автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование робастных характеристик линейных систем управления

На правах рукописи

Черноглазое Дмитрий Григорьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТИЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 АПР 2011

Москва-2011

4844601

Работа выполнена в Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, на кафедре системного анализа, управления и обработки информации, г. Новороссийск

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Зеленков Г.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дикусар В.В., доктор технических наук, профессор Косяченко С.А.

Ведущая организация: Московский государственный

технический университет гражданской авиации

Защита состоится « /2 » мая 2011 г. в 15.00 на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, Москва, улица Вавилова, дом 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан «_»_2011г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важной проблемой современного промышленного производства является развитие научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем (СТС). В первую очередь, это касается использования в качестве объекта исследования адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования безопасности СТС.

Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы, напрямую связанных с безопасностью эксплуатации реальных технических систем, является устойчивость.

Проблемы устойчивости рассматривались в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в III и II столетиях до н.э. Однако, первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести; достаточные условия Лагранжа (1788г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.

Начиная с середины XIX века теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в это время были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. С ростом мощности и быстроходности паровых машин эти машины были склонны к неустойчивости и самораскачиванию, что часто приводило к авариям.

В конце 1950-х годов выяснилось, что существующая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление полётом и наведением ракет. В других областях имеется масса причип, мешающих приметать математическую теорию управления. В каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Таким образом, с 1950-х годов начала формироваться теория, позволяющая исследовать системы с неопределенностью (робастное управление, робастная устойчивость).

Исследование устойчивости семейств полиномов с интервальной неопределенностью впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако, он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на

интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили JI. Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов разработал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что явилось заметным продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную-теорему, полученную в 1988г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin), и графический критерий робастной устойчивости интервальных полиномов, доказанный в 1990г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).

К задачам робастной устойчивости относятся определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И.А. Вышнеградский), и получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Основными подходами к исследованию робастной устойчивости систем управления являются теория возмущений, ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк), вероятностный подход (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.). Исследованию задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, A.C. Не-мировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, А.Б. Куржанский, В.Н. Афонасьев, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости и неустойчивости обусловлена повышающимися требованиями к эффективности, точности и качеству управления процессами в условиях неопределенности. Это ставит высокие требования к методам анализа и синтеза систем управления, функционирующих в условиях неопределенности. Как правило, необходимо обеспечить устойчивость проектируемой системы к изменению неопределенных параметров в широких пределах. Для этого необходимы методы, позволяющие определять максимальный размах неопределенности, при котором система остается устойчивой или неустойчивой.

Наличие неустойчивости в управляемой системе, как правило, означает наличие немонотонных зависимостей от параметров системы. Неустойчивость в поведении системы может быть связана как с переходными состояниями системы, так и с неопределенностью входных данных. Неустойчивость может оказывать влияние, как на скорость протекания процессов, так и на появление

шумов. Исследование робастно неустойчивых режимов позволяет проектировать новые быстродействующие и экономичные регуляторы и дает эффективные решения нерешенных инженерных задач.

Диссертационная работа посвящена развитию аналитических и графических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов и матриц. Рассмотрено применение теоретических результатов к известным математическим моделям систем управления.

Целью диссертационного исследования является разработка методики комплексного анализа робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления СТС с различными видами описаний неопределенности и адаптации этих методов к инженерной практике.

Объектом исследования является функционирование сложных технических объектов, описываемых линейными управляемыми динамическими системами.

Методы исследований. В диссертационном исследовании использованы классические методы теории устойчивости и методы робастной теории устойчивости (при наличии неопределенности в описании систем). Также применены методы математического анализа, математического программирования, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, алгебры и прикладной математики.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на классических достижениях в теории устойчивости, робастной теории и новейших результатов по неустойчивости, корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория функций, алгебра, выпуклый анализ, теория матриц, функциональный анализ, дифференциальные уравнения.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления СТС с различными описаниями неопределенности, детерминированными и стохастическими методами. Получили развитие известные критерии робастного поведения непрерывных и дискретных систем. Разработаны критерии и процедуры, расширяющие область неопределен-

ности исходного семейства при сохранении принадлежности определенному классу неустойчивости. Применение методики анализа динамики поведения СТС рассмотрено на примере быстроходного катера.

Практическая значимость. Созданы новые модификации и обобщения критериев исследования робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем, позволяющие проводить анализ робастного поведения динамических систем для интервальных и неинтервальных типов неопределенности. Критерии дают возможность выполнять исследования как в пространстве коэффициентов характеристических полиномов, так и в пространстве коэффициентов матриц. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай, а разработанные на их основе алгоритмы с динамической визуализацией позволяют исследовать не только границы изменения параметров сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные результаты можно использовать для разработки более эффективных систем управления, что даст возможность снизить затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Исследование классов неустойчивости дает информацию при синтезе систем управления, а также решает задачу определения близости устойчивых и неустойчивых режимов. Учитывая, что неустойчивые состояния зачастую влияют на скорость протекания процессов, обеспечивают переход к другому устойчивому состоянию при минимальных затратах энергии и обладают рядом других уникальных качеств, это явление может стать основой новых технических решений в управлении динамикой СТС.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводящейся в КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова, а также при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете прикладной математики КубГУ. По результатам диссертации опубликованы учебные пособия.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию вошли результаты, которые получены лично автором, а также разработанные в соавторстве, что отражено в ссылках. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие обозначения.

Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 5-ти международных и 1-й региональной конференциях, проходивших в

Дубне, Новороссийске, Пущино, Ростове-на-Дону, Саратове, Суздале. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, а так же на научных семинарах КубГУ и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, общий объем вклада автора составляет 2,08 п.л. Из них 5 в изданиях, рекомендованных ВАК, общий объем вклада автора в них составляет 1,3 п.л. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и приложения. Главы состоят из параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул, теорем и определений. Объем диссертации 148 страниц. Список литературы содержит 113 наименований. Приложение содержит 10 рисунков. Объем приложения 35 страниц.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

• Модификация классических и новых методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных и неинтервальных систем управления для решения практической задачи управления работой робота сварщика.

• Исследование новых геометрических свойств допустимых линейных преобразований коэффициентов интервальных систем управления с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.

• Исследование робастной устойчивости и неустойчивости матричных семейств для отдельных классов таких семейств (матрицы, устойчивые по Важевскому, ¿-диагональные матрицы).

• Методика анализа робастных характеристик математических моделей морских подвижных объектов (МПО) (судно, катер).

• Алгоритмы, программы и приемы визуализации для применения современных подходов к исследованию робастного поведения систем управления СТС.

Краткое содержание диссертационной работы

Во введении приведена общая характеристика диссертации, обоснованы актуальность темы исследования, достоверность, научная новизна и практическая значимость результатов, полученных в работе.

Рассмотрим основные описания линейных систем управления, используемые в диссертации.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением:

j&= Ах + Ви + D{w, y = Cx + D2w, где x(t)eR" - вектор называемый состоянием системы, u(t)eRm - управление, y(t) б Rl- выход системы, w(t) е Rp - входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия, тп пхт Ып пур 1ур - матрицы.

Дискретные системы описываются разностными уравнениями: Хк = Лхк-\ + Вик-\ + D\Wk~\» У к = Схк + °2Wk'

к ифает роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы А имеет вид / W = det(s£ где Е-единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае система может быть записана в виде: у(п) + +... + aQy = rmu(m) +...+г,г&- гйи,п > т.

В этом случае характеристический полином имеет вид: f(s) = s" + an_/~l +... + a,j + aQ.

Система управления с интервальной и эллиптической неопределенностью в коэффициентах соответственно имеет вид:

апу(п) + ...а0у = Ьти{т) + а, < а. < a.t ,i = 0,п

;=0 а.

Матричная неопределенность в системах управления может быть задана следующим образом:

&=AX + BU, А = А+А, ||A|Sy, Y = CX

Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

Ниу{*) = С{зЕ~АГхВ, Ник{з) = -ЛГ'Я, + Д2,

где матричная функция комплексной переменнойназывается переда-

точной функцией от управления и к выходу а аналогичная функция и» СО называется передаточной функцией от возмущения н» к выходу у. Элементами матриц ¡{(я) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель /(я) = й£1(5Е- А) _ характеристический полином матрицы А. Исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости характеристического полинома /(я).

В первой главе рассмотрены методы исследования устойчивости линейных систем управления, сделан их анализ и обобщение для исследования неустойчивости. Рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем.

В п. 1.1. рассматриваются аналитические (метод понижения порядка Н.В. Зубова) и графические критерии (обобщения критериев Найквиста и Михайлова) принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п,к) -эквивалентности.

Определение 1. Полином степени п с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней (р{Б) = а0 + +... + а^", а0 Ф 0, ап Ф О

принадлежит классу (лД)-эквивалентности, если к его корней, с учетом их кратности, лежат в правой полуплоскости. Такие полиномы при к=0 называют устойчивыми (полиномы Гурвица).

В п. 1.2. рассматриваются аналитические (например метод Шура-Кона) и графические критерии (аналог метода Михайлова) принадлежности полиномов дискретных систем классам (п,к) -эквивалентности.

П. 1.3. посвящен исследованию локализации и оценки спектров линейных операторов для исследования устойчивости и неустойчивости матриц линейных систем управления (теоремы Ляпунова, Таусски, Бендиксона-Гирша, Рорбаха-Фреше). Приведены методики анализа ¿-диагональных матриц.

Теорема 1. Пусть ЛеС"*" и &-диагональная по строке, точнее, выполняются неравенства для к её диагональных элементов:

а для п — к её диагональных элементов

Тогда матрица А принадлежит классу (пЛ) - эквивалентности. При к-0 получим частный случай теоремы Рорбаха об устойчивости для вещественного случая. Такие матрицы (при к = 0) называют сверхустойчивыми или матрицами Лдамара.

В п. 1.4. рассмотрены различные описания неопределенности для систем управления. Предложены варианты геометрии неопределенности в комплексном случае. Рассмотрены варианты неопределенности как для систем управления с полиномиальной, так и с матричной структурами. Анализ основных критериев устойчивости показал:

1. Коэффициентные критерии типа Рауса - Гурвица, Льенара - Шипара, Джури и им подобные, использующие характеристические полиномы матрицы для анализа ее на устойчивость, не удается применить для анализа полинома на принадлежность классам (и, ^-эквивалентности при

1 <к<п.

2. Метод локализации собственных чисел матрицы В.И. Зубова, хотя и не требует построения характеристического полинома, решает частную задачу - выяснение местоположения всех чисел спектра в заданной области.

3. Фактически, если не считать критерия Михайлова, удобного лишь при небольших порядках системы, для проверки неустойчивости полиномов, остается только метод Рауса понижения порядка полинома, модифицированный для этого случая Н.В. Зубовым, который однозначно решает вопрос о принадлежности полинома к одному из классов (п, к)-эквивалентности.

