автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез и анализ робастного управления билинейными объектами

На правах рукописи

Бовшук Евгения Руслановна

0034Э325В

СИНТЕЗ И АНАЛИЗ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫМИ

ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка

информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 МАР 2010

Москва-2010

003493256

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Афанасьев В.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Афанасьев А.П.

кандидат физико-математических наук, доцент Гасников А.В.

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита состоится 23 марта 2010 г. в У&.'.гпа. заседании диссертационного совета Д 212.133.01 при Московском государственном институте электроники и математики (технического университета) по адресу: 109028, Москва, Большой Трехсвятительский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики (технического университета).

Автореферат разослан февраля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.133.01 кандидат технических наук, доцент

Бузников С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию теории робастного управления билинейными системами с неполной информацией о параметрах.

Актуальность темы. Предметом исследований диссертационной работы является проблема синтеза и анализа робастного управления билинейными объектами.

Теория робастного управления только еще формируется и основные результаты получены для анализа робастной устойчивости и робастной стабилизации линейных объектов. При анализе робастной устойчивости исследуется не одна заданная линейная система, а устойчивость целого семейства систем, соответствующих исходной (номинальной) системе при наличии неопределенности. Задачи управления, как правило, сводятся к задачам стабилизации или оптимального управления при не заданном времени окончания переходного процесса. Этим и объясняется применение для решения таких задач классических методов, которые основаны на использовании теории матриц и передаточных функций (комплексных коэффициентов усиления). Использование этих методов для синтеза управляющих воздействий для нестационарных систем при заданном интервале управления невозможно.

К основным результатам по теории робастного управления относятся работы ЯЗ. Цыпкина, И.Б. Дцыкина, В.А. Якубовича, C.B. Емельянова, A.JÏ. Фрадкова, В.О. Никифорова, В.Н. Афанасьева, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова; теории устойчивости - H.H. Красовского, В.М. Попова, A.M. Цыкунова, Е.Л. Еремина: теории нелинейных систем - A.M. Летова, A.A. Красовского, E.H. Попова, A.A. Воронова, Б.Н. Петрова. Значительное теоретическое и теоретико-прикладное развитие теории робастных систем получили в зарубежных научно-технических публикациях C.I. Byrnes, A. Isidori, R.A. Freeman, P.V. Kokotovic, S. Hui, S.H. Zak, Z. Iwai, I. Mizumoto, F.J. Kraus, K.S.

Narenda, A.M. Annaswamy, R. Ortega, Z. Qu, В. Yao, M. Tomizuka, G. Zames, B.A. Francis, J.C. Doyle, K. Glover.

Билинейные системы достаточно хорошо моделируют реальные процессы в различных областях: в технике, экономике, биологии, социологии и т.д. Эти системы, будучи нелинейными динамическими системами, при решении многих вопросов допускают полное аналитическое исследование и, следовательно, позволяют получать результаты достаточно общего характера. Нелинейность билинейных систем порождает большое разнообразие принципиально отличающихся частных случаев, анализ которых весьма специфичен и может потребовать привлечения специальной техники исследования.

Задача робастного управления билинейными объектами в условиях параметрической неопределенности, решение которой связано с разработкой метода исследования билинейных систем, основанного на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши, позволяет считать развиваемое в работе научное направление актуальным.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка нового метода исследования поведения билинейных систем с параметрической неопределенностью, находящихся под воздействием управления, синтезированного с использованием робастной линейной модели первого приближения. Этот метод может быть использован как для определения области существования стабилизирующих управлений, так и для решения задачи терминального управления с заданным показателем робастности при заданной области начальных условий и области возможных изменений параметров системы.

Задачи исследования.

• обзор методов синтеза робастных систем управления;

• задача робастной стабилизации билинейных систем;

• синтез управления на линейной модели;

• разработка методики построения области начальных условий, из которой начинаются асимптотически убывающие траектории;

• задача терминального робастного управления билинейных систем с заданным показателем точности;

• проведение математического моделирования системы управления ядерным реактором.

