автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы представления интервальных динамических систем в пространстве состояний

На правах рукописи

КАЛИНКИНА Светлана Юрьевна

МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2005

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем Бийского технологического института (филиал) Алтайского государственного технического университета имени И И. Ползунова.

Научный руководитель: доктор технических наук

Пушков Сергей Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Шарый Сергей Петрович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Зашита диссертации состоится 24 декабря 2005 г. в 10 часов на заседании регионального диссертационного совета КМ 212.004.01 в Алтайском государственном техническом университете по адресу 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.

С диссертацией можно ознакомиться:

В научной библиотеке Алтайского государственного технического университета имени И.И. Ползунова.

кандидат физико-математических наук, доцент Максимов Александр Васильевич

Автореферат разослан: 23 ноября 2005 г.

Ученый секретарь регионального диссертационного совета к.э.н., доцент

А.Г. Блем

2Ы337!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для представления динамических систем в теории управления наиболее часто используются системы, заданные в пространстве состояний (П. Деруссо, Р. Рой и Ч. Клоуз, Г. Розенброк, В. Стрейц и др.)- Описание систем в пространстве состояний позволяет нам обнаружить и исследовать такие свойства, которые при использовании классических методов частотного анализа и описания в терминах «вход-выход» остались бы скрытыми. Проблема перехода от описания в терминах «вход-выход» к описанию в пространстве состояний для динамических систем с дискретным временем известна как задача реализации.

Задача реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связаны с именами М. Месаровича и Я. Тахакары, Р. Калмана, Б.Л. Хо, С. Эйленберга, Э. Зонтага, Дж. К. Виллемса, П. Фурмана, Р. Айсинга, Дж. Риссанена и др.

Рассматривая реальные объекты управления, мы всегда сталкиваемся с различного рода неопределенностями в данных. В том случае, когда нам известны границы изменения каждого из параметров системы, для решения задач исследования и управления обоснованным будет применение методов интервального анализа. Источниками интервальное™ могут быть неполнота знаний об объекте управления и вытекающие отсюда ошибки моделирования, естественная погрешность измерительных приборов, погрешности вычисления коэффициентов или последствия линеаризации нелинейных уравнений с неопределенными параметрами и т.п.

Основополагающие результаты в области интервального анализа и его приложений были получены в работах J1.B. Канторовича, А.Б. Куржанского, Ю.И. Шокина, С.П. Шарого, A.B. Лакеева, А.П. Вощинина, Н.М. Оскорбина, Г.Г. Меньшикова, Р. Мура, Е. Хансена, Г. Алефельда, А. Неймайера, Ю. Рона и др.

Интервальные методы используются как для анализа статических систем, так и для решения задач анализа, синтеза динамических систем и проблем управления ими. Примером тому могут быть работы В.Л. Харитонова, Ю.И. Шокина, Е.М. Смагиной, В.В. Домбровского, H.A. Хлебалина, С.П. Соколовой, Л. Т. Ащепкова, Д.В. Сперанского и др. Анализ литературы, посвященной динамическим системам с неопределенностью интервального типа, показал, что внимание авторов, в основном, сосредоточено на анализе и синтезе систем рассматриваемого типа. Моделированию и тесно связанной с ним проблеме реализации не уделяется достаточного внимания. В настоящий момент не существует эффективных методов и алгоритмов лля нахождения описания такой

системы в пространстве

теории

реализации неприменимы из-за неудовлетворительных алгебраических свойств как классической, так и полной интервальной арифметики.

Настоящая работа посвящена разработке методов решения задачи реализации для класса интервальных линейных динамических систем с дискретным временем, которая заключается в нахождении (по возможности минимального) описания пространства состояний интервальной динамической системы по известному описанию вход-выход, основанному на наблюдении во времени входных сигналов и соответствующей им реакции системы (выходных сигналов).

Целью настоящей работы является разработка методов и алгоритмов решения задачи реализации для интервальных линейных динамических систем с дискретным временем.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Постановкой задачи реализации для исследуемого класса систем.

2. Получением критериев реализуемости.

3. Разработкой методов вычисления алгебраических реализаций.

4. Созданием на базе этих методов алгоритмов и программного обеспечения для решения задач реализации.

Методы исследования. В качестве методической основы для разработки методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем и методы интервального анализа.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1 Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости для класса линейных интервальных динамических систем с дискретным временем.

2 Сформулированы и обоснованы два новых подхода к построению алгебраических реализаций - метод граничных реализаций и метод погружения в линейное пространство, позволяющие вычислять алгебраические реализации для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

3. Доказаны утверждения, позволяющие распространить разработанные методы реализации на интервальные динамические системы смешанного типа, и строить различные модификации алгоритмов вычисления алгебраических реализаций.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в юм, что разработанные методы и алгоритмы представления интервальных динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления в технических, медико-технических, экологических, экономических и других системах для построения моделей объектов . **

управления с неопределенностью интервального типа.

Положения, выносимые на защиту:

1. Достаточный критерий алгебраической реализуемости интервальных динамических систем с дискретным временем.

2. Метод граничных реализаций для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

3. Модификация метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа.

4. Метод реализации для неотрицательных интервальных динамических систем, основанный на погружении интервального пространства в линейное пространство удвоенной размерности.

5. Комплекс алгоритмов и программное обеспечение для решения задачи реализации для интервальных динамических систем.

Апробация работы. Основные выводы и теоретические положения диссертации докладывались на краевой конференции по математике «МАК-2003» и региональной конференции по математике «МАК-2005» (Барнаул), международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2003), второй международной электронной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003), на рабочих совещаниях по интервальной математике в рамках международной конференции «Перспективы систем информатики» (Новосибирск, 2003) и международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004), всероссийской научно-технической конференции «Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях» (Бийск, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 116 страниц. Список литературы включает 157 наименований. Приложения изложены на 9 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

В первой главе определены основные понятия теории линейных динамических систем и описаны методы и алгоритмы решения задачи

реализации для таких систем. Подробно рассмотрены алгоритм Б.Л. Хо и метод, основанный на псевдообращении ганкелевых матриц. Приведены различные определения динамических систем с неопределенностями, дан обзор работ в области исследования свойств и управления интервальными системами. Предложено несколько определений интервальных динамических систем с дискретным временем и очерчен круг проблем, возникающих при исследовании подобных систем; а также введена в рассмотрение задача реализации для систем рассматриваемого типа.

Математическая модель многомерного интервально заданного объекта управления обычно представляется в виде системы уравнений с интервальными параметрами и понимается как семейство математических моделей многомерных динамических объектов, параметры которых принадлежат заданным интервальным.

Следуя этому подходу, введем следующие определения.

Определение 1.14. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем (с т входами, п состояниями и р выходами) с интервальными параметрами будем называть такую систему £ - (Р,С,Н), динамическое поведение которой описывается уравнениями

Н0 = нх(0, (1)

х(0) = 1оеГ, / = 0,1,2,..., где и(/)е1Г', х(/),х(/ + 1)е К", у(/)еК'\ и понимать как семейство математических моделей

х(! + \) = Гх(() + Ои (/),

ИО = //*(').

х(0) - х0 е К", / =0,1,2,..., матрицы /*\С7, Н которых принадлежат заданным интервальным матрицам Р,С,Н, т.е. ^ е Р е НГ", в е в € Ш™ , Я е Н е Ж'"".

Определение 1.16. Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с интервальными состояниями, входами и выходами и интервальными параметрами будем называть такую систему £ = (Г.С.Н), динамическое поведение которой описывается уравнениями

х(/ + 1) = Рх(/) + Си(г),

у(/) = Нх(/), (2)

х(о) = х0еЖ", / = 0,1,2,..., где х(/ + 1),х(()е1=!Г, и(«)е(7 = Ж"\ у(/)еГ~ШГ, Ре1Г",

Сб!Г", Не Ж""".

