автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Корневой анализ и синтез систем с интервальными параметрами на основе вершинных характеристических полиномов

На правах рукописи

Суходоев Михаил Сергеевич

КОРНЕВОЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ОСНОВЕ ВЕРШИННЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: промышленность)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск-2008

003452790

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский политехнический университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат технических наук, доцент Гайворонский Сергей Анатольевич

доктор технических наук Костюченко Сергей Владимирович

кандидат технических наук, доцент Бойченко Иван Валентинович

Институт космических и информационных технологий Сибирского федерального университета, г. Красноярск

Защита состоится 10 декабря 2008 г. в 14:30 на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.269.06 при Томском политехническом университете по адресу: 634034, г. Томск, ул. Советская, 84, институт «Кибернетический центр» ТПУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научно-технической библиотеке Томского политехнического университета по адресу: 634034, г. Томск, ул. Белинского, 55.

Автореферат разослан « ?» ноября 2008 г.

Ученый секретарь Совета

к. т. н., доцент

М. А. Сонькин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Практически все реальные системы автоматического управления содержат интервапьно-неопределенные параметры. Их интервалыюсть обусловлена неточным знанием параметров или их изменением в процессе эксплуатации систем в заданных диапазонах по заранее неизвестным законам. Системы с подобными параметрами получили название интервальных систем (ИС).

Одним из важных направлений современной теории автоматического управления является разработка методов анализа робастной устойчивости и робастного качества ИС. Под робастной устойчивостью понимают сохранение системой устойчивости при любых значениях ее интервальных параметров. Анализ робастного качества ИС предусматривает определение наихудших показателей качества системы при изменении интервальных параметров в заданных диапазонах. Представляет интерес также задача параметрического синтеза линейных регуляторов, гарантирующих в ИС заданное робастное качество управления.

Основополагающие результаты в области анализа и синтеза робастных систем принадлежат ведущим отечественным (Цыпкин Я.З., Харитонов ВЛ., Поляк Б.Т., Мееров М.В., Бесекерский В.А., Первозванский В.А., Римский Г.В. и др.) и зарубежным (Soh Y.C., Barmish B.R., Bhattacharyya S.P., Anderson B.D., Ackerman J., Kokotovic P.V. и др.) ученым. Наряду с теоретическими исследованиями большое внимание уделяется также разработке пакетов прикладных программ, дающих проектировщику эффективный инструмент для решения указанных задач. Для этого главным образом используется получившая широкое распространение программная среда MatLab.

В настоящее время для анализа робастной устойчивости разработаны необходимые и достаточные условия, основанные на применении алгебраических и частотных методов. При этом значительно меньше внимания уделяется использованию корневых методов, которые могут быть достаточно эффективны не только для анализа робастной устойчивости, но также и для исследования робастного качества ИС. Анализ робастного качества при корневом подходе предусматривает определение таких корневых показателей, как минимальная степень устойчивости (робастная степень устойчивости) и максимальная колебательность (робастная колебательность) системы, которые возможны в ИС при изменениях ее интервальных параметров в заданных пределах.

Задачей параметрического синтеза для ИС широко используемых в инженерной практике линейных регуляторов является нахождение таких их настроек, которые обеспечивают гарантированные показатели качества ИС. Для этого предлагается в зависимости от желаемого робастного качества включать в ИС один из основных типов линейных регуляторов: пропорциональный (П), пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интегрально-

дифференциальный (ПИД). Задача параметрического синтеза линейных регуляторов при использовании корневого подхода сводится к расположению областей локализации корней характеристического полинома ИС в желаемых областях комплексной плоскости.

Для анализа робастного качества ИС и синтеза для нее линейных регуляторов на основе корневого подхода целесообразно использовать робастное расширение известного метода корневого годографа. Его результатом является многопараметрический интервальный корневой годограф, получаемый при отображении параметрического многогранника ИС на комплексную плоскость корней. Вершины данного многогранника образованы минимальными и максимальными значениями интервальных параметров системы. Использование свойств отображения этих вершин значительно облегчает решение задач анализа и синтеза ИС.

Для оценки результатов синтеза регуляторов ИС желательно перейти от корневых показателей качества к прямым показателям, определяемым по графикам переходных процессов. В частности, для реальных систем управления важным показателем является перерегулирование. Основным фактором, влияющим на него, является взаимное расположение областей локализации полюсов и нулей передаточной функции ИС.

Важным с практической точки зрения является доведение разрабатываемых алгоритмов анализа и синтеза до программной реализации на ЭВМ, позволяющей проектировщику быстро и эффективно исследовать ИС. Для этого может быть использована программная среда МаЙаЬ, которая широко применяется при решении задач теории управления, включая ее робастное расширение.

Целью работы является разработка методик анализа и синтеза систем автоматического управления с интервальной и аффинной неопределенностями с применением робастного расширения корневого метода для решения следующих задач:

1. формирование набора вершинных характеристических полиномов, позволяющих проводить анализ робастного качества ИС с интервальной неопределенностью;

2. формирование граничного реберного маршрута для анализа робастного качества ИС с аффинной неопределенностью;

3. разработка методик интервально-параметрического синтеза П-, ПИ-регуляторов для ИС с интервальной неопределенностью на основе желаемого расположения областей локализации полюсов системы;

4. разработка методики интервально-параметрического синтеза ПИД-регулятора, обеспечивающего апериодический вид переходного процесса в ИС с интервальной неопределенностью на основе желаемого расположения областей локализации полюсов системы;

5. разработка методики коррекции желаемой области локализации полюсов ИС для обеспечения требуемых прямых показателей качества системы на основе заданных областей расположения нулей ИС.

Методы исследования. При решении поставленных задач применялись разделы интервальной математики, теория устойчивости и робастное расширение метода корневого годографа. Для экспериментальных исследований синтезируемых систем, свойств интервальных полиномов, моделей управления и режимов их работы использовалась среда \1atlab.

Научную новизну работы определяют:

1. методики анализа робастного качества ИС с интервальной и аффинной неопределенностями на основе выбора вершинных характеристических полиномов;

2. методики интервально-параметрического синтеза П- и ПИ- регуляторов, обеспечивающих гарантированные корневые показатели качества ИС при любых значениях ее интервальных параметров;

3. методики интервально-параметрического синтеза ПИД-регулятора обеспечивающего апериодический вид переходного процесса при любых значениях интервальных параметров ИС;

4. методики коррекции желаемой области расположения полюсов ИС с учетом расположения нулей для обеспечения гарантированных прямых показателей качества системы.

Практическую ценность работы составляют:

1. разработанные в среде МаиаЬ на основе полученных алгоритмов прикладные программы анализа робастного качества ИС;

2. разработанные в среде \latlab на основе полученных алгоритмов прикладные программы параметрического синтеза линейных П-, ПИ-, ПИД-регуляторов для ИС, гарантирующих робастное качество управления;

3. разработанный пакет прикладных программ 11А818, рассчитанный на инженерный уровень использования, что делает его доступным средством для решения практических задач управления в ИС, а также обучения студентов соответствующих специальностей;

4. установленное взаимное влияние нулей и полюсов ИС на ее перерегулирование и возможность получения его заданного значения на основе коррекции области расположения полюсов ИС.

Внедрение работы. Результаты исследований и разработок, описанных в диссертационной работе, использованы в учебном процессе кафедры автоматики и компьютерных систем Томского политехнического университета при выполнении студентами курсового и дипломного проектирования.

На основе разработанных в диссертации методик выполнено проектирование системы автоматического регулирования уровнем жидкости в барабане котлоагрегата ДКВР-Ю-13 в МП УК «ЖКХ Самусь» (г. Томск).

Практическое использование результатов диссертационных исследований подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. III, V и VI Всероссийских научно-практическая конференций студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии», г. Томск, 2005-2008 гг.;

2. XI, XII и XIII Международных научно-практическая конференций студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», г. Томск, 2005-2007 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, включая 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 118 наименований, содержит 131 печатную страницу основного текста, 59 рисунков и 6 таблиц.

На защиту выносятся следующие положения:

1. правило формирования набора вершинных характеристических полиномов, определяющих локализацию полюсов ИС с интервальной неопределенностью в заданном секторе;

2. правило формирования набора вершинных характеристических полиномов, определяющих локализацию полюсов ИС с интервальной неопределенностью в заданном усеченном секторе;

3. правило формирования реберного маршрута ИС с аффинной неопределенностью, позволяющего проводить анализ робастного качества системы;

4. методики интервально-параметрического синтеза П-, ПИ- регуляторов, обеспечивающих гарантированные корневые показатели качества ИС при любых значениях ее интервальных параметров;

5. методика интервально-параметрического синтеза ПИД-регулятора, обеспечивающего апериодический вид переходного процесса при любых значениях интервальных параметров ИС;

6. методика коррекции желаемой области расположения полюсов ИС с учетом расположения нулей для обеспечения гарантированных прямых показателей качества системы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе обзора современного состояния теории автоматического управления раскрыта актуальность решения задач анализа робастного качества (определения минимальной степени устойчивости и максимальной колебательности) систем с интервалыю-неопределенными параметрами и задач параметрического синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих гарантированные показатели качества функционирования ИС. Рассмотрено четыре известных типа неопределенностей характеристического полинома ИС: интервальная, аффинная, полилинейная и полиномиальная. Дальнейшие исследования в работе проводятся для ИС с двумя типами неопределенности: интервальной и аффинной, учитывая, что если ИС имеет другие типы неопределенности, то их можно привести к аффинной или интервальной на основе правил интервальной математики.

