автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез и анализ робастного управления билинейными объектами

На правах рукописи

Бовшук Евгения Руслановна

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕИНЫМИ

ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка

информации

1 2 [-;огт Г'

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Афанасьев В.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Афанасьев А.П.

кандидат физико-математических наук, Ахмедова Н.К.

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита состоится 24 ноября 2009 г. в 12:00 на заседании диссертационного совета Д 212.133.01 при Московском государственном институте электроники и математики (технического университета) по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета).

Автореферат разослан

октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.133.01 кандидат технических наук, доцент

Бузников С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию теории робастного управления билинейными системами с неполной информацией о параметрах.

Актуальность темы. Предметом исследований диссертационной работы является проблема синтеза и анализа робастного управления билинейными неопределенными объектами.

Теория робастного управления только еще формируется и основные результаты получены для анализа робастной устойчивости и робастной стабилизации линейных объектов. При анализе робастной устойчивости исследуется не одна заданная линейная система, а устойчивость целого семейства систем, соответствующих исходной (номинальной) системе при наличии неопределенности. Задачи управления, как правило, сводятся к задачам стабилизации или оптимального управления при не заданном времени окончания переходного процесса. Этим и объясняется применение для решения таких задач классических методов, которые основаны на использовании теории матриц и передаточных функций (комплексных коэффициентов усиления). Использование этих методов для синтеза управляющих воздействий для нестационарных систем при заданном интервале управления невозможно.

К основным результатам по теории робастного управления относятся работы Я.З. Цыпкина, И.Б. Ядыкина, В.А. Якубовича, C.B. Емельянова, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, Р. Калмана, И.Д. Ландау, А.Л. Фрадкова, В.О. Никифорова, A.A. Андронова, Л.С. Понтрягина, В.Л. Харитонова; теории устойчивости - H.H. Красовского, В.М. Попова, A.M. Цыкунова, Е.Л. Еремина: теории нелинейных систем - A.M. Летова, A.A. Красовского, Е.П. Попова, A.A. Воронова, Б.Н. Петрова, В.Р. Рутковского, С.Д. Землякова. Значительное теоретическое и теоретико-прикладное развитие теории робастных систем получили в зарубежных научно-технических публикациях C.I. Byrnes, A. Isidori, R.A. Freeman, P.V. Kokotovic, S. Hui, S.H. Zak, Z. Iwai,

К. Zhou, !. Mizumoto, F.J. Kraus, K.S. Narenda, A.M. Annaswamy, R. Ortega, Z. Qu, В. Yao, M. Tomizuka, G. Zames, B.A. Francis, J.C. Doyle, K. Glover.

Билинейные системы достаточно хорошо моделируют реальные процессы в различных областях: в технике, экономике, биологии, социологии и т.д. Эти системы, будучи нелинейными динамическими системами, при решении многих вопросов допускают полное аналитическое и, следовательно, позволяют получать результаты достаточно общего характера. Нелинейность билинейных систем порождает большое разнообразие принципиально отличающихся частных случаев, анализ которых весьма специфичен и может потребовать привлечения специальной техники исследования.

Задача робастного управления билинейными объектами в условиях параметрической неопределенности, решение которой связано с разработкой исследования билинейных систем, основанная на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши, позволяет считать развиваемое в работе научное направление актуальным.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка нового метода исследования поведения билинейных систем с параметрической неопределенностью, находящихся под воздействием управления, синтезированного с использованием робастной линейной модели первого приближения. Этот метод может быть использован, как для определения области существования стабилизирующих управлений, так и для решения задачи терминального управления с заданным показателем робастности при заданной области начальных условий и области возможных изменений параметров системы.

Задачи исследования.

• обзор методов синтеза робастных систем управления;

• задача робастной стабилизации билинейных систем;

• синтез управления на линейной модели;

• разработка методики построения области начальных условий, траектории, начинающиеся из которой, асимптотически убывают;

• задача терминального робастного управления с заданным показателем точности;

• проведение математического моделирования системы управления ядерного реактора.

Методы исследования. Основными методами являются методы функций Ляпунова, метод пространства состояний, а также общие методы: теории автоматического управлении, теории матриц, теории робастного управления, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости. Для получения экспериментальных исследований использовались возможности современного программного обеспечения пакетов МаМаЬ+БтиНпк.

