автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование робастного поведения интервальных систем управления

На правах рукописи

Лопатин Михаил Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

00460093?

004600937

Работа выполнена в Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, г. Новороссийск.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 6 мая 2010 г. в 16 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан « 2 » апреля 2010 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и канди датских диссертаций

Зеленков Г.А.

профессор Дикусар В.В.,

кандидат физико-математических наук,

доцент Мартынов В.В.

Ведущая организация: Центральный экономико-

математический институт РАН

к. ф.-м.н.

Мухин A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Учет неопределенности при моделировании систем управления всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Работы этих лет нашли применение в задачах промышленной пневмоавтоматики, и других задачах управления машинами и механизмами. Модели параметрической неопределенности в ■ линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. JI. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие с 90-х годов прошлого века.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л. Заде и Ч. Дезоер. Затем ВЛ. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).

Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является очень нужным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является достаточно сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: р-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цып-кин, Б.Т. Поляк, ВЛ. Харитонов, П.С. Щербаков, A.C. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др. Эти работы в разное время находили применение в различных задачах начиная с промышленного машиностроения, исследования динамики паровых котлов, конструирования систем управления подвижными объектами, заканчивая задачами управления ядерными, химическими и биологическими реакторами, роботами, а также нефтяной и газовой промышленности последних лет.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.

Диссертационная работа является продолжением этих исследований и посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование провеяено и получены новые результаты для интервальных полиномов, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций - анализа ро-бастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчи-

вость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.

Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости характеристических полиномов систем управления по первому приближению с интервальным описанием неопределенности.

Областью исследования являются теоретические основы и прикладные методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на классических достижениях в теории устойчивости, робастной теории и новейших результатов по неустойчивости, корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления с интервальным описанием неопределенности их характеристических полиномов. Результатом этого подхода стадо создание новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Разработаны критерии и процедуры, расширяющие область неопределенности исходного интервального семейства при сохранении принадлежности определенному классу неустойчивости. Эти подходы являются продвижением в развитии методов исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного случая робастной неустойчивости.

До сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались достаточно редко. Развитие техники и новых технологий

показали, что явление неустойчивости не является только пограничным явлением устойчивых режимов, а как показали математические исследования, становится преобладающим с ростом размерности систем. В некоторых случаях это явление может становиться полезным.

Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, позволяющие проводить анализ робастного поведения динамических систем для интервального типа неопределенности в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые критерии позволят разрабатывать более эффективные системы управления, что даст возможность снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Исследования классов неустойчивости имеет широкое применение при синтезе систем управления, а также является продвижением в решении вопроса близости устойчивых и неустойчивых режимов. Результаты работы использованы для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводящейся в КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова, при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете прикладной математики КубГУ. По результатам диссертации планируется издание двух учебных пособий и монографии.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли результаты, которые получены лично автором, а также разработанные в соавторстве. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие обозначения. Основные работы по теме диссертации [1-12] выполнены на паритетной основе, суммарный личный вклад автора в данных публикациях составляет 1,46 пл. и 3,5 с. Автор принимал участие в совместной постановке задач, анализе и интерпретации результатов исследований, непосредственно автором были проведены компьютерные моделирования, аналитические вычисления и численные эксперименты.

Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 12-ти международных, 4-х всероссийских и 2-х региональных конференциях, проходивших в Дубне, Киеве, Минске, Москве, Новороссийске, Обнинске, Пущино, Ростове-на-Дону, Самаре, Суздале, Чебоксарах. Результаты также об-

суждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дородницына РАН, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 научных работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул, теорем и определений. Объем диссертации 147 страниц. Список литературы содержит 120 наименований. Приложение 39 страниц.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

• Новые, более эффективные модификации методов исследования устойчивости и неустойчивости различных систем управления, позволяющие исследовать более широкий класс этих систем.

• Улучшенный графический критерий исследования робастной устойчивости систем управления Цыпкина-Поляка в плане снятия ранее присутствовавших в нем ограничений. Он распространен на неустойчивые системы управления.

• Новая методика исследования характеристик робастной устойчивости или неустойчивости интервальной системы управления методом допустимых линейных преобразований, преобразующих ее в интервальную или выпуклую систему с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.

• Алгоритмы для новых модификаций методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости, а также пакет программ, реализующий эти алгоритмы, и включающий эффективные алгоритмы построения минимального полинома.

Краткое содержание диссертационной работы.

Во введении приведена общая характеристика диссертации, обоснованы актуальность темы исследования, достоверность, научная новизна и практическая значимость результатов, полученных в работе.

Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследова-

нию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.

Задание в пространстве состояний.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением:

х=Ах+Ви + Ди*, у = Сх + Дм», где е Я" - вектор называемый состоянием системы, м(/) е К" - управление, >■(/) е Л'- выход системы, м>(7) е Яр - входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы А, В, С, Ц, Д.

Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:

где к играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы А имеет вид / (я) = ёе^А' -А), где Е- единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике) система может быть записана в виде:

у("> + а„_У"']) +...+а1у+а0у = гти(т> +...+г]й + г0и,п>т. В этом случае характеристический полином имеет вид: /(*) = ап_/'1 + ... + а^ + аа.

Далее будем понимать под интервальной системой управления систему первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.

Задание с помощью передаточных функций. Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций: Ниу(з) = С№-АУхВ,

где матричная функция Н (я) комплексной переменной 5 называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функцияЯ„к(5) называется передаточной функцией от возмущения и* к выходу у. Элементами матриц Н(!) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель / (5) = с1е1(.?£ -А) - характеристический полином матрицы А.

В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома /(л).

В первой главе сделан анализ основных методов исследования устойчивости характеристических полиномов линейных стационарных систем управления и нелинейных систем по первому приближению с целью их использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их но числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).

Примером реализации на практике свойства устойчивости является сохранение работоспособности управляемой системы при наличии отклонений в начальных данных.

Определение 1. Полином степени п с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней

f(s) = \ + Л,s +...+ ф О,А„ ф О принадлежит классу (п,к) -эквивалентности, если к его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости. Такие полиномы при к = 0 называют устойчивыми (полиномы Гурвица).

В п. 1. рассматриваются графические критерии принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п, к) -эквивалентности. Описана методика анализа диаграмм годографа Михайлова в непрерывном и дискретном случае для определения принадлежности полиномов классам (п, к) —эквивалентности и оценки величины запаса устойчивости или неустойчивости для полинома данного класса.