Представленные типы интервальных динамических систем являются примерами обобщения обычных линейных стационарных динамических

систем с дискретным временем и далеко не исчерпывают всех типов неопределенности.

С интервальными динамическими системами можно связать импульсную последовательность матриц

А, = НР'~'С, 1=1,2,..., (3)

где матричные произведения выполняются справа налево, т.е. сначала вычисляется произведение РС,Р(РС) и т.д. Этой последовательности

матриц можно поставить в соответствие отображение вход-выход, под которым в зависимости от того, с системой какого типа мы имеем дело, можно понимать в общем случае разные объекты.

Для системы с интервальными параметрами, введенной определением 1.14, под отображением вход-выход следует понимать семейство отображений /а : (У2* —> , порождаемых соотношениями

у{О = £л>(*-0, < = 1,2,...

¡-I

для А* е А, / = 1,2....

Для системы с интервальными состояниями, входами и выходами и интервальными параметрами введенной определением 1.16, под отображением вход-выход целесообразно понимать отображение /: 0г' -> У7" , порождаемое интервальными соотношениями

у(') = £аМ'-0, ' = 1,2,....

Для заданного отображения вход-выход интервальной системы, представленного импульсной последовательностью интервальных матриц можно поставить задачу построения динамического поведения (1) (или (2)), т.е. задачу реализации. Одной из возможных формулировок задачи реализации для интервальных систем может быть такая:

для заданной последовательности интервальных матриц размера рхт

{А„А2,...}, А,еГш, / = 1,2,... (4)

определить размерность п и тройку интервальных матриц (Р,С,Н) таких, что выполняются интервальные уравнения (3), где Р € ИГ", в е ГО"", Н 6 Ж""".

Вторая глава посвящена разработке методов и алгоритмов точной реализации для полностью неотрицательных интервальных динамических систем с дискретным временем. Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости интервальных динамических систем. Разработан метод граничных реализаций и метод реализации, основанный

на погружении интервального пространства в линейное. Все методы и алгоритмы, предложенные в данной главе, проиллюстрированы числовыми примерами.

Для классического (неинтервального) случая рекуррентность заданной импульсной последовательности матриц является необходимым и достаточным условием ее реализуемости. Для интервальных систем рекуррентность остается достаточным условием реализуемости.

Определение 2.1. Будем говорить, что последовательность интервальных матриц (4) рекуррентна, если существует такое целое г > О и коэффициенты р,,р2,...,рг е Ж такие, что

Для интервальных динамических систем, поведение вход-выход которых описывается импульсной последовательностью интервальных матриц, имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Если последовательность интервальных матриц рекуррентна, то для нее существует алгебраическая интервальная реализация.

Существование рекуррентности импульсной последовательности интервальных матриц позволяет свести некоторые задачи, связанные с алгебраической реализацией, к решению интервальной системы линейных алгебраических уравнений Среди таких задач - задача реализации для интервальных систем с одним входом и одним выходом (интервальных скалярных систем).

Пользуясь определением 2.1, задачу реализации Импульсной последовательности интервальных матриц можно свести к решению интервальной системы линейных алгебраических уравнений вида'

Для решения такой системы можно использовать методы, предложенные С.П. Шарым. Найдя интервальные коэффициенты Р,,Р2,...,РГ, мы легко сможем построить искомую интервальную реализацию по формулам

г

Р,А1+р2А2+... + ргАг = Аг4, Р,А2+Р2А3+... + РгАг+,=Аг4

2

1Р,А,+Р2А„1+... + Р,А2Г_1 =А

'О I о ... о' о О 1 ... о

,Н=(1 О О о),

о о о ... I

р,1 р21 р31 рд;

где О - нулевая интервальная матрица размера рх р, т.е. матрица все элементы которой имеют вид [0,0]; I - единичная интервальная матрица размера рх р, т.е. матрица на главной диагонали которой стоят элементы [1,1], а остальные имеют вид [0,0].

Неотрицательной интервальной матрицей называется матрица, все элементы которой являются неотрицательными интервалами. Матрица, состоящая из неположительных интервалов, называется неположительной интервальной матрицей. Остальные интервальные матрицы мы будем называть смешанными интервальными матрицами.

Интервальную динамическую сис!ему, отображение вход-выход которой представлено импульсной последовательностью неотрицательных интервальных матриц, будем называть неотрицательной. Аналогично определим понятия неположительной интервальной системы и интервальной системы смешанного типа.

Для полностью неотрицательных (и неположительных) интервальных систем, мы можем применять метод граничных реализаций, сущность которого заключается в построении алгебраических реализаций последовательностей матриц, составленных из нижних и верхних границ интервалов.

С импульсной последовательностью интервальных матриц можно связать две вещественные импульсные последовательности, определяемые верхними и нижними границами интервальных матриц.

Определение 2.3. Для последовательности интервальных матриц

{А„А2, }={[4.Д],[4Д],...} (5)

реализации последовательности {Л,,Л,,...} будем называть нижними граничными реализациями последовательности (5), а реализации последовательности {Л,, Л2,... j будем называть верхними граничными

реализациями последовательности (5).

Имеет место следующий результат.

Теорема 2.2. Если для нижней и верхней граничных реализаций одинаковой размерности (F,G, Н) и (F,G, //) некоторой последовательности интервальных матриц выполняются условия:

1. F, G, И, F,G, H - неотрицательные;

2. F<F, G<G, Н<Н,

то интервальная система ([¿^^[^^¡.[//.Я]) является интервальной

точной (алгебраической) реализацией этой последовательности

Часто оказывается, что найденные граничные реализации не отвечают условиям теоремы 2.2. Но и в этих случаях ситуация не является безнадежной Дело в том, что подходящим выбором базисов пространств

состояний граничных реализаций часто можно добиться того, чтобы граничные реализации удовлетворяли условиям теоремы 2.2. Легко доказывается следующая теорема, являющаяся следствием теоремы 2.2. Теорема 2.3. Если для граничных реализаций одинаковой

размерности (£,(?,#) и некоторой последовательности

интервальных матриц найдутся такие матрицы Т{ и Тг, что выполняются неравенства

где

Ё = <5 = 7;(7, н = нт;\

Р = Т2РТ2-\ С - Т-р, Н = НТ'\

- неотрицательные, то интервальная система

| С,6 , Н,Н | является интервальной алгебраической

реализацией этой последовательности.

Таким образом, решение задачи реализации для последовательности неотрицательных интервальных матриц может быть осуществлено с помощью следующего алгоритма. Алгоритм 2.1.

Исходные данные. Импульсная последовательность неотрицательных интервальных матриц вида (4).

Шаг 1. Находим нижнюю и верхнюю граничные реализации импульсной последовательности интервальных матриц.

Шаг 2. Если найденные граничные реализации удовлетворяют условиям теоремы 2.2, то соответствующая интервальная реализация и будет искомой, иначе переходим к шагу 3.

Шаг 3 Согласно теореме 2.3, с помощью преобразований подобия (6) попытаемся найти эквивалентные (с точностью до изоморфизма) граничные реализации, для которых условия теоремы 2.2 выполняются.

При выполнении шага 1 данного алгоритма для вычисления граничных реализаций могут применяться, например, алгоритм Б.Л. Хо, либо другие методы вычисления конечномерных реализаций.

Метод граничных реализаций может использоваться также и для вычисления алгебраических реализаций для последовательностей неположительных интервальных матриц. В этом случае алгебраическая интервальная реализация строится в соответствии со следующими шагами

Алгоритм 2.2.