Научная новизна работы. Разработан метод исследования неопределенных билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши. Найдены необходимые условия существования стабилизирующего управления. Получены условия существования терминального робастного управления.

Достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием математических методов и подтверждается результатами численного моделирования, а также

подтверждена апробацией и обсуждением результатов работы на научных конференциях.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическую ценность представляют следующие результаты:

• необходимые условия существования стабилизирующего управления;

• необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления.

Следующие результаты работы имеют практическую ценность:

• методика построения области начальных условий, траектории, начинающиеся из которой, асимптотически убывают;

• результаты математического моделирования системы управления ядерного реактора.

На защиту выносятся следующие положения:

• метод исследования неопределенных билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши;

• необходимые условия существования стабилизирующего управления (теорема 1, теорема 2);

• разработка методики построения области начальных условий, траектории, начинающиеся из которой, асимптотически убывают;

• необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления (теорема 3);

• практическое применение разработанного метода для численного решения задачи управления ядерного реактора.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ - б докладов (Москва, 2007-2009);

2. международных научно-теоретических конференциях «Автоматизация в промышленности»-2 доклада (Москва, ИПУ РАН, 2 апреля 2007; 14 апреля 2008);

3. X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» - 1 доклад (Москва, ИПУ РАН, 5 июня 2008);

4. международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина - 1 доклад (Москва, МГУ, 18 июня 2008);

5. четвертой международной конференции по проблемам управления — 2 доклада (Москва, ИПУ РАН, 28 января 2009);

6. научном семинаре под руководством проф. Б.Т. Поляка (Москва, ИПУ РАН, 17 марта 2009).

7. научном семинаре кафедры «Кибернетика» (Москва, МИЭМ, 15 мая 2009);

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 105 страницах, включает 10 рисунков и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (112 наименований).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается краткий обзор основных подходов и методов робастного управления в условиях параметрической неопределенности. Формулируется цель работы, ее научная новизна, степень достоверности результатов, изложенных в диссертации, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы, а также отмечаются основные теоретические и практические результаты.

В первой главе диссертационной работы ставится и обосновывается задача робастного управления билинейными объектами. Появляется необходимость развития методов, которые не требовали бы детального знания всего пространства состояния системы управления и ее взаимодействия с внешней средой, а базировались только на анализе ее входных процессов и внешнего поведения. Это объясняется тем, что применение аналитических методов для нестационарной системы управления с неполной информацией о входных воздействиях, помехах либо сопряжено с большими вычислительными трудностями, либо не представляется возможным. Система должна быть организована таким образом, чтобы, используя текущую информацию, по мере уменьшения априорной неопределенности, улучшать функционирование системы в смысле заданного критерия качества.

Нестационарный управляемый динамический объект описывается векторным дифференциальным уравнением:

т

Начальное состояние х{1„) объекта (1) принадлежит ограниченному множеству Х„, т.е.

х(1а)еХа. (2)

Заданы также условия на правом конце: g№)) = 0,

где g(x(T)) - скалярная функция.

В уравнении (1) а(/)еП - параметры объекта, П - замкнутое ограниченное выпуклое множество. Предполагается, что управление и{>)е11 почти всюду, и - ограниченное множество в евклидовом пространстве Кг. Задан функционал, оценивающий эффективность управления объектом (1): J = J(x,u). (4)

Пусть а (0 = я(/0,Г)еЯ - возможная траектория изменения параметров объекта (1). Тогда решения дифференциального уравнения (1) принадлежат некоторому дифференциальному включению:

4*(Ос/(*,и,а,0,*('о) = *п- (5)

о/

Предполагается, что при всех возможных траекториях изменения параметров объекта (1) а(/„,Т)еП сохраняется управляемость объекта.

При отсутствии информации о значениях, которые принимают параметры объекта а(/0,Т)еП в интервале управления, будем считать, что задача успешно решена, если удастся найти управление и'(1)еи, переводящее систему из лг(/0)еХ0 в х'(Т), при котором цель управления (3) будет выполняться с заданной точностью, т.е.