Методы исследования. Основными методами являются метод функций Ляпунова, метод пространства состояний, а также общие методы: теории автоматического управлении, теории матриц, теории робастного управления, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости. Для получения экспериментальных исследований использовались возможности современного профаммного обеспечения пакетов МаИаЬ+БшшНпк.

Научная новизна работы. Разработан метод исследования билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши. Найдены необходимые условия существования стабилизирующего управления. Получены условия существования терминального робастного управления.

Достоверность результатов, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием математических методов и подтверждается результатами численного моделирования, а также

подтверждена апробацией и обсуждением результатов работы на научных конференциях.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическую ценность представляют следующие результаты:

• необходимые условия существования стабилизирующего управления;

• необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления.

Следующие результаты работы имеют практическую ценность:

• методика построения области начальных условий, из которой начинаются асимптотически убывающие траектории;

• результаты математического моделирования системы управления ядерным реактором.

На защиту выносятся следующие положения:

• метод исследования билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши;

• необходимые условия существования стабилизирующего управления (теорема 1, теорема 2);

• разработка методики построения области начальных условий, из которой начинаются асимптотически убывающие траектории;

• необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления (теорема 3);

• практическое применение разработанного метода для численного решения задачи управления ядерным реактором.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1. научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ - 6 докладов (Москва, 2007-2009);

2. международных научно-теоретических конференциях «Автоматизация в промышленности» - 2 доклада (Москва, ИПУ РАН, 2 апреля 2007; 14 апреля 2008);

3. X международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» - 1 доклад (Москва, ИПУ РАН, 5 июня 2008);

4. международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина - 1 доклад (Москва, МГУ, 18 июня 2008);

5. четвертой международной конференции по проблемам управления - 2 доклада (Москва, ИПУ РАН, 28 января 2009);

6. научном семинаре под руководством проф. Б.Т. Поляка (Москва, ИПУ РАН, 17 марта 2009);

7. научном семинаре кафедры «Кибернетика» (Москва, МИЭМ).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа изложена на 105 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (112 наименований).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается краткий обзор основных подходов и методов робастного управления в условиях параметрической неопределенности. Формулируется цель работы, ее научная новизна, степень достоверности результатов, изложенных в диссертации, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы, а также отмечаются основные теоретические и практические результаты.

В первой главе диссертационной работы сформулирована постановка задачи робастного управления билинейными объектами.

Нестационарный управляемый динамический объект описывается векторным дифференциальным уравнением:

4*(0 = /(*>">«(0),*(0 = *0> хбЯ",/б[»0>Г]. (1)

ш

Начальное состояние *(?„) объекта (1) принадлежит ограниченному множеству Х0, т.е.

дг(/0)бХ0. (2)

Заданы также условия на правом конце:

g(x(T)) = 0, (3)

где - скалярная функция.

В уравнении (1) а(/)еП - параметры объекта, П - замкнутое ограниченное выпуклое множество. Предполагается, что управление «(/) е и почти всюду, и - ограниченное множество в евклидовом пространстве Яг. Задан функционал, оценивающий эффективность управления объектом (1): У = (4)

Требуется найти управление и(1), при котором функционал (4) принимает минимальное значение.

Пусть а (1) = а(1а,Т)еП - возможная траектория изменения параметров объекта (1).

Тогда решения дифференциального уравнения (1) принадлежат некоторому дифференциальному включению:

При отсутствии информации о значениях, которые принимают параметры объекта а(г0,Г)е£1 в интервале управления, будем считать, что задача успешно решена, если удастся найти управление и'(1)еи, переводящее систему из х(г0)еЛГ0 в х'(Т), при котором цель управления (3) будет выполняться с заданной точностью, т.е.

Здесь d> О, х'{Т) - состояние, принимаемое объектом в момент окончания периода управления при конкретных значениях параметров a(t0,T)eCl и соответствующем управлении u(t0,T).

