автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ и синтез интервальных систем с гарантируемой динамикой на основе робастных и адаптивных алгоритмов

На правах рукописи

Новокшонов Сергей Владимирович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ГАРАНТИРУЕМОЙ ДИНАМИКОЙ НА ОСНОВЕ РОБАСТНЫХ И АДАПТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: информация и информационные системы, энергетика, экономика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск -2003

Работа выполнена в Томском политехническом университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Г.П. Цапко

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.И. Гончаров кандидат технических наук В.И. Катков

Ведущая организация:

Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск

Защита состоится «3» декабря 2003 г. в /.^Г часов на заседании диссертационного совета Д 212.269.06 при Томском политехническом университете по адресу: 634034, г. Томск, ул. Советская, 84, институт «Кибернетический центр» ПТУ, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета по адресу: 634034, г. Томск, ул. Белинского, 53.

Автореферат разослан «31» октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

к. т. н., доцент

М. А. Сонькин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из направлений современной теории автоматического управления является исследование систем с интервально-неопределенными параметрами. Интервальная неопределенность может быть обусловлена неточным знанием значений постоянных параметров или изменением нестабильных параметров по заранее неизвестным законам в определенных пределах. Исследованию подобных систем (названных интервальными), посвящено большое число публикаций отечественных и зарубежных ученых. Значительная часть их работ основана на детерминированном подходе к интервальной неопределенности параметров и использует при этом робастные и адаптивные методы.

При решении задач анализа и синтеза робастных систем в настоящее время основное внимание уделяется не столько робастной устойчивости, сколько обеспечению в интервальных системах (ИС) гарантируемой динамики. При этом актуальным является анализ робастной региональной устойчивости, соответствующей определенному робастному качеству управления, а также синтез робастного регулятора пониженного порядка, гарантирующего допустимые значения показателей качества интервальной системы.

Однако широко используемый робастный подход, реализуемый с помощью линейного жесткого регулятора, не всегда позволяет обеспечить желаемую динамику в интервальной системе. Причиной этому может быть наличие в системе упругих связей, наделяющих ее резонансными свойствами в области низких и средних частот. В таких случаях актуальна разработка адаптивных алгоритмов управления, способных демпфировать колебания от частотно-нестабильных резонансов без сужения полосы пропускания, а, следовательно, без ухудшения быстродействия системы.

Для получения желаемой динамики в ИС с широкими пределами изменения параметров актуальна задача комбинирования робастного и адаптивного управления. Такой способ управления, сочетающий достоинства робастного и адаптивного подходов, основан на анализе динамической ситуации в системе и переключении с одного типа управления на другой.

Специфика рассматриваемых систем обуславливает необходимость проведения теоретических исследований по разработке методик анализа и синтеза интервальных систем с робастными и адаптивными регуляторами, доведению отдельных их этапов до рабочих алгоритмов и программ для ЭВМ. Практическую значимость имеют разработки специальных технических средств, включаемых в контур регулирования и обеспечивающих желаемое качество функционирования интервальных систем.

Таким образом, целью работы является разработка методик анализа и синтеза интервальных систем с применением робастного и адаптивного подхо-

дов на основе решения следующих задач:

1) реберная маршрутизация параметрического многогранника системы для определения границ областей локализации корней характеристического полинома;

2) анализ робастного качества линейной ИС на основе отображения реберного маршрута на корневую плоскость;

3) параметрический синтез линейных регуляторов на основе робастного и адаптивного алгоритмов, обеспечивающих гарантируемую динамику в ИС на основе доминантного расположения полюсов ИС;

4) структурно-параметрический синтез псевдолинейных компенсаторов упругих частотно-нестабильных колебаний ИС на основе робастного и адаптивного алгоритмов.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались как теоретические, так и экспериментальные методы исследования. Теоретические исследования проводились с применением методов теории робастного и адаптивного управления. Экспериментальные исследования синтезируемых систем проводились путем программного моделирования на ЭВМ в пакете МаЛСа<1.

Научную новизну работы определяют:

- алгоритм реберной маршрутизации параметрического многогранника системы на основе свойств корневого годографа, позволяющей определить образы границ областей локализации корней интервального характеристического полинома;

- методика анализа региональной робастной устойчивости интервальных систем на основе реберной маршрутизации с применением методов корневого годографа, Б-разбиения, уравнения Теодорчика-Эванса;

- методика синтеза адаптивного и робастного линейных регуляторов для региональной локализации и стабилизации доминирующих полюсов ИС;

- способ компенсации частотнО-нёстабильных резонансов в интервальных системах;

- структуры адаптивного и робастного псевдолинейных компенсаторов, демпфирующих упругие частотно-настабильные колебания в интервальных системах.

Практическая ценность работы определяется:

- доведенными до уровня инженерного проектирования с использованием ЭВМ в интерактивном режиме методиками анализа и синтеза робастных и адаптивных линейных регуляторов, обеспечивающих гарантируемую динамику в интервальных системах;

- практической разработкой робастного и адаптивного псевдолинейных компенсаторов, техническая новизна и оригинальность которых подтверждена патентом на изобретение;

- возможностью использования результатов работы при решении соответствующих задач управления промышленными упругими электромеханическими системами (бумагоделательными машинами, подъемно-спускными меха-

низмами шахт и шлюзов, приводами манипуляторов и металлообрабатывающих станков, антенными установками), в объектах управления которых имеются нестабильные параметры.

Внедрение работы. Результаты исследований и разработок, описанных в диссертационной работе, использованы в учебном процессе кафедры автоматики и компьютерных систем Томского политехнического университета.

Разработанные в диссертации методики, алгоритмы и корректирующие устройства использованы в проектной деятельности ОАО «Сибхимпроект» (г. Новосибирск), ЗАО «СибКОТЭС» (г. Новосибирск).

Практическое использование результатов диссертационных исследований подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Русско-Корейской международной конференции KORUS'99 III. (Россия, г. Новосибирск, 1999г.), на международной конференции «Информационные системы и технологии» (г. Новосибирск, 2000г.), на VI международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2000), на VII международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2001г.), на X международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (г. Иваново, ИГЭУ, 2001г.), на VII Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, МЭИ, 2001г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, получен 1 патент на изобретение.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 111 наименований, и приложений; содержит 131 печатную страницу основного текста, 43 рисунка и 1 таблицу.

Автор выражает глубокую признательность научному консультанту к.т.н., доценту Гайворонскому С. А. за помощь при проведении научных исследований по теме диссертационной работы.

Содержание работы

Во введении раскрыта актуальность задач анализа и синтеза интервальных систем, обладающих гарантированными показателями качества.

На основе обзора существующих методов исследования устойчивости ИС для решения задачи анализа региональной робастной устойчивости предложено использовать робастное расширение известного метода корневого годографа. Установлено, что для применения данного подхода достаточно отображения на комплексной плоскости корней только определенных ребер параметрического многогранника, образы которых являются границами области локализации полюсов ИС.

Исходя из возможных упругих свойств ИС произведена декомпозиция задачи синтеза ИС с гарантируемой динамикой на две задачи:

1) синтез линейного регулятора на основе принципа доминирования корней характеристического полинома ИС, если она является жесткой или упругой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области высоких частот.

2) синтез компенсатора нестабильных резонансов, сохраняющего полосу пропускания ИС, если она является упругой системой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области средних или низких частот.

Для решения данных задач предложено использовать робастный и адаптивный подходы.

На основе литературного обзора проведено уточнение указанных задач и выбраны методы их решения.

В первой главе получены алгоритмы определения набора существенных ребер (реберного маршрута) для параметрического многогранника (ПМ) ИС по имеющейся информации о структуре характеристического полинома ИС и интервалах неопределенности ее параметров. Установлено что, образы этих ребер отображаются на границы областей локализации комплексных корней интервального характеристического полинома. Для этого поэтапно были решены следующие задачи.

Установлены основные свойства отображения ПМ на комплексную плоскость корней, при котором образами ребер ПМ являются реберные ветви, а образами вершин ПМ - корневые узлы. Сделан вывод о том, что реберные ветви могут входить в состав границы области локализации корня как полностью, так и частично, причем в последнем случае они пересекаются в особых корневых узлах и'. Данное свойство необходимо учитывать при граничной маршрутизации ПМ, в связи с чем, представляется целесообразным заранее знать о возможности наличия и в областях локализации полюсов ИС. Для этого разработаны методики проверки плоскостей граней ПМ на наличие особых прямых для интервальной и аффинной неопределенности. Наличие таких прямых указывает на возможность существования и при построении границ областей локализации корней.

Установлено, что для нахождения реберного маршрута необходимо определить углы выхода всех реберных ветвей интервального корневого годографа из любого граничного корневого узла.

Если в области отображения ПМ нет и', то последовательность реберных ветвей, ограничивающих область локализации комплексного корня, будет соответствовать последовательности их углов выхода (в порядке убывание или возрастания) из граничного корневого узла. В этом случае реберный маршрут определяется последовательным соединением соответствующих ребер ПМ.