Здесь d- фиксированная неотрицательная постоянная, х'(Т) - состояние, принимаемое объектом в момент окончания периода управления при конкретных значениях параметров a(t0,T)efi и соответствующем управлении u'(i„,T).

| g(x'(T))\<d.

(6)

Определение 1

Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (1), (4), (6) при начальных условиях из заданного множества x{i„)eX„, любых неизвестных значениях параметрических возмущений из определенной параметрической области a(<)eQ и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям u(t) е V.

Пусть D - область (t,x) - пространства. Обозначим через Da область (t,x.a)- пространства: Da :(t,x)e D, a efi, и пусть функция /(х,в,а,()еС на D„ удовлетворяет по т условиям Липшица, т.е. / е (С,Цр) в Da.

Определим одну из возможных траекторий a'(t) = a'(t0,T)eCl изменения параметров объекта (1), если:

• / измерима на множестве Da при любых фиксированных а их;

• f непрерывна по * при любых фиксированных < и а ;

• при фиксированном t функция / непрерывна по совокупности переменных (х,а),

то существует функция m(i), интегрируемая по Лебегу на интервале [/0,Г|, такая, что если j /(х,н,а*('))| = m (4 то:

|/(*,н,а(0)|<ш(0, а(0еП, /е[Г„,Г]. (7)

Таким образом, решение уравнения (1) с параметрами a(t) является мажорирующим (в смысле (7)).

Объект при а'(1а,Т)вС1 принимает вполне определенное описание:

4*(0 = /(*,и,а'(0), <*•(<) = <*'(<„,ПеП. (8)

al

Предположим:

1) /¡(x,u,a'(t)), 1 = 1,...,п, - элементы вектора /(*,«,а'(0) непрерывны относительно x(t) и /;

-in dfAx,v,a'(t)) 8f,(x,u,a (t)) .. . . ,

2) •/,v —■,л —K-1L непрерывны по x(i) и t для i, к = 1 ,...,n.

Эти предположения позволяют представить исходное уравнение объекта в окрестности точки х = 0 в виде:

~х(!) = {А + а (ОЫОНВ+/?(/) +х№)и{(). т

Во второй главе рассматривается задача робастной стабилизации неопределенных билинейных систем. Для решения поставленной задачи был рассмотрен метод исследования неопределенных билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши. Проведен синтез закона управления с использование робастной линейной модели первого приближения. Сформулированы соответствующие теоремы.

Неопределенный билинейный объект описывается уравнением:

~х(1) = [А+а (/)]*(0 + [Я + /?(/)+*«ЖМ0- (9)

а!

Здесь д:еД",иеДг,и(<)е1!,г<п. Вектор-строка К размером 1 *г содержит действительные коэффициенты. Матрицы а(/),/?(<)е£2 содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям; П - замкнутое ограниченное выпуклое множество. Начальное состояние принадлежит ограниченному множеству, т.е. х(10) е Х„.

Задача управления объектом заключается в построении такой стратегии и(>) е и, при которой минимизируется функционал:

./( и) = I / (Г (Г) +1} {лгг (/)&(') + и1 (/)*«(')} Л, (10)

где задан интервал управления [/„,7"], матрица /г - положительно определена, а матрица <2 и Г - положительно полуопределены.

Сформируем робастную модель объекта (9): ~-2(1) = [А + а-]г(1) + [в + р' + 2(1)К]и{1), *(/„) = *„. (11)

Здесь матрицы а*, /Г еВО. таковы, что:

|[^ + а,]г(0 + [я + Д' + г(<)А:]и(0||^|>4 + а(0]*(0 + [В + Р(0 + *(0А:]и(01. (12)

Таким образом, решение уравнения (11) является мажорирующим (в смысле (12)) для различных решений уравнения (9). Модель (11) будет использоваться для нахождения управлений u(t).

Будем искать управление и(/)е(/ как функцию состояния объекта (9): u(t) = Hx(t), где матрица Н содержит постоянные параметры. Поиск матрицы Я осуществляется с использованием линейной модели объекта, которая имеет вид:

= + а ]r„(0 + [e+/J'] «(/), h, (<„) = V (13)

Для того, чтобы регулятор в терминальной задаче содержал постоянные параметры, назначим матрицу штрафа первого слагаемого функционала (10) в виде F = S, где положительно определенная матрица 5 является решением уравнения Риккати - Лурье:

S[/< + a,] + [/i + a,]rS-S'[B + /r]fl-'[B + /rJ.S'+g = 0. (14)

Очевидно, что в случае такого назначения матрицы F будет выполняться соотношение ~S(t) = 0,т.е. S = const на всем интервале управления.