Теорема 1 (графический критерий). Полином f(s) степени п при 4, ^ 0,Л„ ï4 0, не имеющий чисто мнимых корней принадлежит классу (п,к)-эквивалентности тогда и только тогда, когда угол поворота против хода часовой стрелки вектора /(jea) при -со<а>< +œ равен л(п—2к), где к число корней полинома f(s) с положительной вещественной частью (0<к<п) с учетом их кратностей.

Заметим, что для полинома с комплексными коэффициентами, /(s) = 4,+ 4«+...+ 4,^,4,* о

/(» = ¿40)' =|>( +jb,)(M=g(a)+jh(co),

ы о /=о

С помощью нормировки годограф Михайлова можно сделать ограниченным, что значительно удобнее для инженерной практики. Точнее, при

—CO<<B<OO,

g(û)) = аа- bfi) - а2а>2 + b3ca3 + я4а/ - bsco5 - а6о6 +..., h(œ)=b0 + ala-b2û)2-a3û}3 + bia* + asû}5-bca}6-...,

К(со) = T(a) - R(co) -Л+Щ + а1 + |ш|3 +...+\т\ или К (со) -1+\а\"

нормированный годограф = ~ становится ограниченным и удобным

К{со)

для визуализации.

В п. 2. рассматриваются группы аналитических методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов непрерывных систем основанные на подходах Ляпунова (первый метод), Гурвица (матричные методы), Рауса, Зубова Н.В. (методы понижения порядка).

В п. 3. рассматриваются методы анализа устойчивости и неустойчивости линейных дискретных систем управления. Здесь описаны графические (аналоги подхода Михайлова) и аналитические критерии (матричный метод и метод понижения порядка), а также предлагается методика применения графических методов для систем большого порядка. Здесь же уделено внимание вопросам исследования разностных систем и сверхустойчивости таких систем.

П. 4. содержит описания методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с комплексными коэффициентами. Здесь также рассматриваются все группы методов (графические и аналитические, матричные и методы понижения порядка) для их исследования в непрерывном и дискретном случаях.

Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных систем управления. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному приближению. Рассматриваемые критерии и методы исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в теории робастной устойчивости для интервального описания неопределенности, такие как теорема Харитонова.

Техническая система автоматического управления должна обеспечивать устойчивое управление процессом во всем диапазоне нагрузок на технологический объект. Это условие будет выполняться, если объект управления является роба-стно устойчивым.

В п. 2.1 приведены новейшие результаты по выпуклым множествам робаст-но устойчивых и неустойчивых полиномов. Приведенные критерии относятся к вариантам реберной теоремы для аффинных семейств специального вида. Причем в п. 2.2-2.4 отмечена связь этих утверждений с интервальными полиномами.

Теорема 2. Пусть множество коэффициентов семейства полиномов f(s) = ап + а, s +... + ап_/А + s", Л = (а0,а1,...,а„_1)г представляет собой замкнутое, ограниченное и выпуклое ¿-множество Пс£", имеющее конечное число угловых точек Д,Л,,...,/)„. Для того, чтобы множество Q. было выпуклым ¿-множеством полиномов необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

1. Угловые полиномы при / = 1,/и,

/СО = я,о + a,is + ...+ a,„_/'x +s\ Д = (al0,an,...,a[riA)T являются полиномами из класса (и, А)-эквивалентности.

2. Выполняется: либо полиномы

от m от

£ «ЛИ. 5>.=1»

fXjca) = g,(ca) + j)\(а), не имеют общих положительных корней; либо полиномы

а/(О + (1 - «)/СО>а е [О*1!, U = hm,i*l

являются полиномами из класса (и, А) -эквивалентности; либо для всех положительных корней уравнения

выполняются неравенства

g, {®)g, (®) + h (a) > 0, i,j = 1 В частности, при к = О получим критерии существования выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица.

В п. 2.2-2.4 этой главы приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными ограничениями на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам (и, к) - эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Здесь приведен их анализ и добавлены доказательства, которых не было в печати.

Определение 2. Назовем, интервальный полином с вещественными коэффициентами

F(s) = {f(s) = а0 + alS + ...+ я,./"1 + а/, ^

я, <«,¿5;, i = 1,и}

интервальным полиномом класса (п, Хг)-эквивалентности, если любой полином из этого семейства принадлежит классу (иД)-эквивалентности. Для определенности будем считать, что а0>0, all-âa>0.

Определение 3. Четыре полинома, коэффициенты, которых составлены из крайних значений их интервалов, называются угловыми полиномами ç\(s), <p2{s), (p^is), <pA(s) интервального полинома F(s). Точнее:

) = £„ + a{s + a2s2 + a3s3 +..., <p2 (s) = a0 + a [S + a2s2 + ß-s3 +...,

— — 2 3 ^^

(s) = a0 + a,s + a2s +a3s +..., p4(s) = a0 +äis + ä2s2 + a3s3 +....

Теорема 3. Интервальный полином F(s) принадлежит классу (n,k)~ эквивалентности тогда и только тогда, когда:

1. Угловые полиномы (2) принадлежат классу (и, к)-эквивалентности.

2. Для всех положительных корней полиномов g(a>), g(ffl), h(a>), h(a>) выполняются следующие условия:

если g(co) = 0 или g(a) = 0, то h(a>)h(a) > 0;

если h(a>) = 0 или h(a>) = 0, то g{o})g(eo) > 0,

где

g(a) = ö0 -агтг + -...,

gi®) = 2о ~ «г®2 + ßt®4 h(co) = 5,ö - a3ö3 + äjö5 -..., h(a) = aft-äjO)3 + aia5-....

Теорема 4. Пусть а^ц^йа,, i = 0,n, 0, ^„>0, qeQ, Qe0", Q -связно. Тогда для того, чтобы семейство полиномов

U(s,Q) = {u(s,q) = a0(q) + al(q)s + ...+ a.(qy;q е О] принадлежало классу (иД)-эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. Либо все четыре угловых полинома были из класса (п,к)~ эквивалентности и для всех положительных корней полиномов g((o), g(p), h(a), h(a>) выполнялись соотношения, если:

а) g(co) = 0 или g(a>) = 0, то h{cojh{co) > 0;

б) h{о) = 0 или Ъ{а>) - 0, то g{co)g(a) > 0.

