xi\.

Rmxn — пространство m х п матриц с вещественными элементами. I — единичная матрица. т — транспонирование.

Aj(-A) — г-е собственное значение матрицы А £ Шпхп. det А — определитель матрицы; det Л = П?=1 А; (Л), tr А — след матрицы: tr A — Ya=i \

Ра — спектральный радиус матрицы А: рл = maxi<i<n |Af(A)|. А > О (А > 0) — матрица А симметрична и положительно (неотрицательно) определена. jj(A) — j-e сингулярное число матрицы A G Rmxn:

A|| — спектральная норма матрицы: \\А\\ = maxi<j<n&j{A).

U||i - 1-норма матрицы А = ((о^)) € Rmxn: ||A||i = JJij I<Ьз

1И||oo — оо-норма: ЦЛЦ» = maxy

РИооД ~ (оо, 1)-норма: ЦЛЦоод = тахц^^ \\Ax\\v

А||р — фробениусова норма матрицы:

IR — пространство всех вещественных интервалов [а,Ь], а <Ъ. Ж71 — пространство n-мерных интервальных векторов. IRmxn — пространство (m х тг)-мерных интервальных матриц. i(A) = Af(ATA), j = l,. п.

Введение

Задачи оценивания являются одними из фундаментальных проблем в теории управления. С развитием понятия робастности [47, 93,119] в управлении и идентификации все больше внимания стало уделяться задачам с неопределенностью и при наличии неполной информации об объекте. Современные системы автоматического управления работают в сильно неопределенной среде и должны обеспечивать все растущие требования к поведению характеристик динамического объекта. В этой связи, встает вопрос о том, как характеризовать различные типы неопределенностей, о выборе модели или семейства моделей, адекватно описывающих поведение системы в окружающей среде, и о построении эффективных алгоритмов оценивания, учитывающих влияние всякого рода возмущений и неточностей на исходные параметры и переменные. На основе этого можно затем решать различные задачи анализа и синтеза систем автоматического управления.

Стохастические модели реальных процессов являются наиболее распространенными в этом контексте. Естественно с первого взгляда полагать все ошибки и возмущения в системе случайными с некоторыми наперед заданными распределениями. Разработано целое многообразие вероятностных методов и подходов в задачах управления, идентификации, адаптации и фильтрации, которые довольно широко используются на практике. В рамках задачи оценивания состояний динамических систем выделим, например, фильтр Калмана-Бьюси, который дает простой алгоритм вычисления оптимальной оценки вектора состоянии при гауссовских помехах и возмущениях. Тем не менее, во многих ситуациях предположения о случайной природе неопределенных возмущений оказываются неверными, к примеру, когда основные ошибки и неточности в системе являются детерминированными. К тому же, на практике достоверное знание распределений исходных величин зачастую является довольно жестким и ограничительным требованием, а легко доступны только границы их изменения. В этой связи, адекватно полагать эти ошибки и возмущения неизвестными, но ограниченными некоторыми множествами (чаще всего — компактами). Возникает тогда необходимость построения некоторых гарантированых минимаксных подходов, в частности, и к задачам оценивания (фильтрации) состояний динамических систем, где требуется, по-возможности, наиболее точно оценить вектор фазовых координат системы по имеющимся неким априорным данным и на основе наблюдений в условиях неопределенности.

Данная проблематика активно изучалась, начиная с конца 60-х — начала 70-х годов прошлого столетия. В первых работах на эту тему Витзенхаузена [161,162], Швеппе [94,150-152], Бертсекаса и Родэса [73, 74] была разработана некая основа, проведены сравнения и определены дальнейшие пути развития подходов и методов фильтрации в условиях неслучайной неопределенности.

В настоящее время, гарантированное оценивание — активно развивающаяся область в теории управления и идентификации. Ее исследованию посвящено множество публикаций, как в отечественной, так и в западной литературе. В качестве основных назовем книги [27,61,78,100, 108,116,160], сборники статей [111,118] и специализированные выпуски научных журналов [129,158].

