автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Анализ и синтез систем управления технологическими объектами с интервальными параметрами на основе корневых показателей качества

На правах рукописи

ПУШКАРЕВ Максим Иванович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ОСНОВЕ КОРНЕВЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА

Специальность 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г / НОЯ 2014

Томск-2014

005555923

005555923

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Научный руководитель —

кандидат технических наук доцент Гайворонский Сергей Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук профессор заведующий кафедрой автоматизации исследований и технической кибернетики Кемеровского государственного университета Карташов Владимир Яковлевич

кандидат технических наук доцент заместитель генерального директора ОАО «Манотомь» (г. Томск)

Свинолупов Юрий Григорьевич

Ведущая организация —

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится «19» декабря 2014 года в 15 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 212.268.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники» (ТУСУР) по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина 40, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТУСУРа по адресу: г. Томск, ул. Красноармейская, 146, а также на официальном сайте ТУСУРа http://tiisur.ru/ni/science/education/diss.htmt

Автореферат разослан «_» ноября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мещеряков Роман Валерьевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие современного промышленного производства требует повышения качества управления технологическими процессами, получения высоких эксплуатационных характеристик проектируемого оборудования, сведения к минимуму производственных потерь. Для этого важное значение имеет создание высококачественных систем автоматического управления (САУ) промышленными объектами, реализующими технологические процессы производства целевого продукта.

При автоматизации технологических процессов, использующих электромеханические объекты управления, задача проектирования для них САУ может представлять для проектировщика определенную сложность. Она вызнана тем, что большинство электромеханических объектов управления имеют нестабильные параметры. Примерами являются прокатные станы, бумагоделательные машины, моталки, промышленные роботы и манипуляторы, металлорежущие и обрабатывающие станки с ЧПУ, подъемники с длинными канатами, антенные системы. Параметры указанных объектов могут изменяться в некоторых диапазонах по заранее неизвестным законам, а также быть точно неизвестными, заданными своими интервалами. В обоих случаях такие параметры правомерно рассматривать как интервально-неопределенные с детерминированной неопределенностью. К таким параметрам относятся момент инерции на валу электродвигателя, массы отдельных звеньев объекта управления, параметры упругой связи между валом двигателя и механизмом, параметры преобразователей и усилителей и др. Нестабильность указанных физических параметров приводит к изменению эквивалентных параметров САУ: постоянных времени, собственных частот колебаний, коэффициентов передачи звеньев системы. При этом темп изменения может быть как медленный, так и быстрый с кратностью изменения от 2 до 10.

Для проектирования САУ указанными объектами широкое применение находит робастный подход с использованием линейных регуляторов жесткой структуры по выходу. Задачей их параметрического синтеза является определение таких настроек регуляторов, которые гарантируют допустимое качество управления САУ при любых значениях интервальных параметров технологических объектов управления. Критериями при этом, как правило, являются максимальное быстродействие САУ и апериодический характер переходных процессов в системе.

В настоящее время для синтеза САУ с интервально-неопределенными параметрами разработаны необходимые и достаточные условия робастной устойчивости систем на основе алгебраических и частотных методов. Основополагающие результаты в области анализа и синтеза робастных систем принадлежат ведущим отечественным (Цыпкин Я.З., Харитонов В.Л., Поляк Б.Т., Мееров М.В., Бесекерский В.А., Первозванский В.А., Римский Г.В. и др.) и зарубежным (Soh Y.C., Barmish B.R., Bhattacharyya S.Р., Anderson B.D., Ackerman J., Doyle J.C. и др.) ученым. При этом значительно меньше внимания уделено использованию простых корневых методов, позволяющих располагать области локализации полюсов САУ в соответствии с требованиями к ее качеству. Поскольку полюсы САУ определяются корнями ее интервального характеристического полинома (ИХП), то для применения такого

подхода целесообразно использовать коэффициентный метод, связывающий показатели робастного качества САУ с коэффициентами ИХП, в которые линейно входят настройки регулятора.

Для реализации в САУ ТП робастного управления предлагается применять широко используемые в настоящее время в инженерной практике типовые линейные регуляторы: пропорциональный (П), пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД).

Объектом исследования являются системы автоматического управления технологическими процессами, содержащие интервально-неопределенные параметры.

Предметом исследования являются методики синтеза робастных регуляторов на основе корневых показателей качества, позволяющие повысить быстродействие и уменьшить колебательность интервальных САУ (ИСАУ).

Целью работы является анализ корневых показателей робастного качества САУ ТП и обеспечение их гарантируемых значений типовыми линейными регуляторами в условиях интервальной неопределенности параметров технологических объектов. Для достижения данной цели на основе коэффициентов ИХП замкнутой системы решаются следующие задачи:

- выбор из всех вершин многогранника коэффициентов ИХП проверочных вершин для анализа в них корневых показателей робастного качества САУ;

- оценка степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности САУ на основе интервального расширения их коэффициентных показателей;

- параметрический синтез типовых линейных регуляторов, повышающих быстродействие робастной САУ максимизацией оценки ее степени робастной устойчивости;

- параметрический синтез типовых линейных регуляторов, гарантирующих в САУ переходные процессы апериодического типа, на основе доминантного расположения области локализации вещественного полюса системы.

Методы исследования. Для достижения сформулированной цели и решения поставленных задач в работе использованы методы интервальной математики, математического анализа, операционного исчисления, теории автоматического управления, методы корневого годографа и его робастное расширение, методы численного решения систем нелинейных уравнений. Для экспериментальных исследований синтезируемых систем, свойств интервальных полиномов, моделей управления и режимов их работы использовались программные средства ППП \1atlab и \4athCad.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применения математических методов, численным моделированием теоретических результатов.