Определение 1

Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (1), (4), (6) при начальных условиях из заданного множества x(t0)eX0, любых значениях возмущений из заданной области Q и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям u(/) е U.

Пусть D - область (t,x) - пространства. Обозначим через Da область (i,x,a) - пространства: Da : (t,x) е D, аеП, и пусть функция f(x,u,a,t)eC на Da удовлетворяет по х условиям Липшица, т.е. / е (С, Lip) в Da.

Определим одну из возможных траекторий a'(i)=a'(/0,T)eQ изменения параметров объекта (1).

4x(t)с/(*,и,а,0, x(t0) = х0.

(5)

(6)

Если:

• / измерима на множестве йа при любых фиксированных а их;

• / непрерывна по х при любых фиксированных г и а;

• при фиксированном г функция / непрерывна по совокупности переменных (х, а),

то существует функция /я(г), интегрируемая по Лебегу на интервале [(„.Г], такая, что если |/(*,и,а"(0)| = 'п(0. то:

\\Дх, и, а(/))|| < т (/), а (Г) е О, /е [г0, Т]. (7)

Таким образом, решение уравнения (1) с параметрами а* (0 будет являться мажорантой.

Объект при а*('0> Л6 ^ принимает вполне определенное описание:

4-*(0 = /(х,и,аШ а(/) = а(/0,Т)£П . (8)

ш

Предположим:

1) /¡(х,и,а (/:)), ¿ = 1,...,п, - элементы вектора /(х,и,а'(1)) непрерывны относительно л(г) и г;

2) —гл, '.-.г—непрерывны по *(<) и / для к = 1,...,л.

Э/

Эти предположения позволяют представить исходное уравнение объекта в окрестности точки х = 0 в виде:

4дт(г)=[Л+а (0М0+[В+/?(0+х(0АГ]Ц(0-а1

Во второй главе рассматривается задача робастной стабилизации билинейных систем. Для решения поставленной задачи был рассмотрен метод исследования билинейных систем, основанный на изучении поведения подынтегрального выражения мажорирующего решения системы, записанного в форме Коши. Проведен синтез закона управления с использование робастной линейной модели первого приближения. Сформулированы соответствующие теоремы.

Неопределенный билинейный объект описывается уравнением: ^х(1) = [А+а{1)Ы1)+[В+т+хтШ- (9)

ш

Здесь дтеЛ>еЛг,и(ОеС//<л. Вектор-строка К размером 1 хг содержит действительные коэффициенты. Матрицы а(1),Д/)еА содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям; О - замкнутое ограниченное выпуклое множество. Начальное состояние принадлежит ограниченному множеству, т.е. *(г0) е Х0.

Задача управления объектом заключается в построении такой стратегии и (О б и, при которой минимизируется функционал:

Дх, и) = 1]{*г (0640 + иг(0*и(0} Л. (Ю)

^ о

где задан интервал управления [г0,Г], матрица Л - положительно определена, а матрица (2 - положительно полуопределена. Сформируем робастную модель объекта (9):

^г(0 = [-4 + а,]г(/) + [Я + /Г+г(ГЖ]|»(0. г(»0) = *. (11)

Здесь матрицы а', /Г е ЭП таковы, что:

||[/1 + а-]г(0 + [в + /?' + г(0^]"(0||^|Л + а(0]х(0 + [5 + уб(0 + 40^]"(0||- (12)

Таким образом, решение уравнения (11) является мажорирующим для различных решений уравнения (9). Модель (11) будет использоваться для нахождения управлений и(I).

Будем искать управление и(1)еи как функцию состояния объекта (9): ы(0 = Яг(0, гДе матрица Я постоянна. Поиск матрицы Н осуществляется с использованием линейной модели объекта, которая имеет вид:

Оптимальное управление для модели (13) с функционалом качества (10), в котором вместо г(0 подставим гм(0, будет иметь вид:

и'{1) = -^[в + р-]т Бх^), (14)

где положительно определенная матрица 5 является решением уравнения Риккати - Лурье:

5[/1 + а']+[л + а,]Г5,-5[5 + уЗ,]Л-'[г + /?,]Г5, + е = 0. (15)

Используем структуру управления (15) для построения управления объектом (9) и его робастной модели (11). Уравнения объекта и его робастной модели с соответствующими управлениями будут иметь вид:

= + + + + х^) = х0, (16)

= + + + + г(/0) = л:„. (17)

Теорема 1

Пусть задан билинейный неопределенный объект вида:

4 «(/) = [А + а] 2(1) + [В + /Г + г(1)К]и(1), Л

где а', Р' б дС1 такие, что:

|| [Л+а' ] 2(0+[В + Р' + 2{1)К]и(1) || > ||[Л + а(0]х(0 + [В+р(г) + Тогда необходимым условием существования управления вида: и(0 = -/!-'[В+Р']$г(1),

где постоянная положительно определенная матрица 5 определяется решением уравнения Риккати-Лурье:

при котором г(00 при является условие:

где 9Г = А+а -[В + /З']я-'[в + Р']ТБ и ЛГ = ;ЮГ|[в + /Г]г5.

Теорема 2

Система:

^2(0 = [7Г-2(0Лф(0, 26Г асимптотически устойчива, если:

а) решение уравнения — гм(/) = ?Г2д<(/), гм(/„) =.т0 стремится к нулю при/->»;

Л

б) начальные условия системы таковы, что:

^■[гтт]Т1 г(0 + г(/)Г

ш

-7-2(0^2(0

ш

-[г(0^г(г)]гЯ'г(0^2(0<0, Г = 0, г(0)^0.

Д третьей главе рассматривается задача терминального управления с заданным показателем робастности. Получены необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления. Робастная модель объекта (9) описывается уравнением:

^(0 = [л+а->(0 + [я+/Г + г(/Ж]м(/), 2(г0) = дг0. (18)

Пусть = о и Г- заданный момент окончания переходного процесса, где [/0,Г] - интервал управления. Задана цель управления:

1Иг>|И, (19)

где </ > 0.

Оптимальное управление для модели (18) имеет вид: «•(0 = -Д"'[Я+/Г]г52(/), (20)

где постоянная положительно определенная матрица Я определяется решением уравнения Риккати-Лурье:

5[А + а']+[А+а,]Г5-5[я + /Г]Д-,[я + Д']Г5'+е = 0. (21)

[ехр ( Я Т)] ] г(0) - Дехр (-ЗГ г) ]г(г)ЛГ г(т) ¿г | | < Л.

Уравнение робастной модели с соответствующим управлением будет иметь вид:

= [л + а* - [в + /Г + /Г1 [в + /Г ] т5] Определение 2

Терминальным робастным управлением будем называть управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (18)-(19) при заданном времени окончания переходного процесса Т > 0.

Условие ¿1 - робастности для модели объекта:

^г(0=[А+а ~[В+/}' + 2(0К]И~]¡5+/Г]г.у]г(0, ф0) = х0

имеет вид:

Мг>|=

Откуда:

|[ехр(ЯТ)]г(0)|-</ <||[ехр(77'Г)] Дехр(-ЯГг)] г(г)ЛГг(г)</г||. (22)

Если условие (22) не выполняется, то это означает, что для робастной модели объекта:

^ г(1) = [л+а' - [В + /Г + г(г) АГ] /Г' [В+/?'' ] ■^ г(0

с начальным условием г(0) = хо еХ0 и заданным периодом управления [0,7*], в общем случае не существует управления вида и(0 = яг(0 = -л~'[я + ^*]&(г) с постоянной положительно определенной матрицей 5, определяемой решением Риккати-Лурье: Л,[л + а,]+[А + а,]г£-5[я + /Г]л_1[.е + /г]Г.У + д = 0, при котором будет выполняться условие |г(Г)|| < д..

Условие (22) является дополнительным условием, обеспечивая достаточные условия существования Л - робастного управления.