Ключевыми в задаче гарантированного оценивания фазовых состоянии динамических систем являются понятия множеств достижимости или информационных множеств. Они определяют всевозможный набор фазовых состояний динамической системы в различные моменты времени. Эти множества играют важную и существенную роль при решении многих задач теории управления и идентификации. Поэтому во многих ситуациях необходимо их точное или приближенное знание. Нахождению и исследованию свойств множеств достижимости, а также их точному или приближенному построению посвящен целый ряд работ отечественных авторов. Выделим среди него монографии Н.Н. Красов-ского [22,23], А.В. Куржанского [27] и Ф.Л. Черноусько [61,78].

Представим далее также круг публикаций в научных журналах, так или иначе связанных с изучением множеств достижимости. Статьи [4,6, 34,54,56,89,113,135] посвящены построению, исследованию структуры и описанию границы областей достижимости и управляемости для линейных дискретных и непрерывных динамических систем. Свойства этих множеств для линейных систем с неопределенностью также изучаются в [5,20,33,45]. Выводятся уравнения их эволюции во времени [41,44] с последующим применением в задачах оптимального управления [43]. В [15,120,157] рассматриваются различные возможности построения областей достижимости и их оценок для нелинейных систем. В данном контексте исследуется проблема достижимости [2,109,110] для линейных управляемых систем, развивается гарантированный подход к задачам оценивания, анализа и синтеза робастного управления [24,25,105,106].

В работах А.Б. Куржанского и его соавторов используется понятие информационного множества для систем с наблюдениями, чрезвычайно схожего с понятием области достижимости. Оно часто используется в задачах наблюдения, идентификации и параметрического оценивания. Построение и изучение свойств этих множеств, а также их аппроксимация, базирущаяся на аппарате опорных функций, дается в [21,26,27,30,53,57]. На основании этого построены алгоритмы идентификации систем [28,29,31,32], разработаны различные минимаксные методы [49,50] оценивания.

Сравнения стохастических и гарантированных подходов и методов в оценивании довольно актуальны. Они прослеживаются во множестве работ, где [10,116,130,152,160] — только некоторые из них. Интерес также проявляется и к различным задачам со смешанными типами неопределенности в модели [7] и к моделям с "почти произвольными" помехами [3].

Задачам оценивания состояний в системах с неизвестными, но ограниченными возмущениями уделяется большое внимание в западной литературе. В особенности, это касается ее частного случая, а именно, проблемы параметрического оценивания, т.е. аппроксимации множества возможных параметров объекта, совместимых с результатами проведенных наблюдений. Интерес к ней мотивирован большим количеством приложений, в которых требуется с максимальной точностью идентифицировать параметры системы в условиях неопределенности. Публикация [130] дает обзор возникающих при этом проблем и приводит также сравнение стохастического и детерминированного подходов. Структура и свойства возникающих можеств возможных параметров (информационных множеств) исследуются в [123]. Для их оценивания предложены различные рекуррентные методы [67,68,70,83,90,91,118, 128,136,156,158], рассмотрено их применение для ряда регрессионных моделей. Общей постановке задачи гарантированного оценивания посвящены работы [117,120,121,129,149].

Подчеркивая важность построения множеств достижимости или информационных множеств динамических систем, отметим, что их форма и структура в большинстве случаев оказывается довольно сложной. В этих случаях представляют интерес их приближения областями определенной канонической формы. В качестве таких областей наиболее естественными являются эллипсоиды, параллелепипеды, многогранники и некоторые другие. Их использование довольно распространено в теории систем и задачах гарантированного оценивания. Построение различных операций над ними формирует предмет так называемого множественного анализа [66], которому в последнее время уделяется пристальное внимание. В зависимости от выбора типа аппроксимирующих множеств, различают метод эллипсоидов, интервальный и полиэдральный подходы и другие множественные методы. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки, и выбор определенного метода оценивания зависит от каждой конкретной ситуации. В данной диссертационной работе мы остановимся на рассмотрении только метода эллипсоидов и интервального подхода, которые являются наиболее существенными по сравнению с другими в задачах оценивания состояний динамических систем.

Использование эллипсоидов в качестве аппроксимирующих множеств — наиболее привлекательный, на наш взгляд, способ гарантированного оценивания. Этому способствует наличие ряда их неоспоримых преимуществ. Так, например, с помощью эллипсоидов можно получать хорошие оценки произвольных выпуклых множеств; квадратичное описание позволяет легко решать на них задачи оптимизации; класс эллипсоидов инвариантен по отношению к линейным преобразованиям; основные операции, сложения и пересечения, в классе эллипсоидов не вызывают трудностей и даются простыми решениями выпуклых задач оптимизации. Если предполагается, что вектора ошибок и внешних возмущений в динамической системе удовлетворяют квадратичным ограничениям, то применение метода эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости представляется естественным и наиболее эффективным.