Оптимальное управление для модели (13) с функционалом качества (10), в котором вместо z(t) подставим г,,(0, будет иметь вид:

и(0 = -/г'|>+Г]'(15)

Используем структуру управления (15) для построения управлением объектом (9) и его робастной модели (11). Уравнения объекта и его робастной модели с соответствующими управлениями будут иметь вид:

^xU) = {A + a{l)-[B + P(t) + x(t)K]R''[B + P']T S^ т, x(ta) = x„, (16)

^т(0 = {л + а*-[в+/3* + -(/Ж]д-,[В + )9']Г5}г(0, г(/0) = *0. (17)

Теорема I

Пусть задан билинейный неопределенный объект вида:

^-х(п = [А + а(1)Ш + 1В+Р(>)+x(t)K]u(t), at

где а(1),13(1)еП, Г2- замкнутое ограниченное выпуклое множество возможных траекторий изменений параметров объекта, и пусть а',р'сд(1 такие, что:

|| [А + а ']х(0 + [В + /?'' + х(1)К] "(<) || > |[Л + а (()]*(/) + [Я + /?(/) + ]и(0|. Тогда необходимым условием существования управления вида

где

£[А + а'] + [л + а']Г5'-£[в + /Г]я-1 [д + Д']Г 5 + 0 = 0, при котором х(0 -»0 при / -> оо, является условие:

х(>) * О, < = О,

где ЭТ' = /1 + а,-[В + /?-]Л"|[в + /3']Г5 и N = №-'[8 + 0']* 3.

Теорема 2

Система

— г(0 = [7Г+г(0ЛГ]г(0 , геЛ" Л

асимптотически устойчива, если

а) решение уравнения — г,((/) = 7Ггд,(0» *„(»„) = *„ стремится к нулю при <->°о;

Л

б) начальные условия системы таковы, что

г(()]7 Г(/)ЛГ2(/) +[г(0ЛГг(0Г

т

^ 2(0^2(0

В третьей главе рассматривается задача терминального управления с заданным показателем робастности. Получены необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления. Робастная модель объекта (9) описывается уравнением:

^г(0 = [Л + а-]2(<) + [в + /Г + 2(0К]»(0, 2((„) = *„. (18)

Пусть /„ = 0 и Г- заданный момент окончания переходного процесса, где [/„,Т] - интервал управления. Задана цель управления:

(]9)

где сI - фиксированная неотрицательная величина.

Оптимальное управление для модели (18) имеет вид:

н'(0 = -«-'[й+|8,]Г5г(0, (20)

где постоянная положительно определенная матрица 5 определяется решением уравнения Риккати-Лурье:

£[А + а'] + [А + а']' 5,-5[й + /3']/Г'[в + /Г]' £ + £> = 0. (21)

Уравнение робастной модели с соответствующим управлением будет иметь вид:

Рассмотрим вопрос о существовании управления вида (20) при движении билинейной нестационарной системы в заданном интервале времени из любого начального состояния, принадлежащего заданному множеству, в заданную область. Определение 2

Терминальным робастным управлением будем называть управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (18)-(19) при заданном времени окончания переходного процесса Т > 0. Условие (1 - робастности для модели объекта:

^ -(0 = [л + а--[в + /Г + :(1)К] Я"' [В + Р'] г5,]г(<), *(/„) = *„' е X,

имеет вид:

| ;(Г) || = ||[ехр (ЗГ Т)] с(О) -1[ехр(-ЗГт) ]г(г )Л || < Л. Откуда:

¡[ехр (Я- Т)] г(0) | - а < | |ехр (-ОТ" г) ] г(г )Щт) Л ||. (22)

0

Если условие (22) не выполняется, то это означает, что для робастной модели объекта:

= [л + а' -[ Д + /Г + г (<)*:] Д"' [в + /Г ] г^]г(/)

с начальным условием г(0) = х„ еХ„ и заданным периодом управления [О,Г], в общем случае не существует управления вида и(«)=д:г(0 = -Д"|[А + /?']5г(0 с постоянной положительно определенной матрицей 5\ определяемой решением Риккати-Лурье: 5[А + а']+[А + а*]Г5-,ф + /3']я~'[я+/?']Г.$' + £> = 0, при котором будет выполняться условие ¡¿(ПЦ 5 с).

Условие (22) является дополнительным условием, обеспечивая достаточные условия существования ¡1 - робастного управления. Теорема 3

В задаче управления билинейным неопределенным объектом вида:

где и(0 = -Д~'[й+ /?"]&(<) и матрица 5 является решением уравнения Риккати-Лурье: '

5[А + а,] + [А + а,]Г5,-5[5 + /3"]Д"|[й + /3,]Г5 + е = 0) условия;

)№(,)!, *(0*0, , = 0 и ||[ехр(яТ)]г(0)/¡[ехрНЯЧ)] 2(т)ЛВД</г ||,

о

где 7Г = Л + а,-[В + /Г]Я"'[Я + /Г]Г.$' и = +

являются соответственно необходимыми и достаточными условиями существования с1 - робастного управления.

В четвертой главе исследована возможность практического применения рассмотренного во второй главе метода для задачи управления ядерного реактора. Разработанный метод показал свою эффективность и

пригодность в использовании при решении задачи управления ядерного реактора.

В заключении диссертации подводятся итоги проделанной работы, формулируются теоретические и практические результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• разработан новый метод исследования поведения билинейных систем с параметрической неопределенностью, находящихся под воздействием управления, синтезированного с использованием робастной линейной модели первого приближения;

• найдены необходимые условия существования стабилизирующего управления;

• разработана методика построения области начальных условий, траектории, начинающиеся из которой, асимптотически убывают;

• получены необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления;

• проведено математическое моделирование системы управления ядерного реактора.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Афанасьев В.Н., Бовшук Е.Р. Построение робастного управления для билинейного объекта с параметрической неопределенностью // Проблемы управления. 2009. №3. - С. 27-32.

2. Бовшук Е.Р. Робастное управление линейным объектом в условиях параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №2. - С. 60-71.

3. Бовшук Е.Р. Робастное управление нелинейной системой в условиях неполной информации о ее параметрах // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2007. -С. 52.

4. Бовшук Е.Р. Б - Робастное управление в задаче вывода и сопровождения объекта по нестационарной траектории // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2007. -С. 53-54.

5. Бовшук Е.Р. Синтез робастного управления нелинейным объектом в условиях параметрической неопределенности // Международная научно-теоретическая конференция «Автоматизация в промышленности». Тезисы докладов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2007.

6. Бовшук Е.Р. Нахождение робастного управления для нелинейного неопределенного объекта // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2008. - С. 7-8.

7. Бовшук Е.Р. Робастное управление стохастическим нелинейным нестационарным объектом // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2008. - С. 8-9.

8. Бовшук Е.Р. Робастное управление билинейной системой // Международная научно-теоретическая конференция «Автоматизация в промышленности». Тезисы докладов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. - С. 193-200.

9. Бовшук Е.Р. Минимаксное управление в нелинейной неопределенной системе // X международный семинар им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тезисы докладов. -М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. -С. 51-53.

10. Бовшук Е.Р. Робастная стабилизация нелинейного объекта // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения J1.C. Понтрягина. Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008. - С. 324-325.

11. Бовшук Е.Р. Робастная стабилизация билинейного объекта // Четвертая международная конференция по проблемам управления. Сборник трудов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2009. - С. 556-565.

12. Бовшук Е.Р. Стабилизация нелинейного неопределенного объекта управлением по первому приближению // Четвертая международная конференция по проблемам управления. Сборник трудов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2009. - С. 566-575.

13. Бовшук Е.Р., Потапова Н.В. Синтез нелинейной системы по первому приближению // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2009. - С. 5.

14. Бовшук Е.Р., Потапова Н.В. Терминальное робастное управление нелинейной системой // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2009. - С. 7.

1В

Подписано к печати " _Т2_" октября 2009 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ.

Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № 196 . Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз.