автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модальное управление многомерной динамической системой с параметрическими неопределенностями интервального типа

Введение.

Глава I. Исследование интервальных динамических систем.

1. Постановка задачи управления в условиях интервальной неопределенности

2. Некоторые алгебраические методы интервальной математики

2.1. Вычисление определителя интервальной матрицы

2.2. Проблемы классической интервальной математики. Интервальная арифметка Каухера.

2.3. Линейная задача о допусках

3. Интервальный характеристический полином

3.1. Основные определения. Постановка задачи

3.2. Метод главных миноров

3.3. Метод Леверье

3.4. Метод Фаддеева

3.5. Анализ методов по критерию расширения интервалов

3.6. Анализ числовых примеров

4. Устойчивость интервального объекта

5. Движение интервальных динамических систем.

Выводы по главе I.

Глава И. Модальное управление интервальными динамическими объектами

1. Модальное управление в системах со скалярным входом.

1.1. Постановка задачи

1.2. Модальное управление в системах с точечными параметрами

1.3. Управление в интервальных системах.

1.4. Пример

2. Модальное управление в системах с многомерным входом.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Метод последовательного сдвига полюсов для системы с действительными параметрами

2.3. Метод последовательного сдвига ИХП.

3. Условия разрешимости задачи модального управления

4. Метод квазимодальной стабилизации

5. Примеры.

Выводы по главе II.

Глава III. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе

1. Постановка задачи.

2. Решение задачи слежения.

3. Условия разрешимости задачи слежения

4. Пример

5. Синтез системы слежения на базе комплектного электропривода ЭПУ

Выводы по главе III.

Актуальность проблемы. Одной из главных проблем, с которыми сталкиваются исследователи, использующие теоретические результаты на практике, является несоответствие между идеальными моделями и реальными объектами.

Это несоответствие может выражаться в слабой изученности реальных процессов и связей, имеющихся в объекте исследования. В таком случае, обычно, объект описывают в виде модели со структурной неопределенностью (например, как систему случайной структуры [16]).

Если же структура объекта более или менее ясна, тогда возникают неопределенности другого характера: погрешности в измерении, потери точности при построении модели (например, при линеаризации), возможные вариации параметров в процессе движения объекта, влияние шумов и т.д. В таких случаях говорят о параметрической неопределенности объекта, а модели, учитывающие эти неопределенности, называют объектами с неопределенными параметрами.

Существует множество методов решения задач управления для объектов с неопределенными параметрами. Главный критерий их отличия — в описательной части постановки задачи, т.е. различные методы решения таких задач вытекают из различных подходов к описанию модели объекта с неопределенными параметрами. Кроме того, различные методы, по сути дела, учитывают неопределенности различного характера. Например, стохастические методы описывают неопределенности как некоторые случайные процессы, характеристики которых почти всегда известны заранее. Существуют непараметрические методы описания, которые вообще ничего не говорят даже о предполагаемых значениях параметров (например, подходы, использующие теорию нечетких множеств [2]). Большая группа методов основана на том, что вариации в параметрах (даже довольно значительные) можно учесть, построив управляющее устройство сколь угодно большой степени сложности (адаптивное управление) [28], благодаря чему достигаются очень качественные характеристики переходных процессов,

В последнее время начинает приобретать популярность привлечение аппарата интервальной математики для решения различных задач теории автоматического управления объектами с параметрической неопределенностью. Данная группа методов хороша тем, что при описании объекта и решении задач управления вообще ничего не надо знать о распределении значений параметров и их возможной вариации в процессе движения объекта. При описании объектов управления в виде интервальной динамической модели предполагается, что значения параметров лежат (или варьируются произвольным образом в процессе движения) внутри некоторых известных интервалов. В отличие от методов адаптивного управления, структура регулятора, синтезируемого с помощью такого подхода, не усложняется. Кроме того, решения, полученные с помощью данных методов, гарантируют выполнение условий поставленной задачи (например, устойчивость движения) для заданных интервалов варьирования параметров.

Однако, в связи с тем, что аппарат интервальной математики еще не получил достаточного развития по многим разделам линейной алгебры, практическая реализация методов управления объектами с интервальными параметрами сталкивается со сложными, зачастую неразрешимыми, проблемами. В настоящее время все исследования в интервальном анализе, в основном, направлены на развитие алгебраических методов этой науки, и очень мало внимания уделяется решению прикладных задач (в том числе — задач теории автоматического управления) с помощью аппарата интервальной математики.