2. Либо все политопы соответствующие сторонам прямоугольника с вершинами из угловых полиномов принадлежали классу (и,к)-эквивалентности.

В п. 2.5 рассмотрен метод решения задач робастного поведения выпуклых множеств полиномов с помощью допустимых преобразований их коэффициентов. Этот подход использован для построения интервальных характеристических полиномов, принадлежащих однородным классам (п,к)- эквивалентности, т.к. допустимые преобразования оставляют эти полиномы в том же

классе устойчивости (к = 0) или неустойчивости (к = 1,я). В частности, все полиномы «ящика» Харитонова эти преобразования оставляют полиномами Гур-вица. Для полиномов Гурвица (к = 0) допустимые линейные преобразования разработаны Н.В. Зубовым и дополняют аналогичные преобразования предложенные Ю.А. Неймарком. Приложение некоторых из этих преобразований к семействам интервальных полиномов позволяет расширить множество как устойчивых, так и неустойчивых интервальных полиномов, не прибегая каждый раз для их анализа к теореме Харитонова в первом случае или к ее обобщениям во втором.

Рассмотрим допустимые линейные преобразования коэффициентов полинома:

Ь,=аа„ b,=a,a„(i = 0,1,•••,«), (3)

Ьь=ааь, Ь1М=Ра1М, (4)

(г = 07 при л=2/ + 1; / = 0,/-1 при и = 2/ и а2М=Ь1М=0),а>0,/3>0

Теорема 5. Пусть интервальный полином F(s) принадлежит классу (п,к)— эквивалентности, тогда при допустимых линейных преобразованиях его коэффициентов (3), (4) его образ также останется интервальным полиномом из того же класса.

Теорема 6. Пусть:

1. А — произвольное выпуклое множество коэффициентов полиномов из класса (и, £)-эквивалентности;

2. D — матрица, допустимого линейного преобразования.

Тогда множество коэффициентов В преобразованных полиномов, являющихся полиномами из того же класса В - [J DA, есть выпуклое множество.

АсА

В третьей главе предлагается математический аппарат исследования ро-бастного поведения интервальных семейств полиномов графическими методами. В рамках предложенного подхода некоторые известные критерии робаст-ной устойчивости являются следствиями приведенных в данной главе результатов.

Современные промышленные регуляторы обеспечивают устойчивый процесс регулирования подавляющего большинства промышленных объектов при условии, что правильно выбраны настройки регулятора. Дополнительной гарантией является то, что вариации параметров на границах допусков достаточно малы и компенсируются запасами устойчивости системы. Запасы устойчивости позволяют получить графические критерии описанные ниже.

В п. 3.1 приведен графический критерий принадлежности выпуклых множеств полиномов, имеющих конечное число угловых точек, классу (неэквивалентности. Критерии робастного поведения выпуклых множеств можно использовать для исследования интервальных полиномов.

Главное преимущество графических критериев состоит в том, что с их помощью для интервального полинома достаточно проверить поведение лишь одного, а не четырех годографов для вещественного или восьми для комплексного случаев, как это делалось ранее. Кроме того, одновременно можно найти максимальный размах неопределенности, при котором сохраняется робастная устойчивость или неустойчивость.

В п. 3.2 предложено обобщение графического критерия Ципкина - Поляка проверки устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, которые присутствовали ранее в этом критерии.

Далее в п. 3.3 приведен графический критерий устойчивости семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами. Показано, что при стандартных ограничениях на коэффициенты специальный годограф будет ограниченным, что удобно в инженерной практике. В общем случае, когда сняты некоторые ограничения на коэффициенты этот годограф может стать неограниченным, что не дает особых проблем в расчетах, так как при а —> ±°о прослеживаются прогнозируемые тенденции в поведении нормированного номинального годографа, что дает возможность прекратить вычисления при не очень больших частотах а>.

В п. 3.4 главы построены графические критерии позволяющие определить робастное поведение семейств интервальных полиномов в вещественном и комплексном случаях. Под робастным поведением понимается только устойчивость или только неустойчивость для всех полиномов семейства. Точнее, доказаны графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (п,к)~ эквивалентности для полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами. Причем при к = 0 эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полиномов.

Назовем Ф(.Ь') интервальным полиномом класса (и, А)-эквивалентности, если любой полином из этого семейства принадлежит классу (п,к)-эквивалентности.

Кроме того, для номинально годографа (5) введем нормировочные функции:

Фф

= Л + + А, = а, + ]Ьп \а,-аЧ\<уа,,

\Ь, - < /Д, а, > О, Д > 0, / = м; £(ог, + Д) > 0.

/о0<в) = Я</<») + Л(й>)

= а\ - Ь°со - а°2а2 + Ь°со3 + а>4 -..., \(со) = 6° + а[ю - Ьа2ш2 - аУ + 6>4 + ....

(5)

i R(m) = aa+ßi |ú)| + a2co2 + ß3 |сэ|3 + а4«4 +...,

[ T(a¡) = Д, + а, |ö| + ß2co2 + «з + ßAcü* + ....

Z0(co) = g0(co) / R(co) + ЛН / T(co) Теорема 7. Для принадлежности классу (п,к)~ эквивалентности комплексного интервального полинома Ф(У при а0 > 0, /?0 > 0, ап > О, Д, > 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия: i (mzx((a°)2 -(уа0)2, (b°0)2~(yßa)2)>0, ' |max((a")2-(yañ)\ ф°п)2 - Oft)1) > О 2. Сложный годограф Z0(co) при изменении со от -оо до +оо проходит против часовой стрелки ровно п-2к полуоборотов и не пересекает квадрат с вершинами (±/; ± у). к - радиус робастного поведения укжа вычисляется по формуле:

(\a°l \b°„\

Г^=тт(у ,yj,y„ = max —Лг1 or ft

(±/; ±/*) - наибольший квадрат с центром в нуле, вписанный в этот годограф.

В п. 3.5 предложены новые графические критерии робастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности в отличие от критериев Цип-кина-Поляка и его обобщений.

Рассмотрим интервальный полином с комплексными коэффициентами: _ Í/(S) = А0 + AlS + ...+ A„S\Ai = а, + jb„ 1

Ф(5)~{¡а, -<aty,\b, <ßifi,at >О,Д ä0,у >0,а>0.J Определение 4. Назовем функцию Z(ö) = g0(<a) / R(a) + jh0(a)IT(a), а0> 0, ß0 >0, ап> 0, ßn >0, определенную на всей вещественной оси, сложным нормированным номинальным годографом или кратко - сложным годографом, где

g0(©) = 00°-¿>-02V +¿3V +аУ -...Ma>) = b¡ +a¡a-b¡o)2 -a3V +¿>4 +....