Научную новизну работы составляют:

1. Условия в форме интервальных фазовых неравенств для нахождения координат вершин многогранника коэффициентов ИХП, чьи образы могут определять степень робастной устойчивости и степень робастной колебательности САУ ТП.

2. Утверждения, позволяющие для стационарных и интервальных САУ ТП на основе коэффициентов характеристического полинома определять максимальную оценку снизу степени устойчивости и параметры линейного регулятора, обеспечивающие квазимаксимальную степень устойчивости системы.

3. Декомпозиционный подход к параметрическому синтезу линейных регуляторов апериодических САУ ТП, основанный на разделении ее характеристического полинома на доминирующий полином, задающий доминирующий вещественный полюс, и свободный полином, определяющий расположение остальных полюсов системы.

4. Методики параметрического синтеза линейных регуляторов стационарных и интервальных САУ ТП, обеспечивающих заданную степень апериодической устойчивости системы при требуемом доминировании ее вещественного полюса.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 214 наименований и приложения; содержит 155 страниц машинописного текста, 43 рисунка и 6 таблиц.

Личное участие соискателя в получении результатов, изложенных в диссертации. Личный вклад автора состоит в разработке подходов к рещению задач анализа и синтеза систем автоматического управления с постоянными и интерваль-но-неопределенными параметрами на основе коэффициентного метода, проведении теоретических и вычислительных экспериментальных исследований, внедрении системы на реальном объекте, опубликовании полученных результатов, формулировке основных положений и выводов диссертационной работы.

Практическая значимость. Разработанные методики анализа робастного качества систем могут применяться для исследования разрабатываемых и существующих САУ ТП, объекты которых имеют интервально-неопределенные параметры. Применение разработанных методик синтеза позволяет получать регуляторы низкого порядка по выходу, которые обеспечивают не только робастную устойчивость, но и желаемые корневые показатели качества ИСАУ. Методики настройки регуляторов являются эффективным инструментом для обеспечения гарантированного качества функционирования систем в условиях интервальной неопределенности параметров. Разработанные методики анализа и синтеза ИСАУ являются достаточно формализованными для их программной реализации.

Внедрение работы. Разработанные в диссертации методики использованы при решении задач управления сбалансированным манипулятором, проходящим испытания в ОАО «Томский электромеханический завод имени В.В. Вахрушева», г. Томск. Также результаты работы внедрены в проектную деятельность по настройке системы автоматического регулирования температуры в камере заморозки в ЗАО «Аграрная Группа Мясопереработка», г. Томск. Результаты исследований и разработок, описанных в диссертационной работе, использованы в учебном процессе кафедры автоматики и компьютерных систем Института кибернетики Томского политехнического университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и вошли в сборник трудов: XVII, XVIII, XIX Международной научно-практической конференции «Современная техника и технологии» (г.Томск, 2011 - 2013); IX, X Международной научно-практической конференции «Молодежь и современные информационные технологии» (г.Томск, 20112012); XV Международной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева. (г. Красноярск, 2011); XVIII Международной конференции по мягким вычислениям (г. Брно, Чеш-

екая Республика, 2012); XVII Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» посвященной 75-летию «НПО им. С.А. Лавочкина» (г. Евпатория, Украина, 2012); Международного форума по стратегическим технологиям IFOST 2012 (г. Томск, 2012); XV Международного симпозиума GAMM - IMACS по научным вычислениям, компьютерным арифметикам и доказательным численным методам (SCAN'2012) (г. Новосибирск, 2012); V Российской мультиконференции по проблемам управления (МКПУ-2012) «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС -2012) (г. Санкт-Петербург,2012); VI научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Современная газотранспортная отрасль: перспективы, проблемы, решения» (г.Томск, 2013).

Публикации. Всего по теме диссертационной работы опубликовано 22 научные работы, из которых 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 4 статьи в рецензируемых зарубежных журналах и трудах конференций. Основные положения, выносимые на защиту:

- Для определения корневых показателей робастного качества САУ технологическими объектами с интервально-неопределенными параметрами достаточно анализа корней ее ИХП только в некоторых проверочных вершинах многогранника коэффициентов ИХП, определяемых на основе интервальных фазовых неравенств. Соответствует пункту 14 паспорта специальности: теоретические основы, методы и алгоритмы диагностирования, (определения работоспособности, поиск неисправностей и прогнозирования) АСУТП, АСУ П. АСТПП и др.

— Анализ степени робастной устойчивости интервальной САУ ТП и синтез для нее робастного регулятора возможны на основе интервального расширения достаточного условия заданной степени устойчивости стационарной САУ.

Соответствует пунктам 13 (теоретические основы и прикладные методы анализа и повышения эффективности, надежности и живучести АСУ на этапах их разработки. внедрения и эксплуатации) и 14 (теоретические основы, методы и алгоритмы диагностирования, (определения работоспособности, поиск неисправностей и прогнозирования) АСУТП. АСУ П. АСТПП и др.) паспорта специальности.

— Параметрический синтез линейного регулятора САУ ТП квазимаксимальной степени робастной устойчивости может быть проведен максимизацией настройками регулятора нижней оценки степени робастной устойчивости системы, определяемой на основании ее коэффициентного показателя.