Практически все методы теории управления, использующие аппарат интервальной математики, относятся к методам робаст-ного управления, которые характеризуются простотой структуры регулятора, который, в свою очередь, гарантирует устойчивое движение замкнутой системы при допустимых возмущениях в параметрах.

Интервальные методы в теории управления можно разделить на следующие группы:

1. Методы, основанные на применении аппарата функций чувствительности, частотном представлении объекта [13, 35, 38].

2. Методы с бесконечными коэфициентами усиления [29].

3. Адаптивные методы [22].

4. Методы модального управления [15, 14, 32, 34, 24].

5. Оптимальное управление [54].

Среди методов модального управления в ЛИДС можно выделить подходы, использующие аппарат передаточных функций [14], и методы, базирующиеся на описании объектов в пространстве состояний [32, 24].

Все подходы к решению задач в интервальной постановке можно разбить на три больших группы.

1. Решение в терминах обычного (числового) анализа (методы Харитонова). Эта группа методов использует аппарат интервальной математики только для описания объектов и записи результата. Само же решение задачи ведется в терминах обычной математики. Принципы решения задач с помощью таких методов впервые были сформулированы в работах Харитонова [31]. Обычно решение таких задач сводится к формированию точечной модели удвоенного порядка, параметры которой формируются из верхних и нижних границ интервалов исходной интервальной модели. Подобные методы позволяют очень легко адаптировать имеющиеся алгоритмы для точечных систем на интервальные объекты. Интервальное решение формируется обратным способом — составлением интервалов из полученных точечных значений. В основном такой подход используется в методах, использующих передаточные функции, функции чувствительности, в частотных методах.

2. Вариационные методы. Эта группа методов сводит решение задачи для интервального оъекта к аналогичной задаче для "средней" системы (модели, параметры которой представляют собой середины соответствующих интервальных параметров), а затем к полученному решению либо добавляются поправки, связанные с неопределенностью в параметрах, либо доказывается, что полученный результат обеспечивает решение поставленной задачи в пределах заданных вариаций параметров. Данный подход широко используется практически во всех группах методов управления интервальными объектами [54, 47].

3. Интервальные методы. Эти методы формулируют алгоритмы решения задач в терминах интервальной математики. Чаще всего в этих методах удается построить интервальные расширения существующих алгебраических методов. Такой способ решения задач используется, в основном, при решения задач управления объектами, описанными в пространстве состояний. К сожалению, часто некоторые авторы пытаются необоснованно "упростить" или проигнорировать существующие проблемы путем простой подмены числовых параметров интервальными как в постановке, так и в ходе решения задачи. Такой подход неоправдан, так как многие алгебраические задачи приобретают другой вид. Так задача решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающая в модальном управлении, сводится к задаче решения системы линейных алгебраических включений [32], а эта задача должна решаться специальными интервальными методами [36, 51], так как в интервальной постановке не может быть использовано обращение матрицы. Как уже говорилось, "упрощенный" подход к решению задач в интервальной постановке может быть оправдан лишь недостаточной развитостью интервальных алгебраических методов и слабой их популяризацией.

Однако, несмотря на существующие в этой области проблемы, интервальные методы решения задач управления в простанстве состояний продолжают развиваться. Важнейшими в этой области работами можно считать [32, 10]. В них был заложен фундамент решения задачи аналитического конструирования регуляторов для интервальных динамических систем. Сначала, в [32] были сформулированы основные принципы анлитического синтеза регулятора для линейной стационарной интервальной динамической системы с одним входом, получены необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи. Затем [24,10,12], эти принципы были распространены на системы с многомерным входом, а также впервые были получены решения некоторых других задач: синтез регулятора при неполной информации о векторе состояния (синтез интервального ПИ-регулятора [24]), вычисление определителя интервальной матрицы и интервалов, содержащих коэффициенты ее характеристического полинома.

Целью работы является разработка методов решения задачи модального управления для линейных интервальных динамических систем (ЛИДС), описанных в пространстве состояний, а также решение задачи асимптотического слежения за полиномиальным командным сигналом в ЛИДС при наличии на входе системы неизме-ряемых возмущений полиномиального вида.

Для достижения поставленных целей потребовалось решение следующих задач:

1. Разработка методов быстрого и наиболее точного вычисления коэффициентов интервального характеристического полинома (ИХП) интервальной матрицы.