R(a) = a0 + ß{fi\a\ / y+a2a2 + ргц\со^ I y+а4ю4 +...,

T(a) = ßa+ йг,/Н / p + ß2m2 + а3у\со\] / p + ßtco* + .... Теорема 8. Для того, чтобы комплексный интервальный полином Ф(5) степени « при был интервальным полиномом класса (и, А)-эквивалентности «о > 0>Д) > 0,а„ > 0,ft >0, необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1. max(K)2 - (ya0)\(b°a)2 - (pßa)2)> 0,тах((а„0)2 ~(уа„)2,(ЬУ - ißßf) > 0.

2. Годограф Z(ffl) при изменении со от -оо до го проходит последовательно против часовой стрелки ровно п — 2к полуоборотов (Д arg Z(a>) = л(п-2к)) не пересекая прямоугольника с вершинами

-аз<(У<+зс

(±г,±м) ■

Рассмотрим интервальный полином с вещественными коэффициентами F(s) = {/(«) = а0 + а,5 + ...+ a„s", \а, - а,°| < ßa„ / = М}- (6)

Рассмотрим функции fü(jco) = g0(co) +jco\{m) (номинальный годограф):

£„(&>) = а° - а\фг + a4V -..., /%(©) = а,0 - а,0©2 + а>4 -.... Теорема 9. Пусть ог0 > 0,а{> 0, а„_, > 0, arn > 0;

Щ + т1 + т3~; г,+ г2+ /"3 =[|] + 1; К --Ж2„2/ = , |a2,tl -аЦ< уагм,И +1 = 0,ДД„ (/*= г в (1))

\аи ^2/ = Vlrfl-lml^lM -«2,411^ 2/ +1 = Цх,г\г..1]л, {ß = n в (1))

|а2, - 4| < a2„2i = r„r2...rm3, |a2i+1 - а° tl] < or2i+1,2i +1 = f„f2...fr3, (>9 = 1 в (1))

ВД= S «X'+- E «2,®"+- £ «2У\0<2/<и;

1 < 2/ +1 < я.

Тогда F(i) принадлежит классу (и, -эквивалентности тогда и только тогда, когда:

а) |ад|>а0,а® >ап, если а",а" - центры фиксированных интервалов, иначе |ао|>Уаонли |ао|> > Ya„ или К|>Ма„; что зависит отразмахов при аЦ,

б) годограф Z» = g0(<£>)/ R(ü>) + jhü(ai)IT{w) при изменении со от 0 до то проходит через п-2к квадратов против часовой стрелки и не пересекает квадрата (±у; ± ß).

В п. 3.6 этой главы описаны различные подходы для расширения области робастного поведения семейств полиномов.

В последнем п. 3.7 главы рассмотрены известные и предложены новые приемы визуализации для исследования робастного поведения семейств полиномов.

Четвертая глава содержит исследование вопросов построения характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с заданной локализацией нулей.

В п. 4.1 даётся перечень основных методов построения характеристического полинома и кратко излагаются наиболее конструктивные методы вычисления коэффициентов характеристического полинома. Здесь достаточно подробно рассмотрен только метод Крылова и проведен анализ его особых случаев.

В п. 4.2 предложены методы и алгоритмы построения минимального полинома, что является полезным, если его степень намного меньше степени характеристического полинома.

В модифицированном методе построения коэффициентов минимального полинома матрицы п - го порядка необходимо искать решение систем линейных алгебраических уравнений порядка и2 х /и, п<т.

Пусть А - вещественная, постоянная матрица размера их и. Поставим задачу поиска минимального полинома этой матрицы, т.е. полинома наименьшей степени анулирующего матрицу А с коэффициентом при старшей степени равным единице. Таким образом минимальный полином имеет вид:

/(Я) = Лк + сыЛ+... + с,Л + с0 = 0 (7) причем выполняется матричное тождество:

А1+с^А1-'+... + с1А + с0Е = 0 (8) Теорема 10. Степень минимального полинома равна к +1, если матрицы

Ак,А"-\...,А,А\А° = Е (9) - линейно независимы, а матрицы

,А,Е (10)

АЫ,А\А1\

уже линеино зависимы.

Введем понятие развернутой матрицы Вк для матричной совокупности

(9). Эта матрица размера пг х (к +1) столбцы которой составлены из столбцов 4„, г = \,п матриц А", т = к,0 записанных один под другим подряд, начиная с первого столбца этой матрицы (Аы), кончая последним (Апт):

А\ъ А..

Вк =

К Ал

ппк-1

-(А>--->А>)> Дп _

.Аш,

т = к,0

(И)

Теорема 11. Если для первого из чисел к = 0,п система линейных алгебраических уравнений

В„С = АЫ, С = (с4,сЫ!...,с0)г (12)

имеет решение, то минимальный полином матрицы А имеет вид:

ДА) = Лы - скЛк - скАЛк'х -... - с, А - с0 = 0 (13)

, Справедливо и обратное утверждение о том, что коэффициенты минимального полинома (13) С = (ск,ск ,,...,с0)г, являются решениями система линейных алгебраических уравнений (12).

Теорема 12. Если для первого из чисел к = 0,п системы линейных алгебраических уравнений

к _

Е4л=Лы> '=1.« (14)

У-О

имеют одно и то же решение С = (ск,ск_1,...,с0)т, то минимальный полином матрицы А имеет вид (13).

В п. 4.3 приведены приемы для построения устойчивых и неустойчивых полиномов с заранее заданным количеством нулей слева и справа от мнимой оси.

Основные результаты диссертационной работы.