Соответствует пункту 13 паспорта специальности: теоретические основы и прикладные методы анализа и повышения эффективности, надежности и живучести АСУ на этапах их разработки, внедрения и эксплуатации.

- Параметрический синтез линейного регулятора апериодической САУ ТП может быть проведен на основе деления ИХП на доминирующий полином, задающий отрезок вещественного доминирующего полюса, с получением свободного полинома, задающего остальные полюса, и выражения нулевого остатка.

Соответствует пункту 13 паспорта специальности: теоретические основы и прикладные методы анализа и повышения эффективности, надежности и живучести АСУ на этапах их разработки, внедрения и эксплуатации.

Содержание работы

Во введении рассматриваются характерные особенности современных САУ ТП с регулируемым электроприводом, которые управляют сложными электромеханическими объектами. Главной особенностью таких объектов является наличие ин-тервально-неопределенных параметров, которые точно неизвестны (заданы интервалами) или изменяются в определенных пределах по априори неизвестным законам. Приводится классификация нестабильных параметров САУ ТП, причины их появления, а также количественные оценки характерных нестабильностей электромеханических объектов управления.

В результате приведенного анализа существующих способов управления САУ ТП с нестабильными объектами обоснованно выбрано линейное робастное управление, реализуемое линейным регулятором с постоянными параметрами. При этом существует проблема усиления настроек робастных регуляторов при их расчете на наиболее неблагоприятные режимы работы САУ ТП. Одним из путей решения этой задачи может быть получение в САУ такого запаса устойчивости, который обеспечил бы при наиболее неблагоприятных параметрах объекта максимальное быстродействие в системе. В качестве показателя быстродействия ИСАУ предложено использовать корневой показатель качества - степень робастной устойчивости.

Во введении, наряду с задачей максимизации степени робастной устойчивости ИСАУ, также ставится задача получения переходных процессов апериодического типа. Решение данной задачи связано с проблемой обеспечения в ИСАУ доминирующего вещественного полюса.

Корневой подход для анализа ИСАУ и параметрического синтеза линейного ее робастного регулятора предусматривает использование интервального характеристического полинома. В этой связи предлагается использовать коэффициентный метод, на основе которого через коэффициенты ИХП можно установить связь корневых показателей робастного качества САУ и параметров регулятора. Для определения указанной взаимосвязи предлагается выполнить интервальное расширение достаточных условий заданной степени устойчивости и степени колебательности.

В первой главе определяются условия, на основе которых возможен анализ корневых показателей качества САУ, заданной ИХП

A\s) = ¿[a,]*1 =[ají" + К.,]*""' + ... + [аД [«,] >0, О)

1=0

где <a¡<a¡,i = 0,n. Интервальные коэффициенты полинома (1) образуют параметрический многогранник М с числом вершин 2"*'. Среди образов вершин М существуют проверочные вершины, определяющие корневые показатели робастного качества: степень робастной устойчивости и степень робастной колебательности.

Для нахождения проверочных вершин САУ низкого порядка применено интервальное расширение метода корневого годографа. Уравнение отображения ребра Я/ многогранника (i - индекс интервального коэффициента, q - индекс вершины, из которой по ребру изменяется a¡) на плоскость корней имеет вид

Aq'(s) + Aalsi =0, (2)

где Л^О) = - вершинный полином. Согласно теории корневого годографа

уравнение (2) может быть получено из реберной передаточной функции

А''О)

Ребра Л? отображаются на плоскость корней в виде реберных ветвей Л5/, началами и концами которых являются корневые узлы и . Исходя из уравнения фаз корневого годографа, угол выхода из комплексного корневого узла 11 при увеличении а1 находится по формуле

0«=;г-|Х+;0о, (3)

а при уменьшении а,

0'=-Е0р + '®о. (4)

р-1

где вр и 0О - углы между вещественной осью и векторами, направленными из и соответственно к р-оиу полюсу и к /-м нулям с координатами (0; j0). Так как коэффициенты а; могут меняться внутри заданных интервалов, то углы 0О и О р являются интервальными. Если наложить ограничения на интервал изменения

0^<0Г<0^,г- = О^^6[1,2"+|], (5)

где 0^ - заданный минимальный угол выхода корневых годографов по всем а,

(при изменении любого а,); 01ал - заданный максимальный угол выхода корневых годографов по всем а, (при изменении любого а, ), то на основании уравнений (3), (4) и (5) могут быть составлены интервальные фазовые неравенства (ИФН)

[©„] •'■-£[©,]± Щ > 0зад, г,= 0 или г, = 1;

:: (6) [0О] ■ / - £[0,] ± Щ < 0зад, Г, = 0 ИЛИ Г, = 1,

где [0О] и [0р] - интервалы возможного изменения углов 0, и

Условием (5), при котором вершина может быть проверочной для нахождения степени робастной колебательной устойчивости (определяемой комплексным полюсом), является двойное неравенство

90° < [©« ] < 270°, г е ОЯ д е [1,2"+1 ]. (7)

Если степень робастной устойчивости определяет ближайший к мнимой оси вещественный полюс, то при изменении а, он может двигаться из U только влево

п-\

по оси. При этом 0О =180° и ^[0 ] = 360°. Тогда условие (5) принимает вид

р-1

0J =180o,/sOn,i е[1,2"+']. (8)

Для определения степени робастной колебательности в проверочной вершине должно выполняться неравенство

©0 < [©«] < ©0 + n,i е o7n,q е [1,2"+|]. (9)

Таким образом, для нахождения проверочных вершин САУ с ИХП (1) необходимо в системе (6) для всех i выбрать такие значения переменной rf (0 или 1), при которых выполняется одно из условий (7)-(9). Заметим, что если /■; =0, то это соответствует вершине с максимальным значением а;. И наоборот, при = 1 имеем вершину с минимальным значением а1.

