автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы исследования робастной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления

ВВЕДЕНИЕ

Часть I. РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Глава 1. РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§1.1 Постановка задачи и основное определение.

§1.2 Сравнение с другими определениями робастной устойчивости

§1.3 Вариационный подход к задаче робастной устойчивости

§1.4 Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия робастной устойчивости.

§1.5 Алгебраический критерий робастной устойчивости.

§1.6 Эквивалентная задача математического программирования

§1.7 Достаточные условия робастной устойчивости и специальные классы систем.

§1.8 Свойства вынужденных движений в робастно устойчивых линейных непрерывных системах.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 2. РОБАСТНАЯ АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§2.1 Постановка задачи.

§2.2 Сведение к проблеме робастной устойчивости для линейной непрерывной системы.

§2.3 Критерии робастной абсолютной устойчивости нелинейных непрерывных систем.

§2.4 Достаточные условия робастной абсолютной устойчивости

§2.5 Вынужденные движения в робастно абсолютно устойчивых нелинейных непрерывных системах.

Часть И. РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Глава 3. РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§3.1 Постановка задачи.

§3.2 Эквивалентность различных определений робастной устойчивости.

§3.3 Необходимые и достаточные условия робастной устойчивости

§3.4 Достаточные условия робастной устойчивости

§3.5 Свойства вынужденных движений в робастно устойчивых линейных дискретных системах.

Глава 4. РОБАСТНАЯ АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

ОГЛАВЛЕНИЕ 4.

УПРАВЛЕНИЯ

§4.1 Постановка задачи.

§4.2 Эквивалентная проблема робастной устойчивости для линейной дискретной системы.

§4.3 Критерии робастной абсолютной устойчивости нелинейных дискретных систем.

§4.4 Достаточные условия робастной абсолютной устойчивости

§4.5 Вынужденные движения в робастно абсолютно устойчивых нелинейных дискретных системах.

Часть III. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Глава 5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ

§5.1 Описание системы.

§5.2 Основные определения.

§5.3 Связь с задачей робастной устойчивости

§5.4 Критерии асимптотической устойчивости многомерных дискретных систем.

Глава 6. АНАЛИЗ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ РАЗРЯДНОСТИ ЭВМ

§6.1 Постановка задачи.

§6.2 Описание реальной цифровой системы управления.214.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных требований, которым должна удовлетворять любая система управления, является обеспечение свойства ее устойчивости. Поэтому проблема анализа устойчивости управляемых систем занимает одно из центральных мест в теории и практике автоматического управления.

В классической теории устойчивости движения предполагается, что правые части уравнений, описывающих динамику рассматриваемой системы,определены однозначно. Применительно к системам автоматического управления это по существу означает, что известна полная информация о законах движения и параметрах управляемого объекта, действующих на него внешних возмущениях, а также информация о характеристиках отдельных элементов системы управления и законах их изменения во времени.

Однако в реальных условиях параметры управляемого объекта, характеристики элементов системы управления и параметры внешней среды часто известны неточно или определены неоднозначно в силу наличия неучтенных возмущающих факторов, использования различного рода упрощающих предположений относительно происходящих в системе физических процессах и т.п. Это приводит к тому, что математическая модель рассматриваемой системы управления имеет неполное описание [39,40,75,140,141,174,175], которое учитывает лишь допустимые области изменения параметров управляемой системы и характеристик ее отдельных элементов без конкретизации самих этих параметров и характеристик. Указанные области могут определяться, например, интервальными ограничениями, соответствующими заданным техническим допускам на систему.

ВВЕДЕНИЕ 7

С такой ситуацией приходится сталкиваться, в частности, при построении моделей многорежимных многоцелевых систем управления, в которых цель управления, динамические параметры объекта управления и параметры внешней среды могут существенно изменяться в широких пределах при переходе с одного режима на другой, а информация об изменении этих параметров ограничивается лишь знанием их нижних и верхних границ.

В связи с указанными выше обстоятельствами возникает задача анализа устойчивости не одной конкретной, точно заданной системы, а целого семейства систем, допускающих значительные отклонения в их описании, параметры и характеристики элементов которых принадлежат некоторым заранее заданным множествам. В современной литературе по теории управления соответствующая проблема получила название задачи робастной устойчивости. В общей постановке эта задача состоит в определении условий, обеспечивающих глобальную асимптотическую устойчивость (асимптотическую устойчивость в целом) одновременно всех систем из рассматриваемой совокупности.