Во второй главе рассматриваются аналитические и графические критерии робастного поведения интервальных полиномов. Проводится системный анализ робастной устойчивости и неустойчивости линейных динамических систем с интервальной неопределенностью. Приведенные критерии и методы исследова-

ния робастной неустойчивости включают известные результаты по робастной устойчивости (такие как теорема Харитонова) как частный случай. Разработаны критерии анализа систем с комплексными коэффициентами.

В п. 2.1,2.4 рассмотрены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными ограничениями на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам ("> -эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Проведен их анализ.

Определение 2. Семейство полиномов степени п с комплексными коэффициентами

Границы изменения всех годографов интервального полинома O(s) : Если л>^0,то:

A,(w) <h(co)<hi(a);

Если со <0, то:

g2(ù))<g(co)<g2(co), Иг(а>)< h(co) <hi{(a)\

= &-Ъхш-йга? +bW +a4û/ -b5a5 -К , g1{co) = aa - b\m- а2а>г + b3w3 +04(o' — bi(ù5 -K ; A2(îu) = é0 + aico-bio)1 - агаг + b4û>4 + as(os -K ,

Tn(co) = bo + axù) - b2û)2 - аго? + btco* + asco5 -K .

Определение 3. Назовем угловыми полиномами восемь полиномов вида:

[<Рп М = £,("» + jk.ii.-ja), <Рг&) = g¡i-js) + jh¡(-js),

\<P22is) = g^i-js) + jh^i-js), <РХ гis) = g{i-js) + ^h\i-js)\

\<Ръ (¿) = £2 (-» + (-/О, <Рп О) = Яг ("» +

[^34 С*) = 12 (-» + Д (-», (-0 = ^2 ("» + 7^ (-75).

Теорема 2. Семейство полиномов ФМ принадлежит классу (и,*)-эквивалентности тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

1. Все восемь угловых полиномов находятся в классе эквивалентности.

2. При ® 2; 0, / = 1 и при © ^ 0, г = 2 выполняется:

если • £,(«) = 0, то А,-(га) • А,(ю) > 0;

если А, (¿о) • А,- (ю) = 0, то ' (®) > 0. На рис. 1 показана динамика поведения и геометрическая структура угловых годографов из теоремы 2

Рисунок 1 - Поведение годографов угловых полиномов комплексного интервального семейства полиномов

В п. 2.2. - 2.3. анализируются обобщения графических критериев исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, которые присутствовали ранее. Причем при ^ = О эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полиномов. Предложены графические критерии ро-бастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности.

Рассмотрим интервальное семейство полиномов с комплексными коэффициентами Ф^Л

f(s) = 4, + Л,5 +...+ А/,А, = а, + jbJa, - а°| < а.у,

Ф(5) =

р,-bj\<pif2,ai > 0,jB. > 0,у > 0,/j > 0.

Определение 4. Назовем при % > °>fio > ап > Рп > ® функцию

ZJco) = —-+/—-= xn(cS) +jyJco)

0 R(w) J T(o)) 0 0 '

определенггую на всей вещественной оси, сложным нормированным номинальным годографом или кратко - сложным годографом.

Ígo{a>) = - - + A3V + -1

\h0(cü) = b° + -ЬУ - а°У + b°m4 +.... J

= ад +— /?,|ш| + а2й)2 + —/?3|©]3 + а4й/ + ...,

7"(<о) = pCl + ^a, У + р,о)2+?-а, Ы3 + р.т4 +.... fi Н

Теорема 3. Для того, чтобы комплексный интервальный полином степени п был интервальным полиномом класса эквивалентности при ао>()>Ро >®<а„>®>Р„>®, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

(тах((а0°)2 - (уа0)2,(60°)2 - (цРй)2) > 0,1

[тах{{а1)г-{уапУХЪу-{цРпУ) > 0

0\2

2. Годограф Z0(ü)) при изменении ю от -от до со проходит последовательно против часовой стрелки ровно п-2к полуоборотов (А arg Z0(a) = ic{n-2k)), не пересекая прямоугольника с верши-

—т<й><-но

нами {±y,±/i).

В третьей главе проведен анализ методов исследования робастного поведения линейных систем управления с неинтервальным описанием неопределенности.

В п. 3.1. анализируются критерии существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов в пространстве коэффициентов характеристического полинома системы первого приближения принадлежащих однородным классам неустойчивости. Эти критерии позволяют свести исследование бесконечномерной задачи к конечномерной, т.е. путем проверки конечного числа условий, налагаемых на полиномы, образующие это семейство, установить свойства всего этого семейства полиномов и геометрии их семейства годографов.

В п. 3.2. рассмотрены критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности. Системы с неинтервальным описанием неопределенности можно исследовать с помощью аналитических и графических критериев и вероятностного подхода как в непрерывном, так и в дискретном случаях. Пусть задано аффинное семейство полиномов

= {Дм) = ад + +...+ q,F,(s), j q\ < г, i = Ü}

Теорема 4. Пусть deg^.(i) ^degF0(s),/ = l,/,degF0(j) = и,

rx|<|<|4/iKH4 /=i i=i

где а'т, i = 1,1, - коэффициенты при sm полиномов F(s). Пусть полином F0{s) из класса (п,к)- эквивалентности. Тогда для принадлежности всего аффинного семейства P(s,Q) классу (п,к)~ эквивалентности необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий:

либо все реберные полиномы находятся в классе (п,к)- эквивалентности;

либо для любой пары Fj(s),F/(s) вершинных полиномов, являющихся концами реберного полинома, для их годографов

^ О) = gM (">) + jhH (со) и О) = g)j (<w) + Д (ûj)

выполняется: если co=a>0 вещественный положительный корень уравнения

S ¿со)\(ш) - g^co^ico) = О,

то при со = су0 выполняется неравенство

g/ûO^o) + h^co^co) > 0.

На рис. 2 показана геометрия семейства годографов аффинного семейства полиномов.

Рисунок 2 - Визуализация применения теоремы 4 (срезы годографов при фиксированных значениях частот)

В п. 3.3. рассмотрена техника применения допустимых линейных преобразований для исследования робастного поведения семейств полиномов.

Определение 5. Любое линейное преобразование B=DA, коэффициентов полинома из класса (п,к)~ эквивалентности

f(s) = a0 + axs +К+ ans\ оставляющее его полиномом того же класса

F{s) = b0 + bls +К + bns\

называются допустимыми линейными преобразованиями.

Основные допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристического полинома линейной системы управления:

1.6. = aaj,bi =а 'а.,(г = 0,1,К ,п),а>0.

\ i = Qj,n = 2/ +1;

2.b2i=aav,b2M = pali+va>0,p>VÀ

i'= ' 'П= 'Я2/+1 ~ 21+1 '

3. b2i = aa2. + ya2M,b2M = fia2M,an+{ = 0,« > 0,y > 0,0 > 0,a0bQ > 0.

4. n = ll + \,b2j = aa2j,b2/+l = fia2l+l + ya2j,i=0J,a >0,y > 0,/? > 0.

(é, = aa,,.+ ra.. , ,i = Q,/, a .= 0,

5. и = 21,a > > 0,/? > (Ы 2' 2,-1 "'

[ *2.+Г/Ч.+1 .'' = 0,/-l,

Теорема 5. Пусть: a) /f' - множество коэффициентов интервального семейства полиномов F(s) из класса (п,к)~ эквивалентности; б) D — матрица допустимого линейного преобразования коэффициентов полинома (1-5). Тогда множество коэффициентов U DA образует интервальное семейство полиномов P{s) из того же класса, а полиномы, соответствующие сторонам прямоугольника годографов переходят в полиномы с таким же свойством.

Образы угловых полиномов могут «перейти» на стороны прямоугольника и уже не быть угловыми (см. рис. 3).

В п. 3.4. рассмотрены вопросы робастной ¿-стабилизации для объектов, описанных одномерными передаточными функциями, ¿-стабилизации позволяет переводить систему из одного класса устойчивости или неустойчивости в другой.

В п. 3.5. рассмотрен вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов. Рассмотрено применение метода Монте-Карло и аппроксимации доверительным эллипсом.

л 2 О ■2

■6 ■В

■ Ю

-8 -6 -< -2 0 2 < "'"<4^2124

Рисунок 3 — Образ семейства годографов (справа), полученного после преобразования (4) коэффициентов исходного семейства годографов (слева)

Четвертая глава посвящена анализу методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости семейств матриц линейных систем управления.

Исследован вопрос о робастной устойчивости семейств нестационарных матриц устойчивых по Важевскому (вещественные матрицы) и сильно сверхустойчивых (комплексные матрицы). Анализируются новейшие исследования по ¿-диагональным матрицам. При к = 0 их называют сверхустойчивыми.

В п. 4.1. приведены вспомогательные сведения и постановка проблемы. Определение 6. Матрица А е С"х" называется:

а) устойчивой, если весь ее спектр локализован слева от мнимой оси;

б) устойчивой по Шуру, если ее спектр локализован внутри круга единичного радиуса.

в) принадлежащей классу (я> 'О -эквивалентности, если к чисел спектра вместе с кратностями лежат справа от мнимой оси, а п-к - слева.

г) принадлежащей классу ("> -эквивалентности по Шуру, если к чисел ее спектра находятся вне круга единичного радиуса, а п~к - внутри этого круга.

Рассмотрим параметрические семейства матриц, такие как интервальное семейство, задаваемое в форме

А = ), а:/ < а.. < ау, у = 1,я

или

Л = 4,+Д,А = (Д ),|д,у|<а = £ а. >О/г >0;

либо аффинное семейство

m I I ——

A(q)=AG+Y,qiAj\q\<y,i = \,rn\ (=i

либо матричное семейство

где матричные возмущения А ограничены по норме.

Определение 7. Семейство матриц А е С""" называется принадлежащим .классу

-эквивалентности матриц, если все его элементы (матрицы) принадлежат классу .(п,к) -эквивалентности при всех ау или при всех ^¡j из допустимого множества. Наибольшее число У = Упах, ДЛЯ которого робастное

[п, к) -поведение сохраняется при всех У < У* ах, называется к -радиусом матричного семейства.

В п. 4.2. анализируются формулы ¿-радиуса робастного поведения для непрерывных и дискретных систем, матрицы которых имеют к -диагональное преобладание.

В п. 4.3. предлагаются методики исследования робастного поведения семейств матриц с неопределенностью, задаваемой с помощью матричных норм для исследования принадлежности семейств матриц классам (п> эквивалентности.

В п. 4.4. рассмотрены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, что является одной из задач робастной устойчивости матриц.

Определение 8. Будем говорить, что матрица A(t) е Стп обладает сильной сверхустойчивостью (если A(t)eR"*", то обладает устойчивостью по Ва-жевскому), если её эрмитова составляющая является отрицательно определенной в представлении

A(t) = (Ait) + A\t)) 12+(Ait)- A\t)) / 2 = Я,(0 + jH2(t) Из определения следует, что сильно сверхустойчивая матрица ДО и матрица Hi(t) имеют собственные числа, локализованные в левой полуплоскости.

Теорема 6. Пусть матрицы ^(0из С"х" обладают сильной сверхустойчивостью, тогда их любая выпуклая комбинация

ш _ т

А( Г) = £>,4(0, >0,г = 1,ш, а>0

/=1

также обладает сильной сверхустойчивостью.

Теорема 7. Пусть матрица А(1) е С"*" обладает сильной сверхустойчивостью, а возмущение Д еС"*" фиксировано. Тогда семейство матриц А(() + р. > 0 является сильно сверхустойчивым, если

^<тт(тфД0|)/|Д|,

1<.[<п\ 1>о 7 " "

где - собственные числа матрицы А(г)+ А (/), ||а|| - спектральная норма.

Теорема 7 верна для А{1) е Ятп, устойчивой по Важевскому, и Д е .

В приложении приведены алгоритмы, программы и приемы визуализации для применения современных подходов для исследования робастного поведения (устойчивости или неустойчивости) систем управления в инженерной практике. Проиллюстрировано приложение теоретических положений на примере ряда моделей систем управления.

Основные результаты диссертационной работы

Исследования и результаты, полученные в диссертации, направлены на адаптацию известных методов исследования робастной устойчивости линейных динамических систем СТС с интервальным и неинтервальным описанием неопределенности. Все описанные результаты рассматриваются с точки зрения общего подхода к проблеме устойчивости, а именно, исследования, как устойчивости, так и неустойчивости. Построен ряд новых алгоритмов, относящихся к теме исследования, и имеющих прикладное значение для инженерной практики. Рассмотрено приложение разработанной теории к некоторым математическим моделям систем управления технических объектов.

1. Проведен критический сравнительный анализ широкого круга вопросов связанных с исследованием робастной устойчивости и неустойчивости интервальных и неинтервальных систем управления СТС.

2. Модифицированы некоторые аналитические и графические критерии принадлежности классам (п,к) - эквивалентности линейных систем управления с комплексными и вещественными коэффициентами в непрерывном и дискретном случаях в приложении к СТС. Разработана методика и алгоритмы расширения робастно устойчивого или неустойчивого интервального семейства полиномов с помощью допустимых линейных преобразований. Найдены новые геометрические свойства этих преобразований.

3. Построено большое число новых алгоритмов сопровождающих исследования в диссертационной работе, полезных как для инженерной практики, так и для научных и образовательных целей.

4. С помощью полученной методики найден ряд робастных характеристик СТС (робот-сварщик, катер, судно), анализ которых позволяет повысить эффективность, безопасность и надежность этих систем.

Основные публикации по теме диссертации

1. Зеленков Г.А., Неронов В.Ф., Черноглазов Д.Г. Исследование робастно-го поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований// Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 29(1)..- М.: ЛКИ, 2007 - С.122-130.

2. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Черноглазов Д.Г., Неронов В.Ф. Оценка вещественного радиуса робастной устойчивости для семейства матриц, устойчивых по Важевскому// Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1).- М.: ЛКИ, 2007,-С 158-161.

3. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Черноглазов Д.Г. Вероятностный подход к исследованию робастной устойчивости и неустойчивости семейств полиномов// Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(2).- М.: ЛКИ, 2007 - С. 126-132.

4. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Черноглазое Д.Г. Робастное поведение интервальных полиномов с независимыми ограничениями на вещественную и комплексную части коэффициентов// Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 32(3).- М.: ЛКИ, 2008.- С. 161-167:

5. Зеленков Г.А., Мякинин В.В., Черноглазов Д.Г. О связи локализации спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве и ее эрмитовой составляющей// Материалы XVI международной конференции «Математика. Экономика. Образование». V Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения».- Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2008,-С. 119-120.

6. Зеленков Г.А., Тульчий В.В., Черноглазов Д.Г. Об устойчивости и неустойчивости семейств матриц с возмущениями, ограниченными по норме// Материалы седьмой региональной научно-технической конференции «Проблемы эксплуатации водного транспорта и подготовки кадров на юге России».- Новороссийск: МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, 2008,- С. 220.

7. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Черноглазов Д.Г. О робастной устойчивости и неустойчивости комплексных интервальных полиномов// Материалы XV международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Выпуск 15 - Дубна, Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008 - С. 13.

8. Зеленков Г.А., Тульчий В.В., Черноглазов Д.Г. Проблемы робастной устойчивости систем управления подвижных объектов// Сборник научных трудов. Выпуск 13 - Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2009.

9. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Черноглазов Д.Г. Робастные семейства матриц с ¿-диагональным преобладанием// Материалы шестнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Выпуск 16. 4.1..- Пущино, Москва-Ижевск: изд-во НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009 - С. 109.

Ю.Зубов Н.В., Тульчий В.В., Черноглазов Д.Г. О робастной устойчивости семейств нестационарных матриц устойчивых по Важевскому//

Материалы международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль,- М.:МИАН, 2009 - С. 74-45.

11.Зеленков Г.А, Лопатин М.С., Черноглазое Д.Г. Методы исследования устойчивости полиномов и их обобщения для анализа неустойчивости. Часть I. Матричные и графические методы// Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2).-М.: ЛКИ, 2010,-С. 56-69.

12.Черноглазов Д.Г., Лопатин М.С., Зеленков Г.А. Исследование устойчивости и неустойчивости интервального полинома по вещественным и мнимым частям коэффициентов // Материалы XVII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Выпуск 17. -Дубна, Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.

13.Черноглазов Д.Г., Лопатин М.С., Тульчий В.В., Зеленков Г.А. Критерии робастной устойчивости и неустойчивости интервального полинома с двумя размахами неопределенности // Сборник научных трудов. Выпуск 14-Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2010.