На основании (6) с учетом (7) и (8) для САУ второго и третьего порядков определены проверочные вершины для анализа степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности (таблица 1)

Таблица 1. Проверочные вершины для САУ второго и третьего порядков

Показатель робастного качества п = 2 л = 3

Степень робастной устойчивости Степень робастной колебательной устойчивости V, = а0а,а2 V2 = а„а,а2 V, =а0а1а2а3; V2 = а0а,а2я3; V} = a0a,a2a3.

Степень робастной апериодической устойчивости V, =aaa,a1ai

Степень робастной колебательности V., =а0а1а1 90" < 0 < 135" V, = а0а,а,а3; V2 = а0а,а2а3; V3 = а( а, а2 а,.

135* < 0 <180° V, = а0а,а,а3; V2 =а0а,а2а3; V3 = а0а1а2а}\ V4 =а2аха1аг\ V5 =а1а,ага£, Vt = ааа,ага2\ У7=а0а,а2аз;У8=а0^ а2а3; V, =а0а,о2о,; V10 = а^сца,.

Для САУ третьего и более высоких порядков число проверочных вершин, определенных на основе ИФН, значительно возрастает. Поэтому с целью анализа робастных показателей качества САУ высокого порядка использованы простые достаточные условия, основанные на коэффициентных показателях устойчивости Х/,1 = \,п — 2 и показателях колебательности 5()/ = \,п — 1.

Так для анализа степени робастной устойчивости использовано достаточное условие заданной степени устойчивости т| стационарной САУ

(я,.-aM(n-i-ОлЖ, -а,-+2(и-1-2)л)

<0,465,1 =1,/1-2;

а, —ам(п — 1 — 1)т| > 0,/ = 1,/г- 1; 2а2г|2

(10)

-а,Т1 + -

>0.

При выполнении этого условия полюсы стационарной САУ лежат левее вертикальной прямой, проходящей через точку (-т|,у'0). Применив к (10) интервальное

расширение, доказано следующее утверждение: максимальная оценка снизу Т1гаи степени робастной устойчивости интервального полинома (1) определяется минимальным значением г|, та,>' е 1, 2(/г-2), которое находится из условий

•<0,465,

^•¿iOl max) -

(о, - - i - l)ii,.тад - ait2(n - i - 2)т1,1ШХ)

i = 1, 2(/i - 2),к=0 при ам; к=1при ам;

^_а(+1(„_/_1Н|их>0, / = 1, и — 1;

ао-а1П„„ш+-

>0.

Для анализа степени робастной колебательности предложено использовать следующее утверждение: для того, чтобы все корни характеристического полинома САУ располагались в секторе л ± ф , достаточно выполнения следующего условия

а:2 _

5,. = =

г>5д(и,ф),У/ = 1,и-1,

(И)

где 5д(л,ф) - допустимый показатель колебательности, являющийся функцией от п - степени характеристического полинома, и угла ф.

В главе приведены многочисленные числовые примеры, подтверждающие правильность определения проверочных вершин на основе интервальных фазовых неравенств, а также справедливость полученных достаточных условий степени робастной устойчивости и колебательности.

Вторая глава посвящена задаче повышения быстродействия в САУ, параметры которых изменяются незначительно и которые можно рассматривать как стационарные, а также в САУ с интервально-неопределенными параметрами. Данная задача решается на основе параметрического синтеза линейных регуляторов, максимизирующих степень устойчивости САУ.

С этой целью для стационарных систем разработана двухэтапная процедура определения настроек линейных регуляторов. Пусть характеристический полином замкнутой стационарной САУ имеет вид

где к - вектор настраиваемых параметров регулятора, линейно входящих в коэффициенты полинома. Введем следующие обозначения

(аД)- ам(к)(п -1 - Щ)(ам(к) -амЩп - / - 2)Л)

,1 = 1 ,п- 2;

/, (к,г1) = а,(к) - ам(к)(п -1 - 1)г(, / = 1,и -1;

8(к,ц) = ап(к)-а1(к)ц +

2 а2(к)г\2

Для САУ с характеристическим полиномом (12) на основе (10) доказано следующее утверждение: для обеспечения линейным регулятором с настройками к квазимаксимальной степени устойчивости в системе с характеристическим полиномом (12) достаточно выполнения следующих условий

,4*™«) = *•*.' = и л-2;

>т1ша,)<^ > 7 = 1, Л-2,

(13)

/,(к >Т|тах) - 0, / = 1, л — 1;

[*(* ,0*0.

Квазимаксимальность г|*т11 обусловлена ее оценочным характером в отношении степени устойчивости. Для уточнения настроек регулятора и получения в САУ действительно максимальной степени устойчивости предложен второй этап параметрического синтеза линейного регулятора на основе метода математического программирования. Он заключается в решении системы нелинейных уравнений

ЯеЛ(£,а,Р) = 0; 1т А(£,а,Р) = 0;

да

= 0;

Э1тЛ(£,а,Р) да

д2КеА(к,а,Р)_0. д21шД(А:,а,Р)

= 0;

(14)

5а2

га2

= 0;

при начальных значениях искомых г| и к, соответствующих найденным на первом

этапе г)*та;< и к . Получаемый при решении системы (14) параметр Р является мнимой частью полюса САУ, определяющего максимальную степень ее устойчивости а.