Если в области отображения какой либо грани ПМ возможно наличие и , то при движении по реберному маршруту необходимо полностью отображать все ребра этой грани. В этом случае реберный маршрут определяется последовательно-параллельным соединением соответствующих ребер ПМ.

Разработаны методики определения реберного маршрута ПМ в случаях аффинной и интервальной неопределенностей для левой полуплоскости корней.

Доказано, что реберный маршрут является единственным для построения областей локализации всех корней интервальной системы.

Сделан вывод о том, что по сравнению с реберной теоремой, требующей отображения всех ребер ПМ, полученные алгоритмы нахождения реберных маршрутов позволяют значительно упростить задачу анализа и синтеза робаст-ных систем.

Приведены примеры, иллюстрирующие нахождение реберного маршрута для параметрических многогранников интервальных систем. На рис. 1 представлен реберный маршрут и его отображение на комплексную плоскость корней для системы с тремя интервальными параметрами.

на комплексную плоскость корней

Во второй главе решаются задачи анализа региональной робастной устойчивости (робастного качества) интервальных систем с использованием алгоритмов реберной маршрутизации.

Пусть граница желаемого расположения полюсов ИС на комплексной плоскости корней, задающая гарантируемую динамику ИС, описывается в следующем виде

&) = -$(а>) +]а> ,-<х><&<<*> (1)

Для решения поставленной задачи разработаны три методики, основанные на различных способах проверки региональной робастной устойчивости ИС на ее реберном маршруте.

Первая методика - методика анализа робастной региональной устойчивости ИС путем построения по реберному маршруту многопараметрического интервального корневого годографа. Ее применение позволяет оценить гарантируемые корневые показатели качества ИС.

Вторая методика - методика анализа робастной региональной устойчивости ИС с использованием метода робастного D-разбиения по реберному маршруту. Характеристическое уравнение для построения D-разбиения по одному и двум ребрам соответственно имеют вид:

Т, ■ A (s) + £ г/ ■ Л (5) + B(s) = 0, 5 = -8{а) + ja . к

Т, -A, (s) + Tj -Aj (s) + X V ■ A (s) + B{s) - 0, s = -8{a) + ja к

где T.,, TJ - интервальные параметры, Тк - координаты вершины ПМ.

Согласно данной методике, ИС является робастно устойчивой в заданной области комплексной плоскости корней, если интервалы изменения параметров принадлежат соответствующим областям D-разбиения.

Предложенный подход не требует непосредственного вычисления корней ИС и поэтому менее трудоемок для проектировщика. С этих позиций предпочтение следует отдавать D-разбиению по одному параметру (реберному D-разбиению).

Третья методика - методика анализа робастной региональной устойчивости ИС на основе реберной маршрутизации ПМ с использованием уравнения Теодорчика-Эванса.

Пусть характеристический полином ИС записывается в виде

ад-Фф+г.вд, (2)

где Г; - интервальный параметр, Ф(л) = E(s)+ jF(s), Т(л) = P(s) + jR(s).

Для того, чтобы установить допустимые пределы вариации параметра Т„ при'которых корни полинома (2) лежат левее границы (1), предлагается найти точки пересечения реберных ветвей корневого годографа по параметру Г,- с границей (1). То есть при заданном значении .решить уравнение корневого годографа Теодорчика-Эванса

F (а) ■ Р(а) - Е{а) ■ R(a) = О

>

и полученные действительные корни ®к подставить в выражение т = Е(ак)- Р(Щ ) - FK) • R(ak

P\ak)+R\ok) ' ' *

Минимальное и максимальное значения 7] определяют допустимые пределы его изменения, при которых система сохраняет заданную устойчивость.

Достоинство данной методики заключается в том, что она при анализе региональной робастной устойчивости полностью исключает графические построения. Решение уравнений Теодорчика-Эванса для всех граничных ребер позволяет наиболее точно определить интервалы параметров исследуемой ИС, гарантирующие заданную региональную робастную устойчивость.

Приведенные примеры наглядно иллюстрируют работоспособность и эффективность разработанных методик анализа региональной робастной устойчивости ИС.

В третьей главе разрабатываются методики синтеза робастных и адаптивных интервальных систем с гарантируемой динамикой. Они основаны на применении робастного и адаптивного подходов к доминантному расположению полюсов ИС.

Для этого вначале разработана методика доминантного расположения полюсов стационарной системы с использованием метода D-разбиения. Методика позволяет определять параметры регулятора, обеспечивающие желаемые значения доминирующих полюсов Л, и расположение остальных полюсов в заданной области комплексной плоскости. Предложенная процедура основана на разделении параметров линейного регулятора на свободные g, и • зависимые g 2 и их последовательном нахождении с использованием метода D-разбиения.

Для случая двух свободных параметров регулятора характеристическое уравнение системы имеет вид

! А,- • Мр) + 2kt •Ai(p) + В{р) = 0, (3)

где Ki, К2 - свободные параметра регулятора, кз ...кг - зависимые параметры регулятора.

Если в уравнение (3) сначала подставить р = Л, а потом сделать подстановку р — -5(cû) 4- /ю и преобразовать полученные уравнения в матричную форму, то получим систему матричных уравнений

ÎQuWg, +QI2W g2 =R,(X); [Qî.H i, +Q22(M) i2 = R2(®)-

При этом вееторы g,, g2, R, (>.) , R2(^) иматрицы Qn(^), QI2(X), Q21(X), Q22M будут иметь вид

-W

R,(X)- ••• . R2(œ) =

(4)

8, -

К

82

QnW-

Q2iH =

k? kr Mh)

Mh) Mh)

' ReAj (со) ИеЛ2(ш) ImAji©) 1тЛ2(со)

Q22(«) =

-вд.

A3&1) • ReA3(o>)

-Re5(œ) - Im5(co)

ММУ АЛ>ч)

• ReAr(co)

ImA3(ffl) ••• ImAr((o)

Из первого уравнения системы (4) выразим вектор g2 зависимых параметров регулятора:

ё2=0Г21(>.)-к1(Х)-0г21(Х)-д11().)-81. . " (5)

Уравнение границы О-разбиения найдем из второго уравнения системы (4) с учетом (5):

8. = ЬаИ "<Ь2И• <№)'х

Выбирая в найденной области Б-разбиения значения свободных параметров , подставляем их в (5) и находим значения зависимых параметров §2 .Таким образом, найденные значения параметров линейного регулятора обеспечивают расположение доминирующих полюсов в заданных точках и локализацию свободных в заданных областях комплексной плоскости корней.

На основе доминантного расположения полюсов стационарной системы разработана методика синтеза робастного регулятора для желаемой локализации полюсов интервальной системы. Данный регулятор способен обеспечивать в системе заданную минимально допустимую степень устойчивости, определяющую такую динамическую характеристику ИС, как быстродействие.

Для решения этой задачи предложено комбинировать процедуру доминантного расположения полюсов стационарной системы с робастным подходом, используя свойство степени устойчивости линейной системы принимать минимальные значения в вершинах ее параметрического многогранника.

Методика содержит следующие этапы.

1. Приведение характеристического полинома системы к виду

где Т- вектор интервальных параметров.

2. Определение координат вершин параметрического многогранника Рт.

3. Задание числа I и значений А,,-, / = 1,... / доминирующих полюсов системы, числа с = п-1 свободных параметров регулятора и уравнения (1) границы области расположения свободных полюсов.

4.Формирование матриц , > Q2l(a))»ОггС00) и векторов К.СГЛ),^!».

5.Построение на основании выражения

="о?!"» 'па? (®) - <2 22 И • <2.2 (*■) • <2и 0-)

в пространстве свободных параметров границ О-разбиения для каждой вершины Рт и ее штриховка в соответствии с общими правилами. Назначение свобод-

ных параметров регулятора из области, соответствующей пересечению найденных выше областей.

6. Расчет зависимых параметров регулятора при помощи выражения

ё2 = (ху■ я, (г д) - о;' (X) ■ о,, (X) •

(6)

при этом значения Г, должны принадлежать какой либо из вершин Рр

7. Построение областей локализации корней при найденных настройках ре1улятора на основе реберного маршрута.

8. Если области локализации полюсов И С выходят за установленные границы, то необходимо снова рассчитать g2 для других вершинных значений Т,.

В качестве примера на рис.2 приведены области локализации полюсов ИС с тремя интервальными параметрами и робастным ПИД-регулятором, синтезированным предложенным методом.

* *>

V <4 ♦ ♦ ♦ ¡>'

к:« V;

1

15

10

-5

-10

-15,

-20

-10

Рис.2. Области локализации полюсов ИС с робастным ПИД-регулятором

Для стабилизации доминирующих полюсов ИС разработана методика синтеза адаптивно-робастного регулятора. Такой регулятор способен устранить влияние недоминантных полюсов (локализовать свободные полюсы левее заданной границы (1)) на качество регулирования, а доминантные полюса стабилизировать в заданных точках комплексной плоскости для обеспечения желаемых динамических свойств системы вне зависимости от значений интер-вапьно-неопределенных параметров.