Исследования и результаты, полученные в диссертации, являются системными. Во-первых, они направлены на усиление известных методов исследования робастной устойчивости интервальных линейных систем управления. Во-вторых, они реализуют системный подход к анализу самой робастной устойчивости, ранжируя ее по порядку системы, по особенностям задачи, по числовым полям принадлежности коэффициентов и параметров, по удобству использования тех или иных критериев и подходов и т.д. В-третьих, все описанные результаты рассматриваются сточки зрения общего подхода к проблеме устойчивости, а именно, исследования, как устойчивости, так и неустойчивости. Точнее, проведен анализ критериев принадлежности линейных систем классам (п,к) -эквивалентности, в которых при к = 0 получим устойчивость таких семейств, а при к = 1,п — неустойчивость. Этот единый подход был применен и к проблеме робастности интервальных семейств управления. Рассмотрены существующие и предложены новые подходы к анализу робастной устойчивости и неустойчивости интервальных семейств. В-чствертых, построен ряд новых алгоритмов, относящихся к теме исследования, и имеющих прикладное значение для инженерной практики.

1. Сделан обзор и проведен анализ широкого круга вопросов связанных с исследованием робастной устойчивости интервальных систем управления.

2. Проведен анализ методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с точки зрения принадлежности классам (п,к) - эквивалентности.

3. Сделаны обобщения известных аналитических и графических критериев принадлежности классам (п,к) - эквивалентности интервальных полиномов с

комплексными и вещественными коэффициентами в непрерывном и дискретном случаях.

4. Разработана методика и алгоритмы расширения робастно устойчивого или неустойчивого интервального семейства полиномов до либо интервального, либо выпуклого множества полиномов, оставляющих эти множества полиномов в одном классе устойчивости или неустойчивости.

5. Получен новый подход и построены алгоритмы вычисления минимального полинома.

6. Получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых и неустойчивых выпуклых множеств в пространстве коэффициентов характеристического полинома системы управления.

7. Построены алгоритмы для новых и известных методов построения устойчивых и неустойчивых полиномов с заданной локализацией нулей.

8. Построено большое число новых алгоритмов сопровождающих исследования в диссертационной работе, полезных как для инженерной практики, так и для научных и образовательных целей. Кроме того, проведено большое количество численных экспериментов, подтверждающих теоретические результаты.

9. Разработаны алгоритмы для новых модификаций методов исследования ро-бастной устойчивости и неустойчивости и пакет программ, реализующий эти алгоритмы.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Критерий принадлежности классам (п,к)-эквивалентности дискретных интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». Выпуск 25(2). М.: Изд-во «КомКнига», 2006, с. 154 -159.

2. Зеленков Г.А., Зубов И.Н., Лопатин М.С. О робасгном поведении интервальных полиномов. Материалы 1 международной и VI региональной научно-технической конференции «Стратегия развития транс-портно- логистической системы Азово-Черноморского бассейна; Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта». Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007, с. 69.

3. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. О выпуклых семействах неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1). М.: ЖИ, 2007, с. 158-161.

4. Зеленков Г.А., Лопатин М.С. Математические исследования в системе МАТЬАВ. Материалы XV международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2007, с. 235.

5. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Мухин А.В. Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n,k)- эквивалентности. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 29(1). М.: ЛКИ, 2007, с. 131 - 135.

6. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Новый подход к вычислению минимального многочлена. Материалы четвертой международной конференции «Математические идеи ПЛ. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 2008, с. 33.

7. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. О робастной к-стабилизации для объектов, описанных передаточными функциями. Материалы международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, Владимир: Изд-во Владимирского ГУ, 2008, с. 110-112.

8. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Черноглазое Д.Г. Робастное поведение интервальных полиномов с независимыми ограничениями па вещественную и комплексную части коэффициентов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 32(3). М.: ЛКИ, 2008, с. 161 -167.

9. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Тарасов А.А. Об усилении графического критерия робастной устойчивости интервальных полиномов. Материалы международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности» / Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. - М.: Вузовская книга, 2008, с. 492 - 495.

Ю.Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. Оптимизация метода построения минимального многочлена как решения системы линейных алгебраических уравнений. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 32(2). М.: ЛКИ, 2008, с. 184-188.

П.Лопатин М.С., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Исследование робастной устойчивости и неустойчивости комплексных интервальных полиномов. Материалы международной конференции «Dynamical System Modelling and Stability investigation. Modelling and stability. DSMSI-2009». Украина, Киев, 2009, с. 298.

12.Лопатин М.С., Тульчий В.В., Зеленков ГА. Исследование робастной устойчивости и неустойчивости по группам вещественных коэффициентов интервального полинома. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 39(1). М.: ЛИБРО-КОМ, 2008, с. 133-137.

Подписано в печать: 02.04.2010

Заказ № 3494 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1 Анализ методов исследования устойчивости полиномов и их обобщения для исследования неустойчивости полиномов.

1.1 Графические методы.

1.2 Аналитические методы.

1.3 Дискретные полиномы.

1.4 Полиномы с комплексными коэффициентами.

Глава 2 - Аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов

2.1 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов

2.2 Интервальные полиномы с вещественными коэффициентами.

2.3 Интервальные полиномы с комплексными коэффициентами.

2.4 Дискретные интервальные полиномы.

2.5 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований.

Глава 3 - Графические критерии робастного поведения интервальных полиномов

3.1 Графические критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов.

3.2 Графические критерии робастной устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами.

3.3 Графические критерии робастной устойчивости интервальных полиномов с комплексными коэффициентами.

3.4 Графические критерии принадлежности интервальных полиномов классам (п,к)~ эквивалентности.

3.5 Критерии робастной устойчивости и неустойчивости интервального полинома с двумя размахами неопределенности.

3.6 Расширение области робастного поведения интервального семейства полиномов.

3.7 Применение визуализации при анализе робастного поведения интервального семейства полиномов.

Глава 4 - Построение характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с заданной локализацией нулей.

4.1 Методы построения характеристических полиномов.

4.2 Метод построения минимальных полиномов.

4.3 Методы построения устойчивых и неустойчивых полиномов.

Развитие науки, техники и технологий на современном этапе является причиной ускорения фундаментальных исследований в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Поэтому, необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надёжного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Существующие научные публикации и тематика международных научных конференций, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед цивилизацией в XXI веке является создание новых космических, нетрадиционных энергетических технологий; общемировой системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем; решение транспортной проблемы; создание новых биотехнологий, многофункциональных гибких автоматизированных систем, нанотехнологий; систем управления климатом. Это, конечно, не полный перечень.

Как следствие, появляется необходимость разработки управления для контроля и минимизации негативных последствий развития цивилизации. Создание управления и технологий для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как климатические, биологические, сверхточное ракетно-космическое и психотропное оружие. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий.

Решение этих проблем не может быть осуществлено без серьёзной научной проработки, создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учётом надёжности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на энергосистем, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Таким образом, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.