На основе проведенных исследований разработана методика синтеза типовых линейных регуляторов максимальной степени устойчивости при ограничении на колебательность САУ.

Для параметрического синтеза линейных робастных регуляторов САУ с ин-тервально-неопределенными параметрами выполнено интервальное расширение условия (13) квазимаксимальной степени устойчивости стационарных САУ. В результате доказано следующее утверждение: для обеспечения в интервальной системе с линейным робастным регулятором с настройками к квазимаксимальной степени робастной устойчивости т|*пах при ограничении на колебательность 5Д достаточно, чтобы для коэффициентов характеристического полиномома (1) выполнялись условия

а,_,(к )а,Ч2(£ )

аД )-ам(к )(я-|-1)л'пм ам(Л )~Д,ч){п-1~2)ц„

/ = 1, п -2, к= 0 при ам; &=1при ам;

ам(к )а^2(к )

а/к )-а„(к )(л-У-1)Л;пах ам(к ){п-]-2)цша

] = \,п — 2, у*/, к= 0 при а .+1; £=1при а.+1;

(15)

а,(к )-ам(к )(п-1- 1)г|1Шх > 0, / = 1,л-1;

а0(к )-ах{к )г|'тад +

2а2(к )(П'тал)2

>0;

аНк )

= >5Д, / = 1,и —2.

ам(к )ам(к )

Решение задачи анализа степени робастной устойчивости интервальной системы и синтеза для нее линейного робастного регулятора показало, что при формировании условий Х.(к,т\) = Х', }^(к,7])<Х' и /,(к,т|) необходимо задавать различные сочетания пределов интервальных коэффициентов, которые образуют следующие проверочные полиномы

А, (.$) = Оц + я,.? + а252 + а353 + а454 + а5.г5 + а65б +...

А^-г) = аи + а2^2 +а4.?4 +а5^5 + а6-гб + ... А3($) = а0 + + а2^2 + а353 + а4^4 + а+ а65б +...

А4(5) = а0 + + Оз$3 +а454 +а555 + а6.56 + ...

/4,(5) = а0 + а,5 Н-а^2 + Оз53 + а4^4 + а55-5 +а65б +.

АДя) = а,, + а,5 + а2$2 + а^3 + а4х4 + а5х5 + а6х6 +.

Л, (5) = а0 + а,5 + а^2 + Оз53 + а4$4 +а555 +а6£б + .... Для проверки § (А:, г|) > 0 следует дополнительно рассмотреть полином

АД.?) = а0 ч-а^2 +а353 +а4«4 +а555 +<я6£6 + ..., а для проверки условий (11) необходимо дополнительно рассмотреть еще два полинома:

АД.?) =а0 +а]5 + а252 +а}з3 +а454 + а5.г5 +а65б + ..., Д0($) = а0 + + а^2 + Оз^3 + а454 + а555 + а656 + — Заметим, что полиномы ДДд) и Д0(^) совпадают.

На основе полученных достаточных условий (15) разработана общая методика параметрического синтеза типовых регуляторов для интервальных систем квазимаксимальной степени устойчивости при ограничении на максимальную колебательность и заданной допустимой точности.

В приложении приведены частные методики определения настроек ПИ- и ПИД-регуляторов для стационарных и интервальных САУ. Разработанные методики апробированы на числовых примерах синтеза регуляторов.

В третьей главе решается задача параметрического синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих в САУ апериодические переходные процессы (рисунок 1).

Условием их получения является наличие среди полюсов САУ доминирующего вещественного полюса в случае стационарной САУ (рисунок 2а) или доминирующего отрезка вещественного полюса для интервальной САУ (рисунок 26). На характер апериодических процессов влияют:

- степень устойчивости а (рисунок 2а) или степень робастной устойчивости а, (рисунок 26);

- степень доминирования у (рисунок 2а) или степень робастного доминирования у') (рисунок 26);

- угол ф сектора расположения свободных полюсов САУ (рисунок 2).

Для решения задачи выбора настроек регуляторов, обеспечивающих в САУ апериодический переходный процесс, предложено разделять характеристический полином системы A(í) на доминирующий полином Q(s), задающий ближайший к мнимой оси вещественный полюс, и свободный полином P(s), задающий все

остальные свободные полюса САУ. Полином P(s) является результатом деления A(s) на Q(s). При этом необходимо учитывать и получающийся при делении полиномов остаток R, который для независимого расположения доминирующего и свободных полюсов должен быть равен нулю.

а)

б)

Рисунок 2 - Расположение доминирующих и свободных полюсов стационарной и

интервальной САУ

Так для стационарной САУ при Q{s) = qxs + q0 =s + а получены следующие

-\( п Л

выражения для P(s) и R: P(s) = X X s', R = (-1)'. На осно-

1=0 у7=i+l У 1=0

ве этих выражений для САУ третьего порядка с объектом

Wm(s) = - к

(16)

и ПИ-регулятором

получены и приведены в таблице 2 требования к настройкам регулятора, обеспечивающие апериодические переходные процессы

Таблица 2. Параметрические условия расположения свободных полюсов

Вид свободных полюсов Условия для параметров ПИ-регулятора

Вещественные , (с, - ас2 )2 — 4с2сд + 4асг (с, - ас2 ) 4с2 k¡ > а(с, - ас2) + г|(с, - ас2) - г\с2 - с0

к0 (к, ) = а(£, +с0 - а(с, - ас2 ))

Комплексно-сопряженные , ^ (с, -ас2)2 -4с2с0 + 4ос2(с, ~ас2) 4 с2

к0 (к, ) = a(k¡ +с0 - а(с, - ас2 ))

В главе рассмотрено также решение задачи обеспечения доминирования вещественного полюса для стационарных систем высокого порядка. Для этого предлагается применить к свободному полиному P(s) рассмотренные в глазе 2 достаточные условия, связывающие коэффициенты полинома с нижней оценкой степени его устойчивости. Если в указанных условиях в качестве оценки степени устойчивости задать правую границу области свободных полюсов, то это позволит располагать их на заданном расстоянии от доминирующего вещественного полюса, либо на квазимаксимальном.