Решению проблемы робастной устойчивости непрерывных и дискретных систем управления как с параметрической, так и с непараметрической неопределенностью в их описании посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных ученых, в их числе работы Б. Т. Поляка, Я. 3. Цыпкина, Ю. И. Неймарка, Б. Р. Барми-ша, Э. Джури, К. В. Холлота, П. П. Харгонекара, А. Н. Мишеля, Д. Д. Шиляка и многих других авторов (см., например, монографии и обзоры [19,39,46,128,185,191,196,199,205-208,248] и приведенную в них обширную библиографию). Большинство полученных в этой области результатов относится к случаю линейных стационарных систем [23,24,28,49,110,112,114,115,123,126,127,129-132,146,176,195, 203, 231,

ВВЕДЕНИЕ

238,261,272]. В основном эти результаты связаны с различными обобщениями известной теоремы В. JI. Харитонова [161], опубликованной в 1978 году и впоследствии с середины 80-х годов положившей начало потоку работ по робастной устойчивости. Значительное число опубликованных работ связано также с решением задачи робастной устойчивости для линейных нестационарных и нелинейных систем управления [27,48,55, 56,111,168-172,192,194,197,200, 201, 215, 218,220, 222, 227, 229,230,237,249,255,260,263,265-268,271,278-280,282,283].

Следует отметить, что хотя работа [161] считается в настоящее время основополагающей в теории робастной устойчивости, первым примером задачи устойчивости систем управления с неполным описанием, по-видимому, является поставленная в 40-х годах А. И. Лурье и М. А. Ай-зерманом [1,80] проблема абсолютной устойчивости замкнутой системы, состоящей из полностью известной стационарной линейной части и неопределенной (так называемой секторной) нелинейности в контуре обратной связи. Эта проблема и ее обобщение на случай систем управления с несколькими секторными нелинейностями получили решение в работах В. М. Попова, В. А. Якубовича, Е. С. Пятницкого, Я. 3. Цып-кина, Э. Джури, А. И. Баркина и многих других исследователей (см., например, [14-16,47,77,134,136-138,144,166,167,173,183,184,252,277]). С позиций современной теории робастной устойчивости абсолютная устойчивость может рассматриваться как робастная устойчивость системы управления относительно изменений нелинейностей из заданного (сек-' торного) класса. Дополнительный учет неопределенностей в линейной части такой системы, неизбежно возникающих при построении модели управляемого объекта, естественным образом приводит к задаче робастной абсолютной устойчивости, которая рассматривалась в ряде работ [18,168,169,171,196,215,218,265,268].

ВВЕДЕНИЕ 9

В большинстве работ по робастной устойчивости непрерывных и дискретных линейных нестационарных систем управления, опубликованных до настоящего времени, были получены лишь достаточные условия робастной устойчивости на основе использования функций Ляпунова из класса квадратичных форм. В работах [10,11,142,144,145,192, 194,201,222,225,227,249,256,278] сформулированы необходимые и достаточные условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем. Однако полученные в этих работах критерии робастной устойчивости либо распространяются только на такие системы, параметры, структура или размерность которых удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, значительно сужающим класс рассматриваемых систем [144,145,192,194, 225, 227, 249], либо эти критерии справедливы без каких-либо существенных дополнительных ограничений на систему, но сформулированы в общей труднопроверяемой форме условий на спектральные свойства рассматриваемого бесконечного семейства линейных нестационарных систем [10, И, 142,201,222,256,278].

В связи с этим построение новых, эффективно проверяемых, необходимых и достаточных условий робастной устойчивости для линейных нестационарных систем управления с непрерывным и дискретным временем представляет значительный теоретический и практический интерес и продолжает оставаться актуальной задачей теории робастной устойчивости и теории управления. Еще в большей степени это относится к задаче определения необходимых и достаточных условий робастной абсолютной устойчивости, поскольку в настоящее время известны лишь достаточные условия, установленные в работах [48,168,169,171,196,215,218, 265,268] с помощью частотного метода как результат соответствующего обобщения кругового критерия [47,183,184,252], критериев В. М. Попова [1,134] и Я. 3. Цыпкина [166,167,173].