2. Исследование условий разрешимости задачи модального управления для ЛИДС с одним входом и поиск методов расширения класса таких систем, для которых данная задача разрешима.

3. Синтез алгоритма модального управления линейной динамической системой с действительными параметрами, основанного на алгоритме модального управления для системы с одним входом и обеспечивающего малый последовательный сдвиг характеристического полинома матрицы динамики замкнутой системы.

4. Разработка метода модального управления для ЛИДС с многомерным входом, основанного на алгоритме для системы со скалярным входом и позволяющего сдвигать на каждом шаге коэффициенты ИХП матрицы динамики замкнутой системы на малые величины.

5. Разработка метода стабилизации ЛИДС, для которых не может быть применен метод последовательного сдвига ИХП.

6. Решение задачи асимптотического слежения за полиномиальным командным сигналом в ЛИДС при наличии на входе системы неизмеряемых возмущений полиномиального вида, исследование условий разрешимости данной задачи.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были применены методы теории автоматического управления, линейной алгебры, методы приближенных вычислений, а также методы классического интервального анализа и аппарат расширенной интервальной арифметики Каухера. Анализ получаемых результатов производился с использованием моделирования на ЭВМ с применением программного обеспечения, разработанного автором.

Научная новизна.

1. Получены методы вычисления коэффициентов ИХП интервальной матрицы. Сформулированы и обоснованы интервальные расширения методов Леверье, Фаддеева, главных миноров, с применением которых стало возможным вычислять наиболее узкие ("точные" ) интервалы, содержащие коэфициенты ИХП интервальной матрицы.

2. Разработаны и усовершенствованы методы решения задачи модального управления в интервальных динамических системах, В том числе: а) расширен класс линейных интервальных динамических систем со скалярным входом, для которых может быть получено решение задачи модального управления на основе известных алгоритмов; б) решена задача синтеза модального регулятора для ЛИДС с многомерным входом путем обобщения на интервальный случай метода последовательного сдвига полюсов (метод последовательного сдвига ИХП); в) решена задача поиска "оптимального" (в определенном смысле) регулятора в классе модальных регуляторов для ЛИДС с многомерным входом (также путем обобщения метода последовательного сдвига полюсов).

3. Для решения задачи стабилизации ЛИДС высокого порядка, для которых неприменим метод последовательного сдвига ИХП, разработан метод квазимодальной стабилизации.

4. Решена задача слежения за сигналом общего полиномиального вида в интервальной динамической системе при наличии неиз-меряемых возмущений на входе системы.

5. Предложен метод моделирования трубки движения замкнутой интервальной динамической системы.

6. Самостоятельное значение имеют результаты, полученные для систем с точечными параметрами, обобщаемые на случай интервальных систем. Так представлен новый метод решения задачи синтеза модальной полноранговой обратной связи с минимальными коэффициентами усиления. Предложенный метод последовательного сдвига полюсов позволяет не только получить матрицу коэффициентов полнорангового регулятора, но и оптимизировать получаемое решение в смысле минимизации величины самих коэффициентов обратной связи, а также элементов матрицы динамики замкнутой системы, что позволяет уменьшить амплитуды перерегулирований в ее переходных процессах.

7. Разработан комплекс программ для операционной системы У/тск)Ш8'95, реализующих методы синтеза модального регулятора, решения задачи слежения и моделирования движения замкнутой интервальной системы, представленные в настоящей работе.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют решать задачи модального управления и асимптотического слежения за полиномиальным командным сигналом. Кроме того, предложены методы решения некоторых вспомогательных задач (например, вычисление коэффициентов ИХП интервальной матрицы). Все методы достаточно легко программируются на ЭВМ с использованием стандартных систем разработки.

Реализация результатов работы. Разработанный комплекс программ реализует все методы, представленные в работе, и может использоваться для решения задач модального управления, стабилизации, асимптотического слежения за командным сигналом в линейных интервальных динамических системах. Кроме того, в данном программном комплексе реализованы основные операции над числовыми (точечными) и интервальными матрицами и полиномами, а также решение некоторых алгебраических задач интервального анализа (в частности, решение линейной задачи о допусках).

Исследования, связанные с решением задач модального управления и асимптотического слежения, представленные в диссертации, а также соответствующее программное обеспечение, разработанное автором, и решения некоторых практических задач были использованы при преподавании курса "Теория автоматического управления" кафедрой электропривода и автоматизации промышленных установок Томского политехнического университета.

Ряд исследований, проведенных в работе (вычисление коэффициентов ИХП, решение ЛЗД, общие вопросы управления ЛИДС), использовались для разработки спецкурса "Введение в интервальную математику", читаемого на факультете математики и информатики Филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методы вычисления коэффициентов интервальных характеристических полиномов интервальных матриц.

2. Метод моделирования трубок переходных процессов в замкнутой линейной интервальной динамической системе.

3. Метод решения задачи модального управления в линейной динамической системе с точечными параметрами (метод последовательного сдвига полюсов).

4. Метод решения задачи модального управления в ЛИДС (метод последовательного сдвига ИХП) и метод стабилизации ЛИДС высокого порядка (квазимодальный метод стабилизации).

5. Метод решения задачи асимптотического слежения за полиномиальным сигналом в ЛИДС при наличии на входе неизмеряемых возмущений полиномиального вида.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и совещаниях:

- III Международной научно-технической конференции "Микропроцессорные системы автоматики", Новосибирск, 1996 г;

- XI Межреспубликанском совещании по интервальной математике, Новосибирск, 1996 г;

- Научно-методической конференции "Наука и образование: теория, практика, инновации", Анжеро-Судженск, 1996 г;

- XII Международном совещании по интервальной математике, Красноярск, 1997 г;

- Сибирской научно-практической конференции "Наука, образование, производство: Интеграция и новые технологии", Анжеро-Судженск, 1997 г;

- Научно-практической конференции "Наука и образование: пути интеграции", Анжеро-Судженск, 1998 г.

Публикации. Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, разработка алгоритмов и программного обеспечения. Смагиной Е.М. как научному руководителю принадлежит постановка задач, а также формулировка общего подхода к решению задачи асимптотического слежения. Другим соавторам принадлежат некоторые частные результаты, полученные в результате совместной работы.

Структура работы.

В первой главе работы рассматриваются и анализируются необходимые для решения задач управления алгебраические методы интервальной математики, приводится подробное изложение и анализ методов вычисления коэффициентов интервального харак-теричтического полинома интервальной матрицы. Здесь же обсуждается проблема анализа устойчивости интервальной динамической системы. Предметом подробного рассмотрения являются методы моделирования трубок движения замкнутой системы.

Выводы по главе III

В данной главе представлено решение задачи асимптотического слежения за командным сигналом полиномиального вида в линейной интервальной динамической системе при наличии на ее входе неизмеряемого полиномиального возмущения.

Доказано, что решение данной задачи сводится к решению задачи обеспечения асимптотической устойчивости для некоторой расширенной системы. Представлены условия разрешимости данной задачи. Их проверка сводится к проверке управляемости исходной ЛИДС и проверке отсутствия ее нулей в начале координат.

Подробно рассмотрено решение задачи слежения для гипотетической модели вертолета и для следящей системы электропривода на базе комплектного ЭПУ-1.

Полученные графики моделирования трубок движения замкнутых систем слежения для представленных примеров демонстрируют решение поставленной задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа представляет методы, с помощью которых удалось решить следующие задачи интервального анализа и теории автоматического управления для систем с параметрическими неопределенностями интервального типа:

1. Вычисление коэффициентов интервального характеристического полинома (ИХП) интервальной матрицы. Сформулированы и обоснованы интервальные расширения методов Леверье, Фаддеева, главных миноров, с применением которых стало возможным вычислять наиболее узкие ("точные") интервалы, содержащие коэфици-енты ИХП интервальной матрицы. Например, интервальный метод главных миноров позволяет получить точные значения коэффициентов ИХП для систем низкого (< 3) порядка и для многих систем высокого порядка. Использование этого метода позволяет более качественно решить другие задачи, использующие значения коэффициентов ИХП матрицы динамики интервального объекта.

2. Решение задачи модального управления в интервальных динамических системах. В том числе: а) расширен класс линейных динамических систем со скалярным входом, для которых может быть получено решение задачи модального управления на основе алгоритмов [32,10]. Это достигнуто благодаря использованию в данных методах расширенной арифметики Каухера [43] и новых подходов к решению линейной задачи о допусках [51, 36]; б) решена задача синтеза модального регулятора для интервальных систем с многомерным входом путем обобщения на интервальный случай метода последовательного сдвига полюсов (метод последовательного сдвига ИХП); в) решена задача поиска "оптимального" (в определенном смысле) регулятора в классе модальных регуляторов для ЛИДС с многомерным входом (также путем обобщения метода последовательного сдвига полюсов).

3. Для систем высокого порядка разработан метод квазимодальной стабилизации, который является эмпирическим расширением метода последовательного сдвига ИХП.

4. Сформулированы условия разрешимости задачи модального управления и стабилизации для линейной интервальной динамической системы с использованием представленных методов

5. Решена задача асимптотического слежения за сигналом общего полиномиального вида в интервальной динамической системе при наличии на входе системы неизмеряемых возмущений полиномиального вида. Показано, что задача синтеза регулятора, обеспечивающего решение данной задачи, сводится к задаче модального управления или стабилизации для некоторой расширенной системы.

6. Получены условия разрешимости задачи асимптотического слежения за полиномиальным командным сигналом в ЛИДС.

7. Предложен метод моделирования трубки движения замкнутой интервальной динамической системы.

8. Представлен новый метод решения задачи синтеза модальной полноранговой обратной связи с минимальными коэффициентами усиления. Предложенный метод последовательного сдвига полюсов позволяет не только получить матрицу коэффициентов полнорангового регулятора, но и оптимизировать получаемое решение в смысле минимизации величины самих коэффициентов обратной связи, а также элементов матрицы динамики замкнутой системы, что позволяет уменьшить амплитуды перерегулирований в ее переходных процессах.

9. Разработан комплекс программ для операционной системы Windows'95, реализующих методы синтеза модального регулятора, решения задачи асимптотического слежения за командным сигналом и моделирования движения замкнутой интервальной динамической системы, представленные в настоящей работе.

Приведенные примеры демонстрируют решение различных задач с использованием соответствующих методов, представленных в работе.

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976, 424 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1987, 600 с.

3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, Москва, 1984.

4. Гантмахер Ф.Р, Теория матриц. — М.: Наука, Москва, 1988, 548 с.

5. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.К, Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Часть I. // Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1991, № 1, с. 3-23.

6. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.К, Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических системсостояние проблемы). Часть II. // Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1991, № 2, с. 3-30.

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967, 472 с.

8. Дутарова И.В. Определение и анализ интервальных расширений детерминанта интервальной матрицы. / Деп. в ВИНИТИ Редкол. журн. "Изв. РАН, Техн. кибернетика", № 1345-В96, 1996, 22 с.

9. Дутарова И.В. Применение интервального анализа при проектировании систем управления с неопределенными параметрами: Дисс. . канд. техн. наук, Томск, 1989, 189 с.

10. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Асимптотическое слежение за постоянным сигналом в системе с неопределенными параметрами. / Деп. в ВИНИТИ, № 9225-В88, 1988, с. 121-133.

11. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами. // Автоматика и телемеханика, N° 11, 1990, с. 176-181.

12. Ермаченко А.И. Методы синтеза систем управления низкой чувствительности. — М.: Радио и связь, 1981.

13. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Алгоритмическая процедура синтеза многосвязных систем с интервальными характеристическими полиномами. / Деп. в ВИНИТИ, 1989, № 7505-В89, 12 с.

14. Захаров A.B., Шокпн Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей. // ДАН СССР, 1988, Т. 299, № 2.

15. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980, 384 с.

16. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. — Новосибирск: Наука, 1986, 224 с.

17. Моисеев А.Н. Моделирование трубки движения интервальной динамической системы. // Междунар. конф. "Всесибирские чтения по математике и механике": Тезисы докладов. —- Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997, Т. 1, с. 134.

18. Моисеев А.Н., Смагина Е.М. К проблеме синтеза модального регулятора с минимальными коэффициентами усиления. / Деп. в ВИНИТИ, № 3367В95, 1995, 9 с.

19. Моисеева С.П. Синтез Пй-регулятора для системы с ограниченными входными возмущениями на основе интервальных методов. — Дипломная работа (рук. Дугарова И.В.), Томск: ТГУ, 1993, гл. 3.

20. Пылаев Н.К. Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью. // АиТ, 1989, № 6.

21. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990, 160 с.

22. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для систем с неопределенными параметрами. / Деп. в ВИНИТИ Ред. кол. ж. "Изв. АН СССР. Техн. кибернетика", № 789-В87, 1987, 37 с.

23. Смагина Е.М., Моисеев А.Н. Модальное управление в многомерной системе с неопределенными параметрами. //Изв. вузов: Приборостроение. — 1998, Т. 41, № 5, с. 16-22.

24. Смагина Е.М., Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе. // Вычислительные технологии. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998, Т. 3, № 1, с. 67-74.

25. Смагина Е.М., Моисеев А.Н., Моисеева С.П. Некоторые методы вычисления коэффициентов ИХП интервальных матриц. // Вычислительные технологии. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997, Т. 2, № 1, с. 52-61.

26. Справочник по теории автоматического управления. / Под ред. A.A. Красовского. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 712 с.

27. Уланов Б.В. Управление динамическими системами при неполной информации об их параметрах, состоянии и размерности. // ДАН СССР, 1989, Т. 308, № 4.

28. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984, 416 с.

29. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения, 1978, Т. 14, N2 11, с. 2086-2088.

30. Хлебалин H.A. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Саратовский политехи, ин-т, 1981, с. 107-123.

31. Хлебалин H.A. Аналитический синтез регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта управления: Дисс. . канд. техн. наук, Саратов, 1984, 234 с.

32. Хлебалин H.A. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1988.

33. Ходько С.Т. Проектирование систем управления с нестабильными параметрами. — JL: Машиностроение, 1987.

34. Шарый С.П. О некоторых методах решения линейной задачи о допусках. — Красноярск, 1989. Препринт № 6 ВЦ СО РАН.

35. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to interval computations. — Academic Press, New York, 1983, 333 p.

36. Daniel R.W., Kouvaritakis A. A new robust stability criterion for linear and non-linear multivariable feedback systems. // Int.J.Contr., 1985, V. 41, № 6.

37. Davison E.J., S.-H. Wang. Properties of linear time-invariant multi-variable systems subject to arbitrary output and state feedback. // IEEE Trans. Automat. Control, 1973, Vol. AC-18, pp. 24-32.

38. Gardenes,T. and Trepat,A. Fundamentals of SIGLA, ал interval computing system over the completed set of intervals. // Computing N° 24, 1980, pp. 161-179.

39. Heinen J.A. Sufficient condition for stability of interval matrices. // Int.J.Contr., 1984, V. 39, № 6.

40. Karl W.C., Verghese G.C. Comments on Sufficient and necessary condition for the asymptotyc stability of discrete linear interval systems. // Int.J.Contr., 1988, V. 48, № 4.

41. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space БЖ. // Computing Suppl № 2, 1980, pp. 33-49.

42. Kola S.R., Farison J.B. Caunter-examples to Sufficient and necessary condition for the asymptotyc stability of discrete linear interval systems. // Int.J.Contr., 1988, V. 48, № 4.

43. Kupriyanova L. Inner estimation of the united solution set of interval linear algebraic system. // Reliable Computing, № 1 (1), 1995, pp. 15-31.

44. Moore R.E. Interval analysis. — Englewood Cliffs, N.Y.: Prentice Hall, 1966, 145 p.

45. Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator. // Int.J.Contr., 1988, V. 47, № 1.

46. Openheimer E.P., Michel A.N. Application of interval analysis techniques to linear systems: Part III — Initial value problems. // IEEE Circuit Syst., V. 35, pp. 1243-1256.

47. Porter B., Bradshow A. Design of linear multivariable continous-time tracking system. // Int. J. Syst. Sci., 1974, V. 5, № 12, pp. 1155-1164.

48. Shaxy S.P. Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems or One more application of Kaucher arithmetic. // Reliable Computing, Ms 2 (1), 1996, pp. 3-33.

49. Shary S.P. Solving the linear interval tolerance problem. // Mathematics and Computers in Simulation, № 39, 1995, pp. 53-85.

50. Smagina Ye.M. General problem of asymptotic steady-output tracking for plant with interval parameters. // Interval Computations, 1992, № 4 (6), pp. 94-99.

51. Smagina Ye.M., Brewer I.V. Problem of asymptotic tracking for system with interval parameters. Proc.13. World Congress IFAC, June 30 July 5, 1996, San-Francisco, USA, V.G, pp. 423-428.

52. Wang S.-D., Kuo T.-S., Lin Yu.-H., Hsu C.-F., Juang Ya.-T. Robust control for linear systems with uncertain parameters. // Int.J.Contr., 1987, V. 46, № 5.