Теория автоматического управления находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды как на предмет, так и основные проблемы этой теории, также как и используемый математический аппарат.

Проблемы устойчивости возникли в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в III и II столетиях до н. э. Однако первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644 г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести; достаточные условия Лагранжа (1788 г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.

Главным объектом исследования в XIX веке были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уагга для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышнеградский, Гурвиц, Стодола). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.

В теории Ляпунова задача об устойчивости движения решается в общей математической форме - как задача об устойчивости решений (процессов, движений) систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы являются математическими моделями не только в механике, но и служат для описания многих явлении в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин "устойчивость движения" понимается в широком смысле и используется для изучения устойчивости изменяющихся во времени процессов различной природы.

С появлением телефонии и радиосвязи в 30-е годы XX века, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзсрман, Попов).

Теории управления вновь обновилась в конце 1950-х годов. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления -описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности - выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина, который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розснброк). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы. Возникла так называемая -теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н^ -норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей - //-анализ

Дойл, [100). Помимо //°°-теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой /,-оптимизации (Барабанов-Грапичин, Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс,); позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили JI. Заде и Ч. Дезоер. Затем B.JI. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему - полученную в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, II. Lin) и графический критерий робастной устойчивости полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, 51.3. Цыпкин).

Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, B.JI. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, II.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники и не только. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.

Наибольшее количество новых результатов по исследованию робастной устойчивости и неустойчивости интервальных семейств полиномов было получено в 20022009 гг. именно этой исследовательской группой. Других разработок непосредственно в области исследования устойчивости интервальных полиномов в последние годы ведется сравнительно немного. И современные результаты появляются, как правило, при исследовании смежных тем теории управления. К таким темам относятся развитие техники построения D-разбиений для полиномиальных семейств специального вида [26], позволяющей строить многомерные области устойчивости для данных классов полиномов. Другие подходы основаны на исследовании поведения корневого годографа полиномов Харитонова [93] и локализации корней устойчивого интервального семейства полиномов в секторе [20, 21]. Исследуется также экспоненциальная устойчивость интервальных систем с применением подхода основанного на втором методе Ляпунова [116].

Диссертационная работа является продолжением исследований Н. В. Зубова и Г.А. Зеленкова. Она посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для интервальных полиномов, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций - анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.

Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследованию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.

Задание в пространстве состояний.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением: jc = Ах + Вы + Dx\v, у = Сх + D2\v, где x(t) е R" - вектор называемый состоянием системы, u{t) е R"1 - управление, y(t) е R1- выход системы, w(t) е R1' - входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы А, В ,C,DVD2 . хп пхт Ып пур Ыр

Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:

Хк = АХк-\ + Bltk-l + D\Wk-1 > У к = CXk + D2Wk » где к играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы А имеет вид f (s) = det(sE — A), где E - единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике) система может быть записана в виде:

У'° + аи,У,И) +. + аху + а0у = rniu{m) +. + гхй + r0u,n > т. В этом случае характеристический полином имеет вид: (s) = s" + anAs"A +. + axs + aQ.

Далее будем понимать под интервальной системой управления систему первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.

Задание с помощью передаточных функций. Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

Huy{s) = C{sE-A)-xB,

HuSs) = C(sE-AyDx+D2, где матричная функция Ни (s) комплексной переменной 5 называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функция HUH,(S) называется передаточной функцией от возмущения w к выходу у. Элементами матриц H(s) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель f (s) = det (sE — A) -характеристический полином матрицы Л.

В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома f(s).

В первой главе сделан анализ основных методов исследования устойчивости характеристических полиномов линейных стационарных систем управления и нелинейных систем по первому приближению с целью их использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).

В п. 1. рассматриваются графические критерии принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п, к) -эквивалентности. Описана методика анализа диаграмм для определения принадлежности полиномов классам (п, к) -эквивалентности и оценки величины запаса устойчивости или неустойчивости для полинома данного класса.

В п. 2. рассматриваются группы аналитических методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов непрерывных систем основанные на подходах Ляпунова (первый метод), Гурвица (матричные методы), Рауса, Зубова Н.В. (методы понижения порядка) и переходу к форме Фробениуса (для использования методов анализа устойчивости и неустойчивости матриц, для исследования полиномов).

В п. 3. рассматриваются методы анализа устойчивости и неустойчивости характеристических полиномов дискретных систем. Здесь описаны графические (аналоги подхода Михайлова) и аналитические критерии (матричный метод и метод понижения), а также описывается методика применения графических методов для систем большого порядка. Здесь же уделено внимание вопросам исследования полиномов разностных систем и сверхустойчивости дискретных полиномов.

П. 4. содержит описания методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с комплексными коэффициентами. Здесь также рассматриваются все группы методов (графические и аналитические, матричные и методы понижения) для исследования непрерывных и дискретных систем.

Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному J приближению. Рассматриваемые критерии и методы исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в ' теории робастной устойчивости для интервальных полиномов, такие как теорема

Харитонова.

До сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались достаточно редко. Развитие техники и новых технологий показали, что явление 5 неустойчивости не является только пограничным явлением устойчивых режимов, а как показали математические исследования, становится преобладающим с ростом размерности f систем. В некоторых случаях это явление может стать полезным.

В п. 2.1 приведены новейшие результаты по выпуклым множествам робастно устойчивых и неустойчивых полиномов. Приведенные критерии относятся к вариантам реберной теоремы для аффинных семейств специального вида. Причем в п. 2.2-2.4 отмечена связь этих утверждений с интервальными полиномами.

В п. 2.2-2.4 этой главы приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными ограничениями на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам (п, к) -эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Здесь приведен их анализ и добавлены доказательства, которых не было в печати.

В п. 2.5 рассмотрен метод решения задач робастного поведения выпуклых множеств полиномов с помощью допустимых преобразований их коэффициентов. Этот подход использован для построения интервальных характеристических полиномов, принадлежащих однородным классам (п,к)- эквивалентности, т.к. допустимые преобразования оставляют эти полиномы в том же классе устойчивости (к = 0) или неустойчивости (к = \,п). В частности, все полиномы «ящика» Харитонова эти преобразования оставляют полиномами Гурвица. Для полиномов Гурвица (к = 0) допустимые линейные преобразования разработаны Н.В. Зубовым и дополняют аналогичные преобразования предложенные Ю.А. Неймарком. Приложение некоторых из этих преобразований к семействам интервальных полиномов позволяет расширить множество как устойчивых, гак и неустойчивых интервальных полиномов, не прибегая каждый раз для их анализа к теореме Харитонова в первом случае или к ее обобщениям во втором.

В третьей главе предлагается математический аппарат исследования робастного поведения интервальных семейств полиномов графическими методами. В рамках предложенного подхода некоторые известные критерии робастной устойчивости являются следствиями приведенных в данной главе результатов.

В п. 3.1 приведен графический критерий принадлежности выпуклых множеств полиномов, имеющих конечное число угловых точек, классу эквивалентности.

Критерии робастного поведения выпуклых множеств можно использовать для исследования интервальных полиномов.

Главное преимущество графических критериев состоит в том, что с их помощью для интервального полинома достаточно проверить поведение лишь одного, а не четырех годографов для вещественного или восьми для комплексного случаев, как это делалось ранее. Кроме того, одновременно можно найти максимальный размах неопределенности, при котором сохраняется робастная устойчивость или неустойчивость.

В п. 3.2 предложено обобщение графического критерия Цыпкина - Поляка проверки устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, которые присутствовали ранее в этом критерии.

Далее в п. 3.3 приведен графический критерий устойчивости семейств интервальных полиномов с комплексными коэффициентами. Показано, что при стандартных ограничениях на коэффициенты специальный годограф будет ограниченным, что удобно в инженерной практике. В общем случае, когда сняты некоторые ограничения на коэффициенты эгот годограф может стать неограниченным, что не дает особых проблем в расчетах, так как при со —> ±оо прослеживаются прогнозируемые тенденции в поведении нормированного номинального годографа, что дает возможность прекратить вычисления при не очень больших частотах со.

В п. 3.4 главы построены графические критерии позволяющие определить робастное поведение семейств интервальных полиномов в вещественном и комплексном случаях. Под робастным поведением понимается только устойчивость или только неустойчивость для всех полиномов семейства. Точнее, доказаны графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (п,к)~ эквивалентности для полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами. Причем при к- О эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полипомов.

В ri. 3.5 предложены новые графические критерии робастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности в отличие от критериев Цыпкина-Поляка и его обобщений.

В п. 3.6 этой главы описаны различные подходы для расширения области робастного поведения семейств полиномов.

В п. 3.7 главы рассмотрены известные и предложены новые приемы визуализации для исследования робастного поведения семейств полиномов.

Четвертая глава содержит исследование вопросов построения характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с заданной локализацией нулей.

В п. 4.1 даётся перечень основных методов построения характеристического полинома и кратко излагаются наиболее конструктивные методы вычисления коэффициентов характеристического полинома. Здесь подробно рассмотрен только метод Крылова и проведен анализ его особых случаев.

В п. 4.2 предложены методы и алгоритмы построения минимального полинома, что является полезным, если его степень намного меньше степени характеристического полинома.

В п. 4.3 приведены приемы для построения устойчивых и неустойчивых полиномов с заранее заданным количеством нулей слева и справа от мнимой оси. •

Заключение

Исследования и результаты, полученные в диссертации, являются системными. Во-первых, они направлены на усиление известных методов исследования робастной устойчивости интервальных полиномов. Во-вторых, они реализуют системный -подход к анализу самой робастной устойчивости, ранжируя ее по порядку системы, по особенностям задачи, по числовым полям принадлежности коэффициентов и параметров, по удобству использования тех или иных критериев и подходов и т.д. В-третьих, все описанные результаты рассматриваются сточки зрения общего подхода к проблеме устойчивости, а именно, исследования, как устойчивости, так и неустойчивости. Точнее, проведен анализ критериев принадлежности линейных систем классам (n,k) -эквивалентности, в которых при к = 0 получим устойчивость семейства полиномов, а при к ~\,п — неустойчивость. Этот единый подход был применен и к проблеме робастности интервальных семейств полиномов. Рассмотрены существующие и предложены новые подходы к анализу робастной устойчивости и неустойчивости интервальных семейств. В-четвертых, построен ряд новых алгоритмов, относящихся к теме исследования, и имеющих прикладное значение для инженерной практики.

1. Сделан обзор и проведен анализ широкого круга вопросов связанных с исследованием робастной устойчивости интервальных семейств полиномов.

2. Проведен анализ методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с точки зрения принадлежности классам (n,k) - эквивалентности.

3. Сделаны обобщения известных аналитических и графических критериев принадлежности классам (n,k) - эквивалентности интервальных полиномов с комплексными и вещественными коэффициентами в непрерывном и дискретном случаях.

4. Разработана методика и алгоритмы расширения робастно устойчивого или неустойчивого интервального семейства полиномов до либо интервального, либо выпуклого множества полиномов, оставляющих эти множества полиномов в одном классе устойчивости или неустойчивости.

5. Получен новый подход и построены алгоритмы вычисления минимального полинома.

6. Получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых и неустойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических полиномов, так и в пространстве параметров самой системы, первого приближения в нестационарном случае.

7. Построены алгоритмы для новых и известных методов построения устойчивых и неустойчивых полиномов с заданной локализацией нулей.

8. Построено большое число новых алгоритмов сопровождающих исследования в диссертационной работе, полезных как для инженерной практики, так и для научных и образовательных целей. Кроме того, проведено большое количество численных экспериментов, подтверждающих теоретические результаты.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Издательство АН СССР, 1963.

2. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СГ16ГУ, 2003. - 164с.

3. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем СПб.: Изд. СпбГУ, 2003.- 112 с.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

6. Барабанов А.Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, №5, с. 1061-1065.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352с.

9. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.-215 с.

10. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

11. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Зубов И.В., Зубов Н.В. Проблемы устойчивости матриц и вычислительных алгоритмов: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2007.- 150 с.

12. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Косюг В.И. Построение систем непрерывной стабилизации. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Выпуск 7. М.: ВЦ РАН, 2005, с. 44-50.

13. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 119 с.

14. Булгаков Б.В. О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // Докл. АН СССР. 1946. Т.5, вып. 5. С. 339-342.

15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002.

16. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

17. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

18. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

19. Гайворонский С.А., Вадутов О.С., Новокшонов С.В. Анализ региональной робастной устойчивости системы методом интервального корневого годографа. Материалы региональной научной конференции «Наука, Техника, Инновации». Новосибирск: Издат. НГТУ, 2001.

20. Гайворонский С.А., Замятин С.В. Анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе. Изв. Томского политех, ун-та. -2004. Т. 307. № 4. С. 14-18.

21. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576с.

22. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

23. Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. Радио, 1970.

24. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. 301 с.

25. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида. АиТ, № 12, М.: Наука, 2007.

26. Дедков В.К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.

27. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963.

28. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: псрев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 304 с.

29. Дивеев А.Н., Северцев Н.А. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105с.

30. Дикусар В.В., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: ВЦ РАН, 2007. 234 с.

31. Дикусар В.В., Зубов Н.В., Зеленков С.Г. Лопатин М.С. Вещественный радиус устойчивости для матриц, устойчивых по Важевскому. Материалы международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция». Ч. 2. Беларусь, Минск, 2008, с. 26.

32. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Изд-во "Физико-математическая литература", 2004. - 503 с.

33. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

34. Жабко А.П., Прасолов В.Л., Харитонов В.Л. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003. - 285с.

35. Зеленков Г.А. Аналитические и численные методы построения характеристического многочлена: Монография. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007. - 128 с.

36. Зеленков Г.А. О графических критериях робастной устойчивости интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», № 10(2), с. 181 187, 2006.

37. Зеленков Г.А. Обобщение принципа исключения нуля для неустойчивых полиномов. Материалы XV международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2007, 234 с.

38. Зеленков Г.А., Зубов И.Н. Решение обратной задачи Гамильтона-Кэли Фробениуса. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 10(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2005, с. 163 - 165.

39. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Новый подход к вычислению минимального многочлена. Материалы четвертой международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания». Обнинск, 2008, с. 33.

40. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейства матриц. Труды Института системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». Выпуск 25(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2006, с. 137-141.

41. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. О выпуклых семействах неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1). М.: ЛКИ, 2007, с. 158-161.

42. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Мухин А.В. Критерии устойчивости систем с последействием на конечном интервале времени. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Спецвыпуск. Часгь 2. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 49 -51.

43. Зеленков Г.А., Лопатин М.С. Математические исследования в системе MATLAB. Материалы XV международной конференции «Математика. Образование». Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2007, с. 235.

44. Зеленков Г.А., Лопатин М.С. Оптимальная локализация спектров линейных операторов в системе MATLAB. Труды четвертой Всероссийской научной конференции. Часть 4. Самара: СГТУ, 2007, с. 46 48.

45. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Мухин А.В. Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n,k)- эквивалентности. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 29(1). М.: ЛКИ, 2007, с. 131-135.

46. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Тульчий В.В. Новый метод решения систем с вырожденной матрицей в задачах моделирования систем управления на транспорте. Труды МГА №13, 2009, с. 309-310.

47. Зубов А.В., Зубов Н.В., Лаптинский В.Н. Динамика управляемых систем: Монография. СПб.: «ВВМ», 2008. 336 с.

48. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. -353с.

49. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. -223с.

50. Зубов И.В., Зеленков Г.А., Мухин А.В. Единая система вычислительных алгоритмов. Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение № 3. Ростов-на-Дону. РГУ, 2006, с. 11 15.

51. Зубов Н.В. Математические методы исследования динамической безопасности. М.: ВЦ РАН, 2007. - 772 с.

52. Зубов Н.В., Зубов С.В. Лекции по математическим методам стабилизации динамических систем. СПб.: СПбГУ, 2007. - 352 с.

53. Зубов Н.В., Лопатин М.С., Тульчий В.В. Методы исследования устойчивости полиномов. Часть 1. Методы понижения порядка. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2). М.: ЛИБРОКОМ, 2009, с. 56-69.

54. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989.-311 с.

55. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.-400с.

56. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

57. Краснощекое П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983. -83с.

58. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Физматгиз,1968- 475 с.

59. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физ.мат., 1959.-212с.

60. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976, т. 1. - 303с.

61. Куржанский Л.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

62. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

63. Ларин В.М., Науменко К.И., СунцевВ.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наук. Думка, 1971.

64. Лопатин М.С. Методы исследования устойчивости полиномов. Часть 3. Дискретные полиномы и полиномы с комплексными коэффициентами. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2). М.: ЛИБРОКОМ, 2009, с. 85-98.

65. Лопатин М.С., Зеленков Г.А., Стрюк Е.В. Новый критерий робастной устойчивости и неустойчивости интервальных полиномов. Материалы международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, М.:МИАН, 2009, с. 111112.

66. Лопатин М.С., Зеленков Г.А., Черноглазое Д.Г. Методы исследования устойчивости полиномов. Часть 2. Матричные и графические методы. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2). М.: ЛИБРОКОМ. 2009, с. 72-84.

67. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950.

68. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

69. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.-232с.

70. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976.

71. Миронов В.В., Северцев Н.А. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

72. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

73. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Л.: ЛКВВИА, 1949.

74. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // Автом. телемех. 1994. № 11. С. 113-119.

75. Несенчук А.А., Федорович С.М. Метод параметрического синтеза интервальных систем на основе корневых годографов полиномов Харитонова. АиТ, № 7, М.: Наука, 2008. с. 37-46.

76. Пантелеев А.В., Бортаковский Л.С. Теория управления в примерах и задачах. М.: Высшая школа. 2003. - 583 с.

77. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

78. Первозванский А.Л. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

79. Петров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // Лвтом. телемех. 1991. № 11. С. 4153.

80. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

81. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. -303 с.

82. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. — 304 с.

83. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981.- 176с.

84. Раус Э. Об устойчивости заданного состояния движения. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований., 2002, - 199с.

85. Северцев Н.А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности. М.: Изд-во "Высшая школа", 2006. - 464 с.

86. Семенов В.В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.

87. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука, 1971.

88. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987.

89. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

90. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

91. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-416с.

92. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 20862088.

93. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 665.

94. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3 31.

95. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

96. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207с.

97. Чулин С.Л. Экспоненциальная устойчивость интервальных ' систем. Системы управления и информационные технологии. № 3(25) 2006. с. 26-28.

98. Bhattacharyya S.P., Chapellat Н., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

99. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. Y. 7, No. 1 2. P. 53 - 63.

100. Taussky O. Bibliography of Bounds for Characteristic Roots of Finite Matrices // National Bureau of Standarts, September 1951. Rept. 1162.