Теорема 3

В задаче управления билинейным неопределенным объектом вида: ^2(0 = [А+а'• ]*(/)+[в + р'+ г(1)К]Щ0,

где и(0 = -Л~'[я+/Г]&(0 и матрица Я является решением уравнения Риккати-Лурье:

условия:

тм 2(0)

сЦ^Г ;?(/),¥ г(/)||, г(!)*0, 1 = 0 и

II

|[[ехр(7ГТ)]2(0) |■-¿1 <||[ехр(ИГТ)\ |[схр(-ТГг)] г(г)Л'г(г)Лг||,

где = + и ЛГ = ЯД-'[Я+УГ]Г£.

являются соответственно необходимыми и достаточными условиями существования с! - робастного управления.

В четвертой главе исследована возможность практического применения рассмотренного во второй главе метода для задачи управления ядерным реактором. Разработанный метод показал свою эффективность и пригодность в использовании при решении задачи управления ядерным реактором.

В заключении диссертации подводятся итоги проделанной работы, формулируются теоретические и практические результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• разработан новый метод исследования поведения билинейных систем с параметрической неопределенностью, находящихся под воздействием управления, синтезированного с использованием робастной линейной модели первого приближения;

• найдены необходимые условия существования стабилизирующего управления;

• разработана методика построения области начальных условий, из которой начинаются асимптотически убывающие траектории;

• получены необходимые и достаточные условия существования терминального робастного управления;

• проведено математическое моделирование системы управления ядерным реактором.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Афанасьев В.Н., Бовшук Е.Р. Построение робастного управления для билинейного объекта с параметрической неопределенностью II Проблемы управления. 2009. №3. - С. 27-32.

2. Бовшук Е.Р. Робастное управление линейным объектом в условиях параметрической неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. №2. - С. 60-71.

3. Бовшук Е.Р. Робастное управление нелинейной системой в условиях неполной информации о ее параметрах // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых

специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2007. -С. 52.

4. Бовшук Е.Р. D - Робастное управление в задаче вывода и сопровождения объекта по нестационарной траектории // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2007. -С. 53-54.

5. Бовшук Е.Р. Синтез робастного управления нелинейным объектом в условиях параметрической неопределенности // Международная научно-теоретическая конференция «Автоматизация в промышленности». Тезисы докладов. - М.: Изд-во ИЛУ РАН, 2007.

6. Бовшук Е.Р. Нахождение робастного управления для нелинейного неопределенного объекта // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2008. - С. 7-8.

7. Бовшук Е.Р. Робастное управление стохастическим нелинейным нестационарным объектом // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2008. - С. 8-9.

8. Бовшук Е.Р. Робастное управление билинейной системой // Международная научно-теоретическая конференция «Автоматизация в промышленности». Тезисы докладов. - М.: Изд-во ИЛУ РАН, 2008. - С. 193-200.

9. Бовшук Е.Р. Минимаксное управление в нелинейной неопределенной системе // X международный семинар им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тезисы докладов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. - С. 51-53.

10. Бовшук Е.Р. Робастная стабилизация нелинейного объекта // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, МАКС Пресс, 2008. - С. 324-325.

11. Бовшук Е.Р. Робастная стабилизация билинейного объекта И Четвертая международная конференция по проблемам управления. Сборник трудов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2009. - С. 556-565.

12. Бовшук Е.Р. Стабилизация нелинейного неопределенного объекта управлением по первому приближению // Четвертая международная конференция по проблемам управления. Сборник трудов. - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2009. - С. 566-575.

13. Бовшук Е.Р., Потапова Н.В. Синтез нелинейной системы по первому приближению // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2009. - С. 5.

14. Бовшук Е.Р., Потапова Н.В. Терминальное робастное управление нелинейной системой // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М.: Изд-во МИЭМ, 2009. - С. 7.

Подписано к печати " И " 02. 20^0 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ.

Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № ¿2 . Объем 1}0 п.л. Тираж 100 экз.