Формат 60x84 1/16. Тираж 100. Заказ 2025. Отпечатано в редакционно-издательском отделе ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф.Ф.Ушакова» 353918, г. Новороссийск, пр. Ленина, 93

Введение.

Глава 1. Методы исследования устойчивости линейных систем управления, их анализ и обобщение для исследования неустойчивости.

1.1 Исследование устойчивости и неустойчивости непрерывных линейных систем управления.

1.2 Исследование устойчивости и неустойчивости дискретных линейных систем управления.

1.3 Исследование локализации спектров матриц для исследования устойчивости и неустойчивости линейных систем управления.

1.4 Описание неопределенности в линейных системах управления.

Глава 2. Аналитические и графические методы исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных линейных систем управления.

2.1 Аналитические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов.

2.2 Графические критерии исследования робастного поведения интервальных полиномов.

2.3 Критерий робастного поведения интервальных полиномов с двумя размахами неопределенности.

2.4 Дискретные интервальные полиномы.

Глава 3. Методы исследования робастной устойчивости и неустойчивости неинтервальных линейных систем управления.

3.1 Критерии существования выпуклых множеств устойчивых и неустойчивых полиномов.

3.2 Критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности.

3.3 Исследование робастного поведения семейств полиномов методом допустимых линейных преобразований.

3.4 Робастная к-стабилизация для объектов, описанных одномерными передаточными функциями.

3.5 Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов.

Глава 4. Анализ методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости семейств матриц линейных систем управления.

4.1 Вспомогательные сведения, постановка проблемы и обсуждение.

4.2 Робастное поведение семейств матриц с к-диагональным преобладанием.

4.3 Робастное поведение семейств матриц с неопределенностью, заданной матричными нормами.:.

4.4 Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления.

В промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их безопасности.

Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы напрямую связанных с безопасностью эксплуатации реальных технических систем является устойчивость.

Проблемы устойчивости рассматривались в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в Ш и П столетиях до н. э. Однако первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644 г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести; достаточные условия Лагранжа (1788 г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.

Начиная с середины позапрошлого столетия теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в XIX веке были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатга для паровой машины. В связи с ростом мощности и быстроходности паровых машин и со склонностью этих машин к неустойчивости и самораскачиванию, что часто приводило к авариям. Проблеме устойчивости посвящено огромное число книг, монографий и журнальных статей в которых излагаются методы исследования устойчивости и их применение к конкретным задачам. Уже давно в математической литературе излагались различные формы критериев устойчивости, обилие методов, способов исследования и отмечались связи между ними. Этот интерес объясняется широким практическим приложением в различных областях науки и техники. Первые успешные работы по устойчивости принадлежат Джеймсу Максвеллу, И.А. Вышнеградскому и Шарлю Эрмиту. Однако, они не получили широкой известности из-за плохой практической применимости в конструкторских расчетах. Позже задача была решена другими известными учеными и инженерами, в честь которых и стали называться методы предложенные ими. Наиболее известны матричные (например, Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара) и частотные (например, Михайлова, Найквиста). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.

В теории Ляпунова задача об устойчивости движения решается в общей математической форме - как задача об устойчивости решений (процессов, движений) систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы являются математическими моделями не только в механике, но и служат для описания многих явлений в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин "устойчивость движения" понимается в широком смысле и используется для изучения устойчивости изменяющихся во времени процессов различной природы.

В 30-е годы XX века, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзерман, Попов).

В конце 1950-х годов теория управления вновь обновилась. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления — описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности - выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина, который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В'теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы. Возникла так называемая Н00 -теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н-норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей - /и -анализ (Дойл). Помимо //с° -теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой /j -оптимизации (Барабанов-Граничин,

Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс,); позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие' эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили JI. Заде и Ч. Дезоер. Затем B.JI. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему — полученную в 1988 г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости-полиномов доказанный - в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Л.З. Цыпкин).

Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось, определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И. А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, B.JI. Харитонов, П.С. Щербаков, A.C. Немировский, Ю.П. Петров, М.Г. Сафонов, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники и не 7 только. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.

Диссертационная работа посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для полиномов с аффинной неопределенностью в коэффициентах, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций — анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости. Рассмотрены также вопросы робастной устойчивости и неустойчивости матриц систем управления. Уделено внимания вопросам сверхустойчивости матриц систем управления, стабилизации систем управления. Рассмотрены вопросы применения вероятностного подхода к исследованию робастной устойчивости и неустойчивости.

Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследованию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.

Задание в пространстве состояний.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением: х~Ах + Ви + Ох щ у-Сх + где х(7) еЛп - вектор называемый состоянием системы, и(£) е Ят — управление, выход системы, е Яр - входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы А , В , С, ,£>2 . пхп пхт Ып пхр Ыр

Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:

Хк = Ахк-1 + Вик-1 + 1' У к = Схк + 02™к > где к играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы А имеет вид /(5) = ёе^.Е - А), где Е - единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике) система может быть записана в виде: + аху + а0у = гти+. + гхй + г0и,п > т.

В этом случае характеристический полином имеет вид: з) = 5" + ап1яп~1 + . + а^ + а0.

Далее будем понимать под интервальной системой управления систему первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.

Задание с помощью передаточных функций.

Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

Ниу(8) = С{*Е-АТ1В, Ни^) = С{8Е-АГ1Ох+П2, где матричная функция Ниу(э) комплексной переменной я называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функция Н Дя) называется передаточной функцией от возмущения ж к выходу у. Элементами матриц Н(з) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель /($) = йе^яЕ — А) -характеристический полином матрицы^.

В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома /(я).

В первой главе рассмотрены методы исследования устойчивости линейных систем управления, сделан их анализ и обобщение для исследования неустойчивости. Рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).

В п. 1.1. рассматриваются аналитические (метод понижения порядка Н.В. Зубова) и графические критерии (обобщения критериев Найквиста и Михайлова) принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п,к) -эквивалентности.

В п. 1.2. рассматриваются аналитические (например метод Шура-Кона) и графические критерии (аналог метода Михайлова) принадлежности полиномов дискретных систем классам (п,к) -эквивалентности.

П. 1.3. посвящен исследованию локализации и оценки спектров линейных операторов для исследования устойчивости и неустойчивости матриц линейных систем управления (теоремы Ляпунова, Таусски, Бендиксона-Гирша, Рорбаха-Фреше). Приведены методики анализа диагональных матриц.

В п. 1.4. рассмотрены различные описания неопределенности для систем управления. Предложены варианты геометрии неопределенности в комплексном случае. Рассмотрены варианты неопределенности как для систем управления с полиномиальной, так и с матричной структурами.

Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному приближению. Рассматриваемые критерии и методы исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в теории робастной устойчивости для интервальных полиномов, такие как теорема Харитонова.

В п. 2.1, 2.4 приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными ограничениями, на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам (п, к) - эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Проведен их анализ.

В п 2.2. - 2.3. предложены обобщения графических критериев исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, присутствовавшие ранее. Причем при к = 0 эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полиномов. Предложены графические критерии робастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности.

В третьей главе проведен анализ методов исследования робастного поведения интервальных линейных систем управления.

В п. 3.1. предложены критерии существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов в пространстве коэффициентов характеристического полинома системы, первого приближения принадлежащих однородным классам неустойчивости. Эти критерии позволяют свести исследование бесконечномерной задачи к конечномерной, т.е. путем проверки конечного числа условий, налагаемых на полиномы, образующие это семейство, установить свойства всего этого семейства полиномов.

В п. 3.2. рассмотрены критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности. Системы с неинтервальным описанием неопределенности можно исследовать с помощью аналитических и графических критериев и вероятностного подхода, как в непрерывном, так и в дискретном случаях.

В п. 3.3. рассмотрена техника применения допустимых линейных преобразований для исследования робастного поведения семейств полиномов.

В п. 3.4. рассмотрены вопросы робастной ^-стабилизации для объектов, описанных одномерными передаточными функциями, ^-стабилизации позволяет переводить систему из одного класса устойчивости или неустойчивости в другой.

В п. 3.5. рассмотрен вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов. Рассмотрено применение метода Монте-Карло и аппроксимации доверительным эллипсом.

Четвертая глава посвящена анализу методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости семейств матриц линейных систем управления.

В п. 4.1. приведены вспомогательные сведения и постановка проблемы.

В п. 4.2 даются формулы А:-радиуса робастного поведения для непрерывных и дискретных систем, матрицы которых имеют к -диагональное преобладание.

В п. 4.3 удалось обобщить методику исследования робастного поведения семейств матриц с неопределенностью, задаваемой с помощью матричных норм для исследования принадлежности семейств матриц классам (т?, -эквивалентности.

В п. 4.4 приведены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, что является одной из задач робастной устойчивости матриц.

В заключении диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе, показана их новизна и практическая значимость.

В приложении приведены математические модели систем управления, к которым могут быть применены результаты, полученные в работе; алгоритмы и программы, позволяющие применить теоретические положения; результаты численных экспериментов; а также динамическая визуализация иллюстрирующая работу теорем. На защиту выносятся:

1. Анализ классических и новых методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных систем управления с помощью общего подхода к., исследованию робастных характеристик таких систем.

2. Обобщение методов исследования робастной устойчивости неинтервальных систем управления на неустойчивость.

3. Исследование новых геометрических свойств допустимых линейных преобразований коэффициентов интервальных систем управления с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.

4. Обобщение методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости матричных семейств для отдельных классов таких семейств (сверхустойчивые матрицы, к-диагональные матрицы).

5. Алгоритмы, программы и приемы визуализации для применения современных подходов для исследования робастного поведения (устойчивости или неустойчивости) систем управления в инженерной практике.

1. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем - СПб.: Изд. СпбГУ, 2003.- 112 с.

2. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов A.B., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164 с.

3. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JL Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

4. Афанасьев В.Н. Управление неопределенными динамическими объектами. М.: Изд-во Физматлит, 2008. - 208 с.

5. Барабанов А.Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования. Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, №5. С. 1061-1065.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352 с.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.-215 с.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.-768 с.

10. Блистанова Л.Д., Зеленков Г.А., Зубов И.В., Зубов Н.В. Проблемы устойчивости матриц и вычислительных алгоритмов: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2007. - 150 с.

11. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев H.A. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 119 с.

12. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

13. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожев C.B. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

14. Воеводин В.В., Кузнецов В'.А. Матрицы и вычисления: -М.: Наука, 1984. -320 с.

15. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980. 312 с.

16. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

17. Гайворонский С.А., Замятин C.B. Анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе. Изв. Томского политех, ун-та. —2004. Т. 307. № 4. С. 14-18.

18. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. -М.: Наука, 1967. 576 с.

19. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. - 548 с.

20. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. — 301 с.

21. Грязина E.H., Поляк Б.Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида. АиТ, № 12, М.: Наука, 2007. С. 38-52.

22. Дедков В.К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.-188 с.

23. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. - 304 с.

24. Дивеев А.Н., Северцев H.A. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105с.

25. Дикусар В,В-> Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: ВЦ РАН, 2007. 234 с.

26. Дорф Р: Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. Пер. с англ. Б.И: Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 е.; ил.

27. Егоров А.И. Основы теории управления. М.': Изд-во "Физико-математическая литература", 2004. - 503 с.

28. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

29. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. — СПб.: СПбГУ, 1993.-320 с.

30. Жабко А.П., Прасолов В.Л., Харитонов В.Л. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. -М.: Высшая школа, 2003. — 285с.

31. Зеленков Г.А. Аналитические и численные методы построения характеристического многочлена: Монография. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007. - 128 с.

32. Зеленков Г.А. О графических критериях робастной устойчивости интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», 2006, № 10(2). С. 181 187.

33. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейства матриц. Труды Института системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». Выпуск 25(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2006. С. 137-141.

34. Зеленков Г.А., Зубов Н.В.О границах спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве. Труды ХШ международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва-Пущино, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007." С. 34-41.

35. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. О выпуклых семействах неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1). М.: ЛКИ, 2007. С. 158-161.

36. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Мухин А.В. Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n,k)- эквивалентности. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 29(1). М.: ЛЕИ, 2007. С. 131-135.

37. Зеленков Г.А., Тульчий В.В., Черноглазов Д.Г. Проблемы робастной устойчивости систем управления подвижных объектов. Сборник научных трудов. Выпуск 13. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2009. С. 16-18.

38. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. -353с.

39. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. -223с.

40. Зубов Н.В. Математические методы исследования динамической безопасности. М.: ВЦ РАН, 2007.-772 с.

41. Зубов Н.В., Зубов C.B. Лекции по математическим методам стабилизации динамических систем. СПб.: СПбГУ, 2007. - 352 с.

42. Зубов Н.В., Тульчий В.В., Черноглазов Д.Г. О робастной устойчивости семейств нестационарных матриц устойчивых по Важевскому. Материалы международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, М.:МИАН, 2009. С. 74-45.

43. Зубов н.и. Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных систем управления / под. ред. О.А. Малафеева. Спб.: СПбГУ, 2008. 85 с.

44. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989.-311 с.

45. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.-400с.

46. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 653 с.

47. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983. -83 с.

48. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Физматгиз,1968 475 с.

49. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976, т. l.-ЗОЗс.

50. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

51. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

52. Лопатин М.С., Зеленков Г.А., Черноглазое Д.Г. Методы исследования устойчивости полиномов. Часть 2. Матричные и графические методы. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2). М.: ЛКИ, 2010. С. 7284.

53. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950. -386 с.

54. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

55. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.-232с.

56. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. - 320 с.

57. Миронов В.В., Северцев H.A. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

58. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. -336 с.

59. Найфе А.Х. Введение в теорию возмущений.-М.:Мир, 1984.-533 с.

60. Несенчук A.A., Федорович- С.М. Метод параметрического синтеза интервальных систем на основе корневых годографов полиномов Харитонова. АиТ, № 7, М.: Наука, 2008. С. 37-46.

61. Пантелеев'A.B., Бортаковский A.C. Теория управления, в примерах и задачах. М>.: Высшая школа. 2003". — 583 с.

62. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

63. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. — 624 с.

64. Петров Н.П., Поляк Б.Т. Робастное D-разбиение // Автом. телемех. 1991. № 11. С. 4153.

65. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

66. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. -303 с.

67. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

68. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981. - 176 с.

69. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. -284 с.

70. Раус Э. Об устойчивости заданного- состояния движения. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований., 2002, 199с.

71. Северцев H.A., Дедков B.K. Системный анализ и моделирование безопасности. — М.: Изд-во "Высшая школа", 2006. 464 с.

72. Семенов В.В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.-94 с.

73. Солодов A.B., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. -М.: Наука, 1971. 620 с.

74. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

75. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Комкнига, 2006. - 472 с.

76. Стргок Е.В. Области локализации спектров динамических систем по первому приближению // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Спец. выпуск. Проблемы водного транспорта, 2007. С. 149-152.

77. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 456 с.

78. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

79. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984. - 736 с.

80. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 280 с.

81. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11. С. 20862088.

82. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. -М.: Мир, 1989. 665 с.

83. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3 31.

84. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 560 с.

85. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207 с.

86. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003. - 576 с.

87. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высшая школа, 1990.-240 с.

88. Bhattachaiyya S.P., Chapellat Н., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. 672 c.

89. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Criteria for the Existence of Uniform Equivalence Classes of Unstable Interval Polynomials. // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 80, №3. P. 1-3.

90. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Conditions for the Existence of Convex Sets of Unstable Polynomials // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 80, №3. P. 942-943.

91. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. ScuolaNorm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. V. 7, No. 1 -2. P. 53 63.

92. Padmanabhad P., Hollot C.V. Complete instability of a box of polynomials // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V.37, No. 8. P. 1230-1233.

93. Sanchez-Pena R., Sznaier M. Robust systems: theory and applications. Wiley-Interscience, 1998.-490 c.

94. Taussky O. Bibliography of Bounds for Characteristic Roots of Finite Matrices // National Bureau of Standarts, September 1951. Rept. 1162.

95. Tempo R. Bai E.W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples // Syst. Control Lett. 1997. V. 30. P. 237-242.

96. Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991. 722 c.

97. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Sanddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. 586 c.