Для синтеза адаптивно-робастного регулятор предложено при выбранных свободных параметрах регулятора организовать самонастройку зависимых параметров в соответствии со значениями интервальных параметров. Таким образом, выражение (6) примет вид

ёгСО = (>•)• ЩТ,Х)-(}^(Х)-Ъп(X)■ к,,

В четвертой главе показано, что широко используемый робастный подход, реализуемый с помощью линейного жесткого регулятора, не всегда позволяет обеспечить желаемую динамику в интервальной системе. Причиной этому может быть наличие упругих связей, наделяющих систему резонансными свойствами.

На основе анализа динамических свойств нестационарных слабодемпфи-рованных систем с широким диапазоном изменения резонансной частоты (выходящим за полосу пропускания) показана целесообразность декомпозиции общей задачи коррекции системы на следующие две задачи:

- точная (частотнонепрерывная) компенсация амплитудного всплеска в полосе пропускания системы (на низких и средних частотах);

- загрубление системы в частотном диапазоне правее полосы пропускания (высокие частоты).

у Дня решения первой задачи

разработан способ адаптивной антирезонансной коррекции нестабильных частотных характеристик объекта управления на основе свойств управляемого упора. В основе предложенного способа лежит компенсация фазового запаздывания с одновременным демпфированием резонансного пика амплитудной частотной характеристики системы.

На основе данного способа антирезонансной коррекции с самонастройкой на изменяющуюся резонансную частоту разработана структура псевдолинейного компенсатора (см.рис.З), частотные характеристики которого не зависят от амплитуды входного сигнала.

Это подтверждают полученные выражения коэффициентов гармонической линеаризации «люфта»

Блок определения амплитуды

Рис.3. Структурная схема псевдолинейного компенсатора

(<у) ж

ж

(—+агсзт(1 - 2 к2 (со))+

зт(2агсзт(1 - 2 кг (<а)))

кх(ф)

ж

соэ2 (агсзш(1 - 2 кг (¿а))).

При этом АЧХ и ФЧХ компенсатора имеет вид:

(р (т) = агсщ

9|(й))-1

Для расчета настроек и к2 адаптивного псевдолинейного компенсатора получены выражения, зависящие от фазового рассогласования (рй между входным и выходным сигналами объекта управления (ОУ):

ЫРо)-

^2(^0) - 1 - БШ* (-—-) .

Выбор настройки к компенсатора определяется формой резонансных пи-

ков.

Показано, что амплитудная и фазовая характеристики компенсатора являются инверсными по отношению соответственно к амплитудному пику и фазовому сдвигу в системе в области резонанса. В результате такой компенсации система имеет скорректированные характеристики на которых практически не отражается влияние резонанса. Структурная схема системы с псевдолинейным адаптивным компенсатором показана на рис.4.

X ^ -V

—(2)-

Блок определения амплитуды

иа

¥

усилитель ивх ОУ

1x1

1)вых

Блок определения

фо

Формирователь

К,

Формирователь

К*

Рис.4. Структурная схема системы с псевдолинейным адаптивным компенсатором

Для решения второй задачи, поставленной в этой главе, получена структура робастного псевдолинейного компенсатора на основе управляемого упора со свойствами фильтра низких частот. Для этого в канале управления шириной люфта предлагается использовать линейный фильтр низких частот ^(5), стоящий перед блоком измерения амплитуды. При таком амплитудно-частотном управлении шириной люфта справедливо соотношение

А(со) ~ где А{а>) - амплитудно-частотная характеристика компенсато-

ра. Таким образом, синтез робастного компенсатора сводится к выбору передаточной функции Иф(£). Пусть она имеет вид

(*)----

В этом случае робастный компенсатор содержит две настройки: Тф и т. Постоянная времени Тф фильтра (.?) задает левую границу частотной области робастной коррекции и определяется выражением Т, где со - граничная частота полосы пропускания системы. Показатель степени т задает крутизну ЛАЧХ компенсатора в области робастного демпфирования. Он определяется величиной амплитудных пиков нестабильных тонов упругих колебаний системы.

Для ИС, в которых резонансы имеют место в широком диапазоне, покрывающем области средних и высоких частот, предложен способ комбинирования адаптивной и робастной антирезонансной коррекции. Реализующая его струк-

Рис.5. Структурная схема системы с комбинированной антирезонансной коррекцией

Переключение с адаптивной коррекции на робастную и наоборот осуществляется анализатором динамической ситуации, который содержит компаратор и блок ключей. Частота, на которой срабатывает компаратор, определяется частотой сопряжения линейного фильтра .

В пятой главе рассмотрены вопросы практической реализации методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтеза, а также практической реализации адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции.

Разработанные алгоритмы и приведенные программы определения реберного маршрута на ЭВМ в диалоговом (интерактивном) режиме в значительной мере помогут проектировщику при анализе и синтезе робастных систем. При этом будет обеспечиваться высокая точность анализа робастной региональной устойчивости интервальной системы, а также простота синтеза робастных регуляторов.

Для реализации способа адаптивной антирезонансной коррекции предложены варианты схем основных устройств, входящих в состав адаптивного компенсатора и обеспечивающих егофункционирование.

С целью проверки работоспособности разработанного адаптивного компенсатора и наглядной иллюстрации его применения проведено моделирование интервальной упругой системы с передаточной функцией

W(S) =_™_

рК ' 5(Г252+0.5Г5 + 1)'

где Г является интервальным параметром.

На рис.6 приведены исходные резонансные ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой интервальной упругой системы (кривые 1), частотные характеристики адаптивного компенсатора (кривые 2), и частотные характеристики скорректированной системы (кривые 3). Вид характеристик компенсатора подтверждает сделанный выше вывод о том, что его амплитудная и фазовая характеристики являются инверсными по отношению соответственно к амплитудному пику и фазовому сдвигу в системе в области резонанса.

В результате такой компенсации система имеет скорректированные характеристики (кривые 3), на которых практически не отражается влияние резонанса. Данный корректирующий эффект будет иметь место и при любой другой возможной резонансной частоте в системе. Поэтому применение адаптивного компенсатора резонансов позволяет максимально (до границы, определяемой только динамикой исполнительного привода) расширить полосу пропускания системы.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

В приложениях приведены тексты программ, реализующих на ЭВМ полученные методики и алгоритмы.

Рис.6. Частотные характеристики системы с адаптивным антирезонансным компенсатором

Основные результаты работы

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Разработаны алгоритмы реберной маршрутизации ПМ, позволяющие определить образы границ областей локализации полюсов ИС. Для этого решены следующие задачи:

- Установлены основные свойства отображения ребер ПМ на комплексную плоскость корней и сделан вывод о том, что для определения искомых границ нет необходимости отображать все ребра ПМ, а достаточно найти и отобразить только существенные граничные ребра.

- Разработаны методики проверки плоскостей граней ПМ на наличие особых прямых при интервальной и аффинной неопределенности системы. Наличие данных прямых указывает на возможность существования особых корневых узлов, в которых могут пересекаться граничные реберные ветви интервального корневого годографа.

- Получено условие принадлежности корневого узла границе области локализации комплексного корня.

- Разработаны методики определения реберного маршрута ПМ при аффинной и интервальной неопределенностях на основе значений углов выхода реберных ветвей из граничного корневого узла и информации о наличии особого корневого узла.

- Показано, что реберный маршрут ПМ является единственным для построения областей локализации всех комплексных полюсов ИС.

2. На основе реберной маршрутизации разработаны методики анализа ро-бастной региональной устойчивости, гарантирующей допустимые показатели качества ИС. Предложены три методики, использующие различные способы оценки робастной региональной устойчивости на реберном маршруте:

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе построения многопараметрического интервального корневого годографа по реберному маршруту;

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе ро-бастного Б-разбиения по реберному маршруту;

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе решения уравнений Теодорчика-Эванса для всех ребер маршрута.

3. На основе применения робастного и адаптивного подходов к доминантному расположению полюсов ИС разработаны следующие методики синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих в ИС гарантируемую динамику:

- методика синтеза линейного робастного регулятора для региональной локализации доминирующих полюсов ИС, гарантирующей минимально-допустимую степень устойчивости;

- методика синтеза адаптивно-робастного регулятора для стабилизации доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости.

4. На основе разработанного способа компенсации частотнонестабильных резонансов проведен структурно-параметрический синтеза псевдолинейных компенсаторов для упругих ИС. При этом синтезированы:

- адаптивный псевдолинейный компенсатор для ИС с низкочастотными резонансами;

- робастный псевдолинейный компенсатор для ИС с высокочастотными резонансами;

- комбинированый адаптивно-робастный компенсатор.

5. Рассмотрены вопросы практической реализации разработанных алгоритмов.

- варианты практической реализации на ЭВМ методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтеза;

- практическая реализация адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции.