Исследование метода эллипсоидов в задачах оценивания фазовых состояний начилось с работ Швеппе [151,152]. Его изучению и применению посвящены публикации [75,102,155]. Большое влияние на развитие этого метода оказали работы Ф.Л. Черноусько и А.Б. Куржанско-го [32,59-61,78,108], а также их учеников. Выделим здесь статьи [13,55] по численному построению эллипсоидальных оценок, [39,48,51,63] по описанию суммы и пересечения эллипсоидов, [8,41,42] по алгоритмам эллипсоидальной фильтрации, [14,37,38,40,79,134] по исследованию, в частности, асимптотических свойств аппроксимирующих эллипсоидов.

Существенный вклад в разработку эллипсоидальной техники оценивания внесли работы [81,91,143]. В них строятся рекуррентные алгоритмы параметрического оценивания систем методом эллипсоидов, исследуется их сходимость, показывается эффективность получаемых оценок. Недавние публикации [85,114,115] представляют ряд новых результатов по эллипсоидальной аппроксимации векторов фазовых состояний динамических систем. Некоторые подходы к оцениванию состояний нелинейных систем можно найти в [69]. Работы [112,115] обращают внимание на вычислительные трудности, которые возникают при оценивании фазовых сосотояний методом эллипсоидов, и предлагают некоторые алгоритмы и подходы, избегающие их. Удобным инструментом для построения эллипсоидальных аппроксимаций являются линейные матричные неравенства [76], используемые в [87]. Поиск оптимального аппроксимирующего эллипсоида можно свести к задаче "полуопределенного" программирования [71], т.е. нахождения экстремума некой весовой функции при ограниченях типа линейных матричных неравенств. Такие задачи эффективно решаются с помощью современных пакетов программ.

В рамках гарантированного подхода к задачам оценивания альтернативой методу эллипсоидов является интервальная техника, где неопределенность в переменных задается в покомпонентных терминах. Такой способ ее описания, предполагающий, что каждый элемент векторной или матричной переменной принадлежит заданному ограниченному интервалу, чрезвычайно прост с точки зрения моделирования неопределенностей. К тому же, простые операции над интервальными величинами элементарно реализуются в интервальной арифметике [1,9,100,122,147]. Однако задачи оценивания в такой интервальной постановке нередко оказываются NP-сложными, и поиск их решения тогда сталкивается с вычислительными трудностями.

Отметим в этой связи классическую проблему в интервальном анализе, которой будет уделено некоторое внимание в главе 3, а именно, решение возмущенных, интервальных систем линейных алгебраических уравнений [72,96,98,127]. Нахождение для них оптимального интервального решения является NP-трудным [104], и использование аппарата линейного программирования (см. [84,131-133,148]), традиционного в этом случае, или аналитических методов, как например в [144], может оказаться неприемлемым. Поэтому строят приближенные прямые и итеративные методы аппроксимации оптимального интервального решения [64,65,95,97,145,153,154].

Множества достижимости для интервальных динамических систем имеют многогранную структуру, причем число их вершин и граней может быть достаточно большим. Изучению свойств этих многогранников и построению для них интервальных аппроксимаций посвящен цикл работ [16] и статья [82]. Интервальные оценки выпуклых множеств нередко оказываются довольно консервативными по сравнению, например, с эллипсоидальными. Одним из выходов из данной ситуации служит рассмотрение и поиск полиэдральных оценок, где в качестве аппроксимирующих множеств выступают параллелепипеды, а не интервальные вектора. Алгоритмы их построения для областей достижимости и информационных множеств разработаны в [17-19,159]. Другой подход к улучшению интервальных оценок, предложенный в ряде работ [99-101,103], исходит из концепции разбиения интервальных аппроксимаций и последовательного их улучшения. Для него разработаны численные ар-горитмы робастного минимаксного оценивания фазовых состояний динамических систем на основе интервальной арифметики и метода распространения ограничений. Однако данные алгоритмы представляются довольно сложными и громоздкими.

Все перечисленное множество работ рассматривает проблему гарантированного оценивания фазовых состояний или параметров динамических систем при условии, что ее модель нам известна точно. На практике же это предложение может являться довольно ограничительным, так как в приложениях нередко встречаются объекты с неопределенной структурой, модель которых дается с некоторой погрешностью. Ее учет ведет к рассмотрению, наряду с аддитивной векторной, мультипликативной матричной неопределенности. Главная цель и значимость данной работы заключаются в построении на основе метода эллипсоидов и интервальной техники эффективных алгоритмов внешнего оценивания фазовых состояний или параметров динамических систем с непределен-ностью в описании модели. Некоторые случаи такой, более общей постановки задачи были рассмотрены в литературе: [11,52,62,80,108,146] задачи достижимости и оценивания состояний, [77,158] — задачи параметрического оценивания. Отмечались возникающие сложности, связанные с невыпуклостью областей достижимости и информационных множеств таких систем. Был предложен ряд подходов к их оцениванию, которые, однако, в большинстве случаев дают довольно консервативные и неудовлетворительные аппроксимации. В данной работе будут построены простые алгоритмы для общего случая задачи фильтрации, обеспечивающие хорошие субоптимальные решения. Приводится их сравнение с известными.

Цель работы. Главная цель и значимость данной работы заключается в построении на основе метода эллипсоидов и интервальной техники эффективных алгоритмов внешнего оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных динамических систем с неопределенностью в описании модели, т.е. при наличии как аддитивной, так и мультипликативной составляющих неопределенности. Помимо этого, в задачи диссертационной работы входит исследование предельного поведения внешних эллипсоидальных оценок множеств достижимости линейных стационарных динамических систем в дискретном времени при условии устойчивости.

Методы исследования. В работе использовались методы линейной алгебры и линейных матричных неравенств, математического анализа, теории управления и оптимизации, интервального анализа и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов по эллипсоидальному и интервальному оцениванию в динамических системах с неопределенностью. В частности, в рамках эллипсоидальной техники рассмотрен класс моделей линейных динамических систем с совместными квадратичными ограничениями на мультипликативную матричную и аддитивную векторную части неопределенности, что позволяет упростить задачу аппроксимации невыпуклых областей достижимости и информационных множеств и обеспечить хорошие субоптимальные решения. Предложенный метод может также быть применен и к "слабонелинейным" системам, если трактовать нелинейность как неопределенность. Для задачи интервального параметрического оценивания предложен оригинальный подход, основанный на решении интервальных систем линейных алгебраических уравнений, который дает покомпонентные оценки неизвестного вектора параметров системы при наличии большого числа измерений. Также сформулированы и доказаны утверждения касательно асимптотического поведения классических рекуррентных алгоритмов эллипсоидального оценивания для устойчивых стационарных динамических систем в дискретном времени.

Практическая значимость. В диссертации построен эллипсоидальный фильтр фазовых состояний для динамических систем с неопределенностью в описании модели, который по сути является аналогом широко распространенного фильтра Калмана-Бьюси в стохастических моделях со случайными возмущениями, что весьма перспективно с точки зрения различных приложений. Кроме того, исследованы асимптотические свойства эллипсоидов, аппроксимирующих множества достижимости, учет которых полезен с точки зрения моделирования динамических систем с неизвестными, но ограниченными возмущениями. Предложены алгоритмы интервального параметрического оценивания, которые позволяют избежать многих вычислительных трудностей. Они легко реализуются и могут применяться в задачах идентификации объектов управления.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых посвящена самостоятельной научной проблематике и, в принципе, может рассматриваться независимо от других. Работа содержит список литературы (162 источника), 36 рисунков. Общий объем диссертации составляет 118 страниц.

Приведем далее краткое изложение и описание основных результатов всех глав данной диссертационной работы.

Первая глава посвящена развитию и обобщению классического метода эллипсоидов в задаче гарантированного оценивания фазовых состояний линейных дискретных динамических систем на случай неопределенности в описании модели. Наряду с аддитивными внешними возмущениями и ошибками измерений в модели предполагается наличие матричной (мультипликативной) неопределенности. Наличие матричных возмущений приводит к сложностям, связанным с невыпуклостью соответствующих областей достижимости или информационных множеств динамических систем. Для упрощения задачи рассматриваются совместные квадратичные ограничения на мультипликативную и аддитивную части неопределенности, позволяющие остаться в рамках квадратичного описания неопределенных множеств в модели, использовать результаты теории квадратичных отображений и получить аналитические оптимальные или субоптимальные решения, которые легко затем обобщаются на случаи других типов неопределенности. Поиск аппроксимирующих эллипсоидов при этом сводится к простым процедурам минимизации скалярной функции на конечном интервале. Полученные результаты формируют рекуррентный эллипсоидальный фильтр фазовых состояний линейных динамических систем с неопределенностью в описании модели.

Во второй главе исследуются асимптотические свойства классических рекуррентных эллипсоидальных алгоритмов внешнего оценивания множеств достижимости линейных стационарных динамических систем в дискретном времени и без измерений. При условии устойчивости системы, т.е. когда спектральный радиус рл матрицы А меньше 1, последовательность ее множеств достижимости Dk сходится к некоторому компакту Дх). В этой связи возникает вопрос о предельном поведении их внешних эллипсоидальных аппроксимаций. В таком контексте исследуются стандартные и наиболее распространенные рекуррентные алгоритмы оценивания с использованием критерия следа: рекуррентный локально оптимальный и оптимальный на конечном интервале времени. Рассмотрена возможность их использования для аппроксимации предельного множества достижимости устойчивой системы. Показано, что предельное поведение аппроксимаций существенно зависит от выбора критерия оптимальности получаемых оценок. Так, для критерия следа доказана ограниченность, а в некоторых случаях — сходимость эллипсоидальных оценок при условии устойчивости системы, которые в асимптотике зачастую дают хорошие аппроксимации предельного множества достижимости. С другой стороны, для критерия детерминанта такой ограниченности не наблюдается. Кроме того, описан простой способ построения внешних эллипсоидальных оценок предельного множества достижимости для устойчивых систем, который сводит поиск минимального по критерию следа эллипсоида к задаче выпуклой одномерной оптимизации, легко решаемой численными методами.

Третья глава посвящена рассмотрению интервального подхода к задаче внешнего гарантированного оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных динамических систем при наличии неопределенности в описании модели. Как и в главе 1, помимо внешних возмущений и ошибок измерений в модели предполагается наличие мультипликативной матричной неопределенности, причем вся неопределенность описывается интервальными векторами или матрицами. В этом случае множества достижимости и информационные множества динамической системы будут невыпуклыми многогранниками, нахождение которых представляет собой NP-трудную задачу, связанную с перебором всех их вершин. Поэтому ищут интервальные аппроксимации этих многогранных множеств. Задача оценивания фазовых состояний динамических систем аналогично фильтру Калмана подразделяется на этап предсказания и этап уточнения. Построение интервальной оценки вектора фазовых координат системы на этапе предсказания сводится к простым в интервальном анализе операциям над интервальными векторами и матрицами. В то же время как на этапе уточнения приходится обращать интервальную матрицу, что является NP-трудной задачей, решение которой может оказаться затруднительным при больших размерностях. Поэтому основное внимание в данной главе уделено именно этим трудностям в задаче параметрического оценивания для статических систем с большим числом выходов (измерений). Эта задача заключается в нахождении по-возможности наилучшей оценки вектора параметров некоторой статической системы по измерениям в условиях неопределенности. Предложен алгоритм интервального оценивания параметров таких систем, Он базируется на идее разбиения исходной модели на определенное число квадратных интервальных систем линейных алгебраических уравнений, для которых разработан оригинальный метод нахождения оптимального и простого приближенного интервальных решений. Этот подход позволяет избежать вычислительных трудностей, связанных с большим количеством измерений, и дает хорошие внешние интервальные оценки невыпуклых множеств допустимых параметров объекта. Все построенные алгоритмы легко реализуются на вычислительной технике и представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

В заключительной части диссертации кратко представлены основные полученные результаты, выносимые автором на защиту, и список литературы, который дает довольно полное представление о текущем состоянии теории гарантированного оценивания.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных научных симпозиумах и конференциях:

• 5-й Международный симпозиум IFAC "Нелинейные системы управления", NOLCOS'2001 (С.-Петербург, 2001);

• 15-й Всемирный конгресс IFAC (Барселона, Испания, 2002);

• 4-й Международный симпозиум IMACS по математическому моделированию, МАТНМОБ'ОЗ (Вена, Австрия, 2003);

• 2-я Международная конференция по проблемам управления (ИПУ РАН, 2003);

• Рабочее совещание "Интервальная математика и методы распространения ограничений" в рамках 5-й Международной конференции "Перспективы систем информатики" (Новосибирск, 2003);

• 13-й Международный симпозиум IFAC "Идентификация систем", SYSID'2003 (Роттердам, Нидерланды, 2003); а также на научных семинарах под руководством: проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН), акад. Ф.Л. Черноусько (ИПМех РАН), проф. Э. Вальтера (Высшая Электротехническая Школа г. Парижа).

Диссертация поддержана грантом INTAS-YSF-2002-181. Работа над диссертацией входила также в состав проектов РФФИ К- 00-15-96018 и № 02-01-00127.

Все полученные и представленные здесь результаты опубликованы или приняты к публикации в ряде ведущих отечественных [35] и западных [126,142] научных журналах, а также в трудах международных конференций [36,124,125,139-141], обсуждались на различных научных семинарах как у нас в стране, так и зарубежом.

Выводы

Данная диссертационная работа посвящена вопросам гарантированного оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных динамических систем при наличии неопределенности в описании модели. Это означает, что помимо аддитивных внешних возмущений, действующих на систему, и ошибок измерений в модели предполагается наличие мультипликативной матричной неопределенности вследствие обладания неполной информацией о структуре рассматриваемого объекта. Такая, более общая ситуация, представляется естественной во многих практических задачах. Однако области достижимости и информационные множества таких систем будут тогда иметь довольно сложный невыпуклый характер. Поэтому вопросы их аппроксимации и приближения сталкиваются с серьезными трудностями и мало изучены в литературе. Представленные здесь результаты развивают классическую эллипсоидальную и интервальную техники оценивания или фильтрации, которые являются наиболее распространенными и эффективными методами в рамках гарантированного подхода к описанию неопределенностей. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, диктующие выбор конкретного из них в определенных ситуациях.

В контексте задачи оценивания фазовых состояний динамических систем в условиях неопределенности сформулируем основные новые результаты, полученные автором и описанные в трех главах настоящей работы.

Первая глава рассматривает возможность применения метода эллипсоидов для оценивания фазовых состояний линейных динамических систем в дискретном времени при наличии матричной и аддитивной неопределенностей. Приводятся примеры, иллюстрирующие сложность и невыпуклость возникающих множеств достижимости. Для того, чтобы избежать трудностей, предполагалось, что вся неопределенность в системе характеризуется совместными эллипсоидальными ограничениями, что позволяет оставаться в рамках квадратичного описания неопределенных множеств в модели и применить для построения оценок некоторые результаты их теории квадратичных отображений. В этой связи, получены эффективные субоптимальные эллипсоидальные оценки вектора состояний динамической системы, поиск которых сводится к простой процедуре минимизации скалярной функции на конечном интервале. Описаны также возможные обобщения данного подхода на случаи неопределенностей более общего вида. Предложенный метод формирует основные блоки рекуррентного алгоритма оценивания, который является аналогом фильтра Калмана-Бьюси в стохастических моделях со случайными возмущениями.

Во второй главе изучены асимптотические свойства классических рекуррентных эллипсоидальных алгоритмов внешнего оценивания фазовых состояний для линейных дискретных и стационарных динамических систем без измерений. Исследованы на ограниченность и сходимость алгоритмы: рекуррентный локально оптимальный и оптимальный на конечном интервале времени, и рассмотрена возможность их использования для аппроксимации предельного множества достижимости устойчивой системы. Эти алгоритмы являются стандартными и наиболее распространенными для решения задач внешнего эллипсоидального оценивания областей достижимости. Показано, что предельное поведение аппроксимаций существенно зависит от выбора критерия оптимальности получаемых оценок. Так, для критерия следа доказана ограниченность, а в некоторых случаях — сходимость эллипсоидальных оценок при условии устойчивости системы, которые в асимптотике зачастую дают хорошие аппроксимации предельного множества достижимости. С другой стороны, для критерия детерминанта такой ограниченности не наблюдается. Кроме того, описан простой способ построения внешних эллипсоидальных оценок предельного множества достижимости для устойчивых систем, который сводит поиск минимального по критерию следа эллипсоида к задаче выпуклой одномерной оптимизации, легко решаемой численными методами.

Третья глава посвящена интервальному подходу к решению задачи внешнего гарантированного оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных систем при наличии мультипликативной матричной и аддитивной векторной неопределенностей интервального типа. Задача оценивания фазовых состояний динамических систем здесь опирается на уже известные результаты и сводится к стандартным в интервальном анализе операциям над интервальными векторами и матрицами. Основной акцент в этой главе был сделан на проблему оценивания параметров статической системы с интервальной неопределенностью и с большим числом выходов (наблюдений). Эта задача является NP-сложной. Предложенный подход к ее решению базируется на идее разбиения исходной модели на определенное число квадратных интервальных систем линейных алгебраических уравнений, для которых разработан новый метод нахождения оптимального и простого приближенного интервального решения. Этот подход позволяет избежать вычислительных трудностей, связанных с большим количеством измерений, и дает хорошие внешние интервальные оценки невыпуклых множеств допустимых параметров объекта.

Все построенные алгоритмы легко реализуются на вычислительной технике и представляют интерес не только с теоретической, но и с практической точки зрения.

3.6 Заключение

Во третьей главе предложен интервальный подход к решению задачи внешнего гарантированного оценивания фазовых состояний и параметров линейных дискретных систем при наличии мультипликативной матричной и аддитивной векторной неопределенностей интервального типа. В рамках оценивания фазовых состояний динамических систем, как и в главе 1, было рассмотрено две задачи, лежащих в основе построения оценок: интервальная аппроксимация суммы множеств и интервальная аппроксимация их пересечения. Обе эти задачи опираются на уже известные результаты и сводятся к стандартным в интервальном анализе операциям над интервальными векторами и матрицами.

Главной целью данной главы было рассмотрение проблемы оценивания параметров статической системы с интервальной неопределенностью и с большим числом выходов (измерений). Предложенный подход к ее решению базируется на идее разбиения исходной модели на определенное число квадратных интервальных систем линейных алгебраических уравнений, для которых разработан новый метод нахождения оптимального и простого приближенного интервального решения. Этот подход позволяет избежать вычислительных трудностей, связанных с большим количеством данных, и дает хорошие внешние интервальные оценки невыпуклых множеств допустимых параметров объекта. Он также может распространяться и на системы с интервальной неопределенностью более общего типа.

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

2. Варайя П., Куржанский А.Б. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях. ДАН, 2000, т. 372,34-4, с. 446450.

3. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2003.

4. Гусев М.И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. ДАН, 1992, т. 322, CNT— 5, с. 832-835.

5. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания. Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1994, №3, с. 87-95.

6. Давыдов А.А. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах. Успехи матем. наук, 1982, т. 37, вып. 3, с. 183-184.

7. Дигайлова И.А. Задача фильтрации со смешанной неопределенностью. Изв. РАН. Теория и системы управления, 2001, №5, с. 1624.

8. Калинин В.Н., Шикин Е.В. О построении эллипсоидов экстремального объема. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1987, К2 4, с. 60-65.

9. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

10. Ким Ю.В., Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Сравнение стохастического и гарантированного подходов к оцениванию состояния динамических систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1992, 34-2, с. 8-94.

11. Кинев А.Н., Рокитянский Д.Я., Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки фазового состояния линейных систем с параметрическими возмущениями и неопределенной матрицей наблюдений. Изв. РАН. Теория и системы управления, 2002, №1, с. 5-13.

12. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Эллипсоидальное оценивание по обобщенному критерию. АиТ, 1991, №9, с. 133-144.

13. Клепфиш Б.Р. Численное построение эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, N-4, с. 216-219.

14. Клепфиш Б.Р., Овсеевич А.И. Асимптотика эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1984, N-2, с. 66-69.

15. Комаров В.А, Локально-оптимальные оценки множеств достижимости нелинейных систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1985, №3, с. 153-160.

16. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. АиТ, 1980-1983: I. 1980, №5, с. 12-22; II. 1980, №12, с. 10-17; III. 1982, №10, с. 47-52; IV. 1983, №3, с. 81-87.

17. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем. АиТ, 1997, №3, с. 57-68.

18. Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов. Вычисл. технологии, 1998, т. 3, №2, с. 11-20.