ВВЕДЕНИЕ 10

Настоящая работа посвящена исследованию робастной устойчивости и робастной абсолютной устойчивости линейных и нелинейных систем управления с непрерывным и дискретным временем, которые содержат нестационарную параметрическую и функциональную неопределенность в их описании. Цель работы состоит в получении конструктивных необходимых и достаточных условий робастной устойчивости и робастной абсолютной устойчивости таких систем на основе использования вариационного метода [139, 141], метода функций Ляпунова [12,70,81,82,149,158-160,177,219,233,277,281] и методов теории дифференциальных и разностных включений [6,38,54,73,155,187].

Диссертация состоит из введения, шести глав, разделенных на три части, заключения и списка литературы. Рассмотрим коротко содержание работы по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 241

10. В качестве приложения развитых в работе методов и полученных в ней результатов рассмотрены и решены задача определения необходимых и достаточных условий асимптотической устойчивости для линейных стационарных систем с многомерным дискретным временем, описывающих многие технологические и физические процессы, и задача анализа робастной устойчивости цифровой системы управления непрерывным объектом с нестационарной интервальной неопределенностью при использовании вычислений в арифметике с плавающей запятой и учете конечности длины разрядной сетки цифрового регулятора.

11. В диссертации сформулированы и обоснованы научные положения, теоремы и выводы, совокупность которых можно квалифицировать как самостоятельное научное исследование, являющееся новым достижением в развитии теории робастной устойчивости Систем автоматического управления и открывающее новые возможности анализа устойчивости нелинейных систем управления с неполным описанием.

1. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Из-во АН СССР, 1963.

2. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

3. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Алимов Ю. И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автоматика и телемеханика. 1961. № 7. С. 817-830.

5. Анапольский Л. Ю. Метод сравнения в динамике дискретных систем // Вектор-функции Ляпунова и их построение. Новосибирск: Наука, 1980. С. 92-128.

6. Анапольский Л. Ю. О сходимости итерационных процессов // Дифференциальные уравнения и численные методы. Новосибирск: Наука, 1986. С. 4-18.

7. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.1. ЛИТЕРАТУРА 243

8. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАВ. СПб.: Наука, 1999.

9. Андрусевич В. В. Об одном классе абсолютно устойчивых нелинейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 26-33.

10. Барабанов Н. Е. О показателе Ляпунова дискретных включений. I-III // Автоматика и телемеханика. 1988. № 2. С. 40-46; № 3. С.24-29; № 5. С. 17-24.

11. Барабанов Н. Е. Метод вычисления показателя Ляпунова дифференциального включения // Автоматика и телемеханика. 1989. № 4. С. 53-58.

12. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

13. Барбашин Е. А. , Алимов Ю. И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1962. № 1. С. 3-13.

14. Баркин А. И. Оценки качества нелинейных систем регулирования. М.: Наука, 1982.

15. Баркин А. И. О соотношении между двумя критериями абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1984. Ж5 1. С. 36-41.

16. Баркин А. И., Зеленцовский А. Л. Абсолютная устойчивость систем автоматического регулирования с единственным нелинейным элементом // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276. № 4. С. 809-812.

17. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.1. ЛИТЕРАТУРА 244

18. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

19. Бесекерский В. А., Небылов А. В. Робаетные системы автоматического управления. М.: Наука, 1983.

20. Бесекерский В. А., Изранцев В. В. Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. М.: Наука, 1987.

21. Благодатских В. И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений (обзор) // Summer School on ordinary differential equations. Brno, 1975. P. 29-67.

22. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. Т. 169. М.: Наука, 1985. С. 194-252.

23. Бобылев Н. А., Булатов А. В. О робастной устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1998. № 8. С. 138-145.

24. Бобылев Н. А., Булатов А. В. Робастная устойчивость линейных бесконечномерных систем // Автоматика и телемеханика. 1999. № 5. С. 32-44.

25. Богатырев А. В., Каменецкий В. А., Молчанов А. П., Морозов М. В., Пятницкий Е. С. Методы анализа устойчивости нелинейных систем управления на ЭВМ. Препринт. М.: Ин-т проблем управления, 1989.