Для получения апериодических переходных процессов САУ с интервально-неопределенными параметрами в работе используется утверждение, согласно которому, если коэффициенты полинома A'(s) заданы чередующимися пределами a0a,a2a3..., то данный набор коэффициентов соответствует правой границе отрезка доминирующего полюса, задаваемой полиномом Q,(î) = j + a,. Если же а0а,а2а3...,

то соответствующая этому набору вершина многогранника M отображается на левую границу отрезка, задаваемую полиномом <22(i) = s + a2. При заданном доминирующем полиноме <2*(i) = s + [a],a>0, а, < а < а2 получены выражения для свободного полинома P*(s) = ^ ^ [ay][a]J ' 1 (— 1)s' и остатка R' = УГ^ИЧ-!)',

i=olj=i+l J '=0

п _

причем для s = a, имеем Я, = ^^¡(-l)', где ai = ai для ¡ = 0,2,4,..., и для

;=о

п _

i = 1,3,5.....a для s = a2 получаем R2 = 1)', где а, = а, для i = 0,2,4,... и а■ = ai

1=0

для/= 1,3,5,....

Разработана методика выбора настроек ПИД-регулятора

« (17)

s

обеспечивающего в интервальной САУ с объектом (16) доминирующее расположение отрезка [а,;а2] вещественного полюса при вещественных или комплексно-сопряженных свободных полюсах системы. Она основана на полученных условиях расположения свободных полюсов интервальной САУ на вещественной оси левее границы г)

{pf(k)-4po(k)p2(k)>0-, рп(к)>т}р1(к)-гс р2(к),

(18)

либо на условиях их комплексной сопряженности

\р2х{к)-Лр0(к)рг{к)<0-,

=--(19)

\ру{к)>1цр2{к).

Граничные значения коэффициентов свободного интервального полинома />*(5), выраженные через коэффициенты объекта управления (16) и параметры ПИД-регулятора, приведены в таблице 3.

Таблица 3. Коэффициенты Я*^) Для ИХП третьего порядка

[Д] Коэффициенты полинома Р'(^)

Е1 Оз=£2

Рг аъ =с2

Е± а2 —а 2р2 =с1 +к2{к\) — а2с2

Рх а2 - а, р2 =с, +к2(к1) — а1с2

Е° -а 2р,=с„+к1 - а2 (с, + к2(к1)~а1с2)

Ро о, -а,_р1 = с0+^| -а, (с,+£,(£,)-а2с2)

В данной таблице зависимость к2(к1) имеет вид

, агГК + ^-аг^-а2а2)]-а1Г(а0+/с|)-а1(а,-а,я2)1

2 ( 1) = -=^-2 -=-А- (20)

а2-а,

Из условия /?, (А:) = 0 выражается параметр к0

к0 (£,, к2) = а, (а, с2 + а, (-с, - к2) + са + кх). (21)

Решая систему (18) или (19) с учетом (20), находится интервал к,. Далее на основе (20) и (21) определяются соответственно параметры к2 и ка.

В главе рассмотрено также решение задачи получения с помощью ПИД-регулятора апериодических переходных процессов в САУ высокого порядка с ин-тервально-неопределенными параметрами, ИХП которых имеет вид (1). Для таких САУ параметрический синтез ПИД-регулятора предлагается проводить на основании интервального расширения коэффициентного метода с использованием достаточных условий заданной степени устойчивости. Методика содержит следующие этапы.

1. На основании заданных передаточных функций интервального объекта управления и ПИД-регулятора, а также отрезка доминирующего вещественного полюса [а] = [а,;а2] формируются интервальные полиномы Л*(.5,£), £>*(•*), Р'(з,к) и остаток Я*.

2. Из условий /?,(/:) = 0 или Я2(к) = 0 выражается параметр к0 и определяются соответственно зависимости к0(к1,к2) = Р^к^к^ и к0(к^к2) = Г2(кгк2).

3. Из равенства /-¡(¿,,&2) = Р2{к^к2) находится зависимость к2{к^).

4. В случае заданного робастного доминирования на основе полученных параметрических зависимостей свободный полином преобразуется к виду Я* (.?,/:,) и, используя его коэффициенты, составляется система неравенств вида (10) при г| = а2+у' (здесь Г| - правая граница области локализации свободных полюсов).

Решением системы является интервал значений к{. Выбрав значение к,, определяются к2 и к0.

5. В случае необходимости обеспечения в САУ квазимаксимального робастного доминирования, имея полином Р составляем выражение

Я,,(Л,,г)) =0,465, / е 1, п — 1, из которого получаем зависимость &,(г|) и формируем систему неравенств вида (13) по одному параметру т]. Решением системы будет интервал оценок снизу правой границы области локализации свободных полюсов, из которого необходимо выбрать максимальное значение г|*тах. На основании гцах определяется значение параметра &,Сптах)- На основании зависимостей /с2(/с,) и к0(кгк2), определяются значения параметров к2 и к0.

Работоспособность разработанных методик параметрического синтеза линейных регуляторов подтверждают приведенные в главе числовые примеры.

В четвертой главе рассматривается применение разработанных методик для получения апериодических переходных процессов в системе компенсации веса подъемно-транспортного механизма, имеющей интервально-неопределенные параметры. Такие системы еще называют системами силовой разгрузки. Они должны обеспечивать плавное и точное вертикальное перемещение грузов в пределах рабочей зоны при воздействии оператора на груз рукой небольшим направленным усилием.

На рисунке 3 приведена разработанная математическая модель системы, в которой интервальная длина троса 5м < I < 10м входит в коэффициент жесткости троса С и коэффициент потерь упругости троса х > интервалы которых определяются чеС х

рез их удельные значения соответственно выражениями [С]=-^у- и ■ Вторым

интервальным параметром системы является масса груза 50кг < т< КЮкг.

В качестве регулятора в системе используется ПИД-регулятор (17). Его задачей является обеспечение в системе доминирования апериодического вещественного полюса [а] = [1;3], задающего быстродействие системы, при квазимаксимальном удалении от него областей локализации свободных полюсов.

Рисунок 3 - Структурная схема САУ

Параметрический синтез ПИД-регулятора проведен в соответствии с разработанной в главе 3 методикой обеспечения в ИСАУ заданной степени робастной апериодической устойчивости и квазимаксимальной степени робастного диминирова-ния полюсов. В результате для заданного отрезка [а] = [1;3] получено значение т| = 7 правой границы области свободных полюсов и соответствующие параметры ПИД-регулятора к0 = 0,0021, к, =-0,00027, к2 = -0,000014.

На рисунке 5 показаны области локализации всех полюсов системы с синтезированным регулятором, из которого видно, что предъявленные к системе требования выполняются.

150 100

50 Ке

-5000 -2500 -200 -100

-20

0

-50 -100 -150 -200

-8,12+0/

-25

-20

1 + 0/

-3 + 0/

Яе -►

0

Рисунок 5 - Области локализации полюсов системы

Для анализа работы синтезированной системы во временной области на рисунке 6 приведены графики переходных процессов отклонения силы натяжения троса А^н(г) и скорости перемещения груза V при импульсных возмущающих воздействиях в наихудших с точки зрения устойчивости режимах подъема и опускания груза.

^врН 6 4 2 О -2 -4 -6

4

3

I

О -1 -2 -3 -4 -5

V, м/с 0,1 0,05 О

-0.05 -0.1 -0,15 -0.2

Рисунок 6 - Переходные процессы в режимах подъема и опускания груза

Анализ рисунка 6 показывает, что полученные настройки ПИД-регулятора гарантируют апериодический характер переходных процессов и допустимое быстродействие системы при изменении веса груза и длины троса. Этот факт свидетельствует о придании ПИД-регулятором робастных свойств системе компенсации веса. В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

подъем груза покой опускание груза О)

1 !

...

I, <5 ;

', >2 ! <7 !___________

Т

0 5 10 15 20 25 30 35 «,с

г

/ \

у V

0 5 10 15 20 25 30 35 ',с

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Приведенная диссертационная работа описывает результаты исследований, направленных разработку алгоритмов анализа и параметрического синтеза линейных промышленных регуляторов стационарных и интервальных систем управления на основе коэффициентных методов. Основные выводы и результаты работы заключаются в следующем.

1. Разработаны условия в форме интервальных фазовых неравенств, решением которых являются координаты проверочных вершин параметрического многогранника ИХП, определяющие корневые показатели робастного качества САУ ТП. На основе этих условий получены наборы проверочных вершинных полиномов для определения степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности интервальных систем низкого порядка.

2. Для интервальных систем высокого порядка на основе интервального расширения достаточных условий заданной степени устойчивости и колебательности стационарных систем получены достаточные условия степени робастной устойчивости и робастной колебательности для ИСАУ.

3. На основе критерия максимальной степени устойчивости для систем, параметры которых изменяются незначительно и которые можно рассматривать как стационарные, разработана двухэтапная процедура определения настроек линейных регуляторов. На первом этапе, используя разработанное достаточное условие квазимаксимальной степени устойчивости стационарных систем, определяются грубые настройки регулятора при заданной точности и ограничении на колебательность системы. На втором этапе с помощью метода нелинейного программирования находятся точные значения параметров регулятора, обеспечивающие в САУ максимальную степень устойчивости.

4. Для САУ с интервально-заданными параметрами разработана методика параметрического синтеза типовых линейных регуляторов, обеспечивающих квазимаксимальную степень робастной устойчивости при ограничениях на колебательность. При этом определен набор проверочных характеристических полиномов, необходимых для синтеза робастных линейных регуляторов.

5. На основе разделения характеристического полинома САУ на доминирующий и свободный полиномы разработаны методики параметрического синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих в САУ апериодический характер переходных процессов:

- для стационарных и интервальных САУ низкого порядка методика основана на полученных алгебраических условиях, связывающих настройки регулятора и коэффициенты характеристического полинома;

- в случае стационарных и интервальных САУ высокого порядка при размещении свободных полюсов методика предусматривает использование разработанных достаточных условий расположения полюсов левее заданной границы или на квазимаксимальном удалении от мнимой оси.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пушкарев, М.И. Определение прямых показателей качества на основе расположения нулей и полюсов передаточной функции /С.В. Ефимов, М.И. Пушкарев // Автометрия. - 2011. - Том 47, № 3. - С. 113-119.

2. Pushkarev, M.I. Determining direct measures of performance based on the location of zeros and poles of the transfer function / S.V. Efimov, M.I. Pushkarev // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2011. - Vol. 47, № 3. - P. 297-302.

3. Пушкарев, М.И. Синтез робастного регулятора по критерию максимальной степени устойчивости на основе интервальных коэффициентов характеристического полинома / М.И. Пушкарев, С.А. Гайворонский // Решетневские чтения: труды XV Международной научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 10-12 ноября 2011. - Красноярск: СибГАУ, 2011. - Том 2. -С. 496-497.

4. Пушкарев М.И. Параметрический синтез регулятора системы управления котельный агрегатом с использованием пакета RASIS / М.И. Пушкарев, М.С. Суходо-ев, С.А. Гайворонский // Вестник науки Сибири. - 2011. - Том 1, № 1. - С. 315-321.

5. Пушкарев, М.И. Параметрический синтез ПИ-регулятора линейной САУ на основе коэффициентных оценок степени устойчивости и заданной добротности / М.И. Пушкарев, С.А. Гайворонский // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Том 320, № 5. - С. 85-89.

6. Pushkarev, M.I. Parametric synthesis of maximum stability degree and specified accuracy linear automatic control system Pi-controller / M.I. Pushkarev, S.A. Gaivoronsky, S.V. Efimov, S.V. Zamyatin // Mendel 2012: proceedings of 18th International Conference on Soft Computing. - Brno, Czech Republic, 27-29 June 2012. - P. 344-349.

7. Пушкарев М.И. Синтез параметров регулятора систем управления с интервально заданными параметрами, гарантирующих требуемые прямые показатели качества, с учетом нулей и полюсов / М.И. Пушкарев, С.В. Ефимов, С.В. Замятин // Системный анализ, управление и навигация: сборник тезисов докладов XVII Международной конференции, посвященной 75-летию «НПО им. С.А. Лавочкина». - Евпатория, Крым, Украина, 1-8 июля 2012. - С. 81-83.

8. Pushkarev, M.I. Control system robust controller parametric synthesis based on coefficient estimation of stability and oscillation indices / M.I. Pushkarev, S.A. Gaivoronsky // Proceedings of IFOST 2012. - Tomsk, 17-21 September 2012. - Tomsk.: TPU, 2012. -Vol. l.-P. 720-724.

9. Pushkarev, M.I. Maximizing stability degree of interval systems using coefficient method / M.I. Pushkarev, S.A. Gaivoronsky II SCAN 2012: 15th GAMM-1MACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetics and Verified Numerics. - Novosibirsk, Institute of Computational Technologies, 23-39 September, 2012. - P. 140-141.

10. Пушкарев, М.И. Параметрический синтез робастного регулятора, максимизирующего степень устойчивости интервальной системы / М.И. Пушкарев, С.А. Гайворонский // Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах (УТЭОСС-2012): труды 5-ой Российской мультиконференции по пробле-

мам управеления (МКПУ-2012). - Санкт-Петербург, ЦНИИ Электроприбор, 9-11 октября 2012. - С, 207-210.

11. Пушкарев, М.И. Параметрический синтез робастного регулятора, обеспечивающего квазимаксимальную степень устойчивости интервальной системы / М.И. Пушкарев, С.А. Гайворонский // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. - 2012. - Том 26, № 2, Ч. 1. - С. 162-165.

12. Пушкарев, М.И. Синтез системы автоматического управления заданной степени апериодической устойчивости / М.И. Пушкарев // Современная техника и технологии: труды XIX Международной научно-практической конференции. - Томск, 1519 апреля 2013. - Томск: ТПУ, 2013. - Том 2. -. С. 331-332.

13. Pushkarev, M.I. Algorithm and software for synthesis of a controller with quasimaximum degree of stability and specified oscillation /М.1. Pushkarev, M.A. Chetverikov // Modern Technique and Technologies: Proceedings of XIX International conference. -Томск, 15-19 апреля 2013. - Томск: ТПУ, 2013. - С. 459-460.

14. Пушкарев, М.И. Алгоритм и программное обеспечение для синтеза регулятора квазимаксимальной степени устойчивости и заданной колебательности / М.И. Пушкарев, М.А. Четвериков // Современная газотранспортная отрасль: перспективы, проблемы, решения: материалы VI научно-практической конференции молодых ученых и специалистов. - Томск, 17-18 апреля 2013. - Том 2. - С. 238-243.

15. Пушкарев, М.И. Синтез встраиваемой самонастраивающейся системы управления и оценка ее робастности /В.В. Курганкин, В.М. Замятин, С.В. Замятин, М.И. Пушкарев // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Том 322, № 5. - С. 46-49.

16. Pushkarev, M.I. Maximizing stability degree of control systems under interval uncertainty using a coefficient method / M.I. Pushkarev, S.A. Gaivoronsky // Reliable Computing. -2014. - Vol. 19, № 3. - P. 248-260.

Подписано к печати 16.10.2014. Формат 60x84/16. Бумага «Снегурочка». Печать XEROX. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,16. _Заказ 1036-14. Тираж 100 экз._

Национальный исследовательский Томский политехнический университет

Система менеджмента качества I Издательства Томского политехнического университета Сертифицирована в соответствии с требованиями ISO 9001:2008_

ИЗДАТЕЛЬСТВО»'™. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30 Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru