автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стабилизация управляемых систем с интервальными параметрами

Введение

Глава I. Оценка траекторий интервальных управляемых систем

1. Описание интервальных управляемых систем

1.1. Основные определения

1.2. Пучок траекторий интервальной системы

1.3. Внешнее оценивание пучка траекторий

2. Гарантированная управляемость .;.

3. Управляемость и интервальная алгебраическая система

3.1. Классический критерий управляемости

3.2. Управляемость и интервальная алгебраическая система

3.3. Субуниверсальное решение.

3.4. Свойства субуниверсального решения.

4. Иные подходы к решению задачи .:.

4.1. Управление с минимальной нормой

4.2. Стационарные границы интервалов и неполная управляемость центральной системы

Глава II. Стабилизация интервальных управляемых систем

1. Стабилизирующие управления и их основные свойства

1.1. Построение управлений

1.2. Свойства стабилизирующих управлений

2. "Оператор сжатия" фазового пространства

3. Асимптотическая стабилизация однородной интервальной управляемой системы.

4. Стабилизация неоднородной интервальной управляемой системы

4.1. Терминальный критерий и построение интервальной алгебраической системы

4.2. Структура и свойства стабилизирующих управлений

4.3. Достаточные условия устойчивости

5. Результаты стабилизации для стационарных границ интервалов.

Глава III. Стабилизация линейной интервальной наблюдаемой системы

1. Параллелепипед начальных состояний.

1.1. Анализ интервальной системы

1.2. Поэтапная стабилизация

2. Задача интервального наблюдения

3. Стабилизация однородной интервально наблюдаемой системы

4. Двухфазная процедура стабилизации

5. Неоднородное интервальное наблюдение.

Глава IV. Локальная стабилизация нелинейных систем с неопределенными параметрами

1. Постановка задачи

2. Линеаризация системы

3. Синтез управления на основе линеаризованной системы

4. Применение управления к нелинейной системе

5. Обсуждения

5.1. Статическая и динамическая неопределенность

5.2. Неопределенность и точки покоя.

Предварительные сведения

Задачи управления, как в естественных науках, так и в науках общественных, являются популярным предметом исследования на протяжении веков. Они остаются актуальными и на сегодняшний день, — меняются лишь объекты исследования, для которых необходимо найти требуемое управляющее воздействие.

Классическая теория управления многомерными системами [2, 29, 32, 35], получившая активное развитие в 40-х — 60-х годах 20-го века, сегодня модифицируется и усиливается в новых, расширенных постановках задач. Одним из актуальных направлений является построение моделей управляемых систем с априорным учетом неопределенностей, возникающих во входных данных и параметрах.

Данная диссертационная работа также посвящена изучению одной из классических задач оптимального управления — задачи стабилизации управляемых систем [2] — на основе активно развивающихся со второй половины 20-го века идей интервального анализа [1, 30, 75].

Прежде чем приступить к изложению идей и методов, составляющих суть данной работы, представляется необходимым сказать несколько слов о современных направлениях в выбранной области исследований.

Сложность структуры реальных объектов часто не позволяет дать модельное описание объекта в виде "точной копии". В этом смысле неопределенность изначально заложена в исследуемую модель. Если говорить об идеологии управляемых систем, то управляющие воздействия ("рули") в таких системах используются для удовлетворения некоторого, часто экстремального, критерия, задающего желательные для пользователя характеристики (свойства) системы. При этом неопределенность, заложенная в управляемой системе, характеризует экзогенное влияние на ее динамику. Такое влияние во многих случаях противоречит сформулированному критерию, мешает его достижению. Построение управлений, скорректированных на априорный учет неопределенностей, является актуальным, активно развивающимся направлением исследований (см., например, [7, 10, 21, 33, 59, 77] и др.).

Вообще говоря, выбор исследователем метода решения поставленной перед ним задачи зависит от полноты и структуры знаний об изучаемом объекте. Историческое развитие подходов в математическом моделировании определило путь от детерминизма (ситуации "полное знание - точный результат") к индетерминизму, учитывающему неполноту знаний об объекте исследования.

Применение тех или иных методов при решении задач всегда определяется соотношением между степенью точности, с которой мы хотим изучать интересующий нас объект, и сведениями о его природе, которыми мы располагаем. Степень неполноты знаний об объекте может быть различной, что также определяет соответствующие направления исследований.

В частности, модели со структурной неопределенностью отражают слабую изученность реальных процессов и связей, имеющихся в объекте исследования. Примером таких моделей могут служить системы случайной структуры [28].

В отдельных случаях перед исследователем встают задачи с неопределенными (недоопределенными) целями. В такой ситуации не имеет смысла говорить о некотором детерминированном решении задачи, можно лишь указать "класс подходящих решений" [38].

Недоопределенность цели может, в частности, выражаться множественностью критериев. При решении таких задач наиболее популярным является класс Парето-оптимальных решений [46].

Если же структура объекта ясна, а цель моделирования детерминирована, возникают неопределенности другого характера. Это погрешности в измерении, потери точности при построении модели (сознательное упрощение структуры, например, процедура линеаризации), возможные вариации параметров в процессе управления объектом, влияние "шумов". В таком случае говорят о параметрической неопределенности объекта.

При решении задач управления объектами с неопределенными параметрами также используется большое количество методов, различающихся, в основном, подходами к описанию. С точки зрения "количества" используемой информации об объекте наиболее полными (после детерминистских) являются стохастические методы, описывающие неопределенности как некоторые случайные процессы, характеристики которых заданы априорно. Примером может служить хорошо известная теория линейной фильтрации [29]. Непараметрические ("качественные") методы описания (в частности, теория нечетких множеств [23, 44] и ее применение в теории управления [7]), напротив, не используют информацию о предполагаемых количественных значениях параметров, характеризуя параметры системы лишь с помощью функций принадлежности.

Промежуточное положение занимают популярные в последнее время интервальные методы анализа, полагающие известными границы отрезков (интервалов) изменения параметров. Потенциальный континуум реализаций неопределенных коэффициентов в заданных интервалах составляет основное отличие интервальной задачи от детерминированной. Вместе с тем, полное отсутствие информации о реализациях коэффициентов не позволяет трактовать задачу как стохастическую и использовать упомянутую выше теорию фильтрации [29].

ЗАМЕЧАНИЕ. В интервальном анализе под "интервалами" обычно понимаются замкнутые интервалы, то есть отрезки.

Следует отметить естественный и интуитивно ясный факт охвата детерминированных моделей интервальными: если нижняя и верхняя границы интервалов для каждого параметра совпадают, модель становится классической (детерминистской). В этом смысле интервальность есть признак неполного знания о мире.

Интервальные методы в задачах управления

Согласно работе [37], интервальные методы в теории управления можно разделить на следующие группы:

1. Методы, основанные на применении аппарата функций чувствительности, частотном представлении объекта [21, 59, 71].

2. Методы с бесконечными коэфициентами усиления [55].

3. Адаптивные методы [49].

4. Методы модального управления [22, 24, 37, 52, 57, 58].

5. Оптимальное управление [54, 64, 77, 78].

Если же говорить о задачах стабилизации, то во всех перечисленных группах можно выделить два основных подхода.

Первый подход связан с применением методов интервальной математики [1, 30, 61], хорошо разработанных для решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Здесь используется аппарат интервальной арифметики [75], а все результаты (равно как и входные данные и параметры) имеют интервальную структуру.

Основой данного подхода являются результаты [31, 40, 66, 72, 79], а также работа [70] и ее опровержения [69, 73], в которых формулируются различные достаточные условия и критерии устойчивости [18] линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальной матрицей состояния (см. определение интервальной матрицы в главе I). Условие интервальной матричной устойчивости применяется при анализе дискретных [50, 74] и непрерывных [26, 39, 42, 43, 47, 51, 60, 63] интервальных управляемых систем. Вопросы робастной устойчивости также рассматриваются с использованием интервальных функций Ляпунова [65] и интервального уравнения Сильвестра [62].

Среди методов исследования интервальной матричной устойчивости следует выделить анализ интервального характеристического полинома, основанный на теореме Харитонова [56]. В частности, в работе [57] сформулированы основные принципы аналитического синтеза регулятора для линейной стационарной интервальной динамической системы с одним входом, получены необходимые и достаточные условия разрешимости. В дальнейшем, в работах [19, 20, 52] эти принципы распространены на системы с многомерным входом. В работах [8, 25, 27, 37, 45, 53] изучены способы построения интервального характеристического полинома интервальной матрицы, на основе которого оценивается распределение спектра собственных значений интервальной матрицы замкнутой управляемой системы, а следовательно, и устойчивость "пучка" [33] траекторий замкнутой системы.

Плюс такого подхода — возможность работать с "большими" интервалами неопределенности параметров: при определенной структуре системы величина неопределенности может быть значительной.

Один из минусов данного подхода: операция интервального умножения имеет "расширяющее действие" [53, 75], что завышает степень неопределенности исходных данных в процессе вычислений при решении задачи.

Второй существенный минус — для построения стабилизирующего управления в многих случаях требуется условие полной управляемости [32] для всех независимых реализаций интервальных параметров системы.

Второй (вариационный) подход связан с анализом детерминированной системы из интервального множества систем. Анализируется поведение системы, построенной на нижних границах интервалов неопределенностей [42, 43], либо "центральной" [3, 4, 5, 6, 12] ("средней" [37], "серединной" [61]) системы, построенной из исходной системы заменой интервальных параметров на значения их середин (полусуммы границ). Построенное для детерминированной системы управление применяется к интервальной системе. На основе анализа пучка [33] траекторий замкнутой системы строятся оценки величины интервалов, сохраняющих требуемые свойства построенного управления в целом для интервальной системы.

Плюсы вариационного подхода. Во-первых, используются обычные детерминистские методы решения, не привлекающие аппарат интервальной арифметики, что приводит к более простым с вычислительной точки зрения алгоритмам. Во-вторых, требования управляемости обычно выдвигаются только относительно выбранной детерминированной системы, что является значительно более мягким условием по сравнению с требованием управляемости для всех систем из допустимых интервалов.

Минус данного подхода: завышение оценок при построении внешней аппроксимации пучка траекторий интервальной системы, и, как следствие, сужение гарантий выполнения критерия. Такой подход годен только для достаточно малых исходных интервалов неопределенности.

Цель, идеи, методы решения

Диссертационная работа посвящена проблемам стабилизации управляемых систем с интервальными параметрами.

Основная цель работы: стабилизация интервальных управляемых динамических систем непрерывного типа, построение процедуры стабилизации.

С точки зрения определенных выше классификационных критериев работа характеризуется следующими посылками:

1. Основное внимание в работе уделяется линейным интервальным динамическим управляемым системам.

2. Выбирается детерминированная цель: формулируется задача стабилизации траекторий интервальных систем в фиксированную точку фазового пространства.

3. При исследовании задач стабилизации используются управления без амплитудных ограничений. В некоторых случаях в описании используются ограниченные единичным кубом управления: < 1, г = 1,г.

4. Используется метод поэтапной стабилизации: стабилизирующее управление строится последовательно на отрезках времени [0,Т], [Т, 2Г],. с фиксированным периодом стабилизации Т > 0. Результат стабилизации на отрезке [(к — 1 )Т, кТ] учитывается при построении управления на [кТ, (к + 1)Т], ке N.

5. Закон управления полагается детерминированным, программно - позиционного типа: строящееся программное управление учитывает текущее фазовое состояние системы на каждом этапе стабилизации, что приближает данное управление к синтезированному типу при малой длительности периода стабилизации Т.

6. Неопределенность параметров системы вводится для а) текущего состояния системы. Применяется два альтернативных способа описания. В первом случае фазовое состояние полагается принадлежащим известному параллелепипеду соответствующей размерности. Во втором случае вводится и исследуется интервальное уравнение наблюдения; б) неоднородной составляющей системы (аддитивная неопределенность); в) матриц состояния и управления системы (мультипликативная неопределенность).

7. В пространстве параметров системы интервальная неопределенность характеризуется параллелепипедом соответствующей размерности. Каждая точка параллелепипеда отвечает конкретной реализации параметров. В этом смысле сложность исследуемой системы может быть сопоставлена размерности параллелепипеда, что эквивалентно количеству всех интервальных параметров в системе.

8. Основные результаты касаются достаточных условий гарантированной стабилизации системы.

9. Технология решения: вариационный метод, основанный на исследовании и стабилизации центральной системы, с последующим применением построенного управления к интервальной системе.

10. Используются методы робастного управления [41], подразумевающие устойчивое движение замкнутой системы при вариациях параметров в заданных границах интервалов, а также строятся оценки, характеризующие допустимые вариации параметров.

11. В отличие от рассматриваемых обычно постоянных по времени границ интервалов анализируются задачи стабилизации систем с динамическими границами интервалов неопределенности.

12. Не рассматриваются вопросы, связанные с "временем счета" стабилизирующего управления: предполагается, что расчет управляющих параметров производится "мгновенно".

13. Работа отвечает концепции упреждающего управления [76], суть которой в том, что робастность управления повышается, если при его построении учитываются цель и будущее поведение системы.

Рассматриваемые в данной работе задачи можно разделить по четырем основным признакам:

A) исследуются стационарные (постоянные по времени) либо нестационарные (переменные) интервальные коэффициенты со стационарными либо нестационарными интервальными границами;

Б) рассматриваемая система содержит либо не содержит неуправляемые неоднородности аддитивного типа;

B) точка стабилизации совпадает либо не совпадает с точкой покоя системы;

Г) используются точные либо интервальные измерения фазовых состояний системы.

То или иное сочетание признаков в исследуемой системе характеризует асимптотическую устойчивость либо просто устойчивость замкнутой системы. В связи с тем, что факт асимптотической стабилизации заслуживает отдельного внимания, структура изложения работы позволяет выделить частные случаи общей задачи, в которых с помощью выбранных методов решения удается добиться асимптотической стабилизации.

Охарактеризуем сформулированные признаки более подробно.

А) Стационарная интервальная система определяется постоянными по времени коэффициентами. Исследуя такую систему, мы знаем не только интервалы изменения коэффициентов, но и то, что любая заданная реализация допустимых коэффициентов останется неизменной на всем временной интервале анализа системы.

Многие работы (см., например, [19, 25, 27, 37, 53, 77, 78]) посвящены анализу стационарных интервальных систем либо нестационарных систем со стационарными границами интервалов.

Более широким классом интервальных систем являются нестационарные системы с нестационарными границами. В данной работе одним из направлений исследования является изучение нестационарных интервальных динамических систем с переменными границами интервалов, что при некоторых условиях позволяет обобщить результаты [3, 4, 12], полученные для стационарных границ. Ясно, что переменные границы интервалов можно оценить сверху постоянными границами, однако данный переход "загрубляет" анализ исходной системы.

Б, В) Если правая часть системы содержит неуправляемую неоднородность, то точки покоя неоднородной и соответствующей ей однородной систем, вообще говоря, не совпадают. В некоторых случаях возникает необходимость разделять точки покоя и точки стабилизации системы, например, стабилизировать неоднородную систему к точке покоя соответствующей однородной системы. Это приводит к перманентному смещению системы из точки стабилизации, что не позволяет осуществить процедуру асимптотической стабилизации, а лишь гарантирует устойчивость замкнутой системы в окрестности точки стабилизации.

Г) Если структура системы позволяет точно измерять значения фазового состояния в наперед заданные моменты времени, то стабилизирующее управление активно использует данную информацию о системе. В противном случае предлагается использовать два типа интервальных оценок фазового состояния - в виде параллелепипеда либо с использованием интервального уравнения наблюдения. При этом интервальное наблюдение позволяет добиться асимптотической стабилизации с помощью введения "фазы пассивного наблюдения": для формирования однородного уравнения наблюдения управляющие координаты периодически полагаются равными нулю (управление временно отключается).

Сформулируем теперь основные требования к строящемуся детерминированному стабилизирующему управлению. Во-перых, это точный аналитический критерий применимости управления к системе, выраженный через интервальные параметры системы. Такой критерий позволяет сделать вывод о гарантиях стабилизации до начала процедуры стабилизации. Второе требование —это невысокая вычислительная сложность при построении стабилизирующего управления.

Порядок изложения материала

Исследование рассмотренных в данной работе задач, отвечающих различным сочетаниям признаков А) — Г), проводилось по принципу "от простого к сложному". Данный факт отражен в порядке изложения материала. Начиная с пассивных оценок траекторий линейных интервальных неуправляемых систем, мы переходим к поиску активного управления, затем вводим и анализируем неоднородность аддитивного типа, далее добавляем в систему интервальные оценки фазовых состояний, и, наконец, анализируем нелинейные системы с неопределенными параметрами.

В первой главе формулируется общая постановка задачи, определяется методика исследования, строятся оценки пучка траекторий неуправляемой и управляемой систем при наличии и отсутствии ограничений на управление, обосновывается сведение задачи стабилизации к решению интервальных систем линейных алгебраических уравнений, вводятся определения универсального и субуниверсального решений таких систем, доказываются вспомогательные утверждения.

Вторая глава посвящена исследованию систем с детерминированными (точными) наблюдениями при отсутствии или наличии аддитивной неопределенности. Вводится определение слабой устойчивости, строятся стабилизирующие управления, а также формулируются и доказываются теоремы о слабой либо асимптотической устойчивости замкнутых систем.

В третьей главе обсуждается проблема оценки фазового состояния системы. Вводится и исследуется интервальное уравнение наблюдения. Изучаются свойства управляемости и наблюдаемости для интервальных матриц состояния, управления и наблюдения. Обосновывается введение "фазы пассивного наблюдения", позволяющей добиться асимптотической устойчивости траектории замкнутой системы.

Четвертая глава посвящена анализу нелинейных систем с ограниченными неопределенностями произвольной природы (неинтервального типа). Методом линеаризации исходная нелинейная система при разных предположениях сводится к решению задач, описанных в главах I-III. Исследуются стабилизирующие свойства управлений, построенных на основе линеаризованных систем, применительно к нелинейной системе. Доказывается факт локальной асимптотической стабилизации нелинейной системы.

Основные результаты работы

1) Разработана процедура поэтапной стабилизации линейных интервальных управляемых систем на основе принципа "сжатия" фазового пространства.

2) Введена и исследована процедура оценки фазового состояния по результатам интервального наблюдения.

3) Установлены достаточные условия гарантированной стабилизации для разных классов линейных интервальных управляемых систем, включая однородные и неоднородные системы, стационарные и нестационарные системы, системы с "точным" (детерминированным) либо интервально наблюдаемым фазовым состоянием.

4) Доказаны достаточные условия локальной стабилизации нелинейных управляемых систем с ограниченными неопределенными параметрами.

5) Все результаты получены и обоснованы для интервальных систем с нестационарными интервальными границами. Проведен сравнительный анализ результатов для стационарных аналогов.

Основные результаты работы отражены в публикациях [3, 4, 11, 12, 13, 14,15,16,17,67].

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю, Ащепкову Леониду Тимофеевичу — за постановку проблемы, полезные замечания, внимательное отношение к работе.

Основные обозначения

В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений и сокращений:

ИСЛАУ = интервальная система линейных алгебраических уравнений. ЛИУС = линейная интервальная управляемая система. ЛИНС = линейная интервально наблюдаемая система. ФМР = фундаментальная матрица решений (системы линейных дифференциальных уравнений). ЗЛП = задача линейного программирования.

Центральная система — детерминированная система, каждый интервальный параметр которой соответствует середине интервала неопределенности.

Д — конец формулировки леммы, утверждения, свойства, теоремы. <0> — конец доказательства. а,Ь,. — векторы-столбцы или действительные числа. ' — знак транспонирования: а'Ь — скалярное произведение векторов а, Ь. 1 — "единичный" вектор соответствующей размерности, 1 = (1,., 1)'. П — декартово произведение. x(t),x — производная вектора или скаляра х по времени t. а,а — соответственно нижняя и верхняя границы интервала а < а <а.

Л, В,. — числовые матрицы.

R, Rn — соответственно: множество действительных чисел, n-мерное евклидово пространство. N — множество натуральных чисел.

N0 — множество натуральных чисел, объединенное с нулем. "Начальное" время полагается равным нулю (£о = 0), все задачи рассматриваются на промежутке t £ [0, +оо). Индексация векторов и матриц:

1) верхний индекс соответствует координате времени, указывая на номер этапа в процедуре поэтапной стабилизации. В частности, х° есть начальный фазовый вектор (начальное состояние системы в момент времени t = 0), Х° — множество начальных состояний, х° G Х°.

2) Нижний индекс "ноль" ("0") отвечает середине интервального элемента. Так для интервального вектора а вектор а0 есть середина интервала а < а < а, а а^о есть г-ая координата указанного "серединного" вектора.

3) Знак А используется для обозначения полудлин интервальных элементов. Для интервального вектора а через А а обозначаем полудлину интервала а < а < а, равную А а = (а — a) J 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предлагается один из возможных подходов к анализу динамических интервальных управляемых систем. Изучается вопрос стабилизации интервальных систем в начало координат фазового пространства с помощью процедуры поэтапной стабилизации.

Внешние оценки пучка траекторий управляемой системы на предлагаемом в работе субуниверсальном управлении программно-позиционного типа позволяют указать достаточные условия робастной стабилизации интервальных систем. Операторы сжатия, характеризующие условия стабилизации, определяются шириной (полудлиной) интервалов неопределенности всех параметров системы, а именно, элементами матриц AA(t), AB(t), AC(t), и векторов Arc0, Ah(t), Arj(t) из интервалов (1.3), (1.4), (1.6), (3.84).

Для однородных линейных интервальных динамических систем, замкнутых субуниверсальным управлением, удается достичь асимптотической устойчивости в целом (в большом). Данный результат распространяется и на интервально наблюдаемые системы, в которых вектор наблюдений представляет собой линейную интервальную комбинацию фазовых координат. Достижение асимптотической стабилизации для интервальной управляемой системы с однородным интервальным уравнением наблюдения достигается за счет введения фазы пассивного наблюдения.

Неоднородные системы под воздействием субуниверсальных управлений обладают свойством слабой устойчивости, гарантирующей периодическое попадание траектории замкнутой системы в (малую) окрестность начала координат и ограниченное удаление траектории от указанной окрестности в остальные моменты времени. В некоторых случаях окрестность слабой стабилизации удается существенно уменьшить за счет более частого пересчета субуниверсальных управлений, то есть за счет уменьшения периода в процедуре поэтапной стабилизации.

Для нелинейных систем с ограниченными Неопределенными параметрами удается достичь локальной асимптотической стабилизации построением субуниверсального управления для линейного приближения исходной системы.

Наряду с субуниверсальными управлениями в работе строятся и изучаются универсальные управления, более сложные по конструкции и методу расчета, но дающие лучшие результаты с точки зрения стабилизации. Достаточные условия применимости универсальных управлений в аналитической форме совпадают с условиями, построенными для субуниверсальных управлений.

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987, 360 с.

2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: "Высшая школа", 1998, 574 с.

3. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация линейной стационарной системы управления с интервальными коэффициентами.// Дальневосточный математический сборник. — Владивосток: Дальнаука, 1999, №8, с. 32-38.

4. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами.// Известия ВУЗов. Математика, №2 (477), 2002, с. 11-17.

5. Ащепков J1.T., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы управления с интервальными коэффициентами.// Известия ВУЗов. Математика, №12 (439), 1998, с. 3-10.

6. Ащепков JI.T., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация наблюдаемой линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами.// Автоматика и телемеханика, №7, 1999, с. 85-95.

7. Воевода А.А., Плохотников В.В. О методике синтеза регуляторов для объектов с интервальными параметрами. // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск, т, 1998.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988, 548 с.

9. Давыдов Д.В. Асимптотическая стабилизация линейной наблюдаемой автономной управляемой системы с интервальными коэффициентами. // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток, 2000. С.36-37.

10. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация интервально наблюдаемой системы с неопределенными параметрами. // Вычислительные технологии. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003, Т. 8, № 1, с.44-51.

11. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация интервально наблюдаемой системы с неопределенными параметрами.// Конференция молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике. Тезисы докладов. Новосибирск, 2001. С. 24.

12. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация нелинейной управляемой системы с неопределенными коэффициентами.// 5-я Дальневосточнаяконференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 2001. С.47.

13. Давыдов Д.В. Стабилизация линейной стационарной системы управления с интервальными коэффициентами. // 3-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 1999. С.61.

14. Давыдов Д.В. Управляемость линейной системы с интервальными коэффициентами. // 2-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 1998. С.55.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967, 472 с.

16. Дугарова И.В. Применение интервального анализа при проектировании систем управления с неопределенными параметрами: Дисс. . канд. тех. наук, Томск, 1989, 189 с.

17. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами. // Автоматика и телемеханика, №11, 1990, с. 176-181.

18. Ермаченко А.И. Методы синтеза систем управления низкой чувствительности. — М.: Радио и связь, 1981.

19. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Алгоритмическая процедура синтеза многосвязных систем с интервальными характеристическими полиномами. / Деп. в ВИНИТИ, 1989, № 7505-В89, 12 с.

20. Заде JI. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976, 165 с.

21. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей. // ДАН СССР, 1988, Т. 299, № 2.

22. Ивлев Р.С. Построение и исследование свойств многомерных систем управления интервально-заданными объектами: Дисс. . канд. тех. наук, Алматы, ИПИУ НАН Республики Казахстан, 1999, 98 с.

23. Ивлев Р.С., Боркин В.Н. Робастная асимптотическая устойчивость интервально-заданной системы. //Тауар, Алматы, 1998, №4, с. 46-50

24. Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интервально заданным объектом. //Вычислительные технологии. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999, Т. 4, № 4, с. 3-13.

25. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980, 384 с.

26. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971, 400 с.

27. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. — Новосибирск: Наука, 1986, 224 с.

28. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968, 476 с.

29. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977, 392 с.

30. Левшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1961.

31. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972, 576 с.

32. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Госте-хиздат, 1950.

33. Моисеев А.Н. Модальное управление многомерной динамической системой с параметрическими неопределенностями интервального типа: Дисс. . канд. тех. наук, Томск, 1997, 111 с.

34. Моисеев Н.Н. Предисловие к 44]

35. Молчанов А.П., Морозов М.В. Достаточные условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с периодическими интервальными ограничениями. // Автоматика и телемеханика, №1, 1997, с. 100-107.

36. Неймарк Ю.И. Робастная интервальная матричная устойчивость. // Автоматика и телемеханика, №7, 1994, с. 132-137.

37. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость линейных систем. // ДАН, 1991, Т. 319, №3, с. 578-580.

38. Никонов В.И. Устойчивость и стабилизация линейных и линейных интервальных динамических систем: Дисс. . канд. физ.-мат. наук, СПб-ГУ, 1998, 102 с.

39. Никонов В.И., Щенников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений линейных интервальных динамических систем. // Автоматика и телемеханика, №12, 1999, с. 49-56.

40. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981, 208 с.

41. Плохотников В.В. Обеспечение устойчивости систем управления с интервальными параметрами // Тезисы IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. — Новосибирск, 2000. 4.4, с. 40.

42. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982, 254 с.

43. Подлесный В.Н., Рубанов В.Г. Простой частотный критерий робастной устойчивости одного класса линейных интервальных динамических систем с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика, №9, 1996, с. 131139.

44. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1961, 311 с.

45. Пылаев Н.К., Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью. // Автоматика и Телемеханика, 1989, № 6.

46. Романюк Г.Э. Критерий устойчивости интервальных дискретных систем. // Сборник трудов VI Международной научной конференции "Актуальные проблемы информатики". Минск, 1998, Ч.З, с. 537-539.

47. Рубанов В.Г., Подлесный В.Н. Достаточный критерий робастной устойчивости замкнутых систем с интервальным объектом и фиксированным регулятором. // Известия ВУЗов. Электротехника. №3, 1995, с. 43-48.

48. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для систем с неопределенными параметрами. / Деп. в ВИНИТИ Ред. кол. ж. "Изв. АН СССР. Техн. кибернетика", № 789-В87, 37 с.

49. Смагина Е.М., Моисеев А.Н., Моисеева С.П. Некоторые методы вычисления коэффициентов ИХП интервальных матриц. // Вычислительные технологии. —- Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997, Т. 2, № 1, с. 52-61.

50. Тен И.Г. Синтез оптимального управления в условиях интервальной неопределенности в моделях. //Интервальные вычисления, 1992, №11, с. 27-30.

51. Уланов Б.В. Управление динамическими системами при неполной информации об их параметрах, состоянии и размерности. // ДАН СССР, 1989, Т. 308, № 4.

52. Харитонов В.J1. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения, 1978, Т. 14, № 11, с. 2086-2088.

53. Хлебалин Н.А. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта управления: Дисс. . канд. тех. наук, Саратов, 1984, 234 с.

54. Хлебалин Н.А. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1988.

55. Ходько С.Т. Проектирование систем управления с нестабильными параметрами. — Л.: Машиностроение, 1987.

56. Честнов В.Н. Робастная устойчивость многомерных динамических систем с линейной зависимостью коэффициентов от одного интервального параметра. // Автоматика и телемеханика, №4, 1997, с. 175-180.

57. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение. Дисс. . докт. физ.-мат. наук, Новосибирск, 2000, 322 стр.

58. Шашихин В.Н. Задача робастного размещения полюсов в интервальных крупномасштабных системах. // Автоматика и телемеханика, №2, 2002, с. 34-43.

59. Шашихин В.Н. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства линейных систем. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002, №4, с. 17-24.

60. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем. // Автоматика и телемеханика, №11, 2000, с. 94-103.

61. Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием. // Автоматика и телемеханика, №12, 1997, с. 164-174.

62. Щербаков П.С. Достаточное условие робастной устойчивости неопределенных матриц. // Автоматика и телемеханика, №8, 1998, с. 71-79.

63. Aschepkov L.T., Davydov D.V. Stabilization of Linear Stationary Control System with Interval Coefficients. // Proceedings of the 3rd Asian Control Conference. Shanghai, China, 2000. CD edition.

64. Aschepkov L.T., Dolgy D.V. The universal solutions of interval systems of linear algebraical equations. // Int. J. of Software Eng. and Knowledge Eng. 1993, V.3, №4, p. 477-485.

65. Barmish B.R., Hollot C.V. Counter-example to a recent of the stability of interval matrices by S. Bialas. // Int.J.Contr., 1984, V. 39, № 5,p. 11031104.

66. Bialas S.A. A necessary and sufficient conditions for stability of interval matrices. // Int.J.Contr., 1983, V. 37, № 4, p. 717-722.

67. Daniel R.W., Kouvaritakis A. A new robust stability criterion for linear and non-linear multivariable feedback systems. // Int.J.Contr., 1985, V. 41, № 6.

68. Heinen J.A. Sufficient conditions for stability of interval matrices. // Int.J.Contr., 1984, V. 39, № 6, p. 1323-1328.

69. Karl W.C., Greschak J.P., Verghese G.C. Comments on "A necessary and sufficient conditions for stability of interval matrices". / / Int.J.Contr., 1984, V. 39, № 4, p. 849-851.

70. Karl W.G., Verghese G.C. Comments on Sufficient and necessary condition for the asymptotyc stability of discrete linear interval systems. // Int.J.Contr., 1988, V. 48, № 4.

71. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR. // Computing Supplement, № 2, 1980, pp. 33-49.

72. Kwon W.H. Advances in predictive control: theory and applications. — Seoul: Seoul National University, 1995, 43 p.

73. Mori Т., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator. // Int.J.Contr., 1988, V. 47, № 1, pp. 363-372.

74. Wang S.-D., Kuo T.-S., Lin Yu.-H., Hsu C.-F., Juang Ya.-T. Robust control for linear systems with uncertain parameters. // Int.J.Contr., 1987, V. 46, № 5, pp. 1557-1567.

75. Yedavalli R.K. Stability analysis of interval matrices: another sufficient condition. // Int.J.Contr., 1986, V. 43, № 3, pp. 767-772.