Исходные данные. Импульсная последовательность неположительных интервальных матриц вида (4).

Шаг I. Образуем из исходной импульсной последовательности неположительных интервальных матриц новую последовательность неотрицательных интервальных матриц следующего вида:

Шаг 2. Для полученной таким образом последовательности с помощью алгоритма 2.1 вычисляем интервальную реализацию (Р,С,Н).

Шар 3. Строим реализацию исходной последовательности интервальных матриц, в качестве которой могут быть интервальные системы или (Г,С,-Н).

Как уже отмечалось выше, алгебраические свойства интервальных пространств Ш (классическая интервальная арифметика) и КК (полная интервальная арифметика Каухера) не позволяют нам использовать классические методы нахождения алгебраических реализаций. Поэтому возникает необходимость перенести решение задачи нахождения реализации для систем над в некоторое линейное пространство. Мы сделаем это способом, описанным С.П. Шарым в своих работах, который называется погружением и заключается в погружении интервального пространства в более широкую алгебраическую систему с хорошими алгебраическими свойствами и более мощными аналитическими средствами.

Динамическое поведение интервальной системы над КН описывается следующими уравнениями:

1*(/ + 1) = Гх(*) + Сы(г)

Или, что тоже самое,

Рх(*) + Си(г)ех(* + 1)=0

н*(0©*(0=о.

Погружая интервальную динамическую систему над КК в К, получим:

п(етг' (<?(0)+ссг1 (б(/))егг' (4(1+1))) = о

г(Н1Г'(£(/))© Г '(;;(/))) = О,

где П, О и Г - погружения интервального пространства КЖ в линейное К, а состояниям системы и + 1) в моменты времени I

и г + 1, управлению «(¡) и выходу у(/) соответствуют ¡5(/), + 1),

#(/) и г]{{) соответственно. Раскрывая скобки, получим

ПРТГ'£(г) + ГК!Пи0(/)е£(/ + 1) = О ГНП-'|(/)©т;(0 = О.

Таким образом, описание динамического поведения погруженной системы над К будет иметь вид:

Отсюда получаем

£ = ПРП Я = ГН1Г\

Тогда погруженная импульсная последовательность матриц будет иметь вид:

А, =Ш = ГНП"'ПСа ' =ГНС£Г' =ГА10"')

Аг = //Я7 = ГШГ'ПРП'ПСГГ1 =ГНГСС2"' = ГА2СГ\

а, =///'-'б = гнгг'(ппг■')' 'пест' =гнг 'вп-' =га,а '.

Проиллюстрируем наши рассуждения коммутативной диаграммой множеств и отображений:

ккга —5-» КМ" —ЮГ —^ ЮГ

пЛ-Тп' п1Тп-' пИп'1 г!Тг'

К2"- К2п ц2п К2р ^

ШГ —юг

nltn'1 nitn-!

к2п —U R2n

<Р ti ф ti <P 1

X X

lid (p\i(p~s <pti(p' £id R2"1 —X X K2p

где П, Q и Г - погружения интервального пространства KR в линейное К.

Имеет место следующий результат. Теорема 2.4.. Пусть

П: KR" -> R2", Q: KR"' R2"', Г:KM'' ->R2''

- пофужения интервального пространства КМ в линейное R. Тогда, если для погруженной импульсной последовательности матриц

{ДД,...|, ДеК, Í = 1,2,...

существует неотрицательная реализация то интервальная

система (F,G,H)

F = ГГ'/п,

С=П"'СД (7)

Н =Г'ЯТ1

является алгебраической интервальной реализацией исходной последовательности интервальных матриц вида (4).

В частности, для неотрицательных интервальных систем погружение

ставит в соответствие интервальной матрице из матрицу из к2'"2"' следующим образом:

(А О4

А о

О А

точечную

(8)

/

Искомые (Р,С,Н) будут выглядеть следующим образом:

р = ггу/у'П, С = п-'^а Н = Г 1н<р-[и.

Отметим, что П {<р и <р"'П также являются пофужениями из интервального пространства в линейное и обратно. Линейное преобразование (р: К К

<\ О О (Л 0 0 10 0 10 0 ^0 0 0 1,

по сути являющееся перестановкой строк и столбцов, необходимо нам для того, чтобы правильно восстанавливать интервальную матрицу из ее прообраза в линейном пространстве согласно представлению (8).

Для последовательности неотрицательных интервальных матриц мы можем предложить следующий алгоритм нахождения алгебраической интервальной реализации с использованием техники погружения.

Алгоритм 2.3.

Исходные данные. Импульсная последовательность неотрицательных интервальных матриц вида (4).

Шаг 1. Образуем последовательность точечных матриц с помощью представления (8).

Шаг 2. Найдем алгебраическую реализацию этой

последовательности с помощью классических методов. Согласно условиям теоремы 2.4 реализация //) должна быть

неотрицательна.

Ша? 3. Применим к найденной реализации преобразование (р и получим эквивалентную реализацию {£,<3, я).

Шаг 4 Восстановим интервальную реализацию по я| с

помощью формул (7)

В третьей главе мы продолжаем разработку методов точной реализации для интервальных динамических систем и представим модификацию метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа, а также несколько алгоритмов, основанных на декомпозиции исходной интервальной динамической системы в параллельное соединение. Глава содержит числовые примеры, иллюстрирующие применение предложенных методов и алгоритмов.

В случае интервальных динамических систем смешанного типа, можно использовать следующую модификацию метода граничных реализаций.

Определение 3.1. Для а е Ш интервал

я =[т'ш(а,0),тт(в,0)]

назовем отрицательной частью интервала а, а интервал

а+ =[шах(а,0),шах(о,0)]

назовем положительной частью интервала а .

Определение 3.2. Разложим исходную импульсную последовательность интервальных матриц на неположительную и неотрицательную последовательности:

{А„А2,...}={А1\А2*,...}-{А1-,А2-,...}, (9)

где А," и А/ - матрицы, элементами которых являются отрицательные и положительные части элементов интервальной матрицы А, соответственно. Последовательность |а, ,А2 будем называть

отрицательной частью последовательности (9), а последовательность {А,", А2+,.. .| - положительной частью последовательности (9). Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1. Если для положительной и отрицательной частей исходной последовательности интервальных матриц (9) существуют неотрицательные алгебраические реализации (р+,С+,Н+) и

соответственно, то интервальная система (Р,С,Н) с блочными матрицами

О Е+

4

, Н = (-Н Н+), (10)

является интервальной алгебраической реализацией последовательности

(9)

Теорема 3.1 дает нам алгоритм вычисления алгебраических интервальных реализаций для последовательное! и интервальных матриц смешанного типа.

Алгоритм 3.1.

Исходные данные. Импульсная последовательность интервальных матриц вида (4).

Шаг 1. Разложим исходную последовательность интервальных матриц на положительную и отрицательную части согласно определению 3.2.

Шаг 2. Найдем алгебраические интервальные реализации положительной и отрицательной частей исходной последовательности интервальных матриц, используя методы, рассмотренные выше.

Шаг 3. Если интервальные реализации отрицательной и положительной частей исходной импульсной существуют и неотрицательны, то, согласно теореме 3.1 по формулам (10), построим искомую интервальную реализацию исходной импульсной последовательности.

Заметим, что в соответствии с теоретико-системной терминологией система (10) является ни чем иным как параллельной композицией систем

Понятие параллельной композиции развито для систем над полями и кольцами.

Определение 3.3. Пусть заданы две линейные системы над полем К с одинаковыми пространствами входных (и ) и выходных ( V) сигналов

Е1 =(^',С',Я') и Е2 =(^2,С2,Я2) с пространствами состояний X' и

X2 соответственно. Их параллельная композиция I, которую мы будем обозначать через Е'+Е2 определяется как система Е = (/",С, Н) с пространствами входных сигналов £/ , выходных сигналов У и состояний А"1 ФX2, где гомоморфизмы С и Я определяются в соответствии со следующими правилами:

Для отображений вход-выход систем Е1, I2 и Е' + Е2 имеет место следующее соотношение:

Распространим данный результат и на интервальные динамические системы.

Теорема 3.2. (О параллельной композиции интервальных динамических систем) Пусть имеются интервальные динамические

(Г,С\Н+) и(г,с-,-н-).

Лчх! ■

системы одинаковой размерности Г1 = (р',С',Н') и Е2 = (р2,С2,Н2), и

их параллельная композиция Е = Е1 + £2 = (Р,в,Н), где матрицы Р,С,Н имеют следующий вид

Р =

ГУ га, н

1° И

Тогда для отображений вход-выход систем Е1, I2 и I имеет место

= Л1 •

Развивая подход, предложенный в теореме 3.1, покажем, что если существуют алгебраические интервальные реализации каких-либо двух последовательностей интервальных матриц, то мы легко можем построить алгебраическую интервальную реализацию суммы этих последовательностей.

Теорема 3.3. Если для двух последовательностей интервальных

матриц {А;,А'2,...,А;) и |а, , А2,..., существуют интервальные

алгебраические реализации (р',С1,Н1) и (Р2,С2,Н2) соответственно, то для последовательности

{а|,А2,...,А,} = {А;,А;,...,А:}+{АГ,А2,...,А12|

интервальной алгебраической реализацией является интервальная система с блочными матрицами

V О) „ ГС .О Е2

V" г /

, н = (н' н2).

Теорема 3.3 дает нам возможность строить различные методы нахождения интервальных алгебраических реализаций с помощью разложения исходной импульсной последовательности интервальных матриц в параллельное соединение.

Следствие 3.1. Пусть для последовательности неотрицательных интервальных матриц

{А1 ■ А2,--->А|}

существует неотрицательная интервальная алгебраическая реализация (р\С\Н+). А также найдется алгебраическая реализация (р"1,С1

последовательности точечных матриц {А*. Тогда, для последовательности интервальных матриц

{а„А2, ..,А,}={А:,А;,.. ,А;}+{<,<„. (п)

интервальной алгебраической реализацией является система (Р,С,Н) с блочными матрицами

р =

о

в =

, н=(н+ н").

(12)

¥

,0 И"

Следствие 3.1 дает нам еще один алгоритм нахождения алгебраических интервальных реализаций для интервальных систем смешанного типа.

Алгоритм 3.2.

Исходные данные. Импульсная последовательность / интервальных матриц вида (4), где

А-=(аД =(Ь*'гм])(' ' = Ь 2,...,/, у = 1,2,..., р,к-1,2,...,те.

Шаг I. Найдем наименьший элемент из исходной последовательности интервальных матриц. Обозначим его 6. Пусть Д -матрица размерности рхт , все элементы, которой равны 5, т.е.

т'п Ы,к) ./»1,2, .р4 у '' 4»1,2, .1» '=1 2, ,/

д =

111а? 2. Разложим исходную последовательность интервальных матриц на последовательность неотрицательных интервальных матриц и последовательность точечных матриц следующим образом

{А,, А2, .., А,} = |А,, А2,..., А, | + ,А2.., А/ | =

= {А, +Д,А2 + Д,...,А, +Д} + {-Д,...,-Д}.

Шаг 3. Находим алгебраическую реализацию (р4,С\Н*) для

последовательности интервальных матриц с помощью методов, представленных выше. Также строим алгебраическую реализацию Я') Эта реализация имеет размерность п = 1 и матрицы

Г1 =1 , О"7 = (-¿> ... -¿Г)еК'"" , н" =

V1;

еКрх|

или

^ = ... 5)е1

V Ь

Шаг 4. Строим искомую реализацию как параллельную композицию реализаций (р*,С+,Н+) и по формулам (12).

Представленные в данной работе метод граничных реализаций и модификация метода граничных реализаций реализованы в программном обеспечении.

В заключении изложены основные теоретические выводы настоящего исследования, подведены итоги и определены возможные

направления дальнейшего изучения проблемы.

В Приложении А приведены основные сведения о классической и полной интервальных арифметиках. Приложение Б содержит описание программного обеспечения для решения задач точной (точечные и интервальные динамические системы) и приближенной реализации (точечные динамические системы).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Даны определения интервальной динамической системы с дискретным временем для различных видов интервальной неопределенности.

2. Сформулированы возможные постановки задач реализации для интервальных динамических систем с дискретным временем.

3. Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц.

4. Разработан метод граничных реализаций, позволяющий строить алгебраические реализации для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

5. Предложен алгоритм, позволяющий строить алгебраические реализации полностью неположительных интервальных динамических систем.

6. Разработан метод вычисления алгебраических реализаций, основанный на погружении интервального пространства в линейное пространство удвоенной размерности.

7. Предложена модификация метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа.

8. Доказана теорема о параллельной композиции интервальныз динамических систем, которая позволяет строить различные модификацш алгоритмов вычисления алгебраических реализаций для интервальныз систем.

Ч На основе представленных методов и алгоритмов, создано программное обеспечение для решения задач реализации точечных и интервальных динамических систем с дискретным временем.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кривошапко С.Ю. (Калинкина С.Ю.), Пушков С.Г. Вычисление конечномерных реализаций для интервальных динамических систем: метод граничных реализаций // Материалы шестой краевой конференции по математике. - Барнаул: Изд-во АГУ. - 2003. - С. 59-60.

2. Кривошапко С.Ю (Калинкина С.Ю.), Пушков С.Г. Новая версия программного обеспечения для решения задач точной и приближенной

реализации // Измерения, контроль, информатизация: Сборник докладов международной научно-технической конференции. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ. - 2003. - С. 9-12.

3. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. (Калинкина С.Ю.) О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Перспективы систем информатики. Международное совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений: Сборник трудов пятой международной конференции. - Новосибирск: Институт систем информатики. 2003. - С. 60-67.

4. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. (Калинкина С.Ю.) О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9, № 1. - С. 75-85.

5. Калинкина С.Ю., Пушков С.Г. Модификация метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Рабочие совещания. -Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН. - 2004. - С. 219-224.

6. Калинкина С.Ю. Построение моделей с пространством состояний для интервальных динамических систем // Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник - Бийск: Изд-во АлтГТУ. - 2004. - С. 264-271.

7. Кривошапко С.Ю. (Калинкина С.Ю.), Пушков С.Г. Реализуемость в пространстве состояний интервальных динамических систем // Известия Тульского государственного университета. Серия Технологическая системотехника. Вып. 2. - 2004. - С. 71-74.

8. Калинкина С.Ю., Пушков С.Г. Реализация в пространстве состояний интервальных линейных динамических систем: метод граничных реализаций // Известия Алтайского государственного университета. -2005. - С. 10-14.

9. Калинкина С.Ю. Методы вычисления реализаций в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Материалы восьмой региональной конференции по математике. - Барнаул: Изд-во АГУ. -2005.-С. 58-59.

10. Pushkov S.G., Kalinkina S.Yu. Boundary realizations method for interval linear dynamic systems // Reliable Computing. - 2005. - V 11, №5. P. 413-423.

№23390

РНБ Русский фонд

2006-4 25892

Подписано в печать 17.11.2005. Формат 60x84 1/16. Печать - ризография.

1 ираж 100 экз. Заказ 2005-83. Издательство Алтайского государственного 1ехничсского университета им. И.И. Ползунова 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.

Отпечатано в ИВЦ БТИ АлтГТУ 659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27.

Введение

Список обозначений л #

Глава 1. Линейные динамические системы и их представление в пространстве состояний

1.1. Проблема реализации для систем над полями

1.2. Методы нахождения точной реализации

1.3. Исследование проблемы управления для интервальных 32 динамических систем

1.4. Интервальные динамические системы с дискретным временем

1.5. Проблема реализации в интервальной постановке 41 ф Выводы

Глава 2. Методы вычисления алгебраических реализаций для 45 неотрицательных интервальных динамических систем ji . 2.1. Достаточное условие реализуемости интервальных динамических систем

2.2. Нахождение алгебраических интервальных реализаций для 48 4 интервальных скалярных динамических систем

2.3. Метод граничных реализаций

2.4. Погружение в линейное пространство 60 Выводы

• Глава 3. Методы вычисления алгебраических реализаций для интервальных динамических систем смешанного типа

3.1. Модификация метода граничных реализаций для интервальных 71 динамических систем смешанного типа

3.2. Параллельная композиция интервальных динамических систем 79 '' 3.3. Методы реализации, основанные на параллельной декомпозиции интервальных динамических систем

Ф Выводы

В большинстве работ последних лет описание динамического поведения систем, анализ систем и расчет оптимального управления основываются на понятии пространства состояний. Классические методы, основанные на частотном анализе, алгебре передаточных функций, преобразовании Лапласа и z-преобразовании, сыграли значительную роль в развитии и применении теории управления и в родственных автоматизации областях. Вследствие их простоты и ясной связи с физической реальностью они сохранят свое место и среди более современных методов. Но значительно более абстрактная теория систем и методы анализа и синтеза позволяют решать более сложные задачи и облегчают формализацию результатов с целью получения численного решения на ЭВМ. Например, при решении задач многомерных систем и сложных замкнутых систем классические методы оказываются несостоятельными из-за вычислительных трудностей, тогда как методы пространства состояний позволяют осуществить четкую формализацию и механизацию вычислительных процедур.

Термин «методы пространства состояний» в действительности является новым названием различных методических процедур, которые ранее в течение долгого времени использовались в аналитической динамике, квантовой механике, теории устойчивости, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и других областях. Применение этих методов было стимулировано во второй половине 50-х годов в основном работой JI.C. Понтрягина и др. [67], методом динамического программирования Р. Беллмана [7], и общей теорией фильтрации и управления, разработанной Р. Калманом [121].

Модели, заданные в пространстве состояний, являются естественной формой представления динамических систем в теории управления, в особенности теории автоматического управления (П. Деруссо, Р. Рой и Ч. Клоуз [21], Г. Розенброк [142], В. Стрейц [84], Ф.Л. Черноусько [93] и др.).

Описание систем в пространстве состояний позволяет нам обнаружить и исследовать такие свойства, которые при использовании классических методов частотного анализа и описания в терминах «вход-выход» остались бы скрытыми. Как описание систем в пространстве состояний, так и методы анализа и синтеза, использующие пространство состояний, базируются на матричных и векторных представлениях. Матричная форма записи имеет неоспоримое преимущество при численном решении на ЭВМ, а ясность математических формулировок и самих решений не ухудшается даже для многомерных и сложных систем.

Центральным понятием при представлении поведения объекта управления в пространстве состояний является понятие динамической системы. Мы рассматриваем систему как структуру [37], в которую в определенные моменты времени вводится нечто (вещество, энергия или информация) и из которой в какие-то моменты времени выводится что-то. В каждый момент времени система получает некоторое входное воздействие и порождает некоторую выходную величину. В общем случае значение выходной величины зависит как от текущего значения входного воздействия, так и от предыстории этого воздействия. Иначе говоря, мы рассматриваем состояние системы как некую внутреннюю характеристику системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее. Таким образом, математическое понятие динамической системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления развивались Р. Калманом [37, 122, 123], Л. Заде [28], Р. Броккетом [106], Ю.И. Параевым [63], Е.М. Смагиной [80], Е.А. Перепелкиным [64], Б.Т. Поляком [65, 66] и др.

Развитие динамических процессов в материальных системах определяются внешними воздействиями. Внешние воздействия выступают в качестве причины, побуждающей динамическую систему к развитию. Этому причинно-следственному отношению «внешнее воздействие - динамический процесс» ставится в соответствие причинно-следственное описание динамических процессов в реальной системе, которое также называется описанием в терминах «вход-выход». Этот подход к описанию динамических систем активно используется в теории автоматического управления. Расширяется трактовка эволюционного описания физических систем, уходя от принципа детерминизма Ньютона. А именно, поведение динамических процессов связывают с их предысториями, а не только с начальными состояниями динамической системы. Процедура перехода от описания в терминах «вход-выход» к описанию в пространстве состояний для динамических систем с дискретным временем носит название «задача реализации». Решая задачу реализации, мы пытаемся определить, какую алгебраическую структуру представляет собой та или иная динамическая система?

Задача реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связаны с именами М. Месаровича и Я. Тахакары [52], Р. Калмана [37, 120, 124, 125], Б.Л. Хо [119, 120], С. Эйленберга [108], Э. Зонтага [148-150], Дж. К. Виллемса [13, 152-154], П. Фурмана [112-115], Р. Айсинга [109-111], Дж. Риссанена [140], Н.И. Осетинского [55-57] и др.

Рассматривая реальные объекты управления, мы всегда сталкиваемся с различного рода неопределенностями в данных. Чаще всего, способом преодоления этих неопределенностей становится применение неких экспертных оценок и приближенных значений. В настоящее время существуют и другие походы к учету неопределенности в поведении объекта.

Неопределенность имеет место, когда универсальное множество состоит более чем из одной точки. Если для элементов множества заданы соответствующие вероятности или другие вероятностные характеристики, то имеет место вероятностная неопределенность. Если известны только граничные элементы множества - интервальная неопределенность. При задании для каждого элемента множества соответствующей степени принадлежности — нечеткость. Последний вид неопределенности может быть описан с использованием теории нечетких множеств и нечеткой логики (Л. Заде [29, 155], И.З. Батыршин [1], С.Н. Васильев [11, 12] и др.). Например, в монографии А.Е. Алтунина и М.В. Семухина [3] на практических примерах показаны преимущества применения теории нечетких множеств и интервального анализа при решении задач контроля и управления процессами разработкой газовых месторождений и объектов системы газодобычи в условиях неопределенности.

Интервальный анализ предназначен для работы в условиях неопределенности с величинами, для которых задан интервал допустимых или возможных значений.

Интервальный анализ возник в 1962 г. благодаря работе Л.В. Канторовича [39] как средство учета ошибок округлений при расчетах на ЭВМ и стал одним из мощных инструментов для описания и исследования систем с неопределенностями и неоднозначностями в данных. Источниками интервальное™ могут быть неполнота знаний об объекте управления и вытекающие отсюда ошибки моделирования, естественная погрешность измерительных приборов, погрешности вычисления коэффициентов или последствия линеаризации нелинейных уравнений с неопределенными параметрами и т.д. Многие задачи математической теории управления допускают естественную «интервализацию» путем замены вещественных параметров и/или переменных на соответствующие интервальные. Большинство этих интервализованных задач оказываются адекватными и интерпретируемыми с точки зрения практических приложений.

Основополагающие результаты в области интервального анализа были получены в работах А.Б. Куржанского [43, 44], Ю.И. Шокина [38, 102, 145], С.П. Шарого [94-98, 144], А.В. Лакеева [45, 128-130], А.П. Вощинина [16], Г.Г. Меньшикова [50, 51], Р. Мура [133-135], Е. Хансена [116, 117], Г. Алефельда [2, 104], А. Неймайера [136, 137], Ю. Рона [141, 142], Г. Майера [104, 131, 132], В. Крейновича [128, 129], Р.Б. Кирфотта [127] и др.