Основные публикации по теме диссертации

1. Melnikov U.S., Gaivoronsky S. A., Novokshonov S.V. Stabilization of undersea object situation, connected with ship by the rope (abstracts)// KORUS'99 III Russian-Korean international Symposium.-Novosibirsk, Russia,1999.

2. Melnikov U.S., Gaivoronsky S. A., Novokshonov S.V. Stabilization of undersea object situation, connected with ship by the rope (proceedings)// KORUS'99 III Russian-Korean international Symposium.-Novosibirsk, Russia,1999.

3. Вадутов O.C., Гайворонский C.A., Новокшонов С. В. Доминантное распо-ло-жение полюсов системы с интервальными пара-метрами на основе ро-бастного D-разбиения // Современные техника и технологии. Тез.докл. У1международ.научн.-практич.конф..-Томск:изд.ТПУ, 2000

4. Вадутов О.С., Мельников Ю.С., Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Синтез динамических регуляторов интервапь-ных автоматических систем

■ стенда имитации невесомости // Информационные системы и технологии. Докл.международн.конф. Новосибирск, 2000.

5. Гайворонский С.А., Вадутов О.С., Новокшонов С. В. Анализ региональной робастной устойчивости системы методом интервального корневого годографа // Тез. докл. per. науч. конфер. Наука, Техника, Инновации. Новосибирск: Издат. НГТУ, 2001

6. Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Анализ качества электроэнергетических систем с интервальными параметрами корневым методом // VII Межд. Научно-технич. конфер. Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Москва: Издательство МЭИ, 2001

7. Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Анализ робастной относительной устойчивости на основе многопараметрического интервального корневого годографа // Тез.докл. X международ. Научн.-технич. Конф. Состояние и перспективы развития электротехнологии. Иваново: Издат. ИГЭУ, 2001

8. Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Построение границ корневых областей систем с интервальными параметрами // Современные техника и технологии. Тез.докл. VII международ, научн.-практич. конф. -Томск: изд.ТПУ, 2001

9. Патент № 2174252 РФ, МКИ G 05 В 13/02. Способ адаптивной антирезонансной коррекции нестабильных частотных характеристик колебательного объекта управления и самонастраивающаяся следящая система для его осуществления / Вадутов О. С., Гайворонский С. А., Новокшонов С. В. // Б .И. № 27,27.09.2001.

Ю.Гайворонский С. В, Новокшонов С. В. Комбинирование адаптивной и робастной псевдолинейной коррекции в нестационарных слабодемпфирован-ных системах // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т46, № 10. С. 18-24.

Подписано в печать 29.10.2003. Тираж 100 экз. заказ № 110. Бумага офсетная. Печать RISO. Отпечатано в типографии ООО «РауШ мбХ» Лицензия Серия ПД № 12-0092 г. Томск, ул. Усова 7, ком. 052. тел. (3822) 56-44-54

:

»17466

I

I

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РЕБЕРНАЯ МАРШРУТИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МНОГОГРАННИКА СИСТЕМЫ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Свойства отображения ребер параметрического многогранника системы на комплексную плоскость корней.

1.3. Основные фазовые соотношения реберной маршрутизации.

1.4. Алгоритм реберной маршрутизации.

1.5. Примеры реберной маршрутизации.

1.6. Основные результаты.

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ГАРАНТИРУЕМОЙ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Анализ региональной робастной устойчивости на основе построения многопараметрического интервального корневого годографа.

2.3. Анализ региональной робастной устойчивости на основе реберного D-разбиения.

2.4. Анализ региональной робастной устойчивости на основе уравнения Теодорчика-Эванса.

2.5. Основные результаты.

ГЛАВА 3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ,

ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ГАРАНТИРУЕМУЮ ДИНАМИКУ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Доминантное расположение полюсов стационарной системы линейным регулятором пониженного порядка.

3.3. Синтез робастного регулятора для локализации полюсов интервальных систем.

3.4. Синтез адаптивно-робастного регулятора для стабилизации доминирующих полюсов интервальных систем.

3.5. Основные результаты.

ГЛАВА 4. СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ КОМПЕНСАТОРОВ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ

ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Способ компенсации частотнонестабильных резонансов.

4.3. Синтез адаптивного псевдолинейного компенсатора.

4.4. Синтез робастного псевдолинейного компенсатора.

4.5. Комбинирование адаптивной и робастной псевдолинейной коррекции упругих интервальных систем.

4.6. Основные результаты.

ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАНЫХ

АЛГОРИТМОВ.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Программная реализация робастного алгоритма определения реберного маршрута.

5.3. Аппаратная реализация самонастраивающейся системы.

5.4. Основные результаты.

В реальных системах автоматического управления (САУ) возможны случаи, когда некоторые их параметры не известны точно, либо меняются в процессе эксплуатации системы по заранее неизвестным законам, причем их значения в принципе не могут быть доступны измерению. Если при этом известны диапазоны возможных значений постоянных параметров или пределы изменения нестабильных параметров, то в таких случаях говорят о параметрической интервальной неопределенности [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Системы, имеющие интервально-неопределенные параметры, получили название интервальных систем (ИС).

Существует два основных подхода к исследованию ИС: детерминированный и стахостический. В отличии от стахостического подхода, в соответствии с которым в качестве постулата принимается гипотеза о вероятностной природе неопределенности, детерминированный подход использует гарантированные оценки. Выберем его для дальнейшего исследования вопросов анализа и синтеза ИС.

Пусть линейная ИС описывается следующими уравнениями: где все матрицы А, В, С, Di и D2 зависят от интервальных параметров, параметры образуют многогранник Мт, представляющий собой прямоугольный гиперпараллелепипед с числом вершин 2т.

При описании ИС уравнениями (В.1) введем условие линейной неопределенности, означающее, что коэффициенты atfq) характеристического х = A(q) х + B(q)u + Dx (q)z; y = C(q)x + D2(q)z,

B.l) образующих вектор q. Так как то интервальные полинома (или элементы arfq) матрицы A(q)) есть линейные функции от q. Особенно выделим два случая [8]:

1. Интервальная неопределенность;

2. Аффинная неопределенность.

В первом случае интервальный характеристический полином (ИХП) задается так где я,- = я,т;п, at = я.тах. В нем сами коэффициенты являются неопределенными параметрами, которые могут независимо принимать значения в своих интервалах неопределенности ].Условие я„>0 обычно накладывается для того, чтобы обеспечить неизменность степени п полинома при всех

Во втором случае коэффициенты характеристического полинома не имеют непосредственного физического смысла и зависят от параметров q линейным образом. Аффинная неопределенность является простейшей моделью такой зависимой структуры неопределенности. Аффинное семейство полиномов задается следующим образом

P(s,Q) = {P(s,q) = р„(s) + qlPl(s) + . + qlP,(s), qsP}, (B.3) где полиномы Pi(s),i = 0J фиксированы и известны (P(s,0) = P0(s) также называют номинальным полиномом системы). В этом случае коэффициенты cti(q) полинома P(s,q) зависят аффинным образом от параметров q:

В.2) ап хап<а„.

Ф)-"? + , (В.4) м где а( - коэффициент Pj(s) при sl. Иными словами, коэффициенты atfq) не могут меняться независимо друг от друга при изменении q.

При проектировании ИС основная задача состоит в обеспечении желаемого качества ее функционирования при любых возможных значениях интервальных параметров. Иными словами, должен закладываться высокий уровень робастности ИС. Это свойство включает в себя в первую очередь наличие робастной устойчивости и робастного качества управления в разрабатываемой ИС [9,10,11, 12,13,14].

Робастной устойчивости соответствует расположение областей локализации всех полюсов ИС в левой половине комплексной плоскости. Рассмотрим существующие методы анализа робастной устойчивости.

Фундаментальные результаты, позволяющие исследовать робастную устойчивость системы с интервальной неопределенностью, получены В. Л. Харитоновым [15,16,17]. Пусть задан полином

P(s) = {-P(s) = я0 + axs +. + ans", а{ <,ai <di,i = 0,.,п, aQ >0, an> 0 }, параметрами которого являются сами коэффициенты полинома, изменяющиеся в прямоугольном параллелепипеде. Рассмотрим четыре полинома, составленные из крайних значений коэффициентов, чередующихся парами (два нижних значения - два верхних):

P\(s) = Q.0+ G.lS + a2S2 + CI3S3 + . , P2(s) = ao + a{s + a2s2 + язя3 +. , P3(s) = ao + a\s + o2s2 + a3s3 + . , Pt(s) = a0 + a\s + ais2 + a3s3 +.

Эти полиномы получили название полиномов Харитонова.

Теорема Харитонова звучит следующим образом: Для робастной устойчивости интервального семейства (В.5) необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивы.

Перейдем теперь к более сложной ситуации — аффинному семейству полиномов

P(s,Q) = { P„{s) + q^s) +. + q,P,(s), \q\ <.y,i = 1,.,/ } (B-6) с параметрами, изменяющимися в кубе

Одномерное семейство вида

P(s,q):\qi\ = y,i*k,\qk\zy} (В.8) названо реберным полиномом. Вершинными полиномами названы полиномы вида P(s,q), qt = ±у, i = 1,1.

Геометрически вершинные и реберные полиномы соответствуют вершинами ребрам куба (В.7), т.е. реберный полином «соединяет» два соседних» вершинных полинома (соответствующих соседним вершинам куба), и всего имеется /2/1 реберных полиномов. Справедлива следующая теорема [18]. Пусть deg^ =sdegP0 =л, / = 1,./, 1 1

Off

В.9) (В. 10) / = 1,.,/, - коэффициенты при sk полиномов Pi(s). Пусть полином Pj(s) устойчив. Тогда для робастной устойчивости семейства (В. 6) необходима и достаточна устойчивость всех реберных полиномов. Щ

Даная теорема названа реберной. Она позволяет получить эффективную формулировку критерия робастной устойчивости, лишь, если число / неопределенных параметров мало. В этом случае следует проверить все реберные полиномы. Они представляют собой однопараметрические семейства вида AM (5) + (1 - A)N(s) (где M(s), N(s) - два соседних вершинных полинома), и в соответствии с критерием Найквиста (роль точки -1 здесь играет — (1 — А)/Я) их устойчивость при 0<Л<1 эквивалентна тому, что полиномы M(s), N(s) устойчивы, а годограф G(ja)) = M(jco)/N(j(o) не пересекает отрицательной вещественной полуоси. Однако если / велико, то число таких проверок значительно (даже для 1=5 нужно проверить /2м = 80 реберных полиномов), что потребует большого объема вычислений.

В связи с этим актуальна проблема исследования возможности сокращения числа проверяемых ребер. Побудительным мотивом к такой постановке задачи явились работы[18, 19], где в соответствии с реберной теоремой путем отображения всех ребер многогранника строятся области миграции корней интервального полинома. Из рассмотрения этих областей следует очевидный вывод о том, что для анализа устойчивости конкретного интервального полинома достаточно проверить только те его существенные ребра, образы которых составляют границы областей локализации корней полинома. Однако для этого необходимо уметь заранее определять существенные ребра по имеющейся информации о структуре полинома и интервалах неопределенности его коэффициентов.

Очевидно, что наряду с проверкой робастной устойчивости, отвечающей только на вопрос: устойчива ИС или нет, для проектировщика желательно гарантировать также и робастное качество ИС, соответствующее расположению ее полюсов в некоторой заданной области комплексной плоскости.

В литературе данная проблема рассматривается как анализ робастной ^ относительной устойчивости [5, 20, 21, 22, 23]. Понятие относительной устойчивости связано с разнообразными вариантами расположения корней ИХП соответственно возможным сочетаниям варьируемых параметров в рамках фиксированных интервалов.

До настоящего времени исследования в этой области велись преимущественно алгебраическим и частотным методами в двух направлениях: формулирование необходимых и достаточных условий [5, 24, 25, 26, 27, 28, 29] и вывод сравнительно неконсервативных достаточных условий робастной относительной устойчивости [5, 7, 30, 31]. При этом основная часть публикаций оперирует с результатами В. J1. Харитонова.

Так установлено, что необходимые и достаточные условия требуют анализа 2" полиномов с постоянными коэффициентами, принимающими свои граничные значения [5, 21]. Такая процедура, безусловно, оказывается весьма трудоемкой. Поэтому предлагается использовать достаточные условия, обеспечивающие выполнение интересующих проектировщика требований. В частности, эффективными являются условия попадания корней ИХП в сектор, заданным углом ж±<р*, основанные на достаточном критерии устойчивости Ф Липатова - Соколова [7, 31]. Эти условия имеют вид:

2 9-t

Qi-\ai.\

8\ i = 1,.,я-1,

B.ll) где 8* - действительная функция величин п и (р* (ее значения представлены на соответствующих номограммах [7]).

Заметим, что исследования робастной относительной устойчивости ведутся преимущественно для случая интервальной неопределенности в системе. Среди работ, рассматривающих аффинную неопределенность, можно выделить работы [32, 33], связанные с построением гарантированных областей локализации полюсов ИС.

Наиболее перспективным для исследования ИС согласно [34,35, 36, 37,38, 39] является корневой подход [40]. Он основан на отображении многогранника интервальных параметров на корневую плоскость и позволяет наиболее точно оценить робастную устойчивость и робастное качество ИС. Реализовать корневой подход можно на основе робастного расширения известного метода корневого годографа, который предусматривает получение информации о границах областей локализации корней системы, соответствующих известной области изменения интервальных параметров.

Для построения таких границ при условии линейного вхождения интервальных параметров в коэффициенты характеристического полинома системы разработаны подходы [18], основанные на отображении на плоскость корней ребер многогранника характеристических полиномов. Его вершинами являются полиномы, соответствующие крайним значениям интервальных параметров. Однако рекомендуемая в [18] проверка относительной устойчивости на всех ребрах является сверхдостаточной, о чем свидетельствуют приведенные там же примеры. Поэтому возникает естественное желание знать существенны ребра, которые являются образами границ корневых областей. Для их определения предлагается использовать интервальный аналог метода корневого годографа.

Синтезу ИС также посвящено большое количество публикаций [41, 42, 43, 44]. Под задачей синтеза ИС будем понимать определение настроек линейного регулятора заданной структуры, гарантирующего желаемое качество. Многие из предлагаемых методик синтеза робастных ИС основаны на результатах Харитонова. Так, например, полиномы Харитонова используются при синтезе двух параметров линейного регулятора на основе робастного D-разбиения [45, 46]. Данный метод позволяет выбрать настройки регулятора из параметрической области устойчивости, обеспечивающее попадание корней ИХП в заданную односвязную область комплексной плоскости.

Известно, что динамика любой линейной системы главным образом зависит от расположения ее доминирующих полюсов. Поэтому для обеспечения гарантированных динамических свойств ИС следует при синтезе робастного регулятора использовать принцип доминирования. В соответствии с ним для получения требуемого качества необходимо расположить желаемым образом доминирующие полюса и отдалить от них остальные свободные полюса. Решение задачи размещения доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости рассматривается в ряде работ для стационарных систем. В [47, 48, 49, 50, 51] , например, эта задача решается с помощью полиномиальных уравнений синтеза. В [47, 49, 50] используется интерполяционный метод назначения доминирующих полюсов. При этом недоминирующие полюса системы могут располагаться на комплексной плоскости произвольно. Поэтому на заключительном этапе предусматривается дополнительная проверка выполнения условий доминантности.

Для интервальной системы также представляет интерес задача размещения ее полюсов. При этом желательно, чтобы доминирующие полюса принимали предписанные значения или локализовались необходимым образом, а остальные располагались в заданной области комплексной плоскости.

Среди реальных систем автоматического управления с интервальными параметрами можно выделить класс систем, обладающих ярко выраженными резонансными свойствами. При этом особый интерес представляют системы, интервальными параметрами которых являются параметры упругих связей.

Заметим, что простые интервальные упругие системы низкого порядка имеют, как правило, интервальную неопределенность, а более сложные — аффинную неопределенность. Характерной особенностью интервальных упругих систем является частотная нестабильность упругих тонов колебаний. Степень их отрицательного влияния на динамику системы определяется в каждом конкретном случае с помощью построения частотных характеристик. Как правило, учету подлежат те тона колебаний, которые деформируют логарифмическую амплитудночастотную характеристику выше оси частот или пересекают эту ось, являясь источниками неустойчивости системы. При этом, интервалы изменения резонансной частоты могут лежать в низкочастотных, среднечастотных и высокочастотных областях в зависимости от параметров упругих связей.

Применение в интервальных упругих системах линейных робастных регуляторов может обеспечить робастную устойчивость, но при этом не всегда позволяет получить желаемую динамику системы. Так, например, если диапазон изменения частоты резонанса находится в области высоких частот, то с помощью линейных фильтров, в принципе, возможно подавлять упругие колебания в САУ, не снижая ее быстродействия. Если же диапазон изменения резонансной частоты лежит в среднечастотных или низкочастотных областях, то демпфирование системы с помощью линейного робастного регулятора приведет к ее существенному загрублению и потере желаемого быстродействия.

Выходом из этой ситуации может служить использование нелинейных законов компенсации влияния нестабильных резонансов [52, 53]. Разработанные в соответствии с этими законами различные схемы псевдолинейных корректирующих устройств приведены в [52, 54, 55, 56,]. Для указанной цели, особенно в случае изменения параметров упругих связей, необходимы такие корректирующие устройства, которые формировали бы логарифмические амплитудно-частотные характеристики (JIA4X), инверснми по отношению к частотнонестабильным амплитудным пикам, и при этом создавали необходимый запас устойчивости по фазе. Они должны быть щ способны независимо корректировать АЧХ и ФЧХ системы в известном заранее диапазоне частот, сохраняя при этом ее динамику.

Данным требованиям в определенной мере отвечает, например, многоканальное нелинейное корректирующее устройство из [52]. Однако главной причиной, ограничивающей его использование при изменении резонансной частоты в широком диапазоне, является частотная дискретность коррекции и, как следствие, трудность обеспечения высокой точности компенсации резонансов без значительного увеличения числа каналов и усложнения устройства.

Согласно [57, 58], перспективным направлением в этом случае является адаптивная коррекция интервальной упругой системы с самонастройкой на резонансную частоту, которая позволяет осуществлять точную частотнонепрерывную компенсацию амплитудного всплеска.

Таким образом, в результате проведенного обзора существующих подходов к анализу и синтезу ИС можно сделать следующие выводы и предложения.

Анализ гарантируемого робастного качества ИС

Для анализа робастного качества системы с интервальной или аффинной неопределенностью целесообразно применять корневой подход с использованием метода корневого годографа и реберной теоремы. В основу этого подхода предлагается положить определение свойств отображения ребер и вершин параметрического многогранника ИС на комплексную плоскость корней. Целью при этом является нахождение существенных ребер, отображающихся на границы областей локализации полюсов ИС. Задача анализа робастного качества в данном случае будет сводиться к оценке качества ИС на этих существенных ребрах. Для ее решения можно использовать как графические методы (построение интервального корневого годографа, реберное D-разбиение), так и аналитические с применением уравнения корневого годографа (уравнения Теодорчика-Эванса).

Синтез ИС с гарантируемой динамикой

В зависимости от упругих свойств интервальной системы задача ее синтеза с целью обеспечения гарантированной динамики может быть разделена на две задачи:

- если ИС является жесткой или упругой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области высоких частот, то следует синтезировать линейный робастный регулятор на основе принципа доминирования корней характеристического полинома,

- если ИС является упругой системой с интервалом неопределенности частоты резонанса в области средних или низких частот, то следует синтезировать адаптивный компенсатор нестабильных резонансов, сохраняющий полосу пропускания системы, и следовательно, ее требуемые динамические свойства.

Таким образом, целью работы является разработка методик анализа и синтеза интервальных систем с применением робастного и адаптивного подходов на основе решения следующих задач:

1. реберная маршрутизация параметрического многогранника системы для определения границ областей локализации корней характеристического уравнения;

2. анализ робастного качества линейной интервальной системы на основе отображения реберного маршрута на корневую плоскость;

3. параметрический синтез линейных регуляторов, обеспечивающих гарантированную динамику в интервальных системах на основе доминантного расположения полюсов;

4. структурно-параметрический синтез псевдолинейных компенсаторов упругих частотно-нестабильных колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработка алгоритмов реберной маршрутизации параметрического многогранника системы на основе свойств корневого годографа (КГ), позволяющей определить образы границ областей локализации корней интервального характеристического уравнения;

- разработка методики анализа региональной робастной устойчивости интервальных систем на основе реберной маршрутизации с применением методов корневого годографа, D-разбиения, уравнения Теодорчика-Эванса;

- разработка методики синтеза адаптивного и робастного линейных регуляторов для региональной локализации и стабилизации доминирующих полюсов интервальной системы;

- разработка способа компенсации частотно-нестабильных резонансов в интервальных системах;

- разработка структуры адаптивного и робастного псевдолинейных компенсаторов, демпфирующих упругие частотно-настабильные колебания в интервальных системах.

Практическая ценность работы определяется:

- доведенными до уровня инженерного проектирования с использованием ЭВМ в интерактивном режиме методиками анализа и синтеза робастных и адаптивных линейных регуляторов, обеспечивающих гарантированную динамику в интервальных системах;

- практической разработкой робастного и адаптивного псевдолинейных компенсаторов, техническая новизна и оригинальность которых подтверждена патентом на изобретение;

- возможностью использования результатов работы при решении соответствующих задач управления промышленными упругими электромеханическими системами (бумагоделательными машинами, подъемно-спускными механизмами шахт и шлюзов, приводами манипуляторов и металлообрабатывающих станков, антенными установками), в объектах управления которых имеются нестабильные параметры.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Русско-Корейской международной конференции KORUS'99 III. (Россия, г. Новосибирск, 1999г.), на международной конференции «Информационные системы и технологии» (г. Новосибирск, 2000г.), на VI международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г. Томск, 2000), на VII международной научно-практической конференции «Современные техника и технологии» (г.Томск, 2001г.), на X международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (г.Иваново, ИГЭУ, 2001г.), на VII Международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, МЭИ, 2001г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, получен 1 патент на изобретение.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 111 наименований, и приложений; содержит 131 печатную страницу основного текста, 43 рисунка и 1 таблицу.

5.4. Основные результаты

В данной главе были разработаны: 1) варианты практической реализации методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтеза; 2) практическая реализация адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции. При анализе полученных результатов можно сделать следующие выводы.

1. Разработанные алгоритмы и приведенные программы определения реберного маршрута на ЭВМ в диалоговом (интерактивном) режиме в значительной мере помогут проектировщику при анализе и синтезе робастных систем. При этом будет обеспечиваться точность анализа робастной региональной устойчивости интервальной системы, а также простота синтеза робастных регуляторов.

2. Для реализации способа адаптивной антирезонансной коррекции предложены варианты схем основных устройств, входящих в состав адаптивного компенсатора и обеспечивающих его работу.

При этом в качестве устройства измерения амплитуды рекомендуется использовать импульсную схему измерения и запоминания максимального значения амплитуды, а в качестве устройства определения фазового сдвига — устройство с запоминающей емкостью.

Моделирование интервальной системы с адаптивным компенсатором резонансов показало эффективность разработанного метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Разработаны алгоритмы реберной маршрутизации ПМ, позволяющие определить образы границ областей локализации полюсов ИС. Для этого решены следующие задачи:

- Установлены основные свойства отображения ребер ПМ на комплексную плоскость корней и сделан вывод о том, что для определения искомых границ нет необходимости отображать все ребра ПМ, а достаточно найти и отобразить только существенные граничные ребра.

- Разработаны методики проверки плоскостей граней ПМ на наличие особых прямых при интервальной и аффинной неопределенности системы. Наличие данных прямых указывает на возможность существования особых корневых узлов, в которых могут пересекаться граничные реберные ветви интервального корневого годографа.

- Получено условие принадлежности корневого узла границе области локализации комплексного корня.

- Разработаны методики определения реберного маршрута ПМ при аффинной и интервальной неопределенностях на основе значений углов выхода реберных ветвей из граничного корневого узла и информации о наличии особого корневого узла.

- Показано, что реберный маршрут ПМ является единственным для построения областей локализации всех комплексных полюсов ИС.

2. На основе реберной маршрутизации разработаны методики анализа робастной региональной устойчивости, гарантирующей допустимые показатели качества ИС. Предложены три методики, использующие различные способы оценки робастной региональной устойчивости на реберном маршруте:

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе построения многопараметрического интервального корневого годографа по реберному маршруту;

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе робастного D-разбиения по реберному маршруту;

- методика анализа региональной робастной устойчивости на основе решения уравнений Теодорчика-Эванса для всех ребер маршрута.

3. На основе применения робастного и адаптивного подходов к доминантному расположению полюсов ИС разработаны следующие методики синтеза линейных регуляторов, обеспечивающих в ИС гарантируемую динамику:

- методика синтеза линейного робастного регулятора для региональной локализации доминирующих полюсов ИС, гарантирующей минимально-допустимую степень устойчивости;

- методика синтеза адаптивно-робастного регулятора для стабилизации доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости.

4. На основе разработанного способа компенсации частотнонестабильных резонансов проведен структурно-параметрический синтеза псевдолинейных компенсаторов для упругих ИС. При этом синтезированы:

- адаптивный псевдолинейный компенсатор для ИС с низкочастотными резонансами;

- робастный псевдолинейный компенсатор для ИС с высокочастотными резонансами;

- комбинированый адаптивно-робастный компенсатор.

5. Рассмотрены вопросы практической реализации разработанных алгоритмов.

- варианты практической реализации на ЭВМ методов определения реберного маршрута интервальной системы, необходимые для ее анализа и синтеза; практическая реализация адаптивной следящей системы с использованием алгоритма частотнонезависимой антирезонансной коррекции.

1. Ackermann J., Barlett A., Kaesbauer D., Sienel W., Steinhauser R. Robust Control: Systems with Uncertain Physical Parameters. — Springe, London. 1993.

2. Bialas S., Garloff J. Stability of polynomials under coefficient perturbations // IEEE Trans. On Autom. Control. 1985. V. AC-30. N 3.

3. Yeung K. S. Linear system stability under parameter uncertainties // Int. J, Control. 1983. V. 38. N 2.

4. Гусев Ю. M., Ефатов В. H., Крымский В. Г. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы) 1 .Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Техническая кибернетика. 1991. №1. С. 3-23.

5. Захаров А. В., Шокин Ю. И. синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 299, №2. - С. 292-295.

6. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами. Инженерные методы анализа и синтеза / Б. Н. Петров, Н. И. Соколов, А. В. Липатов и др. М.: Машиностроение, 1986. - 256с.

7. Робастная устойчивость и управление. / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. -М.: Наука, 2002. 303 с.

8. Кушакова С. Е. Оморов Т. Т. Метод синтеза робастных систем с заданными показателями качества // Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в 21 веке». КГНУ, Бишкек, 2000.

9. Неймарк Ю. И. Мера робастной устойчивости и модальности линейных систем //ДАН. 1992. Т.325, № 2. С.247-250.п.Неймарк Ю. И. Мера робастной устойчивости линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1993. № 1. С.107-110.

10. Неймарк Ю. И. Область робастной устойчивости и робастность по нелинейным параметрам //ДАН. 1992. Т.325, № 3. С.438-440.

11. Неймарк Ю. И. Робастная устойчивость линейных систем // ДАН. 1991. Т. 319. № 3. С.578-580.

12. Оморов Т. Т., Кушакова С. Е. Синтез робастных систем управления с гарантируемой динамикой // Международная научная конференция «Проблемы математики и информатики в 21 веке». КГНУ, Бишкек, 2000.

13. Римский Г. В. Корневой метод синтеза полиномов В. JI. Харитонова // Весщ Акадэми навук Беларусь Сер Ф1з.-тэхн. навук. 1995. №3. С.107-114.

14. Barlett А. С., Hollot С. V., Lin Н. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges // Math. Contr., Signals. Syst., 1987, vol. 1, №1. P. 61-71.

15. Rantzer A. Stability condition for polytope of polynomials // IEEE Trans. Autom. Contr. 1992. V. 37. P. 79-98.

16. Foo Y. K., Soh Y. C. Root clustering of interval polynomials in the left sector // Syst. Control Letters. 1989. V. 13. P. 239-245.

17. Вукосавич С. H., Стоич М. Р. Достаточные условия робастной относительной устойчивости линейных непрерывных систем // АиТ. 1996. №11. С.84-90.

18. Гайворонский С.А., Вадутов О.С., Новокшонов С. В. Анализ региональной робастной устойчивости системы методом интервального корневого годографа // Тез. докл. per. науч. конфер. Наука, Техника, Инновации. Новосибирск: Издат. НГТУ, 2001

19. Argoun М. V. Frequency domain conditions for the stability of perturbed polynomials / IEEE Trans. On Automat. Control. 1987. V. AC-32. N 10.

20. Zhabko A. P., Kharitonov V. L. Necessary and sufficient conditions for the stability of a linear family of polynomials. //Automation and Remote Control, 1994, V. 55. №10. P.1496-1503.

21. Бутковский А. Г. Частотные критерии робастной устойчивости // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1993. №3. С.62-82.

22. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейного семейства полиномов // АиТ. 1994. № ?. С. 125-134.

23. Поляк Б. Т. Цыпкин Я. 3. Робастный критерий Найквиста // Автоматика и телемеханика. 1992. №7. С.25-31.

24. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. 3. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем //АиТ. 1990. №9. С. 45-54.

25. Barmish В. R. A generalization of Kharitonov's four polynomial concept for robust stability problems with linearly dependent coefficients perturbations // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. V. 34. № 2. P. 157-165.

26. Липатов В. А., Соколов H. И. О некоторых достаточных условиях устойчивости линейных непрерывных стационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1979. №9. С.30-37.

27. Сиразетдинов Р. Т. К построению гарантированной области расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы // Изв. вузов Авиац. техника. 1984. № 4.

28. Сиразетдинов Р. Т. Построение гарантированной области расположения нулей и полюсов передаточных функций динамических систем // Автоматика и телемеханика, 1988. №7. С. 51-58.

29. Barmish В. R., Tempo R. The robust root locus // Automatica, 1990. V.26. №2. P.283-292.

30. Rimsky G.V.,Nesenchuk A.A. Root Locus Methods for Robust Control Systems Quality and Stability Investigations / Proceedings 1996 IFAC 13th Triennial World Congress. San Francisco, USA. June 30-July 5,1996. Vol. G. P. 469-474.

31. Vicieno A. Robustness of pole location in perturbed systems // Automatica. 1989. V. 25. N 3.

32. Римский Г. В. Корневой метод решения задач устойчивости интервальных систем // Вести академии наук Беларуси. Серия физико-технических наук. 1994. №4. С. 80-85.

33. Римский Г. В., Мазуренко Е. Г. Корневой метод исследования условий устойчивости линейных интервальных динамических систем // Весщ НАН Беларусь Сер Ф1з.-тэхн. навук. 1996. №2. С.61-64.

34. Римский Г. В., Мазуренко Е. Г., Римский А. Г., Мазуренко В. А., Шатохин И. В., Чебаков С. В. Корневые методы исследования интервальных систем. -Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси. 1999.

35. Корневые методы исследования интервальных систем / Под ред. Г. В. Римского. — Минск: Институт тех. кибернетики НАН Беларуси, 1999. — 186 с.

36. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems // IEEE Trans. On Autom. Control. 1980. V. AC-25. N 5.

37. Вадутов О.С., Мельников Ю.С., Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Синтез динамических регуляторов интерваль-ных автоматических систем стенда имитации невесомости // Информационные системы и технологии. Докл.международн.конф. Новосибирск, 2000.

38. Райцын Т.М. Синтез систем автоматического управления методом направленных графов. JL: Энергия, 1970. - 96 с.

39. Петров Н. П., Поляк Б. Т. Робастное D-разбиение // АиТ. 1991.№11. С. 41-53.

40. Скворцов JI. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 1994. №4. С. 10-13.

41. Скворцов JT. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции//Изв. АНСССР.Техн.кибернетика. 1987.№6.С. 149-153.

42. Скворцов JI. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений//Техническая кибернетика. 1991. №6. С. 54-59.

43. Скворцов JI.M. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе многомерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 1. С. 31-34.

44. Скворцов JI.M. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 6. С. 54-59.

45. Долгов А. М. Нелинейные многоканальные корректирующие устройства в нестационарных СУ со слабо демпфированными объектами. В кн.: Нелинейные нестационарные системы. - М.: Машиностроение, 1986. С. 232246.

46. Рутковский В. Ю., Суханов В. М. Большие космические конструкции: модели, методы исследования и принципы управления//АиТ,1996.№8.с.55-66.

47. Melnikov U.S., Gaivoronsky S. A., Novokshonov S.V. Stabilization of undersea object situation, connected with ship by the rope// KORUS'99 III Russian-Korean international Symposium.-Novosibirsk, Russia,1999.

48. Гайворонский С. А. Адаптивный псевдолинейный компенсатор для нестационарных упругих электромеханических систем // Известия вузов. Электромеханика. 2003ю №4. С.37-40.

49. Гайворонский С. В, Новокшонов С. В. Комбинирование адаптивной и робастной псевдолинейной коррекции в нестационарных слабодемпфированных системах//Изв. вузов. Приборостроение. 2003. №10.

50. Кухтенко В.И. Динамика самонастраивающихся систем со стабилизацией частотных характеристик. М.: Машиностроение, 1970. 232 с.

51. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением / Ю. А. Борцов, Н. Д. Поляхов, В, В. Путов. JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отделение, 1984.-216 с.

52. Римский Г. В. Основы общей теории корневых траекторий систем автоматического управления. Минск: Наука и техника, 1972. — 328с.

53. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматического управления. М. - Л.: Госэнергоиздат, 1963- 112 с.

54. Soh С. В., Berger С. S., Dabke К. P. On the stability properties of Polynomials with perturbed coefficients // IEEE Trans. On Autom. Control. 1985. V. AC-30. № 10. P. 1033-1036.

55. Бесекерский В. А. Небылов А. В. Робастные системы автоматического управления. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. - 240с.

56. Dorato P., Tempo R., Muscato G. Bibliography on robust control // Automatica. 1993. V.29.№1, P. 201-213.

57. Вадутов О. С., Гайворонский С. Г. Определение границ областей локализации нулей и полюсов системы с интервальными параметрами // Известия Томского политехнического университета. 2003. Т.306. №1.

58. Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Анализ качества электроэнергетических систем с интервальными параметрами корневым методом // VII Межд. Научно-технич. конфер. Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Москва: Издательство МЭИ, 2001.

59. Гайворонский С.А., Новокшонов С. В. Построение границ корневых областей систем с интервальными параметрами // Современные техника и технологии. Тез.докл. VII международ, научн.-практич. конф. -Томск: изд.ТПУ, 2001.

60. Бендрикова Г. А., Теодорчик К. Ф. Траектории корней линейных автоматических систем. М.: Наука, 1964. - 160с.

61. Григорьев В. В. Синтез управления для систем изменяющимися параметрами //автоматика и телемеханика, 1983. №2. С. 64-70.

62. Соколов Н. И. Об управлении нестационарными объектами с помощью регуляторов жесткой структуры с постоянными параметрами. В кн.: Задачи динамики управления летательными аппаратами. - Тр. МАИ, 1972, вып. 240. С. 5-16.

63. Хлебалин Н. А. Построение интервальных полиномов с заданно областью расположения корней. В кн.: Аналитические методы синтеза регуляторов. -Саратов: Изд. Саратовского политехи, ин-та, 1982. С. 92-98.

64. Ходько С. Т. Проектирование сисетм управления с нестабильными параметрами. -J1.: Машиностроение. Ленингр. отделение, 1987. 232с.

65. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986. №4. С. 123-130.

66. Гайворонский С. А. Параметрический синтез линейного регулятора электромеханической системы при интервальной неопределенности объекта управления // Электромеханика, 1990. №5. С. 69-72. (Изв. высш. учеб. заведений).

67. Литвинов Н. Л. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // АиТ. 1995. №?. С. 53-61.

68. Хлебалин Н. А. Построение интервальных полиномов с заданно областью расположения корней. В кн.: Аналитические методы синтеза регуляторов. - Саратов: Изд. Саратовского политехи, ин-та, 1982. С. 92-98.

69. Вадутов О. С., Гайворонский С. Г. Применение реберной маршрутизации для анализа устойчивости интервальных полиномов // Изв. Академии наук. Теория и системы управления. 2003. №6. С. 7-12.

70. Long Wang. Robust strong stabilizability of interval plants: it suffices to check two vertices. //System and control letters. 1995. V. 26. P.133-136.

71. Харитонов В. Л., Хинричсен Д. О выпуклых направлениях для устойчивых полиномов // АиТ. 1997. №3. С. 81-92.

72. Хлыпало Е. И. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах. Л: Энергия, Ленингр. отделение, 1973. - 344 с.

73. Дыда А. А., матюхина JI. И., Михалев А. С. Частотный критерий устойчивости САУ с ПЛКУ // Приборостроение, 1984. №7. С. 20-24. (Изв. высш. учеб. заведений).

74. Критров С. В., Шумилов Б. Ф., Шумилов Ю. Ю. Применение однородных корректирующих устройств в нелинейных системах автоматического управления//Теория и системы управления. 1995. №4. С.26-31.

75. Лучко С. В., Федоров С. М. О синтезе псевдолинейных корректирующих устройств // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974. №5. С. 187-193.

76. Федоров С. М., Быков В. П. Псевдолинейные корректирующие устройства. -В кн.: Нелинейные корректирующие устройства в системах автоматического управления. М.: Машиностроение, 1971. С. 197-218.

77. Потемкин В. Г., Титков А. И., Шалашов А. В. Нелинейные самонастраивающиеся системы, инвариантные к изменению параметров объектов управления. В кн.: Нелинейные нестационарные системы. — М.: Машиностроение, 1986. С. 264-282.

78. Срагович В. Г. Адаптивное управление. М.: Наука. 1981.

79. Фрадков А. В. Адаптивное управление сложными системами. М.: Наука 1990.

80. Кунцевич В. М. Адаптация и робастность в системах управления//Техническая кибернетика. 1993. №2. С.91-101.

81. Нелинейные нестационарные системы / Г. Л. Вышковский, Л. 3. Ганопольский, А. М. Долгов и др.; Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1986. 336с.

82. Хлыпало Е. И. Расчет и проектирование нелинейных корректирующих устройств в автоматических системах. Л.: Энергоиздат, 1982. - 272 с.

83. Хлыпало Е. И. Нелинейные корректирующие устройства в автоматических системах. — JI: Энергия, Ленингр. отделение, 1973. 344 с.

84. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления Б.Н. Петров. Ю.В.Рутковский. И.Н. Крутова и др. М.: Машиностроение. 1972. 260 с.

85. Кобзев А.А. Особенности устройств определения фазового сдвига в самонастраивающихся системах со стабилизацией ФЧХ. // Известия вузов. Электротехника. №4, 1998, стр. 41-45.

86. Гайворонский С. В, Новокшонов С. В. Комбинирование адаптивной и робастной псевдолинейной коррекции в нестационарных слабодемпфированных системах // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. №10.

87. Курдюков А. П., Семенов А. В., Косиков В. С. Комбинирование робастного и адаптивного управления с помощью интеллектуальных систем // Изв. вузов. Приборостроение, 1994. т. 37. - № 9-10. - с. 1518.

88. Садыков Ф. Р. К обоснованию метода замороженных коэффициентов для нестационарных систем с медленно меняющимися параметрами. — В кн.: Вопросы исследования и проектирования систем управления. — М.:изд. МАИ, 1981. С. 49-57.

89. Филимонов Н. Б. Системы многорежимного регулирования: концепция, принципы построения, проблемы синтеза // Изв. вузов. Приборостроение, 1988. №3. с.18-33.

90. Старикова М.В. Исследование автоматических систем с логическими управляющими устройствами. М. Машиностроение, 1978.22

91. Barmish В. R. New Tools for Robustness of Linear Systems. New York: Macmillan Publishing Company, 1994.

92. Tong Y., Sinha N. K. A computational technique for the robust root locus // IEEE Transaction on Industrial Electronics. V. IE-41.1994. P. 79-85.

93. Тетельбаум И.М., Шнейдлер Ю.Р. Практика аналогового моделирования динамических систем: Справочное пособие.-М.:Энергоатомиздат,1987.-384с.

94. Автоматы-настройщики следящих систем / Б.В. Новоселов, Ю.С. Горохов, А.А. Кобзев, и др.; Под ред. Б.В. Новоселова М : Энер-гия. 1975. 264 с

95. Ю5. Марков СИ., Минаев В.М., Артамонов Б Н. Идентификация параметров колебательных систем автоматического регулирования. М.: Энергия. 1975. 94 с.

96. Кобзев А.А. Фазовый дискриминатор для систем ЧПУ // Автоматические манипуляторы и металлообрабатывающее оборудование с программным управлением. Тула: ТПИ, 1984. С. 38-143.

97. Киселев В.М. Фазовые системы числового программного управления станками. М.: Машиностроение. 1976.352 с.

98. Ю8. А.с. 332443 СССР, М. Кл. О 05Ь 23/02.

99. АНАЛИЗ РЕГИОНАЛЬНОМ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА1. Й&1ЛО>ММйе 1 А1. Ввод начальных условий

100. Т:= 0.01 С0:=2-104 Х0:=М041. R := 0.1 J := 0.5

101. Формирование реберных ветвей при изменении длины троса (величины массы груза и коэффициента усиления принимают вершинные значения) ш 50>500>5()() к, ;= u ;= ^^ 1(Ю1. Коэффициентыхарактеристическогополинома1. B0(K1,M1,L1) := C0 K1-R1 7 ХО

102. B2(K1,M1,L1) := X0-R + X0 T-K1-R + J-1. Ml1. Вектор корней ХП1. V(K1,M1,L1) := polyrootsf t

103. B1(K1,MI,L1):= COR + R -T-K1C0 + X0 K1-R + J-1. Ml1. B3(K1,M1,L1) := J-Ll

104. B0(K1,M1,L1) B1(K1,M1,L1) B2(K1,M1,L1) ^B3(K1,M1,L1);; R0(K1,M1,L1) := Re(V(Kl,Ml,Ll))0 R1(K1 ,M1,L1) := Re(V(Kl,Ml,Ll)), I0(K1,M1,L1) := Im(V(Kl,Ml,Ll))0 I1(K1 ,M1 ,L1) := Im(V(Kl,Ml,Ll)),

105. R2(K1,M1,L1) := Re(V(Kl,Ml,Ll))21.(K1,M1,L1) := Im(V(Kl,Ml,Ll))2

106. Формирование реберных ветвей при изменении коэффициента усиления (величины массы груза и длины троса принимают вершинные значения)

107. М2 := 50,500 .500 L2:= 50,100. 100 К2:= 5,5.5. 501. Коэффициентыхарактеристическогополинома1. Вектор корней ХП1. B0(M2,L2,K2) := C0K2-R

108. B1(M2,L2,K2) := CO R2 + R2-T-K2 C0 + X0 K2-R2 + J —1. M21 1 ХО

109. B2(M2,L2,K2) := X0-R + X0T-K2-R + J-1. M2

110. В0(М2,1,2,К2)^ B1(M2,L2,K2) B2(M2,L2,K2) ^B3(M2,L2,K2);;1. V(M2,L2,K2) := polyroots

111. Q0(M2,L2,K2) := Re(V(M2,L2,K2))0 Q1(M2,L2,K2) := Re(V(M2,L2,K2))

112. S0(M2,L2,K2) := Im(V(M2,L2,K2))0

113. S1(M2,L2,K2) := Im(V(M2,L2,K2))1. B3(M2,L2,K2) := JL2

114. Q2(M2,L2,K2) := Re(V(M2,L2,K2))2 S2(M2,L2,K2) := Im(V(M2,L2,K2))2

115. Формирование реберных ветвей при изменении массы грузавеличины коэффициента усиления и длины троса принимают вершинные значения)