Проведен обзор существующих методов анализа и синтеза ИС для интервальной и аффинной неопределенностей, определены их достоинства и недостатки. Для дальнейшего исследования ИС обоснованно выбран корневой подход. Описаны области локализации корней интервального характеристического полнома (ИХП), соответствующие желаемым робастным показателям качества (рисунок 1). На рисунке 1а желаемая область Г ограничена лучами ОА и ОС, задающими максимально допустимую колебательность ИС. На рисунке 16 область Г ограничена ломаной линией АВСБ, задающей кроме максимально допустимой колебательности также и минимально допустимую степень устойчивости ИС. Представляет интерес также расположение корней ИХП, при котором гарантируется апериодический характер переходного процесса ИС. Для этого необходимо на рисунке 16 правее области Г иметь отрезок на вещественной оси, где должен локализовываться доминирующий вещественный полюс ИС.

с

а) б)

Рисунок 1 - Желаемые области расположения полюсов интервальной системы

Во введении также рассмотрены существующие прикладные программные пакеты для решения поставленных задач на ЭВМ.

В первой главе рассматривается отображение параметрического многогранника интервального полинома на корневую плоскость. Вводятся основные понятия и обозначения, применяемые при указанном отображении. Так, образами ребер ^ многогранника являются реберные ветви а образами его вершин У) - корневые узлы и, (рисунок 2). Результатом такого отображения является многопараметрический интервальных корневой годограф.

Показано, что корневые показатели качества для неопределенности интервального типа определяются вершинами ИХП, а для неопределенности аффинного типа - его ребрами.

Сделан вывод о том, что реберные ветви многопараметрического интервального корневого годографа могут входить в состав границы области локализации корня как полностью, так и частично, причем в последнем случае они пересекаются в особых корневых узлах и . Определены условия, позволяющие заранее знать о возможности наличия и* на границах областей локализации полюсов ИС. Данное свойство границ необходимо учитывать при нахождении реберного маршрута параметрического многогранника (набора ребер, образы которых формируют границы корневых областей).

Установлено, что в случае интервальной неопределенности и" располагаются на особых лучах, проведенных во втором квадранте из начала

ТС

координат корневой плоскости под углами <р = л-^.—|<-у| = 3,4,5..., где /,} —

индексы интервальных коэффициентов ИХП, образующих соответствующую грань параметрического многогранника (рисунок 3).

1т

а2

V,

V*

Х7Рт Уз

V*

аг

Рисунок 3 - Отображение грани параметрического многогранника с особой

прямой

Для случая аффинной неопределенности приведена методика проверки плоскостей граней параметрического многогранника на наличие V . Она основана на решении системы уравнений, образованных из вещественных и мнимых частей полиномов при интервальных параметрах ИС.

Во второй главе определяются условия принадлежности корневого узла границе области локализации полюсов ИС. Для этого введены в рассмотрение углы выхода Л5/ из комплексного узла , которые обозначены через О/. Их можно найти из уравнения фаз, записанного для узла ич. Если вершинный ИХП /^(¿г) в общем случае имеет степень п, а полином при интервальном

параметре степень г, тогда в/ при увеличении Д7] находится по формуле

п I п г

©; = 180° - £04 + ]Г©;, а при уменьшении Л7|: ©? = где 0, и

0" - углы между вещественной осью и векторами, направленными из узла 1!ч

ДТ • А (л)

соответственно к к-ому полюсу и к /-ому нулю функции IV (Д= — '.

Если расположить все углы выхода из вершины д в порядке возрастания, то условие принадлежности корневого узла границе имеет ввд |©я -©,| < 180°.

Показано, что для нахождения реберного маршрута параметрического многогранника ИС с рассматриваемыми типами неопределенностей следует определить углы выхода всех реберных ветвей интервального корневого годографа из любого граничного корневого узла. При этом установлено, что если в области отображения параметрического многогранника нет V, то последовательность реберных ветвей, ограничивающих область локализации

комплексного корня, будет соответствовать последовательности их углов выхода (в порядке убывания или возрастания) из граничного корневого узла. В этом случае реберный маршрут определяется последовательным соединением соответствующих ребер параметрического многогранника.

Если в области отображения какой-либо грани параметрического многогранника возможно наличие особых корневых узлов и*, то при движении по реберному маршруту необходимо полностью отображать все ребра этой грани. В этом случае реберный маршрут определяется последовательно-параллельным соединением соответствующих ребер параметрического многогранника. Показано, что реберный маршрут является единственным для построения областей локализации всех корней И С.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что, по сравнению с реберной теоремой, требующей отображения всех ребер параметрического многогранника, применение разработанных алгоритмов нахождения реберных маршрутов значительно упрощает задачу анализа и синтеза робастных систем.

Рассмотрен частный случай определения областей локализации полюсов ИС

т

с аффинной неопределенностью, когда ИХП имеет вид: О(л-) = + (5))>

/~0

к 1

где ВОО = Х(А/)> Л(*) = Х(я,./)> Т1тп<Т,<Т1тх. В этом случае нули

/=0 о

передаточной функции Ж'(Л^,.?) =—' ' будут располагаться на вещественной оси (рисунок 4).

Доказано, что если нули образуют последовательность 5, >х2 >...>«„, то ей будет соответствовать последовательность углов выхода 0" > >... > &"„ реберных ветвей из вершины д при изменениях интервальных параметров ТХ,Т2,...,ТИ. Данная последовательность пределов интервальных параметров будет соответствовать граничной вершине. Для нахождения всего набора граничных вершин разработана методика, основанная на построении векторной

г

круговой диаграммы по формулам: 0/=;г + ^0" при увеличении А7] и

/=1

ПРИ уменьшении AT,. При этом диаграмма строится для всех

м

возможных наборов интервальных параметров. Пример такой диаграммы приведен на рисунке 5, а соответствующий ему реберный маршрут может быть сформирован по граничным вершинам, представленным в таблице 1.

Определяя из диаграммы все наборы из т векторов, лежащие в угле ISO0, можно получить 2т граничных вершин, задающих минимальный реберный маршрут для ИС.

В результате проведенных исследований установлено, что для анализа робастного качества ИС с аффинным типом ИХП достаточно отобразить минимальный граничный реберный маршрут на корневую плоскость и по его отображению определить корневые оценки качества ИС.

Далее показано, что в случае интервальной неопределенности для анализа робастного качества ИХП достаточно рассматривать корневые оценки качества ИС только в вершинных полиномах параметрического многогранника, отображающихся на границу областей локализации. Для этого разработано правило формирования искомого набора вершин на основе построения векторных круговых диаграмм по следующим формулам: 0' =n + iQ0 при увеличении а, и ©f=/0o при уменьшении а,, где 0О - угол между вещественной осью и вектором, направленным из Uq к i нулям, имеющим одинаковые координаты (0; /0).

Таблица 1 — Набор граничных вершин

Рисунок 5 - Круговая векторная диаграмма

Номер вершины

Координаты вершины

7J Тг

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

То Tt г,|

_ _ ~ к! т\тг

il S £

Т.;

%

Й Ъ.

"1

То Ту ы

|£о | Ъ. ъ. м

Щ Ъ. Их т,

Т 'о И N %

Установлено, что при определении полного набора проверочных вершинных полиномов следует учитывать, что реберные ветви могут входить в состав границ корневых областей как полностью, так и частично, пересекаясь в определенных точках. Поэтому векторные диаграммы необходимо строить для всех секторов, располагающихся между особыми лучами, выходящих под

углами п к* ^ = 0,1,2,...,«-2, на которых возможно наличие точек

пересечения реберных ветвей.

Приведены примеры, иллюстрирующие нахождение реберных маршрутов и определение робастного качества для систем с интервальной и аффинной неопределенностями, которые наглядно иллюстрируют работоспособность и эффективность разработанных методик анализа относительной робастной устойчивости ИС.

В третьей главе для ИС, структура которой показана на рисунке б, разработаны методики параметрического синтеза типовых линейных регуляторов (П, ПИ и ПИД), гарантирующих в системе робастные показатели качества.

И

> г

Рисунок б - Структура интервальной системы

Интервальный объект управления имеет передаточную функцию

= где

"(Я) /=о

Для П-регулятора с передаточной функцией (УДз) = К разработан алгоритм определения интервалов параметра К , при котором все полюсы ИС располагаются в заданной области Г, представленной на рисунке 1 б. Алгоритм состоит из следующих этапов:

1. Приведение ИХП ИС к виду Др) = Ф(р)+КУ(р) = 0, где Ф(л) = ¿(¿/,5),

(«О

р) = 8т,0<т<п,К-варьируемый параметр регулятора.

2. Определение возможных граничных вершин ИХП Рт, отображающихся на границу области Г (вида, показанного на рисунке 1а или 16).

3. Определение для каждой найденной вершины значений варьируемого параметра К, при которых соответствующая ветвь корневого годографа пересекает границу Г.

4. Определение для каждой граничной вершины интервалов К, для которых ветви корневого годографа будут находится внутри области Г.

5. Определение пересечения найденных интервалов К, при которых корни полинома располагаются в заданной области Г. Для реализации второго этапа следует воспользоваться разработанной методикой определения набора граничных вершин на основе построения векторных круговых диаграмм.

При выполнении третьего этапа решения поставленной задачи предлагается использовать уравнение корневого годографа Теодорчика-Эванса (КГТЭ):

F(<^,<a)P(<S,ю)-E(<5,ío)Д(<5,ю) = 0 (1)

где £(£,<») = 11е(Ф(р)), =

= И(3,а>) = 1т(Ч>(р)),

б и со - вещественные и мнимые части корня, принадлежащего КГТЭ. В результате подстановки в (1) уравнения границ Г и координаты проверочной граничной вершины, определяются значения со, при которых происходит пересечение реберной ветви с границей Г.

Для дальнейшего нахождения значений К необходимо воспользоваться выражением:

к __ Е(5,со) • Г(3,со) + а>) • Л(Л,а>)

Рг (8, со) + 1?(д,а>) ' 1

В результате подстановки в (2) ранее полученных действительных значений со определяются значения К, при которых происходит пересечение реберной ветви с границей области Г. Данная процедура повторяется для всех граничных вершин.

На четвертом этапе подстановкой значений К из найденных интервалов определяются интервалы К, при которых корни полинома лежат внутри Г.

На пятом этапе методом пересечения находятся интервалы К, удовлетворяющие каждой из возможных граничных вершин.

Если в результате синтеза П-регулятора не обеспечивается требуемое робастное качество ИС, то следует выбрать ПИ-регулятор с передаточной

функцией IVг О) = + ? где К„ - настройки регулятора.

Параметрический синтез ПИ-регулятора проводится на основе ИХП вида

{Ка+К„-з)-А{*)+я-В(з) = 0, (3)

*

Уравнение (3) приводится к виду £ с, • У = 0, где коэффициенты с, являются

1=0

функциями интервальных параметров объекта управления и настроек регулятора. При этом предел коэффициента с, соответствует пределу коэффициента Параметрический синтез ПИ-регулятора основан на

следующем доказанном утверждении.

Утверждение 1. Если интервальные коэффициенты полинома заданы чередующимися пределами с0с,с2с3..., начиная с максимального для с0, то

данный набор коэффициентов определяет вещественный корень, углы выхода корневых годографов из которого по всем интервальным коэффициентам составляют 180°.

Данное утверждение определяет вершину, задающую правую границу области Г на рисунке 16. Образом этой вершины является вещественный корень s*=a*, определяющий минимальную степень устойчивости ИС. Его значение а *, а также соответствующие ему значения чередующихся пределов коэффициентов Ь, подставляются в полином (3) и Ки выражается через Кп. В результате преобразований получается характеристическое уравнение {ки{кп,а*,ь1} + к„ = 0 с одним варьируемым

коэффициентом Кп.

Дальнейший параметрический синтез ПИ-регулятора предполагает определение интервала К„ по разработанной методике синтеза параметра П-регулятора. Из найденного интервала Кп необходимо выбрать его числовое значение и, подставив его в выражение Ки = найти второй

искомый параметр ПИ-регулятора.

Параметрический синтез ПИД-регулятора с передаточной функцией К. s 4 К. + К. s"^

Wp(s)=—----—, где Кп, Ки, Кд - настройки регулятора,

обеспечивающие апериодический вид переходного процесса ИС, проводится на основе ИХП вида

(K„+Kn-s+K„-s1)-A(s)+s-B(s)=0. (4)

ПИД-регулятор должен гарантировать расположение корней ИХП в области Г, показанной на рисунке 7. Она характеризуется доминантным расположением отрезка вещественного корня и локализацией остальных корней в желаемой области.

Уравнение (4) приводится к виду ¿с, - У =0. Синтез параметров ПИД-

1=0

регулятора основан на следующем доказанном утверждении.

Утверждение 2. Если интервальные коэффициенты уравнения

к I ~ ~

Xс, •.? =0 заданы чередующимися пределами с0с,с2с3..., начиная с

1=0 — —

минимального для с0, то данный набор коэффициентов определяет вещественный корень, углы выхода корневых годографов из которого по всем интервальным коэффициентам составляют 0°.

Данное утверждение вместе с утверждением 1 определяют вершины, отображающиеся на границы отрезка [аг,;«2] (рисунок 7) вещественного корня. В результате подстановки в (4) корней л*=а, и я** = аг, и соответствующих им чередующихся пределов Ь. находятся выражения для параметра Ки регулятора, из которых после несложных преобразований определяются зависимости параметров Ки от Кд и Ки от Кп.

В результате получается характеристическое уравнение

= где Ь, -

граничные значения коэффициентов полинома В(х). Оно зависит только от одного варьируемого коэффициента Кд.

Дальнейший параметрический синтез ПИД-регулятора предполагает определение интервала Кд по разработанной методике синтеза параметра П-

регулятора для заданной области Г. Из найденного интервала Кд выбирается его числовое значение и на основании выражений Кп = /^Кд>а*,а и

Ки = /(кд,а*,а**,Ь^ находятся остальные искомые параметры К„ и Кп ПИД-регулятора.

В главе 3 также проведены исследования влияния нулей передаточной функции ИС на такой прямой показатель качества, как перерегулирование. Перерегулирование системы автоматического управления зависит от локализации полюсов ИС и расположения ее нулей. В результате экспериментальных расчетов установлено, что наихудшие показатели перерегулирования при неизменных значениях полюсов будут при нулях, приближающихся к началу координат комплексной плоскости. При их удалении от начала координат перерегулирование будет уменьшаться.

После параметрического синтеза линейного регулятора для учета взаимного влияния нулей и полюсов ИС предлагается проводить проверку качества замкнутой ИС и, если это необходимо, вносить изменения в желаемую область Г. Для реализации этой процедуры разработана методика, основанная на построении линий уровня, характеризующих перерегулирование системы автоматического регулирования в зависимости от изменения положений

доминирующей пары комплексных полюсов при заданных нулях и фиксированных остальных полюсах в точках с минимальной степенью устойчивости и максимальной колебательностью.

В главе также приведены числовые примеры интервально-параметрического синтеза линейных П-, ПИ- и ПИД-регуляторов, построения областей локализации полюсов ИС с синтезированными регуляторами и соответствующие им переходные процессы. Примеры наглядно иллюстрируют работоспособность и эффективность разработанных методик синтеза линейных регуляторов различных типов, обеспечивающих гарантированное робасгное качество ИС.

В четвертой главе приведено описание программной среды MATLAB и предложено математическое представление границ интервальных параметров ИС для решения рассматриваемых задач на ЭВМ. В результате программной реализации разработанных алгоритмов анализа и синтеза ИС разработан пакет прикладных программ Robust Analysis and Syntheses of the Interval Systems (RASIS), содержащий общие модули, а также модули для анализа и синтеза ИС в среде MATLAB.

Использование RASIS позволяет проектировщику производить следующие виды исследований ИС.

Анализ показателей качества систем с интервальными параметрами:

1) анализ принадлежности корней ИХП заданному сектору;

2) анализ принадлежности корней ИХП заданному усеченному сектору;

3) определение максимальной колебательности и минимальной степени устойчивости интервальной САУ;

4) построение переходных процессов интервальной САУ;

5) построение многопараметрического интервального корневого годографа, Параметрический синтез линейных регуляторов ИС:

1) определение максимальных интервалов варьируемого коэффициента, обеспечивающих секторную устойчивость ИХП;

2) интервально-параметрический синтез П-регулятора;

3) интервально-параметрический синтез ПИ-регулятора;

4) интервально-параметрический синтез ПИД-регулятора.

Пакет прикладных программ RASIS имеет удобный и универсальный командный интерфейс, позволяющий инженеру-проектировщику в диалоговом интерактивном режиме проводить необходимые исследования ИС. Работоспособность пакета RASIS проверена на числовых примерах при анализе ИС и интервально-параметрическом синтезе для нее различных типов линейных регуляторов. Пример анализа робастного качества интервальной системы с использованием RASIS показан на рисунке 8.

) Figuictb 1 ;, ■";.. ......_

9e вя Цен Insert Ipob Hjndqw t)i*>

.3I-1-1_—_-1-1--—J •

•G -5 4 Э -2 -1 0

i':' t-ki' ■■ S'S' 'тк,,. .............................................................................................—.........—..................■.........

Рисунок 8 - Определение робастного качества ИС

В пятой главе рассматривается применение разработанных методик анализа ИС и синтеза линейного ПИД-регулятора системы автоматического управления уровнем жидкости в барабане котлоагрегата ДКВР-10-13 ГМ. Приведено описание физических процессов котлоагрегата, на основании которого построена математическая модель, представленная на рисунке 9, где К, = 0,5, Г, =10, Тм = 2, Кк= 1, Тк = 188,4, Кн=5, ^ =50, К„-*+К„+Кд-52

" шщ ) ~ ■

Рисунок 9 - Структура системы автоматического управления уровнем жидкости в барабане котлоагрегата ДКВР-10-13 ГМ

Объект управления имеет следующие интервальные параметры:

- Те - постоянная времени барабана котлоагрегата (может увеличиться на 1% из-за появления накипи и нагара на стенках барабана котлоагрегата);

- ,7] — соответственно скорость «набухания» и постоянная времени «набухания» (могут изменяться на 20%);

- Тв - постоянная времени трубопровода (может увеличиться на 5%).

Автоматическая система регулирования питания барабанного котла должна обеспечить удержание уровня воды в допустимых пределах:

1. при отсутствии резких возмущений по нагрузке максимально допустимые отклонения по уровню не должны превышать ±20 мм;

2. при скачкообразном возмущении по нагрузке на 10% максимально допустимые отклонения по уровню не должны превышать ±50 мм;

3. при нормальном стационарном режиме работы котла число включений регулятора не должно превышать шести в минуту.

В результате преобразований получена структурная схема линейной ИС автоматического управления уровнем воды в барабане котлоагрегата, показанная на рисунке 10, где приведенный объект управления имеет следующие интервальные параметры: а} =[15072; 23975,78], а2 =[7912,8;11816,64], а, =[188,4;190,28].

Расход пара Уровень воды

пид- регулятор 1-693,6' 1

а, + аг -л2 • ^

Рисунок 10 - Приведенная структурная схема интервальной системы

В разработанном ППП 11А815 был проведен синтез параметров ПИД-регулятора для локализации полюсов рассматриваемой системы в области Г, показанной на рисунке 7 с а, =-0,001, а2 =-0,0012, а3 = -0,0013 и <р = 45°. В результате были получены следующие настройки П ИД -регулятора: К, =0,175, Кк =0,0001, Кл =5,87. Командное окно МаЙаЬ с фрагментом

выполнения процедуры синтеза ПИД-регулятора для рассматриваемой системы показано на рисунке 11.

To get st«tod, setect MATLAgHoto or Q^mos from the Help menu.

Рассмотрим интервал от 218.2432 до Inf - гоэъмем точку 219.2432 Корни при этой точке: 12.1923 0.0014 -О.0013 -0.0010

О 13.1404

Номинальное значение Td *» 5.8658 Harteинальное значение Td = 7.3446 Вариантк настроек регулятора: Td-5.8658 Кр-0.1750 Ti-0.0001 Td-6.6052 Кра0.1767 Ti-0.0001 Td-7.3446 Кр-О.1783 Ti-O.OOOl Определим особые лучи: 135.00 180.00

Определин возможные крайние вершины для заданного угла устойчивости (45.00 градусов (0.79 радиан))i 1101

1001 i.

МйММ ■ Ш

Рисунок 11 - Процесс синтеза ГЩЦ-регулятора в ППП ИА818

Проведен анализ системы с полученными настройками ПИД-регулятора путем построения переходных процессов в граничных вершинах параметрического многогранника (а}аг, а3а2а0, аъа2а0, а3ага09 а3а2а09

с^а^) (рисунок 12).

'Уровень, мм

-3 Ц

Рисунок 12 - Переходные процессы САУ в граничных вершинах параметрического многогранника системы

Из рисунка видно, что все переходные процессы замкнутой системы автоматического управления имеют апериодический вид с заданными

показателями качества, а именно при скачкообразном изменении нагрузки (расхода пара) на 10% от максимально допустимого, отклонения уровня регулируемой величины (воды в барабане котлоагрегата) не превышают ±5 мм.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Представленная диссертационная работа описывает результаты исследований, направленных на разработку алгоритмов анализа и параметрического синтеза линейных регуляторов систем управления с интервальными параметрами. Сформулируем основные результаты диссертации.

1) На основе свойств отображения параметрического многогранника ИС на корневую плоскость разработаны методики определения его граничных вершинных характеристических полиномов и граничного реберного маршрута;

2) На основе определения вершинных характеристических полиномов для ИС с интервальной и аффинной неопределенностями разработаны методики анализа робастного качества системы;

3) На основе полученных фазовых соотношений для граничных узлов областей локализации полюсов ИС с интервальной неопределенностью разработаны:

- методика интервально-параметрического синтеза П-, ПИ-регуляторов, обеспечивающих гарантированное робастное качество ИС при любых значениях ее интервальных параметров на основе желаемого расположения областей локализации полюсов ИС;

- методика интервально-параметрического синтеза ПИД-регулятора, гарантирующего апериодический вид переходного процесса в ИС на основе желаемого расположения областей локализации полюсов ИС.

4) Разработана методика коррекции области расположения полюсов ИС с учетом нулей ИС для обеспечения гарантированного перерегулирования в системе.

5) В среде MATLAB разработан пакет прикладных программ RASIS, позволяющий проектировщику в интерактивном режиме проводить анализ робастного качества и интервально-параметрический синтез линейных П-, ПИ-, ПИД-регуляторов для систем с интервальными параметрами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Суходоев, М.С. Анализ и синтез робастных систем автоматического

управления в среде Matlab // М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, C.B.

Замятин II Известия Томского политехнического университета, 2008. -

т.312 -№ 5. - С.61-65.

2. Суходоев, М.С. Интервально-параметрический синтез робастной системы с гарантированной секторной устойчивостью. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Молодежь и современные информационные технологии: Сборник трудов V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 27 февраля - 1 марта 2007. - Томск: ТПУ, 2007. - С.333-334.

3. Суходоев, М.С. Интервально-параметрический синтез робастной системы с гарантированными корневыми показателями качества. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Современные техника и технологии: Труды XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Томск, 26—30 марта 2007. - Томск: ТПУ, 2007. -С.447—449.

4. Суходоев М.С. Исследование интервальных полиномов на основе свойств критерия Рауса. / М.С. Суходоев, C.B. Замятин, C.B. Ефимов И Современные техника и технологии: Труды XII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых, - Томск, 27-31 марта 2006. - Томск: ТПУ, 2006. - С.61-63.

5. Суходоев, М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом ее нулей / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Известия Томского политехнического университета, 2007. - т.311 - № 5. - С. 57-61.

6. Суходоев М.С. Пакет прикладных программ для анализа и синтеза интервальных систем // Молодежь и современные информационные технологии: Сборник трудов VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Томск, 26-28 февраля 2008. - Томск: СПб Графике, 2008. - С.377-378.

7. Суходоев, М.С. Параметрический синтез линейного регулятора интервальной системы с гарантированными корневыми показателями качества / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, C.B. Замятин И Известия Томского политехнического университета, 2007. -т.311 -№ 5. - С. 10-13.

8. Суходоев М.С. Размещение областей локализации доминирующих полюсов интервальной системы автоматического управления в заданном усеченном секторе / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, C.B. Замятин // Известия Томского политехнического университета, 2007. - т.311 - № 5. -С.5-9.

9. Суходоев, М.С. Условия робастной устойчивости интервального полинома. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Молодежь и современные информационные технологии: Сборник трудов III Всероссийской научно-практической конференции студентов. Томск, 1517 февраля 2005 г. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - С.216-217.

10. Суходоев, М.С. Условия робастной устойчивости полинома с аффинной неопределенностью. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // - С.266-268.

Подписано к печати 06.11.2008. Тираж 125 экз. Кол-во стр. 21. Заказ № 119 Бумага офсетная. Формат А-5. Печать RISO. Отпечатано в типографии ООО «РауШ мбх» Лицензия Серия ПД № 12-0092 от 03.05.2001г. 634034, г. Томск, ул. Усова 7, ком. 046 тел. (3822) 56-44-54

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Отображение параметрического многогранника интервального полинома на корневую плоскость.

1.1. Основные понятия и обозначения при отображении параметрического многогранника.

1.2. Свойства отображения параметрического многогранника при интервальной неопределенности.

1.3. Свойства отображения параметрического многогранника при аффинной неопределенности.

1.4. Основные результаты.

ГЛАВА 2. Анализ робастного качества интервальных систем автоматического управления.

2.1. Определение граничных вершин при аффинной неопределенности.

2.2. Реберный анализ робастного качества системы при аффинной неопределенности.

2.3. Определение граничных вершин при интервальной неопределенности.

2.4. Вершинный анализ робастного качества системы при интервальной неопределенности.

2.5. Примеры анализа качества интервальных систем.

2.6. Основные результаты.

ГЛАВА 3. Параметрический синтез регуляторов интервальных систем автоматического управления.

3.1. Интервально-параметрический синтез П-регулятора.

3.2. Интервально-параметрический синтез ПИ-регулятора.

3.3. Интервально-параметрический синтез ПИД-регулятора, гарантирующего апериодический переходный процесс интервальной системы

3.4. Влияние нулей замкнутой интервальной системы на качество переходного процесса.

3.5. Примеры синтеза.

ГЛАВА 4. Программная реализация алгоритмов анализа и синтеза интервальных систем.

4.1. Описание программной среды MATLAB.

4.2. Математическое представление границ интервальных коэффициентов в ППП RASIS.

4.3. Общие модули ППП RASIS.

4.4. Модули ППП RASIS для анализа и синтеза регуляторов интервальных систем.

4.5. Примеры использования ППП RASIS.

ГЛАВА 5. Исследование котельного агрегата ДКВР-10 с использованием ППП RASIS.

5.1. Описание котельного агрегата ДКВР-10.

5.2. Синтез ПИД-регулятора системы автоматического управления котлоагрегата ДКВР-10.

5.3. Анализ качества системы автоматического управления котлоагрегата ДКВР-10.

Практически все реальные системы автоматического управления содержат иптервально-неопределенные параметры. Их неопределенность обусловлена неточным знанием параметров или их изменением в процессе эксплуатации систем по заранее неизвестным законам. Если при этом известны диапазоны возможных значений постоянных параметров или пределы изменяющихся параметров, то в таких случаях говорят о параметрической интервальной неопределенности [1, 8, 88]. Системы с подобными параметрами получили название интервальных систем автоматического управления [721.

Первоначальной задачей исследования интервальных систем была проверка их робастной устойчивости, отвечающей па вопрос: устойчива или нет интервальная система при любых значениях интервально-неопределенных параметров. Интервальные параметры могут входить в коэффициенты интервального характеристического полинома (ИХП) различными способами, определяющими тип неопределенности полинома.

Пусть интервальный полином имеет вид

D(s,q) = an(q)sn+ an^(q)s"~x +. +ax(q)s + aQ(q), qePm, где параметры q изменяются в допустимом множестве Рт.

Существует 4 вида неопределенностей такого интервального полинома [1, 8, 88]: интервальная, аффинная, полилинейная и полиномиальная.

При интервальной неопределенности коэффициенты полинома являются иитервальпыми параметрами (например, q2s2 + qxs + qQ, qt е[q,min,qimax]).

При аффинной неопределенности коэффициенты полинома образованы суммой или разностью интервальных параметров (например, (q3 +q2)s3 + (q2 + qx)s2 + (q2 - 2q2 + 5qx)s + 10q2-1 qv qt e [?imin,tfimax ]).

При полилинейной неопределенности коэффициенты полинома линейно зависят от каждого параметра, если остальные параметры фиксированы (например, qlg2+g3)s3+(2q2q3+ql)s2+(9qlq3-3q2)s + q:q3-5q2, q. е [?,inin,^max]).

При полиномиальной неопределенности коэффициенты полинома зависят полиномиально хотя бы от одного параметра (например, s2+[2ql+3q21)s + \Qqv q, e[qlmiaiqimm]).

Интервальный полином называется робастно устойчивым, если он устойчив при всех q еРт. В данной ситуации нельзя непосредственно воспользоваться известными критериями устойчивости, так как множество Рт, вообще говоря, содержит бесконечно много элементов. Поэтому для решения этой задачи отечественными и зарубежными авторами были разработаны различные критерии. Ряд из них использует известную теорему B.JI. Харитонова [116], на основании которой для робастной устойчивости полинома D{s,q) с интервальной неопределенностью необходимо и достаточно, чтобы четыре специальным образом сформированных полинома Харитонова были устойчивы. Коэффициенты этих полиномов имеют предельные значения из заданных интервалов.

Теорема Харитонова имеет свою графическую форму, благодаря которой для установления робастной устойчивости достаточно проверить поведение лишь одного (а не четырех) годографов. Часто этот годограф называется годографом Цыпкипа-Поляка [93].

Для анализа робастной устойчивости в более сложной ситуации -аффинной неопределенности в ИХП, как правило, применяется реберная теорема. Она использует понятие реберного полинома, который соответствует ребру параметрического многогранника Рт, соединяющему две соседние вершины. Эти вершины, в свою очередь, образуют вершинные полиномы. В соответствии с реберной теоремой для робастной устойчивости

ИХП необходима и достаточна устойчивость всех реберных полиномов. Заметим, что реберная теорема позволяет эффективно проводить анализ робастпой устойчивости, лишь если число интервальных параметров сравнительно мало.

Однако для проектировщика систем автоматического управления важно не только проверять робастную устойчивость интервальной системы, но и анализировать ее региональную робастную устойчивость [66, 67, 68, 72, 81, 88, 91, 95, 110, 111], соответствующую определенному робастному качеству системы. Анализ робасгного качества ИС предусматривает определение наихудших показателей качества системы при изменении интервальных параметров в заданных диапазонах. В этом направлении до настоящего времени исследования интервальных систем велись преимущественно на основании сравнительно неконсервативпых достаточных условий региональной робастпой устойчивости [6, 7, 21, 73, 116]. При этом использовались, как правило, алгебраические и частотные методы. Так, например, в [89] разработаны условия попадания корней ИХП в заданный сектор комплексной плоскосш, основанные на достаточном алгебраическом критерии устойчивости Липатова-Соколова. Эти условия я? имеют вид ——— >£*, где at и at - границы интервала коэффициента at а,-\'а,+\ —

ИХП.

Задача анализа принадлежности корней ИХП сектору в левой полуплоскости решается также в [63]. Для этого в частотной области формируется 4 специальных вершинных полинома степени 2п, где п -порядок полинома, и проверяется их устойчивость. При этом количество вершинных полиномов, подлежащих проверке, не зависит от степени ИХП. Заметим, что разработанное в [63J условие региональной робастной устойчивости является достаточным и поэтому обладает определенной степенью консерватизма.

Наряду с консерватизмом, недостатками указанных выше методов является также трудность нахождения предельных отклонений параметров систем, при которых обеспечиваются заданные характеристики качества. Указанные методы не отвечают на вопросы: в каких пределах сохраняется устойчивость, как изменять параметры, чтобы обеспечить заданные характеристики системы. Поэтому актуальной является дальнейшая разработка методов исследования интервальных систем, характеризующихся большей точностью и, при этом, простотой применения.

В основу разработки таких методов предлагается положить корневой подход, использующий законы миграции корней характеристических полиномов интервальных систем [94-98]. При корневом подходе понятие региональной робастной устойчивости связано с различными вариантами расположения корней ИХП, соответствующими определенным сочетаниям интервальных параметров. При проектировании интервальной системы на основе корневого подхода основная задача состоит в обеспечении желаемого качества её функционирования при любых возможньгх значениях интервальных параметров, которое достигается гарантированным расположением корней в желаемой области.

Запишем интервальный характеристический полином с интервальной неопределенностью в виде • 7

СО = Д,™„ ^Д/тах» 0 где п - максимальная степень интервального характеристического полинома, at - интервальные коэффициенты.

Известно [5], что при интервальной и аффинной неопределенностях характеристических полиномов области отображения параметрического многогранника коэффициентов полинома ограничены образами его ребер, по которым можно определить корневые показатели качества интервальных систем. При этом границы областей локализации определяются не всеми ребрами, а только некоторыми, задающими минимальный реберный маршрут. Его нахождение для дальнейшего использования при анализе интервальных систем представляет определенный интерес.

Заметим, что при интервальной неопределенности ИХП, согласно [72, 118], можно перейти от анализа отображения ребер параметрического многогранника к анализу отображения только его вершин. Так, например, в [72] для проверки факта принадлежности корней ИХП заданной области предлагается проверить попадание в нее корней 2" вершинных полиномов, соответствующих всем вершинам многогранника Рт ИХП. Однако, и такой процесс, безусловно, оказывается весьма трудоемким и представляет интерес задача уменьшения числа проверяемых вершин.

Следует отметить, что при полилинейной и полиномиальной неопределенностях (в большей мере соответствующих реальным ситуациям в системах управления) границы областей локализации корней могут определяться также и внутренними точками параметрического многогранника, которые можно установить только его полным отображением на корневую плоскость, что достаточно затруднительно в плане практической реализации при большом числе интервальных коэффициентов. Поэтому в дальнейшем в работе предлагается рассматривать системы автоматического управления только с интервальной и аффинной неопределенностями их характеристических полиномов. При этом в случаях, когда ИХП интервальной системы имеет полиномиальную или полилинейную неопределенность, предлагается переходить от них к интервальной или аффинной неопределенности на основе правил интервальной арифметики, как этот делается в [72]. Заметим, что параметрический многогранник в случае интервальной неопределенности полинома образуется его интервальными коэффициентами, а в случае аффинной неопределенности - интервальными параметрами системы, линейно входящими в коэффициенты характеристического полинома.

Для получения заданных корневых показателей качества ИС необходимо корни ИХП замкнутой системы располагать на комплексной плоскости соответствующим образом. Обычно корневые оценки качества стационарных систем характеризуются следующими показателями: степенью устойчивости г] и колебательностью /л. Для робастных систем следует задавать максимально допустимую колебательность и минимально допустимую степень устойчивости. Задание первой заставляет ограничивать область Г расположения корней двумя лучами, которые составляют с вещественной осью угол cp-arctgfj. (рисунок 1).

Рисунок 1 - область локализации корней с заданной максимальной колебательностью

Задание минимально допустимой степени устойчивости требует ограничивать область Г расположения корней вертикальной прямой, проходящей параллельно мнимой оси па расстоянии rj (рисунок 2). i < Rc г |

Im ч 0 *

1

Рисунок 2 - область локализации корней с заданной минимальной степенью устойчивости

Для одновременного обеспечения максимально допустимой колебательности ср и минимально допустимой степени устойчивости /7 системы необходимо, чтобы корни характеристического полинома располагались левее вертикальной прямой, отстоящей от мнимой оси на расстоянии rj и внутри сектора с углом 2(р (рисунок 3).

Ломаную границу, показанную па рисунке 3 можно аппроксимировать левой ветвью гиперболы. При этом будем считать, что сектор формируется двумя асимптотами у~±—х, а угловой коэффициент асимптот а j = ±tg<p = ±—, где а и b - элементы гиперболы, описываемые уравнением а

2 2 X у —I. Полагая a = i], представим гиперболу на комплексной плоскости, a b как показано на рисунке 4.

Следует также отметить, что существуют системы автоматического управления, у которых требования к технологическому процессу не допускают множественных колебаний переходного процесса. ] 1оэтому представляет интерес также обеспечение апериодичности переходного процесса для интервальных систем. Подобная задача ставится и решается в [63, 93] на основе частотных критериев робастной устойчивости.

Апериодичным называется процесс, степень затухания которого находится в пределах от 0,55 до 1 (совершается менее одного колебания) [62]. Степень затухания переходного процесса характеризуется отношением амплитуд двух перерегулирований {последовательных колебаний одного знака). Числителем является амплитуда первого колебания. Колебательным является процесс, степень затухания которого меньше 0,55. Монотонным называется процесс, степень затухания которого больше 1.

Апериодический характер переходного процесса можно обеспечить доминантным расположением ближайшего к мнимой оси вещественного корня [62]. Для достижения заданного условия необходимо границы областей локализации корней интервального характеристического полинома расположить специальным образом, показанным на рисунке 5, где аъ<а%<ах. При этом на интервале [а,,а2] мигрирует один вещественный корень, а остальные корни должны располагаться в усеченном секторе ABCD, ограниченном углом 2(р и вертикальной прямой, проходящей через

Рисунок 5 - области локализации корней для обеспечения апериодического переходного процесса

Наряду с расположением корней ИХП (полюсов замкнутой интервальной системы) необходимо учитывать и расположение ее нулей, так как именно их взаимное расположение влияет на прямые характеристики переходного процесса системы: ггеререгулироваиие и время регулирования [105].

Вместе с задачей анализа интервальных систем, актуальной является также задача синтеза для них регуляторов [54]. В ряде работ, посвященных этому направлению, для решения задачи синтеза используется робастное расширение метода D-разбиения. Так, например, в [90] для обеспечения робастной устойчивости интервальной системы разработана методика определения ее настраиваемых параметров, основанная на применении прямоугольников Харитонова и метода D-разбиепия. В результате синтеза в плоскости настраиваемых параметров ИС строится граница D-разбиения, состоящая из прямоугольников Харитонова, и из полученной области робастной устойчивости выбирают значения синтезируемых параметров.

Однако проектировщику интервальной системы желательно не только обеспечить ее робастную устойчивость, но и гарантировать допустимые показатели качества. При использовании корневого подхода задача параметрического синтеза регуляторов сводится к расположению областей локализации корней характеристического полинома в желаемых областях комплексной плоскости.

Таким образом, для решения поставленных выше задач представляет интерес разработка на основе корневого подхода методов анализа робастного качества интервальных систем, а также методов параметрического синтеза линейных регуляторов, гарантирующих заданное качество управления. Указанные методики предлагается разрабатывать па основе свойств отображения области интервальных параметров (параметрического многогранника) на корневую плоскость. Для этого необходимо провести анализ отображения ребер и вершин параметрического многогранника и установить связь их образов с корневыми показателями качества (степень устойчивости и колебательность).

Для решения задачи обеспечения требуемого качества интервальных систем предлагается использовать линейные 1I-, ГГИ- или ПИД-законы управления, широко применяемые в промышленных контроллерах реальных систем автоматического управления.

Заметим, что проектировщику систем автоматического управления с интервальными параметрами нужен эффективный инструмент, позволяющий проводить анализ и синтез указанных систем. Для этого разрабатываемые методики следует алгоритмизировать и довести до программной реализации на ЭВМ. При этом предлагается использовать среду MatLab, широко применяемую в настоящее время в различных областях при решении прикладных задач. Пакет MatLab имеет простой; но достаточно гибкий входной язык программирования, позволяющий писать программы в традиционном виде, которые хранятся в обычных текстовых файлах. Широкий набор универсальных и весьма эффективных базовых функций, а также наличие специализированных библиотек пакета MatLab ставит его в разряд наиболее перспективных для исследовательских целей. Для эффективной работы с пакетом MatLab, уместны знания как технологии программирования, так и численных методов, так как пользователь может активно влиять на выбор метода решения.

Из известных разработанных программ в среде MatLab [52, 117| для исследования систем автоматического управления следует выделить программный пакет для анализа интервальных систем «АСИАС» [117], основанный на корневом подходе. Однако он имеет ряд недостатков, а именно: нет единой программы-оболочки анализа интервальных систем, отсутствует возможность параметрического синтеза линейных регуляторов с интервальной неопределенностью, отсутствует возможность интеграции используемых алгоритмов в созданный инженером пакетный сценарий. В связи с этим актуальна задача создания специализированного пакета прикладных программ для решения поставленных выше задач анализа и синтеза интервальных систем.

Научную новизну работы определяют:

- методики анализа робастного качества ИС с интервальной и аффинной неопределенностями на основе выбора вершинных характеристических полиномов;

- методики интервально-параметрического „синтеза Г1- и ПИ-регуляторов, обеспечивающих гарантированные корневые показатели качества ИС при любых значениях ее интервальных параметров;

- методики интервально-параметрического синтеза ПИД-регулятора обеспечивающего апериодический вид переходного процесса при любых значениях интервальных параметров ИС;

- методики коррекции желаемой области расположения полюсов ИС с учетом расположения нулей для обеспечения гарантированных прямых показателей качества системы.

Практическая ценность работы составляют:

- разработанные в среде Matlab на основе полученных алгоритмов прикладные программы анализа робастного качества ИС;

- разработанные в среде Matlab па основе полученных алгоритмов прикладные программы параметрического синтеза линейных Г1-, ПИ-, ПИД-регуляторов для ИС, гарантирующих робастное качество управления;

- разработанный пакет прикладных программ RASIS, рассчитанный на инженерный уровень использования, что делает его доступным средством для решения практических задач управления в ИС, а также обучения студентов соответствующих специальностей;

- установленное взаимное влияние нулей и полюсов ИС на ее перерегулирование и возможность получения его заданного значения на основе коррекции области расположения полюсов ИС.

Апробация работы.

Результаты проведенного исследования отражены в научных статьях, тезисах. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах:

- Ill, V и VI Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии», г. Томск, 2005-2008 гг.;

- XI, XII и XIII Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», г. Томск, 2005-2007 гг.

По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ и 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Суходоев, М.С. Анализ и синтез робастных систем автоматического управления в среде Matlab // М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, С.В. Замятин // Известия Томского политехнического университета, 2008. -т.312 - № 5. - С. 61-65.

2. Суходоев, М.С. Интервально-параметрический синтез робастной системы с гарантированной секторной устойчивостью. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Молодежь и современные информационные технологии: Сборник трудов V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 27 февраля - 1 марта 2007. - Томск: ТПУ, 2007. - С.333-334.

3. Суходоев, М.С. Интервально-параметрический синтез робастной системы с гарантированными корневыми показателями качества. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // Современные техника и технологии: Труды XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Томск, 26-30 марта 2007. -Томск: ТПУ, 2007. - С.447^149.

4. Сухо доев М.С. Исследование интервальных полиномов на основе свойств критерия Рауса. / М.С. Суходоев, С.В. Замятин, С.В. Ефимов // Современные техника и технологии: Труды XII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых, - Томск, 2731 марта 2006. - Томск: ТПУ, 2006. - С.61-63.

5. Суходоев, М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом ее пулей / М.С. Суходоев, С.А. Гайворопский // Известия Томского политехнического университета, 2007. - т.311 - № 5. - С. 57-61.

6. Суходоев М.С. Пакет прикладных программ для анализа и синтеза интервальных систем // Молодежь и современные информационные технологии: Сборник трудов VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых — Томск, 26-28 февраля 2008. - Томск: СПб Графике, 2008. - С.377-378.

7. Суходоев, М.С. Параметрический синтез линейного регулятора интервальной системы с гарантированными корневыми показателями качества / М.С. Суходоев, С.А. Гайворопский, С.В. Замятин // Известия Томского политехнического университета, 2007. — т.311 — № 5. - С. 1013.

8. Суходоев М.С. Размещение областей локализации доминирующих полюсов интервальной системы автоматического управления в заданном усеченном секторе / М.С. Суходоев, С.А. Гайворопский, С.В. Замятин // Известия Томского политехнического университета, 2007. - т.311 - № 5. - С.5-9.

9. Суходоев, М.С. Условия робастной устойчивости интервального полинома. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворопский // «Молодежь и современные информационные технологии» III Всероссийская научнопрактическая конференция студентов. Томск, 15—17 февраля 2005 г. -Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - с. 216-217. 10. Суходоев, М.С. Условия робастпой устойчивости полинома с аффинной неопределенностью. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворопский // Современные техника и технологии: Труды XI Международной научно-практической конференции студентов и молодых учёных. В 2 т. - Т. 2 — г. Томск, ТПУ, 28 марта - 1 апреля 2005 г. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. -С.266-268.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 118 наименований; содержит 131 печатную страницу основного текста, 59 рисунков и 6 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертационная работа описывает результаты исследований, направленных на разработку методов анализа и синтеза систем с интервальной и аффинной неопределенностями и их программную реализацию. В основе разработанных методик в работе используются робастное расширение метода корневого годографа, фазовые соотношения, алгоритмы реберной маршрутизации и уравнение Теодорчика-Эванса. Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Разработана методика формирования набора вершинных полиномов для анализа секторной устойчивости системы с интервальной неопределенностью.

2. Разработана методика формирования граничных вершин параметрического многогранника для анализа региональной устойчивости систем с интервальной неопределенностью.

3. Разработана методика формирования граничного реберного маршрута интервального характеристического полинома для определения областей локализации системы с аффинной неопределенностью.

4. Разработана методика интервальпо-параметрического синтеза линейных П- и ПИ- регуляторов с гарантированными минимальной степенью устойчивости и максимальной колебательностью для систем автоматического управления с интервальной неопределенностью.

5. Разработана методика интервальпо-параметрического синтеза ПИД-регуляторов, гарантирующего апериодический переходный процесс интервальной системы па основе доминантного расположения корней характеристического уравнения.

6. Разработана методика коррекции желаемой области локализации полюсов интервальной системы па основе областей расположения ее нулей с учетом желаемых прямых показателей качества САУ.

7. Разработан специализированный пакет прикладных программ RASIS в среде MatLab для анализа и синтеза систем автоматического управления с интервальной и аффинной неопределенностями. Результаты диссертационной работы применены при синтезе промышленных регуляторов, что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

1. Ackermann, J. Parameter space design of robust control systems / J. Ackermann // 1.EE Trans. On Autom. Control. 1980. Vol. 25. N 6. - P. 1058-1072.

2. Ackermann, J. Robust control: systems with uncertain physical parameters / J. Ackermann London: Springer-Verlag, 1993, — 406 p.

3. An, S. Robust stability of polynomials with nonlinear dependent coefficient perturbations / S. An , W. Liu // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control Orlando Florida USA, 2001 - P 1551-1556.

4. Arzelier, D. Robust D-stabilization of a polytope of matrices / D. Arzelier, D. Henrion, D. Peaucelle // International Journal of Control, 2002, Vol. 75, N 10,-P. 744-752.

5. Barlett, A.C. Root location of an entire polytope, of polynomials: it suffices to check the edges / A.C. Barlett, C.V. Ilollot, 11. Lin // Math: Contr., Signals. Syst., 1987, Vol. 1, №1. P. 61-71.

6. Barmish, B.R. The robust root locus / B.R. Barmish, R. Tempo // Automatica, 1990. Vol. 26, №2. P. 283-292.

7. Barmish, B.R. A generalization of Kharitonov's four polynomial concept for robust stability problems with linearly dependent coefficients perturbations / B.R. Barmish // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. Vol. 34. №2,-P. 157-165.

8. Bhattacharyya, S.P. Robust control: the parametric approach / S.P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L.H. Keel Prentice Hall, 1995.

9. Chang Y. H. Robust gamma stability of highly perturbed systems / Y.H. Chang, G.L. Wise // IEEE Proc. Control Theory Appl. N 2, 1998. P. 165175.

10. Chu E.K. Pole assignment for second-order systems / E.K. Chu // Mechanical systems and signal processing, 2002, N 1, P. 39-59.

11. Foo, Y.K. Root clustering of interval polynomials in the left sector / Y.K. Foo, Y.C. Soh // Syst. Control Letters. 1989. Vol. 13, P. 239-245.

12. Henrion, D. An LMI condition for robust stability of polynomial matrix polytopes / D. Henrion, D. Arzclier, D. Peaucelle, M. Sebek // IFAC Automatica, 2001, Vol. 37, P. 461-468.

13. Henrion, D. D-Stability of Polynomial Matrices / D. Henrion, O. Bachelier, M. Sebek // International Journal of Control, 2001, Vol. 74, N. 8, P. 845856.

14. Henrion, D. Ellipsoidal approximation of the stability domain of a polynomial / D. Henrion, D. Peaucelle, D. Arzclier, M. Sebek // IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, Vol. 48, N 12, P. 2255-2259.

15. Henrion, D. Positive polynomials and robust stabilization with fixed-order controllers / D. Henrion, M. Sebek, V. Kuccra // IEEE Transactions on Automatic Control, 2003 Vol. 48, No. 7, P. 1178-1186.

16. Henrion, D. Robust pole placement for second-order systems: An LMI approach / D. Henrion, M. Sebek, V. Kucera // Kybernetika, 2005, Vol. 41,N 1,-P. 1-14

17. Kawamura, T. Robust stability analysis of characteristic polynomials whose coefficients are polynomials of interval parameters / T. Kawamura, M. Shima // Journal of Mathematical System, Estimation and Control, № 4, 1996.-P. 1-12.

18. Keel, L.H. Robust stability and performance with fixed-order controllers / L.H. Keel, S.P. Bhattacharyya // Automatica 1999 N 35, P. 1717-1724.

19. Keel, L.H. Robust, fragile or optimal? / L.H. Keel, S.P. Bhattacharyya // IEEE transactions on automatic control, Vol. 42, N. 8, 1997, P. 1098-1105.

20. Maamri, N. Pole placement in a union of regions with prespecified subregion allocation / N. Maamri, O. Bachelier, D. Mehdi // Mathematics and Computers in Simulation, 2006, N 72 P. 38^16.

21. Markus, A. H. The Kharitonov theorem and its applications in symbolic mathematical computation / А.Ы. Markus, E. Kaltofen // Journal symbolic computation, 1997-P. 1-13.

22. Melnikov, U.S. Stabilization of undersea object situation, connected with ship by the rope / U.S. Melnikov, S.A. Gaivoronsky, S.V. Novokshonov // KORUS'99 III Russian-Korean international Symposium- Novosibirsk, Russia, 1999.-P. 68-70.

23. Nesenchuk, A.A. Root locus fields technique in the uncertain control systems synthesis / A.A. Nesenchuk // Proceedings of the 5th World Multiconference on Systems, Cybernetics and Informatics. -Orlando, FL, USA. 2001.-P. 298-303.

24. Pare, T. Algorithm for reduced order robust Hm control design / T. Pare, J. How. // Proceedings of the 38-th conference on decision and control, — Arizona, 1999-P. 1863-1868.

25. Rao, P. Robust tuning of power system stabilizers using QFT / P. Rao, I. Sen // IEEE transactions on control systems technology, 1999, Vol. 7, N. 4. -P. 478-486.

26. Rimsky, G.V. Root locus methods for robust control systems quality and stability investigations / G.V. Rimsky, A.A. Nesenchuk // Proceedings IF AC 13th Triennial World Congress. San Francisco, USA, 1996. - P. 469-474.

27. Sienel, W. Design and analysis of robust control systems in PARADISE / W. Sienel, J. Ackermann, T. Bunte // Proc. IF AC Symposium on Robust Control Design, Budapest, Hungary, 1997.

28. Sienel, W. Robust control goes PARADISE. / W. Sienel, J. Ackermann, D. Kaesbauer, T. Bunte // In Proc. EURACO Workshop on Control of Nonlinear System: Theory and Applications, — Algarve, Portugal, 1996. P. 129-138.

29. Soh, C.B. On the stability properties of polynomials with perturbed coefficients / C.B. Soh, C.S. Berger, K.P. Dabke // IEEE Trans. On Autom. Control. 1985. Vol 30. № 10. P. 1033-1036.

30. Soh, Y.C. Generalized edge theorem / Y.C. Soh, Y.K. Foo // Systems & Control Letters, 1989, Vol. 12, N 3, P. 219-224.

31. Soh, Y.C. A note on the edge theorem / Y.C. Soh, Y.K. Foo // Systems & Control Letters 1990, Vol. 15, N 1, P. 41-43.

32. Soh, Y.C. Generalization of strong Kharitonov theorems to the left sector / Y.C. Soh, Y.K. Foo // IEEE Trans. On Automatic Control, 1990, Vol. 35. -P. 1378-1382.

33. Solyom, S. A synthesis method for robust PID controllers for a class of uncertain systems / S. Solyom, A. Ingimundarson // Asian Journal of Control, Vol. 4, N4,-P. 381-387.

34. Soylemez, M.T. Fast calculation of stabilizing PID controllers / M.T. Soylemez, N. Munro, H. Baki // Automatica 39, 2003, P. 121-126.

35. Tagami, T. Design of robust pole assignment based on Pareto-optimal solutions / T. Tagami, K. Ikeda // Asian Journal of Control, 2003, Vol. 5, N 2,-P. 195-205.

36. Tan, N. Computation of stabilizing PI and PID controllers using the stability boundary locus / N. Tan, 1. Kaya, C. Yeroglu, P. Derek // Energy Conversion and Management, 2006, N 47 -P. 3045-3058.

37. The basic definitions: the steam boiler. Retrieved 2007, from the Web site of the Boiler Wikipedia, the free encyclopedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Boiler.

38. Varga, A.A. numerically reliable approach to robust pole assignment for descriptor systems / A.A. Varga // Future Generation Computer Systems, 2003, N 19, P.1221-1230.

39. Vicieno, A. Robustness of pole location in perturbed systems / A. Vicieno // Automatica, 1989, Vol. 25. N 3. -P. 109-113.

40. Wang L. Robust strong stabilizability of interval plants: it suffices to check two vertices. / L. Wang // System and control letters, 1995, Vol. 26. P. 133-136.

41. Wang, L. Kharitonov-like theorems for robust performance of interval systems / L. Wang // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003,Vol. 279, N 2, P. 430-441.

42. Wang, L. Robust stability of a class of polynomial families under nonlinearly correlated perturbations / L. Wang // Systems and Control Letters, Vol. 30, N 1, 1997, P. 25-30.

43. Wang, Y. PID and PID-like controller design by pole assignment within D-stable regions / Y. Wang, M. Schinkcl, K.J. Hunt // Asian Journal of Control, Vol 4, N 4, P. 423-432.

44. Wang, Y. The calculation of stability radius with D stability region and nonlinear coefficients / Y. Wang, K.J. Hunt // Proceedings of 3rd IFAC Symposium on Robust Control Design, Czech Republic, 2000, -P. 240-246.

45. Wang, Z. Determinative vertices of interval family with П-stability / Z. Wang, L. Wang, W. Yu // Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol.266, N 2, 2002, P. 321-332

46. Wang, Z. Improved results on robust stability of multivariable interval control systems / Z. Wang, L. Wang, W. Yu // Proceedings of American Control Conference, Denver, Colorado, USA, 2001, - P. 4463-4468.

47. Xiao, Y. Edge test for domain stability of polytopes of two-dimensional (2D) polynomials / Y. Xiao // Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, 2000, P. 4215-4220.

48. Zadeh, L.A. Linear system theory / L.A. Zadeh, C.A. Desoer McGraw-Hill, 1963.

49. Zamyatin, S.V. The robust sector stability analysis of an interval polynomial / S.V. Zamyatin, S.A. Gayvoronskiy // 1st International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics, — Harbin, China, 2005,-P. 112-115.

50. Zhabko, A.P. Necessary and sufficient conditions for the stability of a linear family of polynomials. / A.P. Zhabko, V.L. Kharitonov // Automation and Remote Control, 1994, Vol. 55, №10, P. 1496-1503.

51. Zhan, Y. Dominant pole placement for multi-loop control systems / Y. Zhan, Q. Wang, K.J. Astrom // Proceedings of the American control conference Chicago, 2000, - P. 1965-1969.

52. Андриевский, Б.Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке matlab. / Б.Р. Андриевский, A.JI. Фрадков М.: Наука, 2000, - 475с.

53. Бендрикова, Г. А. Траектории корней линейных автоматических систем / Г.А. Бендрикова, К.Ф. Теодорчик М.: Наука, 1964, -160с.