26. Брокетт Р. У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 174200.1. ЛИТЕРАТУРА 245

27. Брусин В. А. Метод синтеза класса робастных регуляторов пониженной размерности // Автоматика и телемеханика. 2000. № 10. С. 117-124.

28. Бунич А. Л. Спектральный критерий робастной устойчивости // Тез. докл. V Межд. семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М.: Ин-т проблем управления, 1998. С.81.

29. Бурносов С. В., Козлов Р. И. Исследование динамики непрерывно-дискретных управляемых систем методом векторных функций Ляпунова. Препринт № 6. Иркутск: Ир ВЦ СО АН СССР, 1987.

30. Бурносов С. В., Козлов Р. И. Исследование динамики нелинейных систем с неопределенностью и возмущениями на основе метода ВФЛ. I, II // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 4. С. 56-63; № 6. С. 117-125.

31. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974.

32. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

33. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

34. Гайшун И. В. Многомерные дискретные системы. Препринт. Минск: Ин-т математики АН БССР, 1976.

35. Гайшун И. В. К устойчивости решений одного класса дискретных систем // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. № 4. С. 705-710.

36. Гайшун И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1983.1. ЛИТЕРАТУРА 246

37. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

38. Гелиг А. X., Леонов Г. А, Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

39. Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г., Рутковский В. Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I, II // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. № 1. С. 3-23; № 2. С. 3-30.

40. Данилов Н. Ю., Павловский Ю. Н., Соколов В. И., Яковенко Г. Н. Геометрические и алгебраические методы в теории управления. М.: МФТИ, 1999.

41. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983.

42. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

43. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

44. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

45. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.

46. Джури Э. Робастность дискретных систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 3-28.

47. Джури Э., Ли Б. Абсолютная устойчивость систем с многими нели-нейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. 26. К5 6. С. 945-965.1. ЛИТЕРАТУРА 247

48. Джури Э. И., Премаратне К., Эканайаке М. М. Робастная абсолютная устойчивость дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 97-118.

49. Дискуссия по проблемам робастности в системах управления // Автоматика и телемеханика. 1992. № 1. С. 165-176.

50. Дьяченко И. В., Молчанов А. П., Пятницкий Е. С. Алгоритмы построения на ЭВМ функций Ляпунова для нелинейных динамических систем // Тез. докл. 8-й Сиб. школы "Программное обеспечение ЭВМ новых поколений". Иркутск: ВЦ СО АН СССР, 1989. С. 107.

51. Дьяченко И. В., Молчанов А. П., Пятницкий Е. С. Численный метод построения функций Ляпунова и анализ устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ // Автоматика и телемеханика. 1994. № 4. С. 23-38.

52. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.1. ЛИТЕРАТУРА 248

53. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А. О грубости устойчивых динамических систем // Докл. РАН. 1997. Т. 357. № 4. С. 449-451.

54. Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А. // Об одной задаче теории робастности // Докл. РАН. 1997. Т. 357. № 6. С. 747-749.

55. Еремин Н. Н., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.

56. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

57. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.

58. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

59. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

60. Каменецкий В. А., Молчанов А. П. О существовании функций Ляпунова для абсолютно устойчивых нелинейных нестационарных систем // Тез. докл. IX Всес. совещ. по проблемам управления. М.: ВИНИТИ, 1983. С. 38.

61. Каменецкий В. А., Молчанов А. П. Градиентный метод построения функций Ляпунова для многогранных дифференциальных включений // Тез. докл. X Всес. совещ. по проблемам управления. Кн. 1. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 52-53.

62. Каменецкий В. А., Пятницкий Е. С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1987. Я2 1. С. 3-12.1. ЛИТЕРАТУРА249

63. Кейн В. М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. М.: Наука, 1985.

64. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

65. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. М.: Наука, 1985.

66. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

67. Косякин А. А., Шамриков Б. М. Колебания в цифровых автоматических системах. М.: Наука, 1983.

68. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

69. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

70. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.

71. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез оптимальных и адаптивных, систем управления: игровой подход. Киев: Наук, думка, 1985.

72. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.

73. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

74. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

75. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.1. ЛИТЕРАТУРА250

76. Лозинский С. М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 52-90.79