19. Костоусова Е.К., Куржанский А.Б. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания. Вычисл. технологии, 1997, т. 2, №1, с. 19-27.

20. Кощеев А.С. Об оценивании состояния управляемых систем в условиях неопределенности. Дифференц. уравн., 1977, т. XIII, 3NT—12, с. 2168-2179.

21. Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, с. 72-93.

22. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

23. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

24. Кунцевич А.В. Анализ и синтез дискретных систем управления в условиях нестохастической неопределенности. Кибернетика и системный анализ, 1998, К- 6, с. 50-56.

25. Кунцевич В.М. Об одновременном построении гарантированных оценок векторов состояния и параметров дискретных систем управления при ограниченных возмущениях и помехах. Кибернетика и вычисл. техника, 1990, т. 87, с. 1-15.

26. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемых систем. Дифференц. уравн., 1977, т. XIII, N-11, с. 1957-1965.

27. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

28. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок. АиТ, 1991, №4, с. 3-26.

29. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем. ЖВМ и МФ, 1992, т. 32, с. 1720-1733.

30. Куржанский А.В., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы. Дифферренц. уравн., 1987, т. XXIII, К-8, с. 1303-1315.

31. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Идентификация нелинейных процессов — гарантированные оценки. АиТ, 1999, №6, с. 70-87.

32. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Идентификация билинейных систем. Гарантированные псевдоэллипсоидальные оценки. АиТ, 2000, 04s 1, с. 41-53.

33. Лотов А.В. О сходимости методов численной аппроксимации множеств достижимости для линейных дифференциальных систем с выпуклыми фазовыми ограничениями. ЖВМ и МФ, 1979, т. 19, №1, с. 44-55.

34. Лотов А.В. О понятии обобщенных множеств достижимости и их построении для линейных управляемых систем. ДАН, 1980, т. 250, №5, с. 1081-1083,

35. Назин С.А. Предельное поведение эллипсоидальных оценок состояний линейных динамических систем. АиТ, 2001, №4, с. 91-97.

36. Овсеевич А.И. Экстремальные свойства эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости. Проблемы управления и теория информации, 1983, т. 12, N-1, с. 43-54.

37. Овсеевич А.И. Локальное асимптотическое поведение эллипсоидов, ограничивающих области достижимости. АиТ, 1994, N° 12, с. 48-58.

38. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Аппроксимация пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1988, №4, с. 182-189.

39. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Асимптотическое поведение эллипсоидальных оценок областей достижимости. I. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1992, 3NM, с. 90-100.

40. Овсеевич А.И., Трущенков В.Л., Черноусько Ф.Л. Уравнения непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1984, N-4, с. 94101.

41. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем. ПММ, 1982, т. 46, вып. 5, с. 737-744.

42. Панасюк А.И. Уравнения областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления. АиТ, 1982, N-5, с. 67-78.

43. Панасюк А.И. Уравнение множеств достижимости. Сибирский машем. журнал, 1984, т. 25, №4, с. 143-154.

44. Подчукаев В.А. К задаче определения возможных состояний нестационарной линейной системы. АиТ, 1976, К-7, с. 187-189.

45. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. .

46. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

47. Покотило В.Г. О новом методе для квази-оптимальной аппроксимации пересечения эллипсоидов. Препринт, 90-13, Институт кибернетики, Киев, 1990.

48. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах. ПММ, 1981, т. 45, вып. 1, с. 3-10.

49. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. Минимаксный подход к оцениванию параметров линейной регрессии. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1983, №2, с. 94-102.

50. Решетняк Ю.Н. Суммирование эллипсоидов в задаче гарантированного оценивания. ПММ, 1989, т. 53, вып. 2, с. 249-254.

51. Рокитянский Д.Я. Оптимальные эллипсоидальные оценки множества достижимости линейных систем с неопределенной матрицей. Изв. РАН. Теория и системы управления, 1997, №4, с. 17-20.

52. Сивергина И.Ф. Об эволюционных уравнениях в задаче оценивания траекторий систем с априорными квадратичными ограничениями на неопределенные параметры. АиТ, 1985, № 1, с. 84-94.

53. Сиротин А.Н., Формальский A.M. Области достижимости и управляемости линейных дискретных систем. Изв. РАН. Теория и системы управления, 2002, N-4, с. 5-16.56 5758 5960 61 [6263