54. Бесекерский, В.А. Робастпые системы автоматического управления / В.А. Бесекерский, А.В. Небылов М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983,-240с.

55. Вадутов, О.С. Определение границ областей локализации нулей и полюсов системы с интервальными параметрами / О.С. Вадутов, С.А. Гайворонский // Известия томского политехнического университета.2003. Т.306. №1.- С.64-68.

56. Вадутов, О.С. Применение реберной маршрутизации для анализа устойчивости интервальных полипомов / О.С. Вадутов, С.А. Гайворонский // Изв. АН. ТиСУ. 2003. №6. -С. 7-12.

57. Вадутов, О.С. Решение задачи размещения полюсов системы методом D-разбиения / О.С. Вадутов, С.А. Гайворонский // Изв. РАН. ТиСУ.2004. № 5. С. 23-27.

58. Веремей, Е.И. Анализ в среде Matlab робастных свойств систем стабилизации плазмы. / Е.И. Веремей // Exponenta Pro. Математика в приложениях: паучн. практ. журнал. — М, 2003, №3.

59. Волков, А.Н. Метод синтеза систем автоматического управления с максимальной степенью устойчивости и заданной колебательностью / А.Н. Волков, Ю.В. Загашвили // Изв. АН. ТиСУ. 1997, №1, с. 35-41.

60. Воронов, А.А Теория автоматического управления, ч. 1 / А.А. Воронов II-Мл Высш. шк, 1986, 367 с.

61. Вукосавич, С.Н. Достаточные условия робастной относительной устойчивости линейных непрерывных систем / С.Н. Вукосавич, М.Р. Стоич //АиТ. 1996. №11. С.84-90.

62. Веремей Е.И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией / Е.И. Веремей // Изв. ATI СССР. Техн. кибернетика 1986, № 4 С. 123-130

63. Гайворонский, С.А. Анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе / С.А. Гайворонский, С.В. Замятин // Изв. Томского политех, ун-та. -2004. Т. 307. № 4. С. 14-18.

64. Гайворонский, С.А. Параметрический синтез линейного регулятора электромеханической системы при интервальной неопределенности объекта управления / С.А. Гайворонский // Изв. ВУЗов. Электромеханика, 1990. №5. -С. 69-72.

65. Гайворонский, С.А. Построение границ корневых областей систем с интервальными параметрами / С.А. Гайворонский, С.В. Новокшоиов // Современные техника и технологии. Тез.докл. VII междупарод, научи.-практич. коиф. Томск: изд.ТПУ, 2001. - С 260-263.

66. Гусев, Ю.М. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов / Ю.М. Гусев, В.Н. Ефапов, В.Г. Крымский // Техн. кибернетика. 1991. №1. С. 3-30.

67. Жабко, А.П. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейного семейства полиномов/ А.П. Жабко, B.JI. Харитонов // АиТ. 1994. № 10.-С. 125-134.

68. Замятин С.В. Размещение областей локализации доминирующих полюсов интервальной системы с обеспечением заданных показателейкачества / С.В. Замятин // Изв. Томского политех, ун-та, №7, Том 309 2006.-С. 10-14.

69. Замятин, С.В. Решение задачи размещения полюсов линейной интервальной динамической системы в заданном секторе / С.В. Замятин, С.А. Гайворопский // Известия томского политехнического ун-та №5, Том 309, 2006. С. 16-20.

70. Захаров, А.В. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей / А.В. Захаров, Ю.И. Шокин // ДАН СССР. 1988. Т. 299, №2. С. 292-295.

71. Ким, Д.П. Условие граничной устойчивости и синтез систем управления максимальной степени устойчивости / Д.П. Ким // Изв. АН. ТиСУ. 2003. №4,-С. 5-8.

72. Киселев, О.Н. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Hm ипо критерию максимальной робастности / О.Н. Киселев, Б.Т. Поляк // Автоматика и телемеханика, 1999. N 3, С. 119-130.

73. Клюев А.С. Наладка систем автоматического регулирования котлоагрегатов. / А.С. Клюев, А.Г. Товарпов //- М.: Энергия, 1970. -280 с.

74. Римский Г.В. Корневые методы исследования интервальных систем / Г.В. Римский. Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1999.- 186 с.

75. Кузьменко Д.Я. Регулирование и автоматизация паровых котлов. / Д.Я. Кузьменко. Изд. 2-е, псрсраб. и доп. М.: Энергия, 1978. - 160 с.

76. Литвинов, Р.Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы / H.JI. Литвинов // АиТ. 1995. №4. С. 53-61.

77. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк М.: Наука, 1978. - 336с.

78. Неймарк, Ю.И. Мера робастной устойчивости и модальности линейных систем / Ю.И. Неймарк //ДАН. 1992. Т.325, № 2. -С.247-250.

79. Неймарк, Ю.И. Мера робастной устойчивости линейных систем / Ю.И. Неймарк//АиТ. 1993. № 1.-С. 107-110.

80. Неймарк, Ю.И. Область робастной устойчивости и робастпость по нелинейным параметрам / Ю.И. Неймарк // ДАН. 1992. Т.325, № 3. — С.438-440.

81. Неймарк, Ю.И. Робастпая устойчивость линейных систем' / Ю.И. Неймарк // ДАН. 1991. Т. 319. № 3. -С.578-580.

82. Петров, Б.Н. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами / Б.Н. Петров // Инженерные методы анализа и синтеза М.: Машиностроение, 1986. -256с.

83. Петров, Н.П. Робастное D-разбиспие / Н.Г1. Петров, Б.Т. Поляк // АиТ. 1991. №11.-С. 41-53.

84. Поляк, Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков М.: Наука, 2002. - 303 с.

85. Поляк, Б.Т. Робастный критерий Найквиста / Б.Т. Поляк, ЯЗ. Цыпкин //АиТ. 1992. №7. С.25-31.

86. Поляк, Б.Т. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем / Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин // АиТ. 1990. №9.-С. 45-54.

87. Римский, Г. В. Корневые методы исследования интервальных систем / Г.В. Римский — Минск: Ии-т техн. кибернетики НАН Беларуси. 1999. — 186с.

88. Римский, Г.В. Корневой метод исследования условий устойчивости линейных интервальных динамических систем / Г.В. Римский, Б.Г. Мазуренко // Вести НАН Беларуси. Серия физико-технических паук. — 1996. №2.-С.61-64.

89. Римский, Г.В. Корневой метод решения задач устойчивости интервальных систем / Г.В. Римский // Вести АН Беларуси. Серия физико-технических паук. 1994. №4. С. 80-85.

90. Римский, Г.В. Корневой метод синтеза полиномов / Г.В. Римский // Вести АН Беларуси. Серия физико-технических наук. 1995. №3. -С.107-114.

91. Римский, Г.В. Основы общей теории корневых траекторий систем автоматического управления / Г.В. Римский Минск: Наука и техника, 1972.-328с.

92. Сиразетдинов, Р.Т. К построению гарантированной области расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы / Р.Т. Сиразетдинов // Изв. ВУЗов. Авиац. техника. 1984. № 4. -С. 72-76.

93. Сиразетдииов, Р.Т. Построение гарантированной области расположения нулей и полюсов передаточных функций динамических систем / Р.Т. Сиразетдинов // АиТ, 1988. №7. С. 51-58.

94. Скворцов, JI.M. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов / JI.M. Скворцов // Изв. АН. ТиСУ. 1994. №4. С. 10-13.

95. Скворцов, JI.M. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе многомерных регуляторов / JI.M. Скворцов // Изв. АН.ТиСУ. 1997. № 1. С. 31-34.

96. Скворцов, JI.M. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции / JI.M. Скворцов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. № 6. С. 149-153.

97. Скворцов, JI.M. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений / JI.M. Скворцов // Изв. АЫ СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 6. С. 54-59.

98. Суходоев, М.С. Анализ и синтез робастпых систем автоматического управления в среде Matlab // М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, С.В. Замятин // Известия Томского политехнического университета, 2008. -т.312 № 5. - С. 61-65.

99. Суходоев, М.С. Параметрический синтез- линейного регулятора интервальной системы с гарантированными корневыми показателями качества / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский, С.В. Замятии // Известия Томского политехнического университета, 2007. т.311 - № 5.

100. Суходоев, М.С. Условия робастпой секторной устойчивости интервального полинома. / М.С. Суходоев, С.А. Гайворонский // «Молодежь и современные информационные технологии» III

101. Всероссийская научно-практическая конференция студентов. 2005. С. 216-217.

102. Удсрман, Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем / Э.Г. Удсрман М.: «Наука», 1972. — 448 с.

103. Удсрман, Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматического управления / Э.Г. Удермаи М.: Госэпергоиздат, 1963. — 1 12 с.

104. Харитонов B.JI. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений / B.J1. Харитонов // Диффереиц. уравнения, 1978. №11. С. 2086^2088.

105. Харитонов, B.JI. Задача распределения корней характеристического полинома автономной системы / B.JI. Харитонов // АиТ. 1981. №5. С. 53-57.

106. Харитонов, B.JI. О выпуклых направлениях для устойчивых полиномов / B.JI. Харитонов, Д. Хипричсеп // АиТ. 1997. №3. С. 8192.

107. Хлебалин, Н.А. Моделирование систем автоматического управления с интервальной неопределенностью параметров / Н.А. Хлебалин, Д.С. Пятых // Интервальная математика и распространение ограничений. 2004-С. 258-266.

108. Хлебалин, Н.А. Построение интервальных полиномов с заданной областью расположения корней / Н.А. Хлебалин // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: Изд. Саратовского политех, ин-та, 1982.-С. 92-98.