Интервальные методы используются как для анализа статических систем [95, 97, 98], так и для решения задач анализа, синтеза динамических систем и проблем управления ими. Примером тому могут быть работы В.Л. Харитонова [87], Ю.И. Шокина [30, 91], Е.М. Смагиной [24, 81-83], В.В. Домбровского [22, 23], Н.А. Хлебалина [88-91], С.П. Соколовой [32], Л. Т. Ащепкова [4-6], Д.В. Сперанского [9, 10] и других авторов [18-20, 26, 31, 46-48, 53, 54, 85, 86, 92, 99101, 103, 105].

С развитием интервальных методов появился интервальный нестатистический анализ и такие его методы, как метод центра неопределенности, применяемый при анализе интервальных систем (А.П. Вощинин и Г.Р. Сотиров [15, 16], Н.М. Оскорбин [60-62], В.М. Белов, В.А. Суханов и Ф.Г. Унгер [8] и др.).

Неполнота алгебраической и порядковой структур интервального пространства, и отсутствие полноценной дистрибутивности являются причинами, из-за которых существующие методы и алгоритмы теории систем не применимы к классу интервально-заданных объектов. Большинство задач интервального анализа являются NP-трудными [128-130].

Анализ литературы, посвященной динамическим системам с неопределенностью интервального типа, показал, что внимание исследователей, в основном, сосредоточено на анализе и синтезе систем рассматриваемого типа. Моделированию и тесно связанной с ним проблеме реализации не уделяется достаточного внимания. В настоящий момент не существует эффективных методов и алгоритмов для нахождения описания такой системы в пространстве состояний, а методы классической теории реализации неприменимы, так как классическая интервальная арифметика является только полугруппой.

Настоящая работа посвящена разработке методов решения задачи реализации для интервальных линейных динамических систем с дискретным временем, которая заключается в нахождении (по возможности минимального) описания пространства состояний интервальной динамической системы по известному описанию вход-выход, основанному на наблюдении во времени входных сигналов и соответствующей им реакции системы (выходных сигналов).

Целью настоящей работы является разработка методов и алгоритмов решения задачи реализации для интервальных линейных динамических систем с дискретным временем.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Постановкой задачи реализации для исследуемого класса систем.

2. Получением критериев реализуемости.

3. Разработкой методов вычисления алгебраических реализаций.

4. Созданием на базе этих методов алгоритмов и программного обеспечения для решения задач реализации.

В качестве методической основы для разработки методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем и методы интервального анализа.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1. Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости для класса линейных интервальных динамических систем с дискретным временем.

2. Сформулированы и обоснованы два новых подхода к построению алгебраических реализаций - метод граничных реализаций и метод погружения в линейное пространство, позволяющие вычислять алгебраические реализации для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

3. Доказаны утверждения, позволяющие распространить разработанные методы реализации на интервальные динамические системы смешанного типа, и строить различные модификации алгоритмов вычисления алгебраических реализаций.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что разработанные методы и алгоритмы представления интервальных динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления в технических, медико-технических, экологических, экономических и других системах для построения моделей объектов управления с неопределенностью интервального типа.

Положения, выносимые на защиту:

1. Достаточный критерий алгебраической реализуемости интервальных динамических систем с дискретным временем.

2. Метод граничных реализаций для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

3. Модификация метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа.

4. Метод реализации для неотрицательных интервальных динамических систем, основанный на погружении интервального пространства в линейное пространство удвоенной размерности.

5. Комплекс алгоритмов и программное обеспечение для решения задачи реализации для интервальных динамических систем.

Апробация работы. Основные выводы и теоретические положения диссертации докладывались на краевой конференции по математике «МАК-2003» и региональной конференции по математике «МАК-2005» (Барнаул), международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2003), второй международной электронной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003), на рабочих совещаниях по интервальной математике в рамках международной конференции «Перспективы систем информатики» (Новосибирск, 2003) и международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004), всероссийской научно-технической конференции «Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях» (Бийск, 2-004).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем:

1. Даны определения интервальной динамической системы с дискретным временем для различных видов интервальной неопределенности.

2. Сформулированы возможные постановки задач реализации для интервальных динамических систем с дискретным временем.

3. Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц.

4. Разработан метод граничных реализаций, позволяющий строить алгебраические реализации для полностью неотрицательных интервальных динамических систем.

5. Предложен алгоритм, позволяющий строить алгебраические реализации полностью неположительных интервальных динамических систем.

6. Разработан метод вычисления алгебраических реализаций, основанный на погружении интервального пространства в линейное пространство удвоенной размерности.

7. Предложена модификация метода граничных реализаций для интервальных импульсных последовательностей смешанного типа.

8. Доказана теорема о параллельной композиции интервальных динамических систем, которая позволяет строить различные модификации алгоритмов вычисления алгебраических реализаций для интервальных систем.

9. На основе представленных методов и алгоритмов, создано программное обеспечение для решения задач реализации точечных и интервальных динамических систем с дискретным временем. .

Дальнейшее исследование проблемы можно проводить в следующих направлениях:

- формулировка и обоснование необходимых критериев реализуемости интервальной динамической системы с дискретным временем;

- разработка методов вычисления интервальных алгебраических реализаций минимальной размерности;

- описание структуры множества конечномерных реализаций;

- определение внешних и внутренних оценок интервальных алгебраических реализаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты теоретического анализа проблемы и экспериментальной проверки методов и алгоритмов представления интервальных динамических систем в пространстве состояний, можно сделать вывод об актуальности и значимости проведенного исследования и дальнейших перспективах изучения проблемы.

В первой главе исследования определены основные понятия теории линейных динамических систем с дискретным временем, рассмотрены алгоритмы решения задачи реализации для систем над полями, приведены различные определения динамических систем с интервальной неопределенностью и обзор работ в области исследования свойств и управления такими системами, предложено несколько определений интервальных динамических систем с дискретным временем таких систем и сформулирована задача реализации для таких систем. Во второй главе предложено достаточное условие реализуемости интервальных динамических систем, рассмотрена задача реализации для скалярных интервальных динамических систем, разработаны методы и алгоритмы алгебраической реализации полностью неотрицательных интервальных систем (метод граничных реализаций и метод погружения в линейное пространство). В третьей главе предложены методы и алгоритмы алгебраической реализации интервальных динамических систем смешанного типа, основанные на декомпозиции интервальной динамической системы в параллельное соединение.

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

3. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000.

4. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация линейной стационарной системы управления с интервальными коэффициентами // Дальневосточный матем. сб. Владивосток: Дальнаука. - 1999. - №8. - С. 32-38.

5. Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. 2002. - №2. - С. 1117.

6. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы управления с интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. -1998.-№12. С. 3-10.

7. Беллман Р. Динамичекое програмирование. М,: ИЛ, 1958.

8. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.

9. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одной разновидности задачи стабилизации линейной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. - №9. - С. 111-124.

10. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Синхронизирующие эксперименты с интервальными линейными системами // Автоматика и телемеханика. -2002.-№6.-С. 166-173.

11. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. I // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. -№1. - С. 5-22.

12. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. II // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. -№2.-С. 5-21.

13. Виллемс Я.К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей. -М.: Мир, 1989.-С. 8-191.

14. Вощинин А.П. Интервальный анализ: развитие и перспективы // Заводская Лаборатория. 2002. - №1. - С. 118-126.

15. Вощинин А.П., Бочков А.Ф., Сотиров Г.Р. Метод анализа данных при интервальной нестатической ошибке // Заводская Лаборатория. 1990. -Т. 56, №7.-С. 76-81.

16. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М.: София: МЭИ (СССР); Техника (НРБ), 1989.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

18. Давыдов Д.В. Локальная стабилизация интервально наблюдаемой системы с неопределенными параметрами // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 1. - С. 44-51.

19. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970.

20. Домбровский В.В. Интервальные методы в управлении финансами // Международная конференция по проблемам управления. Избранные труды. 1999. - Т. 1. - С. 202-209.

21. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Труды Международной конференции RDAMM 2001. - Т. 6. Ч. 2. Спец. выпуск. -С. 271-274.

22. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами // Автоматика и Телемеханика. 1990. -№2.-С. 176-181.

23. Ермаченко А.И. Методы синтеза систем управления низкой чувствительности. -М.: Радио и Связь, 1981.

24. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшев Р.З. Алгоритмическая процедура синтеза многосвязных систем с интервальными характеристическими полиномами. 1989. - Деп. В ВИНИТИ № 7505-В89.

25. Жолен JL, Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.

26. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970.

27. Заде Л.А. Понятие приближенной переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

28. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей // Доклады АН СССР. 1988. - Т. 299, №2. - С. 292-295.

29. Ивлев Р.С. Построение и исследование свойств многомерных систем управления интервально заданными объектами // Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук. Алматы, 1999.

30. Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интервально заданным объектом // Вычислительные технологии. 1999.-Т. 4, №4. - С. 3-13.

31. Калинкина С.Ю. Методы вычисления реализаций в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Материалы восьмой региональной конференции по математике. Барнаул: Изд-во АТУ. -2005.-С. 58-59.

32. Калинкина С.Ю. Построение моделей с пространством состояний для интервальных динамических систем // Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник Бийск: Изд-во АлтГТУ. - 2004. - С. 264-271.

33. Калинкина С.Ю., Пушков С.Г. Реализация в пространстве состояний интервальных линейных динамических систем: метод граничных реализаций // Известия Алтайского государственного университета. — 2005.-№1.-С. 10-14.

34. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

35. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

36. Канторович JI.B. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962. - Т. 3, №5. -С. 701-709.

37. Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Вычисление конечномерных реализаций для интервальных динамических систем: метод граничных реализаций //

38. Материалы шестой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АГУ.-2003.-С. 59-60.

39. Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Реализуемость в пространстве состояний интервальных динамических систем // Известия Тульского государственного университета. Серия Технологическая системотехника. Вып. 2.-2003.-С. 71-74.

40. Куржанский А.Б. Задача идентификации теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. - 1991. - №4. - С. 3-26.

41. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М: Наука, 1977.

42. Лакеев А.В., Носков С.И. О множестве решений интервального уравнения с интервально заданными оператором и правой частью // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35, №5. - С. 1074-1084.

43. Лозинский Л.Д., Мееров М.В. Синтез одного класса САУ с жесткой структурой, обладающего адаптивными свойствами: 2. Методы синтеза структур САУ для односвязных и многосвязных объектов // Автоматика и Телемеханика. 1986. - № 10. - С. 46-55.

44. Лозинский Л.Д., Мееров М.В. Синтез одного класса САУ с жесткой структурой, обладающего адаптивными свойствами: 3. Синтез структур САУ для объектов, содержащих звенья с распределенными параметрами // Автоматика и Телемеханика. 1986. -№ 11. - С. 45-53.

45. Математические методы в теории систем: сборник переводных статей / Под ред. Ю.И. Журавлева. М.: Мир, 1979.

46. Меньшиков Г.Г. Интервальные вычисления: упущенные возможности и попытки наверстать // Процессы управления и устойчивостью. Труды XXIX научной конференции. СПб: СпбГУ. - 1998. - С. 440-447.

47. Меньшиков Г.Г. Элементы локализующего интегрирования дифференциальных уравнений // Интервальный анализ и методы вычислений. Конспект лекций. Вып. 9. Изд. второе. СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001.

48. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. -М.: Мир, 1978.

49. Нариньяни А.С. Недоопределенность в системах представления и обработки знаний // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1986.-№5.-С. 3-28.

50. Несенюк А.П. Неопределенные величины в задачах управления с неполной информацией // Автоматика. 1979. - № 2. - С.55-64.

51. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. I // Программирование. 1975. - №3. - С. 75-85.

52. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. II // Программирование. 1975. - №4. - С. 58-68.

53. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. III // Программирование. 1976. - №1. - С. 70-76.

54. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории систем // Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир. - 1989. - С. 328-379.

55. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем // Математические методы в теории систем. М.: Мир. - 1979. -С. 271-327.

56. Оскорбин Н.М. Некоторые задачи обработки информации в управляемых системах // Синтез и проектирование многоуровневых иерархических систем. Материалы конференции. Барнаул: АГУ. - 1983. - С.

57. Оскорбин Н.М., Жилин С.И., Дронов С.В. Сравнение статистической и нестатистической оценок параметров эмпирической зависимости. // Известия АГУ. 1998.-№4.-с. 38-41.

58. Оскорбин Н.М., Максимов А.В., Жилин С.И. Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределенности // Известия АГУ. 1998. -№ 1. - С. 35-38.

59. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск: Изд-во ТГУ, 1980.

60. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000.

61. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. 2002. - №8. - С. 37-53.

62. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // Автоматика и телемеханика. 2002. - №11. - С. 56-75.

63. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

64. Пушков С.Г. Алгоритм вычисления приближенной реализации // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2000. - Т. 4, №3. - С. 133-144.

65. Пушков С.Г. Комплекс программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Материалы IV Юбилейной научно-практической конференции, посвященной 290-летию г. Бийска. -Барнаул: Изд-во АГТУ, 2000. С. 197-201.

66. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. - №3. - С. 5-12.

67. Пушков С.Г. Методы вычисления конечномерной реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // IV краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 2001. С. 73-74.

68. Пушков С.Г. Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем // Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук. Барнаул, 1998.

69. Пушков С.Г. Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем // Известия АГУ. 1999. - №1. - С. 4043.

70. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991. -№6. - С. 107-112.

71. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. -№10. - С.56-63.

72. Пушков С.Г. Об одном подходе к описанию наблюдаемого процесса линейной динамической системой // Ивестия РАН. Теория и системы управления.-2001,-№1.-С. 9-44.

73. Пушков С.Г. Представление динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализация: Монография. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2003.

74. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. 2004. - Т. 9, №1. - С. 75-85.

75. Смагина Е.М. Вопросы анализа многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск: Изд-во ТГУ, 1990.

76. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для системы с неопределенными параметрами. 1987. - Деп. В ВИНИТИ № 789-В87.

77. Смагина Е.М., Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе // Вычислительные технологии. -1998.-Т. 3, №1. С. 67-74.

78. Смагина Е.М., Моисеев А.Н., Моисеева С.П. Методы вычисления коэффициентов интервального характеристического полинома интервальных матриц // Вычислительные технологии. -1997. Т.2, № 1 — С. 52-61.

79. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

80. Тен И.Г. Синтез оптимального управления в условиях интервальной неопределенности в моделях // Интервальные вычисления. 1992. - № 11.-С. 27-30.

81. Уланов Б.В. Управление динамическим объектами при неполной информации об их параметрах, состоянии и размерности // Доклады АН СССР. 1989. - Т. 308, №4. - С. 803-806.

82. Харитонов B.JI. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 11. - С. 2086-2088.

83. Хлебалин Н.А. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, инст-т, 1981. -С. 107-123.

84. Хлебалин Н.А. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта управления: Дисс. на соисканиеученой степени кандидата технических наук. Саратов: Сарат. политехи, инст-т, 1984.

85. Хлебалин Н.А. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, инст-т, 1988. - С. 83-88.

86. Хлебалин Н.А., Шокин Ю.А. Интервальный вариант метода модального управления // Доклады АН. 1991. - Т.316, №4. - С. 846-850.

87. Ходько С.Т. Проектирование систем управления с нестабильными параметрами. Л.: Машиностроение, 1987.

88. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. -М.: Наука, 1988.

89. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. -Т. 3, №2. - С. 67-114.

90. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. -№3. - С. 51-61.

91. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Дисс. на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Новосибирск, 2000.

92. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации // Вычислительные Технологии. 1995. - Т. 4, №13.-С. 64-80.

93. Шарый С.П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных // Вычислительные Технологии. -1997. Т. 2, №1. - С.84-102.

94. Шашихин В.Н. Задача робастного размещения полюсов в интервальных крупномасштабных системах // Автоматика и Телемеханика. 2002. -№2.-С. 34-43.100101102103,104,105,106.107,108.109.110.111.112.113.

95. Шашихин B.H. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства линейных систем // Изв. АН. Теория и системы управления. -2002,-№4.-С. 17-24.

96. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. -№1. - С. 94-103.

97. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. Ackermann J., Bartlett A., Kaesbauer D., Sienel W., Steinhauser R. Robust control systems with uncertain physical parameters. - Berlin: Springer-Verlag, 1993.

98. Alefeld G., Mayer G. Interval analysis: theory and applications // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. - №121. - P. 421-464. Barmish B. New tools for robustness of linear systems. - New York: Macmillan, 1994.

99. Brockett R.W. Finite dimensional systems. New York: Wiley, 1970. De Schutter B. Minimal state-space realization in linear system theory: an overview // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2000. - V. 121.-P. 331-354.

100. Eilenberg S. Automata, languages and machines, vol. A. New York: Academic Press, 1974.

101. Eising R. Low order realizations and for 2-D transfer functions // Proc. IEEE. -1979. V. 67, №4. - P. 866-868.

102. Eising R. Realization and stabilization of 2-D systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. - V. AC-23, №5. - P. 793-800.

103. Eising R., Hautus M. Realization algorithms for systems over a principal ideal domain // Math. Systems Theory. 1981. - V. 14, №4. - P. 353-366. Fuhrmann P. Algebraic system theory: An analyst's of view // J. Franklin Inst. - 1976.-V. 301.-P. 521-540.

104. Fuhrmann P.A. Algebraic methods in system theory // R.E.Kalman Festschrift. -Berlin: Springer-Verlag, 1993. P. 233-265.

105. Fuhrmann P.A. Duality in polinomial models with some applications to geometric control theory // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. - V. AC-26. -P. 284-295.

106. Fuhrmann P.A. Linear systems and operators in Hilbert space. New York: McGrow-Hill, 1981.

107. Hansen E.R. Global optimization using interval analysis. New York: Marcel Dekker, 1992.

108. Hansen E.R. Interval form of Newton's method // Computing. 1978. - V. 4, №3. - P. 187-201.

109. Heinen J.A. Sufficient conditions for stability of interval matrices. // Int. J. Contr. 1984. - V. 39, №6. - P. 1323-1328.

110. Ho B.L. An effective construction of realizations from input-output descriptions // PhD Thesis. Stanford: Stanford University, 1966.

111. Ho B.L., Kalman R.E. Effective construction of linear state-variable models for input/output function // Proc. Third Allerton Conf., 1965. P. 449-459; Regelungstechnik. - V. 14, Jahrg. Heft 12. - P. 545-548.

112. Kalman R.E., Bertram J.E. General synthesis procedure for computer control of single and multi-loop linear systems // Trans. AIEE. 1959. - 77 II. - P. 602-609.

113. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability // CIME Summer Course 1968. Cremonese, Roma, 1969.

114. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. Contr.- 1963.-V. l.-P. 152-192.

115. Kalman R.E. Realization theory of linear dynamical systems // Control Theory and Topics in Functional Analysis, Vol. II. Vienna: International Atomic Energy Agency, 1976. - P. 235-236.

116. Kalman R.E., Rouchaleau Y. Realizations theory of linear systems over commutative ring // Automatica, Languages and Program. Amsterdam e.a., 1974.-P. 61-65.126127128129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,

117. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space // Computing Supplement. 1980. - V. 2. - P. 33-49.

118. Kearfott R. B. Rigorous global search: continuous problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.

119. Kreinovich V., Lalceev A., Rohn J., Kahl P. Computational complexity and feasibility of data processing and interval computations. Dodrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.

120. Mayer G. Enclosing the solutions of systems of linear equations by intervaliterative processes // Computing Supplement. 1998. - V. 6. - P. 47-58.

121. Mayer G., Rohn J. On then applicability of then interval Gaussian algorithm //

122. Reliable Computing. -1998. V. 4, №3. - P. 205-222.

123. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

124. Moore R.E. Interval methods for nonlinear systems // Fundamentals ofnumerical computation (computer-oriented numerical analysis). Computing

125. Supplement. Wienn: Springer Verlag, 1980. - P. 113-120.

126. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia:1. SIAM, 1979.

127. Neumaier A. Interval methods for systems of equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

128. Neumaier A. Linear interval equations. New York: Springer-Verlag, 1986. -P. 109-120.

129. Polyak B.T., Tsypkin Y.Z. Robust absolute stability of continuous systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 1993. - V. 3, №2. -P. 231-239.139140141142143144145,146,147,148,149,150,151,

130. Pushkov S.G., Kalinkina S. Yu. Boundary realizations method for interval linear dynamic systems // Reliable Computing. 2005. - V. 11, №5. - P. 413423.

131. Rissanen J. Recursive identification of linear systems // SIAM J. Contr. 1971. -V. 9, №3. - P. 420-430.

132. Rohn J. Input-output model with interval data // Econometrica. 1980. - V. 48. - P.767-769.

133. Rohn J. Systems of linear interval equations // Linear Algebra and its Applications. 1989. - V. 126. - P.39-78.

134. Rosenbrock H.H. State space and multivariable theory. London: Nelson and Sons Ltd, 1970.

135. Shary S.P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problem, or One more application of Kaucher arithmetic //Reliable Computing. 1996. -V. 2, №1. - P. 3-33.

136. Shary S.P. Solving the linear interval tolerance problem // Mathematics and Computers in Simulation. 1995. - V. 39. - P. 53-85.

137. Shokin Yu. I. On interval problems, interval algorithms and their computational complexity // Scientific Computing and Validated Numerics -Berlin: Akademie Verlag, 1996. P. 314-328.

138. Silverman L.M. Realization of linear dynamical systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1971. -V. AC-16. - P. 554-567.

139. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey. // Ricerche di Automatica. 1976. - V. 7. - P. 1-34.

140. Sontag E.D. On linear systems and noncommutative rings // Math. System Theory. 1976. - V. 9, №4. - P. 327-344.

141. Willems J.C. From time series to linear system. I // Automatica. 1986. - V. 22, №5. -P. 561-580.

142. Willems J.C. From time series to linear system. II // Automatica. 1986. - V.22, №6. P. 675-694.

143. Willems J.C. From time series to linear system. Ill // Automatica. 1986. - V.23, №1.-P. 87-115.

144. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. 1965. - V. 8. - P. 338353.

145. Zeiger H.P. Ho's algorithm, commutative diagrams, and the uniqueness of minimal linear systems // Information and Control. 1967. - V. 11, №4. - P. 71-79.

146. Zeiger H.P., McEwen A.J. Approximate linear realizations of given dimension via Ho's algorithm // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19, №2. - P. 153.